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专题02 不等式与基本不等式
易错点1 忽略不等式性质成立的前提条件
易错典题
【例1】（25-26高一上·江西南昌二中月考）已知，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设（易错点）；
则解得
所以.
因为，所以
又，
两式相加得，
即.
【错因分析】一种常见的错误是由已知不等式求得的范围，再求的范围，从而导致范围扩大化.
知识混淆：有些不等式的性质是单向的，有些是双向的，要注意区分.
概念模糊：对求代数式的取值范围的逻辑推导不清晰，错误地多次用单向的不等式的可加性求解，从而导致所求范围扩大化.
望文生义：已知，想当然地去求a，b的范围，而多次使用不等式的可加性求不等式的范围这一过程不是互推的，从而非等价转化.
避错攻略
【方法总结】（1）利用几个代数式的范围求某一个代数式的范围时,不可多次将不等式相加,否则容易扩大范围.可以使用整体代换的思想或用待定系数法求解代数式的取值范围问题.
（2）一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．
【知识链接】
1 不等式的性质及推论
性质1：不等式的传递性：设a，b，c均为实数，如果a>b且b>c，那么 a>c
性质2：不等式的加法性质：设a，b，c均为实数，如果a>b，那么 a+c>b+c
性质3：不等式的乘法性质：设a，b，c均为实数，如果a>b且c>0，那么ac>bc，如果a>b且c<0，那么 ac推论1.
推论2.
推论3.
推论4.
推论5.
推论6.
推论7.
【提醒】（1）不等式的性质3中在不等式两边同乘一个因式时一定要判断正负；
推论1逆命题不成立，且“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”．
推论3、推论5、推论6、推论7中要注意成立的前提条件，即均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式．
2 判断不等关系成立的常用方法：
直接利用不等式的性质进行推理判断.；
比较法：一是作差比较：即作差、变形、判断差式与0的大小、下结论；二是作商法：即作商、变形、判断商式与1的大小、下结论.
构造函数利用函数的单调性；
特殊值排除法.
举一反三
【变式1-1】（2026·新疆乌鲁木齐·一模）若，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，因为，所以，A错误；
，因为，所以，则，，B错误；
因为，所以，C错误；
因为且，所以，则，即，所以，D正确.
故选：D
【变式1-2】（25-26高三上·河南·月考）若，则的最小值是 .
【答案】11
【解析】设，
则，解得，
所以，
因此的最小值是11.
故答案为：11.
【变式1-3】（2025高三·全国·专题练习）已知，若，，且，则实数c的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为，，
故，，
在平面直角坐标系aOb中作出可行域，

由，可得，即
．
由得，，
解得．
易错点2 解分式不等式时转化不等价
易错典题
【例2】（24-25甘肃兰州·期中）不等式的解为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】A
【解析】由，得（易错点），
由于分母x可以为负数，故此处不能直接去分母
即，因此（易错点），
注意分式不等式化为整式不等式时，不要忽略分母不为0这一限制条件
解得，
所以原不等式的解集为.
故选：A
【错因分析】解分式不等式时直接去分母或者未考虑分母不能为0这一条件，从而致错.
知识混淆：对分式不等式的解法理解不全面，从而直接仿整式不等式的求解方法求解.
概念模糊：忽视分母不能为0，从而未考虑这一条件.
望文生义：看到分式不等式，就直接去分母，而未注意到当分母为负数时，直接去分母不等号方向要改变.
避错攻略
【方法总结】（1）求解不等式时，一定要注意化简的等价性，如去分母时要保证分母不为0、平方时范围不能变大、两边同乘（除）一个因式时要注意判断因式的符号等.
（2）解分式不等式时，要先移项，将不等号右边化为0，再利用符号法则转化为整式不等式求解，转化后要注意不要遗漏“分母不能为0”这一限制条件.
【知识链接】1.解分式不等式的步骤：
⑴通过移项，将分式不等式右边化为零；
⑵左边进行通分，化为形如的形式；
2.分式不等式化为整式不等式的常见同解变形：
（1）；
；
；
；
举一反三
【变式2-1】（25-26高三上·全国·课后作业）不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】

由，得，
等价于，
由穿根法可得不等式的解集为.
故选：B
【变式2-2】（25-26高三上·江西景德镇·期末）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，，
因为解分式不等式可得，
所以，即.
故选：B
【变式2-3】（25-26高三上·河北·月考）不等式的解集为 .
【答案】或
【解析】等价于，即，解得或，
所以原不等式的解集为或.
