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专题07 函数与导数解答题型全析
题型01 导数与切线问题
【例1-1】(2025·贵州·模拟)已知函数的图象在点处的切线斜率为．
(1)求的值；
(2)求曲线过原点的切线方程．
【详解】（1）函数，求导得，
依题意，，所以.
（2）设曲线过原点的切线的切点为，则，
原点不在曲线上，于是，解得，
当时，；当时，，
所以曲线过原点的切线方程为或.
【例1-3】(2023·江苏·模拟)已知函数
(1)若，证明：曲线与曲线有且仅有一条公切线；
(2)当时，，求a的取值范围．
【详解】（1）当时，
所以
所以曲线在点处的切线方程为
，即，
曲线在点（，）处的切线方程为，
即
令得
消去，整理得，所以
设，则，所以h(x)在（0，+∞）上单调递增，
又，所以h(x)在（0，+∞）上有唯一的零点，
所以方程有唯一的解
所以曲线与曲线有且仅有一条公切线．
（2）因为对恒成立，所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，
则当时，G(x)单调递减，当时，，G(x)单调递增，当时，单调递减，所以在处G(x)有极小值，在处G(x)有极大值．
①当，即时，由解得，舍去．
②当，即时，则，
所以，由 ，解得
因为，所以，所以所以
所以
综上，a的取值范围为
1．求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：
①求出函数在处的导数，即曲线在点处切线的斜率；
②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为.
2．求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：
①设出切点坐标 (不出现)；
②利用切点坐标写出切线方程：；
③将已知条件代入②中的切线方程求解.
【变式1-1】已知.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)设P为曲线上的点，求曲线C在点P处切线的斜率的最小值及倾斜角的取值范围.
【详解】（1）∵，∴，当时，，，
∴曲线在处的切线方程为，即；
（2）由题意，，
∴，当且仅当即时，等号成立，
∴曲线C在点P处切线的斜率的最小值为1，∴，又，
∴，即倾斜角的取值范围为.
【变式1-2】 (2025·湖南·模拟) 已知函数．
(1)若直线与曲线相切，求的值；
(2)讨论的零点个数；
(3)若方程有两个解 证明:使得
【详解】（1）设切点为则故，
又，则，即，
解得，故，
（2）令，则，
令，则，
当在单调递增，当在单调递减，
当时，取极大值，，且当，
作出函数的大致图象如下：
由图象可知：
当或直线与函数的图象有1个交点，则的零点个数为1，
当时，直线与函数的图象有2个交点，则的零点个数为2，
当时，直线与函数的图象没有交点，则的零点个数为0，
（3）由可得，
要证，只需要证明在的值域是一个包含1的区间即可，
由题意，即，
由（2）知，且在单调递减，
注意到，即得证.
【变式1-3】(2025·四川·模拟)已知函数（其中）.
(1)当变化时，曲线在点处的切线是否过定点？若是，求该定点的坐标；若不是，说明理由；
(2)若在区间上单调递增，求的取值范围.
【详解】（1）因为，.
所以，，所以.
所以函数在点处的切线方程为：即，过定点.
所以当变化时，曲线在点处的切线过定点.
（2）在区间上单调递增，则在上恒成立.
所以，.
设，，则，.
由；由.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.所以.
所以，即的取值范围为.
题型02 导数与含参函数的单调性讨论
【例2-1】(2025·湖北·模拟)已已知函数.
(1)若，求函数在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
【详解】（1），，，，切线方程为，即.
（2），.
①当时，，
当时，单调递减；当时，单调递增.
②当时，
当时，，，
当时，，，时等号成立，
所以在上单调递增.
③当时，，
当时，单调递增，当时，单调递减，
当时，单调递增.
④当时，，
当时，单调递增，当时，单调递减，
当时，单调递增.
综上所述：①当时，在上单调递减，在上单调递增；
②当时，在上单调递增；
③当时，在上单调递增，在上单调递减；
④当时，在上单调递增，在上单调递减.
【例2-2】(2025·河北·模拟)已知函数
(1)当时，求函数的最值;
(2)讨论函数的单调性．
【详解】（1）由题可知，函数定义域为，当时，，
，令，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以函数的最小值为，无最大值．
（2）．
当时，当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上恒成立，函数在上单调递减；
当时，，
令，得或，令，得，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增；
当时，，
令，得或，令，得，
函数在和上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在和上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减；
当时，函数在和上单调递减，在上单调递增．
含参函数单调性讨论的核心在于“抓导函数符号变化”。
首先，求定义域并求导，对导函数进行通分、因式分解，提炼出决定符号的“导数主部”（去恒正）。
其次，根据“导数主部”的类型分层讨论：如果是一次型则先讨论最高次项系数是否为0（即是否为常函数），再讨论系数正负，最后看零点是否在定义域内；如果是二次型再看是否能分解因式，可因式分解则先讨论二次项系数（是否为一次函数），再求根，比较两根大小关系（若含参），最后结合开口方向，用数轴标根法判断符号。不可因式分解则讨论判别式（有无实根），若判别式大于0，再讨论根与定义域的关系。
总之，要遵循“先类型，再根的分布，后符号”的逻辑顺序，做到分类不重不漏。
【变式2-1】(2025·甘肃·模拟) 已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【来源】甘肃省部分学校2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题
【分析】（1）将代入，利用导数的几何意义求解即可；
（2）求导得，分和求解即可.
【详解】（1）当时，，．
，．
曲线在点处的切线方程为．
（2）．
当时，，是增函数．
当时，令，解得．
当时，；当，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
【变式2-2】(2025·安徽·模拟)已知函数．
(1)当时，求函数的最大值；
(2)当时，讨论函数的单调性；
(3)若函数的图像关于点中心对称，求实数的值．
【详解】（1）当时，，求导得，
当时，，函数单调递增；当时，，单调递减，
函数在时取得最大值，即．
（2），求导得，
令，解得或．
当时，令，解得或；令，解得，
在上单调递增，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
当时，令，解得或；令，解得，
在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（3）函数的图像关于点中心对称，
函数的定义域为，且关于点中心对称，，即①，
为奇函数，，
，
整理得②．
①代入②得，即，
，当且仅当时，等号成立，即不恒为0，
，即，．
【变式2-3】(2025·广东·模拟) 已知函数.
