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专题2.3 导数大题证明不等式归类
近三年：1、导数与不等式的结合是近3年的高考命题热点，以解答题为主，其分值高、难度大、区分度强，是决定考生能否获得高分的“胜负手”． 2、它体现在： ① 综合性增强：单一方法难以解决，需要多种技巧组合 ② 情境化背景：可能融入实际应用情境，但核心仍是导数工具运用； ③ 创新点预测：与三角函数、抽象函数等结合的可能性增大。 预测2026年：1、导数与不等式的结合题极大概率会继续作为压轴题出现. 题可能会在函数形式上创新，例如与三角函数(sinx, cosx)结合，增加函数本身的复杂性，但核心方法不变——求导、分析单调性、找最值、证不等式。会更加注重对代数变形能力和逻辑推理能力的考查。单纯的套用模板会越来越难得分，需要真正理解每一步推导的目的。 2、导数证明不等式的思想和方法，渗透在众多题型中： ① 零点问题： 要证明函数有唯一零点，往往需要先证明函数在零点两侧单调(利用不等式)，或证明函数在某个区间内大于0或小于0。 ② 参数范围问题： 求使不等式恒成立的参数范围，是导数不等式的直接应用。 ③ 数列不等式： 压轴题的最后一问有时会与数列结合，利用前面导数证明的结论进行放缩，求和证明数列不等式。
题型01直接构造函数法
解｜题｜策｜略 1 利用导数证明不等式，最简单的方法就是直接构造函数法：证明不等式，转化为证明，进而求构造函数的最值。 2 在构造函数时，要想想构造的函数是否复杂，计算量如何；求最值时，要确定构造的函数是否有最值。
1（24-25高二下·江苏连云港·月考）下列四个不等式①②③④中正确个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】利用导数证明不等式
【分析】由不等式构造函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，可得答案.
【详解】对于①，令，求导得，令，解得，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
令，求导得，令，解得，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，故①正确；
对于②，令，求导可得，令，，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，故②正确；
对于③，令，求导得，令，，
当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，故③错误；
对于④，令，求导可得，由，则，
所以函数在上单调递增，由，，则，
所以当时，，故④正确.
故选：C.
2(25-26高三上·北京丰台·期中)已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：当时，.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程(斜率)、利用导数证明不等式
【分析】(1)根据导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程；
(2)构造函数，利用导数可求得单调性，从而得到，原结论得证.
【详解】(1)定义域为，，，又，
在处的切线方程为.
(2)令，
则，在上单调递减，
，即当时，
3(2025·内蒙古赤峰·一模)已知函数.
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)证明：当时，；
(3)求函数的最小值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)1
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程(斜率)、利用导数证明不等式、由导数求函数的最值(不含参)
【分析】(1)根据导函数的几何意义，求出在点处的导函数值，写出切线方程即可.
(2)根据函数单调性与导函数的关系，通过单调性，说明不等式恒成立.
(3)根据导数说明函数单调性，进而根据函数奇偶性，以及函数单调性，说明函数的最小值，求出结果.
【详解】(1)，
在点处的切线的斜率，
在点处的切线的方程为.
(2)设，，
，
因为，恒成立，
在上单调递减；
，即，即，
所以当时，；
(3)的定义域是，对于，都有，
且，为偶函数；
，由，得
由(2)知，当时，，
在上单调递增；
因为为偶函数，所以在上单调递减，在上单调递增
当时，.
题型02 利用第一问结论求解
解｜题｜策｜略 在一些试题中，第一问往往会给到第二问一些提示信息，有如下几种情况： 1 可利用第一问的单调性提炼出不等式； 2 可利用第一问的最值提炼出常数不等式； 3 可利用第一问构造新的函数等等。
1(25-26高三上·上海·单元测试)已知函数，为自然对数的底数)．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，求证：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【知识点】利用导数求函数(含参)的单调区间、利用导数证明不等式、由导数求函数的最值(不含参)
【分析】(1)求导，即可结合分类讨论求解，
(2)根据函数的单调性可得最值点，即可代入求证.
【详解】(1)，
①若，恒成立，此时函数的单调递减区间为；
②若，令，得，令，得．
此时函数的单调增区间为，单调减区间为．
综上所述，当时，函数的单调减区间为，
当时，函数的单调增区间为，单调减区间为；
(2)由(1)得，函数在处取得极小值，也是最小值，最小值为，
因为，所以，
即函数的最小值，所以．
2(2023·吉林长春·模拟预测)已知函数.
(1)求的最小值；
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明过程见解析
【知识点】利用导数证明不等式、由导数求函数的最值(不含参)
【分析】(1)利用导数的性质进行求解即可；
(2)利用(1)的结果，取特殊值代入进行证明即可.
【详解】(1)显然该函数的定义域为全体正实数，
由，
当时，，所以函数单调递增，
当时，，所以函数单调递减，
因此；
(2)由(1)可知：，即，
即，
当时，.
3(25-26高三上·安徽·期中)已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若，证明：当时，.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【知识点】利用导数求函数(含参)的单调区间、利用导数证明不等式、函数单调性、极值与最值的综合应用
【分析】(1)求导可得解析式，分别讨论、和三种情况，根据二次函数的性质，分析即可得答案.
(2)由(1)可得的单调性和最大值，只需证即可，令，利用导数判断的单调性，分析即可得证.
【详解】(1)由题意，
①若时，恒成立，则在上单调递减；
②若时，此时，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
③若时，此时，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
(2)若，由(1)可得，在上单调递增，在上单调递减，
所以在区间上有最大值，只需证明即可.
令，则，
当时，，所以在区间上单调递减，
由于，所以，即得证，
所以若，当时，.
4(25-26高三上·安徽淮北·期中)设函数
(1)时，求函数的最大值.
(2)讨论的单调性.
(3)当时，证明：.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【知识点】利用导数求函数(含参)的单调区间、利用导数证明不等式、由导数求函数的最值(不含参)、函数单调性、极值与最值的综合应用
【分析】(1)求出导函数，根据导函数正负判断出原函数单调性，即可得出最大值；
(2)求出导函数，结合定义域和的正负分类讨论即可；
(3)由(2)的讨论得出，证明其小于等于即可.
【详解】(1)函数的定义域为，
当时，，
.
当时，单调递增，
当时，单调递减，
.
(2)定义域为，，
若，则在单调递增，
若则时，单调递增，
时，单调递减，
综上所述：时，在单调递增.
时，在单调递增，在单调递减.
(3)由(2)知，时，，
等价于，即.
设，，
当时，单调递增.
