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专题05 极化恒等式、三角形“四心”和奔驰定理
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高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 三角形 “四心” 向量识别（） 题型二 极化恒等式求数量积（） 题型三 奔驰定理与面积比例（） 题型四 “四心” 与轨迹问题（） 题型五 综合应用（“四心”+ 奔驰定理 + 极化恒等式）（） 实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）
高考平面向量的核心考查模块，分值占比 5-12 分，题型以选择题、填空题为主，偶尔在解答题中作为综合考点出现。
基础知识必备： 需熟练掌握三类核心知识的基础内容：三角形 “四心”（重心、内心、外心、垂心）的专属向量特征，如重心的、外心的等；极化恒等式的两种核心模式（三角形模式、平行四边形模式）；奔驰定理的基本形式及与 “四心” 的面积比关联（如内心对应面积比）。
2026高考预测：2026 年考向将聚焦三大方向：一是 “四心” 向量识别的基础送分题，侧重向量表达式与 “四心” 特征的直接匹配；二是极化恒等式的灵活应用，常结合三角形、圆、正六边形等几何图形，考查数量积的快速计算；三是奔驰定理与面积比例的综合题，可能与三角函数、余弦定理结合，提升题目综合性；此外，跨模块融合（如与解析几何、三角函数的结合）和新情境应用（如结合几何图形性质的创新设问）将成为重要趋势，对知识迁移能力要求提升。
重难知识汇总：三角形 “四心” 的向量本质：
①重心是中线交点，核心向量关系为；
②内心是角平分线交点，对应边长加权向量和为零（）；
③外心是中垂线交点，关键特征是到顶点距离相等；
④垂心是高线交点，满足。
极化恒等式的适用场景：三角形中需紧扣 “中点” 条件，圆中可结合圆心与直径构造应用，平行四边形中直接套用原始公式，核心是通过 “和差对角线” 或 “中点线段” 转化数量积。奔驰定理的核心关联：向量系数比与对应三角形面积比完全等价，且可直接关联 “四心”（如垂心对应面积比、外心对应），是解决面积比例问题的 “万能工具”。
常用技巧方法：“四心” 快速判断法：优先匹配向量核心特征（如看到直接判定重心），垂心可通过 “点乘为零” 验证垂直，内心关注 “单位向量和” 或 “边长加权”。极化恒等式速用法：遇数量积计算，先找线段中点，若无中点则构造中点，优先套用三角形模式，圆中可利用 “圆心为直径中点” 简化运算。奔驰定理应用法：向量系数直接对应面积比，无需复杂推导，综合题中先通过奔驰定理转化面积比，再结合余弦定理、三角函数求解角度或边长。数形结合辅助法：复杂问题可建立平面直角坐标系，将向量关系转化为坐标运算，降低抽象性（如 “四心” 轨迹问题、极化恒等式与圆结合问题）。
易错避坑提效：
①混淆 “四心” 向量特征：外心的核心是 “距离相等”，切勿与垂心的 “数量积相等” 混淆；内心的向量表达式系数是边长，而非角度或其他比例。
②极化恒等式误用：忽略 “中点” 前提，直接套用公式；圆中应用时未注意 “圆心为直径中点” 的隐含条件，导致计算错误。
③奔驰定理适用范围：仅适用于点在三角形内部的情况，若点在外部，需注意面积比的符号变化，避免直接套用系数比。
综合题逻辑断层：解决 “四心 + 奔驰定理 + 极化恒等式” 综合题时，未理清知识关联，如未利用奔驰定理将向量系数转化为面积比，导致后续计算无法推进，建议按 “向量关系→面积比 / 四心判定→数量积 / 角度计算” 的逻辑推进。
题型一 三角形 “四心” 向量识别
方法点拨： 重心核心特征： 或 ，直接匹配即可；外心核心特征：到顶点距离相等（），与向量数量积无关；垂心核心特征：，体现高线垂直性质；内心核心特征：边长加权向量和为零（），牢记 “边长对应系数”。
【典例01】（2025·四川遂宁·二模）若点为的外心，且满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【典例02】（2025·河北张家口·一模）在平面直角坐标系中，，，，点分别是的外心和垂心，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式01】（2025高三·全国·专题练习）已知点是非等边的外心，是平面内的一点且，则是的（ ）
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心
【变式02】（2025·全国·二模）点是所在平面内两个不同的点，满足，则直线经过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【变式03】（2025·四川南充·三模）已知点P在所在平面内，若，则点P是的（ ）
A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心
题型二 极化恒等式求数量积
方法点拨： 三角形模式（核心用法）：，直接代入中点相关线段长度；平行四边形模式：，适用于平行四边形或可补成平行四边形的图形；圆中模式：若 P 在圆上，C 为圆心，可设，用坐标表示后结合极化恒等式，简化计算。
【典例01】（2025·天津和平·三模）若正方形的边长为1，中心为，过作直线与边，分别交于，两点，点满足．（ⅰ）当时， ；（ⅱ）的最小值为 ．
【典例02】（24-25高三下·湖南·月考）已知为圆的直径且，为圆上的动点且与，均不重合，等边三角形与共面且点，位于的异侧，则的最大值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【变式01】（2025高三·全国·专题练习）已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式02】（2024·天津河西·模拟预测）在梯形中，，，，，，点满足，则 ；若与相交于点，为线段延长线上的动点，则的最小值为 .
