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专题06 圆锥曲线解答题型全析
题型01 轨迹方程问题
【例1-1】设抛物线的方程为，点在抛物线上，过M作抛物线的切线，切点分别为A，B，圆N是以线段为直径的圆.
（1）若点M的坐标为，求此时圆N的半径长；
（2）当M在上运动时，求圆心N的轨迹方程.
【详解】解：（1）设，
∴切线的方程分别为，
得的交点的坐标为，
又，
∴.
（2）∵N为线段的中点，∴，
点在上，即，
由（1）得，则，
∴，即，
∴圆心N的轨迹方程为.
【例1-2】已知点，，动点满足.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过抛物线上一点作曲线的两条切线分别交抛物线于，两点，求直线的斜率.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）设，由，，，
∴可得，
故动点的轨迹为；
（2）由题意知，切线斜率存在且不为，设切线方程为，
联立，得，化简得，
，解得，
∴切线方程为和，
联立，，解得，，
∴.
求动点的轨迹方程有如下几种方法：
(1)直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
(2)定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
(3)相关点法：用动点Q的坐标x、y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0,y0)所满足的
曲线方程，整理化简可得出动点Q的轨迹方程；
(4)参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一参数t得到方程，即为动点的轨迹方程；
【变式1-1】已知圆C经过点且圆心C在直线上.
(1)求圆C方程；
(2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程.
【详解】（1）由题可设圆C的标准方程为，则，
解之得，所以圆C的标准方程为；
（2）设M（x，y），，由及M为线段EF的中点得，解得,
又点E在圆C：上，所以有，
化简得：,故所求的轨迹方程为．
【变式1-2】(2022·河北·模拟)已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M满足直线AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)若直线和曲线C相交于E，F两点，求.
【详解】（1）解：设，则的斜率分别为，，
由已知得，化简得，即曲线C的方程为，
曲线是一个双曲线，除去左右顶点.
（2）解：联立消去整理得，
设，，则，
.
【变式1-3】已知A，B两点的坐标分别是，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是，记点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程．
(2)将曲线C向上平移4个单位得到曲线E，已知斜率为3的直线l与曲线E有两个不同的交点且满足，求直线l的方程．
【详解】（1）设点,根据题意可知，
直线AM的斜率为，直线BM的斜率；
即可得，整理可得.
（2）如下图所示：
将曲线C向上平移4个单位得到曲线E为；
设直线l的方程为，；
联立曲线E和直线l整理可得，所以；
因此，
即，解得或；
当时，方程的根为，符合题意；
当时，方程的根为，符合题意；
因此可知，直线l的方程为或.
题型02 圆锥曲线的弦长与面积问题
【例2-1】 (2025·河南·模拟)已知椭圆C：的焦距为，离心率为.
(1)求C的标准方程；
(2)若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值.
【详解】（1）由题意得，，，
又，则， 则，
所以C的标准方程为.
（2）由题意设，，如图所示：
联立，整理得， ，
则，，
故.
设直线l与x轴的交点为，又，则，
故， 结合，解得.
【例2-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且.(1)求的标准方程；(2)过的直线交于M，N两点，线段与线段交于点，若的面积等于的面积，求.
【详解】（1）因为且，所以焦点，即，，
所以，
根据双曲线的定义有，所以，
所以双曲线.
（2）根据题意过的直线斜率为0显然不满足题意，可设过的直线为，
由，当时，有，
设，则由韦达定理有，
所以，
因为，所以，即点和点到直线的距离相等，
则有，解得，所以，
弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1 (a>b>0)于，两点，则或.
【变式2-1】已知椭圆的离心率为，短轴长为4.椭圆与直线相交于两点.
（1）求椭圆的方程；（2）求弦长
【详解】（1）椭圆的离心率为，短轴长为4，
，解得，，椭圆方程为.
（2）联立，得，显然有，
设，，则，，
由弦长公式可得.
【变式2-2】已知双曲线的焦距为，离心率为．
(1)求C的方程；(2)若A是C的左顶点，直线与C交于P，Q两点，求的面积．
【详解】（1）依题意，双曲线的半焦距，由离心率，解得，，
所以双曲线的方程为.
（2）由（1）知双曲线的左顶点，点到直线的距离，
由消去得，解得，，
则，所以的面积.
【变式2-3】已知点B是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点P.（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）直线与E交于点M，N，且，求m的值.
【详解】（1）由条件可得
所以动点P的轨迹E是以为焦点的椭圆，
设其方程为
所以，所以,
所以方程为
（2）设，联立,,,,可得
所以由得
因为
所以可解得
题型03斜率的和积差商问题
【例3-1】已知椭圆：（）的离心率，且椭圆过点.
(1)求的方程：
(2)过点直线与椭圆有两个交点，，已知轴上点，求证：.
【详解】（1）由椭圆：的离心率，得，则，
由椭圆过点，得，解得，所以椭圆的方程为.
（2）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程：，
由消去，得，
设，显然，则，，
所以
.
【例3-2】已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆经过点，．
(1)求的方程；
(2)已知点，直线与交于两点，且直线的斜率之和为，证明：点在一条定抛物线上．
【详解】（1）依题意设的方程为，
因为经过点，，所以，解得，故的方程为．
（2）证明：设直线的斜率分别为，，，．
将代入，得．
由题设可知，，，
所以，
所以，所以．
因为，所以，所以，
故点在抛物线上，即点在一条定抛物线上．
1.针对圆锥曲线中的斜率和积差商问题，核心在于坐标化转化与韦达定理的应用。
首先，将斜率表示为，利用直线方程将纵坐标差转化为横坐标差的倍数。
在处理斜率的和、积、差、商时，将其通分或变形，转化为关于和的表达式，直接代入韦达定理的结果进行整体运算。
对于定点定值问题，可利用特殊位置（如斜率不存在或无穷大）先猜后证；涉及对称性或中点弦时，优先考虑点差法，设而不求，简化运算。
2.常用的二级结论：
（1）已知点是椭圆上一个定点，椭圆上有两动点、
若直线，则直线过定点
若直线，则直线斜率为定值；
若直线，则直线过定点
若直线，则直线斜率为定值；
当直线过定点为原点时，则有（第三定义）；
（2）过双曲线上任一点，、为双曲线上两动点
若，则直线恒过定点．
若直线，则直线斜率为定值；
若，则直线恒过定点．
若直线，则直线斜率为定值；
当直线过定点为原点时，则有（第三定义）；
（3）过抛物线上任一点引两条弦、，
若，则直线恒过定点．（2018全国一卷文科）
若，则直线恒过定点．
若直线，则直线斜率为定值则．
【变式3-1】已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值．
【详解】（1）由的周长为16，及椭圆的定义，可知：，即，
又离心率为所以 ，．
所以椭圆C的方程为：．
（2）依题意，直线l与x轴不重合，
设l的方程为：． 联立得：，
因为在椭圆内，所以， 即，易知该不等式恒成立，
设，由韦达定理得．
又，则
注意到，即：
.
