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专题3.3 解三角形大题归纳
近三年： 在解三角形板块，高考命题已形成“正弦定理、余弦定理、面积公式三法并重”的基本格局，突出化归转化与数形结合的核心思想。近年来，解三角形大题逐渐从单纯的“解方程”转向综合性、结构化的模型构建，呈现出以下几个鲜明特点： 融合度深化：题目不再孤立考查定理应用，而是将三角恒等变换、平面向量、函数与导数、基本不等式、解析几何等模块深度融入。例如，通过向量数量积给出边角关系，或要求将面积表示为角的函数并求最值，实现了从单一计算到综合推理的跃升。 几何属性突出：对三角形内蕴的中线、高线、角平分线、周长、面积等几何属性的考查成为常态。特别是“三线问题”，要求考生能熟练运用向量、几何或定理的多种方法进行转化和求解，这直接检验了对三角形几何结构的深刻理解。 情境化与建模：出现更多结合实际测量、物理背景或抽象几何图形的题目，要求考生具备从真实情境中抽象出三角形模型，并综合运用知识与思想方法解决问题的能力。大题作为“思维载体”的特征愈发明显。 思维层次化：命题设计注重区分度，常采用分步设问，引导考生由易到难、从特殊到一般地展开探索，逐步深入问题的本质。小题则侧重对定理、公式变形及几何直观的快速运用。 总体而言，解三角形的考查重心已从“算得对”转向“想得透、用得活”，强调在复杂情境中构建数学模型并进行有效转化的高阶思维能力。 预测2026年： 基于以上分析，“结构化思维与综合转化能力”在2026年高考的解三角形命题中预计将成为决胜关键。“去套路化”的命题趋势要求考生必须超越对定理的机械套用，其核心价值在于培养从复杂的图形、文字或代数条件中，精准识别三角形边角关系的几何直观能力，以及灵活调用不同数学工具构建并求解模型的综合转化能力。 在备考中，你需要将解三角形作为知识交汇的核心节点进行系统性训练： 强化“三线”及几何属性的系统性解法总结，做到一题多解、多解归一。 刻意练习跨模块融合题，特别是与三角恒等变换、平面向量、函数最值的综合题，理解不同工具在转化边角关系时的作用。 提升数学建模能力，面对新背景、新图形，能冷静分析，将其化归为基本的三角形问题进行处理。
题型01 解三角形中求周长
解｜题｜策｜略 求周长问题同求三角形的边长问题。利用面积公式与余弦定理的结合，辅助正弦定理求三角形的边长。其问题的本质为这三者之间的关系，知二求一。
1．（2026·贵州毕节·一模）在中，内角所对的边分别为.已知.
(1)求的值；
(2)若的面积为，求的周长.
2．（2025·四川南充·一模）已知中，内角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若，求的周长．
3．（2025·江西·二模）在中，内角，，的对边分别为，，．已知．
(1)求角；
(2)若，，求的周长．
4．（25-26高三上·河北邢台·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，且.
(1)求的值，
(2)若，且的面积为3，求的周长.
5．（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数的最大值为1．
(1)求使成立的的集合；
(2)记的内角的对边分别为，已知，的面积为，求的周长．
题型02 解三角形中求周长范围
解｜题｜策｜略 关于周长的最值问题，题目简化成两个边的和的最值问题。通常有以下两种方法 若已知面积，则可利用基本不等式可以把周长的最小值与面积挂钩。运用基本不等式时，看是否满足取等条件。 若能根据余弦定理，则可利用基本不等式 把周长的最大值与余弦值挂钩。 若是求周长的范围问题，则通常会有角度限制（锐角或钝角），这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决
1．（2026·四川攀枝花·一模）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足．
(1)求角B；
(2)若，求周长的取值范围．
2．（2025·云南大理·模拟预测）在锐角△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且△ABC外接圆半径为.
(1)求角B的大小；
(2)求△ABC周长的取值范围.
3．（2025·全国·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知，，为的外心.
(1)求的面积；
(2)求周长的取值范围.
4．（2025·福建·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)证明：；
(2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围．
5．（2025·内蒙古赤峰·一模）设的内角，，所对的边分别为，，，.
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的取值范围.
题型03 解三角形中求面积
解｜题｜策｜略 通常根据面积公式来求值。利用正余弦定理求边长求角的函数值，然后求得面积
1．（2026·陕西渭南·一模）已知函数.
(1)求的最小正周期及单调递增区间；
(2)设锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的面积.
2．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求ab；
(2)若，求的面积．
3．（2025·江西赣州·一模）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求证：；
(2)已知，当角取最大值时，求的面积.
4．（2025·安徽·二模）记的内角，，的对边分别为，，，已知，且.
(1)求；
(2)若点在线段上，且满足，求的面积.
5．（2025·河北沧州·模拟预测）在中，内角的对边分别为，且.
(1)证明：；
(2)若，求的面积.
题型04 解三角形中求面积的范围
解｜题｜策｜略 关于面积的最值问题，通常有以下两种方法 1、利用基本不等式可以求面积的最大值。 2、若是求面积的范围问题，通常配合有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决
1．（2025·云南昆明·模拟预测）已知为锐角三角形，角所对的边分别为，且.
(1)证明：；
(2)已知点在线段上，且，若，求面积的取值范围.
2．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）在中，角的对边分别为若
(1)求；
(2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围.
3．（2025·甘肃白银·三模）已知是锐角三角形，内角，，的对边分别为，，，且，.
(1)求角的大小；
(2)若，求的周长；
(3)求面积的取值范围.
4．（2026·重庆·模拟预测）在锐角中，内角的对边分别是，满足.
(1)求角的大小；
(2)求面积的最大值.
5．（2025·山东泰安·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且满足．
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值．
题型05 解三角形求边长比值的范围
解｜题｜策｜略 若遇到边长齐次式求比值的范围问题，可考虑应用正弦定理，将边的比值化成三角函数比值问题求最值问题。 对三角函数比值求最值的问题可采用的方法： 统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化称一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有界性来判断最值。 统一角度后若能通过齐次式化成有关正切的式子，则可以利用换元思想，将式子变成普通的分式求最值。
1．（2025·河南·模拟预测）在中，内角、、的对边分别是、、，且．
(1)若，，求；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围．
2．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足．
(1)求角A的大小；
(2)若为锐角三角形且，求的取值范围．
3．（2025·江苏南通·三模）在锐角中，内角、、的对边分别为、、，面积为，满足．
(1)求证：；
(2)求的取值范围．
4．（2025·安徽·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求此时的内切圆半径的最大值；
(3)求的取值范围.
5．（2026·湖北·模拟预测）记内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围.
题型06 解三角形中求边角和的范围
解｜题｜策｜略 利用三角形内角和定理进行消元与统一，将多变量问题转化为单变量的函数问题 明确问题所求，并关联三角形内隐含的核心约束条件： 。这是所有转化的起点。 消元统一与和差化积，将问题中关于多个角的表达式统一为关于其中两个角的表达式。然后，对目标式直接施用三角恒等变换，特别是和差化积公式或者辅助角公式。 利用已知定元求值（或求范围）
将化简后的结果与题目中的其他已知条件（如边角关系、另一角的函数值、面积等）结合，将其转化为关于单一变量的三角函数求值域问题。
1．（2025·辽宁·模拟预测）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求；
(2)求的取值范围．
2．（2025·四川达州·模拟预测）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
(1)设A与B存在函数关系，并记，求函数；
(2)求的取值范围.
3．（25-26高二上·重庆·开学考试）在中，内角对应的边分别是、、，且．
(1)若，求的面积；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围．
4．（24-25高二上·贵州遵义·期末）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且.
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围.
题型07 解三角形中的四边形问题
解｜题｜策｜略 若题目中所有的角都可用某一个角度表示，假设这个角为，将别的未知的角用来表示，然后多次使用正弦定理。在求范围与最值的问题中使用较多。 若有互为补角的两个角，则可以两次使用余弦定理。 正余弦定理结合面积公式使用，解决四边形问题。
1．（2025·陕西西安·三模）如图，在平面四边形中，.