(1)若，求的零点；
(2)若，讨论的单调性；
(3)若，为自然对数的底数，证明：.
【详解】（1）若，则，
得或（舍），所以.
所以的零点为.
（2）若，，函数的定义为，
所以，令，得或，
即或.
①时，即，
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
②当，即时，
当时，，；当时，，.
所以函数在是单调递减.
③当时，即，当时，，；
当时，，所以；
当时，，所以.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在是单调递减.；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（3）因，要证，
只需证，即，
令，，因此只需证即可.
，再令，则
因，所以，得，即，
所以在上单调递增，且，.
由零点存在性定理，存在唯一，使得，即.
所以在有唯一零点，且当，当，
所以在上单调递减，在上单调递增，
且，.
所以对，都有成立.
所以，成立.
题型03导数与函数的极值及最值问题
【例3-1】(2025·山东·模拟)已知，其中．
(1)当时，求证：是函数的极小值点；
(2)求在上的最小值；
【详解】（1）当时，，函数的定义域为，则，
∵在上单调递增，在上单调递增，
∴在上单调递增，∵，
∴当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
∴是函数的极小值点．
（2），则，
当时，，∴函数单调递增，
当时，，∴函数单调递减，
当时，，∴函数单调递增，
当时，，∴函数单调递减，
又，，，
∴在上的最小值为．
【例3-2】(2025·江苏·模拟)已知函数.
(1)若，求函数的极值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数的最小值为0，求的值.
【详解】（1）当时，，则，
当时，，当时，，
所以，在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，有极小值，无极大值.
（2）
若，则时单调递减，时单调递增；
若，则时单调递增，
时单调递减，时单调递增；
若，则时单调递增；
若，则
时单调递增，
时单调递减，
时单调递增
（3）令，
当时，，函数在上单调递增，故无最小值
所以，由得，
所以时单调递减，时单调递增，
所以，
所以.
1．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f'(x)；
(3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号；
(5)求出极值.
2．利用导数求函数最值的解题策略：
(1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤：
①求函数在(a,b)内的极值；
②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；
③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的方法：求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
【变式3-1】设函数，其中.
(1)当时，曲线在点处的切线斜率；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
【详解】（1）当时，，则，故
所以曲线在点处的切线斜率为1.
（2）因为，所以，
令，得到
因为，当x变化时，与的变化情况如下表：
0 0
极小值 极大值
所以的单调递减区间为和，单调递增区间为，
函数在处取得极大值，且，
函数在处取得极小值，且.
【变式3-2】(2025·广东·模拟)已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：若，则存在唯一的极小值，且.
【详解】（1）因为，其中，.
①当时，恒成立，的增区间为，无减区间；
②当时，令，得，
由可得；由可得.
此时，函数的减区间为，增区间为.
综上所述：当时，的增区间为，无减区间；
当时，函数的减区间为，增区间为.
（2）当时，，，
令，，则在上恒成立，
∴在上单调递增，
又∵，，则方程只有一解，设为，
∴存在唯一的，使得，即，
当时，，当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，∴，
∵，∴，∴，即.
【变式3-3】(2025·河南·模拟)已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若（为的导函数），求函数在区间上的最大值；
(3)若函数有两个极值点，，证明：．
【详解】（1）当时，，的定义域为．
所以，，因此曲线在点处的切线方程为，
即切线方程为：．
（2）因为，，
①当时，因为，所以，
所以函数在上单调递增，则；
②当，即时，，，
所以函数在上单调递增，则；
③当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，
则；
④当，即时，，，函数在上单调递减，
则．
综上，当时，；当时，；
当时，.
（3）要证，只需证：，
若有两个极值点，即函数有两个零点，又，
所以是方程的两个不同实根，即，解得，
另一方面，由，得，
从而可得，
于是．
不妨设，设，则．因此，．
要证，即证：，即当时，有，
设函数，则，
所以为上的增函数．
，因此，．于是，当时，有．
所以成立，．
题型04 导数与函数零点问题
【例4-1】(2025·安徽·模拟)已知函数，．
(1)若，求过原点且与函数图象相切的直线方程；
(2)若函数有两个零点，求a的取值范围．
【详解】（1）若，则，，设切点，
此切线的斜率，所以切线方程为，
因为切线过点，可得，，则切线方程为；
（2），
①当时，，，，
在上单调递增，函数至多1个零点，不合题意；
②当时，令，解得（舍去），，
，，在上单调递增，
，，在上单调递减，
当时，，，，，，
所以要使函数有两个零点，则，
，令，，
令，，所以在上单调递增，
又因为，得到，解得．
综上所述：．
【例4-2】(2025·湖南·模拟)已知函数．
(1)若直线与曲线相切，求的值；
(2)讨论的零点个数；
(3)若方程有两个解 证明:使得
【详解】（1）设切点为则故，
又，则，即，解得，故，
（2）令，则，令，则，
当在单调递增，当在单调递减，
当时，取极大值，，且当，
作出函数的大致图象如下： 由图象可知：
当或直线与函数的图象有1个交点，则的零点个数为1，
当时，直线与函数的图象有2个交点，则的零点个数为2，
当时，直线与函数的图象没有交点，则的零点个数为0，
（3）由可得，
要证，只需要证明在的值域是一个包含1的区间即可，
由题意，即，
由（2）知，且在单调递减，
注意到，即得证.
