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专题6.3 数列求前n项和方法归纳
近三年： 在数列求和的考查中，高考命题体现出“公式法、裂项相消、错位相减、分组求和四法并重”的格局，同时并项求和、周期求和等灵活方法的应用也愈发频繁。近年来，数列求和题目的综合性显著增强，不再是单一方法的直接套用，而是展现出“背景交叉化、结构复杂化、设问层次化”的鲜明趋势。 在实际考查中，呈现以下三个层面： 基础性与综合性的统一：在选择题与填空题中，除直接考查等差、等比数列的求和公式外，更多出现需综合运用裂项相消或分组求和法的题目，考察学生对这些核心方法的熟练度。在解答题中，求和往往是整个题目的最终落脚点，通常置于第二问或第三问，其前面通常是求通项或证明等差等比，构成“通项→求和”或“证明→通项→求和”的经典结构。这意味着熟练掌握通项求解是准确求和的前提。 知识与思想的融合：数列求和成为检验分类讨论与转化化归思想的重要载体。例如，遇到含有 因子的通项时，常需采用奇偶并项求和；对于由等差与等比数列对应项乘积构成的数列，则必须使用错位相减法。同时，函数与方程思想贯穿始终，特别是在求和后，题目常要求进一步探究和式的最值或范围问题。 载体与情境的创新：命题更注重通过实际应用背景（如增长率、分期付款）和数学新定义（如“均倒数”、“绝对等差数列”、“好集”等）来包装求和问题。这要求学生具备从新颖描述中抽象出数列模型，并灵活选用恰当求和方法的能力，避免机械套用。 预测2026年： 基于以上分析，在2026年高考的数列求和命题中，方法选用的准确性与运算求解的精确性将成为区分考生能力的关键。面对“去套路化”的命题趋势，数列求和的核心价值不仅在于得到一个结果，更在于完整展现“识别数列结构 → 选择求和方法 → 执行运算过程 → 验证结果合理性”这一完整的逻辑链条和规范的表达过程，这直接对应着高考对逻辑推理和数学运算核心素养的考查。
倒序相加法
解｜题｜策｜略 等差数列的求和方法即倒序相加法。若数列整个顺序颠倒后，同原数列放一起，每个相同序号的两项的和相等，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 倒序相加常与函数的结合一起考，注意题目条件如果满足首位项（依次往中间的对应项）的和固定，考虑倒序相加法。
1．（2025 辽宁 模拟预测）若，数列满足，则的值是（ ）
A．2024 B．4048 C．3036 D．2025
【答案】B
【分析】由表达式及得到，利用等差数列求和公式及倒序相加求和可求得结果.
【详解】，
，
则.
因为
令，得
；
；
；
…………
又.
故
故选：B
2．（25-26高二上 黑龙江哈尔滨 期末）已知数列是等比数列，若，是方程的两个根，则的值为（ ）
A．1013 B． C．2023 D．1022
【答案】A
【分析】先根据韦达定理得到，再利用等比数列的性质得到，最后利用倒序相加法求和.
【详解】由题设及韦达定理，得，
由等比数列性质，得，
设，
所以，
则，
得，
所以.
故选：A
3．（25-26高二上 河北 期末）已知函数 ，正项等比数列 满足 ，则 .
【答案】6078
【分析】由等比数列性质结合对数的运算性质可得，根据函数解析式可得，再利用倒序相加法计算即可求解.
【详解】因为是正项等比数列，所以，，
即，
由，则，
故，
故
，
所以.
故答案为：.
4．（2024 浙江 一模）若，已知数列中，首项，，，则 .
【答案】
【分析】根据函数解析式得，应用作差法及已知得，则，最后利用对称性及倒序相加求和即可.
【详解】，
，即，
，
时，，两式相减得，
时，，故数列为常数列，
因为，故，
又时也符合上式，故，
，
．
记，
则，
两式相加得，，即，则．
故答案为：
5．（25-26高二上 黑龙江哈尔滨 期中）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先计算出的图像关于点成中心对称，利用倒序相加求出，从而得到，结合对勾函数的单调性得到，求出的取值范围.
【详解】因为
，所以的图像关于点成中心对称．
因为，
所以，
两式相加得，所以．
由，得，
所以．
令，
则当时，在上单调递减；
当时，在单调递增．
又，所以，所以，
即的取值范围是．
故答案为：.
错位相减法
解｜题｜策｜略 等比数列的求和方法即错位相减法。若有差数列,等比数列，对数列求和也可以用到错位相减法 找出等比数列的公比，对求和中的每项都乘以公比 然后用，注意将两式“错项对齐”，按照相同幂次方来对齐，方便合并。 错位相减法在等比数列的求和中应用到，对等差等比数列乘积构成的数列也可以，要应用两次，且相减的时候要错项对齐来合并，这里容易算错。
1．（2025 湖南永州 模拟预测）记数列的前项和为，已知.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用的关系求的通项公式；
（2）由题设写出的通项公式，再应用错位相减法、等比数列的前n项和公式求.
