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专题02 不等式（选填题）
题型01 基本不等式求最值
【例1-1】（2025·安徽合肥·一模）（多选题）已知正数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为1
B．的最小值为4
C．的最大值为
D．的最小值为1
【例1-2】（2025·陕西西安·模拟预测）（多选题）下列命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若且，则的取值范围为
D．若且，则的最大值是
“1”的代换
已知（均为正数），求（均为正数）的最值，或者，求的最值（均为正数）.
这个类型是考察最多的，很多时候还需要配凑，常数代换等，对代数结构的观察能力和代数运算能力要求较高，需要重点突破.
【变式1-1】（2025·辽宁·三模）（多选题）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最大值为
C．若，则的最小值为1
D．若，则的最大值为
【变式1-2】（2025·江苏淮安·模拟预测）（多选题）若满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2025·湖南郴州·三模）（多选题）设正实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
题型02 一元二次不等式恒成立、能成立问题
【例2-1】（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为
【例2-2】（25-26高三上·河南·月考）已知“，不等式恒成立”为假命题，则实数的取值范围为 .
1．一元二次不等式恒成立、能成立问题
不等式对任意实数恒成立，就是不等式的解集为，对于
一元二次不等式，它的解集为的条件为；
一元二次不等式，它的解集为的条件为；
一元二次不等式的解集为的条件为.
2．一元二次不等式恒成立问题的求解方法
(1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集上恒成立，二是在某给定区间上恒成立.
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.
①若恒成立，则有，且；若恒成立，则有，且.
②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).
3．给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解.
【变式2-1】（2025·四川·模拟预测）已知一元二次函数的定义域为，若，，且该二次函数的图象经过、不同两点，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（2025·上海·模拟预测）已知设，，若关于的不等式恰有一个整数解，则的取值范围是 .
【变式2-3】（24-25高三上·山东泰安·期中）已知对任意恒成立，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
题型03 基本不等式的应用
【例3-1】（2025·四川德阳·三模）已知复数，若，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】（24-25高三上·河南周口·期末）已知函数的图象过原点，且无限接近于直线但又不与该直线相交，当时，函数有（ ）
A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值
（1）：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况
（2）：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况
（3），本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围
（4）利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”
【变式3-1】（2025·云南楚雄·模拟预测）（多选题）已知是函数图象上不同的两点，则下列不等式能成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2025·河南郑州·一模）已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，AB上的点，当的周长为4时，面积的最大值为 .
【变式3-3】（2025·江苏南通·模拟预测）在中，若，则的最小值为 .
题型04 柯西不等式与权方和不等式
【例4-1】（25-26高三上·辽宁沈阳·月考）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【例4-2】（25-26高三上·河北·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．25
1. 常用柯西不等式：
二元形式：若，，当且仅当时取等号.
三元形式：若，，当且仅当时取等号.
多元形式：若，则，当且仅当时取等号.
2. 权方和不等式：
已知为正数，，当且仅当时，等号成立.
已知为正数，，当且仅当时，等号成立.
【变式4-1】（2025·安徽蚌埠·二模）柯西不等式（Cauchy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.已知，直线与曲线相切，则的最小值为 .
【变式4-2】（24-25高三上·陕西西安·月考）已知 ，，则 的最小值为 ．
【变式4-3】（24-25高三上·广东·月考）权方和不等式是常用的不等式之一，其中二维权方和不等式是：已知为正数，，当且仅当时，等号成立.若x为锐角，则的最小值为 .
1.（2025高三·全国·专题练习）柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
2.（2025高三·全国·专题练习）已知，都在区间内，且，则函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3.（2025·四川自贡·一模）已知随机变量，且，则当时，的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
4.（2025·浙江·一模）已知实数满足，则的取值范围是 ..
5.（2025·云南·模拟预测）已知函数，若，对都有，则的最小值为 .
6.（2025·河北衡水·模拟预测）已知，满足，则的取值范围是 .
7.（2025·浙江杭州·模拟预测）已知面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为 ．
8.（2025·广东揭阳·模拟预测）已知定义在实数集上的函数满足，则的取值范围为 ．
9.（2025·湖北·模拟预测）若，则（ ）
A． B．
C． D．
10.（25-26高三上·江苏南京·期中）已知正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值是
B．的最小值是
C．的最小值是
D．的最大值是
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题02 不等式（选填题）
题型01 基本不等式求最值
【例1-1】（2025·安徽合肥·一模）（多选题）已知正数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为1
B．的最小值为4
C．的最大值为
D．的最小值为1
【答案】ACD
【详解】对于A，由正数满足，可得，解得，
则，当且仅当，即时等号成立，即的最大值为1，故A正确；
对于B，由正数满足，可得，
解得或（舍去），当且仅当时等号成立，即的最小值为2，故B错误；
对于C，因，则，
当且仅当时等号成立，即的最大值为，故C正确；
对于D，由可得，则，
当且仅当，即时等号成立，即的最小值为1，故D正确.
故选：ACD.
