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专题02 数列解答题
题型01 裂项相消求和
【例1-1】（2025·四川眉山·模拟预测）在数列中，，.
(1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，；(2)
【分析】（1）由题中递推数列化简为，从而可求解.
（2）由（1）结论可得，再利用裂项相消求和从而可求解.
【详解】（1）因为，所以，
所以.
因为，所以， 则数列是首项为2，公差为1的等差数列，
从而，故.
（2）由（1）可知， 则，
故.
【例1-2】（2025·浙江·一模）已知渐近线为的双曲线过点，过点且斜率为的直线交双曲线于异于的点，记的面积为.
(1)求双曲线的方程；
(2)求；
(3)证明：.
【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析.
【分析】（1）双曲线的方程为代入计算得解；
（2）联立方程与，解得的横坐标.求出，计算，代入得解；
（3）将利用放缩法得到，利用裂项相消求解.
【详解】（1）设双曲线的方程为，
代入得，故双曲线的方程为.
（2）联立方程与，解得的横坐标.
因为，
故
，
所以.
（3）因为，
故
，
当时成立. 故.

【变式1-1】（2025·河南·模拟预测）已知函数，，记的零点为.
(1)求；
(2)求数列中的最小项；
(3)证明：.
【答案】(1)1；(2)；(3)证明见解析
【分析】（1）对求导，确定单调性即可求解；
（2）由通过作差得到，构造函数利用其单调性，确定数列单调性即可求解；
（3）令，求导确定单调性，得到，再通过，分别令和，即可证.
【详解】（1）当时，，定义域为，
在上恒成立，所以在上单调递增，
又，所以有唯一零点1，即；
（2）由的零点为，得，
两式相减得：，即，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以由，得到，
所以，所以数列是递增数列，
所以数列中的最小项是；
（3）令，则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，当且仅当时，等号成立，即，
因为，所以,
所以，
所以，
所以
在中，令，得当且仅当时，等号成立，
当时，，
所以当且仅当时，，中等号成立，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
当时，在中，令，得，所以，
所以当时，
，
当时，成立，所以，
综上得证.
【变式1-2】（2025·四川泸州·一模）已知数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由与的关系列式计算可得，利用等比数列通项公式求解即可；
（2）由（1）可得，化简，利用裂项相消法计算求解.
【详解】（1）已知，当时，有，
用减去，根据，
可得：，即，
当时，，
又，所以，此时，满足，
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，即，
（2）由（1）可得，
又，所以，化简可得，
则，
所以．
所以数列的前项和为：
．
【变式1-3】（2025·浙江宁波·一模）记为正项数列的前项和，已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，，求证：.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【分析】（1）由与关系结合题意可得答案；
（2）由（1）结合累乘法可得，从而可得通项公式，然后由裂项求和法可得答案.
【详解】（1）当时，可得，当时，，.
作差可得，
因为是正项数列，所以，即数列为等差数列，
所以.
（2）由题可得，
所以，又，
所以，
又也满足上式，
所以，
题型02 错位相减求和
【例2-1】（2025·吉林松原·模拟预测）已知数列为等差数列，且，数列满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由求出的通项公式，由等比数列定义求出的通项公式；
（2）利用错位相减求和可得答案.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由，得，
解得.
所以.
由数列满足，得，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以；
（2）由（1），得，
则，
则，
两式作差，得
所以.
【例2-2】（2025·河南·模拟预测）已知数列为等比数列，数列的前项和为，且，，.
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)，；(2)
【分析】（1）由等比数列通项公式基本量的计算和与的关系即可求解；
（2）由错位相减法即可求解.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
由，，得，即，所以，
由，当时，，
所以，，
当时，，满足上式，所以.
（2）由（1）得，
则，
两边同时乘以2，得，
两式作差得，
所以
一、错位相减法求数列的前n项和
（1）适用条件
若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和．
（2）基本步骤
（3）注意事项
①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；
【变式2-1】（2025·湖北孝感·模拟预测）已知正项数列满足：.
(1)证明是等比数列，并求通项；
(2)若，求数列的前项和的表达式.
【答案】(1)证明见解析；；(2).
【分析】（1）根据递推关系即可证明等比数列，进而求得通项公式；
（2）根据错位相减法直接求数列的前项和.
【详解】（1）由，得，
因为是正项数列，所以，即，又，
所以是公比为的等比数列，又，得，
所以，即.
（2）由（1）知，所以.
