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专题06 导数及其应用
易错点1 对导数的概念理解不到位
易错典题
【例1】（24-25高二下·全国·课后作业）如果函数在处的导数为1，那么（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
所以（易错点）．
要注意分母中x的改变量要与分子中x的改变量一致
故选：A．
【错因分析】在解题时要注意，本题容易忽略分母不是分子函数值对应自变量的差而出错.
知识混淆：把平均变化率与瞬时变化率混为一谈，错将 Δx 趋向于 0 当作 Δx=0，混淆极限与函数值。
概念模糊：不清楚导数定义中 Δx 必须双侧趋近于 0，只单侧算极限，忽略函数在该点连续这一前提。
望文生义：只从字面理解 “导数就是斜率”，不看严格极限结构，乱套公式，忽略定义式的结构与形式要求。
避错攻略
【方法总结】(1)，要注意定义式中的分母一定是分子两个函数值对应自变量的差，如果不是要通过调整系数实现对应；(2)的代数意义表示函数在处的瞬时变化率；(3)的几何意义表示曲线在处切线的斜率．
【知识链接】1.导数的概念
函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．
【解读】①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数；
②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近；
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即．
几何意义
函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．
物理意义
函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．
举一反三
【变式1-1】（25-26高三上·河北·月考）已知函数在处可导，若，则（ ）
A．27 B．2 C．3 D．7
【答案】C
【解析】因为
，
所以.
故选：C.
【变式1-2】（25-26高二上·江苏泰州·月考）设函数在处存在导数为1，则（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】由题意可知，
.
故选：D.
【变式1-3】（25-26高三上·江苏盐城·期中）已知函数，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，故，
所以，
可得，解得.
故选：A.
易错点2 错用函数的求导法则
易错典题
【例2】（2025高三·全国·专题练习）函数的导数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以
.（易错点）
注意复合函数求导时内层函数也要求导
故选：D
【错因分析】本题容易错用复合函数的求导法则而出错，要注意求导公式和求导法则的适用前提.
知识混淆：混淆四则运算与复合函数求导法则，把复合当乘积求导，漏乘内层函数导数。
概念模糊：不明确复合函数层次，分不清内外层函数，少一层或多一层求导，导致链式法则用错。
望文生义：只看表面形式直接求导，不拆解复合结构，误以为简单函数，忽略链式法则的关键步骤。
避错攻略
【方法总结】（1）复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数,即；（2）求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元.
【知识链接】1．求导的基本公式
基本初等函数 导函数
（为常数）
2．导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：；
（2）函数积的求导法则：；
（3）函数商的求导法则：，则．
3．复合函数求导数
复合函数的导数和函数，的导数间关系为：
举一反三
【变式1-1】（25-26高三上·云南昆明·期中）已知函数的导函数为，且，则（　　）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】函数，求导得，
所以.
故选：C
【变式1-2】（25-26高三上·江苏·月考）已知函数及其导函数的定义域均为，若，都为偶函数，则（ ）
A．440.5 B．441.5 C．442.5 D．443.5
【答案】C
【解析】因为为偶函数，
所以，
即，
即，
所以；
又因为是偶函数，
所以，
即，
所以，
即，
所以，
即，，
在中，令，
则有
所以；
在中，令，
可得，
在中，令，
则有，
所以；
又因为，
所以，
所以成等差数列，公差，首项为，
所以；
同理可得，
所以成等差数列，公差，首项为，
所以；
所以.
故选：C.
【变式1-3】（多选题）（25-26高二上·安徽·月考）下列计算正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】AC
【解析】，则，故A正确；
，则，故错误；
，则，故C正确；
，则，故D错误．
故选：AC
易错点3 混淆“在某点”和“过某点”切线的区别
易错典题
【例3】（24-25高三上·上海·开学考试）经过点可以作与曲线相切的不同直线共有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】D
【解析】设切点为（易错点），
易错之处是误以为点P一定是切点
，
则切线的斜率为，
又切线过点，
所以，
则，设，
则，令，
解得或，
当和时，函数单调递增，
当时，函数单调递减，
又，，
，，
所以存在,；；，
所以与轴有3个交点，
则经过有3条切线.
故选：D.
【错因分析】不区分点是否在曲线上，一律当作切点处理，漏设切线方程，导致少解或错解.
知识混淆:混淆切线两种题型，把 “在某点” 的直接求导当切线斜率，套用到 “过某点” 题型中.
概念模糊:不清楚 “在某点” 点必为切点，“过某点” 点不一定在曲线上，也不一定是切点.
望文生义:只看字面 “切线过点”，不理解几何意义，直接用该点导数当作斜率求解.
避错攻略
【方法总结】1.利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：
（1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．
（2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．
（3）曲线“在”点处的切线与“过”点的切线的区别：曲线在点处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为，是唯一的一条切线；曲线过点的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
2.利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围．
3.求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
（1）注意曲线上横坐标的取值范围；
（2）谨记切点既在切线上又在曲线上．
结合数轴或Venn图，将集合表示出来，数形结合确定区间端点的取舍.
【知识链接】1．在点P的切线方程
切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．
2．过点P的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）
【注意】在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
举一反三
【变式3-1】（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的一条切线，则 .
