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专题06 三角函数中的取值范围与最值问题
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高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 已知单调性求的取值范围 （） 题型二 已知对称性（对称轴 或 对称中心）求取值范围（） 题型三 已知零点个数求的取值范围（） 题型四 已知最值 / 极值点个数求 的取值范围（） 题型五 结合多性质（单调性 + 对称性 + 零点等）求的取值范围（） 实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）
高考中ω、φ 取值范围问题集中在选择题中档题至压轴题（5 分）：
基础知识必备：三角函数核心定义与公式：任意角三角函数定义、同角三角函数基本关系（平方关系、商数关系）、诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）。三角函数图象与性质基础：周期公式（，）、振幅与值域关联、“五点法” 画图核心步骤。单调性、对称性、零点的核心表达式：单调性：正弦函数增区间、减区间（）；对称性：对称轴满足，对称中心满足；零点：满足（）。三角恒等变换核心公式：两角和差公式、倍角公式，以及公式的逆用与变用技巧。
2026高考预测：考查重点聚焦：多性质综合（单调性 + 对称性 + 零点 / 最值）求 ω 取值范围为绝对热点，φ 的求解常与初始条件、图象过定点结合考查。 命题趋势创新： 跨模块交汇增强，可能与导数（求极值点个数）、平面向量（数量积结合单调性）融合； 应用性设问增加，结合实际场景（如振动、旋转）转化为三角函数最值或范围问题； 设问方式更灵活，如 “已知区间内零点个数的取值范围，求 ω 的范围”，强化逻辑推理能力考查。 难度梯度清晰：基础题侧重单一性质求参数，中档题考查两性质综合，压轴题聚焦多条件约束下的参数范围，突出分类讨论与数形结合能力。
重难知识汇总：①ω 的取值范围核心模型：单调性约束模型：给定区间为单调区间子集，结合区间长度≤半周期（）；②零点 / 极值点个数模型：由区间内零点（极值点）个数；③对称性约束模型：利用对称轴 / 对称中心的间隔关系（相邻对称轴间隔）锁定周期范围。φ的求解与范围约束：④由奇偶性求 φ：正弦函数为偶函数时，奇函数时（）；由图象过定点求 φ：代入已知点坐标，结合 φ 的限定范围（如）求解；φ 与 ω 的联动：通过对称性、零点条件建立 φ 与 ω 的关系式，代入其他性质约束求解。
常用技巧方法：①整体换元法：设，将复合三角函数转化为标准正弦 / 余弦函数，简化性质分析。②数形结合法：绘制三角函数图象或局部片段，直观判断区间内零点、极值点个数，辅助建立不等式。③赋值验证法：对优先赋值 0，再根据范围验证，避免漏解或多解。④区间包含法：将 θ 的取值范围转化为标准三角函数单调区间、零点区间的子集，精准建立不等式。⑤分离参数法：对含参最值问题，分离参数后转化为 “参数≤函数最大值” 或 “参数≥函数最小值” 求解。⑥端点验证法：求解范围后代入区间端点，验证性质是否成立（如单调性、零点存在性），排除矛盾解。
易错避坑提效：①忽略隐含条件：忘记的默认前提，导致范围包含负数解；φ 的限定范围（如题目给出）未充分利用。②k 值赋值不当：盲目取 k=0 导致漏解，或未根据 θ 的范围限定 k 的取值区间，引发多解。③区间端点判断错误：混淆 “闭区间” 与 “开区间” 对零点、极值点个数的影响，未验证端点是否符合条件。④整体换元失误：计算 θ 的取值范围时出错（如在区间上的范围应为，忽略 ω 正负影响）。⑤性质关系混淆：误将相邻对称轴间隔记为T（实际为），或混淆零点与极值点的周期关联。
题型一 已知单调性求的取值范围
方法点拨：
①整体换元：设，将原函数转化或，明确在给定区间内的取值范围；
②区间包含：根据单调性要求，使的取值区间是标准三角函数单调区间的子集；
③关键约束：给定区间长度不超过原函数半周期（），避免遗漏隐含条件；
④赋值验证：对k赋值（通常，特殊情况需验证），结合求解，最后端点验证合理性。
【典例01】（2025·陕西西安·二模）已知函数在上单调，则的最大值为（ ）
A． B．3 C．2 D．
【答案】B
【分析】法一：由，求得单调增区间，再结合集合包含关系即可求解，法二：由得到，再结合集合包含关系即可求解.