所以，即，
，
所以 ，
所以.
【变式2-2】（2025·云南·模拟预测）在等比数列中，，且成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据等比数列的通项公式，结合等差数列的性质，即可求解；
（2）利用错位相减法求数列的和，利用裂项相消法求数列的和，再相加求.
【详解】（1）设的公比为，由，得.
因为成等差数列，所以，得到，
即，解得（舍），或.又，所以.
（2）由，
设是数列的前项和，可得，
两边同乘以，得，
两式相减，得，
所以.
设是数列的前项和，可得，
即，
由.
【变式2-3】（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知数列的前项和为，且，各项均为正数的递增数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)求的通项公式；
(3)记数列的前项和为，求.
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）根据与的关系得到递推关系，再根据等比数列通项公式求解；
（2）根据已知条件判断出，两边同时开方，得到，求出，再求解即可；
（3）根据错位相减法求和.
【详解】（1）当时，，又，所以.
当时，，，两式相减得：，
即，所以.
故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.
（2）因为数列是以为首项的递增数列，所以.
又数列的各项均为正数，且，所以，
即，即，所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以.
（3）由（1）和（2）可知，
则①，
所以②，
由① ②可得：.
令③，
则④，
由③④得，
所以，所以，
所以.
题型03 分组、并项求和
【例3-1】（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知数列和满足，，，.
(1)证明：是等差数列，是等比数列；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）由题意计算后结合等差数列定义与等比数列定义即可得证；
（2）计算出后，利用等差数列求和公式与等比数列求和公式分组求和即可得.
【详解】（1）由，，
则，
故，又，故，
有，
故数列是等差数列；
，
则，又，
故数列是以为公比，为首项的等比数列；
（2）由数列是以为公比，为首项的等比数列，则，
又，则，
则.
【例3-2】（2025·浙江杭州·一模）已知等差数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设等比数列的前项和为，且.令，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）由等差数列通项公式建立方程组，解得首项和公差，即可写出数列通项公式；
（2）结合题中条件和等比数列通项公式建立方程组，解得首项和公比，即可求得通项公式，从而求得数列通项公式，利用等比数列和等差数列前项和公式即可求得数列的前项和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则解得，
所以的通项公式为.
（2）设等比数列的公比是，
由，得，解得，
所以的通项公式为，此时，，
满足，故.
结合（1）知，
所以数列的前项和.
一、分组求和的常见类型
并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
【变式3-1】（2025·浙江金华·一模）已知数列，满足()，且．
(1)证明：数列与均为等比数列；
(2)求数列的前25项和．(其中表示不超过的最大整数，如)
【答案】(1)证明见解析； (2).
【分析】（1）根据已知得，结合等比数列的定义判断证明即可；
（2）由（1）得，，进而有，根据新定义及分组求和、等比数列前n项和公式求.
【详解】（1）由，可得，
又，所以与均为等比数列；
（2）由（1）知，，所以，
则，，
.
【变式3-2】（2025·广东江门·模拟预测）在数列中，.
(1)求证：是等比数列；
(2)若等比数列满足.
（i）求的值；
（ii）记数列的前项和为.若，求的值.
【答案】(1)证明见解析；(2)（i）；（ii）
【分析】（1）依题意可得，结合等比数列的定义即可证明；
（2）（i）由（1）可得，求得，利用等比数列性质求得，
再验证即可求解；（ii）利用并项求和法求得，然后列方程求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
又，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列.
（2）（i）由（1）可得，所以，所以，
则，
因为数列为等比数列，所以，即，
化简得，解得或，又，所以，
当时，，此时为定值，符合题意；
（ii）由（i）可知，当为偶数时，，
当为奇数时，，
所以，易知，所以，所以为偶数，
因为，所以，
化简得，解得或（舍去），所以．
【变式3-3】（2025·四川绵阳·一模）已知数列满足：当时，，且数列为等比数列（为常数），.
(1)求常数的值及数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)，；(2)
【知识点】分组（并项）法求和、由递推关系式求通项公式、错位相减法求和、由递推关系证明等比数列
【分析】（1）设数列公比为，进而待定系数得再根据等比数列的通项公式求解即可得的通项公式；
（2）结合（1）得，再根据分组求和与错位相减法求解即可.
【详解】（1）解：因为数列为等比数列（为常数），设公比为，
所以，当时，，即，
因为，时，，
所以,解得
所以，，
又，，
所以是等比数列，公比为，首项为，
所以，即
（2）解：由（1）知，
令的前项和为，
则
，
两式相减得：，
所以
所以数列的前项和.
