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专题 圆锥曲线二级结论
近三年： 1、圆锥曲线的二级结论是近3年高考命题中解决小题（选择题、填空题）的利器，以其为核心命制的题目出现频率高，主要用来提升解题速度、降低计算复杂度，难度覆盖中档及以上。 合理应用二级结论，能将复杂的代数运算转化为直接的几何关系或公式代入，实现“秒杀”。 2、从近几年高考命题来看，二级结论很少在解答题中作为直接的得分点，但其思想和方法常渗透其中。 命题常通过以下形式考查焦点弦、焦半径、焦点三角形周长、顶角、面积的最值问题，中点弦与第三定义、焦点三角形的内切圆问题，阿基米德三角形等。 预测2026年： 圆锥曲线二级结论的应用将继续作为高考小题的重要考查方式。命题将更加注重结论的隐蔽性和应用的灵活性。其考查可能更加侧重于： 结论的识别与转化： 题目条件不会直接套用结论的标准形式，而是需要学生通过观察和分析，识别出题目背后的二级结论模型。 多个结论的交汇： 在同一题目中，可能同时涉及多个二级结论，如焦点弦长与中点弦斜率的结合，切线性质与焦半径范围的结合等。 创新情境下的应用： 在相对新颖的背景下，考查学生能否灵活运用二级结论的推导思想（如点差法、设而不求）来解决问题，而非死记硬背结论本身。 与函数方程思想的结合： 利用二级结论建立等量关系后，进一步求范围、最值，渗透函数与方程思想。 复习中必须在理解其推导过程的基础上进行记忆和应用，切忌只记结论而不明其理，方能做到举一反三，稳操胜券。
题型01 焦半径、焦点弦
解｜题｜策｜略 1、椭圆焦半径 设为椭圆上的一点，为椭圆的一个焦点， 焦半径坐标式 ①焦点在轴：焦半径(左加右减)； ② 焦点在轴：焦半径(上加下减)． 焦半径角度公式： 2、双曲线焦半径　 设为双曲线上的一点，为双曲线的一个焦点， ①焦点在轴：在左支，在右支； ②焦点在轴：在下支，在上支． 焦半径角度公式：（P与F位于同侧取正，位于异侧取负） 3、抛物线焦半径　 设为抛物线上的一点，为抛物线的焦点， ①焦点在轴：焦半径 ② 焦点在轴：焦半径 焦半径角度公式
1．（2025·河北秦皇岛·三模）已知椭圆，过的右焦点的直线交于，两点，若存在直线使得，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·全国·模拟预测）已知为双曲线的右焦点，是双曲线上两点且满足，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（多选）（2025·辽宁沈阳·一模）已知分别是椭圆的左、右焦点．点为短轴的一个端点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．(多选)（2025·山东青岛·三模）已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，为正三角形，过的直线与交于，两点，则（ ）
A．椭圆的离心率为
B．的最大值为3
C．的取值范围是
D．当倾斜角为时，的周长为8
5．(多选)（2025·河北·模拟预测）已知点是抛物线上的一点，过C的焦点F的两条互相垂直的直线，分别与C交于点A，B和点D，E，其中点A，D均在x轴的上方，过点P分别作，的垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则直线的倾斜角为
C．为定值 D．四边形的周长的最大值为
题型02 焦点三角形面积
解｜题｜策｜略 1、椭圆面积 椭圆焦点为，，为椭圆上的点，，则， 2、双曲线的面积 双曲线的焦点为F1、F2，为双曲线上的点，，则
1．（多选）（2025·浙江·一模）已知是椭圆的焦点三角形，椭圆在点处的切线与直线所成角的大小是，则（ ）
A．的周长为
B．的面积为
C．若是上的动点，则
D．若是上的动点，则
2．（多选）（2025·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为，离心率为，是椭圆上异于长轴端点的一动点，点与点关于原点对称，则（ ）
A．的面积最大值为
B．的最小值为
C．若以为直径的圆经过两点，则点的轨迹方程为
D．椭圆上存在点，使得
3．（多选）（2025·广西柳州·一模）已知，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．的周长为6 B．的最小值为1
C．面积的最大值为 D．椭圆C的离心率为
4．（多选）（2025·湖南长沙·二模）已知双曲线的左右焦点分别为、，过其右焦点的直线与它的右支交于、两点，与轴相交于点，的内切圆与边相切于点，设，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则；
B．记，则的面积；
C．若，过点且斜率为的直线与有2个交点，则；
D．若，则的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为.
5．（多选）（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．点纵坐标为 B．的周长为
C． D．的内切圆半径为
题型03 垂径定理与第三定义
解｜题｜策｜略 椭圆的垂径定理与第三定义 已知直线与椭圆相交于两点，M为AB中点，O为原点，且则有 已知A，B为椭圆长轴的端点（或短轴端点），P是椭圆异于A，B的点，则 双曲线的垂径定理与第三定义 已知直线与双曲线相交于两点，M为AB中点，O为原点，且则有 如图，已知A，B为双曲线实轴的端点，P是双曲线异于A，B的点，则 另外，若A，B为双曲线渐近线上两点，M为AB中点，若斜率都存在同样也有
1．（2025·山东枣庄·二模）已知椭圆，直线与交于，两点，过点作与垂直的直线交于另一点，记直线的斜率为，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·浙江金华·一模）若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·辽宁·模拟预测）已知椭圆的焦距为，，，是上三个不同的点，，关于坐标原点对称，且直线与直线的斜率之积为（是的离心率），则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，斜率为的直线与椭圆交于，两点，与轴、轴分别交于点，，若，则椭圆的焦距为 .
5．（多选）（2025·湖北·三模）已知点是椭圆的右焦点，点A，B分别是椭圆的左、右顶点，过点F的直线l与椭圆交于P，Q两点，点P在第一象限，用，，分别表示直线，，的斜率，，则（ ）．
A． B．
C． D．面积的最大值为
题型04 椭圆与双曲线共焦点
解｜题｜策｜略 椭圆与双曲线有相同的焦点，是它们的一个公共点，设，椭圆的，双曲线的 1、由是椭圆与双曲线的焦点三角形，那么我们可以根据面积公式分别有，可以对式子稍作整理有 2、根据, ，整理有
1．（2025·浙江嘉兴·一模）已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，且，若的离心率为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知椭圆Z和双曲线S的对称中心均为坐标原点，且有公共焦点，左、右焦点分别为，，Z与S在第一象限有交点A，若，则S与Z的离心率之差的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（多选）（2025·湖北·模拟预测）已知椭圆：与双曲线：有公共的焦点，，.若为，在第一象限的一个公共点，和的离心率分别为，，，则（ ）
A．
B．
C．
D．当时，的取值范围是
4．（多选）（2025·贵州遵义·模拟预测）椭圆的左右焦点分别为，，点在上，双曲线与椭圆有相同的焦点，则下列选项正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．若，则
C．若是等腰三角形，则满足条件的点有4个
D．若是椭圆与双曲线的交点，且在第二象限，交轴于点，平分，则双曲线的离心率为
5．（2025·广西·二模）已知椭圆与双曲线有公共焦点，分别为其左 右焦点，点为它们在第一象限的交点，满足，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是 .