【变式03】（24-25高三上·上海浦东新·期中）在中，，，，P，Q是平面上的动点，，M是边BC上的一点，则的最小值为 ．
题型三 奔驰定理与面积比例
方法点拨：
1.奔驰定理核心：，向量系数比 = 对应面积比；四心与奔驰定理关联：
2.重心：面积比 1:1:1，向量和为零；内心：面积比 a:b:c，对应边长加权向量和为零；外心：面积比 sin2A:sin2B:sin2C；
3.垂心：面积比 tanA:tanB:tanC；快速计算：直接提取向量系数作为面积比，总面积 = 各部分面积之和，简化比例运算。
【典例01】（2025高三·全国·专题练习）已知点O是内一点，，则 .
【典例02】（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·月考）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.若为的垂心，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式01】（2025高三下·全国·专题练习）如图，已知是的垂心，且，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【变式02】（2025高三·全国·专题练习）设点在内部，且，则与的面积之比是 ．
【变式03】（23-24高三下·广东广州·二调）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若，，M为的外心，则
D．若M为的垂心，，则
题型四 “四心” 与轨迹问题
方法点拨：先化简向量式：提取，聚焦的方向特征；垂心轨迹判断：若（即），则轨迹过垂心，可通过点乘验证；重心轨迹判断：若与中线共线（如），则轨迹过重心；内心轨迹判断：若与角平分线共线（如），则轨迹过内心
【典例01】（2025·河南·模拟预测）(多选)在中，若，点在边上，点在边上，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【典例02】（2025高三·全国·专题练习）已知点均在所在平面内，以下所有正确说法的序号是 ．
①若动点满足，则点为的重心；
②若动点满足，则动点的轨迹一定经过的内心；
③若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心；
④若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心．
【变式01】（2025高三·全国·专题练习）为平面内一定点，该平面内一动点满足，则的（ ）一定属于集合.
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
【变式02】（24-25高三下·甘肃兰州·月考）已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（ ）
A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【变式03】（2025高三·全国·专题练习）已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
题型五 综合应用（“四心”+ 奔驰定理 + 极化恒等式）
方法点拨：第一步：关联垂心与奔驰定理，垂心对应的面积比 = tanA:tanB:tanC；第二步：由奔驰定理，向量系数比 = 面积比，直接提取、、的系数作为 tanA、tanB、tanC 的比；第三步：复杂场景可结合极化恒等式求数量积，或建立坐标系辅助计算，优先利用 “四心” 与奔驰定理的关联结论简化推导。
【典例01】（24-25高三上·河北保定·期中）(多选)已知点是内的一点，则以下说法正确的有（ ）
A．若，，分别表示，的面积，则
B．若，则动点的轨迹一定通过的重心
C．若，则点是的垂心
D．若，，分别为，，的中点，且，，则的最大值为
【典例02】（24-25高三·四川成都·期末）(多选)设点D是所在平面内一点，O是平面上一个定点，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则D是BC边上靠近B的三等分点
B．若，（且），则直线AD经过的垂心
C．若，且x，，，则是面积的一半
D．若平面内一动点P满足，（且），则动点P的轨迹一定通过的外心
【变式01】（2024·天津和平·一模）青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称.（i）请用表示 ；（ii）请写出的取值范围 .