处理导数与零点问题，核心在于“数形转化”与“分类讨论”。
首先，利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及端点值，结合零点存在性定理，判断函数图象与x轴的交点情况。
其次，对于含参问题，优先尝试“分离参数法”，将问题转化为求函数值域或直线与曲线交点个数；若分离困难，则需根据参数对导数符号的影响进行分类讨论，确定函数单调区间，进而分析零点个数。
此外，对于隐零点问题，可采用“设而不求”的策略，利用极值点处的导数为零进行代换，简化后续推理。
【变式4-1】 (2025·云南·模拟)已知函数．
(1)若，求的图象在处的切线方程；
(2)若与的图象有公共点，求的取值范围．
【详解】（1）当时，，则，即切点为，
因为，所以切线斜率，
所以所求切线方程为，即，
所以的图象在处的切线方程为；
（2）由题意，知有解，即有解，整理得，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，当时，；当时，，
所以的值域为，即，即，
所以的取值范围是．
【变式4-2】(2025·广东·模拟)已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数有三个零点，求的取值范围.
【详解】（1）当时，，
在点处的切线方程为：
（2）定义域为，
（i）当时，，令得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
（ii）当时，则由得或，
当时，，所以在单调递增；
当时，，令得
所以在和上单调递增，在上单调递减；
当时，，令得
所以在和上单调递增，在上单调递减.
综上所述，
当时在上单调递增，在上单调递减；
当时在和上单调递增，在上单调递减；
当时在单调递增；
当时在和上单调递增，在上单调递减.
（3）由（2）知且，，
记，则且，
当时，；当时
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以有，所以，等号成立当且仅当
故当时，由（2）知有且只有一个零点，舍去
当且时，，
要使得有三个零点，则，解得
所以的取值范围是
【变式4-3】(2025·陕西·模拟)已知，.
(1)讨论的单调性；
(2)若，讨论的零点个数；
【详解】（1）由题可知：函数的定义域为，，
由，令，所以或，
当时，令，；令，或，
所以函数在单调递增，在单调递减.
当时，在恒成立，所以函数在单调递减；
当时，令，；令，或，
所以函数在单调递增，在单调递减
（2）由（1）可知：当时，函数在单调递增，在单调递减，
当时，；当时，，又，
若，所以，使得，，则函数有3个零点；
若，，，则函数有2个零点；
若，则，则函数有1个零点；
若，则，则函数有2个零点；
若，则，
所以，使得则函数有3个零点；
综上所述：当，函数有3个零点；当或，函数有2个零点；当，函数有1个零点.
题型05 导数与不等式恒（能）成立及证明问题
【例5-1】(2025·青海·模拟)已知函数，．
(1)若，证明：；
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
【详解】（1）因为，
所以的定义域为，且.
当时，在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，由函数的单调性结论知在上单调递增.
综上，在上单调递增，
而，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以是的极小值，也是最小值，所以，即.
（2）当时，由（1）知，满足题意；
当时，令，
则，由函数的单调性结论知在上单调递减.
①当时，，即在上，，单调递增，即在上单调递增，所以，所以在上单调递减，所以，满足题意.
②当时，，当时，，
由函数零点存在定理可知存在，使得.
当时，，所以，即在上单调递增;
当时，，所以，即在上单调递减.
而当时，，，
由函数零点存在定理可知存在，使得，
且当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增，此时，不满足题意.
综上，的取值范围是.
【例5-2】 (2025·陕西·模拟)已知函数，．
(1)若，求函数的最小值；
(2)设函数，讨论函数的单调区间；
(3)若在区间上存在一点，使得成立，求的取值范围．
【详解】（1）的定义域为，
当时，，，
令得，令得，令得，
所以的单调递增区间为，递减区间为，
所以在处取得最小值.
（2），则，
①当时，即时，在上，在上，
所以在上单调递减，在上单调递增；
②当，即时，在上，所以，函数在上单调递增.
综上所述，当时，的单调递减区间是，单调递增区间是；
当时，函数的单调递增区间是，不存在减区间.
（3）在区间上存在一点，使得成立，即在区间上存在一点，使得，
即函数在上的最小值小于等于零.
由（2）可知当，即时，在上单调递减，
所以的最小值为，由可得，满足，所以；
当，即时，在上单调递增.
所以最小值为，由可得，满足，所以；
③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
可得最小值为，因为，所以，
故，此时不成立.
综上讨论可得所求的范围是：或.
解决不等式恒（能）成立问题有两种思路：
(1)分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题．
(2)分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可.
【变式5-1】(2025·广东·模拟)已知函数.若，若，为自然对数的底数，证明：.
【详解】因，要证，
只需证，即，
令，，
因此只需证即可.
，
再令，则
因，所以，得，即，
所以在上单调递增，且，.
由零点存在性定理，存在唯一，使得，即.
所以在有唯一零点，且当，当，
所以在上单调递减，在上单调递增，
且，.
所以对，都有成立.
所以，成立.
【变式5-2】(2025·青海·模拟)已知函数．
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若，恒成立，求的取值范围．
【详解】（1）若，则，．
又，所以，
故曲线在处的切线方程为，即；
（2）的定义域为，．
当时，，故在上单调递增；
当时，令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减；
（3）由，可得，即，
令，易知单调递增，
由，可得，则，即．
设，则，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以，
所以，因此的取值范围为．
【变式5-3】(2025·安徽·模拟)已知函数，其中.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在，使成立，求实数的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域，
对函数求导得，
①当时，，因为，所以，则，
函数在上单调递增.
②当时，令，即，解得（舍）或，
当，所以，则，函数单调递增.
当，所以，则，函数单调递减.
③当时，令，即，解得（舍）或，
因为，所以，则，函数在上单调递增.
综上，当时，函数在上单调递增.
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，
所以当，，则存在，使成立.
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
所以，
若存在，使，即
令，求导，
令，，
令，解得或（舍），
当，，函数单调递增.当，，函数单调递减.
所以有最大值，
可知，在单调递减，且，当，，当时，.
综上，实数的取值范围
题型06 导数与双变量问题
【例6-1】已知函数的图象在点处的切线与直线垂直.
