资源简介

专题3.1 三角函数图像及性质综合
近三年： 图像变换与识别:高频核心考点，几乎每年必考。主要考查函数图像的平移、伸缩、对称变换，以及根据图像求解析式。难度中等，常以选择题或填空题形式出现，是必须掌握的基础。 性质的综合应用:高频核心考点，每年必考。重点考查周期性、单调性、对称性、最值的综合分析与计算。常作为小题的压轴或次压轴题，或出现在解答题的第一问，难度中等偏上。 “五点法”与模型应用:考查频率稳定，多出现在对三角函数基础模型的直接考查中，如用“五点法”作图、分析基本函数性质。难度中等，是解决复杂问题的基础。 与向量、实际应用结合:较少单独考查，但作为命题背景在模拟题和高考试题中时有出现。常将三角函数与平面向量、解三角形、或物理、几何等实际情境结合，考查知识迁移能力，难度较高。 预测2026年： 1、模型化与图像化考查：题目可能直接给出一个具体或含参的三角函数解析式，要求系统分析其图像特征（如变换顺序）和所有性质（周期、单调区间、对称轴等）。 2、动态参数与综合范围：重点考查参数 ω 对函数性质的动态影响，尤其是求 ω 的取值范围。这类题常与函数的单调性、对称性或零点条件结合，需要运用数形结合和不等式知识，体现综合难度。 3、跨模块融合与情境创新： 融合性：加强与平面向量、解三角形、导数等知识的交叉命题。 情境化：出现在圆周运动、简谐振动、几何图形变化等实际情境中，要求先抽象出三角函数模型，再进行求解。 总的来说，三角函数的复习要从单纯记忆公式和题型，转向理解图像与单位圆的本质关联，并加强在复杂情境中构建模型和跨模块思考的能力
三角函数的单调性
解｜题｜策｜略 1、掌握正余弦、正切函数的单调区间 正弦函数：单调增区间，单调减区间 余弦函数：单调增区间，单调减区间 正切函数：单调增区间 2、对于形如 （或）的函数，首先确定与的正负。若 ，可利用诱导公式将 化为正数，简化分析。 通过单调性确定的范围，求得的范围为所求的单调区间。 3、根据题目给出的单调区间来求参数（不含求值的题型）： 先根据条件给出的单调区间来求的区间范围 确定目标三角函数的对应的单调区间 讨论的区间与三角函数的单调区间之间的关系，从而确定参数关系。
1．（2025·广东广州·模拟预测）把函数的图象向左平移后得到函数的图象，则的单调区间为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）若函数在区间上单调，则的取值范围为 .
3．（2025·福建漳州·一模）已知，若在区间上不单调，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·河北秦皇岛·一模）已知函数，若在区间上单调，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·湖北荆州·一模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调增区间为（ ）
A． B．
C． D．
三角函数的最值与值域
解｜题｜策｜略 1、 型，同角正弦余弦的和式，可以直接用辅助角公式合并化简。若遇到三角函数不为同角，则可以考虑通过诱导公式、三角恒等变换去化简，最后化简成正弦或余弦的式子。 2、通过化简后发现式子变成的形式，则可以通过换元，换元后式子变成二次函数式。换元后，要注意新元的取值范围，在该取值范围下求最值。 3、对三角函数进行变换，然后通过基本不等式来求最值 利用1的变换，在三角函数中，,利用乘“1”来实现基本不等式。 已知和或者积的值，通过基本不等式中和定求积，积定求和来求。 注意基本不等式使用是有条件限制的，如果不满足可以考虑用对勾函数。
1、（2025·河北·模拟预测）函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数，，且，则当时，的值域为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知，为的最大值，，当时，则 .
4．（2025·广东·模拟预测）函数的值域为 .
5．（多选）（2025·广东·模拟预测）设函数，若时，，则（ ）
A． B．的定义域为
C．是偶函数 D．的值域为
三角函数的奇偶性
解｜题｜策｜略 按照函数奇偶性的定义来判断三角函数有关的复合函数的奇偶性： 先判断定义域是否关于原点对称，然后检验f(x)与f(-x)之间的关系。 对较复杂的三角函数式，通常先利用三角恒等变换（如诱导公式、和差角公式、倍角公式等）将函数式化简为标准形式或便于判断的形式。 若函数是多个三角函数的和、差、积、商形式：可利用“奇函数 ± 奇函数 = 奇函数”、“偶函数 ± 偶函数 = 偶函数”、“奇函数 × 偶函数 = 奇函数”、“偶函数 × 偶函数 = 偶函数”、“奇函数 × 奇函数 = 偶函数”等运算规律进行组合判断。 利用函数的奇偶性来求值：根据奇偶性的定义，根据定义域关于原点对称，然后利用偶函数满足f(x)=f(-x)，奇函数满足f(x)+f(-x)=0关系直接求值
1．（2026·陕西西安·三模）若函数是奇函数，则（ ）
A．0 B． C． D．
2．（2025·湖南永州·模拟预测）若为偶函数，则（ ）
A． B． C．0或 D．
3．（2025·上海普陀·一模）下列函数中，周期为的奇函数是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·广东深圳·一模）若是偶函数，则有序实数对可以是 .（写出你认为正确的一组数即可）.
5．（2025·江西·模拟预测）已知函数为奇函数，则m＝（ ）
A．5 B．4 C． D．1
三角函数的周期性
解｜题｜策｜略 1、对于形式（为基本三角函数如 ），最小正周期，其中为的最小正周期（如为， 为）。 2、利用三角变换化简题目中的三角函数，使变为最简形式，然后根据上面方法求周期 3、根据三角函数的最小正周期可求的值，从而可以得到函数的解析式
1．（2025·上海杨浦·一模）函数的最小正周期为 .
2．（2025·广东·模拟预测）已知函数的最大值为2，最小值为0，则函数的最小正周期为 .
3．（2025·北京大兴·三模）已知函数，则函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·云南昆明·模拟预测）下列函数的周期不是的为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·广东·模拟预测）直线与函数的图象的相邻两个交点的距离是 .