【详解】方法一：由正弦函数的单调性，令，
解得，
又在单调，
所以当时，，即，
解得，所以的最大值为3.
方法二：在单调，
故，
所以的最大值为3.
故选：B
【典例02】（2025·山西·三模）已知函数在上单调递减，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函数图象的特征，可得，，求解即可.
【详解】原函数为，
相当于把位于轴下方的图象翻折到上方，
则有，，
当时，.
故选：D．
【变式01】（2025·河南·模拟预测）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上单调，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正弦函数的单调性来确定参数的取值范围.
【详解】，则．
由，得．
因为在上单调，所以，得．
故选：A.
【变式02】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数的图象关于原点对称，且在上单调，在处取得极值，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据余弦型函数的奇偶性、对称性、单调性、周期性求解即可.
【详解】由题意可得函数为奇函数，所以，，
又因为在处取得极值，
即关于对称，所以，，即，，
由为奇函数且在上单调，可得在上单调，
所以的周期，所以，又，所以.
故选：B.
【变式03】（2025·辽宁·二模）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合题设和函数的周期公式可得，再根据余弦函数的性质可得，进而求解即可.
【详解】由题可知的最小正周期为，因为在区间上单调，
所以，则，解得，
当时，，
且，，
所以，解得，结合，得的取值范围为．
故选：D．
题型二 已知对称性（对称轴或对称中心）求ω、取值范围
方法点拨：
①核心公式：对称轴：；对称中心：，；
②周期关联：相邻对称轴 / 对称中心间隔为，对称轴与相邻对称中心间隔为；
③区间约束：结合对称点在给定区间内的个数，确定的取值范围，进而解出；
④代换化简：通过（对称中心）或（对称轴）消去，聚焦的求解。
【典例01】（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，且.若将的图象向左平移个单位长度后所得函数的图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意，利用辅助角公式得，其中.根据题设知，为图象的一条对称轴，结合可求得，，，再根据关于轴对称，得到，，从而求得的最小值.
【详解】由题意，知，其中.
因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以为图象的一条对称轴，所以，.
又，所以，，解得，，，
所以.将的图象向左平移个单位长度后，
得到的图象.
由的图象关于轴对称，得，，
所以，，
所以的最小值为.
故选：C.
【典例02】（2025·浙江丽水·一模）若函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则实数可以是（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】分析可知函数关于直线对称，分和两种情况，结合函数的对称性分析求解即可.
【详解】因为函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，
可知函数关于直线对称，
若，则函数关于直线对称，符合题意；
若，设，
则函数的对称轴所对应的值（）必为函数的对称轴，
又因为函数的对称轴为轴，
则，解得；
综上所述：或.
结合选项可知：A正确，BCD错误.
故选：A.
【变式01】（2025·湖南湘潭·一模）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若为奇函数，则实数φ的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先化简函数解析式，接着由平移变换得到解析式，再由奇偶性列出关于的方程，即可计算求解.
【详解】由题意可知，函数，
所以，
又为奇函数，所以，
又，所以.
故选：C
【变式02】1．（2025·北京海淀·一模）已知函数的部分图象如图所示.若四点在同一个圆上，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对称性可知为圆心，根据即可求解.
【详解】连接交轴于,
由于，，，四点在同一个圆上，且和均关于点对称，
故为圆心，故，
,,
故，解得，
故选：D
【变式03】（2025·河南·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．10 D．16
【答案】B
【分析】先根据三角函数图像的平移规则得到平移后的函数解析式，再结合正弦函数图像关于原点对称的性质，求出的表达式，最后根据选项进行判断即可.
