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专题04导数“构造”应用归类
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近三年：高考数学中，导数构造（含同构法）是高考数学导数板块的核心难点与高频考点，其考察本质是通过 “构造辅助函数” 将抽象、复杂的导数问题转化为可利用单调性、最值求解的常规问题，集中体现对数学抽象、逻辑推理与转化思想的考查.导数构造与同构是解决抽象函数不等式、指对混合问题、双变量比较等难点的核心方法，核心在于根据导函数特征或式子结构构造辅助函数，利用单调性与最值简化求解。 预测2026年：2026 年高考导数构造的考察将延续 “基础模型为核心、综合应用为难点、跨模块结合为创新点” 的趋势，基础构造模型（幂函数型、指数函数型、对数函数型、三角函数型）仍是考察导数构造的基础，但会通过 “隐蔽条件设计” 提升区分度，一个是指对混合基础题：“幂转指 、指转幂”会更隐蔽，在一个是抽象函数不等式的条件变形更灵活，而涉及到跨模块结合，如“导数构造与 三角、 数列”得结合处构造容易成为出题考察的成创新点。
考向01 求导运算构造1：幂函数型构造
幂积型构造： 若已知分析问题； 幂积型构造： 若已知分析问题；
1．（2025高二·全国·专题练习）函数是定义在区间上可导函数，其导函数为且满足，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，根据导数判断函数单调性，结合函数单调性解不等式.
【详解】根据题意，设，，
则；
由已知当时，，则有，
即在上单调递增，
又，变形可得，
即，
又函数在上单调递增，
则有，
解得：，
故选：B．
2．（25-26高三上·河南·月考）已知定义在上的可导函数的导函数为，若，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，，利用导数判断出在上单调递减，由已知可得，再利用的单调性可得答案.
【详解】因为，，所以，
令，，
则，
因为，，所以，
所以在上单调递减，
因为，所以，所以，
即，可得，
又因为在上单调递减，
所以，解得.
故选：A.
3．（24-25高三·福建三明·期中）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依题可设，，由其导数可知在上为增函数，又由可得则，分析可得的符号，进而分析在上的符号规律，结合函数的奇偶性即可解出.
【详解】设，，则其导数，
而当时，所以，即在上为减函数，
又由，为定义在上的奇函数，则，
则，
所以区间上，，在区间上，，
则在区间上，，在区间上，，
又由是定义在上的奇函数，则，
且在区间上，，在区间上，，
综合可得：不等式的解集为．
故选：B.
4．（24-25高三·四川遂宁·月考）已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，求导后判断的单调性，然后根据单调性解不等式即可.
【详解】令，则，
所以在上单调递减，则原不等式等价于，
因为，所以，
所以，所以，解得，
所以不等式的解集为.
故选：B
考向02 求导运算构造2：指数函数型构造
.指数积型： 指数商型：
5．（25-26高三·新疆喀什·阶段练习）已知偶函数及其导函数的定义域均为，且对任意的都有，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】令，可得，根据题意，得到单调性，且为偶函数，把不等式转化为，得到，即可求解.
【详解】解：令，可得，
因为对任意时，都有，
所以，在上单调递增，
又因为函数为上的偶函数，可得也是上的偶函数，
所以在上单调递减，在上单调递增，且图象关于轴对称，
由不等式，即，
即，所以，可得，
所以，解得，即不等式的解集为.
故选：B.
6．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数的导函数为，若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意构造函数，通过判断函数的单调性及的值来解不等式
【详解】设，则，
因为对任意实数x，都有，所以，所以为定义在上的减函数，
因为为奇函数，所以，则，所以，则不等式转化为，即，由于函数在定义域上单调递减，所以，故不等式的解集是．
故选：C．
7．（24-25高三·四川达州模拟）定义在上的函数，且，对，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造，利用导数得在上单调递减，把转化为，利用单调性解不等式即可.
【详解】，，
构造，
所以，
所以在上单调递减，且，
不等式可化为，即，所以，
所以原不等式的解集为.
故选：B.
8．（24-25高三·山东·模拟）已知定义在上的函数，其导函数为，满足，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，结合题意可得函数是定义在上的偶函数，又当时，在上单调递减，当时，函数在上单调递增，又，可得，即可得出不等式的解集．
【详解】令，则，
当时，，
所以当时，，
即函数在上单调递减，
又，则，
，
由，
得，
即，
则，即是奇函数，所以是偶函数，
则当时，函数在上单调递增，
因为，所以，，
又，所以即，则，
所以不等式的解集为.
故选：B．
考向03 求导运算构造3：对数函数型构造
. 对数型构造：
9．（23-24高三·江苏南通·月考）已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，由题意可得当时，，即可得的单调性，结合，可得，又，结合单调性即可得解.
【详解】令，则，
由当时，，则当时，，
即在上单调递减，
由，则，
由，即，故.
故选：D.
10．（23-24高二下·福建福州·月考）定义在上的函数满足，（若，则，c为常数），则下列说法错误的是（ ）
A．
B．在取得极小值，极小值为
C．只有一个零点
D．若在上恒成立，则
【答案】B
【分析】首先构造函数的导数，并求函数的解析式，得，再利用导数判断函数的单调性，即可判断AB；由函数的性质，确定函数的图象，即可判断C；利用参变分离，将不等式恒成立，转化为，利用导数判断函数的单调性，即可求解函数的最大值.
【详解】∵且，可得，
则有，故（c为常数），
又，则，得，故，，
，
当，即，解得：，，此时单调递增，
当，即，解得，，
当，即解得：，，此时单调递减，
对于A，由于，单调递增，，单调递减，
∵，可得，
∵，，∵.
故，故A正确：
∴，取得极大值，，故B错误；
对于C，当，，，，，，
画出草图，如图：
根据图象可知：只有一个零点，故C正确；
对D，要在上恒成立
即：在上恒成立，
∵，可在上恒成立，
只需，令，，
当，；单调递增，
当时，；单调递减，
，；
则，即，故D正确；
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据条件构造函数的导数，即可求解函数的解析式.
11．（23-24高三·河北邢台·月考）若不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，转化为，构造函数，分析单调性，将利用单调性转化为在上恒成立，分离参数求解最大值即可.
【详解】因为不等式在上恒成立，
所以在上恒成立，
构造函数令，则在上恒成立，
所以，
令，则，
令，得：，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
所以在单调递增，
当在上恒成立时，在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，则，令，得，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以.
故选：A
【点睛】方法点睛：不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，构造函数令，则在上恒成立，利用单调性转化为在上恒成立，分离参数求解即可.