题型04 含绝对值求和
【例4-1】（2025·安徽·模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项的和.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据与的关系化简可得，利用等比数列通项公式求法计算即可求解；
（2）求得，利用分组求和即可求解.
【详解】（1）当时，由题意可知，
因为，即，
当时，，则，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
（2）由（1）可得，
所以，
当时，，
当，
，
因为，
所以，
综上，.
【例4-2】（2025·陕西榆林·模拟预测）已知数列满足，，，若．
(1)求证：是等差数列；
(2)求的前项和的最小值；
(3)求的前项和．
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)
【分析】（1）根据递推关系和等差数列的定义，推导出即可得解；
（2）根据等差数列求和公式求，再根据的符号分析的最值；
（3）结合（2）的及的符号，按照和分情况讨论求出即可.
【详解】（1）因为，所以，即，
所以，又，
所以是以为首项，3为公差的等差数列.
（2）由（1）知，
所以，
令，解得，
可知当时，；当时，，
所以的最小值为.
（3）因为，，，
当时，；当时，，
所以当时，；
当时，
，
所以.
一、数列绝对值求和
1、对于首项小于0而公差大于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项小于0而从第项开始大于或等于0,于是有
2、对于首项大于0而公差小于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项大于0而从第项开始小于或等于0,于是有
【变式4-1】（23-24高三上·陕西汉中·期末）设等差数列的前n项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求.
【答案】(1)；(2)52
【分析】（1）设公差为，然后由等差数列的通项公式与前项和公式求解；
（2）由（1）判断出前6项为正，然后由前项和公式计算.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则，解得，
所以；
（2）由（1）知，所以，
.
【变式4-2】（2025·福建漳州·模拟预测）已知数列为等差数列，．
(1)求数列的通项公式．
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）结合已知条件，由等差数列通项公式求得公差即可求解；
（2）结合（1）得到，再分和两种情况即可．
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
因为，所以．
又因为，则，
所以数列的通项公式．
（2）由（1）知，．
当时，，
；
当时，，
．
综上，.
【变式4-3】（2024·辽宁·模拟预测）等差数列的前项和为，已知，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据条件转化为首项和公差的方程，即可求解；
（2）根据数列正项和负项的分界，讨论与的关系，求解.
【详解】（1）设数列的公差为，
∵，∴，∵，∴ ，∴公差为，∴，
∴ ；
（2）由已知，
时，；
时，；
综上.
题型05 关于奇偶项求和
【例5-1】（2025·浙江嘉兴·三模）记为数列的前项和，已知，，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，若对任意，，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）首先求出，再利用数列通项公式与前项和的关系得到递推关系，因为，可求得数列为等差数列，由此可写出数列的通项公式；
（2）先写出数列的通项公式，再求出数列的前项和为，解法一是分部求和，解法二是分组求和，解法三直接从问题入手，构造新数列，求其最小值，则不大于其最小值，此即为恒成立，由此可得实数的取值范围.
【详解】（1）时，，解得或，因为，所以，
时，，得，
因为，所以，又，
故数列是首项为3，公差为2的等差数列，
所以数列的通项公式为；
（2）解法一：由，所以，
当为偶数时，
，
当为奇数时，
，
所以，
因为对任意的，成立，
所以，当为奇数时，即，所以，
不等号的右边可看作关于的二次函数，对称轴为，
因为为奇数，所以时，，则
当为偶数时，，所以，
同理可得，因为为偶数，所以时，，则，
综上，.
解法二：由，
当为偶数时，
.
当为奇数时，
，
所以（下同解法一）
解法三：因为对任意的，成立，
则，即求的最小值，令，
当为奇数时，
则，所以最小值一定在为奇数时取到，
当为奇数时，
，
当时，，当时，，
所以当为奇数时，，
则的最小值为，
所以.
【例5-2】（2025·四川泸州·一模）记为数列的前项和，已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1);(2)
【分析】（1）根据求数列的通项公式.
（2）利用分组求和法求和.
【详解】（1）当时，，
当时，，，
两式相减得，，
所以是以为首项，3为公比的等比数列，
故.
（2）当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以
.
