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专题 立体几何中的外接球、内切球、棱切球问题
近三年： 外接球问题：高频考点，每年必考或隔年出现，主要以选择题、填空题形式出现，难度中等偏上，往往作为小题的压轴或次压轴题。 内切球问题：考查频率较低，多出现在特殊几何体（如正四面体、正三棱锥）中，难度中等。 棱切球问题：较少单独考查，偶尔在模拟题或竞赛背景题中出现，常与多面体的棱长相切条件结合。 预测2026年： 模型化考查：直接给出特殊几何体（如侧棱垂直底面的三棱锥、对棱相等的三棱锥），要求计算外接球半径或表面积。 动态几何体中的外接球：如圆锥、圆台的外接球，或几何体旋转后的外接球问题。 与导数、不等式结合：求外接球半径的取值范围或最小表面积，体现综合难度。
题型01 正方体长方体的外接球
解｜题｜策｜略 正方体、长方体的外接球的球心在其中心处，球的半径为体对角线的一半 若正方体边长为，则它的外接球半径为 若长方体的三边长分别为，则它的外接球半径为
1．（2025·江西宜春·模拟预测）已知棱长为3的正方体的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·云南昭通·模拟预测）已知球的半径为3，正方体所有顶点均在球面上，点是棱的中点，过点作球的截面，则所得截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·河北秦皇岛·三模）已知正方体的各顶点都在球的表面上，若球的表面积为，则平面截球所得的截面面积为 ．
题型02 三棱锥补全为正方体或长方体的外接球
解｜题｜策｜略 若三棱锥中有三条棱互相垂直，则可考虑补全为长方体或正方体，称之为墙角模型（如上图1、2、3）。这时三棱锥的外接球同补全的长方体或正方体的外接球，求球的半径公式如上。 图2为九章算术中的鳖臑，即四个面都为直角三角形的四面体。 若三棱锥的三对对棱两两相等，也可以补全为长方体或正方体（如图4），外接球的半径也同长方体或正方体的外接球半径。
1．（2025·江西·模拟预测）已知在三棱锥中，，，两两垂直，，，的外接圆的面积分别为，，，若点，，，都在球的表面上，且球的表面积为，则（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2025·辽宁大连·模拟预测）在三棱锥中，底面ABC，，，，点D满足，三棱锥的外接球为球O，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·上海浦东新·三模）已知三棱锥的四个顶点均在球的表面上，且，，，．若点到底面的距离为1，则球的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
4．（2025·河北秦皇岛·三模）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．四面体是一个鳖臑，已知是直角三角形，，，，，则平面截该鳖臑的外接球所得截面面积为 ．
5．（2025·江西新余·模拟预测）四面体的每一组对棱的长度相等，分别为，，，则该四面体的体积为 ，该四面体的外接球的表面积为 .
题型03 圆锥的外接球
解｜题｜策｜略 若圆锥的高为，底部半径为，母线长为，则圆锥的外接球半径
1．（2025·重庆·三模）已知某圆锥的外接球的体积为，若球心到该圆锥底面的距离为，则该圆锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·湖南长沙·二模）已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，以其底面圆心为球心，底面半径为半径的球和圆锥表面的交线长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·宁夏银川·三模）一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，该圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上，则该球的表面积为 .
5．（2025·新疆·三模）用一个平面截球O得到的曲面称为球冠，截面为球冠的底面，如图球冠的高大于球的半径，为底面圆心，是以为底，点S在球冠上的圆锥，若底面的半径是球的半径的倍，点A为底面圆周上一点，则与底面所成的角的大小为 ，圆锥的体积与球O的体积之比为 ．

题型04 可补为圆锥的外接球
解｜题｜策｜略 若在平面上的射影是的外接圆圆心，则可以把三棱锥补为圆锥，根据圆锥的外接球模型来求外接球半径。 若，则可以得出P在的射影为其外接圆圆心，同理补为圆锥。 正棱锥都可以补成圆锥，可以按圆锥的外接球模型来求。
1．（2025·四川达州·二模）三棱锥各个顶点均在球表面上，，外接圆的半径为，点在平面的射影为中点，且与平面所成的角为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（多选）（2025·广东揭阳·三模）三棱锥中，平面平面，，，其各顶点均在球O的表面上，则（ ）
A． B．点A到平面的距离为
C．二面角的余弦值为 D．球O的表面积为
3．（2025·全国·模拟预测）已知正三棱锥的各顶点都在体积为的球面上，正三棱锥体积最大时，该正三棱锥的高为 .
4．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知球是三棱锥的外接球，，，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为 .
5．（2025·江西·模拟预测）已知点A，B，C，D都在半径为3的球面上，且是边长为的正三角形，则三棱锥体积的最大值为 .
题型05 直棱柱、圆柱的外接球
解｜题｜策｜略 圆柱的高为，底面半径为，则圆柱的外接球半径 若是直棱柱，则可以先找直棱柱上下底的外接圆，求外接圆半径，然后补成圆柱，按圆柱的外接球半径公式来算即可。
1．（2025·湖南娄底·二模）已知正六棱柱的各个顶点都在半径为R的球面上，一个能放进该正六棱柱内部的最大的球半径为r．若，则当最小时，该正六棱柱的体积为（ ）
A．36 B．42 C．48 D．24
2．（2020·山东青岛·三模）在三棱柱中，，侧棱底面ABC，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的表面积的最小值为，则该三棱柱的侧面积为（ ）
A． B． C． D．3
3．（2025·江苏·一模）已知一圆柱内接于半径为1的球，当该圆柱的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·新疆·模拟预测）在我国著名的数学论著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的棱柱称为“堑堵”.已知在堑堵中，，，，为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，在长方体中，，以为棱作半平面分别和棱相交于点，二面角的平面角为.在三棱柱和四棱柱中分别放入半径为的球，在的变化过程中，的最大值为 .
题型06 补成柱体的外接球
解｜题｜策｜略 一条侧棱垂直于底面 以底面的外接圆为底，侧棱为高作圆柱，然后找该圆柱的外接球。如上图中图1，图2 若图形为非规则图形，但上下底平行，上下底的外接圆半径相等且两个圆心的连线垂直于上下底，这时也可以构造一个圆柱（如图3），这时圆柱的外接球即为所求的外接球。
1．（2025·河南·二模）在三棱锥P-ABC中，底面ABC为正三角形，平面ABC，，，若P，A，B，C四点都在球O的表面上，则球心O到平面PBC的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·贵州铜仁·三模）在三棱锥中，已知平面，，．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）取两个相互平行且全等的正方形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个多边形的顶点，使得侧面均为等边三角形，我们把这种多面体称作“四角反棱柱”．图中“四角反棱柱”的棱长均为4，则该“四角反棱柱”外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·福建·模拟预测）在三棱锥中，已知平面，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（多选）（2025·福建莆田·二模）在三棱锥中，平面分别为中点，下列结论正确的是（ ）
A．为直角三角形 B．平面
C．三棱锥的体积最大值为 D．三棱锥外接球的半径为定值
题型07 圆台、棱台的外接球
解｜题｜策｜略 圆台的上底半径 ,下底半径，高为，（如图1，图2），两次使用勾股定理，可求得它的外接球的半径 棱台的外接球（如图3），先找上下底面的外接圆半径，然后按照圆台的外接球半径公式。
1．（2025·河南·模拟预测）已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，该四棱台的所有顶点都在球的球面上，且球心是下底面的中心，则该四棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·甘肃甘南·模拟预测）工匠们要用一球体雕刻出一正三棱台，正三棱台的顶点都在该球体的球面上，且要求雕刻出的棱台的侧棱长为，上、下底面边长分别为和，则所用球体的半径为（ ）
A．7 B． C． D．
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知正四棱台，，，侧棱与底面所成的角为，则此正四棱台外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·全国·模拟预测）如图，已知正四棱台的高，且，则此正四棱台的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·河南南阳·模拟预测）已知正三棱台的上、下底面边长分别为1和2，且体积不大于，若该棱台的外接球球心位于棱台内部（不含表面），则外接球表面积的取值范围是 .
题型08 两面垂直的三棱锥的外接球
解｜题｜策｜略 在三棱锥中，如有，求三棱锥的外接球的半径。设和 的外接圆为。首先，若两平面垂直是因为有一条侧棱垂直于底面，则可以参考前面的补全为棱柱，求棱柱的外接球半径，若没有侧棱垂直于另一面，我们来分情况来讨论一下（下列情况均在的前提条件下讨论的）。 若平面在外接球的轴截面上，不在外接球的轴截面，如图1，此时平面的外接圆圆心即是外接球的球心。在题目条件上的体现为 。（此时我们不讨论P点在与的连线上，因为这就是前面补全为圆锥模型的情况，也不讨论PA，PB垂直于的情况。） 若平面在外接球的轴截面上，也在外接球的轴截面，如图2，的中点即是外接球的球心。在题目条件上的体现为 若平面，都不在外接球的轴截面，如图3。找出两个外接圆圆心，它们与球心，的中点构成一个矩形，可求出长，再根据勾股定理，即可求出球的半径
1．（2025·江西·二模）在三棱锥中，平面平面，，，，若点、、、均在球的表面上，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·云南大理·模拟预测）在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点，，，都在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（多选）（2025·湖南·三模）如图，两个边长均为1的正方形与正方形所在的平面互相垂直.点，分别是对角线，上的动点，且，的长度相等，记，点是线段上的一点.下列结论正确的是（ ）