三角函数的对称性
解｜题｜策｜略 1、对于正弦函数，当为正弦函数的对称轴,当 为正弦函数的对称中心 2、对于，当为余弦函数的对称轴,当 为余弦函数的对称中心 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置． 3、对于, 当 为正切函数的对称中心，正切函数没有对称轴，注意正切函数的对称中心有一半不在函数上，一半是正切函数与轴交点 4、对正余弦函数，已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则． 5、根据题目给出的对称中心或对称轴的值，来求的值，如果含参的话，这是一个参数的表达式。 根据的值与三角函数的对称中心或对称轴进行比较，来求其中的参数值。
1．（2026·湖北孝感·一模）若点是函数的图象的一个对称中心，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·湖北·模拟预测）若函数的对称中心与函数的对称中心重合，则（ ）
A．1 B．
C． D．
3．（2026·辽宁大连·一模）函数图象的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·广西·模拟预测）若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
5．（2025·云南昆明·一模）若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（ ）
A． B． C． D．
三角函数的零点
解｜题｜策｜略 1、对于正弦函数，当 为正弦函数的对称中心，也是其零点。对于，当 为余弦函数的对称中心，也是其零点。对于, 当 为正切函数的对称中心，但是才是其零点。 2、复合函数的零点个数与求方程的根的个数的方法一致。函数有零点方程有实数根函数的图像与轴有交点。 若通过将其中的三角函数换元把方程变成能直接解的形式，则可以直接解方程，但是要注意的是三角函数换元后，它的取值范围问题。 若方程比较复杂，则可以考虑能否通过画图，利用图像的交点个数来判断根的个数。 3、给出的已知函数在动区间上零点个数问题，可以先画出函数图像，找到关键零点的位置，讨论给定的区间内零点与参数的关系。若函数是动函数（已知，只上下左右移动），区间是定区间，则先确定区间内能容纳的零点个数，再去讨论函数位置。 4、根据三角函数或在区间内零点的个数问题求： 根据有没有零点或零点个数，判断在几个周期以内。 根据零点个数确定的范围 根据上述两点可以计算出的取值范围，的范围会跟值有关，再根据是整数，可以确定的最值 5、对给定范围内的两个相邻的零点（通常为三角函数图像与直线的交点），这两个零点会关于三角函数的某个对称轴对称。即，再根据三角恒等变换可以求的正余弦值。对给三角函数的零点（通常为三角函数图像与直线或者别的图像的交点），找到这些零点的对称点，然后根据这个对称来求和。
1．（多选）（2026·山东青岛·模拟预测）已知函数在区间上有且只有三个零点，则（ ）
A．是的一个周期 B．的最大值为1
C．的取值范围是 D．有两个极大值点
2．（多选）（2026·陕西西安·一模）已知函数，有两个零点，则下列结论正确的是（）
A．当时， B．
C．若，则 D．
3．（2025·全国·模拟预测）已知函数在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围为 ．
4．（2025·广东广州·模拟预测）当时，函数的零点个数为 ，所有零点之和为 .
5．（2025·湖南邵阳·模拟预测）函数在区间的零点个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
三角函数的性质综合
解｜题｜策｜略 根据题目给出的函数，看能不能用三角恒等变换、诱导公式进行化简，先化简到最简形式 2、如果化简后的函数是的形式（），则可以按三角函数求单调性、周期性、对称性、奇偶性的方法来判断。 如果化简后是几个三角函数相加或相乘，比较复杂的方式，可以使用代入特殊值法来判断。可可以辅组作图。
1．（2025·四川成都·一模）已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B．的值域为
C．在上单调递增
D．将函数的图象向右平移个单位长度后可以得到函数的图象
2．（2026·福建漳州·模拟预测）已知函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，且直线是其中一条对称轴，则（ ）
A．的最小正周期为
B．
C．在上单调递增
D．的图象关于点中心对称
3．（2026·四川宜宾·一模）已知，下面结论正确的是（）
A．的最小正周期为
B．在上单调递增
C．在上恰有3个零点
D．的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称
4．（2026·四川广安·一模）已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．若，则的最小值为
D．若，则的最小值为
5．（2026·湖北荆门·模拟预测）关于函数，，以下结论正确的是（ ）
A．有8个零点
B．的最大值为1
C．是轴对称图形
D．函数，则的零点的个数可能为0，1，2，4，6
三角函数绝对值的性质
解｜题｜策｜略 1、对三角函数绝对值通过函数图像来研究其函数性质，把x轴下方部分沿x轴翻折到上方去。 ：偶函数、对称轴,对称中心，最小正周期 ：偶函数、对称轴,对称中心，最小正周期 ：偶函数、对称轴，最小正周期 , 通过函数图像来研究其函数性质,把y轴左边部分去掉，把右边部分复制翻折到y轴左边。
1．（2025·湖南·一模）下列函数中，为周期函数，且在区间上单调递减的是（　　）
A． B．
C． D．
1．（多选）（2024·安徽安庆·三模）已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在上单调递增
C．函数的最大值为
D．若方程在上有且仅有8个不同的实根，则
2．（多选）（2025·广西南宁·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．为的周期 B．的图象关于对称
C．的图象关于点对称 D．是奇函数
3．（多选）（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数（ ）
A．是偶函数 B．最大值为
C．最小值为 D．在有两个零点
4．（多选）（2024·贵州遵义·模拟预测）已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象为中心对称图形
C．函数的图象关于直线对称
D．函数的值域为
5．（多选）（2025·安徽合肥·模拟预测）对于函数和，下列正确的有（ ）
A．与有相同零点
B．与有相同最大值
C．与有相同的最小正周期
D．与的图象有相同的对称轴
三角函数的图像变换
解｜题｜策｜略 1、三角函数的变换与函数的变换方法一致 左右移动：变量左加右减，如左移k个单位， 上下移动：函数值y上加下减，如上移k个单位， 横坐标的伸缩：横坐标放大k倍，则变，横坐标缩小倍，则变 注意：上下移动或横坐标的伸缩都是针对变量的变换 2、根据变换后的图像求原解析式跟整个变换过程，是整个变换过程的逆过程。 用变化后得到的解析式，按照所有的变换步骤从最后一步到第一步进行。 将每步的变换步骤变成逆变换，如左移变右移，上移变下移，扩大变缩小。 用检验的方式再从原图像按照原变换步骤，看看是否能得到变换后解析式。 在变换的过程中分先平移后伸缩和先伸缩后平移两种。
1．（2025·四川泸州·一模）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到图象对应的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026·陕西咸阳·一模）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
3．（2025·安徽·二模）已知函数的一个零点是，为了得到的图象，需要将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
4．（2026·重庆九龙坡·一模）将函数的图象平移得到的图象，且直线为曲线在y轴右侧的首条对称轴，则上述的平移方式可以是（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
5．（2026·陕西宝鸡·一模）将函数的图象向左平移后得到的图象，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
根据三角函数图像求解析式及其性质
解｜题｜策｜略 根据给出的三角函数图像，从图像上寻找跟周期有关的信息，根据周期求。如是否有最值得跟零点，是否有y值相等的点，从这些信息可以求出周期。 对图像上给出横纵坐标的点，用这些点的信息可以求出 从图像的最值计算出值 根据解析式以及图像可以求函数的单调性、对称性、奇偶性、最值等。 注意：在图像求解析式的时候，关于零点的使用，在图像中零点也是有区别的。有的零点连接函数从正道负的，有的零点连接函数从负到正，在使用零点求值的时候要区分这点。
1．（多选）（2025·浙江·二模）已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．函数图象的一个对称中心为
D．函数在上恰有5个零点，则实数的取值范围为
2．（多选）（2025·甘肃武威·模拟预测）函数的部分图象如图所示，，是的2个零点，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．的最小值为
C．当取最小值时，的最大值为
D．若在区间上至少有10个零点，则的最小值为
3．（多选）（2025·广东江门·模拟预测）已知函数的部分图象如图，则（ ）
A．
B．为奇函数
C．在上单调递增
D．当在上恰有3个零点时，的取值范围是
4．（多选）（2025·福建厦门·二模）已知函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的一个对称中心是
B．
C．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得到函数的图象
D．函数在上有5个零点，则的取值范围为
