资源简介

专题 圆锥曲线离心率问题
近三年： 1、圆锥曲线的离心率是近3年高考的命题热点与难点，常作为小题中的压轴题出现，难度中档及以上。 离心率问题是解析几何的核心内容之一，其本质是寻找几何图形中的等量关系，构建关于离心率e的方程或不等式。 2、从近几年高考命题来看，离心率的求解不再局限于单一的定义考查，而是深度融入圆锥曲线的几何性质之中。 命题常通过以下形式呈现： 几何条件转化型： 题目给出诸如“焦点三角形”、“渐近线夹角”、“直线与曲线位置关系”等几何条件，要求学生将其转化为关于 的等量关系，进而求解。 方程思想型： 通过直线与圆锥曲线联立，结合韦达定理，利用弦长、向量垂直、面积等条件构建方程。 不等式求范围型： 题目条件隐含不等关系（如存在某交点、构成锐角三角形等），最终需求离心率的取值范围。 预测2026年： 离心率问题将继续作为高考的重点和区分点。命题将更加注重知识的交汇性和思想的灵活性。其考查可能更加侧重于： 与平面几何的结合： 深入挖掘焦点三角形、中垂线、角平分线等平面几何性质来构建等量关系。 与向量的结合： 利用向量共线、垂直的数量积条件作为建立方程的桥梁。 与函数、不等式的结合： 将离心率表示为某个变量的函数，从而利用函数单调性或基本不等式求范围。 探索创新情境： 在相对新颖的图形或条件设置下，考查学生转化与化归的核心能力。复习中必须强化数形结合思想，熟练运用定义、方程、不等式等主要工具。
题型01 利用a，b，c的齐次式求离心率
解｜题｜策｜略 将题目中所有几何条件（长度、角度、垂直、平行、比例关系等）最终转化为一个只包含基础量 的方程。由于离心率 ，且圆锥曲线中 存在固有关系（椭圆：；双曲线：），目标就是将方程化为关于 e 的方程。
1．（2025·北京·二模）设为双曲线的右焦点．已知成等差数列，那么双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．2
2．（2025·江西九江·二模）已知点在椭圆上，点在圆上.若的最大值等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·四川绵阳·模拟预测）双曲线的右焦点和虚轴上的一个端点分别为F，A，点为双曲线左支上一点，若周长的最小值为6b，则双曲线的离心率为 .
4．（2025·湖南·模拟预测）已知椭圆的右焦点为F，上顶点为P，过点F的直线与C交于A，B两点（点A在x轴下方）.若，，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型02 利用对称性求离心率
解｜题｜策｜略 充分利用椭圆、双曲线关于x轴、y轴和原点对称的几何特性。当题目中出现的图形或条件具有对称性时（例如，平行四边形、关于原点对称的图形、等腰等边三角形等），通过对称性可以推断出关键点的坐标、线段相等或角度相等关系，从而快速建立关于 的方程。
1．（2025·四川巴中·模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，椭圆的左、右焦点分别为、，四边形为矩形，若，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·云南昭通·模拟预测）已知椭圆的左 右焦点分别为，过原点的直线与交于两点，，且的面积为，则的离心率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·山东泰安·模拟预测）已知为椭圆的左顶点，、是椭圆上的点.若四边形满足，，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·河南信阳·模拟预测）设双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与交于A，B两点，且，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
5．（2025·江西·二模）已知点 F为双曲线的左焦点，C上A，B两点关于原点O 对称(点A 在第一象限)，且 设△AFB 的面积为S，若则C的离心率为 .
题型03 构造中位线求离心率
解｜题｜策｜略 1、当题目条件中出现 “中点”（尤其是焦点弦中点、焦点与顶点连线的中点等）时，主动构造三角形的中位线。中位线具备“平行于底边且等于底边一半”的性质，这可以将椭圆/双曲线上的点与焦点、中心等关键元素联系起来，从而建立关于 a, c 的等量关系。 2、若遇到角分线时，可做角分线的垂线，这时的角分线也是中垂线，从而也可以构造中位线。
1．（2025·河南郑州·模拟预测）P是椭圆C：（）上一点，、是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为 .
2．（2025·江苏·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，直线与C的右支于点A，若C的左支上存在点B满足，且，则C的离心率为（ ）
A．3 B． C．2 D．
3．（2025·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别是是坐标原点，是上一点，且，过作的平分线的垂线，垂足为M，则 ．
4．（2025·湖北黄冈·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上且在第二象限，，点Q在的平分线上，满足且（O为坐标原点），则C的离心率为 .