12．（23-24高三上·河南周口·月考）已知函数的定义域为，导函数为，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，，则由题意可知，设，，则有，不等式等价于，利用单调性求解即可.
【详解】设，，不等式恒成立，可知，
设，，则，，
且，
于是在上单调递增，注意到，
不等式，等价于，
即，得，解出.
故选：A．
【点睛】方法点睛：证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
考向04 求导运算构造4：三角函数型构造
.正弦函数型： 余弦函数型： ，
13．（2023·全国·模拟预测）已知函数满足，且在处取极值，则下列说法中正确的是（ ）
A．的定义域为 B．是偶函数
C．在处取极小值 D．的最大值为
【答案】C
【分析】
根据已知等式有意义可构造不等式求得函数定义域，知A错误；由已知等式变形可得，由此得到，根据可求得的值，进而确定，根据偶函数定义知B错误；根据的正负可确定单调性，由极小值定义可知C正确；利用换元法，结合二次函数的最值可求得D错误.
【详解】
对于A，有意义，，
且，，
的定义域为，A错误；
对于B，，
，，
，，
在处取极值，，解得：，
，
，不是偶函数，B错误；
对于C，由B知：，
令，解得：或，
则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
在处取得极小值，C正确；
对于D，令，则，
，，
即，D错误.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查采用构造函数的方式来求解函数的相关性质的问题，解题关键是能够通过对已知等式的变形，将其转化为的导函数的形式，进而结合极值定义推导得到函数解析式.
14．（23-24高三·重庆·月考）函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意可构造函数，利用导数判断其单调性，结合其奇偶性，即可判断的正负情况，结合，即可求得答案.
【详解】令，则，
由于当时，，故此时，
则在上单调递减，
由于函数是定义在上的奇函数，
则，即为上的偶函数，
则在上单调递增，
而，故，
故当或时，，当或时，，
由可得或，解得或，
故不等式的解集为，
故选：B
【点睛】关键点点睛：关键是构造函数，并得出其单调性、奇偶性，由此即可顺利得解.
15．（23-24高二下·内蒙古·期末）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先构造函数，利用导数判断函数的单调性，再求解不等式.
【详解】设，，
所以函数单调递增，
，
即，得，所以，
所以不等式的解集为.
故选：D
16．（22-23高二下·重庆·期末）设是函数的导函数，当时，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用三角函数公式化简已知，再构造函数，利用函数单调性依次判断选项.
【详解】，
设在单调递增，
，所以A错误；
，
所以，所以B正确；
，所以C错误；
，
，所以D错误.
故选：B
考向05 求导运算构造5：线性型构造
. 对数型线性构造： y=ln（kx+b）与y=f(x)的加、减、乘、除各种结果逆向思维 指数型线性构造：
17．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数，对任意的，都有，当时，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，求得，得到为上的奇函数，根据题意求得，进而得到函数在上为减函数，把不等式，转化为，即可求解.
【详解】令，则，
可得，
即，所以为上的奇函数，
因为时，，可得，
所以在为单调递减函数，且，
所以函数在上为单调递减函数，
由不等式，
可得
整理得到，
即，可得，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：B.
18．（22-23高三下·辽宁大连·开学考试）设函数是定义在上的可导函数，且，，若关于的方程有个不等实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将已知等式变形为，即，令，可知，结合可得，由此得到解析式，将问题转化为与有两个不同交点的问题，利用导数求得单调性和最值，采用数形结合的方式可求得结果.
【详解】，由得：，
则，
令，则，，
又，，则；
，当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
又，当时，恒成立，
大致图象如下图所示，
则当时，与有两个不同交点，
即当时，方程有两个不等实数根.
故选：D.
19．（22-23高三上·全国·月考）已知e为自然对数的底数，若，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将进行变形为，从而构造函数，利用导数判断其单调性，由此可判断答案.
【详解】由题意，知,
∴ ，
∴ ，
∴ ,
设 ，则 ，
令 ，则,
当 时， ，在单调递减，
∴，在单调递增，则，
当时，，在单调递增，∴，
则单调递增，．
而，∴ .
而，即，
∴ ，
则，故B正确；
对于A，，即，由 ，
即，则不一定成立，A错误；
对于C，因为一定成立，，则不一定成立，C错误；
对于D，由A的分析过程可知，可推出一定成立，但推不出，D错误，
故选：B
【点睛】关键点睛：由题意要将已知不等式化简变形，即将一步步化简为，这正是本题的难点所在，要能根据不等式中的结构特征，有目的性地一步步化简到最后这个结果，从而构造函数，利用导数判断函数单调性，解决问题.
20．（22-23高三上·四川·月考）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据所求不等式的形式，构造函数，利用题目中的条件判断出在上单调递减，进而将所求转化为，再利用单调性求出解集．
【详解】设，则．
因为，所以，即，所以在上单调递减．
不等式等价于不等式，即．
因为，所以，所以．
因为在上单调递减，所以，解得．
故选：C．
考向06 求导运算构造6：综合构造
. 构造函数多重型： 二次构造：
21．（22-23高三下·江西·月考）定义在上的函数的导函数都存在，且，则必有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】通过分析不等式，构造新函数求导后得出单调性，即可得出结论
【详解】由题意，，
由，得．
设函数，则，
∴在上单调递增，从而．
即，即．
故选：A.
【点睛】本题考查导数的应用与不等式的综合，考查数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养．
22．（22-23高三上·全国·月考）已知函数及其导函数的定义域均为， ，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，结合题设条件可得为上的增函数，而原不等式即为，从而可求原不等式的解集.
【详解】令，
则，
因为，故（不恒为零），
故为上的增函数，
故即为，
而，
故的解为，
即的解为.
故选：B.
23．（21-22高三下·河南信阳·月考）已知定义在上的偶函数（函数的导函数为）满足，，若，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先判断的周期性，利用构造函数法，结合导数来求得不等式的解集.
【详解】依题意，且为偶函数，
，所以是周期为的周期函数.
，，
由于为偶函数，所以，
构造函数，在上递增，
不等式，，
，.
所以不等式的解集为.
故选：B
24．（21-22高三上·江苏南京·月考）已知对任意的，不等式恒成立，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】不等式中出现的指数式，对数式，故可以考虑同构，将原不等式变形为，以实现不等式左、右两边统一于函数，再利用导数研究函数的单调性，从而由可得，再分离参数求最值即可.
【详解】因为对任意的，不等式恒成立，
即对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
设，则，
因为，又，
所以，所以在上单调递增，
所以对任意的恒成立，即对任意的恒成立，
令，，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以.