5．（多选）（2025·海南·模拟预测）已知函数，若函数与其导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的图象在关于点中心对称
C．的最大值为
D．当时，函数有4个零点
（建议用时：30分钟）
1．（2025·陕西汉中·三模）函数的一个单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·四川·三模）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高三上·新疆·月考）函数的最小正周期和最大值分别为（ ）
A．和3 B．和2 C．和3 D．和2
4．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，则“”是“是奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2026·湖北·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·云南大理·模拟预测）若函数与函数（，）图象的对称中心完全一致，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·海南·模拟预测）已知函数在上有两个不同的零点，，则 ．
8．（2025·天津和平·二模）函数（，，）的部分图象如图所示，要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
C．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
D．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
6．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数，则（　　）
A．的最小正周期为
B．的一个对称中心是
C．当时，的值域为
D．将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称
9．（2026·重庆·一模）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A．
B．
C．的最小正周期为
D．将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于点对称
10．（2025·云南·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，将图象上每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减
11．（2026·河北沧州·一模）已知函数，满足，且对任意，都有，则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．在上的值域为
C．的单调递增区间为
D．若方程在区间上恰有五个不等的实根，则的取值范围为
12．（2025·广东广州·三模）已知函数，则下列结论一定正确的是（ ）
A．的图象关于轴对称 B．的值域是
C．的最小正周期为 D．不是中心对称函数
13．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知函数图像如图所示，分别为图像的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于，且，，与轴的交点为．则下列说法正确的有（ ）．
A．函数的解析式为
B．函数的一个极大值点为
C．函数的对称中心为
D．函数在区间上单调递增
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题3.1 三角函数图像及性质综合
近三年： 图像变换与识别:高频核心考点，几乎每年必考。主要考查函数图像的平移、伸缩、对称变换，以及根据图像求解析式。难度中等，常以选择题或填空题形式出现，是必须掌握的基础。 性质的综合应用:高频核心考点，每年必考。重点考查周期性、单调性、对称性、最值的综合分析与计算。常作为小题的压轴或次压轴题，或出现在解答题的第一问，难度中等偏上。 “五点法”与模型应用:考查频率稳定，多出现在对三角函数基础模型的直接考查中，如用“五点法”作图、分析基本函数性质。难度中等，是解决复杂问题的基础。 与向量、实际应用结合:较少单独考查，但作为命题背景在模拟题和高考试题中时有出现。常将三角函数与平面向量、解三角形、或物理、几何等实际情境结合，考查知识迁移能力，难度较高。 预测2026年： 1、模型化与图像化考查：题目可能直接给出一个具体或含参的三角函数解析式，要求系统分析其图像特征（如变换顺序）和所有性质（周期、单调区间、对称轴等）。 2、动态参数与综合范围：重点考查参数 ω 对函数性质的动态影响，尤其是求 ω 的取值范围。这类题常与函数的单调性、对称性或零点条件结合，需要运用数形结合和不等式知识，体现综合难度。 3、跨模块融合与情境创新： 融合性：加强与平面向量、解三角形、导数等知识的交叉命题。 情境化：出现在圆周运动、简谐振动、几何图形变化等实际情境中，要求先抽象出三角函数模型，再进行求解。 总的来说，三角函数的复习要从单纯记忆公式和题型，转向理解图像与单位圆的本质关联，并加强在复杂情境中构建模型和跨模块思考的能力
三角函数的单调性
解｜题｜策｜略 1、掌握正余弦、正切函数的单调区间 正弦函数：单调增区间，单调减区间 余弦函数：单调增区间，单调减区间 正切函数：单调增区间 2、对于形如 （或）的函数，首先确定与的正负。若 ，可利用诱导公式将 化为正数，简化分析。 通过单调性确定的范围，求得的范围为所求的单调区间。 3、根据题目给出的单调区间来求参数（不含求值的题型）： 先根据条件给出的单调区间来求的区间范围 确定目标三角函数的对应的单调区间 讨论的区间与三角函数的单调区间之间的关系，从而确定参数关系。
1．（2025·广东广州·模拟预测）把函数的图象向左平移后得到函数的图象，则的单调区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据平移的性质可得，进而利用整体法即可求解.
【详解】由题意可得，
令，解得，
故单调递增区间为，
故选：A
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）若函数在区间上单调，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】在指定区间内求出相位的范围，再利用正弦函数单调性列式求解.
【详解】当时，，依题意，，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：
3．（2025·福建漳州·一模）已知，若在区间上不单调，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合函数图像，根据函数单调性，分析和的取值范围，最后解不等式组即可.
【详解】画出函数的部分图象如图所示，
因为，所以
因为在区间上不单调，
所以解得
故选：B.
4．（2025·河北秦皇岛·一模）已知函数，若在区间上单调，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用正弦函数的单调区间列出不等式求出，进而求出函数值.
【详解】当时，，，
由在区间上单调，则，
于是，解得，
由，得，因此或，
又，则，，所以.
故选：C
5．（2026·湖北荆州·一模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数图象的平移变换，可求出的表达式，结合正弦函数性质，求出该函数的单调递增区间，即可判断A，结合正弦函数的单调性可一一判断BCD，即得答案.
【详解】由题意知将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，
故，
令，即，
即函数的单调递增区间为，
当时，的单调递增区间为，A正确；
对于B，当时，，
由于在上不单调，故不是的单调增区间，B错误；
对于C，时，，
由于在上不单调，故不是的单调增区间，C错误；
对于D，时，，
由于在上单调递减，故是的一个单调减区间，D错误；
故选：A
三角函数的最值与值域
解｜题｜策｜略 1、 型，同角正弦余弦的和式，可以直接用辅助角公式合并化简。若遇到三角函数不为同角，则可以考虑通过诱导公式、三角恒等变换去化简，最后化简成正弦或余弦的式子。 2、通过化简后发现式子变成的形式，则可以通过换元，换元后式子变成二次函数式。换元后，要注意新元的取值范围，在该取值范围下求最值。 3、对三角函数进行变换，然后通过基本不等式来求最值 利用1的变换，在三角函数中，,利用乘“1”来实现基本不等式。 已知和或者积的值，通过基本不等式中和定求积，积定求和来求。 注意基本不等式使用是有条件限制的，如果不满足可以考虑用对勾函数。
1、（2025·河北·模拟预测）函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先运用差角公式，二倍角公式，辅助角公式化简函数表达式，再换元求解函数值域即可.
【详解】根据题意，，
根据倍角公式可得，
令，因为，则，可得，
故选：A.
2．（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数，，且，则当时，的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题及积化和差公式可得，然后由，
可得，最后由正弦函数单调性可得值域.
【详解】，
由和差化积公式可得：.
因，则，因，则，
则，又，则.
则.
注意到时，，
在上单调递增，在上单调递减，
又，
则，即的值域为.
故选：C
3．（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知，为的最大值，，当时，则 .
【答案】
【分析】利用辅助角公式解出，代入可得到关于的方程，解方程即得答案.
【详解】利用辅助角公式得：
，
其中满足 和 .
这个函数的最大值是 ，
因此：，
平方得：，
在 时， 取得最大值，此时
即，
，
又 和 ，
代入得：，
得：，
联立，
解得：或，
所以.
故答案为：
4．（2025·广东·模拟预测）函数的值域为 .
【答案】
【分析】根据三角函数的诱导公式化简函数，然后利用函数的奇偶性和基本不等式即可求解.
【详解】因为，所以；
因为为奇函数，当时，，所以；
当时，，所以，当且仅当时，等号成立；
故，所以的值域为.
