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专题03 同构函数问题
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高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 同构比较大小（） 题型二 同构证明不等式（） 题型三 同构解决零点问题（） 题型四 同构解决恒成立问题（） 题型五 双变量同构问题（） 实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）
高考以选择、填空压轴题和解答题第二问为主，分值占比8-12分，重点覆盖同构比较大小、零点问题、恒成立求参数范围三大核心题型。
基础知识必备：函数单调性与导数应用：会利用导数求函数的单调区间、极值和最值，掌握常见单调函数的特征（如在上单调递增）。
核心同构模型：牢记经典同构函数结构，包括指数型、、对数型、、混合型及其单调性、最值性质。
基础放缩结论：熟练运用（当且仅当取等号）、（当且仅当取等号）等放缩工具，辅助同构转化。
2026高考预测：
命题趋势：① 跨模块融合加深，可能结合三角函数、数列、解析几何背景设计同构场景；② 双变量同构问题成为热点，侧重考查变量关联转化与对称构造思想；③ 隐性同构增多，需通过代数式变形（如凑指数、取对数）挖掘同构结构；④ 参数范围问题结合最值分析，强调“构造函数→判断单调性→求最值”的逻辑链条。
难度定位：中档偏难题，区分度集中在“复杂式子变形能力”和“同构模型选择精准度”上，压轴题可能涉及多步同构或结合极值点偏移思想。
重难知识汇总：同构本质：通过代数式变形，将不同表达式转化为“同一函数的不同自变量取值”形式，利用函数单调性简化问题，核心是“结构一致性”的挖掘。
四大核心应用场景：① 比较大小（转化为同一函数的函数值大小比较）；② 证明不等式（构造单调函数，转化为自变量的不等关系）；③ 零点问题（同构后转化为简单方程的零点个数分析）；④ 恒成立问题（同构后通过最值确定参数范围）。
双变量同构关键：由变形得到同构式，利用函数单调性建立与的关联（如、的范围），常需构造对称函数辅助证明。
含参同构处理：区分“可分离参数型”与“不可分离参数型”，前者通过同构转化为（或），后者需结合函数单调性分析极值点
常用技巧方法：结构凑配法：针对指对数混合式，通过凑指数（如、凑对数（如），转化为核心同构模型。
换元简化法：令（如、），将复杂同构式转化为关于的简单函数关系，降低分析难度。
对称构造法：双变量问题中，构造等对称函数，利用导数判断其单调性，证明等结论。
放缩辅助法：先通过基础放缩结论（如）简化式子，再进行同构，或同构后利用放缩确定最值边界。
易错避坑提效：忽略定义域限制：同构过程中需注意原函数定义域（如要求、)需结合的符号分析范围），避免因定义域扩大或缩小导致错误。
构造函数单调性判断失误：构造函数后必须先求导验证单调性，不可仅凭经验判断（如在递增、递减，而非单调函数）。
放缩等号成立条件不匹配：使用(、时，需关注等号成立条件是否与题干情境一致，避免因放缩过度导致结论偏差。
双变量替换逻辑混乱：处理时，需明确变量的大小关系（如()），避免替换后因变量范围模糊导致推导错误。
题型一 同构比较大小
方法点拨：利用指对数运算变形，将不同表达式转化为同一函数的函数值，通过单调性比较大小。解题思路：① 对已知式子变形（如取对数、凑指数），构造单调函数（常见：、、）；② 利用函数单调性判断自变量大小，进而得出目标值大小。
【典例01】（2025·湖南·模拟预测）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【典例02】（2025·福建泉州·模拟预测）已知.则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式01】（2025·江西·模拟预测）设，则（ ）
A． B． C． D．
【变式02】（25-26高三上·辽宁大连·期中）若函数对任意的都有成立，则与的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．无法比较大小
【变式03】（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
题型二 同构证明不等式
方法点拨：解题思路：① 移项整理，将不等式化为形式；② 构造单调函数，转化为（或利用最值：）。
高考特征：常与、等放缩技巧结合，单变量或双变量均可考查。
【典例01】（2025·湖北·模拟预测）(多选)若，则（ ）
A． B．
C． D．
【典例02】（2025·吉林·模拟预测）已知函数
(1)当时，求的单调区间和最大值
(2)当时，设且，求证
【变式01】（2025·江苏盐城·三模）已知，则的最小值为 ．
【变式02】（2025·湖北恩施·模拟预测）(多选)下列不等关系中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式03】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，其中．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，求证：；
