资源简介

专题2.1 函数性质（单调性、奇偶性、中心对称、轴对称、周期性）
近三年：1、函数的性质是近3年的高考命题热点，包括单调性、奇偶性、周期性与对称性；单一性质的题目减少，综合题成为绝对主流。特别是对称性+周期性的组合，是近年选择题压轴的热门模型。例如，给出一个函数有两条对称轴或一个对称中心加一条对称轴，推导其周期性，然后进行函数值求和。 2 会以基本初等函数、抽象函数或新定义/新情境函数为载体进行考核，内容贴近实际应用； 以选择题为主，考查内容、频率、题型、难度较为稳定，重点是集合间的基本运算． 3 解题方法上注重数形结合与转化化归，确定数学思考的渗透。 预测2026年：可能以选填题的形式考核：① “四性”综合小题：对称性与周期性的综合题仍是压轴小题的最大热门；② 比较大小，利用单调性比较指数、对数、幂函数值的大小，可能涉及中间量法；③函数零点问题：判断零点个数或所在区间，本质是函数与方程思想的应用，需结合单调性和零点存在定理。若出现在解答题中，会结合导数一起，会涉及到分类讨论，题目信息更接近生活，需要有较好的函数建模能力与应用意识。
题型01 奇偶性的基础
解｜题｜策｜略 1判断函数的奇偶性的方法有 ① 定义法 先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系： 若，则是偶函数；若，则是奇函数. ② 性质法 偶函数的和、差、积、商(分母不为)仍为偶函数；奇函数的和、差 (分母不为)仍为奇函数； 奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为)为偶函数； 2 奇偶性的性质 ① 偶函数关于轴对称； ② 奇函数关于原点对称； ③ 若奇函数定义域内含有，则。
1（2025·广东佛山·一模）设是定义在上的奇函数,当时，,则（ ）
A． B． C．4 D．-4
2（25-26高三上·重庆·月考）已知函数为奇函数，则（ ）
A．－1 B．1 C．0 D．－2
3（25-26高三上·辽宁·期中）设函数，则方程的所有解之和为（ ）
A． B．0 C．1 D．3
题型02 单调性求参数
解｜题｜策｜略 1 根据函数的特性，结合图象分析； 2 若已知分段函数的单调性，则先由单调性确定各段函数的参数取值范围，再数形结合使得各段函数之间也形成单调性，最终得到参数范围或其值； 3 若函数是奇偶函数，可先处理轴右侧函数部分，利用函数单调性求出参数，再结合对称性得到最后结果。
1（25-26高三上·安徽淮北·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2（25-26高二下·浙江·月考）已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3（25-26高三上·江西·期中）已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4（25-26高一上·辽宁·期中）已知函数，若对于任意的，且，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型03 单调性与奇偶性综合
解｜题｜策｜略 1 奇函数在轴两侧的单调性相同，偶函数在轴两侧的单调性相反； 2 处理奇偶函数的单调性，可以只需要严谨函数在轴右侧的单调性便可； 3 单调性与奇偶性结合的题目，常常用到数形结合，注意奇偶性的性质的运用。
1（25-26高三上·安徽·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2（2025·四川成都·模拟预测）如图是下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象，则该函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
3（25-26高三上·广东惠州·期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数为奇函数，且在单调递增
B．当时，函数为偶函数，且在单调递减
C．当时，函数为奇函数，且在单调递增
D．当时，函数为偶函数，且在单调递减
题型04 抽象函数的单调性与奇偶性
解｜题｜策｜略 判断抽象函数的单调性或奇偶性，我们都是利用它们的定义判断。
1（2025·辽宁·一模）对任意，都有，且不恒为0，函数，则（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
2（2025高三·上海·专题练习）已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A． B．为奇函数
C．有零点 D．
3（2025高三·全国·专题练习）已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．可能是单调递减函数
C．为奇函数 D．若，则
题型05 判断函数周期性
解｜题｜策｜略 1对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么把函数叫做周期函数，常数叫做这个函数的周期. 2若，则的周期是. 3 若，则的周期是； 4 若，则的周期是.