【变式02】（23-24高三上·湖北荆州·月考）(多选)点O在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若，则点O是的重心
B．若，则点O是的内心
C．若，则点O是的外心
D．若，则点O是的垂心
【变式03】（2025·安徽·三模）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，，的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
（限时训练：15分钟）
1． （2025·安徽滁州·二模）已知为的重心，为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
2． （25-26高三上·重庆·月考）已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（ ）
A．垂心 B．内心
C．重心 D．外心
3．（2025高三·全国·专题练习）设点是面积为4的内部一点，且有，则的面积为（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2025高三·全国·专题练习）已知为双曲线上经过原点的一动弦，为圆上一动点，则的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
5. （2025·江西·一模）如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6. （2025高三·全国·专题练习）已知,,是平面上不共线的三点，为坐标原点，动点满足，，则点的轨迹一定经过（ ）
A．的内心 B．的垂心
C．的重心 D．的外心
7. （24-25高三上·江西新余·期末）(多选) “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若M为的垂心，，则
D．若，，M为的外心，则
8．（25-26高三上·安徽·月考）(多选)在中，角的对边分别为，点为内部一动点，则下列命题正确的是（ ）
A．若点为的中点，则
B．若点为的内心，则
C．若，则点过的外心
D．若为锐角三角形，点为的垂心，则
9．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）(多选)已知中，，点为内的一个点，且始终满足，则下列说法正确的有（ ）
A．有最小值，且为 B．取最小值时，
C．点的运动轨迹应为圆 D．当取最小时，
10．（24-25高三下·安徽合肥·月考）(多选)已知P为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若P为的垂心，，则
B．若P为锐角的外心，且，则
C．若P为的重心，则
D．若，则点P的轨迹经过的内心
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题05 极化恒等式、三角形“四心”和奔驰定理
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高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 三角形 “四心” 向量识别（） 题型二 极化恒等式求数量积（） 题型三 奔驰定理与面积比例（） 题型四 “四心” 与轨迹问题（） 题型五 综合应用（“四心”+ 奔驰定理 + 极化恒等式）（） 实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）
高考平面向量的核心考查模块，分值占比 5-12 分，题型以选择题、填空题为主，偶尔在解答题中作为综合考点出现。
基础知识必备： 需熟练掌握三类核心知识的基础内容：三角形 “四心”（重心、内心、外心、垂心）的专属向量特征，如重心的、外心的等；极化恒等式的两种核心模式（三角形模式、平行四边形模式）；奔驰定理的基本形式及与 “四心” 的面积比关联（如内心对应面积比）。
2026高考预测：2026 年考向将聚焦三大方向：一是 “四心” 向量识别的基础送分题，侧重向量表达式与 “四心” 特征的直接匹配；二是极化恒等式的灵活应用，常结合三角形、圆、正六边形等几何图形，考查数量积的快速计算；三是奔驰定理与面积比例的综合题，可能与三角函数、余弦定理结合，提升题目综合性；此外，跨模块融合（如与解析几何、三角函数的结合）和新情境应用（如结合几何图形性质的创新设问）将成为重要趋势，对知识迁移能力要求提升。
重难知识汇总：三角形 “四心” 的向量本质：
①重心是中线交点，核心向量关系为；
②内心是角平分线交点，对应边长加权向量和为零（）；
③外心是中垂线交点，关键特征是到顶点距离相等；
④垂心是高线交点，满足。
极化恒等式的适用场景：三角形中需紧扣 “中点” 条件，圆中可结合圆心与直径构造应用，平行四边形中直接套用原始公式，核心是通过 “和差对角线” 或 “中点线段” 转化数量积。奔驰定理的核心关联：向量系数比与对应三角形面积比完全等价，且可直接关联 “四心”（如垂心对应面积比、外心对应），是解决面积比例问题的 “万能工具”。
常用技巧方法：“四心” 快速判断法：优先匹配向量核心特征（如看到直接判定重心），垂心可通过 “点乘为零” 验证垂直，内心关注 “单位向量和” 或 “边长加权”。极化恒等式速用法：遇数量积计算，先找线段中点，若无中点则构造中点，优先套用三角形模式，圆中可利用 “圆心为直径中点” 简化运算。奔驰定理应用法：向量系数直接对应面积比，无需复杂推导，综合题中先通过奔驰定理转化面积比，再结合余弦定理、三角函数求解角度或边长。数形结合辅助法：复杂问题可建立平面直角坐标系，将向量关系转化为坐标运算，降低抽象性（如 “四心” 轨迹问题、极化恒等式与圆结合问题）。
易错避坑提效：
①混淆 “四心” 向量特征：外心的核心是 “距离相等”，切勿与垂心的 “数量积相等” 混淆；内心的向量表达式系数是边长，而非角度或其他比例。
②极化恒等式误用：忽略 “中点” 前提，直接套用公式；圆中应用时未注意 “圆心为直径中点” 的隐含条件，导致计算错误。
③奔驰定理适用范围：仅适用于点在三角形内部的情况，若点在外部，需注意面积比的符号变化，避免直接套用系数比。
综合题逻辑断层：解决 “四心 + 奔驰定理 + 极化恒等式” 综合题时，未理清知识关联，如未利用奔驰定理将向量系数转化为面积比，导致后续计算无法推进，建议按 “向量关系→面积比 / 四心判定→数量积 / 角度计算” 的逻辑推进。
题型一 三角形 “四心” 向量识别
方法点拨： 重心核心特征： 或 ，直接匹配即可；外心核心特征：到顶点距离相等（），与向量数量积无关；垂心核心特征：，体现高线垂直性质；内心核心特征：边长加权向量和为零（），牢记 “边长对应系数”。
【典例01】（2025·四川遂宁·二模）若点为的外心，且满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据外心的性质，以及平面向量的线性运算和数量积运算，对向量等式进行化简，再根据余弦定理解三角形，求出角的范围，根据正弦函数性质，求出结果.
