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专题3.2 三角函数恒等变换及求值求角
近三年： 三角恒等变换及求值求角是近3年高考的命题热点与难点，常作为选择题、填空题的重点题型出现，难度覆盖中档及以上，也是部分解答题的考查起点。 其本质是考查学生对三角函数公式体系的理解深度和灵活运用能力，核心在于通过公式的转化与变形，建立已知与未知之间的“桥梁”。从近三年高考命题来看，对恒等变换的考查已从单纯的公式套用，转向对公式内在联系、变形技巧以及综合应用能力的考察。 命题常通过以下形式呈现： 给值求值型：这是最基础、最高频的考法。提供某一个或几个三角函数值，要求利用诱导公式、同角关系、两角和差公式、二倍角公式等进行链式求值。题目常涉及“角的变换”（如拆角、拼角：α = (α+β) - β等）和“名的变换”（如弦切互化）。 给值求角型：难度通常高于给值求值。给出三角函数值，要求确定对应角的大小。其难点在于必须首先确定所求角的取值范围，然后选择合适的三角函数进行求值，并注意结合函数单调性判断角的唯一性。 综合化简与求值型：题目可能以一个复杂的三角表达式呈现，要求先通过恒等变换（如降幂、辅助角公式、和差化积/积化和差等）进行化简，再求值或研究性质。辅助角公式（化一法）是此类问题的核心工具。 创新交汇型：恒等变换的知识越来越多地作为工具，与解三角形、平面向量、函数性质乃至实际应用问题紧密结合，成为解决综合问题的关键步骤 预测2026年： 三角恒等变换及求值求角问题将继续是高考数学的稳定考点和重要能力检验点。命题将更加注重思维的过程性、技巧的灵活性与知识的交汇性。 其考查可能更加侧重于： 公式的深度理解与逆用、变形用：单纯正用公式的题目减少，更多地考查公式的逆用和变形，如降幂公式、的辅助角合一变形等。对 “1”的巧妙代换（）等技巧要求更高。 复杂情境下的“变角”与“变名”艺术：“角的变换”将成为解题的核心枢纽。题目可能通过设置非特殊角、复合角关系，要求学生敏锐地发现诸如等角之间的关系，进行拆解与组合。 与模块知识的深度融合：与解三角形的结合：在解三角形大题中，利用恒等变换化简关于角的复杂等式，进而判断三角形形状或求角，是经典且热门的考向。 与函数、方程、不等式的结合：将三角表达式化简为单一三角函数后，利用其有界性、单调性求范围与最值的问题，或含参数的三角方程问题，综合度会提升。 探索对非课标要求公式的理解应用：虽然“积化和差、和差化积、半角公式”等不要求记忆，但高考题中可能会在题目中给出或暗示这些公式，考查学生的即时学习与应用能力。复习中必须理解其推导过程。
给角求值（特殊角求值）
解｜题｜策｜略 1、先观察角的关系:寻找互补、互余、和差为特殊角的组合,注意角的倍数关系（二倍、半角等） 2、化简方向:统一角 → 统一函数 → 化简求值,或直接应用恒等变换消去非特殊角 3、常用方法： 诱导公式法化为锐角三角函数口诀：奇变偶不变，符号看象限 和差化积/积化和差出现三角函数乘积时考虑目标：产生特殊角或相消项 倍角/半角公式出现角的倍数关系时使用 辅助角公式化为单一三角函数求最值/零点 代数变形技巧通分、分解因式、配方
1．（多选）（25-26高一上·河北石家庄·月考）下列各式结果为1的有（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三上·广西·月考）计算（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高三·全国·专题练习）（ ）
A． B． C． D．2
4．（2025高三上·安徽六安·专题练习）=（ ）
A．16 B．32 C． D．
4．（多选）（25-26高一上·湖南张家界·期末）下列表达式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
给角求值（两角和差正切公式的应用）
解｜题｜策｜略 对于两角和差的正切公式的应用： 对于两角和差的正切公式的逆用:
1．（25-26高一下·全国·课后作业）化简求值：
2．（2025高三·全国·专题练习） ．
3．（2025·陕西安康·模拟预测）计算：（ ）
A． B．1 C． D．
4．（25-26高三上·河南南阳·期中）tan（ ）
A．0 B． C．2 D．
5．（2025高三·全国·专题练习）化简求值：
(1)；
(2)．
给值求值（两角和差公式拆角、拼角）
解｜题｜策｜略 两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 在运用两角和与差的三角函数公式时，若已知两角各自的正余弦或正切时，则可以直接套用公式计算。 注意角的拆分，通过合理的拆分、配凑把要求的角拆成两个已知三角函数值的角。常见的一些拆角： 在已知正弦或者余弦求另外一个值的时候，要注意角的范围确定三角函数在的正负性。 注意角的范围，在计算值正负性的时候比较重要。
1．（2025·海南·模拟预测）若，且为锐角，为钝角，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·甘肃·一模）若，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·广西·模拟预测）已知，则 （ ）
A． B．5 C． D．
4．（2025·江苏南京·模拟预测）若，，且都为锐角，则（ ）
A． B． C． D．1
5．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
给值求值（利用正余弦乘积求两角和差正余弦）
解｜题｜策｜略 1、对而言，可以把，看着两个整体，通过直接求这两个值来求。通常条件中出现三者关系时。 2、对而言，可以把，看着两个整体，通过直接求这两个值来求。通常条件中出现三者关系时。
1．（多选）（2025·黑龙江·二模）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·陕西渭南·三模）已知，则 .
