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专题05 函数与方程、函数模型的应用
易错点1 忽视零点存在定理的条件或不可逆性而出错
易错典题
【例1】（2026广东广雅中学月考)已知函数图象是连续不断的，并且是上的增函数，有如下的对应值表
x 1 2 3 4
y 1.21 3.79 10.28
以下说法中错误的是（ ）
A． B．当时，
C．函数有且仅有一个零点 D．函数可能无零点
【答案】D
【解析】对于A，因为函数是上的增函数，所以，A正确；
对于B，因为函数是上的增函数，所以当时，，B正确；
对于C，因为函数是上的增函数，且，即，所以函数有且仅有一个在区间的零点（易错点），C正确；
在某区间内单调的函数最多一个零点
对于D，因为函数的图象连续，且，即，所以函数在区间上一定存在零点（易错点），D错误.
利用零点存在性定理判定零点的存在性
【错因分析】本题易忽略函数的单调性而认为C错误.
知识混淆：把零点存在定理与零点唯一性定理混用，误将 “存在” 当作 “只有一个”.
概念模糊：忽略函数必须连续这一前提，只看端点函数值异号就判定有零点.
望文生义：误以为定理可逆，由函数有零点，直接推出端点函数值一定异号.
避错攻略
【方法总结】牢记：必须满足闭区间连续、端点函数值异号，才能判定有零点；定理不可逆，有零点不能反推端点异号；
【知识链接】
1.函数的零点
(1)定义：使得f(x0)＝0的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的零点.
(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系：
(3)零点存在定理
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)·f(b)＜0，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解.
[微提醒]　(1)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根.零点一定在定义域内.
(2)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)＜0，如图所示.
2.二分法
对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)＜0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法.
举一反三
【变式1-1】（24-25高三上·山东菏泽·期中）若函数有三个零点，，，若，则零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意可得，则，
所以，显然为连续函数，
又，所以，，，
，，
根据零点存在性定理可知的第三个零点.
故选：A
【变式1-2】（24-25高三上·陕西咸阳·期中）已知函数，则“”是“函数在区间上没有零点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为函数在区间上的图象是连续不断的，
当，不能推出函数在区间上没有零点，故充分性不满足；
当函数在区间上没有零点时，可以推出，故必要性满足；
所以“”是“函数在区间上没有零点”的必要不充分条件.
故选：B
【变式1-3】（25-26高三上·上海·期中）已知，且函数有且仅有一个零点.若方程无解，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对任意的，，故函数的定义域为，
，故函数为偶函数，
若函数存在一个非零的零点，则也必为函数的零点，这与已知条件矛盾，
由于函数有且只有一个零点，则该零点必为，即，
所以，
当且仅当时，即当时，等号成立，故函数的值域为，
因为方程无解，故，即实数的取值范围是.
故选：A.
易错点2 二次函数零点分布问题考虑不全
易错典题
【例2】（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）函数 的两个不同的零点均大于1的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由函数 的两个不同的零点均大于1，得，（易错点）
此处易犯的错误是：所列式子不全面
解得，
因此所求充分不必要条件是的非空真子集，ABD不满足，C满足.
故选：C
【错因分析】本题在根据根的分布列不等式组时，容易因为考虑不全面漏掉条件而出错.
知识混淆:将零点存在定理直接套用于二次函数，漏判开口、判别式、对称轴等条件.
概念模糊:只关注端点函数值符号，忽略判别式、对称轴、区间范围对零点的限制.
望文生义:看到 “有零点” 只想到有解，不区分在指定区间内还是全体实数上有零点.
避错攻略
【方法总结】研究二次函数零点的分布，一般从以下三个方面考虑：
(1)一元二次方程根的判别式；
(2)对应二次函数区间端点函数值的正负；
(3)对应二次函数图象，即抛物线的对称轴x＝－与区间端点的位置关系．
【知识链接】1．概念
二次方程的根(即二次函数零点)的分布问题．
2．一元二次方程根(二次函数零点)的0分布
方程的根相对于零的关系.比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧.
0分布结合判别式、韦达定理以及0处的函数值列不等式，即可求出参数的取值范围.
3.一元二次方程根（二次函数零点）的k分布
分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一根小于，一大于即
大致图象（a>0）
得出的结论
大致图象（a<0）
得出的结论
综合结论 （不讨论a）
4.一元二次方程根（二次函数零点）在区间的分布
分布情况 两根都在内 两根仅有一根在内（图象有两种情况，只画了一种） 一根在内，另一根在内，
大致图象（）
得出的结论 或
大致图象（）
得出的结论 或
综合结论（不讨论） ——————
举一反三
【变式2-1】（23-24高三上·北京石景山·期中）若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设，
根据已知结合二次函数性质，作图

则有，
解得.