题型05 焦点三角形的内切圆与外接圆
解｜题｜策｜略 椭圆的焦点三角形内切圆 点为椭圆上异于左右顶点的点，为椭圆的左右焦点,设, 重心,内心 结论一、 结论二、 有 ，则I的轨迹为椭圆 双曲线的焦点三角形内切圆 结论一、双曲线焦点三角形的内切圆圆心横坐标恒为
1．（2025·辽宁·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P是上异于顶点的一个动点，记的内切圆圆心为M，则点P与点M的横坐标之比为（ ）
A． B．2 C． D．3
2．（2025·湖北·模拟预测）设椭圆的焦点为是椭圆上的一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·浙江绍兴·三模）已知点，分别为双曲线的左右焦点，过双曲线C上一点作的平分线交x轴于点B，记的面积分别为，内切圆半径分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（多选）（2025·湖南长沙·一模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，左、右顶点分别为，过 的直线与双曲线的右支交于两点(在第一象限)，中点为，的内切圆圆心分别为，半径分别为，则下列结论正确的是（ ）
A． 三点共线 B．直线斜率存在时，
C．若，则直线的斜率为 D．的取值范围是
5．（多选）（2025·广东佛山·模拟预测）已知双曲线的左右焦点为，点为双曲线右支上一点，存在点使得为等腰直角三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．的内心与外心可能重合
C．当的外接圆的面积取到最小值时，的面积为
D．设点是的内心，则直线的斜率之比为常数
题型06 双曲线的渐近线
解｜题｜策｜略 双曲线渐近线的一些性质： 双曲线的焦点到渐近线的距离为. 以两焦点为直径的圆与双曲线的渐近线相交，第一象限的交点坐标. 过双曲线上点作两渐近线的平行线，，它们和渐近线围成的平行四边形的面积为定值 过双曲线上点作两渐近线的垂线，，则有， 过双曲线上点作双曲线的切线交两渐近线于两点，则为双曲线的渐近三角形，则P是AB的中点，且
1．（多选）（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（ ）
A． B．
C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为
2．（2025·江西景德镇·模拟预测）双曲线，过点作的两条渐近线的平行线，分别与渐近线相交于A，B两点，则平行四边形OAPB的面积是（ ）
A． B．1 C． D．2
3．（多选）（2025·河南许昌·模拟预测）已知点P为双曲线右支上一点，，为的两条渐近线，过点P分别作，，垂足依次为，且，过点作交于点，过点P作交于点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．的离心率为 B．
C．的面积为 D．
4．（2025·云南·模拟预测）已知是双曲线右支上一点，过点作的渐近线的垂线，垂足分别为点，，且点，分别在第一、第四象限.若为坐标原点，四边形的面积为定值，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
5．（2025·甘肃白银·二模）已知双曲线（，）的离心率为，左、右焦点分别为，，过，分别作直线AD，BC垂直于x轴，分别交E于A，D，B，C四点，且四边形ABCD的面积为．设点为双曲线C上任意一点，过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于M，N两点，记O为坐标原点，则OMN的面积为（ ）
A．2 B． C．1 D．
题型07 阿基米德三角形
解｜题｜策｜略 阿基米德三角形指圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。 1、阿基米德焦点三角形性质（弦AB过焦点F时） 性质1： 性质2：轴； 性质3： 2、阿基米德三角形一般性质（弦AB不经过焦点F时） 性质1、阿基米德三角形底边上的中线PM平行于抛物对称轴． 性质2、若阿基米德三角形的底边即弦AB过定点抛物线内部的定点，则点P的轨迹为直线记，，，M为弦AB的中点，点C为抛物线内部的定点 半代入得出切线PA，PB的方程，再得出则，则 性质3、若P点轨迹为直线，且该直线与抛物线没有公共点，则定点. 设P点坐标，半代入得出切点弦AB的直线方程，进而得出定点C的坐标 性质4、阿基米德三角形的面积的最大值为. 性质5、，
1．（多选）（2025·山东聊城·一模）设动直线与抛物线相交于，两点，分别过，作的切线，设两切线相交于点，则（ ）
A．直线经过一定点 B．抛物线的焦点为
C．点到坐标原点的距离不小于 D．的面积的最小值为
2．（多选）（2025·广东清远·一模）已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点，分别以为切点作的切线，且两切线相交于点，设为坐标原点，则（ ）
A．
B．抛物线的准线与以为直径的圆相切
C．设，则
D．点位于定直线上
3．（多选）（2025·河北·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，C是直线上一点，过点C作抛物线的两条切线与抛物线分别切于点A，B，连接AF，BF，设直线AB与x轴交于点P，直线CF与直线AB交于点D，（ ）
A． B． C． D．
4．（多选）（2025·河北保定·三模）已知抛物线C 的焦点F到准线的距离是4，经过F的直线与C交于两点，分别记C在点A，B处的切线为，，则下列说法正确的是（ ）
A．C准线方程为 B．
C． D．若 ，则
5．（多选）（2025·黑龙江·模拟预测）已知抛物线的焦点为，上不同两点，，以，为切点的切线，相交于点，、、三点共线.下列说法正确的有（ ）
A．最小值为4 B．的最小值为
C．使得的直线有两条 D．
题型08 蒙日圆
解｜题｜策｜略 蒙日圆是圆锥曲线的几何性质之一，其核心特征是： 圆锥曲线外一点作两条互相垂直的切线，切线交点的轨迹构成一个圆 。以下是具体性质和结论： 1、椭圆的蒙日圆： 2、双曲线的蒙日圆：
1．（2025·青海西宁·二模）画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆是，若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
2．（2025·湖南·模拟预测）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，、为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆离心率的取值范围为 .
3．（多选）（2025·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在椭圆上，点A和点B处的椭圆C的切线相交于点P，延长分别交圆于，．设直线的斜率分别为．到直线的距离分别为，则下列结论正确的有（ ）
A．点P在圆O上 B．
C． D．
（建议用时：30分钟）
1．（2025·全国·模拟预测）已知椭圆的右焦点为F，过点F且斜率为1的直线l交C于A，B两点，若，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（多选）（2025·四川德阳·三模）给定椭圆上有一动点（不在坐标轴上），分别是椭圆的左右焦点，的内切圆与分别切于两点，则（ ）
A．若，则椭圆的离心率为
B．动点的轨迹是一个椭圆
C．直线的斜率之积为常数
D．内切圆的面积无最大值也无最小值
3．（2025·广东广州·模拟预测）设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知，从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线方程为称为点关于椭圆的极线．如图，两个椭圆、的方程分别为和，离心率分别为、，在内，椭圆上的任意一点关于椭圆的极线为．若到的距离为定值1，则取最大值时的值为 ．
5．（多选）（2025·安徽·模拟预测）已知椭圆的左、右两个焦点分别是，，过点的直线与交于两点，则（ ）
A．若的中点在轴上，则
B．
C．若，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若的最小值为，则椭圆的离心率为
6．（2025·四川成都·模拟预测）已知为双曲线（，）上的任意一点，过分别引其渐近线的平行线，分别交轴于点， ，交轴于点，，若恒成立，则双曲线离心率的取值范围为
7．（多选）（2025·山东青岛·二模）双曲线的左右焦点分别为，左右顶点分别为，若是右支上一点（与点不重合），如图，过点的直线与双曲线的左支交于点，与其两条渐近线分别交于两点，则下列结论中正确的是（ ）

A．存在使得
B．P到两条渐近线的距离之积为定值
C．当直线运动时，始终有
D．△内切圆的圆心的横坐标为
8．（多选）（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知为坐标原点，椭圆的长轴长为4，离心率为，过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，连接并分别延长交椭圆于两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若直线的斜率分别为，则
C．若抛物线的准线与轴交于点，直线的倾斜角为，则
D．的最小值为
9．（多选）（2025·广西·模拟预测）已知以为左右焦点的椭圆的短轴长为，点是椭圆上的一个动点，且点到的最大距离是点到的最小距离的3倍，连接，并延长与椭圆相交于点，其中说法正确的是（ ）
A．椭圆的方程为 B．三角形的面积的最大值为
C．三角形的周长为8 D．
10．（多选）（2025·全国·模拟预测）已知分别为双曲线的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线．则下列正确的是（ ）
A．双曲线的方程为 B．
C． D．点到轴的距离为
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题 圆锥曲线二级结论
近三年： 1、圆锥曲线的二级结论是近3年高考命题中解决小题（选择题、填空题）的利器，以其为核心命制的题目出现频率高，主要用来提升解题速度、降低计算复杂度，难度覆盖中档及以上。 合理应用二级结论，能将复杂的代数运算转化为直接的几何关系或公式代入，实现“秒杀”。 2、从近几年高考命题来看，二级结论很少在解答题中作为直接的得分点，但其思想和方法常渗透其中。 命题常通过以下形式考查焦点弦、焦半径、焦点三角形周长、顶角、面积的最值问题，中点弦与第三定义、焦点三角形的内切圆问题，阿基米德三角形等。 预测2026年： 圆锥曲线二级结论的应用将继续作为高考小题的重要考查方式。命题将更加注重结论的隐蔽性和应用的灵活性。其考查可能更加侧重于： 结论的识别与转化： 题目条件不会直接套用结论的标准形式，而是需要学生通过观察和分析，识别出题目背后的二级结论模型。 多个结论的交汇： 在同一题目中，可能同时涉及多个二级结论，如焦点弦长与中点弦斜率的结合，切线性质与焦半径范围的结合等。 创新情境下的应用： 在相对新颖的背景下，考查学生能否灵活运用二级结论的推导思想（如点差法、设而不求）来解决问题，而非死记硬背结论本身。 与函数方程思想的结合： 利用二级结论建立等量关系后，进一步求范围、最值，渗透函数与方程思想。 复习中必须在理解其推导过程的基础上进行记忆和应用，切忌只记结论而不明其理，方能做到举一反三，稳操胜券。
题型01 焦半径、焦点弦
解｜题｜策｜略 1、椭圆焦半径 设为椭圆上的一点，为椭圆的一个焦点， 焦半径坐标式 ①焦点在轴：焦半径(左加右减)； ② 焦点在轴：焦半径(上加下减)． 焦半径角度公式： 2、双曲线焦半径　 设为双曲线上的一点，为双曲线的一个焦点， ①焦点在轴：在左支，在右支； ②焦点在轴：在下支，在上支． 焦半径角度公式：（P与F位于同侧取正，位于异侧取负） 3、抛物线焦半径　 设为抛物线上的一点，为抛物线的焦点， ①焦点在轴：焦半径 ② 焦点在轴：焦半径 焦半径角度公式
1．（2025·河北秦皇岛·三模）已知椭圆，过的右焦点的直线交于，两点，若存在直线使得，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆中的弦长
【分析】根据给定条件，求出过的右焦点的最短弦长，再建立不等式求出离心率的范围.