【详解】（1）当时，，得，
当时，，得，整理得，
所以从开始成公比为3的等比数列，则.
综上，；
（2）由（1）得，
当时，，
当时，，
则，
两式相减，得，
所以也满足该式，
故.
2．（2026 陕西西安 一模）已知是等差数列，是公比为正整数的等比数列，且，，.
(1)求，的通项公式；
(2)记（），求.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）用基本量表示，求出公差和公比，再求通项公式即可；
（2）利用错位相减法求和，即得解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为（），
由，，，有，，
有，
解得（舍），，
故，.
（2）由，
有，
两式相减，得，
故.
3．（2026 辽宁沈阳 一模）已知数列是公差为2的等差数列，其前8项和为64，数列是公比大于0的等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列的求和公式和通项公式可求，利用等比数列的基本量运算可求；
（2）先求，利用错位相减法可求.
【详解】（1）因为数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64，
所以，解得，所以；
数列是公比大于0的等比数列，设公比为，则，
因为，，所以，解得或（舍），
所以.
（2）由（1）知，
则，可得，
两式相减可得
，
所以.
4．（2025 黑龙江齐齐哈尔 模拟预测）已知等比数列的前n项和为，且．
(1)求m的值及的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）通过与的关系求解即可；
（2）先借助（1）代入知，借用“等差数列×等比数列”型数列，再用错位相减法求和即可.
【详解】（1）因为，
当时，；
当时，，
又因为是等比数列，所以，解得；
所以的通项公式为．
故；．
（2）由（1）知，
所以，
所以，
两式相减得：
，
所以．
5．（2026 河北沧州 一模）已知数列满足．
(1)证明：存在非零实数，使得数列是等比数列；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用等比数列定义可得答案；
（2）利用第（1）小问求出的通项，再利用错位相减求和即可.
【详解】（1）因为．
所以，
若数列是等比数列，又，则，解得．
此时．
由，得，
所以当时，数列是以8为首项、2为公比的等比数列．
（2）由（1）得，所以，
即数列为等差数列，且公差为2，所以，
即．则，
，
所以
，
所以．
裂项相消法
解｜题｜策｜略 对通项进行裂项变换，使得裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同． 1、对等差型的分式，例，先对分母进行因式分解，把目标分解成，再合并比较看看想化成需乘系数。 2、根式型，利用分母有有理化的方法。 3、指数型，方法类似等差型。
1．（2026·吉林白山·一模）已知等差数列的前n项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列基本量的计算可求数列的通项公式；
（2）由（1）可推得，进而利用裂项相消法求即可.
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，
由题意得，解得，
所以.
（2）由（1）知，则，
所以，
得.
2．（2025·河北·模拟预测）已知数列的首项，且．
(1)证明：数列是等差数列．
(2)令，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）利用等式变形，可以得到等差数列递推关系，从而问题得证；
（2）利用裂项法来求和，即可得解.
【详解】（1）因为，，所以，
由，两边同时除以可得：，
两边再同时乘以可得：，
又，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）由（1）可得：，则，
即，
所以.
3．（2026·吉林长春·一模）已知为数列的前项和，若，，且数列为等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的首项为2，且，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】先根据等差数列的通项公式求数列的通项公式，进而得到，再利用求数列的通项公式.
（2）利用累乘法求数列的通项公式，再利用裂项相消求和法求.
【详解】（1）由题意：，，
又数列为等差数列，设数列的公差为，
由.
所以.
所以.
当时，，
当时，.
时，上式也成立.
所以.
（2）因为，
所以，，，…，.
以上各式相乘，可得当时，，
又，所以，，
所以.
4．（2025·甘肃·模拟预测）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据与的关系可得，结合等比数列的定义和通项公式计算即可求解；
（2）由（1），根据对数的运算性质和等差数列前项求和公式计算可得，进而
，结合裂项相消法求和即可.
【详解】（1）由，得，
相减可得，故.
当时，，
又，解得，所以，
因此对任意的，都有，
故为等比数列，且公比为3，
故.
（2）.
故.
，
所以数列的前项和为.
5．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知数列是首项为1且公差不为零的等差数列，且成等比数列，数列的前项和为，
条件①，条件②，条件③，
(1)求的通项公式；
(2)选择三个条件中的一个，求的通项公式；
(3)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由等差数列的基本量表示条件成等比数列求解；
（2）从中任选一个递推公式，分和两种情况讨论求解；
（3）裂项得，正负相消求和.
【详解】（1）设数列的公差为，则，因为成等比数列，，
所以，解得，
所以；
（2）若选①，当时，，
当时，，又，所以；
若选②，当时，，又，所以，解得，
当时，，整理得，
即，所以是等比数列，公比为，又，
所以；
若选③，当时，，因为，所以，
又，所以，
当时，，
即当时，，又，所以是首项为公比为的等比数列，
所以；
（3）由（1）（2），因为，
所以，
所以.
