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专题6.2 数列求通项
近三年： 在数列求通项板块，高考命题强调“通项公式、求和公式与数列性质三法并重”，突出函数与方程、化归与转化的核心思想。近年来的真题清晰地显示，数列通项的考查已超越对单一方法的机械应用，呈现出“基础交汇并重、情境定义出新”的鲜明特点。 通法通性，基础为核：对等差、等比数列定义及基本量（首项、公差/公比）方程的考查是永恒的基础。同时，由 an 与 Sn 的关系求通项、累加法、累乘法及构造法（如构造等差、等比数列）等经典通法是解决递推数列问题的核心工具，在解答题第一问中占据主体地位。 交汇融合，综合考查：数列作为绝佳的知识交汇点，其通项问题常与函数性质、不等式、平面向量等模块深度结合。例如，给出一个结合向量或函数背景的递推关系，要求先转化、再求通项，这直接检验了知识迁移与综合应用能力。 情境创新，定义突破：为落实“去套路化”的命题导向，新颖的现实生活情境与数学新定义成为重要载体。题目可能基于某种实际增长模型或自定义的数列（如“绝对等差数列”、“好集”等），要求考生在理解新规则的基础上，将其化归为熟悉的等差、等比模型或运用经典通法求解。这重点考查数学抽象与逻辑推理素养。 在实际命题中，小题（选择题、填空题）侧重对通法（特别是Sn法、累加法、累乘法）的快速识别与灵活运用；而解答题则倾向于以综合或新定义的形式，完整考查从理解条件、转化递推到求解通项的全过程，思维量和综合性并重。 预测2026年： 基于以上分析，“准确识别递推模型并选择恰当方法进行化归”的能力在2026年高考的数列求通项命题中预计将愈发关键。数列求通项的核心价值在于它不仅是后续求和与证明的基石，更是训练从复杂、新颖的表象中洞察数学本质结构，并运用化归思想将其转化为可解模型的思维体操，这在当前高考强调创新思维选拔的背景下尤为重要。 你在备考中需要将以下几项放在同等重要的位置进行系统性训练： 夯实“四大通法”基础：必须对Sn法、累加法、累乘法及常见构造法（如an+1 = p·an + q型）的适用条件、步骤细节和易错点（如n=1的验证）做到极度熟练，形成条件反射。 提升“模型识别”速度：面对递推式，要能快速判断其潜在可转化的方向（如是否可分解因式、两边同除某式后出现新数列、是否与Sn有关联等），这需要通过大量变式练习来积累经验。 强化“新定义”破题能力：主动练习各类新定义数列题，训练自己从冗长的叙述中精准提取递推规则或项与项之间定量关系的能力，并将其翻译、转化为标准的数学递推式。 构建“交汇联系”网络：在复习中，有意识地将数列通项与函数、不等式等板块结合，理解数列作为一种特殊的离散函数，其性质如何与其他数学知识产生联系，提升综合解题的视野。 总之，数列求通项的备考已不能停留在记忆几种固定套路上，而应上升到理解思想、掌握原理、灵活转化的高度，以应对千变万化的命题形式。如果你能告诉我你在练习哪一类递推公式时感到困难，我可以为你提供更具针对性的分析。
观察法求通项公式
解｜题｜策｜略 1、相邻项之间的关系：观察后一项是否可以通过对前一项进行加/减/乘/除某个固定的数（或与n有关的表达式） 得到。如果能发现这种统一的递推模式，你几乎就找到了通项。 2、根据规律提出通项公式的猜想 3、这是观察法必不可少的环节，因为仅凭有限项归纳的结论可能不唯一或错误。 如果对所有给出的项都成立，则猜想成立。如果前几项成立，但发现某项不符，或n=1时不成立（常见于由 Sn 推出的公式），则说明猜想需要修正，可能通项公式需要分段表示（如 n=1 时一个表达式，n≥2 时另一个表达式）。 常见易错点与注意事项 观察的起点：如果数列不是从 n=1 开始定义的，要特别注意项数与项的对应关系。 观察法常与归纳法配合使用，其结论的严格证明通常需要数学归纳法。在更复杂的数列问题中，观察法是发现潜在规律（如周期、对称性）的重要手段，能为后续使用构造法（如构造等差/等比数列）提供方向。
1．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·月考）数列的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26高二上·河南洛阳·月考）已知数列的前4项为1，2，5，12，则的通项公式可以是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高二上·广西·月考）已知数列，则是这个数列的第（ ）项
A．13 B．14 C．15 D．16
4．（25-26高二上·山东·月考）已知数列，，，，，…，则该数列的通项公式可以为（ ）
A． B．
C． D．
5．（25-26高二上·吉林·期末）数列2,0,2,0,…的一个可能的通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
由n项和递推式求通项公式
解｜题｜策｜略 根据题目给出的项求和公式或者求积公式，构造项后做差或作商，求通项
1．（25-26高二上·天津南开·期末）若数列满足，则（ ）
A．32 B．10 C． D．
2．（25-26高二上·河北衡水·期末）在数列中，，，若不等式 对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（多选）（25-26高二上·宁夏吴忠·期末）已知数列满足，设数列的前项和为，则（ ）
A． B．
C．数列是等比数列 D．
4．（多选）（25-26高二上·河南·月考）记为数列的前项和，已知，则（ ）
A．为等比数列 B．为等比数列
C． D．
5．（2026·河北邯郸·模拟预测）数列的前项和为，数列满足，若，则数列的最小项为 ．
由an与Sn关系求通项公式
解｜题｜策｜略 由题目给出与（或者直接给出多项数列相加）关系式求通项公式，可以考虑退位相减，构造 然后根据化简。 消得到的关系式 消得到的关系式 注意：构造后，，所以求出通项公式后，记得验证首项是否满足通项公式。
1．（2025·河北沧州·一模）记为数列的前项和，，数列的前项和为，则（ ）
A．0 B．40 C．80 D．120
2．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）已知首项为3的数列的前n项和为，若，则（ ）
A．3 B． C． D．－2
4．（多选）（25-26高二上·河南许昌·月考）已知数列的前n项和为，且，则（ ）
A．2048不是的项 B．为等差数列
C．为等比数列 D．的前n项和等于
5．（多选）（2026·广西·模拟预测）记为正项数列的前n项和，且，则（ ）
A． B．是等差数列
C．是递增数列 D．是递增数列
累加法求通项公式