A．
B．的最小值是
C．三棱锥与三棱锥的体积相等
D．若点，，，，，在同一个球的球面上，则该球的体积是
4．（多选）（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图，菱形边长为，，为边的中点将沿折起，使到，且平面平面，连接，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．四面体的外接球表面积为
C．与所成角的余弦值为
D．直线与平面所成角的正弦值为
5．（2025·山东枣庄·二模）在三棱锥中，是边长为的等边三角形，侧面底面，.若三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的表面积为 ，三棱锥体积的最大值为 .
题型09 二面角模型的外接球
解｜题｜策｜略 二面角模型同上题型两面垂直的模型思想是一致的。在三棱锥中，如有，求三棱锥的外接球的半径。设和 的外接圆为。 不同于两面垂直的三棱锥，这里的四边形不是一个矩形，这时候球OD的长度没有那么容易计算，但是目标依然是计算出，然后再算出即为球的半径。 注意，若三棱锥中，则无论二面角为多少，三个心重合，这时则外接球的球心在斜边的中点上，这个斜边即为外接球的直径。
1．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知二面角的大小为，且，，，点、、、在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（多选）（2025·广东广州·二模）已知是球的球面上两点，为该球面上的动点，球的半径为4，，二面角的大小为，则（ ）
A．是钝角三角形
B．直线与平面所成角为定值
C．三棱锥的体积的最大值为
D．三棱锥的外接球的表面积为
3．（2025高一·全国·专题练习）已知二面角的大小为，且，，若四点，，，都在同一个球面上，当该球体积取最小值时，等于 .
4．（2025·湖南·模拟预测）如图，正方形的边长为．现沿对角线将翻折到的位置，使二面角成直二面角．分别为的中点，点四点都在球的表面上，则过直线的平面截球所得截面圆面积的最小值是 ．

题型10 正四面体的外接球与内切球
解｜题｜策｜略 在棱长为的正四面体中，下面几个数据是常考的内容 1、正四面体的高为 2、正四面体外接球半径为 3、正四面体内切球半径为 4、正四面体体积
1．（2025·山东·一模）已知半径为的球的球心到正四面体的四个面的距离都相等，若正四面体的棱与球的球面有公共点，则正四面体的棱长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·天津和平·一模）已知正四面体（四个面都是正三角形），其内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为，设能装下正四面体的最小正方体的体积为，正四面体的外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·江西新余·模拟预测）现将一个棱长为2的正方体魔方放入一个正四面体的盒子中，若该魔方可以在正四面体内自由转动，则这个正四面体棱长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·浙江嘉兴·三模）若某正四面体的内切球的表面积为，则该正四面体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·安徽·模拟预测）已知一件艺术品由外层一个大正四面体，内层一个小正方体构成，外层正四面体的棱长为2，在该大正四面体内放置一个棱长为的小正方体，并且小正方体在大正四面体内可以任意转动，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型11 棱锥、圆锥的内切球
解｜题｜策｜略 无论是什么的内切球问题，都是先找过内切球球心的截面，在截面中找切点，从而找到半径关系。
1．（2025·湖北·模拟预测）已知圆锥的母线长为6，其内切球和外接球球心重合，则该圆锥外接球的表面积为（ ）
A．48π B．36π C．24π D．12π
2．（2025·四川绵阳·模拟预测）四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，设该四棱锥的外接球球心与内切球球心分别为，，则的长为（ ）
A．0 B． C． D．
3．（2025·海南海口·模拟预测）已知圆锥的母线长等于底面的圆半径的2倍，那么该圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·河北·模拟预测）如图，在正八面体中，所有棱长均为，为正八面体内切球球面上的任意一点，则（ ）
A．正八面体内切球的表面积为 B．正八面体的体积为
C．的取值范围是 D．的最大值为
5．（2025·安徽·二模）已知正三棱锥的各顶点均在半径为1的球的球面上，则正三棱锥内切球半径的最大值为 .
题型12 棱台、圆台的内切球
解｜题｜策｜略 先找过内切球球心的截面，在截面中找切点，从而找到半径关系。
1．（2025·四川巴中·模拟预测）已知正四棱台中，上底面与下底面的面积之比为，且其内切球的半径为2，则与面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·陕西·二模）已知正四棱台的上、下底面边长分别为，该四棱台的所有顶点都在球的球面上，且球心是下底面的中心，则该四棱台的高为（ ）
A．2 B． C． D．1
3．（多选）（2025·吉林·模拟预测）如图，一个带有盖子的密闭圆台形铁桶中装有两个实心球（桶壁的厚度忽略不计），其中一个球恰为铁桶的内切球（与圆台的上，下底面及每条母线都相切的球），E为该球与母线BC的切点.AB，CD分别为铁桶上，下底面的直径，且，，F为的中点，则（ ）
A．铁桶的母线长为3
B．铁桶的侧面积为
C．过D，E，F三点的平面与桶盖的交线与直线CD所成角的正切值为
D．桶中另一个球的半径的最大值为
4．（多选）（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在正四棱台中，，，与平面夹角的正弦值为，为上一点，则下列说法正确的是（该四棱台内切球不一定与所有的面都相切，以半径最大时且相切面数最多的球体为内切球）（ ）
A．该几何体的体积为
B．存在点，使得
C．该四棱台外接球与内切球的体积之比为
D．存在点，使得平面平面
5．（2025·山东·模拟预测）已知底面半径均为的圆锥和圆台，它们的内切球半径也均为（内切球分别与圆锥和圆台的底面以及侧面均相切），若，则圆锥和圆台的体积比为 ．
题型13 多球相切问题
解｜题｜策｜略 处理多球相切问题从球心截面入手，内切球问题都需要从截面入手分析。
1．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知正四棱锥P-ABCD中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切；球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，球的半径大于球的半径，则球与球的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·重庆·三模）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高三·全国·专题练习）在棱长为8的正方体空盒内，有4个半径为的小球在盒底四角，分别与正方体底面处交于某一顶点的3个面相切，另有一个半径为的大球放在4个小球之上，与4个小球相切，并与正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，5个球相切不松动，设小球半径的最大值为，大球半径的最小值为，则（ ）
A．2 B．1 C． D．5
4．（2025·湖北·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体内部，有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体，有1个以正方体体心为球心的球体与均相切，则该9部分的体积和的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知侧棱长为，底面边长为的正三棱锥，其内切球球心为，球与球以及三棱锥的三个侧面均相切，则（ ）
A． B． C． D．
题型14 棱切球
解｜题｜策｜略 同内切球问题，找到切点、球心的截面。根据勾股定理求半径
1．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知三棱锥的各条棱都与同一个球面相切，若，则三角形的周长为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
2．（2025·山西晋中·模拟预测）已知棱长为的正方体的中心为，若球的球面与该正方体的棱有公共点，则球的表面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（多选）（2025·陕西安康·模拟预测）如图，已知正方体的外接球表面积为，点M为线段BC的中点，则（ ）
A．正方体的棱切球（球与正方体的棱均相切）表面积为
B．平面
C．在该正方体的8个顶点中任选4个构造一个三棱锥，则该三棱锥体积的最大值为
D．平面截正方体所得的截面的面积为
4．（2025·全国·模拟预测）已知正四棱台的上底面的边长为2，现有一个半球，球心为正方形的中心，且正四棱台的上底面、四条侧棱和下底面的四条边均与球相切，则该半球的表面积为 .
（建议用时：30分钟）
1．（2025·湖南·三模）如图1，已知球O的半径．在球O的内接三棱锥中．平面，，，．P，Q分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（不与点B重合），如图2．则平面与平面夹角的余弦值的最大值为 ．

2．（2025·全国·模拟预测）已知圆锥的轴截面是斜边为2的直角三角形，球的半径等于圆锥的高，则圆锥的表面积与球表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·江苏·模拟预测）已知正三棱锥的侧棱长为，为线段上一点，，．设三棱锥外接球为球，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·山西吕梁·三模）已知圆柱的上、下底面圆周在同一球面上，且球的表面积是圆柱的表面积的2倍，则球的体积与圆柱的体积的比值是 ．
5．（2025·四川·模拟预测）在三棱锥中，是边长为的等边三角形，侧棱平面，平面与平面所成角的正弦值为，则三棱锥外接球的体积为 ．
6．（2025·广东广州·模拟预测）已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，若圆台上、下底面面积之比为1：4，则圆台的体积与球体积之比为 .
7．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知四面体的四个顶点在表面积为的球O的球面上，，平面平面，则四面体的体积的最大值为 ．
8．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知圆台内切球的表面积为，母线与底面圆直径所成角为，则圆台的体积为 .
9．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为 .

10．（2025·湖南·模拟预测）2021年小米重新设计了自己的品牌形象.新旧图像如图所示，旧logo是一个正方形，新logo可看作一个直径为边长的一半的圆在原正方形中运动，保留它运动过程覆盖的区域就是新logo.类比推理，现有一个棱长为2的正方体，一个直径为1的球在正方体内部滚动，将该球可到达的区域保留，不可到达的区域割去，得到一个几何体，我们称之为“小米正方体”，则“小米正方体”的体积为 .
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题 立体几何中的外接球、内切球、棱切球问题
近三年： 外接球问题：高频考点，每年必考或隔年出现，主要以选择题、填空题形式出现，难度中等偏上，往往作为小题的压轴或次压轴题。 内切球问题：考查频率较低，多出现在特殊几何体（如正四面体、正三棱锥）中，难度中等。 棱切球问题：较少单独考查，偶尔在模拟题或竞赛背景题中出现，常与多面体的棱长相切条件结合。 预测2026年： 模型化考查：直接给出特殊几何体（如侧棱垂直底面的三棱锥、对棱相等的三棱锥），要求计算外接球半径或表面积。 动态几何体中的外接球：如圆锥、圆台的外接球，或几何体旋转后的外接球问题。 与导数、不等式结合：求外接球半径的取值范围或最小表面积，体现综合难度。
题型01 正方体长方体的外接球
解｜题｜策｜略 正方体、长方体的外接球的球心在其中心处，球的半径为体对角线的一半 若正方体边长为，则它的外接球半径为 若长方体的三边长分别为，则它的外接球半径为
1．（2025·江西宜春·模拟预测）已知棱长为3的正方体的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由正方体的体对角线长是其外接球的直径求解.
【详解】由题意正方体的体对角线长是其外接球的直径，
可得球的半径，
所以该球的表面积，故A正确.
故选：A.
2．（2025·云南昭通·模拟预测）已知球的半径为3，正方体所有顶点均在球面上，点是棱的中点，过点作球的截面，则所得截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正方体对角线长就是球的直径求出正方体的棱长，结合当与截面垂直时，截面圆的半径最小，此时截面圆面积最小，进而可得答案．
【详解】设正方体棱长为，则正方体对角线长就是球的直径，
球心O是正方体对角线中点，
由正方体对角线公式，解得．
因为点是棱的中点，当与截面垂直时，截面圆的半径最小，此时截面圆面积最小．
因为，，勾股定理，解得，
设截面圆半径为，则，
所以截面面积，
故选：C．
3．（2025·河北秦皇岛·三模）已知正方体的各顶点都在球的表面上，若球的表面积为，则平面截球所得的截面面积为 ．
【答案】/
【分析】根据给定条件，求出正方体的棱长，再求出外接圆面积即可.
【详解】由球的表面积为，得球的半径为，则正方体的体对角线长为，
正方体的棱长为2，则正边长为，其外接圆半径，
则外接圆面积为，所以平面截球所得的截面面积为.
故答案为：