裂项放缩证明不等式
解｜题｜策｜略 将待求和的数列进行裂项（即拆分为两式之差），但在裂项过程中，有意识地控制裂项的“尺度”，使其裂项后的通项与原通项之间形成明确的不等关系（放大或缩小）。然后利用裂项相消法求和，得到一个简洁表达式，从而便捷地证明数列和的不等式。 放缩的度要“恰到好处”：放缩后必须能裂项相消，否则变成更复杂的求和，失去意义。 保留余项控制：裂项相消后通常得到 f(1) f(n+1)f(1) f(n+1)，通过分析 f(n+1)f(n+1) 的范围（例如大于0、单调趋于0）来确定和的界限。 常见目标结构：为了证明“和小于某个常数”，放缩裂项后的结果常为 Sn≤f(1) f(n+1)1．（2025·江西宜春·模拟预测）已知数列满足，，.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求的通项公式；
(3)记，数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用结合等比数列的定义即可得证；
（2）利用累加法即可求得的通项公式.
（3）利用裂项相消法即可求解，根据其单调性即可证明.
【详解】（1）由，得，
又，，所以，
所以，，
即是以1为首项，3为公比的等比数列；
（2）由（1）知，
当时，
.
当时，也成立，所以的通项公式为；
（3）由（2）得，
所以，
所以，
显然是递增数列，所以.
因为，所以，所以.
2．（2026·四川攀枝花·一模）已知数列的前n项和为，，且4，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，记数列的前项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据与的关系求数列的通项公式.
（2）利用裂项求和法求数列的前项和，再根据数列的单调性证明.
【详解】（1）由题意.
当时，.
当时，，，
两式相减，得
所以，
又因为，所以.
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列.
所以.
（2）因为，
所以
，
因为为单调递增数列，且,
所以.
3．（2026·河北邯郸·模拟预测）设函数的图象在处的切线平行于直线，记的导函数为，数列满足：.
(1)试判断数列的单调性，并给出证明；
(2)当时，求证：.
【答案】(1)数列单调递增，证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据导数的几何意义，结合平行直线斜率之间的关系、比较法进行求解即可；
（2）利用裂项相消法进行证明即可.
【详解】（1）数列单调递增，证明如下：
，因此直线的斜率为，
所以与直线平行的直线的斜率也是，
，
因为函数的图象在处的切线平行于直线，
所以，即，
，
因为，所以，可得，
，
所以数列单调递增；
（2）因为，且，所以，
即，
当时，.
所以.
4．（2026·黑龙江大庆·二模）已知数列满足.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)记，若数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等比数列的定义求证等比数列，再利用通项公式求解；
（2）求出数列的通项公式，再根据裂项相消求出，结合其单调性即可证明.
【详解】（1）因为，所以，
又，所以，
因为，所以，
结合以上递推关系可知，，则，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以数列的通项公式为；
（2）由（1）知，
由得，
所以
因为得，数列为单调递增数列，
所以，
所以.
5．（2026·广西南宁·一模）已知数列的前n项和（p为常数），且．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1)；
(2)证明过程见解析
【分析】（1）先根据得到，再根据求出通项公式；
（2）求出，，利用分组求和，裂项相消法得到.
【详解】（1）因为，解得，
故，
故当时，，
又，故也满足，
综上，通项公式为；
（2），
故，
所以
.
分组求和
解｜题｜策｜略 当数列本身是复合型，如等差数列与等比数列的和，这时可以对其进行分组来求和，这时相当于两个n项数列的和。
1．（2026·广西柳州·二模）设等差数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题设结合等差数列的基本量计算解出，，进而求解即可；
（2）先得到，然后利用分组求和求出.
【详解】（1）设等差数列的公差为.
由题意可得，解得，，
则.
（2）由（1）可知，则，
故
.
2．（25-26高三上·安徽·月考）已知数列的首项，且满足.
(1)证明：是等差数列；
(2)记[x]表示不超过的最大整数，分别为和的前项和，求.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由，得到，即可求证；
（2）通过分组求和即可求解.
【详解】（1）证明：因为，显然，所以，
所以，
即，
又，所以是以2为首项1为公差的等差数列.
（2）由（1）得，，
所以，
所以，
所以
因为，
所以，
所以.
3．（25-26高三上·江西上饶·月考）记为数列的前项和，已知.
(1)求；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题中递推公式令运算求解即可；
（2）根据与之间的关系整理可得当时，，结合常数列分析求解即可；
（3）设，可得，利用分组求和法结合错位相减法运算求解.
【详解】（1）因为，
当时，，解得.
（2）由可得，
两式相减得，即.
当时，，
即，
由递推关系得，则。
且满足上式，故数列的通项公式为.
（3）由（2）得，
设，则，
可得，
，
两式相减得
，
故.
4．（2025·四川凉山·一模）在等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列基本量运算求得，即可求解；
（2）利用等比数列及求得，然后结合等差数列和等比数列求和公式，利用分组求和法求和即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，由题意得，
解得，所以．
（2）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以．
从而，
所以．
5．（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知数列和满足，，，.
(1)证明：是等差数列，是等比数列；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意计算后结合等差数列定义与等比数列定义即可得证；
（2）计算出后，利用等差数列求和公式与等比数列求和公式分组求和即可得.