故答案为：.
5．（多选）（2025·广东·模拟预测）设函数，若时，，则（ ）
A． B．的定义域为
C．是偶函数 D．的值域为
【答案】ACD
【分析】对A，令代入求解；对B，由值域可判断；对C，令，换元求得，由偶函数定义判断；对D，令，则可化为二次函数求解值域.
【详解】对于A：令，则，，
故，故A正确；
对于B：令，
由，则，即定义域为，故B错误；
对于C：由于，
则，又，故，
也即，由于定义域关于原点对称，且，
故是偶函数，故C正确；
对于D：令，
则，对称轴为，其位于定义域区间之内，
所以函数的最小值为．
又，，故函数的最大值在端点处取得为2，值域为，故D正确．
故选：ACD．
三角函数的奇偶性
解｜题｜策｜略 按照函数奇偶性的定义来判断三角函数有关的复合函数的奇偶性： 先判断定义域是否关于原点对称，然后检验f(x)与f(-x)之间的关系。 对较复杂的三角函数式，通常先利用三角恒等变换（如诱导公式、和差角公式、倍角公式等）将函数式化简为标准形式或便于判断的形式。 若函数是多个三角函数的和、差、积、商形式：可利用“奇函数 ± 奇函数 = 奇函数”、“偶函数 ± 偶函数 = 偶函数”、“奇函数 × 偶函数 = 奇函数”、“偶函数 × 偶函数 = 偶函数”、“奇函数 × 奇函数 = 偶函数”等运算规律进行组合判断。 利用函数的奇偶性来求值：根据奇偶性的定义，根据定义域关于原点对称，然后利用偶函数满足f(x)=f(-x)，奇函数满足f(x)+f(-x)=0关系直接求值
1．（2026·陕西西安·三模）若函数是奇函数，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据奇函数得出，再代入结合特殊角三角函数值求解.
【详解】因为是奇函数，
故，，检验符合，所以.
故选：D.
2．（2025·湖南永州·模拟预测）若为偶函数，则（ ）
A． B． C．0或 D．
【答案】A
【分析】根据为偶函数，得到方程，求出或，分两种情况，结合诱导公式得到答案.
【详解】若为偶函数，又，则或，解得或，
若，则，
若，则，所以.
故选：A
3．（2025·上海普陀·一模）下列函数中，周期为的奇函数是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用三角函数的周期公式及奇函数的定义，结合诱导公式和二倍角公式逐项分析即可求解.
【详解】对于A，根据图象可知，函数的定义域为R，，
所以以为周期的偶函数，故A错误；
对于B，，，函数的定义域为R，，所以以为周期的偶函数，故B错误；
对于C，，，函数的定义域为R，，
所以以为周期的奇函数，故C错误；
对于D，，函数的定义域为关于原点对称，
且，
所以以为周期的奇函数，故D正确.
故选：D
4．（2025·广东深圳·一模）若是偶函数，则有序实数对可以是 .（写出你认为正确的一组数即可）.
【答案】（答案不唯一，满足条件即可）
【分析】化简的解析式，根据是偶函数写出正确答案.
【详解】
，
注意到是偶函数，
所以当时，是偶函数，
所以有序实数对可以是.
故答案为：（答案不唯一，满足条件即可）
5．（2025·江西·模拟预测）已知函数为奇函数，则m＝（ ）
A．5 B．4 C． D．1
【答案】C
【分析】利用奇函数定义，结合余弦函数奇偶性列式求出值.
【详解】函数的定义域为，且是奇函数，
则，而不恒为0，
因此，所以．
故选：C
三角函数的周期性
解｜题｜策｜略 1、对于形式（为基本三角函数如 ），最小正周期，其中为的最小正周期（如为， 为）。 2、利用三角变换化简题目中的三角函数，使变为最简形式，然后根据上面方法求周期 3、根据三角函数的最小正周期可求的值，从而可以得到函数的解析式
1．（2025·上海杨浦·一模）函数的最小正周期为 .
【答案】
【分析】利用正弦型函数的最小正周期公式即可得解.
【详解】函数的最小正周期，
故答案为：.
2．（2025·广东·模拟预测）已知函数的最大值为2，最小值为0，则函数的最小正周期为 .
【答案】/
【分析】根据正弦函数的值域和题设条件列出关于的方程组，求解即得函数解析式，利用周期公式计算即可..
【详解】易得，故的最大值为，最小值为，
则解得，故，则其最小正周期.
故答案为：.
3．（2025·北京大兴·三模）已知函数，则函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由二倍角公式化简函数，再根据余弦函数的周期性求解即可．
【详解】，则函数的最小正周期为.
故选：C
4．（2025·云南昆明·模拟预测）下列函数的周期不是的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性求解即可.
【详解】对于，最小正周期为，故A不符合题意；
对于，最小正周期为，故B不符合题意；
对于，最小正周期为，故C符合题意；
对于，最小正周期为，故D不符合题意．
故选：C．
5．（2025·广东·模拟预测）直线与函数的图象的相邻两个交点的距离是 .
【答案】/
【分析】根据正切函数的周期性可求答案.
【详解】由正切函数的图象的特点，直线与函数的图象的相邻两个交点的距离，即为最小正周期；
因为最小正周期是，所以直线与函数的图象的相邻两个交点的距离是.
故答案为：
三角函数的对称性
解｜题｜策｜略 1、对于正弦函数，当为正弦函数的对称轴,当 为正弦函数的对称中心 2、对于，当为余弦函数的对称轴,当 为余弦函数的对称中心 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置． 3、对于, 当 为正切函数的对称中心，正切函数没有对称轴，注意正切函数的对称中心有一半不在函数上，一半是正切函数与轴交点 4、对正余弦函数，已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则． 5、根据题目给出的对称中心或对称轴的值，来求的值，如果含参的话，这是一个参数的表达式。 根据的值与三角函数的对称中心或对称轴进行比较，来求其中的参数值。
1．（2026·湖北孝感·一模）若点是函数的图象的一个对称中心，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正弦函数对称中心性质得，，然后利用诱导公式求值即可.
【详解】因为点是函数的图象的一个对称中心，
所以，，即，，
所以，所以.
故选：D
2．（2025·湖北·模拟预测）若函数的对称中心与函数的对称中心重合，则（ ）
A．1 B．
C． D．
【答案】D
【分析】分别写出的对称中心为，的对称中心为，由题意得到，求解即可.
【详解】令，得，
所以函数的对称中心为，
又函数的对称中心为，
函数的对称中心与函数的对称中心重合，
所以，即，
故选：D
3．（2026·辽宁大连·一模）函数图象的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据余弦函数的对称性结合整体思想求出函数的对称中心，然后逐一验证即可.
【详解】已知，余弦函数的对称中心为，
令，解得，
则函数的对称中心为，排除选项，
时，，对应选项，
对于选项，当时，，
故点不在函数图象上，不是对称中心，错误
故选：D
4．（2025·广西·模拟预测）若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得函数的对称中心的表达式，然后求得的最小值.
【详解】根据余弦函数的性质的对称中心横坐标满足，
即的对称中心是，即，
又，则时最小，为．
故选：B
5．（2025·云南昆明·一模）若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】易得函数与的周期相等，从而可求出，再根据余弦函数和正切函数的对称性分别求出两个函数的对称中心，进而可得出答案.