(1)若，求；
(2)求.
2．（25-26高三上·重庆·月考）如图为平面四边形中的角平分线，的面积为
(1)求边BC的长度；
(2)若的外接圆直径求△ACD的周长.
3．（25-26高三上·江西·月考）已知平面四边形如图所示，其中，，.
(1)若，，求的面积；
(2)求的取值范围.
4．（25-26高三上·上海徐汇·期中）如图，平面凸四边形中，，且是边长为2的等边三角形.

(1)若，求.
(2)若线段（不含端点）上存在动点，满足，记，求关于的函数.
5．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，平面四边形中，，，.的三个内角，，的对边分别是，，，且.
(1)求角；
(2)若，求的面积.
题型08 解三角形中的中线问题
解｜题｜策｜略 1、在平行四边形中，对角线的平方和等于四边的平方和： 换成三角形的中线，则有 2、可以通过向量法,两边平方后可得)
1．（2024·河北·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且满足.
(1)求角的大小；
(2)已知，求边上的中线的长.
2．（2025·河北石家庄·三模）设的内角、、的对边分别为、、，已知．
(1)求角的大小；
(2)若，且，求边上中线的长．
3．（2025·安徽合肥·三模）在中，角的对边分别为，且满足.
(1)求角；
(2)已知面积为，为7，求边上中线长.
4．（2025·广东·一模）在中，角的对边分别为，为边上的中线.
(1)证明：；
(2)若，，求的最大值.
5．（2024·河北·模拟预测）在中，角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若边，边的中点为，求中线长的最大值.
题型09 解三角形中的角分线问题
解｜题｜策｜略 1、面积法：如图三角形中， 化简有 2、角分线张角定理：若为角分线，则，则化简上式有 3、斯库顿定理：若为角分线，有
1．（25-26高三上·安徽合肥·月考）在中，角的对边分别为，且
(1)求角；
(2)已知，角C的角平分线交AB于D点，求CD长度的最大值.
2．（25-26高二上·陕西西安·期中）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求的值；
(2)的角平分线交于点
①证明：；
②若，求的最大值．
3．（25-26高二上·广东广州·期中）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，.
(1)分别求出角，边的长度；
(2)求的角平分线长度.
4．（25-26高三上·云南·月考）已知中，，，分别为内角，，的对边，且．
(1)求角的大小；
(2)若，的角平分线交于点，求的长度．
5．（25-26高三上·河北·月考）记的内角A，B，C的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若的角平分线交于点.
（i）求的最大值；
（ii）求的最小值.
题型10 解三角形中的高线问题
解｜题｜策｜略 如图为边上的高线，则有 利用面积公式有：
1．（2025·四川自贡·一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．
(1)求a；
(2)若的面积为，求AB上的高CD．
2．（25-26高三上·北京·月考）在中，，．
(1)求A；
(2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求BC边上的高h．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
3．（25-26高二上·云南昆明·月考）在中，内角所对的边分别为，且，的外接圆半径为.
(1)求；
(2)求的边上的高.
4．（25-26高三上·福建龙岩·期中）已知函数（满足恒成立，且相邻两对称轴之间的距离不小于，设为曲线的对称中心.
(1)求；
(2)若，求的取值范围；
(3)记的角，，对应的边分别为，，，若，，求边上的高长的最大值.
5．（2025·四川成都·二模）在中，角的对边分别是，且，且．
(1)求角的大小；
(2)D为AC过上的一点，，且_____，求的面积；
（从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）．
①BD是角B的平分线；
②D为线段AC的中点．
(3)若为锐角三角形，求AC边上的高取值范围．
题型11 解三角形中的其他分线问题
解｜题｜策｜略 1、利用分线将原三角形拆成两个三角形，分别用正弦定理、余弦定理列方程。 2、面积法是角平分线问题的常见桥梁。 3、涉及多个分线（如三条中线、角平分线）求面积或边时，往往联立相应公式的方程组。 4、解出关键比例或分点坐标，再回代到已知条件中解三角形。
1、1．（25-26高三上·湖南·月考）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求角C的大小；
(2)若点D在边AB上，且满足，求的值．
2．（2025·上海黄浦·一模）在中，，，．

(1)求的长和的正弦值；
(2)若点D在边上，且，设，求的表达式，并判断是否存在，使得在处的瞬时变化率等于．
3．（2025·江苏宿迁·三模）已知分别为三个内角的对边，且.
(1)求；
(2)若，的面积为，为边上一点，满足，
①求的周长；
②求的长.
4．（2026高三·广东·专题练习）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)点在直线上，且．若，求．
5．（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知的内角，，的对边分别为，，且.
(1)求；
(2)若，，求的最小值.
题型12 解三角形中的内部点问题
解｜题｜策｜略 为三角形内部一点，连接，解决这类型相关的三角形问题。 判断P点是否为四心问题，按照相关的几何性质去解决问题。 P点若不是特殊点，则按照一半解三角形问题的方法，结合正余弦定理，面积法等来解决。 这类问题的本质是将分散在点 P 处的条件，通过面积、向量，与三角形整体元素（边、角、面积）联系起来，最终回到解三角形的基本方法（正余弦定理、面积公式）求解。
1．（25-26高二上·浙江衢州·期中）在中，角的对边分别为．已知
(1)求角的正弦值；
(2)若、边上的两条中线、相交于点，求的余弦值．
2．（2025·山西吕梁·模拟预测）如图，内一点满足．
(1)若，求的值；
(2)若，求的长．
3．（25-26高三上·山东德州·期中）如图，在中，角，，的对边分别为，，，且，，为内一点，．
(1)求角的大小；
(2)若，求；
(3)若，求
4．（2026·湖北宜昌·模拟预测）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，．
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围；
(3)设是的重心，求的最小值．
5．（2025·四川成都·模拟预测）在中，角的对边分别是，且．
(1)求角的大小；
(2)如图，若为锐角三角形，点为的垂心，，设，
（i），求的面积；
（ii）求的取值范围．
（建议用时：30分钟）
1．（2026·黑龙江大庆·二模）在中，角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长.
2．（2025·陕西榆林·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积；
(3)求周长的取值范围．
3．（2025·云南昆明·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，．
(1)求角B的值；
(2)求的面积．
4．（2025·广西·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，已知.
(1)求内角的大小；
(2)若，求面积的最大值.
5．（2025·吉林松原·模拟预测）已知向量，其中．
(1)若，求图象的对称轴；
(2)记的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度得到的图象，若在区间上单调递增，求的取值范围；
(3)已知为锐角三角形，内角的对边分别为，若，求的取值范围．
6．（25-26高三上·江西·期中）如图，四边形的对角线相交于点.

(1)求证：；
(2)已知.
①求四边形的面积；
②若与面积相等，求证：.
7．（2025·江苏淮安·模拟预测）在中，a，b，c为角A，B，C的对边，．
(1)求；
(2)已知．
①若，求；
②求的取值范围．
8．（2025·安徽·一模）在中，角的对边分别为，满足，点是上的一动点，且.
(1)求角的大小；
(2)若为边上的高，且，求的面积；
(3)若为的角平分线，求的最小值.
9．（2026·河北·一模）在中，.
(1)求A;
(2)若的周长为20，面积为，D是BC边上一点，从条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段AD 的长.
条件①:AD 是BC 边上的中线；条件②:AD 是的平分线.
10．（2026·四川宜宾·一模）记的内角的对边分别为，已知.