【详解】（1）由，，
则，
故，又，故，
有，
故数列是等差数列；
，
则，又，
故数列是以为公比，为首项的等比数列；
（2）由数列是以为公比，为首项的等比数列，则，
又，则，
则.
奇偶项分组求和
解｜题｜策｜略 数列的奇数与偶数列分别是不同的数列： 分离奇偶项，把奇数项合并求和，偶数项合并求和。 确认项数，偶项数恒为半，奇项数看末尾。偶数项数总是，奇数项数在此基础上看末项是否为奇数项。当项数不明确时，要分奇数或者偶数分类讨论计算结果。
1．（2026·河北沧州·一模）记分别为数列的前项和，其中满足，且．
(1)求及；
(2)当为正奇数时，比较与的大小．
【答案】(1)，
(2)答案见解析
【分析】（1）先根据递推式判断为等差数列，进而根据已知条件列出方程组求出公差和首项，进而得到该数列的通项公式和前项和.
（2）先列出的表达式，然后作差比较大小即可.
【详解】（1）因为，所以为等差数列．
设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，
所以，
（2）由（1）知，，
当为正偶数时，，
，
则当为正奇数时，
，
则在时单调递增，
．所以；
，所以，
，所以，
由的单调性可知，当取大于5的奇数时，，
综上所述，当为小于5的正奇数时，；
当为不小于5的正奇数时，．
2．（2025·云南·模拟预测）已知正项数列的前项和为，且，.
(1)证明：为等差数列，并求所有满足条件数列的通项公式；
(2)把所有满足条件的项从小到大依次排列，组成新的数列，记数列的前项和为，求.
【答案】(1)证明见解析，或
(2)
【分析】（1）由与的关系求得数列通项公式；
（2）由（1）得到，借助等差数列的前项和公式求得.
【详解】（1）令，则，
由得，解得或，
因为，则，
两式相减得，
化简得，
因式分解得，
由已知，故.
所以是公差为3的等差数列.
当时，数列的通项公式为，
当时，数列的通项公式为.
（2）满足条件的数列有两个：
数列1：，即1，4，7，10，13，…
数列2：，即2，5，8，11，14，…
将这两项合并后按升序排列，得到：1，2，4，5，7，8，10，11，13，…
所以数列是所有不能被3整除的正整数数列，
所以数列的通项公式为
当为偶数时，设，则
，将代入得，
当为奇数时，设，，则
，
将代入得，
因此.
3．（2025·四川泸州·一模）记为数列的前项和，已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据求数列的通项公式.
（2）利用分组求和法求和.
【详解】（1）当时，，
当时，，，
两式相减得，，
所以是以为首项，3为公比的等比数列，
故.
（2）当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以
.
4．（25-26高三上·江苏·期末）已知数列的前n项和分别为，， ．
(1)求的通项公式；
(2)若，求n的最小值．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）根据等差中项的性质，可证为等差数列，根据等差数列的求和公式，可得首项和公差d的值，代入公式，即可得答案.
（2）根据等差数列的求和公式，可得表达式，根据等比数列求和公式，结合分组求和法，可得表达式，根据条件，分析求解，即可得答案.
【详解】（1）因为，所以数列为等差数列，
则，解得，
又，所以，即，
设数列的公差为d，则，解得，
所以.
（2）由（1）得，所以，则，
又，
所以
，
因为，
所以，
整理得，
因为，
所以n的最小值为6.
5．（25-26高三上·陕西西安·期末）设为数列的前项和，已知，且为等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列定义求出，进而利用与之间关系可求得数列的通项公式；
（2）采用分组求和法，分别对奇数项和偶数项求和，结合等比数列求和公式和裂项相消法可求得结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，
所以，即，
所以，即，
当时，，
当时，，满足上式，所以.
（2）由（1）知，
则
所以数列的前项和为.
绝对值数列求和
解｜题｜策｜略 绝对值数列的求和，根据原数列正负变号处开始分开成两段来求和，目标在找原数列正负项。
1．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）记为等差数列的前项和，已知.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的等差中项以及公差计算，结合其通项公式，可得答案；
（2）根据等差数列的求和公式，可得新数列的通项公式，利用分组求和，可得答案.
【详解】（1）由数列为等差数列，则，解得，
可得等差数列的公差，
可得
所以等差数列的通项公式为..
（2）由等差数列易知，
则，设数列的前项和为，
可得，
当时，；
当时，.
综上可得数列的前项和为.
2．（25-26高三上·河北·期中）设数列的前项和为，已知，当时，.
(1)求证：为等比数列；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）利用做差法即可证明为等比数列；
（2）讨论绝对值里的正负，分别求当和两种情况下的.
【详解】（1）当时，，而，
故原式为：，即： ，
等式两侧同时加得：，
即，当时，，
故数列是以为首项，3为公比的等比数列.
（2）由（1）知：，故，
而，故，
则，
故当时，
当时，
当时，；
当时，，
故.
