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专题2. 5 导数与数列的综合
近三年：1、近三年以导数为核心工具证明与数列有关的题目较多，包括一些不等式的证明：题目先给出一个数列通项或前n项和的关系，然后证明一个与自然数n相关的不等式；或者数列的单调性、有界性、极限问题：数列可视为定义在正整数集上的特殊函数。当递推式为时，导数可用于分析迭代的收敛性。 2、往往需要构造一个辅助函数，利用导数证明该函数在某个区间上的单调性或最值，从而实现对数列项的放缩； 3、难度较大，技巧性很强，其中的背景包含。 预测2026年：核心方向仍为“导数证明函数不等式 → 代换为数列不等式”, 数列递推与导数（迭代函数）的深入结合；或者数列递推与导数（迭代函数）的深入结合，预测题型：给出一个由函数迭代定义的数列，如，其中是一个需用导数深入分析的函数（含参、有拐点等）；或者结构不良问题引入；或者与数学归纳法的深度融合。
题型01 导数与数列的单调性
解｜题｜策｜略 1 若，则单调递增；若，则单调递减； 2 求证数列单调性，常用方法有三： 作差法，比较与的大小； 作商法，比较与的大小，此时要注意的正负； 视通项公式为函数解析式，用函数单调性的方法处理，此时要注意的取值范围是正整数. 3 与导数相结合的题目中，利用导数分析好数列对应的函数的单调性便可。
1（多选）（24-25高三上·辽宁·月考）已知数列的首项为，且，则（ ）
A．存在使数列为常数列
B．存在使数列为递增数列
C．存在使数列为递减数列
D．存在使得恒成立
2（多选）（24-25高三·黑龙江·期中）已知正项等比数列的公比为，函数，则（ ）
A．当时，无极值
B．当时，的极小值点为
C．当是递增数列时，在上单调递增
D．当是递减数列时，在上单调递减
3（2026·重庆·模拟预测）函数
（1）当时，过原点的函数的切线方程为 ；
（2）当时，若数列满足：.判断下列命题是否正确，正确的在括号内写正确，错误的写错误.
①，都有( )
②，使得( )
③，使得( )
题型02 利用导数求数列的最大（小）项
解｜题｜策｜略 求数列的最大（小）项，找到数列对应的函数是关键，再利用导数分析其单调性与最值，注意的取值范围.
1（2024·河南郑州·一模）已知数列满足，若数列的最小项为1，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
2（2025·广东·一模）已知正项数列满足，当最大时，的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
题型03 利用导数求数列各项的运算
解｜题｜策｜略 数列中当递推式为时，要求数列中的某些项的值或关于它们的基本运算，确定递推公式中对应的函数，分析其函数单调性与极值，从而得到数列的单调性等信息，根据题意求出数列中的某项的值。
1（2024·河南郑州·一模）已知数列满足，，其中为函数的极值点，则 .
2（24-25高三上·全国·月考）设函数的极值点为,数列满足,若,则
3（25-26高三·安徽·期中）数列满足，其中为函数的零点，则 .
题型04 利用导数判断数列各项的大小
解｜题｜策｜略 在数列中若涉及到导数，一般存在一些关系式里含有或或高次幂等形式，会联想到一些常见的函数，比如等，或根据题意构造出的函数；利用导数分析其单调性与极值，从而根据题意或数列的一些性质得到各项的大小比较.
1（25-26高三·辽宁·期中）已知，，，成等比数列，且，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2（2026·浙江·模拟预测）已知正项数列满足，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3（2026·浙江宁波·模拟预测）已知数列满足，，其中是自然对数的底数，则（ ）
A． B．
C． D．
题型05 利用导数判断数列通项公式相关不等式
解｜题｜策｜略 1 在数列中若涉及到导数，或其递推公式为，或有一些关系式里含有或或高次幂等形式，判断数列各项大小或判断与通项公式有关的不等式等； 2 根据其形式或关系构造出对应的函数是关键；利用导数分析其单调性与极值，从而得到数列的单调性等，再根据题意得到各项或通项公式.
1（23-24高三上·江苏苏州·月考）已知数列满，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
2（2021·浙江绍兴·模拟预测）已知正项数列满足，，则（ ）
A．对任意的，都有
B．对任意的，都有
C．存在，使得
D．对任意的，都有
3（2025高三·全国·专题练习）已知函数的最小值为1.若数列满足，且，证明：．
题型06 导数与数列的前n项和
解｜题｜策｜略 1 求与数列的前项和有关的式子最值，构造函数求其最值，注意的取值范围； 2 若要判断或证明与数列的前项和有关的不等式，则构造函数是关键，与判断数列的通项公式的方法差不多，都是要利用导数求其单调性与极值； 3 证明与有关的不等式，可用作差作商法，或数学归纳法、或放缩法等。
1（2020·陕西渭南·二模）设数列的前n项和为，，且 ，则的最小值为（　　）
A． B．3 C． D．
2（广东省冮门市2024-2025学年高三学期第一次模拟考试数学试题）已知数列满足，，记数列的前n项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
3（2023·四川达州·二模）是数列前项和，，，给出以下四个结论：
①；
②；
③；
④.
其中正确的是 （写出全部正确结论的番号）.
题型07 导数与数列相结合的恒成立问题
解｜题｜策｜略 1 单变量的恒成立问题 ① 恒成立，则； ② 恒成立，则； ③ 恒成立，则； ④ 恒成立，则; 2恒成立问题转化为最值问题，常用直接构造函数法、分离常数法、数形结合法等； 3 转化为最值问题后，构造函数利用导数求单调性与极值，从而得到数列的单调性或最值，最终把参数范围求得.
1（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）已知数列满足，，若，则数列的通项公式为 ;记的前项积为，若恒成立，则的最小值为 .
2（2024·江苏南通·模拟预测）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”.已知数列（）的前项和为，且满足，.设为正整数.若存在“数列”（），对任意正整数，当时，都有成立，则的最大值为 .
3（24-25高三·四川绵阳·期中）已知数列的前项和为，，且.
(1)求；
(2)求的通项公式；
(3)已知数列的通项公式为，且对任意的都成立，求实数的取值范围.
题型08 直接构造函数利用导数证明与数列有关的不等式
解｜题｜策｜略 1 在数列中证明不等式，其本质是一个关于的不等式的证明，最简单的方法是利用作差法或作商法得到要证明不等式对应的关于的式子，从而找到其对应的函数，利用导数求其单调性与最值； 2 在证明时，要注意的范围，有时候可以用换元法对式子进行化简再构造函数； 3 在使用直接构造函数的方法要注意所构造的函数是否过于复杂，计算量过大等问题，若是，可考虑其他方法。
1（广东省冮门市2024-2025学年高三学期第一次模拟考试数学试题）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设f(x)在点处切线的x轴截距为，数列的前n项和为，证明：．
2（25-26高三上·宁夏银川·月考）已知函数在上的最小值为0.
(1)求实数a的值；
(2)对任意的，数列满足，且，证明：当大于1时，也大于1；
(3)在（2）的条件下，若为数列的前n项和，求证：.
3（2025·河北·二模）对数运算可以使一些复杂的数学计算变得简单，比如函数：，通常为了便于求导，我们可以作变形：．
(1)求的单调区间；
(2)已知．
①若数列满足，，求数列的通项公式；
②求证：．
题型09 利用累加法证明与数列有关的不等式
解｜题｜策｜略 1 在证明与数列有关的不等式时，若遇到其含有某数列的前项和的形式，可利用数列求和的方法先把那部分进行化简再证明不等式； 2 求和的方法中累加法较为常见； 3 在部分解答题中，第一二问里往往含有对证明不等式有效提示，注意利用好； 4 在不等式证明中，也会利用第一二问提示想到放缩法，再结合累加法会达到证明不等式的效果。
1（25-26高三上·甘肃·月考）已知函数.