故选：C.
【变式2-2】（25-26高二上·云南昆明·期中）已知是函数的零点，则的最小值为（　　）
A．0 B．1 C．4 D．5
【答案】B
【解析】因为是函数的零点，
所以，即，则或，
解得或，
当时，当且仅当时取等号，所以的最小值为；
当时，当且仅当时取等号，所以的最小值为；
又，综上可得的最小值为，此时，.
故选：B
【变式2-3】（25-26高一上·北京西城·期中）已知函数且满足．
(1)求的值；
(2)已知函数有两个不同的正数零点．
（i）求的取值范围；
（ii）若，求的值：
【分析】（1）根据函数满足得二次函数对称轴，求出，再根据求出；
（2）将化为，根据题意结合韦达定理列出不等式组，解不等式组即可求出的取值范围；根据即可求出的值.
【解析】（1）函数为二次函数，图象开口向上，对称轴为，
又函数满足，则，解得，
又，所以，.
（2）由（1）知，
所以.
（i）因为函数有两个不同的正数零点，
所以，解得，
所以的取值范围为.
（ii）因为，
所以，又，所以.
易错点3 画函数图象时不准确而出错
易错典题
【例3】（多选题）(2026·河北衡水中学月考)已知函数函数有四个不同的零点，且，则（ ）
A．的取值范围是 B．
C．的最小值是 D．越大，的值越大
【答案】BCD
【解析】画出的图象，如下图所示:
对于A,由图可知(易错点) ,则A错误.
当x<0时，函数的图象存在一条渐近线直线y=1
对于B,因为，所以，
所以，则B正确.
对于项C,由图可知，所以，
当且仅当时，等号成立，则C正确.
对于选项D：在上单调递减.
因为越大，越小，所以的值越大，则D正确.
【错因分析】利用函数图象解决函数零点时，因为所画图象不够标准而出错.
知识混淆：混淆函数单调性、奇偶性、渐近线等性质，把图像画错，导致零点个数、位置判断失误.
概念模糊：对关键点（零点、极值点、端点）坐标、符号判断不清，图像形状与位置画不准，误判零点.
望文生义：只看解析式表面，不细算特征，凭感觉画图，忽略定义域与限制条件，得出错误零点结论.避错攻略
【方法总结】常利用图象法研究函数的零点问题，此时要特别注意函数的定义域、图象的渐近线等，尤其是在换元后要注意新元的取值范围.
【知识链接】1.利用描点法作函数图象的步骤
2.函数图象的四种变换
【注意】(1)函数图象平移变换的八字方针：“左加右减”，要注意加减指的是自变量；“上加下减”，要注意加减指的是函数值.(2)将y＝f(x)图象的横坐标变为原来的a倍，纵坐标不变得到函数y＝f(a＞0)的图象.
3.与图象有关的常用结论
(1)图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.
(2)图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上加下减”进行.
举一反三
【变式3-1】（25-26高三上·江苏连云港·期末）已知函数，则方程在区间上的实数根个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，由可得，
作出函数、在时的图象如下图所示：
由图象可知，函数、在时的图象的交点个数为，
故方程在区间上的实数根个数为.
故选：C.
【变式3-2】（25-26高三上·北京西城·期末）函数，和，的图象如图所示，其中，则（ ）
A．方程恰有一个解 B．方程恰有两个解
C．方程恰有三个解 D．方程恰有四个解
【答案】C
【分析】根据复合函数的零点求解方法，从外到内数形结合分析，即可判断和选择.
【解析】对A：令，数形结合可知，或；
令，，
又因为，而，
可知无解，故方程无解，A错误；
对B：令，数形结合可知，或；
令，因为，
数形结合可知，方程有三个根，有两个解，
故方程有五个解，故B错误；
对C：令，数形结合可知，或；
令，
由题可知，，数形结合可知，方程有三个根，
方程无解，
故方程有三个解，故C正确；
对D：令，数形结合可知，或；
令，又，
数形结合可知，无解，有两个解，
故方程有两个解，D错误.
故选：C
【变式3-3】（多选）（2025高三上·江苏·专题练习）设函数，则下列判断正确的是（ ）
A．方程的实数根为
B．若方程有3个互不相等的实数根，则的取值范围为
C．若方程有4个互不相等的实数根，则的取值范围为
D．若方程有3个互不相等的实数根，则的取值范围为
【答案】ABC
【解析】A.当时，令，得或；
当时，令，得，解得：或，
所以方程的实数根为-2，0，，2，故A正确；
B.如图，若方程有3个互不相等的实数根，则与有3个交点，则，故B正确；
C.如图，当时，，根据抛物线的对称性可知，
当时，有，即 ，所以，即，所以.