故选:A
考向07 比大小构造1：指对同构型
.把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构形式完全相同，构造函数，利用函数的单调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法．同构法主要解决含有指数、对数混合的等式或不等式问题． 利用恒等式x＝ln ex和x＝eln x，通过幂转指或幂转对进行等价变形，构造函数，然后由构造的函数的单调性进行研究．
1．（2025·江西·模拟预测）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，利用导数判断出单调性，再利用单调性可得答案.
【详解】令，则，令，得；
令，得，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以，
即，
得，即，所以，
所以，即.
故选：D.
2．（24-25高二下·河南·月考）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，求导得函数单调性，进一步即可比较大小.
【详解】因为，，，
构造函数，求导得，
令，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以.
故选：A.
3．（24-25高二下·重庆·月考）若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，借助导数研究在上的单调性，利用单调性得到，，将变形，利用函数在上单调性得到，即可得解.
【详解】因为，所以令，.
令，解得.
所以当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
因为，所以，即；
因为，所以，即.
而和，则
综上可知，.
故选：D
4．（24-25高三下·重庆·月考）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数，则有、、，结合导数计算可得其单调性，即可得解.
【详解】令，则，
则当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
又、、，
由，故.
故选：C.
考向08 比大小构造2：三角函数型
. 三角函数常见的放缩不等式： （1）的放缩：当时，；当时，. （2）的放缩：当时，.
5．（22-23高二下·陕西咸阳·月考）已知，，满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先根据题意以及对数函数性质可以判断出，然后构造函数，求导后判断函数的单调性即可对B、D判断；构造函数，求导后判断函数的单调性即可对A、C判断.
【详解】
又，，
，
若，则不满足条件，
若、时， ，不满足条件
当、时，成立；
又函数的图像恒在上方，
设，，，
对B、D：构造函数，，
令，（）
，且在定义域内单调递增，故
因此可知，时单调递增，即
，故B错误；故D正确.
对A、C：构造函数，，所以，
令，则在时恒成立，
所以在区间上单调递减，且，，
所以存在，使，
当，，当，，
所以在区间上单调递增，在上单调递减，
即在区间上不单调，
所以，无法比较大小，故A、C错误；
故选：D.
6．（2022·广东韶关·一模）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】构造函数，利用导数证明，进而比较大小，再根据正余弦函数性质比较大小即可得答案.
【详解】解：当，又，所以，故
记，所以，
令，得，令，得，
所以在单调递减，在单调递增.
所以，即，当时取等号.
所以，
所以.
故选：C.
7．（21-22高三上·新疆克拉玛依·月考）已知，，，则，，的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作差法比较出，构造函数，利用函数单调性比较出，从而得出.
【详解】，所以，故，又，则在上单调递减，又，，所以存在，使得，且在时，，在时，，即在上单调递增，在单调递减，且，所以，又因为，所以当时，，其中因为，所以，所以，故，即.
故选：B
8．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】对条件等式进行化简，并对进行分类讨论，通过构造函数并考虑其单调性进行大小比较.
【详解】当时，，即；
当时，，即.
故当时，，，四个选项均成立.
当，时， 化简得 .
先考虑函数，.
则，故在上单调递增.
因为，所以.因为，所以，即.
若，，则，根据的单调性，可知.
故此情况下，，.可排除B、D选项.
若，，则，根据的单调性，可知.
故此情况下，，.可排除A选项.
综上，当满足题目条件时，恒成立.
故选：D
考向09 比大小构造3：连等方程型
.连等方程形式，要通过连等式子的处理来寻找解题转化点。 连等式子，涉及到超越函数指数性质，可以通过两边取对数化简，再同构构造转化。 分函数法：对应变量分别放到方程两边，进行同构转化。
9．（24-25高三·全国·专题练习）若则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】构造函数，求导，得出函数的单调性，从而得，再由已知得，两边取自然对数可得选项．
【详解】由函数，，
所以时，，函数 单调递增，时，，函数 单调递减，
又，与，所以将不等式两边取自然对数得，
故选：A．
【点睛】本题考查构造函数，研究其单调性，得出代数式的大小关系，属于较难题．
10．（24-25高三·全国·专题练习）已知，且，，.若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令，利用导数可知在上单调递增，上单调递减，由已知及，，即可判断的大小关系.
【详解】由题意知：，，，又，，，
令，则，
∴当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
又且，，
∴，即.
故选：A
11．（2022·河南·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】变形，构造函数，通过二次求导可知函数单调性，然后利用单调性可得a、b符号.
【详解】，设，
则，
设，则，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以，所以，单调递增．
当时，，故此时；
当时，，故此时，所以.
故选：C．
12．（25-26高三上·山东淄博·期中）已知实数，，满足，则下列关系不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】问题转化为，，的图象与直线交点的横坐标，结合函数图象即可判断.
【详解】依题意，令，则，，，
则，，可分别视为函数，，的图象与直线交点的横坐标，
又与互为反函数，函数图象关于对称且的图象一直在的图象的上方，
即与没有交点，所以一定不成立；
在同一坐标系中画出函数，，和的图象，如图，
当直线为时，；
当直线为时，；
当直线为时，；
当直线为时，；
当直线为时，；
当直线为时，；
综上所述，，，都有可能成立，而不可能成立.
故选：B
考向10 比大小构造4：泰勒级数型
.泰勒展开式x0=0时得麦克劳林展开式，常常用于放缩法进行比较大小，常用的麦克劳林展开式如下： ， ， ， ， ，
13．（22-23高三上·江苏无锡·期末）设，，，这三个数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式得到，结合的单调性，比较出，先利用多次求导，得到，，从而得到，比较出.
【详解】，
∵，而在上单调递增，
∴
且时，，以下是证明过程：
令，，
，令，
故，令，
故，令，
则，令，
故，令，
故在上恒成立，
故在上单调递增，
所以，故在上单调递增，
所以，故在上单调递增，
所以，故在上单调递增，
所以，故在上单调递增，
∴，
∴，
∴.
故选：C．
【点睛】方法点睛：麦克劳林展开式常常用于放缩法进行比较大小，常用的麦克劳林展开式如下：
，
，
，
，
，
.
14．（2022·全国甲卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解.
【详解】[方法一]：构造函数
因为当
故，故，所以；
设，
，所以在单调递增，
故，所以，
所以，所以，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当，
取得：，故
，其中，且
当时，，及
此时，
故，故
所以，所以，故选A
[方法三]：泰勒展开
设，则，，
，计算得，故选A.