题型02 三棱锥补全为正方体或长方体的外接球
解｜题｜策｜略 若三棱锥中有三条棱互相垂直，则可考虑补全为长方体或正方体，称之为墙角模型（如上图1、2、3）。这时三棱锥的外接球同补全的长方体或正方体的外接球，求球的半径公式如上。 图2为九章算术中的鳖臑，即四个面都为直角三角形的四面体。 若三棱锥的三对对棱两两相等，也可以补全为长方体或正方体（如图4），外接球的半径也同长方体或正方体的外接球半径。
1．（2025·江西·模拟预测）已知在三棱锥中，，，两两垂直，，，的外接圆的面积分别为，，，若点，，，都在球的表面上，且球的表面积为，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】由直角三角形的外接圆，长方体的外接球，根据勾股定理，可得答案.
【详解】设，，，
则，，的外接圆半径分别为，，，
所以，
球的半径，，所以.
故选：A.
2．（2025·辽宁大连·模拟预测）在三棱锥中，底面ABC，，，，点D满足，三棱锥的外接球为球O，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将三棱锥补成长方体并建立空间直角坐标系，设、外接球半径为R，求出各点及球心坐标，分析截面圆的面积差从而求出h、R，代入球的表面积公式即可得解.
【详解】设，因为在三棱锥中，底面ABC，，所以将其补为一个长方体（长为4，宽为3，高为h），三棱锥与该长方体共外接球，球心O为长方体体对角线中点，设外接球半径为R，
以A为坐标原点，AB、AC、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
，
，
，
过D作求O的截面，最大截面为：过球心O，半径为R，面积为，
最小截面为：与OD垂直，半径为，面积为.
因为过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，
所以，解得，
则，外接球表面积为：.
故选：D
3．（2025·上海浦东新·三模）已知三棱锥的四个顶点均在球的表面上，且，，，．若点到底面的距离为1，则球的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依据线面垂直的判定定理来确定线面垂直关系，再利用长方体的体对角线与外接球直径的关系求出球的直径，进而求出球的半径和表面积.
【详解】因为平面，所以底面，
因为点到底面的距离为1．所以．
因为平面，
所以平面，而平面，故，，
即该球的直径为
所以球的半径为．
故选：B
4．（2025·河北秦皇岛·三模）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．四面体是一个鳖臑，已知是直角三角形，，，，，则平面截该鳖臑的外接球所得截面面积为 ．
【答案】
【分析】根据鳖臑的性质结合线面垂直的判定定理与性质得线线垂直，设的中点为，从而可得点为四面体外接球的球心，结合球的几何性质确定球心到平面的距离得截面圆的半径，即可得所求.
【详解】设的中点为，连接，
因为鳖臑的四个面都是直角三角形，
且，故．
因为，，，故．
又，，故．
又，平面，
所以平面，
又平面，所以．
又，，平面，
平面，
又平面，所以，
和都是以平面为斜边的直角三角形．
由于为的中点，则点为四面体外接球的球心，
外接球的半径，且点到平面的距离为，
的外接圆半径，
平面截四面体的外接球的截面的面积为．
故答案为：．
5．（2025·江西新余·模拟预测）四面体的每一组对棱的长度相等，分别为，，，则该四面体的体积为 ，该四面体的外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】由题意可作图，将符合题意的四面体放在正四棱柱中，利用分割法，根据四棱柱与三棱锥的体积公式，可得空一的答案；根据正四棱柱的外接球，结合球的表面公式，可得空二的答案.
【详解】不妨设四面体为，，，，
可将四面体放置在长方体中，如图所示:

设长方体的同一顶点处的三条棱长分别为a，b，c，则，解得，，，
则四面体的体积，
该四面体的外接球即为长方体的外接球，设其半径为R，则，
所以球的表面积为.
故答案为：；.
题型03 圆锥的外接球
解｜题｜策｜略 若圆锥的高为，底部半径为，母线长为，则圆锥的外接球半径
1．（2025·重庆·三模）已知某圆锥的外接球的体积为，若球心到该圆锥底面的距离为，则该圆锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出外接球的半径，由此可求出圆锥底面半径长，并求出圆锥高的最大值，结合锥体体积公式可求得结果.
【详解】设圆锥的外接球半径为，则，解得，
所以，圆锥的底面半径为，
所以，当圆锥的高为时，圆锥的体积最大，
且其最大值为.
故选：B.
2．（2025·湖南长沙·二模）已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，以其底面圆心为球心，底面半径为半径的球和圆锥表面的交线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作圆锥的球的截面图，确定球与圆锥的交线，结合交线的形状大小确定结论.
【详解】作圆锥的轴截面，该截面与半球的截面为半圆，设半圆与分别交于点，
如图，由已知，为边长为的等边三角形，的中点为球心，半圆的半径为，
因为点在半圆上，所以，，，
所以，故点为的中点，同理可得为的中点，所以，
所以由对称性可得，圆锥与球的交线为两个圆，一个为圆锥的底面圆，周长为，
另一个为所有母线的中点构成的圆，周长为，
所以交线长为．
故选：D.
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用球的截面圆性质及圆锥的体积公式列出函数关系，再利用导数求解.
【详解】
如图，根据题意，圆锥高为，底面圆半径，外接球球心为，半径，
则球心到圆锥底面圆心距离，
由，得，圆锥的体积，
求导得，
当时，，函数在上递增，
当时，，函数在上递减，
则当时，圆锥的体积最大，此时底面圆半径.
故选：B
4．（2025·宁夏银川·三模）一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，该圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上，则该球的表面积为 .
【答案】/
【分析】由圆锥的侧面展开图，可求得圆锥的母线、高以及底面圆的半径，结合几何关系得，进而可求得球体的半径，再根据球体的表面积公式即可求解.
【详解】由题意，圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，如图1所示，
则，圆的周长，则，
所以，
又，，，
所以，即，解得，
即球体的半径为，所以其表面积为.
故答案为：.
5．（2025·新疆·三模）用一个平面截球O得到的曲面称为球冠，截面为球冠的底面，如图球冠的高大于球的半径，为底面圆心，是以为底，点S在球冠上的圆锥，若底面的半径是球的半径的倍，点A为底面圆周上一点，则与底面所成的角的大小为 ，圆锥的体积与球O的体积之比为 ．

【答案】 / /0.28125
【分析】假设球的半径为R，依题意，通过勾股定理可求出的长，进而可知的长，进而可求与底面所成的角的正切值，进而可求角；分别算出圆锥的体积与球O的体积即可计算其比值.
【详解】设球的半径为R，则，，
，
，所以.
故答案为：；
题型04 可补为圆锥的外接球
解｜题｜策｜略 若在平面上的射影是的外接圆圆心，则可以把三棱锥补为圆锥，根据圆锥的外接球模型来求外接球半径。 若，则可以得出P在的射影为其外接圆圆心，同理补为圆锥。 正棱锥都可以补成圆锥，可以按圆锥的外接球模型来求。
1．（2025·四川达州·二模）三棱锥各个顶点均在球表面上，，外接圆的半径为，点在平面的射影为中点，且与平面所成的角为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，所以O必在上，在中求得，在中得，由勾股定理计算得球半径，从而得球面积．
【详解】取中点，连接，点在平面的射影为点，
又因为，所以外接圆圆心为，所以O必在直线上，
因为，外接圆的半径为，所以是外接圆的圆心，，
因为平面，与平面所成的角为，
则，从而，
设球O的半径为R，在中，，则，解得，
所以球O的表面积为.
故选：B．
2．（多选）（2025·广东揭阳·三模）三棱锥中，平面平面，，，其各顶点均在球O的表面上，则（ ）
A． B．点A到平面的距离为
C．二面角的余弦值为 D．球O的表面积为
【答案】ABD
【分析】对于A，取中点，连接，结合可得，由平面平面可得，进而结合勾股定理求出，，进而结合勾股定理判断A即可；对于B，过点作，垂直为，连接，记点到平面的距离为，利用等体积法求解判断即可；对于C，分析可得二面角的平面角为，进而求解判断即可；对于D，分析可得球心O在直线上，进而结合勾股定理列方程求得球O的半径，进而求出球O的表面积判断即可.
【详解】对于A，取中点，连接，由可知，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
故，
在，解得，
则，所以，则，故A正确；
对于B，过点作，垂直为，连接，
记点到平面的距离为，
由，则，故，
而，，
由余弦定理得，
故，
故，
，
故，故B正确；
对于C，由，，，平面，
可知平面，因为平面，所以，
又，，平面，故平面，
又平面，所以，
所以二面角的平面角为，
因为，
所以，
故，
即二面角的余弦值为，故C错误；
对于D，由，为中点可知，
故的外心为，由平面可知直线上的点到点A，B，P的距离相等，故球心O在直线上.
由平面几何知识知点O在线段上.
记，则，
故，解得，
故球的表面积，故D正确.
故选：ABD.
3．（2025·全国·模拟预测）已知正三棱锥的各顶点都在体积为的球面上，正三棱锥体积最大时，该正三棱锥的高为 .
【答案】4
【分析】根据锥体与外接球的性质，结合棱锥的体积公式以及基本不等式的三维形式进行求解即可.
【详解】根据题意可得，正三棱锥的外接球的半径 ，
设正三棱锥的底面边长为 ，高为 ，
则正三角形的外接圆的半径为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
又正三棱锥体积为
，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当正三棱锥体积最大时，该正三棱锥的高为4.
故答案为:4.
4．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知球是三棱锥的外接球，，，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为 .
【答案】
【分析】利用余弦定理求出的长度，从而得到，则的外接圆的圆心是斜边的中点，得到过且垂直于平面的直线一定过球心，连接并延长与球相交的点就是使得三棱锥体积的最大值的点，利用三棱锥的体积公式得到的长度， 设球的半径为，由得到，由建立的等式，求出，利用球的表面积公式求解即可.
【详解】，，
，
，，，
的外接圆的圆心是斜边的中点，
过且垂直于平面的直线一定过球心，
连接并延长与球相交的点就是使得三棱锥体积取得最大值的点，
，，
，
三棱锥体积的最大值为，
，
，，
设球的半径为，，，
，，，
球的表面积为.
故答案为：.