解｜题｜策｜略 型（是关于的函数）： 注意： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 验证首项是否满足通项公式。
1．（25-26高二上·广东惠州·月考）在数列中，已知，且，则 ．
2．（25-26高二上·北京·期末）已知数列满足，，若，都有，其中、，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高二上·江西·月考）已知数列满足，，若对，，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高二上·全国·期末）已知数列满足：，，则
5．（25-26高三上·天津河西·期末）在数列中，，，则 ．
累乘法求通项公式
解｜题｜策｜略 型（是关于的函数）： 注意： 的连乘一般可以上下抵消，注意隔项相消的时候，要留意保留的项。 验证首项是否满足通项公式。
1．（25-26高二上·青海西宁·期末）已知数列满足，记的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三上·江西南昌·专题练习）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高二上·天津·月考）若数列满足，， 则 ，数列的通项公式 ．
一次/二次/常数构造法求通项公式
解｜题｜策｜略 目标把拆分成的形式，使得为公比为的等比数列（其中的满足） 目标把拆分成的形式，使得为公比为的等比数列（其中的满足
1．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知数列中，，则数列的通项公式 ．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，求出数列的通项公式.
3．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，，且，则通项公式为
4．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足（）且，求数列的通项公式．
指数型构造法求通项公式
解｜题｜策｜略 两边同时除以，得，然后按照的方法去求通项。 通过待定系数法，构造等比数列，最后来确定系数。 验证首项是否满足通项公式。
1．（2021·贵州安顺·模拟预测）在数列中，，，则 ．
2．（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知数列中，，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高三上·河南新乡·期中）在数列中，，，则 .
4．（2025·海南·模拟预测）已知首项为2数列的前项和为，且．若，则的最小值为 ．
由连续两项和求通项公式
解｜题｜策｜略 根据连续两项和的递推式来求通项公式 ，然后将两式相减得，再根据累加法可以得到数列隔项的通项公式。
1．（25-26高二上·河北邢台·月考）设数列的前项和为，且，则（ ）
A． B．
C．有最小值3 D．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，，则 ．
3．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知数列满足，则数列的前9项和 ．
4．（25-26高三上·湖北随州·期末）在正项数列中，，，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
由连续两项积求通项公式
解｜题｜策｜略 根据连续两项和的递推式来求通项公式 ，然后将两式相除得，再根据累乘法可以得到数列隔项的通项公式。
1．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列满足，，，，则数列的通项公式为
2．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列满足，则数列的通项公式为
3．（2025高三上·吉林长春·专题练习）已知数列的首项为，，则的前20项的和等于 .
由连续三项关系求通项公式
解｜题｜策｜略 根据给出的递推关系式,使用待定系数法构造，构造新数列。
1．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列满足，，，则的通项公式为 .
2．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，求数列的通项公式．
3．（25-26高三上·江苏盐城·期末）已知数列满足，，，记，为数列的前项和，则（ ）
A．63 B．127 C．255 D．256
4．（24-25高二下·安徽·月考）若数列满足，则称为佩尔数列．在佩尔数列中， ．
5．（25-26高三上·河北·月考）已知数列满足，则的前30项的和为 .
倒数型求通项公式
解｜题｜策｜略 型 化成形式，得{}为等差数列
1．（多选）（25-26高二上·陕西西安·月考）已知数列满足，则（ ）
A．数列是等差数列 B．
C．数列的前项和 D．数列是递减数列
2．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高二上·全国·期末）已知一个各项非零的数列满足且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（多选）（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知数列满足，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．的前项和
D．的前项和
5．（2025高三·全国·专题练习）数列满足，，则数列的前2020项的和等于（ ）
A． B． C． D．
周期性数列求通项公式
解｜题｜策｜略 同函数的周期性一致，数列也具有周期性。以下举出几个常见周期数列的特征。 型 分式递推式，可能为周期数列，可计算出几项来证实一下周期性。 或 分段式数列 注意： 以上几种数列，当觉得可能为周期数列时，可计算出几项来验证一下周期性。
1．（25-26高二上·北京海淀·期末）已知数列满足，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高二上·北京西城·期末）已知数列满足，，，为数列的前项和，则（ ）
A． B．
C．的最大值为20 D．
3．（25-26高二上·陕西榆林·期末）已知数列中，，，则数列前项的和为（ ）
A．0 B． C． D．
4．（25-26高二上·上海浦东新·期末）已知数列满足，且，则 .