【详解】因为点为的外心，
所以，
因为，
即，
即，即，
化简得，
可知，化简得，
根据基本不等式可知，当且仅当时取等号，
因为，，所以，
所以的最大值为.
故选：C.
【典例02】（2025·河北张家口·一模）在平面直角坐标系中，，，，点分别是的外心和垂心，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据直线方程求解的坐标，即可根据向量的坐标得，且求解.
【详解】由于关于原点对称，故在轴上，
，则中点为，易知,
因此直线的垂直平分线方程为，
令，则，故,
边上的高所在的直线方程为，故，
故，
，
故，且，
由可得，
由于，因此，解得，
故，解得，
故选：A
【点睛】关键点点睛：根据直线的方程，结合外心和垂心的性质求解故,.
【变式01】（2025高三·全国·专题练习）已知点是非等边的外心，是平面内的一点且，则是的（ ）
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心
【答案】A
【分析】由点是非等边的外心可得，又因为平面内满足，所以，设D为中点，得到，，从而得到，在边的高线上.同理可得在边高线上，在边高线上，故为高线交点，即为垂心.
【详解】
因为点是非等边的外心，
所以.
因为平面内满足，
所以,
设D为中点，则有
，
所以，
所以在边的高线上.
同理可得，在边高线上，在边高线上.
故点P是高线的交点，即为的垂心.
故选：A.
【变式02】（2025·全国·二模）点是所在平面内两个不同的点，满足，则直线经过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】A
【解题思路】根据向量的运算，并结合数形结合分析，即可判断.
【解答过程】设的中点为点，所以，
则，
若四点共线时，即点都在中线上，所以经过三角形的重心，
若四点不共线时，，且，连结，交于点，
如图，
，即点是三角形的重心，即经过的重心，
综上可知，经过的重心.
故选：A.
【变式03】（2025·四川南充·三模）已知点P在所在平面内，若，则点P是的（ ）
A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心
【答案】D
【解题思路】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的定义可得平分，平分，结合三角形内心定义判断即得.
【解答过程】在中，由，得，
即，由，同理得，
显然，即与不重合，否则，同理，
则，即，，
于是平分，同理平分，
所以点P是的内心.
故选：D.
题型二 极化恒等式求数量积
方法点拨： 三角形模式（核心用法）：，直接代入中点相关线段长度；平行四边形模式：，适用于平行四边形或可补成平行四边形的图形；圆中模式：若 P 在圆上，C 为圆心，可设，用坐标表示后结合极化恒等式，简化计算。
【典例01】（2025·天津和平·三模）若正方形的边长为1，中心为，过作直线与边，分别交于，两点，点满足．（ⅰ）当时， ；（ⅱ）的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据模长公式，结合数量积的运算律即可求解空1，利用向量的线性运算将问题转化为，求解的最大值，的最小值即可求解.
【详解】由于，则，
，
（ⅰ）当，则，故，
（ⅱ）,
由于为相反向量，故，
所以，
由，故当时，取最小值，
而的最大值为，
因此当取最大值，取最小值时，取最小值，故最小值为，
故答案为：，
【典例02】（24-25高三下·湖南·月考）已知为圆的直径且，为圆上的动点且与，均不重合，等边三角形与共面且点，位于的异侧，则的最大值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】先把转化成：，再求的最大值即可.
【详解】如图：
因为，
所以.
取中点，则，
因为，所以设，，
则，，
所以，
当时，为最大值.