3．（25-26高三上·山东临沂·期中）若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·湖南·一模）已知，则（　　）
A． B． C． D．
5．（25-26高三上·湖南常德·开学考试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
给值求值（两角和差公式的逆用）
解｜题｜策｜略 ①； ②； 通过公式逆用计算出两角和与差的正余弦值。
1．（2025·浙江金华·二模）已知，则 .
2．（2025·湖北·模拟预测）已知，且，则 ．
3．（2025·四川成都·模拟预测）已知，是第三象限角，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·河南·三模）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高一下·广东佛山·月考）已知满足，则 ．
给值求值（弦化切）
解｜题｜策｜略 1、对于题目中给出的分式恰好是正余弦的一次比一次的齐次式或二次比二次的齐次式，则可以上下同除来构造 2、对于题目中给出的式子每项都是二次式，这时可以用“1 = ”来构造一个二次的分式齐次式，上下同除，从而得到
1．（2025·河南·模拟预测）已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·重庆·模拟预测）若 ，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
3．（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·四川眉山·模拟预测）已知，且，则（ ）
A． B． C．或-1 D．1或
5．（25-26高三上·山西大同·期中）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
给值求值（利用平方）
解｜题｜策｜略 1、对 通过该关系式可以对与进行互化。 2、遇到式子时，可以考虑平方相加。 3、遇到时，可以考虑构造对偶式,平方相加后求值。
1．（2025·江西·二模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·安徽·模拟预测）已知，，则 ， .
3．（2025·陕西·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·湖北黄冈·一模）若，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·山东青岛·三模）若，，则 ．
给值求值（二倍角公式、半角公式、降幂公式应用）
解｜题｜策｜略 二倍角公式 ①； ②； ③； 降幂公式 ； 在求值的时候要注意角的范围，讨论正负。 半角公式 ①； ②； ③；
1．（2026·四川广安·一模）若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·湖北宜昌·模拟预测）已知，为第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．2
3．（2026·广西南宁·一模）已知，则＝（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·江西景德镇·模拟预测）若,则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·重庆·模拟预测）若，且，，则（ ）
A． B． C． D．
给值求角
解｜题｜策｜略 在给值求角的问题时，主要问题在讨论角的象限。这是可以通过正余弦在不同象限的正负性来确定。在讨论角的范围时，结合已知条件中的角的范围，以及三角函数值的符号，尽量缩小角的范围，防止产生增根。
1．（2025·江西宜春·二模）若，，则 .
2．（2025·河南·一模）已知，则角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·新疆·二模）设，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·海南海口·模拟预测）已知，写出符合条件的一个角的值为 .
5．（24-25高三上·湖北荆州·月考）已知且，，则（ ）
A． B． C． D．
万能公式、辅助角公式
解｜题｜策｜略 万能公式 cos 辅助角公式 （其中）． 通过辅助角公式化简后研究函数的单调性、最值、周期与对称性。
1．（2025·四川德阳·模拟预测）已知函数，，则的最大值与最小正周期分别为（ ）
A．3， B．3， C．， D．，
2．（内蒙古巴彦淖尔市2025-2026学年高一上学期期末数学试题）已知函数的最大值为，则的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026高二上·云南·学业考试）已知函数，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高三·全国·专题练习）求函数的最值．
5．（2025高三·全国·专题练习）化简．
（建议用时：30分钟）
1．（25-26高三上·广东·期中）计算的值为 .
