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重难点07 解三角形与三角恒等变形
内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 重难考向聚焦 锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 重难考向保分攻略 授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化 重难冲刺练 模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感”
近三年：三角恒等变形单独命题以选择题、填空题为主，解三角多以比较基础的解答题为主，但是近年有 “脱离单独解答题” 趋势，2025 年新高考 Ⅰ 卷中以多选题压轴形式呈现，体现题型创新。 解三角型和三角恒等变形两者常作为工具，融入向量、解析几何、导数等模块，如 2023 年全国乙卷第 17 题结合向量数量积与辅助角公式，2025 年全国一卷第 19 题结合导数分析三角函数极值。 而三角恒等变换常并入解三角形大题，减少单独化简题，如 2024 年全国 Ⅰ 卷第 15 题用正余弦定理 + 二倍角公式求角与边。还与与实际情境（测量、物理模型）结合，如 2025 年上海卷第 64 题通过力的分解考查辅助角公式；与其他模块结合，如解析几何中用解三角形求线段长度，导数中分析三角函数单调性。 预测2026年：2026 年高考对解三角形与三角恒等变形的考察，将延续 考察基础、应用综合、题型创新多变 的基调，题型分布呈现 “选填保基础、解答融综合” 的特点。 难度覆盖基础到中档。其中三角恒等变形单独命题以 “拆角求值”“辅助角公式应用” 为主； 要注意复习备考时候三角函数与恒等变形作为工具融入综合题，如与向量（数量积转化为边角关系）、解析几何（三角形面积与直线斜率结合）、导数（三角函数极值中的边角约束）结合，尤其可能在 “导数研究三角函数单调性” 中融入解三角形的边长范围条件。 。
考向01 恒等变形1：拆角求值
复合型角度的和与差，如果是与30°，45°或者60°等特殊角终边相同，则可以借助特殊角的函数值来拆角求值 常见的变角技巧有： ， ， ， ， 等．
1．（23-24高三 全国 专题练习）计算： ．
【答案】
【分析】利用两角差的余弦公式、二倍角的余弦公式以及诱导公式，化简即可得结果.
【详解】由题意得
故答案为：.
2．（22-23高三 全国 专题练习） .
【答案】2
【分析】利用同角关系式化切为弦，再利用倍角公式，辅助角公式进行化简.
【详解】因为，
所以，
因为，
所以.
故答案为：2.
【点睛】本题主要考查三角恒等变换，主要策略是统一角，统一函数，降低次数.
3．（23-24高三 全国 专题练习） ．
【答案】
【分析】利用两角和差的三角公式，把非特殊角转化为特殊角，化简即可求解答案．
【详解】由题意
故答案为：
4．（24-25高三 全国 专题练习）计算： .
【答案】
【分析】把化为，逆用二倍角的余弦公式和正弦公式，运用辅助角公式，最后化简求值.
【详解】原式
【点睛】本题考查了同角三角函数商关系，考查了二倍角的正弦公式、余弦公式、辅助角公式.
考向02 恒等变形2：对偶型求值
对称结构，又叫“对偶”结构，一般是正弦对偶余弦，减法对偶减法。 常见的对称型结构： 为对称结构，可以借助消元求解
5．（23-24高三上·山东聊城·期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】应用平方关系消去，得，再应用诱导公式即可求解.
【详解】由，得，得①，
由，得，得②，
①②得：，
即，
.
故选：B
6．（23-24高三上·湖南长沙·开学考试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定的等式，利用平方关系及差角的余弦求出，再借助正弦函数的单调性求解作答.
【详解】由，得，
两边平方得，即，
由，知，又，即，
即有，因此，所以
故选：C
7．（22-23高一下·上海虹口·期中）若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据已知条件，结合辅助角公式，化简得到，利用正弦函数的性质，即可求解.
【详解】由，可得，
因为，可得，
所以.
故答案为：.
8．（22-23高三·全国 专题练习）已知，的取值范围是，，则函数的最小值为 .
【答案】
【详解】试题分析：设，
则，
所以，即，所以.
设，因为，所以，代入得
，由于，故的最小值是，所以，
当且仅当时，，又因为函数在时是减函数，
所以.
考点：1、三角函数恒等变换；2、对数函数的性质及单调性；3、不等式的性质及应用.
考向03 恒等变形3：非特殊角辅助角求值
辅助角范围满足：
9．（25-26高三上·湖南·期中）已知，则的最大值为 .
【答案】
【分析】设，则,由三角恒等变换得，设，利用辅助角公式可得，从而可得，代入，整理得，求解后即可得答案.
【详解】设，则，由，可得
，设，
则有，其中
所以，所以，即，
整理得，解得，又因为，
所以，所以的最大值为，即的最大值为.
故答案为：
10．（25-26高三上·吉林长春·月考）已知，则的最大值为 ．
【答案】/0.25
【分析】设，利用辅助角公式结合三角函数的有界性计算即可.
【详解】设，则，
所以，
由辅助角公式得，
其中，当时取得等号，
解得，即的最大值为，不妨取为锐角，
此时有，，符合题意.故答案为：.
11．（24-25高三下·广东·月考）锐角中，，则的范围是 ．
【答案】
【分析】根据条件分析的取值范围，结合辅助角公式可得结果.
【详解】∵，∴.
∴，
∴，其中.
∵，∴.∵为锐角三角形，∴，，
∴，故.
∵，∴，
∴，∵，，
∴，当时，，即，
∴，即的范围是.故答案为：.
12．（25-26高三上·山东济宁·期中）设，则的最大值为 .
【答案】
【分析】对展开化简得到：，使用辅助角公式换元化简求出其最大值并检验其是否存在即可.
【详解】对展开化简得：，
令，，使用辅助角公式得：，
其中，，
故，
，当时取得最大值，
故.当且仅当且时取到等号，，存在，使得，
故最大值为，故答案为：
考向04 恒等变形4：恒等变形
恒等变形基础： （1）两角和的正弦公式：_； （2）两角差的正弦公式：_； （3）两角和的余弦公式：_； （4）两角差的余弦公式：； （5）二倍角的正弦公式：__ （6）二倍角的余弦公式：__ （7）二倍角的正切公式：_ 恒等变形主要公式体系： 降幂公式：cos2α＝，sin2α＝， 升幂公式：1＋cos 2α＝2 cos2α，1－cos 2α＝2sin2α 1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2.
13．（25-26高三上·辽宁锦州·期末）化简求值： ．
【答案】
【分析】由二倍角公式及诱导公式化简求解即可.
【详解】由
，则.
故答案为：.