【详解】因为函数的相邻对称中心的距离都是半个周期，
且函数与函数图象的对称中心完全一致，
所以函数与的周期相等，
则函数的周期，即，所以，
则，
令，故，
令，则，
故，解得，
因为，所以．
故选：D．
三角函数的零点
解｜题｜策｜略 1、对于正弦函数，当 为正弦函数的对称中心，也是其零点。对于，当 为余弦函数的对称中心，也是其零点。对于, 当 为正切函数的对称中心，但是才是其零点。 2、复合函数的零点个数与求方程的根的个数的方法一致。函数有零点方程有实数根函数的图像与轴有交点。 若通过将其中的三角函数换元把方程变成能直接解的形式，则可以直接解方程，但是要注意的是三角函数换元后，它的取值范围问题。 若方程比较复杂，则可以考虑能否通过画图，利用图像的交点个数来判断根的个数。 3、给出的已知函数在动区间上零点个数问题，可以先画出函数图像，找到关键零点的位置，讨论给定的区间内零点与参数的关系。若函数是动函数（已知，只上下左右移动），区间是定区间，则先确定区间内能容纳的零点个数，再去讨论函数位置。 4、根据三角函数或在区间内零点的个数问题求： 根据有没有零点或零点个数，判断在几个周期以内。 根据零点个数确定的范围 根据上述两点可以计算出的取值范围，的范围会跟值有关，再根据是整数，可以确定的最值 5、对给定范围内的两个相邻的零点（通常为三角函数图像与直线的交点），这两个零点会关于三角函数的某个对称轴对称。即，再根据三角恒等变换可以求的正余弦值。对给三角函数的零点（通常为三角函数图像与直线或者别的图像的交点），找到这些零点的对称点，然后根据这个对称来求和。
1．（多选）（2026·山东青岛·模拟预测）已知函数在区间上有且只有三个零点，则（ ）
A．是的一个周期 B．的最大值为1
C．的取值范围是 D．有两个极大值点
【答案】BD
【分析】先求出整体角的范围，作出的图象，根据题意即可求得，判断C项；取，得，利用周期定义检验判断A项；利用函数在上的图象即可判断B，D项.
【详解】因，设，则，作出函数的图象如下：
要使函数在区间上有且只有三个零点，
需使，解得，故C错误；
不妨取，则，，
因，故不是的一个周期，故A错误；
又由图知，函数在区间上取得两个极大值，也是最大值，为1，故B，D正确.
故选：BD.
2．（多选）（2026·陕西西安·一模）已知函数，有两个零点，则下列结论正确的是（）
A．当时， B．
C．若，则 D．
【答案】ACD
【分析】对于A，作出单位圆，将与转化为面积，再直观比较面积即可；对于B，画出的函数图象，数形结合确定所在区间，即可判断；对于C，考虑正切函数的周期性，且注意到，数形结合即可判断；对于D，由，推出，根据零点范围可得符号判断.
【详解】即，易知当时，，显然不符题意，故，
因此等价于.
对于A：当时，，则

设，在平面直角坐标系中作单位圆，与轴交于，则，过点作垂直于轴，交射线于点，连接，
由三角函数的定义可知，，设扇形的面积为，
，，易知，即，
得，即当时，有不等式，又因为，
因此当时，，故A正确；
对于B：画出且且与的函数图象，
如图可以看出，

故，故B错误；
对于C：的最小正周期为，且由图象可知，
故之间的距离大于，即，故C正确；
对于D：由，推出
，
因为，且由C可知，
故有，则，
而，
又因为，且在为增函数，
故，
则，
又因为，
故，故D正确.
故选：ACD.
3．（2025·全国·模拟预测）已知函数在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据得，即可根据条件列不等式求解.
【详解】由已知得，得．
令得；令得；令得；令得；令得，
，即的取值范围为．
故答案为：.
4．（2025·广东广州·模拟预测）当时，函数的零点个数为 ，所有零点之和为 .
【答案】 3
【分析】利用正、余弦函数的图象与对称性，结合导数研究函数的单调性数形结合分析即可.
【详解】易知，
取，则，且，
因为在上单调递减，
所以，即在上单调递减，，
即此时无零点，
分别作出的图象如下，
两函数都关于轴对称，且都关于中心对称，
显然由上结合图象可知上两函数无交点，有一个交点，
又由两函数的轴对称性可知也有一个交点，
又时，两函数相交，此时相交，
再由两函数的中心对称性知上无交点，
综上所述，两函数共有三个交点，其中一个为，另外两个关于轴对称，
故三个交点横坐标之和为.
故答案为：3；.
5．（2025·湖南邵阳·模拟预测）函数在区间的零点个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】由，，令，求解的值，判断选项.
【详解】由，，
令，则，或，
故或，即或，
由，则或，
即或，
故或，
综上所述，存在个零点,即为.
故选：C.
三角函数的性质综合
解｜题｜策｜略 根据题目给出的函数，看能不能用三角恒等变换、诱导公式进行化简，先化简到最简形式 2、如果化简后的函数是的形式（），则可以按三角函数求单调性、周期性、对称性、奇偶性的方法来判断。 如果化简后是几个三角函数相加或相乘，比较复杂的方式，可以使用代入特殊值法来判断。可可以辅组作图。
1．（2025·四川成都·一模）已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B．的值域为
C．在上单调递增
D．将函数的图象向右平移个单位长度后可以得到函数的图象
【答案】ABD
【分析】应用辅助角公式化简函数式，结合正弦型函数的性质依次判断A、B、C，由图象平移写出解析式判断D.
【详解】由，其最小正周期为，A对，
由，则的值域为，B对，
由，则，显然不单调，C错，
函数的图象向右平移个单位长度，
则，D对.
故选：ABD
2．（2026·福建漳州·模拟预测）已知函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，且直线是其中一条对称轴，则（ ）
A．的最小正周期为
B．
C．在上单调递增
D．的图象关于点中心对称
【答案】ACD
【分析】利用已知条件求得函数的解析式为，再利用余弦三角函数的性质对选项进行验证得解.
【详解】余弦函数相邻两条对称轴之间的距离是，
又函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，
，解得，又，，，
又直线是其中一条对称轴，，，
又，故取，得，
因此函数的解析式为.
对于A，函数的最小正周期为，故A正确，
对于B，，故B错误，
对于C，令，当时，，
在上单调递增，故在上单调递增，故C正确.
对于D，，
因此的图象关于点中心对称，故D正确.
故选：ACD.
3．（2026·四川宜宾·一模）已知，下面结论正确的是（）
A．的最小正周期为
B．在上单调递增
C．在上恰有3个零点
D．的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称
【答案】ABD
【分析】先化简，再由函数的性质逐项判断即可．
【详解】
，所以，故A正确；
令，当时，，
因为在上单调递增，且是关于的一次函数，且单调递增，
所以在上单调递增，故B正确；
令，则，，解得，，
当时：
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，共4个零点，故C错误；
的图象向左平移个单位长度后，得到的函数为，
因为，所以是偶函数，其图象关于轴对称，故D正确．
故选：ABD
4．（2026·四川广安·一模）已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．若，则的最小值为
D．若，则的最小值为
【答案】BC
【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简得由，对AB直接代入验证即可，对C代入得，结合其函数特点即可判断；对D，代入后分两种情况讨论即可.
