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专题04 指数函数、对数函数与幂函数
易错点1 对根式性质理解不到位出错
易错典题
【例1】(多选题)（25-26高一上·湖南衡阳·期末）下列各式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A：由（易错点），故A正确；
此选项求解时容易错写成
对于B：由，故B正确；
对于C：当为正奇数，则，当为正偶数，则（易错点），
注意对a分正、负数两种情况讨论
如，故C错误；
对于D：由，故D正确.
故选：ABD
【错因分析】认为，等式子成立，从而造成错解.
知识混淆：混淆根式的性质和分数指数幂的运算律，未针对根指数n分奇数和偶数讨论求解.
概念模糊：对根式及分数指数幂的概念理解不清，导致思维存在漏洞.
望文生义：想当然认为，成立，从而造成错解.
避错攻略
【方法总结】(1)处理根式问题一定要注意分析根指数的奇偶性，因为根指数奇偶性的不同，被开方数的取值范围不同，如中当为奇数时,为偶数时,，另外根式的化简结果也不同；
分数指数幂中的不能随便约分，要注意底数取值范围的改变．
【知识链接】1.根式的概念
一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且.
（1）当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次方根用符号表示.
（2）当是偶数时,正数的次方根有两个,记为,负数没有偶次方根.
（3）0的任何次方根都是0,记作.
式子叫做根式,其中,且叫做根指数,叫做被开方数.
2.根式的性质
根据次方根的意义,可以得到:
（1）.（2）当是奇数时,;当是偶数时,
3．分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数指数幂 规定
负分数指数幂 规定
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
举一反三
【变式1-1】（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A选项：，，故A错误；
对于B选项：，故B错误；
对于C选项：，故C正确；
对于D选项：当时，，而当时，没有意义，故D错误.
故选：C
【变式1-2】（多选）（25-26高一上·黑龙江绥化·月考）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】对于选项A：，故A错误；
对于选项B：，故B正确；
对于选项C：，故C正确；
对于选项D：，故D错误．
故选：BC.
【变式1-3】（多选）（25-26高一上·吉林·期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】A选项，，A选项正确；
B选项，，B选项错误；
C选项，，C选项正确；
D选项，，D选项正确.
故选：ACD
易错点2 忽略底数对指数函数性质的影响
易错典题
【例2】(2026山东泰安外国语学校月考)已知函数， 的值域为，则的取值范围是 ．
【.答案】
【解析】 当时，，
当时，取得最小值，最小值为，此时的值域为，
当时，，
①当时（易错点）
需对a分两种情况讨论：a>1或0函数在上为单调递增，可得的值域为，
要使得函数的值域为，则，解得；
②当时（易错点），函数在为单调递减，可得的值域为，
此时函数的值域不可能为，舍去，
综上可得，实数的取值范围为.
【错因分析】求解a的取值范围时，未对a与1的大小关系分类讨论.
知识混淆：a>1与0概念模糊：对分段函数的解题策略理解不够，从而造成错解.
望文生义：到 “ax=1” 就默认方程有解，想当然认为B一定非空，未结合参数a的取值对集合B存在性的影响进行全面分析.
避错攻略
【方法总结】若指数(型)函数的底数含参,则解题时要根据底数与1的大小关系进行分类讨论.
【知识链接】1 指数函数的概念
一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是.
【注意】学习指数函数的定义，注意一下几点
（1）定义域为：
（2）规定是因为：
①若，则（恒等于1）没有研究价值；
②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义；
③若，则中为偶数，为奇数时，无意义.
④只有当或时，即，可以是任意实数.
2底数对指数函数图像与性质的影响
（1）底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”.
①当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快.
②当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快.
（2）底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”.
在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低；
在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；
在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”；
举一反三
【变式2-1】（25-26高三·河北衡水·期末）已知函数（且）在区间上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由且，得为单调递减函数，
由复合函数单调性法则得，
又，解得．
故选：C．
【变式2-2】（24-25高三·北京·期末）函数在区间上的最小值是，则的值是 .
【答案】或
【解析】令，则，其对称轴为，
当时，因为，所以，
所以函数在上单调递减，
所以当时，，解得，
当时，因为，所以，
所以函数在上单调递减，
所以当时，，解得.
综上，所以或.
故答案为：或
【变式2-3】（24-25·四川攀枝花·模拟预测）已知奇函数在上的最大值为，则（）
A．或3 B．或2 C．3 D．2
【答案】A
【解析】因为是奇函数，所以，所以．
即，则，解得，
经检验符合题意，所以，
当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，
所以， ，整理得，
解得或(舍去)，所以；
当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，
所以，，整理得，
解得或(舍去)，所以，
综上，或3．
故选：A．
易错点3 忽视对数式成立的条件而出错
易错典题
【例3】（24-25高三上·山西太原·期中）已知函数（，）的图象经过点，则不等式的解集为 .