14．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末） ．
【答案】/
【分析】由求出，再用二倍角公式结合诱导公式求出，将原式化简为求解.
【详解】因为，所以，
而以
，且，
所以，即，
所以，解得，
所以，所以，
法1：原式
；
法2：原式，
由和差化积公式得，
故原式；故答案为：.
15．（25-26高三上·江苏·月考）已知锐角，，满足，若不等式恒成立，则实数k的取值范围为 .
【答案】
【分析】设，提取公因式，利用两角和差的正弦公式对函数进行整理，得到，从式子中解出，代入函数中，利用诱导公式和二倍角的正弦公式得到，由求出的范围，由恒成立，得到，从而得到实数k的取值范围.
【详解】设，，
，，，，，，，，恒成立，
恒成立，恒成立，，，，实数k的取值范围为.
故答案为：.
16．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知，则 ．
【答案】
【分析】先求，再利用二倍角公式，进而求解即得.
【详解】由题意有：，
所以
，故答案为：.
考向05 解三角形1：三角形几解
判断三角形解的个数有2种： 画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数。 ①若无交点，则无解； ②若有一个交点，则有一个解； ③若有两个交点，则有两个解； ④若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。 公式法：运用正弦定理进行求解。 ①a＝bsinA，△＝0，则一个解； ②a＞bsinA，△＞0，则两个解； ③a＜bsinA，△＜0，则无解。
1．（22-23高一下·湖北襄阳·期中）在中，边上的高为2，则满足条件的的个数为 .
【答案】2
【分析】根据正弦定理计算出三角形外接圆半径，求得A到的距离的最大值，和边上的高为2比较，即可确定答案.
【详解】因为中，，所以的外接圆半径为,
即A位于以2为半径的圆弧上，如图，当为正三角形时，此时顶点A到的距离的最大值为,如图当A位于处时，此时为外接圆直径，则,则，满足边上的高为2，
故满足条件的的个数为2个，故答案为：2
【点睛】方法点睛：解答本题判断符合条件的三角形个数问题，采用作图分析即数形结合，即可判断得出结论.
2．（23-24高三全国专题练习）在中，角所对的边分别为已知要使该三角形有唯一解，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用正弦定理得出，根据的度数和三角形只有一解，可得只有一个值，根据正弦函数的图象与性质得到的范围，从而得到的范围.
【详解】因为由正弦定理可得：，
又，且三角形只有一解，可得A只有一个值，或，
或，，或又，
的取值范围为，故答案为
【点睛】本题主要考查了正弦定理，正弦函数的图象与性质，特殊角的三角函数值，属于中档题.
3．（25-26高三上·广东珠海·月考）已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足条件，的三角形有两解，则边长a的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用正弦定理，代入，，可得.根据满足条件的三角形有两解，结合正弦函数的性质得到关于的不等式，从而得到边长a的取值范围.
【详解】由正弦定理，得.
若满足条件，的三角形有两解，则，且，所以.
所以，所以.故答案为：.
4．（25-26高三上·山东·月考）已知中，，，若满足条件的有两个，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意，由余弦定理结合已知条件代入计算，即可得到结果.
【详解】设的内角的对边分别为，
由余弦定理可得，即，
因为满足条件的有两个，则且两根之积大于零，即解得，两根之积为，解得，且两根之和为恒成立，
综上所述，的取值范围为.故答案为：.
考向06 解三角形2：判断三角形形状
判断三角形形状 1.边的关系优先用余弦定理，角的关系优先用三角恒等变换； 2.将已知条件转化为边或角的等式，消元化简； 3.根据化简结果对照三角形形状的定义； 4.检查是否为特殊三角形（等边、等腰直角）。
5．（24-25高一下·广东·期中）在中，分别是内角的对边，若（其中表示的面积），且，则的形状是（ ）
A．有一个角是30°的等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．有一个角是30°的直角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【分析】由三角形面积公式和余弦定理化简可得，由正弦定理对化简可得，结合平面向量线性运算、数量积运算和平面几何知识可得，从而可得是等边三角形.
【详解】，又，
所以，解得，因为，所以.
又，由，可得，，
则，如图所示，在边、上分别取点、，使，，以，为邻边作平行四边形，则四边形为菱形，
连接，，，且，，，，又，，且，，即，
又，是等边三角形.故选：D.
6．（2021高三·全国·专题练习）设△的三边长为，，，若，，则△是（ ）．
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】若三角形各边长为a、b、c且内切圆半径为r，
法一：由内切圆的性质有、，根据边角关系可得或，注意讨论所得关系验证所得关系的内在联系；
法二：由半角正切公式、正弦定理可得或，结合三角形内角的性质讨论所得关系判断三角形的形状.
【详解】设，△的内切圆半径为r，如图所示，
法一：
∴①；②. ①÷②，得：，即．
于是，，，
从而得或，∴或．故△为等腰三角形或直角三角形，
（1）当时，内心I在等腰三角形的底边上的高上，
，从而得．
又，代入①式，得，即，
上式两边同时平方，得：，化简，即．即△直角三角形，
∴△为等腰直角三角形．
（2）当时，易得．代入②式，得，此式恒成立，
综上，△为直角三角形．
法二：
利用，及正弦定理和题设条件，得①，②.∴③；④.
由③和④得：，即，，
因为为三角形内角，∴或，即或．
（1）若，代入③得：⑤
又，将其代入⑤，得：．
变形得，即⑥，
由知A为锐角，从而知．∴由⑥，得：，即，从而，．
因此，△为等腰直角三角形．（2）若，即，此时③④恒成立，
综上，△为直角三角形．故选：B
7．（20-21高一下·上海浦东新·期中）已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】利用余弦定理将角化为边整理，即可得三角形的边之间的关系，从而可得此三角形的形状.
【详解】由余弦定理，可得
，
整理，得，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以，所以或或，故三角形为等腰三角形.故选：A
8．（23-25全国专题练习）如果的三个内角的正弦值分别等于的三个内角的余弦值，则下列正确的是
A．与都是锐角三角形
B．与都是钝角三角形
C．是锐角三角形且是钝角三角形
D．是钝角三角形且是锐角三角形
【答案】D
【解析】先根据三角形三个内角的余弦值为正数，得出三角形是锐角三角形.先假设三角形分别为锐角三角形或直角三角形，推导出矛盾，由此判断出三角形是钝角三角形.