【详解】设的右焦点坐标为，长轴是过的右焦点的最长弦，
当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，
由消去得，设，
，则
，当且仅当时取等号，
依题意，，解得，则的离心率.
故选：D
2．（2025·全国·模拟预测）已知为双曲线的右焦点，是双曲线上两点且满足，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】利用，可以确定A、B两点的大概位置，再结合双曲线的性质，求出和的三边长，利用余弦定理以及a、b、c本身的关系可以求解出a、b的比值关系，从而求出离心率大小．
【详解】设双曲线左焦点为，连接，因为，，所以三点共线，A、B分别在双曲线两支上，且，，根据双曲线的定义可知，，，在和中，由余弦定理可得，
，
又，整理化简可得，所以，
故选：D．

3．（多选）（2025·辽宁沈阳·一模）已知分别是椭圆的左、右焦点．点为短轴的一个端点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【知识点】椭圆定义及辨析、数量积的坐标表示、椭圆上点到焦点的距离及最值、椭圆中焦点三角形的其他问题
【分析】利用椭圆的定义及函数给定区间上的值域求法，可对A,C,D进行判断，利用数量积的坐标表示及二次函数值域求解可判断B选项.
【详解】解：由椭圆，得，，，且，，即.
A选项：,当时，取得最大值；当或时，取得最小值1.所以.所以A选项正确.
B选项:设为椭圆上一点.由题知.
则,
因为,所以,即.所以B选项错误.
C选项：因为为短轴的一个端点，所以或.由椭圆的对称性，不妨设.
设，则.
因为，所以，当时，取得最大值，当时，取得最小值0，所以.所以C选项错误.
D选项：设，又，所以，.
又.
又.
所以成立，故D正确.
方法二：因为,所以,所以.
因为即，所以,即.
所以.所以D选项正确.
故选：AD.
4．(多选)（2025·山东青岛·三模）已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，为正三角形，过的直线与交于，两点，则（ ）
A．椭圆的离心率为
B．的最大值为3
C．的取值范围是
D．当倾斜角为时，的周长为8
【答案】ACD
【知识点】数量积的坐标表示、求直线与椭圆的交点坐标、求含cosx的二次式的最值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】根据题意，，可求其离心率判断A，并可得椭圆；根据椭圆定义和基本不等式判断B；设，利用向量数量积的坐标运算得，再根据椭圆上点的范围可判断C；当倾斜角为时，直线垂直平分，结合椭圆定义求的周长，判断D.
【详解】对于A，根据题意，，所以椭圆的离心率，
又，，
所以椭圆，故A正确；
根据椭圆定义，可知，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值为4，故B错误；
设，又，
所以，
则，
因为，所以的取值范围是，C正确；
当倾斜角为时，直线垂直平分，
所以的周长为：
，
故D正确.
故选：ACD
5．(多选)（2025·河北·模拟预测）已知点是抛物线上的一点，过C的焦点F的两条互相垂直的直线，分别与C交于点A，B和点D，E，其中点A，D均在x轴的上方，过点P分别作，的垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则直线的倾斜角为
C．为定值 D．四边形的周长的最大值为
【答案】ACD
【分析】对于A将点代入抛物线方程解得即可判断，对于B设直线的方程为，结合抛物线方程和即可求出线的倾斜角，进而判断B，对于C利用韦达定理和弦长公式即可求，进而判断，对于D由，利用均值不等式即可求解，进而判断.
【详解】由题意有，所以，所以，
所以，故A正确；
对于B：设直线的方程为，所以，
设，则，由得，
所以，即，设直线的倾斜角，则,故B错误；
对于C：由，由直线与直线垂直，
则可设直线的方程为，则有，
所以，故C正确；
对于D：由，所以，
即，当且仅当时，等号成立，
又得，
所以四边形的周长的最大值为，故D正确.
故选：ACD.
题型02 焦点三角形面积
解｜题｜策｜略 1、椭圆面积 椭圆焦点为，，为椭圆上的点，，则， 2、双曲线的面积 双曲线的焦点为F1、F2，为双曲线上的点，，则
1．（多选）（2025·浙江·一模）已知是椭圆的焦点三角形，椭圆在点处的切线与直线所成角的大小是，则（ ）
A．的周长为
B．的面积为
C．若是上的动点，则
D．若是上的动点，则
【答案】AD
【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、椭圆中焦点三角形的周长问题、基本不等式求和的最小值、椭圆中焦点三角形的面积问题
【分析】应用椭圆定义得出周长判断A，应用焦点三角形计算求解判断B，应用两角差正切公式结合不等式判断C，应用点到直线距离计算判断D.
【详解】的周长为，A正确；
根据椭圆的光学性质，与直线所成角的大小也是，从而，则的面积为，B错误；
设在第一象限，则，由得，于是，得，
设，当时，，则，当且仅当时取最大角，C错误；
由C选项，根据点到直线的距离公式，D正确.
故选：AD.
2．（多选）（2025·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为，离心率为，是椭圆上异于长轴端点的一动点，点与点关于原点对称，则（ ）
A．的面积最大值为
B．的最小值为
C．若以为直径的圆经过两点，则点的轨迹方程为
D．椭圆上存在点，使得
【答案】BCD
【知识点】求平面轨迹方程、基本不等式求和的最小值、根据a、b、c求椭圆标准方程
【分析】A列关系式，求椭圆方程，当点位于短轴顶点时，的面积最大；B证明四边形为平行四边形，再结合基本不等式可求；C设过点的圆的一般方程，将三点坐标代入求出圆方程，利用关于圆心对称，求出点坐标，再利用消参思想求出轨迹方程；D当点位于短轴顶点时符合题意.