此时为最大值.
故选：D
【变式01】（2025高三·全国·专题练习）已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】根据，结合正六边形的性质求解的范围即可.
【详解】如图所示，由正六边形的几何性质可知，，，，，，均是边长为4的等边三角形，
当点位于正六边形的顶点时，取最大值4，
当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即，
所以．
所以，
即的最小值为8．
故选：D
【变式02】（2024·天津河西·模拟预测）在梯形中，，，，，，点满足，则 ；若与相交于点，为线段延长线上的动点，则的最小值为 .
【答案】 /
【分析】利用可得到大小，根据梯形上下底平行可得线段比例关系，取中点，利用向量数量积可得，通过求的最小值即可得到结果.
【详解】
由得，，
解得，故.
设交于点，由题意得，.
在中，由余弦定理得，，故.
由得，，，所以.
取中点，连接，则，，
所以，故.
因为，
所以当最小时，有最小值，的最小值为点到直线的距离.
由得，，又因为，所以为等边三角形，故点到直线的距离为，
由得点到直线的距离为，即，
此时.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量综合问题，解决问题的关键是利用平面向量的极化恒等式公式得到，问题转化为求线段长的最小值，分析几何图形即可得到结果.
【变式03】（24-25高三上·上海浦东新·期中）在中，，，，P，Q是平面上的动点，，M是边BC上的一点，则的最小值为 ．
【答案】2
【分析】根据向量运算可得，结合图形分析的最小值即可得结果.
【详解】取PQ的中点N，则，
可得，
∵，当且仅当N在线段AM上时，等号成立，
故，
显然当时，取到最小值，
∴，
故.
故答案为：2.
题型三 奔驰定理与面积比例
方法点拨：
1.奔驰定理核心：，向量系数比 = 对应面积比；四心与奔驰定理关联：
2.重心：面积比 1:1:1，向量和为零；内心：面积比 a:b:c，对应边长加权向量和为零；外心：面积比 sin2A:sin2B:sin2C；
3.垂心：面积比 tanA:tanB:tanC；快速计算：直接提取向量系数作为面积比，总面积 = 各部分面积之和，简化比例运算。
【典例01】（2025高三·全国·专题练习）已知点O是内一点，，则 .
【答案】
【分析】通过已知的向量关系得出三角形重心，再利用重心性质得到不同三角形面积的比例关系，最后根据向量倍数与三角形面积的关系，求出目标三角形面积的比例.
【详解】令，，，所以O为的重心，则.
因为，，，所以.
故答案为：
【典例02】（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·月考）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.若为的垂心，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点.
由为的垂心，，且，
得，所以，
又，则，同理可得，所以，
设，，则，，
所以，即，，
所以，
所以.故选：B.
【变式01】（2025高三下·全国·专题练习）如图，已知是的垂心，且，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】延长，，分别交边，，于点，，，利用同底的两个三角形面积比推得，从而得解.
【详解】是的垂心，延长，，分别交边，，于点，，，如图，
则，，，，，
因此，，
同理，
于是得，
又
由“奔驰定理”有
即，所以，
故选：A
【变式02】（2025高三·全国·专题练习）设点在内部，且，则与的面积之比是 ．
【答案】3
【分析】根据条件，确定点的位置，再求两三角形的面积之比.
【详解】如图：
由，
得，
从而（为的中点，为的中点），
即，
所以为中位线的三等分点.
故．
即.
故答案为：3
【变式03】（23-24高三下·广东广州·二调）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若，，M为的外心，则
D．若M为的垂心，，则
【答案】ABD
【解析】对A选项，因为，所以，
取的中点，则，所以，
故，，三点共线，且，
同理，取中点，中点，可得，，三点共线，，，三点共线，
所以为的重心，A正确；
对B选项，若为的内心，可设内切圆半径为，
则，，，
所以，
即，B正确；
对C选项，若，，为的外心，则，
设的外接圆半径为，故，，
，
故，，，
所以，C错误；
对D选项，若为的垂心，，
则，
如图，，，，相交于点，
又，
，即，
，即，
，即，
设，，，则，，，
因为，，
所以，即，
，则，D正确；
故选：ABD.