故答案为：或
易错点3 一元二次型不等式恒成立问题混淆范围
易错典题
【例3】（25-26高三上·云南昆明·期中）若函数在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，，，
可转化为（易错点），
换元后要注意新元的取值范围与旧元的范围不同
又开口向上，且对称轴为，
在上单调递增，，
函数在上恒成立，即在上恒成立，
也就是（易错点），
本题容易错求成
，解得.
实数的取值范围为.
故选：C.
【错因分析】本题求解时容易忽略换元后新元范围发生变化，或者转化为函数y的最值时错求成
知识混淆：分离参数法解决不等式恒成立时分不清是该转化为求函数的最大值还是求最小值，从而产生错解.
概念模糊：对不等式恒成立的逻辑推导不清晰，未考虑换元后取值区间发生变化，导致思维存在漏洞.
望文生义：在求解时，想当然认为，而事实上是.
避错攻略
【方法总结】对于一元二次型不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方，解决一元二次不等式中的恒成立、能成立问题常常转化为求二次函数的最值或分离参数后求最值的方法解决问题．
【知识链接】1．一元二次不等式在R上的恒成立问题
①二次型不等式在上恒成立或者解集为时，满足或
②二次型不等式在上恒成立或者解集为时，满足或
③二次型不等式在上恒成立或者解集为时，满足或
④二次型不等式在上恒成立或者解集为时，满足或
2、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题
方法一：若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；
方法二：转化为函数值域问题，即已知函数的值域为，
则恒成立 ，即；
恒成立 ，即.
举一反三
【变式3-1】（25-26高二上·云南昭通·期末）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】当时，不等式为，显然恒成立，符合题意；
当时，
因为关于的不等式对任意恒成立，
所以二次函数的图像在轴的下方，
所以，解得，
综上，可得的取值范围是．
【变式3-2】（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）若存在，使不等式成立，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为，所以.
又因为，所以，所以，
设，其中，则.
设，则转化为，，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
所以存在，使不等式成立时，只需，
故的取值范围是，
【变式3-3】（25-26高三上·天津河东·期末）已知，不等式，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为，
所以由不等式，
设，
原问题转化为，恒成立，
在同一直角坐标系内，画出两个函数的图象，如下图所示：
因为问题是研究的情况，所以当的情况不用研究.
当时，，
，或，
当时，舍去，所以，
要想，恒成立，只需，而，
所以，
当时，舍去，所以，
此时要想，恒成立，只需，而，
所以，
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：
易错点4 解含参不等式讨论不全
易错典题
【例4】（25-26高三上·宁夏中卫·月考）（1）关于的不等式：；
①当时，解不等式；
②当时，解不等式.
（2）已知函数，求函数的值域.
【解析】（1）①当时，，即，解得，
所以原不等式的解集为；
②当时，原不等式可化为，
若，不等式为，解得（易错点）；
讨论不全，漏掉a=0这一种情形
若，令，解得或，
当时，则，解得或；
当时，则，
若，则，解得；
若，原不等式为，解得（易错点）；；
讨论不全，漏掉a=0这一种情形
若，则，解得；
综上所述，若，不等式解集为；
若时，不等式解集为；
若，不等式解集为；
若，不等式解集为；
若，不等式解集为.
（2）因为函数的图象开口向下，对称轴为，
设函数的最大值为，最小值为，
当，即时，则，，
所以函数的值域为；
当，即时，则，，
所以函数的值域为；
当，即时，则，，
所以函数的值域为；
当，即时，则，，
所以函数的值域为；
综上所述：当时，函数的值域为；
当时，函数的值域为；
当时，函数的值域为；
当时，所以函数的值域为.
【错因分析】含参数一元二次不等式的求解最容易出现的错误就是讨论不全面，.
知识混淆：不能确定讨论的标准，本来对参数分类讨论，可能错误地对未知数x分类讨论.
概念模糊：对含参的一元二次不等式讨论顺序理解不够透彻，从而导致思路受阻，一般地：按二次项系数、根的判别式、两根大小这个顺序进行讨论.
望文生义：对含参不等式讨论时，凭直觉漏掉参数等于0的情形.
避错攻略
【方法总结】在求解过程紧抓三点就可以有效的避免失误：一是分析二次项系数是否需要讨论；而是分析方程根的存在型是否需要讨论；三是根的大小关系是否需要讨论.