【详解】由题意可知，，，，解得，
则，，,
当点位于短轴顶点时，的面积最大，最大值为，故A错误；
因点与点关于原点对称，则四边形为平行四边形，则，
因，则
,
等号成立时，故B正确；
设过点的圆的方程为，
设，且，，，
则，，，
得，，
则过点的圆的方程为，圆心，
因为圆的直径，则关于点对称，则，
令，则，
因，则，
因，则点的轨迹方程为，C正确；
当点位于短轴顶点时，此时为等边三角形，，故D正确.
故选：BCD

3．（多选）（2025·广西柳州·一模）已知，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．的周长为6 B．的最小值为1
C．面积的最大值为 D．椭圆C的离心率为
【答案】ACD
【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆中的最值问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积
【分析】根据椭圆的定义与性质对选项进行分析，从而确定各选项的正确性.
【详解】如图：
依题意，，
所以的周长为，A选项正确；
若为椭圆上任意点，则，即，
当为椭圆长轴顶点时取等号，但P为椭圆C上异于长轴端点的动点，所以等号不成立，B选项错误；
当为椭圆短轴顶点时，的面积最大，为，C选项正确；
椭圆的离心率为，D选项正确.
故选：ACD
4．（多选）（2025·湖南长沙·二模）已知双曲线的左右焦点分别为、，过其右焦点的直线与它的右支交于、两点，与轴相交于点，的内切圆与边相切于点，设，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则；
B．记，则的面积；
C．若，过点且斜率为的直线与有2个交点，则；
D．若，则的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为.
【答案】AD
【分析】根据双曲线的定义和基本性质可判断选项A；根据双曲线焦点三角形面积公式可判断选项B；对于选项C，过某一定点的直线与双曲线有两个交点，则联立直线与双曲线方程，根据判别式求出k的取值范围；对于选项D，将三角形内切圆面积问题转化为内切圆的半径问题，再结合图形分析三角形内切圆半径与双曲线中线段之间的关系，从而得出两内切圆面积之和的最小值.
【详解】因为的内切圆与边相切于点，如图，，为另外两个切点，
由切线长定理可知，，，因为在轴上，所以，
所以
，
，，，
双曲线的方程为：，
若，则，所以，故A正确；
对于B，因为的面积，故B错误；
对于C，若，则，，，双曲线的方程为，
直线的方程为，联立，消得，
则，
解得且，故C错误；
对于D，若，则，，，双曲线的方程为，
如图，设两内切圆圆心分别为，，半径分别为，，设、、与圆分别相切于点，，，
由切线长定理得
，
而，两式相加得，所以是双曲线的右顶点，
轴，所以的横坐标为，
同理可求得的横坐标为，则，
设直线的倾斜角为，则，
在，中有
，，
设，所以，
显然，当，即，即取得最小值8，
记的内切圆面积为，的内切圆面积为，
故的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为，故D正确.
故选：BD.
5．（多选）（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．点纵坐标为 B．的周长为
C． D．的内切圆半径为
【答案】BCD
【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、由条件等式求正、余弦、椭圆中焦点三角形的面积问题
【分析】利用三角形的面积公式可判断A选项；利用椭圆的定义可判断B选项；设，利用三角形的面积公式、余弦定理、同角三角函数的基本关系可得出关于、的方程，解出的值，可判断C选项；利用等面积法可判断D选项.
【详解】对于A选项，在椭圆中，，，，
，则、，
设点，，，故选项A错误；
对于B选项，由椭圆的定义可知，
的周长为，故选项B正确；
对于C选项，设，，可得，
由余弦定理可得
，
所以，
所以，解得，故选项C正确，
对于D选项，设的内切圆半径为，
则，
，故选项D正确.
故选：BCD.
题型03 垂径定理与第三定义
解｜题｜策｜略 椭圆的垂径定理与第三定义 已知直线与椭圆相交于两点，M为AB中点，O为原点，且则有 已知A，B为椭圆长轴的端点（或短轴端点），P是椭圆异于A，B的点，则 双曲线的垂径定理与第三定义 已知直线与双曲线相交于两点，M为AB中点，O为原点，且则有 如图，已知A，B为双曲线实轴的端点，P是双曲线异于A，B的点，则 另外，若A，B为双曲线渐近线上两点，M为AB中点，若斜率都存在同样也有
1．（2025·山东枣庄·二模）已知椭圆，直线与交于，两点，过点作与垂直的直线交于另一点，记直线的斜率为，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围
【分析】首先根据对称性设出，，三点的坐标，并得到与的表达式，然后由，在椭圆上得到与的关系，因为直线与垂直，所以进一步转化为与的关系，最后利用题目中与的比例以及离心率公式求解.
【详解】
设，，则，
所以，.
又，，
所以.
因为直线与垂直，所以，
，所以，所以.
又，所以，的离心率.
故选：.
2．（2025·浙江金华·一模）若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】先判断点在双曲线外部或在双曲线上，得，再结合过该中点的直线斜率可得另一不等式，最后求解出的范围，结合离心率等式即可求解．
【详解】由题意得点在双曲线外部或在双曲线上，则，得，
假设存在以为中点的弦，设弦与双曲线交于点，，
则，，
由点，在双曲线上，得，
两式作差得，
所以，
因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点，
则，也即，
所以，则．
故选：C．
3．（2025·辽宁·模拟预测）已知椭圆的焦距为，，，是上三个不同的点，，关于坐标原点对称，且直线与直线的斜率之积为（是的离心率），则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据离心率求椭圆的标准方程
【分析】利用点差法即可得到则，结合斜率关系，最后利用离心率公式即可.
【详解】设，，则，，所以，，
两式相减得，则．
由，得，
因为，所以4，则，所以的方程为．
故选：B．
4．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，斜率为的直线与椭圆交于，两点，与轴、轴分别交于点，，若，则椭圆的焦距为 .
【答案】
【知识点】求椭圆的焦点、焦距、椭圆中的定值问题、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数
【分析】设，得到，再根据点差法解决中点弦问题，可求出焦距.
【详解】设，又因为，
所以，则，则，
由，两式相减得，
即，因为，所以，所以，
，所以，解得，
所以，所以椭圆的焦距为.
故答案为：.
5．（多选）（2025·湖北·三模）已知点是椭圆的右焦点，点A，B分别是椭圆的左、右顶点，过点F的直线l与椭圆交于P，Q两点，点P在第一象限，用，，分别表示直线，，的斜率，，则（ ）．
A． B．
C． D．面积的最大值为
【答案】BCD
【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数
【分析】对于A，联立，与椭圆方程，由韦达定理，，，从而可以用离心率表示，进一步结合可求出，，，以及面积的最大值．
【详解】
设，，设，
联立直线与椭圆方程得，
，，，，
，
，同理，
又，
，
故，又,故，．
于是，
又，所以，
当在短轴端点时，
面积的最大值为．
故选：BCD.
题型04 椭圆与双曲线共焦点
解｜题｜策｜略 椭圆与双曲线有相同的焦点，是它们的一个公共点，设，椭圆的，双曲线的 1、由是椭圆与双曲线的焦点三角形，那么我们可以根据面积公式分别有，可以对式子稍作整理有 2、根据, ，整理有
1．（2025·浙江嘉兴·一模）已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，且，若的离心率为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】余弦定理解三角形、椭圆定义及辨析、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解
【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理列式，再结合离心率的计算公式，可求双曲线的离心率.
【详解】如图：
设椭圆：，双曲线：.
因为它们有相同的焦点，所以.
不妨设点在第一象限，且，，
因为点在椭圆上，
所以.
又，
所以.
又在双曲线上，
所以.
所以.
所以双曲线的离心率为：.
故选：A
2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知椭圆Z和双曲线S的对称中心均为坐标原点，且有公共焦点，左、右焦点分别为，，Z与S在第一象限有交点A，若，则S与Z的离心率之差的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆定义及辨析、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解
【分析】不妨设椭圆：，双曲线：，由椭圆的定义、双曲线的定义可得，，再由，可得，设，利用函数的单调性可得答案.