(1)求角A；
(2)已知边上的两条中线相交于点，且，求的余弦值.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题3.3 解三角形大题归纳
近三年： 在解三角形板块，高考命题已形成“正弦定理、余弦定理、面积公式三法并重”的基本格局，突出化归转化与数形结合的核心思想。近年来，解三角形大题逐渐从单纯的“解方程”转向综合性、结构化的模型构建，呈现出以下几个鲜明特点： 融合度深化：题目不再孤立考查定理应用，而是将三角恒等变换、平面向量、函数与导数、基本不等式、解析几何等模块深度融入。例如，通过向量数量积给出边角关系，或要求将面积表示为角的函数并求最值，实现了从单一计算到综合推理的跃升。 几何属性突出：对三角形内蕴的中线、高线、角平分线、周长、面积等几何属性的考查成为常态。特别是“三线问题”，要求考生能熟练运用向量、几何或定理的多种方法进行转化和求解，这直接检验了对三角形几何结构的深刻理解。 情境化与建模：出现更多结合实际测量、物理背景或抽象几何图形的题目，要求考生具备从真实情境中抽象出三角形模型，并综合运用知识与思想方法解决问题的能力。大题作为“思维载体”的特征愈发明显。 思维层次化：命题设计注重区分度，常采用分步设问，引导考生由易到难、从特殊到一般地展开探索，逐步深入问题的本质。小题则侧重对定理、公式变形及几何直观的快速运用。 总体而言，解三角形的考查重心已从“算得对”转向“想得透、用得活”，强调在复杂情境中构建数学模型并进行有效转化的高阶思维能力。 预测2026年： 基于以上分析，“结构化思维与综合转化能力”在2026年高考的解三角形命题中预计将成为决胜关键。“去套路化”的命题趋势要求考生必须超越对定理的机械套用，其核心价值在于培养从复杂的图形、文字或代数条件中，精准识别三角形边角关系的几何直观能力，以及灵活调用不同数学工具构建并求解模型的综合转化能力。 在备考中，你需要将解三角形作为知识交汇的核心节点进行系统性训练： 强化“三线”及几何属性的系统性解法总结，做到一题多解、多解归一。 刻意练习跨模块融合题，特别是与三角恒等变换、平面向量、函数最值的综合题，理解不同工具在转化边角关系时的作用。 提升数学建模能力，面对新背景、新图形，能冷静分析，将其化归为基本的三角形问题进行处理。
题型01 解三角形中求周长
解｜题｜策｜略 求周长问题同求三角形的边长问题。利用面积公式与余弦定理的结合，辅助正弦定理求三角形的边长。其问题的本质为这三者之间的关系，知二求一。
1．（2026·贵州毕节·一模）在中，内角所对的边分别为.已知.
(1)求的值；
(2)若的面积为，求的周长.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由正弦定理化角为边，再结合余弦定理求得，再根据同角三角函数的基本关系可求得；
（2）先根据三角形面积公式以及已知条件，解得，再根据余弦定理解得，即可计算周长.
【详解】（1）由正弦定理，可将转化为，
由余弦定理可知，，
又因为，又因为，
故；
（2）由题可知，，
解得，
再由余弦定理，
解得，
因此的周长为.
2．（2025·四川南充·一模）已知中，内角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理将角的关系转化为边的关系，再用余弦定理求角；
（2）结合已知条件和第一问的结果，通过三角函数关系求出其他角和边，进而计算周长.
【详解】（1）已知，
根据正弦定理，可得，
将其代入已知等式： ，
化简得：，
再由余弦定理，代入上式得：，
因为，所以；
（2）已知，由第一问知，代入得： ，
因为，所以或，
又因为，若，则，矛盾，故，
从而，
由正弦定理，已知，
则： ，
，
因此：；
；
周长.
3．（2025·江西·二模）在中，内角，，的对边分别为，，．已知．
(1)求角；
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理结合两角差的正弦展开式化简后再利用特殊角的正切值求出角；
（2）由正弦定理求得，再利用余弦定理求得，即可求得求的周长．
【详解】（1）在中，由正弦定理得，
又因为，所以，
因为，所以，
所以，又因为，所以.
（2）在中，由正弦定理，得，
因为，所以，
在中，，
由余弦定理得，即，
所以，所以，
所以，所以周长为.
4．（25-26高三上·河北邢台·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，且.
(1)求的值，
(2)若，且的面积为3，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化简得出，结合角的取值范围应用同角三角函数关系可求得的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得的值，利用余弦定理可求得的值，即可求得该三角形的周长.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，又因为，
所以，
，则，可得.
（2）由已知可得，则，
由余弦定理可得，
所以，
所以，因此的周长为.
5．（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数的最大值为1．
(1)求使成立的的集合；
(2)记的内角的对边分别为，已知，的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由辅助角公式得到，结合最大值求解，再由即可求解；
（2）由（1）求得，再结合三角形面积公式及余弦定理即可求解.
【详解】（1）
，
最大值为，
所以，
即，
则，即，
即，
即，
所以的解集为：
（2）因为，
即，即，
因为为三角形内角，所以，得，
又的面积为，即，
得，
又
则即，
所以周长为.
题型02 解三角形中求周长范围
解｜题｜策｜略 关于周长的最值问题，题目简化成两个边的和的最值问题。通常有以下两种方法 若已知面积，则可利用基本不等式可以把周长的最小值与面积挂钩。运用基本不等式时，看是否满足取等条件。 若能根据余弦定理，则可利用基本不等式 把周长的最大值与余弦值挂钩。 若是求周长的范围问题，则通常会有角度限制（锐角或钝角），这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决
1．（2026·四川攀枝花·一模）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足．
(1)求角B；
(2)若，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知条件利用余弦定理角化边，即可得，可求角B；
（2）已知，，由正弦定理结合三角恒等变换得，再利用角的范围和正弦函数的性质求得周长的取值范围即可.
【详解】（1）因为，
所以由余弦定理得，
即，即，
又，则.
（2）由（1）知，又，
由正弦定理可得，
则
，
由，得到，，
则，可得，
故周长的取值范围为．
2．（2025·云南大理·模拟预测）在锐角△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且△ABC外接圆半径为.
(1)求角B的大小；
(2)求△ABC周长的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由，利用正弦定理，可得，由余弦定理求出，从而得到的值.
（2）由正弦定理得的值，将进行边化角，得到，由△ABC为锐角三角形得到，结合正弦函数的性质得到的范围，从而得到△ABC周长的取值范围.
【详解】（1）∵，
由正弦定理，可得，即.
由余弦定理，可得，又∵，∴.
（2）由正弦定理，可得，
，
∵△ABC为锐角三角形，可得，即，解得，
∴，∴，∴，
即，△ABC周长的取值范围为.
3．（2025·全国·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知，，为的外心.
(1)求的面积；
(2)求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知，利用余弦定理求出角，由正弦定理求外接圆的半径，求出圆心角，再由三角形面积公式求出的面积；
（2）方法一：利用正弦定理表示出，由三角恒等变换，结合三角形内角和定理整理，讨论角的范围，进而求出周长的取值范围；
方法二：把条件整理成含与的式子，利用基本不等式求出的最大值，根据两边之和大于第三边，得的取值范围，进而得周长的取值范围.
【详解】（1）在中，，由余弦定理得，
又，所以，
又为的外心，
则由正弦定理得，所以，
又，
所以.
（2）方法一：
由（1）及正弦定理得，
则，，
记的周长为，则.
又，则，
则，
因为，所以，
所以，所以.
方法二：
由，，得，
因为，所以，
即，所以，当且仅当时，等号成立.
因为，所以，所以，
即周长的取值范围为.
4．（2025·福建·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)证明：；
(2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化简以及两角和与差的正弦即可求得结果.
（2）利用正弦定理求出，因为三角形为锐角三角形求出，再用余弦定理进一步求出，即可求得结果.
【详解】（1）由正弦定理，，所以．
又，所以，
所以，所以，
因，所以，即.
（2）因为，所以，
因为，所以．
因为，所以，
∵为锐角三角形，∴，∴，∴
因为，由余弦定理，两式联立得，
又因为，代入上式，得到，则，且，
所以，即．
所以周长的取值范围为．
5．（2025·内蒙古赤峰·一模）设的内角，，所对的边分别为，，，.
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方法1：利用正弦定理得，再利用两角和的正弦公式即可求解；方法2：利用余弦定理得，再利用余弦定理即可求解；
（2）方法1：利用余弦定理结合基本不等式即可求解；方法2：利用正弦定理结合三角恒等变换得，最后由三角函数的性质即可求解.