5．（2025·江西·模拟预测）已知点A，B，C，D都在半径为3的球面上，且是边长为的正三角形，则三棱锥体积的最大值为 .
【答案】
【分析】先求出外接圆的半径，再结合球的半径求出球心到平面的距离，进而得到点到平面的最大距离，最后根据三棱锥体积公式求出体积的最大值.
【详解】设外接圆的圆心为，半径为.
由正弦定理，在正中，，，则.
因为，所以，即，解得.
已知球的半径，球心到平面的距离，外接圆的半径，根据勾股定理，可得.
当点，球心，共线且与在平面同侧时，点到平面的距离最大，最大距离.
根据正三角形面积公式，可得.
根据三棱锥体积公式，可得.
故答案为：.
题型05 直棱柱、圆柱的外接球
解｜题｜策｜略 圆柱的高为，底面半径为，则圆柱的外接球半径 若是直棱柱，则可以先找直棱柱上下底的外接圆，求外接圆半径，然后补成圆柱，按圆柱的外接球半径公式来算即可。
1．（2025·湖南娄底·二模）已知正六棱柱的各个顶点都在半径为R的球面上，一个能放进该正六棱柱内部的最大的球半径为r．若，则当最小时，该正六棱柱的体积为（ ）
A．36 B．42 C．48 D．24
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出正六棱柱底面正六边形的边心距，并设正六棱柱的高为，可得取中最小的，按，结合球的截面小圆性质分类讨论求出最小时的，再利用柱体体积公式计算得解.
【详解】设正六边形ABCDEF的中心为点M，则点M与任意一条边均构成等边三角形，
因此点M到各边的距离均为等边三角形的高，即，
不妨设该正六棱柱的高为h，则且，r取两者之中的较小者，
由点M到A，B，C，D，E，F的距离均为2，得点M是正六边形ABCDEF的外接圆圆心，
因此正六棱柱的外接球半径，
若，则，；
若，则，，
于是当时，取得最小值，正六边形的面积为，
所以该正六棱柱的体积为.
故选：A
2．（2020·山东青岛·三模）在三棱柱中，，侧棱底面ABC，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的表面积的最小值为，则该三棱柱的侧面积为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【详解】如图：设三棱柱上、下底面中心分别为、，则的中点为，

设球的半径为，则，设，，
则，，
则在△中，，
当且仅当时，等号成立，
所以，所以，所以，
所以该三棱柱的侧面积为.
故选：B.
【点睛】本题考查利用不等式求解棱柱的外接球面积最小值与侧面积问题，属于中档题
3．（2025·江苏·一模）已知一圆柱内接于半径为1的球，当该圆柱的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合立体图形，由勾股定理得到，利用均值不等式求最值，等号成立时圆柱体积最大，求出此时的高即可.
【详解】设球半径为，圆柱的底面半径为，圆柱的高为，
如图，则有，即，
整理得，当且仅当，即时，等号成立，
此时圆柱体积取得最大值，
所以圆柱的体积最大时，即.
故选：C.
4．（2025·新疆·模拟预测）在我国著名的数学论著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的棱柱称为“堑堵”.已知在堑堵中，，，，为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意可得底面为正三角形，且边长为，即可求出外接圆的半径，设三棱锥的外接球的半径为，则，从而求出，再由表面积公式计算可得.
【详解】因为，，，所以，则，
又为的中点，所以，所以底面为正三角形，且边长为，
则外接圆的半径，
又平面，，设三棱锥的外接球的半径为，
则，即，解得，
故外接球表面积为.
故选：D.
5．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，在长方体中，，以为棱作半平面分别和棱相交于点，二面角的平面角为.在三棱柱和四棱柱中分别放入半径为的球，在的变化过程中，的最大值为 .
【答案】
【分析】作出两个球在侧面上的投影，设，可利用表示出,，设，将表示为关于的函数的形式，利用导数可求得的最大值，由此可得结果.
【详解】如图所示，这两个球在长方体左侧面上的投影分别为球的两个大圆，且都与直线相切，
设，由，得，同理，得，
由已知可得.令，则，
记，则，由得.
当时单调递增，当时单调递减，
所以，
经检验，当时，的最大值为.
故答案为：.
题型06 补成柱体的外接球
解｜题｜策｜略 一条侧棱垂直于底面 以底面的外接圆为底，侧棱为高作圆柱，然后找该圆柱的外接球。如上图中图1，图2 若图形为非规则图形，但上下底平行，上下底的外接圆半径相等且两个圆心的连线垂直于上下底，这时也可以构造一个圆柱（如图3），这时圆柱的外接球即为所求的外接球。
1．（2025·河南·二模）在三棱锥P-ABC中，底面ABC为正三角形，平面ABC，，，若P，A，B，C四点都在球O的表面上，则球心O到平面PBC的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，确定球心O的位置，再利用几何法求出点到平面的距离.
【详解】设底面中心为D，取BC的中点E，连接AE，则A，D，E三点共线，连接PE，过点D作底面的垂线，
取棱PA的中点Q，在平面PAE中，过Q作PA的垂线，则与的交点即为球心O，
在正中，，，得，
又，则，，
，由余弦定理得，
则，过O作PE的垂线，垂足为G，由，，
，PA，平面，得平面，又平面PBC，
于是平面平面，又平面平面，平面，
因此平面PBC，在中，，
所以球心O到平面PBC的距离为.
故选：B
2．（2025·贵州铜仁·三模）在三棱锥中，已知平面，，．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三棱锥两两垂直的特性将三棱锥补为长方体，三棱锥外接球的半径为所补长方体的直径，计算求出半径，代入体积公式可得结果.
【详解】因为平面，，，，所以，即．
把三棱锥补成长方体，长方体的体对角线就是外接球的直径．
根据长方体体对角线公式
，则，
球的体积.
故选：C．
3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）取两个相互平行且全等的正方形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个多边形的顶点，使得侧面均为等边三角形，我们把这种多面体称作“四角反棱柱”．图中“四角反棱柱”的棱长均为4，则该“四角反棱柱”外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据几何体性质结合球的特征计算求解得出，最后应用球的表面积公式计算即可.
【详解】如图，由题意可知旋转角度为，设上下正四边形的中心分别为，，
连接，则的中点O即为外接球的球心，其中点B为所在棱的中点，
因为棱长为4，可知，，．
过点B作于点C，则，，四边形为矩形，即，，
则，
即该“四角反棱柱”外接球的半径，
故该“四角反棱柱”外接球的表面积为，
故选：A．
4．（2025·福建·模拟预测）在三棱锥中，已知平面，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据余弦定理和正弦定理可得外接圆半径，结合三棱锥的性质得外接球的半径，可解.
【详解】设外接圆半径为，
在中，由余弦定理，，
即，整理得，
所以，故
由正弦定理得，所以，
三棱锥的外接球的半径
三棱锥的外接球的表面积的最小值为.
故选：A．
5．（多选）（2025·福建莆田·二模）在三棱锥中，平面分别为中点，下列结论正确的是（ ）
A．为直角三角形 B．平面
C．三棱锥的体积最大值为 D．三棱锥外接球的半径为定值
【答案】ACD
【分析】利用线面垂直证明平面，然后可判断A；连接相交于点，连接，证明为的重心即可判断B；利用基本不等式求面积的最大值即可判断C；利用补形法求解可判断D.
【详解】对A，因为平面，平面，所以，
又是平面内的两条相交直线，所以平面，
因为平面，所以，所以为直角三角形，正确；
对B，连接相交于点，连接，
若平面，平面平面，平面，则，
因为为的中线，所以为的重心，，
因为为的中点，所以，与矛盾，故B错误；
对C，因为，得，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，正确；
对D，将三棱锥补形成长方体，易知即为外接球的直径，
易得，外接球半径，正确.
故选：ACD
题型07 圆台、棱台的外接球
解｜题｜策｜略 圆台的上底半径 ,下底半径，高为，（如图1，图2），两次使用勾股定理，可求得它的外接球的半径 棱台的外接球（如图3），先找上下底面的外接圆半径，然后按照圆台的外接球半径公式。
1．（2025·河南·模拟预测）已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，该四棱台的所有顶点都在球的球面上，且球心是下底面的中心，则该四棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合图象作出正四棱台的高，根据边长及点为正四棱台外接球的球心利用勾股定理可求正四棱台的高，再根据棱台的体积公式即可求解.
【详解】
如图，正四棱台，分别为上下底面的中心.
由题意知正四棱台的上、下底面边长分别为，，则.
又因为该四棱台的所有顶点都在球的球面上，且球心是下底面的中心，可知，得，即正四棱台的高为.
又上底面的面积，下底面的面积，
则该四棱台的体积为.
故选：B.
2．（2025·甘肃甘南·模拟预测）工匠们要用一球体雕刻出一正三棱台，正三棱台的顶点都在该球体的球面上，且要求雕刻出的棱台的侧棱长为，上、下底面边长分别为和，则所用球体的半径为（ ）
A．7 B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用直角三角形的边角关系求得正三棱台上下底面所在圆面的半径分别为．设球心到正三棱台上、下底面的距离分别为，球的半径为，则．设正三棱台的高为，得，然后根据，列出方程求解得到球的半径．
【详解】如图，设正三棱台上、下底面所在圆面的半径分别为，则，．
设球心到正三棱台上、下底面的距离分别为，球的半径为，则．
设正三棱台的高为，由棱台的侧棱长为，得或，
即或，
解得．
故选：D．
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知正四棱台，，，侧棱与底面所成的角为，则此正四棱台外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出正四棱台的高，设O距离下底面距离为x，由题意可得，解方程即可知正四棱台下底面中心即为球心，求出外接球的半径，再由球的表面积公式即可得出答案.
【详解】由题意可知，正四棱台的高为，
其外接球的球心O在正四棱台的高上，如图所示.
不妨设O距离下底面距离为x，则，
解得，即正四棱台下底面中心即为球心，
则外接球的直径为，表面积为，
故选:C.
4．（2025·全国·模拟预测）如图，已知正四棱台的高，且，则此正四棱台的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正四棱台的性质找到其外接球的球心，然后设球心为，点距离下底面的高度为.
根据题意列出方程，求解即可.
【详解】由题意可知，正四棱台外接球的球心在其上、下底面正方形的对角线的中点的连线上，如图所示，设球心为，点距离下底面的高度为.
因为，，，又上、下底面均为正方形，所以，.
设棱台的外接球的半径为，根据勾股定理可得，解得，
则，所以正四棱台的外接球表面积为.
故选：D.
5．（2025·河南南阳·模拟预测）已知正三棱台的上、下底面边长分别为1和2，且体积不大于，若该棱台的外接球球心位于棱台内部（不含表面），则外接球表面积的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据给定条件，求出正三棱台高的范围，再利用球的截面性质建立方程，求出球半径的范围即可.
【详解】如图，令正三棱台上下底面正三角形中心分别为，
则，，
设正三棱台的高为，则，解得，
设球的半径为，显然球心在线段上（不含端点）
因此，，解得，
且，而，当且仅当时取等号，得，
，解得，
因此，，
所以外接球表面积的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.
题型08 两面垂直的三棱锥的外接球
解｜题｜策｜略 在三棱锥中，如有，求三棱锥的外接球的半径。设和 的外接圆为。首先，若两平面垂直是因为有一条侧棱垂直于底面，则可以参考前面的补全为棱柱，求棱柱的外接球半径，若没有侧棱垂直于另一面，我们来分情况来讨论一下（下列情况均在的前提条件下讨论的）。 若平面在外接球的轴截面上，不在外接球的轴截面，如图1，此时平面的外接圆圆心即是外接球的球心。在题目条件上的体现为 。（此时我们不讨论P点在与的连线上，因为这就是前面补全为圆锥模型的情况，也不讨论PA，PB垂直于的情况。） 若平面在外接球的轴截面上，也在外接球的轴截面，如图2，的中点即是外接球的球心。在题目条件上的体现为 若平面，都不在外接球的轴截面，如图3。找出两个外接圆圆心，它们与球心，的中点构成一个矩形，可求出长，再根据勾股定理，即可求出球的半径
1．（2025·江西·二模）在三棱锥中，平面平面，，，，若点、、、均在球的表面上，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】证明出，可知为球的直径，求出球的半径，利用球体的体积公式可求得球的体积.
【详解】因为平面平面，平面平面，，
平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，，、平面，所以平面，
因为平面，所以，
取线段的中点，连接、，则，
故为球的直径，故球的半径，
所以球的体积为 .
故选：C.
2．（2025·云南大理·模拟预测）在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点，，，都在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取的中点，由直角三角形性质可得，则点就是球心，再利用线面垂直的性质定理可得平面，从而可结合三棱锥体积公式计算即可得.
【详解】如图，取的中点，连接，，因为，，
所以，因此点就是球心，又，
故是等腰直角三角形，所以，
因为平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
设球半径为，则，，则，，
所以三棱锥的体积，
所以，所以球的表面积为.