1（2025·福建泉州·模拟预测）定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
2（25-26高三上·广东广州·期中）已知定义域为的函数满足，，当时，，则（ ）
A． B．2 C． D．3
3（25-26高三上·山东泰安·期中）已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（ ）
A．6 B．4 C．2 D．0
题型06 抽象函数的赋值问题
解｜题｜策｜略 1 对于抽象函数的赋值问题，先要确定抽象函数的结构，大胆进行尝试，往往赋予一些特殊值（如取等）或特殊关系（如取等）。 2 了解常见的抽象函数模型 特殊模型抽象函数正比例函数幂函数或指数函数或对数函数或
3 遇到数值较大的，往往要用到函数的周期进行运算。
1（25-26高三上·浙江温州·月考）已知函数的定义域为为偶函数，且，则（ ）
A．47 B． C．1 D．2
2（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．－3 B．－2 C．0 D．1
3（2025·甘肃·模拟预测）已知偶函数满足：，且，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
题型07 中心对称型函数
解｜题｜策｜略 若函数定义域为且满足条件为常数)，则函数的图象关于点对称。
1（25-26高三上·江西·期中）已知函数，则的图象（ ）
A．关于对称 B．关于对称
C．关于对称 D．关于对称
2（25-26高三上·河南·期中）已知函数在区间上的值域为.若，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
3（2025·湖南郴州·一模）函数对，且为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若时，则
B．的周期为6
C．的图象关于中心对称
D．
题型08 一元三次函数型中心对称
解｜题｜策｜略 特殊的一元三次函数具有中心对称性，要求其对称中心，可直接根据中心对称的定义求解；也可以把函数进行变形再通过平移，转化为奇函数，便可得到对称中心.
1（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）已知函数，则函数的图像对称中心是（ ）
A． B． C． D．
2（25-26高三上·安徽·开学考试）已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．的图象关于对称 D．的图象关于对称
3（2025·全国·模拟预测）若函数，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
题型09 轴对称型函数
解｜题｜策｜略 若则有对称轴. 注意与函数周期性的“若，则的周期是”混淆。
1（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知函数，则（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
2（25-26高三上·江西·期中）已知函数，则（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．的图象关于对称 D．的图象关于对称
3（25-26高三上·山西太原·月考）已知函数满足，若函数与的图象有6个交点，交点横坐标为，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
题型10 两个函数的对称性问题
解｜题｜策｜略 1 轴对称 若函数定义域为，则两函数的图象关于直线对称. 特殊地，函数与函数的图象关于直对称. 2 中心对称 若函数定义域为，则两函数与的图象关于点对称. 特殊地，函数与函数图象关于点对称.
1（25-26高一上·天津宁河·期中）函数与的图象（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称
2（2025高三·全国·专题练习）设函数的定义域为，则函数与函数的图象关于（ ）
A．直线对称 B．直线对称
C．直线对称 D．直线对称
3（2025·四川成都·三模）函数与的图象（ ）
A．关于对称 B．关于对称
C．关于对称 D．关于对称
题型11 “四性”综合问题
解｜题｜策｜略 1 若函数同时关于直线对称则函数的周期 2若函数同时关于点对称，则函数的周期 3若函数同时关于直线对称，又关于点对称 则函数的周期 4若偶函数的图像关于直线对称，则为周期函数且 5若奇函数的图像关于直线对称，则为周期函数且。
1（25-26高二下·湖南·月考）已知函数为定义在上的偶函数，，且，则下列选项不正确的是（ ）
A． B．的图象关于点对称
C．以为周期的函数 D．
2（2025·陕西商洛·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，，现有下列4个结论：
①；
②的图象关于直线对称；
③是周期函数；
④.
其中结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．是的一个周期
B．是图象的一条对称轴
C．是图象的一个对称中心
D．在区间内单调递减
题型12 新定义中的函数性质
解｜题｜策｜略 1新定义问题，理解定义是关键，可以先通过具体例子感性上认识下，再通过其共性理解定义的本质； 2判断函数或其性质是否新定义，则严格按照新定义去作进行，其中要注意各符号或字母的含义，注意它们的先后顺序等。
1（2025高三·全国·专题练习）若定义在上的函数满足对任意，都有，其中，则称为函数.给出下列函数：①；②；③；④.其中是函数的个数为（ ）
A．2 B．4 C．1 D．3
2（2025高三·全国·专题练习）方程的曲线即为函数的图象，对于函数，有如下结论：①在上单调递减；②函数不存在零点；③函数 的值域是；④若函数和的图象关于原点对称，则由方程确定．其中所有正确的命题序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③
3（多选）（25-26高三上·广东揭阳·期中）若定义在上的函数的图象存在对称中心，且该函数的最大值与最小值的差不大于2，则称该函数是上的完美函数.下列判断正确的是（ ）
A．是上的完美函数
B．若是上的完美函数，则也是上的完美函数
C．是上的完美函数
D．存在，使得是上的完美函数
（建议用时：60分钟）
1（25-26高三上·山西吕梁·月考）已知，且．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2（25-26高三上·云南昆明·月考）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则、、的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则（ ）
A． B． C．2 D．1
4（25-26高三上·北京·开学考试）已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
5（2025·山东·模拟预测）若方程的非整数根是函数的一个零点，则图象的对称中心为（ ）
A． B． C． D．
6（2025·福建三明·三模）已知函数，若实数满足，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
7（2025高三·全国·专题练习）如果对定义在上的函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“函数”，给出下列函数：①；②；③；④以上函数是“函数”的所有序号为（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
8（多选）（2025·甘肃武威·模拟预测）对于定义域关于原点对称的函数，称“”为的奇分解函数，“”为的偶分解函数，则（ ）
A．奇分解函数为奇函数，偶分解函数为偶函数
B．函数的奇分解函数为
C．函数的偶分解函数为
D．若，则
9（2025·四川遂宁·二模）定义在上的函数满足，当时，恒成立.若，则实数的取值范围为 .
