资源简介

专题03 数列通项求法解答题秒杀攻略
题型01 利用定义法求通项公式
【例1-1】（2025·四川内江·一模）已知是等差数列的前项和，.
(1)求；
(2)将数列与的所有项从小到大排列得到数列，求数列的前项和.
【例1-2】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)试探究：在数列中取三个不同的项，能否构成等比数列？请说明理由.
【变式1-1】（2025·陕西西安·模拟预测）等差数列的前n项和为，数列是等比数列，满足，，，．
(1)求和的通项公式；
(2)若数列满足，，求数列的前2n项和，
(3)求的最大值和最小值．
【变式1-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，且．
(1)求m的值及的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【变式1-3】（2025·甘肃武威·模拟预测）已知数列满足，且.
(1)证明：数列为等比数列，并求出的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
题型02 累加法求通项公式
【例2-1】（2025·云南昆明·一模）已知数列满足，．
(1)若，，成等差数列，求k；
(2)求．
【例2-2】（25-26高三上·江苏南京·开学考试）对于数列，记，称数列为数列的差分数列．
(1)已知，证明：的差分数列为等差数列；
(2)已知的差分数列为，求的通项公式．
【变式2-1】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知首项为1的正项数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)令（），求数列的前项和．
【变式2-2】（2025·广东广州·三模）已知数列满足，，且对任意的，，都有.
(1)设，求证：数列是等差数列，并求出其的通项公式；
(2)求数列的通项公式；
(3)若，求的前n项和.
【变式2-3】（2025·安徽·模拟预测）已知为等比数列，为正整数的最大奇因数，，且.
(1)求；
(2)写出时，与的关系；
(3)求证：.
题型03 累乘法求通项公式
【例3-1】（2025·河南信阳·模拟预测）若数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，.则称数列为和积交替数列.
(1)若数列1，a，b，6为和积交替数列，分别求实数a，b的值；
(2)若数列为和积交替数列，且，.
（i）若3是数列中的项，求实数的值；
（ii）若，证明：.
【例3-2】（24-25高三下·江苏南通·月考）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：．
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
【变式3-1】（2025·河南·模拟预测）已知数列的前n项和为，且．
(1)若，求；
(2)若，求关于n的表达式．
【变式3-2】（2022·福建南平·三模）已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若满足，．设为数列的前n项和，求．
【变式3-3】（24-25高三上·山东德州·期中）在数列中，，其前n项和为，且（且）.
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足，其前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.
题型04 利用与关系求通项公式
【例4-1】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知数列的前项和，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且．
(1)求；
(2)令，求的前项和．
【例4-2】（25-26高三上·江西上饶·月考）记为数列的前项和，已知.
(1)求；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和.
1、求数列的通项可用公式构造两式作差求解。用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）
【变式4-1】（2025·广东江门·模拟预测）已知数列的前项和为．
(1)证明：是等比数列．
(2)求数列的前项和．
(3)若，求的取值范围．
【变式4-2】（2025·四川自贡·一模）设数列的前n项和为．
(1)求；
(2)若，求数列的前n项和；
(3)设，是否存在正整数n对，、、的值为边长均能构成三角形，若存在求正整数的值，若不存在请说明理由．
【变式4-3】（2025·广东佛山·一模）已知数列的各项均为正数，其前项和记为，，，其中为非零常数.
(1)证明：；
(2)若，求；
(3)是否存在，使得数列为等差数列？若存在，求出的通项公式；若不存在，请说明理由.
题型05 构造法求通项公式
【例5-1】（2025·云南昆明·模拟预测）设为数列的前n项和，当时，，已知，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求．
【例5-2】（2025·湖南·三模）已知数列满足，数列满足，且.
(1)求的通项公式；
(2)求的通项公式；
(3)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求.