5．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过右焦点向圆引一条切线交椭圆于点，连接，如图，若，则椭圆的离心率 ．
题型04 利用余弦定理求离心率
解｜题｜策｜略 在圆锥曲线中，大部分的小题都围绕着焦点三角形，而焦点三角形本质上也是三角形，所以这里可以把圆锥曲线的基本性质联立解三角形的方法来解决问题。 例如在给出的焦点三角形中，已知某些角度时，可以考虑使用余弦定理，通过建立三角形边角之间的关系，并结合圆锥曲线的定义，最终消去变量，得到关于离心率 的方程若。有两个三角形共边时，还可以多次使用余弦定理来解决。
1．（2025·湖南长沙·三模）已知、分别为椭圆的左、右焦点，为的上顶点，直线与交于另一点，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·广东广州·三模）已知椭圆的左、右焦点为，过点的直线与E交于M，N两点．若，，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·山东·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过作的垂线与在第一象限内交于点，且．设的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·安徽·模拟预测）已知椭圆：（）的上顶点为，左、右焦点分别为，，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·四川达州·模拟预测）已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，过的直线与其右支交于，两点，若，，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．4
题型05 利用正弦定理求离心率
解｜题｜策｜略 当焦点三角形中已知多个角的关系（特别是顶角和底角的关系）时，正弦定理法是最优选择。
1．（多选）（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知为坐标原点，椭圆的方程：，其左右焦点为，离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于两点，是的中点（是异于长轴端点的点），在中，记，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．与椭圆切于点的切线方程为
D．若直线的斜率存在，则
2．（2025·辽宁·二模）“双曲线电瓶新闻灯”是我国首先研制成功的，利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．这种灯的轴截面是双曲线的一部分（如图），从双曲线的右焦点发出的互为反向的光线，经双曲线上的点P，Q反射，反射光线的反向延长线交于点M，且，．制作时，通过双曲线的离心率控制该新闻灯的开口大小，则该新闻灯轴截面双曲线的离心率为 ．
3．（2025·安徽滁州·二模）已知是椭圆的两个焦点，点在上，，，为从小到大连续的三个正整数，且，则的离心率为 ．
题型06 由双曲线的渐近线性质求离心率
解｜题｜策｜略 双曲线的渐近线有很多性质，本节仅展示部分渐近线的性质 1、过双曲线的焦点作渐近线的垂线，焦点、原点、垂点三点构成的直角三角形的三边分别为 2、以两焦点为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点坐标为,通常以“渐近线上一点P，有”形式出现。
1．（多选）（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（ ）
A． B．
C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为
2．（2025·山东德州·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且与渐近线平行的直线与相交于点（在第一象限），若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
3．（2025·湖南·模拟预测）将双曲线绕其中心旋转适当的角度后可得到一些熟悉函数的图解. 如反比例函数，“双勾”函数，“飘带”函数等，它们的图象都可以由某条双曲线绕其中心旋转适当的角度而得到. 现将双曲线C：绕原点O旋转适当的角度后，得到函数的图象. 则双曲线C的离心率e的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
4．（2025·天津南开·二模）已知双曲线的两个焦点分别为是渐近线上一点，当取最小值时，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·重庆·模拟预测）已知，是双曲线C：的焦点，过C上一点P作两条渐近线的平行线，分别交x轴于M，N两点，记，的面积分别为，，若的最小值为，则C的离心率为（ ）.
A． B． C． D．2
题型07与立体几何结合求离心率
解｜题｜策｜略 这种题目的背景来源于圆锥曲线本质，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，得到不同的截口曲线，统称为圆锥曲线。这例综合类型的题，要用到立体几何知识跟圆锥曲线的性质结合。目标在寻找圆锥曲线的长轴短轴所在的位置，根据立体几何知识求出长轴短轴，从而求出离心率。
1．（2025·福建·模拟预测）如图，在高为16的圆柱型筒中，放置两个半径均为3的小球，两个小球均与筒壁相切，且分别与两底面相切，已知平面与两个小球也相切，平面被圆筒所截得到的截面为椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三·全国·专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线.用垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面倾斜，可得到椭圆.如图，现有一个轴截面为等腰的圆锥PO，过点A及线段PB的中点M的某平面截圆锥PO，得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）

A． B． C． D．
3．（2025高三·全国·专题练习）用平面截圆柱面，圆柱的轴与平面所成的角记为，当为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆，数学家Dandelin创立的双球模型证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切，切点分别为．下列关于截口曲线的椭圆的结论中不正确的有（ ）

A．椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等
B．椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距相等
C．所得椭圆的离心率
D．其中为椭圆长轴，为球的半径，有
4．（2025·内蒙古赤峰·一模）如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆面，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型08 求离心率的范围
解｜题｜策｜略 要求离心率的范围，就要从题目信息中建立关于离心率的不等式，常见的依据有： 1、焦半径的取值范围 2、圆锥曲线上的坐标的取值范围 3、焦点三角形的顶角的取值范围 4、与圆锥曲线有交点，联立得到的范围 等，根据以上这些条件，构建离心率的不等式从而得到离心率的范围。
1．（2025·湖南长沙·模拟预测）设椭圆的左，右焦点分别为，点在上运动，点在圆：上运动，且恒成立，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·湖南湘潭·一模）已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·河北秦皇岛·三模）已知椭圆，过的右焦点的直线交于，两点，若存在直线使得，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）已知双曲线，若直线与没有公共点，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·四川成都·三模）设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则椭圆离心率的取值范围是 ．
（建议用时：30分钟）
1．（2025·江苏南通·模拟预测）已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的两点，若，且以为直径的圆恰好过点，则双曲线的离心率为 ．
2．（2025·江西·二模）已知点 F为双曲线的左焦点，C上A，B两点关于原点O 对称(点A 在第一象限)，且 设△AFB 的面积为S，若则C的离心率为 .
3．（2025·广西南宁·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右支分别交于，两点，且，，其中为坐标原点，则的离心率为（ ）
A．5 B． C．4 D．
4．（2025·云南丽江·模拟预测）设椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆C上一点，若点关于的角平分线l的对称点恰好是点P，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·陕西西安·模拟预测）已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，且它们在第二象限的公共点为点，点与右焦点的连线交轴于点，且平分，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知，为椭圆C：（）的左、右焦点，点P在y轴上，点Q在C上，且，，则椭圆C的离心率为 .