10（25-26高三上·江苏镇江·月考）已知函数，其导函数记作.
(1)当时，求函数图象对称中心的坐标；
(2)若方程与存在非零公共根，证明：为函数的极小值点.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题2.1 函数性质（单调性、奇偶性、中心对称、轴对称、周期性）
近三年：1、函数的性质是近3年的高考命题热点，包括单调性、奇偶性、周期性与对称性；单一性质的题目减少，综合题成为绝对主流。特别是对称性+周期性的组合，是近年选择题压轴的热门模型。例如，给出一个函数有两条对称轴或一个对称中心加一条对称轴，推导其周期性，然后进行函数值求和。 2 会以基本初等函数、抽象函数或新定义/新情境函数为载体进行考核，内容贴近实际应用； 以选择题为主，考查内容、频率、题型、难度较为稳定，重点是集合间的基本运算． 3 解题方法上注重数形结合与转化化归，确定数学思考的渗透。 预测2026年：可能以选填题的形式考核：① “四性”综合小题：对称性与周期性的综合题仍是压轴小题的最大热门；② 比较大小，利用单调性比较指数、对数、幂函数值的大小，可能涉及中间量法；③函数零点问题：判断零点个数或所在区间，本质是函数与方程思想的应用，需结合单调性和零点存在定理。若出现在解答题中，会结合导数一起，会涉及到分类讨论，题目信息更接近生活，需要有较好的函数建模能力与应用意识。
题型01 奇偶性的基础
解｜题｜策｜略 1判断函数的奇偶性的方法有 ① 定义法 先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系： 若，则是偶函数；若，则是奇函数. ② 性质法 偶函数的和、差、积、商(分母不为)仍为偶函数；奇函数的和、差 (分母不为)仍为奇函数； 奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为)为偶函数； 2 奇偶性的性质 ① 偶函数关于轴对称； ② 奇函数关于原点对称； ③ 若奇函数定义域内含有，则。
1（2025·广东佛山·一模）设是定义在上的奇函数,当时，,则（ ）
A． B． C．4 D．-4
【答案】D
【分析】根据奇函数的性质将转化为即可.
【详解】是定义在上的奇函数，
.
故选：D.
2（25-26高三上·重庆·月考）已知函数为奇函数，则（ ）
A．－1 B．1 C．0 D．－2
【答案】B
【分析】根据奇函数定义结合余弦函数的诱导公式计算求参即可
【详解】因为函数为奇函数，
所以
，
所以，即得恒成立，
所以.
故选：B.
3（25-26高三上·辽宁·期中）设函数，则方程的所有解之和为（ ）
A． B．0 C．1 D．3
【答案】B
【分析】先判断函数为偶函数，再由对称性可求出方程的所有解之和.
【详解】因为，所以函数为偶函数，其图像关于轴对称，
因为，所以不是方程的解，若为方程的解，则，
由为偶函数可知，，所以也是方程的解，
因此，方程的非零解成对出现，其和为0，故方程的所有解之和为0.
故选：B.
题型02 单调性求参数
解｜题｜策｜略 1 根据函数的特性，结合图象分析； 2 若已知分段函数的单调性，则先由单调性确定各段函数的参数取值范围，再数形结合使得各段函数之间也形成单调性，最终得到参数范围或其值； 3 若函数是奇偶函数，可先处理轴右侧函数部分，利用函数单调性求出参数，再结合对称性得到最后结果。
1（25-26高三上·安徽淮北·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分段函数的单调性，分段分析即可，注意分段点出也要满足单调增.
【详解】当时， ，显然为增函数，
当时， ，此时为开口向下的二次函数，所以对称轴，
即即可，
当时，，
故的取值范围是，
故选：B.
2（25-26高二下·浙江·月考）已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合指数函数、幂函数的单调性确定的单调性，构造函数并探讨奇偶性，再利用性质求解不等式.
【详解】函数在上单调递增，则函数在上单调递增，
令，则函数在上单调递增，
，即函数是奇函数，
不等式
，则，
依题意，在上恒成立，而当时，，当且仅当时取等号，
则，所以实数的取值范围是.
故选：D
3（25-26高三上·江西·期中）已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，利用导数判断是增函数，由奇偶性的定义可得是奇函数，由此可将不等式转化为，即可求得实数的取值范围.
【详解】令函数，则恒成立，所以是增函数.
又，且，所以是奇函数.
由，得，
即,
所以，解得.
故选：A.
4（25-26高一上·辽宁·期中）已知函数，若对于任意的，且，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数，由题意可知函数在上单调递增，列不等式求解即可.