(1)求实数的值；
(2)求证：当时，.
【详解】（1）因为，所以，
由题意可得，解得；
（2）要证，即，只需证，
令，，
则，
因为， ，所以函数在区间上单调递增，
由，得，所以，即，
所以当时，得证.
【例6-2】 (2025·江西·模拟)已知函数.
(1)证明：曲线在点处的切线恒过定点，并求出该定点坐标；
(2)若存在使得，记的导函数为.
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
【详解】（1）由题意可知：函数的定义域为，且，
则，，即切点坐标为，切线斜率，
所求切线方程为，即，
令，解得，
所以切线恒过定点.
（2）构建，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，所以.
（i）构建，则，
①若，则，可知在内单调递增，
且，当趋近于时，趋近于，
可知在定义域内存在唯一零点，
当时，，即；当时，，即；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则至多存在两个实数，使得，不合题意；
②若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，即，
若，则，即，
可知在定义域内单调递增，不合题意；
若，则，
当时，则；
当时，则；
可知在和内分别存在一个零点，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，
且当趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于，符合题意；
综上所述：实数的取值范围；
（ii）设，构建，
则，
记的导函数为，的导函数为，
且的导函数为，的导函数为，
则，且，
因为，且，
又因为，
且在内恒成立，
若，则，可得，
可知在内单调递增，则，
可知在内单调递增，则，
若，则，
可知在内单调递增，不合题意；
所以；
若，由（i）可知：直线与在内存在唯一交点横坐标为，
则，由单调性可得，
可得，
因为在内单调递减，在内单调递增，
可得， ，
所以；
综上所述：.
破解双参数不等式的方法：
1.转化：由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；
2.巧构函数：构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
3.双参的不等式的证明：把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．
【变式6-1】(2025·甘肃·模拟)已知函数，且曲线在点处的切线方程为.
(1)求实数的值.
(2)当时，证明：当时，.
(3)当时，若存在，使得成立，证明：.
【详解】（1）.
曲线在点处的切线方程为.
（2）当时，，在上恒成立，
在上单调递增，当时，.
（3）当时，，
当时，存在成立，
，得.
由（2）可知，当时，单调递增，
，即，，
设，则，
当时，，则，
，
，.
【变式6-2】(2025·海南·模拟)已知函数，当时，的切线斜率．
(1)求的单调区间；
(2)已知，若，求证：若，则．
【详解】（1），则．
所以，，则．
令．则．
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，所以恒成立，即恒成立，
故在上单调递增，无单调递减区间．
（2）证明：要证，则，
只需证明，，即证明，．
，由得．
则，可得．
又，令，
则，，
所以在上单调递增．
因，又，则，从而.
先证明，即，因在上单调递增．
只需证，.即，．
令，，则，
所以，故;
再证明，即．
同理，只需证明，即．
令，．则．
令，，则，
所以在上单调递增．
又因为，，
则存在，使得，
所以时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，，，
所以，故．
综上所述，对任意的，．
【变式6-3】(2025·浙江·模拟)已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有三个不同的零点.
（i）求实数的取值范围；
（ii）若，证明：.
【详解】（1），
，，
，或，
当时，，的解为或，
的解为，
的单调递增区间为，单调递减区间；
当时，，的解为或，
的解为，
的单调递增区间为，单调递减区间；
当时，，的增区间为.
综上可知，
当时， 的单调递增区间为，单调递减区间；
当时， 的单调递增区间为，单调递减区间；
当时， 的单调递增区间为.
（2）（i）当时，，的解为或，的解为，
的增区间为，减区间；
函数有三个不同的零点，，，
解不等式，整理得，，
，，，在上是单调递增函数，
，在上恒成立，
在上恒成立，无解，
即不等式组 无解；
当时，，的解为或，的解为，
的增区间为，减区间；
，，解不等式，
整理得，，，，
当时，，当时，，
在上是单调递增函数，在上是单调递减函数，
，在上恒成立，的解为且；
解不等式，整理得，解得；
综上可知，不等式的解为且，
所以实数的取值范围为；
当时，，的增区间为，
不满足函数有三个不同的零点.
综上可知，实数的取值范围为.
（ii）因为，不妨设.
已知，要证，
只需证，只要证，即
令，
则，
令，则，
且，，，，
故在区间上单调递减，所以，
故在区间上单调递减，
所以，故在区间上单调递减，
因此，即，
所以，得证.
题型07 极值点偏移问题与拐点偏移问题
【例7-1】(2025·云南·模拟)已知函数．
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若，且，证明：．
【详解】（1）依题意，，，则，
而，故所求切线方程为.
（2）依题意，的定义域为，
令，得，
若，则当时，单调递减；
当时，单调递增；
若，则当时，单调递增；
当时，单调递减．
综上所述，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减．
（3）证明：令，则，
令，故，
令，解得．
故当时，单调递增，当时，单调递减，
故，即在区间上单调递减，且．
又，所以，
令，，
则，，
令，，
则，
所以函数在区间上单调递增，且时，，所以，即
所以函数在区间上单调递减，且时，，所以，
所以当时，，所以，
因为，所以，即，
因为函数在区间上单调递减，所以，即．
【例7-2】(2023·黑龙江·模拟)已知函数（a为常数）.
(1)求函数的单调区间；
(2)若存在两个不相等的正数，满足，求证：.
(3)若有两个零点，，证明：.
【详解】（1）由，得函数的定义域为，
又，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，得；令，得；
所以，的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）由，得，
故欲证，只需证：，即证，
又，，，
不妨设，，等价于，令（），
等价于（），
，所以在单调递增，而，
所以，当时，恒成立.
所以，所以.
（3）函数有两个零点，，所以，，
不妨设，，即，
要证：，需证：，
只需证：，只需证：，
只需证：，只需证：，
令，只需证：，
令，，
所以在上单调递减，所以，即，故.
也可由对数均值不等式（），即，
令（），则，即，所以.
