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专题03 函数的性质及应用
易错点1 复合函数定义域的理解不当致错
易错典题
【例1】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】的定义域为.
当时，（易错点）
定义域是x的取值范围
的定义域为，即.
令，解得（易错点）
中的与中的x的取值范围一致
的定义域为，即.
“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
【错因分析】本题要注意定义域是指自变量x的取值范围，此外与中的范围一致.
知识混淆：误以为x范围一致.
概念模糊：对复合函数定义域的概念不清，导致思维存在漏洞.
望文生义：求复合函数的定义域就认为是求的范围，而实质是求自变量x的范围.
避错攻略
【方法总结】已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同，另外对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
【知识链接】1复合函数的概念：
若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当时，称函数y=f[g(x)]为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中x称为自变量,t为中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数.
2抽象函数或复合函数的定义域：
（1）函数的定义域是自变量x的取值范围，比如：函数f(x)的定义域是指x的取值范围，函数y=f[g(x)]的定义域也是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围.
（2）f(t)，f(x)，f[φ(x)]，f[h(x)]四个函数中的t，x，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同，在同一函数作用下，括号内整体的取值范围相同.
（3）已知f(x)的定义域为A，求f[φ(x)]的定义域，其实质是已知φ(x)的取值范围(值域)为A，求x的取值范围.
（4）已知f[φ(x)]的定义域为B，求f(x)的定义城，其实质是已知f[φ(x)]中x的取值范围为B，求φ(x)的取值范围(值域)，这个范围就是f(x)的定义域.
举一反三
【变式1-1】（25-26高三上·江苏镇江·月考）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由.
所以函数的定义域为.
故选：C
【变式1-2】（25-26高三上·全国·期末）函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为，即，则，
的定义域为，
需满足，解得且，
的定义域为，故C正确．
故选：C．
【变式1-3】（25-26高三上·山东菏泽·期中）已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】D
【解析】函数的图像向右平移1个单位长度得到函数的图像，故定义域为，值域不变；
故选：D
易错点2 研究性质时忽略函数定义域致错
易错典题
【例2】(2026四川广安期中)奇函数是定义域为上的增函数.且，则的取值范围是（ ）
A． B． C．， D．
【答案】B
【解析】 ，，
是奇函数，，
是定义域为上的增函数，
（易错点），
注意定义域优先
，解得，
的取值范围是.
【错因分析】求解本题时要保证2a+1和-a+2均在定义域(-3,3)内,不要忘记这个条件.
知识混淆：研究函数性质时，忽略了“定义域优先”这一原则.
概念模糊：解不等式时逻辑推导不清晰，未考虑2a+1,-a+2在定义域，导致思维存在漏洞.
望文生义：看到解不等式直接利用函数单调性脱去“f”，而忽视了考虑在函数定义域范围内解不等式.
避错攻略
【方法总结】建立“定义域优先”的解题原则.
【知识链接】1.函数单调性与定义域
函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。
（1）单调区间区间I是定义域的子集，即应在函数的定义域内研究单调性．
（2）如果函数y＝f(x)存在多个单调区间，应当用“，”或“和”连接．
（3）单调性是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质．
（4）复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.
2.函数奇偶性与定义域
偶函数的定义：如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝F(x) 成立，则称F(x)为偶函数．
奇函数的定义：如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝－F(x)成立，则称F(x)为奇函数．
(1)奇偶函数定义的等价形式．
奇函数 f(－x)＝－f(x) f(－x)＋f(x)＝0，偶函数 f(－x)＝f(x) f(－x)－f(x)＝0．
(2)函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称．
一个函数不论是奇函数还是偶函数，定义域必须关于原点对称，否则这个函数就不满足是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．例如y＝ ，定义域为[0，＋∞)，不具有奇偶性．
举一反三
【变式1-1】2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，函数是定义在上的偶函数，所以，
解得，即函数的定义域为，
当时，单调递增，所以当时，单调递减，
关于的不等式，即，
所以，解得，所以原不等式解集为.
故选：A
【变式1-2】（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】为上的偶函数，且在上为单调递增，
∴等价于即，
由（1）得,即,解得或,
由（2）得，解得,
∴或,
即不等式的解集为：,
故选：C.