【详解】因为对于任意的，且，都有成立，
不等式两边同时除以，
可得，移项有，
构造函数，
则，所以函数在上单调递增，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
题型03 单调性与奇偶性综合
解｜题｜策｜略 1 奇函数在轴两侧的单调性相同，偶函数在轴两侧的单调性相反； 2 处理奇偶函数的单调性，可以只需要严谨函数在轴右侧的单调性便可； 3 单调性与奇偶性结合的题目，常常用到数形结合，注意奇偶性的性质的运用。
1（25-26高三上·安徽·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】通过求导确定函数单调性，再结合函数奇偶性即可求解.
【详解】当时，，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
又因为，且时，
所以当时，，
当时，.
由奇函数的性质：当时，，
当时，.
对于不等式，
当时，只需，所以或，
解得或，又，则；
当时，只需，所以或，
解得或，又，则.
综上所述，的取值范围是.
故选：D.
2（2025·四川成都·模拟预测）如图是下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象，则该函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用函数图象并结合奇偶性的定义与函数值的正负逐个排除求解即可.
【详解】根据图象可知，是奇函数，
对于A，由题意得，
则是奇函数，符合题意，故A正确，
对于B，，
则是奇函数，令，则，
当时，在上单调递减，
则，与图象不符，故B错误，
对于C，由题意得，，
则，
可得不是奇函数，故C错误，
对于D，由题意得，
，
则
可得不是奇函数，故D错误.
故选：A.
3（25-26高三上·广东惠州·期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数为奇函数，且在单调递增
B．当时，函数为偶函数，且在单调递减
C．当时，函数为奇函数，且在单调递增
D．当时，函数为偶函数，且在单调递减
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的定义，结合导数确定在上的单调性逐项判断.
【详解】函数的定义域为R，
对于CD，当时，，，
，函数是奇函数，不是偶函数，
又，函数在上单调递增，C正确，D错误；
对于AB，当时，，，，
函数是偶函数，不是奇函数，在上单调递增，
当时，，函数在上单调递增，AB错误.
故选：C
题型04 抽象函数的单调性与奇偶性
解｜题｜策｜略 判断抽象函数的单调性或奇偶性，我们都是利用它们的定义判断。
1（2025·辽宁·一模）对任意，都有，且不恒为0，函数，则（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】利用赋值法可得，进而可求的值.
【详解】令，可得，所以，
令，可得，
因为不恒为0，所以，所以是奇函数，
因为，
所以.
故选：B.
2（2025高三·上海·专题练习）已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A． B．为奇函数
C．有零点 D．
【答案】D
【分析】令，求得，可判定A不正确；由，得到函数的图象不过坐标原点，可判定B不正确；令，求得或，可判定C不正确；令，化简求得，可判定D正确.
【详解】对于A，因为，令，可得，
因为，所以，所以A不正确；
对于B，由函数的定义域为，且，显然函数的图象不过坐标原点，所以函数不是奇函数，所以B不正确；
对于C，令，得，即，
解得或，显然函数没有零点，所以C不正确；
对于D，令，可得，即，
所以，所以D正确.
故选：D.
3（2025高三·全国·专题练习）已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．可能是单调递减函数
C．为奇函数 D．若，则
【答案】B
【分析】由单调函数性质，奇函数定义结合赋值法可判断各选项正误.
【详解】因为定义在R上的单调函数，则，时.
对于A，令，则或，
若，则对，取，都有，不满足单调函数性质，
故，故A正确；
对于B，令，则或
由，则舍去，得，
因，结合为定义在R上的单调函数，则只能是单调递增函数，故B错误；
对于C，令，则或（舍），
则，取，
则，又定义域为R，则为奇函数，故C正确；
对于D，令，则，
令，则，
则，故D正确.
故选：B
题型05 判断函数周期性
解｜题｜策｜略 1对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么把函数叫做周期函数，常数叫做这个函数的周期. 2若，则的周期是. 3 若，则的周期是； 4 若，则的周期是.
1（2025·福建泉州·模拟预测）定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件，利用函数的性质，得，再将代入，即可求解.
【详解】因为奇函数，又，知的一个周期为，
所以，
又当时，，所以，则，
故选：D.
2（25-26高三上·广东广州·期中）已知定义域为的函数满足，，当时，，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【分析】依题意可得为奇函数，再由，推出是周期为的周期函数，由求出的值，最后根据周期性计算可得.
【详解】因为定义域为的函数满足，则为奇函数，
又，所以，
所以，则是周期为的周期函数，
又因为，即，
又当时，，所以，解得，
所以 ，
所以.
故选：A
3（25-26高三上·山东泰安·期中）已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（ ）
A．6 B．4 C．2 D．0
【答案】A
【分析】依题意可得，再由为奇函数，得到，两边求导，得到，即可求出是以为周期的周期函数，再由及周期性计算可得.