【答案】
【解析】法一：对于，其导数为，
因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2，
令，即，解得，
将代入切线方程，可得，
所以切点坐标为，
因为切点在曲线上，
所以，即，解得.
故答案为：.
法二：对于，其导数为，
假设与的切点为，
则，解得.
【变式3-2】（25-26高三上·辽宁·月考）过原点作曲线的两条切线，，切点分别为，，则的面积为（ ）
A．16 B．15 C．10 D．5
【答案】A
【解析】解法一：因为，所以，
设切点，所以在处的切线斜率，
所以在处的切线方程为，
又点在曲线上，所以，
所以在处的切线方程为，
因为此切线过点，所以），
解得，即，当时，，当时，，
所以不妨设，所以直线的方程为，
整理得，又到的距离，
则.
解法二：过原点且斜率不存在的直线为易知它与曲线相交，
故过原点且与曲线相切的直线斜率存在，
设切线方程为，切点为，，联立，
整理得0，令，得或，
由，得，所以，
当时，，当时，，
不妨设，所以，
所以直线的方程为，即0，
又到的距离，则.
故选：A
【变式3-3】(25-26高三上·重庆·月考）已知函数有两条切线经过，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】首先设切点、写切线方程，然后代入定点得参数与切点的方程，转化为函数交点问题，最后构造函数，分析其单调性与极值.
【解析】设切点为，的导数，故切线斜率.
设切线方程为
将，代入切线方程得
化简得
令，，即与有两个交点.
，令得.
时，单调递减；时，单调递增.
所以极小值，
的图象如图，
要使与有两个交点，则
解得.
故答案为：
易错点4 利用导数求函数单调区间忽略定义域
易错典题
【例4】（24-25高二下·福建泉州·月考）函数的单调减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数的定义域为，
，
由得，所以的单调减区间为.（易错点）
注意此函数的定义域不是R
故选：D.
【错因分析】只求导后解不等式，不先确定函数定义域，把无意义区间也当作单调区间，结果范围扩大。
知识混淆:混淆导函数定义域与原函数定义域，误以为导数有意义即可，忽略原函数本身限制。
概念模糊:对单调区间定义不清，不知道单调区间必须是定义域的子集，直接在实数集上求解。
望文生义:只看 “单调区间” 字面，不关注自变量真实取值范围，漏写定义域导致结果错误。
避错攻略
【方法总结】（1）求函数的单调区间必须树立定义域优先的思想，即先求函数的定义域，然后再定义域上求函数的单调区间；（2）含参函数单调性讨论的分类标准：①函数类型；②开口方向；③判别式；④导数等于0有根无根；⑤两根大小；⑥极值点是否在定义域内.
【知识链接】1.函数单调性的判定方法
设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．
【解读】①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；
②在某个区间内，()是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但.
2.求可导函数单调区间的一般步骤
①确定函数的定义域；
②求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；
③把函数的间断点的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；
④确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性.
3函数在区间上单调与求函数单调区间
单调递增；单调递增；
单调递减；单调递减.
举一反三
【变式4-1】（2025·四川·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为，则，
因为，由，可得，
故函数的单调递增区间为.
故选：A.
【变式4-2】（多选题）（2026·湖北武汉·模拟预测）对于函数，则（ ）
A．函数的单调递减区间为
B．
C．若方程有6个不等实数根，则
D．对任意正实数，且，若，则
【答案】BCD
【解析】函数的定义域为，求导得，
对于A，由，得或，由，得，
因此函数的单调递减区间为和，A错误；
对于B，由A得，函数在上单调递增，，B正确；
对于C，为偶函数，当时，，
由A项知，函数的单调减区间为和，单调递增区间为，
又当时，，当时，，
当时，，时，，
当时，，当时，，时，，
函数的图象如图：

观察图象得，当且仅当时，直线与函数的图象有6个不同交点， C正确；
对于D，不妨设，由，得，即，
令函数，，
求导得，
当时，，，在上单调递增，
由，得，即，因此，
函数，求导得，当时，，在上单调递减，
而，则，即，D正确.
故选：BCD
【变式4-3】（25-26高二上·上海·月考）已知函数，则的单调增区间为
【答案】
【解析】由，得.
所以函数的定义域为.
.
因为，所以不等式恒成立.
因为，所以恒成立，所以是增函数.
所以的单调增区间是.
易错点5 混淆极值点与导数等于零的点的区别
易错典题
【例5】（25-26高三上·吉林长春·阶段练习）若是函数的极小值点，则的极大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得，
又是函数的极小值点，所以，解得或（易错点），
注意：可导函数在极值点处的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点
当时，，
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
即是的极大值点，不符合题意，故舍去(易错点)；
需注意检验，极值点不一定是极大值点
当时，，
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
即是的极大值点，是的极小值点，符合题意，
此时，
所以的极大值为.
故选：D
【错因分析】导数等于零点的点不一定是函数的极值点，对于可导函数而言，其极值点应满足两个条件，一是导数等于零，二是在极值点两边导函数的符号相反.
知识混淆：把导数为 0 与极值点等价混用，忽略导数为 0 只是必要条件，不是充分条件。
概念模糊：不判断导数左右符号是否改变，直接将导数为 0 的点当作极值点，误判增减性。
望文生义：只从字面认为 “导数为 0 就是极值”，不检验两侧单调性，导致多写.