【知识链接】
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
项目 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0) 的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0) 的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0) 的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0) 的解集 {x|x12 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
第一步(化标准)：通过对不等式变形，使不等式右侧为0，二次项系数为正；
第二步(判别式)：对不等式左侧进行因式分解，若不易分解，则计算相应方程的判别式；
第三步(求实根)：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根；
第四步(画图象)：根据一元二次方程根的情况画出相应的二次函数的图象；
第五步(写解集)：根据图象写出不等式的解集．
3 解含参数的一元二次不等式的一般步骤
【注意】
求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解，不能因式分解时再求判别式Δ，用求根公式计算．
举一反三
【变式4-1】（2026高三·全国·专题练习）设.
(1)若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式.
【解析】（1）不等式对于一切实数恒成立等价于对于一切实数恒成立，
当时，不等式可化为，不满足题意；
当时，，解得；
综上，实数的取值范围为.
（2）不等式等价于，即，
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，此时，
所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为或；
③当时，，不等式的解集为.
综上可得：当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为.
【变式4-2】（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知幂函数为偶函数．
(1)求的解析式；
(2)若，求的取值范围；
(3)当时，求不等式的解集．
【解析】（1）由为幂函数，得，解得或，
当时，为奇函数，舍去；
当时，为偶函数，符合题意.
综上所述，.
（2）因为函数在上单调递减，在上单调递增，
且为偶函数，
则，等价于，
则，整理得，解得或，
所以的取值范围为．
（3）由，
则，即，
当时，不等式为，则不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为.
易错点5 多变量不等式中混淆主元出错
易错典题
【例5】（24-25齐鲁名校共同体联考）已知函数是定义在，上的奇函数，对于任意，，，总有且（1）．若对于任意，，存在，，使成立，则实数的取值范围是　　
A． B．或
C．或 D．或或
【答案】D
【解析】是定义在，上的奇函数，
当、，，且时，有，
函数在，上单调递增．
（1），
的最小值为（1），最大值为（1），
若对于任意，，存在，，使成立（易错点），
先视x为主元，转化为
即对所有，恒成立，，
设（a）（易错点），
变更主元，将a视为自变量，t视为参系数
则满足，即，
或或，
故选：．
【错因分析】因为题设条件中含有两个变量的取值范围，易分不清主元而出错，此时可依次设定主元进行求解.
知识混淆：混淆不等式恒成立与不等式有解，混淆等式有解与恒等式，错因是相关知识掌握不够透彻.
概念模糊：未正确理解不等式恒成立的求解策略，从而导致思维受阻.
望文生义：遇到恒成立就分离参数，而有些问题分离参数后很难求解，此时往往对参数分类讨论求解.
避错攻略
【方法总结】关于不等式的恒成立问题，主元法是一个常用方法，所谓主元法就是在一个多元数学问题中以其中一个为“主元”，将问题化归为该主元的函数、方程或不等式等问题，其本质是函数与方程思想的应用． 有些看似复杂的问题，如果选取适当的字母作为主元，往往可以起到化难为易的作用.
【知识链接】含有双量词问题的类型
(1) x1，x2∈D，f(x1)≤g(x2)恒成立 ≤g(x2)min.
(2) x1∈D1， x2∈D2，使得f(x1)≥g(x2) f(x1)min≥g(x2)min.
(3) x1∈D1， x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2) f(x1)的值域与g(x2)的值域的交集非空.
(4) x1∈D1， x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2) f(x1)的值域是g(x2)值域的子集.
举一反三
【变式5-1】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】依题意知.
因为在上单调递减，所以.
又在上单调递增，所以，
因此，则.
【变式5-2】（25-26高三上·天津和平·月考）已知定义在上的函数满足且，其中的解集为A.函数，，若，使得，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】构造函数，
所以，
因为定义在上的函数满足，
所以，所以在上单调递增，且，
所以不等式可化为，即，
所以，
所以的解集，
函数，当且仅当，或时等号成立，在A上仅当时等号成立，
所以在A上的值域为，
为增函数，
所以在A上的值域为，
若，使得，
则，
所以，又因为
即实数a的取值范围是.
【变式5-3】（2026·福建·一模）若实数使得命题：“，使得，均有”是假命题，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意可知，原命题的否命题：“，使得”是真命题．
所以对任意实数，方程都有实数解．
故而对任意固定的实数都有解．
即关于的不等式对任意固定的实数都有解．
对不等式分情况讨论：
①.若,即.当时,不等式为,对任意显然有解.
当时,关于的二次函数开口向上,
其值域包含正数,故对任意,总存在使得.所以符合题意.