因此.
由的实数根并结合函数的图象，可知.
因为函数在上单调递增，且当时，；当时，，
所以，所以的取值范围为，故C正确；
D.如图，由C的说明可知，，，若方程有3个互不相等的实数根，则.
当时，方程有4个互不相等的实数根，分别为，.
所以，则的取值范围为，故D错误.
故选：ABC.
易错点4 分类讨论时对分类标准把握不准确而出错
易错典题
【例4】(2026江西赣州一中质检)已知函数，若有另一函数有且仅有5个不同零点，则常数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 由函数，
当时，，所以函数在上单调递减；
当时，，所以函数在上单调递减；
当时，，所以函数在上单调递增；函数图象如下：
令，由函数的图象及性质可知，
当时，方程有两个不同的根；
当时，方程有三个不同的根(易错点)；
对t分类讨论时，易犯错误是：讨论不全或确定不了讨论的标准
函数有且仅有5个不同零点，
就等价于函数有2个零点，且一个零点在，另一个零点在.
当时，只有一个零点，不符合题意；
所以，此时二次函数，
且恒成立.
当时，其图象的对称轴为，，，解得(易错点)；
要注意对a分类讨论
当时，此时其图象的对称轴，二次函数在上至多有一个根，故不符合题意.
综上可知，常数a的取值范围为.
【错因分析】研究含参数的函数的零点时，必须注意对参数分类讨论，讨论时易犯的错误是讨论不全面或者不能确定讨论的标准.
知识混淆：混淆参数讨论对象，把开口方向、判别式、根大小、区间位置混在一起，逻辑混乱.
概念模糊：不清楚以零点个数、单调性、根大小为标准，讨论重复或遗漏，导致结果不全.
望文生义：只看 “有零点” 字面意思，不结合定义域、区间范围，盲目分类，与题意不符.
避错攻略
【方法总结】对于含有多个参数的函数零点问题，要注意对各参数分别分类讨论，讨论时要注意做到不重不漏.
【知识链接】1.求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f(x)＝0，方程解的个数即为函数零点个数.
(2)定理法：首先确定函数f(x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)＜0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数.
(3)图象法：把原函数拆分为两个简单函数，两函数图象的交点个数即为函数零点个数.
2.利用函数零点求参数范围的方法
3.求函数的多个零点(或方程的根以及直线y＝m与函数图象的多个交点横坐标)的和(积)时，实质上是等高线问题，重在“减元”，结合函数图象要充分利用“函数值相等”，树立目标意识，预设“消谁留谁”，利用“函数值相等”的逆向使用，探究出自变量间的等量关系.
举一反三
【变式4-1】（多选）（25-26高三上·浙江宁波·月考）已知定义域为的函数在区间内恰有一个零点，下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则或
【答案】ABD
【解析】注意到，，
对于A，若，，开口向下，故要使函数在区间内恰有一个零点，只需，即，解得，故正确；
对于B，若，，，要使函数在区间内恰有一个零点，只需开口向下且，即且，解得，故正确；
对于C，若，，要使函数在区间内恰有一个零点，只需或，解得或，故错误；
对于D，若，，
当时，函数开口向下，要使函数在区间内恰有一个零点，只需，即，解得，即时满足题意；
当时，得，满足题意；
当时，要使函数在区间内恰有一个零点，只需或，解得或，
综上，若时，要使函数在区间内恰有一个零点，则或，故正确.
故选：ABD
【变式4-2】（25-26高三上·山西晋中·期末）已知函数若有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，当时，，由，
（可知，否则此时函数无零点，而时，最多有2个零点，不合题意），
可得，即，要使这个零点存在，需使，解得；
当时，由，可得和，因，
要使在上有2个零点，需使且.
由上分析可得：
当时，在上有2个零点和，在上有一个零点，共有3个零点，符合题意；
当时，在上没有零点，在上有2个零点和，不合题意；
当时，在上没有零点，在上只有1个零点，不合题意；
当时，在上有2个零点和，在时无零点，不合题意；
当时，在上有1个零点，在时无零点，不合题意.
综上，实数的取值范围是.
故选：B.