【详解】由题意，令函数的图象向左平移个单位长度后所得函数为，
则，
又平移后得到的图象关于坐标原点对称，即函数为奇函数，
所以，解得，
当时，.
故选：B
题型三 已知零点个数求ω的取值范围
方法点拨：
①零点转化：令（），解得零点横坐标；
②周期关系：设区间长度为L，零点个数为n，则（），初步锁定范围；
③整体分析：结合正弦 / 余弦函数零点分布（每周期 2 个零点），建立不等式；
④端点验证：注意区间端点是否为零点，避免多解或漏解，最终通过整数k的取值确定的精确范围。
【典例01】（25-26高三上·广东·月考）已知函数的图象是由的图象向右平移个单位得到的．若在上仅有一个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将问题化为函数在上仅有一个零点，求出零点，然后讨论由第一个正零点在区间上，第二个正零点大于列不等式组求解可得.
【详解】由题知，函数在上仅有一个零点，
所以，所以，
令，得，即.
若第一个正零点，则（矛盾），
因为函数在上仅有一个零点，
所以，解得.
故选：A
【典例02】（2025·陕西咸阳·模拟预测）将函数（）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上恰有2个零点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】现根据三角函数变换法则求得，结合正弦函数的性质列不等式求解即可.
【详解】由题知，.
当时，，
因为在上恰有2个零点，所以，解得.
故选：C.
【变式01】（2025·江苏淮安·模拟预测）函数的图像如图所示，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由图象的最值得到的值，由两个零点求出，最后代入特殊点求得，即可得到函数解析式.
【详解】观察图象可得函数的最大值为，最小值为，又，
所以，
又∵，∴，∴，
因为时函数取最大值，
所以，，又，
∴，
∴.
故选：C.
【变式02】（25-26高三上·重庆·月考）已知将向左平移个单位得到函数的图象，若函数在区间上恰有4个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角恒等变换得，利用图像的变换得，由得，进而得，解出即可.
【详解】由题意有：，
所以，
由有，
又函数在区间上恰有4个零点，
所以，解得，即，
故选：B.
【变式03】（24-25高三上·山东潍坊·期中）已知函数，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条结论：
甲：函数的图象关于对称；
乙：函数在上单调递增；
丙：函数在区间上有3个零点；
丁：函数的图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称.
若这四位同学中恰有一人的结论错误，则该同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】对每位同学的结论进行推敲，求出对应的的取值范围或值，再对比四个结论，可得出结果.
【详解】设函数的最小正周期为.
对于甲：因为函数的图象关于对称，则；
对于乙：因为函数在上单调递增，
则，可得，又
所以，，又因为，则；
对于丙：因为函数在区间上有个零点，则，可得，
所以，，由于，则；
对于丁：因为函数的图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称.
则，即，
因为，所以，满足条件，
故丙的结论错误，此时，，则，
因为，故，所以，，
且当时，，即函数在上单调递增，
乙同学的结论正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于对每位同学的结论进行推敲，求出符合条件的的范围或值，进而判断.
题型四 已知最值/极值点个数求ω的取值范围
方法点拨：
①极值关联：最值点（极值点）对应（），且区间内极值点个数与半周期相关；
②区间长度约束：若区间内有m个极值点，则（L为区间长度）；
③范围锁定：通过的取值范围，结合正弦 / 余弦函数极值点分布（每半周期 1 个极值点）；
④最值存在性：若题目明确 “有最值无最小值” 或 “唯一最值点”。
【典例01】（2025·江苏·模拟预测）已知函数和它的导函数的部分图象如图所示，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据导数正负和函数单调性的关系得到函数的最小值和导函数的最大值即可求解.
【详解】观察函数图象发现在的左侧，，函数单调递增，
在的右侧，，函数单调递减，

所以由图函数的最小值为，解得，
故，求导得，
由图可知，故.
故选：B
【典例02】（2025·河南·三模）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角函数图象变换求出函数的解析式，根据可求出的取值范围，根据在上只有一个极大值点，可得出关于的不等式，从而可得出正整数的最大值.
【详解】将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，
得到函数的图象，则，
当时，，
因为在上只有一个极大值点，则，解得，
因为，故正整数的最大值为.
