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专题07 三角函数的图象与性质及其三角恒等变换
目录 第一部分 研·考情精析 锁定靶心 高效备考 第二部分 理·方法技巧 梳理知识 总结技巧与方法 第三部分 攻·题型速解 典例精析+变式巩固 【题型01】同角三角函数的关系 【题型02】和差角公式的简单应用 【题型03】二倍角公式的简单应用 【题型04】和差角、二倍角公式的化简 【题型05】半角公式的应用 【题型06】恒等变换化简求值 【题型07】凑角的应用 【题型08】恒等变换的综合应用 【题型09】三角函数的图像及性质 【题型10】三角函数平移伸缩变换 【题型11】三角函数图像求解析式 第四部分 练·决胜冲刺 精选好题+通关训练
考向聚焦 三角恒等变换与三角函数图像及性质是高考三角函数模块核心考向，题型以选择题、填空题为主，偶尔结合解答题第一问考查，侧重基础应用与逻辑运算，分值稳定。核心考向有三：一是恒等变换的化简求值，重点考查和差角、二倍角、降幂公式的灵活运用，结合凑角、平方关系，易错点集中在符号判断与公式混用；二是三角函数图像相关，侧重由图像求解析式、平移伸缩变换，以及图像与性质的结合，重点考查周期、最值、对称轴、对称中心的求解；三是综合应用，结合恒等变换将三角函数化为标准型，求解单调区间、最值，或结合实际问题建模求值。命题趋势注重基础，规避偏难技巧，强调“统一角、统一名”的化简思想，以及整体代换法在性质求解中的应用，需熟练掌握公式，精准规避易错点.
关键能力 解题核心能力聚焦三点，精准适配应试需求：一是公式应用能力，熟练掌握同角、和差角、二倍角、降幂等公式，能灵活拆分、凑角，规避符号、定义域等易错点；二是化简转化能力，善于将复杂三角函数化为标准型，实现“统一角、统一名、统一次数”；三是整体代换与图像解读能力，将看作整体求解性质，能通过图像提取关键信息，熟练掌握平移伸缩变换规律。同时需具备象限判断、多解取舍能力，做到步步严谨，快速衔接公式与题型，提升解题效率与准确率。
备考策略 备考以稳基础、重化简、强规范为核心。先把同角、和差角、二倍角、降幂公式背熟，重点练凑角、平方、合一变形三种常用技巧，确保化简不出错。图像与性质要先化标准型，用整体代换求周期、单调、对称轴、对称中心，牢记平移伸缩只对变换. 刷题侧重选择、填空及解答题第一问，重点突破符号判断、角范围、定义域、多解取舍四大易错点。建立错题本，总结化简套路与图像题型模板，做到公式熟、变形快、步骤全、不跳步，稳拿基础分与中档分.
◇方法技巧 01 三角恒等变换常用方法
一、公式的应用
1. 必背公式:
同角三角函数关系：
.
诱导：奇变偶不变，符号看象限
和差：
；；.
二倍角：
；；.
