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专题2.4 导数与三角函数的综合
近三年：1近三年导数与三角函数相结合已成为命题热点； 2三角函数与多项式、指数、对数的混合，导致求导后仍是混合形式，需多次求导或放缩化简。 重点考察周期性、有界性在放缩中的应用，例如：当，主导，三角有界可忽略；当较小时，泰勒展开近似比较； 3 核心难点：① 求导后形式复杂；② 参数讨论繁琐；③ 放缩技巧要求高； 4 解题策略：① 分段讨论；②讲究“分离”技巧；③ 利用对称性和周期性简化；④ 数形结合辅助。 预测2026年： 1 难度可能还是比较大，仍然作为压轴题出现； 2 函数形式多样，可能为类型，增加参数，考查极值点、拐点、零点个数的综合分析,或者在上的不等式证明； 3 创新方向：可能引入复合函数如的零点问题，考查导函数的振荡性; 三角函数的参数方程形式与导数结合，例如的弧长、面积最值问题，用导数求单调区间。
题型01 三角函数型函数单调性的证明
解｜题｜策｜略 1 很多函数问题都是从求其单调性入手，在某个区间内，若 ，则函数在这个区间内单调递增；若，则函数在这个区间内单调递减； 2 函数中存在三角函数，要求解不等式，简单的话结合三角函数的图形进行求解；若复杂些的话，要注意三角函数、的有界性避免过度讨论，有时候要分段进行分析。
1（25-26高三上·江苏苏州·开学考试）设函数，若 且， 则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
2（2025·山东青岛·三模）若，，则（ ）
A．1 B． C． D．0
3（2025·福建·模拟预测）已知函数．
(1)讨论函数在区间上的单调性；
(2)求函数的最值．
题型02 比较含三角函数值的数值大小
解｜题｜策｜略 1解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个： （1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答. 2 对于类似、等三角函数值的估值，有时候用到三角函数、的有界性，如不够，会用到不等式，较难估值的话也可构造函数利用单调性比较大小。
1（25-26高三上·湖南岳阳·月考）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
2（25-26高三·湖北荆州·月考）三者之间的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3（25-26高三·山东·开学考试）设，则（ ）
A． B．
C． D．
4（2023·北京房山·二模）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)当时，求函数的最小值；
(3)证明：
题型03 比较含三角函数的式子大小—直接构造函数法
解｜题｜策｜略 1解答比较式子大小问题，简单的话直接构造函数，再利用函数单调性比较； 2 构造函数，最简单的是作差法或作商法得到，若不行结合图形进行见到的变形或放缩.
1（25-26高三·北京·期中）若，，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2（2023·河北唐山·三模）已知且，，，是自然对数的底数，则（ ）
A． B． C． D．
3（25-26高三上·江苏扬州·月考）已知函数，若，，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
题型04 比较含三角函数的式子大小—同构法
解｜题｜策｜略 1 根据题目中给出的不等式判断式子大小，可观察不等式的形式，通过变形做到不等式左右两边是“结构相似”，从而构造函数，再利用函数单调性得到参数关系； 2 若不等式难以发现那“相似的结构”，有时可能要用到一些常见的同构变形： ，.