②.若,即.关于的二次函数开口向下,
其最大值为.
要使不等式对任意都有解,则需要其最大值对任意都非负,
即对任意恒成立,这显然是不可能的.故不符合题意.
因此，的取值范围是．
故答案为：
易错点6 基本不等式求最值忽略前提条件
易错典题
【例6】（24-25高三上·江苏·阶段练习）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】对于BCD：利用基本不等式运算求解注意取等条件成立条件是否成立；对于A：取特值代入检验.
【解析】对于选项A：令，可得，
所以4不是的最小值（易错点），
不能用基本不等式求此函数的最值，因为lnx与可能为负数
故A错误；
对于选项B：因为，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为4，故B正确；
对于选项C：因为，则，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为4，故C正确；
对于选项D：因为，则，
当且仅当，即时等号成立（易错点），
不能用基本不等式求最值，因为等号取不到
但，所以的最小值不为4，故D错误.
故选：BC.
【错因分析】如果忽略“一正”的判断容易错选A；如果忽略“等号”的检验容易错选D.
知识混淆：对基本不等式的各种变形式不熟悉，从而导致思维混乱.
概念模糊：忽视基本不等式成立的条件，从而导致无法正确转化.
望文生义：不管基本不等式是否适用，一遇求最值就用基本不等式生搬硬套.
避错攻略
【方法总结】通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
【知识链接】
1.几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”).
特例：（同号）.
（3）其他变形：
①(沟通两和与两平方和的不等关系式)
②(沟通两积与两平方和的不等关系式)
2.利用基本不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”
（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法
（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.
（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：
① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.
举一反三
【变式6-1】（24-25高三上·天津红桥·期中）已知，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．6 D．
【答案】C
【解析】由，则、，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为6.
故选：C
【变式6-2】（多选题）（2025·河南·模拟预测）已知均为正实数，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】选项A：，当且仅当时取等号，
又，，
均为正实数，
，即，当且仅当时取等号，故A正确；
选项B：，，
，当且仅当，即时，，而，故B错误；
选项C：，令，则，等式成立，此时，故C错误；
选项D：，
，变形可得，
设，则，故同号，
当时，
，当且仅当，即时等号成立；
当时，，，则，与矛盾，故不符合题意.
，当且仅当时等号成立，故D正确．
故选：．
【变式6-3】（24-25高三上·天津红桥·期中）若直线平分圆的周长，则的最小值为 .
【答案】4
【解析】圆即圆，则圆心为，
由题知直线过圆心，所以有，
所以，
当，即时，等号成立.
故答案为：.
一、单选题
1．（25-26高一上·安徽·期末）不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，整理可得，
等价于，解得，
所以不等式的解集为.
故选：A.
2．（25-26高三上·江苏无锡·月考）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，解得.
故选：C.
3．（2025高三下·江苏南通·专题练习）已知，，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由得，则 ，则，充分性成立；
由，若，，则，得不到，必要性不成立，
故 p是 q的充分不必要条件．
故选：A．
4．（25-26高三上·北京顺义·期末）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A，当时，，故A错误；
对于B，，，
又，，故B正确；
对于C，当时，符合，但，故C错误；
对于D，当时，，故D错误．
故选：B．
5．（25-26高三上·北京西城·月考）若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为不等式，当时恒成立，
所以.
当时，，
当且仅当时取等号.
所以.
故选：C
6．（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】因为，所以，所以.
那么.
因为，所以.
所以根据基本不等式的性质得，
当且仅当，即时等号成立.
此时取最小值为1.
故选：C.
7．（24-25年高三专题训练）已知对任意，恒成立，则实数x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对任意，不等式恒成立，
即对任意，恒成立，
所以对任意，恒成立，
所以对任意，，
所以，解得，
故实数x的取值范围是．
故选：D．
8．（2026·新疆·模拟预测）已知，，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，，此时，不合要求，舍去；
当时，，即，不合要求，舍去；
故，，
，解得，
又，故，
又，
令，则，
故，
令，则在上恒成立，
故在上单调递增，
又，当从负数一侧趋向于0时，趋向于，
所以的取值范围为.