当时，单调递减，
，∴当时，，
从而时，，即
题型03 证明数列不等式
解｜题｜策｜略 1遇到数列的不等式，方法较多，比如数学归纳法、放缩法、导数法等；在利用导数法时，关键在于构造函数； 2 要注意利用第一问或第二问的引导，从中找到构造函数的思路。
1(25-26高三上·四川自贡·月考)已知函数，，
(1)讨论函数的单调性：
(2)若不等式在上恒成立，求实数的所有取值构成的集合；
(3)当时，定义数列满足：，，，证明：，.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【知识点】利用导数求函数(含参)的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式、由递推关系证明等比数列
【分析】(1)求导，分和两种情况，利用导数判断函数的单调性；
(2)根据题意可知，根据端点效应可得，并把代入检验即可；
(3)根据的单调性和符合分析可得，设，分析可知原题意等价于，构造，，利用导数证明即可.
【详解】(1)由题意可知：的定义域为，且，
①当，，可知在上单调递增；
②当，令，解得，
当，，可知在上单调递增;
当，，可知在上单调递减.
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
(2)因为不等式在上恒成立，且，
则，解得，
若，由(1)可知在上单调递增，在上单调递减，
则，符合题意；
综上所述：实数的所有取值构成的集合为.
(3)当时，由(1)可知在上单调递增，
且，则等价于；等价于；
因为，且，
则，可得，
且，所以，
以此类推可得：，.
设，则，
要证，即为，
等价于，两边乘以，
整理为，
令，，
则，，
令，，
可知在上单调递增，则，即，
可知在上单调递增，可得，
即，所以，.
2(2025·甘肃武威·模拟预测)已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若，，求的取值范围；
(3)若，数列的前项积为，求证：.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【知识点】利用导数求函数(含参)的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式
【分析】(1)通过，，三种情况讨论即可；
(2)构造，通过求导，分，，三种情况讨论即可；
(3)由(2)取得到，在成立，令，得到，进而得到，进而可求证.
【详解】(1)，，
，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递减；
当时，由，得，
由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
(2)，，
即
令，且，
而，
令，则
①当时，，在单调递增；
又，所以当，即；
②当，即时，，
，即在单调递增；
又，所以当，即；
③当时，有两根，.
因为，
所以，.
可得：由，即，得，
由，即，得，
所以单调递增区间为；单调递减区间为.
又，即存在，使得，不符合题意，舍去；
综上所述，的取值范围是
(3)由(2)知，当时，
在成立，
令，
则，
则，
即
所以
所以，得证.
题型04 证明数列不等式之无限和裂项型
解｜题｜策｜略 导数与数列结合的不等式证明近几年多见，不等式中有的话，我们会想到求和，在证明中可利用一些裂项公式，，等。
1(25-26高三上·甘肃·月考)已知函数.
(1)若在上单调递增，求实数的取值范围；
(2)设，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数证明不等式
【分析】(1)在上单调递增等价于在上恒成立，再分离参数，结合不等式求最值即可；
(2)令，利用小问(1)可得到：，再根据此式放缩，累加即得答案.
【详解】(1)，
因为在上单调递增，所以在上恒成立，
所以恒成立，令，只需，
，
当且仅当，即时等号成立，所以.
由，得，即的取值范围是.
(2)由(1)知，当时，在上单调递增，
所以当时，，即.
令，，所以，
即，所以，.
当依次取1，2，…，n时，，，…，.
上面式子叠加即得.
2(25-26高三上·四川广安·月考)已知，．
(1)证明：为等差数列，并求的通项公式；
(2)令，为的前项之积，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式、数列不等式恒成立问题、利用导数证明不等式
【分析】(1)根据已知可得，且，由等差数列的定义写出通项公式即可；
(2)利用导数证明 ，进而得到，可得，累加即可证.
【详解】(1)由，又由题意知，，
左右同时除以得，
又因为，则，则，
故是以3为首项，3为公差的等差数列，
所以，可得.
(2)因为，则，
所以，
令函数，求导得，
所以在上单调递增，，即，
取，则，于是，
所以，
则.
3(2025·广东佛山·一模)已知函数，.
(1)讨论的零点个数；
(2)若为正整数，记此时的零点为.证明：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性、求函数零点或方程根的个数
【分析】(1)解法1：对函数求导，然后对结合函数单调性分析得出结论；解法2：令，根据条件变形得出构造新函数对函数求导，结合函数单调性分析即可.
(2)结合(1)知，当时，函数有一个零点得出，变形得出相应不等式，构造不等式结合对数函数运算性质以及函数导数与单调性证明不等式即可.
【详解】(1)解法1：，
①当时，，函数无零点；
②当时，在上恒成立，
所以函数在上单调递减.
因为当时，，且，
所以函数在上存在唯一的零点.
③当时，令得，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
所以.
因为当时，且当时，，
所以，当即时，
函数在和上各存在一个零点；
当即时，函数有一个零点；
当即时，函数不存在零点，
综上所述，当时，函数有2个零点；
当或时，函数有一个零点；
当时，函数不存在零点.
解法2：令，
因为，所以，则，
令，则，
当时，，
当或时，，
所以在单调递增，在，单调递减，
所以，
当且时，，
当时，；
当时，，
所以，当时，函数有2个零点；
当或时，函数有一个零点；
当时，函数不存在零点.
(2)由(1)知，当时，函数有一个零点.
因为即，
所以，
先证.令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，即，即
因为，所以，
因为，
所以，即，
所以，，
所以，
因为，
所以，即，
又因为，
所以，
所以，
所以得证.
题型05 利用函数“凹凸性”证明不等式
解｜题｜策｜略 1 对于一些指幂对函数型函数，具有明显的“凹凸性”，在不等式中可分离出两个函数，而它们的凹凸性是不同的，结合图形能较好得到解题思路； 2 或求出它们的最值再比较，或利用切线证明； 3 如何分离出两个具有不同凹凸性的函数，是个难点，了解一些常见的函数是必要的。
1(2025高三·全国·专题练习)已知函数，，证明：．
【答案】证明见解析
【知识点】判断凹凸性
【分析】由可得的凹凸性，由此可得结论.
【详解】，，在上是下凸函数，
.
2(25-26高三上·山东青岛·月考)已知函数．
(1)若是单调递减函数，求实数的取值范围；
(2)当时，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数证明不等式
【分析】(1)方法一：根据函数的单调性，可得恒成立，分离参数，转化成恒成立，再设，求导，分析函数单调性，求函数的最大值即可.
方法二：根据函数的单调性，可得恒成立，分类讨论，可得实数的取值范围.
(2)方法一：令，利用导数分析函数的单调性，求函数的最小值即可，需多次求导.
方法二：采用放缩法，把问题转化为：只需证，再设，，分别求的最大值，的最小值即可.