2．（多选）（25-26高三上·山东淄博·期中）下列化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·全国·二模）已知，则 ．
4．（24-25高一下·江苏常州·月考）在中，若，则 .
5．（2026·河南鹤壁·一模）已知，且，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2024·黑龙江大庆·一模）已知，且，则（ ）
A．-1 B． C． D．
7．（24-25高三下·重庆·月考）设是方程的两根，且，则（ ）
A． B． C．或 D．
8．（多选）（25-26高二上·安徽淮南·开学考试）已知，为锐角，，，则（ ）
A． B．
C． D．
9．（2026高一上·重庆·专题练习）已知，且，则的最大值为 ．
10．（2025高三·全国·专题练习）已知，求和．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题3.2 三角函数恒等变换及求值求角
近三年： 三角恒等变换及求值求角是近3年高考的命题热点与难点，常作为选择题、填空题的重点题型出现，难度覆盖中档及以上，也是部分解答题的考查起点。 其本质是考查学生对三角函数公式体系的理解深度和灵活运用能力，核心在于通过公式的转化与变形，建立已知与未知之间的“桥梁”。从近三年高考命题来看，对恒等变换的考查已从单纯的公式套用，转向对公式内在联系、变形技巧以及综合应用能力的考察。 命题常通过以下形式呈现： 给值求值型：这是最基础、最高频的考法。提供某一个或几个三角函数值，要求利用诱导公式、同角关系、两角和差公式、二倍角公式等进行链式求值。题目常涉及“角的变换”（如拆角、拼角：α = (α+β) - β等）和“名的变换”（如弦切互化）。 给值求角型：难度通常高于给值求值。给出三角函数值，要求确定对应角的大小。其难点在于必须首先确定所求角的取值范围，然后选择合适的三角函数进行求值，并注意结合函数单调性判断角的唯一性。 综合化简与求值型：题目可能以一个复杂的三角表达式呈现，要求先通过恒等变换（如降幂、辅助角公式、和差化积/积化和差等）进行化简，再求值或研究性质。辅助角公式（化一法）是此类问题的核心工具。 创新交汇型：恒等变换的知识越来越多地作为工具，与解三角形、平面向量、函数性质乃至实际应用问题紧密结合，成为解决综合问题的关键步骤 预测2026年： 三角恒等变换及求值求角问题将继续是高考数学的稳定考点和重要能力检验点。命题将更加注重思维的过程性、技巧的灵活性与知识的交汇性。 其考查可能更加侧重于： 公式的深度理解与逆用、变形用：单纯正用公式的题目减少，更多地考查公式的逆用和变形，如降幂公式、的辅助角合一变形等。对 “1”的巧妙代换（）等技巧要求更高。 复杂情境下的“变角”与“变名”艺术：“角的变换”将成为解题的核心枢纽。题目可能通过设置非特殊角、复合角关系，要求学生敏锐地发现诸如等角之间的关系，进行拆解与组合。 与模块知识的深度融合：与解三角形的结合：在解三角形大题中，利用恒等变换化简关于角的复杂等式，进而判断三角形形状或求角，是经典且热门的考向。 与函数、方程、不等式的结合：将三角表达式化简为单一三角函数后，利用其有界性、单调性求范围与最值的问题，或含参数的三角方程问题，综合度会提升。 探索对非课标要求公式的理解应用：虽然“积化和差、和差化积、半角公式”等不要求记忆，但高考题中可能会在题目中给出或暗示这些公式，考查学生的即时学习与应用能力。复习中必须理解其推导过程。
给角求值（特殊角求值）
解｜题｜策｜略 1、先观察角的关系:寻找互补、互余、和差为特殊角的组合,注意角的倍数关系（二倍、半角等） 2、化简方向:统一角 → 统一函数 → 化简求值,或直接应用恒等变换消去非特殊角 3、常用方法： 诱导公式法化为锐角三角函数口诀：奇变偶不变，符号看象限 和差化积/积化和差出现三角函数乘积时考虑目标：产生特殊角或相消项 倍角/半角公式出现角的倍数关系时使用 辅助角公式化为单一三角函数求最值/零点 代数变形技巧通分、分解因式、配方
1．（多选）（25-26高一上·河北石家庄·月考）下列各式结果为1的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】利用倍角公式可求AB，利用两角差的正切公式可求C，对于D，化切为弦，结合辅助角公式即可求解.
