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专题2.2 幂指对三角函数比大小归类
近三年：1、比较大小是近年的高考命题热点，这类题目通常不会直接让你计算数值（因为无法直接计算），而是考查你如何灵活运用函数的单调性、图像、临界点、放缩技巧来比较大小。 常用解题策略（“三步法”）： ①定“基准”：寻找一个中间量（基准数），如 等，将要比较的数分别与这个基准数进行比较。 ②判“范围”：估算每个数的大致范围。例如，判断一个对数是否大于0，一个指数是否大于1，一个角度的正弦/余弦值在哪个象限。 ③用“性质”：利用函数的单调性进行变形和比较。有时需要将不同底数的指数或对数化为同底，或者利用幂函数、三角函数的单调性。 2、常用逻辑用语在从近几年高考命题来看，常用逻辑用语没有单独命题考查，偶尔以已知条件的形式 出现在其他考点的题目中．集合内容可能以一元一次、一元二次不等式、分式不等式及指数对数不等式的形式考查集合的交集、并集、补集运算及参数求解，同时还需重点关注集合与充分必要条件相结合问题． 预测2026年：这类题型在2026年高考中出现的概率非常高，预计难度会维持在中等偏上水平；创新点可能在于：①与三角函数更紧密结合：可能会比较如、、这类同时涉及三角函数、幂函数、对数函数的数值。关键在于利用当时的经典不等式 等进行放缩；②与数列、函数零点等知识结合：题目背景可能更为复杂，例如置于某个数列或函数问题的情境中。
题型01 幂指数函数性质
解｜题｜策｜略 1 指数函数的值域是，当时单调递增，当时单调递减； 2 常见幂函数的图象与性质 3 若比较大小的幂可化为同底，则化为同底再利用指数函数单调性比较大小；若比较大小的幂可化为同指数，则化为同指数再利用幂函数单调性比较大小。
1（25-26高三上·天津滨海新·期中）设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2（24-25高三上·甘肃白银·月考）设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
3（25-26高三上·重庆·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
题型02 对数函数性质
解｜题｜策｜略 1 对数函数的图像与性质 图像定义域值域过定点奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数变化对图像的影响在第一象限内，越大图象越靠低； 在第四象限内，越大图象越靠高．
2 比较大小的对数可化为同底，则化为同底再利用对数函数单调性比较大小.
1（25-26高三上·云南昭通·月考）设，则（ ）
A． B．
C． D．
2（25-26高三·江苏无锡·期中）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
3（25-26高三上·河北唐山·期中）设，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型03 三角函数性质
解｜题｜策｜略 三角函数的图象与性质 图像定义域值域最值当时，；
当时，.当时，；
当时，.既无最大值 也无最小值周期性对称中心对称轴无单调性在上是增函数；
在上是减函数.在上是增函数；
在上是减函数.在上是增函数
2 注意三角函数和的有界性。
1（24-25高三·云南保山·月考）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2（24-25高三上·湖北·月考）已知实数，且满足，则下列一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3（25-26高三上·江苏·开学考试）已知，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
题型04 临界值型：0与1分界
解｜题｜策｜略 在比较数值大小时，若无法直接利用指对幂函数单调性比较，常常用到估值的方法，在估值时，会优先考虑与.
1（25-26高三上·江苏南通·月考）对任意，均有成立，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2（25-26高三·湖北·月考）已知则（ ）
A． B．
C． D．
3（20-21高三上·山东青岛·期中）已知，，，则m、n、p的大小关系为（ ）
A．p＜n＜m B．n＜p＜m C．m＜n＜p D．n＜m＜p
题型05 临界值型：中间值
解｜题｜策｜略 在比较数值大小时，若利用和估值还是无法比较出大小，则可能需要引入其他的中间值，此时要根据数值的特点而决定，可利用分析法辅助判断。
1（25-26高三上·福建漳州·期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
2（25-26高三上·辽宁·月考）已知，，，则大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3（2025·河北秦皇岛·二模）已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
题型06 做差比较法
解｜题｜策｜略 1比较两个式子（数值）与的大小，可用作差法，转化为与的比较； 2 作差的过程往往要用到因式分解。
1（25-26高三上·广东惠州·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2（25-26高三·山东临沂·月考）已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
3（25-26高三上·山东泰安·开学考试）已知，则，，的大小关系不可能为（ ）
A． B．
C． D．
题型07 做商比较法
解｜题｜策｜略 1比较两个式子（数值）与的大小，可用作商法，转化为与的比较； 2 一般式子是幂的形式，会考虑作商法； 3 作商的过程往往要用到因式分解，还有一点是否一定大于或小于要明确。
1（25-26高三上·全国·课前预习）已知均为大于1的数，且，则（ ）
A． B．
C． D．
2（24-25高三上·江苏扬州·月考）已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3（25-26高三上·福建泉州·月考）已知 ，且，则的大小关系为： （用“”连接）
4（多选）（25-26高三上·广东广州·月考）若，则以下大小关系可能成立的有（ ）
A． B．
C． D．
题型08 构造函数：对数型
解｜题｜策｜略 1 比较的数值若比较复杂，往往会用到构造函数再利用函数单调性比较大小的方法； 2 构造函数时，要注意数值符合的条件结构或自身的结构特征，若数值含有对数，可考虑对数型函数； 3 利用同构变形也可以，比如 .