【详解】(1)解法一：因为是单调递减函数，
所以恒成立，
所以恒成立，即，
令，则，
所以在上单调递减，
所以，所以．
解法二：由题意得，，
令，所以，
所以在上单调递减，当，
即时，，即，所以在上单调递减．
当，即时，，
使得在时，，即，
所以在定义域上单调递减不成立．所以．
(2)证法一：令，
所以，因为，
所以，
令，则，
因为，所以，所以在单调递增，
所以，所以，所以，
所以，
因为，所以，所以在上单调递减，
所以，所以．
证法二：因为，所以，
欲证，所以只需证，
所以只需证，
令，则，
令，则，
因为，所以，所以在单调递增，
所以，即，所以，
所以，
因为在上单调递减，
所以的最大值为，令，则的最小值为，
所以，即．
题型06 同构法
解｜题｜策｜略 1 在证明不等式构造函数时，想直接看出来一般会有难度，可能要对不等式进行变形，此时就要用到同构的方法； 2 一些常见的同构变形： ，.
1设x＞0，y＞0，若ex+lny＞x+y，则下列选项正确的是(　　)
A．x＞y B．x＞lny C．x＜y D．x＜lny
【答案】B
【详解】不等式+lny＞x+y等价于﹣x＞y﹣lny，
令f(x)＝﹣x，则f(lny)＝﹣lny＝y﹣lny，
∴不等式﹣x＞y﹣lny等价于f(x)＞f(lny)，
∵f'(x)＝﹣1，
∴当x∈(0，+∞)时，f'(x)＝﹣1＞0，f(x)在区间(0，+∞)上单调递增，
∴若y∈(1，+∞)，则lny∈(0，+∞)，由f(x)＞f(lny)有x＞lny；
若y∈(0，1]，则lny≤0，由x＞0，有x＞lny．
综上所述，设x＞0，y＞0，若+lny＞x+y，则有x＞lny．
故选：B．
2（2025·广东佛山·一模）若，则下列结论可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、比较函数值的大小关系
【分析】分析化简不等式，构造新函数，求导判断单调性，根据单调性逐项判断不等式是否正确即可.
【详解】依题意得，则，
令，则.
因为，求导得，
易得在上递减，在上递增，
当，时，，即，B错误，D正确.
当，时，，即，A和C错误.
故选：D.
3（2022·陕西宝鸡·一模）已知，，则下列关系式不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式
【分析】构造函数，利用导数判断其单调性可判断AB；
构造函数，，利用导数判断单调性可判断CD.
【详解】对于，两边取对数得，
即，
构造函数，，
当时，，是单调递增函数，
当时，，是单调递减函数，
若，则，即，故A正确；
若，则，，故B正确；
构造函数，，
，当时，，单调递增，所以，
，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，
所以时 ，即，
所以成立，不可能成立，故C正确D错误.
故选：D.
【点睛】思路点睛：双变量的不等式的大小比较，应该根据不等式的特征合理构建函数，并利用导数判断函数的单调性，从而判断不等式成立与否.
题型07 切线放缩型
解｜题｜策｜略 1 证明不等式时，有时候要适当放缩，但是如何放缩与放缩到什么程度是个难点； 2 对于一些具有凹凸性的函数，我们可以采取切线放缩，此时要数形结合，了解构造的函数的基本图形与性质，在极值点或最值点的位置往往是找到切线的关键； 3 常见的不等式 。
1已知函数，，证明。
【答案】证明见解析
【详解】令，
函数的定义域为，
设，则，
在上递增，则,
,
又，所以,
。
2（25-26高一上·新疆喀什·期中）已知函数.
(1)若恒成立，求实数的取值范围；
(2)证明：当时，.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】（1）根据给定条件，分离参数并构造函数，利用导数求出最大值即可得解；
（2）构造函数，，利用导数证得，再利用函数单调性及不等式性质推理即得.
【详解】（1）函数的定义域为，，
令，依题意，恒成立，，
当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，，
于是，所以实数的取值范围是.
（2）当时，令，求导得，函数在上单调递增，
则，即，因此，，
令，，求导得，即函数在上单调递增，
，即，于是，
所以.
3已知函数f(x)＝ex﹣1﹣x﹣ax2．
(1)当a＝0时，求f(x)的单调区间；
(2)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若x＞0，证明：(ex﹣1)ln(x+1)＞x2．
【答案】证明见解析
【分析】(1)由题意，对函数f(x)进行求导，利用导数即可得到函数的单调区间；
(2)对函数f(x)进行求导，构造函数h(x)＝ex﹣1﹣2ax，对函数h(x)进行求导，分别讨论a的取值范围，进而可解；
(3)由(2)得，且x＞0时，，即，此时问题转化成求证，构造函数，利用导数得函数的最小值可得结论．
【详解】(1)当a＝0时，f(x)＝ex﹣1﹣x，函数定义域为R，
可得f′(x)＝ex﹣1，
当x＜0时，f′(x)＜0；当x＞0时，f′(x)＞0，
所以f(x)在(﹣∞，0]上单调递减，在[0，+∞)上单调递增；
(2)已知f′(x)＝ex﹣1﹣2ax，
令h(x)＝ex﹣1﹣2ax，函数定义域为R，
可得h′(x)＝ex﹣2a，
当2a≤1，即时，
此时h′(x)≥0，h(x)单调递增，
所以h(x)≥h(0)，
即f′(x)≥f′(0)＝0，
所以f(x)在[0，+∞)上为增函数，
此时f(x)≥f(0)＝0，满足条件；
当2a＞1时，
当0≤x＜ln2a时，h′(x)＜0，h(x)单调递减，
所以h(x)＜h(0)＝0，
即f′(x)＜f′(0)＝0，
所以f(x)在(0，ln2a)上单调递减，
此时f(x)＜f(0)＝0，不满足题意，
综上，实数a的取值范围为；
(3)证明：由(2)得，当且x＞0时，，
即，
要证(ex﹣1)ln(x+1)＞x2，
需证，
即证，
要证，
设，
可得，
当x＞0时，F′(x)＞0恒成立，
所以F(x)在(0，+∞)上单调递增，
因为F(0)＝0．
所以F(x)＞0恒成立，原不等式成立．
题型08 极值偏移之和型
解｜题｜策｜略 1 在极值偏移问题中，证明类似和型的不等式是最常见和简单的，其中方法很多，对称化构造函数或利用对数不等式等。 2 常见的有 (1)极值点偏移() (2)拐点偏移 。
1(2025高三·全国·专题练习)若有两个不等的零点，且，求证：.
【答案】证明见解析
【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式
【分析】构建，原题意等价于与有2个交点，利用导数分析的单调性和极值，即可得的取值范围，利用切线放缩可证，即可得结果.
【详解】令，可得，
构建，原题意等价于与有2个交点，
因为，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，则，
当趋近于0时，趋近于0；当趋近于时，趋近于；且，

若与有2个交点，且，
可得，且，
又因为，即，
因为，，，
可知在处的切线方程为，即，
令，则，
令，解得；令，解得，
可知在单调递减，在单调递增，
则，
即，当且仅当时，等号成立，
令，可得；
令，可得；
则，，所以.
2(25-26高三上·山东菏泽·期中)已知函数.
(1)时，求曲线在点处的切线方程；
(2)有2个零点，，且.
(i)求的取值范围；
(ii)证明：.