(1)若在上单调递增，求实数的取值范围；
(2)设，求证：.
2（25-26高三上·河南·期中）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，且对任意的恒成立，求的取值范围；
(3)若，数列的前项和为，证明：．
题型10 裂项求和法证明不等式
解｜题｜策｜略 1 在证明与数列有关的不等式时，若遇到其含有某数列的前项和的形式，可利用数列求和的方法先把那部分进行化简再证明不等式；求和的方法中裂项求和法也较为常见； 2 了解一些常见裂项 ，； ，. 3 有时候要结合放缩法一起证明才行.
1（2025·甘肃兰州·一模）已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：；
(3)若数列满足，证明：（e为自然对数的底）．
2（2024·江苏南通·三模）已知函数．
(1)若，求的最小值；
(2)设数列前项和，若，求证：．
题型11 利用放缩法证明数列不等式之选填题
解｜题｜策｜略 1 在导数与数列相结合的不等式证明中，往往会用到放缩法，其技巧性较强，难度很大； 2 具体放缩法的思考方式有很多种，或利用一些常见函数有关不等式，或利用切线放缩，或局部放缩等等； 3 用到函数放缩，常见的有，；
1（2023·新疆·三模）已知数列中，，若（），则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C．（） D．
2（21-22高三上·云南玉溪·月考）已知数列满足，满足，，则下列成立的是（ ）
A． B．
C． D．以上均有可能
3（多选）（25-26高三上·广东·月考）已知函数的导函数为，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则，
C．若，则：
D．，
题型12 利用放缩法证明数列不等式之解答题
解｜题｜策｜略 1 若在解答题中要用到放缩法，稍简单的题目会在第一二问中给到足够的提示信息，利用好或能方便构造函数，或能根据其结论得到放缩的思路； 2 利用放缩法时，往往会用到裂项，记住一些常见的裂项公式有所帮助； 3 在数列不等式放缩中，要注意局部放缩，看清楚放缩的“强度”或“方向”，有助于放缩的思路。
1（25-26高三上·四川广安·月考）已知，．
(1)证明：为等差数列，并求的通项公式；
(2)令，为的前项之积，求证：．
2（2024·广东广州·二模）已知数列中，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，记为的前项和，证明：时，.
3（2025·广东佛山·一模）已知函数，.
(1)讨论的零点个数；
(2)若为正整数，记此时的零点为.证明：.
题型13 数学归纳法的运用
解｜题｜策｜略 1涉及到与 有关的不等式，一般都可以利用数学归纳法证明，只是要注意其证明难度； 2 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当时命题成立； (2)(归纳递推)以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”； 3在运用数学归纳法证明时要注意以下几点 ① 第一步归纳奠基中的不一定是； ② 当证明从到时，所证明的式子不一定只增加一项； ③ 在证明第二步中，强调两个“凑”，一是“凑”假设，在时的式子中凑出的式子(确定两个式子的“差项”；二是“凑”结论，明确时要证明的目标，在这个过程中常用到比较法、分析法等，不等式证明中还会用到放缩法)； ④ 要注意“观察---归纳—猜想---证明”的思维模式和由特殊到一般的数学思想.
1（2022·浙江宁波·模拟预测）已知数列满足，记表示数列的前n项乘积.则（ ）
A． B． C． D．
2（10-11高三·安徽蚌埠·期中）已知函数，数列满足：，，证明：
题型14 三角函数与数列综合
解｜题｜策｜略 1 在三角函数与数列相结合的题型中，难度会很大； 2 构造函数是关键，要取决于要证明或求解的量所含的形式，对于数列，一般令或或等； 3 对于三角函数部分的处理中，要注意三角函数的有界性，进行有效放缩；注意周期性，进行分段讨论等； 4 在处理数列部分，要注意范围的特殊性。
1（2021·江西上饶·二模）函数的所有极大值点从小到大排成数列，设是数列的前项和，则（ ）
A．1 B． C． D．0
2（25-26高三上·贵州遵义·月考）已知函数，.
(1)当时，求在上的最小值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：.
3（24-25高三·海南海口·期中）记，，．
(1)求，并证明：；
(2)若，使得成立，求取值范围；
(3)求函数的单调增区间．
题型15 新定义问题
解｜题｜策｜略 1 新定义问题，关键是理解新定义所表达的本质，在判断是否符合新定义的问题中严格按照定义去求解，注意定义中各量所表达的含义就行； 2 其中涉及到不等式的，会用到前面所讲到的方法，逐个尝试下！
1（24-25高三·江西·期中）若数列使得函数f（x）满足，则称为的进阶数列．已知函数，，，，．
(1)证明：为的进阶数列．
(2)证明：．
(3)证明：为的进阶数列．
2（2025高三·甘肃白银·学业考试）定义：若函数在其定义域内存在极大值和极小值，且存在一个常数k，使得成立，则称为“极值可差比函数”，常数为的“极值差比系数”.已知函数.
(1)当时，判断是否为“极值可差比函数”，并说明理由；
(2)是否存在，使得的“极值差比系数”为 若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
(3)设函数，数列满足，，，证明：.
3（25-26高三上·上海·期中）对于函数，.如果是满足的最小正整数，则称是函数的“最小导周期”
(1)已知函数，其中，求证：对任意实数，都有;
(2)设，，若函数的最小导周期为记，当实数变化时，求的最小值；
(3)设，，若函数满足对恒成立，且存在使得，证明：，且.
（建议用时：100分钟）
1（2019高三·浙江·月考）已知数列满足：，.则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列满足，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．是递增数列
3（23-24高三·海南省直辖县级单位·开学考试）已知数列中，，若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4（2025·广东清远·一模）设，且，则（ ）
A． B．
C． D．
5（多选）（24-25高三上·河南许昌·期中）已知数列满足，，且，则（ ）
A． B．
C．当时， D．
6（2025·北京延庆·一模）数列中，若存在，使得“且”成立，（，）则称为的一个峰值.若，则的峰值为 ；若，且不存在峰值，则实数的取值范围为 .
7（25-26高三上·河南·开学考试）（1）求函数的单调区间；
（2）数列满足
①记为数列的前n项和，求证：
②记为数列的前n项和，求证：
附：.
8（25-26高三上·山东临沂·期中）已知，，，，
(1)当时，是的一个极值点，求；
(2)是否存在，使？若存在，求的取值范围，若不存在，说明理由；
(3)证明：对，.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题2. 5 导数与数列的综合
近三年：1、近三年以导数为核心工具证明与数列有关的题目较多，包括一些不等式的证明：题目先给出一个数列通项或前n项和的关系，然后证明一个与自然数n相关的不等式；或者数列的单调性、有界性、极限问题：数列可视为定义在正整数集上的特殊函数。当递推式为时，导数可用于分析迭代的收敛性。 2、往往需要构造一个辅助函数，利用导数证明该函数在某个区间上的单调性或最值，从而实现对数列项的放缩； 3、难度较大，技巧性很强，其中的背景包含。 预测2026年：核心方向仍为“导数证明函数不等式 → 代换为数列不等式”, 数列递推与导数（迭代函数）的深入结合；或者数列递推与导数（迭代函数）的深入结合，预测题型：给出一个由函数迭代定义的数列，如，其中是一个需用导数深入分析的函数（含参、有拐点等）；或者结构不良问题引入；或者与数学归纳法的深度融合。
题型01 导数与数列的单调性
解｜题｜策｜略 1 若，则单调递增；若，则单调递减； 2 求证数列单调性，常用方法有三： 作差法，比较与的大小； 作商法，比较与的大小，此时要注意的正负； 视通项公式为函数解析式，用函数单调性的方法处理，此时要注意的取值范围是正整数. 3 与导数相结合的题目中，利用导数分析好数列对应的函数的单调性便可。
1（多选）（24-25高三上·辽宁·月考）已知数列的首项为，且，则（ ）
A．存在使数列为常数列
B．存在使数列为递增数列
C．存在使数列为递减数列
D．存在使得恒成立
【答案】ABD
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、判断数列的增减性、确定数列中的最大（小）项
【分析】首先分析可得且，设，，利用导数说明函数的单调性，再分、、三种情况讨论的单调性，即可判断.