【详解】不妨设椭圆：，双曲线：，
与的离心率分别为，，
由椭圆的定义，有：，由，故，
由双曲线的定义，有：，故，
因此，两边同时除以，有，故，
由于，故，
所以，
不妨令，，
所以原式等于，在时，单调递减，故.
故选：D.
3．（多选）（2025·湖北·模拟预测）已知椭圆：与双曲线：有公共的焦点，，.若为，在第一象限的一个公共点，和的离心率分别为，，，则（ ）
A．
B．
C．
D．当时，的取值范围是
【答案】ABD
【知识点】椭圆定义及辨析、双曲线定义的理解、三角恒等变换的化简问题、平面向量数量积的定义及辨析
【分析】对于，由椭圆与双曲线的定义可将与用和表示，即可得出答案；
对于，由得，，再在中用一次余弦定理即可得到答案；
对于，由得，又，，代入可得答案；
对于，因为，所以，化简可得，再利用三角恒等变换中的平方关系进行转化即可.
【详解】由，，得，.
所以，则正确.；
因为，其中，，
所以，则正确；
对于，将，，，代入，可得，则错误；
对于，因为，所以，即，
化简得，即，即.
令，，则，其中，，取.
因为，，所以，，
所以，，故.
因为，其中，，
所以在上单调递增，故，则正确.
故选：.
4．（多选）（2025·贵州遵义·模拟预测）椭圆的左右焦点分别为，，点在上，双曲线与椭圆有相同的焦点，则下列选项正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．若，则
C．若是等腰三角形，则满足条件的点有4个
D．若是椭圆与双曲线的交点，且在第二象限，交轴于点，平分，则双曲线的离心率为
【答案】ABD
【知识点】根据椭圆的有界性求范围或最值、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题
【分析】根据的范围判断A，利用余弦定理判断B，根据对称性判断C，记双曲线的实半轴长为，设，结合余弦定理、锐角三角函数的定义与角平分线的性质定理，用两种方式表达，从而建立关于的方程，求出，即可判断D.
【详解】对于A：椭圆的左右焦点分别为，，
点在上，所以，故A正确；
对于B：因为，
在中由余弦定理，
即，即，所以，故B正确；
对于C：若是等腰三角形，若或，由对称性可知满足条件的点有个；
若，又，则，此时点在椭圆的短轴的顶点处，即满足条件的点有个；
综上可得，满足条件的点有个，故C错误；
对于D：记双曲线的实半轴长为，在第二象限，
所以，，
设，因为交轴于点，且平分，
所以，
在中，由余弦定理可知，，
设，则，
由角平分线定理可知，，即，解得，
在中，，
所以，因为，解得，
因此，双曲线的离心率，故D正确.
故选：ABD
5．（2025·广西·二模）已知椭圆与双曲线有公共焦点，分别为其左 右焦点，点为它们在第一象限的交点，满足，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，应用正弦定理有得，再由椭圆和双曲线定义及离心率公式有，结合对勾函数的单调性求的范围，即可得.
【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，
由正弦定理得.
，
，故，
，
，
，
，
，即，
，
由函数性质知在上单调递增，
，即.
故答案为：
题型05 焦点三角形的内切圆与外接圆
解｜题｜策｜略 椭圆的焦点三角形内切圆 点为椭圆上异于左右顶点的点，为椭圆的左右焦点,设, 重心,内心 结论一、 结论二、 有 ，则I的轨迹为椭圆 双曲线的焦点三角形内切圆 结论一、双曲线焦点三角形的内切圆圆心横坐标恒为
1．（2025·辽宁·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P是上异于顶点的一个动点，记的内切圆圆心为M，则点P与点M的横坐标之比为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的其他问题、椭圆上点到焦点的距离及最值
【分析】设出点，，利用椭圆的定义及圆与相切得出线段之间的关系即可求解.
【详解】
由题知，，
设，，与圆分别切于点D，E，H，，，
则，
又，
因为，则，
所以，
由切线性质可知，，，
所以
，
所以，
又点H与点M的横坐标相同，所以点P与点M的横坐标之比为.
故选：B.
2．（2025·湖北·模拟预测）设椭圆的焦点为是椭圆上的一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、正弦定理求外接圆半径、椭圆中焦点三角形的面积问题
【分析】先表示出的外接圆与内切圆半径，根据构造齐次式，求椭圆的离心率.
【详解】如图：
的外接圆半径：.
设，，所以.
所以.
又，所以.
由得.
又，所以，
又，所以.
故选：B
3．（2025·浙江绍兴·三模）已知点，分别为双曲线的左右焦点，过双曲线C上一点作的平分线交x轴于点B，记的面积分别为，内切圆半径分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出，再由角平分线定理可求出，进而求出的各边长，即可求出，再由等面积法求出，，即可求出.
【详解】由双曲线可知：，
所以，，
令，则，解得：，不妨设，
所以，
因为为的角平分线，所以由角平分线定理可得：，
所以，又因为，所以，，
所以，所以，
因为，所以的高为，
所以，
又因为，
解得：，同理，
所以.
故选：D.
4．（多选）（2025·湖南长沙·一模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，左、右顶点分别为，过 的直线与双曲线的右支交于两点(在第一象限)，中点为，的内切圆圆心分别为，半径分别为，则下列结论正确的是（ ）
A． 三点共线 B．直线斜率存在时，
C．若，则直线的斜率为 D．的取值范围是
【答案】ABD
【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题
【分析】设点，在A项中，由双曲线的焦点三角形的内切圆一定切于顶点（右焦点就对应右顶点），通过列式判断．由斜率公式及点差法可以判断B，设直线的倾斜角为，得到，，进而可判断CD.
【详解】依题意，得得，则.
设点 ，
对于A项，如图，设 的内切圆的切点为，
由双曲线的定义得， ，而，
得 ，而 ，，
得 ，又因为
得切点T与点B 重合，得点，则内心的横坐标为1，
同理可得，内心的横坐标也为1，得三点共线，故A项正确.
对于B项，由相减得，
得 ，即，故B项正确；
对于C项，设直线的倾斜角为，连接，
则 ，
若 ，则 ，，故C项错误；
对于D项，由题可知双曲线的渐近线为：，倾斜角分别为，
因为直线与双曲线的右支交于两点，
所以 ，
令，则，则在上单调递减，在上单调递增，
故，
故 ，故D项正确.
故选：ABD
5．（多选）（2025·广东佛山·模拟预测）已知双曲线的左右焦点为，点为双曲线右支上一点，存在点使得为等腰直角三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．的内心与外心可能重合
C．当的外接圆的面积取到最小值时，的面积为
D．设点是的内心，则直线的斜率之比为常数
【答案】ACD
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线中的动点在定直线上问题、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题
【分析】由题意得的齐次方程，从而求得离心率，判断选项A；由不可能为等边三角形，判断选项B；分析可得当，的外接圆的面积取到最小值，据此求得的面积，判断选项C；求出内心所在的直线，求得斜率之比为定值，可判断选项D.
【详解】因为点为双曲线右支上一点，所以，且.
若为等腰直角三角形，则.
由，得，即.
对于A，因为离心率，所以，所以选项A正确；
对于B，因为，所以不可能为等边三角形，所以的内心与外心不可能重合，所以选项B不正确；
对于C，设的外接圆的半径为R，则，即.
当，即时，半径R取得最小值c，的外接圆的面积取到最小值.
此时，，所以的面积为.所以选项C正确；
对于D，设点是的内心，过点分别作的垂线，垂足为，
则，所以.
所以点是双曲线的右顶点，点在直线上.
设，则直线的斜率之比为，为常数.所以选项D正确.
故选：ACD.