【详解】因为，，
所以，，
则，即，
又为奇函数，所以，所以，
即，
所以，所以，
所以是以为周期的周期函数，
所以，，，
又，所以，，即，
所以
.
故选：A
题型06 抽象函数的赋值问题
解｜题｜策｜略 1 对于抽象函数的赋值问题，先要确定抽象函数的结构，大胆进行尝试，往往赋予一些特殊值（如取等）或特殊关系（如取等）。 2 了解常见的抽象函数模型 特殊模型抽象函数正比例函数幂函数或指数函数或对数函数或
3 遇到数值较大的，往往要用到函数的周期进行运算。
1（25-26高三上·浙江温州·月考）已知函数的定义域为为偶函数，且，则（ ）
A．47 B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据题意可得函数是周期函数，用赋值法可求得，利用周期函数的性质即可得到结果.
【详解】因为函数的定义域为,且所以，且，即.
因为函数为偶函数，所以.
所以，所以函数是周期为4的周期函数.
所以.
故
故选：C.
2（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．－3 B．－2 C．0 D．1
【答案】B
【分析】根据抽象函数的等式和相关条件，通过赋值求得，推得函数为偶函数，以及函数的一个周期为6，依次求出的值，利用函数的周期性即可求得答案.
【详解】因为，令可得，，所以，
令可得， ，即，所以函数为偶函数，
令得，，则有，
从而可得，，故，
即 ，所以函数的一个周期为6．
因为，
， ，
所以．
因为2025除以6余3，所以．
故选：B．
3（2025·甘肃·模拟预测）已知偶函数满足：，且，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】用代换，可得，联立方程组，求得，结合函数为偶函数，且，得到，可则是周期为的函数，令，求得，结合，即可求解.
【详解】由，用代换，可得，
联立方程组，可得，即，
又由函数为偶函数，且，可得与同号，
所以，可得函数是周期为的函数，
因为，与同号，则，
令，可得，所以，
则.
故选：C.
题型07 中心对称型函数
解｜题｜策｜略 若函数定义域为且满足条件为常数)，则函数的图象关于点对称。
1（25-26高三上·江西·期中）已知函数，则的图象（ ）
A．关于对称 B．关于对称
C．关于对称 D．关于对称
【答案】D
【分析】求出的定义域可判断A，C不正确；根据为奇函数可判断B不正确，D正确.
【详解】由，得，解得，
所以的定义域为，故A，C不正确；
又，
所以为奇函数，图像关于原点对称，
则的图象关于对称，故B不正确，D正确
故选：D.
2（25-26高三上·河南·期中）已知函数在区间上的值域为.若，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】根据给定函数，探求其对称性及单调性，由此求出目标值.
【详解】函数，则
，因此函数的图象关于点对称，
函数在上都单调递增，因此函数在上单调递增，
则，而，所以.
故选：B
3（2025·湖南郴州·一模）函数对，且为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若时，则
B．的周期为6
C．的图象关于中心对称
D．
【答案】C
【分析】对于A选项，首先通过奇偶性得：，然后根据已知条件通过赋值进行求解；
对于B选项，根据奇偶性及周期性的结论进行求解即可；
对于C选项，通过奇偶性可得函数关于中心对称，再根据函数周期性即可判断正误；
对于D选项，利用函数周期性可得：，再根据通过赋值可得：，进而可以判断选项正误.
【详解】对于A选项，已知为奇函数，则有，
令，得：，
又，令，得：，
因此可得：，故A选项错误.
对于B选项，已知为奇函数，则有，
又，则有，
由此可得：，即有：
因此可得：的周期为，故B选项错误.
对于C选项：已知为奇函数，则有，
因此可得：函数关于中心对称，又函数的周期为，
所以关于中心对称，故C选项正确；
对于D选项：已知函数的周期为，则有，
又，令，得：，
因此可得：，即，故D选项错误.
故选：C
题型08 一元三次函数型中心对称
解｜题｜策｜略 特殊的一元三次函数具有中心对称性，要求其对称中心，可直接根据中心对称的定义求解；也可以把函数进行变形再通过平移，转化为奇函数，便可得到对称中心.
1（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）已知函数，则函数的图像对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】任意取函数上的一点，逐项写出其中心对称点，代入函数检验，可得答案.
【详解】任意取函数上一点，则，
对于A，点关于点成中心对成的点为点，
，故A错误；
对于B，点关于点成中心对成的点为点，
，故B错误；
对于C，点关于点成中心对成的点为点，
，故C正确；
对于D，点关于点成中心对成的点为点，
，故D错误.
故选：C.
2（25-26高三上·安徽·开学考试）已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．的图象关于对称 D．的图象关于对称
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性定义、判定方法可判断A，B两项；利用函数的对称性判定方法可判断C，D 两项.