【变式5-1】（2025·河南·三模）已知等差数列的前n项和为，且，．
(1)求；
(2)若数列满足，求数列的前20项和．
【答案】(1)；(2)4212
【分析】（1）根据已知条件求得等差数列的首项和公差，从而求得；
（2）先求出，再利用分组求和法求解即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
由，，得，解得，
所以．
（2）因为，所以，
故
【变式5-2】（2025·河南·二模）已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）先根据等差中项列式，再根据完全平方公式计算化简，由定义得出等差数列；
（2）先写出等差数列的通项公式，再应用的分组求和得出即可.
【详解】（1）因为是与的等差中项，所以，
所以，
因为数列的各项均为正数，所以，
所以，所以，
所以数列是公差为1，首项为的等差数列；
（2）因为数列是公差为1，首项为的等差数列，
所以，
所以，当时，，
当时，，
所以,
所以，
【变式5-3】（2025·四川自贡·二模）已知数列的前项和，数列是正项等比数列，满足，.
(1)求，的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，求.
【答案】(1)，；(2)
【分析】（1）由数列通项公式与求和公式的关系求出，以及等比数列的通项公式求出，可得答案；
（2）由分组求和，利用等差数列与等比数列的求和公式，可得答案.
【详解】（1）因为，所以时.
当时，，
所以，
，满足，所以，
数列是正项等比数列，.
所以公比，.
（2）由（1）知，
，
.
题型06 数列与不等式
【例6-1】（2025·吉林长春·三模）记为数列的前项和，已知，．
(1)判断是否为等比数列，并求出的通项公式；
(2)设递增的等差数列满足，且、、成等比数列．设，证明：．
【答案】(1)不是等比数列，且；(2)证明见解析
【分析】（1）当时，求出的值，当时，由可得，两式作差可得出，结合可得出结论，结合等比数列的通项公式可得出数列的通项公式；
（2）设等差数列的公差为，由题意可知，根据题中条件可得出关于的方程，解出的值，可得出数列的通项公式，放缩可得，结合裂项相消法可证得所证不等式成立.
【详解】（1）因为，且对任意的，，
当时，，
当时，由可得，
上述两个等式作差得，即，所以，
又因为，
故数列不是等比数列，且该数列是从第项开始成公比为的等比数列，
当时，，即，
综上所述，.
（2）设等差数列的公差为，由题意可知，且，，
，，
所以，，，
因为、、成等比数列，所以，
整理得，解得或（舍去），
所以，
所以，
所以
，故原不等式得证.
【例6-2】（2025·河南·模拟预测）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)对于任意，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据等差数列通项公式结合等比中项计算求解；
（2）先把转化为，再根据的单调性得出最大项，最后得出参数范围.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由已知可得，
因为，解得，又，得，
所以.
（2）由（1）可知，则，
由可得，令，
，当时，，
当时，，则数列的最大项为，
故，即实数的取值范围为.
数列与不等式的结合，一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围.
常见放缩公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）．
（9）．
【变式6-1】（2025·山西吕梁·模拟预测）已知数列的前项和为，且，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和；
(3)若对恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见详解；(2)；(3).
【分析】（1）根据已知配成完全平方即可得证；
（2）利用错位相减法求解可得；
（3）分离参数，转化为求数列的最大值问题，考察数列单调性即可得解.
【详解】（1）因为，所以，即，
所以，又，所以是以2为首项和公比的等比数列.
（2）又（1）可得，，
所以①，
则②，
由①-②得：，
所以
（3）由（1）可得，，
所以，即，
记，
因为，
所以时，，即，
当时，，即，
所以，所以，
所以实数的取值范围为.
【变式6-2】（2025·河南·一模）数列满足，且.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设数列的前项和为，求使成立的最小正整数的值
【答案】(1)证明见解析；(2).
【分析】（1）根据已知得，再应用作差法及等差数列的定义证明；
（2）根据（1）得，应用裂项相消法求，根据不等式能成立求参数值.
【详解】（1）设数列，则
，
由，得，
所以，
即数列是以为首项，为公差的等差数列；
（2）由（1）得，
所以，
因此，解得，所以满足题意的最小正整数.
【变式6-3】（2025·广西来宾·模拟预测）已知数列的首项，且满足，数列前n项和为.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求证：；
(3)若，求满足条件的最大整数n.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)2025.
【分析】（1）对两边取倒数，并整理得，进而根据等比数列的定义即可判断；
（2）根据等比数列前n项和公式，结合（1）得，进而通过作差法比较大小即可证明；
（3）结合（1）得，进而求数列的前n项和，再根据其单调性求解即可.