故答案为：2.
（建议用时：30分钟）
1．（25-26高二上·河北邯郸·月考）记数列的前项和满足，则（ ）
A． B． C． D．
2.（多选）（25-26高三上·重庆·月考）已知首项为2的数列的前n项和为，且，则（ ）
A． B．是等差数列
C．是等差数列 D．若，则n的最小值为5
3．（25-26高二上·江苏常州·月考）已知数列满足，设，为数列的前n项和.若对任意恒成立，则实数的最小值为 .
4．（25-26高二上·山东淄博·月考）已知数列满足，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高二上·重庆·月考）在数列中，若，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26高三上·天津滨海新·月考）在数列中，，则通项公式（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26高二上·河北邢台·月考）数列1，，，，3，…，的一个通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
8．（25-26高二上·安徽·月考）已知数列满足，且，则（ ）
A．60 B．62 C．64 D．66
9．（25-26高二上·上海·期末）已知数列满足，则 .
10．（24-25高二上·江苏·期末）已知，，则
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题6.2 数列求通项
近三年： 在数列求通项板块，高考命题强调“通项公式、求和公式与数列性质三法并重”，突出函数与方程、化归与转化的核心思想。近年来的真题清晰地显示，数列通项的考查已超越对单一方法的机械应用，呈现出“基础交汇并重、情境定义出新”的鲜明特点。 通法通性，基础为核：对等差、等比数列定义及基本量（首项、公差/公比）方程的考查是永恒的基础。同时，由 an 与 Sn 的关系求通项、累加法、累乘法及构造法（如构造等差、等比数列）等经典通法是解决递推数列问题的核心工具，在解答题第一问中占据主体地位。 交汇融合，综合考查：数列作为绝佳的知识交汇点，其通项问题常与函数性质、不等式、平面向量等模块深度结合。例如，给出一个结合向量或函数背景的递推关系，要求先转化、再求通项，这直接检验了知识迁移与综合应用能力。 情境创新，定义突破：为落实“去套路化”的命题导向，新颖的现实生活情境与数学新定义成为重要载体。题目可能基于某种实际增长模型或自定义的数列（如“绝对等差数列”、“好集”等），要求考生在理解新规则的基础上，将其化归为熟悉的等差、等比模型或运用经典通法求解。这重点考查数学抽象与逻辑推理素养。 在实际命题中，小题（选择题、填空题）侧重对通法（特别是Sn法、累加法、累乘法）的快速识别与灵活运用；而解答题则倾向于以综合或新定义的形式，完整考查从理解条件、转化递推到求解通项的全过程，思维量和综合性并重。 预测2026年： 基于以上分析，“准确识别递推模型并选择恰当方法进行化归”的能力在2026年高考的数列求通项命题中预计将愈发关键。数列求通项的核心价值在于它不仅是后续求和与证明的基石，更是训练从复杂、新颖的表象中洞察数学本质结构，并运用化归思想将其转化为可解模型的思维体操，这在当前高考强调创新思维选拔的背景下尤为重要。 你在备考中需要将以下几项放在同等重要的位置进行系统性训练： 夯实“四大通法”基础：必须对Sn法、累加法、累乘法及常见构造法（如an+1 = p·an + q型）的适用条件、步骤细节和易错点（如n=1的验证）做到极度熟练，形成条件反射。 提升“模型识别”速度：面对递推式，要能快速判断其潜在可转化的方向（如是否可分解因式、两边同除某式后出现新数列、是否与Sn有关联等），这需要通过大量变式练习来积累经验。 强化“新定义”破题能力：主动练习各类新定义数列题，训练自己从冗长的叙述中精准提取递推规则或项与项之间定量关系的能力，并将其翻译、转化为标准的数学递推式。 构建“交汇联系”网络：在复习中，有意识地将数列通项与函数、不等式等板块结合，理解数列作为一种特殊的离散函数，其性质如何与其他数学知识产生联系，提升综合解题的视野。 总之，数列求通项的备考已不能停留在记忆几种固定套路上，而应上升到理解思想、掌握原理、灵活转化的高度，以应对千变万化的命题形式。如果你能告诉我你在练习哪一类递推公式时感到困难，我可以为你提供更具针对性的分析。
观察法求通项公式
解｜题｜策｜略 1、相邻项之间的关系：观察后一项是否可以通过对前一项进行加/减/乘/除某个固定的数（或与n有关的表达式） 得到。如果能发现这种统一的递推模式，你几乎就找到了通项。 2、根据规律提出通项公式的猜想 3、这是观察法必不可少的环节，因为仅凭有限项归纳的结论可能不唯一或错误。 如果对所有给出的项都成立，则猜想成立。如果前几项成立，但发现某项不符，或n=1时不成立（常见于由 Sn 推出的公式），则说明猜想需要修正，可能通项公式需要分段表示（如 n=1 时一个表达式，n≥2 时另一个表达式）。 常见易错点与注意事项 观察的起点：如果数列不是从 n=1 开始定义的，要特别注意项数与项的对应关系。 观察法常与归纳法配合使用，其结论的严格证明通常需要数学归纳法。在更复杂的数列问题中，观察法是发现潜在规律（如周期、对称性）的重要手段，能为后续使用构造法（如构造等差/等比数列）提供方向。
1．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·月考）数列的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据规律写出数列的通项公式判断AB，结合选项求，推出矛盾判断CD.
