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专题05 数列（选填题）
题型01 抽象函数问题
【例1-1】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列满足，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题设，即
，且，
所以，
由满足上式，故.故选：B
【例1-2】（2025·江苏·模拟预测）已知正项等差数列满足，则（ ）
A．670 B．675 C．2025 D．4050
【答案】B
【详解】因为数列为正项等差数列，
则，即，
可得，，，，
累乘可得.故选：B.
1.累加法、累乘法
①累加法：适用于，求
具体过程：两边分别相加得；
②累乘法：适用于，求
具体过程： ，两边分别相乘得.
2.同除法及取倒数法
①形如整式，两边同时除以
②形如,则有.
所以是以为首项,为公差的等差数列,即.
3.已知或
①用消的3个步骤：①先利用求出;②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式;③注意检验时的表达式是否可以与的表达式合并.
②若等式中为与或与，则替换题目中的
4.构造法
①形如且，化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式.
①形如且化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式.
【变式1-1】（2025·山东济南·二模）已知数列的前项和为，且满足，则
【答案】
【详解】由题设，数列是首项、公差均为1的等差数列，
则，所以，
当，则，显然满足上式，
所以.故答案为：
【变式1-2】（2025·江苏苏州·三模）已知数列满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对于A，由，得，，则，A错误；
对于B，由，得，当时，，B错误；
对于CD，由，得，则，
即，则当时，，
，因此，，，
，而，C正确，D错误.故选：C
【变式1-3】（2025·河北张家口·一模）已知数列满足，且，则 .
【答案】
【详解】由题得
，
当时，符合题意，
所以，故答案为：.
题型02 数列求和问题
【例2-1】（2025·浙江台州·一模）已知等比数列满足：.设，记数列的前项和为，则（ ）
A．149 B．153 C．155 D．157
【答案】B
【详解】设等比数列的公比为，则，
则，可得，所以，
则，
所以.故选：B.
【例2-2】（2025·江西·模拟预测）已知数列满足：，，令，数列的前项和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为数列满足：，，
当时，，
当时，由可得，
两个等式作差得，所以，可得，
当时，，满足，
故当时，，
所以
，
因此，.故选：B.
1.公式法：对于等差、等比数列，直接利用前项和公式．
等差：. 等比：.
2.分组求和法：数列的通项公式为的形式，其中和满足不同的求和公式．常见于为等差数列，为等比数列或者与分别是数列的奇数项和偶数项，并满足不同的规律．
3.并项求和法
若在一个数列的前项和中，可两两结合求和，则称之为并项求和.
4.错位相减法：
数列的通项公式为或的形式，其中为等差数列，为等比数列．
5.裂项相消法：
将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项．
常用的裂项公式：
①；②；
③；④.
6.倒序相加法：如果一个数列的前项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和可用倒序相加法，如等差数列的前项和公式就是用此法推导的.
【变式2-1】（2025·江苏淮安·模拟预测）已知递增等比数列前项和为，且，则数列的前项和为 ．
【答案】
【详解】由于，则，
解得或，因为等比数列为递增数列，，所以
所以，故.
因为，
所以.故答案为：
【变式2-2】（2025·青海·模拟预测）（多选题）设数列的前项和为，已知，，记数列的前项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【详解】因为，，所以，即的偶数项均为-2，B正确．
因为，所以．
又因为，所以的奇数项均为2，A正确．
，C，D错误．
故选：AB
【变式2-3】（2025·辽宁·模拟预测）若，数列满足，则的值是（ ）
A．2024 B．4048 C．3036 D．2025
【答案】B
【详解】，，
则.
因为
令，得
；
；
；
…………
又.
故故选：B
题型03数列不等式问题
【例3-1】（2025·辽宁·模拟预测）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则使成立的的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】设等差数列的公差为，又，所以，
由，所以，所以，所以，即①，
又因为，所以②，
由①②解得，
所以，所以，
由有，即，解得，
所以使成立的的最大值是，故选：C.