7．（2025·安徽安庆·模拟预测）设双曲线：的两条渐近线的倾斜角分别为，，若，则C的离心率为 .
8．（2025·湖南长沙·二模）已知双曲线的右焦点为，以（为坐标原点）为直径的圆与的渐近线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为 ．
9．（2025·山东泰安·模拟预测）已知为椭圆的左顶点，、是椭圆上的点.若四边形满足，，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025·浙江金华·一模）若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题 圆锥曲线离心率
近三年： 1、圆锥曲线的离心率是近3年高考的命题热点与难点，常作为小题中的压轴题出现，难度中档及以上。 离心率问题是解析几何的核心内容之一，其本质是寻找几何图形中的等量关系，构建关于离心率e的方程或不等式。 2、从近几年高考命题来看，离心率的求解不再局限于单一的定义考查，而是深度融入圆锥曲线的几何性质之中。 命题常通过以下形式呈现： 几何条件转化型： 题目给出诸如“焦点三角形”、“渐近线夹角”、“直线与曲线位置关系”等几何条件，要求学生将其转化为关于 的等量关系，进而求解。 方程思想型： 通过直线与圆锥曲线联立，结合韦达定理，利用弦长、向量垂直、面积等条件构建方程。 不等式求范围型： 题目条件隐含不等关系（如存在某交点、构成锐角三角形等），最终需求离心率的取值范围。 预测2026年： 离心率问题将继续作为高考的重点和区分点。命题将更加注重知识的交汇性和思想的灵活性。其考查可能更加侧重于： 与平面几何的结合： 深入挖掘焦点三角形、中垂线、角平分线等平面几何性质来构建等量关系。 与向量的结合： 利用向量共线、垂直的数量积条件作为建立方程的桥梁。 与函数、不等式的结合： 将离心率表示为某个变量的函数，从而利用函数单调性或基本不等式求范围。 探索创新情境： 在相对新颖的图形或条件设置下，考查学生转化与化归的核心能力。复习中必须强化数形结合思想，熟练运用定义、方程、不等式等主要工具。
题型01 利用a，b，c的齐次式求离心率
解｜题｜策｜略 将题目中所有几何条件（长度、角度、垂直、平行、比例关系等）最终转化为一个只包含基础量 的方程。由于离心率 ，且圆锥曲线中 存在固有关系（椭圆：；双曲线：），目标就是将方程化为关于 e 的方程。
1．（2025·北京·二模）设为双曲线的右焦点．已知成等差数列，那么双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】等差中项的应用、求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】由等差数列的性质、双曲线的定义即可求解.
【详解】由题意知，，即
，由于，解得.
故选：B.
2．（2025·江西九江·二模）已知点在椭圆上，点在圆上.若的最大值等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】结合题意，由椭圆的性质结合椭圆中的关系和离心率的定义计算即可.
【详解】
，
，
，，
所以，.
故选：D.
3．（2025·四川绵阳·模拟预测）双曲线的右焦点和虚轴上的一个端点分别为F，A，点为双曲线左支上一点，若周长的最小值为6b，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】由题意求得 的坐标，设出，运用双曲线的定义可得，则的周长为，运用三点共线取得最小值，可得，由的关系，结合离心率公式，计算即可得到所求值.
【详解】由题意可得，设，
由双曲线的定义可得，
，
，
则的周长为，
当且仅当共线，取得最小值，且为，
由题意可得，即，，
则.
故答案为：.

4．（2025·湖南·模拟预测）已知椭圆的右焦点为F，上顶点为P，过点F的直线与C交于A，B两点（点A在x轴下方）.若，，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】根据直线与椭圆相交，所得弦长列关于的齐次方程，从而求椭圆的离心率.
【详解】如图：
易知：，，所以.
因为，所以直线的斜率为：.
又直线经过点，所以直线的方程为：.
将代入椭圆方程：，得，
整理得：.
设，，则，.
所以.
所以.
所以.
又，
所以.
化简得：
所以，即.
所以，即椭圆的离心率为.
故选：A
题型02 利用对称性求离心率
解｜题｜策｜略 充分利用椭圆、双曲线关于x轴、y轴和原点对称的几何特性。当题目中出现的图形或条件具有对称性时（例如，平行四边形、关于原点对称的图形、等腰等边三角形等），通过对称性可以推断出关键点的坐标、线段相等或角度相等关系，从而快速建立关于 的方程。
1．（2025·四川巴中·模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，椭圆的左、右焦点分别为、，四边形为矩形，若，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】根据矩形的边角关系，结合椭圆的定义和性质，可直接求其离心率.
【详解】如图：

设，则，因为四边形为矩形，所以.
所以，.
所以.
故选：C
2．（2025·云南昭通·模拟预测）已知椭圆的左 右焦点分别为，过原点的直线与交于两点，，且的面积为，则的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆中焦点三角形的其他问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】依题意可得，根据对称性可知四边形为矩形，从而得到，再由椭圆的定义，即可求出、，再在中利用勾股定理得到、的关系，即可求出离心率.