3．（2025·安徽·模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项的和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据与的关系化简可得，利用等比数列通项公式求法计算即可求解；
（2）求得，利用分组求和即可求解.
【详解】（1）当时，由题意可知，
因为，即，
当时，，则，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
（2）由（1）可得，
所以，
当时，，
当，
，
因为，
所以，
综上，.
4．（25-26高三上·福建龙岩·月考）已知数列满足，设数列的前项和为，
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前100项和；
(3)求数列的前20项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）构造数列，知其前项和求通项，进而再求出；
（2）根据题意，两项并一项，并项为常数列求和；
（3）分段讨论去绝对值后，分组求和，再利用等差数列求和公式即可求出.
【详解】（1）由，
设，则，
所以当时，，
两式相减得，，
当时，也适合上式.
则，解得，，
所以，故数列是以为首项，为公差的等差数列.
（2）数列的前项和
.
（3）由（1）可知
，
则前项和为.
5．（25-26高二上·河南洛阳·月考）在等差数列中，，为与的等差中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，判断23是不是数列的项，若是，是第几项？若不是，请说明理由；
(3)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)23不是的项，理由见解析
(3)
【分析】（1）结合等差数列及等差中项性质求解即可.
（2）求出等差数列前n项和为，得到，通过解方程验证正整数解是否存在即可.
（3）确定数列的正负分界点，再分情况讨论求和.
【详解】（1）设的公差为d，则，
所以，，，
因为为与的等差中项，所以，
解得，所以.
（2）由（1）知，所以，
所以，
令，解得.
因为是正整数，所以23不是的项.
（3）由（1）知，
当时，，；当时，，，
所以当时，，
当时，
.
所以.
并项求和
解｜题｜策｜略 相邻两项可以合并化简，化简后的数列可以用常规求和方法求和。
1．（2025高二上·全国·专题练习）已知，，求数列{}的前n项和.
【答案】
【分析】对分奇偶讨论，当n为偶数时，采用并项法求和，当n为奇数时，，检验即可.
【详解】当n为偶数时，
当n为奇数时，当时，；
当时，，
经检验，也满足上式，
所以当n为奇数时，，
综上，数列的前n项和
2．（25-26高三上·江苏盐城·期末）设等差数列的前项和为，已知．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出等差数列的首项与公差，根据已知条件列方程组求解即可得通项公式；（2）首先写出数列的通项公式，得到的表达式，分组求和即可.
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，
由得，解得，
所以，
即数列的通项公式为.
（2）由（1）知，所以，
因为，
所以数列的前项和
3．（2025高三上·湖北孝感·专题练习）数列满足：，，．
(1)求数列的通项公式.
(2)数列满足：，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由题意可得，可求通项公式；
（2）利用分组求和法可求数列的前项和．
【详解】（1）因为，所以，
又，
故数列是以3为首项，公比是的等比数列；
所以 ，；
（2）由（1）得 ，
则
．
4.（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，；数列满足，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)，求数列的前项和；
(3)将数列和数列各取前项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数按照出现的个数重复排列，求的前项和
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据等差数列前项和公式可构造方程组求得，由等差数列通项公式可得；根据已知等式可得，由前项和与通项之间关系可得，由此可得；
（2）求得后，采用错位相减法可求得结果；
（3）通过分析可确定前项中，包含数列的前项和数列的前项，结合并项求和法和等比数列求和公式可求得结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由得：，；
，
，
当且时，，
，则；
当时，，满足；
综上所述：.
（2）由（1）得：，
，
，
，
.
（3）当为奇数时，；当为偶数时，；
，均为递增数列，，，，
的前项中，包含数列的前项和数列的前项，
的前项和为.
5．（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足.
(1)若，，且，求；
(2)若数列也是公差为的等差数列.
①求数列的通项公式；②求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)①，②
【分析】(1)根据给定条件，依次求出，列出不等式求解即得.
(2)①设，由已知借助恒成立求出，进而求出；②分为奇偶讨论求和即可.
【详解】（1）由题意知为等差数列且公差为，
所以由等差数列公式可得，又因，，
所以可得，为的前项和，
所以，而，
所以，
若，则可得，解不等式可得，
所以可得
（2）①因数列也是公差为的等差数列，所以可设，
又因，
所以可得，
两边同时平方可得对于任意的都成立，
所以可得且，解之可得，
所以
②由①知，所以，
当,即为偶数时，
，
当，即为奇数时，
，
综上可得，即
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1．（25-26高二上 湖北黄冈 月考）已知函数，数列为等比数列，，且，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，则 .
【答案】4034
【分析】倒序相加法求和.
【详解】令①
则也有②
由，
，即有，
可得：，
于是由①②两式相加得，
所以.
2．（2025·山东·三模）已知数列的前项和为，数列的前项积为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求使得成立的的最大值；
(3)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)45
(3)
【分析】（1）利用时结合已知等式得首项，再由代入等式，转化得到是等差数列，进而求出的通项.
（2）由求出，再通过与的前项和关系得到的分段表达式，分和讨论的不等式，求解的最大值.