故选：A.
3．（多选）（2025·湖南·三模）如图，两个边长均为1的正方形与正方形所在的平面互相垂直.点，分别是对角线，上的动点，且，的长度相等，记，点是线段上的一点.下列结论正确的是（ ）

A．
B．的最小值是
C．三棱锥与三棱锥的体积相等
D．若点，，，，，在同一个球的球面上，则该球的体积是
【答案】BCD
【分析】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得的长及最小值判断AB；进而可证平面，可判断C，补形为正方体，求得正方体的外接球的半径计算可判断D.
【详解】由题意两个边长均为1的正方形与正方形所在的平面互相垂直.
可得，
以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

过作于，连接，
则，
所以，
故A错误；
，当且仅当时，取等号，所以的最小值为，故B正确；
因为，又易得平面，
所以为平面的一个法向量，又，所以，
又平面，平面，又点，
所以到平面的距离相等，
所以，即三棱锥与三棱锥的体积相等，故C正确；
将原图形补成一个正方体如图所示：
则正方体的外接球符题意，
外接球的直径为，所以，
所以该球的体积是，故D正确.
故选：BCD.
4．（多选）（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图，菱形边长为，，为边的中点将沿折起，使到，且平面平面，连接，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．四面体的外接球表面积为
C．与所成角的余弦值为
D．直线与平面所成角的正弦值为
【答案】BCD
【分析】利用空间关系证明线面垂直和线线垂直，利用直角三角形的性质找到四面体的外接球球心，从而可求球的表面积，也可以建立空间直角坐标系，利用向量法来判断选项．
【详解】
将沿折起，使到，且平面平面，
由于菱形，，所以是等边三角形，
又因为为的中点，所以，
又因为平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，
所以
，，两两垂直，以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
对于，，
，，
，与不垂直，故A错误；
对于，由菱形，，可知，
因为平面，又因为平面，
所以，又因为，平面，
所以平面，又因为平面，
所以，取的中点为，可得，
又因为平面，又因为平面，
所以，即，
所以有，
则点是四面体的外接球球心，故外接球的半径，
由勾股定理可得：，
，
即四面体的外接球表面积为：，故B正确；
对于C，，
设与所成角的为，
则，
所以与所成角的余弦值为，故C正确；
对于D，，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
所以直线与平面所成角的正弦值为，故D正确．
故选：．
5．（2025·山东枣庄·二模）在三棱锥中，是边长为的等边三角形，侧面底面，.若三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的表面积为 ，三棱锥体积的最大值为 .
【答案】
【分析】设的外接圆的圆心分别为，外接球的球心为O，取AB的中点为E，可证得四边形为矩形.通过勾股定理，列方程求解即可得外接球半径；
过作于点H，可证为三棱锥的高.问题转化为中最值问题，借助三角形外接圆可求得最大值为，从而求得三棱锥体积的最大值.
【详解】如图①，设的外接圆的圆心分别为，半径为，三棱锥的外接球的球心为O，半径为，取AB的中点为E，连接，.
在中，由正弦定理，得，即，同理可得.
因为侧面底面，侧面底面，面，所以底面，所以.
由外接球的性质可得底面侧面，所以四边形为矩形.
在中，，
因为，所以，所以球的表面积为.
设三棱锥的高为h，过作于点H，
由面面垂直的性质可得，底面，即为三棱锥的高.
及其外接圆如图②所示，由图可知，当位于劣弧的中点时，最大，最大值为，
所以三棱锥体积的最大值为.
故答案为：，.
题型09 二面角模型的外接球
解｜题｜策｜略 二面角模型同上题型两面垂直的模型思想是一致的。在三棱锥中，如有，求三棱锥的外接球的半径。设和 的外接圆为。 不同于两面垂直的三棱锥，这里的四边形不是一个矩形，这时候球OD的长度没有那么容易计算，但是目标依然是计算出，然后再算出即为球的半径。 注意，若三棱锥中，则无论二面角为多少，三个心重合，这时则外接球的球心在斜边的中点上，这个斜边即为外接球的直径。
1．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知二面角的大小为，且，，，点、、、在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在外接圆上取一点，使得，则，可知三棱锥和的外接球是同一个球，取线段的中点，连接、，由二面角的定义额可知二面角的平面角为，设的外心为，过点在平面内作，过点在平面内作平面，设，则为球心，求出的长，结合球体表面积公式可得结果.
【详解】因为，则为外接圆的一条直径，
在外接圆上取一点，使得，则，
且三棱锥和的外接球是同一个球，
取线段的中点，连接、，如下图所示：
因为，，则，，
由二面角的定义可知，二面角的平面角为，
因为，则，且，
所以，的外接圆半径为，
设的外心为，过点在平面内作，
过点在平面内作平面，设，
因为，，，、平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，，、平面，所以平面，
同理可证平面，故为三棱锥外接球的球心，如下图所示：
由题意得，，，
所以，，
所以，球的半径为，
因此，球的表面积为，
故选：A.
2．（多选）（2025·广东广州·二模）已知是球的球面上两点，为该球面上的动点，球的半径为4，，二面角的大小为，则（ ）
A．是钝角三角形
B．直线与平面所成角为定值
C．三棱锥的体积的最大值为
D．三棱锥的外接球的表面积为
【答案】ABD
【分析】根据题意可得固定平面，求出各线段长度，结合圆内接四边形可求得，即A正确，利用线面角定义作出其平面角可得B正确，由三棱锥锥体体积公式计算可得可判断C错误，求得三棱锥的外接球的球心位置和半径即可求得D正确.
【详解】如下图所示：
易知，由可得；
固定平面，由二面角的大小为可知为一个与平面夹角为的平面与的交点（在的右侧），
如图中过平面的虚线形成的劣弧所示：
取的中点为，作平面，则有，
又易知，
如下图所示：
在劣弧上运动，
对于A，易知，因此可得是钝角三角形，即A正确；
对于B，设直线与平面所成的角为，
则，为定值，即B正确；
对于C，作，
易知三棱锥的体积的最大值为
，即C错误；
对于D，设三棱锥的外接球的球心为，如下图：
由于是的外心，则平面，因此三点共线，
设，
在中由勾股定理可得，解得；
因此三棱锥的外接球的表面积为，即D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据题目条件固定平面，再根据二面角大小求得线段长度得出点轨迹，再结合线面角、外接球等进行计算即可.
3．（2025高一·全国·专题练习）已知二面角的大小为，且，，若四点，，，都在同一个球面上，当该球体积取最小值时，等于 .
【答案】
【分析】设，则，由题意知三棱锥外接球的球心是过△PAB和△ABC的外心E，H，且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点O，OB为三棱锥外接球半径，进而求半径表达式并利用配方法求出球半径的最小值，从而可得的值.
【详解】设球的半径为，则球的体积为，
所以球体积取得最小值时，则球的半径最小.
设，则，
由题意知三棱锥外接球的球心是过和的外心E，H，
易知分别为的中点，且四点共圆，
且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点O，
为三棱锥外接球半径，取的中点为G，如图：
由条件知，
在中，由余弦定理可得
，
∴的外接圆直径，
当时，球的半径取得最小值.
故.
故答案为：
4．（2025·湖南·模拟预测）如图，正方形的边长为．现沿对角线将翻折到的位置，使二面角成直二面角．分别为的中点，点四点都在球的表面上，则过直线的平面截球所得截面圆面积的最小值是 ．