【详解】不妨假设在第一象限，因为，所以．由图形的对称性知四边形为矩形，
因为的面积为，所以的面积为，
所以，即．
又因为，所以，，
在中，，则，所以.
故选：A．
3．（2025·山东泰安·模拟预测）已知为椭圆的左顶点，、是椭圆上的点.若四边形满足，，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的对称性、求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】根据题意，结合椭圆的对称性可得，则，设为直线的倾斜角，可得，进而求得的范围，得解.
【详解】由题意知，由知为平行四边形，则、关于轴对称，
设，（不妨设），将点坐标代入椭圆方程可得，
因为，设为直线的倾斜角，则，
所以，所以，
.
所以椭圆离心率的取值范围为.

故选：B.
4．（2025·河南信阳·模拟预测）设双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与交于A，B两点，且，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】先根据双曲线的对称性和已知条件得出与的关系，再利用向量的运算求出，最后根据双曲线的定义求出离心率.
【详解】因为双曲线关于原点对称，且直线过原点与双曲线交于，两点，所以，.
已知，所以.
由双曲线的定义可知，将代入可得：
，
解得，则.
因为，且，，所以，则.
在中，根据余弦定理可得：
，即.
因为为AB，的中点，所以，.
，，则.
又因为，，所以，则.
双曲线的离心率（），由可得，则.
双曲线的离心率为.
故选：B
5．（2025·江西·二模）已知点 F为双曲线的左焦点，C上A，B两点关于原点O 对称(点A 在第一象限)，且 设△AFB 的面积为S，若则C的离心率为 .
【答案】
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题
【分析】利用，两点关于原点对称把已知条件转换成双曲线上的点到两个焦点之间的线段之间的关系，再利用双曲线的性质进行求解.
【详解】解法一：设的右焦点为，如图，由条件知.
由对称性知，
设 由条件得 ，解得，
所以，所以C的离心率为
解法二：设C的右焦点为 F'，如图，由 ，得，
所以，由对称性可知四边形为矩形，所以△AFB与的面积相等，
且点A，B均在以为直径的圆O上，所以圆O 的半径为c，
设点A(x ，y )，则，联立化简可得
整理得 ，解得；
由, 得到，
即 所以 ，可得，
因为 为圆O 的直径，所以 即
整理得 所以离心率
故答案为：
题型03 构造中位线求离心率
解｜题｜策｜略 1、当题目条件中出现 “中点”（尤其是焦点弦中点、焦点与顶点连线的中点等）时，主动构造三角形的中位线。中位线具备“平行于底边且等于底边一半”的性质，这可以将椭圆/双曲线上的点与焦点、中心等关键元素联系起来，从而建立关于 a, c 的等量关系。 2、若遇到角分线时，可做角分线的垂线，这时的角分线也是中垂线，从而也可以构造中位线。
1．（2025·河南郑州·模拟预测）P是椭圆C：（）上一点，、是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为 .
【答案】
【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】设，，由题意得出是等腰直角三角形，列方程组得到含的齐次方程求解离心率即可.
【详解】如图，设，，延长交于，
由题意知，为的中点，故为中点，
又，即，则，
又点在的平分线上,则，故是等腰直角三角形，
因此，
则，
可得，，
又，则，
因此可得，
又在中，，则，
将， 代入得，
即，由所以，
所以，.
故答案为：
2．（2025·江苏·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，直线与C的右支于点A，若C的左支上存在点B满足，且，则C的离心率为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用向量垂直求参数、平面向量线性运算的坐标表示、求直线与双曲线的交点坐标
【分析】取的中点为，连接，根据中位线性质及向量运算得，进而，由得，从而，利用双曲线的定义列方程化简即可求解离心率.
【详解】设双曲线的右焦点为，取的中点为，连接，
因为分别为和的中点，所以，
因为，且，所以，所以，
所以，由可知，所以，
又，所以，所以，
所以，在中，，，
所以，
由得，所以C的离心率为.
故选：D
3．（2025·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别是是坐标原点，是上一点，且，过作的平分线的垂线，垂足为M，则 ．
【答案】
【知识点】椭圆定义及辨析、根据离心率求椭圆的标准方程
【分析】延长交于点，由得，.由已知条件求得，结合椭圆的定义可以求得，再根据中位线即可求得.
【详解】延长交于点.易知，
所以，得，.
由题知解得
由椭圆的定义可得，
由，可得．
所以，
由为的中位线，可得．
故答案为：.
4．（2025·湖北黄冈·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上且在第二象限，，点Q在的平分线上，满足且（O为坐标原点），则C的离心率为 .
【答案】
【知识点】椭圆中焦点三角形的其他问题、椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】根据椭圆图形特征，结合椭圆定义计算求出离心率即可.
【详解】延长OQ交于点A，设，.
因为，所以，又，所以.
因为O为的中点，所以点A为的中点，.因为点Q在的平分线上，
所以，所以，从而，因为，所以，
又由椭圆的定义可得，所以结合以上两式可得.
在中，，得，
化简得，故C的离心率.
故答案为：.
5．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过右焦点向圆引一条切线交椭圆于点，连接，如图，若，则椭圆的离心率 ．
【答案】
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】设直线与圆切于点，根据，得到 则，进而利用勾股定理求出离心率.