【详解】（1）（方法1）由正弦定理，得，
，
，
，
，，，
，；
（方法2）由余弦定理得，
代入已知得：，
，，
，；
（2）方法1
由余弦定理，得.
，
，（当且仅当时等号成立），
由于，，
周长的范围为.
（方法2转化为三角函数最值）
由正弦定理，
得，，
，
，
，，，，
，，
周长的取值范围为.
题型03 解三角形中求面积
解｜题｜策｜略 通常根据面积公式来求值。利用正余弦定理求边长求角的函数值，然后求得面积
1．（2026·陕西渭南·一模）已知函数.
(1)求的最小正周期及单调递增区间；
(2)设锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的面积.
【答案】(1)最小正周期为；单调递增区间为，.
(2)
【分析】（1）用平方差公式和二倍角公式对函数进行化简，再根据正弦函数性质求最小正周期和单调递增区间.
（2）先求出角，再用余弦定理求出边长，最后用三角形面积公式求出面积即可.
【详解】（1），
，
所以的最小正周期，
令，，解得，，
所以的最小正周期为，单调递增区间为，.
（2）已知，则，
即；
因为三角形是锐角三角形，所以，则，
在这个区间内，解得，
依据余弦定理，可得，
即，解得或；
当时，，
此时为钝角，不符合题干锐角三角形的条件，舍去这种情况；
当时，，
此时为锐角，符合题干锐角三角形的条件，且，
∠C也为锐角，故△ABC为锐角三角形，符合题干条件;
根据三角形面积公式，可得，
所以的面积为.
2．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求ab；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）根据余弦定理以及数量积可得，即可求解，
（2）根据余弦定理，结合正弦定理边角互化可得，即可根据同角关系以及和差角公式化简，结合已知条件可得，即可求解，由面积公式求解.
【详解】（1）由可得,故，
由于为锐角三角形，所以,
故，故
（2）由可得,
所以,结合，
故,
由于为锐角三角形，故
所以
3．（2025·江西赣州·一模）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求证：；
(2)已知，当角取最大值时，求的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式结合正弦定理、余弦定理，即可证明结论.
（2）根据余弦定理结合基本不等式可得角的最大值，即可求出三角形面积.
【详解】（1）∵，∴，
∴，即，
∴，
由得，，
由正弦定理及余弦定理得，，
∴.
（2）由余弦定理得，，
当且仅当时取等号，此时取最大值，为等边三角形.
由得，.
∴的面积为.
4．（2025·安徽·二模）记的内角，，的对边分别为，，，已知，且.
(1)求；
(2)若点在线段上，且满足，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先应用正弦定理，再由三角恒等变形得，结合角的范围即可求解；
（2）先应用数量积运算律及定义化简，再结合三角形面积公式及余弦定理计算求值.
【详解】（1）根据题意，
则由正弦定理得，，
因为，所以，
所以，
，则，
解得；
（2）令，，则.
又，则四边形为菱形，为的角平分线.
，
，
，即，
由余弦定理可得：，
即，解得，
所以.
5．（2025·河北沧州·模拟预测）在中，内角的对边分别为，且.
(1)证明：；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用正弦定理和两角差的余弦公式即可得证；
（2）利用诱导公式得，进而得，又，即得，进而得，又由结合正弦定理得，最后利用三角形的面积公式即可求解.
【详解】（1）证明：因为，
由正弦定理有：，即，
所以，所以，又，
所以，
所以.
（2）因为，所以，
所以，即，又，
所以，
由（1）知，
所以，所以，即，
又，
所以，，
所以，
由正弦定理得，
所以的面积为.
题型04 解三角形中求面积的范围
解｜题｜策｜略 关于面积的最值问题，通常有以下两种方法 1、利用基本不等式可以求面积的最大值。 2、若是求面积的范围问题，通常配合有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决
1．（2025·云南昆明·模拟预测）已知为锐角三角形，角所对的边分别为，且.
(1)证明：；
(2)已知点在线段上，且，若，求面积的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据正弦定理得，结合三角形内角和锐角三角形，证得结果.
（2）根据正弦定理和三角形面积公式得，进而利用锐角三角形得到正切的范围，最后得到三角形面积的取值范围.
【详解】（1）证明：由，由正弦定理得，
即，
又，所以，
故，
因为为锐角三角形，所以，，故，
故，即.
（2）由（1）可知，中，，
由正弦定理得，所以，
故，
而是锐角三角形，故，，，
解得，故，故面积的取值范围为.
2．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）在中，角的对边分别为若
(1)求；
(2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换求解即可；
（2）利用正弦定理边角转化，结合三角恒等变换可得，进而结合锐角三角形条件即可求得，再根据正切函数的性质求解即可.
【详解】（1）由，
可知，
由正弦定理得，
故，
则，
因为，所以，
则，则，
故，得或，，
结合，可得.
（2）由正弦定理可得，
故，
因为为锐角三角形，故，解得，
则，所以，
故面积的取值范围是.
3．（2025·甘肃白银·三模）已知是锐角三角形，内角，，的对边分别为，，，且，.
(1)求角的大小；
(2)若，求的周长；
(3)求面积的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用正弦定理边化角求解；（2）利用正弦定理、余弦定理列式求解；（3）利用正弦定理、三角形面积公式列式，再利用差角的正弦及正切函数的性质求出范围.
【详解】（1）在中，由及正弦定理得，
则，两边平方得，
而，解得，所以.
（2）在中，由正弦定理，得，
由余弦定理得，即，解得，
所以的周长为.
（3）在中，，，的面积，
由正弦定理，得，
由为锐角三角形，得，解得，
因此，，则
所以面积的取值范围是.
4．（2026·重庆·模拟预测）在锐角中，内角的对边分别是，满足.
(1)求角的大小；
(2)求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式结合边角互化转化题干条件，得到进而得解；
（2）列出余弦定理表达式，然后利用基本不等式求解.
【详解】（1）对于，
由正弦定理和二倍角公式，，
则，
即，
即，
由题知，则，
得到，由于，则，
于是，解得
（2）由余弦定理，，
由，，得到，
由基本不等式，，则（取等号），
，
即时，的最大值是.
5．（2025·山东泰安·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且满足．
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合正弦定理求出三边之间的关系，再结合余弦定理求出角的大小；
（2）利用正弦定理推出a、b和、之间的关系，再结合三角形面积公式将面积表示为三角函数，最后结合三角恒等变换求出最大值即可．
【详解】（1）由正弦定理，因为，
所以，化简整理得，
由余弦定理，，
，
．
（2）由（1）知，，由正弦定理可得，
面积，
又，，
又，其中，
当，即时，面积有最大值，为．
题型05 解三角形求边长比值的范围
解｜题｜策｜略 若遇到边长齐次式求比值的范围问题，可考虑应用正弦定理，将边的比值化成三角函数比值问题求最值问题。 对三角函数比值求最值的问题可采用的方法： 统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化称一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有界性来判断最值。 统一角度后若能通过齐次式化成有关正切的式子，则可以利用换元思想，将式子变成普通的分式求最值。
1．（2025·河南·模拟预测）在中，内角、、的对边分别是、、，且．
(1)若，，求；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合三三角恒等变换化简得出，利用二倍角的余弦公式求出的值，利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用正弦定理可求得的值；
（2）由为锐角三角形求出的取值范围，再利用正弦定理结合余弦函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】（1）由及正弦定理得
，
因为、，则，所以，
由可得.
①若，可得，矛盾；
②若，可得.
因为，所以，
，
由正弦定理得.
（2）因为为锐角三角形，则，解得，
由正弦定理可得，即的取值范围是.
2．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足．
(1)求角A的大小；
(2)若为锐角三角形且，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可；
（2）由正弦定理可得，，进而化简可得，结合的范围，可得，设，进而利用二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）由，则，
则，
根据正弦定理得，，
因为，所以，则，
又，所以.