【详解】对于A，因
，即，故函数关于点成中心对称，
故函数的图象关于原点成中心对称，即是奇函数，故A说法正确；
对于B，因的定义域为，关于原点对称，
且，即是偶函数，故B说法正确；
对于C，设，由，
即，故函数的图象关于对称，故C说法正确；
对于D，设，由，
显然不成立，故的图象不关于对称，即D说法错误.
故选：D.
3（2025·全国·模拟预测）若函数，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用导数得出函数的单调性，再判断出函数的对称性，进而可得出的大小关系，再逐一判断各个选项即可.
【详解】由，得，
所以是增函数，
又，，
所以，
则，即点是图象的对称中心，
所以，
所以，即，
则，即，，且，
对于A，若，，则，故A错误；
对于B，若，且，则，故B错误；
对于C，因为函数在上是增函数，所以，故C正确；
对于D，若，，则有，故D错误.
故选：C.
题型09 轴对称型函数
解｜题｜策｜略 若则有对称轴. 注意与函数周期性的“若，则的周期是”混淆。
1（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知函数，则（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
【答案】C
【分析】由函数的对称性逐项判断即可；
【详解】对于A：，A错；
对于B：，B错；
对于C：由，
所以关于直线对称，C对；
对于D，，故D错；
故选：C
2（25-26高三上·江西·期中）已知函数，则（ ）
A．是奇函数
B．是偶函数
C．的图象关于对称
D．的图象关于对称
【答案】D
【分析】计算即可判断AB，计算即可判断C，计算即可判断D.
【详解】因为既不是奇函数也不是偶函数，故A错误，B错误；
又，故的图象不关于对称，故C错误；
因为，故的图象关于对称，故D正确；
故选：D.
3（25-26高三上·山西太原·月考）已知函数满足，若函数与的图象有6个交点，交点横坐标为，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】D
【分析】由函数的对称性易得和的图象都关于直线对称，从而根据对称性求解两个图象所有交点横坐标的和.
【详解】由知的图象关于直线对称，
又的图象也关于直线对称，
所以函数与的图象有6个交点，分3对分别关于直线对称，
每对交点的横坐标之和为4，所以.
故选：D.
题型10 两个函数的对称性问题
解｜题｜策｜略 1 轴对称 若函数定义域为，则两函数的图象关于直线对称. 特殊地，函数与函数的图象关于直对称. 2 中心对称 若函数定义域为，则两函数与的图象关于点对称. 特殊地，函数与函数图象关于点对称.
1（25-26高一上·天津宁河·期中）函数与的图象（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称
【答案】B
【分析】根据两函数图象上的点的对应关系即可判断.
【详解】易知，
显然函数上的点关于y轴的对称点都在函数图象上，
可知函数与的图象关于y轴对称.
故选：B
2（2025高三·全国·专题练习）设函数的定义域为，则函数与函数的图象关于（ ）
A．直线对称 B．直线对称
C．直线对称 D．直线对称
【答案】D
【分析】根据点对称,即可判断两个函数的对称.
【详解】设函数的图象上任意一点，则，
关于直线的对称点为．
又函数中，当时，，
所以在的图象上．
故函数与函数的图象关于直线对称，
故选：D
3（2025·四川成都·三模）函数与的图象（ ）
A．关于对称 B．关于对称
C．关于对称 D．关于对称
【答案】D
【分析】首先得到曲线关于的对称曲线为，再对比系数得到方程求出，即可得解.
【详解】因为曲线关于的对称曲线为，即，
与对比系数可知，解得，
所以函数与的图象关于对称．
故选：D
题型11 “四性”综合问题
解｜题｜策｜略 1 若函数同时关于直线对称则函数的周期 2若函数同时关于点对称，则函数的周期 3若函数同时关于直线对称，又关于点对称 则函数的周期 4若偶函数的图像关于直线对称，则为周期函数且 5若奇函数的图像关于直线对称，则为周期函数且。
1（25-26高二下·湖南·月考）已知函数为定义在上的偶函数，，且，则下列选项不正确的是（ ）
A． B．的图象关于点对称
C．以为周期的函数 D．
【答案】D
【分析】令，求出可判断A；利用和得出可判断B正确；利用周期函数的定义和求出周期可判断C；赋值法求出，结合周期可判断D.
【详解】因为函数为定义在上的偶函数，
所以，，
对于A，令，可得，
因为，可得，故A正确；
对于B，因为，
所以，
可得，
从而，
又因为，可得，
所以，可得，
所以的图象关于点对称，故B正确；
对于C，因为，
所以，所以，
可得，所以有，
所以以6为周期的函数，故C正确；
对于D，，，令可得，可得，
令可得，可得，
令可得，可得，
令可得，可得，所以，
所以，故D错误.
故选：D.
2（2025·陕西商洛·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，，现有下列4个结论：
①；
②的图象关于直线对称；
③是周期函数；
④.
其中结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据所给等式，结合赋值法推导出函数的对称轴及周期，再逐项分析即可.