【详解】对于选项A，B，根据题意，数列，
即，
故一个通项公式为或，选项A，B正确，
对于选项C，若，则，矛盾，C错误，
对于选项D，若，则，矛盾，D错误，
故选：AB
2．（25-26高二上·河南洛阳·月考）已知数列的前4项为1，2，5，12，则的通项公式可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将数列的前4项依次代入选项验证即可.
【详解】数列的前4项：，，，.
选项A：，，排除；
选项B：，，，，均符合；
选项C：，，排除；
选项D：，，排除.
故选：B.
3．（25-26高二上·广西·月考）已知数列，则是这个数列的第（ ）项
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】A
【分析】由题可得数列通项公式，据此可得答案.
【详解】由题可得数列通项公式为：.
则令.
故选：A
4．（25-26高二上·山东·月考）已知数列，，，，，…，则该数列的通项公式可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据数列的规律写通项公式.
【详解】已知数列可化为：，
根据数列的规律，可知该数列的通项公式可以为.
故选：B.
5．（25-26高二上·吉林·期末）数列2,0,2,0,…的一个可能的通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可.
【详解】A选项，前4项为：2,0,2,0，A选项符合；
B选项，前4项为：2,0,2,0，B选项符合；
C选项，前4项为：0,0,0,0，C选项不符合；
D选项，前4项为：0,2,0,2，D选项不符合；
故选：AB.
由n项和递推式求通项公式
解｜题｜策｜略 根据题目给出的项求和公式或者求积公式，构造项后做差或作商，求通项
1．（25-26高二上·天津南开·期末）若数列满足，则（ ）
A．32 B．10 C． D．
【答案】C
【分析】由，分两步，当求出，当时得到，两式作差即可求出数列的通项公式，即可求解.
【详解】因为①，当时，，
当时②，
①减②得，所以，当时也成立，
所以，所以.
故选：C
2．（25-26高二上·河北衡水·期末）在数列中，，，若不等式 对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据数列的前n项和与通项之间的关系推出，结合题意可得，设，结合数列单调性可得的最大值，即可得结果.
【详解】因为，，
当时，则，
两式相减可得：，即，
且，即，可知数列是各项均为的常数列，
所以，即.
因为，即，可得，
设，则，
令，解得，
当时，数列递增；当时，；当时，数列递减，
所以的最大值为.
因为对恒成立，
可得，所以实数的取值范围是.
故选：C.
3．（多选）（25-26高二上·宁夏吴忠·期末）已知数列满足，设数列的前项和为，则（ ）
A． B．
C．数列是等比数列 D．
【答案】ABD
【分析】根据前n项和与通项公式之间的关系求，，即可判断BD；根据等比中项判断C；利用等差数列求和公式求，即可判断A.
【详解】因为，
当时，则，故B正确；
当时，则，
两式相减可得，则；
且符合上式，所以，故D正确；
因为，，，则，
所以数列不是等比数列，故C错误；
又因为，可知数列是等差数列，
所以，故A正确.
故选：ABD.
4．（多选）（25-26高二上·河南·月考）记为数列的前项和，已知，则（ ）
A．为等比数列 B．为等比数列
C． D．
【答案】BCD
【分析】利用两式作差可得，再转化为，从而可判断B，通过求出和，可判断A，再利用等比数列求和可判断C，利用错位相减法求和可判断D.
【详解】由，可得：
，
两式相减得：，即，
所以为等比数列，故B正确；
再由，可得，
即，
当时，有，
由于不满足上式，所以，故A错误；
由
，故C正确；
由，
则，
两式相减得：
，故D正确；
故选：BCD
5．（2026·河北邯郸·模拟预测）数列的前项和为，数列满足，若，则数列的最小项为 ．
【答案】/0.32
【分析】先分别求出，的通项公式，进而求出的通项公式，结合的性质，讨论的单调性，进而求出的最小项．
【详解】数列的前项和为，
当时，，
当时，，
，，
，记为，
当时，，
当时，，即，
，
，
，
，
当时，，故，
当时，，故，
当时，，
在时递减，在时递增，最小值出现在处，，
故答案为：．
由an与Sn关系求通项公式
解｜题｜策｜略 由题目给出与（或者直接给出多项数列相加）关系式求通项公式，可以考虑退位相减，构造 然后根据化简。 消得到的关系式 消得到的关系式 注意：构造后，，所以求出通项公式后，记得验证首项是否满足通项公式。
1．（2025·河北沧州·一模）记为数列的前项和，，数列的前项和为，则（ ）
A．0 B．40 C．80 D．120
【答案】B
【分析】由条件，求得，进而得到数列为常数列，求得，得，根据分组求和求出答案.
【详解】当时，由，得，
两式相减得，即，
对取可得，
故数列为常数列，所以，则，
故，易知，
所以.
