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专题05 三角函数与解三角形（选填题）
题型01 三角恒等变换问题
【例1-1】（2025·辽宁葫芦岛·二模）已知 满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，即
设，则；
由得到，即，
即，解得 ，所以；故选：D
【例1-2】（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，
因为，则，则，
则.故选：D.
1.两角和与差的正余弦与正切
①；
②；
③； 变形
2.二倍角公式
①；
②；
③；
3.半角公式
① ②
③
4.降次（幂）公式
5.辅助角公式
（其中）．
6.万能公式（弦化切）
① ② ③
7.三角恒等式技巧
（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
（2）当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”；
（3）常见的角的变换：
， ，
等.
【变式1-1】（2025·广东肇庆·一模）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，得，令，则，
即，于是，，，
所以.故选：D
【变式1-2】（2025·甘肃武威·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，得，所以.
，所以，所以.
所以，，所以.
所以，所以.
所以，化简得：，解得：，或.
因为，所以，所以故选：B.
【变式1-3】（2025·浙江丽水·一模）（多选题）在中，若，且，则（　　）
A． B．
C． D．的最大值是
【答案】BD
【详解】由，可得，
所以，
所以，
所以，即，
所以，
所以，所以，
即，
所以，所以，
因为，所以，所以，
所以，所以，故B正确；
又，则或，
当时，则，不能得出，故A错误，
若，则时，符合题意，但，所以，故C错误；
由，得，
所以，解得，
所以，当且仅当，即时取等号，故D正确.故选：BD.
题型02 三角函数问题
【例2-1】（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】C
【详解】函数，
设函数的最小正周期为T，由可得，
所以，即；
又函数在上存在零点，且当时，，
所以，即；综上，的最小值为4.故选：C.
【例2-2】（2025·上海·三模）已知函数．若存在，使得，则的最大值为 ．
【答案】
【详解】因为，
则由题意可得或，
则①令，，解得，，
又，要求的最大值，只需令，则，令，则，
所以的最大值为．
②令，，解得，，
又，要求的最大值，只需令，则，令，，
所以的最大值为，综上， 的最大值为．故答案为：.
1.三角函数的周期：
①公式法；②不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期.
2.三角函数的值域求解技巧：
①利用有界性；②换元法；③配方法；④单调性法.
3.三角函数单调性的求法：
①形如的函数的单调性问题，一般是将看成一个整体，再结合图象利用的单调性求解；
②如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性
4.三角函数的奇偶性：
若为奇函数，则；若为偶函数，则.
5.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解.
【变式2-1】（2025·云南·模拟预测）函数满足，则的取值集合为 ．
【答案】
【详解】因为函数满足，
即，
所以或，
所以或，所以或，，
又，得或，则的取值集合为.故答案为：.
【变式2-2】（2025·安徽·模拟预测）（多选题）已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的值域为
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．函数在区间上有且仅有5个零点
【答案】BCD
【详解】对于A：因为，
所以的最小正周期不是，A错误；
对于B：当，即时，，
因为，所以，
则当时，取得最大值；当时，取得最小值，
所以此时的值域为；
当，即时，，
因为，所以，
当时，，当时，取得最大值，
所以此时的值域为；综上，函数的值域为，B正确；
对于C：因为，
，所以，
所以直线是函数图象的一条对称轴，C正确；
对于D：当时，由，解得或，
当时，由，解得，
又，所以，所以函数有且仅有个零点，D正确；故选：BCD.
【变式2-3】（2025·湖南湘潭·一模）函数 的值域为 ．
【答案】
【详解】令，则，
由于是奇函数且周期为，只需考虑 （值域对称）.
令，，则，（时，）
变为
令对求导得：
，
令，得或，当时，，
当时，，当时，
的最大值是，的最大值为
由于是奇函数，故最小值为，值域为
故答案为：
题型03解三角形问题
【例3-1】（25-26高三上·重庆·月考）在中，三个内角所对的边分别为，为的面积，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，，由余弦定理：，
两式相加得：，其中，
因为，，又，所以，于是，所以，故选：A.