【变式3-2】已知抛物线的准线为，过抛物线上一点向轴作垂线，垂足恰好为抛物线的焦点，且．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设与轴的交点为，过轴上的一个定点的直线与抛物线交于两点．记直线的斜率分别为，若，求直线的方程.
【详解】（Ⅰ）由题意，代入，得，，抛物线的方程为.
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，与题意不符，所以直线的斜率一定存在，
设直线的方程为代入到中得，
设，，则，
，，
所以直线的方程为．
【变式3-3】已知椭圆的右焦点为，右顶点为，直线与轴交于点，且．
(1)求椭圆的方程．
(2)设点为直线上的动点，过作的两条切线，分别交轴于点．证明：直线的斜率成等差数列．
【详解】（1）由右焦点知，，所以，若，则，即，方程无解；若，则，所以，椭圆的方程为.
（2）设，易知过且与相切的直线斜率存在，方程设为，
联立方程，消得，
，即，
设直线的斜率分别为，
所以，，，则，
即直线的斜率成等差数列.
题型04 圆锥曲线中的过定点问题
【例4-1】已知抛物线：的焦点是椭圆的一个焦点.
（1）求抛物线的方程；
（2）设，，为抛物线上的不同三点，点，且.求证：直线过定点.
【详解】（1）因为椭圆的焦点为，
依题意，，，所以：
（2）设直线的方程为，与抛物线联立得，
设，，则，
由，则，即，
所以
即，
整理得到，
所以，
化简得即，解得或.
当时，直线的方程为，即为，即直线过定点；
当时，直线的方程为，即为，即直线过定点，
此时与点重合，故应舍去，所以直线过定点.
【例4-2】已知椭圆C：.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）设分别为椭圆C的左右顶点,点P在椭圆C上,直线AP,BP分别与直线相交于点M,N.当点P运动时,以M,N为直径的圆是否经过轴上的定点？试证明你的结论.
【详解】（1）由得,
那么，所以
解得,所以离心率，
（2）由题可知,设,则①
直线的方程：
令,得,从而点坐标为
直线的方程：
令,得,从而点坐标为
设以为直径的圆经过轴上的定点,则
由得②
由①式得,代入②得，解得或
所以为直径的圆经过轴上的定点和.
圆锥曲线中的定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关
系，找到定点.
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
【变式4-1】已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)A，B是抛物线C上两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．
【详解】（1）P点坐标代入抛物线方程得4＝2p，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x．
（2）证明：设AB：x＝my+t，将AB的方程与y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4t＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，
所以Δ＞0 16m2+16t＞0 m2+t＞0，，同理：，
由题意：，∴4(y1+y2+4)＝2(y1y2+2y1+2y2+4)，
∴y1y2＝4，∴﹣4t＝4，∴t＝﹣1，故直线AB恒过定点(﹣1，0)．
【变式4-2】已知焦点在轴上的椭圆：，短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点 ，两点都在轴上方，且．证明直线过定点，并求出该定点坐标．
【详解】（1）由得， 所以椭圆的标准方程为.
（2）当直线斜率不存在时，直线与椭圆交于不同的两点分布在轴两侧，不合题意.
所以直线斜率存在，设直线的方程为.
设、，由得，
所以，.
因为，所以，即，
整理得，化简得，
所以直线的方程为， 所以直线过定点.
【变式4-3】在平面直角坐标系xOy中，M为直线y＝x－2上一动点，过点M作抛物线C：x2＝y的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，N为AB的中点．
(1)证明：MN⊥x轴．
(2)直线AB是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．
【详解】（1）设，由，
所以切线MA的斜率为， 因此切线MA的方程为： ，
M为直线y＝x－2上一动点，设，
因此有，
同理可得：，
因此是方程的两个根，
所以，
因为N为AB的中点，所以，因此MN⊥x轴；
（2）因为，所以，
所以直线AB：y－(2t2－t＋2)＝2t(x－t)，即y－2＝2t，
所以直线AB过定点．
题型05 圆锥曲线中的求定值问题
【例5-1】已知椭圆的离心率为，上的点到其一个焦点的距离的最大值为3．
(1)求的标准方程；
(2)设，为的左、右顶点，（异于左、右顶点）为上一动点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
【详解】（1）根据题意得，解得，的标准方程为；
（2）证明：由（1）得，，
设点，则，，，，
，为定值．
【例5-2】已知抛物线，过的直线与抛物线相交于两点.
（1）若，求直线的方程；
（2）求证：为定值，并求出该定值.
【详解】（1）设过的直线为，，
联立得，，得，
因为为抛物线的焦点，所以，，
即，所以，
因此，直线的方程为：或；
法二：当过点的直线与轴垂直时，与抛物线的交点坐标分别为，
又，所以，不合题意舍去：
当过点的直线斜率存在时，可设，联立得，
所以，得，
因此，直线的方程为：或.
（2），所以定值为1.