【详解】因为，所以，
又，则，设，其中，
所以，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
当时，，，
故当使数列为常数列，故A正确；
当时，由在上单调递增，
又，所以，故B正确；
当时，由在上单调递减，又，
所以，又在上单调递增且，
所以，所以存在使得恒成立，即D正确；
由上述分析可知，不存在使数列为递减数列，故C错误.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题关键是将递推公式变形为，从而构造函数，利用函数的单调性判断的单调性.
2（多选）（24-25高三·黑龙江·期中）已知正项等比数列的公比为，函数，则（ ）
A．当时，无极值
B．当时，的极小值点为
C．当是递增数列时，在上单调递增
D．当是递减数列时，在上单调递减
【答案】ABD
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】求导，通过等比数列的性质，确定，，进而逐项判断即可.
【详解】由题意可知：，
，
则，
对于A：，则，
即单调递增，无极值，A正确；
对于B，，则，
所以当或时，，
当时，，
所以在单调递增；在单调递减，
所以在处取得极小值，B正确；
对于C：当是递增数列时，，
若，即，
易知的解集为：，
所以在单调递增，故C错误；
对于D， 当是递减数列时，由于，则，所以，
则的解集为：，
即在上单调递减，D正确，
故选：ABD
3（2026·重庆·模拟预测）函数
（1）当时，过原点的函数的切线方程为 ；
（2）当时，若数列满足：.判断下列命题是否正确，正确的在括号内写正确，错误的写错误.
①，都有( )
②，使得( )
③，使得( )
【答案】 正确 错误 错误
【知识点】利用导数证明不等式、求过一点的切线方程、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】(1)当，利用导数求得，设切点为，根据直线的点斜式方程即可求出过原点的切线方程；
(2)根据函数的单调性可得，进而可得，即可判断②；
利用导数讨论的单调性，根据得出，即可判断③；
利用导数讨论的单调性，根据得出，即可判断④.
【详解】（1）当时，；
设切点为，则切线为，
由切线过点，则，故切线方程为.
（2）当时，，
则在上单调递增.由，则，故②对；
令，则，故在上单调递增.
若，则，与矛盾，故③错；
若，由的单调性，则，即，与矛盾，故④错.
故答案为：①，②正确，③错误，④错误
题型02 利用导数求数列的最大（小）项
解｜题｜策｜略 求数列的最大（小）项，找到数列对应的函数是关键，再利用导数分析其单调性与最值，注意的取值范围.
1（2024·河南郑州·一模）已知数列满足，若数列的最小项为1，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、已知函数最值求参数、确定数列中的最大（小）项、由导数求函数的最值（含参）
【分析】令，利用导数研究函数的单调性，进而可得数列的最小项，进而即得.
【详解】因为，令,
则，
由，解得，此时函数单调递增；
由，解得，此时函数单调递减．
∴对于来说，最小值只能是或中的最小值，
又，
∴最小，即，解得．
故选：B．
2（2025·广东·一模）已知正项数列满足，当最大时，的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、确定数列中的最大（小）项
【分析】先令，两边取对数，再分析的最值即可求解.
【详解】令，两边取对数，有，
令，则，
当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以时，取到最大值，从而有最大值，
因此，对于，当时，；当时，.
而，因此，当最大时，.
故选：B
题型03 利用导数求数列各项的运算
解｜题｜策｜略 数列中当递推式为时，要求数列中的某些项的值或关于它们的基本运算，确定递推公式中对应的函数，分析其函数单调性与极值，从而得到数列的单调性等信息，根据题意求出数列中的某项的值。
1（2024·河南郑州·一模）已知数列满足，，其中为函数的极值点，则 .
【答案】/
【知识点】根据极值点求参数
【分析】由为函数的极值点，推理得到，利用此式和题设条件，将分别用表示，化简消元即得.
【详解】因为，则，
令，，则，
易知在上单调递增，令 ，得，
即，，，，
所以，单调递减，，单调递增，
又，，，
即存在，使得当时，，当时，，
所以函数存在唯一得极值点，
则，.
且，，可得，
因为在上单调递增，则在上单调递增，
可得，，
且，则，可得.
又因为，则，
所以.
故答案为：.
2（24-25高三上·全国·月考）设函数的极值点为,数列满足,若,则
【答案】
【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、根据极值点求参数
【分析】先根据函数的极值点为得出等式，再根据数列化简，计算可得值.
【详解】由题设，
令，
，在上单调递增，
，在上单调递减，
而时，恒成立，且，
所以，存在，使，即，因此，
由已知，而，故，
所以①，即，
由，有，，有，
所以在上递增，在上递减，即为题设中极值点，故，
由①，得，
因此.
故答案为：.
3（25-26高三·安徽·期中）数列满足，其中为函数的零点，则 .
【答案】/
【知识点】求函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据数列递推公式写出数列的项
【分析】由为的零点，推理得到，利用此式和题设条件，将分别用表示，化简消元即得.
【详解】因为，则，
所以， 在恒成立，
所以函数在上单调递增.
当时，，
当时， ；
根据零点存在定理，可知函数在内存在零点，
且满足，即，则， .
且，可得，
因为在上单调递增，则在上单调递增，
可得，，
且，则，可得.
又因为，则，
所以.
故答案为：.
题型04 利用导数判断数列各项的大小
解｜题｜策｜略 在数列中若涉及到导数，一般存在一些关系式里含有或或高次幂等形式，会联想到一些常见的函数，比如等，或根据题意构造出的函数；利用导数分析其单调性与极值，从而根据题意或数列的一些性质得到各项的大小比较.
1（25-26高三·辽宁·期中）已知，，，成等比数列，且，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】利用导数证明不等式、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】先利用导数法证不等式，然后再确定首项和公比的取值范围，进而利用不等式性质作出判断.
【详解】令，则，令得，
所以当时，，当时，，
因此，所以，
所以，所以，
又，所以，
所以等比数列的公比，
若，则,
则，不合题意；
所以，从而，即，
所以，
，因为，，所以，即.
故选：B.
2（2026·浙江·模拟预测）已知正项数列满足，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由递推数列研究数列的有关性质
【分析】先利用导数的知识得到，并利用此不等式对题干中的等式进行放缩，得到当时，，再利用对题干中的等式进行放缩，得到时，，从而得到的取值范围．
【详解】令，则当时，，
所以函数在上单调递减，
故，即．
因为，所以，
即，
所以 ，
故当时，，
所以当时，．
由，得，
故，即，
故当时，，故，
故选：C．
【点睛】本题主要考查导数、放缩法的应用等，考查考生的推理论证能力、运算求解能力，属于难题.