【答案】(1)
(2)(i)；(ii)证明见解析
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程(斜率)、利用导数证明不等式、函数单调性、极值与最值的综合应用
【分析】(1)求导，利用导数的几何意义求解；
(2)(i)令，时，不成立时，得，构造函数，利用导数法，求单调性，结合图像求解即可.(ii)利用的增减性，通过构造 函数，求的导数，构造函数，求的导数，通过增减性求解即可.
【详解】(1)当时，，
则，
则，且，
则切点，且切线的斜率为，
故函数在点处的切线方程为.
(2)(i)令，时，不成立，
时，得，
设，则，
由解得单调增区间为，
由解得单调减区间为，；
作出函数图像.

要使函数有2个零点，
则方程在内有2个根，即直线与函数的图象有2个交点.
又，故的取值范围为；
(ii)由图象可知，，
要证；即证；
又，，在上为增函数，则只需要证，
又，则只需要证，，
则构造辅助函数，
，
令，，
故为减函数，
所以，，，
所以，
所以为减函数，
所以，所以，
所以，所以，
故，.
3(2025·四川眉山·模拟预测)已知函数，且曲线在处的切线与直线垂直.
(1)求的值；
(2)求的极值；
(3)若，且，证明：.
【答案】(1)
(2)极大值为，极小值为
(3)证明见解析
【知识点】求已知函数的极值、利用导数证明不等式、已知切线(斜率)求参数
【分析】(1)根据导数的几何意义即可求解；
(2)根据极值的定义即可求解；
(3)构造函数，，证明，构造，，证明，最后根据不等式的基本性质即可求解.
【详解】(1)由题意可得.
因为曲线在处的切线与直线垂直，
所以，解得.
(2)由(1)得，，
令，解得或，
当时，，则在和上单调递增；
当时，，则在上单调递减.
故的极大值为，极小值为.
(3)由(2)知.
设函数，，，
则在上恒成立，即在上单调递增，
故，即在上恒成立，
因为，所以.
因为，，且在上单调递减，
所以，即.
设函数，，，
则在上恒成立，即在上单调递增，
故，即在上恒成立，
因为，所以，
因为，，且在上单调递增，
所以，即.
又，所以，则，即.
题型09 极值偏移之积型
解｜题｜策｜略 1 在极值偏移问题中，证明类似积型的不等式也是常见的，它与和型的证明方法差不多； 2 有时候积型可以通过证明和型后再用基本不等式证明。
1(25-26高三上·安徽六安·月考)已知函数).
(1)讨论的单调性；
(2)设的导函数为，若有两个不相同的零点，.
①求实数的取值范围；
②证明：.
【答案】(1)答案见详解
(2)①；②证明见详解
【知识点】利用导数求函数(含参)的单调区间、利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
(2)①通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数确定a的范围即可；
②问题转化为证，即证，设函数，根据函数的单调性证明即可．
【详解】(1)的定义域为，且．
若，成立，所以在为增函数；
若，当时，，所以在上为增函数；
当时，，所以在上为减函数．
(2)①由(1)知，当时，至多一个零点，不合题意；
当时，的最小值为，
依题意知，解得．
一方面，由于，，在为增函数，且函数的图象在上不间断．
所以在上有唯一的一个零点．
另一方面， 因为，所以．
令，令，
当时，，
所以
又，在为减函数，且函数的图象在上不间断．
所以在有唯一的一个零点．
综上，实数的取值范围是．
②易知，
不妨设，由①知．
要证，即证．
因为在上为减函数，
所以只要证．
又，即证．
设函数．
所以，所以在为增函数.
所以，所以成立．
从而成立.
2(25-26高三上·山西·月考)已知函数.
(1)若，求的单调区间.
(2)若有两个不同的零点.
(i)求的取值范围；
(ii)证明：.
【答案】(1)单调递增区间，单调递减区间；
(2)(i)；(ii)证明见解析.
【知识点】利用导数求函数的单调区间(不含参)、利用导数研究双变量问题、利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式
【分析】(1)求导，根据导数计算即可；
(2)(i)令，求导，作出函数图象，结合题意计算可解；(ii)由可得，要证，即证，令，求导，根据导数计算即可得证.
【详解】(1)若，则，
求导，
令，则，解得，负值舍去，
当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
即函数单调递增区间，单调递减区间；
(2)(i)若，则，
令，
，
令，则，
当时，，所以在区间上单调递增，
又，所以在区间有唯一零点，
当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；
当时，，当时，，
当时，函数有最小值，即，
作出函数的大致图象如下：

由题意可知有两个不同的零点，
则函数与函数有两个不同的交点，即，
所以的取值范围是；
(ii)由(i)可知，，
由可得，
要证，即证，即，
因为函数在区间上单调递减，即证，
因为，所以证即可，
设，
则，
当时，恒成立，当且仅当时等号成立，
所以函数在区间单调递减，
所以，即成立，
所以，即成立.
3(25-26高三上·安徽·月考)已知函数，．
(1)分析函数的单调性；
(2)若函数在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)令，若存在使得，证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)；
(3)证明见解析
【知识点】利用导数求函数(含参)的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式
【分析】(1)求导得，再对进行分类讨论；
(2)利用换元法并登记啊转化为证明在上恒成立，求导后再对分类讨论即可；
(3)代入后分离出，等价转化为证明，再代入，设新函数再求导即可证明.
【详解】(1)由题意可得，的定义域为，，
当时，，，单调递增；
当时，令，，
①当时，，，
，，单调递增，
，，单调递减，
，，单调递增，
③当时，(舍)，，
，，单调递减，
，，单调递增，
∴综上所述，当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在单调递增；
(2)依题意，，
令，即在上恒成立，
设，只需证在上恒成立，
则，，
①当，即时，
，单调递增；
，故满足条件．
②当，即时，
设，，
则，
因为，则，则，，则，
则在上单调递增，即在上单调递增，
；，；
∴存在使得，
，，单调递减，
，，单调递增，
，故不满足条件，舍去．
∴综上所述，的取值范围为．
(3)设．由可得，
，，
要证，即证明：
即要证．
令，即要证，
即要证在上单调递增，
即要证在上恒成立，
即要证在上恒成立．
设，则，令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，，
设，，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，单调递增，，
恒成立，
∴得证：．
题型10 极值偏移之平方型
解｜题｜策｜略 1 在极值偏移问题中，证明类似平方型的不等式也是常见的，它与和型的证明方法差不多； 2 部分题目中可以得到和型或积型不等式后，再用基本不等式证明的。
1(25-26高三上·河北·月考)已知函数，且有两个零点.
(1)求的取值范围；
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】导数中的极值偏移问题、利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】(1)求定义域，求导，得到函数单调性，结合函数走势，得到不等式，求出答案；
(2)先证明对一切不相等的正实数，都有，进而得到，则，由基本不等式得，进而求出.
【详解】(1)定义域为，
由题意可得.
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减.