【答案】
【解析】由题意可得，则，解得，
由函数在上单调递减，
则，可得，（易错点）
忽视对数式的真数大于0而致错
解得，
【错因分析】本题在求解过程中容易忽略对数式成立的条件，漏掉这一隐含条件而出错.
知识混淆：混淆一般不等式与对数不等式的解法，从而忽视了真数必须大于0这一隐含条件.
概念模糊：将对数不等式转化为普通不等式时的逻辑推导不清晰，未系统分析各对数真数是否在于0导致出错
望文生义：直接将对数不等式转化为普通不等式，而忽略了考虑真数的大小.
避错攻略
【方法总结】基于对数式，其中对应的参数各自有其成立的条件，分别为底数a>0且a≠1,真数N>0，在解决对数问题时，一定要充分考虑对应的隐含条件或限制条件,避免出现遗漏或多解.
【知识链接】1．对数的定义
一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．
2．常用对数与自然对数
通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为.在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为底的对数称为自然对数，并记为.
3．指数与对数的互化
当时，.
4．对数的性质
（1）；（2）；（3）零和负数没有对数．
5．对数运算性质
如果，且，那么：
；
；
．
【注意】对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．
举一反三
【变式3-1】（25-26高三上·湖北武汉·期中）若：，：，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】，故，解得，
，解得，
因为是的真子集，
所以是的充分不必要条件.
故选：A
【变式3-2】（25-26高三上·山西忻州·期末）已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，函数
设，则有，解可得，
即函数的定义域为，关于原点对称，
又由，即函数为奇函数，
设，则，
，在上为增函数，而在上为增函数，
故在区间上为增函数，
又为增函数，所以在区间上为增函数，
不等式即为，
也即，
所以，解得.
故选：A.
【变式3-3】（25-26高三上·河南·期中）已知函数为奇函数.
(1)求a的值；
(2)求满足的x的取值范围.
【解析】（1）因为函数为奇函数，所以，
则，
即，
则.
（2）由（1）知，，
由，解得，即函数的定义域为，
由，，
即，
即，
即，
则，解得，
又，则，
即x的取值范围为.
易错点4 判断对数型复合函数的单调性忽略定义域
易错典题
【例4】（25-26高三上·天津蓟州·月考）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 （易错点），
注意在定义域范围内求单调区间
由于为减函数，在上单调递增，在上单调递减，
则的单调递减区间是，
故选：C.
【错因分析】本题求解时容易错解中忽视了函数f(x)的定义域，从而导致求得的单调区间不在定义域范围内.
知识混淆：将复合函数的单调性与普通函数的单调性混淆.
概念模糊：对对数函数的单调性概念理解不够透彻，从而导致未先求定义域而致错.
望文生义：忽视定义域，凭直观求函数的单调区间，从而造成范围扩大化的错误.
避错攻略
【方法总结】因为单调区间是定义域的子集，在解函数问题时，一定要树立“定义域优先”的意识.
【知识链接】1.复合型函数单调性规律
若函数在内单调，在内单调，且集合.
(1)若是增函数，是增(减)函数，则是增(减)函数
(2)若是减函数，是增(减)函数，则是减(增)函数
2.复合型函数单调性判断步骤
第一步：求函数的定义域
第二步：令内函数为，画出其图像，从而确定其函数的单调性
第三步：画出外函数的图象并确定其单调性
第四步：利用结论同增异减判断.
举一反三
【变式4-1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即a的范围是.
故选：B.
【变式4-2】（25-26高三上·河北邯郸·月考）函数，其中且，在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，，在定义域上为减函数，
又函数在上是减函数，则在定义域上为增函数，，
要使函数有意义，则，
又在上为减函数，在上的最小值为，即，
综上，实数的取值范围为.
故选：A.
【变式4-3】（2025·陕西西安·模拟预测）关于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．的定义域为 B．在区间上单调递增
C．的值域为 D．的图象关于原点对称
【答案】C
【解析】选项A：由题意，即，
所以，即，解得，故A正确；
选项B：令，
当时，单调递减，
所以在上单调递增，
又当时，函数在上单调递增，
根据复合函数单调性原则可知在上单调递增，故B正确；
选项C：因为，所以，
则，所以，
则，
所以值域为，故C错误；
选项D：因为定义域为关于原点对称，且，
所以，
所以为奇函数，图象关于原点对称，故D正确.