【详解】由，
对于A：，所以的图象不关于直线对称，故A错误；
对于B：，所以的图象关于点对称，故B正确；
对于C：由，所以，
所以，所以的最小值为，故C正确；
对于D：由，所以，
所以，
所以，或，
所以，或，
可取，此时，，
所以的最小值为，故D错误.
故选：BC.
5．（2026·湖北荆门·模拟预测）关于函数，，以下结论正确的是（ ）
A．有8个零点
B．的最大值为1
C．是轴对称图形
D．函数，则的零点的个数可能为0，1，2，4，6
【答案】BCD
【分析】令，计算即可判断A；，可判断B； 由计算可判断C；作出图象，结合图象可判断D.
【详解】对于A，令，即，
得或，即，，，，，，共6个，故A错误；
对于B，因为当时，，，
所以，当且仅当，即时等号成立，故B正确；
对于C，因为，
所以函数关于对称，故C正确；
对于D，由C可知，函数关于对称，
故只讨论的单调性和极值，结合对称性可作出函数在区间上的图象，
因为，所以，
求导可得，
则
，
因为，当且仅当或时等号成立，
令，则，
当时，或，
当时，，
因为，在区间上单调递减，
所以函数在区间上，先增后减然后再增，
当时，，时，，时，，
结合ABC选项作出函数图象如下：
令，得，
函数的零点可以看作函数图象与直线交点的个数，结合图象可知：
函数的零点的个数可能为0，1，2，4，6，故D正确.
故选：BCD
三角函数绝对值的性质
解｜题｜策｜略 1、对三角函数绝对值通过函数图像来研究其函数性质，把x轴下方部分沿x轴翻折到上方去。 ：偶函数、对称轴,对称中心，最小正周期 ：偶函数、对称轴,对称中心，最小正周期 ：偶函数、对称轴，最小正周期 , 通过函数图像来研究其函数性质,把y轴左边部分去掉，把右边部分复制翻折到y轴左边。
1．（2025·湖南·一模）下列函数中，为周期函数，且在区间上单调递减的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由在区间上的单调性可排除ABD，根据函数的周期性和在区间上的单调性即可确定C正确.
【详解】对于A：当时，，函数在上显然单调递增，故A错误；
对于B：当时，，则在上显然单调递增，故B错误
；
对于D：时，，则，.该函数在单调递增，故D错误；
对于C：时，，则在上单调递减，且为最小正周期是的周期函数，故C正确.
故选：C.
1．（多选）（2024·安徽安庆·三模）已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在上单调递增
C．函数的最大值为
D．若方程在上有且仅有8个不同的实根，则
【答案】ACD
【分析】A选项，由函数与的最小正周期的周期性即可；B选项，利用函数的单调性定义求解；C选项，由倍角公式化简函数解析式，利用二次函数的性质求最大值；D选项，利用导数讨论函数的单调性，数形结合求的取值范围.
【详解】由条件可知，
因，
又函数与的最小正周期均为，
所以函数的最小正周期为，A选项正确；
时，，，，
，则函数在上不可能单调递增，B选项错误；
，
当时，函数取最大值，C选项正确；
，所以函数为偶函数，
方程在上有且仅有8个不同的实根，则在上有四个根，
此时，则，
设
令，得，令，得
则在上和单调递增，在和上单调递减，
又，，，如图所示，
若想方程在上有四个根，则，即，
因此选项D正确.
故选：ACD．
2．（多选）（2025·广西南宁·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．为的周期 B．的图象关于对称
C．的图象关于点对称 D．是奇函数
【答案】ACD
【分析】根据函数的周期性，对称性，奇偶性的定义，和诱导公式，分别判断各选项正误.
【详解】已知，
则，
可得，所以为的周期，A正确.
可知，
可得，则B错误，C正确.
可知，
则，可知，
所以是奇函数，所以D正确.
故选：ACD.
3．（多选）（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数（ ）
A．是偶函数 B．最大值为
C．最小值为 D．在有两个零点
【答案】ABC
【分析】利用奇偶性的定义，即可判断A选项；分，，三种情况论可求得函数的值域判断CD，结合前面分类讨论和作出示意图可判断D．
【详解】对于A，，是偶函数，故A正确；
当时，，
因为，所以，所以，
所以，
当时，，
因为，所以，所以，
所以，，
又时，，
因为，所以，所以，
所以，
又时，，
所以当时，是以为周期的周期函数，又是偶函数，
所以函数的值域为，故BC正确；
当时，，
因为，所以，所以，
所以，
当时，，
因为，所以，得，
所以时，，
作出函数在的图象的示意如图所示，
故函数在有没有零点，故D错误.
故选：ABC.
4．（多选）（2024·贵州遵义·模拟预测）已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象为中心对称图形
C．函数的图象关于直线对称
D．函数的值域为
【答案】ACD
【分析】用反证法证明最小正周期为，从而判断A，对周期函数，其图象有对称中心，则在一个周期内必有对称中心，最低点到相邻的最高点（如果有）连线段中点就是对称中心，由此结合反证法判断B，由判断C，利用周期性，只要在一个周期内考虑去绝对值符号后求得最值可得值域，从而判断D．
【详解】选项A，若最小正周期，首先，
时，，
，时，，，
所以，设，
，在上是增函数，
又时，，时，，因此，
所以不可能有，即不可能是的周期，
又，
所以是函数的一个周期，综上最小正周期是，A正确；
选项B，
由此讨论知是函数的最小值，
时，，
在时是递增函数，在上递增，在上递减，又是以为周期的周期函数，
在上递增，在上递减，
所以在上递增，在上递减，其中，
假设的图象有对称中心，则上也有一个对称中心，而在上函数图象的最高点是，最低点是，因此对称中心应为，
而，
，因此点不可能是图象的对称中心，
所以的图象没有对称中心，B错；
选项C，，
所以函数的图象关于直线对称，C正确；
选项D，由选项A知，的周期是，而在上的值域是，
所以函数的值域为，D正确．
故选：ACD．
【点睛】方法点睛：含有绝对值的函数问题有一定的难度，解决方法是根据绝对值的定义或者用换元法去掉绝对值符号，本题中函数为周期函数，因此可有一个周期内进行讨论，从而容易去掉绝对值符号，把函数化简．在与同时出现时，设，用换元法变换函数式进行研究是常用方法．
5．（多选）（2025·安徽合肥·模拟预测）对于函数和，下列正确的有（ ）
A．与有相同零点
B．与有相同最大值
C．与有相同的最小正周期
D．与的图象有相同的对称轴
【答案】BCD
【分析】求出两函数的零点判断A；根据最大值判断B；求出两函数的最小正周期判断C；求出两函数的对称轴判断D.
【详解】令，解得：；令，解得：；
所以与零点不相同，故A错误；
与有相同最大值1，故B正确；
与与的最小正周期都是，
所以函数和最小正周期都为，故C正确；
与有相同的对称轴为，故D正确.
故选：BCD.