3（2026·浙江宁波·模拟预测）已知数列满足，，其中是自然对数的底数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数证明不等式、累加法求数列通项
【分析】利用不等式可得，即，由累加法可得，利用不等式可得，即，同理用累加法可得，则，即可求解.
【详解】∵（当时等号成立），∴，
当时，，即，
则，，
整理得，即，
即，，，，
将个不等式相加得，即，，
令，则，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，即在出取得最大值，
，所以（当时等号成立），
当时，（当时等号成立），
即当时， ，，，
，，即，
同理利用累加法可得，即，
所以，则，
故选： .
题型05 利用导数判断数列通项公式相关不等式
解｜题｜策｜略 1 在数列中若涉及到导数，或其递推公式为，或有一些关系式里含有或或高次幂等形式，判断数列各项大小或判断与通项公式有关的不等式等； 2 根据其形式或关系构造出对应的函数是关键；利用导数分析其单调性与极值，从而得到数列的单调性等，再根据题意得到各项或通项公式.
1（23-24高三上·江苏苏州·月考）已知数列满，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数证明不等式、利用an与sn关系求通项或项、比较对数式的大小、判断或写出数列中的项
【分析】根据通项公式与前n项和公式之间的关系可得数列的通项公式.对于ABC：根据数列的通项公式结合对数分析判断；对于D：构建，结合导数可证在上恒成立，结合通项公式分析判断.
【详解】因为，
当时，则；
当时，则，
两式相减得，即；
综上所述：.
对于选项A：，故A错误．
对于选项B：，
因为，即，则，即，故B错误；
对于选项C：，，
因为，即，
可得，即，所以，故C正确；
对于选项D：设，记，则，
故，在上恒成立，
所以，故D错误．
故选：C．
【点睛】关键点睛：1.对于连加形式的问题，往往结合通项公式与前n项和公式之间的关系分析求解；
2.对于不等式问题，常常构建函数，结合导数分析处理.
2（2021·浙江绍兴·模拟预测）已知正项数列满足，，则（ ）
A．对任意的，都有
B．对任意的，都有
C．存在，使得
D．对任意的，都有
【答案】D
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、由递推数列研究数列的有关性质、累乘法求数列通项、数列不等式恒成立问题
【分析】可赋值，验证AB；通过构造函数，对进行放缩，可得，累乘法可判断CD.
【详解】因为，，不妨令，则，即，故AB错误；
，构造，则，当，，单增，当时，，单减，故，即，所以，即，因为，所以，累乘法可得，即，也即.故C错误，D正确.
故选：D
3（2025高三·全国·专题练习）已知函数的最小值为1.若数列满足，且，证明：．
【答案】证明见解析
【知识点】利用导数证明不等式、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】首先得，然后得函数单调性，进一步分析得只需证明，构造函数求证即可.
【详解】的定义域为，求导得．
①当时，，在上单调递增，此时没有最小值，不符合题意；
②当时，令得，
故当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以，解得．
所以在内单调递减，在上单调递增，故．
因为，又，所以，．
而，要证，
即证，即证，
即证．
令，则，
所以在上单调递减，又．
故，即，又，所以．
则，即，
故得证．
题型06 导数与数列的前n项和
解｜题｜策｜略 1 求与数列的前项和有关的式子最值，构造函数求其最值，注意的取值范围； 2 若要判断或证明与数列的前项和有关的不等式，则构造函数是关键，与判断数列的通项公式的方法差不多，都是要利用导数求其单调性与极值； 3 证明与有关的不等式，可用作差作商法，或数学归纳法、或放缩法等。
1（2020·陕西渭南·二模）设数列的前n项和为，，且 ，则的最小值为（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、确定数列中的最大（小）项、由递推关系式求通项公式
【分析】化简可得，可知数列是等差数列，求出的通项公式，代入，令，求导求函数的单调性，确定的单调性，从而求出最小值.
【详解】解：因为，
即，即，又，
所以数列是以1为首项以2为公差的等差数列.
，所以，则，
令，
则 ，时，，所以在上单调递增.即是单调递增数列.
所以当时，取得最小值.
故选：D
2（广东省冮门市2024-2025学年高三学期第一次模拟考试数学试题）已知数列满足，，记数列的前n项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数证明不等式、求等比数列前n项和、由递推数列研究数列的有关性质
【分析】先构造函数，利用导数证得，得出；再分析出数列为递减的正项数列且收敛于0；最后通过计算和等比数列的前n项和公式即可得出结果.
【详解】令，
则函数定义域为，且.
令，得；令，得；
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
则，即，
所以，当且仅当时等号成立.
因为数列满足，，
所以，即，
又因为函数在区间上单调递增，且增长速度越来越慢，
所以数列为递减的正项数列且收敛于0.
通过计算可得：
，
则，，，后续增长趋于平缓.
假设，
则从第三项起，数列是公比为的等比数列，
因为数列为递减的正项数列且收敛于0，，
所以，
故选：B.
3（2023·四川达州·二模）是数列前项和，，，给出以下四个结论：
①；
②；
③；
④.
其中正确的是 （写出全部正确结论的番号）.
【答案】①②③
【知识点】求等差数列前n项和、利用定义求等差数列通项公式、利用导数证明不等式
【分析】分析可知为常数列，求出数列的通项公式，可判断①；求出的表达式，利用等差数列的求和公式可判断②；证明出当时，，可得出，结合放缩法可判断③；取可判断④.
【详解】对于①，因为，，
所以，，
所以，数列为常数列，则，
所以，，①对；
对于②，，
令，则，
所以，数列为等差数列，
因此，，②对；
对于③，设，其中，则，
当时，，单调递减，
，即，当且仅当时，等号成立，
所以，，
所以，
，③对；
对于④，因为，而，
④错.
故答案为：①②③.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
题型07 导数与数列相结合的恒成立问题
解｜题｜策｜略 1 单变量的恒成立问题 ① 恒成立，则； ② 恒成立，则； ③ 恒成立，则； ④ 恒成立，则; 2恒成立问题转化为最值问题，常用直接构造函数法、分离常数法、数形结合法等； 3 转化为最值问题后，构造函数利用导数求单调性与极值，从而得到数列的单调性或最值，最终把参数范围求得.
1（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）已知数列满足，，若，则数列的通项公式为 ;记的前项积为，若恒成立，则的最小值为 .
【答案】 3
【知识点】利用导数证明不等式、累乘法求数列通项、由递推关系式求通项公式、数列不等式恒成立问题
【分析】利用累乘法求出的通项即可化简求出数列的通项；构造函数求证，即可化简得出，最后结合即可求出的最小值.
【详解】因，，则，则，
故，，，，
由累乘法可得，，
因，则，显然当时符合上式，
故，则，
则，
令，则，
故在上单调递增，则，即，
因，则，故
因，则，则，
因，
故若恒成立，则的最小值为.
故答案为：；
2（2024·江苏南通·模拟预测）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”.已知数列（）的前项和为，且满足，.设为正整数.若存在“数列”（），对任意正整数，当时，都有成立，则的最大值为 .
【答案】5
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用an与sn关系求通项或项、数列新定义
【分析】根据可得，即可判断数列为等差数列，即可求出通项公式；根据题意有，构造函数，利用导数可得，即可求解.
【详解】由，
得，则，则，
当时，由，得，整理得，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，则，
因为数列为“数列”，设公比为，所以，
因为，所以，其中，
当时，有；
当时，有，
设，则，
当，，单调递增；当，，单调递减，
因为，所以，
取，当时，，即，经检验知也成立，
因此所求的最大值不小于5，
若，分别取，得，且，
从而且，所以不存在，所以，
综上，所求的最大值为5.