【详解】因为，
所以，
所以，即，
所以是周期为4的周期函数，则③正确.
令，得，
则，从而，故①错误；
因为，
所以，
所以，
所以的图象关于直线对称，则②正确；
易得的周期为4，且其图象关于直线及对称，
则直线及均为图象的对称轴，
从而.
令，得，
即，
则，
故
，故④正确.
故选：.
3（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．是的一个周期 B．是图象的一条对称轴
C．是图象的一个对称中心 D．在区间内单调递减
【答案】B
【分析】法一：利用排除法，取特值检验即可；法二：根据周期性的定义判断A；根据对称性的定义判断BC；利用导数判断在区间内单调性，进而判断D.
【详解】法一：（排除法）因为，
，
即，所以不是的一个周期，故A错误；
且，所以不是图象的一个对称中心，故C错误；
又因为，
即，所以在区间内不单调递减，故D错误；
法二：A：因为
即，所以不是的一个周期，故A错误；
B：因为 ，
即，所以是图象的一条对称轴，故B正确；
C：因为，
即，所以不是图象的一个对称中心，故C错误；
D：因为
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
所以在区间内不单调递减，故D错误；
故选：B.
题型12 新定义中的函数性质
解｜题｜策｜略 1新定义问题，理解定义是关键，可以先通过具体例子感性上认识下，再通过其共性理解定义的本质； 2判断函数或其性质是否新定义，则严格按照新定义去作进行，其中要注意各符号或字母的含义，注意它们的先后顺序等。
1（2025高三·全国·专题练习）若定义在上的函数满足对任意，都有，其中，则称为函数.给出下列函数：①；②；③；④.其中是函数的个数为（ ）
A．2 B．4 C．1 D．3
【答案】D
【分析】由题可得，由题设可得：若过函数图象上任意两不同点的割线的斜率小于0，则函数为“函数”.结合导数的几何意义，可知函数的导数在定义域上恒成立.逐项求导研究导数的符号即可求解.
【详解】由题可得，
由题设可得：若过函数图象上任意两不同点的割线的斜率小于0，则函数为“函数”.
结合导数的几何意义，可知函数的导数在定义域上恒成立.
的定义域为，恒成立，
所以是函数，故①正确；
的定义域为，恒成立，
所以是函数，故②正确；
的定义域为，不是，所以不是函数，故③错误；
的定义域为，恒成立，所以是函数，故④正确.
故选：D.
2（2025高三·全国·专题练习）方程的曲线即为函数的图象，对于函数，有如下结论：①在上单调递减；②函数不存在零点；③函数 的值域是；④若函数和的图象关于原点对称，则由方程确定．其中所有正确的命题序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③
【答案】D
【分析】由题对分正负求解方程，根据解析式确定单调性及值域可确定①③；对于②，由①得三种情况，结合双曲线性质即可判定；对于④，利用对称性，得到的方程即可.
【详解】对于①，当，方程为不成立；
当时，方程，解得，
又，所以此时函数在上单调递减；
当时，方程，解得，
又，所以此时函数在上单调递减；
当时，方程，解得，
此时函数在上单调递减；
易知函数连续，所以在上单调递减，故①正确；
对于②，，即，
由①知，时，，而无交点；
而和，方程为或都代表双曲线，
且它们有相同的渐近线方程，此时也无交点，
所以函数不存在零点，故②正确；
对于③，当时，，易得，
时，，易得，
又函数连续，所以函数 的值域是，故③正确；
对于④，设上的点为，上的点为，
又它们关于原点对称，所以，
所以，即，
所以由方程确定，故④错误；
故选：D.
3（多选）（25-26高三上·广东揭阳·期中）若定义在上的函数的图象存在对称中心，且该函数的最大值与最小值的差不大于2，则称该函数是上的完美函数.下列判断正确的是（ ）
A．是上的完美函数
B．若是上的完美函数，则也是上的完美函数
C．是上的完美函数
D．存在，使得是上的完美函数
【答案】ACD
【分析】选项A利用函数奇偶性找出对称中心，再利用基本不等式求最值结合定义即可得出，根据定义分析即可得出选项B，先判断奇偶性，然后利用函数导数判断函数单调性以及复合函数单调性，求出函数最值分析即可得出选项C，利用函数导数分析函数单调性从而求出最值作差得出的条件，然后验证对称性即可得出D选项.
【详解】对于A，令，则函数的定义域为，关于原点对称，
由，可知该函数为奇函数，对称中心为，
当时，，当且仅当时取到等号，
当时， ，当且仅当时取到等号，
当时，，故最大值为，最小值为，两者的差为2，符合题意，故A正确；
对于B，若是上的完美函数，设其对称中心为，则的对称中心为，
因的最值的差为最值的差的2倍，若的最值的差为2，则最值的差为4，不满足定义，故B不正确；
对于C，关于原点对称，令，
由
，即函数为奇函数，对称中心为，
令，则，当时，显然，
当时，，故在上单调递减，
又在定义域上单调递增，故在上单调递减，
所以，
，
则
因 ，
所以，满足题意，故C正确；
对于D，因，则，
因为，所以，
当时，，所以在上单调递减，
故，
当时，，所以在上单调递增，
故，
故的最值差为，
又
，即函数关于点对称，
即存在满足题意，故D正确.