[方法四]：构造函数
因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
15．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
16．（2021·全国乙卷·高考真题）设，，．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】[方法一]：
，
所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于
所以当0所以在上单调递增，
所以，即，即；
令，则，，
由于，在x>0时，，
所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b综上，，
故选：B.
[方法二]：
令
，即函数在（1，+∞)上单调递减
令
，即函数在（1，3)上单调递增
综上，，
故选：B.
【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.
考向11 同构型求参1：绝对值型同构
绝对值型构造是导数构造中的特殊类型，核心是处理含绝对值的函数不等式，通过 “去绝对值 + 构造辅助函数”，结合函数奇偶性、单调性转化为常规导数问题。最常见的是不等式含，则可以通过去掉绝对值转化为同构函数形式。 绝对值的本质是 “距离” 或 “非负性”，在导数问题中，绝对值型构造的核心目标是消除绝对值符号，将问题转化为可通过单调性、最值分析的函数关系
1．（24-25高三·全国·专题练习）已知函数，对任意，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出函数在上的最值，等价于，解出即可．
【详解】因为，所以，
当时，对任意的，，恒有；
当时，, 恒有，
所以在上是单调递增函数，对任意的，不等式 恒成立, 只要，
又，,
所以，即, 解得,
所以的取值范围是．
故选：B．
2．（2022·河南洛阳·一模）已知函数，，若存在，使得成立，则实数k的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】不妨设，根据，的单调性，将不等式等价于，即，令，需在上单调递减，运用导函数得需，分离参数得，令，求出导函数，分析其导函数的符号，得出所令函数的单调性和最值，由此可求得实数k的范围.
【详解】解：，，不妨设，因为，所以在上单调递增，所以，
又在上单调递增，所以，
所以不等式等价于，即，
令，又，所以需在上单调递减，
又，所以在上，需，即，
令，则，所以在上单调递增，所以，
所以，
要使存在，使得成立，则实数k的范围是，
故选：C.
3．（2022·安徽宣城·二模）已知函数，对，恒有，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求导确定在上单调递减，由得到，构造函数得在上单调递减，即在上恒成立，参变分离后求出a的取值范围即可.
【详解】由题意知，定义域为，，又，故，在上单调递减，
不妨设，对，恒有，即，，
令，由上可知在上单调递减，则在上恒成立，
从而恒成立，设，，
当时，单减；当时，单增；
，故.
故选：D.
【点睛】本题关键点在于由的单调性，将转化为，从而得到在上单调递减，
即在上恒成立，参变分离后求出a的取值范围即可.
4．（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，结合题意易得，构造函数，转化为存在，使得，对求导后按照和两类进行讨论求解即可.
【详解】函数在上为增函数，
不妨设，则，，
所以由，得，
则，
设，，则，
而，
当时，，函数在上为增函数，
此时不存在，使得；
当时，要满足题意，则在区间上有变号零点，
使得在区间上不单调，
则，即，
设，，则，
令，得；令，得，
所以函数在上为增函数，在上为减函数，
又，且时，，所以.
故选：C.
考向12 同构型求参2：同构求参
.常见的同构函数有： ①f(x)＝；②f(x)＝xln x；③f(x)＝xex；④f(x)＝. 其中①④可以借助＝＝，②③可以借助xex＝(ln ex)ex＝(ln t)t＝tln t进行指对互化．
5．（2024·河南·模拟预测）已知，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，转化为恒成立，令，利用导数求得为单调递增函数，得到恒成立，进而转化为恒成立，构造函数，利用导数求得单调性和最小值，即可求解.
【详解】因为，所以整理不等式，
可得，转化为恒成立，
令，则，
因为，所以在上单调递增，所以恒成立，
又因为，所以，
所以对任意的恒成立，即恒成立，
构造函数，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，当时，，所以，即．
故选：B．
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
6．（24-25高二下·湖北武汉·期末）关于x的不等式对恒成立，实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用同构得到，当时，满足要求，当时，令，则在上恒成立，求导后得到函数单调性，从而得到，构造，求导得到单调性，进而得到，得到答案.
【详解】由可得，即，
当时，，不等式在上显然成立；
当时，令，则在上恒成立，
由，在上，所以在上单调递增，
又时，，，
所以只需在上恒成立，即恒成立．
令，则，即在上单调递增，
其中，故，所以此时有．
综上，．
故选：B.
7．（21-22高三下·河南·月考）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据题目不等式构造，得到，构造，，证明出在上恒成立，得到在上单调递减，转化为在上恒成立，求出实数的取值范围.
【详解】依题意，．
令，
则．
令，，
则，
所以在上单调递减，
则，
所以在上恒成立，
故在上单调递减，
所以在上恒成立，故在上恒成立，
其中在单调递增，故．
所以，实数的取值范围是.
故选：D
【点睛】同构思想，在利用导函数求解参数的取值范围问题上，经常考察，通常题目特征为题干条件中同时出现了指数函数和对数函数，则可以考察同构的方法.
8．（24-25高二下·四川广元·期中）已知对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将不等式进行变形，构造函数，根据其单调性得到，转化为恒成立问题，通过求函数在上的最大值来确定的取值范围.
【详解】设，则.
∵时，，，∴，故在上单调递增.
∵对恒成立，∴当时，，则有，
当时，可等价变形为.
∵在上单调递增，且，（），
∴由可得，即对恒成立.
设，则.
令得，令得，令得，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴当时，.
∵对恒成立，
∴，即实数的取值范围是.
故选：B
考向13 同构型求参3：双变量型同构求参
.双变量构造同构是解决高考导数中双变量问题（如比较大小、证明不等式、求参数范围等）的核心方法，双变量问题的本质矛盾是 “两个变量的关联性难以直接分析”，同构的核心是找到变量关联的 “统一函数结构”：核心思路是通过式子变形与函数构造，将含两个变量x1与x2的复杂关系，转化为同一函数f（t））函数值关系（如f（x1) > f（x2)，再利用f（t））的单调性、最值等性质简化求解。
9．（2022·全国·模拟预测）对任意的，当时， 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题得，即在单调递减，在恒成立，即得解.
【详解】解：由题得，
因为，所以函数在单调递减，
所以在恒成立，
所以在恒成立，所以.
故选：D
10．（24-25全国 专题练习）已知函数 对于 恒有 则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由单调递增去掉不等式中的绝对值，再转化为，而后构造函数，恒成立问题转化为求函数值域问题.
【详解】解：求导可得，
由的范围可知，即在区间上单调递增，故
，
则原不等式可化为.