故选：B.
2．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用与的关系以及的值证明得到数列是从第 1项起是公比为 3 的等比数列，得
【详解】已知，
则当时，，
两式相减得到，即 ；
所以数列是从第 2 项起是公比为 3 的等比数列，
当时，；
所以数列是从第 1项起是公比为 3 的等比数列，
所以；
故选：A.
3．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）已知首项为3的数列的前n项和为，若，则（ ）
A．3 B． C． D．－2
【答案】B
【分析】根据数列与的关系，利用相减法将已知等式转化为，再根据的值即可得数列为周期数列，从而可得的值.
【详解】因为，则，
所以，则，即，
因为，所以，，
，，
所以数列是以为周期的数列，
故.
故选：B.
4．（多选）（25-26高二上·河南许昌·月考）已知数列的前n项和为，且，则（ ）
A．2048不是的项 B．为等差数列
C．为等比数列 D．的前n项和等于
【答案】BCD
【分析】已知数列满足，求得通项，选项A：利用通项公式与等比数列定义验证2048是否在数列中；选项B：利用对数运算与等差数列定义判断的等差性；选项C：利用数列差与等比数列定义判断的等比性；选项D：利用等比数列求和公式结合计算前项和是否等于.
【详解】由，当 时，得，即 ；
当 时，得；
所以，化简得到；
所以是首项为1、公比为 2 的等比数列，通项为；
令，即 ，所以2048 是数列的第 12 项，故A错误；
，这是首项为 0、公差为的等差数列，故B正确；
是首项为1、公比为 2 的等比数列，故C正确；
，可知是首项为 1、公比为 4 的等比数列，
其前n项和为，而，
因此，故D正确.
故选：BCD.
5．（多选）（2026·广西·模拟预测）记为正项数列的前n项和，且，则（ ）
A． B．是等差数列
C．是递增数列 D．是递增数列
【答案】ACD
【分析】根据与的递推公式进行化简，对各个选项逐一检验即可求解.
【详解】对于A, 注意到, , , ,
由得, 故A正确;
对于B, 实际上, , ,
, 显然, 故B错误;
对于C, 由,与两式相减得，
即, 因为为正项数列，所以且,
可得, 即, 故C正确,
对于D, 注意到, 可得是递增数列, 故D正确.
故选：ACD.
累加法求通项公式
解｜题｜策｜略 型（是关于的函数）： 注意： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 验证首项是否满足通项公式。
1．（25-26高二上·广东惠州·月考）在数列中，已知，且，则 ．
【答案】
【分析】根据已知有且，应用累加法求数列通项，注意验证即可得.
【详解】由题设，当，，
所以，，，，
将上式累加可得，
所以，显然也满足，
所以.
故答案为：
2．（25-26高二上·北京·期末）已知数列满足，，若，都有，其中、，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用累加法求出数列的通项公式，求出的最大项和最小项，可得出的最小值.
【详解】因为数列满足，，
当时，，
则
，
也满足，故对任意的，.
当为奇数时，，数列中的奇数项单调递减，
此时，且，即，
当为偶数时，，数列中的偶数项单调递增，
此时，且，此时，
综上所述，数列中的最小项为，最大项为，
若，都有，其中、，当，时，取最小值，且其最小值为.
故选：C.
3．（25-26高二上·江西·月考）已知数列满足，，若对，，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将整理成，利用累加法求出，从而得到， 对，恒成立，即，将整理为，利用基本不等式即可求出实数m的取值范围.
【详解】，，
当时，，
即，
当时也满足，，
对，恒成立，，
，
当且仅当时，等号成立，，即，
实数m的取值范围是.
故选：B.
4．（25-26高二上·全国·期末）已知数列满足：，，则
【答案】4
【分析】根据与的关系，先得到数列的递推关系，再根据累加法求的值.
【详解】由，
所以（，）
所以，，…， ，
各式相加得：.
故答案为：4.
5．（25-26高三上·天津河西·期末）在数列中，，，则 ．
【答案】
【分析】考察求数列通项的方法：累加法；在化简过程中注意对数运算；
【详解】化简得：，
，，，；
将上述式子相加，
得，
代入，得，
则，
故答案为：.
累乘法求通项公式
解｜题｜策｜略 型（是关于的函数）： 注意： 的连乘一般可以上下抵消，注意隔项相消的时候，要留意保留的项。 验证首项是否满足通项公式。
1．（25-26高二上·青海西宁·期末）已知数列满足，记的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据累乘法求通项，根据裂项相消法求.
【详解】由，得，
当时，，
以上各式相乘，得，又，所以，
因为满足上式，所以，
因为，所以.
故选:A.
2．（2025高三上·江西南昌·专题练习）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由累积法可得，根据与的关系计算即可求解.
【详解】因为，则，
所以，
当时，，
当时，满足，
所以数列的通项公式为.
故选：C
3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知得到，利用累乘法求出即可得解.
【详解】，，
.
故答案为：B.
4．（25-26高二上·天津·月考）若数列满足，， 则 ，数列的通项公式 ．
【答案】 8
【分析】利用递推关系式可求，利用累乘法可求通项公式.
【详解】因为，，所以，.
由题意，，，，
以上各式相乘可得.