当时，，当时，，且，
则，解得，即的取值范围为；
(2)证明：先证明对一切不相等的正实数，都有.
不妨设，要证，即证
设，
则，
所以在上单调递增，所以，即当时，有，
故，即.
因为是的两个零点，所以
所以，则，
所以，则.
因为，所以.
因为，
所以.
因为，所以，即.
2(25-26高三上·四川成都·期中)已知函数．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)设；若是方程的两个不同实根，求证：
(3)若对任意，都有，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程(斜率)、利用导数证明不等式
【分析】(1)分别求解与，结合点斜式求解曲线的切线斜率；
(2)令，可得，设，于是可将证明不等式转化为证明，构造函数，求导确定单调性从而证得结论；
(3)令，将已知不等式转化为，由函数的单调性可得，讨论，，验证不等式是否恒成立，从而得实数的取值范围．
【详解】(1)由题意可知当时，，
则点，
，所以，
所以在处的切线方程为，即；
(2)证明：由题意知，
令，又，
即，所以，
所以，设函数，
则，
所以，
所以在上单调递减，在上单调递增，
欲证，即证，
不妨设，则，则，
令，
由
，
所以在上单调递减，，
所以，即
又在上单调递增，所以，即，
故得证；
(3)恒成立等价于，
令，上述不等式化为
令，则该函数单调递增，
即，
所以，
若，取，显然，与题设矛盾；
若，取，有，也与题设矛盾；
所以，则，
不妨设，
则
当时，，
所以在上单调递增，则，此时满足，
当时，令，
则
，
由导数的意义可知在的极小的区域内值为负，则取，有，与题设矛盾；
综上所述：
题型11 比值换元型
解｜题｜策｜略 在证明不等式时，遇到类似的不等式证明，我们会利用比值换元的方法证明，令，则可把问题转化为证明.
1(25-26高三上·天津蓟州·期中)已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若有两个正零点，且．
(i)求的取值范围；
(ii)求证：．
【答案】(1)答案见解析
(2)(i)；(ii)证明见解析
【知识点】导数中的极值偏移问题、利用导数求函数(含参)的单调区间、利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式
【分析】(1)利用导数分析函数的单调性，从而得函数的单调区间；
(2)(i)结合(1)的分析，确定满足的条件，从而求得的取值范围；(ii)通过构造函数证明对数均值不等式，从而证得.
【详解】(1)函数的定义域为，求导得，
当时，，所以函数在上单调递增；．
当时，令，解得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增．
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
(2)(i)由题意知方程有两个不同的正实根，
由(1)知，且，所以，解得．
(ii)由(1)得，所以，两边同时取自然对数，
得，两式相减得，即，
要证，只需证明，
令，只需证明构造函数，
求导得，所以函数在上单调递增，
于是，所以不等式(*)成立，于是原不等式成立．
2(25-26高三上·河南·期中)已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，若不等式恒成立，求的值；
(3)若有两个不同的零点，)，且恒成立，
求实数k的最小值.
附：当时，.
【答案】(1)答案见解析
(2)-4
(3)0.
【知识点】利用导数求函数(含参)的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式
【分析】(1)对函数求导，分两种情况分别讨论函数的单调性.
(2)先确定当时的单调区间和零点，即，，然后使得的两根恰为m，n，结合韦达定理对进行化简求出结果即可.
(3)先确定的两个零点之间的关系式，令，代入进行化简，构造新函数令，然后求导判断单调性，即可求得的最小值.
【详解】(1)由题可知的定义域为，，
当时，，此时单调递减，
当时，令，可得，
当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减.
综上，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
(2)当时，，
由(1)可知，在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
所以存在，，使得，
即，.
要使不等式恒成立，必有的两根恰为m，n.
由根与系数的关系可得，，
所以.
(3)由(1)可知，时不符合题意，
当时，，
又，当时，，
所以若有两个不同的零点，则，解得，且.
由可得.
由，可得，，所以(*).
令，则，，代入(*)式可得，则，
所以，，则.
所以.
令，，则.
令，则，
易知当时，，
所以，在上单调递减.
所以，所以，在上单调递增.
由题可知，当时，，
所以k的最小值为0.
3(25-26高三上·山西运城·期中)已知A，B，C为函数图象上不同的三点．它们的横坐标依次成等差数列，且函数在点处的切线斜率恒小于直线AC的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数．设函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)已知函数
①证明：当时，是其定义域上的“等差偏移”函数；
②当时，函数，数列满足．其前项和为，试证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)①证明见解析；②证明见解析
【知识点】利用导数求函数(含参)的单调区间、利用导数证明不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数新定义
【分析】(1)求导后，对参数进行讨论，即可求解单调区间；
(2)①根据“等差偏移”函数的定义来作差比较大小，然后构造函数求导进行证明即可；
②利用先证明对数不等式，再放缩,利用构造法和迭代法求得通项不等式，从而求和即可得证.
【详解】(1)函数的定义域为R，求导得：，
当时，恒成立，函数在R上单调递增；
当时，令，解得，
当时，，函数在单调递减，
当时，，函数在单调递增，
函数的单调增区间为，单调减区间为
综上所述：当时，函数在R上单调递增；
当时，函数的单调增区间为，单调减区间为；
(2)①设三点的横坐标成等差数列，
且满足，则，
又由，，
则，，
令，则，令，求导得，
在内单调递增，，即，
因为，，所以，
即函数在点处的切线斜率恒小于直线AC的斜率，
所以当时，是其定义域上的“等差偏移”函数；
②由，
当时，，，
设，求导得，
当时，，则在内单调递增，
， ，符合题意，
构造函数，求导得，
在内单调递增，则，
当时，，
，即，
，即，得
，
即，
．
题型12 三角函数型不等式证明
解｜题｜策｜略 1 三角函数型的不等式，在导数与不等式结合的题型中最近较为多见，难度较大； 2 证明三角函数型不等式，往往用到三角函数的有界性、必要性探路、分段处理等手段。
1（2025·山东济南·一模）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、用和、差角的正弦公式化简、求值
【分析】令，求导分析单调性可得A错误；令求导分析单调性可得B错误；令，由诱导公式和两角和的正弦展开式可得C错误；
令，求导后放缩得单调性后可得D正确.
【详解】对于A，令，则，
所以在上单调递减，即，
所以，故A错误；
对于B，令，，则，
所以在上单调递增，即，故B错误；
对于C，因为，令时，，
，
因为，所以，故C错误；
对于D，令，，则，
由三角函数线可得当时，，所以，
所以，
所以在上单调递增，，，
即，故D正确.
故选：D
2(25-26高三上·河南·月考)设函数.
(1)求证：函数不单调；
(2)当时，求证：；
(3)若的解集为，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数单调性、极值与最值的综合应用
【分析】(1)直接判断导数在定义域上有正有负即可；
(2)运用导数求解函数的最大值，再判断最大值小于2可得；
(3)构造函数，进而转化为同样等价于：对所有恒成立；对所有恒成立.再分别按恒成立问题解得.