【变式1-3】（25-26高三上·河北邢台·期中）已知是定义在上的偶函数，对任意的，当时，恒成立，若，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为是定义在上的偶函数，所以，解得，
，且，则，
又因为，所以，
所以，则，
令，则，故在上单调递增，
因为为上的偶函数，所以为上的偶函数，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为，所以，即为，
即，则或，
解得或，
所以不等式的解集为.
故选：C.
易错点3 使用换元法忽略新元的范围
易错典题
【例3】（24-25高三上·吉林·阶段练习）已知，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令（易错点），
注意新元t的取值范围
由，
则，即.
故选：C.
【错因分析】本题求解时设，换元后要注意这一范围，如果忽略新元的范围，容易错选A.
知识混淆：将新元与旧元的取值范围混淆，从而导致错解.
概念模糊：利用换元法求得解析式后，考虑问题不周全，不求新元的取值范围，从而导致未考虑定义域的错误.
望文生义：换元法求函数解析式时，想当然认为新元范围与旧元范围一致.
避错攻略
【方法总结】换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小;若新变量的取值范围被扩大了,则在求解之后要加以检验.
【知识链接】1.换元法
换元就是引入辅助未知数,把题中某一个(些)字母的表达式用另一个(些)字母的表达式来代换,这种解题方法,叫做换元法,又称变量代换法.
换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.例如通过换元来降次,或化分式、根式为整式等,换元的关键是选择适当的式子进行代换.
常见的换元方法
（1）根式代换：一般是指将根式部分通过换元，使原函数表达式转化为我们所熟悉的一元二次方程形式；
（2）整体代换：将所求表达式整体换元；
（3）三角代换：三角代换分为两种情况：①用三角函数的性质将代数或几何问题转化成三角问题，转化的过程要注意定义域的取值问题；②逆向三角代换：是指将三角问题，通过换元法转化成我们所熟悉的一元二次方程的问题。
举一反三
【变式3-1】（25-26高三上·云南·期末）已知函数，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设，则，因为，可得，
所以函数．
故选：C．
【变式3-2】（25-26高三上·全国·期末）已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令，则，因为，所以.
由，可得，
∴．
故选：B．
【变式3-3】（25-26高三上·陕西榆林·月考）已知函数，则的解析式为 .
【答案】.
【解析】因为函数，且，
所以.
故答案为：.
易错点4 忽略分段函数自变量的范围致错
易错典题
【例4】(2025湖南长沙期中)已知函数f(x)=则f(f(10))的值为　　　　;f(x)的最大值为　　　　.
【答案】31;40
【解析】∵f(10)=-102+20×10-64=36,∴f(f(10))=f(36)=-36-+76=31.
当x∈[3,12)时,f(x)=-x2+20x-64=-(x-10)2+36,
故当x=10时,f(x)取得最大值,为f(10)=36(易错点).
注意求的是x∈[3,12)时f(x)的最大值
当x∈[12,40]时,f(x)=-x-+76=-+76≤-2+76=40,当且仅当x=,即x=18时,等号成立,则f(x)的最大值为f(18)=40.
而36<40,所以f(x)的最大值为40.
【错因分析】本题是分段函数的求值问题,多重函数求值时要注意由内算到外,同时要注意找准自变量取值所对应的解析式;第二个空是求分段函数的最值,要考虑其在每一段定义域内的最值,最后进行比较.
知识混淆：将分段函数的最值与某一段的最值混为一谈.
概念模糊：对分段函数的概念理解不够透彻，从而导致思维存在漏洞.
望文生义：受思维定势的影响，对于分段函数的求值问题只考虑第一段解析式，而忽略了其他段解析式.
避错攻略
【方法总结】分段函数分段处理！
【知识链接】1．分段函数的定义
在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数．
【理解】(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．
(2)处理分段函数问题时，要首先确定自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．要注意写解析式时各区间端点的开闭，做到不重复、不遗漏．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的并集，分段函数的值域是分别求出各段上的值域后取并集．
2．分段函数的题型
（1）分段函数图象的画法
①作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.
②对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象.