故选：C
二、多选题
9．（2025·陕西·模拟预测）下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A，由题可知不等式有意义须需，则，
则，当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，当，即，时，有，故不等式不一定成立，故B错误；
对于C，由，则，
当且仅当，即时，等号成立，故C正确；
对于D，由题意知,，故,
故不等式成立，D正确．
故选：ACD
10．（25-26高三上·陕西商洛·月考）关于x的不等式的解集为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】对于关于x的不等式，显然且，
此时，可得，
则原不等式等价于，
因为不等式的解集为，
根据解集的端点个数可知，且，故D正确；
可知的解集为，
令，解得或，
若，则，且，可得，则，
可知，，为不等式的解集端点，
且，可以取到，不可以取到，
则，解得，故AC错误，B正确.
故选：BD.
11．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，实数，满足，则（ ）
A． B．的最大值为
C．的最小值为 D．
【答案】ACD
【解析】
依题意，当时，；当时，；
当时，；当时，；
因为实数，且，所以；所以，故A正确；
由，得，即，
即，即，所以；同理；
所以，故D正确；
因为，当且仅当，
即，时等号成立，但此时不满足，所以等号不成立，故B错误；
因为，当且仅当，
即，时等号成立，故C正确.
故选：ACD.
三、填空题
12．（25-26高三上·河南·月考）已知，，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为，又，，
则，所以，
故答案为：．
故答案为：.
13．（2025高三·全国·专题练习）已知正数a，b，c满足，，则的取值范围是
【答案】
【解析】令，，，
由题意知，则，
作出可行域如图所示，易知，，
所以．
故答案为：．
14．（25-26高三上·天津和平·期末）已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为 .
【答案】
【解析】若，当时，，，而，
乘积为负，不满足恒成立，故；
当时，乘积，解得，
则时，，故，不等式恒成立等价于，
对恒成立．由于二次函数开口向上，判别式，
故有两个实根，且根的乘积为，即一正一负．设正根为，则：
当时，；当时，．
当时，；当时，．
要使恒成立，需要二次函数的正根；
将代入，得，解得；
将代入，得；
由均值不等式，当且仅当时，即时等号成立；
又因为，满足，所以的最小值为．
故答案为：．
四、解答题
15．（25-26高一上·浙江·期中）已知函数.
(1)当时，求关于的不等式的解集；
(2)求关于的不等式的解集；
(3)若在区间上恒成立，求实数的范围.
【解析】（1）当时，，
则，所以.
即不等式的解集为.
（2）因为.
所以①当时，不等式的解集为；
②当时，不等式的解集为；
③当时，不等式的解集为；
综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
（3）由在区间上恒成立得在区间上恒成立
等价于在区间上恒成立.
因为，所以
则在区间上恒成立.
即，所以的取值范围是.
16．（2025·安徽·模拟预测）已知幂函数是上的偶函数，将函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移一个单位长度得到的图象.
(1)求函数的解析式，并求函数的值域；
(2)设，解关于的不等式：.
【解析】（1）因为是上的幂函数，所以，解得或，
又是偶函数，所以，所以，
所以.
因为的值域为，函数在上单调递增，
所以的值域为.
（2）由（1），即，可化为，
若，则解得或；若，解得；若，解得或；
综上，若，则不等式的解集为；若，则不等式解集为；若，则不等式的解集为.
17．（2025高三上·贵州贵阳·专题练习）在中，，，所对的边分别为，，，且不为直角，，其中是三角形外接圆半径.
(1)若，求的大小；
(2)求的最小值.
【解析】（1）在中，由及余弦定理得，
由正弦定理得，
则，
又因为A不为直角，且，则，
则，所以.
（2）由（1）知，，则，
因为A不为直角，所以，
则，得，
因此
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
18．（25-26高三上·广东汕头·期末）已知抛物线，过的焦点作直线交于两点，直线（为的顶点）交的准线于点.
(1)求证：；
(2)求的最小值.
【解析】（1）抛物线的焦点为 ，准线 ，顶点
设
因为直线过点；
所以，即
即，
因为，所以；
直线 AO 的方程为，代入准线，得；
因为，所以，所以，
所以点与的纵坐标相同，
因此 BP方程为，与准线垂直，
所以.
（2）令，则，则；
所以
所以；
当且仅当时取等，有最小值9.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题02 不等式与基本不等式
易错点1 忽略不等式性质成立的前提条件
易错典题
【例1】（25-26高一上·江西南昌二中月考）已知，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设（易错点）；
则解得
所以.
因为，所以
又，
两式相加得，
即.
【错因分析】一种常见的错误是由已知不等式求得的范围，再求的范围，从而导致范围扩大化.
知识混淆：有些不等式的性质是单向的，有些是双向的，要注意区分.
概念模糊：对求代数式的取值范围的逻辑推导不清晰，错误地多次用单向的不等式的可加性求解，从而导致所求范围扩大化.