避错攻略
【方法总结】（1）①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．
（2）①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
在写出含有一个量词的命题的否定时，只需先变量词，再否定结论即可.
【知识链接】1．函数的极值
函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．
2．求可导函数极值的一般步骤
第一步：先确定函数的定义域；
第二步：求导数；
第三步：求方程的根；
第四步：检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．
举一反三
【变式5-1】（多选）（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数有两个极值点，则（ ）
A．
B．当时，有三个零点
C．当时，仅有一个零点
D．
【答案】BCD
【解析】对于A，由，得，
因为函数有两个极值点，
所以有两个不等的实数根，
即有两个不等的实数根，
所以，解得或，故A错误；
对于B，当时，二次函数与轴有两个不同的交点，开口向上，
当时，；当，；当，，
所以是极大值，是极小值，又，则可得有三个零点.
同理可得当时，有三个零点，故B正确；
对于C，当时，由B可知是极小值，又，所以，
此时极大值，所以函数在，函数从递增到有1个零点，
其余区间内无零点，
同理可得当时，函数仅有一个零点，
综上所述：当时，仅有一个零点，故C正确；
对于D，由韦达定理可得，
，
又，
所以，故D正确.
故选：BCD.
【变式5-2】（2026·安徽黄山·一模）若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由，求导可得
令，可得：或，
当时，即，恒成立，在定义域上单调递减，不符合题意；
当时，因为，所以，
由，得，由，得或，
即在和单调递减，在单调递增，
即函数在处取得极小值，不符合题意；
当时，因为，所以，
由，得，由，得或，
即在和单调递减，在单调递增，
即函数在处取得极大值，符合题意；
综上实数的取值范围为，
【变式5-3】（2025高三上·重庆·专题练习）已知函数在处取得极值．
(1)求的值；
(2)若对任意，都有成立，（其中是函数的导函数），求实数的取值范围．
【解析】（1）由题设可得，在处取得极值，
所以，即，解得，，
经检验知，，满足题设条件．
（2）由（1）得，，
在上恒成立，
即在上恒成立，
设，
则，，，
则
①当，即时，，
，在上单调递增，
，即当时，满足题设条件．
②当，即时，
设，是方程的两个实根，且，
由可知，
由题设可知，当且仅当，即，即，即时，
对任意的有，即在上恒成立，
在上单调递增，，时，也满足条件，
综上，的取值范围为.
易错点6 已知单调性求参数时混淆条件
易错典题
【例6】（24-25高三上·山东临沂·期中）若函数的单调递减区间恰为，则实数a的值为 ．
【答案】
【解析】由题意得，，
∵函数的单调递减区间恰为，
即的解集为，（易错点）
注意单调递减区间为[-1,4]与在区间[-1,4]上递减是有区别的
∴所以和4是的两根，
∴．
【错因分析】本题易混淆f(x)在区间D上单调和f(x)的单调区间是D的区别而出错.
知识混淆:将导数非负（非正）的解集与题目所给区间等同，忽略子集与全集的逻辑关系。
概念模糊:不理解单调区间是导数符号不变的最大范围，误把任意子区间当作完整单调区间。
望文生义:只看字面 “单调区间”，不辨析 “在… 上单调” 与 “单调区间是…” 的范围差异，直接列等式.
避错攻略
【方法总结】已知函数的单调性求参数时，要注意以下几点：（1）熟悉基本函数的单调性。
（2）注意下列二者之间的区别：函数在区间I上单调递增（减）；函数的单调递增（减）区间是D.
注意：其中 .
（3）首先明确已知函数的单调性；然后根据已知条件列出关于所求参数的不等式，正确解出含参数的不等式，结果要用集合或区间的形式表示出来.
【知识链接】1.可导函数f(x)在某区间上单调
（1）可以转化为在给定区间上恒成立；
（2）给定的区间是原函数单调递增区间（或递减区间）的子区间，利用集合间关系求解
2.可导函数f(x)在某区间上不单调
（1）可转化为f'(x)在给定区间上有正有负，即在给定区间上有实根（必要条件），且有不等实根（充分条件）；
（2）可以通过求函数值域的方法解决.
（3）可以利用根的分布方法解决.
3可导函数f(x)在某区间上存在单调区间，转化为（或）有解问题.
举一反三
【变式6-1】（25-26高三上·江西·月考）若函数有唯一极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为只有1个极值点，所以，，
由，得，设，，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
且，，当时，，当时，，
当 时，直线 与 的图象仅在 区间有1个交点，
且该交点为变号零点（ 在 单调递减），则只有1个极值点，
当 时，直线 与 的图象有3个交点，则有3个极值点，
当 时，直线 与 的图象无交点，无极值点，
所以当时有唯一极值点，
综上，实数 的取值范围是.
【变式6-2】（25-26高二上·陕西榆林·期末）已知函数，若为的极小值点，则实数的值为（ ）
A． B．1 C．3 D．1或3
【答案】B
【解析】函数，定义域为.
所以.
由题可知，，即，所以或.
当时，.
令，则或；令，则.
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以在处取得极小值.
当时，.
令，则或；令，则.
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以在处取得极大值.
综上，实数的值为.
故选：B.