【例1-2】（2025·陕西西安·模拟预测）（多选题）下列命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若且，则的取值范围为
D．若且，则的最大值是
【答案】ABD
【详解】对于A，因为，则，即，所以，故A正确；
对于B，因为，易知单调递减，则，
同时单调递增，则，所以，故B正确；
对于C，由基本不等式可知，
即，则，
当且仅当时取得等号，故C错误；
对于D，灵活运用“1”，构造齐次式得：
，
易知，所以上式，当且仅当时取得等号，故D正确.
故选：ABD
“1”的代换
已知（均为正数），求（均为正数）的最值，或者，求的最值（均为正数）.
这个类型是考察最多的，很多时候还需要配凑，常数代换等，对代数结构的观察能力和代数运算能力要求较高，需要重点突破.
【变式1-1】（2025·辽宁·三模）（多选题）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最大值为
C．若，则的最小值为1
D．若，则的最大值为
【答案】BCD
【详解】由题意得，A项错误；
，所以（当且仅当时取等号），B项正确；
，当且仅当时取等号，C项正确；
，又因为，
所以，设，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为，D项正确．故选:BCD．
【变式1-2】（2025·江苏淮安·模拟预测）（多选题）若满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】对于A，由可得，因此，
可得，当且仅当时，等号成立，即A正确；
对于B，将表达式化简可得，
将方程参数化可知，；
所以，其中；
又，所以，可得B正确；
对于C，由可得，即，
因此，解得，当且仅当时，等号成立，即C错误，D正确.
故选：ABD
【变式1-3】（2025·湖南郴州·三模）（多选题）设正实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】对于选项A：因为正实数满足，
设，则，
因为，
即，整理可得得，
将其看为关于的一元二次方程，则，解得，即，故A正确；
对于选项D：因为，且，，
则，当且仅当时，等号成立，所以，故D正确；
对于选项B：因为，则，当且仅当时，等号成立，
则，得，当且仅当时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为
，
因为，则，，
可得，当且仅当时，等号成立，
即，可得，
即，当且仅当时，等号成立所以，故C正确；
故选：ACD.
题型02 一元二次不等式恒成立、能成立问题
【例2-1】（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为
【答案】
【详解】设，原题转化为求的最小值，
原不等式可化为对任意的，，
不妨代入，得，得，
当时，原不等式可化为，
即，
观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号，
此时，，说明时，均可取到，满足题意，
故的最小值为. 故答案为：
【例2-2】（25-26高三上·河南·月考）已知“，不等式恒成立”为假命题，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】设 :＂ ，不等式 恒成立＂，其等价于 恒成立，
若 为真命题，则 ，解得 ．
又 为假命题，故 的取值范围是命题 为真时的补集，
即 或 ．故答案为：．
1．一元二次不等式恒成立、能成立问题
不等式对任意实数恒成立，就是不等式的解集为，对于
一元二次不等式，它的解集为的条件为；
一元二次不等式，它的解集为的条件为；
一元二次不等式的解集为的条件为.
2．一元二次不等式恒成立问题的求解方法
(1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集上恒成立，二是在某给定区间上恒成立.
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.
①若恒成立，则有，且；若恒成立，则有，且.
②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).
3．给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解.
【变式2-1】（2025·四川·模拟预测）已知一元二次函数的定义域为，若，，且该二次函数的图象经过、不同两点，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为一元二次函数的定义域为，且，
所以函数的图象关于直线对称，设，其中，
由可得，故，根据题意得出
因为函数的图象经过、不同两点，
则，且有，
上述两个等式作差得，
因为，故，即，
可得或，解得或，
综上所述，实数的取值范围是.故选：D.
【变式2-2】（2025·上海·模拟预测）已知设，，若关于的不等式恰有一个整数解，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】作出函数的图像，如图所示，
有，，
当时，令，即，
设为方程的两个根，且，
由于，则有，
当时，，则必有，
则必包含在不等式的解中，由图可知的解为，
此时不等式的解中有2个整数，不符合题意，
当时，，由图象可知，当时，对应的值唯一，
因为的解恰有一个整数，所以这个整数为，
则，当时，有最小值为，即有最大值为，
当时，，此时，即；故答案为：.
【变式2-3】（24-25高三上·山东泰安·期中）已知对任意恒成立，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由得，.
当得，，，
当得，，，
当得，，.
∵对任意恒成立，
∴由得，，
∴和是方程的两根，且，
∴，故.
由得，，即，
解得，故不等式的解集为.故选：C.
题型03 基本不等式的应用
【例3-1】（2025·四川德阳·三模）已知复数，若，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题设，则，所以，
而，当且仅当时取等号，则，
所以.故选：A
【例3-2】（24-25高三上·河南周口·期末）已知函数的图象过原点，且无限接近于直线但又不与该直线相交，当时，函数有（ ）
A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值
【答案】B
【详解】由题设，且，则，
所以，则时，，
所以，令，则，
当且仅当时取等号，故最大值为.故选：B
（1）：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况
（2）：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况
（3），本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围
（4）利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”
【变式3-1】（2025·云南楚雄·模拟预测）（多选题）已知是函数图象上不同的两点，则下列不等式能成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】由题意，不妨设.