1（24-25高三·广西南宁·开学考试）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
2（2025·广西·一模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3（2025·山东济南·一模）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
题型05 比较含三角函数的式子大小—放缩法
解｜题｜策｜略 1 若在构造函数的过程中，找不到“相似的结构”，但又好像差一点，可以想办法进行适当的放缩； 2 了解一些常见的不等式，有助于想到放缩： 。 3 利用数形结合的方法，有时会找到“切线放缩”的方法，了解一些函数的凹凸性有所帮助；
1（2023·河北·三模）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2（25-26高三上·湖北·月考）已知，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
3（2025·全国·模拟预测）已知，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
题型06 用求导公式构造函数比较大小
解｜题｜策｜略 1 遇到一些类似含有导函数，有可能要用到求导公式的逆运用构造函数，了解其单调性再比较式子大小； 2 掌握求导公式是基础，若不等式化简成的形式后，它是“和”形式，则构造的函数是“积”形式；它是“差”形式，则构造的函数是“商”形式； 3 注意，(。
1（24-25高三·四川广元·月考）已知是函数的导函数，且．则下列不等式一定成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
2（25-26高三上·陕西西安·月考）已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（ ）
A． B．
C． D．
3（24-25高三·四川阿坝·月考）已知是函数的导函数，且．则下列不等式一定不成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
题型07 三角函数型中导数几何意义的应用
解｜题｜策｜略 函数交点问题或不等式问题，利用数形结合转化为函数图像的相切关系，注意是否能够利用导数的几何意义求解。
1（2024·江西上饶·二模）函数f（x）＝（k＞0）有且仅有两个不同的零点，（＞），则以下有关两零点关系的结论正确的是
A．sin＝cos B．sin＝－cos
C．sin＝cos D．sin＝－cos
2（25-26高三·安徽黄山·期中）已知函数在恰有两个不同的零点，则下列结论正确的是( )
A． B．
C． D．
3（2024·广东·一模）已知函数为自然对数底数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型08 三角函数极值问题
解｜题｜策｜略 1若在点附近的左侧，右侧则称为函数的极小值点，称为函数的极小值； 若在点附近的左侧，右侧，则称为函数的极大值点，称为函数的极大值． 2求函数的极值的方法 解方程，当时： (1) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值； (2) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值．
1（25-26高三·全国·单元测试）设函数f(x)＝xsin x在x＝x0处取得极值，则(1＋x)(1＋cos 2x0)的值为(　　)
A．1 B．3
C．0 D．2
2（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知函数，，且在处取到极值，记．则（ ）
A． B． C． D．
3（24-25高三上·山东济南·月考）已知，若函数在上有且只有两个极值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型09 三角函数最值问题
解｜题｜策｜略 1函数在上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数在内的极值； (2)将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 2 函数的最值问题，本质是单调性问题，其解题思路与函数单调性差不多。
1（24-25高三·重庆城口·月考）若函数在处有最值，则等于（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
2（2025·四川宜宾·三模）函数，设球O的半径为，则（ ）
A．球O的表面积随x增大而增大 B．球O的体积随x增大而减小
C．球O的表面积最小值为 D．球O的体积最大值为
3（2025高三·全国·专题练习）已知，若，则的最小值等于 .
题型10 三角函数零点问题
解｜题｜策｜略 利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
1（2025·安徽淮南·模拟预测）若是在内的一个零点，则对于，下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
2（2025·湖北·三模）已知存在唯一零点，则实数的取值范围（ ）.
A． B． C． D．
3（2024·内蒙古赤峰·二模）已知
(1)将，，，按由小到大排列，并证明；
(2)令 求证: 在内无零点.
题型11 三角函数型不等式的证明
解｜题｜策｜略 1 证明三角函数型不等式，最简单的方法是直接构造函数，利用函数单调性证明； 2 也可以把证明的不等式构造出两个函数，利用函数的最值或凹凸性证明； 3 放缩法也是常见的方法之一。
1（2025·陕西安康·一模）已知函数.
(1)若在上存在最小值，求实数m的取值范围；
(2)当时，证明：对任意的，.
2（24-25高三上·辽宁丹东·月考）已知函数.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)当，时，求证：.
3（25-26高三上·广西南宁·月考）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若函数，证明：当时，.
题型12 恒成立求参---三角函数型之直接法
解｜题｜策｜略 恒成立求参数，直接构造含参的函数是思路较为简便的方法，但是要注意计算量与对参数分类讨论是否难度较大等问题。
1（2025·山西太原·一模）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，若恒成立，求的值．
2（25-26高三上·湖北黄冈·期中）已知函数，函数，
(1)求的单调区间；
(2)若曲线在处的切线方程为，证明：恒成立；
(3)若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
题型13 恒成立求参---三角函数型之分离参数法
解｜题｜策｜略 1 恒成立求参问题，分离参数法有其优点，构造的函数不含参数，不存在分类讨论的可能； 2 但是要注意构造的函数是否会出现计算量较大，或者求不出最值等问题。
1（2025高三·全国·专题练习）对于任意的，不等式恒成立，则的取值范围是 ．
2（2024·福建龙岩·一模）已知函数，对于，都有，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
3（25-26高三上·陕西咸阳·月考）(1)讨论函数，的单调性，并求出的极值；
(2)当时，证明：；
(3)若对任意，都有，求的取值范围.