【详解】(1)由，得 .
所以，.
由在上连续，且，由零点存在性定理，存在，使得.
所以在上有正有负，因此函数不单调.
(2)当时，，，，
当时，，两者不同时为0，且，所以.
当时，令，得，即.
根据函数与函数的图象可知，在区间上有且仅有一个交点，
即存在唯一，使得，即.
,所以在处取得最大值.
又，.
,
设，则在区间上单调递减，
.
，即的最大值小于2，.
(3)由，即，
令，.
又因的解集为，所以不等式的解集为.
同样等价于：对所有恒成立；对所有恒成立.
由的图象是一条连续不断的曲线，.
，当时，，
所以，函数在上单调递减.
在区间上的最大值为.
在区间上恒成立，满足条件.
当时，要求，即，
设，则，
在区间上，，，在区间上单调递减.
又，所以在区间上先增后减，
即在区间上的最小值在或处取得.
在区间的最小值只能是0或.
要使在区间上恒成立，则.
综上所述，.
又，的取值范围为.
3(2025·广东·模拟预测)设函数.
(1)若，证明：当时，；
(2)若，证明：；
(3)若存在，使得当且仅当时，，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式、函数单调性、极值与最值的综合应用
【分析】(1)利用求导判断函数的单调性即可证明；
(2)证法一：通过求导推得在区间上单调递增，在区间上单调递减，化简计算得到，要证等价于证明，即证，由计算即得证得；证法二：由(1)可推出在区间上恒成立，又当时，，分析去掉等号即可得证；
(3)设，则不等式等价于，分析可得 ，分类讨论时满足条件的的范围，易得当时满足条件，当时，分析讨论函数的单调性，推得在区间上的最小值在或处取得，从而得到，即得的取值范围.
【详解】(1)当时，，
则，
当时，，故，
所以在区间上单调递减，所以，即.
(2)证法一：当时，.
当时，，此时；
设，则，
当时，，当且仅当时取等号，
故在区间上单调递减，
又，因此存在唯一的，使得，
即，即，
且当时，，当时，，
故在区间上单调递增，在区间上单调递减.
由.
由且，得.
故，
要证等价于证明，即证.
因为，所以，不等式成立，
即得证.
解法二：由(1)知当时，，
当时，，所以，
所以在区间上恒成立，
所以当时，，
由于前面的等号在处取到，后面的等号在处取到，
所以，即.
(3)设，不等式等价于，
故题目等价于：对所有恒成立，且对所有恒成立，
由于的图象是一条连续不断的曲线，
故由所有恒成立可知必有，
由对所有恒成立可知必有，故.
现求时满足条件的的范围.
① 当时，，
故在区间上单调递减.则在区间内的最大值为，
因此在区间上恒成立，满足条件；
②当时，，即，记，则，
当时，，故，则在区间上单调递减，
又，故在区间上先递增再递减，
也即在区间上的最小值在或处取得.
又，故在区间上的最小值只能是0或.
要使在上恒成立，需使，解得.
综上，要存在使题设成立，必须满足.
又，当时，.
故的取值范围是.
4(25-26高三上·湖南长沙·月考)已知函数.
(1)判断函数在区间上的零点个数，并说明理由；
(2)若函数在区间上恒成立，求正整数的最小值；
(3)求证：.
【答案】(1)有且仅有1个零点，理由见解析
(2)3
(3)证明见解析
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式
【分析】(1)利用导数研究函数单调性，结合零点存在定理判断零点个数；
(2)先利用当时不等式成立，得，然后利用导数法证明在区间上恒成立；
(3)先由(2)得，于是，利用累加法证明左边；再令，利用导数法研究单调性，求得，于是，利用累加法证明右边，即可证明.
【详解】(1)在区间上的零点个数为1，理由如下：
，当时，，
故在区间上单调递增，又因为，
故在区间上有且仅有1个零点.
(2)当时，，于是，
下面证明：在区间上恒成立.
令，
则，
由(1)可知在区间恒成立，
于是在区间上单调递增，所以，
综上，正整数的最小值为3.
(3)先证明左边：
由(2)知，在区间上恒成立，即，
于是
，
累加得：
.
再证明右边：
令，则，
由于时，，故存在唯一的，使得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，即，
所以，
累加得：，
综上，.
(建议用时：60分钟)
1（23-24高二下·广东广州·期末）下列四个不等式①，②，③ ，④ 中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式
【分析】首先证明、，利用判断①②③，令令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可说明④.
【详解】令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以（当且仅当时取等号）；
令，，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
所以（当且仅当时取等号）；
对于①：当时，所以，故①正确；
对于②：因为（当且仅当时取等号），所以，当且仅当时取等号，故②正确；
对于③：（当且仅当时取等号），故③错误；
对于④：令，，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，则，
所以（当且仅当时取等号），故④正确；综上可得①②④正确．
故选：C
2（2022·江苏·二模）已知实数，且，为自然对数的底数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数证明不等式
【分析】化简条件后根据形式构造函数，利用单调性判断不等式
【详解】因为，所以，
函数在上单调递增，且，因为
所以，所以，即，
又，所以，所以，即，综上，.
故选：D
3（2025高三·全国·专题练习）已知函数有两个不同的零点且有，则下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、利用导数研究双变量问题
【分析】对A、B，求导讨论函数单调性，然后计算可知；对C，，两边取对数然后结合对数均值不等式判断即可；对D，构建函数，然后求导可知函数单调性，结合，计算判断即可.
【详解】由题得，故当时，，不符合题意．
当时，令，得，若，则；若．则．
由题知必有，故．因为，所以．则A，B正确．
由和知，因为，
所以等号两边取对数得，即，
由对数平均不等式知，即．则C错误．
构造函数．
则，所以单调递增，故，即．
由知，
所以，
因为在上单调递增，所以．则D正确．
故选：C．
4(25-26高三上·天津蓟州·期中)已知函数.
(1)求曲线在点处的切线斜率；
(2)当时，求证：．
【答案】(1)1
(2)证明见解析
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程(斜率)、利用导数证明不等式、由导数求函数的最值(不含参)
【分析】(1)求导得，再代入计算求出即可；
(2)设，再求导得到其最小值即可证明.
【详解】(1)由，可得，
所以切线斜率为．
(2)令，
则，
当时，所以在上单调递减，
当时，所以在上单调递增，
所以当时，有最小值为，
所以当时，，即当时，．
5(25-26高三上·安徽·月考)已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)设，当时，证明．
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)证明见解析
【知识点】利用导数求函数的单调区间(不含参)、利用导数证明不等式、函数单调性、极值与最值的综合应用
【分析】(1)利用导数研究函数的单调性即可；
(2)构造新函数，利用导数分析新函数的单调性及最值，通过证明的最小值大于等于零，证明．
【详解】(1)当时，，则 .