1（2025·全国·模拟预测）已知，，，e是自然对数的底数，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2（2025·河南南阳·模拟预测）设，则（ ）
A． B．
C． D．
3（25-26高三上·山东潍坊·月考）已知函数，，，，则（ ）
A． B． C． D．
4（25-26高三上·四川乐山·月考）若则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
题型09 构造函数：指幂型
解｜题｜策｜略 1 比较的数值若比较复杂，往往会用到构造函数再利用函数单调性比较大小的方法； 2 构造函数时，要注意数值符合的条件结构或自身的结构特征，若数值含幂的形式，可考虑指数型函数； 3 利用同构变形也可以，比如.
1（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
2（24-25高三·安徽铜陵·月考）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3（2024·安徽·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
4（25-26高三上·湖北孝感·月考）设，，，，则（ ）
A． B． C． D．
题型10 构造函数：三角函数线性型
解｜题｜策｜略 1 比较的数值若比较复杂，往往会用到构造函数再利用函数单调性比较大小的方法； 2 构造函数时，要注意数值符合的条件结构或自身的结构特征，若数值含三角函数的形式，可考虑三角函数型函数。
1（25-26高三上·北京·月考）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2（25-26高三上·贵州贵阳·开学考试）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
3（25-26高三上·四川遂宁·期中）已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
4（2025·湖北武汉·三模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
题型11 根据等式关系比较大小
解｜题｜策｜略 题中给到关于，,的等式，再比较它们的大小；此时先思考是否可根据等式得到，,的数值或者它们 之间的关系，再想是否可以通过数形结合的方法确定它们数值的范围，或者根据各等式之间的特殊形式 通过构造函数再比较大小。
1（多选）（25-26高三上·山东青岛·月考）若，则（ ）
A． B．
C． D．
2（2025高三·全国·专题练习）已知正实数，且，若，则（ ）
A． B．
C． D．
3（多选）（24-25高三·黑龙江·月考）已知，且，，则（ ）
A． B． C． D．
4（2025·广东·模拟预测）设，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A． B． C． D．
题型12 泰勒公式法
解｜题｜策｜略 1 麦克劳林公式 虽然麦克劳林公式是泰勒中值定理的特殊形式, 仅仅是取的特殊 结果, 由于麦克劳林公式使用方便, 在高考中经常会涉及到. 2 常见函数的麦克劳林展开式 (1) (2) (3) (4) 3 利用泰勒公式法，主要就是对数值进行估值，估值的程度要根据数值之间的差距。
1（25-26高三·广东广州·月考），，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
2（25-26高三上·广东·月考）已知，则(　　)
A．a3（25-26高三·湖南·月考）设, 则 ( )
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b
（建议用时：60分钟）
1（24-25高三上·四川泸州·月考）下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2（25-26高三上·天津南开·期中）已知幂函数的图象过点，设，，，则（ ）.