(3)求证：对任意的且，都有（其中为自然对数的底数）．
题型三 同构解决零点问题
方法点拨：通过同构转化零点方程，求参数范围或零点关系（如零点个数、零点乘积 / 和）。解题思路：① 将零点方程变形为；② 利用构造函数的单调性，转化为，再分析新方程的零点情况。高考常涉及“双零点”问题，需结合函数最值、零点存在定理。
【典例01】（2025·湖北·三模）已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例02】（25-26高三上·河北沧州·期中）已知关于的方程且在上恰好有两个不等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式01】（24-25高三上·湖南常德·月考）若正实数是方程的根，则（ ）
A． B．1 C．2 D．
【变式02】（2025高三·全国·专题练习）已知关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式03】（25-26高三上·甘肃兰州·期中）已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型四 同构解决恒成立问题
方法点拨：将恒成立不等式转化为同构形式，通过分离参数或利用函数最值求参数范围。解题思路：① 整理不等式为（或），其中t为同构后的单一变量；② 求构造函数的最值，进而确定参数范围。高考常以“对任意，不等式恒成立”形式命题，参数多为一次或二次形式。
【典例01】（25-26高三上·四川成都·期中）已知实数，满足，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【典例02】（25-26高三上·广东惠州·期中）已知函数，若恒成立，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式01】（2025·甘肃武威·模拟预测）已知函数，，若，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式02】（25-26高三上·吉林延边·开学考试）若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式03】（25-26高三上·四川南充·月考）已知，分别为定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于x的不等式在上恒成立，则正实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型五 双变量同构问题
方法点拨：处理含两个变量的指对数混合问题，通过同构建立变量间关系（如、的范围）。解题思路：① 由已知条件（如）变形得同构式，确定与的关联；② 构造对称函数或利用单调性转化为单变量问题。
【典例01】（2025·湖北黄冈·一模）(多选)已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．若方程有两个不相等的实根，则
D．若不等式对恒成立，则
【典例02】（2025高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)若，设分别在抛物线与曲线上，且轴，求的最小值；
(2)设是的两个极值点，证明：．
【变式01】（2025·四川成都·二模）已知函数，.若存在，使得成立，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【变式02】（25-26高三上·山东济南·期中）(多选)已知函数，，则下列说法正确的（ ）
A．函数与函数有相同的极小值
B．若方程有唯一实根，则的取值范围为
C．若方程有两个不同的实根，则
D．当时，若，则成立
【变式03】（24-25高三上·天津滨海新·期中）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)若有两个正零点，且．
（i）求的取值范围；
（ii）求证：．
（限时训练：15分钟）
1． （25-26高三上·重庆·月考）若，则（ ）
A． B．
C． D．
2． （24-25高三上·贵州铜仁·期末）设则a，b，c之间的大小关系式是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·辽宁·一模）(多选)已知函数，则（ ）
A．有两个零点 B．在上是增函数
C．有极小值 D．若，
4．（24-25高三上·广东湛江·期中）已知，若关于的方程有两个不同的正根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5. （24-25高三下·上海浦东新·期中）已知，则方程的解的组数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无穷多个
6. （2025·全国·模拟预测）若时，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7. （2025·河北·模拟预测）已知实数满足不等式，则 .