【变式4-3】（25-26高三上·辽宁沈阳·期末）已知函数，，为函数的一个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知函数，，为函数的一个零点，
则，显然，则，
由于，故，
当时，，不符合题意，
当时，，则可化为，
令，
由于，则均在上单调递增，即得在上单调递增，
又，
故当时，，即得；
将代入得，
由于，故，
即的取值范围为，
故选：B
易错点5数学建模时忽视实际意义而致错
易错典题
【例5】（25-26高一上·四川南充·期中）如图1，有一个半径为2的半圆，一个等腰梯形的下底是的直径，上底的端点在圆周上，记线段的长度为，梯形的周长为．

(1)写出与的函数关系式，并求出它的定义域；
(2)当梯形的周长取得最大值时，如图2所示建立平面直角坐标系，直线：与下底交于.记梯形位于直线左侧的图形的面积为，求函数的解析式；
(3)在（2）的条件下，当时，求的长．
【解析】（1）如图，过作于，圆心为，连接，设，则，

由，得，
整理得，，
，
，，即，解得(易错点)．
注意各线段长均为正数
与的函数关系式为，．
（2）
，，
当时，取得最大值，此时，，，，
故等腰梯形的底角为，面积为，
令，当时，；
当时，；
当时，；
．
（3），
令，则时，，解得（舍去）；
当时，，解得满足条件；
当时，，解得（舍去）或（舍去），
综上所述，，故．
【错因分析】只关注代数式成立，忽略人数、长度、时间等实际限制，导致定义域、最值错误.
知识混淆：将纯数学函数与实际模型混用，不区分抽象定义域与现实取值范围.
概念模糊：对自变量实际意义、约束条件理解不清，漏写定义域，结果不符合现实.
望文生义：仅按文字表面列式，不结合实际情境，结果出现负数、小数等不合理解.
避错攻略
【方法总结】建模前先明确变量实际意义，严格确定定义域；列式后检验是否符合现实约束，验证结果合理性；不忘单位统一，确保函数与情境匹配，杜绝纯代数思维.
【知识链接】
1.指数、对数、幂函数模型性质比较
　　函数 性质　　 y＝ax (a＞1) y＝logax (a＞1) y＝xn (n＞0)
在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同
值的比较 存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax
2.几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)
与对数函数相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)
与幂函数相关的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
3.已知函数模型解决实际问题的步骤
举一反三
【变式5-1】（25-26高三上·黑龙江·期中）如图，在中，，，直线与边，分别交于，两点，且的面积是面积的一半.设，，记，则的定义域为 ，的最小值与最大值之和为 .
【答案】
【解析】因为的面积是面积的一半，
即，即，可得，
又因为，即，
且，可得，
所以，且的定义域为的定义域为；
令，则在上单调递减，在上单调递增，
且，
可知在上的最小值为2，最大值为，
即在上的最小值为2，最大值为，
所以的最小值与最大值之和为.
【变式5-2】（多选）（25-26高一上·江苏无锡·期中）设矩形的周长为12，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设.

(1)设，将表示成关于的函数，并写出定义域；
(2)设的面积为，
（i）将表示成关于的函数；
（ii）求的最大值及相应的值.
【解析】（1）由题意知，，，，
所以，所以，
因为矩形的周长为12，，
所以，
因为，所以，所以，
在中，可得，所以，
整理得.
（2）（i）；
（ii）因为，
所以，
当且仅当时取等号，即当时取等号，
于是有，
所以当时，有最大值.
单选题
1．（25-26高三上·陕西商洛·期末）函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数和均为单调递增函数，
所以函数为单调递增函数，
又，，
所以，
所以由零点存在定理可知函数的零点所在的区间为．
故选：B
2．（25-26高三·全国·课后作业）已知矩形的周长为20 cm，设矩形的宽为x（cm），面积为，则y关于x的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由矩形的周长为20 cm，矩形的宽为x（cm），则矩形的长为（cm），
∴面积为.
故选：C.
3．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，则方程解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】根据题意，令，分别作出函数与函数的图象.

在区间内，函数单调递减，与函数有1个交点；
在区间内，函数的值域为，函数单调递增且值域为，
又当时，，结合图象，在区间内，函数与函数有3个交点，
故方程解的个数为4.
故选：D.
4．（2026·河南濮阳·一模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】法1：由题意可知，分别为与的函数图象的交点的横坐标，
图象如图：

由图可知，；
法2：易知，均为增函数，
因为，所以，
因为，所以，
所以.
故选：A
5．（2025北京高考）已知某放射性物质的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足表示原有的某种物质的质量）.经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的该种物质的质量是原来的倍，据此推测该石制品生产的时间距今约（ ）（参考数据：）
A．800年 B．810年 C．900年 D．920年
【答案】C
【分析】由题意得等量关系，由该等量关系结合对数运算性质即可计算求解.
【解析】由题要使得某放射性物质的质量是原来的倍，可得，即，
两边取自然对数可得，即，
所以年.