【详解】因为三角形的三个内角的正弦值都大于零，所以三角形的三个内角的余弦值都大于零，所以三角形是锐角三角形.若三角形是锐角三角形，不妨设,,，即,三个式子相加，得，这与三角形内角和定理矛盾，故三角形不是锐角三角形.若三角形是直角三角形，该直角的正弦值为，对应锐角三角形内角的余弦值为，这个显然不成立，所以三角形不是直角三角形.综上所述，是钝角三角形且是锐角三角形，故选D.
【点睛】本小题主要考查三角形形状的判断，考查三角函数诱导公式，考查三角形的内角和定理，属于中档题.
考向07 解三角形3：正余弦定理
正余弦定理：化边为角型 （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）正余弦定理：化角为边型 若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
9．（24-25高二下·浙江·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，边上的高为2，且，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据三角形面积相等得到，再由正弦定理及和差角的正弦公式将化简得到，从而解出的值，进而求出的值，再利用余弦定理求出，即可求出的周长.
【详解】
作于，即，所以，
又因为，所以.因为，由正弦定理可得，
，又因为，
所以，即，
因为，所以，所以，又因为，
又因为，所以，所以，所以解得，
将代入可得.在中，由余弦定理
可得，即，解得或（舍）.
所以的周长为，故选：D
10．（25-26高三上·重庆·月考）在中，三个内角所对的边分别为，为的面积，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用三角形面积公式,对已知条件转化，再结合余弦定理得到，利用辅助角公式化简得到关于的三角函数式，最后利用诱导公式和同角三角函数关系得到
【详解】由题意，，由余弦定理：，
两式相加得：，其中，
因为，，又，所以，于是，所以，故选：A.
11．（25-26高三上·江苏徐州·期中）在中，，则（ ）
A． B． C．或 D．7
【答案】B
【分析】由题意可推出，结合和，求出，继而求得，即可求出，利用正弦定理，即可求得答案.
【详解】在中，，故，即得，
结合，得，则，即，
则，即得，则C为锐角，由，结合，
解得，则，
，故，
由，得，故选：B
12．（24-25高一下·辽宁大连·期末）三角形中，角对的边分别为，，若，则边上的高为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理和已知条件得到，再利用辅助角公式及基本不等式可得到，此时且，结合余弦定理可求出，最后利用等面积法即可求解.
【详解】由余弦定理得，，代入，
可得，化简得，
两边同时除以得，，一方面，，
其中，，当时等号成立；
另一方面，由均值不等式，有，当且仅当时等号成立，
依题可得：，此时且，
，，，，
，，
由余弦定理，，又，，联立解得，，
设边上的高为，则，故，即边上的高为.故选：B.
考向08 三角形最值型1：周长与边最值
解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路： ①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值
1．（25-26高三上·辽宁锦州·期末）如图，在中，，是的角平分线，且．
(1)求实数的取值范围；
(2)若的面积为，则为何值时最短，并求出此时的值．
【答案】(1)(2)，2
【分析】（1）根据三角形面积之间的关系，结合三角形面积公式、余弦函数的值域性质进行求解即可；
（2）法一：根据三角形面积公式、余弦定理，结合辅助角公式、正弦型函数的最值性质、同角的三角函数关系式进行求解即可；
法二：根据三角形面积公式、余弦定理，结合同角的三角函数关系式、基本不等式进行求解即可.
【详解】（1）设，因为是的角平分线，所以，
因为，所以，
所以，又因为，所以，
因为，所以．所以．
（2）法一：，可得，
，
不妨令，
因为所以．于是．
当时，，
，，
所以由，舍去，又因为，所以．
法二：，可得，
，
当即时等号成立，于是，此时，
又因为，所以．
2．（25-26高三上·甘肃兰州·期末）在中，角所对的边分别为，且满足．
(1)求角的大小；
(2)若，求的周长的最大值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再利用辅助角法求解；
（2）由，结合余弦定理得到，再利用基本不等式得到求解.
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以，即，即，
所以，因为，所以，；
（2）由余弦定理及，得，即，
即，又，即，
所以，即，当且仅当时，等号成立，
所以周长，所以周长最大值为．
3．（2026·四川攀枝花·一模）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足．
(1)求角B；
(2)若，求周长的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）已知条件利用余弦定理角化边，即可得，可求角B；
（2）已知，，由正弦定理结合三角恒等变换得，再利用角的范围和正弦函数的性质求得周长的取值范围即可.
【详解】（1）因为，所以由余弦定理得，即，即，又，则.
（2）由（1）知，又，由正弦定理可得，
则，由，得到，，
则，可得，故周长的取值范围为．
4．（25-26高三上·安徽阜阳·月考）在锐角三角形 中，角 的对边分别为 ，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的取值范围.
【答案】(1).(2).
【分析】（1）利用正弦定理将已知条件转化为，结合锐角三角形限制求出角；
（2）利用正弦定理将，表示为角的函数，结合和锐角三角形限制，将表达为，再根据余弦函数的区间取值范围求得的取值范围.
【详解】（1）在锐角三角形中，角的对边分别为，且满足： ①,
利用正弦定理，①式化为,因为，所以,
又因为,所以.（2）因为，,所以,
利用正弦定理可得：
化简可得：,因为三角形是锐角三角形，所有角都小于,所以,
,得到：,则,
所以,所以的取值范围是：
考向09 三角形最值型2：面积最值
三角形面积 ，不仅仅有常见的“底乘高”，还有以下： ①S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝ ②S△ABC＝(a＋b＋c)·r(r是切圆的半径)
5．（2026·重庆·模拟预测）在锐角中，内角的对边分别是，满足.
(1)求角的大小；
(2)求面积的最大值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用二倍角公式结合边角互化转化题干条件，得到进而得解；
（2）列出余弦定理表达式，然后利用基本不等式求解.
【详解】（1）对于，
由正弦定理和二倍角公式，，
则，即，
即，由题知，则，
得到，由于，则，于是，解得
（2）由余弦定理，，由，，得到，
由基本不等式，，则（取等号），
，即时，的最大值是.
6．（25-26高三上·四川绵阳·月考）如图，在等边中，分别为边上的点（不含端点），记分别为的内角的对边，且.
(1)求；
(2)若，，设.
（i）请用含的式子表示和AE；
（ii）求面积的最大值.
【答案】(1)(2)（i），；（ii）
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合二倍角公式化简已知等式，即可求得答案；
（2）（i）利用正弦定理，即可求解；（ii）利用三角恒等变换公式可求出的表达式，即可求出面积的表达式，结合三角函数性质即可求得答案.