又，
不妨设，由可得，且.
令，，则有且，原不等式可化为
，
即，
即在上恒成立.
设，可知在上单调递增，
则在上恒成立，故.
令，则，
因为，，
故在上单调递减，在上单调递增，
，即，
故选：.
【点睛】关键点点睛：首先根据单调递增去掉不等式中的绝对值，而后变形构造函数，这是本题的关键.
11．（2025高二·全国·专题练习）若对都有成立，则的最大值为 .
【答案】
【分析】由，得，构造函数，利用导数法得到的单调性，利用单调性得到a的取大值.
【详解】由，得，
则，即，
有，令，
所以，令，
当时，，当时，，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以当时，，
所以，故a的最大值为.
故答案为：.
12．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）已知函数，若，且，恒有，则正实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】令整理使和分别在左右两侧得到，构造函数，所以在上单调递减，由得，由同构得到，结合函数在上单调递增，得，再构造函数，利用导数求最大值即可得到的取值范围.
【详解】若，且，恒有，
令，则，，
令，则时，即在上单调递减，
则，所以，，
令，恒成立，在上单调递增，
故由，得，恒成立，所以，
令，，令得，
时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，
所以，故．
故答案为：.
【点睛】方法点睛：同构法解决求参数取值范围问题
本题中，将整理为，构造函数，
将整理为，构造函数.
考向14 构造求值与求范围1：同构求值
同构求值” 是导数构造中 “构造求值与求范围” ，思路是通过式子变形凑出同一函数结构（即 “同构”），同构求值的本质是 “利用函数的唯一性建立等式”，利用该函数的单调性、奇偶性或最值特性，建立变量间的等量关系，进而求解未知值。 要注意以下几个容易错误的地方： 1.忽略函数定义域导致构造失效 2.同构变形不彻底，遗漏关键步骤 3.未验证函数单调性，直接等同自变量。
1．（2022·四川遂宁·三模）已知满足，（其中是自然对数的底数），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对两边取对数，得,再与相加整理得，构造函数，根据单调性，即可求解.
【详解】解：,两边取对数得：，又，两式相加得：
，即，
令，故上式变为，易知在上单调递增，
故，故，
故选：A
2．（2025·四川南充·一模）已知函数，若直线与两条曲线和共有四个不同的交点、、、，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】别求得和，得出的单调性，作出函数的图象，得到或，求得，再由指数幂与对数的同构化简，分类讨论，即可求解.
【详解】由函数，可得，
当时，可得，单调递减；
当时，可得，单调递增；
又由，可得，
当时，可得，单调递减；
当时，可得，单调递增，
画出函数，和的图象，如图所示，
可得或，
可得，
又由，
①当时，
即，可得，即，
所以，所以.
②又由，可得，即，
所以，所以，
综上可得：.
故选：A.
3．（21-22高二下·河南郑州·期末）若 恒成立，则实数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】同构函数，求导，在定义域内分析函数的单调性和函数的最小值即可.
【详解】由 ，得 ，
令 ，则上式变为： ，因为 是增函数，
所以原式等价于 ，即 ，恒成立 ；
设 ，若 ，则 ，，
是增函数， ，当 时， ，不符合题意，
故 ， ，
令 ，得 ，当 时，，
当 时， ，故 ，
设 ，
当 时， ，当 时， ，
在 时取得最大值， ，
即 ，当a=1时，等号成立；
故a=1；
故选：A.
4．（24-25全国 专题练习）已知实数，满足，则的值为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，，得，变形为，令，，求导求最值得,结合取等条件求出x,y即可
【详解】设，，则
，
令，(m)=m<1,(m)>0,m>1,(m)<0,则在单调递增单调递减，
令，则单调递减，单调递增
由题意，，，，,故x+y=2
故选A
【点睛】本题考查导数与函数的综合，导数与函数的最值问题，换元思想，将题目转化为两个函数的最值问题是关键，是难题
考向15 构造求值与求范围2：同构求范围
是通过式子变形凑出同一函数结构（同构），利用该函数的单调性、最值或值域特性，将含参数或多变量的问题转化为单变量函数的范围分析，进而求解参数取值范围或变量组合的范围。求解思路如下： 1.同构变形建立变量关联。 2.分析构造的哈数的单导性 3.建立变量等式与目标函数 4.求目标函数的最值与范围 5.要注意恒成立或者存在型的“最值方向”
5．（23-24高二下·辽宁本溪·期末）已知分别是函数与的零点，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题将两个函数的零点代入函数式，得到等式，再同构函数，，利用导数分析单调性求出最值即可.
【详解】由题意可知，则，
即，又
所以，则.设，则，
所以在上单调递增，所以，则，所以，
则.
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，所以的最大值为.
故选：C.
【点睛】方法点睛：（1）利用等式同构函数；（2）化简，同构函数；（3）利用导数分析单调性并求出最值.
6．（2025·山西晋中·模拟预测）若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将恒成立转化为，令，利用导数求出的最大值，可得，又由，求得答案.
【详解】由，对任意恒成立，
即，
令，，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，
，即，，
又由切线放缩可知，，
，即，
所以的最大值为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将恒成立参变分离求得，再根据切线放缩得，得解.
7．（2025·江西·二模）已知，若在上恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先分析和的单调性，结合单调性可知，和有两个相同正根，进而利用韦达定理得出，再通过构造函数来求最值即可.
【详解】①因，则，
由得，；得，，
所以在上单调递增，上单调递减，
因，则，
因，则，即，
则，
又，
则由零点存在性定理可知，在和内分别存在一个零点，
②若，则在上单调递增；
若，则在上单调递减，在上单调递增；
③因为恒成立，
所以和有两个相同正根，且，
对于方程，即，
则，且，；
由和，可得，
两式相加得，，即，
令，对求导，.
令，即，解得.
当时，，递增；当时，，递减.
所以在处取最大值，.
综上， 的最大值为.故选：B.
8．（24-25高二下·湖南·月考）已知实数满足，且，若实数使得关于的方程在区间上有解，则的最小值是 .
【答案】
【分析】根据题意整理可得，，构建函数，结合单调性可得，以为变量，则为直线上的点到原点的距离的平方，可得，构建，利用导数求最值即可得结果.
【详解】因为，则，
又因为，整理可得，
构建，则，
可知在内单调递减，
由可知，且，则，
则即为，
以为变量，则为直线上的点到原点的距离的平方，
则原点到直线的距离，
可得，
构建，则，
可知在内单调递增，则，
所以的最小值是.
故答案为：.