（2）分段函数的求值
①确定要求值的自变量属于哪一段区间．
②代入该段的解析式求值，直到求出值为止．
（3）求某条件下自变量的值(或范围)
先对x的取值范围分类讨论，然后代入不同的解析式，解方程(不等式)求解，注意需检验所求的值是否在所讨论的区间内．若题目是含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．
（4）根据分段函数的解析式解不等式
①对变量分类讨论代入相应的解析式求解．
②画出分段函数的图像判断单调性，利用单调性求解．
（5）求分段函数的最值
分别求出每一段的最值或值域进行比较求出最值
（6）根据单调性求参数
从两方面入手，一是分析各段的单调性，二是比较分段点的大小关系.
举一反三
【变式4-1】（2024·吉林·模拟预测）已知若，则实数的值为（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．2
【答案】B
【解析】当时，，则，解得：（舍去）；
当时，，则，解得：.
故选：B.
【变式4-2】（2024·浙江温州·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当时，的取值范围是，
注意到，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，的最大值为，
且注意到趋于负无穷时，也会趋于负无穷，
若函数的值域为，
则当且仅当，解得.
故选：A.
【变式4-3】（2024·浙江温州·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当时，的取值范围是，
注意到，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，的最大值为，
且注意到趋于负无穷时，也会趋于负无穷，
若函数的值域为，
则当且仅当，解得.
故选：A.
易错点5 混淆“单调区间”与“在区间上单调”致错
易错典题
【例5】（25-26高三上·河北·期中）已知函数f(x)=|2x+a|.
(1)若f(x)的单调递增区间为[3,+∞),求实数a的值;
(2)若f(x)在区间[3,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.
【解析】(1)由题意知f(x)=
∴函数f(x)的单调递增区间为,
∴3=-,(易错点)
为增区间和减区间的分界点
解得a=-6.
(2)由(1)可知, f(x)的单调递增区间为,
∵f(x)在[3,+∞)上单调递增,
∴-≤3, (易错点)
[3,+∞)为单调增区间的子区间
即a≥-6.
∴实数a的取值范围为[-6,+∞).
【错因分析】将单调区间为I与在区间I上单调视为同一个概念，从而造成错解.
知识混淆：混淆“单调区间”与“在区间上单调”，导致思维混乱.
概念模糊：未正确理解函数单调性的概念，从而导致思维受阻.
望文生义：遇到在区间I上单调就想当然认为I是单调区间，从而造成逻辑错误.
避错攻略
【方法总结】单调区间是指一个函数的定义域中所有具有递增或递减性质的区间;在区间上单调是指函数在某一个区间上单调,二者有本质区别,若函数在区间[a,b]上单调,则该函数在此区间的任意子区间上具有相同的单调性.
【知识链接】
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果 x1，x2∈D
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是增函数；当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递增 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是减函数；当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递减
图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫做函数y＝f(x)的单调区间.
[微提醒]　(1)求函数单调区间或讨论函数单调性必须先求函数的定义域.(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.(3)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数.
2.函数单调性的相关结论
(1)函数单调性的两个等价结论
① x1，x2∈I且x1≠x2，有＞0或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0 f(x)在区间I上单调递增.
② x1，x2∈I且x1≠x2，有＜0或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0 f(x)在区间I上单调递减.
(2)在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数.
(3)函数y＝f(x)(f(x)＞0或f(x)＜0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反.
(4)复合函数y＝f(g(x))的单调性的判断方法：同增异减.
举一反三
【变式5-1】（25-26,重庆文理学院附属中学校高三上期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，在上单调递增，符合题意，则；
当时，由函数在上是增函数，得且，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D
【变式5-2】（多选）（25-26高三上·重庆璧山·期中）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因是幂函数，则，解得或，
当时，，其定义域为，且为奇函数，故舍去；
当时，是上的偶函数，符合题意.
则，其图象对称轴为直线，
由该函数在区间上单调递减，可得，解得.
故选：C.
【变式5-2】（25-26高三上·浙江宁波·期中）已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．若的定义域为，则
B．若的定义域为，则
C．若的值域为，则
D．若在上单调递增，则
【答案】AB
【解析】对于A，由的定义域为，得成立，
当时，成立，则；
当时，，解得，因此，A正确；
对于B，由的定义域为，得是不等式的解集，
则，且为方程的两根，，解得，B正确；
对于C，由的值域为，得函数的值域包含，
则，解得，C错误；
对于D，由在上单调递增，得，解得，D错误.