故选：D.
【变式01】（2025·湖北·模拟预测）已知函数的图像向左平移个单位后，得到的图像关于轴对称，则满足条件且最小的的值为（ ）
A．3 B． C．15 D．2
【答案】A
【分析】根据平移得出偶函数计算求得，再计算得出最小值求参.
【详解】由题设，函数为偶函数，
所以，得，
要最小，取，得，
故选：A.
【变式02】（2025高三·全国·专题练习）已知，将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位，得到函数的图象，若，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】首先将函数化简为标准三角函数形式，再根据图像变换规律得到的表达式，最后利用正弦函数的性质分析不等式的条件，求出的最小值.
【详解】，
将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到的图象，
从而，
因为，所以当时，取得最小值，即，，
解得，故当时，取最小值．
故选：C.
【变式03】（2025·山东·二模）将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象．若的图象关于y轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先用到函数图象平移的规律,求出的表达式. 然后根据正弦函数的性质,则在处取得对称轴，由此可列出关于的方程，进而求出的最小值.
【详解】根据函数图象平移规律，将函数的图象向左平移个单位长度，可得：.
因为的图象关于轴对称，所以是偶函数，对于正弦函数，当时函数图象关于轴对称.
那么在中，当时，，
即，可得.
当时，，此时.
故选：B.
题型五 结合多性质（单调性 + 对称性 + 零点等）求ω的取值范围
方法点拨：
①分步拆解：分别根据每个性质（单调性、对称性、零点）建立独立的不等式（组）；
②核心优先级：先利用对称性或零点求出与的关系（如），再代入单调性或极值条件；
③周期兜底：通过任意两个性质的关联（如对称轴与零点的间隔为）确定周期范围，得到的初步约束；
④交集求解：将各条件对应的范围取交集，最后代入特殊值验证（如的整数解、边界值），排除矛盾解。
【典例01】（2025·湖北黄石·二模）已知随机变量，且，若函数，将向左平移个单位后，所得函数在上单调递增，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正态分布的对称性求出，由正弦函数的图像变换及正弦函数的单调性可得，从而可求解.
【详解】因为随机变量，且，
所以，解得，
所以.
将向左平移个单位后，所得函数为.
时，，故.
因为函数在上单调递增，
所以，即，
所以.
因为，所以，解得，
所以，所以.
故选:B.
【典例02】（2025·全国·模拟预测）已知函数在上单调， ，若将曲线向右平移个单位后恰好关于轴对称，则正数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的单调区间长度可以估计周期的长度，再结合，可确定的取值，然后进行讨论检验即可得解.
【详解】因为函数，
又函数在上单调，
所以函数的最小正周期，
则，又，所以．
若，则由，
又因为，，所以此时无解．
若，则，
因为，所以．又，符合题意．
若，则，
又，，则此时无解．
综上，，所以函数图像向右平移个单位，，
由的图象关于轴对称，
所以有，
则正数的最小值为，
故选：D．
【变式01】（2025·江苏南通·三模）已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若与的图象关于y轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角恒等变换化简，根据图象变换求出的解析式，进而根据即可代入化简得求解.
【详解】因为
，
所以，
因为与关于y轴对称，则，，
，得，，
所以的最小值为.
故选：C.
【变式02】（2025·天津·模拟预测）已知．给出下列判断：
①若，且，则；
②若在恰有9个零点，则的取值范围为；
③存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称；
④若在上是增函数，则的取值范围为．
其中，判断正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】首先对函数进行化简，然后分别针对每个判断，利用三角函数的周期、零点、对称轴以及单调性等性质和条件列出式子求解，判断正确性.
【详解】根据二倍角余弦公式，对进行化简可得：
.
对于①：
已知，，且，则，为函数的周期.
根据正弦函数周期公式，由可得，解得，所以①错误.
对于②：
令，则（），解得（）.
若在恰有9个零点，令，则.
解第一个不等式：
，，，解得.
解第二个不等式：
，，，解得.
所以的取值范围是，②正确.