（3）写出的分段形式，时对通项进行裂项相消拆分，再分和计算前项和.
【详解】（1）因为，所以，在中令，得.所以
当时，由及，得，所以.
又，所以是首项为3，公差为2的等差数列.
.所以.
（2）由（1）知（）.
当时，，满足上式，所以，
则（）.
当时，，不满足上式，所以
当时，，显然成立；
当时，有，所以，
又，所以的最大值为45.
（3）设，
当时，，
当时，
所以
.
当时，上式也符合，
所以.
3.（2025 河南 模拟预测）已知数列为等比数列，数列的前项和为，且，，.
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由等比数列通项公式基本量的计算和与的关系即可求解；
（2）由错位相减法即可求解.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
由，，得，即，
所以，
由，当时，，
所以，，
当时，，满足上式，
所以.
（2）由（1）得，
则，
两边同时乘以2，得，
两式作差得，
所以
4．（2025-2026学年高三上学期1月期末数学试题）已知数列的首项为2，前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，记数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)
(2)见详解
【分析】（1）通过退步作差即，再使用累加法即可求的通项公式；
（2）根据题意化简后使用裂项相消得到的通项公式，并结合数列的增减性即可求证.
【详解】（1）由题得，且，则有，
递推后联立，得，
化简得，即，故，
故数列的通项公式为.
（2）由题得，则
因为，则，所以，
易得为递增数列，故，即，
故，得证.
5．（2025·浙江杭州·一模）已知等差数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设等比数列的前项和为，且.令，求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由等差数列通项公式建立方程组，解得首项和公差，即可写出数列通项公式；
（2）结合题中条件和等比数列通项公式建立方程组，解得首项和公比，即可求得通项公式，从而求得数列通项公式，利用等比数列和等差数列前项和公式即可求得数列的前项和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则解得，
所以的通项公式为.
（2）设等比数列的公比是，
由，得，解得，
所以的通项公式为，此时，，
满足，故.
结合（1）知，
所以数列的前项和.
6．（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）已知正项等差数列满足，且成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式进行求解即可.
（2）根据数列的性质分组求和即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则
解得或
依题意得，则，
所以.
（2）因为
，
所以.
7．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前20项和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用数列前项和与第项的关系求出通项公式.
（2）由（1）求出，再利用分组求和法，结合等差、等比数列前项和公式求解.
【详解】（1）在数列中，，
当时，，
两式相减得，
则，
由可得，
所以当，依然成立，
的通项公式为.
（2）由（1）得
则
，
所以数列的前20项和.
8．（25-26高二上·河北邢台·月考）已知数列的前项和为，，，.
(1)求的通项公式及；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得，数列是从第2项起以1为公差的等差数列，由此可求得数列的通项公式及；
（2）根据数列的项的正负，分，和三种情况分析并求得.
【详解】（1）由题意，，，
则数列是从第2项起以1为公差的等差数列，
所以，
因此，当时，
；
当时，，符合，
故.
（2）由（1），令，得，即当或时，；
当时，.
当时，；
当时，，符合；
当 时，.
故.
9．（25-26高二上·福建龙岩·月考）已知数列，前项和为，
(1)若是等差数列，求数列的前项和；
(2)若，求；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出等差数列的通项公式，然后利用裂项相消法求出结果即可.
（2）利用分组求和法和等差数列、等比数列的前项和公式进行计算即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意，所以，
所以；
（2）由题意，
10．（25-26高二上·山东济南·月考）已知是数列的前项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，．
(1)求与的通项公式；
(2)若数列的前项和，求及的最小值；
(3)设，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)，最小值为
(3)
【分析】（1）借助与的关系结合等比数列定义可得的通项公式，再由等差数列性质可得的通项公式；
（2）借助等比数列求和公式可得，再分奇偶讨论可得的最小值和最大值；
（3）由题意计算可得，再借助错位相减法计算即可得解.