A． B． C． D．
3（2025·天津河东·二模）已知，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4（25-26高三上·河北沧州·月考）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5（2024·甘肃·模拟预测）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
6（25-26高三上·江苏扬州·月考）已知四个数，，，，其中最大的是（ ）
A． B． C． D．
7（25-26高三上·河北·期中）已知，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
8（24-25高三上·重庆·月考）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
9（2025·天津北辰·三模）设，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
10（25-26高三·湖北·月考）已知x，y，z都是大于1的正数，且，令，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
11（24-25高三·湖北·期中）设，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
12（2025高三·全国·专题练习）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
13（25-26高三上·贵州遵义·月考）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
14（多选）（25-26高三上·浙江丽水·月考）设，，为正实数，且，则的大小关系可能是（ ）
A． B．
C． D．
15（多选）（2024·湖北·一模）已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题2.2 幂指对三角函数比大小归类
近三年：1、比较大小是近年的高考命题热点，这类题目通常不会直接让你计算数值（因为无法直接计算），而是考查你如何灵活运用函数的单调性、图像、临界点、放缩技巧来比较大小。 常用解题策略（“三步法”）： ①定“基准”：寻找一个中间量（基准数），如 等，将要比较的数分别与这个基准数进行比较。 ②判“范围”：估算每个数的大致范围。例如，判断一个对数是否大于0，一个指数是否大于1，一个角度的正弦/余弦值在哪个象限。 ③用“性质”：利用函数的单调性进行变形和比较。有时需要将不同底数的指数或对数化为同底，或者利用幂函数、三角函数的单调性。 2、常用逻辑用语在从近几年高考命题来看，常用逻辑用语没有单独命题考查，偶尔以已知条件的形式 出现在其他考点的题目中．集合内容可能以一元一次、一元二次不等式、分式不等式及指数对数不等式的形式考查集合的交集、并集、补集运算及参数求解，同时还需重点关注集合与充分必要条件相结合问题． 预测2026年：这类题型在2026年高考中出现的概率非常高，预计难度会维持在中等偏上水平；创新点可能在于：①与三角函数更紧密结合：可能会比较如、、这类同时涉及三角函数、幂函数、对数函数的数值。关键在于利用当时的经典不等式 等进行放缩；②与数列、函数零点等知识结合：题目背景可能更为复杂，例如置于某个数列或函数问题的情境中。
题型01 幂指数函数性质
解｜题｜策｜略 1 指数函数的值域是，当时单调递增，当时单调递减； 2 常见幂函数的图象与性质 3 若比较大小的幂可化为同底，则化为同底再利用指数函数单调性比较大小；若比较大小的幂可化为同指数，则化为同指数再利用幂函数单调性比较大小。
1（25-26高三上·天津滨海新·期中）设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小
【分析】利用指数函数、幂函数的单调性可得出的大小关系.
【详解】由在上递增，则，
由在上递增，则．所以．
故选：C
2（24-25高三上·甘肃白银·月考）设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】由幂函数的单调性比较大小
【分析】将，，换算成幂函数的形式，然后根据函数的单调性求解.
【详解】由题意可知，，，
因为在上是增函数，且，
所以．
故选：C.
3（25-26高三上·重庆·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】由幂函数的单调性比较大小
【分析】利用幂函数的单调性判定即可．
【详解】由单调递增，
则可知，
由单调递增，
又，可得
所以．
故选：C．
题型02 对数函数性质
解｜题｜策｜略 1 对数函数的图像与性质 图像定义域值域过定点奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数变化对图像的影响在第一象限内，越大图象越靠低； 在第四象限内，越大图象越靠高．
2 比较大小的对数可化为同底，则化为同底再利用对数函数单调性比较大小.
1（25-26高三上·云南昭通·月考）设，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较对数式的大小
【分析】对于和0作比较，变形和利用幂函数的性质比较并与0比较，得到答案.
【详解】,
又 在 上单调递增, , 所以 , 所以 ，
故选：D.
2（25-26高三·江苏无锡·期中）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较对数式的大小
【分析】由幂函数和对数函数的单调性进行比较即可.
【详解】∵幂函数在区间上单调递减，
∴，即，
∵对数函数在区间上单调递增，
∴，即，
综上所述，，，的大小关系为.
故选：D.
3（25-26高三上·河北唐山·期中）设，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、比较对数式的大小
【分析】由于，，，再利用对数的性质比较即可得结论.
【详解】，，，
又，，，，
所以，
.
故选：D.
题型03 三角函数性质
解｜题｜策｜略 三角函数的图象与性质 图像定义域值域最值当时，；
当时，.当时，；
当时，.既无最大值 也无最小值周期性对称中心对称轴无单调性在上是增函数；
在上是减函数.在上是增函数；
在上是减函数.在上是增函数
2 注意三角函数和的有界性。
1（24-25高三·云南保山·月考）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比较指数幂的大小、比较正切值的大小、比较对数式的大小、比较正弦值的大小
【分析】根据三角函数值域及指对数运算比较大小.