【详解】设直线与圆切于点，则，
由，则，
所以，，，
由勾股定理得，
即，解得，
则，．
故答案为：
题型04 利用余弦定理求离心率
解｜题｜策｜略 在圆锥曲线中，大部分的小题都围绕着焦点三角形，而焦点三角形本质上也是三角形，所以这里可以把圆锥曲线的基本性质联立解三角形的方法来解决问题。 例如在给出的焦点三角形中，已知某些角度时，可以考虑使用余弦定理，通过建立三角形边角之间的关系，并结合圆锥曲线的定义，最终消去变量，得到关于离心率 的方程若。有两个三角形共边时，还可以多次使用余弦定理来解决。
1．（2025·湖南长沙·三模）已知、分别为椭圆的左、右焦点，为的上顶点，直线与交于另一点，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】设，则，利用勾股定理求出，求出，然后在中应用余弦定理可求出该椭圆离心率的值.
【详解】如下图所示：
由题意可知，设，则，
因为，由勾股定理可得，
即，解得，故，
所以，
由余弦定理可得，
即，因为，故，
故选：A.
2．（2025·广东广州·三模）已知椭圆的左、右焦点为，过点的直线与E交于M，N两点．若，，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】设的平分线交于点D，设先求出，可得，再利用椭圆的定义，结合余弦定理可得，从而可得结果.
【详解】设的平分线交于点D，设
则，
所以，
而
设，则，于是﹐
所以，
在，由余弦定理可得：﹐
则，则，
所以椭圆离心率，
故选：C．
3．（2025·山东·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过作的垂线与在第一象限内交于点，且．设的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】余弦定理解三角形、椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】先根据椭圆定义和已知线段关系求出相关线段长度，再通过三角函数关系求出，最后利用余弦定理建立关于椭圆离心率的方程并求解.
【详解】
如图，连接，设与交于点 M.
由，可设，则，其中，
由椭圆的定义，得，从而，
又因为，所以，在中，设，
则为锐角，所以，即，
由余弦定理，得，即，解得.
故选：C.
4．（2025·安徽·模拟预测）已知椭圆：（）的上顶点为，左、右焦点分别为，，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】余弦定理解三角形、椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】由题意，根据椭圆的定义，利用余弦定理计算得出关于的方程，结合离心率的的概念即可求解.
【详解】由题意得,因为，设，，
因为A为椭圆的上顶点，所以，则，
又由椭圆的定义知，故，解得，
故，，
在中，，
在中，，
即，所以.
故选：C
5．（2025·四川达州·模拟预测）已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，过的直线与其右支交于，两点，若，，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、双曲线定义的理解、余弦定理解三角形、求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】先根据双曲线定义依次求出、、和，接着由在和中运用余弦定理列方程即可求解.
【详解】因为，两点在双曲线右支上，根据双曲线定义，可得，，
又，解得，，
又，可得，，
在中，根据余弦定理得，
在中，根据余弦定理得，
因为，所以，
化简整理得，解得.
故选：B.
题型05 利用正弦定理求离心率
解｜题｜策｜略 当焦点三角形中已知多个角的关系（特别是顶角和底角的关系）时，正弦定理法是最优选择。
1．（多选）（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知为坐标原点，椭圆的方程：，其左右焦点为，离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于两点，是的中点（是异于长轴端点的点），在中，记，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．与椭圆切于点的切线方程为
D．若直线的斜率存在，则
【答案】ACD
【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题、求椭圆的切线方程、根据韦达定理求参数、求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】利用椭圆定义及正弦定理推理判断A；利用椭圆定义、余弦定理、三角形面积公式及二倍角公式求解判断B；设出切线方程并现椭圆方程联立，借助判别式求出切线斜率判断C；设出直线方程并与椭圆方程联立推理判断D.
【详解】令椭圆的半焦距为，则，
对于A，在中，由正弦定理，得，
因此，A正确；
对于B，在中，由余弦定理，得
，则，
，B错误；
对于C，与椭圆切于点的切线斜率存在，设方程为，
由消去得：，
，
整理得，而，
则，即，解得，
因此切线方程为，整理得，C正确；
对于D，设直线的方程为，点，由
消去得，，，
，D正确.
故选：ACD
2．（2025·辽宁·二模）“双曲线电瓶新闻灯”是我国首先研制成功的，利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．这种灯的轴截面是双曲线的一部分（如图），从双曲线的右焦点发出的互为反向的光线，经双曲线上的点P，Q反射，反射光线的反向延长线交于点M，且，．制作时，通过双曲线的离心率控制该新闻灯的开口大小，则该新闻灯轴截面双曲线的离心率为 ．
【答案】/
【知识点】双曲线与反光镜的设计问题、正弦定理解三角形、双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】结合双曲线的光学性质可知，为双曲线的左焦点，进而结合正弦定理可设，，，，再根据双曲线的定义可得，进而得到，再结合勾股定理可得，进而求解即可.
【详解】由双曲线的光学性质可知，直线，的交点为双曲线的左焦点，
在中，由正弦定理得，
则，设，，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
两式作商得，
设，，
由双曲线的定义可知，，
，
解得，则，，，，
所以，则，即，
在中，，
则，则，即，
所以双曲线的离心率为.
故答案为：.
3．（2025·安徽滁州·二模）已知是椭圆的两个焦点，点在上，，，为从小到大连续的三个正整数，且，则的离心率为 ．
【答案】
【知识点】余弦定理解三角形、椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】由题意设，结合椭圆的性质和余弦定理以及二倍角的余弦公式计算出，再由离心率的公式计算可得.