故选：C
6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】解法一：令，即，可得，
令，
原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，
注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得，即，解得，
若，令，可得
因为，则，当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，
所以符合题意；
综上所述：.
解法二：令，
原题意等价于有且仅有一个零点，
因为，
则为偶函数，
根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，
即，解得，
若，则，
又因为当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
即有且仅有一个零点0，所以符合题意；
故选：D.
7．（25-26高二上·浙江台州·期末）若函数在区间各恰有一个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为在区间各恰有一个零点，所以在区间各有一个解，
当时，，故可化为，
令，，则问题转化为与在各有一个交点.
设，
，
时，，
故，在单调递增，
又，所以时，，，在单调递增.
时，设，
故在上单调递增，
又，故存在使成立，
，，单调递减；，，单调递增.
又，，所以存在使成立，
，，单调递增；，，单调递减.
又,
所以大致图像如图所示，
故的取值范围为
故选：A.
8．（25-26高三上·湖北黄石·期末）已知函数且函数恰有6个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．.
【答案】D
【解析】定义域为且，且对定义域内任意，满足，所以是奇函数，
当且时，，，令得，
当时，，单调减区间为；当时，，单调递增，
所以当时，取得极小值，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
由奇函数对称性可知，当时，在处取得极大值，
据此得到大致图象如图
设，则即，
要使恰好有个零点，则方程需有两个根且满足每个值对应个，
由图象可知，当时，有个解；当时，有个解；
当时，有个解；当时，有个解；
当时，有个解；当时，有个解.
则若恰有个零点，则方程的两个根（不妨设），
应满足，，
设，则，解得，
故选：D.
多选题
9.（25-26高三上·福建三明·月考）已知二次函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．若恒成立，则 D．若在内有零点，则
【答案】ACD
【解析】由题意可知：，
对于选项A：当时，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于选项B：当时，，故B错误；
对于选项C：若二次恒成立，
则，解得，故C正确；
对于选项D：令，
因为，则，，
可得，故D正确；
故选：ACD.
10．（2026·河南南阳·模拟预测）在物理学中，声音的强弱叫做响度，单位为宋（sone），响度级为响度的相对量，它反映了人耳依据声压和频率对声音做出的主观响度感受，单位为方（phon），实验发现，响度级LN与响度的关系式为，则（ ）（参考数据：）
A．响度级每增加10方，响度约增加一倍 B．响度级为40方，响度为1宋
C．当响度为2宋时，响度级约为45方 D．当响度为8宋时，响度级约为70方
【答案】ABD
【解析】对于A，响度级增加10方对应的响度为，则，
因此，即，则响度级每增加10方，响度约增加一倍，A正确；
对于B，当时，，则，B正确；
对于C，当时，，解得，C错误；
对于D，当时，，解得，D正确.
故选：ABD
11．（25-26高三上·陕西·期末）已知函数，则（ ）．
A．， B．在上单调递增
C．是偶函数 D．函数有3个零点
【答案】BD
【解析】依题意，．作出其函数图像如下:
对于A，，，故A错误；
对于B，在上单调递增，故B正确；
对于C，设，则，
所以是奇函数，故C错误；
对于D，的零点个数即与的图象的交点个数，
在同一直角坐标系中分别作出这两个函数的图象，如图，观察可知，
两图象有3个交点，则有3个零点，故D正确．
故选：BD

填空题
12．（25-26高三上·山东烟台·月考）如图，某小区有一块底边和高均为40m的锐角三角形空地，现规划在空地内种植一边长为x（单位：m）的矩形草坪（阴影部分），要求草坪面积不小于，则x的取值范围为 .
【答案】
【解析】设矩形另一边的长为m，
由三角形相似得：，（）,
所以,
所以矩形草坪的面积，
解得：.
故答案为：
13．（25-26高一上·天津滨海新区·月考）已知函数，若方程有三个不等的实数解，则的取值范围是
【答案】
【解析】当时，，
此时为上的增函数且的取值范围为，
故在上有且只有一个实数解，
故在上有且仅有2个不同的实数解，
设，而对称轴，
故即，
故答案为：
14．（25-26高一上·江苏淮安·期末）已知函数，若关于的方程（）恰有四个不同的解，记为（），设，则 ；若关于的方程至少有7个不同的解，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】作出函数的图象，如图所示，
当时，由可得，
即，故.
由图知，和关于轴对称得，
所以.