故选：AB
易错点6 忽略对参数取值范围讨论而致错
易错典题
【例6】（2026安徽天一大联考）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 当时，为增函数，不合题意；
当时，为常数函数，不合题意；
所以，即；
于是得（易错点），
注意考虑每一段函数的单调性
解得.
【错因分析】本题考查由分段函数单调性求参数的取值范围，其中第一段需对x的系数分类讨论，第二段需考虑对称轴与区间的关系，此外本题还需注意端点1处函数值的大小关系，即由第一段解析式计算出的1处函数值必须不小于由第二段解析式计算出的1处的函数值.
知识混淆：混淆在定义域内单调与在某一段单调.
概念模糊：未正确理解函数单调性的概念，从而在研究分段函数的单调性时考虑不全面.
望文生义：对参数讨论想当然只讨论各段解析式的单调性，未从整体角度考虑各段之间端点处函数值的限制条件，从而导致错解.
避错攻略
【方法总结】对于含参的函数问题，要注意恰当讨论，对于含参的分段函数问题，除了要注意研究各段解析式的性质，还要从整体上把握分段函数的性质.
【知识链接】
1.求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．
2.已知分段函数的单调性求参数，切记不要漏掉分段点处函数值大小的比较，常见的类型及应满足的条件如下：
类型1：函数，在上单调増递，则满足两个条件：
(1)在上单调増递增；
(2)在上单调増递增；
(3).
类型2：函数，在上单调増递减，则满足两性个条件：
(1)在上单调増递减；
(2)在上单调増递减；
(3).
举一反三
【变式6-1】（2026·山东·一模）已知且，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】函数在上单调，
当在上单调递减时，，解得；
当在上单调递增时，，解得，
所以实数的取值范围是.
【变式6-2】（24-25高三上·山东聊城·期中）设，若为的最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，对称轴为，
当时，即，，
当时，即，，不符合题意，所以，
当时，，则，
令，则，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
则是函数的极小值点，
又为的最小值，则满足，
即，解得，又，
所以实数的取值范围是.
【变式6-3】（2026江西智慧上进期中）已知函数．
(1)用定义证明在区间上单调递增；
(2)若在区间上的值域为，求、的值．
【解析】（1）任取、且，即，
所以
，
因为，则，，所以，即，
故函数在区间上单调递增.
（2）由二次函数的单调性可知，函数的增区间为，减区间为，
当时(易错点)，函数在区间上单调递增，
此时，，
又因为，解得，；
当(易错点)时，函数在区间上单调递减，
此时①，②，
①②得，
因为，则，整理可得，则③，
将③代入①可得，即，，无解；
当(易错点)时，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，解得，矛盾.
综上所述，，.
[易错警示]求含参数的函数的最大(小)值问题,需对参数进行分类讨论,解题时分析函数图象的对称轴与区间的位置关系即可求出最大(小)值.
单选题
1．（2025高三上·四川眉山·专题练习）函数的定义域为[1,2]，则函数的定义域为（ ）
A．[0,1] B．[1,2] C．[2,4] D．[4,16]
【答案】D
【解析】由于的定义域为[1,2]，故，则，
令，则，故，故，
故的定义域为,
故选：D
2．（24-25高三下·福建泉州·开学考试）已知的定义域为，则的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为的定义域为，
所以，解得，
故选：A.
3．（25-26高三上·全国·期末）函数的值域为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方法一：由得定义域为；
因为单调递增，单调递减，
所以单调递增；
所以函数值域为．
方法二：令，则，，
所以，
函数在上单调递减，且时，函数取到最大值2，
所以函数值域为，
故选：A．
4．（25-26高三上·陕西咸阳·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若时，在上单调递增；所以CD错误；
若，由选项中实数是非负实数，当时，函数为开口向下的二次函数的部分，
要使其单调递增，则对称轴，所以.
当时，易得函数单调递增，
考虑断点处的情况，则有成立，所以.
综上所述，
故选：B.
5．（25-26高三上·宁夏吴忠·期中）已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】偶函数在单调递增，故等价于
且，，
解得.