【变式6-3】（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）若函数在处取得极大值3，则在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，所以，
因为函数在处取得极大值3，
所以，
所以，，
令，解得或，
当变化时，在的变化情况如表所示，
0
12 极小值
所以根据上表可知，在上的值域为，
故选：D
易错点7 判断函数零点个数时画图出错
易错典题
【例7】（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，若有两个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若有两个零点，则有两个解，
等价于有两个解，因为，，所以，
令，原式等价于有两个解，
因为，则当时，所以在上单调递增，
所以有两个大于零的解.（易错点）
注意定义域：x不能为负
解，可得，令，
则，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，且，
的图象如图：（易错点）
当x趋近于正无穷大时，趋近于0，而不是趋近于负无穷大
所以当时，有两个交点，即有两个零点.
故选：A
【错因分析】利用导数研究函数的图象变化时一定要区分图象趋向无穷时，是趋近无穷还是趋近于一个常数.
知识混淆：混淆函数单调性与极限趋势，只靠导数判断增减，忽略渐近线与极限，把有水平渐近线的图象画错。
概念模糊：对极限、渐近线概念理解不清，不会判断 x→±∞ 时的函数趋势，图象走势把握不准。
望文生义：只看函数表达式表面，不计算两端极限，凭主观想象画图，误判趋势与零点个数。
避错攻略
【方法总结】1．判断函数y=f（x）的零点个数时，常用以下方法：
（1）解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，判断函数零点的个数；
（2）根据函数的性质结合已知条件进行判断；
（3）通过数形结合进行判断，画函数图象，观察图象与轴交点的个数来判断．
2．已知函数有零点（方程有根），求参数的取值范围常用的方法：
方法1：直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
方法2：分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值域问题加以解决．
方法3：数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再数形结合求解．
【知识链接】1．判断函数y=f（x）在某个区间上是否存在零点，主要利用函数零点的存在性定理进行判断．首先看函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，然后看是否有．若有，则函数在区间内必有零点．
2.利用导数研究函数的图象变化时一定要区分图象趋向无穷时，是趋近无穷还是趋近于一个常数.
举一反三
【变式7-1】（2026·江西新余·一模）已知在上有两个不同零点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由可得，
故等式可变形为，
等式两边同时乘以可得，
若，对任意的，，则，故，
所以，但，等式不成立，不符合题意，所以，
构造函数，其中，则，
所以函数在上为增函数，
由可得，
所以，参变分离得，
构造函数，其中，则，
当时，，即函数在上单调递增，
当时，，即函数在上单调递减，
所以函数的极大值为，
又因为，，且，如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点，
因此实数的取值范围是.
故选：D.
【变式7-2】（25-26高三上·山东淄博·期末）设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题知，，函数恰有两个零点，
因为当时，，
所以是函数的一个零点，
又当时，由可得，
所以当时，与的图象必有一个交点，
由于，
当时，，则恒成立，
所以函数在上单调递增，
当时，，则，
当时，，
当时，，
所以当时，单调递减，当时，单调递增，
所以当时，有最小值为，
所以，函数图象如图：
由图可知，若与，图象必有一个交点，则，
故选：A.
【变式7-3】（2026·河南洛阳·模拟预测）定义在上的奇函数满足：，当时，，则函数的零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】令且定义域为R，则，
所以为偶函数，在上，
所以在上单调递减，结合偶函数的对称性知，其在上单调递增，
由，则，且，则，
由于函数
由的零点个数等价于与的交点个数，函数大致图象如下，

函数关于对称，且时，，
在、上分别单调递减、单调递增，
显然时，
在上单调递增，则时恒成立，
在上单调递减，且时,，
所以使，
综上，与的交点横坐标有，即有3个零点.
故选：D
单选题
1．（25-26高三上·湖南·开学考试）已知在上可导，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由导数的定义，可得．
故选：B．
2．（25-26高三上·甘肃白银·期末）若函数的单调递减区间为，则的值为（ ）
A．6 B．3 C．-3 D．-6
【答案】B
【分析】先求出导函数，再根据减区间求.
【解析】由题意得，
因为函数的单调递减区间为，
所以的解集为，
即方程的两根为，
所以，解得，
故选:B.
3．（25-26高三上·贵州黔东南·期中）已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
若在上单调递增，则在恒成立，
即，
令，其对称轴为，所以的最大值为，
故只需．即．
故选：D
4．（25-26高三上·陕西榆林·月考）已知函数，若是唯一的极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知，，，
因为是唯一的极值点，
所以当时，无解或解为，
设，则，
令，解得，
所以当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
又，所以，所以，
故选：A．
5．（25-26高三上·重庆·月考）过点作的切线，切点为，以为直径的圆与轴交于另一点，则到的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】由题意知，设切点为，所以切线方程为，
又切线过点，
所以，解得，
所以或，两点关于轴对称，则，
∴切线为或，
则以为直径的圆为或均交轴于，
所以到的距离.
故选：B．
6．（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数，若函数有3个零点，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
令，
将函数的零点转化为函数与图象的交点个数问题，
因为，过定点，
作出函数的图象，如图所示：
当时，函数与图象至多有2个交点，不符合题意；
当时，与必有一个交点，
所以与必有2个交点，
设过点的直线与相切于点，
因为，
所以切线的斜率为，
即有，
解得，所以切线的斜率为，所以.