【详解】（1）记，由题意，数列满足，
可得
所以，
又，所以，则为常数，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
即数列为等比数列，首项为，公比为
（2）由（1）知数列是首项为，公比为的等比数列，
所以得
故，
从而，所以.
（3）解：由（1）知，所以，
设数列的前n项和为，
则
若，即，
因为数列为递增数列，且
所以满足的最大整数n的值为2025.
1．（2025·陕西商洛·一模）已知等差数列的前项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列是公比为3的等比数列，且，求的前项和．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据等差数列的基本量结合题设求出，进而求解即可；
（2）由题意易得，进而利用分组求和法求解即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意，得，解得，
则.
（2）由（1）知，，
因为数列是公比为3的等比数列，其首项为，
则，则，
所以.
2．（2025·河北邯郸·一模）已知等比数列的前项和为，若成等差数列.
(1)求等比数列的公比；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由和并结合题意即可求解；
（2）由（1）可求得，从而可得，再利用错位相减法即可求解.
【详解】（1）由题意若成等差数列，
则得，即，
则得，所以，
故.
（2）由（1）可知，又，所以，
则，
所以，
，
，
由可得
，
解得.
所以数列的前项和.
3．（2025·广东佛山·三模）已知数列满足，且是关于的方程的两个根．
(1)求；
(2)设，求数列的前21项和．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由韦达定理和等差数列的定义即可求解；
（2）由分组求和法、裂项相消即可求解.
【详解】（1）因为是关于的方程的两个根，
所以．
所以数列是一个首项为1，公差为2的等差数列．
因此．
（2）由（1）知，对于方程，
由韦达定理得，即．
所以
．
所以
．
4．（2025·辽宁鞍山·一模）设是各项都为正数的递增数列，已知且满足关系式，．
(1)求及数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
【答案】(1)，；(2)
【分析】（1）利用平方差公式，完全平方公式整理，结合各项都为正数的递增数列，利用等差数列的定义证明出数列为等差数列；
（2）先得出的通项公式，再利用裂项相消法进行求解．
【详解】（1）
，
令，则为首项为1，公差为1的等差数列
即；
；
（2）
由累加法，得：．
5．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知各项都是正数的数列，其前项和为，，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求证：.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【分析】（1）对题干条件化简，求出前项和为与的关系式，再利用关系式求出通项公式.
（2）先求出数列的通项公式，根据列项求和法求出的值.
【详解】（1）由题意得，
所以，又数列是各项都是正数的数列，，
所以，，
当时，有，
所以，
所以，故数列是1为首项，2为公差的等差数列，
所以.
（2）由（1）得，
所以，
所以，
裂项得，证毕.
6．（2025·四川·模拟预测）已知数列满足，且．
(1)证明：为等比数列；
(2)设，证明：；
(3)设，且数列的前项和为，证明：．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析
【分析】（1）分析可知，对任意的，且，可得出，变形得出，结合等比数列的定义即可证得结论成立；
（2）利用（1）中的结论求出数列的通项公式，分析可知数列是各项均为正数的单调递减数列，分、两种情况，由结合数列的单调性即可证得结论成立；
（3）由不等式的性质得出，利用错位相减法求出数列的前项和，可得出，由结合不等式的传递性可证得结论成立.
【详解】（1）因为数列满足，且，可得，
由，得，可得，
由，得，可得，，
以此类推可知，对任意的，且，所以，
所以，可得，
所以数列为等比数列，首项为，公比为.
（2）由（1）可得，所以，故，
易知数列是各项均为正数的单调递减数列，
因为，所以，
当时，，
当时，，所以，
所以，对任意的，，
综上所述，.
（3）因为，
所以，
令①，
可得②，
①②得，
所以，故，故对任意的，.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题02 数列解答题
题型01 裂项相消求和
【例1-1】（2025·四川眉山·模拟预测）在数列中，，.
(1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【例1-2】（2025·浙江·一模）已知渐近线为的双曲线过点，过点且斜率为的直线交双曲线于异于的点，记的面积为.
(1)求双曲线的方程；
(2)求；
(3)证明：.
【变式1-1】（2025·河南·模拟预测）已知函数，，记的零点为.
(1)求；
(2)求数列中的最小项；
(3)证明：.
【变式1-2】（2025·四川泸州·一模）已知数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【变式1-3】（2025·浙江宁波·一模）记为正项数列的前项和，已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，，求证：.