【详解】对于A：，所以A错误；
对于B：，所以B错误；
对于C：，所以C正确；
对于D：
，所以D正确，
故选：CD．
2．（24-25高三上·广西·月考）计算（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由两角和差的正弦公式求出，再代入原式求解即可.
【详解】，
代入原式可得.
故选：A.
3．（2025高三·全国·专题练习）（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】先利用二倍角的余弦公式化简，再将化为，利用两角和与差的正弦公式可求三角函数式的值
【详解】
.
故选：A.
4．（2025高三上·安徽六安·专题练习）=（ ）
A．16 B．32 C． D．
【答案】B
【分析】利用互余关系通分，再利用平方关系消元，利用正弦、余弦二倍角公式降次，最后利用积化和差公式变形化简即可.
【详解】由
故选：B
4．（多选）（25-26高一上·湖南张家界·期末）下列表达式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】选项A，逆用余弦差角公式求解.选项B，利用正切二倍角公式求解.选项C，利用进行替换即可.选项D，利用平方差公式化简之后，再利用二倍角公式化简.
【详解】选项 A，，选项A正确.
选项 B，，选项B正确.
选项 C，，选项C错误.
选项 D，
(
，选项D错误.
故选：AB
给角求值（两角和差正切公式的应用）
解｜题｜策｜略 对于两角和差的正切公式的应用： 对于两角和差的正切公式的逆用:
1．（25-26高一下·全国·课后作业）化简求值：
【答案】
【分析】由题意结合两角和的正切公式可得，化简即可得解.
【详解】，
，
原式
2．（2025高三·全国·专题练习） ．
【答案】
【分析】利用两角和的正切公式分别求出与的值即可.
【详解】∵
，
，
∴．
故答案为：4.
3．（2025·陕西安康·模拟预测）计算：（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根据两角和的正切公式化简即可．
【详解】因为，
所以，
所以
，
故选：D．
4．（25-26高三上·河南南阳·期中）tan（ ）
A．0 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用两角和的正切公式，进行化简求值，即可得到答案.
【详解】由，
，
所以，原式．
故选：B．
5．（2025高三·全国·专题练习）化简求值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要涉及三角函数的两角和正切公式 及其变形的应用,对于第一小问，需要利用和，和等角度和为的关系进行化简；对于第二小问，直接利用两角和正切公式的变形来求解.
【详解】（1）解法1：由，
同理得，…
，
以上各式相乘得原式．
解法2：用倒序积求解．
设，
，
从而，
所以．
（2）解法1：因为，
所以，
所以．
解法2：
．
给值求值（两角和差公式拆角、拼角）
解｜题｜策｜略 两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 在运用两角和与差的三角函数公式时，若已知两角各自的正余弦或正切时，则可以直接套用公式计算。 注意角的拆分，通过合理的拆分、配凑把要求的角拆成两个已知三角函数值的角。常见的一些拆角： 在已知正弦或者余弦求另外一个值的时候，要注意角的范围确定三角函数在的正负性。 注意角的范围，在计算值正负性的时候比较重要。
1．（2025·海南·模拟预测）若，且为锐角，为钝角，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先确定的范围，再根据同角三角函数的关系求得的值，利用，可求，最后根据，运用余弦差角公式求值即可.
【详解】由题意可知，，
所以，，得，
又，且，所以，
.
故选：B．
2．（2025·甘肃·一模）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用两角差的余弦公式可求得的值.
【详解】因为，则，
所以，，
因此，
.
故选：C.
3．（2025·广西·模拟预测）已知，则 （ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【分析】结合和差角公式及同角基本关系进行化简即可求解．
【详解】因为，
所以，
所以，
即，
所以，即
故选：A.
4．（2025·江苏南京·模拟预测）若，，且都为锐角，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】先利用同角的正余弦的平方关系可求得，，再根据，利用两角差的正弦公式求值即可.
【详解】因为都为锐角，所以，所以，，
所以，
因为。，所以，
因为，，
所以，
所以
.
故选：D.
5．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，展开即可求解.