【详解】（1）由，由正弦定理得，
又因为，所以，因为，所以，
故，解得或，因为，，则舍去，故，所以，得；
（2）（i）设，在中，由正弦定理得，即，得，
因为，所以，
在中，由正弦定理得，即，得；
（ii）因为，所以当取得最大值时，的面积取得最大值，
，
其中，所以当时，取得最大值，
此时，符合题意，所以面积的最大值为.
7．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，.
(1)求证：；
(2)求的取值范围；
(3)若，求三角形面积的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).
【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理结合两角和与差的正弦公式化简得出，结合正弦函数的单调性可证得结论成立；
（2）由正弦定理及三角恒等变换化简得出，根据已知条件求出角的取值范围，结合余弦函数的基本性质和对勾函数的单调性可得出的取值范围；
（3）利用正弦定理、三角形的面积公式结合三角恒等变换化简得出，结合正切函数和反比例函数的基本性质可求得面积的取值范围.
【详解】（1）由及正弦定理可得，即，
因为，则，所以，即，
由余弦定理可得，所以，
所以，由正弦定理可得
，
因为为锐角三角形，故，，所以，
又函数在上单调递增，且，故，即.
（2）
，因为为锐角三角形，故，解得，又因为，可得，故角的取值范围是，
所以，故，令，，
任取、且，则
，因为，所以，则，所以，
所以函数在上为增函数，故，
故的取值范围是.
（3）由正弦定理可得，所以，，
所以
，因为，所以，
令，函数、在上均为减函数，
故函数在上为减函数，所以，即，
因此，即面积的取值范围是.
8．（25-26高三上·河北张家口·期末）已知在中，角的对边分别为，且．
(1)若，求的外接圆的半径；
(2)求面积的最大值．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）利用诱导公式得，再利用三角恒等变换进行展开化简得，最后利用正弦定理即可；
（2）解法一：利用正弦定理进行角换边得，再利用余弦定理得，最后根据三角形面积公式和反解法即可得到最值；解法二：同法一得到，再利用万能公式和基本不等式即可得到最值.
【详解】（1）当时，.
因为，所以，则.
又，可得，则.
因为，所以，又因为，所以为锐角，则，因此，则，
故外接圆的半径.
（2）解法一：由正弦定理及，得；由余弦定理得，又，得，则，则.
令，可得，由辅助角公式可得（其中），由，解得，
所以，即，所以的最大值为.
解法二：同法一得到，因为，所以，所以，
又，所以
当且仅当时取得最大值，所以的最大值为.
考向10 三角形最值型3：比值函数型
最值范围：分式比值型 化边为角型 通过正余弦定理，把边转化为角。 利用特殊角，消角，以分母角度为住元，消去分子角度，转化为分母角度的单变量函数形式 对单变量（单角）求最值。 角化变型： 主要用余弦定理，然后再借助均值不等式进行转化
9．（23-24高一下·河北张家口·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由已知式消去边，整理成，利用角的范围求得的范围，设，将其整理成关于的一元二次不等式组，解之即得的范围，最后由正弦定理即得..
【详解】设，则，由得
因为锐角三角形，故，，：
，代入得，解得；
，代入得，解得；
，代入得，对恒成立，
综上，，即，.故答案为：.
10．（23-24高一下·广东湛江·月考）在锐角中，角的对边分别为为的面积，且，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】由三角形面积公式和题设等式，利用余弦定理化简求得和，再由正弦定理化简所求式为，设，利用三角恒等变换将其化成，求得，最后运用双勾函数的单调性求得范围.
【详解】因，代入可得，整理得，，
由余弦定理，，则得，，
两边平方，化简得，，即，解得或0，
因为为锐角三角形，所以.
由正弦定理得（*），，
又为锐角三角形，，则，即
故则，
令，代入（*）式可得， ，因函数在上单调递减，在上单调递增，则，又，
因为，故.故答案为：.
【点睛】思路点睛：本题主要考查三角恒等变换和三角函数的性质在三角形中的应用，属于难题.
解题思路在于，利用三角形面积公式和正弦定理、余弦定理由题设条件求出角，再由所求式进行合理的三角恒等变换，借助于三角函数的图象性质和双勾函数的单调性求解即得.
11．（23-24高三上·山东德州·月考）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用三角形面积公式与余弦定理，可得，再根据同角关系式可得，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，结合条件可得取值范围，进而求得的取值范围，令，则，然后由对勾函数的单调性即可求出．
【详解】在中，由余弦定理得，
且的面积，
由，得，化简得，
又，，联立得，解得或（舍去），
所以，
因为为锐角三角形，
所以，，所以，
所以，所以，所以，
设，其中，所以，
由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，；当时，，
所以，即的取值范围是.故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，进而可以求解.
12．（2019·江苏南京·模拟预测）在中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则的最大值为
【答案】
【分析】利用面积公式和余弦定理，结合均值不等式以及线性规划即可求得最大值.
【详解】
（当且仅当时取等号）.令，故，
因为，且，故可得点表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：
目标函数上，表示圆弧上一点到点点的斜率，
由数形结合可知，当且仅当目标函数过点，即时，取得最小值，
故可得， 又，故可得，
当且仅当，即三角形为等边三角形时，取得最大值.故答案为：.
【点睛】本题主要考查利用正余弦定理求范围问题，涉及线性规划以及均值不等式，属综合困难题.
考向11 解三角形内部线1：中线应用
中线的处理方法 1.向量法： 补全为平行四边形。再转而在新三角形中用正余弦定理
1．（2026·四川宜宾·一模）记的内角的对边分别为，已知.
(1)求角A；
(2)已知边上的两条中线相交于点，且，求的余弦值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得角A的大小；
（2）以为基底向量，求，，利用向量的夹角公式求的余弦值.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
又因为，
即，即，
且，则，可得，即，且，所以.
（2）因为，，
由题意可知：，又因为，，
则，即；
，即；
且；
可得，所以的余弦值为.
2．（25-26高三上·吉林长春·月考）在中，角的对边分别为，已知，.
(1)求角的值；
(2)求的最大值；
(3)若边上的中线长为，求的面积.
【答案】(1)(2)4(3)
【分析】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理，求得，即可求解；
（2）根据正弦定理，得到，，化简得到，进而结合正弦函数的性质即可求解；
（3）由（1）得到，再由为边上的中线，利用，得到，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，整理可得，
由余弦定理得，所以，所以.
又因为，所以.
（2）因为，由正弦定理得，可得，，
因为，所以，
则，
又，则，当，即时，取得最大值为.
（3）由题意知：，由（1）知，即，
因为为边上的中线，所以，
两边平方得，
所以，联立方程组，解得，所以，
所以的面积.