【例3-2】（2025·吉林·模拟预测）已知递减的等比数列前项和为，且满足，，若恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【详解】由题可设等比数列的公比为，
因为，，所以或，
所以，，
所以为单调递增数列，为单调递减数列，
所以单调递增，故，
故若恒成立，则的最小值为.故选：D
数列与不等式的综合问题及求解策略
1.判断数列问题的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小．
2.以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值．
3.考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，有时也可通过构造函数进行证明．
【变式3-1】（2025·海南·模拟预测）数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意令，所以，对比，可得，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以，
对于任意的恒成立，即对于任意的恒成立，
即对于任意的恒成立，
显然当增大时，减小，此时增大，所以.故选：A.
【变式3-2】（2025·河南·模拟预测）已知数列满足，，若对，，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，
即，所以当时，
，所以，也满足，所以，，
所以恒成立，即，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，即，所以实数t的取值范围是，故选：A
【变式3-3】（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（ ）
A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个
【答案】B
【详解】由题意，不妨设，
三点均在第一象限内，由可知，，
故点恒在线段上，则有.即对任意的，恒成立，
令，构造函数，则，由单调递增，
又，存在，使，
即当时，，单调递减；当时，，单调递增；
故至多个零点，又由，
可知存在个零点，不妨设，且.
①若，即时，此时或.则，可知成立，
要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故，
所以有，解得；
②若，即时，此时.则，可知成立，
要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故，
所以有，解得或；
综上可知，正整数的个数有个.故选：B.
题型04 奇偶和插项数列问题
【例4-1】（25-26高三上·重庆·月考）已知数列的前项和为，且满足，则 .
【答案】350或357
【详解】当为奇数时，，则，
数列的项依次为，
数列是周期为3的数列，所以；
当为偶数时，，则，
数列的项依次为，
数列是首项为8，从第2项起周期为3的数列，
所以.
故答案为：350或357
【例4-2】（25-26高三上·河南南阳·期中）已知数列的通项公式，在每相邻两项之间插入个，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记数列的前n项和为，则成立的n的最小值为（ ）
A．35 B．36 C．37 D．38
【答案】A
【详解】由题可知，数列各项依次为：，
当时，，
当时，，
所以成立的的最小值为35.故选：A.
1.奇偶数列求和：
已知，其中的前项和为，的前项和为，的前项和为.
(2)若为偶数，则
(3)若为奇数，则
2.常见奇偶数列模型
，则直接按奇偶分开讨论.
3.数列插项问题
①在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，
记这个等差数列的公差为，则，整理的.
②在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，
记这个等比数列的公比为，则，整理的.
【变式4-1】（25-26高三上·云南昭通·月考）已知数列满足，则 ；其通项公式为 ．
【答案】
【详解】由题意知：，，，；
因，
则有，
又，故数列是以4为首项，2为公比的等比数列，
则，即，故有(为奇数)；
又，故有(为偶数)，
故.故答案为：13；.
【变式4-2】（25-26高三上·辽宁大连·月考）设数列满足（），，.在数列的任意与项之间，都插入（）个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求 .
【答案】84
【详解】因为，所以，
又，，所以数列为首项为1，公比为2的等比数列，
所以，所以当时，，，，，
所以，所以当时，，又也满足该关系，
所以数列的通项公式为；
数列中在之前共有项，
当时，，当时，，
所以.
故答案为：84
【变式4-3】（2025·海南海口·模拟预测）已知数列的首项为1，是的前n项和，且，（），若存在，使得成立，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由，（）可得，
即，因
，当时符合题意，故.
若存在，使得成立.
当为奇数时，，，
由，可得，
此时，存在使得，
故，即，也即；
当为偶数时，，，
由可得，
此时，存在使得，
故，即，也即.
综上，可得实数m的取值范围为.故答案为：.
题型05 新定义问题
【例5-1】（2025·湖北武汉·模拟预测）（多选题）如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正三角形（为坐标原点）的边长为，则（ ）

A．，
B．记为的前n项和，则为
C．记为数列的前n项和，则
D．数列的前n项和为
【答案】AB
【详解】A.由题意可知为等边三角形，如图，，则，
因为点在曲线上，可得，解得或（舍），
又由题意可知为边长为的等边三角形，则，
则，可得，解得或（舍），故A正确；
B.由为边长为的等边三角形，可得，故B正确；
C.由点在曲线上，则，整理得，
由，可知，故C错误；
D.当时，可得，所以，
可化为，
因为，则，所以，
又因为，符合上式，故，
则数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以数列的通项公式为，所以，故D错误.