极值点偏移问题的常见解法
1.对称化构造法：构造辅助函数：
①对结论x1+x2>2x0型，构造函数.
②对结论型，方法一是构造函数，通过研究的单调性获得不
等式；方法二是两边取对数，转化成lnx1+lnx2>2lnx0，再把lnx1，lnx2看成两变量即可.
2.比值代换法：通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明.
【变式7-1】(2025·河南·模拟)知函数.
(1)讨论的单调性.
(2)若存在两个不同的，满足，证明：.
【详解】（1）的定义域为，且，
①当时，由，得，由，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
②当时，恒成立，故函数在上单调递增；
③当时，由，得，由，得或，
所以函数在上单调递减，在，上单调递增；
④当时，由，得，由，得或，
所以函数在上单调递减，在，上单调递增；
综上：当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在，上单调递增；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在，上单调递增.
（2）由（1）知，当时，，所以不可能有两个零点；
当时，，所以不可能有两个零点；
当时，在上单调递增，所以不可能有两个零点；
若要有两个零点，当时，，此时（舍），，不符合题意故舍去，当且仅当，所以，
设，令，则，
所以在上单调递减，则，即，
所以，又，所以，
因为，，由（1）知在上单调递增，
所以，即.
【变式7-2】(2025·陕西·模拟)已知函数.
(1)若，求的单调区间.
(2)若是函数的两个零点.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：.
【详解】（1）由题意可知，的定义域为，
当时，，所以，
令，得.
当时，，单调递减区间为；
当时，单调递增区间为.
（2）（i），的定义域为.
当时，，所以在上单调递减，不合题意.
当时，令，解得，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
函数存在两个零点的必要条件是，
即，又，所以在上存在一个零点.
当时，，所以在上存在一个零点.
综上，实数的取值范围是.
（ii）不妨设，由，得，
所以，所以.
要证，只需证，只需证.
由，
故只需证，只需证，只需证.
令，只需证.
令，则，
所以在上单调递增，
所以，即成立，所以成立.
【变式7-3】(2025·广东·模拟)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，且存在两个极值点．
①求的取值范围；
②设的两个极值点为，证明：．
【详解】（1）函数的定义域为，则，
当时，，此时在上单调递增；
当时，由可得；由，可得.
则在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）①因为，则，
因为存在两个极值点，则存在两个变号的零点，
即有两个不同的根，
则函数与有两个不同的交点，
又因为，则有，即有单调递增，
则有，即有单调递减，
所以，
又时，，当时，，
则函数与有两个不同的交点，有，即，
故存在两个极值点，的取值范围为；
②证明：由①可知时，存在两个极值点，设，
则，即，
则，
所以，要证，
即证明，即证，
由①知在上单调递增，则即证，
又因为，即证，
令，
，
所以在上单调递增，又，
所以在上有，即成立，
所以有，即成立.
题型08 导数与三角函数、数列综合
【例8-1】(2025·云南·模拟)已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，讨论函数在上的单调性和零点个数．
【详解】（1）当时，，则，则，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
（2）当时，，则，
当时，，则，故在上单调递增．
又因为，所以在上的零点个数为1．
【例8-2】(2025·四川·模拟)已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)讨论在区间上的单调性；
(3)设，证明：．
【详解】（1）由题意，当时，，，
则，令，得，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
故当时，函数取得极小值，为，无极大值.
（2）因，则，
因为，，所以，
当时，恒有，则恒成立，即在上单调递增；
当时，令，解得（舍去），，
令，解得，令，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（3）令数列的前项和为，且，数列满足，
当时，，
当时，，
则原不等式，等价于，
当时，，，显然成立；
当时，要证，即证，需证，
令，则，又，所以，
则不等式，等价于，等价于，
由（2）得，当时，函数在上单调递增，
又，则，即，故得证.
即当时，成立，故，
又当时，，
综上所述，成立，不等式得证.
1. 导数与三角函数综合:
分段分析：利用三角函数的有界性与周期性，以特殊角（如）为界分段讨论单调性。
切线放缩：熟记经典不等式（如时），通过切线或二次函数放缩将超越函数转化为代数不等式证明。
同构思想：识别等复合结构的对称性或利用辅助角公式化简。
2. 导数与数列综合
函数桥梁法：将数列通项视为定义在自然数中的函数，利用导数研究其单调性、凹凸性，进而确定性质。
裂项放缩法：构造辅助函数，利用拉格朗日中值定理或切线不等式，将数列通项放缩为可裂项相消的形式，解决数列求和不等式。
不动点法：对于递推数列，通过研究函数 的不动点及单调性，分析数列的收敛性或求通项范围。
【变式9-1】(2025·辽宁·模拟)已知函数．
(1)若，求在处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若时，，求的取值范围．
【详解】（1）当时，，则，故，
又，所以处的切线方程为，即.
（2）
当时，，在，上单调递增，
时,，在单调递减；
当时，，在，上单调递增，
时,，在单调递减；
当时，时恒成立，在单调递增．
综上所述，当时，在，上单调递增，单调递减；
当时，在，上单调递增，单调递减；
当时，在单调递增．
（3）由题意得对于任意的恒成立，且当时，等号成立．
令则，，
①若，则．
令，则，显然在上恒成立，
在上单调递增，即在上单调递增．
当，即时，．
又，易证，，
，使，时，，即在上单调递减，
对，，不符合题意；
当，即时，，在上单调递增，
，，，符合题意，所以；
②当时，只需证明当时，即可．
令，则，
易得，即在上单调递增，故时，，
，，即在上单调递增，
所以，即当时，在上恒成立，
综上所述，的取值范围是．
【变式9-2】(2025·湖北·模拟)已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)求证：.
【详解】（1），，
对于方程，当，即时，，
函数在上单调递减；
当，即时，方程有两个不相等的实数根，
，且，
当或时，；当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，函数的单调递增区间为，
单调递减区间为，.