3．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
(1)求；
(2)若，
①求周长的取值范围；
②若为边上的中线，，求的面积．
【答案】(1)(2)① ；②
【分析】（1）法一：利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换可求得，进而可求；法二：利用余弦定理角化边可得，利用余弦定理求得，进而可求；
（2）(ⅰ) 法一：由正弦定理可得，，利用三角恒等变换可求得周长的取值范围；法二：利用余弦定理，结合基本不等式与三边关系定理可求得周长的取值范围；(ⅱ)由余弦定理可得，利用，结合余弦定理可得，进而可求面．
【详解】（1）法一：由正弦定理得．
从而，即，
又中，∴，又，所以．
法二：由余弦定理得，化简得，则，
又，所以．
（2）(ⅰ)法一：由正弦定理得，则，，∵，∴．的周长为
．
又∵，∴，故，
∴周长的取值范围是．
法二：由余弦定理得，
所以．∵，∴，
∴(当且仅当时取得等号)．又∵，
∴周长的取值范围是．
(ⅱ)在中，由余弦定理得，即．
在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得．
∵，∴，∴．所以，．
考向12 解三角形内部线2：角平分线应用
.三角形角平分线的处理方法： 角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：
4．（22-23高三上·湖北·月考）平面直角坐标系中，已知点.点满足，记点的轨迹.
(1)求的方程；
(2)设点与点关于原点对称，的角平分线为直线l，过点作l的垂线，垂足为，交于另一点，求的最大值.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据双曲线定义得到点的轨迹为以为焦点的双曲线的右支，求出，得到轨迹方程；
（2）设出，，，根据角平分线的条件，结合向量投影模长相等得到，从而求出，点坐标，确定直线l的方程，由点到直线距离公式求出，再求出直线的方程为，与双曲线方程联立，利用弦长公式求出，结合基本不等式求出，最后求出的最大值.
【详解】（1）由题意得：，，
所以点的轨迹为以为焦点的双曲线的右支，
即，所以的方程为；
（2）由对称性，不妨设在第一象限，设，则，
设直线的斜率为，记，由为的角平分线，
则，其中，，所以，
同理得：，，
代入中，，化简得：，
将代入，中，解得：，
所以，，设直线的方程为，将代入，解得：，所以直线的方程为，
由点到直线距离公式得：，由直线的斜率为，设直线的方程为，将点代入，解得：，
所以直线的方程为，将其与联立得：
，设，
则，由可知：，又，所以，，
由均值不等式，，当且仅当，
即时，等号成立，因为，故，所以，当且仅当时，等号成立，的最大值为.
【点睛】本题难点在于如何处理角平分线这个条件，采用了向量投影的模长相等来进行求解，计算量小且易操作，属于点睛之笔.
5．（25-26高三上·安徽合肥·月考）在中，角的对边分别为，且
(1)求角；
(2)已知，角C的角平分线交AB于D点，求CD长度的最大值.
【答案】(1)2)
【分析】（1）由正弦定理边化角得到，再结合辅助角公式即可求解；
（2）由，得到，再由正弦定理得到，，代入结合辅助角公式得到，令，由，求解即可.
【详解】（1），
，
，又，，所以，
即，，，.
（2）由于，，
，..
由正弦定理：，，
因为，所以，则
令，则，，
，则，
令，由解析式可知在单调递增，所以
，即长度的最大值为.
6．（23-24高一下·四川成都·月考）在中，，为边上的中线，点在边上，设．
(1)当时，求的值；
(2)若为的角平分线，且点也在边上，求的值；
(3)在（2）的条件下，若，求为何值时，最短？
【答案】(1)(2)(3)当为何值时，最短
【分析】（1）由题意可知：，结合数量积的运算律分析求解；
（2）利用正弦定理可得，结合长度关系分析求解；
（3）设，利用面积关系和余弦定理可得，结合三角恒等变换以及基本不等式分析求解.
【详解】（1）由题意可知：，则，
即，且，整理可得，即或（舍去），所以的值为.
（2）在中，由正弦定理可得，即，
在中，由正弦定理可得，即，
若为的角平分线，则，即，
且，则，
即，可知，则，可知，
又因为，则，所以.
（3）由（2）可知：，则，且最短，即为最短，
设，则，，，
可知，可得，由余弦定理可得，
则，
，当且仅当，即时，等号成立，
此时，
由（1）可知：，即，
可得，即（负值舍去）所以当为何值时，最短.
考向13 解三角形内部线3：高应用
.三角形高的处理方法： 1.等面积法：两种求面积公式 如 2.三角函数法：
7．（24-25全国专题练习）在三角形中，已知角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）设三角形的边上的高为，且，求的值.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）由正弦定理可转化原式为，结合余弦定理可得解；
（2）由于又，可得解a,利用余弦定理可解的值.
【详解】（1）设三角形的外接圆的直径长为
由正弦定理和已知得:所以，
即由余弦定理得，因为，所以
（2）因为，所以因为，所以
由余弦定理得，
【点睛】本题考查了解三角形综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
8．（24-25全国专题练习）已知三角形中，，为边上的高，为垂足；设，，，；
（1）若，求的取值范围；
（2）若已知，试解决下面两个问题：
①求，满足的等式；
②求三角形的周长的最小值．
【答案】（1）；（2）①；②.
【分析】（1）由题意和余弦定理列出式子，由完全平方和公式和基本不等式求出的范围，结合三角形三边的关系可的取值范围；
（2）①由题意和余弦定理列出式子求出，由三角形的两个公式列出方程后将代入化简即可；
②由①和不等式求出的范围，利用①表示出得的周长，由基本不等式求出的范围，即可求出三角形的周长的最小值．
【详解】解（1）中，，，
由余弦定理得，，则，，
解得，当且仅当时取等号，，.
（2）①在中，，由余弦定理得，则，
即，，，则，
②由①可知，则，当且仅当时取等号；
解得，当且仅当时取等号；
三角形的周长
，当且仅当取等号，当时，取得最小值为6．
9．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知中，内角所对的边分别是，且.
(1)若，求的面积的值；
(2)若边上的高为，求角的大小及的值.
【答案】(1)；(2)，.
【分析】（1）由正余弦定理建立关于的等式，求出，即可求解；
（2）由面积公式，余弦定理建立等式，即可得，即，因为，所以，再结合余弦定理即可求解.
【详解】（1）由得，因为，所以，
又，由余弦定理可知，，
即，即，所以；
（2）因为，所以，
又，所以，
综上，，即，因为，所以，
所以，又因为，所以，所以.