1、形如（其中均为常数且）型的递推式
（1）若时，数列{}为等差数列；
（2）若时，数列{}为等比数列；
（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：
法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出
2、形如型的递推式
（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出
（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出
法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．
（3）当为任意数列时，可用通法：
在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得．
3、倒数变换法
形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；
还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．
4、形如型的递推式
用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
【变式5-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【变式5-2】（2025·河南·二模）已知数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)记的前项和为，求证：.
【变式5-3】（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：；
(3)表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和.
1．（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：．
2．（2025·辽宁·模拟预测）已知数列，为数列的前项和，且满足，．
(1)求的通项公式：
(2)证明：．
3．（2025·贵州遵义·模拟预测）在等差数列中，；记为数列的前项和，且.
(1)分别求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
4．（2025·广东·模拟预测）记为数列的前项和．已知．
(1)求的通项公式；
(2)记为在区间上的项的个数，求数列的前项和．
5．（2025·广东肇庆·一模）记与分别是数列与的前n项和，已知，，，，.
(1)证明：是等比数列并求；
(2)数列是等差数列吗？若是，求出的通项公式，若不是，说明理由；
(3)设，判断是否存在互不相等的正整数j，k，m，使得j，k，m成等差数列，并且，，成等比数列.
6．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知方程的两实根分别为，数列的通项公式为的前项和为.
(1)求；
(2)求的值；
(3)设数列的前项和为，证明：.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题03 数列通项求法解答题秒杀攻略
题型01 利用定义法求通项公式
【例2-1】（2025·四川内江·一模）已知是等差数列的前项和，.
(1)求；
(2)将数列与的所有项从小到大排列得到数列，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，依题意列出方程组，求得，即可写出通项；
（2）先求出的表达式，将两个数列的项依次列出，再合并后从小到大排列推得，化简数列的通项，利用裂项相消法计算即得.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因，可得，
解得，
故；
（2）由（1）得，则，则.
因数列的项依次为：，而数列的项依次为：，
将两数列的所有项从小到大排列依次为：，故其通项为.
则，
故数列的前项和为：
.
【例1-2】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)试探究：在数列中取三个不同的项，能否构成等比数列？请说明理由.
【答案】(1)；(2)不能在数列中取三个不同的项，构成等比数列，理由见证明.
【分析】（1）根据等差数列的通项公式以及等差数列前项和公式，进行求解即可.
（2）通过反证法以及等比数列的性质进行计算即可.
【详解】（1）由题意可得，为等差数列，所以，，
所以，，
解得，，所以，
所以.
（2）假设在数列中存在三个不同的项，，构成等比数列,根据等比中项性质，可得,
由(1)知，则，，,
将其代入可得：,
展开等式左边得：,
展开等式右边得：,
因为等式两边的系数和常数项分别相等，所以可得方程组,
由可得，将其代入得：,
展开并化简得：,
因为，，所以，这与矛盾,
由于假设不成立，所以在数列中取三个不同的项，不能构成等比数列.
【变式2-1】（2025·陕西西安·模拟预测）等差数列的前n项和为，数列是等比数列，满足，，，．
(1)求和的通项公式；
(2)若数列满足，，求数列的前2n项和，
(3)求的最大值和最小值．
【答案】(1)；(2)；(3)最大值，最小值.
【分析】（1）通过基本量运算求得公差和公比，得到通项公式；
（2）将分组，分别利用等差数列前项和公式和错位相减法求得各组的和，得到；
（3）利用化简和式，讨论的奇偶得到最值.
【详解】（1）设等差数列公差为，等比数列公比为，
则，解得，
所以，；
（2）由（1），，，
所以
令，
即①，
则②，
①-②得：
，
整理得
所以；
（3）因为，设
所以
，
当为奇数时，，由反比例函数性质可知随增大而增大，
故；
当为偶数时，，由反比例函数性质可知随增大而减小，
故，
又当时，，介于与之间，
所以的最大值为，最小值为.