故选：AB
【例5-2】（2025·江苏南通·三模）（多选题）已知数列，设，若数列满足：存在常数，使得对于任意两两不相等的正整数，，，都有，则称数列具有性质，下列结论正确的是（ ）
A．若，则数列具有性质
B．若数列的前项和，则数列具有性质
C．若数列具有性质，则常数
D．若数列具有性质，则为等差数列
【答案】ACD
【详解】对于C，若具有性质，则①，
交换i，j的位置②，①+②，，C正确．
对于A，若，，对两两不等的正整数i，j，k
符合条件，具有性质，A正确．
对于B，，取，，，，
不具有性质，B错．
对于D，令，，记为数列的前n项和，具有性质，
，
①，
时，②，
①-②，
（且），而时，上式也成立
对恒成立，为等差数列，D正确.故选：ACD．
解答新定义型创新题的基本思路是：
（1）正确理解新定义；
（2）根据新定义建立关系式；
（3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；
（4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果．
【变式5-1】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）（多选题）在科技竞逐的舞台上，降本增效是突破创新的关键．在量子计算领域，九章量子计算机在2020年便以不到谷歌的资金实现了量子计算优越性，展现了中国科技界的卓越实力．2025年九章量子计算机在态叠加编码中提出一种分形数列模型，该模型中将量子态能量分解为连续奇数组，规律如下：
．．．
记表示第个等式中第个量子态能量值（如），研究人员发现满足：第行恰含有个连续奇数，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】选项A：，
累加可得，
所以，故A正确；
选项B：，故B正确；
选项C：，故C错误；
选项D：由B知．当时，，故，
从而有，故D正确．故选：ABD.
【变式5-2】（2025·山东·模拟预测）（多选题）若数列满足：存在，使得对任意成立，则称是“受限数列”，的最小值称为的“受限上界”.记的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是受限数列
B．若等差数列满足，，则是受限数列
C．若，则是受限数列，其受限上界为3
D．若，都是受限数列，则也是受限数列
【答案】BD
【详解】对于A，若，则，不存在，不是受限数列，故A错误；
对于B，依题意，，则，而，故，，
易知，所以，
于是，故B正确；
对于C，因为，故当时，，解得，
当时，，，
两式相减并整理，得，故，故，故，受限上界不是3，故C错误；
对于D，若，都是受限数列，则存在正数，，满足，，
注意到，
同理，，记，，
则，所以，故D正确.故选：BD.
【变式5-3】（2025·北京海淀·三模）设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“超神数列”，下列命题中，正确的有 ．
①存在递增数列，使得它是“超神数列”；
②存在周期数列，使得它是“超神数列”；
③存在等差数列，使得它是“超神数列”；
④若为等比数列，对于任意，存在，使得为超神数列．
【答案】①②④
【详解】对于①，当时，，，
，即，故①正确；
对于②，当周期数列为，周期为2，对任意的，都有，故②正确；
对于③设等差数列首项为，公差为，则，，
，对任意的恒成立，
当，是开口向上的二次函数，
当，故不符合题意；当时，，不符合题意；
当时，，也不符合题意；
综上，不存在等差数列，使得它是“超神数列”，故③错误；
对于④，设等比数列首项为，公差为，，，
当为奇数时，，则，要使，所以就符合题意；
当为偶数时，，，
又，，所以，即，
综上，当，对于任意，存在，使得为超神数列，故④正确.故答案为：①②④
1.（2025·江西·模拟预测）设数列的前项和为，已知，则（ ）
A．2024 B．2025 C． D．
【答案】B
【详解】由可得，
即，因此；
因此，
可得，
所以.故选：B
2.（2025·湖北·模拟预测）已知数列前项和为，，，，则的最大值为（ ）
A．4 B．9 C．10 D．12
【答案】B
【详解】因为中，，
当时，；
当时，，用代替得：，
两式相减得：.又，
所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以.所以，
由或.
所以数列中，有：，即数列中，最大，且.故选：B
3.（2025·重庆·三模）数列满足，则的前100项和 ．
【答案】
【详解】，
①当为偶数时，
，，，
，，…，
.