题型四 “四心” 与轨迹问题
方法点拨：先化简向量式：提取，聚焦的方向特征；垂心轨迹判断：若（即），则轨迹过垂心，可通过点乘验证；重心轨迹判断：若与中线共线（如），则轨迹过重心；内心轨迹判断：若与角平分线共线（如），则轨迹过内心
【典例01】（2025·河南·模拟预测）(多选)在中，若，点在边上，点在边上，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】本题考查平面向量的运算性质，对于，先将表示为，求的坐标，再求出其模长；
对于，先利用向量数量积的坐标表示求出，再求出；
对于，由，得为边上的高，再由等面积法求出；
对于，由，得到平分，即，又，所以，最后利用求出即可.
【详解】对于，，故正确；
对于，因为，所以，故错误；
对于，因为，所以为边上的高，的面积为，所以，故错误；
对于，因为，所以平分，即，
又，所以，所以，故正确．
故选：.
【典例02】（2025高三·全国·专题练习）已知点均在所在平面内，以下所有正确说法的序号是 ．
①若动点满足，则点为的重心；
②若动点满足，则动点的轨迹一定经过的内心；
③若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心；
④若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心．
【答案】①②③④
【分析】根据平面向量运算的几何表示，结合三角形五心的定义，可得答案.
【详解】对于①，因为动点满足，所以，则点是的重心，①正确．
对于②，，所以，
所以点在的平分线所在直线上，所以动点的轨迹一定经过的内心，②正确．
对于③，，所以，
过点作，垂足为，如下图：
则，所以，
则点在边上的中线所在直线上，因此动点的轨迹一定经过的重心，③正确．
对于④，，所以，
所以，
所以，所以动点的轨迹一定经过的垂心，④正确．
故所有正确说法的序号是①②③④．
故答案为：①②③④.
【变式01】（2025高三·全国·专题练习）为平面内一定点，该平面内一动点满足，则的（ ）一定属于集合.
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
【答案】A
【分析】根据题意画出图形，根据正弦定理得出，代入关系式由向量的加减法化简，得出与共线，由此得出点P的轨迹，得出答案.
【详解】
中，根据正弦定理，
，即.
设，，
所以，
，
，
设D为中点，则，故，
所以共线，
点的轨迹为射线（不含端点）.
的重心一定属于集合.
故选：A.
【变式02】（24-25高三下·甘肃兰州·月考）已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（ ）
A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【分析】根据单位向量的定义及加法的几何意义有对应向量在的角平分线上，进而有的角平分线与边垂直，结合等腰三角形的性质即可得.
【详解】由几何意义知，对应向量在的角平分线上，
由，即的角平分线与边垂直，
所以三角形ABC的形状一定是等腰三角形.
故选：B
【变式03】（2025高三·全国·专题练习）已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】C
【分析】由题意可得，平行四边形法则知表示的向量在三角形角的平分线上，从而即可得答案.
【详解】解：因为
，
根据平行四边形法则知表示的向量在三角形角的平分线上，
而向量与共线，
点的轨迹过的内心.
故选：．
题型五 综合应用（“四心”+ 奔驰定理 + 极化恒等式）
方法点拨：第一步：关联垂心与奔驰定理，垂心对应的面积比 = tanA:tanB:tanC；第二步：由奔驰定理，向量系数比 = 面积比，直接提取、、的系数作为 tanA、tanB、tanC 的比；第三步：复杂场景可结合极化恒等式求数量积，或建立坐标系辅助计算，优先利用 “四心” 与奔驰定理的关联结论简化推导。
【典例01】（24-25高三上·河北保定·期中）(多选)已知点是内的一点，则以下说法正确的有（ ）
A．若，，分别表示，的面积，则
B．若，则动点的轨迹一定通过的重心
C．若，则点是的垂心
D．若，，分别为，，的中点，且，，则的最大值为
【答案】ABD
【分析】A选项，作出辅助线，得到，从而得到所以，即可判断；B选项，作出辅助线，得到，故点在中线上，故向量一定经过的重心； C选项，作出辅助线，得到，故⊥，并得到在的平分线上，同理可得，在的平分线上. D根据得到点的轨迹，将转化为，然后求数量积，根据点的轨迹求最值.
【详解】对于A：如图，分别为的中点，
，
则，故，
所以，
故，A正确；
对于B：过点作⊥于点，取的中点，连接，
则，，
则，
故点在中线上，故向量一定经过的重心，B正确；
对于C： 分别表示方向上的单位向量，
故，
，故⊥，
由三线合一可得，在的平分线上，同理可得，在的平分线上，
则点是的内心，C错误.
D选项，设中点为，
因为，所以点的轨迹为以为直径的圆，
结合上图，
，
当为直径时最大，最大为，故D正确.