【变式1-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，且．
(1)求m的值及的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)，；(2)
【分析】（1）先把等比数列的前项和公式形式为（为常数，为公比），再通过与的关系求解即可；
（2）先借助(1)代入知，借用“等差数列×等比数列”型数列，再用错位相减法求和即可.
【详解】（1）因为，
当时，；
当时，，
又因为是等比数列，所以，解得；
所以的通项公式为．
故；．
（2）由（1）知，
所以，
所以，
两式相减得：
，
所以．
【变式1-3】（2025·甘肃武威·模拟预测）已知数列满足，且.
(1)证明：数列为等比数列，并求出的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，；(2)
【分析】（1）根据题意求出，代入计算为常数，所以数列为等比数列，根据等比数列通项公式求出通项公式，减去便可得到的通项公式.
（2）将的通项公式代入，求出数列的通项公式，利用错位相减法求出.
【详解】（1）因为，所以，
又，所以，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以，则.
（2）由（1）知，所以，
所以，
则，
两式相减得
，
所以.
题型02 累加法求通项公式
【例2-1】（2025·云南昆明·一模）已知数列满足，．
(1)若，，成等差数列，求k；
(2)求．
【答案】(1);(2)
【分析】（1）根据，成等差数列得，求出即可；
（2）由累加法结合裂项相消法可得答案.
【详解】（1）已知数列满足，．
因为，，成等差数列，所以，
所以，
整理得，解得，或（负值舍去），
所以；
（2）因为，又，
所以时，
，
时,也满足上式，
所以．
【例1-2】（25-26高三上·江苏南京·开学考试）对于数列，记，称数列为数列的差分数列．
(1)已知，证明：的差分数列为等差数列；
(2)已知的差分数列为，求的通项公式．
【答案】(1)证明见解析;(2)
【分析】（1）根据定义可求，再利用定义法可证的差分数列为等差数列；
（2）利用累加法可求的通项公式．
【详解】（1），其中，
故，故的差分数列为等差数列.
（2）由题设有，
故，由累加法可得，
而，所以，
而也满足该式，故.
【变式2-1】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知首项为1的正项数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)令（），求数列的前项和．
【答案】(1);(2)
【分析】（1）由累加法求数列通项公式即可；
（2）由裂项相消法求和即可．
【详解】（1）令，，又由有，
则有
，
所以．
又因为数列的各项均为正数，所以．
（2）由
，
知
．
【变式2-2】（2025·广东广州·三模）已知数列满足，，且对任意的，，都有.
(1)设，求证：数列是等差数列，并求出其的通项公式；
(2)求数列的通项公式；
(3)若，求的前n项和.
【答案】(1)证明见解析，;(2);(3)
【分析】（1）由先求，根据等差数列的定义验证是否为不变的常数即可验证；
（2）由（1）有，利用累加法即可求解；
（3）由有，利用裂项相消法即可求解.
【详解】（1）由有，
所以，又，，解得，
又因为，即，
所以数列是以公差为3，首项为的等差数列，
所以，
（2）由（1）有，
所以，
上式相加有，
所以，所以；
（3）由（2）有，
所以，
所以
，
所以.
【变式2-3】（2025·安徽·模拟预测）已知为等比数列，为正整数的最大奇因数，，且.
(1)求；
(2)写出时，与的关系；
(3)求证：.
【答案】(1);(2);(3)证明见解析
【分析】（1）根据给定条件，求出，进出求出等比数列公比，求出通项公式.
（2）由已知可得，再由给定的和式，结合等差数列前n项和公式求出递推公式.
（3）由（2）的结论，利用累加法求出，再利用等比数列前n项和公式求和得证.
【详解】（1）由为正整数的最大奇因数，得，
则，等比数列的公比为2，
所以等比数列的通项公式为.
（2）由为正整数的最大奇因数，得当为正奇数时，；当为正偶数时，，
，
所以当时，.
（3）当时，，由（2）知，当时，，
，
而满足上式，则，
所以.
题型03 累乘法求通项公式
【例3-1】（2025·河南信阳·模拟预测）若数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，.则称数列为和积交替数列.