题型02 错位相减求和
【例2-1】（2025·吉林松原·模拟预测）已知数列为等差数列，且，数列满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【例2-2】（2025·河南·模拟预测）已知数列为等比数列，数列的前项和为，且，，.
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
一、错位相减法求数列的前n项和
（1）适用条件
若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和．
（2）基本步骤
【变式2-1】（2025·湖北孝感·模拟预测）已知正项数列满足：.
(1)证明是等比数列，并求通项；
(2)若，求数列的前项和的表达式.
【变式2-2】（2025·云南·模拟预测）在等比数列中，，且成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【变式2-3】（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知数列的前项和为，且，各项均为正数的递增数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)求的通项公式；
(3)记数列的前项和为，求.
题型03 分组、并项求和
【例3-1】（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知数列和满足，，，.
(1)证明：是等差数列，是等比数列；
(2)求数列的前项和.
【例3-2】（2025·浙江杭州·一模）已知等差数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设等比数列的前项和为，且.令，求数列的前项和.
一、分组求和的常见类型
并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
【变式3-1】（2025·浙江金华·一模）已知数列，满足()，且．
(1)证明：数列与均为等比数列；
(2)求数列的前25项和．(其中表示不超过的最大整数，如)
【变式3-2】（2025·广东江门·模拟预测）在数列中，.
(1)求证：是等比数列；
(2)若等比数列满足.
（i）求的值；
（ii）记数列的前项和为.若，求的值.
【变式3-3】（2025·四川绵阳·一模）已知数列满足：当时，，且数列为等比数列（为常数），.
(1)求常数的值及数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
题型04 含绝对值求和
【例4-1】（2025·安徽·模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项的和.
【例4-2】（2025·陕西榆林·模拟预测）已知数列满足，，，若．
(1)求证：是等差数列；
(2)求的前项和的最小值；
(3)求的前项和．
数列绝对值求和
【变式4-1】（23-24高三上·陕西汉中·期末）设等差数列的前n项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求.
【变式4-2】（2025·福建漳州·模拟预测）已知数列为等差数列，．
(1)求数列的通项公式．
(2)若，求数列的前n项和．
【变式4-3】（2024·辽宁·模拟预测）等差数列的前项和为，已知，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
题型05 关于奇偶项求和
【例5-1】（2025·浙江嘉兴·三模）记为数列的前项和，已知，，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，若对任意，，求实数的取值范围.
【例5-2】（2025·四川泸州·一模）记为数列的前项和，已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【变式5-1】（2025·河南·三模）已知等差数列的前n项和为，且，．
(1)求；
(2)若数列满足，求数列的前20项和．
【变式5-2】（2025·河南·二模）已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
【变式5-3】（2025·四川自贡·二模）已知数列的前项和，数列是正项等比数列，满足，.
(1)求，的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，求.
题型06 数列与不等式
【例6-1】（2025·吉林长春·三模）记为数列的前项和，已知，．
(1)判断是否为等比数列，并求出的通项公式；
(2)设递增的等差数列满足，且、、成等比数列．设，证明：．
【例6-2】（2025·河南·模拟预测）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)对于任意，求实数的取值范围.
数列与不等式的结合，一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围.
常见放缩公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）．
（9）．
【变式6-1】（2025·山西吕梁·模拟预测）已知数列的前项和为，且，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和；
(3)若对恒成立，求实数的取值范围．
【变式6-2】（2025·河南·一模）数列满足，且.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设数列的前项和为，求使成立的最小正整数的值
【变式6-3】（2025·广西来宾·模拟预测）已知数列的首项，且满足，数列前n项和为.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求证：；
(3)若，求满足条件的最大整数n.
1．（2025·陕西商洛·一模）已知等差数列的前项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列是公比为3的等比数列，且，求的前项和．
2．（2025·河北邯郸·一模）已知等比数列的前项和为，若成等差数列.
(1)求等比数列的公比；
(2)若，求数列的前项和.
3．（2025·广东佛山·三模）已知数列满足，且是关于的方程的两个根．
(1)求；
(2)设，求数列的前21项和．
4．（2025·辽宁鞍山·一模）设是各项都为正数的递增数列，已知且满足关系式，．
(1)求及数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
5．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知各项都是正数的数列，其前项和为，，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求证：.
6．（2025·四川·模拟预测）已知数列满足，且．
(1)证明：为等比数列；
(2)设，证明：；
(3)设，且数列的前项和为，证明：．
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