8. （2025·高三·辽宁葫芦岛·期末）已知函数．
(1)当时，求的单调递增区间；
(2)若有两个极值点．
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明：．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题03 同构函数问题
目录
高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 同构比较大小（） 题型二 同构证明不等式（） 题型三 同构解决零点问题（） 题型四 同构解决恒成立问题（） 题型五 双变量同构问题（） 实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）
高考以选择、填空压轴题和解答题第二问为主，分值占比8-12分，重点覆盖同构比较大小、零点问题、恒成立求参数范围三大核心题型。
基础知识必备：函数单调性与导数应用：会利用导数求函数的单调区间、极值和最值，掌握常见单调函数的特征（如在上单调递增）。
核心同构模型：牢记经典同构函数结构，包括指数型、、对数型、、混合型及其单调性、最值性质。
基础放缩结论：熟练运用（当且仅当取等号）、（当且仅当取等号）等放缩工具，辅助同构转化。
2026高考预测：
命题趋势：① 跨模块融合加深，可能结合三角函数、数列、解析几何背景设计同构场景；② 双变量同构问题成为热点，侧重考查变量关联转化与对称构造思想；③ 隐性同构增多，需通过代数式变形（如凑指数、取对数）挖掘同构结构；④ 参数范围问题结合最值分析，强调“构造函数→判断单调性→求最值”的逻辑链条。
难度定位：中档偏难题，区分度集中在“复杂式子变形能力”和“同构模型选择精准度”上，压轴题可能涉及多步同构或结合极值点偏移思想。
重难知识汇总：同构本质：通过代数式变形，将不同表达式转化为“同一函数的不同自变量取值”形式，利用函数单调性简化问题，核心是“结构一致性”的挖掘。
四大核心应用场景：① 比较大小（转化为同一函数的函数值大小比较）；② 证明不等式（构造单调函数，转化为自变量的不等关系）；③ 零点问题（同构后转化为简单方程的零点个数分析）；④ 恒成立问题（同构后通过最值确定参数范围）。
双变量同构关键：由变形得到同构式，利用函数单调性建立与的关联（如、的范围），常需构造对称函数辅助证明。
含参同构处理：区分“可分离参数型”与“不可分离参数型”，前者通过同构转化为（或），后者需结合函数单调性分析极值点
常用技巧方法：结构凑配法：针对指对数混合式，通过凑指数（如、凑对数（如），转化为核心同构模型。
换元简化法：令（如、），将复杂同构式转化为关于的简单函数关系，降低分析难度。
对称构造法：双变量问题中，构造等对称函数，利用导数判断其单调性，证明等结论。
放缩辅助法：先通过基础放缩结论（如）简化式子，再进行同构，或同构后利用放缩确定最值边界。
易错避坑提效：忽略定义域限制：同构过程中需注意原函数定义域（如要求、)需结合的符号分析范围），避免因定义域扩大或缩小导致错误。
构造函数单调性判断失误：构造函数后必须先求导验证单调性，不可仅凭经验判断（如在递增、递减，而非单调函数）。
放缩等号成立条件不匹配：使用(、时，需关注等号成立条件是否与题干情境一致，避免因放缩过度导致结论偏差。
双变量替换逻辑混乱：处理时，需明确变量的大小关系（如()），避免替换后因变量范围模糊导致推导错误。
题型一 同构比较大小
方法点拨：利用指对数运算变形，将不同表达式转化为同一函数的函数值，通过单调性比较大小。解题思路：① 对已知式子变形（如取对数、凑指数），构造单调函数（常见：、、）；② 利用函数单调性判断自变量大小，进而得出目标值大小。
【典例01】（2025·湖南·模拟预测）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据的形式构造新函数，根据的形式构造函数，利用导数判断所构造函数的单调性，利用单调性进行运算判断即可.