(1)若数列1，a，b，6为和积交替数列，分别求实数a，b的值；
(2)若数列为和积交替数列，且，.
（i）若3是数列中的项，求实数的值；
（ii）若，证明：.
【答案】(1)或;(2)（i）或；（ii）证明见解析
【分析】（1）根据和积交替数列的定义，列出参数的方程组，求出参数的值.
（2）（i）根据和积交替数列的定义，由递推出后面的项，由范围，求出后面项的大小范围，判断3可能出现的位置，求出参数的值.
（ii）根据和积交替数列的定义，由递推出后面的项满足的条件，根据数列的递推公式，结合累乘法，通过对数运算，证明命题.
【详解】（1）由题知，，
解得，或；
（2）（i）由题知，则，，
由，则；，
由，则；，但，，
所以；而，…
以此类推，当，时，.
所以若3是数列中的项，
则或或，解得或.
（ii）易知数列中的项均为正整数，由题知，且，
所以，同取以2为底的对数，得，
即.又，所以，
则，
累乘整理，得，
所以时，.
当时，符合上述不等式，
所以，结论得证.
【例3-2】（24-25高三下·江苏南通·月考）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：．
【答案】(1);(2)证明见解析
【分析】（1）由与的关系式，可得数列的递推公式，利用累乘法，可得答案；
（2）整理数列通项，利用错位相减法，可得答案.
【详解】（1）当时，，显然成立；
当时，，，相减可得，
化简可得，由累乘法可得，
显然满足上式，故数列的通项公式.
（2）由，
则，
，
两式相减可得
，
所以.
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
【变式3-1】（2025·河南·模拟预测）已知数列的前n项和为，且．
(1)若，求；
(2)若，求关于n的表达式．
【答案】(1);(2)
【分析】（1）令可求得，再结合可求出；
（2）利用累乘法结合已知条件可得，则当时，，两式相减化简可得，从而可得的奇数项、偶数项均成公差为的等差数列，进而可求出其通项，则可求得关于n的表达式．
【详解】（1）令，可得，故，
又，所以．
（2）由，可得，，…，，
两边分别相乘得，所以．
当时，，所以，
即，即，
由题可知，所以，
所以的奇数项、偶数项均成公差为的等差数列．
所以，，所以．
所以，
故．
【变式3-2】（2022·福建南平·三模）已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若满足，．设为数列的前n项和，求．
【答案】(1);(2)-240;
【分析】（1）由累乘法求解数列的通项公式即可；
（2）由（1），，则，然后由并项求和的方法求解即可.
【详解】（1）因为，，
所以当时，，则，即，
当时，也成立，所以．
（2）由（1），，
则，
则
．
【变式3-3】（24-25高三上·山东德州·期中）在数列中，，其前n项和为，且（且）.
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足，其前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【分析】（1）利用的关系得，结合累乘法可得通项；
（2）根据（1）的结论得出，由错位相减法得，再分离参数，根据基本不等式计算即可.
【详解】（1）因为，代入，
整理得，
所以，
以上个式子相乘得，
.
当时，，符合上式，所以.
（2）.
所以，①
，②
①②得，
，
所以.
由得：，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，即的取值范围是.
题型04 利用与关系求通项公式
【例4-1】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知数列的前项和，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且．
(1)求；
(2)令，求的前项和．
【答案】(1)，;(2)
【分析】（1）利用与的关系作差求，利用等比数列的通项公式求；
（2）利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）因为数列的前项和，且满足，
所以，当时，，
所以，
经验证时，满足，故，
因为数列为公比大于0的等比数列，且，，
设公比为，所以，解得，
所以，.
（2）由（1）可得，
所以①，
②，
①②得，
所以.
【例4-2】（25-26高三上·江西上饶·月考）记为数列的前项和，已知.
(1)求；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和.