圆锥曲线中的定值问题主要分两类
1.圆锥曲线中的定线段的长的问题：探求圆锥曲线中的定线段的长的问题，一般用直接求解法，即先利用弦长公式把要探求的线段表示出来，然后利用题中的条件(如直线与曲线相切等)得到弦长表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入弦长表达式中，化简可得弦长为定值.
2.圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题：探求圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题，一般用直接求解法，即可先利用三角形面积公式(如果是其他凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解)把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可.
【变式5-1】已知点，直线，为轴右侧或轴上动点，且点到的距离比线段的长度大1，记点的轨迹为.
（1）求曲线的方程；
（2）已知直线交曲线于，两点（点在点的上方），，为曲线上两个动点，且，求证：直线的斜率为定值.
【详解】（1）依题意，线段的长度等于到的距离，
由抛物线定义知，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以的方程为；
（2）将代入得，则，，如图：
设抛物线E上动点，显然直线AC，AD斜率存在，
，同理，因为，则，
，
直线的斜率，即直线的斜率为定值-1.
【变式5-2】已知椭圆：（，），离心率为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆上的任意一点（除短轴的端点外）与短轴的两个端点，的连线分别与轴交于，两点，求证为定值．
【详解】（1）由题设，，可得，故椭圆方程为.
（2）由题意，若，，设椭圆上任意一点，
∴直线的方程为；直线的方程为，
令，得，．
∴为定值，得证．
【变式5-3】已知椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，且，e是椭圆的离心率，点（e，）在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若P是椭圆上的动点，且P与A，B不重合，直线l垂直于x轴，l与直线AP，BP分别交于M，N两点，设直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值.
【详解】（1）由题意易知：，解得：
椭圆方程为：
（2）由（1）知，设直线，且
设，
由三点共线，有，即；
同理可得，即.所以.
而，所以为定值.
题型06 圆锥曲线中的定直线问题
【例6-1】(2024·北京·模拟)已知椭圆的短轴长为，左、右顶点分别为，过右焦点的直线交椭圆于两点（不与重合），直线与直线交于点．
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：点在定直线上.
【详解】（1）依题意，，半焦距，则，
所以椭圆的方程为.
（2）显然直线不垂直于y轴，设直线，
由消去x并整理得，
，设，
则，且有，
直线，直线，
联立消去y得，即，
整理得，
即，
于是，而，
则，因此，
所以点在定直线上.
【例6-2】已知椭圆的右焦点与双曲线的右焦点重合，且椭圆过．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当过的动直线与椭圆相交于不同的两点时，在线段上取一点，满足，证明：在某定直线上．
【详解】（1）设双曲线的右焦点为,则，∴，
因为是椭圆的焦点，且椭圆过点，
所以，解得
故椭圆的标准方程为．
（2）证明：设，，，由题得，，，均不为零．
由，可设
不妨设，，则
所以 , 即
又在椭圆上，所以① ②
由①化简，得，③
由②化简，得，④
③-④，化简得，即
因此点在定直线上．
圆锥曲线中的定直线问题
定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.
这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有：
(1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程；
(2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数；
(3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证.
【变式6-1】已知在平面直角坐标系中，两定点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是.
(1)求点的轨迹方程，并指出的形状.
(2)若直线与点的轨迹交于两点，求证：直线与直线的交点在定直线上.
【详解】（1）设点的坐标为，因为，
所以直线的斜率为，
因为，所以斜率为，
由已知得，整理得，
故形状为焦点在轴上，长轴长为6，焦距为，除去，的椭圆.
（2）联立，消去整理得：，
如图，设，，，，
而，
直线，直线，联立两直线得到，
整理得，
故直线与直线的交点在定直线上.
【变式6-2】(2025·湖南·模拟)已知椭圆的离心率为分别为椭圆的上、下顶点，为坐标原点，直线与椭圆交于不同的两点.
(1)设点为线段的中点，证明：直线与直线的斜率之积为定值；
(2)若，证明：直线与直线的交点在定直线上.
【详解】（1）设，则，
则由两式相减可得，即，
所以为定值.
（2）由题意可得，解得，所以椭圆方程为，则，
联立方程可得，则，得，
故，
直线的方程为，①
直线的方程为，②
设直线与直线的交点，则由①②两式相减可得，代入①可得，
，即.
所以点在定直线上.
【变式6-3】(2025·河北·模拟)已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，且焦距为，短轴长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆于、两点，动点与、、四点不共线，设直线、、的斜率分别为、、，且满足：．证明：点在定直线上，并求出该直线．
【详解】（1）由题意知，，，，所以椭圆方程为：．
（2）设、、，当直线斜率为时，不妨令、，
则，
因为、、、四点不共线，所以，解得．
当直线斜率不为时，设直线的方程为．
联立，得，，由韦达定理得．
于是，
．
因为，由得．
整理得：，即，
因为、、、四点不共线，所以，所以，
综上，点在定直线上．
题型07 圆锥曲线中的取值范围或最值问题
【例7-1】已知点，，，是平面内一动点，可以与点重合.当不与重合时，直线与的斜率之积为.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）一个矩形的四条边与动点的轨迹均相切，求该矩形面积的取值范围.
【详解】（1）当与点不重合时，，得，即，
当与点重合时，或.
综上，动点的轨迹方程为.
（2）记矩形面积为，当矩形一边与坐标轴平行时，易知.
当矩形各边均不与坐标轴平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为，则对边方程为另一边所在的直线为，则对边方程为，
联立：，得，则，即.
矩形的一边长为，同理：，矩形的另一边长为，
，
综上：.
【例7-2】已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝4x上相异两点，且满足x1＋x2＝2.
（1）若AB的中垂线经过点P(0,2)，求直线AB的方程；
（2）若AB的中垂线交x轴于点M，求△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程.
【详解】(1)当AB垂直于x轴时，显然不符合题意，
设直线AB的方程为y＝kx＋b，代入方程y2＝4x，得k2x2＋(2kb－4)x＋b2＝0，
∴x1＋x2＝，得b＝，∴直线AB的方程为y＝k(x－1)＋，
∵AB中点的横坐标为1，∴AB中点的坐标为 ，
∴AB的中垂线方程为.