【详解】构造新函数，
当时，，函数单调递减，
于是由，
所以有，
所以，
构造新函数，
当时，，函数单调递增，
由，
故，所以，故，
故选：D
【典例02】（2025·福建泉州·模拟预测）已知.则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】因为，分别构造和，
利用其单调性，比较的大小关系，进而得到的大小关系.
【详解】因为，
所以，
，
令，
，令，
则，所以在单调递减，
所以，所以在恒成立，
所以在单调递减，所以，
所以，即，所以.
，
令，则，
令，则，
所以在单调递减，所以，
所以在恒成立，所以在单调递减
所以，所以，即，
所以，即.
综上，.
故选：B.
【变式01】（2025·江西·模拟预测）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，利用导数判断出单调性，再利用单调性可得答案.
【详解】令，则，令，得；
令，得，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以，
即，
得，即，所以，
所以，即.
故选：D.
【变式02】（25-26高三上·辽宁大连·期中）若函数对任意的都有成立，则与的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．无法比较大小
【答案】B
【分析】构造函数，然后求导数，由条件得到函数的单调性，利用函数单调性得到的不等式，化简不等式即可得到结果.
【详解】∵，即，
令，则
即在上单调递增，
∵
∴，即，
则，即.
故选：B
【变式03】（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数导数，判断函数单调性，再根据函数单调性，比较函数值的大小，判断结果.
【详解】由题意得，
令，即，解得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
可知，
所以为偶函数，可知
令，则，
令，即，解得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，，
，即，
所以，即，
所以，即.
故选：A.
题型二 同构证明不等式
方法点拨：解题思路：① 移项整理，将不等式化为形式；② 构造单调函数，转化为（或利用最值：）。
高考特征：常与、等放缩技巧结合，单变量或双变量均可考查。
【典例01】（2025·湖北·模拟预测）(多选)若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】作差比较可判断A；构造函数，利用导数求单调性可判断B；作商比较，结合基本不等式可判断C；构造函数，利用导数判断单调性可判断D.
【详解】对A：因为，则，
所以，所以，A错误；
对B：记，则，
所以在上单调递减，
又，所以，即，即，B正确；
对C：因为，所以，，
，因，故等号不成立，
则，所以，C正确；
对D：记，则，
记，则，故，
所以在上单调递减，，
则，所以在单调递减，
又，所以，即，即，D错误.
故选：BC.
【典例02】（2025·吉林·模拟预测）已知函数
(1)当时，求的单调区间和最大值
(2)当时，设且，求证
【答案】(1)增区间，减区间，最大值1；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求，解出的的范围,即可得的增区间，解出的的范围，即得的减区间；
（2）求，解出的的范围为的增区间，解出的的范围为的减区间；将取对数，整理后得到，由得到从而得到，构造函数，求，求出，得到，得到，从而得到是减函数，得到，从而得到，即，在内是减函数，得到.
【详解】（1），，，
当，即，解得，则在内是增函数；
当，即，解得，则在内是减函数.
则，综上，的增区间为，减区间为，最大值为1.
（2），，，
当，即，解得，则在内是增函数；
当，即，解得，则在内是减函数.
且，将取对数，得到，
，，
，，，
设，
，
，，，，
，，
，，，
，
，
，，
，是减函数，，
，
，，，
，，在内是减函数，
，.
【变式01】（2025·江苏盐城·三模）已知，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】先利用导数证明和，再利用其放缩得出，最后利用基本不等式即可求最值.
【详解】令，则，
则得；得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，即，等号成立时，
则，等号成立时，即，等号成立时；
则，等号成立时，，等号成立时，
则，
等号成立时，
所以，
等号成立时，显然时成立，
综上，当时，取最小值.
故答案为：
【变式02】（2025·湖北恩施·模拟预测）(多选)下列不等关系中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】通过构造函数，借助导数研究单调性，代特殊值，即可比较大小.