故答案为：8
一次/二次/常数构造法求通项公式
解｜题｜策｜略 目标把拆分成的形式，使得为公比为的等比数列（其中的满足） 目标把拆分成的形式，使得为公比为的等比数列（其中的满足
1．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知数列中，，则数列的通项公式 ．
【答案】
【分析】利用构造法判断为等比数列，然后利用等比数列通项公式即可得解.
【详解】因为，所以，
又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，故.
故答案为：
2．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，求出数列的通项公式.
【答案】
【详解】因为，令，即，得，，故，因为，所以，所以数列是首项为，公比为3的等比数列，得，所以.
3．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，，且，则通项公式为
【答案】
【分析】由构造法可得是以2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式可得到结果.
【详解】
又
是以2为首项，2为公比的等比数列
，
.
故答案为：.
4．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足（）且，求数列的通项公式．
【答案】
【分析】构造法得到为公比为4的等比数列，且，求出通项公式.
【详解】，设，故，所以，
解得，所以，
所以为公比为4的等比数列，且，所以，
故.
指数型构造法求通项公式
解｜题｜策｜略 两边同时除以，得，然后按照的方法去求通项。 通过待定系数法，构造等比数列，最后来确定系数。 验证首项是否满足通项公式。
1．（2021·贵州安顺·模拟预测）在数列中，，，则 ．
【答案】
【分析】结合递推公式的结构特点构建一个等差数列，利用等差数列的通项公式求出构建的数列的通项公式，进而得解.
【详解】将两边同时除以，得，即．
由等差数列的定义知，数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，故．
故答案为：.
2．（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知数列中，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用条件证明数列是等差数列并求出数列的通项公式，将代入即可得解.
【详解】已知，两边同时除以，
可得，即.
又当时，，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，所以，
所以.
故选：A
3．（25-26高三上·河南新乡·期中）在数列中，，，则 .
【答案】
【分析】由已知的递推公式构造等比数列，求得该等比数列的通项公式，从而得到数列的通项公式.
【详解】由，得.
由，得，则，
所以.
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以.
所以.
故答案为：.
4．（2025·海南·模拟预测）已知首项为2数列的前项和为，且．若，则的最小值为 ．
【答案】6
【分析】根据给定条件，利用构造法求出，作差构造新数列，探讨单调性求出的最小值.
【详解】由，得，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列，
所以，即，故，
令，则，
所以数列是递增数列，
因为，，
所以当时，，即，
当时，，即，
所以的最小值为6．
故答案为：6
由连续两项和求通项公式
解｜题｜策｜略 根据连续两项和的递推式来求通项公式 ，然后将两式相减得，再根据累加法可以得到数列隔项的通项公式。
1．（25-26高二上·河北邢台·月考）设数列的前项和为，且，则（ ）
A． B．
C．有最小值3 D．
【答案】BCD
【分析】先根据数列的递推关系求出的通项公式，然后根据等差数列的性质逐项判断选项即可.
【详解】因为①，所以②，
②-①得.
所以数列的奇数项和偶数项都是公差为2的等差数列，
因为，所以.
所以，B正确，
所以，可知数列是首项为1，公差为1的等差数列.
那么有，A错误，
，
当时，是关于n的增函数，
故当时，取最小值为，C正确；
，D正确.
故选：BCD.
2．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，，则 ．
【答案】406
【分析】利用两式相减得，再利用两式相减可得，由此可得，进一步可得答案.
【详解】由，两式相减得，即.
再由，两式相减得，由，得，
故为以14为首项，8为公差的等差数列，故，
故
故答案为：406.
3．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知数列满足，则数列的前9项和 ．
【答案】70
【分析】根据题意求得，得到数列是首项为，公差为4的等差数列，数列是首项为，公差为4的等差数列，求得的通项公式，分为奇数和偶数，结合等差数列求和公式，即可求解．
【详解】由，可得，
两式相减，可得，
又由且，可得，
所以数列是首项为，公差为4的等差数列，
数列是首项为，公差为4的等差数列，
即n为奇数时，，n为偶数时，，
．
故答案为：70．
4．（25-26高三上·湖北随州·期末）在正项数列中，，，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用递推公式，可得是等比数列，求出通项，分奇偶讨论可得答案.
【详解】由，得，得，
则是首项为，公比为的等比数列，
所以，即．
当为奇数时，为递增数列，
所以，即．
当为偶数时，为递减数列，
所以，所以．
又，所以，所以.
故选：C
由连续两项积求通项公式
解｜题｜策｜略 根据连续两项和的递推式来求通项公式 ，然后将两式相除得，再根据累乘法可以得到数列隔项的通项公式。
1．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列满足，，，，则数列的通项公式为
【答案】
【分析】由 得，分奇偶项分别求通项，最后写出通项公式.
【详解】由，得，
以上两式相比，得，
由，得，
所以，数列是首项为3，公比为4的等比数列，，
数列是首项为6，公比为4的等比数列，，
综上，数列的通项公式为.
故答案为：.
2．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列满足，则数列的通项公式为
【答案】
【分析】由题可得的奇数项和偶数项分别是等比数列，利用等比数列的通项公式即得.
【详解】由，可得，两式相除得，
所以的奇数项和偶数项分别是以4为公比的等比数列，
由，，可得，
当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以.
故答案为：.