故选：C
易错点5 利用换元法求值域遗忘范围
易错典题
【例5】（2026江西南昌五中月考）若函数值域为R且在区间上单调递增，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】 因为的值域为，在区间上单调递增
所以函数与轴有交点，即方程有实根，
所以，解得或①；
因为函数在区间单调递增，
且是减函数，所以在区间单调递减且恒为正，
所以(易错点)
在区间内真数t的值不能为负数
解得②，
由①②可得，所以实数的取值范围是.
【错因分析】研究形如y=loga f(x)(a>0且a≠1)的函数的性质,可转化为研究f(x)的性质,同时要注意f(x)>0这一隐含条件.
知识混淆：将y=loga f(x)(a>0且a≠1)的值域与y= loga (x)的值域混淆.
概念模糊：未正确理解对数型复合函数值域的求法，从而导致思维受阻.
望文生义：遇到对数型复合函数时，想当然认为真数的范围为“真数大于0”，而忽视了真数还受真数表达式的影响，从而造成错误.
避错攻略
【方法总结】换元，将真数设为t，由x的范围求得t的范围，再求得复合函数的范围.
【知识链接】1.指数型复合函数值域的求法
（1）形如（，且）的函数求值域
借助换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围
（2）形如（，且）的函数求值域
借助换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。
2.对数型复合函数值域的求法
（1）形如（，且）的函数求值域
借助换元法：令，先求出的值域，再利用在上的单调性，再求出的值域。
（2）形如（，且）的函数的值域
借助换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。
举一反三
【变式5-1】（25-26高三上·广东湛江·月考）的值域为，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 因为的值域为，
所以的值域包含，
所以，解得.
故选：C.
【变式5-2】 (多选)（24-25高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．定义域为R
B．值域为
C．在上单调递增
D．在上单调递减
【答案】ABD
【解析】对于A，函数的定义域为R，故A正确；
对于B，因为，所以，
故函数的值域为，故B正确；
对于CD，因为在R上是减函数，
在上是减函数，在上是增函数，
所以函数在上单调递减，C错误，D正确.
故选：ABD.
【变式5-3】（多选）（25-26高一上·天津河西·月考）已知的值域为，则 ，函数，在区间上是减函数，则实数的取值范围为 ．
【答案】，
【解析】因为
令，则，
由二次函数性质可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
因为，，
所以，，
所以函数的值域为，即函数的值域为，故，
所以函数
由题意可知函数在区间上是减函数，
当时，，二次函数的对称轴为，在对称轴左侧单调递减，
，解得；
当时，，在时单调递减；
又，即；
综上，实数的取值范围是．
易错点6 错判幂函数的性质
易错典题
【例6】（多选）（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（ ）
A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数
B．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数
C．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数
D．时，幂函数在上是增函数
【答案】ABD
【解析】对于选项A：若m，n是奇数时，则，
此时的定义域为，且，
所以幂函数是奇函数，故A正确；
对于选项B：若m是奇数，n是偶数时，则，
此时的定义域为，且，
所以幂函数是偶函数，故B正确；
对于选项C：m是偶数，n是奇数时，则，
此时的定义域为，不关与原点对称(易错题)，
忽略函数的定义域致错
所以幂函数不具有奇偶性，故C错误；
对于选项D：时，由幂函数性质可知：在上是增函数，故D正确；
故选：ABD.
【错因分析】对于幂函数，整数m,n取不同的值，对幂函数的单调性、奇偶性、定义域以及图像分布都有影响，这一点在判断幂函数的性质时是一个容易出错的知识点，要在复习中高度重视..
知识混淆：混淆幂指数为奇数、偶数时的性质，从而造成思维混乱.
概念模糊：幂函数幂指数不同，性质也不同，对幂函数性质理解模糊，从而造成错解.
望文生义：审题不清，从而导致思维混乱.
避错攻略
【方法总结】幂函数有关的问题，一定要注意幂指数对函数定义域的影响，这也是这类问题的高频错点，另外还要注意平常说的指数符号对应的单调性是相对第一象限而言.
【知识链接】1.幂函数的概念、解析式、定义域、值域
幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．
解析式：y＝xa＝
【注意】定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；
2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数．
当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：
1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数．
2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数．
而只有a为正数，0才进入函数的值域．
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的．
2.幂函数的性质
所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）．
（1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、图象都通过点（1，1）（0，0）；
b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；
c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右；
d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数．
（2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、图象都通过点（1，1）；
b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上；
c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．
（3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线．
举一反三
【变式6-1】（25-26高三上·江苏淮安·期末）已知幂函数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．是奇函数 D．的值域为
【答案】D
【解析】幂函数，A选项错误；
定义域为，又因为，所以是偶函数，C选项错误；
幂函数，所以的值域为，D选项正确；
因为幂函数在上单调递增，所以，B选项错误.