考向16 构造求值与求范围3：方程求值
通过构造辅助函数，利用函数的单调性、奇偶性或零点特性，将含未知变量的方程转化为 “函数值相等→自变量关联” 的关系，进而求解未知量或其组合。特殊条件下，可能会涉及到韦达定理型构造和转换
9．（2025高三·全国·专题练习）已知实数满足，求的值 ．
【答案】
【分析】构造函数，求导，判断单调性，结合条件得出，然后可求的值．
【详解】因为实数满足，
所以，，
令，则，即，
令,
所以在单调递增，而，
，
．
故答案为：．
10．（2025高三·全国·专题练习）已知函数有三个不同的零点，且，则的值为 .
【答案】
【分析】由题意得关于的方程有三个不同的根，且，令，进一步转化为，由韦达定理得，最后利用韦达定理即可求解.
【详解】由题意有：，
又，令，
所以关于的方程有三个不同的根，且，
令，所以，令得，
由，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以，当时，，
令，则，
所以，必有两根，，不妨设，
若，则，故，此时，矛盾，
若，则，矛盾，
所以，
由韦达定理有：，
所以有一根，有两个根，且，
所以，
故答案为：.
11．（23-24高二下·山东枣庄·期中）已知实数满足，则 .
【答案】
【分析】令，求出，根据证明，令，求出的递增区间，根据，求出，求出.
【详解】由条件得，，
令，，则，
因为，所以，
令，则，
显然当时，，
在上单调递增，
因为，，
所以，
所以.
故答案为：.
12．（22-23高三上·山东·月考）已知，，且不等式成立，则 .
【答案】
【分析】将不等式整理为，设，利用导数可求得，根据可确定，，由此可得结果.
【详解】由得：，
设，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，；
，，
又，，
，，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究不等式问题，解题关键是采用构造函数的方式，令，将不等式转化为的形式，通过对于最值的求解确定自变量的取值.
冲刺练
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．（2025高三·全国·专题练习）函数的定义域为，，对任意，，则的解集为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，结合已知及导数与单调性关系即可求解．
【详解】令，
因为对任意，，
所以，即在上单调递减，
又因为，所以，
由，可得，即，
所以，即不等式的解集为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了利用单调性求解不等式，解题的关键是构造函数并利用导数知识求解单调性．
2．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数的导函数满足，则下列判断正确的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设，可得，可得在上单调递减，利用函数的单调性进行判断可得答案.
【详解】解：由，得
设，则，故在上单调递减，则，即，即,
故选D.
【点睛】本题主要考查导函数在函数单调性中应用，由已知设是解题的关键.
3．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在非零实数集上的函数满足：，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，利用导数判断的单调性，从而判断出正确答案.
【详解】令，则，
所以函数是定义域上的减函数，
由于，，
所以
所以，即.
故选：A
4．（23-24高二下·河南漯河·期中）已知n个大于2的实数，对任意（），存在满足且，则使得成立的最大正整数n为（ ）
A．21 B．23 C．25 D．27
【答案】A
【分析】两边取对数，，令，求导得到其单调性，故，又，结合，故，则有，解得，结合，得到，求出答案.
【详解】由，且，故，即，
令，则，
故当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
由得 ，，又，故，
又，故，
若，则有，即，
因为，所以，
故使得成立的最大正整数n为21.
故选：A
【点睛】关键点点睛：两边取对数，，构造，求导得到其单调性，结合，得到，结合题目条件得到，求出答案.
5．（2025·陕西榆林·一模）已知，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过构造函数，利用函数的单调性来分析的关系，进而确定的取值范围.
【详解】解法1：由题意可知，
设，则函数在上单调递增．
又，所以，．
设，则，令得．
当时，；当时，．
因此在单调递减，在单调递增，
故，因此，
故选：B．
解法2：由题意可知，
设，则函数在单调递增．
又，所以，．
设，则，令得．
当时，；当时，．
因此在单调递减，在单调递增，
故，因此，
故选：B．
6．（25-26高三上·安徽·月考）若不等式对恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】先求出函数的导函数，再应用导函数正负得出函数单调性，进而得出，最后构造函数，结合导函数得出函数单调性可得出最大值.
【详解】令，则，
因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．
因为不等式对恒成立，所以，
则．
令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以．
故选：A．
7．（2025·湖北·模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据的数字特征分别构造函数、，利用导数可求得单调性，由和可确定的大小关系.
【详解】令，则，
在上单调递增，，
即，，又，，即；
令，则，
令，则，在上单调递减，
，在上单调递减，
，即，；
综上所述：.
故选：C.
8．（25-26高三上·云南曲靖·月考）已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】同构变形得到，设，故，构造函数得到在上恒成立，故只需在区间上单调递增，求导，得到当时，在区间上恒成立，从而得到答案.
【详解】不等式可化为，设，
则不等式满足，
设，，则，
令得，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
故，所以在上恒成立，
故要不等式解集为，
只需在区间上单调递增，而，
，故，即，其中，，
故当时，在区间上恒成立，
所以实数的取值范围为.故选：A．
二、多选题
9．（24-25高二下·湖南长沙·月考）已知，则下列选项正确的有（　　）
A．
B．
C．
D．若，则
【答案】ABD
【分析】设，扇形的半径为1，则弧长，再利用面积法证明，进而可得，则可判断选项A；利用已知条件和单调函数的定义，则判断出函数在上为减函数，则可判断选项B；由已知条件可得，再利用指数函数和幂函数的图象和性质，则可判断选项C；利用二倍角的正弦公式可得，再结合余弦函数的单调性，则可判断选项D，进而找出正确的选项.
【详解】设，扇形的半径为1，则弧长，
过作交的延长线与点，
由图形可得，
由题意可得三角形的边上的高为，
所以，
所以.
对于A，因为，又因为，
所以，所以，故A正确；
对于B，因为，由，
令，
在上，即得
所以可得在上为减函数，
又因为，所以，
所以，故B正确；
对于C，由，则，且，
又因为，则，
所以，故C错误；
对于D，由，可得，
又因为，则，
所以，所以，
又因为在是减函数，所以，故D正确.
故答案为：ABD.
10．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】对函数求导，求函数单调性，逐项计算，即可求解.
【详解】令，则，当，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．
因为，函数在上单调递减，所以，
即，又因为，故，即，
所以A错误；
因为，函数在上单调递增，所以，
即，则，故B正确；
因为，函数在上单调递减，所以，即，
而因为，两边取对数得到，两边同时除以2得到，
所以C正确；
因为，变形可得，由函数的单调可知，故D正确．
故选：BCD．
11．（24-25高二上·安徽六安·期末）下列不等关系中正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】令，利用导数说明函数的单调性，利用函数的单调性判断A、D，利用与0的大小关系判断B；令，求导，利用单调性判断C.