（2）由（2）知，当时，函数在上单调递减，
又，当时，，即当时，.
，，
即，当时，，
当时，，当时，，
当时，，
累加可得，，
即，
所以.
【变式9-3】(2025·陕西·模拟)已知函数，其导函数为.
(1)若的一个极值点为1，求的值，并判断该极值点是极大值点还是极小值点；
(2)讨论的单调性；
(3)证明：当且时，.
【详解】（1）由，得，.
令，，则.
由题意，知，解得.
当时，令，，则，
当时，，即单调递减.
又，所以当时，，即单调递增，
当时，，即单调递减，
所以为的极大值点.
（2）由（1），得.
若，则，当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
若，令，得或.
①当，即时，
若，则，单调递减，
若，则，单调递增，
若，则，单调递减；
②当，即时，，在上单调递减；
③当，即时，
若，则，单调递减，
若，则，单调递增，
若，则，单调递减.
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减.
（3）由（2），得当时，，在上单调递增，
所以，即，
当时，整理，得，
令（，且），
得，
两边同时取自然对数，得，
则，
即当且时，.
1．(2025·海南·模拟)已知函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)当，求的最值．
【详解】（1）依题意，，则，
又，即切点坐标为，
故所求切线方程为：，即.
（2）由.
令，得.
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
故是的极小值，也是最小值.
又，
而，即.
故在区间上的最大值为，最小值为.
2．已知轴是曲线在点处的切线.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调区间和极值.
【详解】（1）由题意知，，且，所以解得
所以.
（2），令，得.
当变化时，和的变化情况如表所示．
1
0 0
递增↗ 极大值 递减↘ 极小值 递增↗
故的单调递增区间为和，单调递减区间为．
的极大值是，极小值是.
3．(2025·江苏·模拟)已知函数，．
(1)当时，判断函数的单调性，并求出的极值；
(2)若过原点存在两条直线与曲线相切，求实数a的范围．
【详解】（1）当时，，则，
由可得，由可得，
∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
∴函数的极小值为，无极大值．
（2）∵，则，
设切点为，则，切线斜率，
切线方程为：，
∵切线过原点，则，整理得：，
∵满足条件的切线有两条，∴，解得或，
∴的取值范围是．
4．(2025·内蒙古·模拟)已知函数，.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)已知，若有两个极值点，求的取值范围.
【详解】（1）由，得，则，
又，所以，
所以曲线在处的切线方程为.
（2）函数的定义域为，又，
当时，在时恒成立，此时在单调递增；
当时，令，得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（3），则，
因为的两个极值点为，所以的两根为，且，
所以，解得.
5．(2025·湖南·模拟)已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)判断的单调性；
(3)若在上有两个零点，求实数的取值范围．
【详解】（1）当时，，，
由题意知切点为，切线斜率，切线方程为：，即；
（2）的定义域为，，
当时，在上单调递增；
当时，时，单调递增，时，单调递减；
当时，时，单调递减，时，单调递增；
综上：当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（3）法一：，
令，得，即，得，
令，令，得，
当时，单调递增；当时，单调递减，
．
又，当时，，当时，，
时，，当且时，，
当时，有2个零点，实数的取值范围为；
法二：由题意可得，令，，
当时，恒成立，则在上单调递增，
当时，时，，
只有一个零点，即只有一个零点，不符合题意；
当时，令，解得，
当时，单调递增，当时，单调递减，
，
当时，时，，故当，
即时，有2个零点．
实数的取值范围为.
6．(2025·云南·模拟)已知函数.
(1)若函数在处的切线方程为，求实数；
(2)若函数存在两个极值点（）
①求的取值范围；
②证明：
【详解】（1）因为在处的切线斜率为0，
所以，即；此时切点坐标为，所以.
（2）①因为，
当时，在单调递增，只有一解，显然不符合题意；
当时，设，则.
由；由.
所以即在上单调递增，在上单调递减.
因为函数存在两个极值点.
所以需有两解，所以为必要条件，即为必要条件，
当时，时，时，，
分别在及各有一零点，综上：.
②因为或
而，所以，而，
所以，
令，所以，所以在上单调递减，
所以，所以.
7．(2025·江苏·模拟)已知函数，其中.
(1)讨论的单调性；
(2)若直线是曲线的一条切线，求的值；
(3)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为，
因，令，
当时，在上单调递增，
则，故，此时函数在上单调递增：
当时，由，可得，由，可得，
故当时，则函数在上单调递增；
当时，则函数在上单调递减.
故当时，在上单调递增，无减区间；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）因为是的切线，设切点为，
则，即 ①，
又，即 ②，
由②①并整理得：，
令，则，由可解得，
则当时，，则在上单调递减，
当时，则在上单调递增，
当，且，
则方程有唯一解为，将代入①式，可得.
（3）法一：由，可得，化简得，
设，可得，
设则因在上递增，
当时，
则在上递减，即有，
即，故在上递增；
当时，，由，可设，
若，可得在上递减，
可得，则，
故在上递减，即；
当，且时，
所以当时，，即，即的取值范围是.
法二：必要性探路、证明充分性
由，化简得：，
即恒成立，
恒成立，则，
则，
令，则，
设，则在恒成立，
则在上单调递增，又，
则由，由，
在上单调递减，在上单调递增，
，即恒成立，
实数的取值范围.
8．(2025·安徽·模拟)已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个正零点且，
（i）求证：；
（ii）当时，不等式恒成立，求证：.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，求导得 ，
当 时， ，所以函数 在 上单调递增；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在上 单调递增．
综上所述，当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
（2）由题意知方程 有两个不同的正实根 ，
由（1）知 且 ，解得 ，所以 ，，
两边同时取自然对数，得 ，
两式相减得 ，即 ，
（i）要证 ，只需证明 ，令 ，只需证明
构造函数 ，求导得 ，
所以函数 在 上单调递增，于是 ，所以不等式 成立，
于是原不等式 成立.