【详解】，；，；
又，所以，，
故选:A．
2（24-25高三上·湖北·月考）已知实数，且满足，则下列一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由幂函数的单调性比较大小、比较余弦值的大小、比较正弦值的大小
【分析】由已知条件结合余弦函数单调性可得，通过对应函数的单调性，判断选项中的大小关系是否正确.
【详解】时，，余弦函数在上单调递增，
由，得，则有.
正弦函数在上单调递增，则有，A选项错误；
幂函数在上单调递减，则有，B选项错误；
设函数，由，在上单调递减，
，则有，即，C选项错误；
幂函数是偶函数，在上单调递减，，D选项正确.
故选：D.
3（25-26高三上·江苏·开学考试）已知，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用正弦型函数的单调性求函数值或值域、比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小
【分析】由得的取值范围，再利用指数函数和幂函数的单调性判断的大小关系,即可选出正确答案.
【详解】因为所以,所以.
所以是t的减函数,所以.
是增函数,所以
所以
故选: B.
题型04 临界值型：0与1分界
解｜题｜策｜略 在比较数值大小时，若无法直接利用指对幂函数单调性比较，常常用到估值的方法，在估值时，会优先考虑与.
1（25-26高三上·江苏南通·月考）对任意，均有成立，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系
【分析】由题意可得在区间上单调递增，再利用幂函数及对数函数性质得到，从而可求解.
【详解】由题意知对任意，均有成立，
所以在区间上单调递增，
由幂函数的性质知其为增函数，因为，所以，
又因为，所以，
则，即，故C正确.
故选：C.
2（25-26高三·湖北·月考）已知则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小、利用余弦函数的单调性求参数、比较对数式的大小
【分析】利用余弦函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性，借助中间量进行比较大小.
【详解】因为，所以，所以函数单调递减，
则，
因为函数单调递减，由有： ，
因为函数在上单调递增，由有：，
所以.
故选：C.
3（20-21高三上·山东青岛·期中）已知，，，则m、n、p的大小关系为（ ）
A．p＜n＜m B．n＜p＜m C．m＜n＜p D．n＜m＜p
【答案】B
【知识点】由幂函数的单调性比较大小、对数函数单调性的应用
【分析】根据幂函数，对数函数的单调性判定即可.
【详解】由于幂函数在单调递增，
故，
又，，
∴0＜p＜m＜1，
由对数函数在单调递减，
故，∴n＜p＜m．
故选：B
题型05 临界值型：中间值
解｜题｜策｜略 在比较数值大小时，若利用和估值还是无法比较出大小，则可能需要引入其他的中间值，此时要根据数值的特点而决定，可利用分析法辅助判断。
1（25-26高三上·福建漳州·期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小、比较对数式的大小
【分析】根据幂函数单调性判断的大小，根据指数函数和对数函数的单调性判断的大小，则结果可知.
【详解】因为，且在上单调递增，所以，所以，
因为在上单调递增，在上单调递增，
所以，所以，
由上可知，，
故选：A.
2（25-26高三上·辽宁·月考）已知，，，则大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】由幂函数的单调性比较大小、指数幂的化简、求值
【分析】因为，，，故只需比较，，的大小，结合指数幂的运算性质及幂函数的单调性即可得出结果．
【详解】因为，，，故只需比较，，的大小，
∵，，∴，即；
∵，，∴，即；
∴，又在上递增．
∴，即．
故选：B．
3（2025·河北秦皇岛·二模）已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】根据对数函数的单调性，以及指数函数的性质，利用中间值法，可得答案.
【详解】由题，
，且，
，
综上，，即.
故选：B.
题型06 做差比较法
解｜题｜策｜略 1比较两个式子（数值）与的大小，可用作差法，转化为与的比较； 2 作差的过程往往要用到因式分解。
1（25-26高三上·广东惠州·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、比较对数式的大小
【分析】首先根据对数运算性质得，再利用对数函数单调性得，再作差、换底变形比较大小即可.
【详解】，，
，
所以
，
因为，
所以，即，又，可得.
故选：B.
2（25-26高三·山东临沂·月考）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、比较对数式的大小
【分析】首先根据对数运算性质得，再利用对数函数单调性得，再作差换底变形比较大小即可.
【详解】，，
因为在上单调递增，则，
则，显然，
则，
则，即，结合知.
故选：B.
3（25-26高三上·山东泰安·开学考试）已知，则，，的大小关系不可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用
【分析】设，分别讨论情况下的关系，进而得出结果.