故答案为：5
3（24-25高三·四川绵阳·期中）已知数列的前项和为，，且.
(1)求；
(2)求的通项公式；
(3)已知数列的通项公式为，且对任意的都成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用an与sn关系求通项或项、构造法求数列通项、数列不等式恒成立问题
【分析】（1）法1，根据给定条件，利用累乘法求出；法2，根据给定的递推公式，利用构造法求出；
（2）由（1）的结论，利用前项和与第项的关系求出；
（3）由（2）求出，再变形给定不等式分离参数，构造函数并利用导数求出最大值，结合数列特性求解.
【详解】（1）法1：由，得，而，当时，
，
而满足上式，所以.
法2：由，得，则，
因此数列是常数列，则，即，
所以.
（2）由（1）得，当时，，
则，而满足上式，
所以的通项公式.
（3）由（2）得，依题意，对任意的都成立，
设函数，，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，则，
而，因此当时，，则，
所以的取值范围是.
题型08 直接构造函数利用导数证明与数列有关的不等式
解｜题｜策｜略 1 在数列中证明不等式，其本质是一个关于的不等式的证明，最简单的方法是利用作差法或作商法得到要证明不等式对应的关于的式子，从而找到其对应的函数，利用导数求其单调性与最值； 2 在证明时，要注意的范围，有时候可以用换元法对式子进行化简再构造函数； 3 在使用直接构造函数的方法要注意所构造的函数是否过于复杂，计算量过大等问题，若是，可考虑其他方法。
1（广东省冮门市2024-2025学年高三学期第一次模拟考试数学试题）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设f(x)在点处切线的x轴截距为，数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明过程见解析.
【知识点】利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、裂项相消法求和、分组（并项）法求和
【分析】（1）求以及，再利用点斜式求切线方程；
（2）先求出切线方程，进一步求出数列的通项公式，再利用分组求和、裂项求和计算，进而将目标转化为求证，故而构造函数，通过导函数证明即可.
【详解】（1），则，
则，，
则曲线在点处的切线方程为，即.
（2），，
则切线方程为，
令，得 ，即，
则，
得，
令，则，
令，则，
其对称轴为，且，故当时，，
故在上单调递减，则，即，
则在上单调递减，则，
即当时，，故当时，，
又时，，
故对于任意都有，即，即.
2（25-26高三上·宁夏银川·月考）已知函数在上的最小值为0.
(1)求实数a的值；
(2)对任意的，数列满足，且，证明：当大于1时，也大于1；
(3)在（2）的条件下，若为数列的前n项和，求证：.
【答案】(1)2
(2)证明见详解
(3)证明见详解
【知识点】利用导数证明不等式、求等比数列前n项和、已知函数最值求参数、由递推数列研究数列的有关性质
【分析】（1）求导，分和两种情况讨论，判断的单调性和最值，结合题意运算求解即可；
（2）根据题意可得，构造，利用导数判断单调性，结合单调性分析证明；
（3）构造，利用导数可得，分析可得，，放缩结合等比数列求和公式分析证明.
【详解】（1）当时，，
当，即时，则，可知函数在内单调递增，
所以函数在内无最小值，不合题意；
当，即时，令，解得；令，解得；
可知函数在上单调递减，在上单调递增，
则函数在处取最小值，可得，解得；
综上所述：.
（2）由（1）可知：，，
构造，则
可知在上单调递增，则，
所以当时，.
（3）因为，则，，，以此类推可得，
构造，则，
可知在内单调递减，则，
因为，可得，即，
则，可得，
即，且，，
可得，即，
则
，
所以.
3（2025·河北·二模）对数运算可以使一些复杂的数学计算变得简单，比如函数：，通常为了便于求导，我们可以作变形：．
(1)求的单调区间；
(2)已知．
①若数列满足，，求数列的通项公式；
②求证：．
【答案】(1)单调递增区间为，递减区间为；
(2)①；②证明见解析.
【知识点】利用导数证明不等式、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由定义判定等比数列、写出等比数列的通项公式
【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性；
（2）①两边取对数，再结合等比数列定义计算结合指数及对数运算求解；②构造根据函数最值结合累加法证明即可.
【详解】（1），
令，解得，令，解得
所以的单调递增区间为，递减区间为
（2）①由题意可知，，
那么
两边同时取对数可得
所以是以为首项，2为公比的等比数列，
则，所以，
所以
②设函数，
当时，，当时，，
所以在（0，1）上单调递增，在上单调递减
则，即在上恒成立
所以，
即．
题型09 利用累加法证明与数列有关的不等式
解｜题｜策｜略 1 在证明与数列有关的不等式时，若遇到其含有某数列的前项和的形式，可利用数列求和的方法先把那部分进行化简再证明不等式； 2 求和的方法中累加法较为常见； 3 在部分解答题中，第一二问里往往含有对证明不等式有效提示，注意利用好； 4 在不等式证明中，也会利用第一二问提示想到放缩法，再结合累加法会达到证明不等式的效果。
1（25-26高三上·甘肃·月考）已知函数.
(1)若在上单调递增，求实数的取值范围；
(2)设，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数证明不等式
【分析】（1）在上单调递增等价于在上恒成立，再分离参数，结合不等式求最值即可；
（2）令，利用小问（1）可得到：，再根据此式放缩，累加即得答案.
【详解】（1），
因为在上单调递增，所以在上恒成立，
所以恒成立，令，只需，
，
当且仅当，即时等号成立，所以.
由，得，即的取值范围是.
（2）由（1）知，当时，在上单调递增，
所以当时，，即.
令，，所以，
即，所以，.
当依次取1，2，…，n时，，，…，.
上面式子叠加即得.
2（25-26高三上·河南·期中）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，且对任意的恒成立，求的取值范围；
(3)若，数列的前项和为，证明：．
【答案】(1)答案见解析；
(2)；
(3)证明见解析.
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、裂项相消法求和、利用导数求函数（含参）的单调区间、数列不等式恒成立问题
【分析】（1）求导得，再对分类讨论即可；
（2）设，求导后再对进行分类讨论；
（3）根据（2）得到结论对任意恒成立，再令，最利用累加法和裂项相消法即可得到证明.
【详解】（1）由题意得的定义域为．
当时，在上单调递减；
当时，由，得，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上可知，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）依题意可得当时，对任意恒成立．
令，则．
①当时，，
则，所以，
则在上单调递增，则，符合题意．
②当时，有两根，
因为且，所以，
所以由，即，得，
由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，则，则不符合题意．
故的取值范围是．
（3）由（2）可得，当时，对任意恒成立，
即对任意恒成立．
令，则，
当时，，此时满足，即不等式成立．
当时，，
所以， ，
以上累加得，
则，即．
综上可知，对所有的．
题型10 裂项求和法证明不等式
解｜题｜策｜略 1 在证明与数列有关的不等式时，若遇到其含有某数列的前项和的形式，可利用数列求和的方法先把那部分进行化简再证明不等式；求和的方法中裂项求和法也较为常见； 2 了解一些常见裂项 ，； ，. 3 有时候要结合放缩法一起证明才行.
1（2025·甘肃兰州·一模）已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：；
(3)若数列满足，证明：（e为自然对数的底）．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【知识点】利用导数证明不等式、裂项相消法求和、等差数列通项公式的基本量计算
【分析】（1）由等差数列的通项公式及等比数列的性质即可求解，进而可得通项公式；
（2）设，求导，可得的单调性，进而可得结论；
（3）由题意需证，由（2）可得，利用放缩法与裂项相消法可证结论.