3．（2025高三上·吉林长春·专题练习）已知数列的首项为，，则的前20项的和等于 .
【答案】
【分析】根据可得的奇数项和偶数项，分别成等比数列，且公比为2，可根据等比数列的求和公式以及分组求和得解.
【详解】由可得，故，
因此数列的奇数项和偶数项，分别成等比数列，且公比为2，
又，故，
因此的前20项的和等于，
故答案为：
由连续三项关系求通项公式
解｜题｜策｜略 根据给出的递推关系式,使用待定系数法构造，构造新数列。
1．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列满足，，，则的通项公式为 .
【答案】
【分析】将两边同时加，结合等比数列的定义证明可得，再构造数列，求解首项分析即可；
【详解】由,
得，且，
故数列是以2为首项，3为公比的等比数列，
故，
所以，
设，则，又，
所以数列的所有项均为0，即，
所以.
故答案为：.
2．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，求数列的通项公式．
【答案】
【分析】将条件变为，根据等比数列的定义，可证是以3为首项，3为公比的等比数列，可得，变形可得，根据等比数列的定义，可证是以为首项，为公比的等比数列，整理计算，即可得答案.
【详解】因为，
所以，即，
又，
所以是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以，即，
左右同除得：，
所以，即，
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
则，所以.
3．（25-26高三上·江苏盐城·期末）已知数列满足，，，记，为数列的前项和，则（ ）
A．63 B．127 C．255 D．256
【答案】C
【分析】由题意可得数列是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的前项和公式即可求解.
【详解】由得，
又，易得，
两边同时取以为底的对数得，
即，
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则.
故选：C.
4．（24-25高二下·安徽·月考）若数列满足，则称为佩尔数列．在佩尔数列中， ．
【答案】
【分析】利用构造法判断数列和为等比数列即可得解.
【详解】因为，设，则，
所以解得或.
当时，，
所以是首项为1，公比为的等比数列，
当时，，
所以是首项为1，公比为的等比数列，
所以．
故答案为：.
5．（25-26高三上·河北·月考）已知数列满足，则的前30项的和为 .
【答案】
【分析】根据递推式变形求得，进而利用等差数列前n项和公式求和即可得解.
【详解】由题意得，
两式相加，
则，
所以，且，
故，构成以为首项，为公差的等差数列，
所以.
故答案为：
倒数型求通项公式
解｜题｜策｜略 型 化成形式，得{}为等差数列
1．（多选）（25-26高二上·陕西西安·月考）已知数列满足，则（ ）
A．数列是等差数列 B．
C．数列的前项和 D．数列是递减数列
【答案】AC
【分析】根据等差数列的定义即可判断A；根据等差数列的通项公式即可判断B；根据等差数列的前项和公式即可判断C；根据等差数列的单调性即可判断D.
【详解】对于A，由，
可得，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故A正确；
对于B，由A知，所以，故B错误；
对于C，由A，B知，，故C正确；
对于D，由A知，，
所以数列是递增数列，故D错误.
故选：AC.
2．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据题中所给的递推关系，可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，从而可求得其通项公式，代入，解方程即可.
【详解】由题意知，，所以，即，
又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，
所以，解得.
故选：C
3．（25-26高二上·全国·期末）已知一个各项非零的数列满足且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，构造等比数列求出的通项公式，再分、、三种情况讨论数列，结合给出判断.
【详解】因为，，所以，
设，则，所以
若，则，则，与矛盾，所以，
故，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以，
故，
若，则，
则数列为递增数列，且，
所以数列为递减数列，与已知矛盾；
若，则，
所以数列为递减数列，且，
所以数列为递增数列，满足条件；
当时， ，故，所以数列为递减数列，
解不等式，得，可得，
因为，所以当，且时，，
当，且时，，与条件矛盾，
且若时有无意义，
所以的取值范围是，
故选：A.
4．（多选）（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知数列满足，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．的前项和
D．的前项和
【答案】BCD
【分析】运用构造法求出数列的解析式后，易知其既是正项数列，又是递减数列，其最大项为，再运用分组求和法与裂项相消法分别解决选项C，D中的数列求和问题.
【详解】由题可得，可构造为，
又，因此是以3为首项，3为公比的等比数列.
，得.
对于A：由的解析式，易知其为递减数列，故A错误；
对于B：因为故.又因为为递减数列，其最大项为.故B正确；
对于C：，其前项和.故C正确；
对于D：设.
又注意到，.
因此
因此的前项和
.故D正确.
故选：BCD.
5．（2025高三·全国·专题练习）数列满足，，则数列的前2020项的和等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 ，两边取倒数得，从而由累加法可得，然后由裂项相消法可得答案.
【详解】根据题意，对两边取倒数得：
，则 ，
又,则
，
当时也适合，
即，
则，
所以.
故选：D．
周期性数列求通项公式
解｜题｜策｜略 同函数的周期性一致，数列也具有周期性。以下举出几个常见周期数列的特征。 型 分式递推式，可能为周期数列，可计算出几项来证实一下周期性。 或 分段式数列 注意： 以上几种数列，当觉得可能为周期数列时，可计算出几项来验证一下周期性。
1．（25-26高二上·北京海淀·期末）已知数列满足，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用递推数列得到周期，再利用周期求解即可.