三角函数的图像变换
解｜题｜策｜略 1、三角函数的变换与函数的变换方法一致 左右移动：变量左加右减，如左移k个单位， 上下移动：函数值y上加下减，如上移k个单位， 横坐标的伸缩：横坐标放大k倍，则变，横坐标缩小倍，则变 注意：上下移动或横坐标的伸缩都是针对变量的变换 2、根据变换后的图像求原解析式跟整个变换过程，是整个变换过程的逆过程。 用变化后得到的解析式，按照所有的变换步骤从最后一步到第一步进行。 将每步的变换步骤变成逆变换，如左移变右移，上移变下移，扩大变缩小。 用检验的方式再从原图像按照原变换步骤，看看是否能得到变换后解析式。 在变换的过程中分先平移后伸缩和先伸缩后平移两种。
1．（2025·四川泸州·一模）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到图象对应的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用三角函数图象变换规则，先对函数进行伸长变换，再对所得图象进行向右平移变换，最终得出函数解析式．
【详解】若把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
则需将替换为，即，
再把所得图象向右平移个单位长度，则需将替换为，
即，
最终得到的函数解析式为，故D正确．
故选：D．
2．（2026·陕西咸阳·一模）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】A
【分析】根据三角函数的图象变换规则进行选择.
【详解】因为，
所以将的图象向左平移个单位，可得函数的图象.
故选：A
3．（2025·安徽·二模）已知函数的一个零点是，为了得到的图象，需要将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】A
【分析】根据零点，代入可得，再利用辅助角公式化简得，再根据平移变换求解即可．
【详解】依题意，得，得，
所以，
，
了得到的图象，需要将函数的图象,
需要将函数的图象向左平移个单位长度．
故选：A．
4．（2026·重庆九龙坡·一模）将函数的图象平移得到的图象，且直线为曲线在y轴右侧的首条对称轴，则上述的平移方式可以是（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】C
【分析】根据题意结合函数对称性可得，解得，进而图象变换逐项分析判断即可.
【详解】若，则，
因为直线为曲线在y轴右侧的首条对称轴，
则，解得，得，，
A：将函数的图象向左平移个单位，得，不合题意，故A错误；
B：将函数的图象向右平移个单位，得，不合题意，故B错误；
C：将函数的图象向左平移个单位，得，符合题意，故C正确；
D：将函数的图象向右平移个单位，得，不合题意，故D错误；
故选：C.
5．（2026·陕西宝鸡·一模）将函数的图象向左平移后得到的图象，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的图象变换规则即可求解.
【详解】依题意，函数的图象向左平移后得到的图象，即，即的解析式为.
故选：C.
根据三角函数图像求解析式及其性质
解｜题｜策｜略 根据给出的三角函数图像，从图像上寻找跟周期有关的信息，根据周期求。如是否有最值得跟零点，是否有y值相等的点，从这些信息可以求出周期。 对图像上给出横纵坐标的点，用这些点的信息可以求出 从图像的最值计算出值 根据解析式以及图像可以求函数的单调性、对称性、奇偶性、最值等。 注意：在图像求解析式的时候，关于零点的使用，在图像中零点也是有区别的。有的零点连接函数从正道负的，有的零点连接函数从负到正，在使用零点求值的时候要区分这点。
1．（多选）（2025·浙江·二模）已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．函数图象的一个对称中心为
D．函数在上恰有5个零点，则实数的取值范围为
【答案】AD
【分析】对于A，首先求得，由结合求出即可判断；对于B，求导代入即可判断；对于C，由对称中心的纵坐标为即可判断；对于D，通过换元法即可判断.
【详解】对于A，由图可知，，，
解得，
所以，
而，从而，
解得，又因为，所以只能，
所以，故A正确；
对于B，对求导得，
所以，故B错误；
对于C，的对称中心的纵坐标应该是，故不是函数的对称中心，故C错误；
对于D，，，
将方程的根从小到大排列可得：，
因为函数在上恰有5个零点，
所以有五个根，
所以，解得，故D正确.
故选：AD.
2．（多选）（2025·甘肃武威·模拟预测）函数的部分图象如图所示，，是的2个零点，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．的最小值为
C．当取最小值时，的最大值为
D．若在区间上至少有10个零点，则的最小值为
【答案】ABD
【分析】本题考查三角函数的图象与性质，可先根据函数图象求出函数的表达式，再根据三角函数的性质逐一分析选项即可。
【详解】由图象知，，则，根据周期公式，可得.
又因为函数的最大值为3，最小值为，所以
当时，取得最小值，即，解得.
.
A：根据余弦函数的对称中心公式，令可得的对称中心为，
当时，对称中心为，所以的图象关于点对称，故A正确。
B：因为是的两个零点，令，则，
所以或，解得，或，
根据题意，取，，所以，
当时，，故其相邻零点的最小间距为，故B正确.
C：当取最小值时，，
不妨设，所以，则=
所以的最大值为，故C错误.
D：令，则，
所以或，解得，或，
所以在上的10个零点依次为：，，，，.
由在区间上至少有10个零点，则
故的最小值为，故D正确；
故选：ABD.
【点睛】方法点睛： 的解析式的确定：
（1）由最值确定；
（2）由周期确定；
（3）由图象上的特殊点确定.
提醒：根据“五点法”中的零点求时，一般先根据图象的升降分清零点的类型.
3．（多选）（2025·广东江门·模拟预测）已知函数的部分图象如图，则（ ）
A．
B．为奇函数
C．在上单调递增
D．当在上恰有3个零点时，的取值范围是
【答案】ACD
【分析】由图象可知求出周期，再利用周期公式可求出，再求得，利用求得，求出的解析式判断A；求出判断B；利用正弦函数单调性求解单调区间判断C；结合图象求出零点，列不等式即可求解判断D.
【详解】由图象可知，则，所以，，得，由图可知，，所以，
因为，所以，又，所以，
所以，故A正确；
，
定义域为R，且，所以为偶函数，所以B错误；
对于C，由，得，
当时，，所以在上单调递增，所以C正确；
对于D，由的周期为和题干图象可知，
当在上恰有3个零点时，零点为，
又y轴右侧的第四个零点为，
所以，即的取值范围是，所以D正确.
故选：ACD
4．（多选）（2025·福建厦门·二模）已知函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的一个对称中心是
B．
C．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得到函数的图象
D．函数在上有5个零点，则的取值范围为
【答案】BC
【分析】根据图象求得函数解析式，再根据正弦型函数的图象与性质逐项判断即可.
【详解】由题图可知，，所以，所以，
由，得，
由，解得，所以．
对于A，令，则，,故A错误；
对于B，，，故B正确；
对于C，函数变换后的解析式为，因为，即为函数，故C正确；
对于D，因为，得，令，则，
由正弦函数图象可知，，解得，故D错误．
故选：BC
5．（多选）（2025·海南·模拟预测）已知函数，若函数与其导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的图象在关于点中心对称
C．的最大值为
D．当时，函数有4个零点
【答案】AC
【分析】由三角函数的性质先求出，由可判断A；求解可判断B；化简，由三角函数的性质可判断C；化简可将题意转化为求在的交点个数，可判断D.
【详解】，，
由题意可得：，所以，所以，
又因为函数过，所以，
解得：，因为，所以，
所以，
对于A，，故A正确；
对于B，，所以，
，故B错误；
对于C，，
其中，的最大值为，故C正确；
对于D，令
，，
令，即，
画出在的图象知，
在有8的交点，
所以当时，函数有8个零点，故D错误.