【详解】，
，
两式联立可得，
故选：A
给值求值（利用正余弦乘积求两角和差正余弦）
解｜题｜策｜略 1、对而言，可以把，看着两个整体，通过直接求这两个值来求。通常条件中出现三者关系时。 2、对而言，可以把，看着两个整体，通过直接求这两个值来求。通常条件中出现三者关系时。
1．（多选）（2025·黑龙江·二模）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】由三角恒等变换结合同角的三角函数和二倍角公式逐项判断即可.
【详解】对于A，，
所以，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误；
故选：AC.
2．（2025·陕西渭南·三模）已知，则 .
【答案】
【分析】由两角和正弦公式及切化弦得到，进而可求解.
【详解】由，
可得，
由，可得：，
即，
联立可得：，
所以，
故答案为：
3．（25-26高三上·山东临沂·期中）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用两角差的正弦公式和切化弦可求得，，进而利用两角和的正弦公式可求得值.
【详解】因为，
所以，
又，
所以，
所以，，
所以，
故选：C
4．（2025·湖南·一模）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由两角和的正弦结合弦切互化化简即可.
【详解】，
又，
，，
又由，得，
，即．
故选：B
5．（25-26高三上·湖南常德·开学考试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由求得和得代入的展开式即得结果.
【详解】由得①
由，得，即②
所以，，
所以.
故选：C.
给值求值（两角和差公式的逆用）
解｜题｜策｜略 ①； ②； 通过公式逆用计算出两角和与差的正余弦值。
1．（2025·浙江金华·二模）已知，则 .
【答案】/
【分析】由正弦的和差角公式代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，
即，所以.
故答案为：
2．（2025·湖北·模拟预测）已知，且，则 ．
【答案】/
【分析】利用两角和的余弦公式可求得，进而利用同角间的三角函数的关系可求得.
【详解】因为，
所以，
所以，即，
又因为，所以，
所以.
故答案为：.
3．（2025·四川成都·模拟预测）已知，是第三象限角，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据两角差的正弦公式得，再根据同角三角函数关系式以及两角和的正弦公式，即可求解.
【详解】，
，又是第三象限角，．
从而.
故选：B
4．（2025·河南·三模）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意利用两角和差公式可得，进而可得，进而可求.
【详解】因为，
即，可得，
即，．
因为，则，
可得，
又因为，
可得．
所以．
故选：D.
5．（24-25高一下·广东佛山·月考）已知满足，则 ．
【答案】
【分析】由条件可得，结合两角差的正切公式即可求解.
【详解】由，
可得：，
即，
所以，
故答案为：
给值求值（弦化切）
解｜题｜策｜略 1、对于题目中给出的分式恰好是正余弦的一次比一次的齐次式或二次比二次的齐次式，则可以上下同除来构造 2、对于题目中给出的式子每项都是二次式，这时可以用“1 = ”来构造一个二次的分式齐次式，上下同除，从而得到
1．（2025·河南·模拟预测）已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由三角函数的定义得到，再结合同角三角函数商的关系弦化切即可求解.
【详解】由角终边经过点，得，
所以，
故选：B
2．（2025·重庆·模拟预测）若 ，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】D
【分析】将条件式分别利用和差角公式展开，两式相比弦化切得解.
【详解】由，得，
，即，
即得，即.
故选：D.
3．（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用同角三角函数之间的关系及二倍角公式化简求值即可.
【详解】因为，所以，又，
所以
.
故选：A.
4．（2025·四川眉山·模拟预测）已知，且，则（ ）
A． B． C．或-1 D．1或
【答案】A
【分析】利用二倍角公式化简求解即可.
【详解】因为，所以，
即，得，
因此，或，又时，,
所以或，
又因为时，所以，所以.
故选：A
5．（25-26高三上·山西大同·期中）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由两角和差正切公式得到，再结合余弦二倍角公式即可求解.
【详解】解析：，可化为，
即，即，解得，
又.
故选：B.
给值求值（利用平方）
解｜题｜策｜略 1、对 通过该关系式可以对与进行互化。 2、遇到式子时，可以考虑平方相加。 3、遇到时，可以考虑构造对偶式,平方相加后求值。
1．（2025·江西·二模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由有，由有，由①+②即可求解.
【详解】由有，，即，
由有，，即②，
①+②得，，
即，则，解得.
故选：B.
2．（2025·安徽·模拟预测）已知，，则 ， .
【答案】
【分析】将已知式子平方结合两角和的余弦公式与差的余弦公式计算即得.