故选：B
6．（25-26高三·浙江杭州·期末）已知函数且，对任意的，且时，满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为对任意的，且时，满足，
所以函数在上单调递增，
令，其图象的开口向上，对称轴为，
则在上单调递增，
当时，为单调递减函数，
由复合函数的单调性可知函数在单调递减，不满足题意；
当时，为单调递增函数，
由复合函数的单调性可知函数在单调递增，
又因为函数在上单调递增，
所以，解得，
即实数的取值范围为.
故选：A.
7．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）若函数存在最大值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知，当时，函数单调递减，
，无最值，
当时，，
当时，在单调递减，，
此时无最大值，
当时，，
当时，在单调递增，，
而时，，
故若函数存在最大值，则最大值必为，
因此需满足，
综上，.
故选：D
8．（25-26高一上·江西赣州·期末）已知函数定义域为且，其图象是一条连续不断的曲线，且满足，若，当时，总有成立，且满足的实数的取值范围是，则（ ）
A．1 B．4 C．5 D．8
【答案】C
【解析】由知为奇函数；
，当时，总有，即，
令，则在单调递增，
又为奇函数，所以，即为偶函数，
所以.因为，
即，即，即，
解得，
又，所以的解集为，
则有.
故选：C
多选题
9．（25-26高三上·江西吉安·期中）下列说法正确的是（ ）
A．若的定义域为，则的定义域为
B．若定义在上的函数的值域为，则的值域为
C．定义在上的函数满足，则
D．已知，则
【答案】AC
【解析】对于A，若函数的定义域为，对于函数，则有，
解得，所以函数的定义域为，故A正确；
对于B，的函数图象可由向左平移一个单位得到，因此值域不变，故B错误；
对于C，因为定义在上的函数满足①，
所以②，由①+②，得，所以，故C正确；
对于D，因为，因为，所以，故D错误.
故选：AC.
10．（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ）
A． B．若，则x的值是
C．的解集为 D．的值域为
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，则，
所以，故A正确；
对于B，当时，，解得：（舍）；
当时，，解得：（舍）或；
的解为， 故B正确；
对于C，当时，，解得：；
当时，，解得：；
的解集为，故C错误；
对于D，当时，；
当时，；
的值域为， 故D正确.
故选：ABD.
11．（25-26高三上·江苏连云港·月考）已知函数，则（ ）
A．是奇函数
B．当时，
C．若，则，使
D．若，则在上单调递增
【答案】ABD
【解析】函数的定义域为 ，且，所以为奇函数，故A正确；
当时，，故B正确；
当时，，又在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减.
若，则，由，得，即，这与矛盾，所以不存在，使，故C错误；
因为函数为上的奇函数，且在上单调递增，
所以，且在上单调递增.
当时，，所以在上单调递增，故D正确.
故选：ABD.
填空题
12．（25-26高三上·湖北黄冈·月考）已知，则
【答案】
【解析】令，则，
因为，所以，
所以．
13．（2026·山东·一模）已知且，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】函数在上单调，
当在上单调递减时，，解得；
当在上单调递增时，，解得，
所以实数的取值范围是.
14．（2025高三上·福建厦门·专题练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】，
由反比例函数性质知当，即时，在单调递增，
又在单调递增，所以，所以.
综上，即实数的取值范围是
故答案为：.
15．（2025高三上·上海·专题练习）函数解析式为，值域为，图象过点，则函数的值域为 .
【答案】
【解析】由题设，则，
又函数的值域为，则，可得，
可得函数的定义域为
函数，
所以且，可得
令，则，
令，则，
所以在上单调递增，则，即.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题03 函数的性质及应用
易错点1 复合函数定义域的理解不当致错
易错典题
【例1】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】的定义域为.
当时，（易错点）
定义域是x的取值范围
的定义域为，即.
令，解得（易错点）
中的与中的x的取值范围一致
的定义域为，即.
“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
【错因分析】本题要注意定义域是指自变量x的取值范围，此外与中的范围一致.
知识混淆：误以为x范围一致.
概念模糊：对复合函数定义域的概念不清，导致思维存在漏洞.
望文生义：求复合函数的定义域就认为是求的范围，而实质是求自变量x的范围.
避错攻略
【方法总结】已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同，另外对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
【知识链接】1复合函数的概念：
若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当时，称函数y=f[g(x)]为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中x称为自变量,t为中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数.
2抽象函数或复合函数的定义域：
（1）函数的定义域是自变量x的取值范围，比如：函数f(x)的定义域是指x的取值范围，函数y=f[g(x)]的定义域也是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围.