②当为奇数时，
，，，
，，…，，，
故答案为：
4.（2025·湖南益阳·三模）已知数列满足，给出定义：使数列的前k项和为正整数的k（）叫做好数，则在内的所有“好数”的和为 ．
【答案】2026
【详解】由题，
．
所以，．
因为为正整数，所以，即．
令，则．因为，所以．
因为为增函数，且，所以．
所以所有“好数”的和为．
故答案为：2026．
5.（2025·云南·模拟预测）数列满足：，且，则 .
【答案】1220
【详解】由，所以，且，
两式相减得：，
又由及，故是递增数列，，所以，
当时，，解得，又，即，
所以数列是等差数列，首项为，公差为，所以，
故.
故答案为：.
6.（2025·浙江·模拟预测）已知数列和通项公式分别为，，将数列和的公共项按照从小到大的顺序排成一个新数列，则数列的通项公式 ；
【答案】
【详解】令数列的第项与数列的第项相等，即，则，
由，
显然是3的正整数倍，由，得是3的倍数，
则，因此为正奇数，即，于是，
所以数列的通项公式.
故答案为：
7.（2025·河南·模拟预测）（多选题）已知数列满足，则（ ）
A．
B．
C．若，则的最大值为1214
D．的前36项和为1226
【答案】AC
【详解】对于A，，数列是首项，
公差为5的等差数列，，A正确；
对于B，由选项A得，
数列均为递增数列，数列中除外，其它项均不为1，B错误；
对于C，由选项B得，
当时，因此的最大值为1214，C正确；
对于D，由选项B得，因此数列的前36项和为
，D错误.
故选：AC
8.（25-26高三上·湖北·期中）（多选题）数列满足，且，数列的前项和为，从的前项中任取两项，它们的和为奇数的概率为，数列的前项积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】对于A，当时，，又，，
又，，，
的奇数项所成的数列是首项为，公差为的等差数列，
偶数项所成的数列是首项为4，公差为2的等差数列，
，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，当，时，，
又，，故D正确.故选：ACD.
9.（25-26高三上·山西·月考）（多选题）在数列的任意相邻两项之间插入这两项的和，称为对数列进行一次“和生长”，插入这两项的积，称为对数列进行一次“积生长”.例如，对数列1，4分别进行两种操作：进行一次“和生长”得到数列，两次“和生长”得到数列；进行一次“积生长”得到数列，两次“积生长”得到数列.设对数列1，4进行次“和生长”后得到的数列为，进行次“积生长”后得到的数列为.记，则（ ）
A．
B．
C．存在常数，使得数列为等比数列
D．数列的前项和
【答案】ACD
【详解】设第n次“积生长”后共插入项，即，共有个间隔，且，
则第次“积生长”后再插入项，则，
可得，且，故数列是以首项为2，公比为2的等比数列，
则，故，A正确；
对B：由题意可知：
，故，B错误；
由B，，且，
所以，且，所以，即，
又对数列1，4进行次“和生长”后得到的数列为，
，
根据题意可得第次构造后得到的数列为，
所以
即与满足的关系式为.
所以，又，则，
所以，即，，
所以，
由等比数列通项公式可知，当时，是等比数列，故C正确，
对于D，由C可知：，
所以，所以的前项和为，
则，
，
两式相减可得：，
所以，又数列前项和为，
所以数列的前项和，故D正确，
故选：ACD
10.（2025·甘肃平凉·模拟预测）（多选题）如果存在正整数，使得对任意的正整数，均有，那么称数列为“阶弱增数列”，则下列说法正确的是（ ）
A．若数列的前项和为，则数列不是“2阶弱增数列”
B．若数列满足，则数列是“阶弱增数列”
C．若数列是“阶弱增数列”且，则的最小值为4
D．已知，若存在且，使得数列是“2阶弱增数列”，则
【答案】ACD
【详解】对于A，当时，，
当时，，
所以，所以数列不是“2阶弱增数列”，故A正确；
对于B，由，得+2，所以，
又，所以是首项为，公差为2的等差数列，
所以，即，
当时，，即，不存在正整数，使得恒成立，故B错误；
对于C，因为，所以，
所以，即，所以，
当时，，
所以数列是“阶弱增数列”时，的最小值是4，故C正确；
对于D，因为，显然，
若存在且，使得数列为“2阶弱增数列”，则，
即，整理得，
所以存在且，使得对任意正整数恒成立，
当时，，
取，且，
则，不符合题意；
当时，取，则，符合题意；
当时，则，所以，
取，则，符合题意.