（ii）结合以上分析可知当 时， ；
当 时， ；当 时， ．
所以要满足题意，则关于 的方程 的两根也是 ，
于是 ，
对比系数得 ，
所以 ．
9．(2025·河南·模拟)已知函数．
(1)若函数单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若函数有两个零点．
①求实数a的取值范围；
②证明：．
【详解】（1）由，有，
若函数单调递增，必有恒成立，不等式可化为,
令，有，可得函数的减区间为，增区间为，
可得，有，可得，
故实数a的取值范围为；
（2）（i）由令，可得，可得函数的减区间为，
增区间为，可得，
若函数有两个零点，必有，可得，
又由， （利用不等式（当且仅当时取等号）），
又由，故若函数有两个零点，则实数a的取值范围为；
（ii）设，由函数有两个零点，有，
有，两式相除，有，有，
有，有，有，可得，
又由，可得,有，
又由，要证，只需证，
只需证，
令（其中），有，
可得函数单调递增，可得，故有成立．
10．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)试比较与的大小；
(3)当时，数列满足，，，证明：.
【详解】（1）首先对函数求导，
则，
当时，恒成立，所以函数在上单调递减；
当时，令，得；令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，令，得；令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）知，当时，，
且函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最大值，
即，变形得（当且仅当时取等号）.
令，则（因为），即.
（3）当时，，则，
由，则，
设，，则，
当时，，则函数在上单调递增，
又，则时，，则时，，
因为，则，，，.
设，，则，
所以函数在上单调递减，则，即时，，
则，所以，
则，即，则，即.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题07 函数与导数解答题型全析
题型01 导数与切线问题
【例1-1】(2025·贵州·模拟)已知函数的图象在点处的切线斜率为．
(1)求的值；
(2)求曲线过原点的切线方程．
【例1-3】(2023·江苏·模拟)已知函数
(1)若，证明：曲线与曲线有且仅有一条公切线；
(2)当时，，求a的取值范围．
1．求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：
①求出函数在处的导数，即曲线在点处切线的斜率；
②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为.
2．求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：
①设出切点坐标 (不出现)；
②利用切点坐标写出切线方程：；
③将已知条件代入②中的切线方程求解.
【变式1-1】已知.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)设P为曲线上的点，求曲线C在点P处切线的斜率的最小值及倾斜角的取值范围.
【变式1-2】 (2025·湖南·模拟) 已知函数．
(1)若直线与曲线相切，求的值；
(2)讨论的零点个数；
(3)若方程有两个解 证明:使得
【变式1-3】(2025·四川·模拟)已知函数（其中）.
(1)当变化时，曲线在点处的切线是否过定点？若是，求该定点的坐标；若不是，说明理由；
(2)若在区间上单调递增，求的取值范围.
题型02 导数与含参函数的单调性讨论
【例2-1】(2025·湖北·模拟)已已知函数.
(1)若，求函数在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
【例2-2】(2025·河北·模拟)已知函数
(1)当时，求函数的最值;
(2)讨论函数的单调性．
含参函数单调性讨论的核心在于“抓导函数符号变化”。
首先，求定义域并求导，对导函数进行通分、因式分解，提炼出决定符号的“导数主部”（去恒正）。
其次，根据“导数主部”的类型分层讨论：如果是一次型则先讨论最高次项系数是否为0（即是否为常函数），再讨论系数正负，最后看零点是否在定义域内；如果是二次型再看是否能分解因式，可因式分解则先讨论二次项系数（是否为一次函数），再求根，比较两根大小关系（若含参），最后结合开口方向，用数轴标根法判断符号。不可因式分解则讨论判别式（有无实根），若判别式大于0，再讨论根与定义域的关系。
总之，要遵循“先类型，再根的分布，后符号”的逻辑顺序，做到分类不重不漏。
【变式2-1】(2025·甘肃·模拟) 已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性．
【变式2-2】(2025·安徽·模拟)已知函数．
(1)当时，求函数的最大值；
(2)当时，讨论函数的单调性；
(3)若函数的图像关于点中心对称，求实数的值．
【变式2-3】(2025·广东·模拟) 已知函数.
(1)若，求的零点；
(2)若，讨论的单调性；
(3)若，为自然对数的底数，证明：.
题型03导数与函数的极值及最值问题
【例3-1】(2025·山东·模拟)已知，其中．
(1)当时，求证：是函数的极小值点；
(2)求在上的最小值.
【例3-2】(2025·江苏·模拟)已知函数.
(1)若，求函数的极值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数的最小值为0，求的值.
1．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f'(x)；
(3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号；
(5)求出极值.
2．利用导数求函数最值的解题策略：
(1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤：
①求函数在(a,b)内的极值；
②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；
③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的方法：求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
【变式3-1】设函数，其中.
(1)当时，曲线在点处的切线斜率；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
【变式3-2】(2025·广东·模拟)已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：若，则存在唯一的极小值，且.
【变式3-3】(2025·河南·模拟)已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若（为的导函数），求函数在区间上的最大值；
(3)若函数有两个极值点，，证明：．
题型04 导数与函数零点问题
【例4-1】(2025·安徽·模拟)已知函数，．
(1)若，求过原点且与函数图象相切的直线方程；
(2)若函数有两个零点，求a的取值范围．
【例4-2】(2025·湖南·模拟)已知函数．
(1)若直线与曲线相切，求的值；
(2)讨论的零点个数；
(3)若方程有两个解 证明:使得
处理导数与零点问题，核心在于“数形转化”与“分类讨论”。
首先，利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及端点值，结合零点存在性定理，判断函数图象与x轴的交点情况。
其次，对于含参问题，优先尝试“分离参数法”，将问题转化为求函数值域或直线与曲线交点个数；若分离困难，则需根据参数对导数符号的影响进行分类讨论，确定函数单调区间，进而分析零点个数。
此外，对于隐零点问题，可采用“设而不求”的策略，利用极值点处的导数为零进行代换，简化后续推理。
【变式4-1】 (2025·云南·模拟)已知函数．
(1)若，求的图象在处的切线方程；
(2)若与的图象有公共点，求的取值范围．
【变式4-2】(2025·广东·模拟)已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数有三个零点，求的取值范围.