故选：AC.
（建议用时：30分钟）
1．（2025·陕西汉中·三模）函数的一个单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用整体代入法结合余弦函数的性质可求单调减区间.
【详解】由，得，
故的单调减区间为，
对比各选项，只有C符合.
故选：C.
2．（2025·四川·三模）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由三角函数的周期性以及单调性，逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A，最小正周期为，由，得，则单调递减，故A错误；
对于B，最小正周期为，由，得，则单调递减，故B错误；
对于C，最小正周期为，当时，单调递减，故C错误；
对于D，最小正周期为，当时，单调递增，故D正确；
故选：D
3．（25-26高三上·新疆·月考）函数的最小正周期和最大值分别为（ ）
A．和3 B．和2 C．和3 D．和2
【答案】A
【分析】借助降幂公式可将原函数化为余弦型函数，再利用余弦型函数性质计算即可得解.
【详解】，
则最小正周期，最大值为3.
故选：A.
4．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，则“”是“是奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.
【详解】若，则，
所以，
则，即，
当为奇数时，，为奇函数，
当为偶数时，，为奇函数，
故充分性满足；
若是奇函数，则，即，
即，故必要性也满足；
所以“”是“是奇函数”的充要条件.
故选：C
5．（2026·湖北·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数图象的平移变换，可得，根据函数图象关于原点对称的性质可列方程，得，再结合即可得解.
【详解】的图象向左平移个单位长度，
可得，若图象关于原点对称，
则满足，得，
因为，故当时，取得最小值，
故选：C.
6．（2025·云南大理·模拟预测）若函数与函数（，）图象的对称中心完全一致，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，可算出与的周期相等，由此可求出，然后根据正弦曲线、正切曲线的对称性，分别求出两个函数图象的对称中心，建立关于的等式，进而求出满足条件的值.
【详解】因为函数，的相邻对称中心的距离都是半个周期，
且函数与函数图象的对称中心完全一致，
故函数与的周期相等，
又函数的周期，∴，
∴，
∴，
令（），故（），
令（），则（），
故（，），
解得（，），
又，所以.
故选：.
7．（2025·海南·模拟预测）已知函数在上有两个不同的零点，，则 ．
【答案】
【分析】转化为在上有两个不同的零点，根据是一条对称轴，得，再求即可.
【详解】由，得，
则在上有两个不同的零点，
，可知是一条对称轴，
所以关于对称，即，
即．所以，
所以
.
故答案为：．
8．（2025·天津和平·二模）函数（，，）的部分图象如图所示，要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
C．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
D．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
【答案】A
【分析】由图象，根据正弦函数的图象与性质求得，结合三角函数图象的平移伸缩变换即可求解.
【详解】由图可知，，得，
又，由解得；
将点代入，得，
在函数单调减区间上，则，，
解得，又，所以，.
得.
将的图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度，
得的图象.
故选：A
6．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数，则（　　）
A．的最小正周期为
B．的一个对称中心是
C．当时，的值域为
D．将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称
【答案】ACD
【分析】对A，化简函数，由周期计算公式求解判断；对B，求出的对称中心判断；对C，由的性质求解；对D，由图象变换得到的解析式的奇偶性判断.
【详解】对于A：
，
则周期，A正确；
对于B：由得，所以的对称中心为，
因为无整数解，B错误；
对于C：因为，所以，
因为在单调递减，在单调递增，
所以当，即时，取得最大值，
当，即时，取得最小值，
所以的值域为，C正确；
对于D：向右平移个单位长度，得到，
因为函数是偶函数，所以图象关于轴对称，D正确；
故选：ACD.
9．（2026·重庆·一模）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A．
B．
C．的最小正周期为
D．将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于点对称
【答案】BCD
【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出，再结合正弦函数的图象性质逐项分析判断.
【详解】依题意，，解得，
函数的周期，
解得，则，由，得，
而，则，解得，A错误；
因此，
对于B，，B正确；
对于C，如下图：的最小正周期为，C正确；

对于D，，，
由正弦函数图象性质可知：的图象关于点对称，D正确；
故选：BCD
10．（2025·云南·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，将图象上每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减
【答案】BC
【分析】根据正弦函数的图像确定的表达式，然后根据三角函数的变换求出的表达式，然后根据正弦函数的对称轴、单调性等知识判断选项即可.
【详解】由图得，，故，
由，得，
由图知在上单调递增，所以，，
又，所以，，所以，
所以，故A错误，B正确；
因为，故直线是的图象的一条对称轴，C正确；
由，得，
令，得，而，
所以在上单调递减，在上单调递增，故D错误.
故选：BC.
11．（2026·河北沧州·一模）已知函数，满足，且对任意，都有，则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．在上的值域为
C．的单调递增区间为
D．若方程在区间上恰有五个不等的实根，则的取值范围为
【答案】AC
【分析】由题意得到对称中心和最大值点，从而求出，得到函数的解析式，根据正弦函数的性质判断A、B、C；对于D，根据条件得到，作出函数图象，结合函数图象判断的取值范围.
【详解】对于A，因为函数满足，
所以的图象关于点对称，则有，
即．
对任意，都有，则为最大值，
所以，
则有，因为，所以，
所以函数的解析式为．
对于A，当时，，此时取得最小值，
故的图象关于直线对称，A正确；
对于B，因为，所以，
所以，所以函数的值域为，B错误；
对于C，令，
解得，
所以的单调递增区间为，C正确；
对于D，，则，
令则在上的图象如下，
当时，，
由图可知，要使得函数图象在上与直线的交点只有5个，
那么应在点（包括）的横坐标之间时符合题意．
所以令，则或，
同理令，解得或，
所以点的横坐标依次为，
所以，解得，D错误．
故选：AC．
12．（2025·广东广州·三模）已知函数，则下列结论一定正确的是（ ）
A．的图象关于轴对称 B．的值域是
C．的最小正周期为 D．不是中心对称函数
【答案】ABD
【分析】利用奇函数、周期函数的定义判断AC；利用周期性、单调性分析判断BD.
【详解】对于A，函数的定义域为R，
，A正确；
对于C，，是函数的周期，C错误；
对于B，由选项C知，当时，，，值域为，B正确；
对于D，由选项B知，函数在上单调递增，在上单调递减，
在上的图象关于直线对称，无对称中心，又的周期是，
因此函数的图象无对称中心，D正确.
故选：ABD
13．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知函数图像如图所示，分别为图像的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于，且，，与轴的交点为．则下列说法正确的有（ ）．
A．函数的解析式为
B．函数的一个极大值点为
C．函数的对称中心为
D．函数在区间上单调递增
【答案】ACD
【分析】根据图象和已知条件可求出函数的解析式，然后根据正弦函数的极大值点、对称中心、单调性等性质对选项逐一计算即可.
【详解】由题意，因为，所以，
根据勾股定理，解得．所以，
又与轴的交点为，可得，且图象在点是单调递减的，
解得（舍）或，所以，故A正确．
B中，令，，解得，，所以B不正确；
C中，令，，解得，，
即函数的对称中心为，，所以C正确；
D中，，可得，即函数在给定区间内单调递增，所以D正确．
故选：ACD．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