【详解】已知，
所以，
则数列是周期为的周期数列，
又因为，
即.
故选：
2．（25-26高二上·北京西城·期末）已知数列满足，，，为数列的前项和，则（ ）
A． B．
C．的最大值为20 D．
【答案】D
【分析】首先计算数列的奇数项和偶数项，可得出选项A，分别计算奇数项的和，偶数项的和，相加得，可得出选项B，分别计算前n项和的最大值，可得出选项C，代入的公式可得出选项D.
【详解】奇数项
，构成首项为8、公差为 的等差数列.
通项；
偶数项：
，构成周期为2的周期数列；，
通项：，
选项A，，对应，
，选项A 错误.
选项B，为偶数，
奇数项和：，
偶数项和：，
，
为奇数，
偶数项和：，
，
选项B 错误.
选项C，由 为偶数，，
为奇数，，
开口向下的二次函数，对称轴都为，
所以，
，C错误.
D. ，
，即 ，
，
，
，
，选项D 正确.
故选：D
3．（25-26高二上·陕西榆林·期末）已知数列中，，，则数列前项的和为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据递推关系先求出数列的前几项，可归纳出数列是周期数列，进而可求得前项的和.
【详解】因为，，
所以，，，
，，
所以数列是是周期为4的周期数列，
且，
所以前项的和．
故选：C．
4．（25-26高二上·上海浦东新·期末）已知数列满足，且，则 .
【答案】2
【分析】根据递推公式逐项检验可知数列的一个周期为5，进而运算求解.
【详解】因为，且，
则，，，，，
可知数列的一个周期为5，所以.
故答案为：2.
（建议用时：30分钟）
1．（25-26高二上·河北邯郸·月考）记数列的前项和满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用与的关系求解即可.
【详解】因为，
当；
所以，
当时，，符合上式，所以，
故选：C.
2.（多选）（25-26高三上·重庆·月考）已知首项为2的数列的前n项和为，且，则（ ）
A． B．是等差数列
C．是等差数列 D．若，则n的最小值为5
【答案】ABC
【分析】根据数列前项和与通项的关系（，需验证的情况），等差数列的定义，通过对递推式变形，构造新的等差数列，及代入具体正整数验证不等式成立的最小取值，逐个分析即可.
【详解】选项A：因为，，
令，则，
因为，所以，
又因为，故，选项A正确；
选项B：因为，
则两边同时除以，得：，
即，且，
因此是首项为1，公差为1的等差数列，选项B正确；
选项C：由的通项可得：，即，
当时，，
当时，，通项成立，
则，
所以：，
所以是等差数列，选项C正确；
选项D：由，则不等式为：，
（，，两边除以）得：，
则当时：，，，不成立，
当时：，，，成立，
所以的最小值为6，选项D错误.
故选ABC.
3．（25-26高二上·江苏常州·月考）已知数列满足，设，为数列的前n项和.若对任意恒成立，则实数的最小值为 .
【答案】3
【分析】由与关系可得，然后可得及，最后由可得答案.
【详解】因，则，
两式相减可得：.
又，则，从而.
当时，；
当时，
.
综上可得：，若.对任意恒成立，则.
故实数的最小值为3.
故答案为：.
4．（25-26高二上·山东淄博·月考）已知数列满足，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据递推式，利用累加法表示出，结合等比数列前项和公式求得结果，进而求出，即可得到答案.
【详解】由题知，，且，，
所以，
累加可得，
所以，
所以，当时同样满足，
所以.
故选：C
5．（25-26高二上·重庆·月考）在数列中，若，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用累乘法求数列通项，注意验证是否满足通项，即可得.
【详解】由题设，，则，，，
当时，，，，，，，
所以，且，
显然均满足上式，所以.
故选：C
6．（25-26高三上·天津滨海新·月考）在数列中，，则通项公式（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件先判断出是等比数列，然后可求的通项公式.
【详解】因为，所以，且，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，所以，
故选：D.
7．（25-26高二上·河北邢台·月考）数列1，，，，3，…，的一个通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】找出各项与序号之间的规律，写出通项公式即可.
【详解】将数列改写为：，，，，，…，
所以是数列1，，，，3，…，的一个通项公式.
故选：D
8．（25-26高二上·安徽·月考）已知数列满足，且，则（ ）
A．60 B．62 C．64 D．66
【答案】A
【分析】根据递推关系得到，再求出，结合等差数列的通项公式求出即可.
【详解】因为，所以，
两式作差得，
故数列中的偶数项构成的新数列是以为首项，为公差的等差数列，
又，，得，
故为偶数时，故.
故选：A
9．（25-26高二上·上海·期末）已知数列满足，则 .
【答案】
【分析】利用递推公式先判断周期，利用周期数列即可求解.
【详解】由，所以，
，即，所以数列是以为周期的周期数列，
所以，
故答案为：.
10．（24-25高二上·江苏·期末）已知，，则
【答案】
【分析】通过对递推式进行代数变形，构造一个等差数列，从而求出通项公式.
【详解】由，两边平方取倒数得，
令，由上式可得：，
所以数列首项为1，公差为1的等差数列，
又，所以，
所以，
即，
又可得，又，所以，得，
所以代入：
得.
综上，.
故答案为：.
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