综上所述，若存在且，使得数列是“2阶弱增数列”，则，故D正确.
故选：ACD.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题05 数列（选填题）
题型01 抽象函数问题
【例1-1】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列满足，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【例1-2】（2025·江苏·模拟预测）已知正项等差数列满足，则（ ）
A．670 B．675 C．2025 D．4050
1.累加法、累乘法
①累加法：适用于，求
具体过程：两边分别相加得；
②累乘法：适用于，求
具体过程： ，两边分别相乘得.
2.同除法及取倒数法
①形如整式，两边同时除以
②形如,则有.
所以是以为首项,为公差的等差数列,即.
3.已知或
①用消的3个步骤：①先利用求出;②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式;③注意检验时的表达式是否可以与的表达式合并.
②若等式中为与或与，则替换题目中的
4.构造法
①形如且，化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式.
①形如且化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式.
【变式1-1】（2025·山东济南·二模）已知数列的前项和为，且满足，则
【变式1-2】（2025·江苏苏州·三模）已知数列满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2025·河北张家口·一模）已知数列满足，且，则 .
题型02 数列求和问题
【例2-1】（2025·浙江台州·一模）已知等比数列满足：.设，记数列的前项和为，则（ ）
A．149 B．153 C．155 D．157
【例2-2】（2025·江西·模拟预测）已知数列满足：，，令，数列的前项和，则（ ）
A． B． C． D．
1.公式法：对于等差、等比数列，直接利用前项和公式．
等差：. 等比：.
2.分组求和法：数列的通项公式为的形式，其中和满足不同的求和公式．常见于为等差数列，为等比数列或者与分别是数列的奇数项和偶数项，并满足不同的规律．
3.并项求和法
若在一个数列的前项和中，可两两结合求和，则称之为并项求和.
4.错位相减法：
数列的通项公式为或的形式，其中为等差数列，为等比数列．
5.裂项相消法：
将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项．
常用的裂项公式：
①；②；
③；④.
6.倒序相加法：如果一个数列的前项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和可用倒序相加法，如等差数列的前项和公式就是用此法推导的.
【变式2-1】（2025·江苏淮安·模拟预测）已知递增等比数列前项和为，且，则数列的前项和为 ．
【变式2-2】（2025·青海·模拟预测）（多选题）设数列的前项和为，已知，，记数列的前项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2025·辽宁·模拟预测）若，数列满足，则的值是（ ）
A．2024 B．4048 C．3036 D．2025
题型03数列不等式问题
【例3-1】（2025·辽宁·模拟预测）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则使成立的的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【例3-2】（2025·吉林·模拟预测）已知递减的等比数列前项和为，且满足，，若恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
数列与不等式的综合问题及求解策略
1.判断数列问题的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小．
2.以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值．
3.考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，有时也可通过构造函数进行证明．
【变式3-1】（2025·海南·模拟预测）数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2025·河南·模拟预测）已知数列满足，，若对，，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（ ）
A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个
题型04 奇偶和插项数列问题
【例4-1】（25-26高三上·重庆·月考）已知数列的前项和为，且满足，则 .
【例4-2】（25-26高三上·河南南阳·期中）已知数列的通项公式，在每相邻两项之间插入个，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记数列的前n项和为，则成立的n的最小值为（ ）
A．35 B．36 C．37 D．38
1.奇偶数列求和：
已知，其中的前项和为，的前项和为，的前项和为.
(2)若为偶数，则
(3)若为奇数，则
2.常见奇偶数列模型
，则直接按奇偶分开讨论.
3.数列插项问题
①在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，
记这个等差数列的公差为，则，整理的.
②在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，
记这个等比数列的公比为，则，整理的.
【变式4-1】（25-26高三上·云南昭通·月考）已知数列满足，则 ；其通项公式为 ．
【变式4-2】（25-26高三上·辽宁大连·月考）设数列满足（），，.在数列的任意与项之间，都插入（）个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求 .