（2）由正弦定理得，，
则，，
所以，，
则
，
因为为锐角三角形，所以，解得，
则，所以，
设，，
则，
所以时，．
3．（2025·江苏南通·三模）在锐角中，内角、、的对边分别为、、，面积为，满足．
(1)求证：；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由三角形的面积公式、余弦定理、正弦定理以及两角和、差的正弦公式得出，结合正弦函数的单调性可证得结论成立；
（2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，根据为锐角三角形求出角的取值范围，即可得出的取值范围，然后利用二次函数的基本性质可求得的取值范围．
【详解】（1）由得，即，
由余弦定理得：，即，
化简得：，
由正弦定理有：，
即，化简得：，
因为，，所以，
因为正弦函数在上单调递增，故，即.
（2）由正弦定理得
，
因为为锐角三角形，则，解得，则，
令，则目标式为，其中，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
因为，，故，
故当时，.
因此，的取值范围是.
4．（2025·安徽·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求此时的内切圆半径的最大值；
(3)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)利用正弦定理进行边化角，再利用两角和与差的正弦公式进一步化简可求得B；
（2）勾股定理得，然后利用基本不等式求出的范围，代入直角三角形内切圆半径公式即可求得其最大值；
（3）由正弦定理得代入原式得，令，利用换元法及二次函数的单调性求范围.
【详解】（1）因为，
所以，即，
所以，
因为，，所以，，
又，所以.
（2）由知为直角三角形，满足，
所以直角三角形内切圆半径公式为，
因为，
所以（当且仅当时等号成立），
所以，的内切圆半径的最大值.
（3）因为，所以，
由正弦定理得，
令，则，
因为，所以，
则，
因为函数在上单调递增，
所以.
5．（2026·湖北·模拟预测）记内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合三角恒等变换及正弦定理可得，由，可得，求解即可；
（2）由正弦定理可得，，由是锐角三角形，得，，又因为，结合对勾函数求解即可.
【详解】（1）易得，
由正弦定理得，
而，
故，
易知，
故，
即，
又因为，
所以，
所以，
解得；
（2）因外接圆直径为，
则由正弦定理可知，
故，，
因为是锐角三角形，
所以，
得，，
则，
所以，
由对勾函数的性质可知，在上单调递减，
故的取值范围为.
题型06 解三角形中求边角和的范围
解｜题｜策｜略 利用三角形内角和定理进行消元与统一，将多变量问题转化为单变量的函数问题 明确问题所求，并关联三角形内隐含的核心约束条件： 。这是所有转化的起点。 消元统一与和差化积，将问题中关于多个角的表达式统一为关于其中两个角的表达式。然后，对目标式直接施用三角恒等变换，特别是和差化积公式或者辅助角公式。 利用已知定元求值（或求范围）
将化简后的结果与题目中的其他已知条件（如边角关系、另一角的函数值、面积等）结合，将其转化为关于单一变量的三角函数求值域问题。
1．（2025·辽宁·模拟预测）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理计算，再结合角的范围求解；
（2）应用两角和差正弦公式计算化简，再应用正弦函数值域计算.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，，而，故，
因为是锐角三角形，所以，有；
（2）利用（1）中结论，结合三角形内角和的条件，有：
因为是锐角三角形，可得，，所以
所以，的取值范围是．
2．（2025·四川达州·模拟预测）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
(1)设A与B存在函数关系，并记，求函数；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角，可得，再求出范围，可得函数；（2）切化弦整理得，令，求导判断其单调性，根据单调性求范围.
【详解】（1）由正弦定理得，.所以，
即，
解得或（舍），所以.
因为为锐角三角形，，.
由得.
故函数，.
（2），
当且仅当即时即时取等号，此时，而，
所以等号取不到.
令，则，对函数，在上恒成立，
所以函数在上单调递增，
当时，；当时，
所以函数的值域为，
故的取值范围为.
3．（25-26高二上·重庆·开学考试）在中，内角对应的边分别是、、，且．
(1)若，求的面积；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边化角可得，求出，再由余弦定理，结合，求出，再根据三角形面积公式求解即可；
（2）由三角形内角和为，结合，化简可得，再由锐角三角形求出，然后求解即可.
【详解】（1）由正弦定理可得，即，
因为，所以，所以，则，
由余弦定理知，代入数据得，解得，
所以，所以的面积为.
（2），
因为，所以，
因为为锐角三角形，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以的取值范围为.
4．（24-25高二上·贵州遵义·期末）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且.
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）应用同角三角函数关系计算化简，再结合正弦定理和余弦定理计算求解；
（2）先应用诱导公式再应用两角和公式计算结合正弦函数值域求解.
【详解】（1）因为，
所以.
所以.
由正弦定理，得，即.
因为，
所以.
（2）
.
因为为锐角三角形，且，所以，
所以，所以，
所以的取值范围为.
题型07 解三角形中的四边形问题
解｜题｜策｜略 若题目中所有的角都可用某一个角度表示，假设这个角为，将别的未知的角用来表示，然后多次使用正弦定理。在求范围与最值的问题中使用较多。 若有互为补角的两个角，则可以两次使用余弦定理。 正余弦定理结合面积公式使用，解决四边形问题。
1．（2025·陕西西安·三模）如图，在平面四边形中，.

(1)若，求；
(2)求.
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）在中先由三角函数定义求出，再在中由余弦定理可得；
（2）在中，由正弦定理可得，在中由三角函数的定义求出，最后计算可得.
【详解】（1）若，，则，
所以在中，，整理可得，
解得（舍）或3，
所以.
（2）在中，由正弦定理可得，
因为，所以为等腰三角形，
所以，
所以.
2．（25-26高三上·重庆·月考）如图为平面四边形中的角平分线，的面积为
(1)求边BC的长度；
(2)若的外接圆直径求△ACD的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形的面积公式与余弦定理求解即可；
（2）先用正弦定理求，进而利用余弦定理可求，从而可得周长.
【详解】（1）由为的角平分线及，知.
，即，得.
.
故边BC的长度为.
（2）由的外接圆直径，得，则.
由余弦定理知，，
设，则，即，
，解得（舍去）或，则.
所以△ACD的周长为.
3．（25-26高三上·江西·月考）已知平面四边形如图所示，其中，，.
(1)若，，求的面积；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由余弦定理可求；
(2)利用正弦定理及几何关系，将表示为某个角度的关系，分析角度的取值范围，得到结果.
【详解】（1）在中，由余弦定理可得：
，所以,
所以或，因为，所以
所以.
即的面积为.
（2）设，
在中，，所以，
由正弦定理：，即，
所以，
在中，,,
由正弦定理，所以，
所以，
所以，化简得，
所以，
因为，所以 ，
在中， ,
所以，即，
所以，所以，
所以，
因为，所以，
又因为，所以，
所以，所以，所以，
所以的取值范围为，即.
所以的取值范围为.
4．（25-26高三上·上海徐汇·期中）如图，平面凸四边形中，，且是边长为2的等边三角形.

(1)若，求.
(2)若线段（不含端点）上存在动点，满足，记，求关于的函数.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理求出的长，再根据正弦定理即可求得结果；
（2）利用余弦定理求得，根据动点的位置得出自变量的取值范围，可求得.
【详解】（1）由，，可知，
因此，
所以，
由正弦定理可得，
由可得.
（2）如下图：

由题可知，又，
在中，由余弦定理可知，
因此可得，又在线段（不含端点）上，所以，
所以.
5．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，平面四边形中，，，.的三个内角，，的对边分别是，，，且.
(1)求角；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式化简，求出，即可得解；
（2）利用余弦定理求出，再由正弦定理求出，即可求出，最后由面积公式计算可得.
【详解】（1）因为在中，，
故，而，
故，
即，又，，
可得，，又，；
（2）由于，，，
故，
则；
又，
故，
又为锐角，
所以
，
故；
题型08 解三角形中的中线问题
解｜题｜策｜略 1、在平行四边形中，对角线的平方和等于四边的平方和： 换成三角形的中线，则有 2、可以通过向量法,两边平方后可得)
1．（2024·河北·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且满足.