考向14 解三角形内部线4：定比分点应用
三大线型引申：定比分点型 如图，若BD=tBC型，称D为定比分点，可以从以下思维入手： 双三角形余弦定理： （1）ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD ADcos （2）ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD ADcos(Π-） 2.向量法：
10．（25-26高三上·贵州六盘水·月考）在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求；
(2)若为边上一点，，且，，求的面积．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简即可求解；
（2）由已知得出，由平面向量的减法可得出，利用平面向量数量积的运算性质可得出关于的方程，解出的值，由此可得出的面积.
【详解】（1）由正弦定理可得，
因为，则，
因为， 所以，
因为，所以，则，，所以；
（2）如下图所示：
由题意可知，，即，可得，
所以，
即，又，
所以，整理得，且，所以，
所以的面积为.
11．（25-26高三上·福建厦门·月考）在中，内角所对的边分别为，已知..
(1)求；
(2)若为边上的一点，，求的面积.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）由已知及正弦边角关系得，再根据三角形内角的性质及三角恒等变换有，即可求大小；
（2）在中应用余弦定理求边长，应用余弦定理，结合平方关系、三角恒等变换求得，在中应用正弦定理得，最后应用三角形面积公式求面积.
【详解】（1）因为，由正弦定理得.
因为，所以，所以，即，
所以，又，所以，则，故.
（2）在中，由余弦定理得，
由（1）知，已知，则，
解得或（舍去）由余弦定理得，
所以，，所以.
所以
.在中，由正弦定理得，解得，
所以.
12．（25-26高三上·河南·月考）如图，已知的内角，，的对边分别为，，，，为的中点，为上一点，平分.
(1)若，求的面积；
(2)若，求的值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由正弦定理可得，由结合两角和的正弦与二倍角公式化简可得，进而可得是直角三角形，计算即可求解；
（2）设，由题意可得，化简可得，由结合同角三角函数基本关系可得，，利用两角和差正弦化简可得，再利用正切二倍角公式化简即可求解.
【详解】（1）由正弦定理可得，即，
因为，则
，
因为，所以，故上式化简可得，
因为，所以，即（负值不符合题意舍去）
所以（不符合题意舍去），，即是直角三角形，故，
所以的面积为；
（2）设，则，因为，所以，因为为的中点，平分，
所以，即，
因为，则，因为，，
所以，，则，
即，
化简可得，所以.
冲刺练
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．（25-26·云南昆明·）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由两角和的正弦结合弦切互化化简即可.
【详解】，，
又由，得，即，
，即．
故选：D
2．（2026·河南鹤壁·一模）已知，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先逆用两角和的正弦公式可得的值，再根据同角三角函数的基本关系可得的值，最后利用倍角公式即可得解.
【详解】因为
，
又，所以，
所以．故选：B.
3．（2025·贵州·模拟预测）已知是函数的最小值，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用辅助角化简函数的解析式，利用正弦型函数的最值、诱导公式化简可得的值.
【详解】因为，
其中为锐角，且，，
因为为函数的最小值，所以，
所以，
故，，
故.故选：D.
4．（25-26高三上·海南·月考）在中，, ，则“”是“有两解”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据正弦定理以及三角形解的个数的判断方法，再结合必要不充分条件的定义求解即可.
【详解】若有两解，则，
即，所以，
所以有两解可以推出.
所以“”是“有两解”的必要不充分条件.
故选：B
二、多选题
5．（25-26高三上·海南海口·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如下判断正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为等腰三角形
C．若，则为锐角三角形
D．若，，且有两解，则b的取值范围是
【答案】BCD
【分析】利用余弦函数的单调性判断A；由余弦定理化简得即可判断B；由三角形内角和，结合即可判断C；由可求得b的范围，判断D.
【详解】对于A，因为函数在上单调递减，且，所以，错误；
对于B，若即，则，所以，则为等腰三角形，正确；
对于C，由，而，
若中有一个为钝角，不妨为钝角，则、为锐角，
所以，，，不满足，故舍去；
若中有一个为直角，不妨为直角，则、为锐角，
所以，，，不满足，故舍去；
所以均为锐角，则为锐角三角形，正确；
对于D，如图，
因为有两解，所以，又，，
所以，即，正确.
故选：BCD.
三、填空题
6．（2025-2026学年高三全国模拟预测）在中，，则 ；若的内切圆的半径为，则的周长为 ．
【答案】
【分析】由正弦定理即可求出；设的面积为，周长为，内切圆的半径为，根据可求出，再根据余弦定理得到，联立即可求出，即可求出周长.
【详解】由正弦定理得，设的面积为，周长为，内切圆的半径为，
所以，则，则，即，
由余弦定理得，联立，解得，
所以的周长为.故答案为：；.
7．（2026·辽宁沈阳·一模）在中，角的对边分别为，若且，则 ．
【答案】4
【分析】利用三角形内角和的性质推出角，再利用正弦定理化简并求解．
【详解】三角形内角和，，，
，故，C是三角形内角，，故，则，， ，
根据正弦定理得，，
．故答案为：4．
四、解答题
8．（2026高三·广东·专题练习）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)点在直线上，且．若，求．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由余弦定理得，结合已知条件运算得解；
（2）由结合诱导公式可得或，结合已知条件可得或，求得，再根据运算得解.
【详解】（1）由余弦定理得，.
又，故， 所以，又，
所以，故而.
（2）由，知或.
又或，所以只可能是或，
分别解得或（舍去），
故只有如图情况，即在线段上，且，故，，
于是，，即，故.
9．（25-26高三上·江苏扬州·期中）在中，角的对边分别为的面积为.已知.
(1)若，求的值；
(2)若，求的最小值；
(3)若.分别在边上，且，求面积的最小值.
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）利用正弦定理结合三角形面积公式得到，再利用余弦定理求解余弦值即可.
（2）利用余弦定理和三角形面积公式并结合换元法得到，再利用辅助角公式并结合正弦函数的有界性列出不等式，求解参数范围，最后求出最小值即可.
（3）利用正弦定理求出，，结合可得，再结合辅助角公式和正弦函数的有界性得到，最后利用三角形面积公式得到结果即可.
【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得，
因为，所以，
所以由余弦定理得；
（2）由三角形面积公式得，且，解得，
由余弦定理得
，令，则，，
即，其中，可得，解得，
则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.
（3）由题意得，而，可得，如图，作出符合题意的图形，
设，则是等边三角形，得到，
因为，所以，而，故，设，
在中，由正弦定理得，
解得，
在中，由正弦定理得，解得，
如图，过作，可得，，，
由锐角三角函数的定义得，则，
因为，所以，
化简得，则，
由辅助角公式可得，，
由正弦函数有界性可得，
即，故，
由三角形面积公式得.