函数是上的增函数，，即，
，即.
是上的增函数，，
即，故B一定不能成立，D一定成立.
取，则，此时，
，故A能成立.
取，则此时，
，故C能成立. 故选：ACD
【变式3-2】（2025·河南郑州·一模）已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，AB上的点，当的周长为4时，面积的最大值为 .
【答案】
【详解】设，，，则，
因为的周长为4，所以，
因为，当且仅当时取等号，
故，则，则面积满足
故面积的最大值为故答案为：.
【变式3-3】（2025·江苏南通·模拟预测）在中，若，则的最小值为 .
【答案】
【详解】，若，则，此时均为钝角，不合要求，
故，，即均为锐角，，
，
故，
令，因为，所以，，
则，
令，则，
，
其中，当且仅当，即时，等号成立，
故.故答案为：.
题型04 柯西不等式与权方和不等式
【例4-1】（25-26高三上·辽宁沈阳·月考）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，得，即，
由，得，则，
由，，得，
由柯西不等式得，
因此，当，即时取等号，
所以的最大值为. 故选：C
【例4-2】（25-26高三上·河北·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．25
【答案】B
【详解】因为，所以，即
故根据题意，，
当且仅当，即时等号成立，
所以函数的最小值为.故选：B
1. 常用柯西不等式：
二元形式：若，，当且仅当时取等号.
三元形式：若，，当且仅当时取等号.
多元形式：若，则，当且仅当时取等号.
2. 权方和不等式：
已知为正数，，当且仅当时，等号成立.
已知为正数，，当且仅当时，等号成立.
【变式4-1】（2025·安徽蚌埠·二模）柯西不等式（Cauchy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.已知，直线与曲线相切，则的最小值为 .
【答案】10
【详解】由，所以，设切点为，则，故，
又，所以，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为10.
故答案为：10
【变式4-2】（24-25高三上·陕西西安·月考）已知 ，，则 的最小值为 ．
【答案】10
【详解】由,得
所以
当且仅当,即时,等号成立,故的最小值为10.
故答案为：10.
【变式4-3】（24-25高三上·广东·月考）权方和不等式是常用的不等式之一，其中二维权方和不等式是：已知为正数，，当且仅当时，等号成立.若x为锐角，则的最小值为 .
【答案】8
【详解】，
当且仅当时，即时，取等号.
故答案为：8
1.（2025高三·全国·专题练习）柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【详解】因为，
根据题目中柯西不等式的三元形式可知，
所以，；
当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是，故选：A
2.（2025高三·全国·专题练习）已知，都在区间内，且，则函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，且，
所以
，
所以的最小值为．故选：D．
3.（2025·四川自贡·一模）已知随机变量，且，则当时，的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【详解】由随机变量，且，得，解得，
由，得
，当且仅当，即时取等号，
所以所求最小值为.故选：D
4.（2025·浙江·一模）已知实数满足，则的取值范围是 ..
【答案】
【详解】，则，
又，得，
设，由函数在上单调递减，在上单调递增，
则，由原式为，则所求范围为.
故答案为：.
5.（2025·云南·模拟预测）已知函数，若，对都有，则的最小值为 .
【答案】
【详解】①因为对都有..
不妨令，则，所以，又，所以.
②当时，
，符合题意.
由①②，知.所以，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.
故填：
6.（2025·河北衡水·模拟预测）已知，满足，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题意知，满足，则，
故，
因为，故，故，
当且仅当，结合，即或时等号成立，
故，即，解得，
当时，；当时，，
故的取值范围是，故答案为：
7.（2025·浙江杭州·模拟预测）已知面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为 ．
【答案】
【详解】设，易知为的重心，
又，由重心为中线三等分点可得：，
同时，
设，，则，
则，所以，
由余弦定理可得：，
令，求其最小值即可，
上式化简可得：，
也即当且仅当时取得等号，
所以，故答案为：
8.（2025·广东揭阳·模拟预测）已知定义在实数集上的函数满足，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】移项平方化简得：．
记，则，故，
相减可得，
故．
．
由均值不等式得，
故．故答案为：.
9.（2025·湖北·模拟预测）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】对A：因为，则，
所以，所以，A错误；
对B：记，则，所以在上单调递减，
又，所以，即，即，B正确；
对C：因为，所以，，
，因，故等号不成立，
则，所以，C正确；
对D：记，则，
记，则，故，
所以在上单调递减，，则，所以在单调递减，
又，所以，即，即，D错误.故选：BC.
10.（25-26高三上·江苏南京·期中）已知正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值是
B．的最小值是
C．的最小值是
D．的最大值是
【答案】ACD
【详解】由有：，当且仅当时，等号成立，故A正确；
由，当时，即时，等号成立，
所以的最小值是，故B错误；
由，
当且仅当时，等号成立，故C正确；
由，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确；故选：ACD.
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