题型06 双曲线的渐近线
解｜题｜策｜略 双曲线渐近线的一些性质： 双曲线的焦点到渐近线的距离为. 以两焦点为直径的圆与双曲线的渐近线相交，第一象限的交点坐标. 过双曲线上点作两渐近线的平行线，，它们和渐近线围成的平行四边形的面积为定值 过双曲线上点作两渐近线的垂线，，则有， 过双曲线上点作双曲线的切线交两渐近线于两点，则为双曲线的渐近三角形，则P是AB的中点，且
1．（多选）（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（ ）
A． B．
C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为
【答案】ACD
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知数量积求模、双曲线的对称性、用定义求向量的数量积
【分析】由平行四边形的性质判断A；由且结合在渐近线上可求的坐标，从而可判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得，计算后可判断C的正误，或者利用并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面积后可判断D的正误.
【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限，
对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故，
故A正确；
对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且，
设，则，故，故，
由A得，故即，故B错误；
方法二：因为，因为双曲线中，，
则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则，
则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则，
方法三：在利用余弦定理知，，
即，则，
则为直角三角形，且，则，故B错误；
对于C，方法一：因为，故，
由B可知，
故即，
故离心率，故C正确；
方法二：因为，则，则，故C正确；
对于D，当时，由C可知，故，
故，故四边形为，
故D正确，
故选：ACD.
2．（2025·江西景德镇·模拟预测）双曲线，过点作的两条渐近线的平行线，分别与渐近线相交于A，B两点，则平行四边形OAPB的面积是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、求点到直线的距离、已知方程求双曲线的渐近线
【分析】先由双曲线的渐近线方程和点斜式得到方程，再联立渐近线解出点坐标，然后由两点间距离公式求出，最后计算面积即可.
【详解】渐近线方程为，
方程为，与渐近线联立，
得，；
点到的距离
所以平行四边形OAPB的面积.
故选：A.
3．（多选）（2025·河南许昌·模拟预测）已知点P为双曲线右支上一点，，为的两条渐近线，过点P分别作，，垂足依次为，且，过点作交于点，过点P作交于点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．的离心率为 B．
C．的面积为 D．
【答案】ABD
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线中的弦长、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题
【分析】对于选项A，根据渐近线方程和可求出离心率；对于选项B，根据垂直关系可判断是否为圆的直径和弦，进而判断长度大小；对于选项C，首先根据渐近线的斜率可判断出渐近线的夹角，然后可以把表示出来，最后利用三角形面积公式可求出三角形面积；对于选项D，根据余弦定理和基本不等式的性质可求出的范围.
【详解】设点，所以，
又的渐近线方程为，即，
所以，解得，
所以的离心率为，故A正确；
由题意可知，，则四点共圆，
且为该圆的一条直径，为该圆的一条弦，故，故B正确；
因为的两条渐近线的斜率分别为、，
所以的两条渐近线的夹角为，因为，则，
因为，则，同理，
所以，故C错误；
，且，由余弦定理可得：
，
当且仅当时，等号成立，故D正确.
故选：ABD.
4．（2025·云南·模拟预测）已知是双曲线右支上一点，过点作的渐近线的垂线，垂足分别为点，，且点，分别在第一、第四象限.若为坐标原点，四边形的面积为定值，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】先求出双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求出的长，进而得到四边形的面积表达式，根据面积为定值求出双曲线的离心率.
【详解】根据题意画出大致图像为：
双曲线的渐近线方程为：，即.
设，根据点到直线的距离公式可得：
.
因为直线垂直于渐近线，
所以直线的斜率分别为.
所以直线的方程为.
联立直线与渐近线的方程可求出点的坐标为：，
进而，
联立直线与渐近线的方程可求出点的坐标为：，
进而，
所以四边形的面积为：
，
因为点在双曲线上，所以，化简得，
所以四边形的面积为：.
又因为四边形的面积为定值，则，
所以，此时离心率为.
故选：A.
5．（2025·甘肃白银·二模）已知双曲线（，）的离心率为，左、右焦点分别为，，过，分别作直线AD，BC垂直于x轴，分别交E于A，D，B，C四点，且四边形ABCD的面积为．设点为双曲线C上任意一点，过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于M，N两点，记O为坐标原点，则OMN的面积为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】由离心率结合四边形ABCD的面积为，可得，将直线与渐近线方程联立可得M，N两点坐标，由可得直线l与x轴交点Q的坐标，最后由结合为双曲线C上任意一点得答案.
【详解】因，则.
将代入双曲线方程，则.
则，则由对称性可得，则，.
由题可得四边形ABCD为矩形，则四边形ABCD面积为.
从而.则.
又可得双曲线渐近线方程为：，将渐近线方程与直线l方程联立，
可得或，
则，.
令，可得直线l与x轴交点为.
则.
因为双曲线C上任意一点，则.
则.
故选：D
题型07 阿基米德三角形
解｜题｜策｜略 阿基米德三角形指圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。 1、阿基米德焦点三角形性质（弦AB过焦点F时） 性质1： 性质2：轴； 性质3： 2、阿基米德三角形一般性质（弦AB不经过焦点F时） 性质1、阿基米德三角形底边上的中线PM平行于抛物对称轴． 性质2、若阿基米德三角形的底边即弦AB过定点抛物线内部的定点，则点P的轨迹为直线记，，，M为弦AB的中点，点C为抛物线内部的定点 半代入得出切线PA，PB的方程，再得出则，则 性质3、若P点轨迹为直线，且该直线与抛物线没有公共点，则定点. 设P点坐标，半代入得出切点弦AB的直线方程，进而得出定点C的坐标 性质4、阿基米德三角形的面积的最大值为. 性质5、，
1．（多选）（2025·山东聊城·一模）设动直线与抛物线相交于，两点，分别过，作的切线，设两切线相交于点，则（ ）
A．直线经过一定点 B．抛物线的焦点为
C．点到坐标原点的距离不小于 D．的面积的最小值为
【答案】ACD
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、抛物线中的三角形或四边形面积问题、求点到直线的距离、根据抛物线方程求焦点或准线
【分析】根据直线的定点求法计算判断A，根据焦点坐标判断B，设l的方程及A、B坐标，利用导数求抛物线切线斜率及切线方程，联立两直线可得P坐标判定C，利用点到直线的距离公式、弦长公式结合幂函数的性质、三角形面积公式可判定D.
【详解】对于A：化简为，
无论为何值时，令，可得定点为，A选项正确；
对于B：的焦点在轴且，所以，所以抛物线的焦点为，B选项错误；
对于C：设，与抛物线方程联立有，
设，，有，，
由，所以的斜率分别为，
又因为,则两切线，，
联立两直线方程解得，所以，
点到坐标原点的距离为，
当时点到坐标原点的最小距离为，所以C正确；
对于D：P到l的距离为，
所以，
当时，此时取最小值，故D正确；
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：解题的关键点时应用弦长公式和点到直线距离得出面积结合二次函数最值计算求解.
2．（多选）（2025·广东清远·一模）已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点，分别以为切点作的切线，且两切线相交于点，设为坐标原点，则（ ）
A．
B．抛物线的准线与以为直径的圆相切
C．设，则
D．点位于定直线上
【答案】ACD
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、数量积的坐标表示、直线与抛物线交点相关问题
【分析】利用解析法结合方程组和韦达定理来进行计算即可判断各选项.
【详解】设过点的直线方程为：，与抛物线联立方程组，
消得：，
由可得：，
又由，
所以，故A正确；
设的中点，
则，
即中点到准线的距离为
，
假设抛物线的准线与以为直径的圆相切，则，
这显然是不成立的，故无解，所以抛物线的准线与以为直径的圆不相切，故B错误；
由
，
所以有，故C正确；
由抛物线方程或，
求导得：或，
则抛物线在点的切线方程分别为：和，
两式消得：，
，
令，则
所以，
所以交点在直线上，故D正确；
故选：ACD.
3．（多选）（2025·河北·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，C是直线上一点，过点C作抛物线的两条切线与抛物线分别切于点A，B，连接AF，BF，设直线AB与x轴交于点P，直线CF与直线AB交于点D，（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题、抛物线的焦半径公式
【分析】先设点进而得出切线方程计算求解判断A，与抛物线联立再结合抛物线定义判断B，应用角平分线定理结合数量积公式计算判断C，应用角平分线定理结合点到直线距离公式计算判断D.