故选：D.
【变式6-2】（多选）（河北省邢台市2025-2026学年高三上期末）已知幂函数在上单调递增，函数．若，，，则的值可能是（ ）
A．8 B．18 C．24 D．27
【答案】BC
【解析】由题意知，解得或；
当时，函数在上单调递增，符合题意；
当时，函数在上单调递减，不合题意；
因此，
由，可得,
因为函数在上单调递增，若，可得，
依题意可知，解得；
所以，即的值可能是18，24.
故选：BC
【变式6-3】（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知幂函数在上单调递增，.
(1)求函数的解析式；
(2)当时，求函数的值域.
【解析】（1）由题意可知，，解得或，
又在上单调递增，所以，所以.
（2）由（1）知，，所以，当时，，
即，
令，，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，
所以时，，即函数的值域为.
一、单选题
1．（25-26高三上·宁夏石嘴山·月考）下列结论中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．
【答案】C
【解析】对于：利用指数运算的公式：，则，故错误；
对于：，，故错误；
对于：，所以 ，化简得，所以，故正确；
对于：因为，所以，故错误.
故选：.
2．（2025·上海·高考真题）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（ ）．
A． B． C． D．3
【答案】B
【解析】因为幂函数在上是严格减函数，所以，故C错误，D错误；
对于A，若，则，当时，，
所以幂函数过点，故A错误；
对于B，若，则，当时，，
所以幂函数过点，故B正确.
故选：B.
3．（25-26高三·江苏·假期作业）已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】通过幂函数定义解出，再通过判定出，根据单调性再解即可.
【解析】由为幂函数可知：或，
又，故在单调递减，故，所以，
则得，即，整理得，
解得或或，
实数的取值范围是.
故选：D.
4.（2026·河北沧州·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数在区间上单调递增，
令，而函数在定义域内单调递减，
所以在区间上单调递减，
又因为，有恒成立，
则，求解可得
所以．
故选：D
5．（24-25高三上·海南海口·期末）已知函数（，且）的值域为，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，则，
要使函数（，且）的值域为，
则是函数的值域的子集，又时，，
所以，所以的范围是.
故选：D.
6．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（ ）
A．2h B．4h C．20h D．40h
【答案】B
【解析】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为,
由题意，，
，
，
因为，所以，
所以，
所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时.
7．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知且，函数，若函数在区间上的最大值比最小值大，则a的值为（ ）
A．或2 B．或2 C．2或 D．或
【答案】D
【解析】①当时，函数在上是减函数，在上也是减函数.
∵，∴函数的最大值为，而，∴函数的最小值为，
∴，解得，符合题意.
②当时，函数在上是增函数，在上是减函数.
∵，
∴函数的最大值为，而，，
当时，，此时函数的最小值为，因此有，无解；
当时，，此时函数的最小值为，因此有，解得，符合题意.
综上所述，实数的值为或.
故选：D
8．（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】法一：设，所以
令，则，此时，A有可能；
令，则，此时，C有可能；
令，则，此时，D有可能；
故选：B．
法二：设，所以，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着的变化可能出现：，，，，
故选：B．
多选题
9．（2026高三·全国·专题练习）下列各式运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】对于A，，A正确
对于B，，B正确，
对于C，，C错误，
对于D，，D错误，
故选：AB.
10．（25-26高三上·云南德宏·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有＂数学王子＂的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的＂高斯函数＂为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：．已知函数，则下列叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数
B．是奇函数
C．的值域是
D．在上是减函数
【答案】BC
【解析】对于A：因为，，
所以，则不是偶函数，故A错误；
对于B：函数的定义域为，
且，所以是奇函数，故B正确；
对于C：因为，所以，则，，
所以，即，
所以的值域为，故C正确；
对于D：因为，函数在上单调递增且，
又在上单调递增，
所以在R上是增函数，故D错误；
故选：BC
11.（25-26高三上·江西赣州·期末）对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为
B．的图象关于点对称
C．在区间上单调递增
D．
【答案】BCD
【解析】对于A,由 得且，所以的定义域为，故A 错误；
对于B，，所以的图象关于点对称，故B正确
对于C，时，在单调递增，单调递增，在上单调递增，故C正确；
对于D， ,易得在单调递减，，
又，所以，故D正确.