【详解】对A，由三角函数线可知当时，，
令，可得，所以，故A对；
对B，构造函数，则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，
所以当且时，，
令，可得，即，故B错；
对C，因为当且时，，故，
所以当且时，，
令，得，即，故C对.
对D， 构造函数，，
则，，
所以在单调递增，故，即，
令，得，故D对.
故选：ACD.
【变式03】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，其中．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，求证：；
(3)求证：对任意的且，都有（其中为自然对数的底数）．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）先求导得，根据的情况，分类讨论即可求解；
（2）要证明，即证，即，
设，利用导数研究单调性求最大值即可得证；
（3）由（2）知，令，则，又，最后利用裂项相消法即可得证.
【详解】（1）函数的定义域为．
①当时，，所以在上单调递增，
②当时，令，解得．
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增．
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）证明：当时，，
要证明，即证，即，
设，则，令得，．
当时，，当时，，
所以为极大值点，也为最大值点．
所以，即．故；
（3）证明：由（2）知（当且仅当时等号成立），
令，则，
所以
，
即，
所以．
题型三 同构解决零点问题
方法点拨：通过同构转化零点方程，求参数范围或零点关系（如零点个数、零点乘积 / 和）。解题思路：① 将零点方程变形为；② 利用构造函数的单调性，转化为，再分析新方程的零点情况。高考常涉及“双零点”问题，需结合函数最值、零点存在定理。
【典例01】（2025·湖北·三模）已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设，根据的单调性和零点的存在定理得到的实根，构造新函数，得到在上为单调递增函数，结合，可判定C正确，D不正确；再令，结合零点的存在定理，得到A、B不正确.
【详解】设，其中，则函数在上为单调递增函数，
且当时，函数，且，
可得方程的实根，则，
又由，可得，即，
构造新函数，可得，
所以在上为单调递增函数，
可得，
因为实数是方程的实根，则，即，
其中，所以，即，所以C正确，D不正确.
令，可得，为单调递增函数，
由，即，
所以，又由，且，所以，所以A、B不正确.
故选：C.
【典例02】（25-26高三上·河北沧州·期中）已知关于的方程且在上恰好有两个不等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将已知方程根据指数幂与对数转换为同结构的式子，，从而构造函数，利用单调性化简方程为，结合对数与指数函数关系，取对数运算转换为有两个根，根据函数的单调性确定函数取值情况，从而可得实数的取值范围.
【详解】对得，
而函数在上为增函数，
所以，对两边同时取自然对数，
得，即，
所以与图象恰好有两个交点，
又，则在单调递增；在单调递减，
而，当时，，当时，，
故，
故实数的取值范围为.
故选：B.
【点睛】思路点睛：根据函数方程化同结构函数值的式子结合单调性化简成自变量之间的关系式，遇到方程可两边取自然底数的对数，将参数方程转换为参变分离的结构，从而构造新函数结合导数求单调性与取值情况，即可得参数范围.
【变式01】（24-25高三上·湖南常德·月考）若正实数是方程的根，则（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【分析】利用题干中的方程，构造函数，进行求解.
【详解】由题可知，，即，
令，，在区间上恒成立，
则在上单调递增，
，
因为正实数是方程的根，
所以，即，即.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用方程同构，构造函数，从而得到.
【变式02】（2025高三·全国·专题练习）已知关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由条件可得，令，结合函数单调性确定，条件可转化为有两个实数根，利用导数研究函数的图象，结合图象可求的取值范围.
【详解】由，得，
因为函数为函数，函数是增函数，
所以函数在上单调递增，
令，则，
由可得，
所以有两个实数根等价于有两个实数根，
构造函数，则，
令，解得，令，解得，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
则.
考虑到当时，函数的增长速度远远快于函数的增长速度，
因此，
当，且时，函数的图象会无限逼近于函数的图象，
因此，
作出直线和的大致图象，如图所示，
要想保证函数的图象与函数的图象有两个交点，
只需满足，
所以，
故选：A.