∵AB的中垂线经过点P(0,2)，故，得，∴直线AB的方程为，
(2)由(1)可知AB的中垂线方程为，∴点M的坐标为(3,0)，
∵直线AB的方程为k2x－ky＋2－k2＝0，∴M到直线AB的距离，
由 得，y1＋y2＝，y1·y2＝ ，
|AB|＝ |y1－y2|＝ .∴S△MAB＝，
设，S＝4t(2－t2)＝－4t3＋8t，S′＝－12t2＋8，
由S′＝0，得t＝，即k＝±时，Smax＝ ，
此时直线AB的方程为3x±y－1＝0.
1.求解圆锥曲线范围或最值问题的求解方法
（1）几何法:即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；
（2）代数法:即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用
函数方法、不等式方法等进行求解.
2．解决圆锥曲线中的取值范围问题以下五个方面：
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
【变式7-1】已知椭圆E：的右焦点是，点P是椭圆E上一点，且的最大值为．
（1）求椭圆方程；
（2）过椭圆右顶点A的直线l与椭圆交于B，与y轴交于C．设和的面积分别为和，求的取值范围．
【详解】（1）因为椭圆的焦点为，所以，
又，，所以，，即椭圆方程为．
（2）由题可知直线的斜率存在且不为0，设直线的解析式为，
则点为，由，可得：，解得：，
故，，由此可得：，
所以．
【变式7-2】已知椭圆：与抛物线：有相同的焦点，抛物线的准线交椭圆于，两点，且.
（1）求椭圆与抛物线的方程；
（2）为坐标原点，过焦点的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值.
【详解】（1）因为，所以不妨设的坐标为，的坐标为，
所以有：，∴，，
∴椭圆的方程为：，抛物线的方程为；
（2）由（1）可知：的坐标为：，
设直线的方程为：，到的距离为，则，
联立可得：，则，
，
当且仅当时取等号，故面积的最大值为1.
【变式7-3】已知椭圆，A是椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点，直线与椭圆交于M、N两点，且M点位于第一象限．
（1）若，证明：直线和的斜率之积为定值；
（2）若，求四边形的面积的最大值．
【详解】（1）证明：设，则，
∵，，∴，，
∵在椭圆上，∴
∴为定值．
（2）设，依题意：，点在第一象限，∴．
联立：得：，∴，，
设到的距离为，到的距离为，
∴，，∴．
又∵（当时取等号），
∴．
∴四边形的面积的最大值为
题型08 圆锥曲线与向量综合
【例8-1】 (2025·辽宁·模拟)设，分别是直线和上的动点，且，动点为线段的中点．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)已知线段是圆的一条直径，求的最大值．
【详解】（1），分别是直线和上的动点，
设，，，
点为线段的中点，则，，
又，，即，
动点的轨迹方程为.
（2）线段是圆的一条直径，圆心为，半径为，
，
，
，当时，取得最大值．
【例8-2】已知椭圆E：（）的焦点为，，且点在E上．
（1）求E的方程；
（2）已知过定点的动直线l交E于A，B两点，线段的中点为N，若为定值，试求m的值．
【详解】（1）由题意可知，∴，而，
∴，∴椭圆E的方程为．
（2）①若直线l的斜率不存在，易得，
②若直线l的斜率存在，设其方程为，，，
则，联立，得，
且，，
,
要使上式为常数，必须且只需，即，
此时易知恒成立，且，符合题意．
综上所述，．
圆锥曲线与向量综合问题的解题策略：
1. 向量几何关系的代数翻译：这是解题第一步。需熟练将向量条件转化为坐标运算或等量关系。例如：向量共线可转化为坐标比例关系，常用于处理分点弦、定比分点问题；向量垂直转化为坐标乘积和为零，常用于处理直径所对圆周角、矩形、菱形对角线等几何特征；模长关系可转化为两点间距离公式。
2. 坐标法与设而不求：建立适当的直角坐标系，设出相关点的坐标（如动点、交点）。处理直线与曲线相交问题时，依然坚持“设而不求”思想，利用韦达定理来沟通向量条件与曲线方程，避免繁琐的求根运算。
3. 函数与方程思想：将向量翻译后的等式进行化简整理，常转化为关于某个变量的函数。若求范围或最值，利用函数单调性、基本不等式或判别式求解；若求定值或定点，则通过恒等变形，消去变量，找出不变量。务必注意挖掘题目中的隐含条件（如点在曲线上、判别式大于零等）来确定变量的取值范围。
【变式8-1】(2022·陕西·调研)已知抛物线的焦点为,直线:与抛物线交于两点,且(为坐标原点).
(1)求抛物线的方程;
(2)求证:直线恒过定点.
【详解】（1）解:由题知抛物线的焦点为,,即,
抛物线的方程为:;
（2）证明:由(1)知抛物线的方程为:,联立,
整理可得,,,
,,即,解得,符合，
直线的方程为:,故直线恒过定点.
【变式8-2】已知点是平面直角坐标系中异于原点的一个动点，过点且与轴垂直的直线与直线交于点，且向量与向量垂直.
（1）求点的轨迹方程；
（2）设位于第一象限，以为直径的圆与轴相交于点，且，求的值.
【详解】（1）设，则，，，
，，点的轨迹方程
（2）由题意知：，，，
直线倾斜角为，则直线方程为，由得：或，
点异于原点，，.
【变式8-3】(2025·四川·模拟)已知椭圆：（）的右顶点为，离心率为，左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求的取值范围.
【详解】（1）设椭圆焦距为，由题意可得，
所以椭圆：；
（2）由题可设，则
由（1）得，
所以.
题型09 圆锥曲线中的探索性问题
【例9-1】 (2023·江西·模拟)已知椭圆的左、右焦点分别为 ，点在椭圆上，，若的周长为6，面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由．
【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c，因为的周长为6，面积为，
所以，由①得：，将此式代入②得：，
所以，所以或
当时，，，所以不满足题意；
当时，，，所以满足题意．
所以椭圆C的方程为.