【详解】因为，，
所以，将两个等式分别平方可得：
①，
②.
① + ②， 得 ，
则 ，
② - ①，得：
，
则 .
将 代入上式，可得 .
故答案为：；
3．（2025·陕西·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由正余弦二倍角公式，，结合即可求解．
【详解】因为，
则，
所以．
故选：A．
4．（2025·湖北黄冈·一模）若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件，利用平方关系得到，进而得，再代入，利用和差角的余弦公式，计算即得.
【详解】由两边取平方，可得①，
由，两边取平方，可得②，
由①②得到，整理得到，
又，解得，即，
将其代入，可得，即，
即，所以，
故得.
故选：A.
5．（2025·山东青岛·三模）若，，则 ．
【答案】/
【分析】将题干中的两个式子均平方，再相加即可求出.
【详解】由题意可得，，
，
两式相加得，，即.
故答案为：
给值求值（二倍角公式、半角公式、降幂公式应用）
解｜题｜策｜略 二倍角公式 ①； ②； ③； 降幂公式 ； 在求值的时候要注意角的范围，讨论正负。 半角公式 ①； ②； ③；
1．（2026·四川广安·一模）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】因为，进而根据诱导公式与二倍角公式求解即可.
【详解】因为，
所以
故选：B
2．（2026·湖北宜昌·模拟预测）已知，为第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】利用，解出的值，再利用倍角公式可得答案.
【详解】已知，且为第二象限角，
设，，则有方程组，
消元得，解得或，
当时，；当时，，
由于为第二象限角，需满足，，故舍去的解，
因此，，
利用倍角公式计算.
故选：D
3．（2026·广西南宁·一模）已知，则＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式可得，由诱导公式可得，结合条件可求结论.
【详解】，
且，
故，
故.
故选：A
4．（2025·江西景德镇·模拟预测）若,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二倍角公式、诱导公式等求解即可.
【详解】,
,,
.
故选：B.
5．（2024·重庆·模拟预测）若，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据两角和与差求解的余弦公式求解，进而求出，求出，利用二倍角求出
【详解】由，则,
由，
所以，则，
则，
故.
故选：D
给值求角
解｜题｜策｜略 在给值求角的问题时，主要问题在讨论角的象限。这是可以通过正余弦在不同象限的正负性来确定。在讨论角的范围时，结合已知条件中的角的范围，以及三角函数值的符号，尽量缩小角的范围，防止产生增根。
1．（2025·江西宜春·二模）若，，则 .
【答案】/
【分析】根据条件，利用余弦的和差角公式得到，再利用的范围及的性质，即可求解.
【详解】因为，
所以，则，
整理得到，
又因为，当时，，不合题意，
当时，，则，
所以，，
由，得到，解得，
故答案为：.
2．（2025·河南·一模）已知，则角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由，代入得到，再结合基本不等式即可求解.
【详解】由题意得，
可得，
.
令，
则，当且仅当，即时，等号成立.
而是锐角，则.
故选：B.
3．（2024·新疆·二模）设，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据同角的商数关系以及两角差的正弦公式，利用诱导公式即可得出结果.
【详解】由题设，所以，
因为，则，又因为，则，
又，
所以，解得．
故选：B
4．（2024·海南海口·模拟预测）已知，写出符合条件的一个角的值为 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题目条件得到和，从而求出，进而求出角的值.
【详解】，
故，
，即，
故，
故，即，
则，
则，
可取.
故答案为：
5．（24-25高三上·湖北荆州·月考）已知且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用两角差的正弦公式结合求，注意确定角的范围，然后得出结论．
【详解】因为且，函数在上单调递减，
，，
又，，所以，
，
，，
所以，
又，，所以，结合，可得，
所以，所以，
故选：A．
万能公式、辅助角公式
解｜题｜策｜略 万能公式 cos 辅助角公式 （其中）． 通过辅助角公式化简后研究函数的单调性、最值、周期与对称性。
1．（2025·四川德阳·模拟预测）已知函数，，则的最大值与最小正周期分别为（ ）
A．3， B．3， C．， D．，
【答案】C
【分析】根据辅助角公式，对函数进行化简，进而根据正弦函数性质，求出函数最大值与最小正周期.
【详解】由题意得，其中，
则最大值为，最小正周期为.
故选：C.
2．（内蒙古巴彦淖尔市2025-2026学年高一上学期期末数学试题）已知函数的最大值为，则的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式、三角函数的最值、三角函数的最小正周期等知识求得正确答案.