（2）f(t)，f(x)，f[φ(x)]，f[h(x)]四个函数中的t，x，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同，在同一函数作用下，括号内整体的取值范围相同.
（3）已知f(x)的定义域为A，求f[φ(x)]的定义域，其实质是已知φ(x)的取值范围(值域)为A，求x的取值范围.
（4）已知f[φ(x)]的定义域为B，求f(x)的定义城，其实质是已知f[φ(x)]中x的取值范围为B，求φ(x)的取值范围(值域)，这个范围就是f(x)的定义域.
举一反三
【变式1-1】（25-26高三上·江苏镇江·月考）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（25-26高三上·全国·期末）函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（25-26高三上·山东菏泽·期中）已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
易错点2 研究性质时忽略函数定义域致错
易错典题
【例2】(2026四川广安期中)奇函数是定义域为上的增函数.且，则的取值范围是（ ）
A． B． C．， D．
【答案】B
【解析】 ，，
是奇函数，，
是定义域为上的增函数，
（易错点），
注意定义域优先
，解得，
的取值范围是.
【错因分析】求解本题时要保证2a+1和-a+2均在定义域(-3,3)内,不要忘记这个条件.
知识混淆：研究函数性质时，忽略了“定义域优先”这一原则.
概念模糊：解不等式时逻辑推导不清晰，未考虑2a+1,-a+2在定义域，导致思维存在漏洞.
望文生义：看到解不等式直接利用函数单调性脱去“f”，而忽视了考虑在函数定义域范围内解不等式.
避错攻略
【方法总结】建立“定义域优先”的解题原则.
【知识链接】1.函数单调性与定义域
函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。
（1）单调区间区间I是定义域的子集，即应在函数的定义域内研究单调性．
（2）如果函数y＝f(x)存在多个单调区间，应当用“，”或“和”连接．
（3）单调性是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质．
（4）复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.
2.函数奇偶性与定义域
偶函数的定义：如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝F(x) 成立，则称F(x)为偶函数．
奇函数的定义：如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝－F(x)成立，则称F(x)为奇函数．
(1)奇偶函数定义的等价形式．
奇函数 f(－x)＝－f(x) f(－x)＋f(x)＝0，偶函数 f(－x)＝f(x) f(－x)－f(x)＝0．
(2)函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称．
一个函数不论是奇函数还是偶函数，定义域必须关于原点对称，否则这个函数就不满足是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．例如y＝ ，定义域为[0，＋∞)，不具有奇偶性．
举一反三
【变式1-1】2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（25-26高三上·河北邢台·期中）已知是定义在上的偶函数，对任意的，当时，恒成立，若，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
易错点3 使用换元法忽略新元的范围
易错典题
【例3】（24-25高三上·吉林·阶段练习）已知，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令（易错点），
注意新元t的取值范围
由，
则，即.
故选：C.
【错因分析】本题求解时设，换元后要注意这一范围，如果忽略新元的范围，容易错选A.
知识混淆：将新元与旧元的取值范围混淆，从而导致错解.
概念模糊：利用换元法求得解析式后，考虑问题不周全，不求新元的取值范围，从而导致未考虑定义域的错误.
望文生义：换元法求函数解析式时，想当然认为新元范围与旧元范围一致.
避错攻略
【方法总结】换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小;若新变量的取值范围被扩大了,则在求解之后要加以检验.
【知识链接】1.换元法
换元就是引入辅助未知数,把题中某一个(些)字母的表达式用另一个(些)字母的表达式来代换,这种解题方法,叫做换元法,又称变量代换法.
换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.例如通过换元来降次,或化分式、根式为整式等,换元的关键是选择适当的式子进行代换.
常见的换元方法
（1）根式代换：一般是指将根式部分通过换元，使原函数表达式转化为我们所熟悉的一元二次方程形式；
（2）整体代换：将所求表达式整体换元；
（3）三角代换：三角代换分为两种情况：①用三角函数的性质将代数或几何问题转化成三角问题，转化的过程要注意定义域的取值问题；②逆向三角代换：是指将三角问题，通过换元法转化成我们所熟悉的一元二次方程的问题。
举一反三
【变式3-1】（25-26高三上·云南·期末）已知函数，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（25-26高三上·全国·期末）已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（25-26高三上·陕西榆林·月考）已知函数，则的解析式为 .