【答案】
【分析】法一：记的中点为，可得为外接球球心，当点O到EF的距离即为球心O到截面圆的距离时，截面面积最小，结合勾股定理即可求解；法二：建立空间直角坐标系，同法一即可求解．
【详解】方法一：由四边形为正方形，得球心即为BD的中点，
所以球的半径，
又连结、、、，则，，
再过E作，垂足为G，过F作，垂足为H，则，

且由已知条件可得，
则在等腰中，顶点O到底边EF的距离，
当顶点O到底边EF的距离即为球心O到截面圆的距离时，
截面圆面积最大，此时截面圆的半径，故最大面积为．
方法二：易知球心即为BD的中点，所以球的半径，
又连结、，则，
如图建立空间直角坐标，，

则，，
所以点O到直线EF的距离为：，
以下同方法一；
故答案为：．
题型10 正四面体的外接球与内切球
解｜题｜策｜略 在棱长为的正四面体中，下面几个数据是常考的内容 1、正四面体的高为 2、正四面体外接球半径为 3、正四面体内切球半径为 4、正四面体体积
1．（2025·山东·一模）已知半径为的球的球心到正四面体的四个面的距离都相等，若正四面体的棱与球的球面有公共点，则正四面体的棱长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先设正四面体的棱长为，得到其高为，结合题意可判断出正四面体的棱长取最值时球和正四面体的位置关系，再利用球半径、截面圆半径、球心到截面圆心距离之间的关系求解即可.
【详解】如图所示，设在底面的投影为，连接并延长交于，易知E为中点，
正四面体的棱长为，
则由正四面体的特征知，，
正四面体的高为.
当正四面体内接于球时，即时，最小，
此时，得.
当球与正四面体的每条棱都相切时，即，最大，
因为球的球心到正四面体的四个面的距离都相等，
所以当球与正四面体的每条棱都相切时，
借助正四面体和球的结构特征可知切点均为棱的中点，
且球心到正四面体的顶点的距离为，
利用勾股定理可得，得.
故正四面体的棱长的取值范围为.
故选：A.
2．（2025·天津和平·一模）已知正四面体（四个面都是正三角形），其内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为，设能装下正四面体的最小正方体的体积为，正四面体的外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设正四面体的棱长为，设正四面体内切球球心为，半径为，由等体积法求出，将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，此时即为能装下正四面体的最小正方体，即可求出，设正四面体的外接球的半径，根据正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出，即可得出答案．
【详解】设正四面体的棱长为，则正四面体的表面积为，
由题设底面的外接圆半径，则
所以正四面体的高为，
其体积为，
设正四面体内切球球心为，半径为，
解得：，所以，解得：，
将该正四面体放入下图的正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，
此时即为能装下正四面体的最小正方体，
正四面体的最小正方体的边长为，如下图，即，所以，
体积为，设正四面体的外接球半径为，
则正方体的外接球，也即正四面体的外接球的半径为，
所以，所以外接球的体积为，
.
故选：A.
3．（2025·江西新余·模拟预测）现将一个棱长为2的正方体魔方放入一个正四面体的盒子中，若该魔方可以在正四面体内自由转动，则这个正四面体棱长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意当正四面体棱长最小时，魔方正方体的外接球即为正四面体的内切球，设正四面体棱长为，根据等体积法列式求解即可.
【详解】由于该正方体棱长为2，故其外接球的半径为，
这个正四面体棱长的最小时，正四面体内切球的半径为.
设正四面体棱长为，其高为，
根据等体积法知：，解得.
故选：D.
4．（2025·浙江嘉兴·三模）若某正四面体的内切球的表面积为，则该正四面体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，结合正四面体的结构特征，再求出其外接球的半径即可.
【详解】正四面体的内切球与其外接球球心重合，
如图，正四面体内切球与外接球球心在其高上，
则是正四面体内切球半径，是正四面体外接球半径，
由正四面体的内切球的表面积为，得，令，
，，，
在中，，解得，，
所以该正四面体的外接球的体积.
故选：C
5．（2025·安徽·模拟预测）已知一件艺术品由外层一个大正四面体，内层一个小正方体构成，外层正四面体的棱长为2，在该大正四面体内放置一个棱长为的小正方体，并且小正方体在大正四面体内可以任意转动，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用当这个小正方体可以在大正四面体内部任意转动且小正方体的棱长最大时，小正方体的外接球的半径等于该大正四面体的内切球的半径.先求出正四面体的内切球的
半径，再利用正方体的外接球的半径即可求得结果.
【详解】如图，正四面体底面的中心记为点，连接，.
由正四面体的性质可得：面.因为正四面体棱长为2，
所以底面三角形的高为，则，
所以正四面体的高.
设正四面体内切球的半径为，球心为.
由等体积法可得：，
即，解得：，
所以正四面体的内切球的半径，
因为正方体的棱长为，
所以正方体的外接球的半径，因此.
故选：C
题型11 棱锥、圆锥的内切球
解｜题｜策｜略 无论是什么的内切球问题，都是先找过内切球球心的截面，在截面中找切点，从而找到半径关系。
1．（2025·湖北·模拟预测）已知圆锥的母线长为6，其内切球和外接球球心重合，则该圆锥外接球的表面积为（ ）
A．48π B．36π C．24π D．12π
【答案】A
【分析】根据内切球和外接球球心重合，得到角之间的关系，继而可求外接球半径.
【详解】
因为内切球和外接球球心重合，如图可以得到
所以外接球半径，
∵，∴
因此圆锥外接球的表面积为48π.
故选：A.
2．（2025·四川绵阳·模拟预测）四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，设该四棱锥的外接球球心与内切球球心分别为，，则的长为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】由题设可知正四棱锥底面边长为侧棱长为，进而求出外接球的半径，应用等体积法求内切球的半径，即可求解.
【详解】因为四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，为正四棱锥，设底面中心为,
则四棱锥外接球球心及内切球球心都在上，设外接球球心为，半径为.
连接，则有.四棱锥的底面是边长为2的正方形，
在中，，
由得，，整理得，.
设内切球的半径为，中，，，
所以，所以四棱锥表面积为，
由，即，
∴，则的长为.
故选：B.
3．（2025·海南海口·模拟预测）已知圆锥的母线长等于底面的圆半径的2倍，那么该圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆锥和它的内切球的性质，做出轴截面，求出内切球半径和底面半径之比，求出圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比.
【详解】
如图所示，作圆锥轴截面及其内切圆，与三角形切于两点，
设圆锥底面半径为，内切球半径为，则，由勾股定理易知，
所以在中，，
由三角形内切圆可得，可得，即，化简得，
圆锥表面积为，内切球表面积，
则圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比，
故选：B.
4．（2025·河北·模拟预测）如图，在正八面体中，所有棱长均为，为正八面体内切球球面上的任意一点，则（ ）
A．正八面体内切球的表面积为 B．正八面体的体积为
C．的取值范围是 D．的最大值为
【答案】ACD
【分析】根据正四棱锥的特征，结合切点的位置，构造几何关系，即可求解A选项；根据锥体的体积公式，即可求解C选项；根据几何关系，转化向量求数量积，并结合直线与球的位置关系，求最值，可判断C选项；设球心为，由球的几何性质可知，当与球相切时，最大，结合锐角三角函数的定义可判断D选项.
【详解】对于A选项，由题意得，可以只分析正四棱锥，易得正四棱锥的高为，
侧面正三角形的高为，设内切球的半径为，则由面积法可得，解得，
所以表面积为，故A正确；
对于B选项，正八面体的体积为两个正四棱锥的体积之和，，
因此，故B错误；
对于C选项，取中点，
，
而点到的距离为，
因此的最小值为，最大值为， ，
代入数据可得的范围是，故C正确；
对于D选项，设球心为，
由球的几何性质可知，当与球相切时，最大，
此时为锐角，如下图所示：
易知，，，
则，
所以，D对.
故选：ACD.
5．（2025·安徽·二模）已知正三棱锥的各顶点均在半径为1的球的球面上，则正三棱锥内切球半径的最大值为 .
【答案】
【分析】利用正三棱锥外接球半径，结合“正三棱锥体积正三棱锥表面积正三棱锥内切球半径”，可求内切球半径的表达式，再结合三角换元的方法可求内切球半径的最大值.
【详解】设正三棱锥的底面边长，到平面的距离为，
所以，，
所以，，，
所以
，
不妨设，，所以，所以，
设，，
所以，
所以内切球半径的最大值为.
故答案为：
题型12 棱台、圆台的内切球
解｜题｜策｜略 先找过内切球球心的截面，在截面中找切点，从而找到半径关系。
1．（2025·四川巴中·模拟预测）已知正四棱台中，上底面与下底面的面积之比为，且其内切球的半径为2，则与面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正四棱台及其内接球的性质，结合题给上、下底面面积之比以及内接球半径，计算得出相应边长的值，利用面面平行得出即为直线与平面所成的角，从而求解.
【详解】