【详解】由题意设，
由椭圆定义，
所以，
设，
对应用余弦定理可得，可得，
对应用余弦定理可得，可得，
又，代入并化简可得，
所以，，
所以离心率.
故答案为：.
题型06 由双曲线的渐近线性质求离心率
解｜题｜策｜略 双曲线的渐近线有很多性质，本节仅展示部分渐近线的性质 1、过双曲线的焦点作渐近线的垂线，焦点、原点、垂点三点构成的直角三角形的三边分别为 2、以两焦点为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点坐标为,通常以“渐近线上一点P，有”形式出现。
1．（多选）（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（ ）
A． B．
C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为
【答案】ACD
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知数量积求模、用定义求向量的数量积、双曲线的对称性
【分析】由平行四边形的性质判断A；由且结合在渐近线上可求的坐标，从而可判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得，计算后可判断C的正误，或者利用并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面积后可判断D的正误.
【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限，
对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故，
故A正确；
对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且，
设，则，故，故，
由A得，故即，故B错误；
方法二：因为，因为双曲线中，，
则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则，
则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则，
方法三：在利用余弦定理知，，
即，则，
则为直角三角形，且，则，故B错误；
对于C，方法一：因为，故，
由B可知，
故即，
故离心率，故C正确；
方法二：因为，则，则，故C正确；
对于D，当时，由C可知，故，
故，故四边形为，
故D正确，
故选：ACD.
2．（2025·山东德州·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且与渐近线平行的直线与相交于点（在第一象限），若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】由题意作图，根据双曲线的定义以及渐近线的斜率计算，结合同角三角函数的关系式以及余弦定理，建立齐次方程，利用离心率的定义，可得答案.
【详解】由题意可作图如下：
易知，
，则，
在中，，，
整理可得，解得，所以.
故选：B.
3．（2025·湖南·模拟预测）将双曲线绕其中心旋转适当的角度后可得到一些熟悉函数的图解. 如反比例函数，“双勾”函数，“飘带”函数等，它们的图象都可以由某条双曲线绕其中心旋转适当的角度而得到. 现将双曲线C：绕原点O旋转适当的角度后，得到函数的图象. 则双曲线C的离心率e的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】“飘带”函数的渐近线，设两渐近线为和，进而得出，结合计算即可求解.
【详解】如图，函数的图象的两条渐近线为和，直线为其实轴，
则，
故选：C
4．（2025·天津南开·二模）已知双曲线的两个焦点分别为是渐近线上一点，当取最小值时，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】余弦定理解三角形、求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】取最小值为b，所以，再根据为直角三角形，可得，再在利用余弦定理可得离心率.
【详解】根据题意如图：

点，其中一条渐近线为即，
所以的最小值为点到直线的距离，
所以，
因为为直角三角形，所以，
在中，，
即，
∵，∴，∴，
即的离心率为，
故选：D.
5．（2025·重庆·模拟预测）已知，是双曲线C：的焦点，过C上一点P作两条渐近线的平行线，分别交x轴于M，N两点，记，的面积分别为，，若的最小值为，则C的离心率为（ ）.
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线、基本不等式求和的最小值
【分析】设，由题意求出，得出，化简后利用基本不等式求出最值，即可得出离心率.
【详解】由双曲线的对称性，不妨设，如图，
则过点P作两条渐近线的平行线分别为，
令，可得，
所以，，
由，代入得，
当且仅当，即时等号成立，
此时，，所以.
故选：A
题型07与立体几何结合求离心率
解｜题｜策｜略 这种题目的背景来源于圆锥曲线本质，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，得到不同的截口曲线，统称为圆锥曲线。这例综合类型的题，要用到立体几何知识跟圆锥曲线的性质结合。目标在寻找圆锥曲线的长轴短轴所在的位置，根据立体几何知识求出长轴短轴，从而求出离心率。
1．（2025·福建·模拟预测）如图，在高为16的圆柱型筒中，放置两个半径均为3的小球，两个小球均与筒壁相切，且分别与两底面相切，已知平面与两个小球也相切，平面被圆筒所截得到的截面为椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、多面体与球体内切外接问题
【分析】作出截面图，由圆柱高和球的半径求出的长，由勾股定理求得的长，再由三角形全等，求得长半轴长，由圆柱得到短半轴长，从而求得半焦距长，然后由离心率公式求得离心率的值.
【详解】设平面α被圆筒所截得到的截面为椭圆，如图，作出圆柱过椭圆的长轴的截面图，
设长轴A，B与两圆的切点是．连接，记椭圆长轴与交于点C，
过C作，且CD交圆柱的母线于点D，连接，
则，．
因为圆柱的高为16，球的半径是3，所以圆柱的底面半径为3，．
根据对称性可知C是，AB的中点，故，则．易得，故，则椭圆的长半轴长．
由题意得椭圆的短半轴长，所以半焦距长，则椭圆的离心率为，
故选：D．
2．（2025高三·全国·专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线.用垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面倾斜，可得到椭圆.如图，现有一个轴截面为等腰的圆锥PO，过点A及线段PB的中点M的某平面截圆锥PO，得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、圆锥中截面的有关计算
【分析】根据题意，椭圆长轴长，取线段AM的中点，连接并延长交AB于点Q，过Q作交底面圆于点E，F，连接PE，PF分别交椭圆于点G，H，则椭圆短轴长，由相似三角形求得，从而可解离心率.