对于③：
的图象向右平移个单位长度后得到的图象.
若该图象关于轴对称，则（），
，（）。
当时，，不存在满足条件，所以③错误。
对于④：
令（），解关于的不等式得：
（）.
若在上是增函数，则
解第一个不等式得：，，；
解第二个不等式得：，，，又，
所以的取值范围是，④错误.
综上，只有②正确，正确的个数是1个，答案是A.
故选：A.
【变式03】（25-26高三上·天津武清·月考）已知定义在上的函数在上有且仅有3个零点，其图象关于点和直线对称，给出下列结论：①；②函数在上有且仅有3个最值点；③函数在上单调递增；④函数的最小正周期是2；⑤函数右移个单位是奇函数，则.其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据给定性质求出函数的解析式，再结合正弦函数的图象性质逐一判断得解.
【详解】由函数的图象关于点对称，得，
由函数的图象关于直线对称，得，
则，即，
由函数在上有且仅有3个零点，得，即，
于是，，由，得，
而，因此，，
对于①，，①错误；
对于②，令，得，令，得，
因此函数在上有且仅有3个最值点，②正确；
对于③，由，得，
因此在上单调递增，③正确；
对于④，函数的最小正周期，④错误；
对于⑤，函数右移个单位，得，
由是奇函数，得，解得，⑤错误，
所以所有正确的结论个数为2.
故选：B
（限时训练：15分钟）
1． （2025·江苏镇江·模拟预测）已知点在函数的图象上，若恒成立，且在区间上单调，则（ ）
A．3 B．6 C．12 D．
【答案】A
【分析】由题可得在上单调递增，且，得，得解.
【详解】因为点在函数的图象上，所以，
由，则，且在上单调递减，
所以在上单调递增，由余弦型函数的对称性易知，
所以，即，故.
故选：A.
2． （2025·陕西西安·模拟预测）已知函数的图像向左平移个单位后，得到的图像，若，的图像关于轴对称，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的平移变换和对称性可得，再利用余弦函数的周期性列式求解即可.
【详解】由题意可得，
因为，的图像关于轴对称，
则，
所以，，解得，，
又，所以的最小值为4，
故选：A
3．（2025·湖南·模拟预测）已知函数的最小正周期为T，且，函数为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正弦型最小正周期公式，结合奇函数的性质进行求解即可.
【详解】由，
因为函数为奇函数，
所以有，则，
所以，
故选：B
4．（24-25高三·河南焦作·月考）已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用余弦函数图象和性质结合零点个数可得，解不等式即可得出答案.
【详解】，
令，因为，所以，
令可得，，
因为在上有且仅有2个零点，所以，
解得．
故选：C．
5.（2025·天津·一模）已知是函数图象的一个对称轴，则下列说法错误的是（ ）
A．是函数图象的一个对称中心
B．函数的图象可由图象向左平移个单位长度得到
C．函数在区间上单调递减
D．函数在区间上有且仅有一个零点
【答案】D
【分析】根据题意，求得，结合正弦型函数的图象与性质，逐项分析求解，即可得到答案.
【详解】由是函数图象的一个对称轴，
可得，可得，即，
因为，所以，所以，
对于A中，由，
所以是函数图象的一个对称中心，所以A正确；
对于B中，将函数图象向左平移个单位长度得到，所以B正确；
对于C中，由，可得，
因为函数在上单调递减，所以在区间上递减，所以C正确；
对于D中，，可得，
当时，即时，可得，即是的一个零点；
当时，即时，可得，即是的一个零点，
所以函数在上有两个零点，所以D错误.
故选：D.
6 （2025·天津河北·二模）已知函数（，，）的部分图象如图所示，给出下列结论：
①； ②当时，；
③函数的单调递减区间为，；
④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先根据图象，求出函数的解析式，在结合正弦函数的图象和性质，逐项分析，即可得到答案.
【详解】由图象可知：，.
由，又，所以.
所以.
因为，故①正确；
当时，，所以，所以，故②正确；
由，，，
所以函数的单调递减区间为，.故③正确；
将的图象向右平移个单位，得到的图象，故④错误.