【详解】（1）设等差数列公差为成等比数列，则，
所以，解得或（舍去），所以；
（2）设，当时，单调递减，
，所以，由（1）可知，
则有，所以不等式恒立．
（3）因为，所以要证，
只需证：，
根据（2）可知，那么，
，
所以.
2（2024·江苏南通·三模）已知函数．
(1)若，求的最小值；
(2)设数列前项和，若，求证：．
【答案】(1)0
(2)证明见详解
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、裂项相消法求和
【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性，进而可得的最小值；
（2）当时显然成立，当，结合（1）可得，进而可得，利用裂项相消法分析证明.
【详解】（1）因为，则，
因为，则，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得；
可知在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为.
（2）因为，
若，则，满足；
若，由（1）可知：，
即，当且仅当时，等号成立，
令，可得，
且，
可得，
所以；
综上所述：.
题型11 利用放缩法证明数列不等式之选填题
解｜题｜策｜略 1 在导数与数列相结合的不等式证明中，往往会用到放缩法，其技巧性较强，难度很大； 2 具体放缩法的思考方式有很多种，或利用一些常见函数有关不等式，或利用切线放缩，或局部放缩等等； 3 用到函数放缩，常见的有，；
1（2023·新疆·三模）已知数列中，，若（），则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C．（） D．
【答案】D
【知识点】利用导数证明不等式、根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质
【分析】由题意得，结合赋值、累加法可判断A项、D项，由在上的最值可判断B项，假设当，，成立，构造函数，结合导数研究其最值可得即，从而可判断C项.
【详解】对于A项，由（）得，
所以，，
又因为，所以，
所以，故A项正确；
对于B项，由A项可知，，故B项正确；
对于C项，因为，所以，
假设当，，成立，则，
令，则，
当，，单调递减，
所以，即，
所以，
所以有，
所以对于任意，，成立，故C项正确；
对于D项，由A项知，不满足，故D项错误.
故选：D.
2（21-22高三上·云南玉溪·月考）已知数列满足，满足，，则下列成立的是（ ）
A． B．
C． D．以上均有可能
【答案】C
【知识点】利用导数证明不等式、由递推数列研究数列的有关性质
【分析】由题设可得且，根据等式条件有，应用放缩法可得，构造并利用导数研究单调性可得上，则即可得到答案.
【详解】由题设，，，即数列均为正项，
∴，当时等号成立，
当时，有，以此类推可得与题设矛盾，
综上，，故，即.
∵，
∴，
令，则，
当时，即递减，当时，即递增，
∴，故上，即，
∴
故选：C
【点睛】关键点点睛：由条件等式结合放缩法得到的不等关系，再利用导数研究的单调性确定有，根据目标式作放缩处理得到关于的二次函数形式求最值.
3（多选）（25-26高三上·广东·月考）已知函数的导函数为，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则，
C．若，则：
D．，
【答案】ABD
【知识点】导数的运算法则、利用导数证明不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】对于A：求导得，令，可解出的值，再令，可得的值；对于B：利用导数得到在上的单调性，再利用单调性定义可判断；对于C：含参讨论单调性，结合零点存在定理讨论的零点个数可判断；对于D：取，得，利用先证明：，再利用这个不等式放缩求和，可得到答案.
【详解】对于A：由，得，则，则，故A正确；
对于B：由，得，则在上恒成立，
则在上单调递增，因为，所以，则，故B正确；
对于C：由，得.
由，可得在上单调递减，在上单调递增.
因为，所以当时，，当时，.
又在上单调递增，则当时，至多1个零点，则最多2个零点，故C不正确；
对于D：取，由，得在上恒成立，
则在上单调递增.
因为，所以当时，.取，则，
即，则，从而，故D正确.
故选：ABD
题型12 利用放缩法证明数列不等式之解答题
解｜题｜策｜略 1 若在解答题中要用到放缩法，稍简单的题目会在第一二问中给到足够的提示信息，利用好或能方便构造函数，或能根据其结论得到放缩的思路； 2 利用放缩法时，往往会用到裂项，记住一些常见的裂项公式有所帮助； 3 在数列不等式放缩中，要注意局部放缩，看清楚放缩的“强度”或“方向”，有助于放缩的思路。
1（25-26高三上·四川广安·月考）已知，．
(1)证明：为等差数列，并求的通项公式；
(2)令，为的前项之积，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】利用定义求等差数列通项公式、利用导数证明不等式、由递推关系式求通项公式、数列不等式恒成立问题
【分析】（1）根据已知可得，且，由等差数列的定义写出通项公式即可；
（2）利用导数证明 ，进而得到，可得，累加即可证.
【详解】（1）由，又由题意知，，
左右同时除以得，
又因为，则，则，
故是以3为首项，3为公差的等差数列，
所以，可得.
（2）因为，则，
所以，
令函数，求导得，
所以在上单调递增，，即，
取，则，于是，
所以，
则.
2（2024·广东广州·二模）已知数列中，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，记为的前项和，证明：时，.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由递推关系式求通项公式、错位相减法求和、数列不等式恒成立问题
【分析】（1）利用递推关系，把换成，得到两式相减，得到，再累乘后可得到通项；
（2）用错位相减法求出，再将证明不等式作差，之后利用导数的单调性证明即可.
【详解】（1）因为，
所以，
作差可得，变形为，即，即，化简为，
因为，所以，
因为，
所以数列的通项公式为.
（2）因为，
所以，，
作差可得，
所以，
，
设，则在给定区间上递减，
又
故在是减函数，，
所以当时，.
3（2025·广东佛山·一模）已知函数，.
(1)讨论的零点个数；
(2)若为正整数，记此时的零点为.证明：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性、求函数零点或方程根的个数
【分析】（1）解法1：对函数求导，然后对结合函数单调性分析得出结论；解法2：令，根据条件变形得出构造新函数对函数求导，结合函数单调性分析即可.
（2）结合（1）知，当时，函数有一个零点得出，变形得出相应不等式，构造不等式结合对数函数运算性质以及函数导数与单调性证明不等式即可.
【详解】（1）解法1：，
①当时，，函数无零点；
②当时，在上恒成立，
所以函数在上单调递减.
因为当时，，且，
所以函数在上存在唯一的零点.
③当时，令得，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
所以.
因为当时，且当时，，
所以，当即时，
函数在和上各存在一个零点；
当即时，函数有一个零点；
当即时，函数不存在零点，
综上所述，当时，函数有2个零点；
当或时，函数有一个零点；
当时，函数不存在零点.
解法2：令，
因为，所以，则，
令，则，
当时，，
当或时，，
所以在单调递增，在，单调递减，
所以，
当且时，，
当时，；
当时，，
所以，当时，函数有2个零点；
当或时，函数有一个零点；
当时，函数不存在零点.
（2）由（1）知，当时，函数有一个零点.
因为即，
所以，
先证.令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，即，即
因为，所以，
因为，
所以，即，
所以，，
所以，
因为，
所以，即，
又因为，
所以，
所以，
所以得证.
题型13 数学归纳法的运用
解｜题｜策｜略 1涉及到与 有关的不等式，一般都可以利用数学归纳法证明，只是要注意其证明难度； 2 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当时命题成立； (2)(归纳递推)以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”； 3在运用数学归纳法证明时要注意以下几点 ① 第一步归纳奠基中的不一定是； ② 当证明从到时，所证明的式子不一定只增加一项； ③ 在证明第二步中，强调两个“凑”，一是“凑”假设，在时的式子中凑出的式子(确定两个式子的“差项”；二是“凑”结论，明确时要证明的目标，在这个过程中常用到比较法、分析法等，不等式证明中还会用到放缩法)； ④ 要注意“观察---归纳—猜想---证明”的思维模式和由特殊到一般的数学思想.