【详解】设，，，
则在A，B处的两条切线可写为，
将代入可得，
所以，在直线上，即直线AB为，
与x轴的交点为，即，故A正确；
对于B，设直线的方程为，其中，
与抛物线联立可得，则，，
若成立，即成立，
由抛物线定义得，，，
所以，故B正确；
对于C，若成立，可知为的平分线，即证明，
等价于证明，即证明，
即证明，
又，，，
代入化简可得，
即，
即，故C正确；
对于D，若成立，则为的平分线，
所以点P到直线AC的距离等于点P到直线BC的距离，即，
即只有当时成立，故D错误.
故选：ABC.
4．（多选）（2025·河北保定·三模）已知抛物线C 的焦点F到准线的距离是4，经过F的直线与C交于两点，分别记C在点A，B处的切线为，，则下列说法正确的是（ ）
A．C准线方程为 B．
C． D．若 ，则
【答案】BCD
【知识点】抛物线定义的理解、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题、根据抛物线方程求焦点或准线
【分析】根据已知条件得出抛物线方程为，对选项进行逐一判断：准线方程为，判断选项A；设直线的方程为：，联立抛物线，根据韦达定理得出，联立抛物线方程得出；选项C：联立切线方程得出的坐标为，结合得出，利用两点间距离公式表示当取最小值；利用抛物线焦点弦长公式计算.
【详解】抛物线中，焦点到准线的距离为，故抛物线方程为，
焦点，准线.
选项A：准线方程为，故A错；
选项B：设直线的方程为：，联立抛物线得：
则，故B对.

选项C：抛物线方程为，设过的切线斜率为，则切线方程为：
，联立抛物线方程得：，即
，
因为为切点，方程有唯一解，
所以，结合，化简得.
所以
同理，.
联立抛物线在A、B处切线方程：，
故点的坐标为，由B知，，故点.
所以，
最小值在时取得，此时，故C对.
选项D：根据抛物线焦点弦长公式：，故D对.
故选：BCD.
5．（多选）（2025·黑龙江·模拟预测）已知抛物线的焦点为，上不同两点，，以，为切点的切线，相交于点，、、三点共线.下列说法正确的有（ ）
A．最小值为4 B．的最小值为
C．使得的直线有两条 D．
【答案】ACD
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、抛物线定义的理解、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、直线与抛物线交点相关问题
【分析】设直线，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式判断A，利用导数的几何意义表示出切线方程，即可求出点坐标，从而得到点的轨迹方程，即可判断B，利用导数求出的最小值，即可判断C，根据抛物线的定义判断D.
【详解】由题意可设直线，
与联立得：，
则，所以，，
所以
，当且仅当等号成立，所以最小值为，故A正确；
由，得，所以在点处的切线方程为，整理得：，
同理得在点处的切线方程为，
两条切线方程联立得，解得，即，
由，，三点共线得
所以点在直线上，
所以的最小值为，故B错误；
由题意可设直线，与联立得：，
则，
所以，
令，
则，
令，则，
所以在定义域上单调递增，
又，所以当时，则在上单调递减，
当时，则在上单调递增，
所以在时有最小值，此时，
所以使得的直线有两条，故C正确；
对于D选项，的准线方程为，过向准线作垂线，垂足为，
过做准线的垂线，垂足为，，，所以，
又，，同理，所以，
所以，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：C选项关键是利用导数求出，D选项关键是抛物线的定义的理解与应用.
题型08 蒙日圆
解｜题｜策｜略 蒙日圆是圆锥曲线的几何性质之一，其核心特征是： 圆锥曲线外一点作两条互相垂直的切线，切线交点的轨迹构成一个圆 。以下是具体性质和结论： 1、椭圆的蒙日圆： 2、双曲线的蒙日圆：
1．（2025·青海西宁·二模）画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆是，若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】B
【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、根据方程表示椭圆求参数的范围
【分析】根据题意，得到蒙日圆方程为，根据蒙日圆与圆只有一个公共点，结合圆与圆的位置关系，得到或，求得的值，即可得到答案.
【详解】由椭圆的方程，可得且，且蒙日圆方程为，
可得蒙日圆的圆心为原点O，半径为，
又由圆的圆心为，半径为2，
因为两圆只有一个公共点，则两圆外切或内切，
可得或，
又因为，所以或，
解得或．
故选：B．
2．（2025·湖南·模拟预测）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，、为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆离心率的取值范围为 .
【答案】
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】分析可知，直线与圆相离，利用直线与圆的位置关系可求出的取值范围，再结合椭圆离心率公式可求得椭圆的离心率.
【详解】由题意可知，圆即为椭圆蒙日圆，
因为、为椭圆上任意两点，动点满足恒为锐角，
则点在圆外，
又因为动点在直线上，则直线与圆相离，

所以，，解得，
则，即，
因此，椭圆的离心率的取值范围是.
故答案为：.
3．（多选）（2025·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在椭圆上，点A和点B处的椭圆C的切线相交于点P，延长分别交圆于，．设直线的斜率分别为．到直线的距离分别为，则下列结论正确的有（ ）
A．点P在圆O上 B．
C． D．
【答案】AD
【知识点】求点到直线的距离、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆的切线方程
【分析】本题需综合运用椭圆切线方程、向量垂直条件、点到直线距离公式及斜率关系等知识,解题步骤分为验证点P在圆上、计算距离乘积、分析斜率乘积及判断直线平行性.
【详解】对于A,由椭圆的蒙日圆性质，对于椭圆，
从椭圆上任意两点引出的切线互相垂直时，两切线交点的轨迹是以原点为圆心，
半径为的圆，所以在椭圆C：中，，
又，即，所以蒙日圆方程为，
即圆O：,所以点P在圆O上，所以A选项正确；
对于B,设，由椭圆的切点弦方程可知：直线的方程为，
用点到直线距离公式计算：
，将代入化简：

所以B选项错误；
对于C,设,直线的斜率，直线的方程为，
所以直线的斜率为，则，
所以C选项错误；
对于D,如图：

设与交于点，设，的中点N，
由点差法可知，所以，故三点共线，
所以M与N重合，
易知和都是直角三角形，故过圆心O，
由直角三角形的性质可知：，
则，所以，所以，
故选项D正确.
故选:AD.
（建议用时：30分钟）
1．（2025·全国·模拟预测）已知椭圆的右焦点为F，过点F且斜率为1的直线l交C于A，B两点，若，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据弦长求参数
【分析】设，，，联立与椭圆并应用韦达定理、弦长公式列方程得，结合椭圆参数关系求离心率.
【详解】设，，，则直线，

联立方程，消去y得，
则可得，，，
则，整理得，
又，则，则.
故选：B
2．（多选）（2025·四川德阳·三模）给定椭圆上有一动点（不在坐标轴上），分别是椭圆的左右焦点，的内切圆与分别切于两点，则（ ）
A．若，则椭圆的离心率为
B．动点的轨迹是一个椭圆
C．直线的斜率之积为常数
D．内切圆的面积无最大值也无最小值
【答案】ACD
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中的定值问题、轨迹问题——椭圆、求椭圆中的最值问题
【分析】若是内切圆与轴的切点，利用椭圆的定义及圆切线的性质得到判断A；若，，且，结合椭圆、角平分线、合比的性质得到、，代入椭圆方程即可得动点的轨迹，进而应用两点式求斜率判断B、C；由内切圆的半径判断D.
【详解】若是内切圆与轴的切点，，，，，
又，则，即，
所以离心率，A对；

若为延长线与轴的交点，，且，则，故，
由角平分线的性质可得，则，
所以，则，
又，则，故，
所以，故，则且，
所以动点的轨迹是一个不含轴交点的椭圆曲线，不是完整椭圆轨迹，B错；

由上分析，，，则为定值，C对；
由图，由于不在坐标轴上，而内切圆的半径在靠近轴时趋向于0，靠近轴时趋向于，
即内切圆的半径，故其面积不存在最值，D对.