【变式03】（25-26高三上·甘肃兰州·期中）已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，由可得出，可得出，构造新函数，，得到在上为单调递增函数，结合，可判定C正确，D不正确；再令，，结合零点的存在定理，得到A、B不正确.
【详解】设，其中，
对任意的恒成立，
则函数在上为单调递增函数，
因为是方程的实根，
由可得，
由可得，故，从而得出，
构造新函数，，可得，
所以在上为单调递增函数，
可得，，
因为实数是方程的实根，则，即，
其中，所以，即，所以C正确，D不正确.
令，，可得，在上为单调递增函数，
因为，，即，
所以，
又由，且，所以，所以A、B都不正确.
故选：C.
题型四 同构解决恒成立问题
方法点拨：将恒成立不等式转化为同构形式，通过分离参数或利用函数最值求参数范围。解题思路：① 整理不等式为（或），其中t为同构后的单一变量；② 求构造函数的最值，进而确定参数范围。高考常以“对任意，不等式恒成立”形式命题，参数多为一次或二次形式。
【典例01】（25-26高三上·四川成都·期中）已知实数，满足，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】通过不等式构造两个函数，分别分析两个函数的最值情况即可得答案.
【详解】由，变形为.
令，，.则不等式变为.
因，当，；当，.
所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数.
又，当时，，；当，，.
所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数.
又因为成立，且，.
所以只能是，所以，解得，所以.
故选：C.
【典例02】（25-26高三上·广东惠州·期中）已知函数，若恒成立，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先对函数进行求导，再利用导数和函数的关系求出导函数的零点，最后令求导判断即可；
先对题干中的式子进行变形，再构造函数，通过单调性比大小即可.
【详解】方法一：函数的定义域为，，
显然单调递增且有唯一零点.
令，即，此时有.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，，
即有：，.
令，，时，，单调递减；
时，，单调递增，，又，.
方法二：注意到，又恒成立由方法一得：，，
，，.
方法三：恒成立在恒成立，
令，即恒成立.
，时，，单调递增；
时，，单调递减
，又恒成立，，.
故选：A
【变式01】（2025·甘肃武威·模拟预测）已知函数，，若，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将函数不等式化成，指对同构令，再构造函数，利用导数分析单调性和最值可得.
【详解】由，得，即，即，
因为，令，，则，所以.
令，则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，则.
故选：B.
【变式02】（25-26高三上·吉林延边·开学考试）若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】同构之后令，求导分析最值，然后再换元令，构造函数，结合导数分析单调性可得.
【详解】因为，所以，
令，则，
易得，
设，则，分离参数可得
令，
，
易得函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
【变式03】（25-26高三上·四川南充·月考）已知，分别为定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于x的不等式在上恒成立，则正实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性得，，根据已知将问题化为在恒成立，应用换元法及导数研究右侧的单调性求右侧的范围，即可得.
【详解】因为，分别为上的偶函数和奇函数，且①，
所以，即②，
联立①②，解得，，
所以不等式，可化为，
因为，所以，
设，则，故，
因为，，所以，
故在上是增函数，则，
又在上是增函数，所以，则，
因为在恒成立，所以，
所以正实数a的取值范围是.
故选：D
题型五 双变量同构问题
方法点拨：处理含两个变量的指对数混合问题，通过同构建立变量间关系（如、的范围）。解题思路：① 由已知条件（如）变形得同构式，确定与的关联；② 构造对称函数或利用单调性转化为单变量问题。
【典例01】（2025·湖北黄冈·一模）(多选)已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．若方程有两个不相等的实根，则
D．若不等式对恒成立，则
【答案】ACD
【分析】对于A，利用导数求出函数的单调区间，由单调性的应用即可判断；对于B，由即可判断；对于C,由题可得则,令,可得,,从而将问题转化为证,构造函数,结合导数研究函数的最小值即可求解；对于D，将问题转化为，当时，，由于在上单调递增可得，即在时恒成立，构造函数,结合导数求出函数的最小值即可求解.