故选：C
7（2025·河北·模拟预测）已知函数在上单调递减，在上单调递增，且圆内恰好包含的三个极值对应的点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由函数单调性得到函数的对称轴，由函数单调区间得到周期的范围，从而得到的值得到函数解析式，由图像得到距离最大和距离最小的点，则可以求出半径的范围.
【详解】由已知在处取得最小值，
，，解得，
∵函数在上单调递减，
，即，，
当时，，，符合条件，
.
由图像知轴右侧包含两个极值对应的点，左侧包含一个极值对应的点，
的取值范围是大于原点右侧第二个极值对应的点到原点的距离，小于等于原点左侧第二个极值对应的点到原点的距离，即，
故选：B.
8（2025·广东清远·二模）已知函数在内恰有3个最值点和3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式化简后，根据正弦函数的图象与性质列出不等式求解即可.
【详解】因为，
且当时，，
因为函数在内恰有3个最值点和3个零点，
所以，解得，
故选：D．
9（2024·天津河西·一模）已知函数，若将函数的图象平移后能与函数的图象完全重合，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．将的图象向右平移个单位长度后，得到的函数图象关于轴对称
C．当取得最值时，
D．当时，的值域为
【答案】D
【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简函数解析式，再依题意求出，最后根据正弦函数的性质一一分析即可.
【详解】因为
，
又因为将函数的图象平移后能与函数的图象完全重合，且，
所以，解得，
所以，
所以的最小正周期，故A错误；
将的图象向右平移个单位长度得到，
又为奇函数，函数图象不关于轴对称，故B错误；
令，，解得，，
令，，解得，，
所以当取得最大值时，，
当取得最小值时，，
则当取得最值时，，故C错误；
当时，所以，
即当时，的值域为，故D正确；
故选：D
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题06 三角函数中的取值范围与最值问题
目录
高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 已知单调性求的取值范围 （） 题型二 已知对称性（对称轴 或 对称中心）求取值范围（） 题型三 已知零点个数求的取值范围（） 题型四 已知最值 / 极值点个数求 的取值范围（） 题型五 结合多性质（单调性 + 对称性 + 零点等）求的取值范围（） 实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）
高考中ω、φ 取值范围问题集中在选择题中档题至压轴题（5 分）：
基础知识必备：三角函数核心定义与公式：任意角三角函数定义、同角三角函数基本关系（平方关系、商数关系）、诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）。三角函数图象与性质基础：周期公式（，）、振幅与值域关联、“五点法” 画图核心步骤。单调性、对称性、零点的核心表达式：单调性：正弦函数增区间、减区间（）；对称性：对称轴满足，对称中心满足；零点：满足（）。三角恒等变换核心公式：两角和差公式、倍角公式，以及公式的逆用与变用技巧。
2026高考预测：考查重点聚焦：多性质综合（单调性 + 对称性 + 零点 / 最值）求 ω 取值范围为绝对热点，φ 的求解常与初始条件、图象过定点结合考查。 命题趋势创新： 跨模块交汇增强，可能与导数（求极值点个数）、平面向量（数量积结合单调性）融合； 应用性设问增加，结合实际场景（如振动、旋转）转化为三角函数最值或范围问题； 设问方式更灵活，如 “已知区间内零点个数的取值范围，求 ω 的范围”，强化逻辑推理能力考查。 难度梯度清晰：基础题侧重单一性质求参数，中档题考查两性质综合，压轴题聚焦多条件约束下的参数范围，突出分类讨论与数形结合能力。
重难知识汇总：①ω 的取值范围核心模型：单调性约束模型：给定区间为单调区间子集，结合区间长度≤半周期（）；②零点 / 极值点个数模型：由区间内零点（极值点）个数；③对称性约束模型：利用对称轴 / 对称中心的间隔关系（相邻对称轴间隔）锁定周期范围。φ的求解与范围约束：④由奇偶性求 φ：正弦函数为偶函数时，奇函数时（）；由图象过定点求 φ：代入已知点坐标，结合 φ 的限定范围（如）求解；φ 与 ω 的联动：通过对称性、零点条件建立 φ 与 ω 的关系式，代入其他性质约束求解。
常用技巧方法：①整体换元法：设，将复合三角函数转化为标准正弦 / 余弦函数，简化性质分析。②数形结合法：绘制三角函数图象或局部片段，直观判断区间内零点、极值点个数，辅助建立不等式。③赋值验证法：对优先赋值 0，再根据范围验证，避免漏解或多解。④区间包含法：将 θ 的取值范围转化为标准三角函数单调区间、零点区间的子集，精准建立不等式。⑤分离参数法：对含参最值问题，分离参数后转化为 “参数≤函数最大值” 或 “参数≥函数最小值” 求解。⑥端点验证法：求解范围后代入区间端点，验证性质是否成立（如单调性、零点存在性），排除矛盾解。