【详解】令，则，
所以当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以，
又，所以，所以，
所以，所以，故A正确；
又，即，所以，即，故D正确；
因为，所以，故B正确；
令，则，
当时，，即函数在上为减函数，
所以，所以，所以，
所以，即即，故C错误.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：解决的关键在于观察不等式的结构，通过构造函数，判断函数的单调性，利用单调性比较大小即可.
三、填空题
12．（2025高三·全国·专题练习）若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将恒成立的不等式同构为，令，根据单调性可确定；分离变量得到，令，利用导数可求得，由此可得的取值范围.
【详解】，等价于，
即，
令，则原不等式等价于，
，在上单调递增，，
又，对任意的恒成立，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，，解得：，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
13．（25-26高三上·河北·期中）若 对任意的恒成立，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】方法一：化同构，，设，利用导数的单调性与最值求解.
方法二：化同构，，设，利用导数的单调性与最值求解.
【方法一】第一步：化同构
由题意得，所以由，得，得.
第二步：换元，构造函数
设，则，设，
第三步：利用导数研究函数的单调性与最值，即可得解
，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，得，
所以的取值范围是.
【方法二】第一步：化同构
由题意得，所以由，得，得，得.
第二步：换元，构造函数
设，则，，设，
第三步：利用导数研究函数的单调性与最值，即可得解
则，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以，所以的取值范围是.
故答案为：.
14．（25-26高三上·福建三明·开学考试）已知正实数满足，则 .
【答案】#
【分析】一方面，对条件变形及利用基本不等式得；另一方面，可构造函数，利用导数求出函数最大值，进而得到，从而得出，解出即可得解.
【详解】由，得．
因为均为正实数，所以（当且仅当，即时取等号），
所以，即．
令，则，
当时，单调递增；当时，，单调递减，
故，
即（当且仅当时取等号），
因此，即（当且仅当时取等号）．
由和可得，
则有解得 所以．
故答案为：.
结束
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题04导数“构造”应用归类
内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 重难考向聚焦 锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 重难考向保分攻略 授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化 重难冲刺练 模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感”
近三年：高考数学中，导数构造（含同构法）是高考数学导数板块的核心难点与高频考点，其考察本质是通过 “构造辅助函数” 将抽象、复杂的导数问题转化为可利用单调性、最值求解的常规问题，集中体现对数学抽象、逻辑推理与转化思想的考查.导数构造与同构是解决抽象函数不等式、指对混合问题、双变量比较等难点的核心方法，核心在于根据导函数特征或式子结构构造辅助函数，利用单调性与最值简化求解。 预测2026年：2026 年高考导数构造的考察将延续 “基础模型为核心、综合应用为难点、跨模块结合为创新点” 的趋势，基础构造模型（幂函数型、指数函数型、对数函数型、三角函数型）仍是考察导数构造的基础，但会通过 “隐蔽条件设计” 提升区分度，一个是指对混合基础题：“幂转指 、指转幂”会更隐蔽，在一个是抽象函数不等式的条件变形更灵活，而涉及到跨模块结合，如“导数构造与 三角、 数列”得结合处构造容易成为出题考察的成创新点。
考向01 求导运算构造1：幂函数型构造
幂积型构造： 若已知分析问题； 幂积型构造： 若已知分析问题；
1．（2025高二·全国·专题练习）函数是定义在区间上可导函数，其导函数为且满足，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26高三上·河南·月考）已知定义在上的可导函数的导函数为，若，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三·福建三明·期中）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三·四川遂宁·月考）已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
考向02 求导运算构造2：指数函数型构造
.指数积型： 指数商型：
5．（25-26高三·新疆喀什·阶段练习）已知偶函数及其导函数的定义域均为，且对任意的都有，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数的导函数为，若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高三·四川达州模拟）定义在上的函数，且，对，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三·山东·模拟）已知定义在上的函数，其导函数为，满足，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
考向03 求导运算构造3：对数函数型构造
. 对数型构造：
9．（23-24高三·江苏南通·月考）已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
10．（23-24高二下·福建福州·月考）定义在上的函数满足，（若，则，c为常数），则下列说法错误的是（ ）
A．
B．在取得极小值，极小值为
C．只有一个零点
D．若在上恒成立，则
11．（23-24高三·河北邢台·月考）若不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24高三上·河南周口·月考）已知函数的定义域为，导函数为，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
考向04 求导运算构造4：三角函数型构造
.正弦函数型： 余弦函数型： ，
13．（2023·全国·模拟预测）已知函数满足，且在处取极值，则下列说法中正确的是（ ）
A．的定义域为 B．是偶函数
C．在处取极小值 D．的最大值为
14．（23-24高三·重庆·月考）函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
15．（23-24高二下·内蒙古·期末）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
16．（22-23高二下·重庆·期末）设是函数的导函数，当时，，则（ ）
A． B．
C． D．
考向05 求导运算构造5：线性型构造
. 对数型线性构造： y=ln（kx+b）与y=f(x)的加、减、乘、除各种结果逆向思维 指数型线性构造：
17．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数，对任意的，都有，当时，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
18．（22-23高三下·辽宁大连·开学考试）设函数是定义在上的可导函数，且，，若关于的方程有个不等实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
19．（22-23高三上·全国·月考）已知e为自然对数的底数，若，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
20．（22-23高三上·四川·月考）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
考向06 求导运算构造6：综合构造
. 构造函数多重型： 二次构造：
21．（22-23高三下·江西·月考）定义在上的函数的导函数都存在，且，则必有（ ）
A． B．
C． D．
22．（22-23高三上·全国·月考）已知函数及其导函数的定义域均为， ，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
23．（21-22高三下·河南信阳·月考）已知定义在上的偶函数（函数的导函数为）满足，，若，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
24．（21-22高三上·江苏南京·月考）已知对任意的，不等式恒成立，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考向07 比大小构造1：指对同构型
.把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构形式完全相同，构造函数，利用函数的单调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法．同构法主要解决含有指数、对数混合的等式或不等式问题． 利用恒等式x＝ln ex和x＝eln x，通过幂转指或幂转对进行等价变形，构造函数，然后由构造的函数的单调性进行研究．
1．（2025·江西·模拟预测）设，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·河南·月考）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二下·重庆·月考）若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高三下·重庆·月考）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
考向08 比大小构造2：三角函数型
. 三角函数常见的放缩不等式： （1）的放缩：当时，；当时，. （2）的放缩：当时，.