当时，，所以在单调递增；
当时，，所以在单调递减．
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)设，则.
因为，所以当时，，所以)在单调递减；
当时，，所以)在单调递增．
所以当时，取得极小值，即最小值，最小值为.
设，则.
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减．
所以当时，取得极小值，即最小值，最小值为.
即的最小值为0，即.
综上所述，，即.
故得证.
6(2024·江苏扬州·模拟预测)已知函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若有两个不同的零点，证明．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】导数中的极值偏移问题、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式
【分析】(1)直接用导数求出的最大值即可；
(2)构造并证明时，并对该不等式代入特殊值即可得证.
【详解】(1)首先由可知的定义域是，从而.
故，从而当时，当时.
故在上递增，在上递减，所以具有最大值.
所以命题等价于，即.
所以的取值范围是.
(2)不妨设，由于在上递增，在上递减，故一定有.
在的范围内定义函数.
则，所以单调递增.
这表明时，即.
又因为，且和都大于，
故由在上的单调性知，即.
7(25-26高三上·云南红河·月考)已知函数，正项数列满足，.
(1)求函数的极值；
(2)判断数列的单调性并说明理由；
(3)证明：.
【答案】(1)极大值，无极小值；
(2)数列为递减数列，理由见解析；
(3)证明见解析.
【知识点】求已知函数的极值、利用导数证明不等式、判断数列的增减性
【分析】(1)先对求导，判断导数的单调性，最后求得的单调区间，进而可求极值.
(2)先利用作差法得到，利用(1)可得到数列的单调性即可.
(3)令，求导，进而令，利用导数得到，再合理变形得到，再对的范围分类讨论，利用累乘法结合放缩法得到当时成立，显然得到当时成立即可.
【详解】(1)的定义域为，，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减．
故有极大值，无极小值．
(2)数列为递减数列，理由如下：
由题意，得，则，
由(1)知在上单调递减，则，，
令，则，故，
又函数在上是单调递增函数，所以，所以数列为递减数列．
(3)由题意得，令函数，
令函数，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，则，即，
则，故在定义域上单调递增，且，
令，则，得到，
且，故，又因为，所以，
得到，故，
当时，得到．即，
当时，．故．
综上，原命题得证.
8 (25-26高三上·河北沧州·期中)已知函数．
(1)若，，求a的取值范围．
(2)当时，．
①判断函数在内的零点个数；
②证明：．
【答案】(1)
(2)①答案见解析；②证明见解析
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式、函数单调性、极值与最值的综合应用
【分析】(1)对不等式进行化简变形，构造新函数，然后求导判断单调性，从而得到，然构造新函数，求导判断单调性求出最值即可求出的范围.
(2)①对函数两次求导，根据三种情况分别讨论函数的零点个数；②结合①中的结论可得到，然后令对不等式进行化简即可证明.
【详解】(1)因为，，所以对恒成立．
因为，所以．
由，可得，即，其中，．
令，，
因为，所以在上单调递增．
不等式等价于，所以，所以．
令，则，当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以a的取值范围是．
(2)①因为，所以．
令，则．
a.当时，因为，所以，，所以恒成立，
此时，在内无零点．
b.当时，因为，所以，则单调递增．
因为，所以单调递增．，
此时，在内无零点．
c.当时，因为，所以，则单调递增．
因为，，所以存在，使得，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增．
因为，所以．
因为，所以在区间内有1个零点，
所以当时，在内的零点个数为0，
当时，在内的零点个数为1．
②证明：由①知，当且时，，所以，
即．
令，则，
所以，，…，，
所以．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题2.3 导数大题证明不等式归类
近三年：1、导数与不等式的结合是近3年的高考命题热点，以解答题为主，其分值高、难度大、区分度强，是决定考生能否获得高分的“胜负手”． 2、它体现在： ① 综合性增强：单一方法难以解决，需要多种技巧组合 ② 情境化背景：可能融入实际应用情境，但核心仍是导数工具运用； ③ 创新点预测：与三角函数、抽象函数等结合的可能性增大。 预测2026年：1、导数与不等式的结合题极大概率会继续作为压轴题出现. 题可能会在函数形式上创新，例如与三角函数(sinx, cosx)结合，增加函数本身的复杂性，但核心方法不变——求导、分析单调性、找最值、证不等式。会更加注重对代数变形能力和逻辑推理能力的考查。单纯的套用模板会越来越难得分，需要真正理解每一步推导的目的。 2、导数证明不等式的思想和方法，渗透在众多题型中： ① 零点问题： 要证明函数有唯一零点，往往需要先证明函数在零点两侧单调(利用不等式)，或证明函数在某个区间内大于0或小于0。 ② 参数范围问题： 求使不等式恒成立的参数范围，是导数不等式的直接应用。 ③ 数列不等式： 压轴题的最后一问有时会与数列结合，利用前面导数证明的结论进行放缩，求和证明数列不等式。
题型01直接构造函数法
解｜题｜策｜略 1 利用导数证明不等式，最简单的方法就是直接构造函数法：证明不等式，转化为证明，进而求构造函数的最值。 2 在构造函数时，要想想构造的函数是否复杂，计算量如何；求最值时，要确定构造的函数是否有最值。
1（24-25高二下·江苏连云港·月考）下列四个不等式①②③④中正确个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2(25-26高三上·北京丰台·期中)已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：当时，.
3(2025·内蒙古赤峰·一模)已知函数.
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)证明：当时，；
(3)求函数的最小值.
题型02 利用第一问结论求解
解｜题｜策｜略 在一些试题中，第一问往往会给到第二问一些提示信息，有如下几种情况： 1 可利用第一问的单调性提炼出不等式； 2 可利用第一问的最值提炼出常数不等式； 3 可利用第一问构造新的函数等等。
1(25-26高三上·上海·单元测试)已知函数，为自然对数的底数)．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，求证：．
2(2023·吉林长春·模拟预测)已知函数.
(1)求的最小值；
(2)证明：.
3(25-26高三上·安徽·期中)已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若，证明：当时，.
4(25-26高三上·安徽淮北·期中)设函数
(1)时，求函数的最大值.
(2)讨论的单调性.
(3)当时，证明：.
题型03 证明数列不等式
解｜题｜策｜略 1遇到数列的不等式，方法较多，比如数学归纳法、放缩法、导数法等；在利用导数法时，关键在于构造函数； 2 要注意利用第一问或第二问的引导，从中找到构造函数的思路。
1(25-26高三上·四川自贡·月考)已知函数，，
(1)讨论函数的单调性：
(2)若不等式在上恒成立，求实数的所有取值构成的集合；
(3)当时，定义数列满足：，，，证明：，.
2(2025·甘肃武威·模拟预测)已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若，，求的取值范围；
(3)若，数列的前项积为，求证：.
题型04 证明数列不等式之无限和裂项型
解｜题｜策｜略 导数与数列结合的不等式证明近几年多见，不等式中有的话，我们会想到求和，在证明中可利用一些裂项公式，，等。
1(25-26高三上·甘肃·月考)已知函数.