题型14 恒成立求参---三角函数型之放缩法
解｜题｜策｜略 1 恒成立求参数问题，放缩法难度较大，技巧性较强； 2一般多要结合图形，利用函数的凹凸性与切线进行放缩；了解一些函数图形有所帮助： 3 了解常见不等式有所帮助：
。
1（24-25高三上·陕西咸阳·月考）设函数，若对于任意的都成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2（24-25高三·上海·开学考试）已知，存在，当时，都有，则的取值范围是 ．
题型15 恒成立求参---三角函数型之必要性探路法
解｜题｜策｜略 往往可以利用题目中第一问的提示，得到参数的临界值，先证明求在与临界值有关的一个区间内是能够满足题意，再证明在其范围之外是不成立的。
1（25-26高三上·广东湛江·月考）已知函数.
(1)求在上的极值；
(2)若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.
2（2024·全国·模拟预测）已知函数，.
(1)求证：；
(2)若，求的取值范围.
题型16 含三角函数型不等式证明
解｜题｜策｜略 1 对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： ① 通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； ② 利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． ③ 根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 2 含的不等式，可利用数学归纳法证明； 3 含的不等式，往往会利用到裂项求和或者放缩法等，了解以下公式有所帮助： ，，等。
1（24-25高三·吉林延边·月考）下列不等式错误的序号是 ．
①
②
③
④
2（25-26高三上·陕西·月考）已知.
(1)求的单调区间；
(2)证明：.
3（25-26高三上·山东德州·月考）已知函数，且．
(1)求实数a的取值范围；
(2)已知，证明：．
题型17 新定义问题
解｜题｜策｜略 1判断是否符合新定义，只需要严谨根据新定义判断便可，理解新定义中各参数的次序和含义是关键； 2 利用一些特例，找其共性，有助于理解所给的新定义。
1（24-25高三·湖北武汉·期中）我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2（2025·四川·三模）定义二元函数，且同时满足：①；②两个条件．
(1)求的值；
(2)当时，比较和0的大小；
(3)若为的极大值点，求的取值范围．
附：参考公式：


3（24-25高三·河南信阳·期中）电脑或计算器计算，，，等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序或芯片完成的．“泰勒展开式”的内容为：如果函数在含有x0的某个闭区间上具有n阶导数，且在开区间，b）内具有阶导数，则对于闭区间上的任意一点，有 ，我们称上式为函数在 处的泰勒展开式，其中为的高阶无穷小量．特别地，当在处n阶连续可导，则称为函数的麦克劳林公式．如的麦克劳林公式为，
(1)利用麦克劳林公式估算的近似值（精确到0.01）；
(2)当时，比较与的大小并证明；
(3)若，求实数a的取值范围．
（建议用时：90分钟）
1（2025·河南·二模）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
2（2024·四川内江·三模），记，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3（25-26高三上·全国·月考）定义在上的函数，其导函数为，若恒有，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4（20-21高三·全国·单元测试）已知方程在上有两个不同的实数根，（），则（ ）
A． B．
C． D．
5（24-25高三上·河南开封·月考）“三角换元思想”是三角函数中的基本思想.运用三角换元法可以处理曲线中的最值问题.譬如：已知，求的最大值.我们令，，则，这样我们就把原问题转化为三角函数最值问题.已知是曲线上的点，则的最大值为（ ）
A．2 B．8 C．18 D．36
6（2021·江西赣州·二模）若函数在区间D上单调递增，且函数在区间D上也单调递增（其中是函数的导函数），那么称函数是区间D上的“快增函数”，区间D叫作“快增区间”，则函数的“快增区间”为（ ）
A． B． C． D．
7（25-26高三上·北京·月考）已知点是曲线上任意一点，记直线（为坐标原点）的斜率为，给出下列四个命题：
①存在唯一点使得；
②对于任意点都有；
③对于任意点都有；
④存在点使得，
则所有正确的命题的序号为 ．
8（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知函数.
(1)若，求函数在点处的切线方程；
(2)设函数
(ⅰ)求函数的单调区间；
(ⅱ)若有两个零点，求的取值范围.
9（2025·江苏徐州·模拟预测）洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数，当时，.已知函数，.
(1)对于恒成立，求实数的取值范围；
(2)，证明：（附：）.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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