【详解】对于A，,则,所以当,,则在上单调递减，当时，,则在上单调递增，所以,故A正确；
对于B,由于,由于,所以,则，故B不正确；
对于C，,由A选项不妨假设,则,则,令,则,所以,解得：,,
要证，即证,即证,设,则,所以在上单调递增，则，则,所以,故C正确．
对于D,在恒成立，即在恒成立，
则，当时，，由于在上单调递增，，
即在时恒成立，令,则,令,解得：,所以在上单调递增，
令,解得：,所以在上单调递减，则,所以,故D正确．
故选：ACD
【典例02】（2025高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)若，设分别在抛物线与曲线上，且轴，求的最小值；
(2)设是的两个极值点，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意作出图形，从而可得，再构造函数，利用导数即可求出最值，即可求解.
（2）由题意可得，化简得，结合题意不妨设，要证，只需证，即证，再令，，即证，再令，再构造函数，利用导数从而可求得，从而可求解证明.
【详解】（1）当时，．
设，因为轴，所以，且．
则，
令，则，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增．
故当时，取得最小值，最小值为，
即的最小值为．
（2）由的定义域为，求导得．
因为是的两个极值点，所以，
即，，
则（*），
不妨设，要证，
只需证，
将（*）式代入整理得，
令，即证，令，即证，
令，则，
所以在上单调递增，所以，原不等式得证．
【变式01】（2025·四川成都·二模）已知函数，.若存在，使得成立，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，，由可得出，，利用导数可得出函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，进而可得出，由此可得出，可得出，构造函数，利用导数求出函数在上的最大值即可得解.，，
由于，则，同理可知，，
函数的定义域为，对恒成立，所以，函数在区间上单调递增，同理可知，函数在区间上单调递增，
，则，，则，
构造函数，其中，则.
当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减.
所以，.
故选：C.
【变式02】（25-26高三上·山东济南·期中）(多选)已知函数，，则下列说法正确的（ ）
A．函数与函数有相同的极小值
B．若方程有唯一实根，则的取值范围为
C．若方程有两个不同的实根，则
D．当时，若，则成立
【答案】ACD
【分析】利用导数分别求出两个函数极小值判断A；根据条件求出的范围判断B；利用方程根的意义，变形构造函数，利用导数借助单调性推理判断C；利用同构方法进行转化求解判断D.
【详解】对于A，函数定义域，求导得，当时，，
当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在处取得极小值；
函数定义域，求导得，当时，，
当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在处取得极小值，A正确；
对于B，由选项A知，，则当时，也有唯一实根，B错误；
对于C，因为当趋近于0时，趋近于0，
所以，由方程有两个不同的实根，得，不妨令，
由，得，则，
消去得，则，令，
于是，，
令，求导得，令，
求导得，函数在上单调递减，，
函数在上单调递增，，因此，即，C正确；
对于D，，由，得，
所以，则，
，于是，而函数在上单调递增，则，
因此成立，D正确.
故选：ACD
【变式03】（24-25高三上·天津滨海新·期中）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)若有两个正零点，且．
（i）求的取值范围；
（ii）求证：．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义求得，可求切线方程；
（2）利用导数分析函数的单调性，从而得函数的单调区间；
（3）（i）结合（2）的分析，确定满足的条件，从而求得的取值范围；（ii）通过构造函数证明对数均值不等式，从而证得.