故选：ACD.
（建议用时：60分钟）
1（25-26高三上·山西吕梁·月考）已知，且．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由单调性定义可列出相应不等式组，计算即可得.
【详解】由题意可得，解得，
故实数的取值范围是.
故选：C.
2（25-26高三上·云南昆明·月考）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则、、的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由偶函数性质可得，再利用函数单调性即可判断.
【详解】由是定义在上的偶函数，则，
由在上是增函数，则，
即有.
故选：C.
3（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】D
【分析】根据已知确定在时，函数具有周期性，然后结合偶函数定义可把转化到已知解析式的区间上求解即可．
【详解】，都有，
即当时，函数具有周期性，且周期为4，
又是偶函数，.
故选：D.
4（25-26高三上·北京·开学考试）已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知条件得到的图象关于对称，从而可知在上为增函数，在上为减函数，且，再画出折线图表示出函数的单调性，即可得到答案.
【详解】因为数满足.
所以的图象关于对称.
因为函数对任意，且，都有成立，
所以在上为增函数.
又因为的图象关于对称，，
所以在为减函数，且.
用折线图表示函数的单调性，如图所示：
由图知：.
故选：D.
5（2025·山东·模拟预测）若方程的非整数根是函数的一个零点，则图象的对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求方程的非整数根，代入函数即可求得，最后验证和即可求解.
【详解】由有，得或（舍去），
所以，
即，所以，
所以，所以函数图象的对称中心为，
，
故选：B.
6（2025·福建三明·三模）已知函数，若实数满足，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】先证明，进而可得，设，则直线与椭圆有交点，联立方程，则，即可得解.
【详解】，
，
则，
又因为，
所以，即，
设，
则直线与椭圆有交点，
联立，得，
则，解得，
所以的最大值为.
故选：C.
7（2025高三·全国·专题练习）如果对定义在上的函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“函数”，给出下列函数：①；②；③；④以上函数是“函数”的所有序号为（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】B
【分析】根据题意由所给条件利用函数单调性定义可得函数是定义在上的增函数，再由导数对各函数进行判断即可.
【详解】因为对于任意给定的不等实数，不等式恒成立，
所以不等式等价为恒成立，即函数是定义在上的增函数．
①，导函数存在变号零点，即函数在定义域上不单调，不合题意；
②，，函数单调递增，满足条件．
③为增函数，满足条件．
④当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，不满足条件．
综上，满足“函数”的函数为②③，
故选：B．
8（多选）（2025·甘肃武威·模拟预测）对于定义域关于原点对称的函数，称“”为的奇分解函数，“”为的偶分解函数，则（ ）
A．奇分解函数为奇函数，偶分解函数为偶函数
B．函数的奇分解函数为
C．函数的偶分解函数为
D．若，则
【答案】ABD
【分析】利用函数的奇偶性结合函数新定义可判断A；由函数新定义结合余弦诱导公式可判断B、C；利用偶函数的性质和裂项相消法可判断D.
【详解】对于A，因为，
所以为奇函数，
因为，
所以为偶函数，故A正确；
对于B，的奇分解函数为，故B正确；
对于C，的偶分解函数为，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：ABD.
9（2025·四川遂宁·二模）定义在上的函数满足，当时，恒成立.若，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】构造函数，可得出该函数为偶函数，利用导数分析出函数在上单调递增，进而可得出该函数在上单调递减，将所求不等式变形为，可得，可得出，由此可解得实数的取值范围．
【详解】由可得，
构造函数，则，
所以，函数为偶函数，
当时，，
所以，函数在上单调递增，则该函数在上单调递减，
，
由得，
即，即，则，
由于函数在上单调递减，所以，，解得，
因此，实数的取值范围是．
故答案为：．
10（25-26高三上·江苏镇江·月考）已知函数，其导函数记作.
(1)当时，求函数图象对称中心的坐标；
(2)若方程与存在非零公共根，证明：为函数的极小值点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据的特征，验证即可求得其函数的对称中心；
（2）根据题意，分与讨论，当时，再分或讨论求解即可证明.
【详解】（1）解：因为，即；
所以，，
所以，函数图象对称中心的坐标为.
（2）解：令，有；
此外，；
又因为方程与存在非零公共根，
若，，其根为，与不存在非零公共根，不符合题意；
若，则有或，
当时，解得；
当时，，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
因此是的极小值点.
当时，由，解得，
此时，与得到的情况一致.
综上，为函数的极小值点.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