故选：B.
7．（25-26高三上·广东深圳·期末）已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A．有两个极值点
B．若恒成立，则的取值范围是
C．若有两个零点，则的取值范围是
D．若有两个零点，则
【答案】C
【解析】对于A，函数的定义域为，
，
因为，，令，解得：，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以在处取得极小值点，故有1个极值点，故A错误；
对于B，若恒成立，则，
由A选项知，，解得：，故B错误；
对于C，当趋近正无穷，趋近正无穷，当趋近，趋近正无穷，
所以由A选项知要使有两个零点，则，
则，故C正确；
对于D，在和各有一个零点，
所以，
为判断D选项的真伪，下面证明，
要证，即证，
因为，即证，
又因为，故只需证，
即证
即证，
下面证明时，，
设，
则，
，
设，
所以，而，
所以，所以，
所以在单调递增，
即，所以，
令，
，
所以在单调递减，
即，所以；
综上， ，所以.故D错误.
故选：C.
8．（2026·安徽淮北·一模）已知函数及其导函数的定义域均为，若函数和均为偶函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的图象关于直线对称
C．3是的一个周期 D．
【答案】D
【解析】因为为偶函数，所以，
则，两边求导得，则，
由为偶函数，得，则，
由，，
得，则，
所以，则的周期为12，
由，令，得，即，
由，令，得，
由，令，得，即，
则，
所以，故D正确；
对于ABC，设，则，
而，则，
所以函数和均为偶函数，满足题意，
而，则的图象不关于直线对称，故A错误，
而，则的图象不关于直线对称，故B错误，
而的最小正周期为，故C错误.
故选：D
多选题
9.（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）下列求导结果正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】对A，，故A错误；
对B，，故B正确；
对C，，故C错误；
对D，，故D正确.
故选：BD.
10．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）
A． B．当时，
C．当且仅当 D．是的极大值点
【答案】ABD
【解析】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确；
对B，当时，，则，故B正确；
对C，， 故C错误；
对D，当时，，则，
令，解得或（舍去），
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
则是极大值点，故D正确；
故选：ABD.
11．（24-25高三上·贵州遵义·月考）已知函数及其导函数的定义域均为R，且，，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】在A选项中，由题意可得，，，
令，得，解得或，
若，令，则，即，
又因为，所以，选项A错误，
在B选项中，因为，则函数关于对称，
对两边求导，得，即，
令，得，所以，选项B正确，
在C选项中，因为，
令，得，所以，即为偶函数，
由和偶函数可得，，
所以是周期为6的函数，
令，得，所以，
由于周期为6，，所以，所以选项C正确，
在D选项中，由于为偶函数，故，求导可得，故，故为奇函数，因此又，故，在中，令,则，不满足要求，所以选项D错误.
故选：BC.
填空题
12．（2026·湖北孝感·一模）函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，则 ．
【答案】
【解析】根据题意可知，
则可得，令，即，
解之可得或，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以可知，，所以.
故答案为：
13．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则
【答案】
【解析】由题意有，
所以，
因为是函数极值点，所以，得，
当时，，
当单调递增，当单调递减，
当单调递增，
所以是函数的极小值点，符合题意；
所以.
故答案为：.
14．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知函数，若函数存在个零点，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】当时，，则，
由，可得；由，可得.
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
则；
当时，，，
所以，函数在上单调递增，
因为函数存在个零点，
令，可得，则直线与函数的图象有个交点，
如下图所示：

由图可知，当时，直线与函数的图象有个交点，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
15．（25-26高三上·河北衡水·月考）已知函数
(1)讨论的单调性.
(2)若对任意都有恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）由题意可得，，
当时，在恒成立，所以函数在单调递增；
当时，时，时，故函数在单调递减,在单调递增，
综上所述，当，函数在单调递增；
当时，函数在单调递减,在单调递增.
（2）因为对任意都有，所以，即，
令，，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，
故.
16．（25-26高二上·浙江舟山·期末）已知函数．
(1)若，求在处的切线方程；
(2)讨论的单调性：
(3)若在区间上存在极值，且此极值小于，求的取值范围．
【解析】（1）当时，，，
所以，.
所以在处的切线方程为：，即.
（2）因为，.
所以.
若，则在上恒成立，所以在上为减函数；
若，由，由.
所以在上为减函数，在上为增函数.
综上，时，在上为减函数；
时，在上为减函数，在上为增函数.
（3）由（2）知：，即，此时函数在处取得极小值.
由，
由，
结合，得.
故的取值范围为.
17．（25-26高三上·山东枣庄·月考）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若在区间上恰有一个零点，求的取值范围.
【解析】（1）当时，则，
因为的定义域为，且，
令，解得；令，解得；
所以在上单调递减，在上单调递增．
（2）令，可得，
因为，记，，
原题意等价于在内恰有一个零点，
因为，
当时，则，可知在单调递减，
且，所以在区间上无零点，不合题意；
当时，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，当趋近于时，趋近于，
则，解得；
综上所述：的取值范围为．
18．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线．
(1)求的最大值；
(2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方；
(3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围．
【解析】（1）设，，
由可得，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的最大值为.