【详解】（1）当时，，求导得，所以，
又，所以切点为，
所以切线方程为，即；
（2）由，求导得，
若，，所以在上单调递增；
若，令，得，解得，
当 时，，则在 上单调递减；
当 时，，则在 上单调递增；
综上所述：当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
（3）（i）由题意知方程有两个不同的正实根，
由（2）知，且，所以，
解得，所以的取值范围．
（ii）由（i）得，所以，，
两边同时取自然对数，得，，
两式相减得，即，
要证，只需证明，
即，所以，
令，只需证明，构造函数，
求导得，所以函数在上单调递增，
于是，所以不等式成立，
于是原不等式成立．
（限时训练：15分钟）
1． （25-26高三上·重庆·月考）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先变形得到，构造函数，求导得到其在上的单调性，从而得到，.
【详解】因为，所以.
设函数，则，当时，单调递减，
所以，所以，故.
故选：B
2． （24-25高三上·贵州铜仁·期末）设则a，b，c之间的大小关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，利用导数判断出的单调性可得答案.
【详解】，
构造函数，得，
由得时，
知在区间上是增函数，于是，即.
故选：B．
3．（2025·辽宁·一模）(多选)已知函数，则（ ）
A．有两个零点 B．在上是增函数
C．有极小值 D．若，
【答案】BCD
【分析】令，得到出方程解的个数，然后判断A选项；对函数求导，然后得到函数的递增区间，判断B选项；由函数的单调区间得到函数的极值判断C选项；构造函数，由导函数得到函数的单调性，从而求出当时，的最小值，即能判断D选项.
【详解】令，即，∵，∴只有一个解，即函数有一个零点，A选项错误;
，令，，∵，∴，∴在上是增函数，B选项正确；
在上单调减，在上单调递增，∴函数有极小值，C选项正确；
令，，，
令，则，，，
∴当时，，即在单调递增，∴，
即，在单调递增，∴，即，D选项正确.
故选：BCD.
4．（24-25高三上·广东湛江·期中）已知，若关于的方程有两个不同的正根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简方程，利用换元法、构造函数法，结合导数来求得的取值范围.
【详解】依题意，，，则，
令，显然在上单调递减，
故有两个不同的正根，
令，则，故当时，，
当时，，
故，
又时，时，，
故，解得.
故选：C
【点睛】方法点睛：换元法与构造函数法：通过换元将原方程转换为新的变量形式，再构造适当的函数进行分析，结合导数来判断函数的单调性和取值范围.换元法和构造函数法是处理复杂方程和不等式问题的有效方法.
5. （24-25高三下·上海浦东新·期中）已知，则方程的解的组数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无穷多个
【答案】B
【分析】首先等式两边取对数，变形等式后，再构造函数，利用导数判断方程解的个数.
【详解】，两边取对数，得，即，
设，，
当，，单调递增，
当，，单调递减，
且当时，，当时，，
，，
所以满足，则方程的解的组数为1组.
故选：B
6. （2025·全国·模拟预测）若时，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题可得，令，由已知可得，设，利用导数可得函数在上s单调递增，且有，从而得，，令，，利用导数求出函数的取值范围，即可得答案.
【详解】，即.
设，则.
由，得.
设，则，
所以在上单调递增，
由知，所以，
即，，，所以.
设，，则，
所以在单调递减，所以，
所以的取值范围是.
故选：B.
7. （2025·河北·模拟预测）已知实数满足不等式，则 .
【答案】8
【分析】利用导数证明不等式，，由此放缩给定不等式，利用等号成立的条件求解即可.
【详解】不等式，
令函数，，求导得，
当时，；当，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
则，即，当且仅当时取等号，
于是，即，当且仅当时取等号，
因此，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
则，
于是，解得，所以.
故答案为：8.
8. （2025·高三·辽宁葫芦岛·期末）已知函数．
(1)当时，求的单调递增区间；
(2)若有两个极值点．
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明：．
【解析】（1）当时，，
由，所以.
故单调递增区间为.
（2）（ⅰ），令，即
令，，则是方程的两个正根，
则，即，
有，，即.
所以的取值范围为：.
（ⅱ）
令
则．
令，则，
则在上单调递减，
又
故存在，使，即，
则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减
则，
又，故
即.
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