（2）由题可得直线斜率存在，由（1）知，设直线的方程为，
则联立，消去，整理得：，
设，则，，
又，则，
由可得，所以，同理可得，
所以
所以为定值．
【例9-2】已知椭圆的两个顶点在直线上，直线l经过椭圆的右焦点F，与椭圆交于A、B两点，点（P不在直线l上）
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线l与交于点M，设PA，PB，PM的斜率分别为．试问：是否存在常数使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）直线与坐标轴的交点为，
故椭圆的标准方程为
（2）设，直线，则.
由，即，
，
，
又，
故存在常数使得
圆锥曲线中的探索性问题
此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.
若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；
若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.
【变式9-1】 (2023·江苏·模拟)在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上，圆
(1)若，为圆上的动点，求线段长度的最小值；
(2)若点的纵坐标为4，过的直线与圆相切，分别交抛物线于（异于点），求证：直线过定点．
【详解】（1）设，则，
当，Q为线段与圆的交点时，
（2）题意可知，过P点直线与圆相切，
则，即，①
设直线为：，则与抛物线C的交点方程可化为：
，
令，则：，②
题意有，①②方程同解，故有，
即：，所以直线为：，
即，由，解得，
直线恒过．
【变式9-2】3．在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足，当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹为曲线（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）.
(1)求曲线的方程；
(2)为曲线与轴的交点，过点作直线交于两点（与，不重合），直线与交于点.
（i）证明：点在定直线上；
（ii）是否存在点使得，若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.
【详解】（1）设点的坐标为，由轴于，为线段的中点，得点，
由点在圆上，得，即，
所以点的轨迹的方程是.
（2）（i）由（1）不妨令，直线不垂直于轴，
设直线，，由，得，
由，得或，
则，，
直线方程为，直线方程为，
联立消去，得，
解得，所以点在直线上.
（ii）由，得，则点在以为直径的圆上，
设，则，解得，即，
于是直线的方程为，由消去得，
而点横坐标为，则点横坐标，纵坐标，
所以直线的斜率.
【变式9-3】(2025·河北·调研)平面直角坐标系中，圆A的方程为，点B的坐标为，点P是圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E．
(1)求点Q的轨迹E的方程；
(2)过点A作一条直线与点Q的轨迹E相交于M，N两点，满足，点H满足，问：点H是否在一条定直线上，若是，求出这条直线方程，若不是，请说明理由．
【详解】（1）如图，
由题意知，，
所以Q点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆．
设椭圆的方程为，则，，，
所以椭圆方程为．
（2）如图，
解法一：设，，，，
由可得，则，即①.
由可得
则，即②，
所以，整理得③.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，联立得，
消去得，，，
代入③得，又因为，所以．
直线的斜率不存在时，不妨取，，
则，，则，，解得，
综上可得，点在一条定直线上，直线方程为．
解法二：设，，，，
由可得，则，即①.
由可得，则，即②，
所以，整理得③.
当直线的斜率不存在或不为0时，设直线方程为，
联立，消去得，
，，代入③得.
当直线的斜率为0时，，，
则，恒成立，点H在上也成立，
综上可得，点H在一条定直线上，直线方程为．
1.设抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点.
(1)求的准线方程；
(2)设为准线上一点，且，求.
【详解】（1）因为抛物线的方程为，所以抛物线的准线方程为
（2）因为在的准线上，所以，即，
易得的坐标为，此时，
因为，所以，解得，
所以的方程为，设，，
联立消去并整理得，由韦达定理得，
所以.
2．在平面直角坐标系中，已知两点的坐标分别为，，直线相交于点，且它们的斜率之积是.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若点的轨迹与直线相交于两个不同的点，线段的中点为.若直线的斜率为 ，求线段的长.
【详解】（1）设得
（2）设，得，
所以有，得
由题可知，两式求差化简得，即
因为，所以，所以直线的方程为
联立解得或 ，所以
3．已知椭圆的短轴长为2，且过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积.
【详解】（1）由椭圆的简单几何性质，可知，得，
将点代入，得，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）由已知可得椭圆的右焦点为，直线l的方程为，
联立椭圆方程，得，，
设，，所以，，
则，
点到直线的距离，
故.
4．已知焦点在轴的椭圆的方程为：， 分别为椭圆的左右顶点，为的上顶点，.
（1）求的方程；
（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积.
【详解】（1）由题意得，，，则，，
由得：，即，所以C的方程为：.
（2）设，，根据对称性只需考虑情形，此时，，，
由已知得：，直线的方程为，
所以，；
因为，所以，将代入C的方程，解得：或.
由直线的方程得：或，
所以点P，Q的坐标分别为，或，.
①当时，直线的方程为，点到直线的距离为
的面积为；
②当时，直线的方程为，点到直线的距离为，
的面积为；
综上所述，的面积为.
5．已知椭圆：的右焦点为，下顶点为，上顶点为，离心率为，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的右顶点为，椭圆上有一点（不与重合），直线与直线相交于.若，求点的横坐标.
【详解】（1）由题意：， 所以，
又，，又，联立以上三式得：，
所以椭圆的标准方程；
（2），可知，，
则直线斜率，所以直线方程为，
代入椭圆可得，解得或，
所以点的横坐标为0或.
6．(2025·安徽·模拟)已知椭圆的离心率为，短轴长为.
(1)求C的方程；
(2)若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值.
【详解】（1）由题意，得，解得，
则椭圆C的方程为.
（2）设，联立，得，
则，解得，且，
所以，
点到直线的距离为，
则，解得或，满足，
则或.
7．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值.
【详解】（1）∵抛物线的焦点为，∴椭圆的半焦距为，
又，得，.
∴椭圆的方程为
（2）证明：由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，
联立，得.，即，
设，，则，，
∴，∴.
∴为定值.