（2）因为，所以直线的方程为，即，
设，，
由（1）可知，在上单调递增，而，
所以，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，且，
而当时，，所以总有，单调递增
故，从而命题得证；
（3）解法一：由题意，直线，直线，
所以，，
当时，，在上单调递增，
所以，
所以
，
由（1）可得当时，，
所以，
所以.
解法二：由可设，又，所以，即，
因为直线的方程为，易知，
所以直线的方程为,
，.
所以
,由（1）知,当时，，所以,
所以.
19．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中．
(1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点；
(2)设分别为在区间的极值点和零点.
（i）设函数.证明：在区间单调递减；
（ii）比较与的大小，并证明你的结论．
【解析】（1）由题得，
因为，所以，设，
则在上恒成立，所以在上单调递减，
，令，
所以当时，，则；当时，，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在上存在唯一极值点，
对函数有在上恒成立，
所以在上单调递减，
所以在上恒成立，
又因为，时，
所以时，
所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点.
（2）（i）由（1）知，则，，
，
则
，
，
，
即在上单调递减.
（ii），证明如下：
由（i）知：函数在区间上单调递减，
所以即，又，
由（1）可知在上单调递减，，且对任意，
所以.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题06 导数及其应用
易错点1 对导数的概念理解不到位
易错典题
【例1】（24-25高二下·全国·课后作业）如果函数在处的导数为1，那么（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
所以（易错点）．
要注意分母中x的改变量要与分子中x的改变量一致
故选：A．
【错因分析】在解题时要注意，本题容易忽略分母不是分子函数值对应自变量的差而出错.
知识混淆：把平均变化率与瞬时变化率混为一谈，错将 Δx 趋向于 0 当作 Δx=0，混淆极限与函数值。
概念模糊：不清楚导数定义中 Δx 必须双侧趋近于 0，只单侧算极限，忽略函数在该点连续这一前提。
望文生义：只从字面理解 “导数就是斜率”，不看严格极限结构，乱套公式，忽略定义式的结构与形式要求。
避错攻略
【方法总结】(1)，要注意定义式中的分母一定是分子两个函数值对应自变量的差，如果不是要通过调整系数实现对应；(2)的代数意义表示函数在处的瞬时变化率；(3)的几何意义表示曲线在处切线的斜率．
【知识链接】1.导数的概念
函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．
【解读】①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数；
②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近；
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即．
几何意义
函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．
物理意义
函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．
举一反三
【变式1-1】（25-26高三上·河北·月考）已知函数在处可导，若，则（ ）
A．27 B．2 C．3 D．7
【变式1-2】（25-26高二上·江苏泰州·月考）设函数在处存在导数为1，则（　　）
A． B． C．2 D．
【变式1-3】（25-26高三上·江苏盐城·期中）已知函数，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
易错点2 错用函数的求导法则
易错典题
【例2】（2025高三·全国·专题练习）函数的导数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以
.（易错点）
注意复合函数求导时内层函数也要求导
故选：D
【错因分析】本题容易错用复合函数的求导法则而出错，要注意求导公式和求导法则的适用前提.
知识混淆：混淆四则运算与复合函数求导法则，把复合当乘积求导，漏乘内层函数导数。
概念模糊：不明确复合函数层次，分不清内外层函数，少一层或多一层求导，导致链式法则用错。
望文生义：只看表面形式直接求导，不拆解复合结构，误以为简单函数，忽略链式法则的关键步骤。
避错攻略
【方法总结】（1）复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数,即；（2）求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元.
【知识链接】1．求导的基本公式
基本初等函数 导函数
（为常数）
2．导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：；
（2）函数积的求导法则：；
（3）函数商的求导法则：，则．
3．复合函数求导数
复合函数的导数和函数，的导数间关系为：
举一反三
【变式1-1】（25-26高三上·云南昆明·期中）已知函数的导函数为，且，则（　　）
A． B． C． D．1
【变式1-2】（25-26高三上·江苏·月考）已知函数及其导函数的定义域均为，若，都为偶函数，则（ ）
A．440.5 B．441.5 C．442.5 D．443.5
【变式1-3】（多选题）（25-26高二上·安徽·月考）下列计算正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
易错点3 混淆“在某点”和“过某点”切线的区别
易错典题
【例3】（24-25高三上·上海·开学考试）经过点可以作与曲线相切的不同直线共有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】D
【解析】设切点为（易错点），
易错之处是误以为点P一定是切点
，
则切线的斜率为，
又切线过点，
所以，
则，设，
则，令，
解得或，
当和时，函数单调递增，
当时，函数单调递减，
又，，
，，
所以存在,；；，
所以与轴有3个交点，
则经过有3条切线.
故选：D.
【错因分析】不区分点是否在曲线上，一律当作切点处理，漏设切线方程，导致少解或错解.
知识混淆:混淆切线两种题型，把 “在某点” 的直接求导当切线斜率，套用到 “过某点” 题型中.
概念模糊:不清楚 “在某点” 点必为切点，“过某点” 点不一定在曲线上，也不一定是切点.
望文生义:只看字面 “切线过点”，不理解几何意义，直接用该点导数当作斜率求解.
避错攻略
【方法总结】1.利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：
（1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．
（2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．
（3）曲线“在”点处的切线与“过”点的切线的区别：曲线在点处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为，是唯一的一条切线；曲线过点的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
2.利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围．
3.求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
（1）注意曲线上横坐标的取值范围；
（2）谨记切点既在切线上又在曲线上．
结合数轴或Venn图，将集合表示出来，数形结合确定区间端点的取舍.