【详解】如图，

圆锥的轴截面是等腰直角三角形，于点O，过点A作平面截该圆锥，
不妨设，则，，
所以椭圆长轴长，
取线段AM的中点，连接并延长交AB于点Q，过Q作交底面圆于点E，F，
连接PE，PF分别交椭圆于点G，H，则椭圆短轴长，
由椭圆的对称性可知，取BQ的中点N，连接MN，
则，，，
因此，即，
显然Q，N是线段AB的两个三等分点，即，，
由相交弦定理得，解得，
于是，，
所以椭圆的离心率.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：取线段AM的中点，连接并延长交AB于点Q，过Q作交底面圆于点E，F，连接PE，PF分别交椭圆于点G，H，则椭圆短轴长，构建相似三角形求解.
3．（2025高三·全国·专题练习）用平面截圆柱面，圆柱的轴与平面所成的角记为，当为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆，数学家Dandelin创立的双球模型证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切，切点分别为．下列关于截口曲线的椭圆的结论中不正确的有（ ）

A．椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等
B．椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距相等
C．所得椭圆的离心率
D．其中为椭圆长轴，为球的半径，有
【答案】D
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆的长轴、短轴、多面体与球体内切外接问题、椭圆定义及辨析
【分析】根据题意利用椭圆定义可判断AB；结合图形的几何特征利用椭圆的离心率定义可判断C；结合图形的几何特征利用解三角形可判断D.
【详解】设P为截口曲线的椭圆的一点，如图，过点作线段分别与球切于点，
故有，
由椭圆定义可知，该椭圆以，为焦点，为长轴长，故B正确．

设椭圆长半轴长为，半焦距为，设O为的中点，
与球切于点，，，故，
有，则
即椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等，故A正确．
由题意可得，则，故C正确．
由题意知（这是因为），
则，故，
即，故D错误．
故选：D．
4．（2025·内蒙古赤峰·一模）如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆面，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、二面角的概念及辨析
【分析】根据题意得到椭圆的半短轴长，结合平面图形的性质求出半长轴长，在根据，解出，由此即可求解.
【详解】
设圆的半径为，椭圆方程为，
由题意，截面椭圆的半短轴长等于圆柱的底面半径，即，
因为，，所以，
在中，，，所以，
所以椭圆的半长轴长等于，即，
所以，
因此椭圆的离心率.
故选：D.
题型08 求离心率的范围
解｜题｜策｜略 要求离心率的范围，就要从题目信息中建立关于离心率的不等式，常见的依据有： 1、焦半径的取值范围 2、圆锥曲线上的坐标的取值范围 3、焦点三角形的顶角的取值范围 4、与圆锥曲线有交点，联立得到的范围 等，根据以上这些条件，构建离心率的不等式从而得到离心率的范围。
1．（2025·湖南长沙·模拟预测）设椭圆的左，右焦点分别为，点在上运动，点在圆：上运动，且恒成立，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系求参数、椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】由椭圆定义，结合图形可得当四点共线时，据此可得离心率范围.
【详解】由题可得圆半径为，因恒成立，
则.由椭圆定义，可得，
如图，当三点共线时，最大，为，又对于圆外一点P，
当三点共线时最大，又，则，
即，取最值时，四点共线.
则，即，所以，即.
故选：C

2．（2025·湖南湘潭·一模）已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】设为圆上一点，得到的中点，求得，结合直线与圆有公共点，得到，求得，进而求得双曲线的离心率的取值范围.
【详解】因为双曲线的右焦点为，则，即，
且双曲线的渐近线方程为，
设为圆上一点，且圆心为，半径，
则的中点在其渐近线上，可得，
即，所以点在直线上，
因为圆心到直线的距离为，
因为圆上存在点满足条件，所以直线与圆有公共点，
所以，即，可得，可得，所以，
又因为双曲线的离心率，所以，
所以双曲线的离心率的取值范围为.
故选：B.
3．（2025·河北秦皇岛·三模）已知椭圆，过的右焦点的直线交于，两点，若存在直线使得，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆中的弦长
【分析】根据给定条件，求出过的右焦点的最短弦长，再建立不等式求出离心率的范围.
【详解】设的右焦点坐标为，长轴是过的右焦点的最长弦，
当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，
由消去得，设，
，则
，当且仅当时取等号，
依题意，，解得，则的离心率.
故选：D
4．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）已知双曲线，若直线与没有公共点，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围
【分析】根据过原点的直线与双曲线的交点个数和渐近线的结论得到，则得到离心率的范围.
【详解】∵渐近线方程为且的斜率为，
∴，则，∴离心率，又∵，
则离心率的取值范围为.
故选：C
5．（2025·四川成都·三模）设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则椭圆离心率的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】令椭圆的左焦点为，利用椭圆的定义可求出的最大值和最小值，即可得出的取值范围，即可求得椭圆的离心率的取值范围.
【详解】令椭圆的左焦点为，则，
由椭圆的定义知，则，
设直线交椭圆于、两点（如图），
而，即，
当且仅当点、、共线时取等号.