5．（22-23高二下·陕西咸阳·月考）已知，，满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·广东韶关·一模）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（21-22高三上·新疆克拉玛依·月考）已知，，，则，，的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
考向09 比大小构造3：连等方程型
.连等方程形式，要通过连等式子的处理来寻找解题转化点。 连等式子，涉及到超越函数指数性质，可以通过两边取对数化简，再同构构造转化。 分函数法：对应变量分别放到方程两边，进行同构转化。
9．（24-25高三·全国·专题练习）若则（ ）
A． B．
C． D．
10．（24-25高三·全国·专题练习）已知，且，，.若，，，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·河南·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
12．（25-26高三上·山东淄博·期中）已知实数，，满足，则下列关系不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
考向10 比大小构造4：泰勒级数型
.泰勒展开式x0=0时得麦克劳林展开式，常常用于放缩法进行比较大小，常用的麦克劳林展开式如下： ， ， ， ， ，
13．（22-23高三上·江苏无锡·期末）设，，，这三个数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·全国甲卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
16．（2021·全国乙卷·高考真题）设，，．则（ ）
A． B． C． D．
考向11 同构型求参1：绝对值型同构
绝对值型构造是导数构造中的特殊类型，核心是处理含绝对值的函数不等式，通过 “去绝对值 + 构造辅助函数”，结合函数奇偶性、单调性转化为常规导数问题。最常见的是不等式含，则可以通过去掉绝对值转化为同构函数形式。 绝对值的本质是 “距离” 或 “非负性”，在导数问题中，绝对值型构造的核心目标是消除绝对值符号，将问题转化为可通过单调性、最值分析的函数关系
1．（24-25高三·全国·专题练习）已知函数，对任意，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南洛阳·一模）已知函数，，若存在，使得成立，则实数k的范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·安徽宣城·二模）已知函数，对，恒有，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考向12 同构型求参2：同构求参
.常见的同构函数有： ①f(x)＝；②f(x)＝xln x；③f(x)＝xex；④f(x)＝. 其中①④可以借助＝＝，②③可以借助xex＝(ln ex)ex＝(ln t)t＝tln t进行指对互化．
5．（2024·河南·模拟预测）已知，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高二下·湖北武汉·期末）关于x的不等式对恒成立，实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．（21-22高三下·河南·月考）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高二下·四川广元·期中）已知对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考向13 同构型求参3：双变量型同构求参
.双变量构造同构是解决高考导数中双变量问题（如比较大小、证明不等式、求参数范围等）的核心方法，双变量问题的本质矛盾是 “两个变量的关联性难以直接分析”，同构的核心是找到变量关联的 “统一函数结构”：核心思路是通过式子变形与函数构造，将含两个变量x1与x2的复杂关系，转化为同一函数f（t））函数值关系（如f（x1) > f（x2)，再利用f（t））的单调性、最值等性质简化求解。
9．（2022·全国·模拟预测）对任意的，当时， 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．（24-25全国 专题练习）已知函数 对于 恒有 则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．（2025高二·全国·专题练习）若对都有成立，则的最大值为 .
12．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）已知函数，若，且，恒有，则正实数的取值范围为 ．
考向14 构造求值与求范围1：同构求值
同构求值” 是导数构造中 “构造求值与求范围” ，思路是通过式子变形凑出同一函数结构（即 “同构”），同构求值的本质是 “利用函数的唯一性建立等式”，利用该函数的单调性、奇偶性或最值特性，建立变量间的等量关系，进而求解未知值。 要注意以下几个容易错误的地方： 1.忽略函数定义域导致构造失效 2.同构变形不彻底，遗漏关键步骤 3.未验证函数单调性，直接等同自变量。
1．（2022·四川遂宁·三模）已知满足，（其中是自然对数的底数），则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·四川南充·一模）已知函数，若直线与两条曲线和共有四个不同的交点、、、，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（21-22高二下·河南郑州·期末）若 恒成立，则实数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（24-25全国 专题练习）已知实数，满足，则的值为
A． B． C． D．
考向15 构造求值与求范围2：同构求范围
是通过式子变形凑出同一函数结构（同构），利用该函数的单调性、最值或值域特性，将含参数或多变量的问题转化为单变量函数的范围分析，进而求解参数取值范围或变量组合的范围。求解思路如下： 1.同构变形建立变量关联。 2.分析构造的哈数的单导性 3.建立变量等式与目标函数 4.求目标函数的最值与范围 5.要注意恒成立或者存在型的“最值方向”
5．（23-24高二下·辽宁本溪·期末）已知分别是函数与的零点，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
6．（2025·山西晋中·模拟预测）若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·江西·二模）已知，若在上恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高二下·湖南·月考）已知实数满足，且，若实数使得关于的方程在区间上有解，则的最小值是 .
考向16 构造求值与求范围3：方程求值
通过构造辅助函数，利用函数的单调性、奇偶性或零点特性，将含未知变量的方程转化为 “函数值相等→自变量关联” 的关系，进而求解未知量或其组合。特殊条件下，可能会涉及到韦达定理型构造和转换
9．（2025高三·全国·专题练习）已知实数满足，求的值 ．
10．（2025高三·全国·专题练习）已知函数有三个不同的零点，且，则的值为 .
11．（23-24高二下·山东枣庄·期中）已知实数满足，则 .
12．（22-23高三上·山东·月考）已知，，且不等式成立，则 .
冲刺练
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．（2025高三·全国·专题练习）函数的定义域为，，对任意，，则的解集为( )
A． B． C． D．
2．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数的导函数满足，则下列判断正确的是
A． B．
C． D．
3．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在非零实数集上的函数满足：，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二下·河南漯河·期中）已知n个大于2的实数，对任意（），存在满足且，则使得成立的最大正整数n为（ ）
A．21 B．23 C．25 D．27
5．（2025·陕西榆林·一模）已知，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26高三上·安徽·月考）若不等式对恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
7．（2025·湖北·模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（25-26高三上·云南曲靖·月考）已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（24-25高二下·湖南长沙·月考）已知，则下列选项正确的有（　　）
A．
B．
C．
D．若，则
10．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）．
A． B．
C． D．
11．（24-25高二上·安徽六安·期末）下列不等关系中正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．（2025高三·全国·专题练习）若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是 ．
13．（25-26高三上·河北·期中）若 对任意的恒成立，则a的取值范围是 .
14．（25-26高三上·福建三明·开学考试）已知正实数满足，则 .
结束
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