【详解】设，则
当时，，选项A正确；
当时，，，，
所以，，
，
由此可得，选项B正确；
当时，同理可得，选项C正确.
故选：D.
题型07 做商比较法
解｜题｜策｜略 1比较两个式子（数值）与的大小，可用作商法，转化为与的比较； 2 一般式子是幂的形式，会考虑作商法； 3 作商的过程往往要用到因式分解，还有一点是否一定大于或小于要明确。
1（25-26高三上·全国·课前预习）已知均为大于1的数，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算、比较对数式的大小
【分析】将已知条件变形得到，再通过作商法比较的大小，最后利用对数函数的性质即可求解.
【详解】 ， ，
则，故，
又，，故，
，．
故选：D.
2（24-25高三上·江苏扬州·月考）已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、利用导数证明不等式
【分析】使用基本不等式证明，从而得，使用证明，再证明可得.
【详解】由题知、均在和之间，
，于是，
当时，令，则，
所以在上为减函数，
故，故，
所以，
，于是.
所以.
故选：C
3（25-26高三上·福建泉州·月考）已知 ，且，则的大小关系为： （用“”连接）
【答案】
【知识点】比较对数式的大小
【分析】利用对数的作商法结合对数函数的单调性可得出的大小关系.
【详解】令，
则，
则，得；
由，得.
从而可得.
故答案为：
4（多选）（25-26高三上·广东广州·月考）若，则以下大小关系可能成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用
【分析】先对等式取对数，可得到类似的式子，通过都是正数，和都是负数，讨论即可.
【详解】由于，取常用对数得：，易知同号或者.
当都是正数，由可得（其中），
因为，所以，故，
所以，即，故A选项可能成立；
当都是正数，由于，取常用对数得：，
则，同时由于对数函数在定义域上是增函数，
进而，所以；
同理，进而，所以；
所以，故C选项可能成立；
当都是负数，由于，取常用对数得：，
同时由于对数函数在定义域上是增函数，
则，则，则，则，
即，故B选项可能成立；
，所以；同理，进而，
所以，所以，D不可能成立，
故选：ABC
题型08 构造函数：对数型
解｜题｜策｜略 1 比较的数值若比较复杂，往往会用到构造函数再利用函数单调性比较大小的方法； 2 构造函数时，要注意数值符合的条件结构或自身的结构特征，若数值含有对数，可考虑对数型函数； 3 利用同构变形也可以，比如 .
1（2025·全国·模拟预测）已知，，，e是自然对数的底数，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由幂函数的单调性比较大小
【分析】首先根据幂函数的单调性判断出，然后构造函数，运用函数的单调性得出，即可得解.
【详解】因为函数在上单调递增，且，所以，即.
令，
则，当时，，单调递减.因为，所以，即，得，故，所以，
综上，，
故选：B.
2（2025·河南南阳·模拟预测）设，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】表示出，并适当变形，观察式子，构造函数,，利用导数即可证明当时，有，，从而即可比较大小.
【详解】得.
由得，
又.
取，则.
设，
则，
所以在区间内单调递增，
又，则，
即，所以.
令，
则，
所以在区间内单调递增，
则，
故，则，即，
所以.
故选：A.
3（25-26高三上·山东潍坊·月考）已知函数，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系
【分析】分析函数的单调性和奇偶性，再设，分析的单调性，可得的大小关系.
【详解】对，,
，
所以函数为偶函数.
当时，，因为，所以.
所以在上单调递减.
设，，所以.
由 ，由 .
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以.
又 ，所以.
所以.
所以.
又因为.
所以.
故选：C
4（25-26高三上·四川乐山·月考）若则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小
【分析】利用对数运算比较和的大小，利用构造函数结合导数判断单调性比较的大小，由此得到大小关系.
【详解】，
，
，
因为，所以，即
因为，即，
因为，
构造函数，
求导，
当时，，只需分析分子的正负，
设，求导，
因为，所以，则，所以在上单调递增，
那么当时，，即，
所以分子，则，所以在上单调递减，
且，所以，即，
综上可得.
故选：C.
题型09 构造函数：指幂型
解｜题｜策｜略 1 比较的数值若比较复杂，往往会用到构造函数再利用函数单调性比较大小的方法； 2 构造函数时，要注意数值符合的条件结构或自身的结构特征，若数值含幂的形式，可考虑指数型函数； 3 利用同构变形也可以，比如.