如图，根据正四棱台的性质可知，上底面与下底面均为正方形，
则，即，设，，则，
取为上下底面中心，取为中点，连接，则，
根据内切球的性质，球心为中点，记为球与平面的切点，则.
所以，，，
因为，，，
根据勾股定理得出，所以，
同理，.
所以分别为的角平分线，即.
因为，，，
所以.
连接，则，为在底面投影，则位于上，，四边形为矩形，
因为，，则，
所以，，
因为面与面平行，所以与面所成的角即为与面所成的角，
所以.
故选：A.
2．（2025·陕西·二模）已知正四棱台的上、下底面边长分别为，该四棱台的所有顶点都在球的球面上，且球心是下底面的中心，则该四棱台的高为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】B
【分析】由即可求解.
【详解】
如图，为上下底面的中心，
由题意可知，
所以，
所以，
故选：B
3．（多选）（2025·吉林·模拟预测）如图，一个带有盖子的密闭圆台形铁桶中装有两个实心球（桶壁的厚度忽略不计），其中一个球恰为铁桶的内切球（与圆台的上，下底面及每条母线都相切的球），E为该球与母线BC的切点.AB，CD分别为铁桶上，下底面的直径，且，，F为的中点，则（ ）
A．铁桶的母线长为3
B．铁桶的侧面积为
C．过D，E，F三点的平面与桶盖的交线与直线CD所成角的正切值为
D．桶中另一个球的半径的最大值为
【答案】ACD
【分析】对于A选项，研究轴截面，设内切圆半径为，利用等面积法求出腰长，即为母线长；对于B选项,利用侧面积公式直接计算铁桶侧面积即可；对于C选项，连接DE交AB于G，连接FG交圆O于M，则FM即为过D，E，F三点的平面与桶盖的交线，在求解即可；对于D选项，在轴截面ABCD中，通过相似三角形求得另一个球半径最大值.
【详解】
由题，铁桶的轴截面是上底为4,下底为2的等腰梯形且有内切圆，如上图，
设内切圆半径为，则梯形两腰长为，
梯形面积公式可以用两种方式表示为
，
故铁桶的母线长为3，A正确；
对于选项B，侧面积公式为，故B不正确；
对于选项C.连接DE交AB于G，连接FG交圆O于M，则FM即为过D，E，F三点的平面与桶盖的交线.，则即为所求角.,所以E为BC的三等分点且靠近C，
由，求得.在中，.
对于选项D.当球与球、桶盖、桶壁均相切时，球的半径最大，设为，
如下图，在轴截面ABCD中，由，
则，
可求得另一个球半径的最大值为.
故选：ACD.
4．（多选）（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在正四棱台中，，，与平面夹角的正弦值为，为上一点，则下列说法正确的是（该四棱台内切球不一定与所有的面都相切，以半径最大时且相切面数最多的球体为内切球）（ ）
A．该几何体的体积为
B．存在点，使得
C．该四棱台外接球与内切球的体积之比为
D．存在点，使得平面平面
【答案】AB
【分析】对于A，根据正四棱台的性质可求高，从而可求体积；对于BD，利用向量法可求判断的存在性，对于C，就球与不同的面相切的情形讨论球的半径的范围或取值，从而可判断其正误.
【详解】对于A，连接、，分别过点、作平面的投影，
垂足分别为、，则.
而，，
由正四棱台的性质可得，且为正四棱台的高，
而，，
故，故A正确.
对于BD，
以底面中心为原点，以平行于的直线为轴，以平行于的直线为轴，
以过且垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
设，则，，
故，
若存在点，使得，则， 故，故B正确.
又，而
设平面的法向量为，则，
取，
设平面的法向量为，则，
取，，
故不垂直，故平面、平面不垂直，故D错误.
对于C，连接，则外接球的半径即为外接圆的半径，
因为与平面夹角的正弦值为且该夹角为锐角，故其余弦值为，
由余弦定理得，
由正弦定理得.
若内切球与平面、平面、平面相切，
则该内切球的直径不超过正四棱台的高，
同理若内切球与平面、平面、平面相切，
则该内切球的直径也不超过正四棱台的高，
同理若内切球与平面、平面、平面相切，
则该内切球的直径也不超过正四棱台的高，
若球与平面、平面相切，
取球心为上下底面中心连线的中点，
而，取的中点为，的中点为，连接，，，
由正四棱台可得，，，，
而平面，故平面，
而平面，故平面平面，
过作，因为平面平面，平面，
故平面.
又，而，
故，故，
故当球与平面、平面相切，球不与侧面相切，
故此时与上下底面相切的球即为内切球，
故体积之比，故C错误.
故选：AB.
5．（2025·山东·模拟预测）已知底面半径均为的圆锥和圆台，它们的内切球半径也均为（内切球分别与圆锥和圆台的底面以及侧面均相切），若，则圆锥和圆台的体积比为 ．
【答案】/
【分析】利用圆台的性质求得上底面的关径与内切球的半径的关系，进而求得圆台的体积，求得圆锥的高与内切球的半径的关系，求得圆锥的体积，可求体积比.
【详解】设圆台的高为，上底面半径为，圆台的轴截面是等腰梯形，则两腰长之和是两底长之和，
由圆台的内切球半径也均为，则，
则，则，解得，
则圆台的体积为，
圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆即为圆锥的内切球的大圆，
设等腰三角形底边上的高为，则腰长为，
则，解得，
则圆锥的体积为，
所以.
故答案为：.
题型13 多球相切问题
解｜题｜策｜略 处理多球相切问题从球心截面入手，内切球问题都需要从截面入手分析。
1．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知正四棱锥P-ABCD中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切；球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，球的半径大于球的半径，则球与球的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过已知正四棱锥顶点及底面正方形一组对边中点作截面，将问题转化为三角形及内部一系列圆相切问题求解作答.
【详解】
在正四棱锥中，令各棱长为2，O为正方形ABCD的中心，M，Q分别为边AB，CD的中点，
过点P，M，Q的平面截正四棱锥得等腰，截球O1，球O2，球O3，得对应球的截面大圆，如图：
显然，，
令N为圆与PM相切的切点，则，设球的半径为，即，
因为，则，显然，，
设球与球相切于点T，则，
设球的半径为，同理可得，即，
设球与球相切于点S，则，
设球的半径为，同理可得，即，，
所以，
故选：B
2．（2025·重庆·三模）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出正四面体的体积及表面积，利用求出内切球的半径，再通过求出空隙处球的最大半径，从而即可求最大体积.
【详解】如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，
设内切球球心为O，半径为，空隙处的最大球球心为，半径为，
由正四面体结构特征可知G为的中心，面，
设E为中点，球O和球分别与面相切于F和.
易得，，，
由可得，
又，，
故，，，
又由和相似，可得，即，解得，
即空隙处的最大球的半径为.
所以空隙处的最大球的体积为为.
故选：D
3．（2025高三·全国·专题练习）在棱长为8的正方体空盒内，有4个半径为的小球在盒底四角，分别与正方体底面处交于某一顶点的3个面相切，另有一个半径为的大球放在4个小球之上，与4个小球相切，并与正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，5个球相切不松动，设小球半径的最大值为，大球半径的最小值为，则（ ）
A．2 B．1 C． D．5
【答案】B
【分析】由题意，当正方体盒内四个小球中相邻小球均相切时，小球半径最大，大球半径最小，易得小球半径最大为2，由对称性知，大球球心与4个小球球心构成一个正四棱锥，在中，利用勾股定理求出，即可求得的值.
【详解】当正方体盒内四个小球中相邻小球均相切时，小球半径最大，大球半径最小．
由正方体的棱长为8，可得的最大值为2，下面分析时的取值．
由对称性知，大球球心与4个小球球心构成一个正四棱锥，如下图所示：
则，．
又由正方体盒知，正四棱锥的高OH（其中H为正四棱锥底面正方形中心）长为：
，，
故在中，，
即，解得，即大球半径的最小值为，
即，，所以．
故选：B．
4．（2025·湖北·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体内部，有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体，有1个以正方体体心为球心的球体与均相切，则该9部分的体积和的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据几何体的特征，再应用二次函数值域结合球的体积公式计算求解.
【详解】设球体的半径为半径为，所以，即得，
又，所以开口向下，对称轴为，
所以，
该9部分的体积和为
.
故选：C.
5．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知侧棱长为，底面边长为的正三棱锥，其内切球球心为，球与球以及三棱锥的三个侧面均相切，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设球的半径为，三棱锥的表面积为，根据体积分割法，求得，设在底面内的射影为，在上取点，使得，过作平面的平行平面，求得，设球的半径为，求得，进而求得的长.
【详解】设球的半径为，三棱锥的表面积为，
则，
解得，
又由，且，
可得，
设在底面内的射影为，
因为在上，在上取点，使得，
过作平面的平行平面，交，，于点G，T，H，
如图所示，则也是正三棱锥，球即为该三棱锥的内切球，
又因为，
设球的半径为，则，所以，
所以.
故选：B.
题型14 棱切球
解｜题｜策｜略 同内切球问题，找到切点、球心的截面。根据勾股定理求半径
1．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知三棱锥的各条棱都与同一个球面相切，若，则三角形的周长为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】D
【分析】由过球外一点与球面相切的切线长相等，求出的长，可得三角形的周长.
【详解】
由已知，设球与棱的切点分别为，
则，设，
因为，
则，
又，所以，解得，
则，，
所以三角形的周长为.
故选：D.
2．（2025·山西晋中·模拟预测）已知棱长为的正方体的中心为，若球的球面与该正方体的棱有公共点，则球的表面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意分析得到最小的球为正方体的棱切球，最大的球为正方体的外接球.然后分别求出半径，后求出表面积的范围.
【详解】由题意知，当球是正方体的棱切球时，球与棱有公共点，
如图：
此时球的半径，
当球是正方体的外接球时，球与棱有公共点，
如图：
此时球的半径，
所以球的半径，
故球的表面积.
故选：C.
3．（多选）（2025·陕西安康·模拟预测）如图，已知正方体的外接球表面积为，点M为线段BC的中点，则（ ）
A．正方体的棱切球（球与正方体的棱均相切）表面积为
B．平面
C．在该正方体的8个顶点中任选4个构造一个三棱锥，则该三棱锥体积的最大值为
D．平面截正方体所得的截面的面积为
【答案】BCD
【分析】先由外接球的表面积计算正方体的棱长，由面对角线为棱切球的直径即可求得棱切球的半径，进而得表面积，连接交于，连接，即证，由线面平行判断定理即可判断，求当底面为正方体一个面的一半，高为棱长时，三棱锥的体积，再求当底面为正方体面对角线时，高为时，三棱锥的体积，比较体积最大即可判断C，先求平面截正方体所得的截面即可求解.
【详解】设正方体的棱长为，由正方体的外接球的表面积为，所以，
解得，又，
对于A：设正方体的棱切球的半径为，
所以，所以棱切球的表面积为，故A错误；
对于B：连接交于，连接，在正方体中，为的中点，又M为线段BC的中点，
所以，又不在平面内，平面，所以平面，故B正确；
对于C：这样的三棱锥有两类：有3个顶点在正方体的一个面内，体积为，
三棱锥任意3个顶点不在正方体的同一面内，体积为，因此三棱锥的体积最大为，C正确；
对于D：取的中点为，连接，取的中点为，连接，由且
所以四边形平行四边形，所以，又且，所以四边形为平行四边形，
所以，所以，所以平面为平面截正方体所得的截面，
又正方体的棱长为2，所以,所以四边形为菱形，
又，所以四边形的面积为，故D正确，
故选：BCD.
4．（2025·全国·模拟预测）已知正四棱台的上底面的边长为2，现有一个半球，球心为正方形的中心，且正四棱台的上底面、四条侧棱和下底面的四条边均与球相切，则该半球的表面积为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用正四棱台及半球的结构特征，结合切线的性质列式求出半球的半径，进而求出其表面积.
【详解】如图，记正四棱台的上底面的中心为，
过作平面于，则点在上，
记半球与分别相切于点，由正四棱台和球的结构特征知，为的中点，
由，得，记半球半径为，
则，
于是，
在中，，解得，
所以半球的表面积为.
故答案为：
（建议用时：30分钟）
1．（2025·湖南·三模）如图1，已知球O的半径．在球O的内接三棱锥中．平面，，，．P，Q分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（不与点B重合），如图2．则平面与平面夹角的余弦值的最大值为 ．