(1)求角的大小；
(2)已知，求边上的中线的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及进行化简，得到，从而得到；
（2）利用余弦定理得到的值，由中线向量求得的长.
【详解】（1）由正弦定理得，
又因为，所以，
所以，
又因为，所以，
因为，所以.
（2）在中，由余弦定理得，
代入数值得，解得（舍去）或，
因为是的中点，所以，
所以，
所以，即边上的中线的长为.
2．（2025·河北石家庄·三模）设的内角、、的对边分别为、、，已知．
(1)求角的大小；
(2)若，且，求边上中线的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）利用正弦定理可得出的值，利用余弦定理得出的值，利用中线向量可得出，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值，即为所求.
【详解】（1）在中，由及正弦定理得
，
即，
因为、，则，即，可得，故.
（2）由正弦定理可得，
所以，
在中，由余弦定理可得，
所以，，
因为为边上的中线，所以，
所以
，故，
因此，边上的中线的长为.
3．（2025·安徽合肥·三模）在中，角的对边分别为，且满足.
(1)求角；
(2)已知面积为，为7，求边上中线长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用内角和定理变角，即可求角；
（2）利用面积公式和余弦定理列出等式，再由向量中线的线性表示，借助向量的运算得到方程求解即可.
【详解】（1）因为，
由正弦定理边化角得
利用三角形内角和定理可得
即
因为所以，即
因为，所以.
（2）由得①
由得②
由①②得
由，
得.
4．（2025·广东·一模）在中，角的对边分别为，为边上的中线.
(1)证明：；
(2)若，，求的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）方法一：对两边平方，再由余弦定理可得答案；方法二： 在和中，由余弦定理可得答案；
（2）在中，由余弦定理得，结合（1）再利用基本不等式可得答案.
【详解】（1）方法一：为边上中线，，
，
在中，由余弦定理得：，
，
，
.
方法二：为边上中线，
在中，，
在和中，由余弦定理得：
，
即，
，
即；
（2），，由余弦定理可得，
故，即，
当且仅当时，即时等号成立，
所以，
所以取得最大值为.
5．（2024·河北·模拟预测）在中，角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若边，边的中点为，求中线长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边角互换以及余弦定理进行化简即可得解.
（2）利用向量模的平方以及余弦定理，再结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得：，则，
即，
由余弦定理可得：，
因为，所以.
（2）因为为的中点，所以，
则，
又由余弦定理得，，
即，所以.
由得，，
则，当且仅当取等号，
即，
所以，即中线长的最大值为.
题型09 解三角形中的角分线问题
解｜题｜策｜略 1、面积法：如图三角形中， 化简有 2、角分线张角定理：若为角分线，则，则化简上式有 3、斯库顿定理：若为角分线，有
1．（25-26高三上·安徽合肥·月考）在中，角的对边分别为，且
(1)求角；
(2)已知，角C的角平分线交AB于D点，求CD长度的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角得到，再结合辅助角公式即可求解；
（2）由，得到，再由正弦定理得到，，代入结合辅助角公式得到，令，由，求解即可.
【详解】（1），
，
，又，
，
所以，
即，
，，.
（2）由于，
，
，
..
由正弦定理：，，
因为，所以，
则
令，则，，
，
则，
令，由解析式可知在单调递增，
所以
，
即长度的最大值为.
2．（25-26高二上·陕西西安·期中）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求的值；
(2)的角平分线交于点
①证明：；
②若，求的最大值．
【答案】(1)2
(2)①证明见解析；②．
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦及正弦定理角化边求解.
（2）①由结合角平分线，利用三角形面积公式，结合余弦定理推理得证；②由①的信息，利用基本不等式求出最大值.
【详解】（1）在中，由正弦定理及，
得
.
（2）①的角平分线交于点，，
即，由，得，
由余弦定理得：，
则，所以.
②由①得，
当且仅当，即时取等号，所以取得最大值.
3．（25-26高二上·广东广州·期中）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，.
(1)分别求出角，边的长度；
(2)求的角平分线长度.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）由正弦定理化边为角求出；由余弦定理列出方程求得.
（2）由（1）中信息，利用三角形面积公式列式求出.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，
而，则，由，所以；
由余弦定理及得，，
整理得，而，解得，所以.
（2）由（1）知，，，而平分，
由，得，
因此，所以.
4．（25-26高三上·云南·月考）已知中，，，分别为内角，，的对边，且．
(1)求角的大小；
(2)若，的角平分线交于点，求的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合正弦定理、余弦定理化简已知等式，再结合角度范围即可得角的大小；
（2）根据三角形面积公式求解的长度即可．
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，整理得，
由余弦定理得，
因为，所以；
（2）在中，
因为，
所以，
则；
5．（25-26高三上·河北·月考）记的内角A，B，C的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若的角平分线交于点.
（i）求的最大值；
（ii）求的最小值.
【答案】(1)；
(2)（i）；（ii）.
【分析】（1）应用正弦定理及三角恒等变换得，结合三角形内角的性质，求角的大小；
（2）（i）由，应用三角形面积公式得，再应用基本不等式求最大值；（ii）设，则，应用正弦定理得、，进而得、，再由余弦定理得，从而得，令并应用导数研究最小值.
【详解】（1）由正弦定理知，，
所以，，
所以，，可得；
（2）（i）由，，
则，
所以，而，则，
所以，当且仅当时取等号，
所以最大值为；
（ii）设，则，
在中，则，同理，
所以，
由，
由，所以，
综上，，令，
令，则，
所以时，时，
所以在上单调递增，在上单调递减，则，
综上，，则，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
题型10 解三角形中的高线问题
解｜题｜策｜略 如图为边上的高线，则有 利用面积公式有：
1．（2025·四川自贡·一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．
(1)求a；
(2)若的面积为，求AB上的高CD．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）根据同角关系解得，再使用正弦定理即可求解；
（2）根据面积求解，再利用余弦定理求得，再次使用面积即可求解.
【详解】（1）根据,，可知：
因为，即，
所以，即;
（2），解得，
则，解得，
则，代入，解得
2．（25-26高三上·北京·月考）在中，，．
(1)求A；
(2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求BC边上的高h．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由正弦定理和三角形的内角和定理，求得，进而求得的大小；
又因为，所以，可得.
（2）分别选择条件①②③，结合题意，利用正弦定理、余弦定理和面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：因为，由正弦定理得，
因为，且，
所以，得，
因为，即，
则，又因为，可得，
所以，可得，可得.
（2）解：选择条件①：，因为且，
由余弦定理得，
即，解得，
所以为方程的根，解得或，
即或，所以三角形的元素不唯一，不符合题意.
选择条件②：，因为，可得,
由正弦定理，可得，
因为且，所以为锐角且唯一，所以存在且唯一，
又由，
由正弦定理可得，所以，
可得，即，解得，即边上的高为.
条件③：，由正弦定理，可得，
因为，所以，
又因为，所以为锐角，且唯一确定，所以存在且唯一，
又由，
因为，
所以，
又由正弦定理得，所以，
可得，即，解得，即边上的高为.
3．（25-26高二上·云南昆明·月考）在中，内角所对的边分别为，且，的外接圆半径为.
(1)求；
(2)求的边上的高.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据正弦定理边化角，然后三角恒等变换相关公式即可求解；
（2）首先根据正弦定理求出，然后根据余弦定理求出，最后根据面积公式即可求解.
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理得，
即，
又，故.
又，所以，
所以，即
由，可得，
所以.
（2）由题意知.
由余弦定理得，
又，所以，
所以的面积，所以，
所以.
4．（25-26高三上·福建龙岩·期中）已知函数（满足恒成立，且相邻两对称轴之间的距离不小于，设为曲线的对称中心.
(1)求；
(2)若，求的取值范围；
(3)记的角，，对应的边分别为，，，若，，求边上的高长的最大值.
【答案】(1)，；
(2)；
(3)
【分析】（1）结合函数的最值情况及周期情况可得函数解析式，进而可得；
（2）利用整体代入法，结合三角函数图像性质可得值域；
（3）由余弦定理可得，结合基本不等式可得的最值，再根据三角形面积化简可得解.