1（2022·浙江宁波·模拟预测）已知数列满足，记表示数列的前n项乘积.则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数证明不等式、数学归纳法证明数列问题、数列新定义
【分析】先用数学归纳法证明.构造函数，利用导数证明出.记，证明出得到，即，用累加法得：，即可求出.记，证明出.得到，求出，即可得到.
【详解】因为，所以.
下面用数学归纳法证明.
当n=1时，符合.
假设时，结论成立，即.
当时，，所以显然成立；
因为，所以，所以，即，
所以结论成立.
综上所述：对任意的均成立.
记函数..
因为，所以（x=1取等号），所以在单调递增，
所以，即，所以，即，
所以数列为单调递增函数，所以.
记，则（x=1取等号），所以在上单调递增，所以，即.
所以，所以，
所以，累加得：.
因为，所以，即，所以，
所以，
即.
记，则，所以在上单调递减，所以，即.
所以，所以，
所以，
所以，
因为，所以，所以
即.
综上所述：.
故选：C
【点睛】（1）数学归纳法可以用来证明与自然数n有关的问题；
（2）利用导数证明不等式，常用的思路层次有三个:其一直接构造函数利用导数证明；其二直接做差构造函数利用导数证明；其三先做适当的变换后再做差构造函数利用导数证明.
2（10-11高三·安徽蚌埠·期中）已知函数，数列满足：，，证明：
【答案】证明见解析.
【知识点】利用导数证明不等式、数学归纳法证明数列问题、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】先利用导数证明在为增函数，再利用数学归纳法证明即可.
【详解】因为
所以，
所以在为增函数，
下面证明
（1）显然成立；
（2）假设成立，即
所以，所以也成立，
由(1)和(2)
又，，
∴，
所以，
综上可知.
【点睛】利用数学归纳法证明结论的步骤是:(1)验证时结论成立；（2）假设时结论正确，证明时结论正确（证明过程一定要用假设结论）；（3）得出结论.
题型14 三角函数与数列综合
解｜题｜策｜略 1 在三角函数与数列相结合的题型中，难度会很大； 2 构造函数是关键，要取决于要证明或求解的量所含的形式，对于数列，一般令或或等； 3 对于三角函数部分的处理中，要注意三角函数的有界性，进行有效放缩；注意周期性，进行分段讨论等； 4 在处理数列部分，要注意范围的特殊性。
1（2021·江西上饶·二模）函数的所有极大值点从小到大排成数列，设是数列的前项和，则（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】B
【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、求等差数列前n项和、求已知函数的极值点
【分析】求导数确定极大值点，得，然后由等差数列的前项和公式得，再计算．
【详解】在，先在时讨论时极值点．
由已知，由得，或，，
易知当（）时，，当（）时，，所以的极大值点是，
所以，是等差数列，公差，首项为，
，是偶数，
所以．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题考查导数与函数的极值点，考查等差数列的前项和公式，余弦函数的诱导公式．解题关键是掌握极值的定义，注意极大值点与极小值点的区别．
2（25-26高三上·贵州遵义·月考）已知函数，.
(1)当时，求在上的最小值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：.
【答案】(1)0；
(2)；
(3)证明见解析.
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】（1）利用导数法，求出单调性，利用单调性得到的最小值；
（2）（方法一）由恒成立，得到.当时，，由（1）可知，，得到，从而得到结论；（方法二）求出，则得到，构造函数，求导.继续构造函数，利用单调性得到，从而得到结论；
（3）证明：由（1）知，当时，，
令，则，利用放缩法得到，，利用裂项相消法得证.
【详解】（1）当时，，
则，
设，
，
在上单调递增.
，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
，故的最小值为0.
（2）（方法一）恒成立，.
当时，，
由（1）可知，，
，从而时，恒成立，
故.
（方法二），，
.
设，
则.
设，
则，
在上单调递减.
，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减.
，
.
（3）证明：由（1）知，当时，，
令，则，
，
，
，
，
， ，
，
，
，证毕.
3（24-25高三·海南海口·期中）记，，．
(1)求，并证明：；
(2)若，使得成立，求取值范围；
(3)求函数的单调增区间．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)，
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、二倍角的余弦公式
【分析】（1）代值计算可得，分别计算，然后两式相加即可；
（2）分离参数，，构建关于的函数，求导判断即可；
（3）求导可得，换元，代入，然后根据的值作出判断即可.
【详解】（1）由题意，，
，
证明：要证，
只需证，
由于 ①，
②，
①＋②得，
即，
得证；
（2）存在，使得成立，
即的最大值，
由题知，，
令，，，
即，解得（舍去），，
，，单调递增，
，，单调递减，
的最大值为，即；
（3），，
令，，，，
，，，
当时，，
当，，
当，，
又最多只有三个解且，
由三次函数图象，，，，
的单调增区间是，.
题型15 新定义问题
解｜题｜策｜略 1 新定义问题，关键是理解新定义所表达的本质，在判断是否符合新定义的问题中严格按照定义去求解，注意定义中各量所表达的含义就行； 2 其中涉及到不等式的，会用到前面所讲到的方法，逐个尝试下！
1（24-25高三·江西·期中）若数列使得函数f（x）满足，则称为的进阶数列．已知函数，，，，．
(1)证明：为的进阶数列．
(2)证明：．
(3)证明：为的进阶数列．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【知识点】利用导数证明不等式、数列新定义
【分析】（1）利用等比数列的前n项和公式即放缩即可证明结论.
（2）先构造函数，求导求函数的单调区间及最小值，即可证明，对自变量加1及求对数即可证明结论.
（3）由（2）的结论，以及等比数列前n项和及放缩即可证明结论.
【详解】（1）由题可知
，
所以为的进阶数列．
（2）构造函数，可得．
当时，，即函数在上单调递增；
当时，，即函数在上单调递减．
因此函数在处取得极小值，也是最小值，
即可得恒成立，即，当且仅当时，等号成立．
由，可得，即，当且仅当时，等号成立．
综上，恒成立，但等号不在同一点处取得，
所以，即．
（3）由（2）中结论可知，
所以，
因此．
故
，
即为的进阶数列．
2（2025高三·甘肃白银·学业考试）定义：若函数在其定义域内存在极大值和极小值，且存在一个常数k，使得成立，则称为“极值可差比函数”，常数为的“极值差比系数”.已知函数.
(1)当时，判断是否为“极值可差比函数”，并说明理由；
(2)是否存在，使得的“极值差比系数”为 若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
(3)设函数，数列满足，，，证明：.
【答案】(1)是，理由见解析
(2)不存在，理由见解析
(3)证明见解析
【知识点】求已知函数的极值、利用导数证明不等式、根据极值求参数
【分析】（1）先求出的导数，根据导数求出极值点，再计算的值，判断是否满足“极值可差比函数”的定义即可.
（2）先根据函数有两个不同的正根得出的取值范围，再通过的表达式求出，结合已知的值建立方程求解即可.
（3）求出的表达式，并求导判断其单调性，再构造函数，通过分析的单调性，结合的递推关系证明不等式即可.
【详解】（1）当时，，，
则，令，得或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
的极大值为，极小值为.
所以.
是“极值差比系数”为的“极值可差比函数”.
（2）假设存在，使得的“极值差比系数”为.
，，
.
又为“极值可差比函数”，有两个不同的极值点，，
故关于的方程在上有两个不同的实数解，，
则，解得，则.
不妨设，则，
所以
，则，
，，
，，则，即.