【答案】
【分析】以点C为坐标原点，直线CB，CA分别为x，y轴，过点C且与BD平行的直线为z轴，建立适当的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，进一步得平面与平面夹角的余弦值的最大值的表达式，结合换元法、基本不等式求解即可.
【详解】因为平面，平面，所以，，
因为，又，所以平面，
又平面，所以，
易知在和中，斜边AD的中点到点A，B，C，D的距离相等，
即AD为球O的直径，设，因为，，
所以，，因为，，
所以中，，．
以点C为坐标原点，直线CB，CA分别为x，y轴，过点C且与BD平行的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，设，，
由题可知，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，可得．
设平面的一个法向量为，
则，取，可得．
设平面与平面的夹角为．
因为
，
令，则，，，
可得，
当且仅当，即时等号成立，
此时即取得最大值．
故答案为：.
2．（2025·全国·模拟预测）已知圆锥的轴截面是斜边为2的直角三角形，球的半径等于圆锥的高，则圆锥的表面积与球表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆锥的表面积与球的表面积公式计算即可求解.
【详解】圆锥的轴截面是斜边为2的直角三角形，
则圆锥的高为1，母线长为，
所以该圆锥的表面积为，
球的半径为1，表面积为，
所以圆锥的表面积与球表面积之比为.
故选：C
3．（2025·江苏·模拟预测）已知正三棱锥的侧棱长为，为线段上一点，，．设三棱锥外接球为球，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】 如图以点为原点，的平行线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，由，利用坐标运算求得正三棱锥底面边长和高，从而可得外接球半径，又过点作球的截面，当时，截面面积的最小，可得解.
【详解】如图在正三棱锥中，平面，且为的中心，为中线，
如图以点为原点，的平行线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

设，则
所以，
由于，所以，则，
所以，
因为，则
解得，
设，则，则，得，
所以，
过点作球的截面，当时，截面面积的最小，
，所以截面圆半径为，
则面积为.
故选：B
4．（2025·山西吕梁·三模）已知圆柱的上、下底面圆周在同一球面上，且球的表面积是圆柱的表面积的2倍，则球的体积与圆柱的体积的比值是 ．
【答案】/
【分析】设球的半径为，圆柱底面的半径为，圆柱的母线长为，由题意得，又圆柱的上、下底面圆周在同一球面上，所以，解得即可求解.
【详解】设球的半径为，圆柱底面的半径为，圆柱的母线长为，则球的表面积为，圆柱的表面积为，
所以，得①，
又圆柱的上、下底面圆周在同一球面上，所以②，
由①②解得，所以球的体积为，
圆柱的体积为，所以.
故答案为：.
5．（2025·四川·模拟预测）在三棱锥中，是边长为的等边三角形，侧棱平面，平面与平面所成角的正弦值为，则三棱锥外接球的体积为 ．
【答案】
【分析】根据面面角的定义得到为平面与平面所成角，然后根据正弦值得到，再将三棱锥的外接球转化为三棱柱的外接球，计算半径求体积即可.
【详解】
取中点，连接，
因为平面，三角形为等边三角形，平面，
所以，所以，，，，
三角形外接圆半径，
为平面与平面所成角，
在直角三角形中，，则，，
如图，三棱锥可补成三棱柱，则三棱锥的外接球和三棱柱的外接球相同，
所以三棱锥得外接球半径，
所以三棱锥外接球体积为.
故答案为：.
6．（2025·广东广州·模拟预测）已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，若圆台上、下底面面积之比为1：4，则圆台的体积与球体积之比为 .
【答案】
【分析】由题意设圆台上底面圆的半径为，则圆台下底面圆的半径为，求得圆台的高，进而求得圆台的体积与球的体积，可得结论.
【详解】作出示意图如图所示：
因为圆台上、下底面面积之比为1：4，所以圆台上、下底面圆的半径之比为1：2，
设圆台上底面圆的半径为，则圆台下底面圆的半径为，
由题意可得圆台的高为，
则圆台的体积为，
因为下底面过球心，所以球的半径为，所以球的体积为，
所以.
故答案为：.
7．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知四面体的四个顶点在表面积为的球O的球面上，，平面平面，则四面体的体积的最大值为 ．
【答案】
【分析】由题意可得的外接圆的半径，要使得四面体的体积的最大，则需三棱锥的高最大，即点为中点，从而可求解.
【详解】
如图，因为，
易得，,
由的外接圆的半径满足，得，
因为平面平面，
所以在平面的射影为点，且点必落在直线上，
要使得四面体的体积的最大值，
则三棱锥的高最大，即点为中点，
则，，
因为球O的表面积为，则球O的半径,
过点作的平行线，则与交于点，且，
设，，
则，解得；，解得，
所以，
所以四面体的体积为
故答案为：.
8．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知圆台内切球的表面积为，母线与底面圆直径所成角为，则圆台的体积为 .
【答案】
【分析】由条件根据球的表面积公式求出球的半径，作圆台的轴截面，结合条件解三角形求出圆台的上下底面半径和高，结合圆台体积公式求结论.
【详解】设圆台内切球的半径为，
由已知，所以，
作圆台的轴截面可得
由已知，，，
所以，
因为圆为等腰梯形的内切圆，所以，，，
所以，所以，又，
所以，
在中，，，，
所以，
因为，，，
所以，所以，又，
所以，
在中，，，，
所以，
所以圆台的底面圆的半径为，面积为，
底面圆的半径为，面积为，又圆台的高为，
所以圆台的体积，
故答案为：.
9．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为 .

【答案】
【分析】根据题干信息画出示意图，根据正四面体的特征分别计算出大小球半径即可求出小球的体积.
【详解】如图所示，设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为，的中点为，
连接，
则，，
∵，
∴，
∴，
设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，
且小正四面体的高，
∴，
∴小球的体积为：，
故答案为：.
10．（2025·湖南·模拟预测）2021年小米重新设计了自己的品牌形象.新旧图像如图所示，旧logo是一个正方形，新logo可看作一个直径为边长的一半的圆在原正方形中运动，保留它运动过程覆盖的区域就是新logo.类比推理，现有一个棱长为2的正方体，一个直径为1的球在正方体内部滚动，将该球可到达的区域保留，不可到达的区域割去，得到一个几何体，我们称之为“小米正方体”，则“小米正方体”的体积为 .
【答案】
【分析】根据类比，即可根据圆柱的体积公式即可求解.
【详解】根据类比可知：小球在正方体内部运动，“小米正方体”的8个角合在一起刚好是一个直径为正方体棱长一半的球体，
12条棱除开小球部分，余下的刚好可以组成与球半径相同且高为正方体棱长一半的三个圆柱体.
剩余部分是个类似十字的几何体，可得该几何体的体积为4，
所以“小米正方体”的体积为
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：“小米正方体”的8个角合在一起刚好是一个直径为正方体棱长一半的球体，12条棱除开小球部分，余下的刚好可以组成与球半径相同且高为正方体棱长一半的三个圆柱体.
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