【详解】（1）由，则，
故，即，
当时，，则，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，故；
，则数列的公差为，故；
（2），
则，
当为偶数时，，随的增大而增大，
当为奇数时，，随的增大而减小，
故当时，有最小值；
（3）由，
则
，
则，
则，
故
，
则.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题6.3 数列求前n项和方法归纳
近三年： 在数列求和的考查中，高考命题体现出“公式法、裂项相消、错位相减、分组求和四法并重”的格局，同时并项求和、周期求和等灵活方法的应用也愈发频繁。近年来，数列求和题目的综合性显著增强，不再是单一方法的直接套用，而是展现出“背景交叉化、结构复杂化、设问层次化”的鲜明趋势。 在实际考查中，呈现以下三个层面： 基础性与综合性的统一：在选择题与填空题中，除直接考查等差、等比数列的求和公式外，更多出现需综合运用裂项相消或分组求和法的题目，考察学生对这些核心方法的熟练度。在解答题中，求和往往是整个题目的最终落脚点，通常置于第二问或第三问，其前面通常是求通项或证明等差等比，构成“通项→求和”或“证明→通项→求和”的经典结构。这意味着熟练掌握通项求解是准确求和的前提。 知识与思想的融合：数列求和成为检验分类讨论与转化化归思想的重要载体。例如，遇到含有 因子的通项时，常需采用奇偶并项求和；对于由等差与等比数列对应项乘积构成的数列，则必须使用错位相减法。同时，函数与方程思想贯穿始终，特别是在求和后，题目常要求进一步探究和式的最值或范围问题。 载体与情境的创新：命题更注重通过实际应用背景（如增长率、分期付款）和数学新定义（如“均倒数”、“绝对等差数列”、“好集”等）来包装求和问题。这要求学生具备从新颖描述中抽象出数列模型，并灵活选用恰当求和方法的能力，避免机械套用。 预测2026年： 基于以上分析，在2026年高考的数列求和命题中，方法选用的准确性与运算求解的精确性将成为区分考生能力的关键。面对“去套路化”的命题趋势，数列求和的核心价值不仅在于得到一个结果，更在于完整展现“识别数列结构 → 选择求和方法 → 执行运算过程 → 验证结果合理性”这一完整的逻辑链条和规范的表达过程，这直接对应着高考对逻辑推理和数学运算核心素养的考查。
倒序相加法
解｜题｜策｜略 等差数列的求和方法即倒序相加法。若数列整个顺序颠倒后，同原数列放一起，每个相同序号的两项的和相等，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 倒序相加常与函数的结合一起考，注意题目条件如果满足首位项（依次往中间的对应项）的和固定，考虑倒序相加法。
1．（2025 辽宁 模拟预测）若，数列满足，则的值是（ ）
A．2024 B．4048 C．3036 D．2025
2．（25-26高二上 黑龙江哈尔滨 期末）已知数列是等比数列，若，是方程的两个根，则的值为（ ）
A．1013 B． C．2023 D．1022
3．（25-26高二上 河北 期末）已知函数 ，正项等比数列 满足 ，则 .
4．（2024 浙江 一模）若，已知数列中，首项，，，则 .
5．（25-26高二上 黑龙江哈尔滨 期中）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是 ．
错位相减法
解｜题｜策｜略 等比数列的求和方法即错位相减法。若有差数列,等比数列，对数列求和也可以用到错位相减法 找出等比数列的公比，对求和中的每项都乘以公比 然后用，注意将两式“错项对齐”，按照相同幂次方来对齐，方便合并。 错位相减法在等比数列的求和中应用到，对等差等比数列乘积构成的数列也可以，要应用两次，且相减的时候要错项对齐来合并，这里容易算错。
1．（2025 湖南永州 模拟预测）记数列的前项和为，已知.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
2．（2026 陕西西安 一模）已知是等差数列，是公比为正整数的等比数列，且，，.
(1)求，的通项公式；
(2)记（），求.
3．（2026 辽宁沈阳 一模）已知数列是公差为2的等差数列，其前8项和为64，数列是公比大于0的等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
4．（2025 黑龙江齐齐哈尔 模拟预测）已知等比数列的前n项和为，且．
(1)求m的值及的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
5．（2026 河北沧州 一模）已知数列满足．
(1)证明：存在非零实数，使得数列是等比数列；
(2)求数列的前项和．
裂项相消法
解｜题｜策｜略 对通项进行裂项变换，使得裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同． 1、对等差型的分式，例，先对分母进行因式分解，把目标分解成，再合并比较看看想化成需乘系数。 2、根式型，利用分母有有理化的方法。 3、指数型，方法类似等差型。
1．（2026·吉林白山·一模）已知等差数列的前n项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
2．（2025·河北·模拟预测）已知数列的首项，且．
(1)证明：数列是等差数列．
(2)令，求数列的前项和．
3．（2026·吉林长春·一模）已知为数列的前项和，若，，且数列为等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的首项为2，且，求数列的前项和.
4．（2025·甘肃·模拟预测）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
5．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知数列是首项为1且公差不为零的等差数列，且成等比数列，数列的前项和为，
条件①，条件②，条件③，
(1)求的通项公式；
(2)选择三个条件中的一个，求的通项公式；
(3)若，求数列的前项和．
裂项放缩证明不等式
解｜题｜策｜略 将待求和的数列进行裂项（即拆分为两式之差），但在裂项过程中，有意识地控制裂项的“尺度”，使其裂项后的通项与原通项之间形成明确的不等关系（放大或缩小）。然后利用裂项相消法求和，得到一个简洁表达式，从而便捷地证明数列和的不等式。 放缩的度要“恰到好处”：放缩后必须能裂项相消，否则变成更复杂的求和，失去意义。 保留余项控制：裂项相消后通常得到 f(1) f(n+1)f(1) f(n+1)，通过分析 f(n+1)f(n+1) 的范围（例如大于0、单调趋于0）来确定和的界限。 常见目标结构：为了证明“和小于某个常数”，放缩裂项后的结果常为 Sn≤f(1) f(n+1)1．（2025·江西宜春·模拟预测）已知数列满足，，.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求的通项公式；
(3)记，数列的前项和为，证明：.