故选：BCD.
填空题
12．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则 ．
【答案】64
【解析】由题，整理得，
或，又，
所以，故
13．（25-26高三上·山东·期中）已知幂函数是奇函数，则不等式的解集为 .
【答案】
【解析】由题意知，得，解得或，
当时，为偶函数，不符合题意；
当时，为奇函数，符合题意．
作出其图像，如下，
由图像知，当，且递减；
当，且递减．
当，即时，
由，得，
解得，所以；
当，此时；
当，即时，根据，
所以不成立，故；
当时，即时，，
此时恒成立，所以；
综上所述：不等式的解集为.
14．（25-26高三上·北京大兴·月考）设函数，若的值域为，则a的一个取值为 ；若值域为且在上是增函数，则实数a的最小值为 .
【答案】 0（答案不唯一） /
【解析】要使的值域为，令，则能取遍内的所有值，
因此，解得或，
故若的值域为，则a的一个取值可以为0，
若值域为且在上是增函数，则需满足，解得或，
故的值域为且在上是增函数，则实数a的最小值为，
故答案为：0（答案不唯一），
解答题
15．（2025·安徽·模拟预测）已知幂函数是上的偶函数，将函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移一个单位长度得到的图象.
(1)求函数的解析式，并求函数的值域；
(2)设，解关于的不等式：.
【解析】（1）因为是上的幂函数，所以，解得或，
又是偶函数，所以，所以，
所以.
因为的值域为，函数在上单调递增，
所以的值域为.
（2）由（1），即，可化为，
若，则解得或；若，解得；若，解得或；
综上，若，则不等式的解集为；若，则不等式解集为；若，则不等式的解集为.
16．（25-26高三上·上海·期末）已知函数.如果存在非零常数和非零常数，对于任意，有，且恒成立，则称函数是上的“级递减类周期函数”，类周期为；如果存在非零常数和非零常数，对于任意，有，且恒成立，则称函数是上的“级类周期函数”，类周期为.
(1)已知，判断函数是不是上的“2级递减类周期函数”，类周期为1，并说明理由.
(2)已知是上的“级类周期函数”，类周期；且在上严格单调递增.当时，，试写出当时，函数的解析式，并求实数的取值范围.
(3)已知是上的“1级类周期函数”，类周期，且在区间中存在唯一，使为函数的最大值，是否存在非零实数，，函数是上的“级类周期函数”，且类周期为 若存在，求出所有必定满足条件的；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）的定义域为，且，
，
，
，，
函数是上的“2级递减类周期函数”，类周期为1；
（2）是上的“级类周期函数”，类周期，
，，
当时，，
当时，，，，
，，
即，
当时，，，，
，，
即，
当时，，，
，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
在上严格单调递增，
，，实数的取值范围为；
（3）是上的“1级类周期函数”，类周期，
，
假设存在非零实数，使得是上的“级类周期函数”，
且类周期为，即对于任意的，恒有，
中存在唯一，使为函数的最大值，，
则对于任意的，恒有成立，
即对于任意的，恒有成立，
，，，
，，
，，
由函数有界性可知，此等式不成立，
故不存在这样的值，符合题意.
17．（25-26高三上·山东东营·期末）已知函数的定义域为，对于，不等式的解集为.
(1)若，，求；
(2)证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意的，都有”；
(3)已知，对于任意的，，不等式的解集为，不等式的解集为，当，都有，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为，，所以即为，解得，所以.
（2）必要性：若“函数是偶函数”，
则“对任意的，都有”.
因为函数是偶函数，所以，若，即，
因为，所以，
即，所以，得证；
充分性：若“对任意的，都有”，则“函数是偶函数”.
因为对，不等式，
又任意的，都有，所以，
所以同理对，不等式，
又任意的，都有，所以，
所以对，，即对，，
即函数是偶函数.
（3）因为，都有，即当，则，
即若，则，所以，
所以在上不存在单调递增区间，
因为，所以恒成立，
当时，显然成立，所以.
当时，恒成立，令，，
故为单调递减函数，所以，则；
当时，，令，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，所以，即.
综上，，即的取值范围为.