1（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系
【分析】本题可通过构造函数，利用函数单调性比较、与的大小关系.
【详解】设，则，由可得，
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，故的极小值为，
故（当且仅当时取等号），故，即；
由可得（当且仅当时取等号），故，即，
故．
故选：B.
2（24-25高三·安徽铜陵·月考）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】先证明、，然后利用这两个不等式可比较三者的大小.
【详解】现在证明一个不等式：，
设,则，
当时，，当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
故，当且仅当时等号成立，
故，当且仅当时等号成立，
故当时，.
已知，由可得，
而，
故.
故选：D.
3（2024·安徽·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】构造函数，利用导数求取单调性可得、之间大小关系，构造函数，利用导数求取单调性可得、之间大小关系，即可得解.
【详解】由，
即，
令，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
则有，即，
令，
则在上恒成立，
故在上单调递减，
则有，即，
故.
故选：A.
4（25-26高三上·湖北孝感·月考）设，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】逐项分析，构造函数结合导数判断单调性来确定a与b，b与c，c与d，b与d大小关系.
【详解】，，，，
对于A，设，则，
令，则恒成立，
所以在上单调递增，
则恒成立，所以在上单调递增，
则，即，所以，故A错误；
对于B，设，则，
故在上单调递增，
则，
整理得，所以，故B错误；
对于D，设，
则，
当时，，所以在上单调递增，
所以有，即，
所以，则，故D错误；
由前面可知，所以，故C正确.
故选：C
题型10 构造函数：三角函数线性型
解｜题｜策｜略 1 比较的数值若比较复杂，往往会用到构造函数再利用函数单调性比较大小的方法； 2 构造函数时，要注意数值符合的条件结构或自身的结构特征，若数值含三角函数的形式，可考虑三角函数型函数。
1（25-26高三上·北京·月考）已知，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系
【分析】先由函数的单调性得到，再由放缩法得到即可得解.
【详解】令，则恒成立，
所以函数在R上单调递减，所以，
又，故.
故选：C
2（25-26高三上·贵州贵阳·开学考试）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小、比较正弦值的大小
【分析】利用构造函数法，结合导数判断出的大小关系，利用对数、指数运算判断出的关系，进而确定正确答案.
【详解】构造函数，
所以在上单调递增，所以，
，；
故只需比较与；也即比较与；
也即比较与，
而，，
所以，所以.
综上所述，.
故选：B
3（25-26高三上·四川遂宁·期中）已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小、比较对数式的大小、比较正弦值的大小
【分析】根据正弦函数和余弦函数单调性得到，再构造函数，得到其单调性，得到，构造函数，求导得到其单调性，得到，结合对数函数单调性得到，比较出大小.
【详解】因为，而在上单调递减，
故，
又在上单调递增，
故，
令，则在上恒成立，
故在上单调递增，，
故，即，
故，
又，令，
则，当时，，单调递减，
故，故，
因为，所以，即，
因为在上单调递增，
故，
又，故，
故
故选：D
4（2025·湖北武汉·三模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小、对数的运算性质的应用、比较对数式的大小
【分析】设，对求导，得到的单调性的最值，结合对数函数和三角函数的性质，即可证明，再证明，令，通过指数和对数函数的运算性质可证明，即可得出答案.
【详解】设，，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
，
又，则，
，所以，
对于，令，则，
此时，
所以.
故选：A.
题型11 根据等式关系比较大小
解｜题｜策｜略 题中给到关于，,的等式，再比较它们的大小；此时先思考是否可根据等式得到，,的数值或者它们 之间的关系，再想是否可以通过数形结合的方法确定它们数值的范围，或者根据各等式之间的特殊形式 通过构造函数再比较大小。
1（多选）（25-26高三上·山东青岛·月考）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【知识点】指数式与对数式的互化、由幂函数的单调性比较大小
【分析】设，则，，利用幂函数的单调性能求出结果．
【详解】设，
则，可得，
因为，则，则在内单调递减，
所以，，即，.
故选：AB．
2（2025高三·全国·专题练习）已知正实数，且，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】比较指数幂的大小、由已知条件判断所给不等式是否正确、比较对数式的大小
【分析】将变形得，由，进而判断与的大小，又得，即，进而求解.