易错避坑提效：①忽略隐含条件：忘记的默认前提，导致范围包含负数解；φ 的限定范围（如题目给出）未充分利用。②k 值赋值不当：盲目取 k=0 导致漏解，或未根据 θ 的范围限定 k 的取值区间，引发多解。③区间端点判断错误：混淆 “闭区间” 与 “开区间” 对零点、极值点个数的影响，未验证端点是否符合条件。④整体换元失误：计算 θ 的取值范围时出错（如在区间上的范围应为，忽略 ω 正负影响）。⑤性质关系混淆：误将相邻对称轴间隔记为T（实际为），或混淆零点与极值点的周期关联。
题型一 已知单调性求的取值范围
方法点拨：
①整体换元：设，将原函数转化或，明确在给定区间内的取值范围；
②区间包含：根据单调性要求，使的取值区间是标准三角函数单调区间的子集；
③关键约束：给定区间长度不超过原函数半周期（），避免遗漏隐含条件；
④赋值验证：对k赋值（通常，特殊情况需验证），结合求解，最后端点验证合理性。
【典例01】（2025·陕西西安·二模）已知函数在上单调，则的最大值为（ ）
A． B．3 C．2 D．
【典例02】（2025·山西·三模）已知函数在上单调递减，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式01】（2025·河南·模拟预测）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上单调，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式02】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数的图象关于原点对称，且在上单调，在处取得极值，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【变式03】（2025·辽宁·二模）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型二 已知对称性（对称轴或对称中心）求ω、取值范围
方法点拨：
①核心公式：对称轴：；对称中心：，；
②周期关联：相邻对称轴 / 对称中心间隔为，对称轴与相邻对称中心间隔为；
③区间约束：结合对称点在给定区间内的个数，确定的取值范围，进而解出；
④代换化简：通过（对称中心）或（对称轴）消去，聚焦的求解。
【典例01】（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，且.若将的图象向左平移个单位长度后所得函数的图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【典例02】（2025·浙江丽水·一模）若函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则实数可以是（　　）
A． B． C．2 D．
【变式01】（2025·湖南湘潭·一模）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若为奇函数，则实数φ的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式02】1．（2025·北京海淀·一模）已知函数的部分图象如图所示.若四点在同一个圆上，则（ ）
A．1 B． C． D．
【变式03】（2025·河南·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．10 D．16
题型三 已知零点个数求ω的取值范围
方法点拨：
①零点转化：令（），解得零点横坐标；
②周期关系：设区间长度为L，零点个数为n，则（），初步锁定范围；
③整体分析：结合正弦 / 余弦函数零点分布（每周期 2 个零点），建立不等式；
④端点验证：注意区间端点是否为零点，避免多解或漏解，最终通过整数k的取值确定的精确范围。
【典例01】（25-26高三上·广东·月考）已知函数的图象是由的图象向右平移个单位得到的．若在上仅有一个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例02】（2025·陕西咸阳·模拟预测）将函数（）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上恰有2个零点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式01】（2025·江苏淮安·模拟预测）函数的图像如图所示，则（ ）

A． B．
C． D．
【变式02】（25-26高三上·重庆·月考）已知将向左平移个单位得到函数的图象，若函数在区间上恰有4个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式03】（24-25高三上·山东潍坊·期中）已知函数，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条结论：
甲：函数的图象关于对称；
乙：函数在上单调递增；
丙：函数在区间上有3个零点；
丁：函数的图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称.