【答案】(1);(2);(3)
【分析】（1）根据题中递推公式令运算求解即可；
（2）根据与之间的关系整理可得当时，，结合常数列分析求解即可；
（3）设，可得，利用分组求和法结合错位相减法运算求解.
【详解】（1）因为，当时，，解得.
（2）由可得，
两式相减得，即.
当时，，即，
由递推关系得，则。
且满足上式，故数列的通项公式为.
（3）由（2）得，
设，则，
可得，
，
两式相减得
，
故.
1、求数列的通项可用公式构造两式作差求解。用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）
【变式4-1】（2025·广东江门·模拟预测）已知数列的前项和为．
(1)证明：是等比数列．
(2)求数列的前项和．
(3)若，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2);(3)
【分析】（1）由与关系结合题意可得，据此可完成证明；
（2）由（1）结合错位相减法可得答案；
（3）由（1）可得，，利用作差法可判断单调性，据此可得答案.
【详解】（1）因，
则
即，从而是等比数列；
（2）由（1）是以为首项，公比为的等比数列.
则，从而
，两式相减可得：
则；
（3）由（2），
，又，则.
，当时，易得，
当时，，.
即，当时，，则为递增数列，则.
即.
【变式4-2】（2025·四川自贡·一模）设数列的前n项和为．
(1)求；
(2)若，求数列的前n项和；
(3)设，是否存在正整数n对，、、的值为边长均能构成三角形，若存在求正整数的值，若不存在请说明理由．
【答案】(1);(2);(3)存在，正整数为
【分析】（1）利用,求得数列的通项公式；
（2）根据已知写出，利用错位相减法求和即可；
（3）设，由题意可得，构造函数，求导得其单调性，分，两种情况讨论求解即可.
【详解】（1），当时，
当时，
两式作差可得：，，时，符合上式，
故综上：；
（2）由（1）可知，则，
两式相减得：
数列的前n项和
（3）存在正整数的值为4，5，6时，满足、、的值均能构成三角形
由题意得：
不妨设，故三点均在第一象限内，
由可知，,故点恒在线段上，
则由，
即对任意得，恒成立
令，构造函数
则，由单调递增，又
存在使得
即当时，，故函数在区间上单调递减，
当时，，故函数在区间上单调递增；
故至多2个零点，又由，可知存在2个零点，
不妨设，且，.
①若，，此时或，则，可知成立，
要使、、的值均能构成三角形，所以恒成立，故，
所以有，解得；
②若，时，此时，则，可知成立，
要使、、的值均能构成三角形，所以恒成立，故，
所以有，解得或5；
综上可知，正整数为4，5，6.
【变式4-3】（2025·广东佛山·一模）已知数列的各项均为正数，其前项和记为，，，其中为非零常数.
(1)证明：；
(2)若，求；
(3)是否存在，使得数列为等差数列？若存在，求出的通项公式；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)存在，
【分析】（1）根据给定的递推公式，结合求解得证.
（2）法1：由（1）可得数列的特征，再求出其前10项和即可；法2，由（1）可得数列的奇数项、偶数项构成的数列特征，再分组求和即得.
（3）假定存在，求出，再利用奇数项、偶数项构成的数列特征证明即可.
【详解】（1）数列的各项均为正数，，则，
两式相减，整理得，而，
所以.
（2）解法1：当时，由（1）得，
则，，
于是，数列是公差为6的等差数列，
由，，得，则，
.
解法2：由，，得，
当时，由（1）得，
因此数列的奇数项构成首项为1，公差为3的等差数列，
偶数项构成首项为3，公差为3的等差数列，
.
（3）由，，得，
由（1）知：，则，
假设存在使得数列为等差数列，
则，即，解得，
下面证明：当时，数列为等差数列.
由，，，
得数列是首项为1，公差为2的等差数列，，
数列是首项为2，公差为2的等差数列，
因此，，
所以存在使得数列为等差数列，.