8．已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆经过点，．
(1)求的方程；
(2)已知点，直线与交于两点，且直线的斜率之和为，证明：点在一条定抛物线上．
【详解】（1）依题意设的方程为，
因为经过点，，所以，解得，
故的方程为．
（2）证明：设直线的斜率分别为，，，．
将代入，得．
由题设可知，，，
所以
，
所以，所以．
因为，所以，所以，
故点在抛物线上，即点在一条定抛物线上．
9．在圆上任取一点T，过点T作x轴的垂线段TD，D为垂足，点P为线段TD的中点．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）斜率为且不过原点O的直线l交曲线C于A，B两点，线段AB的中点为，射线OE交曲线C于点M，交直线于点N，且，求点到直线l的距离d的最大值．
【详解】（1）设点的坐标为，点的坐标为，则，
且，
动点的轨迹的方程为
（2）设直线，，
联立得，
，中点
由斜率公式可知， ，
联立得，，即
， ，直线过定点 ，
易知当定点与点的连线与直线垂直时，取得最大值.
10．已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点.
【详解】（1）由题知，，，，
由的面积为，得，
又，代入可得，，∴椭圆的方程为.
（2）联立得，
设，，可得，，
由题知，
即，
即，解得，
∴直线的方程为，故直线恒过定点.
11．(2023·陕西·模拟)已知椭圆的焦距为，设椭圆的上顶点为，左右焦点分别为，且是顶角为的等腰三角形.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知是椭圆上的两点，以椭圆中心为圆心的圆的半径为，且直线与此圆相切.证明：以为直径的圆过定点.
【详解】（1）由题意可知，解得
所以椭圆的标准方程.
（2）①当直线垂直于轴时，不妨设
此时，，故以直径的圆过定点；
②当直线不垂直于轴时，
设直线的方程为，
因为直线与圆相切，所以到直线的距离，即，
由可得，所以，
，
所以，即.故以为直径的圆过定点，
综上所述：以为直径的圆过定点.
12．已知分别为椭圆的左 右焦点，分别为椭圆的左 右顶点，为椭圆上的动点，过动点作椭圆的切线.分别与直线和相交于两点，四边形的对角线相交于点，记动点的轨迹为.
(1)证明：椭圆在点处的切线方程为.
(2)求动点的轨迹的方程.
(3)过点作斜率不为的直线与相交于点，直线与的交点为，判断点是否在定直线上.
【详解】（1）证明：联立方程组，消去整理得，
又，即，整理得，解得，
所以直线与椭圆有且仅有一个交点，
即切线方程为.
（2）由（1）中切线方程，令，得，令，得，
因为，所以直线，①
因为，所以直线，②
由①②得.
因为，得，
所以动点的轨迹的方程为）.
（3）设直线的方程为，
联立方程组得，
则，所以.
因为直线的方程为，直线的方程为，
所以，所以，
所以，
整理得
所以，即点在定直线上.
13．已知在平面直角坐标系中，两定点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是.
(1)求点的轨迹方程，并指出的形状.
(2)若直线与点的轨迹交于，两点，求证：直线与直线的交点在定直线上.
【详解】（1）设点的坐标为，因为，
所以直线的斜率为，
因为，所以斜率为，由已知得，整理得，
故形状为焦点在轴上，长轴长为6，焦距为，除去，的椭圆.
（2）联立，消去整理得：，
如图，设，，，，
而，
直线，直线，联立两直线得到，
整理得，
故直线与直线的交点在定直线上.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题06 圆锥曲线解答题型全析
题型01 轨迹方程问题
【例1-1】设抛物线的方程为，点在抛物线上，过M作抛物线的切线，切点分别为A，B，圆N是以线段为直径的圆.
（1）若点M的坐标为，求此时圆N的半径长；
（2）当M在上运动时，求圆心N的轨迹方程.
【例1-2】已知点，，动点满足.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过抛物线上一点作曲线的两条切线分别交抛物线于，两点，求直线的斜率.
求动点的轨迹方程有如下几种方法：
(1)直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
(2)定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
(3)相关点法：用动点Q的坐标x、y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0,y0)所满足的
曲线方程，整理化简可得出动点Q的轨迹方程；
(4)参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一参数t得到方程，即为动点的轨迹方程；
【变式1-1】已知圆C经过点且圆心C在直线上.
(1)求圆C方程；
(2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程.
【变式1-2】(2022·河北·模拟)已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M满足直线AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)若直线和曲线C相交于E，F两点，求.
【变式1-3】已知A，B两点的坐标分别是，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是，记点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程．
(2)将曲线C向上平移4个单位得到曲线E，已知斜率为3的直线l与曲线E有两个不同的交点且满足，求直线l的方程．
题型02 圆锥曲线的弦长与面积问题
【例2-1】 (2025·河南·模拟)已知椭圆C：的焦距为，离心率为.
(1)求C的标准方程；
(2)若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值.
【例2-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且.(1)求的标准方程；(2)过的直线交于M，N两点，线段与线段交于点，若的面积等于的面积，求.
弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1 (a>b>0)于，两点，则或.
【变式2-1】已知椭圆的离心率为，短轴长为4.椭圆与直线相交于两点.
（1）求椭圆的方程；（2）求弦长
【变式2-2】已知双曲线的焦距为，离心率为．
(1)求C的方程；(2)若A是C的左顶点，直线与C交于P，Q两点，求的面积．
【变式2-3】已知点B是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点P.（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）直线与E交于点M，N，且，求m的值.
题型03斜率的和积差商问题
【例3-1】已知椭圆：（）的离心率，且椭圆过点.
(1)求的方程：
(2)过点直线与椭圆有两个交点，，已知轴上点，求证：.