令，则，
若关于的方程至少有7个不同的解，
当时，有1个解，，而，有1个解，故原方程有1个解；
当时，有3个解，假设，则，
故有1个解，有3个解，有3个解，
所以原方程共有7个解；
当时，有4个解，假设，
则，
故有1个解，有1个解，有4个解，有2个解，原方程共有8个解；
当时，有3个解，假设，
则，，，故有1个解，有4个解，有2个解，原方程共有7个解；
当时，有2个解，假设，则，
故有4个解，有2个解，共有6个解，
综上所述，关于的方程至少有7个不同的解时，
故答案为：；.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题05 函数与方程、函数模型的应用
易错点1 忽视零点存在定理的条件或不可逆性而出错
易错典题
【例1】（2026广东广雅中学月考)已知函数图象是连续不断的，并且是上的增函数，有如下的对应值表
x 1 2 3 4
y 1.21 3.79 10.28
以下说法中错误的是（ ）
A． B．当时，
C．函数有且仅有一个零点 D．函数可能无零点
【答案】D
【解析】对于A，因为函数是上的增函数，所以，A正确；
对于B，因为函数是上的增函数，所以当时，，B正确；
对于C，因为函数是上的增函数，且，即，所以函数有且仅有一个在区间的零点（易错点），C正确；
在某区间内单调的函数最多一个零点
对于D，因为函数的图象连续，且，即，所以函数在区间上一定存在零点（易错点），D错误.
利用零点存在性定理判定零点的存在性
【错因分析】本题易忽略函数的单调性而认为C错误.
知识混淆：把零点存在定理与零点唯一性定理混用，误将 “存在” 当作 “只有一个”.
概念模糊：忽略函数必须连续这一前提，只看端点函数值异号就判定有零点.
望文生义：误以为定理可逆，由函数有零点，直接推出端点函数值一定异号.
避错攻略
【方法总结】牢记：必须满足闭区间连续、端点函数值异号，才能判定有零点；定理不可逆，有零点不能反推端点异号；
【知识链接】
1.函数的零点
(1)定义：使得f(x0)＝0的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的零点.
(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系：
(3)零点存在定理
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)·f(b)＜0，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解.
[微提醒]　(1)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根.零点一定在定义域内.
(2)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)＜0，如图所示.
2.二分法
对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)＜0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法.
举一反三
【变式1-1】（24-25高三上·山东菏泽·期中）若函数有三个零点，，，若，则零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（24-25高三上·陕西咸阳·期中）已知函数，则“”是“函数在区间上没有零点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-3】（25-26高三上·上海·期中）已知，且函数有且仅有一个零点.若方程无解，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
易错点2 二次函数零点分布问题考虑不全
易错典题
【例2】（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）函数 的两个不同的零点均大于1的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由函数 的两个不同的零点均大于1，得，（易错点）
此处易犯的错误是：所列式子不全面
解得，
因此所求充分不必要条件是的非空真子集，ABD不满足，C满足.
故选：C
【错因分析】本题在根据根的分布列不等式组时，容易因为考虑不全面漏掉条件而出错.
知识混淆:将零点存在定理直接套用于二次函数，漏判开口、判别式、对称轴等条件.
概念模糊:只关注端点函数值符号，忽略判别式、对称轴、区间范围对零点的限制.
望文生义:看到 “有零点” 只想到有解，不区分在指定区间内还是全体实数上有零点.
避错攻略
【方法总结】研究二次函数零点的分布，一般从以下三个方面考虑：
(1)一元二次方程根的判别式；
(2)对应二次函数区间端点函数值的正负；
(3)对应二次函数图象，即抛物线的对称轴x＝－与区间端点的位置关系．
【知识链接】1．概念
二次方程的根(即二次函数零点)的分布问题．
2．一元二次方程根(二次函数零点)的0分布
方程的根相对于零的关系.比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧.
0分布结合判别式、韦达定理以及0处的函数值列不等式，即可求出参数的取值范围.
3.一元二次方程根（二次函数零点）的k分布
分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一根小于，一大于即
大致图象（a>0）
得出的结论
大致图象（a<0）
得出的结论
综合结论 （不讨论a）
4.一元二次方程根（二次函数零点）在区间的分布
分布情况 两根都在内 两根仅有一根在内（图象有两种情况，只画了一种） 一根在内，另一根在内，
大致图象（）
得出的结论 或
大致图象（）
得出的结论 或
综合结论（不讨论） ——————
举一反三
【变式2-1】（23-24高三上·北京石景山·期中）若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（25-26高二上·云南昆明·期中）已知是函数的零点，则的最小值为（　　）
A．0 B．1 C．4 D．5
【变式2-3】（25-26高一上·北京西城·期中）已知函数且满足．
(1)求的值；
(2)已知函数有两个不同的正数零点．
（i）求的取值范围；
（ii）若，求的值：
易错点3 画函数图象时不准确而出错
易错典题
【例3】（多选题）(2026·河北衡水中学月考)已知函数函数有四个不同的零点，且，则（ ）
A．的取值范围是 B．
C．的最小值是 D．越大，的值越大
【答案】BCD
【解析】画出的图象，如下图所示:
对于A,由图可知(易错点) ,则A错误.