若这四位同学中恰有一人的结论错误，则该同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
题型四 已知最值/极值点个数求ω的取值范围
方法点拨：
①极值关联：最值点（极值点）对应（），且区间内极值点个数与半周期相关；
②区间长度约束：若区间内有m个极值点，则（L为区间长度）；
③范围锁定：通过的取值范围，结合正弦 / 余弦函数极值点分布（每半周期 1 个极值点）；
④最值存在性：若题目明确 “有最值无最小值” 或 “唯一最值点”。
【典例01】（2025·江苏·模拟预测）已知函数和它的导函数的部分图象如图所示，则（ ）

A． B． C． D．
【典例02】（2025·河南·三模）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式01】（2025·湖北·模拟预测）已知函数的图像向左平移个单位后，得到的图像关于轴对称，则满足条件且最小的的值为（ ）
A．3 B． C．15 D．2
【变式02】（2025高三·全国·专题练习）已知，将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位，得到函数的图象，若，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【变式03】（2025·山东·二模）将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象．若的图象关于y轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型五 结合多性质（单调性 + 对称性 + 零点等）求ω的取值范围
方法点拨：
①分步拆解：分别根据每个性质（单调性、对称性、零点）建立独立的不等式（组）；
②核心优先级：先利用对称性或零点求出与的关系（如），再代入单调性或极值条件；
③周期兜底：通过任意两个性质的关联（如对称轴与零点的间隔为）确定周期范围，得到的初步约束；
④交集求解：将各条件对应的范围取交集，最后代入特殊值验证（如的整数解、边界值），排除矛盾解。
【典例01】（2025·湖北黄石·二模）已知随机变量，且，若函数，将向左平移个单位后，所得函数在上单调递增，则（ ）
A． B． C． D．
【典例02】（2025·全国·模拟预测）已知函数在上单调， ，若将曲线向右平移个单位后恰好关于轴对称，则正数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式01】（2025·江苏南通·三模）已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若与的图象关于y轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式02】（2025·天津·模拟预测）已知．给出下列判断：
①若，且，则；
②若在恰有9个零点，则的取值范围为；
③存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称；
④若在上是增函数，则的取值范围为．
其中，判断正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式03】（25-26高三上·天津武清·月考）已知定义在上的函数在上有且仅有3个零点，其图象关于点和直线对称，给出下列结论：①；②函数在上有且仅有3个最值点；③函数在上单调递增；④函数的最小正周期是2；⑤函数右移个单位是奇函数，则.其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（限时训练：15分钟）
1． （2025·江苏镇江·模拟预测）已知点在函数的图象上，若恒成立，且在区间上单调，则（ ）
A．3 B．6 C．12 D．
2． （2025·陕西西安·模拟预测）已知函数的图像向左平移个单位后，得到的图像，若，的图像关于轴对称，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C． D．
3．（2025·湖南·模拟预测）已知函数的最小正周期为T，且，函数为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三·河南焦作·月考）已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5.（2025·天津·一模）已知是函数图象的一个对称轴，则下列说法错误的是（ ）
A．是函数图象的一个对称中心
B．函数的图象可由图象向左平移个单位长度得到
C．函数在区间上单调递减
D．函数在区间上有且仅有一个零点
6 （2025·天津河北·二模）已知函数（，，）的部分图象如图所示，给出下列结论：
①； ②当时，；
③函数的单调递减区间为，；
④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7（2025·河北·模拟预测）已知函数在上单调递减，在上单调递增，且圆内恰好包含的三个极值对应的点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8（2025·广东清远·二模）已知函数在内恰有3个最值点和3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9（2024·天津河西·一模）已知函数，若将函数的图象平移后能与函数的图象完全重合，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．将的图象向右平移个单位长度后，得到的函数图象关于轴对称
C．当取得最值时，
D．当时，的值域为
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