故选：ACD
3．（2025·广东广州·模拟预测）设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】易得，再由，，设，可得，两边平方即可求解.
【详解】因为双曲线的渐近线的斜率小于，
所以，则，，
设，则
所以；由于，
因为，所以，则，则，
因为，所以
故选：B
4．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知，从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线方程为称为点关于椭圆的极线．如图，两个椭圆、的方程分别为和，离心率分别为、，在内，椭圆上的任意一点关于椭圆的极线为．若到的距离为定值1，则取最大值时的值为 ．
【答案】/
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】利用设动点，可得极线方程，即可求原点到极线的距离，通过距离为定值1，得到相等关系，再通过动点在椭圆上，再得相等关系，由于这两个等式恒成立，则可得系数关系，最后转化到离心率上求最值即可.
【详解】设椭圆，，则．
设椭圆，，则．
设，
由题意可得方程为：，
因为原点到直线的距离恒为1，所以．
又因为为椭圆上的点，所以，
所以，，
所以，
设，则，
，
当时，取得最大值，此时为．
故答案为：．
5．（多选）（2025·安徽·模拟预测）已知椭圆的左、右两个焦点分别是，，过点的直线与交于两点，则（ ）
A．若的中点在轴上，则
B．
C．若，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若的最小值为，则椭圆的离心率为
【答案】ABD
【知识点】数量积的坐标表示、求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】由与轴垂直，可判断A，根据平面向量的数量积和椭圆的几何性质求出离心率的范围，可判断BC；根据椭圆中过焦点的弦中通径最短求出离心率可知，D正确．
【详解】对于A：设的中点为，坐标原点为，由中位线易知，
若的中点在轴上，则与轴垂直，所以与轴垂直，
即为通径长的一半，所以，A正确；
对于B：设，，，，
，，
又，
所以，
所以，B正确，
对于C，若，
则，
即
可得，所以C错误；
由过焦点的弦中垂直于轴的弦最短，则的最小值为，
则有，即，解得，
所以，故D正确．
故选：ABD
6．（2025·四川成都·模拟预测）已知为双曲线（，）上的任意一点，过分别引其渐近线的平行线，分别交轴于点， ，交轴于点，，若恒成立，则双曲线离心率的取值范围为
【答案】
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】设点，由双曲线的渐近线斜率为，求出点与渐近线平行的直线方程，解得点坐标，进而得，利用恒成立即可求解.
【详解】设点，双曲线的渐近线斜率为，
过点与一条渐近线平行的直线方程为，
令得，令得，
同理过点与另一条渐近线平行的直线方程为，
令得，令得，
所以，
所以
，
，
由恒成立，
所以恒成立，所以，即，
所以，
所以双曲线离心率的取值范围为.
故答案为：.
7．（多选）（2025·山东青岛·二模）双曲线的左右焦点分别为，左右顶点分别为，若是右支上一点（与点不重合），如图，过点的直线与双曲线的左支交于点，与其两条渐近线分别交于两点，则下列结论中正确的是（ ）

A．存在使得
B．P到两条渐近线的距离之积为定值
C．当直线运动时，始终有
D．△内切圆的圆心的横坐标为
【答案】BC
【分析】设，计算直线的斜率，比较斜率关系即可判断A；先确定渐近线，分别计算距离求解即可判断B；设直线，然后分别联立双曲线和渐近线方程计算交点，利用弦长公式确定关系即可判断C；设内切圆与轴的切点为，与内切圆的切点分别为，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把，转化为，从而求得点的横坐标即可判断D.
【详解】双曲线的，所以，
则双曲线渐近线方程为，设，则，且，
对于A，，则，则，而，而，所以，则不存在使得，故A不正确；
对于B，点到两条渐近线的距离分别为，
故，则到两条渐近线的距离之积为定值，故B正确；
对于C，设点，
显然直线的斜率存在，设直线，且，
联立方程，所以，
所以，
直线分别与渐近线与联立得，，
得，所以有，即，
由题可知，所以，故C正确；
对于D，如图所示：

设内切圆与轴的切点为，与内切圆的切点分别为，
由双曲线的定义可得，由圆的切线长定理知，
故，即，
设内切圆的圆心横坐标为，则点的横坐标为，
故，解得，故D错误.
故选：BC.
8．（多选）（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知为坐标原点，椭圆的长轴长为4，离心率为，过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，连接并分别延长交椭圆于两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若直线的斜率分别为，则
C．若抛物线的准线与轴交于点，直线的倾斜角为，则
D．的最小值为
【答案】ACD
【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、直线与抛物线交点相关问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质
【分析】先根据条件确定椭圆的标准方程，对A选项，可结合抛物线的焦半径公式和过焦点的弦长公式判定其真假；对B选项，结合A选项中焦点弦的有关结论，可判断B的真假；对C选项，结合两角和的正切公式，可判断C的真假；对D选项，分别表示出，，结合换元法和函数的单调性，可判断D的真假.
【详解】如图：
对椭圆：，所以椭圆：；
对抛物线：，所以，.
设，.
对A选项：设直线方程为：，代入抛物线：，得：
，整理：.
所以，，
所以，
.
因为，所以，
所以 .
所以.故A正确；
对B选项：由A选项解答可知：，故B错误；
对C选项：直线的倾斜角为，即，所以直线：，即.
此时，，，所以.
，，
所以,
故C正确；
对D选项：因为直线：，由得：
，，所以，
同理，且，.
因为
，
又，
所以
设，则，
所以，.
因为在上单调递减，
所以.
所以.故D正确.
故选：ACD
9．（多选）（2025·广西·模拟预测）已知以为左右焦点的椭圆的短轴长为，点是椭圆上的一个动点，且点到的最大距离是点到的最小距离的3倍，连接，并延长与椭圆相交于点，其中说法正确的是（ ）
A．椭圆的方程为 B．三角形的面积的最大值为
C．三角形的周长为8 D．
【答案】AC
【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的定值问题
【分析】根据条件求出，可确定椭圆方程，判断A的真假；结合椭圆焦点三角形面积最大值是短轴顶点与两焦点所成的三角形的面积，可判断B的真假；利用椭圆的定义，可判断C的真假；利用特殊情况，可判断D的真假.
【详解】如图：

对于选项A，由于，可得椭圆的方程为，所以A正确；
对于选项B，，所以B错误；
对于选项C，的周长，所以C正确；
对于选项D，当直线方程为时，由通径的概念可得，
所以，所以不能恒成立，故D错误.
故选：AC
10．（多选）（2025·全国·模拟预测）已知分别为双曲线的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线．则下列正确的是（ ）
A．双曲线的方程为 B．
C． D．点到轴的距离为
【答案】BD
【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程
【分析】利用点到直线的距离公式结合题意建立方程，求解基本量，进而得到双曲线方程判断A，作出符合题意的图形，利用角平分线定理判断B，结合题意与双曲线定义得到，，再利用余弦定理求出，利用向量中线定理得到，再结合向量数量积的定义求出，最后求解判断C，先点到轴的距离，再利用等面积公式建立方程求解距离判断D即可.
【详解】对于A，因为，，
设到的距离为，由点到直线的距离公式得，
由题意得到的距离为，得到，解得，
又渐近线方程为，则，而，
联立方程组，解得，
则双曲线的方程为，故A错误．
对于B，如图，作出符合题意的图形，

因为为的平分线，所以由角平分线定理得2，故B正确，
对于C，由已知得，由双曲线定义可得，
而为在第一象限的点，可得，
则，解得，，而，
在中，由余弦定理得，
因为是的中点，所以，
则，可得，
而，
可得，解得，故C错误，
对于D，在中，由同角三角函数的基本关系得，
设点到轴的距离为，由等面积公式得，
得到，解得，故D正确．
故选：BD
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