当x<0时，函数的图象存在一条渐近线直线y=1
对于B,因为，所以，
所以，则B正确.
对于项C,由图可知，所以，
当且仅当时，等号成立，则C正确.
对于选项D：在上单调递减.
因为越大，越小，所以的值越大，则D正确.
【错因分析】利用函数图象解决函数零点时，因为所画图象不够标准而出错.
知识混淆：混淆函数单调性、奇偶性、渐近线等性质，把图像画错，导致零点个数、位置判断失误.
概念模糊：对关键点（零点、极值点、端点）坐标、符号判断不清，图像形状与位置画不准，误判零点.
望文生义：只看解析式表面，不细算特征，凭感觉画图，忽略定义域与限制条件，得出错误零点结论.避错攻略
【方法总结】常利用图象法研究函数的零点问题，此时要特别注意函数的定义域、图象的渐近线等，尤其是在换元后要注意新元的取值范围.
【知识链接】1.利用描点法作函数图象的步骤
2.函数图象的四种变换
【注意】(1)函数图象平移变换的八字方针：“左加右减”，要注意加减指的是自变量；“上加下减”，要注意加减指的是函数值.(2)将y＝f(x)图象的横坐标变为原来的a倍，纵坐标不变得到函数y＝f(a＞0)的图象.
3.与图象有关的常用结论
(1)图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.
(2)图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上加下减”进行.
举一反三
【变式3-1】（25-26高三上·江苏连云港·期末）已知函数，则方程在区间上的实数根个数为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（25-26高三上·北京西城·期末）函数，和，的图象如图所示，其中，则（ ）
A．方程恰有一个解 B．方程恰有两个解
C．方程恰有三个解 D．方程恰有四个解
【变式3-3】（多选）（2025高三上·江苏·专题练习）设函数，则下列判断正确的是（ ）
A．方程的实数根为
B．若方程有3个互不相等的实数根，则的取值范围为
C．若方程有4个互不相等的实数根，则的取值范围为
D．若方程有3个互不相等的实数根，则的取值范围为
易错点4 分类讨论时对分类标准把握不准确而出错
易错典题
【例4】(2026江西赣州一中质检)已知函数，若有另一函数有且仅有5个不同零点，则常数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 由函数，
当时，，所以函数在上单调递减；
当时，，所以函数在上单调递减；
当时，，所以函数在上单调递增；函数图象如下：
令，由函数的图象及性质可知，
当时，方程有两个不同的根；
当时，方程有三个不同的根(易错点)；
对t分类讨论时，易犯错误是：讨论不全或确定不了讨论的标准
函数有且仅有5个不同零点，
就等价于函数有2个零点，且一个零点在，另一个零点在.
当时，只有一个零点，不符合题意；
所以，此时二次函数，
且恒成立.
当时，其图象的对称轴为，，，解得(易错点)；
要注意对a分类讨论
当时，此时其图象的对称轴，二次函数在上至多有一个根，故不符合题意.
综上可知，常数a的取值范围为.
【错因分析】研究含参数的函数的零点时，必须注意对参数分类讨论，讨论时易犯的错误是讨论不全面或者不能确定讨论的标准.
知识混淆：混淆参数讨论对象，把开口方向、判别式、根大小、区间位置混在一起，逻辑混乱.
概念模糊：不清楚以零点个数、单调性、根大小为标准，讨论重复或遗漏，导致结果不全.
望文生义：只看 “有零点” 字面意思，不结合定义域、区间范围，盲目分类，与题意不符.
避错攻略
【方法总结】对于含有多个参数的函数零点问题，要注意对各参数分别分类讨论，讨论时要注意做到不重不漏.
【知识链接】1.求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f(x)＝0，方程解的个数即为函数零点个数.
(2)定理法：首先确定函数f(x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)＜0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数.
(3)图象法：把原函数拆分为两个简单函数，两函数图象的交点个数即为函数零点个数.
2.利用函数零点求参数范围的方法
3.求函数的多个零点(或方程的根以及直线y＝m与函数图象的多个交点横坐标)的和(积)时，实质上是等高线问题，重在“减元”，结合函数图象要充分利用“函数值相等”，树立目标意识，预设“消谁留谁”，利用“函数值相等”的逆向使用，探究出自变量间的等量关系.