望文生义：已知，想当然地去求a，b的范围，而多次使用不等式的可加性求不等式的范围这一过程不是互推的，从而非等价转化.
避错攻略
【方法总结】（1）利用几个代数式的范围求某一个代数式的范围时,不可多次将不等式相加,否则容易扩大范围.可以使用整体代换的思想或用待定系数法求解代数式的取值范围问题.
（2）一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．
【知识链接】
1 不等式的性质及推论
性质1：不等式的传递性：设a，b，c均为实数，如果a>b且b>c，那么 a>c
性质2：不等式的加法性质：设a，b，c均为实数，如果a>b，那么 a+c>b+c
性质3：不等式的乘法性质：设a，b，c均为实数，如果a>b且c>0，那么ac>bc，如果a>b且c<0，那么 ac推论1.
推论2.
推论3.
推论4.
推论5.
推论6.
推论7.
【提醒】（1）不等式的性质3中在不等式两边同乘一个因式时一定要判断正负；
推论1逆命题不成立，且“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”．
推论3、推论5、推论6、推论7中要注意成立的前提条件，即均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式．
2 判断不等关系成立的常用方法：
直接利用不等式的性质进行推理判断.；
比较法：一是作差比较：即作差、变形、判断差式与0的大小、下结论；二是作商法：即作商、变形、判断商式与1的大小、下结论.
构造函数利用函数的单调性；
特殊值排除法.
举一反三
【变式1-1】（2026·新疆乌鲁木齐·一模）若，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（25-26高三上·河南·月考）若，则的最小值是 .
【变式1-3】（2025高三·全国·专题练习）已知，若，，且，则实数c的取值范围是 ．
易错点2 解分式不等式时转化不等价
易错典题
【例2】（24-25甘肃兰州·期中）不等式的解为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】A
【解析】由，得（易错点），
由于分母x可以为负数，故此处不能直接去分母
即，因此（易错点），
注意分式不等式化为整式不等式时，不要忽略分母不为0这一限制条件
解得，
所以原不等式的解集为.
故选：A
【错因分析】解分式不等式时直接去分母或者未考虑分母不能为0这一条件，从而致错.
知识混淆：对分式不等式的解法理解不全面，从而直接仿整式不等式的求解方法求解.
概念模糊：忽视分母不能为0，从而未考虑这一条件.
望文生义：看到分式不等式，就直接去分母，而未注意到当分母为负数时，直接去分母不等号方向要改变.
避错攻略
【方法总结】（1）求解不等式时，一定要注意化简的等价性，如去分母时要保证分母不为0、平方时范围不能变大、两边同乘（除）一个因式时要注意判断因式的符号等.
（2）解分式不等式时，要先移项，将不等号右边化为0，再利用符号法则转化为整式不等式求解，转化后要注意不要遗漏“分母不能为0”这一限制条件.
【知识链接】1.解分式不等式的步骤：
⑴通过移项，将分式不等式右边化为零；
⑵左边进行通分，化为形如的形式；
2.分式不等式化为整式不等式的常见同解变形：
（1）；
；
；
；
举一反三
【变式2-1】（25-26高三上·全国·课后作业）不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（25-26高三上·江西景德镇·期末）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（25-26高三上·河北·月考）不等式的解集为 .
易错点3 一元二次型不等式恒成立问题混淆范围
易错典题
【例3】（25-26高三上·云南昆明·期中）若函数在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，，，
可转化为（易错点），
换元后要注意新元的取值范围与旧元的范围不同
又开口向上，且对称轴为，
在上单调递增，，
函数在上恒成立，即在上恒成立，
也就是（易错点），
本题容易错求成
，解得.
实数的取值范围为.
故选：C.
【错因分析】本题求解时容易忽略换元后新元范围发生变化，或者转化为函数y的最值时错求成
知识混淆：分离参数法解决不等式恒成立时分不清是该转化为求函数的最大值还是求最小值，从而产生错解.
概念模糊：对不等式恒成立的逻辑推导不清晰，未考虑换元后取值区间发生变化，导致思维存在漏洞.
望文生义：在求解时，想当然认为，而事实上是.