题型05 构造法求通项公式
【例5-1】（2025·云南昆明·模拟预测）设为数列的前n项和，当时，，已知，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求．
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
【分析】（1）将变为，则，整理得，利用等比数列的概念证明即可.
（2）根据等比数列通项公式求得，变形为，然后根据等差数列的定义及通项公式求解即可.
（3）利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）当时，，
即，
则，而，则，
于是时，，整理得，
又，
所以数列是首项和公比都是2的等比数列．
（2）由（1）知，数列是首项和公比都是2的等比数列，
则，因此，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，，
所以数列的通项公式．
（3）由（2）知，，
，
两式相减得，，
则．
【例5-2】（2025·湖南·三模）已知数列满足，数列满足，且.
(1)求的通项公式；
(2)求的通项公式；
(3)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求.
【答案】(1);(2);(3)12182
【分析】（1）构造数列为等比数列，通过等比数列通项公式即可求的通项公式；
（2）易知是常数列，即可求的通项公式；
（3）根据新数列的形成规则，判断其前100项中数列，分别有多少项，再分组求和可求.
【详解】（1）由可得，又，
所以是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以，即.
（2）方法一：由已知得，所以，
所以，又，
等式两边同时相乘，可得，
得，该式对也成立.
故.
方法二：由可知是常数列，
所以，
即.
（3）设在的前100项中，来自的有项.
若第100项来自，则应有，
整理可得，该方程没有正整数解，不满足题意.
若第100项来自，则应有，整理可得.
易知在时单调递增，
当时，，不满足题意，当时，，满足题意，
故，所以的前100项中有10项来自，有90项来自，
所以.
1、形如（其中均为常数且）型的递推式
（1）若时，数列{}为等差数列；
（2）若时，数列{}为等比数列；
（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：
法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出
2、形如型的递推式
（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出
（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出
法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．
（3）当为任意数列时，可用通法：
在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得．
3、倒数变换法
形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；
还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．
4、形如型的递推式
用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
【变式5-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1);(2)
【分析】（1）将两边取倒数得到为等差数列，求出的通项公式，即可得解；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得.
【详解】（1）因为，，所以，
所以， 故，
又，所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，故.
（2）由（1）得，
所以
.
【变式5-2】（2025·河南·二模）已知数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)记的前项和为，求证：.
【答案】(1);(2)证明见解析
【分析】（1）由已知等式变形得出，可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式；
（2）验证当时，不等式成立；当时，推导出，再利用等比数列的求和公式可证得不等式成立.
【详解】（1）由题设条件，可得若，则，
用反证法，假设，由题设条件，显然，这与已知条件矛盾，所以.
因为，所以，，，所以，，
由得，所以，
又，所以是首项、公比均为的等比数列.
所以，则.
（2）显然时，成立，
当时，，所以，所以，
所以，即，所以，
所以.
综上，，得证.
【变式5-3】（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：；
(3)表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和.
【答案】(1);(2)证明见解析;(3)
【知识点】分组（并项）法求和、构造法求数列通项、求等比数列前n项和、二项式定理与数列求和
【分析】（1）分析可知数列是首项和公比均为2的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解；
（2）根据（1）可得，再利用等比数列求和公式分析证明；
（3）根据（1）结合二项式定理求数列的通项公式，利用分组求和法结合等比数列求和公式分析求解.
【详解】（1）因为，则，
且，则，
可知数列是首项和公比均为2的等比数列，
可得，所以.
（2）由（1）可知，，则，
可得.
又因为，
所以.
（3）由（1）可知，，则.
因为
，
可得，
当为奇数时，则，即；
当为偶数时，则，即.
设为数列的前项和，
可得
.
所以数列的前项和为.
1．（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【分析】（1）问题转化为根据数列的前项和公式求数列的通项公式.
（2）利用裂项求和法求，即可证明.
【详解】（1）由题意.
所以数列，其前项和为.
当时，；
当时，.
时，上式亦成立.
所以，.
（2），
所以.