易错点4 忽略分段函数自变量的范围致错
易错典题
【例4】(2025湖南长沙期中)已知函数f(x)=则f(f(10))的值为　　　　;f(x)的最大值为　　　　.
【答案】31;40
【解析】∵f(10)=-102+20×10-64=36,∴f(f(10))=f(36)=-36-+76=31.
当x∈[3,12)时,f(x)=-x2+20x-64=-(x-10)2+36,
故当x=10时,f(x)取得最大值,为f(10)=36(易错点).
注意求的是x∈[3,12)时f(x)的最大值
当x∈[12,40]时,f(x)=-x-+76=-+76≤-2+76=40,当且仅当x=,即x=18时,等号成立,则f(x)的最大值为f(18)=40.
而36<40,所以f(x)的最大值为40.
【错因分析】本题是分段函数的求值问题,多重函数求值时要注意由内算到外,同时要注意找准自变量取值所对应的解析式;第二个空是求分段函数的最值,要考虑其在每一段定义域内的最值,最后进行比较.
知识混淆：将分段函数的最值与某一段的最值混为一谈.
概念模糊：对分段函数的概念理解不够透彻，从而导致思维存在漏洞.
望文生义：受思维定势的影响，对于分段函数的求值问题只考虑第一段解析式，而忽略了其他段解析式.
避错攻略
【方法总结】分段函数分段处理！
【知识链接】1．分段函数的定义
在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数．
【理解】(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．
(2)处理分段函数问题时，要首先确定自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．要注意写解析式时各区间端点的开闭，做到不重复、不遗漏．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的并集，分段函数的值域是分别求出各段上的值域后取并集．
2．分段函数的题型
（1）分段函数图象的画法
①作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.
②对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象.
（2）分段函数的求值
①确定要求值的自变量属于哪一段区间．
②代入该段的解析式求值，直到求出值为止．
（3）求某条件下自变量的值(或范围)
先对x的取值范围分类讨论，然后代入不同的解析式，解方程(不等式)求解，注意需检验所求的值是否在所讨论的区间内．若题目是含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．
（4）根据分段函数的解析式解不等式
①对变量分类讨论代入相应的解析式求解．
②画出分段函数的图像判断单调性，利用单调性求解．
（5）求分段函数的最值
分别求出每一段的最值或值域进行比较求出最值
（6）根据单调性求参数
从两方面入手，一是分析各段的单调性，二是比较分段点的大小关系.
举一反三
【变式4-1】（2024·吉林·模拟预测）已知若，则实数的值为（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．2
【变式4-2】（2024·浙江温州·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】（2024·浙江温州·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
易错点5 混淆“单调区间”与“在区间上单调”致错
易错典题
【例5】（25-26高三上·河北·期中）已知函数f(x)=|2x+a|.
(1)若f(x)的单调递增区间为[3,+∞),求实数a的值;
(2)若f(x)在区间[3,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.
【解析】(1)由题意知f(x)=
∴函数f(x)的单调递增区间为,
∴3=-,(易错点)
为增区间和减区间的分界点
解得a=-6.
(2)由(1)可知, f(x)的单调递增区间为,
∵f(x)在[3,+∞)上单调递增,
∴-≤3, (易错点)
[3,+∞)为单调增区间的子区间
即a≥-6.
∴实数a的取值范围为[-6,+∞).
【错因分析】将单调区间为I与在区间I上单调视为同一个概念，从而造成错解.
知识混淆：混淆“单调区间”与“在区间上单调”，导致思维混乱.
概念模糊：未正确理解函数单调性的概念，从而导致思维受阻.
望文生义：遇到在区间I上单调就想当然认为I是单调区间，从而造成逻辑错误.
避错攻略
【方法总结】单调区间是指一个函数的定义域中所有具有递增或递减性质的区间;在区间上单调是指函数在某一个区间上单调,二者有本质区别,若函数在区间[a,b]上单调,则该函数在此区间的任意子区间上具有相同的单调性.
【知识链接】
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果 x1，x2∈D
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是增函数；当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递增 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是减函数；当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递减
图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫做函数y＝f(x)的单调区间.