【详解】（1）因为满足恒成立，
所以，
所以，，可得，，
又，即，，所以，故，
由，，可得，即，；
（2）由，可得，
所以当，即时，取得最大值，
又，，所以的取值范围是；
（3）由，
化简得，
又，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，
因为，所以，
令，，即，
所以，
又函数在上单调递减，
所以当，即时，取得最大值，
故长的最大值为.
5．（2025·四川成都·二模）在中，角的对边分别是，且，且．
(1)求角的大小；
(2)D为AC过上的一点，，且_____，求的面积；
（从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）．
①BD是角B的平分线；
②D为线段AC的中点．
(3)若为锐角三角形，求AC边上的高取值范围．
【答案】(1)；
(2)选①②，答案均为；
(3)
【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换得到，又，所以；
（2）若选①，利用三角形面积公式和得到，由余弦定理得到，联立求出，求出三角形面积；
若选②：由题设，平方得到，由余弦定理得到，联立求出，求出三角形面积；
（3）由正弦定理和三角恒等变换得到，为锐角三角形，求出，从而得到，设边上的高为，由三角形面积公式求出.
【详解】（1）在中，，
结合正弦定理可得：．
由得，
，
∴，
∴，
，
又，，又，所以；
（2）若选①：由平分得：，
，即．
在中，由余弦定理得，则，
联立，得，解得，
；
若选②：由题设，
则，
即，所以，
在中，由余弦定理得，则，
联立，得，
．
（3）由正弦定理得，故，
故
，
由于为锐角三角形，故，故，
因此，，
因此，
设边上的高为，，
所以.
题型11 解三角形中的其他分线问题
解｜题｜策｜略 1、利用分线将原三角形拆成两个三角形，分别用正弦定理、余弦定理列方程。 2、面积法是角平分线问题的常见桥梁。 3、涉及多个分线（如三条中线、角平分线）求面积或边时，往往联立相应公式的方程组。 4、解出关键比例或分点坐标，再回代到已知条件中解三角形。
1、1．（25-26高三上·湖南·月考）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求角C的大小；
(2)若点D在边AB上，且满足，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由半角公式、正弦定理、三角和的正弦公式对已知条件进行化简，得到，进而得到，求出角C的值.
（2）过作于，则，又，所以
【详解】（1）因为，所以，
即，化简得，
又，
所以，又，，故，
（2）如图：过作于，则，，
，又，所以.
2．（2025·上海黄浦·一模）在中，，，．

(1)求的长和的正弦值；
(2)若点D在边上，且，设，求的表达式，并判断是否存在，使得在处的瞬时变化率等于．
【答案】(1)，
(2)；存在
【分析】（1）根据已知条件，利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出；
（2）利用正弦定理求出，求导，假设命题成立求出，进而得出结论．
【详解】（1），
由余弦定理得，
，
由正弦定理得，
．
（2）在中，，，
由正弦定理得，
，
，
，
，
，
即；
求导得，
假设存在，使得在处的瞬时变化率等于，
则，即①，
，，
式①化简整理得，
在内有解，
存在这样的（）使得在处的瞬时变化率等于．
3．（2025·江苏宿迁·三模）已知分别为三个内角的对边，且.
(1)求；
(2)若，的面积为，为边上一点，满足，
①求的周长；
②求的长.
【答案】(1)
(2)①的周长为,②
【分析】（1）结合正弦定理和三角形的内角和定理以及两角和与差的正弦公式，可求角.
（2）①先根据三角形的面积公式及余弦定理求得，可得为等边三角形，进而求得周长；
②根据余弦定理求.
【详解】（1）由，
可得，，即，
即，又，
则，即.
（2）①因为，所以.
由余弦定理：，
则，即，则，
所以，即为等边三角形，
则的周长为.
②由，所以，
在中，由余弦定理得，
，
所以.
4．（2026高三·广东·专题练习）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)点在直线上，且．若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理得，结合已知条件运算得解；
（2）由结合诱导公式可得或，结合已知条件可得或，求得，再根据运算得解.
【详解】（1）由余弦定理得，.
又，故，
所以，又，
所以，故而.
（2）由，知或.
又或，所以只可能是或，
分别解得或（舍去），
故只有如图情况，即在线段上，且，故，，
于是，，即，
故.
5．（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知的内角，，的对边分别为，，且.
(1)求；
(2)若，，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将角化边整理得到，再利用余弦定理得到，从而得到；
（2）先利用向量基本定理得到，两边平方化简得到，最后利用基本不等式得到，从而得到的最小值.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得到，整理得到；
由余弦定理，因为，所以
（2）因为，所以；
因为，所以
又因为；
所以
利用基本不等式
所以，当且仅当，即时等号成立
即，所以的最小值为.
题型12 解三角形中的内部点问题
解｜题｜策｜略 为三角形内部一点，连接，解决这类型相关的三角形问题。 判断P点是否为四心问题，按照相关的几何性质去解决问题。 P点若不是特殊点，则按照一半解三角形问题的方法，结合正余弦定理，面积法等来解决。 这类问题的本质是将分散在点 P 处的条件，通过面积、向量，与三角形整体元素（边、角、面积）联系起来，最终回到解三角形的基本方法（正余弦定理、面积公式）求解。
1．（25-26高二上·浙江衢州·期中）在中，角的对边分别为．已知
(1)求角的正弦值；
(2)若、边上的两条中线、相交于点，求的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，结合余弦定理，求得，根据同角三角函数的平方关系求得；
（2）利用向量表示中线，根据向量的数量积求向量夹角的余弦值，从而得到的余弦值．
【详解】（1），由正弦定理，得.
.
又由.
因为，所以.
即角的正弦值为.
（2）.
.
.
所以.
由图可知的夹角等于的夹角，即.
所以的余弦值为.
2．（2025·山西吕梁·模拟预测）如图，内一点满足．
(1)若，求的值；
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）由题意，分别求出、、和的值，根据两角差的正弦公式，化简计算，即可得答案.
（2）设，分别求出、和的值，根据两角和的余弦公式，可得的表达式，根据余弦定理，可得的表达式，联立可得x值，代入余弦定理，可得的长
【详解】（1）因为，，，
所以，
所以为等腰三角形，
则，，
在中，，
所以
（2）设，在中，，
所以，
由余弦定理可知，
因为，所以，所以，
所以为锐角，所以为锐角，
又，则，
所以
，
在中，由余弦定理得,
所以，即，
解得，
因为，所以在以为直径的圆上，所以小于边上的高，
故，所以（舍去），
在中，
，
所以.
3．（25-26高三上·山东德州·期中）如图，在中，角，，的对边分别为，，，且，，为内一点，．
(1)求角的大小；
(2)若，求；
(3)若，求
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）首选由，得：，将角化边可得：，将其代入中并利用余弦定理可求得角，进而求解角；
（2）首先设，在中，由正弦定理得，然后根据同角三角函数的基本关系求角的正切值；
（3）首先，在中，由余弦定理得：即得：，然后解方程求得的值，进而求得.
【详解】（1）因为，所以，
即.
又因为，所以
由余弦定理，
所以，又，所以.
（2）在中，因为，
所以，，设，易知,故，
在中，由正弦定理得，
化简得，
所以，即.
（3）设，
在中，由余弦定理得：
即，所以，
由，得：，
解得：或，
若，得：，由，则，所以
若，得：，由，则，所以.
4．（2026·湖北宜昌·模拟预测）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，．
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围；
(3)设是的重心，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)．
【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再由余弦定理即可求得角；
（2）利用正弦定理与和角公式求得，结合锐角三角形求得，利用正切函数的性质即可求得边的取值范围；
（3）利用三角形的重心性质和余弦定理，借助于二次函数的性质即可求得答案.