10．（25-26高三上·福建龙岩·期中）已知函数（满足恒成立，且相邻两对称轴之间的距离不小于，设为曲线的对称中心.
(1)求；
(2)若，求的取值范围；
(3)记的角，，对应的边分别为，，，若，，求边上的高长的最大值.
【答案】(1)，；(2)；(3)
【分析】（1）结合函数的最值情况及周期情况可得函数解析式，进而可得；
（2）利用整体代入法，结合三角函数图像性质可得值域；
（3）由余弦定理可得，结合基本不等式可得的最值，再根据三角形面积化简可得解.
【详解】（1）因为满足恒成立，
所以，所以，，可得，，
又，即，，所以，故，
由，，可得，即，；
（2）由，可得，所以当，即时，取得最大值，
又，，所以的取值范围是；
（3）由，化简得，
又，所以，当且仅当时，等号成立，所以，
因为，所以，
令，，即，所以，
又函数在上单调递减，所以当，即时，取得最大值，
故长的最大值为.
结束
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)重难点07 解三角形与三角恒等变形
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近三年：三角恒等变形单独命题以选择题、填空题为主，解三角多以比较基础的解答题为主，但是近年有 “脱离单独解答题” 趋势，2025 年新高考 Ⅰ 卷中以多选题压轴形式呈现，体现题型创新。 解三角型和三角恒等变形两者常作为工具，融入向量、解析几何、导数等模块，如 2023 年全国乙卷第 17 题结合向量数量积与辅助角公式，2025 年全国一卷第 19 题结合导数分析三角函数极值。 而三角恒等变换常并入解三角形大题，减少单独化简题，如 2024 年全国 Ⅰ 卷第 15 题用正余弦定理 + 二倍角公式求角与边。还与与实际情境（测量、物理模型）结合，如 2025 年上海卷第 64 题通过力的分解考查辅助角公式；与其他模块结合，如解析几何中用解三角形求线段长度，导数中分析三角函数单调性。 预测2026年：2026 年高考对解三角形与三角恒等变形的考察，将延续 考察基础、应用综合、题型创新多变 的基调，题型分布呈现 “选填保基础、解答融综合” 的特点。 难度覆盖基础到中档。其中三角恒等变形单独命题以 “拆角求值”“辅助角公式应用” 为主； 要注意复习备考时候三角函数与恒等变形作为工具融入综合题，如与向量（数量积转化为边角关系）、解析几何（三角形面积与直线斜率结合）、导数（三角函数极值中的边角约束）结合，尤其可能在 “导数研究三角函数单调性” 中融入解三角形的边长范围条件。 。
考向01 恒等变形1：拆角求值
复合型角度的和与差，如果是与30°，45°或者60°等特殊角终边相同，则可以借助特殊角的函数值来拆角求值 常见的变角技巧有： ， ， ， ， 等．
1．（23-24高三 全国 专题练习）计算： ．
2．（22-23高三 全国 专题练习） .
3．（23-24高三 全国 专题练习） ．
4．（24-25高三 全国 专题练习）计算： .
考向02 恒等变形2：对偶型求值
对称结构，又叫“对偶”结构，一般是正弦对偶余弦，减法对偶减法。 常见的对称型结构： 为对称结构，可以借助消元求解
5．（23-24高三上·山东聊城·期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高三上·湖南长沙·开学考试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．（22-23高一下·上海虹口·期中）若，则的取值范围是 ．
8．（22-23高三·全国 专题练习）已知，的取值范围是，，则函数的最小值为 .
考向03 恒等变形3：非特殊角辅助角求值
辅助角范围满足：
9．（25-26高三上·湖南·期中）已知，则的最大值为 .
10．（25-26高三上·吉林长春·月考）已知，则的最大值为 ．
11．（24-25高三下·广东·月考）锐角中，，则的范围是 ．
12．（25-26高三上·山东济宁·期中）设，则的最大值为 .
考向04 恒等变形4：恒等变形
恒等变形基础： （1）两角和的正弦公式：_； （2）两角差的正弦公式：_； （3）两角和的余弦公式：_； （4）两角差的余弦公式：； （5）二倍角的正弦公式：__ （6）二倍角的余弦公式：__ （7）二倍角的正切公式：_ 恒等变形主要公式体系： 降幂公式：cos2α＝，sin2α＝， 升幂公式：1＋cos 2α＝2 cos2α，1－cos 2α＝2sin2α 1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2.
13．（25-26高三上·辽宁锦州·期末）化简求值： ．
14．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末） ．
15．（25-26高三上·江苏·月考）已知锐角，，满足，若不等式恒成立，则实数k的取值范围为 .
16．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知，则 ．
考向05 解三角形1：三角形几解
判断三角形解的个数有2种： 画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数。 ①若无交点，则无解； ②若有一个交点，则有一个解； ③若有两个交点，则有两个解； ④若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。 公式法：运用正弦定理进行求解。 ①a＝bsinA，△＝0，则一个解； ②a＞bsinA，△＞0，则两个解； ③a＜bsinA，△＜0，则无解。
1．（22-23高一下·湖北襄阳·期中）在中，边上的高为2，则满足条件的的个数为 .
2．（23-24高三全国专题练习）在中，角所对的边分别为已知要使该三角形有唯一解，则的取值范围为 .
3．（25-26高三上·广东珠海·月考）已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足条件，的三角形有两解，则边长a的取值范围为 .
4．（25-26高三上·山东·月考）已知中，，，若满足条件的有两个，则的取值范围为 .
考向06 解三角形2：判断三角形形状
判断三角形形状 1.边的关系优先用余弦定理，角的关系优先用三角恒等变换； 2.将已知条件转化为边或角的等式，消元化简； 3.根据化简结果对照三角形形状的定义； 4.检查是否为特殊三角形（等边、等腰直角）。
5．（24-25高一下·广东·期中）在中，分别是内角的对边，若（其中表示的面积），且，则的形状是（ ）
A．有一个角是30°的等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．有一个角是30°的直角三角形 D．等边三角形
6．（2021高三·全国·专题练习）设△的三边长为，，，若，，则△是（ ）．
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
7．（20-21高一下·上海浦东新·期中）已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
8．（23-25全国专题练习）如果的三个内角的正弦值分别等于的三个内角的余弦值，则下列正确的是
A．与都是锐角三角形
B．与都是钝角三角形
C．是锐角三角形且是钝角三角形
D．是钝角三角形且是锐角三角形
考向07 解三角形3：正余弦定理
正余弦定理：化边为角型 （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）正余弦定理：化角为边型 若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
9．（24-25高二下·浙江·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，边上的高为2，且，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
10．（25-26高三上·重庆·月考）在中，三个内角所对的边分别为，为的面积，若，则（ ）
A． B． C． D．
11．（25-26高三上·江苏徐州·期中）在中，，则（ ）
A． B． C．或 D．7
12．（24-25高一下·辽宁大连·期末）三角形中，角对的边分别为，，若，则边上的高为（ ）.