18．（2026·云南大理·二模）已知函数．
(1)当时，求的定义域；
(2)若在区间上单调递减，求a的取值范围；
(3)当时，证明：若，，则．（参考数据：，，）
【解析】（1）由题设，则，故定义域为．
（2）由，则有，，
由在区间上单调递减，则在上恒成立，
令且，则，
在上，则单调递增，故，解得．
（3）当，则，且，
设，则，
当，则，当，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
①当，，当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增，所以；
②当，，，
故，使，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减，
所以，
由①②得．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题04 指数函数、对数函数与幂函数
易错点1 对根式性质理解不到位出错
易错典题
【例1】(多选题)（25-26高三上·湖南衡阳·期末）下列各式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A：由（易错点），故A正确；
此选项求解时容易错写成
对于B：由，故B正确；
对于C：当为正奇数，则，当为正偶数，则（易错点），
注意对a分正、负数两种情况讨论
如，故C错误；
对于D：由，故D正确.
故选：ABD
【错因分析】认为，等式子成立，从而造成错解.
知识混淆：混淆根式的性质和分数指数幂的运算律，未针对根指数n分奇数和偶数讨论求解.
概念模糊：对根式及分数指数幂的概念理解不清，导致思维存在漏洞.
望文生义：想当然认为，成立，从而造成错解.
避错攻略
【方法总结】(1)处理根式问题一定要注意分析根指数的奇偶性，因为根指数奇偶性的不同，被开方数的取值范围不同，如中当为奇数时,为偶数时,，另外根式的化简结果也不同；
分数指数幂中的不能随便约分，要注意底数取值范围的改变．
【知识链接】1.根式的概念
一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且.
（1）当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次方根用符号表示.
（2）当是偶数时,正数的次方根有两个,记为,负数没有偶次方根.
（3）0的任何次方根都是0,记作.
式子叫做根式,其中,且叫做根指数,叫做被开方数.
2.根式的性质
根据次方根的意义,可以得到:
（1）.（2）当是奇数时,;当是偶数时,
3．分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数指数幂 规定
负分数指数幂 规定
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
举一反三
【变式1-1】（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（多选）（25-26高三上·黑龙江绥化·月考）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（多选）（25-26高三上·吉林·期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
易错点2 忽略底数对指数函数性质的影响
易错典题
【例2】(2026山东泰安外国语学校月考)已知函数， 的值域为，则的取值范围是 ．
【.答案】
【解析】 当时，，
当时，取得最小值，最小值为，此时的值域为，
当时，，
①当时（易错点）
需对a分两种情况讨论：a>1或0函数在上为单调递增，可得的值域为，
要使得函数的值域为，则，解得；
②当时（易错点），函数在为单调递减，可得的值域为，
此时函数的值域不可能为，舍去，
综上可得，实数的取值范围为.
【错因分析】求解a的取值范围时，未对a与1的大小关系分类讨论.
知识混淆：a>1与0概念模糊：对分段函数的解题策略理解不够，从而造成错解.
望文生义：到 “ax=1” 就默认方程有解，想当然认为B一定非空，未结合参数a的取值对集合B存在性的影响进行全面分析.
避错攻略
【方法总结】若指数(型)函数的底数含参,则解题时要根据底数与1的大小关系进行分类讨论.
【知识链接】1 指数函数的概念
一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是.
【注意】学习指数函数的定义，注意一下几点
（1）定义域为：
（2）规定是因为：
①若，则（恒等于1）没有研究价值；
②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义；
③若，则中为偶数，为奇数时，无意义.
④只有当或时，即，可以是任意实数.
2底数对指数函数图像与性质的影响
（1）底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”.
①当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快.
②当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快.
（2）底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”.
在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低；
在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；
在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”；
举一反三
【变式2-1】（25-26高三·河北衡水·期末）已知函数（且）在区间上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（24-25高三·北京·期末）函数在区间上的最小值是，则的值是 .
【变式2-3】（24-25·四川攀枝花·模拟预测）已知奇函数在上的最大值为，则（）
A．或3 B．或2 C．3 D．2
易错点3 忽视对数式成立的条件而出错
易错典题
【例3】（24-25高三上·山西太原·期中）已知函数（，）的图象经过点，则不等式的解集为 .
【答案】
【解析】由题意可得，则，解得，
由函数在上单调递减，
则，可得，（易错点）
忽视对数式的真数大于0而致错
解得，
【错因分析】本题在求解过程中容易忽略对数式成立的条件，漏掉这一隐含条件而出错.
知识混淆：混淆一般不等式与对数不等式的解法，从而忽视了真数必须大于0这一隐含条件.
概念模糊：将对数不等式转化为普通不等式时的逻辑推导不清晰，未系统分析各对数真数是否在于0导致出错
望文生义：直接将对数不等式转化为普通不等式，而忽略了考虑真数的大小.