【详解】（1）由和正弦定理，可得，
去分母得，即，
由余弦定理，可得．又，所以．
（2）由正弦定理，可得．
因为三角形为锐角三角形，所以，解得．则，
则，故．
（3）设的中点为，因是的重心，则，
由余弦定理，，
故当时，取得最小值，此时的最小值为
5．（2025·四川成都·模拟预测）在中，角的对边分别是，且．
(1)求角的大小；
(2)如图，若为锐角三角形，点为的垂心，，设，
（i），求的面积；
（ii）求的取值范围．
【答案】(1)
(2)（i）;（ii）
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理及两角和正弦公式，求得，得到，即可求解；
（2）①当，得到等边三角形，进而求得其面积；
②由，求得和，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】（1）因为，由正弦定理，可得，
又因为，可得，
代入上式，可得，
因为，可得，所以，
又因为，所以．
（2）①若，则即是高线又是角平分线，且，
所以等边三角形，
如图：延长交于.
因为为的垂心，所以也是的外心和重心.
因为，可得，，所以，所以.
所以的面积为.
②如图：延长交于，连接并延长交于.
因为为垂心，所以，.
又因为，所以，.
因为，且，则，，
又因为，，
则，
因为，可得，
当时，可得，所以；
当时，可得，所以取得最大值.
所以的取值范围为.
（建议用时：30分钟）
1．（2026·黑龙江大庆·二模）在中，角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角形内角和定理，即可求解；
（2）利用余弦定理和三角形的面积公式，即可求解，从而求出周长.
【详解】（1）由正弦定理得：，
在三角形中，所以，
即，
因为，所以，
因为，所以
（2），所以，
由余弦定理得，所以，
则，
所以的周长为.
2．（2025·陕西榆林·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积；
(3)求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦的两角和公式化简得，可得，即可得解；
（2）利用余弦定理结合已知条件计算可得，再利用三角形面积公式计算即可.
（3）利用正弦定理把边转化为角，结合角的范围，即可求解.
【详解】（1）根据，
可得，
所以，因为，所以；
（2）由（1）可知，，根据余弦定理，
因为，则，即，
又因为，所以，解得，
所以的面积；
（3）因为，所以，
所以，，
所以的周长
，
因为，所以，所以，
所以.
3．（2025·云南昆明·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，．
(1)求角B的值；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)12
【分析】（1）利用正弦定理角化边，结合三角恒等变换可求得，可求角B的值；
（2）由题意可得，进而可求得，可求的面积．
【详解】（1）因为，
由正弦定理得：，
则，
即，
因为，所以，
因为，所以．
（2）因为，，
所以，解得，
又因为，所以，
由（1）知．所以，
所以，则，
所以的面积．
4．（2025·广西·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，已知.
(1)求内角的大小；
(2)若，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边化角，再利用辅助角公式化简，结合特殊角即可求出角A；
（2）法一：结合余弦定理以及基本不等式即可求出最值；法二：根据正弦定理边化角，利用三角函数求最值，注意定义域.
【详解】（1）由正弦定理有，
因为，所以，
故，即，即，
因为，所以，
所以，即.
（2）法一：因为，即，
因为，
所以，即（当且仅当时取等），
故（当且仅当时取等），
所以当时，△ABC面积S有最大值，最大值为.
法二：由正弦定理有，
即，，
因为，所以，
当，即时，有最大值，最大值为1，
.
5．（2025·吉林松原·模拟预测）已知向量，其中．
(1)若，求图象的对称轴；
(2)记的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度得到的图象，若在区间上单调递增，求的取值范围；
(3)已知为锐角三角形，内角的对边分别为，若，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）利用向量数量积公式和三角恒等变换化简得到，整体法求出函数对称轴；
（2）求出，根据单调递增区间得到不等式，求出的取值范围；
（3）由，得到，由余弦定理和正弦定理得到，因为为锐角三角形，所以，求出的取值范围，得到答案．
【详解】（1）
，
当时，．
令，得，
所以图象的对称轴为.
（2）由（1），得，
所以，
因为将的图象向左平移个单位长度得到的图象，
所以.
因为，所以，
又函数在区间上单调递增，
所以，
即，解得
所以，即
又，所以，即的取值范围是.
（3）由，得，
又，所以，
又为锐角三角形，所以，
所以，解得．
由余弦定理，得，
所以，
所以．
由正弦定理，得，
所以，
因为为锐角三角形，所以，
所以，
故的取值范围为，
所以的取值范围为．
所以的取值范围是．
6．（25-26高三上·江西·期中）如图，四边形的对角线相交于点.

(1)求证：；
(2)已知.
①求四边形的面积；
②若与面积相等，求证：.
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②证明见解析
【分析】（1）在中利用余弦定理将表示出来，化简即可证明；
（2）①分别求出的面积，再加和即可求出四边形的面积；
②通过与面积相等求出，再在和中利用余弦定理求出，，根据勾股定理证明即可
【详解】（1）由余弦定理得
在中，①
在中，②
在中，③
在中，④
由③+④-①-②得：
.
故
（2）①由（1）得，
又
可求得.
又四边形的面积为
.
②由若与面积相等，因为为公共底边，
故两个三角形上的高相等，即，所以.
设.
在中得：，即
在中得：.两式相加得：，两式相减得：，
所以，故.
故，所以.
又，所以，
由勾股定理得：.
7．（2025·江苏淮安·模拟预测）在中，a，b，c为角A，B，C的对边，．
(1)求；
(2)已知．
①若，求；
②求的取值范围．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）由正弦定理化简等式，求出；
（2）①在，中，由正弦定理得到，化简求得.②由平面向量的关系和余弦定理表示出和，然后代入得到的代数式，然后令，化简的代数式，在令，化简，并用基本不等式求得其范围，然后得到的范围.
【详解】（1）由正弦定理知，
．
∴．
∵，，∴．
（2）①．设．
在中，由正弦定理知①
在中，由正弦定理知②
∵，∴，则有．
又∵，∴．
②，平方得．
即．
又．
∴
令，则，∴．
令，则，∴．
∵，∴
∴．
的取值范围为
8．（2025·安徽·一模）在中，角的对边分别为，满足，点是上的一动点，且.
(1)求角的大小；
(2)若为边上的高，且，求的面积；
(3)若为的角平分线，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由，由正弦定理得，结合，化简可求得，从而可求得；
（2）由和可求得，由余弦定理得，进而可得的面积；
（3）由可得，利用基本不等式可得，利用条件和正弦定理化简，然后基本不等式求解即可．
【详解】（1）由，由正弦定理得，
，
，
，
，
.
（2）因为，即，
又，所以，
由余弦定理得，
化简可得，解得，
所以的面积.
（3）因为为的角平分线，且，
因为，
所以，
所以，又，可得，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以
，
当且仅当且，即时取等号，
又当时，，符合题意，
故的最小值为12.
9．（2026·河北·一模）在中，.
(1)求A;
(2)若的周长为20，面积为，D是BC边上一点，从条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段AD 的长.
条件①:AD 是BC 边上的中线；条件②:AD 是的平分线.
【答案】(1)；
(2)选择条件，答案见解析.
【分析】（1）利用二倍角的余弦公式及和差角的余弦公式化简，再利用正弦定理角化边，余弦定理求解.
（2）根据给定条件，利用三角形面积公式，结合（1）中信息求出，选择条件①，利用向量数量积运算律求解；选择条件②，利用三角形面积公式列式求解.
【详解】（1）在中，由，
得，
整理得，由正弦定理得，
由余弦定理得，而，所以.
（2）令的内角所对边长分别为，
由的面积为，得，则，
由的周长为20，得，由，得，
即，解得，
选择条件①：AD 是BC 边上的中线，则，
所以.
选择条件②：AD 是的平分线，由，
得，则，
所以.
10．（2026·四川宜宾·一模）记的内角的对边分别为，已知.
(1)求角A；
(2)已知边上的两条中线相交于点，且，求的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得角A的大小；
（2）以为基底向量，求，，利用向量的夹角公式求的余弦值.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
又因为，
即，即，
且，则，可得，即，
且，所以.
（2）因为，，
由题意可知：，
又因为，，
则，即；
，即；
且；
可得，
所以的余弦值为.
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