避错攻略
【方法总结】对于一元二次型不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方，解决一元二次不等式中的恒成立、能成立问题常常转化为求二次函数的最值或分离参数后求最值的方法解决问题．
【知识链接】1．一元二次不等式在R上的恒成立问题
①二次型不等式在上恒成立或者解集为时，满足或
②二次型不等式在上恒成立或者解集为时，满足或
③二次型不等式在上恒成立或者解集为时，满足或
④二次型不等式在上恒成立或者解集为时，满足或
2、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题
方法一：若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；
方法二：转化为函数值域问题，即已知函数的值域为，
则恒成立 ，即；
恒成立 ，即.
举一反三
【变式3-1】（25-26高二上·云南昭通·期末）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是 ．
【变式3-2】（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）若存在，使不等式成立，则a的取值范围是 ．
【变式3-3】（25-26高三上·天津河东·期末）已知，不等式，则实数的取值范围是 ．
易错点4 解含参不等式讨论不全
易错典题
【例4】（25-26高三上·宁夏中卫·月考）（1）关于的不等式：；
①当时，解不等式；
②当时，解不等式.
（2）已知函数，求函数的值域.
【解析】（1）①当时，，即，解得，
所以原不等式的解集为；
②当时，原不等式可化为，
若，不等式为，解得（易错点）；
讨论不全，漏掉a=0这一种情形
若，令，解得或，
当时，则，解得或；
当时，则，
若，则，解得；
若，原不等式为，解得（易错点）；；
讨论不全，漏掉a=0这一种情形
若，则，解得；
综上所述，若，不等式解集为；
若时，不等式解集为；
若，不等式解集为；
若，不等式解集为；
若，不等式解集为.
（2）因为函数的图象开口向下，对称轴为，
设函数的最大值为，最小值为，
当，即时，则，，
所以函数的值域为；
当，即时，则，，
所以函数的值域为；
当，即时，则，，
所以函数的值域为；
当，即时，则，，
所以函数的值域为；
综上所述：当时，函数的值域为；
当时，函数的值域为；
当时，函数的值域为；
当时，所以函数的值域为.
【错因分析】含参数一元二次不等式的求解最容易出现的错误就是讨论不全面，.
知识混淆：不能确定讨论的标准，本来对参数分类讨论，可能错误地对未知数x分类讨论.
概念模糊：对含参的一元二次不等式讨论顺序理解不够透彻，从而导致思路受阻，一般地：按二次项系数、根的判别式、两根大小这个顺序进行讨论.
望文生义：对含参不等式讨论时，凭直觉漏掉参数等于0的情形.
避错攻略
【方法总结】在求解过程紧抓三点就可以有效的避免失误：一是分析二次项系数是否需要讨论；而是分析方程根的存在型是否需要讨论；三是根的大小关系是否需要讨论.
【知识链接】
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
项目 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0) 的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0) 的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0) 的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0) 的解集 {x|x12 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
第一步(化标准)：通过对不等式变形，使不等式右侧为0，二次项系数为正；
第二步(判别式)：对不等式左侧进行因式分解，若不易分解，则计算相应方程的判别式；
第三步(求实根)：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根；
第四步(画图象)：根据一元二次方程根的情况画出相应的二次函数的图象；
第五步(写解集)：根据图象写出不等式的解集．
3 解含参数的一元二次不等式的一般步骤
【注意】
求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解，不能因式分解时再求判别式Δ，用求根公式计算．
举一反三
【变式4-1】（2026高三·全国·专题练习）设.
(1)若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式.
【变式4-2】（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知幂函数为偶函数．
(1)求的解析式；
(2)若，求的取值范围；
(3)当时，求不等式的解集．
易错点5 多变量不等式中混淆主元出错
易错典题
【例5】（24-25齐鲁名校共同体联考）已知函数是定义在，上的奇函数，对于任意，，，总有且（1）．若对于任意，，存在，，使成立，则实数的取值范围是　　
A． B．或
C．或 D．或或
【答案】D
【解析】是定义在，上的奇函数，
当、，，且时，有，
函数在，上单调递增．
（1），
的最小值为（1），最大值为（1），
若对于任意，，存在，，使成立（易错点），
先视x为主元，转化为
即对所有，恒成立，，
设（a）（易错点），
变更主元，将a视为自变量，t视为参系数
则满足，即，
或或，
故选：．
【错因分析】因为题设条件中含有两个变量的取值范围，易分不清主元而出错，此时可依次设定主元进行求解.
知识混淆：混淆不等式恒成立与不等式有解，混淆等式有解与恒等式，错因是相关知识掌握不够透彻.
概念模糊：未正确理解不等式恒成立的求解策略，从而导致思维受阻.
望文生义：遇到恒成立就分离参数，而有些问题分离参数后很难求解，此时往往对参数分类讨论求解.