A． B．
C． D．
考向08 三角形最值型1：周长与边最值
解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路： ①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值
1．（25-26高三上·辽宁锦州·期末）如图，在中，，是的角平分线，且．
(1)求实数的取值范围；
(2)若的面积为，则为何值时最短，并求出此时的值．
2．（25-26高三上·甘肃兰州·期末）在中，角所对的边分别为，且满足．
(1)求角的大小；
(2)若，求的周长的最大值．
3．（2026·四川攀枝花·一模）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足．
(1)求角B；
(2)若，求周长的取值范围．
4．（25-26高三上·安徽阜阳·月考）在锐角三角形 中，角 的对边分别为 ，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的取值范围.
考向09 三角形最值型2：面积最值
三角形面积 ，不仅仅有常见的“底乘高”，还有以下： ①S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝ ②S△ABC＝(a＋b＋c)·r(r是切圆的半径)
5．（2026·重庆·模拟预测）在锐角中，内角的对边分别是，满足.
(1)求角的大小；
(2)求面积的最大值.
6．（25-26高三上·四川绵阳·月考）如图，在等边中，分别为边上的点（不含端点），记分别为的内角的对边，且.
(1)求；
(2)若，，设.
（i）请用含的式子表示和AE；
（ii）求面积的最大值.
7．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，.
(1)求证：；
(2)求的取值范围；
(3)若，求三角形面积的取值范围．
8．（25-26高三上·河北张家口·期末）已知在中，角的对边分别为，且．
(1)若，求的外接圆的半径；
(2)求面积的最大值．
考向10 三角形最值型3：比值函数型
最值范围：分式比值型 化边为角型 通过正余弦定理，把边转化为角。 利用特殊角，消角，以分母角度为住元，消去分子角度，转化为分母角度的单变量函数形式 对单变量（单角）求最值。 角化变型： 主要用余弦定理，然后再借助均值不等式进行转化
9．（23-24高一下·河北张家口·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的取值范围为 ．
10．（23-24高一下·广东湛江·月考）在锐角中，角的对边分别为为的面积，且，则的取值范围为 .
11．（23-24高三上·山东德州·月考）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为 .
12．（2019·江苏南京·模拟预测）在中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则的最大值为
考向11 解三角形内部线1：中线应用
中线的处理方法 1.向量法： 补全为平行四边形。再转而在新三角形中用正余弦定理
1．（2026·四川宜宾·一模）记的内角的对边分别为，已知.
(1)求角A；
(2)已知边上的两条中线相交于点，且，求的余弦值.
2．（25-26高三上·吉林长春·月考）在中，角的对边分别为，已知，.
(1)求角的值；
(2)求的最大值；
(3)若边上的中线长为，求的面积.
3．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
(1)求；
(2)若，
①求周长的取值范围；
②若为边上的中线，，求的面积．
考向12 解三角形内部线2：角平分线应用
.三角形角平分线的处理方法： 角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：
4．（22-23高三上·湖北·月考）平面直角坐标系中，已知点.点满足，记点的轨迹.
(1)求的方程；
(2)设点与点关于原点对称，的角平分线为直线l，过点作l的垂线，垂足为，交于另一点，求的最大值.
5．（25-26高三上·安徽合肥·月考）在中，角的对边分别为，且
(1)求角；
(2)已知，角C的角平分线交AB于D点，求CD长度的最大值.
6．（23-24高一下·四川成都·月考）在中，，为边上的中线，点在边上，设．
(1)当时，求的值；
(2)若为的角平分线，且点也在边上，求的值；
(3)在（2）的条件下，若，求为何值时，最短？
考向13 解三角形内部线3：高应用
.三角形高的处理方法： 1.等面积法：两种求面积公式 如 2.三角函数法：
7．（24-25全国专题练习）在三角形中，已知角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）设三角形的边上的高为，且，求的值.
8．（24-25全国专题练习）已知三角形中，，为边上的高，为垂足；设，，，；
（1）若，求的取值范围；
（2）若已知，试解决下面两个问题：
①求，满足的等式；
②求三角形的周长的最小值．
9．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知中，内角所对的边分别是，且.
(1)若，求的面积的值；
(2)若边上的高为，求角的大小及的值.
考向14 解三角形内部线4：定比分点应用
三大线型引申：定比分点型 如图，若BD=tBC型，称D为定比分点，可以从以下思维入手： 双三角形余弦定理： （1）ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD ADcos （2）ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD ADcos(Π-） 2.向量法：
10．（25-26高三上·贵州六盘水·月考）在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求；
(2)若为边上一点，，且，，求的面积．
11．（25-26高三上·福建厦门·月考）在中，内角所对的边分别为，已知..
(1)求；
(2)若为边上的一点，，求的面积.
12．（25-26高三上·河南·月考）如图，已知的内角，，的对边分别为，，，，为的中点，为上一点，平分.
(1)若，求的面积；
(2)若，求的值.
冲刺练
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．（25-26·云南昆明·）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·河南鹤壁·一模）已知，且，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·贵州·模拟预测）已知是函数的最小值，则（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高三上·海南·月考）在中，, ，则“”是“有两解”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
5．（25-26高三上·海南海口·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如下判断正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为等腰三角形
C．若，则为锐角三角形
D．若，，且有两解，则b的取值范围是
三、填空题
6．（2025-2026学年高三全国模拟预测）在中，，则 ；若的内切圆的半径为，则的周长为 ．
7．（2026·辽宁沈阳·一模）在中，角的对边分别为，若且，则 ．
四、解答题
8．（2026高三·广东·专题练习）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)点在直线上，且．若，求．
9．（25-26高三上·江苏扬州·期中）在中，角的对边分别为的面积为.已知.
(1)若，求的值；
(2)若，求的最小值；
(3)若.分别在边上，且，求面积的最小值.
10．（25-26高三上·福建龙岩·期中）已知函数（满足恒成立，且相邻两对称轴之间的距离不小于，设为曲线的对称中心.
(1)求；
(2)若，求的取值范围；
(3)记的角，，对应的边分别为，，，若，，求边上的高长的最大值.
结束
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