[微提醒]　(1)求函数单调区间或讨论函数单调性必须先求函数的定义域.(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.(3)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数.
2.函数单调性的相关结论
(1)函数单调性的两个等价结论
① x1，x2∈I且x1≠x2，有＞0或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0 f(x)在区间I上单调递增.
② x1，x2∈I且x1≠x2，有＜0或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0 f(x)在区间I上单调递减.
(2)在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数.
(3)函数y＝f(x)(f(x)＞0或f(x)＜0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反.
(4)复合函数y＝f(g(x))的单调性的判断方法：同增异减.
举一反三
【变式5-1】（25-26,重庆文理学院附属中学校高三上期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（多选）（25-26高三上·重庆璧山·期中）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（25-26高三上·浙江宁波·期中）已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．若的定义域为，则
B．若的定义域为，则
C．若的值域为，则
D．若在上单调递增，则
易错点6 忽略对参数取值范围讨论而致错
易错典题
【例6】（2026安徽天一大联考）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 当时，为增函数，不合题意；
当时，为常数函数，不合题意；
所以，即；
于是得（易错点），
注意考虑每一段函数的单调性
解得.
【错因分析】本题考查由分段函数单调性求参数的取值范围，其中第一段需对x的系数分类讨论，第二段需考虑对称轴与区间的关系，此外本题还需注意端点1处函数值的大小关系，即由第一段解析式计算出的1处函数值必须不小于由第二段解析式计算出的1处的函数值.
知识混淆：混淆在定义域内单调与在某一段单调.
概念模糊：未正确理解函数单调性的概念，从而在研究分段函数的单调性时考虑不全面.
望文生义：对参数讨论想当然只讨论各段解析式的单调性，未从整体角度考虑各段之间端点处函数值的限制条件，从而导致错解.
避错攻略
【方法总结】对于含参的函数问题，要注意恰当讨论，对于含参的分段函数问题，除了要注意研究各段解析式的性质，还要从整体上把握分段函数的性质.
【知识链接】
1.求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．
2.已知分段函数的单调性求参数，切记不要漏掉分段点处函数值大小的比较，常见的类型及应满足的条件如下：
类型1：函数，在上单调増递，则满足两个条件：
(1)在上单调増递增；
(2)在上单调増递增；
(3).
类型2：函数，在上单调増递减，则满足两性个条件：
(1)在上单调増递减；
(2)在上单调増递减；
(3).
举一反三
【变式6-1】（2026·山东·一模）已知且，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围是 ．
【变式6-2】（24-25高三上·山东聊城·期中）设，若为的最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2026江西智慧上进期中）已知函数．
(1)用定义证明在区间上单调递增；
(2)若在区间上的值域为，求、的值．
单选题
1．（2025高三上·四川眉山·专题练习）函数的定义域为[1,2]，则函数的定义域为（ ）
A．[0,1] B．[1,2] C．[2,4] D．[4,16]
2．（24-25高三下·福建泉州·开学考试）已知的定义域为，则的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26高三上·全国·期末）函数的值域为（ ）．
A． B． C． D．
4．（25-26高三上·陕西咸阳·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高三上·宁夏吴忠·期中）已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26高三·浙江杭州·期末）已知函数且，对任意的，且时，满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）若函数存在最大值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（25-26高一上·江西赣州·期末）已知函数定义域为且，其图象是一条连续不断的曲线，且满足，若，当时，总有成立，且满足的实数的取值范围是，则（ ）
A．1 B．4 C．5 D．8
多选题
9．（25-26高三上·江西吉安·期中）下列说法正确的是（ ）
A．若的定义域为，则的定义域为
B．若定义在上的函数的值域为，则的值域为
C．定义在上的函数满足，则
D．已知，则
10．（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ）
A． B．若，则x的值是
C．的解集为 D．的值域为
11．（25-26高三上·江苏连云港·月考）已知函数，则（ ）
A．是奇函数
B．当时，
C．若，则，使
D．若，则在上单调递增
填空题
12．（25-26高三上·湖北黄冈·月考）已知，则
13．（2026·山东·一模）已知且，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围是 ．
14．（2025高三上·福建厦门·专题练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 .
15．（2025高三上·上海·专题练习）函数解析式为，值域为，图象过点，则函数的值域为 .
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