【知识链接】1．在点P的切线方程
切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．
2．过点P的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）
【注意】在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
举一反三
【变式3-1】（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的一条切线，则 .
【变式3-2】（25-26高三上·辽宁·月考）过原点作曲线的两条切线，，切点分别为，，则的面积为（ ）
A．16 B．15 C．10 D．5
【变式3-3】(25-26高三上·重庆·月考）已知函数有两条切线经过，则的取值范围是 .
易错点4 利用导数求函数单调区间忽略定义域
易错典题
【例4】（24-25高二下·福建泉州·月考）函数的单调减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数的定义域为，
，
由得，所以的单调减区间为.（易错点）
注意此函数的定义域不是R
故选：D.
【错因分析】只求导后解不等式，不先确定函数定义域，把无意义区间也当作单调区间，结果范围扩大。
知识混淆:混淆导函数定义域与原函数定义域，误以为导数有意义即可，忽略原函数本身限制。
概念模糊:对单调区间定义不清，不知道单调区间必须是定义域的子集，直接在实数集上求解。
望文生义:只看 “单调区间” 字面，不关注自变量真实取值范围，漏写定义域导致结果错误。
避错攻略
【方法总结】（1）求函数的单调区间必须树立定义域优先的思想，即先求函数的定义域，然后再定义域上求函数的单调区间；（2）含参函数单调性讨论的分类标准：①函数类型；②开口方向；③判别式；④导数等于0有根无根；⑤两根大小；⑥极值点是否在定义域内.
【知识链接】1.函数单调性的判定方法
设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．
【解读】①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；
②在某个区间内，()是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但.
2.求可导函数单调区间的一般步骤
①确定函数的定义域；
②求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；
③把函数的间断点的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；
④确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性.
3函数在区间上单调与求函数单调区间
单调递增；单调递增；
单调递减；单调递减.
举一反三
【变式4-1】（2025·四川·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（　　）
A． B． C． D．
【变式4-2】（多选题）（2026·湖北武汉·模拟预测）对于函数，则（ ）
A．函数的单调递减区间为
B．
C．若方程有6个不等实数根，则
D．对任意正实数，且，若，则
【变式4-3】（25-26高二上·上海·月考）已知函数，则的单调增区间为
【答案】
【解析】由，得.
所以函数的定义域为.
.
因为，所以不等式恒成立.
因为，所以恒成立，所以是增函数.
所以的单调增区间是.
易错点5 混淆极值点与导数等于零的点的区别
易错典题
【例5】（25-26高三上·吉林长春·阶段练习）若是函数的极小值点，则的极大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得，
又是函数的极小值点，所以，解得或（易错点），
注意：可导函数在极值点处的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点
当时，，
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
即是的极大值点，不符合题意，故舍去(易错点)；
需注意检验，极值点不一定是极大值点
当时，，
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
即是的极大值点，是的极小值点，符合题意，
此时，
所以的极大值为.
故选：D
【错因分析】导数等于零点的点不一定是函数的极值点，对于可导函数而言，其极值点应满足两个条件，一是导数等于零，二是在极值点两边导函数的符号相反.
知识混淆：把导数为 0 与极值点等价混用，忽略导数为 0 只是必要条件，不是充分条件。
概念模糊：不判断导数左右符号是否改变，直接将导数为 0 的点当作极值点，误判增减性。
望文生义：只从字面认为 “导数为 0 就是极值”，不检验两侧单调性，导致多写.
避错攻略
【方法总结】（1）①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．
（2）①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
在写出含有一个量词的命题的否定时，只需先变量词，再否定结论即可.
【知识链接】1．函数的极值
函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．
2．求可导函数极值的一般步骤
第一步：先确定函数的定义域；
第二步：求导数；
第三步：求方程的根；
第四步：检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．
举一反三
【变式5-1】（多选）（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数有两个极值点，则（ ）
A．
B．当时，有三个零点
C．当时，仅有一个零点
D．
【变式5-2】（2026·安徽黄山·一模）若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为 ．
【变式5-3】（2025高三上·重庆·专题练习）已知函数在处取得极值．
(1)求的值；
(2)若对任意，都有成立，（其中是函数的导函数），求实数的取值范围．
易错点6 已知单调性求参数时混淆条件
易错典题
【例6】（24-25高三上·山东临沂·期中）若函数的单调递减区间恰为，则实数a的值为 ．
【答案】
【解析】由题意得，，
∵函数的单调递减区间恰为，
即的解集为，（易错点）
注意单调递减区间为[-1,4]与在区间[-1,4]上递减是有区别的
∴所以和4是的两根，
∴．
【错因分析】本题易混淆f(x)在区间D上单调和f(x)的单调区间是D的区别而出错.
知识混淆:将导数非负（非正）的解集与题目所给区间等同，忽略子集与全集的逻辑关系。
概念模糊:不理解单调区间是导数符号不变的最大范围，误把任意子区间当作完整单调区间。
望文生义:只看字面 “单调区间”，不辨析 “在… 上单调” 与 “单调区间是…” 的范围差异，直接列等式.