2．（2026·四川攀枝花·一模）已知数列的前n项和为，，且4，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，记数列的前项和为，证明：．
3．（2026·河北邯郸·模拟预测）设函数的图象在处的切线平行于直线，记的导函数为，数列满足：.
(1)试判断数列的单调性，并给出证明；
(2)当时，求证：.
4．（2026·黑龙江大庆·二模）已知数列满足.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)记，若数列的前项和为，求证：.
5．（2026·广西南宁·一模）已知数列的前n项和（p为常数），且．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，证明：．
分组求和
解｜题｜策｜略 当数列本身是复合型，如等差数列与等比数列的和，这时可以对其进行分组来求和，这时相当于两个n项数列的和。
1．（2026·广西柳州·二模）设等差数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
2．（25-26高三上·安徽·月考）已知数列的首项，且满足.
(1)证明：是等差数列；
(2)记[x]表示不超过的最大整数，分别为和的前项和，求.
3．（25-26高三上·江西上饶·月考）记为数列的前项和，已知.
(1)求；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和.
4．（2025·四川凉山·一模）在等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前n项和．
5．（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知数列和满足，，，.
(1)证明：是等差数列，是等比数列；
(2)求数列的前项和.
奇偶项分组求和
解｜题｜策｜略 数列的奇数与偶数列分别是不同的数列： 分离奇偶项，把奇数项合并求和，偶数项合并求和。 确认项数，偶项数恒为半，奇项数看末尾。偶数项数总是，奇数项数在此基础上看末项是否为奇数项。当项数不明确时，要分奇数或者偶数分类讨论计算结果。
1．（2026·河北沧州·一模）记分别为数列的前项和，其中满足，且．
(1)求及；
(2)当为正奇数时，比较与的大小．
2．（2025·云南·模拟预测）已知正项数列的前项和为，且，.
(1)证明：为等差数列，并求所有满足条件数列的通项公式；
(2)把所有满足条件的项从小到大依次排列，组成新的数列，记数列的前项和为，求.
3．（2025·四川泸州·一模）记为数列的前项和，已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
4．（25-26高三上·江苏·期末）已知数列的前n项和分别为，， ．
(1)求的通项公式；
(2)若，求n的最小值．
5．（25-26高三上·陕西西安·期末）设为数列的前项和，已知，且为等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求的前项和.
绝对值数列求和
解｜题｜策｜略 绝对值数列的求和，根据原数列正负变号处开始分开成两段来求和，目标在找原数列正负项。
1．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）记为等差数列的前项和，已知.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
2．（25-26高三上·河北·期中）设数列的前项和为，已知，当时，.
(1)求证：为等比数列；
(2)若，求数列的前项和.
3．（2025·安徽·模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项的和.
4．（25-26高三上·福建龙岩·月考）已知数列满足，设数列的前项和为，
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前100项和；
(3)求数列的前20项和.
5．（25-26高二上·河南洛阳·月考）在等差数列中，，为与的等差中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，判断23是不是数列的项，若是，是第几项？若不是，请说明理由；
(3)若，求数列的前n项和.
并项求和
解｜题｜策｜略 相邻两项可以合并化简，化简后的数列可以用常规求和方法求和。
1．（2025高二上·全国·专题练习）已知，，求数列{}的前n项和.
2．（25-26高三上·江苏盐城·期末）设等差数列的前项和为，已知．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
3．（2025高三上·湖北孝感·专题练习）数列满足：，，．
(1)求数列的通项公式.
(2)数列满足：，求数列的前项和．
4.（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，；数列满足，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)，求数列的前项和；
(3)将数列和数列各取前项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数按照出现的个数重复排列，求的前项和
5．（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足.
(1)若，，且，求；
(2)若数列也是公差为的等差数列.
①求数列的通项公式；②求数列的前项和.
（建议用时：30分钟）
1．（25-26高二上 湖北黄冈 月考）已知函数，数列为等比数列，，且，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，则 .
2．（2025·山东·三模）已知数列的前项和为，数列的前项积为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求使得成立的的最大值；
(3)求数列的前项和.
3.（2025 河南 模拟预测）已知数列为等比数列，数列的前项和为，且，，.
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
4．（2025-2026学年高三上学期1月期末数学试题）已知数列的首项为2，前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，记数列的前项和为，求证：．
5．（2025·浙江杭州·一模）已知等差数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设等比数列的前项和为，且.令，求数列的前项和.
6．（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）已知正项等差数列满足，且成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求.
所以.
7．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前20项和.
8．（25-26高二上·河北邢台·月考）已知数列的前项和为，，，.
(1)求的通项公式及；
(2)求数列的前项和.
9．（25-26高二上·福建龙岩·月考）已知数列，前项和为，
(1)若是等差数列，求数列的前项和；
(2)若，求；
10．（25-26高二上·山东济南·月考）已知是数列的前项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，．
(1)求与的通项公式；
(2)若数列的前项和，求及的最小值；
(3)设，求数列的前项和．
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