2．（2025·辽宁·模拟预测）已知数列，为数列的前项和，且满足，．
(1)求的通项公式：
(2)证明：．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【分析】（1）由可得出，两式作差推导出，然后利用初值可求得数列的通项公式；
（2）利用放缩法推导出，再结合等比数列求和公式可证得结论成立；
【详解】（1）因为，进而，两式作差可得：
，即，
所以为常数列，
又，则，故数列的通项公式为．
（2）由（1），则，其中，8，…，，
结合等比数列求和公式，有：
，
当时，，
综上所述，.
3．（2025·贵州遵义·模拟预测）在等差数列中，；记为数列的前项和，且.
(1)分别求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1),；(2)
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解，利用的关系可得为等比数列求解，
（2）利用错位相减法即可求解.
【详解】（1）解：设数列的首项为，公差为d，
，则，
所以数列的通项公式为．
因为，所以当时，，则．
当时，，则，
所以是以首项为，公比为2的等比数列，所以．
（2）因为，设数列的前项和为，
①
②
①-②得
∴
，
则．
4．（2025·广东·模拟预测）记为数列的前项和．已知．
(1)求的通项公式；
(2)记为在区间上的项的个数，求数列的前项和．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用变形，再利用等差数列定义求出通项公式.
（2）求出，再利用分组求和法及等比数列前项和公式求解.
【详解】（1）当时，由，得，则，
又，因此数列是以1为公差，2为首项的等差数列，
.
（2）由（1）知，且，而区间内有个整数，则，
因此
，
所以数列的前项和.
5．（2025·广东肇庆·一模）记与分别是数列与的前n项和，已知，，，，.
(1)证明：是等比数列并求；
(2)数列是等差数列吗？若是，求出的通项公式，若不是，说明理由；
(3)设，判断是否存在互不相等的正整数j，k，m，使得j，k，m成等差数列，并且，，成等比数列.
【答案】(1)证明见解析，；(2)是，；(3)不存在
【分析】（1）将变形为，然后利用等比数列定义判定为等比数列，利用等比数列通项公式求法求解即可.
（2）方法一：利用与的关系化简判定是等差数列，然后利用等差数列通项公式求解即可；
方法二：通过前几项的结构猜想，然后利用数学归纳法证明即可.
（3）先利用与的关系求得，进而，然后利用反证法思想解答即可.
【详解】（1）∵，∴，
∵，
∴是首项为4，公比为2的等比数列.
∴，即.
（2）方法一：∵，
∴（），
两式相减得，
整理得，
∴，
两式相减得，即，
∴是等差数列，由于，，∴公差，∴的通项公式为.
方法二（数学归纳法）：
∵，
∴，
∵，，代入上式解得，
猜想.
当时，，猜想成立，
假设时，猜想成立，即.
下证时，猜想成立，即证，
∵，
∴，，
∵，，
∴，解得.
由数学归纳可得是等差数列，.
（3）由（1）知，，
∴当时，，经检验，满足上式，
∴（），，
假设存在这样的三个正整数，则，，即，
∵，
∴，即，
∴，
∴，解得，不满足题意，
∴假设不成立，不存在这样的正整数.
6．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知方程的两实根分别为，数列的通项公式为的前项和为.
(1)求；
(2)求的值；
(3)设数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)，.(2)(3)证明见解析
【分析】（1）求出方程的根后可求；
（2）利用代数变形可得，据此可求的值；
（3）根据（2）的递归关系可得，利用构造法可求的通项公式，结合不等式的性质可证.
【详解】（1）因为方程的两实根分别为，故，
故，.
故，.
（2）由题设可得，
，
所以，
故，
，
，
，
累计可得：即.
（3）当时，
由题设，
，
，
故，设，
则，其中，，
故且，
而，，
故、均为等比数列，
且前者首项为，公比为，后者首项为，公比为，
故，
且，
所以，其中，
而满足上式，故，
整理得：
因为，而，
故，
而，
故，
故即.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