【例3-2】（2025·广东·模拟预测）的内角的对边分别为，若边上的高为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图：
设边上的高为．因为，所以，
所以．
由勾股定理可得，
由余弦定理可得．故选：D
1.正弦定理
.（其中为外接圆的半径）
2.余弦定理：
3.三角形面积公式：（两边及夹角）；
4.三角形中的边角关系：
； ；
5.三角形中线问题
如图在中，D为CB的中点，，然后再两边平方，转化成数量关系求解（常用）
6.三角形角平分线问题
如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，
①等面积法
（常用）
②内角平分线定理：
或③边与面积的比值：
【变式3-1】（2025·河南·模拟预测）在中，角的对边分别为，已知，则当的面积取最大值时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，，，
，化简整理得①，
，，
②，
联立①②得，，
令，则，当时，面积最大，此时，
．故选：B．
【变式3-2】（2025·甘肃武威·模拟预测）在中，，是的平分线，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为为的平分线，且，
在中，根据正弦定理可知，
在中，根据正弦定理可知，
而，，故将上述两个等式相除可得，
又，所以，则在中，
由余弦定理得，
所以，在中，由正弦定理得，
则.故选：A.
【变式3-3】（25-26高三上·云南玉溪·期中）（多选题）在中，角的对边分别是下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．在锐角三角形中，不等式恒成立
C．若，则三角形有2解
D．若，，是钝角三角形，则边长的取值范围为
【答案】ABD
【详解】对于选项A，，，，，选项A正确；
对于选项B，是锐角三角形，，，
，选项B正确；
对于选项C，， ，
，，，
，，三角形有一解，选项C错误；
对于选项D， 是钝角三角形，分两种情况讨论：
当为钝角时，，，，，
，，，，
，，，，
，，；
当为钝角时，
，
，，，
，，，，
，，，，.
综上可知，边长的取值范围为.故选：ABD.
题型04 新定义问题
【例4-1】（2025·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，的终边与正方形交于点，我们定义的类余弦值，类正弦值.则下面叙述正确的是（ ）
A．对任意的
B．对任意的
C．在区间上单调递增
D．对任意的
【答案】D
【详解】对于AB，当时，，
，AB错误；
对于C，，C错误；
对于D，正方形关于直线对称，和的终边也关于直线对称，
则和的终边和正方形的交点也关于直线对称，所以，D正确.
故选：D
【例4-2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某条葫芦曲线的方程为，其中表示不超过的最大整数，如且，且经过点，则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】将点代入葫芦曲线的方程可得，即，
由，，可得，因此曲线方程为，
当时，可得，
所以交点的纵坐标为.故选：C.
注重审题，提取题干信息解决问题.
【变式4-1】（2024·浙江·二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】根据题意，易得，
对于A，因为，即，故A错误；
对于B，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，故D错误.
故选：C.
【变式4-2】（2025·上海浦东新·三模）著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．研究表明，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．若对应于的泛音是对应于的基本音的一个谐波，则正整数的所有可能取值之和为
【答案】12
【详解】因为所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，所以，,
，两式相加得：，，
又，且，，的可能值为：1，2，4，5，10，20，
一一代入式中能同时使，为整数的值即为正解；
经检验：的值为和；所以正整数的所有可能取值之和为.故答案为：.
【变式4-3】（2025·河南许昌·三模）（多选题）如图，点是以为顶点的正方形边上的动点，角以Ox为始边，OP为终边，定义．则（ ）
A．
B．
C．函数的图象关于点对称
D．函数的图象与轴围成封闭图形的面积为
【答案】BCD
【详解】由题意得
，
化简得，
对于A， ，故A错误；
对于B， ，故B正确；
对于，，
而，
故，
故的图象关于点对称，故C正确，
对于D，，
而
，故的图象关于点对称，
而，
即关于对称，且设在内与轴围成封闭图形的面积为，
故所求在内与轴围成封闭图形的面积为4A，
当时，，
且，
在上的图象关于点对称，
在的图象与轴围成图形面积等于以为直角边的直角三角形面积，
故，则，故D正确．故选：BCD．
1.（2025·四川成都·二模）已知满足，则的值为 ．
【答案】/
【详解】解：由得，即，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以
故答案为：
2.（2025·吉林·模拟预测）已知函数，则的最小值与最大值之积为 .