【例3-2】已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆经过点，．
(1)求的方程；
(2)已知点，直线与交于两点，且直线的斜率之和为，证明：点在一条定抛物线上．
1.针对圆锥曲线中的斜率和积差商问题，核心在于坐标化转化与韦达定理的应用。
首先，将斜率表示为，利用直线方程将纵坐标差转化为横坐标差的倍数。
在处理斜率的和、积、差、商时，将其通分或变形，转化为关于和的表达式，直接代入韦达定理的结果进行整体运算。
对于定点定值问题，可利用特殊位置（如斜率不存在或无穷大）先猜后证；涉及对称性或中点弦时，优先考虑点差法，设而不求，简化运算。
2.常用的二级结论：
（1）已知点是椭圆上一个定点，椭圆上有两动点、
若直线，则直线过定点
若直线，则直线斜率为定值；
若直线，则直线过定点
若直线，则直线斜率为定值；
当直线过定点为原点时，则有（第三定义）；
（2）过双曲线上任一点，、为双曲线上两动点
若，则直线恒过定点．
若直线，则直线斜率为定值；
若，则直线恒过定点．
若直线，则直线斜率为定值；
当直线过定点为原点时，则有（第三定义）；
（3）过抛物线上任一点引两条弦、，
若，则直线恒过定点．（2018全国一卷文科）
若，则直线恒过定点．
若直线，则直线斜率为定值则．
【变式3-1】已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值．
【变式3-2】已知抛物线的准线为，过抛物线上一点向轴作垂线，垂足恰好为抛物线的焦点，且．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设与轴的交点为，过轴上的一个定点的直线与抛物线交于两点．记直线的斜率分别为，若，求直线的方程.
【变式3-3】已知椭圆的右焦点为，右顶点为，直线与轴交于点，且．
(1)求椭圆的方程．
(2)设点为直线上的动点，过作的两条切线，分别交轴于点．证明：直线的斜率成等差数列．
题型04 圆锥曲线中的过定点问题
【例4-1】已知抛物线：的焦点是椭圆的一个焦点.
（1）求抛物线的方程；
（2）设，，为抛物线上的不同三点，点，且.求证：直线过定点.
【例4-2】已知椭圆C：.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）设分别为椭圆C的左右顶点,点P在椭圆C上,直线AP,BP分别与直线相交于点M,N.当点P运动时,以M,N为直径的圆是否经过轴上的定点？试证明你的结论.
圆锥曲线中的定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关
系，找到定点.
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
【变式4-1】已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)A，B是抛物线C上两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．
【变式4-2】已知焦点在轴上的椭圆：，短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点 ，两点都在轴上方，且．证明直线过定点，并求出该定点坐标．
【变式4-3】在平面直角坐标系xOy中，M为直线y＝x－2上一动点，过点M作抛物线C：x2＝y的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，N为AB的中点．
(1)证明：MN⊥x轴．
(2)直线AB是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．
题型05 圆锥曲线中的求定值问题
【例5-1】已知椭圆的离心率为，上的点到其一个焦点的距离的最大值为3．
(1)求的标准方程；
(2)设，为的左、右顶点，（异于左、右顶点）为上一动点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
【例5-2】已知抛物线，过的直线与抛物线相交于两点.
（1）若，求直线的方程；
（2）求证：为定值，并求出该定值.
圆锥曲线中的定值问题主要分两类
1.圆锥曲线中的定线段的长的问题：探求圆锥曲线中的定线段的长的问题，一般用直接求解法，即先利用弦长公式把要探求的线段表示出来，然后利用题中的条件(如直线与曲线相切等)得到弦长表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入弦长表达式中，化简可得弦长为定值.
2.圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题：探求圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题，一般用直接求解法，即可先利用三角形面积公式(如果是其他凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解)把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可.
【变式5-1】已知点，直线，为轴右侧或轴上动点，且点到的距离比线段的长度大1，记点的轨迹为.
（1）求曲线的方程；
（2）已知直线交曲线于，两点（点在点的上方），，为曲线上两个动点，且，求证：直线的斜率为定值.
【变式5-2】已知椭圆：（，），离心率为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆上的任意一点（除短轴的端点外）与短轴的两个端点，的连线分别与轴交于，两点，求证为定值．
【变式5-3】已知椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，且，e是椭圆的离心率，点（e，）在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若P是椭圆上的动点，且P与A，B不重合，直线l垂直于x轴，l与直线AP，BP分别交于M，N两点，设直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值.
题型06 圆锥曲线中的定直线问题
【例6-1】(2024·北京·模拟)已知椭圆的短轴长为，左、右顶点分别为，过右焦点的直线交椭圆于两点（不与重合），直线与直线交于点．
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：点在定直线上.
【例6-2】已知椭圆的右焦点与双曲线的右焦点重合，且椭圆过．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当过的动直线与椭圆相交于不同的两点时，在线段上取一点，满足，证明：在某定直线上．
圆锥曲线中的定直线问题
定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.
这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有：
(1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程；
(2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数；
(3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证.
【变式6-1】已知在平面直角坐标系中，两定点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是.
(1)求点的轨迹方程，并指出的形状.
(2)若直线与点的轨迹交于两点，求证：直线与直线的交点在定直线上.
【变式6-2】(2025·湖南·模拟)已知椭圆的离心率为分别为椭圆的上、下顶点，为坐标原点，直线与椭圆交于不同的两点.
(1)设点为线段的中点，证明：直线与直线的斜率之积为定值；
(2)若，证明：直线与直线的交点在定直线上.
【变式6-3】(2025·河北·模拟)已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，且焦距为，短轴长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆于、两点，动点与、、四点不共线，设直线、、的斜率分别为、、，且满足：．证明：点在定直线上，并求出该直线．
题型07 圆锥曲线中的取值范围或最值问题
【例7-1】已知点，，，是平面内一动点，可以与点重合.当不与重合时，直线与的斜率之积为.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）一个矩形的四条边与动点的轨迹均相切，求该矩形面积的取值范围.
【例7-2】已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝4x上相异两点，且满足x1＋x2＝2.
（1）若AB的中垂线经过点P(0,2)，求直线AB的方程；
（2）若AB的中垂线交x轴于点M，求△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程.
1.求解圆锥曲线范围或最值问题的求解方法
（1）几何法:即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；
（2）代数法:即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用
函数方法、不等式方法等进行求解.