(1)若在上单调递增，求实数的取值范围；
(2)设，求证：.
2(25-26高三上·四川广安·月考)已知，．
(1)证明：为等差数列，并求的通项公式；
(2)令，为的前项之积，求证：．
3(2025·广东佛山·一模)已知函数，.
(1)讨论的零点个数；
(2)若为正整数，记此时的零点为.证明：.
题型05 利用函数“凹凸性”证明不等式
解｜题｜策｜略 1 对于一些指幂对函数型函数，具有明显的“凹凸性”，在不等式中可分离出两个函数，而它们的凹凸性是不同的，结合图形能较好得到解题思路； 2 或求出它们的最值再比较，或利用切线证明； 3 如何分离出两个具有不同凹凸性的函数，是个难点，了解一些常见的函数是必要的。
1(2025高三·全国·专题练习)已知函数，，证明：．
2(25-26高三上·山东青岛·月考)已知函数．
(1)若是单调递减函数，求实数的取值范围；
(2)当时，证明：．
题型06 同构法
解｜题｜策｜略 1 在证明不等式构造函数时，想直接看出来一般会有难度，可能要对不等式进行变形，此时就要用到同构的方法； 2 一些常见的同构变形： ，.
1设x＞0，y＞0，若ex+lny＞x+y，则下列选项正确的是(　　)
A．x＞y B．x＞lny C．x＜y D．x＜lny
2（2025·广东佛山·一模）若，则下列结论可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
3（2022·陕西宝鸡·一模）已知，，则下列关系式不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
题型07 切线放缩型
解｜题｜策｜略 1 证明不等式时，有时候要适当放缩，但是如何放缩与放缩到什么程度是个难点； 2 对于一些具有凹凸性的函数，我们可以采取切线放缩，此时要数形结合，了解构造的函数的基本图形与性质，在极值点或最值点的位置往往是找到切线的关键； 3 常见的不等式 。
1已知函数，，证明。
2（25-26高一上·新疆喀什·期中）已知函数.
(1)若恒成立，求实数的取值范围；
(2)证明：当时，.
3已知函数f(x)＝ex﹣1﹣x﹣ax2．
(1)当a＝0时，求f(x)的单调区间；
(2)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若x＞0，证明：(ex﹣1)ln(x+1)＞x2．
题型08 极值偏移之和型
解｜题｜策｜略 1 在极值偏移问题中，证明类似和型的不等式是最常见和简单的，其中方法很多，对称化构造函数或利用对数不等式等。 2 常见的有 (1)极值点偏移() (2)拐点偏移 。
1(2025高三·全国·专题练习)若有两个不等的零点，且，求证：.
2(25-26高三上·山东菏泽·期中)已知函数.
(1)时，求曲线在点处的切线方程；
(2)有2个零点，，且.
(i)求的取值范围；
(ii)证明：.
3(2025·四川眉山·模拟预测)已知函数，且曲线在处的切线与直线垂直.
(1)求的值；
(2)求的极值；
(3)若，且，证明：.
题型09 极值偏移之积型
解｜题｜策｜略 1 在极值偏移问题中，证明类似积型的不等式也是常见的，它与和型的证明方法差不多； 2 有时候积型可以通过证明和型后再用基本不等式证明。
1(25-26高三上·安徽六安·月考)已知函数).
(1)讨论的单调性；
(2)设的导函数为，若有两个不相同的零点，.
①求实数的取值范围；
②证明：.
2(25-26高三上·山西·月考)已知函数.
(1)若，求的单调区间.
(2)若有两个不同的零点.
(i)求的取值范围；
(ii)证明：.
3(25-26高三上·安徽·月考)已知函数，．
(1)分析函数的单调性；
(2)若函数在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)令，若存在使得，证明：．
题型10 极值偏移之平方型
解｜题｜策｜略 1 在极值偏移问题中，证明类似平方型的不等式也是常见的，它与和型的证明方法差不多； 2 部分题目中可以得到和型或积型不等式后，再用基本不等式证明的。
1(25-26高三上·河北·月考)已知函数，且有两个零点.
(1)求的取值范围；
(2)证明：.
2(25-26高三上·四川成都·期中)已知函数．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)设；若是方程的两个不同实根，求证：
(3)若对任意，都有，求实数的取值范围．
题型11 比值换元型
解｜题｜策｜略 在证明不等式时，遇到类似的不等式证明，我们会利用比值换元的方法证明，令，则可把问题转化为证明.
1(25-26高三上·天津蓟州·期中)已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若有两个正零点，且．
(i)求的取值范围；
(ii)求证：．
2(25-26高三上·河南·期中)已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，若不等式恒成立，求的值；
(3)若有两个不同的零点，)，且恒成立，
求实数k的最小值.
附：当时，.
3(25-26高三上·山西运城·期中)已知A，B，C为函数图象上不同的三点．它们的横坐标依次成等差数列，且函数在点处的切线斜率恒小于直线AC的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数．设函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)已知函数
①证明：当时，是其定义域上的“等差偏移”函数；
②当时，函数，数列满足．其前项和为，试证明：．
题型12 三角函数型不等式证明
解｜题｜策｜略 1 三角函数型的不等式，在导数与不等式结合的题型中最近较为多见，难度较大； 2 证明三角函数型不等式，往往用到三角函数的有界性、必要性探路、分段处理等手段。
1（2025·山东济南·一模）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
2(25-26高三上·河南·月考)设函数.
(1)求证：函数不单调；
(2)当时，求证：；
(3)若的解集为，求实数的取值范围.
3(2025·广东·模拟预测)设函数.
(1)若，证明：当时，；
(2)若，证明：；
(3)若存在，使得当且仅当时，，求的取值范围.
4(25-26高三上·湖南长沙·月考)已知函数.
(1)判断函数在区间上的零点个数，并说明理由；
(2)若函数在区间上恒成立，求正整数的最小值；
(3)求证：.
(建议用时：60分钟)
1（23-24高二下·广东广州·期末）下列四个不等式①，②，③ ，④ 中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2（2022·江苏·二模）已知实数，且，为自然对数的底数，则（ ）
A． B． C． D．
3（2025高三·全国·专题练习）已知函数有两个不同的零点且有，则下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4(25-26高三上·天津蓟州·期中)已知函数.
(1)求曲线在点处的切线斜率；
(2)当时，求证：．
5(25-26高三上·安徽·月考)已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)设，当时，证明．
6(2024·江苏扬州·模拟预测)已知函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若有两个不同的零点，证明．
7(25-26高三上·云南红河·月考)已知函数，正项数列满足，.
(1)求函数的极值；
(2)判断数列的单调性并说明理由；
(3)证明：.
8 (25-26高三上·河北沧州·期中)已知函数．
(1)若，，求a的取值范围．
(2)当时，．
①判断函数在内的零点个数；
②证明：．
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