避错攻略
【方法总结】关于不等式的恒成立问题，主元法是一个常用方法，所谓主元法就是在一个多元数学问题中以其中一个为“主元”，将问题化归为该主元的函数、方程或不等式等问题，其本质是函数与方程思想的应用． 有些看似复杂的问题，如果选取适当的字母作为主元，往往可以起到化难为易的作用.
【知识链接】含有双量词问题的类型
(1) x1，x2∈D，f(x1)≤g(x2)恒成立 ≤g(x2)min.
(2) x1∈D1， x2∈D2，使得f(x1)≥g(x2) f(x1)min≥g(x2)min.
(3) x1∈D1， x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2) f(x1)的值域与g(x2)的值域的交集非空.
(4) x1∈D1， x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2) f(x1)的值域是g(x2)值域的子集.
举一反三
【变式5-1】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 .
【变式5-2】（25-26高三上·天津和平·月考）已知定义在上的函数满足且，其中的解集为A.函数，，若，使得，则实数a的取值范围是 .
【变式5-3】（2026·福建·一模）若实数使得命题：“，使得，均有”是假命题，则的取值范围是 ．
易错点6 基本不等式求最值忽略前提条件
易错典题
【例6】（24-25高三上·江苏·阶段练习）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】对于BCD：利用基本不等式运算求解注意取等条件成立条件是否成立；对于A：取特值代入检验.
【解析】对于选项A：令，可得，
所以4不是的最小值（易错点），
不能用基本不等式求此函数的最值，因为lnx与可能为负数
故A错误；
对于选项B：因为，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为4，故B正确；
对于选项C：因为，则，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为4，故C正确；
对于选项D：因为，则，
当且仅当，即时等号成立（易错点），
不能用基本不等式求最值，因为等号取不到
但，所以的最小值不为4，故D错误.
故选：BC.
【错因分析】如果忽略“一正”的判断容易错选A；如果忽略“等号”的检验容易错选D.
知识混淆：对基本不等式的各种变形式不熟悉，从而导致思维混乱.
概念模糊：忽视基本不等式成立的条件，从而导致无法正确转化.
望文生义：不管基本不等式是否适用，一遇求最值就用基本不等式生搬硬套.
避错攻略
【方法总结】通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
【知识链接】
1.几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”).
特例：（同号）.
（3）其他变形：
①(沟通两和与两平方和的不等关系式)
②(沟通两积与两平方和的不等关系式)
2.利用基本不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”
（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法
（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.
（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：
① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.
举一反三
【变式6-1】（24-25高三上·天津红桥·期中）已知，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．6 D．
【变式6-2】（多选题）（2025·河南·模拟预测）已知均为正实数，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-3】（24-25高三上·天津红桥·期中）若直线平分圆的周长，则的最小值为 .
一、单选题
1．（25-26高一上·安徽·期末）不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26高三上·江苏无锡·月考）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025高三下·江苏南通·专题练习）已知，，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（25-26高三上·北京顺义·期末）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高三上·北京西城·月考）若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
7．（24-25年高三专题训练）已知对任意，恒成立，则实数x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2026·新疆·模拟预测）已知，，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2025·陕西·模拟预测）下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（25-26高三上·陕西商洛·月考）关于x的不等式的解集为，则（ ）
A． B． C． D．
11．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，实数，满足，则（ ）
A． B．的最大值为
C．的最小值为 D．
三、填空题
12．（25-26高三上·河南·月考）已知，，则的取值范围为 ．
13．（2025高三·全国·专题练习）已知正数a，b，c满足，，则的取值范围是
14．（25-26高三上·天津和平·期末）已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为 .
四、解答题
15．（25-26高一上·浙江·期中）已知函数.
(1)当时，求关于的不等式的解集；
(2)求关于的不等式的解集；
(3)若在区间上恒成立，求实数的范围.
16．（2025·安徽·模拟预测）已知幂函数是上的偶函数，将函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移一个单位长度得到的图象.
(1)求函数的解析式，并求函数的值域；
(2)设，解关于的不等式：.
17．（2025高三上·贵州贵阳·专题练习）在中，，，所对的边分别为，，，且不为直角，，其中是三角形外接圆半径.
(1)若，求的大小；
(2)求的最小值.
18．（25-26高三上·广东汕头·期末）已知抛物线，过的焦点作直线交于两点，直线（为的顶点）交的准线于点.
(1)求证：；
(2)求的最小值.
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