【详解】因为，所以，
即，
因为，所以，所以，
即，所以；
又，结合，
可得 ，而，
所以 ，即，
两边同时取对数得，即，
则必有，
所以．
故选：A．
3（多选）（24-25高三·黑龙江·月考）已知，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【知识点】由基本不等式比较大小、比较指数幂的大小、对数的运算性质的应用、比较对数式的大小
【分析】利用基本不等式结合对数换底公式可判断A，利用构造单调函数来比较大小可判断BCD．
【详解】对于A. ，故A正确；
对于B. 由于为上的增函数，，
即，所以， 即，故B正确；
对于C.设，显然为上的减函数，
又， ，，即，
故，即，，故C错误；
对于D.先证明且时，是单调递减的。
，，
这样
所以，故，即
设，因为在上递增，
所以,故D错误
故选：AB.
4（2025·广东·模拟预测）设，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小、对数函数单调性的应用、比较对数式的大小
【分析】令，可得x，y，z的表达式，取，根据对数函数的单调性，可得x最大，分别比较与和与的大小，即可判断A的正误；取，根据对数函数的单调性，分析比较，可判断B的正误；取极小正数，根据对数的运算性质，分析比较，可判断C的正误；求出成立的必要条件是，构造函数，利用导数求得的单调性，根据对数的运算性质，可得和不可能同时成立，即可判断D的正误.
【详解】令，则，，．其中．
取，此时，，
，此时x最大．
又与比较，等价于比较7与，等价于比较49与27大小，故．
同理比较与，可得，故，故．
综上，当时，．故A是可能的．
取．此时，，，故且．
比较y和z，即与，，且是增函数，
所以，又底数，所以，故．
综上，当时，．故B是可能的．
取极小正数，取，此时，，，易知x最小．
现在比较和，即比较与，即和，比较和，
易知，故．
综上，取，．故C是可能的．
下面证明D选项不可能．若，则和同时成立．
若，则．
当时，，当时，，
同理可得，故存在，使得，
所以成立的必要条件是．
若，则，设，
则，且取时，，
等价于，
又，等价于，，易知其在时成立，
已证当时，，所以在上单调递增，
因为，所以当时，，即恒成立，
故和不可能同时成立，即D不可能．
故选：D．
题型12 泰勒公式法
解｜题｜策｜略 1 麦克劳林公式 虽然麦克劳林公式是泰勒中值定理的特殊形式, 仅仅是取的特殊 结果, 由于麦克劳林公式使用方便, 在高考中经常会涉及到. 2 常见函数的麦克劳林展开式 (1) (2) (3) (4) 3 利用泰勒公式法，主要就是对数值进行估值，估值的程度要根据数值之间的差距。
1（25-26高三·广东广州·月考），，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、比较正弦值的大小
【分析】找中间值进行比较大小，再借助泰勒展开即可比较大小.
【详解】由题意得，，
因为，所以，
由泰勒展开得
，
，
所以
，
故，综上所述a，b，c的大小关系是.
故选：C
2（25-26高三上·广东·月考）已知，则(　　)
A．a【答案】B
【分析】利用泰勒公式进行估值。
【详解】 使用泰勒公式对，进行估值，
使用泰勒公式
可得，
则，
使用泰勒公式
可得，
∴b>a>c．
故选：B．
3（25-26高三·湖南·月考）设, 则 ( )
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b
【答案】B
【分析】利用泰勒公式进行估值。
【详解】 ，所以，
以下用泰勒公式判断与的大小，
对想用泰勒公式估值，会想到函数，而它的麦克劳林展开式不熟悉，则需要用麦克劳林公式求出来再估值，
，，，
所以，
则，
实际上，且与的差不超过，影响很小，
使用泰勒公式可得
，
实际上，且与的差不超过，影响很小，
则此时可判定，
由此可知
故选: B
（建议用时：60分钟）
1（24-25高三上·四川泸州·月考）下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小、比较对数式的大小、比较正弦值的大小
【分析】利用单调性比较A；利用，比较B；利用中间值1比较C；利用，单调性比较D.
【详解】对于A，函数，在上单调递减，因为，所以，故A错误；
对于B， ，，所以，故B错误；
对于C，，，所以，故C正确；
对于D，函数，在上单调递增，，
，所以，故D错误；
故选：C.
2（25-26高三上·天津南开·期中）已知幂函数的图象过点，设，，，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小
【分析】根据幂函数的概念和幂函数图象过的点，可求出的值，从而根据幂函数的单调性可比较大小.
【详解】因为幂函数的图象过点，
所以，解得，
则，，
根据指数函数单调性知，即，
由上知幂函数的解析式为，函数为上的单调递增函数，
又，所以，即.