【变式4-3】（2025·海南海口·模拟预测）已知数列的首项为1，是的前n项和，且，（），若存在，使得成立，则实数m的取值范围为 ．
题型05 新定义问题
【例5-1】（2025·湖北武汉·模拟预测）（多选题）如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正三角形（为坐标原点）的边长为，则（ ）

A．，
B．记为的前n项和，则为
C．记为数列的前n项和，则
D．数列的前n项和为
【例5-2】（2025·江苏南通·三模）（多选题）已知数列，设，若数列满足：存在常数，使得对于任意两两不相等的正整数，，，都有，则称数列具有性质，下列结论正确的是（ ）
A．若，则数列具有性质
B．若数列的前项和，则数列具有性质
C．若数列具有性质，则常数
D．若数列具有性质，则为等差数列
解答新定义型创新题的基本思路是：
（1）正确理解新定义；
（2）根据新定义建立关系式；
（3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；
（4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果．
【变式5-1】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）（多选题）在科技竞逐的舞台上，降本增效是突破创新的关键．在量子计算领域，九章量子计算机在2020年便以不到谷歌的资金实现了量子计算优越性，展现了中国科技界的卓越实力．2025年九章量子计算机在态叠加编码中提出一种分形数列模型，该模型中将量子态能量分解为连续奇数组，规律如下：
．．．
记表示第个等式中第个量子态能量值（如），研究人员发现满足：第行恰含有个连续奇数，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（2025·山东·模拟预测）（多选题）若数列满足：存在，使得对任意成立，则称是“受限数列”，的最小值称为的“受限上界”.记的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是受限数列
B．若等差数列满足，，则是受限数列
C．若，则是受限数列，其受限上界为3
D．若，都是受限数列，则也是受限数列
【变式5-3】（2025·北京海淀·三模）设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“超神数列”，下列命题中，正确的有 ．
①存在递增数列，使得它是“超神数列”；
②存在周期数列，使得它是“超神数列”；
③存在等差数列，使得它是“超神数列”；
④若为等比数列，对于任意，存在，使得为超神数列．
1.（2025·江西·模拟预测）设数列的前项和为，已知，则（ ）
A．2024 B．2025 C． D．
2.（2025·湖北·模拟预测）已知数列前项和为，，，，则的最大值为（ ）
A．4 B．9 C．10 D．12
3.（2025·重庆·三模）数列满足，则的前100项和 ．
4.（2025·湖南益阳·三模）已知数列满足，给出定义：使数列的前k项和为正整数的k（）叫做好数，则在内的所有“好数”的和为 ．
5.（2025·云南·模拟预测）数列满足：，且，则 .
6.（2025·浙江·模拟预测）已知数列和通项公式分别为，，将数列和的公共项按照从小到大的顺序排成一个新数列，则数列的通项公式 ；
7.（2025·河南·模拟预测）（多选题）已知数列满足，则（ ）
A．
B．
C．若，则的最大值为1214
D．的前36项和为1226
8.（25-26高三上·湖北·期中）（多选题）数列满足，且，数列的前项和为，从的前项中任取两项，它们的和为奇数的概率为，数列的前项积为，则（ ）
A． B． C． D．
9.（25-26高三上·山西·月考）（多选题）在数列的任意相邻两项之间插入这两项的和，称为对数列进行一次“和生长”，插入这两项的积，称为对数列进行一次“积生长”.例如，对数列1，4分别进行两种操作：进行一次“和生长”得到数列，两次“和生长”得到数列；进行一次“积生长”得到数列，两次“积生长”得到数列.设对数列1，4进行次“和生长”后得到的数列为，进行次“积生长”后得到的数列为.记，则（ ）
A．
B．
C．存在常数，使得数列为等比数列
D．数列的前项和
10.（2025·甘肃平凉·模拟预测）（多选题）如果存在正整数，使得对任意的正整数，均有，那么称数列为“阶弱增数列”，则下列说法正确的是（ ）
A．若数列的前项和为，则数列不是“2阶弱增数列”
B．若数列满足，则数列是“阶弱增数列”
C．若数列是“阶弱增数列”且，则的最小值为4
D．已知，若存在且，使得数列是“2阶弱增数列”，则
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