避错攻略
【方法总结】基于对数式，其中对应的参数各自有其成立的条件，分别为底数a>0且a≠1,真数N>0，在解决对数问题时，一定要充分考虑对应的隐含条件或限制条件,避免出现遗漏或多解.
【知识链接】1．对数的定义
一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．
2．常用对数与自然对数
通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为.在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为底的对数称为自然对数，并记为.
3．指数与对数的互化
当时，.
4．对数的性质
（1）；（2）；（3）零和负数没有对数．
5．对数运算性质
如果，且，那么：
；
；
．
【注意】对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．
举一反三
【变式3-1】（25-26高三上·湖北武汉·期中）若：，：，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式3-2】（25-26高三上·山西忻州·期末）已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（25-26高三上·河南·期中）已知函数为奇函数.
(1)求a的值；
(2)求满足的x的取值范围.
易错点4 判断对数型复合函数的单调性忽略定义域
易错典题
【例4】（25-26高三上·天津蓟州·月考）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 （易错点），
注意在定义域范围内求单调区间
由于为减函数，在上单调递增，在上单调递减，
则的单调递减区间是，
故选：C.
【错因分析】本题求解时容易错解中忽视了函数f(x)的定义域，从而导致求得的单调区间不在定义域范围内.
知识混淆：将复合函数的单调性与普通函数的单调性混淆.
概念模糊：对对数函数的单调性概念理解不够透彻，从而导致未先求定义域而致错.
望文生义：忽视定义域，凭直观求函数的单调区间，从而造成范围扩大化的错误.
避错攻略
【方法总结】因为单调区间是定义域的子集，在解函数问题时，一定要树立“定义域优先”的意识.
【知识链接】1.复合型函数单调性规律
若函数在内单调，在内单调，且集合.
(1)若是增函数，是增(减)函数，则是增(减)函数
(2)若是减函数，是增(减)函数，则是减(增)函数
2.复合型函数单调性判断步骤
第一步：求函数的定义域
第二步：令内函数为，画出其图像，从而确定其函数的单调性
第三步：画出外函数的图象并确定其单调性
第四步：利用结论同增异减判断.
举一反三
【变式4-1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（25-26高三上·河北邯郸·月考）函数，其中且，在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2025·陕西西安·模拟预测）关于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．的定义域为 B．在区间上单调递增
C．的值域为 D．的图象关于原点对称
易错点5 利用换元法求值域遗忘范围
易错典题
【例5】（2026江西南昌五中月考）若函数值域为R且在区间上单调递增，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】 因为的值域为，在区间上单调递增
所以函数与轴有交点，即方程有实根，
所以，解得或①；
因为函数在区间单调递增，
且是减函数，所以在区间单调递减且恒为正，
所以(易错点)
在区间内真数t的值不能为负数
解得②，
由①②可得，所以实数的取值范围是.
【错因分析】研究形如y=loga f(x)(a>0且a≠1)的函数的性质,可转化为研究f(x)的性质,同时要注意f(x)>0这一隐含条件.
知识混淆：将y=loga f(x)(a>0且a≠1)的值域与y= loga (x)的值域混淆.
概念模糊：未正确理解对数型复合函数值域的求法，从而导致思维受阻.
望文生义：遇到对数型复合函数时，想当然认为真数的范围为“真数大于0”，而忽视了真数还受真数表达式的影响，从而造成错误.
避错攻略
【方法总结】换元，将真数设为t，由x的范围求得t的范围，再求得复合函数的范围.
【知识链接】1.指数型复合函数值域的求法
（1）形如（，且）的函数求值域
借助换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围
（2）形如（，且）的函数求值域
借助换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。
2.对数型复合函数值域的求法
（1）形如（，且）的函数求值域
借助换元法：令，先求出的值域，再利用在上的单调性，再求出的值域。
（2）形如（，且）的函数的值域
借助换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。
举一反三
【变式5-1】（25-26高三上·广东湛江·月考）的值域为，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】 (多选)（24-25高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．定义域为R
B．值域为
C．在上单调递增
D．在上单调递减
【变式5-3】（多选）（25-26高三上·天津河西·月考）已知的值域为，则 ，函数，在区间上是减函数，则实数的取值范围为 ．
易错点6 错判幂函数的性质
易错典题
【例6】（多选）（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（ ）
A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数
B．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数
C．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数
D．时，幂函数在上是增函数
【答案】ABD
【解析】对于选项A：若m，n是奇数时，则，
此时的定义域为，且，
所以幂函数是奇函数，故A正确；
对于选项B：若m是奇数，n是偶数时，则，
此时的定义域为，且，
所以幂函数是偶函数，故B正确；
对于选项C：m是偶数，n是奇数时，则，
此时的定义域为，不关与原点对称(易错题)，
忽略函数的定义域致错
所以幂函数不具有奇偶性，故C错误；
对于选项D：时，由幂函数性质可知：在上是增函数，故D正确；
故选：ABD.