举一反三
【变式4-1】（多选）（25-26高三上·浙江宁波·月考）已知定义域为的函数在区间内恰有一个零点，下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则或
【变式4-2】（25-26高三上·山西晋中·期末）已知函数若有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（25-26高三上·辽宁沈阳·期末）已知函数，，为函数的一个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
易错点5数学建模时忽视实际意义而致错
易错典题
【例5】（25-26高一上·四川南充·期中）如图1，有一个半径为2的半圆，一个等腰梯形的下底是的直径，上底的端点在圆周上，记线段的长度为，梯形的周长为．

(1)写出与的函数关系式，并求出它的定义域；
(2)当梯形的周长取得最大值时，如图2所示建立平面直角坐标系，直线：与下底交于.记梯形位于直线左侧的图形的面积为，求函数的解析式；
(3)在（2）的条件下，当时，求的长．
【解析】（1）如图，过作于，圆心为，连接，设，则，

由，得，
整理得，，
，
，，即，解得(易错点)．
注意各线段长均为正数
与的函数关系式为，．
（2）
，，
当时，取得最大值，此时，，，，
故等腰梯形的底角为，面积为，
令，当时，；
当时，；
当时，；
．
（3），
令，则时，，解得（舍去）；
当时，，解得满足条件；
当时，，解得（舍去）或（舍去），
综上所述，，故．
【错因分析】只关注代数式成立，忽略人数、长度、时间等实际限制，导致定义域、最值错误.
知识混淆：将纯数学函数与实际模型混用，不区分抽象定义域与现实取值范围.
概念模糊：对自变量实际意义、约束条件理解不清，漏写定义域，结果不符合现实.
望文生义：仅按文字表面列式，不结合实际情境，结果出现负数、小数等不合理解.
避错攻略
【方法总结】建模前先明确变量实际意义，严格确定定义域；列式后检验是否符合现实约束，验证结果合理性；不忘单位统一，确保函数与情境匹配，杜绝纯代数思维.
【知识链接】
1.指数、对数、幂函数模型性质比较
　　函数 性质　　 y＝ax (a＞1) y＝logax (a＞1) y＝xn (n＞0)
在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同
值的比较 存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax
2.几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)
与对数函数相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)
与幂函数相关的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
3.已知函数模型解决实际问题的步骤
举一反三
【变式5-1】（25-26高三上·黑龙江·期中）如图，在中，，，直线与边，分别交于，两点，且的面积是面积的一半.设，，记，则的定义域为 ，的最小值与最大值之和为 .
【变式5-2】（多选）（25-26高一上·江苏无锡·期中）设矩形的周长为12，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设.

(1)设，将表示成关于的函数，并写出定义域；
(2)设的面积为，
（i）将表示成关于的函数；
（ii）求的最大值及相应的值.
单选题
1．（25-26高三上·陕西商洛·期末）函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高三·全国·课后作业）已知矩形的周长为20 cm，设矩形的宽为x（cm），面积为，则y关于x的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，则方程解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2026·河南濮阳·一模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025北京高考）已知某放射性物质的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足表示原有的某种物质的质量）.经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的该种物质的质量是原来的倍，据此推测该石制品生产的时间距今约（ ）（参考数据：）
A．800年 B．810年 C．900年 D．920年
6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
7．（25-26高二上·浙江台州·期末）若函数在区间各恰有一个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（25-26高三上·湖北黄石·期末）已知函数且函数恰有6个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．.
多选题
9.（25-26高三上·福建三明·月考）已知二次函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．若恒成立，则 D．若在内有零点，则
10．（2026·河南南阳·模拟预测）在物理学中，声音的强弱叫做响度，单位为宋（sone），响度级为响度的相对量，它反映了人耳依据声压和频率对声音做出的主观响度感受，单位为方（phon），实验发现，响度级LN与响度的关系式为，则（ ）（参考数据：）
A．响度级每增加10方，响度约增加一倍 B．响度级为40方，响度为1宋
C．当响度为2宋时，响度级约为45方 D．当响度为8宋时，响度级约为70方
11．（25-26高三上·陕西·期末）已知函数，则（ ）．
A．， B．在上单调递增
C．是偶函数 D．函数有3个零点
填空题
12．（25-26高三上·山东烟台·月考）如图，某小区有一块底边和高均为40m的锐角三角形空地，现规划在空地内种植一边长为x（单位：m）的矩形草坪（阴影部分），要求草坪面积不小于，则x的取值范围为 .
13．（25-26高一上·天津滨海新区·月考）已知函数，若方程有三个不等的实数解，则的取值范围是
14．（25-26高一上·江苏淮安·期末）已知函数，若关于的方程（）恰有四个不同的解，记为（），设，则 ；若关于的方程至少有7个不同的解，则的取值范围是 .
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