当点与重合时，，则，
当点与重合时，，则，
所以，即，经检验，此时点在内，
所以.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
（建议用时：30分钟）
1．（2025·江苏南通·模拟预测）已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的两点，若，且以为直径的圆恰好过点，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】如图，设，，，，得出，，结合，得出.因为、在双曲线上，得出，又因为过原点以为直径的圆过点，得出，结合双曲线的性质有，联立双曲线方程得出，所以，设离心率，构造关于的方程为，解方程求出.
【详解】
如上图所示，设，，，，
则，.
因为，
所以.
因为、在双曲线上，则.
又因为过原点以为直径的圆过点，所以.
根据双曲线的性质有，联立得
所以，
设离心率，则，解得，（，舍去）.
所以.
故答案为：.
2．（2025·江西·二模）已知点 F为双曲线的左焦点，C上A，B两点关于原点O 对称(点A 在第一象限)，且 设△AFB 的面积为S，若则C的离心率为 .
【答案】
【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】利用，两点关于原点对称把已知条件转换成双曲线上的点到两个焦点之间的线段之间的关系，再利用双曲线的性质进行求解.
【详解】解法一：设的右焦点为，如图，由条件知.
由对称性知，
设 由条件得 ，解得，
所以，所以C的离心率为
解法二：设C的右焦点为 F'，如图，由 ，得，
所以，由对称性可知四边形为矩形，所以△AFB与的面积相等，
且点A，B均在以为直径的圆O上，所以圆O 的半径为c，
设点A(x ，y )，则，联立化简可得
整理得 ，解得；
由, 得到，
即 所以 ，可得，
因为 为圆O 的直径，所以 即
整理得 所以离心率
故答案为：
3．（2025·广西南宁·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右支分别交于，两点，且，，其中为坐标原点，则的离心率为（ ）
A．5 B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】由双曲线的定义表示出线段长，根据勾股定理，可得答案.
【详解】
由题意得，而后根据题意可知，，
在中，得，
从而，即.
故答案为：.
4．（2025·云南丽江·模拟预测）设椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆C上一点，若点关于的角平分线l的对称点恰好是点P，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】余弦定理解三角形、椭圆定义及辨析、平面向量数量积的定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】根据给定条件，利用对称特征及余弦定理、数量积定义列式求出离心率.
【详解】由关于的角平分线l的对称点恰好是点P，得，
由椭圆的定义得，设，

在中，由余弦定理得，
由，得，则，
整理得：，即，又，所以.
故选：A
5．（2025·陕西西安·模拟预测）已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，且它们在第二象限的公共点为点，点与右焦点的连线交轴于点，且平分，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆中焦点三角形的其他问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题
【分析】根据椭圆、双曲线的定义可得出，，设，结合余弦定理、锐角三角函数的定义与角平分线的性质定理，用两种方式表达，从而建立关于的方程，解之即可.
【详解】由椭圆的定义可知，，，
由双曲线的定义可知，，所以，，，
设，因为交轴于点，且平分，
所以，，
在中，由余弦定理可知，，
设，则，
由角平分线定理可知，，即，解得，
在中，，
整理可得，因为，解得，
因此，双曲线的离心率为.
故选：D.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
6．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知，为椭圆C：（）的左、右焦点，点P在y轴上，点Q在C上，且，，则椭圆C的离心率为 .
【答案】
【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】由椭圆的定义以及勾股定理可得，然后在中，结合余弦定理代入计算，即可得到结果.
【详解】

如图，由，得，
由知P，，Q三点共线.
设，则，所以.
由椭圆的对称性知，，
由椭圆的定义知，.
因为，所以，
整理得，解得或（舍去），
则，，所以.
在中，，
即，
则，所以.
故答案为：
7．（2025·安徽安庆·模拟预测）设双曲线：的两条渐近线的倾斜角分别为，，若，则C的离心率为 .
【答案】
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线
【分析】求出因为，再由可得答案.
【详解】因为，，所以，
双曲线：的两条渐近线方程分别为，
若，则的倾斜角为，的倾斜角为，
即，解得，
则C的离心率为.
故答案为：.
8．（2025·湖南长沙·二模）已知双曲线的右焦点为，以（为坐标原点）为直径的圆与的渐近线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】首先根据点到直线的距离公式求出，然后根据勾股定理求出之间的关系式，进而可求出双曲线的离心率.
【详解】连接，因为双曲线的一条渐近线的方程为，即.
因为，所以.
由已知，.
根据勾股定理得，即，
所以，所以.
所以双曲线的离心率．
故答案为：.
9．（2025·山东泰安·模拟预测）已知为椭圆的左顶点，、是椭圆上的点.若四边形满足，，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的对称性、求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】根据题意，结合椭圆的对称性可得，则，设为直线的倾斜角，可得，进而求得的范围，得解.
【详解】由题意知，由知为平行四边形，则、关于轴对称，
设，（不妨设），将点坐标代入椭圆方程可得，
因为，设为直线的倾斜角，则，
所以，所以，
.
所以椭圆离心率的取值范围为.

故选：B.
10．（2025·浙江金华·一模）若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】先判断点在双曲线外部或在双曲线上，得，再结合过该中点的直线斜率可得另一不等式，最后求解出的范围，结合离心率等式即可求解．
【详解】由题意得点在双曲线外部或在双曲线上，则，得，
假设存在以为中点的弦，设弦与双曲线交于点，，
则，，
由点，在双曲线上，得，
两式作差得，
所以，
因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点，
则，也即，
所以，则．
故选：C．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