【错因分析】对于幂函数，整数m,n取不同的值，对幂函数的单调性、奇偶性、定义域以及图像分布都有影响，这一点在判断幂函数的性质时是一个容易出错的知识点，要在复习中高度重视..
知识混淆：混淆幂指数为奇数、偶数时的性质，从而造成思维混乱.
概念模糊：幂函数幂指数不同，性质也不同，对幂函数性质理解模糊，从而造成错解.
望文生义：审题不清，从而导致思维混乱.
避错攻略
【方法总结】幂函数有关的问题，一定要注意幂指数对函数定义域的影响，这也是这类问题的高频错点，另外还要注意平常说的指数符号对应的单调性是相对第一象限而言.
【知识链接】1.幂函数的概念、解析式、定义域、值域
幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．
解析式：y＝xa＝
【注意】定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；
2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数．
当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：
1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数．
2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数．
而只有a为正数，0才进入函数的值域．
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的．
2.幂函数的性质
所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）．
（1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、图象都通过点（1，1）（0，0）；
b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；
c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右；
d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数．
（2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、图象都通过点（1，1）；
b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上；
c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．
（3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线．
举一反三
【变式6-1】（25-26高三上·江苏淮安·期末）已知幂函数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．是奇函数 D．的值域为
【变式6-2】（多选）（河北省邢台市2025-2026学年高三上期末）已知幂函数在上单调递增，函数．若，，，则的值可能是（ ）
A．8 B．18 C．24 D．27
【变式6-3】（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知幂函数在上单调递增，.
(1)求函数的解析式；
(2)当时，求函数的值域.
单选题
1．（25-26高三上·宁夏石嘴山·月考）下列结论中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．
2．（2025·上海·高考真题）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（ ）．
A． B． C． D．3
3．（25-26高三·江苏·假期作业）已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4.（2026·河北沧州·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·海南海口·期末）已知函数（，且）的值域为，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（ ）
A．2h B．4h C．20h D．40h
7．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知且，函数，若函数在区间上的最大值比最小值大，则a的值为（ ）
A．或2 B．或2 C．2或 D．或
8．（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A． B．
C． D．
多选题
9．（2026高三·全国·专题练习）下列各式运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（25-26高三上·云南德宏·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有＂数学王子＂的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的＂高斯函数＂为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：．已知函数，则下列叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数
B．是奇函数
C．的值域是
D．在上是减函数
11.（25-26高三上·江西赣州·期末）对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为
B．的图象关于点对称
C．在区间上单调递增
D．
填空题
12．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则 ．
13．（25-26高三上·山东·期中）已知幂函数是奇函数，则不等式的解集为 .
14．（25-26高三上·北京大兴·月考）设函数，若的值域为，则a的一个取值为 ；若值域为且在上是增函数，则实数a的最小值为 .
解答题
15．（2025·安徽·模拟预测）已知幂函数是上的偶函数，将函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移一个单位长度得到的图象.
(1)求函数的解析式，并求函数的值域；
(2)设，解关于的不等式：.
16．（25-26高三上·上海·期末）已知函数.如果存在非零常数和非零常数，对于任意，有，且恒成立，则称函数是上的“级递减类周期函数”，类周期为；如果存在非零常数和非零常数，对于任意，有，且恒成立，则称函数是上的“级类周期函数”，类周期为.
(1)已知，判断函数是不是上的“2级递减类周期函数”，类周期为1，并说明理由.
(2)已知是上的“级类周期函数”，类周期；且在上严格单调递增.当时，，试写出当时，函数的解析式，并求实数的取值范围.
(3)已知是上的“1级类周期函数”，类周期，且在区间中存在唯一，使为函数的最大值，是否存在非零实数，，函数是上的“级类周期函数”，且类周期为 若存在，求出所有必定满足条件的；若不存在，请说明理由.
17．（25-26高三上·山东东营·期末）已知函数的定义域为，对于，不等式的解集为.
(1)若，，求；
(2)证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意的，都有”；
(3)已知，对于任意的，，不等式的解集为，不等式的解集为，当，都有，求实数的取值范围.
18．（2026·云南大理·二模）已知函数．
(1)当时，求的定义域；
(2)若在区间上单调递减，求a的取值范围；
(3)当时，证明：若，，则．（参考数据：，，）
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