【答案】
【详解】根据，，
可得
，
所以，
设，，则，求导数得，
当或时，；当时，，
所以在与上是增函数，在上是减函数；
，，，，
可知的最小值为，的最大值为，即的最小值为，最大值为．
则的最小值与最大值之积为.故答案为：
3.（2025·湖南·一模）设，若，则 ．
【答案】1
【详解】，化简得，①
，得，②
，
令，
，在定义域上单调递增，
由①，②可得，
又是奇函数，，即，．故答案为：1
4.（24-25高三下·河南·月考）已知为正整数，关于的方程在区间内恰有2026个根，则的值为 .
【答案】
【详解】由，有，有，解得或，
可得在一个周期内方程有3个根，由，可得．
故答案为：
5.（25-26高三上·四川南充·月考）已知三个内角所对的边分别为，点是线段上一点，且平分，若，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【详解】因为平分，所以，
又，所以，
即.故选：B.
6.（2025·河南·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【详解】由和余弦定理，可得，
即，
由正弦定理得，
又因为中，，，
所以，即，
所以或，即或，
即是等腰三角形或直角三角形，故选：C.
7.（2025·全国·模拟预测）（多选题）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（ ）
A．的面积为 B．BC边上的高为
C．的最小值为 D．最大值为
【答案】AD
【详解】由可得，,
故,即，
对于A，，A正确，
对于B，由于，故，其中为边上的高，B错误，
对于C，由可得，
即，故，
故，当时，，故不是的最小值，故C错误，
对于D， ，，
故
，其中锐角满足，
因此的最大值为，即
令则，故，因此最大值为，D正确，故选：AD
8.（2025·广西·模拟预测）（多选题）定义：为一组数据相对于常数的“正弦方差”．若，一组数据0，相对于的“正弦方差”为，则的取值可能是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】依题意，
，
，得，故，即.故选：BCD
9.（2025·河南·一模）（多选题）已知在中，，则（ ）
A．没有最大值 B．没有最小值
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】BC
【详解】因为，，所以，
所以
，
当时取等号，故C正确， A不正确.
又
，
当时，，
所以m没有最小值，故B正确， D不正确.故选：BC.
10.（2025·福建泉州·模拟预测）（多选题）在斜中，若，则（ ）
A． B．的最大值为
C． D．
【答案】BCD
【详解】对于A，由余弦定理得
，再由正弦定理得
即，整理得：，即，故A错误；
对于B，因为，，所以，，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以，又因为，所以，所以的最大值为，故B正确；
对于C，由A可知，即，
又因为
，
即，
同理可得，
所以，
即，
所以，故C正确；
对于D，因为，
又因为，所以，
，所以，故D正确.
故选：BCD.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题05 三角函数与解三角形（选填题）
题型01 三角恒等变换问题
【例1-1】（2025·辽宁葫芦岛·二模）已知 满足，则（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
1.两角和与差的正余弦与正切
①；
②；
③； 变形
2.二倍角公式
①；
②；
③；
3.半角公式
① ②
③
4.降次（幂）公式
5.辅助角公式
（其中）．
6.万能公式（弦化切）
① ② ③
7.三角恒等式技巧
（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
（2）当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”；
（3）常见的角的变换：
， ，
等.
【变式1-1】（2025·广东肇庆·一模）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2025·甘肃武威·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2025·浙江丽水·一模）（多选题）在中，若，且，则（　　）
A． B．
C． D．的最大值是
题型02 三角函数问题
【例2-1】（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【例2-2】（2025·上海·三模）已知函数．若存在，使得，则的最大值为 ．
1.三角函数的周期：
①公式法；②不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期.