故选：ABD
【点睛】结论点睛：为所在平面内的点，且，则点为的重心，
点为所在平面内的点，且，则点为的垂心，
点为所在平面内的点，且，则点为的外心，
点为所在平面内的点，且，则点为的内心，
【典例02】（24-25高三·四川成都·期末）(多选)设点D是所在平面内一点，O是平面上一个定点，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则D是BC边上靠近B的三等分点
B．若，（且），则直线AD经过的垂心
C．若，且x，，，则是面积的一半
D．若平面内一动点P满足，（且），则动点P的轨迹一定通过的外心
【答案】ABC
【分析】对于A，化简等式成，即可判断；对于B，将等式两边与作点乘，化简得出结果为0即可判断；对于C，利用平面向量基本定理推出三点共线，结合图形和共线向量即得结论；对于D，化简向量等式，利用单位向量作出即得菱形，推得，即得结论.
【详解】对于A，由可得，，
即得，故点D是BC边上靠近B的三等分点，故A正确；
对于B，因，则
，即，故直线AD经过的垂心，即B正确；
对于C，因， ，则，
设，则，因，故三点共线，
如图1所示，，故的边上的高是的边上的高的一半，
故是面积的一半，即C正确；
对于D，由可得，，
如图2，取，则有，以为两邻边作，
易知是菱形，故平分，且故得，，
故动点的轨迹为的平分线，即动点P的轨迹一定通过的内心，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查平面向量的线性运算和数量积的应用，属于难题.
对于向量等式，要结合图形，和选项的启发，有时从构造平面向量基本定理的条件入手；有时通过与其他向量的点乘为0判断线线垂直；有时通过两单位向量的和作平行四边形，推得菱形.
【变式01】（2024·天津和平·一模）青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称.（i）请用表示 ；（ii）请写出的取值范围 .
【答案】
【分析】（i）根据向量线性运算可直接得到结果；
（ii）根据向量线性运算、数量积运算性质，可将所求数量积转化为；根据正六边形性质可求得的范围，由此可得结果.
【详解】（i）在圆上运动且关于圆心对称，为中点，；
（ii）；
当为正六边形顶点时，取得最大值；当与正六边形的边垂直时，取得最小值；
六边形为正六边形，为正三角形，；
作，则为中点，；
，即的取值范围为.
故答案为：；.
【变式02】（23-24高三上·湖北荆州·月考）(多选)点O在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若，则点O是的重心
B．若，则点O是的内心
C．若，则点O是的外心
D．若，则点O是的垂心
【答案】BCD
【解析】对于A，在AB，AC上分别取点D，E，使得，
则，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，如图，
则四边形ADFE是菱形，且，
平分，，
，即，
，
三点共线，即在的平分线上，
同理可得O在其它两角的平分线上，所以O为的内心，故A错误；
对B，在AB，AC上分别取点D，E，使得，如图，
则，且，
因为，即，又知，平分，
同理，可得平分，故O为的内心，故B正确；
对C，取的中点分别为，如图，
，，
即，所以O是的外心，故C正确；
对D，由，可得，即，
所以，即点O是的垂心，故D正确.故选：BCD
【变式03】（2025·安徽·三模）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，，的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【解题思路】根据平面向量基本定理可得，，延长交于，延长交于，根据面积比推出 ，结合角平分线定理推出为的平分线，同理推出是的平分线，根据内心的定义可得答案.
【解答过程】由得，
由得，
根据平面向量基本定理可得，，
所以，，
延长交于，延长交于，
则，又，所以 ，
所以为的平分线，
同理可得是的平分线，
所以为的内心.
故选：B.
（限时训练：15分钟）
1． （2025·安徽滁州·二模）已知为的重心，为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据重心的性质及平面向量线性运算法则计算可得.
【详解】由题意得.
故选：B.
2． （25-26高三上·重庆·月考）已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（ ）
A．垂心 B．内心
C．重心 D．外心
【答案】A
【分析】先将整理，得到，再利用平面向量的三角形法则，求出，得到，从而得到直线BD一定经过三角形ABC的垂心.
【详解】，，
，，，
是三角形的高线，直线BD一定经过三角形ABC的垂心.
故选：A.
3．（2025高三·全国·专题练习）设点是面积为4的内部一点，且有，则的面积为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】由，确定点位置，将面积问题转化成边长之比，进而可求解.
【详解】如图，，，
设，则，故点，，三点共线，
，．

故选：C
4．（2025高三·全国·专题练习）已知为双曲线上经过原点的一动弦，为圆上一动点，则的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】D
【分析】根据题设画出双曲线和圆，数形结合得，并确定，，即可得最大值.