【详解】因为，
所以，解得，
所以的最小正周期为．
故选：B
3．（2026高二上·云南·学业考试）已知函数，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式合成，再利用三角函数的值域求法可得答案.
【详解】 ，
因为，所以 的值域为 ，
故选：B.
4．（2025高三·全国·专题练习）求函数的最值．
【答案】答案见解析
【分析】先分类讨论的取值范围，再利用万能公式，引入参数，对参数进行分析，结合判别式法从而求得最值．
【详解】若，则；
若，则；
若，令，则，，
，
整理成关于的方程：（*），
若，则．
若，则关于的一元二次方程有实数根，则，
解得，且．
综上所述．
当且仅当，
即时，取最小值；
同理可得当，即时，取最大值．
5．（2025高三·全国·专题练习）化简．
【答案】
【分析】此题仅含有和，可设，利用万能公式将三角式转化为代数后再化简．
【详解】设，则利用万能公式，得
.
（建议用时：30分钟）
1．（25-26高三上·广东·期中）计算的值为 .
【答案】/
【分析】利用降幂公式及两角和的余弦公式计算可得.
【详解】
故答案为：
2．（多选）（25-26高三上·山东淄博·期中）下列化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用两角差的正切公式可判断A，利用两角差的余弦公式可判断B，利用二倍角公式及两角差的正弦公式判断C，利用二倍角公式及诱导公式判断D.
【详解】对于A：因为，
则，
所以，故A正确；
对于B：
，故B正确；
对于C：
，故C错误；
对于D：
，故D正确；
故选：ABD
3．（2025·全国·二模）已知，则 ．
【答案】
【分析】利用同角三角函数关系得到，凑角，由正切和角公式得到答案.
【详解】，即，
.
故答案为：.
4．（24-25高一下·江苏常州·月考）在中，若，则 .
【答案】
【分析】利用两角和的正切公式的变形形式求值.
【详解】首先因为，所以.
这是因为：若，则，
又因为为三角形内角，所以互补，这是不能成立的.
所以.
因为，所以.
又，
所以.
所以.
故答案为：
5．（2026·河南鹤壁·一模）已知，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先逆用两角和的正弦公式可得的值，再根据同角三角函数的基本关系可得的值，最后利用倍角公式即可得解.
【详解】因为
，
又，
所以，
所以．
故选：B.
6．（2024·黑龙江大庆·一模）已知，且，则（ ）
A．-1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得，，再利用正切两角和公式求得，再结合，从而结合正切两角差公式即可求解.
【详解】由题意得，则，
又因为，所以，同号，
又因为，
则，同正，
所以，则，
所以，
所以，故D正确.
故选：D.
7．（24-25高三下·重庆·月考）设是方程的两根，且，则（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【分析】利用韦达定理求出，再利用两角和的正切公式求出，即可得解.
【详解】因为是方程的两根，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
则，
所以.
故选：B.
8．（多选）（25-26高二上·安徽淮南·开学考试）已知，为锐角，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】由，为锐角，求出的范围，根据，，由同角三角关系式分别求得，，，再依据二倍角正弦公式，两角差的正弦公式，两角和的正切公式及同角三角函数关系式分别求各选项对应的三角函数值，即可选出正确选项.
【详解】因为，为锐角，所以，，所以，
所以，
因为，所以，，
因为，所以，
选项A：，所以选项A正确；
选项B：，所以选项B正确；
选项CD：因为，所以，所以；，所以C正确，D错误.
故选：ABC.
9．（2026高一上·重庆·专题练习）已知，且，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据和角公式以及正切的商式，整理化简等式，有题干中的角度范围，判别所求角正切的符号，利用辅助角公式进一步化简，结合三角函数值域建立不等式，可得答案.
【详解】∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，又∵，∴，
由，得，
∴存在使得，∴，
∴，∴，∴，
由于，的取值范围达到余弦函数的半个周期，的值必能取到1，
因此这里能够取到等号，所以的最大值为．
故答案为：.
10．（2025高三·全国·专题练习）已知，求和．
【答案】，，或，．
【分析】设，利用万能公式将已知三角等式转化为分式方程后求解.
【详解】若，则，此时，不符，
若，设，利用万能公式，原已知式化为，
所以，即，解得，或，
当时，，，
当时，，，
∴，，或，.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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