2.三角函数的值域求解技巧：
①利用有界性；②换元法；③配方法；④单调性法.
3.三角函数单调性的求法：
①形如的函数的单调性问题，一般是将看成一个整体，再结合图象利用的单调性求解；
②如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性
4.三角函数的奇偶性：
若为奇函数，则；若为偶函数，则.
5.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解.
【变式2-1】（2025·云南·模拟预测）函数满足，则的取值集合为 ．
【变式2-2】（2025·安徽·模拟预测）（多选题）已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的值域为
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．函数在区间上有且仅有5个零点
【变式2-3】（2025·湖南湘潭·一模）函数 的值域为 ．
题型03解三角形问题
【例3-1】（25-26高三上·重庆·月考）在中，三个内角所对的边分别为，为的面积，若，则（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】（2025·广东·模拟预测）的内角的对边分别为，若边上的高为，则（ ）
A． B． C． D．
1.正弦定理
.（其中为外接圆的半径）
2.余弦定理：
3.三角形面积公式：（两边及夹角）；
4.三角形中的边角关系：
； ；
5.三角形中线问题
如图在中，D为CB的中点，，然后再两边平方，转化成数量关系求解（常用）
6.三角形角平分线问题
如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，
①等面积法
（常用）
②内角平分线定理：
或③边与面积的比值：
【变式3-1】（2025·河南·模拟预测）在中，角的对边分别为，已知，则当的面积取最大值时，（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2025·甘肃武威·模拟预测）在中，，是的平分线，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（25-26高三上·云南玉溪·期中）（多选题）在中，角的对边分别是下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．在锐角三角形中，不等式恒成立
C．若，则三角形有2解
D．若，，是钝角三角形，则边长的取值范围为
题型04 新定义问题
【例4-1】（2025·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，的终边与正方形交于点，我们定义的类余弦值，类正弦值.则下面叙述正确的是（ ）
A．对任意的
B．对任意的
C．在区间上单调递增
D．对任意的
【例4-2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某条葫芦曲线的方程为，其中表示不超过的最大整数，如且，且经过点，则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
注重审题，提取题干信息解决问题.
【变式4-1】（2024·浙江·二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【变式4-2】（2025·上海浦东新·三模）著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．研究表明，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．若对应于的泛音是对应于的基本音的一个谐波，则正整数的所有可能取值之和为
【变式4-3】（2025·河南许昌·三模）（多选题）如图，点是以为顶点的正方形边上的动点，角以Ox为始边，OP为终边，定义．则（ ）
A．
B．
C．函数的图象关于点对称
D．函数的图象与轴围成封闭图形的面积为
1.（2025·四川成都·二模）已知满足，则的值为 ．
2.（2025·吉林·模拟预测）已知函数，则的最小值与最大值之积为 .
3.（2025·湖南·一模）设，若，则 ．
4.（24-25高三下·河南·月考）已知为正整数，关于的方程在区间内恰有2026个根，则的值为 .
5.（25-26高三上·四川南充·月考）已知三个内角所对的边分别为，点是线段上一点，且平分，若，则（ ）
A．2 B． C． D．
6.（2025·河南·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
7.（2025·全国·模拟预测）（多选题）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（ ）
A．的面积为 B．BC边上的高为
C．的最小值为 D．最大值为
8.（2025·广西·模拟预测）（多选题）定义：为一组数据相对于常数的“正弦方差”．若，一组数据0，相对于的“正弦方差”为，则的取值可能是（ ）．
A． B． C． D．
9.（2025·河南·一模）（多选题）已知在中，，则（ ）
A．没有最大值 B．没有最小值
C．的最大值为 D．的最小值为
10.（2025·福建泉州·模拟预测）（多选题）在斜中，若，则（ ）
A． B．的最大值为
C． D．
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