令，，则，
在上单调递增，则.
在时无解.
故不存在，使得的“极值差比系数”为.
（3），定义域，
要证，即证，
，，即，，
故证<，设，则，
证即可，
，的判别式，
恒成立，即，在单调递减，
所以当时，，即，
又，
令，在单调递增；
令，在单调递减；
，，，，
且， ，， ，
所以当时，，，，
又在单调递减，，即，
得证.
3（25-26高三上·上海·期中）对于函数，.如果是满足的最小正整数，则称是函数的“最小导周期”
(1)已知函数，其中，求证：对任意实数，都有;
(2)设，，若函数的最小导周期为记，当实数变化时，求的最小值；
(3)设，，若函数满足对恒成立，且存在使得，证明：，且.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)（3）证明见解析
【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、求已知函数的极值、函数新定义
【分析】（1）利用求导公式即可证明；
（2）先根据最小导周期求出，再分析的几何意义求最小值；
（3）先求，结合条件确定表达式，再利用三角函数性质证明范围.
【详解】（1）证明：因为，
所以，对任意实数，都有.
（2），
由题意知，对任意实数恒成立，
令，则，即，
令，则，则，
所以或.
若，则，最小导周期不是2，矛盾;
若，则，，最小导周期为2，符合要求，所以
可视为点与点之间的距离
当实数变化时，点在直线上运动，
点在曲线上运动
因此所求最小值可转化为曲线上的点到直线距离的最小值
而曲线在直线上方
平移直线使其与曲线相切，则切点到直线的距离即为所求.
设切点，切线斜率，得，切点为，
点到直线距离
即的最小值为
（3）
记，即
由在上恒成立及存在使，可知是函数的极大值点，于是
则①
又，则②
，得，则
又因为
所以，由得
又因为
所以
有，于是
所以
（建议用时：100分钟）
1（2019高三·浙江·月考）已知数列满足：，.则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、判断数列的增减性
【分析】构造函数，求导判断函数的单调性，判断数列的单调性，结合单调性判断的取值范围.
【详解】设，
∵，
当时，得；则在单调递增，
当时，，则函数在上单调递减，
且，可得，
∴，即数列为单调递增数列，
又，，
根据数列单调性可得：，∴.
故选：B.
2（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列满足，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．是递增数列
【答案】B
【知识点】对数的运算、用导数判断或证明已知函数的单调性、判断数列的增减性、由递推关系式求通项公式
【分析】由题意，，两式相减求出数列的通项公式，再结合对数的运算性质判断ABD，设，记，利用导数可得在上恒成立，进而利用放缩判断C.
【详解】因为，
所以,
两式相减得，则，
则，所以，A说法错误；
，，而，故B说法正确；
设，记，则
故，即在上恒成立，
所以，故C错误；
，
所以，故不是递增数列，D说法错误；
故选：B
3（23-24高三·海南省直辖县级单位·开学考试）已知数列中，，若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】基本（均值）不等式的应用、利用导数证明不等式、累加法求数列通项、由递推数列研究数列的有关性质
【分析】根据递推关系，即可判断A；由基本不等式即可判断B；根据累加法以及放缩法即可判断C；根据导数可证明，进而根据累加法以及放缩即可求解D.
【详解】数列中，，，显然，则，
对于A，，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，
，C错误；
对于D，令，求导得，
因此在上单调递增，，于是当时，，
则有，当时，，
则
，
因此，，则，
显然，所以，D正确.
故选：D
【点睛】易错点睛：裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的.
4（2025·广东清远·一模）设，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数证明不等式、由递推数列研究数列的有关性质
【分析】通过求导得到系数和对数的关系，对每个选项分别进行对数运算变形、方程求解、函数单调性分析来判断对错.
【详解】依题意，，
令，则.
对于A，当时，，故A错误.
对于B，当时，由，得；
由，得，
则，
又，
因为，，，所以，即,
即，故，B正确.
对于C，假设存在，使得.
当时，，由得；
当时，，，；
当时，，
所以（），则，
若，则，
即，则，即，
展开得，因,解之得，故C错误.
对于D，由选项C分析可知，而，
所以.
先证明不等式：
构造函数，则，
所以在区间上单调递减，而，
所以当时，，即.
令，则，
故，
则，
故D错误.
故选：B
5（多选）（24-25高三上·河南许昌·期中）已知数列满足，，且，则（ ）
A． B．
C．当时， D．
【答案】ACD
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正弦公式化简、求值、累乘法求数列通项
【详解】根据三角恒等变换计算得，再利用累乘法求得数列的通项公式为判断AB；根据三角函数单调性判断C；由同角三角函数之间的基本关系，结合函数单调性推理D.
【分析】对于B，由，
得，
即，整理得，
当时，，
满足上式，因此，B错误；
对于A，，即，又，解得，A正确；
对于C，当时，，又，因此，即，C正确；
对于D，由，得，又，，
因此，令函数，求导得，
函数在上单调递增，，即，
因此，即，D正确.
故选：ACD
6（2025·北京延庆·一模）数列中，若存在，使得“且”成立，（，）则称为的一个峰值.若，则的峰值为 ；若，且不存在峰值，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、数列新定义、根据数列的单调性求参数
【分析】根据二次函数的性质结合数列峰值的定义即可求出数列的峰值；构造函数，利用导数求出函数的单调区间，再结合数列峰值的定义即可得解.
【详解】由，
函数的对称轴为，
又，
所以，
所以的峰值为；
若，则，
令，则，
当时，，所以函数在上单调递减，
则数列是递减数列，符合题意；
当时，令，则，令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
要使数列不存在峰值，
则，即，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
故答案为：；.
7（25-26高三上·河南·开学考试）（1）求函数的单调区间；
（2）数列满足
①记为数列的前n项和，求证：
②记为数列的前n项和，求证：
附：.
【答案】（1）单调递减区间为，无单调递增区间；（2）①证明见解析；②证明见解析
【知识点】利用导数证明不等式、裂项相消法求和、利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数为负得出单调减区间；
（2）①应用（1）的单调性得出，再应用裂项相消法计算证明；
②构造函数应用导数得出函数单调性，进而得出，应用累加法计算证明不等式.
【详解】（1）函数定义域为，
∴在区间上单调递减，
∴其单调递减区间为，无单调递增区间.
（2）①∵，∴由的单调性可知，即
∴
当时，
当时，
∴
.
综上所述，
②，
设，，，
∴在区间上单调递增，又，
∴，∴
∴
∴
又，
∴
，
所以.
8（25-26高三上·山东临沂·期中）已知，，，，
(1)当时，是的一个极值点，求；
(2)是否存在，使？若存在，求的取值范围，若不存在，说明理由；
(3)证明：对，.
【答案】(1)
(2)
(3)见详解.
【知识点】利用导数证明不等式、根据极值点求参数、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】（1）由题意知，解得的值，并检验满足题意即可；
（2）假设时，，成立，参变分离后求出的取值范围得解；
（3）先证明，放缩不等式后即可证明.
【详解】（1）当时，
，解得.
当时，令则，
则 ，下面研究时的单调性.
在单调递增，，
故存在唯一使得，所以时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又 ，所以时，时，
所以时，时.故是的一个极值点.
（2）存在，使.此时理由如下：
时，，因为为偶函数，故只考察时.
即，即.
令
当时，显然成立；
当时，，令，，
令
当时，，故在上单调递减，
所以，，，所以，在上单调递减，
故，故
（3）先证明，令，
在单调递减，，故使得
所以在单调递增，在单调递减，又
故
时，所以时，
又，，
故对，.
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