避错攻略
【方法总结】已知函数的单调性求参数时，要注意以下几点：（1）熟悉基本函数的单调性。
（2）注意下列二者之间的区别：函数在区间I上单调递增（减）；函数的单调递增（减）区间是D.
注意：其中 .
（3）首先明确已知函数的单调性；然后根据已知条件列出关于所求参数的不等式，正确解出含参数的不等式，结果要用集合或区间的形式表示出来.
【知识链接】1.可导函数f(x)在某区间上单调
（1）可以转化为在给定区间上恒成立；
（2）给定的区间是原函数单调递增区间（或递减区间）的子区间，利用集合间关系求解
2.可导函数f(x)在某区间上不单调
（1）可转化为f'(x)在给定区间上有正有负，即在给定区间上有实根（必要条件），且有不等实根（充分条件）；
（2）可以通过求函数值域的方法解决.
（3）可以利用根的分布方法解决.
3可导函数f(x)在某区间上存在单调区间，转化为（或）有解问题.
举一反三
【变式6-1】（25-26高三上·江西·月考）若函数有唯一极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（25-26高二上·陕西榆林·期末）已知函数，若为的极小值点，则实数的值为（ ）
A． B．1 C．3 D．1或3
【变式6-3】（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）若函数在处取得极大值3，则在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
易错点7 判断函数零点个数时画图出错
易错典题
【例7】（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，若有两个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若有两个零点，则有两个解，
等价于有两个解，因为，，所以，
令，原式等价于有两个解，
因为，则当时，所以在上单调递增，
所以有两个大于零的解.（易错点）
注意定义域：x不能为负
解，可得，令，
则，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，且，
的图象如图：（易错点）
当x趋近于正无穷大时，趋近于0，而不是趋近于负无穷大
所以当时，有两个交点，即有两个零点.
故选：A
【错因分析】利用导数研究函数的图象变化时一定要区分图象趋向无穷时，是趋近无穷还是趋近于一个常数.
知识混淆：混淆函数单调性与极限趋势，只靠导数判断增减，忽略渐近线与极限，把有水平渐近线的图象画错。
概念模糊：对极限、渐近线概念理解不清，不会判断 x→±∞ 时的函数趋势，图象走势把握不准。
望文生义：只看函数表达式表面，不计算两端极限，凭主观想象画图，误判趋势与零点个数。
避错攻略
【方法总结】1．判断函数y=f（x）的零点个数时，常用以下方法：
（1）解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，判断函数零点的个数；
（2）根据函数的性质结合已知条件进行判断；
（3）通过数形结合进行判断，画函数图象，观察图象与轴交点的个数来判断．
2．已知函数有零点（方程有根），求参数的取值范围常用的方法：
方法1：直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
方法2：分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值域问题加以解决．
方法3：数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再数形结合求解．
【知识链接】1．判断函数y=f（x）在某个区间上是否存在零点，主要利用函数零点的存在性定理进行判断．首先看函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，然后看是否有．若有，则函数在区间内必有零点．
2.利用导数研究函数的图象变化时一定要区分图象趋向无穷时，是趋近无穷还是趋近于一个常数.
举一反三
【变式7-1】（2026·江西新余·一模）已知在上有两个不同零点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-2】（25-26高三上·山东淄博·期末）设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2026·河南洛阳·模拟预测）定义在上的奇函数满足：，当时，，则函数的零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
单选题
1．（25-26高三上·湖南·开学考试）已知在上可导，则（　　）
A． B．
C． D．
2．（25-26高三上·甘肃白银·期末）若函数的单调递减区间为，则的值为（ ）
A．6 B．3 C．-3 D．-6
3．（25-26高三上·贵州黔东南·期中）已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高三上·陕西榆林·月考）已知函数，若是唯一的极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高三上·重庆·月考）过点作的切线，切点为，以为直径的圆与轴交于另一点，则到的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
6．（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数，若函数有3个零点，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26高三上·广东深圳·期末）已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A．有两个极值点
B．若恒成立，则的取值范围是
C．若有两个零点，则的取值范围是
D．若有两个零点，则
8．（2026·安徽淮北·一模）已知函数及其导函数的定义域均为，若函数和均为偶函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的图象关于直线对称
C．3是的一个周期 D．
多选题
9.（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）下列求导结果正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）
A． B．当时，
C．当且仅当 D．是的极大值点
11．（24-25高三上·贵州遵义·月考）已知函数及其导函数的定义域均为R，且，，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
填空题
12．（2026·湖北孝感·一模）函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，则 ．
13．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则
14．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知函数，若函数存在个零点，则的取值范围是 .
四、解答题
15．（25-26高三上·河北衡水·月考）已知函数
(1)讨论的单调性.
(2)若对任意都有恒成立，求的取值范围.
16．（25-26高二上·浙江舟山·期末）已知函数．
(1)若，求在处的切线方程；
(2)讨论的单调性：
(3)若在区间上存在极值，且此极值小于，求的取值范围．
17．（25-26高三上·山东枣庄·月考）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若在区间上恰有一个零点，求的取值范围.
18．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线．
(1)求的最大值；
(2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方；
(3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围．
19．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中．
(1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点；
(2)设分别为在区间的极值点和零点.
（i）设函数.证明：在区间单调递减；
（ii）比较与的大小，并证明你的结论．
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