【详解】如下图示，，，，
所以，

由图知：，且可以同时取到，
所以的最大值为.
故选：D
5. （2025·江西·一模）如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算化简，可得，再由的范围，即可得到结果.
【详解】由题意可得，
，
当与正六边形的边垂直时，，
当点运动到正六边形的顶点时，，
所以，则，即.
故选：B
6. （2025高三·全国·专题练习）已知,,是平面上不共线的三点，为坐标原点，动点满足，，则点的轨迹一定经过（ ）
A．的内心 B．的垂心
C．的重心 D．的外心
【答案】C
【分析】本题可通过向量的线性运算，将的表达式进行变形，再根据向量共线的性质即可确定点的轨迹经过的特殊点.
【详解】设的中点为，
则，
∵，
∴，
而，
∴三点共线，
所以点的轨迹一定经过的重心，
故选：C.
7. （24-25高三上·江西新余·期末）(多选) “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若M为的垂心，，则
D．若，，M为的外心，则
【答案】ABC
【解析】A选项，因为，所以，
取的中点，则，所以，
故三点共线，且，
同理，取中点，中点，可得三点共线，三点共线，
所以M为的重心，A正确；
B选项，若M为的内心，可设内切圆半径为，
则，，，
所以，
即，B正确；
C选项，若M为的垂心，，
则，
如图，⊥，⊥，⊥，相交于点，
又，
，即，
，即，
，即，
设，，，则，，，
因为，，
所以，即，
同理可得，即，故，
，则，
故，
，则，
故，
，
故，
同理可得，
故，C正确；
D选项，若，，M为的外心，
则，
设的外接圆半径为，故，
，
故，，，
所以，D错误.
故选：ABC
8．（25-26高三上·安徽·月考）(多选)在中，角的对边分别为，点为内部一动点，则下列命题正确的是（ ）
A．若点为的中点，则
B．若点为的内心，则
C．若，则点过的外心
D．若为锐角三角形，点为的垂心，则
【答案】ABD
【分析】利用平面向量的加减运算判断A，利用内心的性质判断B，结合角平分线的性质判断C，利用锐角三角形结合垂心的性质判断D即可.
【详解】对于A，点为的中点，，，，
，，
，故A正确；
对于B，若点为内部一动点，且，
设，，，
∴点为的重心，可得，
分析可得，，，
，可得，
，又∵点为的内心，
的高相等，都为内切圆的半径，
，可得，
可得，故B正确；
对于C，由题意得，
其中表示角的平分线所在直线上的向量，过的内心，故C错误；
对于D，由B可得，，，
而点为的垂心，如图，连接与相交于点，

则，而，，
，
又，，
，，
同理可得，，
，
，故D正确．
故选：ABD
9．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）(多选)已知中，，点为内的一个点，且始终满足，则下列说法正确的有（ ）
A．有最小值，且为 B．取最小值时，
C．点的运动轨迹应为圆 D．当取最小时，
【答案】ABD
【分析】建系标点，设，结合题意可得，消去参数即可分析点的运动轨迹，进而判断C；代入可得，分析其最值，进而判断ABD.
【详解】如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，

则，设，
可得，，，
则，
因为，则，
消去参数可得，所以点的运动轨迹应为直线，故C错误；
因为，
则，
由可得，则，
可得，
若，则，
若，则，
当且仅当，即时，等号成立，
综上所述：当且仅当，即时，取到最小值，故A、B正确；
且，故D正确；
故选：ABD.
10．（24-25高三下·安徽合肥·月考）(多选)已知P为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若P为的垂心，，则
B．若P为锐角的外心，且，则
C．若P为的重心，则
D．若，则点P的轨迹经过的内心
【答案】AB
【分析】根据计算可判断A；设为中点，则根据题意得三点共线，且，进而得判断B；由重心的性质可知可判断C；设中点为，根据题意计算得，进而得可判断D．
【详解】对于A选项，因为，又因为为的垂心，所以，
所以，故A正确；
对于B选项，因为且，
所以，整理得：，即，
如图所示，设为中点，则，所以三点共线，
又因为为锐角的外心，则，所以垂直平分，故，故B正确；
对于C选项，如图所示，设中点为，则，由重心的性质可知，故C错误；
对于D选项，因为
，
如图所示，设中点为，则，所以，
所以，
所以，即，
所以，故在中垂线上，故点的轨迹经过的外心，故D错误．
故选：ABC.
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