2．解决圆锥曲线中的取值范围问题以下五个方面：
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
【变式7-1】已知椭圆E：的右焦点是，点P是椭圆E上一点，且的最大值为．
（1）求椭圆方程；
（2）过椭圆右顶点A的直线l与椭圆交于B，与y轴交于C．设和的面积分别为和，求的取值范围．
【变式7-2】已知椭圆：与抛物线：有相同的焦点，抛物线的准线交椭圆于，两点，且.
（1）求椭圆与抛物线的方程；
（2）为坐标原点，过焦点的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值.
【变式7-3】已知椭圆，A是椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点，直线与椭圆交于M、N两点，且M点位于第一象限．
（1）若，证明：直线和的斜率之积为定值；
（2）若，求四边形的面积的最大值．
题型08 圆锥曲线与向量综合
【例8-1】 (2025·辽宁·模拟)设，分别是直线和上的动点，且，动点为线段的中点．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)已知线段是圆的一条直径，求的最大值．
【例8-2】已知椭圆E：（）的焦点为，，且点在E上．
（1）求E的方程；
（2）已知过定点的动直线l交E于A，B两点，线段的中点为N，若为定值，试求m的值．
圆锥曲线与向量综合问题的解题策略：
1. 向量几何关系的代数翻译：这是解题第一步。需熟练将向量条件转化为坐标运算或等量关系。例如：向量共线可转化为坐标比例关系，常用于处理分点弦、定比分点问题；向量垂直转化为坐标乘积和为零，常用于处理直径所对圆周角、矩形、菱形对角线等几何特征；模长关系可转化为两点间距离公式。
2. 坐标法与设而不求：建立适当的直角坐标系，设出相关点的坐标（如动点、交点）。处理直线与曲线相交问题时，依然坚持“设而不求”思想，利用韦达定理来沟通向量条件与曲线方程，避免繁琐的求根运算。
3. 函数与方程思想：将向量翻译后的等式进行化简整理，常转化为关于某个变量的函数。若求范围或最值，利用函数单调性、基本不等式或判别式求解；若求定值或定点，则通过恒等变形，消去变量，找出不变量。务必注意挖掘题目中的隐含条件（如点在曲线上、判别式大于零等）来确定变量的取值范围。
【变式8-1】(2022·陕西·调研)已知抛物线的焦点为,直线:与抛物线交于两点,且(为坐标原点).
(1)求抛物线的方程;
(2)求证:直线恒过定点.
【变式8-2】已知点是平面直角坐标系中异于原点的一个动点，过点且与轴垂直的直线与直线交于点，且向量与向量垂直.
（1）求点的轨迹方程；
（2）设位于第一象限，以为直径的圆与轴相交于点，且，求的值.
【变式8-3】(2025·四川·模拟)已知椭圆：（）的右顶点为，离心率为，左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求的取值范围.
题型09 圆锥曲线中的探索性问题
【例9-1】 (2023·江西·模拟)已知椭圆的左、右焦点分别为 ，点在椭圆上，，若的周长为6，面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由．
【例9-2】已知椭圆的两个顶点在直线上，直线l经过椭圆的右焦点F，与椭圆交于A、B两点，点（P不在直线l上）
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线l与交于点M，设PA，PB，PM的斜率分别为．试问：是否存在常数使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
圆锥曲线中的探索性问题
此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.
若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；
若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.
【变式9-1】 (2023·江苏·模拟)在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上，圆
(1)若，为圆上的动点，求线段长度的最小值；
(2)若点的纵坐标为4，过的直线与圆相切，分别交抛物线于（异于点），求证：直线过定点．
【变式9-2】3．在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足，当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹为曲线（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）.
(1)求曲线的方程；
(2)为曲线与轴的交点，过点作直线交于两点（与，不重合），直线与交于点.
（i）证明：点在定直线上；
（ii）是否存在点使得，若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.
【变式9-3】(2025·河北·调研)平面直角坐标系中，圆A的方程为，点B的坐标为，点P是圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E．
(1)求点Q的轨迹E的方程；
(2)过点A作一条直线与点Q的轨迹E相交于M，N两点，满足，点H满足，问：点H是否在一条定直线上，若是，求出这条直线方程，若不是，请说明理由．
1.设抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点.
(1)求的准线方程；
(2)设为准线上一点，且，求.
2．在平面直角坐标系中，已知两点的坐标分别为，，直线相交于点，且它们的斜率之积是.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若点的轨迹与直线相交于两个不同的点，线段的中点为.若直线的斜率为 ，求线段的长.
3．已知椭圆的短轴长为2，且过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积.
4．已知焦点在轴的椭圆的方程为：， 分别为椭圆的左右顶点，为的上顶点，.
（1）求的方程；
（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积.
5．已知椭圆：的右焦点为，下顶点为，上顶点为，离心率为，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的右顶点为，椭圆上有一点（不与重合），直线与直线相交于.若，求点的横坐标.
6．(2025·安徽·模拟)已知椭圆的离心率为，短轴长为.
(1)求C的方程；
(2)若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值.
7．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值.
8．已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆经过点，．
(1)求的方程；
(2)已知点，直线与交于两点，且直线的斜率之和为，证明：点在一条定抛物线上．
9．在圆上任取一点T，过点T作x轴的垂线段TD，D为垂足，点P为线段TD的中点．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）斜率为且不过原点O的直线l交曲线C于A，B两点，线段AB的中点为，射线OE交曲线C于点M，交直线于点N，且，求点到直线l的距离d的最大值．
10．已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点.
11．(2023·陕西·模拟)已知椭圆的焦距为，设椭圆的上顶点为，左右焦点分别为，且是顶角为的等腰三角形.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知是椭圆上的两点，以椭圆中心为圆心的圆的半径为，且直线与此圆相切.证明：以为直径的圆过定点.
12．已知分别为椭圆的左 右焦点，分别为椭圆的左 右顶点，为椭圆上的动点，过动点作椭圆的切线.分别与直线和相交于两点，四边形的对角线相交于点，记动点的轨迹为.
(1)证明：椭圆在点处的切线方程为.
(2)求动点的轨迹的方程.
(3)过点作斜率不为的直线与相交于点，直线与的交点为，判断点是否在定直线上.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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