【变式4-3】(2025·陕西·模拟)已知，.
(1)讨论的单调性；
(2)若，讨论的零点个数.
题型05 导数与不等式恒（能）成立及证明问题
【例5-1】(2025·青海·模拟)已知函数，．
(1)若，证明：；
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
【例5-2】 (2025·陕西·模拟)已知函数，．
(1)若，求函数的最小值；
(2)设函数，讨论函数的单调区间；
(3)若在区间上存在一点，使得成立，求的取值范围．
解决不等式恒（能）成立问题有两种思路：
(1)分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题．
(2)分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可.
【变式5-1】(2025·广东·模拟)已知函数.若，若，为自然对数的底数，证明：.
【变式5-2】(2025·青海·模拟)已知函数．
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若，恒成立，求的取值范围．
【变式5-3】(2025·安徽·模拟)已知函数，其中.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在，使成立，求实数的取值范围.
题型06 导数与双变量问题
【例6-1】已知函数的图象在点处的切线与直线垂直.
(1)求实数的值；
(2)求证：当时，.
【例6-2】 (2025·江西·模拟)已知函数.
(1)证明：曲线在点处的切线恒过定点，并求出该定点坐标；
(2)若存在使得，记的导函数为.
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
破解双参数不等式的方法：
1.转化：由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；
2.巧构函数：构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
3.双参的不等式的证明：把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．
【变式6-1】(2025·甘肃·模拟)已知函数，且曲线在点处的切线方程为.
(1)求实数的值.
(2)当时，证明：当时，.
(3)当时，若存在，使得成立，证明：.
【变式6-2】(2025·海南·模拟)已知函数，当时，的切线斜率．
(1)求的单调区间；
(2)已知，若，求证：若，则．
【变式6-3】(2025·浙江·模拟)已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有三个不同的零点.
（i）求实数的取值范围；
（ii）若，证明：.
题型07 极值点偏移问题与拐点偏移问题
【例7-1】(2025·云南·模拟)已知函数．
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若，且，证明：．
【例7-2】(2023·黑龙江·模拟)已知函数（a为常数）.
(1)求函数的单调区间；
(2)若存在两个不相等的正数，满足，求证：.
(3)若有两个零点，，证明：.
极值点偏移问题的常见解法
1.对称化构造法：构造辅助函数：
①对结论x1+x2>2x0型，构造函数.
②对结论型，方法一是构造函数，通过研究的单调性获得不
等式；方法二是两边取对数，转化成lnx1+lnx2>2lnx0，再把lnx1，lnx2看成两变量即可.
2.比值代换法：通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明.
【变式7-1】(2025·河南·模拟)知函数.
(1)讨论的单调性.
(2)若存在两个不同的，满足，证明：.
【变式7-2】(2025·陕西·模拟)已知函数.
(1)若，求的单调区间.
(2)若是函数的两个零点.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：.
【变式7-3】(2025·广东·模拟)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，且存在两个极值点．
①求的取值范围；
②设的两个极值点为，证明：．
题型08 导数与三角函数、数列综合
【例8-1】(2025·云南·模拟)已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，讨论函数在上的单调性和零点个数．
【例8-2】(2025·四川·模拟)已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)讨论在区间上的单调性；
(3)设，证明：．
1. 导数与三角函数综合:
分段分析：利用三角函数的有界性与周期性，以特殊角（如）为界分段讨论单调性。
切线放缩：熟记经典不等式（如时），通过切线或二次函数放缩将超越函数转化为代数不等式证明。
同构思想：识别等复合结构的对称性或利用辅助角公式化简。
2. 导数与数列综合
函数桥梁法：将数列通项视为定义在自然数中的函数，利用导数研究其单调性、凹凸性，进而确定性质。
裂项放缩法：构造辅助函数，利用拉格朗日中值定理或切线不等式，将数列通项放缩为可裂项相消的形式，解决数列求和不等式。
不动点法：对于递推数列，通过研究函数 的不动点及单调性，分析数列的收敛性或求通项范围。
【变式9-1】(2025·辽宁·模拟)已知函数．
(1)若，求在处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若时，，求的取值范围．
【变式9-2】(2025·湖北·模拟)已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)求证：.
【变式9-3】(2025·陕西·模拟)已知函数，其导函数为.
(1)若的一个极值点为1，求的值，并判断该极值点是极大值点还是极小值点；
(2)讨论的单调性；
(3)证明：当且时，.
1．(2025·海南·模拟)已知函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)当，求的最值．
2．已知轴是曲线在点处的切线.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调区间和极值.
3．(2025·江苏·模拟)已知函数，．
(1)当时，判断函数的单调性，并求出的极值；
(2)若过原点存在两条直线与曲线相切，求实数a的范围．
4．(2025·内蒙古·模拟)已知函数，.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)已知，若有两个极值点，求的取值范围.
5．(2025·湖南·模拟)已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)判断的单调性；
(3)若在上有两个零点，求实数的取值范围．
6．(2025·云南·模拟)已知函数.
(1)若函数在处的切线方程为，求实数；
(2)若函数存在两个极值点（）
①求的取值范围；
②证明：
7．(2025·江苏·模拟)已知函数，其中.
(1)讨论的单调性；
(2)若直线是曲线的一条切线，求的值；
(3)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
8．(2025·安徽·模拟)已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个正零点且，
（i）求证：；
（ii）当时，不等式恒成立，求证：.
9．(2025·河南·模拟)已知函数．
(1)若函数单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若函数有两个零点．
①求实数a的取值范围；
②证明：．
10．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)试比较与的大小；
(3)当时，数列满足，，，证明：.
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