故选：B.
3（2025·天津河东·二模）已知，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】根据指数函数的性质可判断，再由对数函数的性质可判断，即可得出答案.
【详解】因为，
，，且，
故.
故选：A.
4（25-26高三上·河北沧州·月考）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】利用指数幂及对数的运算性质得到a，b，c的范围，即可比较大小.
【详解】因为，
而，因为，所以，
又因为，所以，所以；
而
，
因为，所以，
所以，所以，所以.
综上，可知
故选：A
5（2024·甘肃·模拟预测）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小、比较正弦值的大小
【分析】根据正弦及指数函数性质有，，构造研究的大小，即可得答案.
【详解】因为，故，而，
设，则，所以在上为增函数．
又，所以，即，所以．
综上，．
故选：D
6（25-26高三上·江苏扬州·月考）已知四个数，，，，其中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】由基本不等式比较大小、比较对数式的大小
【分析】由基本不等式可比较，再比较即可得解.
【详解】因为，且，
所以，
又，所以，
故最大的是d.
故选：D
7（25-26高三上·河北·期中）已知，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】比较对数式的大小
【分析】利用对数运算，分离“1”之后，结合底数、真数的大小关系，画出图象进行比较即可.
【详解】由，，，
因为，而，
画出的图象，

由图可知，，那么，
则，则，即．
故选：A．
8（24-25高三上·重庆·月考）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系
【分析】构建，利用导数判断的单调性，进而可得，再结合对数函数单调性可得.
【详解】记，则，
可知在上单调递增，则，即，
可得；
又因为，则，即；
所以.
故选：B.
9（2025·天津北辰·三模）设，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小
【分析】首先根据指数函数性质得到最大，再利用幂函数的单调性比较出大小关系即可.
【详解】因为，则，，
，即，
，
接下来比较和的大小关系，因为，而，
则，根据幂函数在上单调递增得，
即.
故.
故选：D.
10（25-26高三·湖北·月考）已知x，y，z都是大于1的正数，且，令，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化、由幂函数的单调性比较大小、指数幂的运算
【分析】根据条件，可设，由，，均大于1可知，从而可得出，利用幂函数的单调性，从而得出结论．
【详解】由，
令；
，，均大于1；
；
；
；
，
，且 是单调增函数，
，
故选：．
11（24-25高三·湖北·期中）设，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小
【分析】根据对数函数的单调性可得，构造函数，利用导数可得时，函数单调递减，进而有可得，即得.
【详解】因，故，故，
设，则，
令得，故当时，，
即函数在区间上单调递减，
因，故，
得，即，故，
故选：D
12（2025高三·全国·专题练习）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】表示出，并适当变形，观察式子，构造函数,，利用导数即可证明，，可比较大小.
【详解】由得，
由得，又．
取，则，，．
设，则，
所以在单调递增，又，则，
即，所以．
令，则，所以在单调递增，
则，故，则，即，所以．
故选：A.
13（25-26高三上·贵州遵义·月考）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】利用两个经典不等式和即可比较出，再构造函数，再求导利用其单调性即可比较出，则得到三者大小关系.
【详解】由题知，，，，先证在上恒成立，
设，，则，
则在上单调递增，则，则在上恒成立，
则在上恒成立，
故，，
先证明在上恒成立，
设，，则，
则在上单调递减，则，即在上恒成立，
即在上恒成立，
得，得，即.
，，构造函数，
，
在上单调递增，所以，
所以，即，即.
综上，，
故选：A.
14（多选）（25-26高三上·浙江丽水·月考）设，，为正实数，且，则的大小关系可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【知识点】指数式与对数式的互化、比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小
【分析】令，，讨论根据的单调性确定大小关系.
【详解】令，则，，，
所以，
当时，，故B正确；
当时，由函数在上为增函数知，所以，故A正确；
当时，由函数在上为减函数知，所以，故C正确D不正确；
故选：ABC
15（多选）（2024·湖北·一模）已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【知识点】基本初等函数的导数公式、对数的运算、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系
【分析】将，变形作差，可得，设，，求导判断函数的单调性即可判断；将变形，可得，设，，求导判断函数的单调性即可判断；根据，即可判断.
【详解】，，
，
令，，
则，在上单调递减，
所以，即，故正确；
因为，所以，
令，，
则，在上单调递减，所以，
即，故正确，
因为，，所以，故正确.
故选：.
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