降幂 / 升幂：
。
2. 解题万能套路
见高次就降幂：一律用降幂公式。
见和角就展开：先展开再说。
见就合一变形：
求周期、最值、单调性必用：统一角、统一名、统一次数
二、凑角技巧
1. 核心思想
未知角 = 已知角的和 / 差
不用死记，就一句话：用题目给的角，表示要求的角。
2. 最常见凑角模板
，
3. 凑角步骤
标出已知角、所求角
观察：所求角 = 哪两个已知角的和 / 差
用和差公式展开
注意象限定符号
◇方法技巧 02 三角函数图象及性质常用方法
一、三角函数图像与性质 常用方法
1. 标准型
一律先化成：或
2. 核心性质速算
周期：；最值：最大值，最小值；对称轴：正弦函数，余弦函数；对称中心：正弦函数求，余弦函数求；单调区间：把看作整体，代入或 的单调区间，再解。
3. 图像平移技巧
左加右减，只对变；上加下减，在最后变
先平移，再伸缩；或先伸缩再平移。
4. 求解析式套路
看上下距离 →；看周期 → ；代特殊点（最高点 / 最低点 / 零点）→
◇题型 01 同角三角函数的关系
典｜例｜精｜析
典例1．若，则（ ）
A． B．
C．1 D．
典例2．（多选）已知，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
同角三角函数核心为平方关系与商数关系。常见错误：开方时忽略符号，未根据角所在象限判断正负；忽略定义域，时不可用商数关系；混用公式，将 sinα+cosα 直接平方展开出错；已知 tanα 求 、 时，漏写两种情况或符号判断错误。解题先定象限，再定符号，最后计算。
变｜式｜巩｜固
变式1．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（多选）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
◇题型 02 和差角公式的简单应用
典｜例｜精｜析
典例1．已知锐角满足，则（ ）
A． B．
C． D．
典例2．已知，，则（ ）
A．3 B．1
C． D．
典例3．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
和差角公式最易出错在符号与结构：sin(α±β) 是同名积、符号同；cos(α±β) 是异名积、符号反。常犯错误：展开时函数名混淆、中间符号写反；拆角时角度范围判断不准，导致三角函数值符号错误；直接把 cos(α β) 当成 cosα cosβ，忽略公式结构；已知正切时，忽略分母不能为 0，直接代入公式。牢记：先定角范围，再定符号，严格套公式。
变｜式｜巩｜固
变式1．=（ ）
A． B．
C． D．
变式2．已知，则（ ）
A．–2 B．–1
C．1 D．2
变式3．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
◇题型 03 二倍角公式的简单应用
典｜例｜精｜析
典例1．若，则（ ）
A． B．
C． D．
典例2．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
二倍角公式应用高频出错：余弦三种形式混用、漏记、选错；降幂时系数与符号搞反；开方求单角时不判断象限符号；把 sin2α 错写成 2sinα，忽略乘 cosα；正切二倍角忽略分母为 0，直接套用；角度范围扩大导致多解、错解。解题先统一角度，优先选合适的余弦二倍角，注意定义域与符号，别跳步。
变｜式｜巩｜固
变式1．（ ）
A． B．
C． D．
变式2．已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
变式3．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
◇题型 04 和差角、二倍角公式的化简
典｜例｜精｜析
典例1．设且则（ ）
A． B．
C． D．
典例2．若．则（ ）
A． B．
C． D．
化简时最易出错：函数名与符号混淆，sin 展开同名、cos 异名且符号反；二倍角三种形式乱用，降幂升角时系数、符号搞反；角度不统一，出现多角导致无法合并；忽略定义域，正切公式分母为 0；跳步漏项，不该约分强行约分，最后没化成 Asin(ωx+φ) 标准型。牢记：先统一角、统一名，再用公式，步步验算。
变｜式｜巩｜固
变式1．设，且，则（ ）
A． B．
C． D．
变式2．若，则（ ）
A． B．
C． D．
◇题型 05 半角公式的应用
典｜例｜精｜析
典例1．已知为锐角，若，则（ ）
A． B．
C． D．
典例2．已知为锐角，，则（ ）．
A． B．
C． D．
半角公式核心易错在根号前的 ± 号判断，必须严格由半角所在象限确定符号，不能直接保留双号；常把半角理解成角减半，却忽略象限变化导致符号出错；与降幂公式混淆，忘记带根号是半角、不带根号是降幂；计算时分子分母写反；已知余弦求正弦、正切半角时，不先判断角的范围就盲目开方。先定象限、再定符号、最后代入计算。
变｜式｜巩｜固
变式1．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
变式2．设，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
◇题型 06 恒等变换化简求值
典｜例｜精｜析
典例1．求（ ）
A． B．
C． D．
典例2．设，，，则有（ ）
A． B．
C． D．
典例3．（多选）下列化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
化简求值易犯：角度不统一，不会凑角与拆角；公式混用，和差、二倍角符号与函数名写错；忽略角范围，符号判断错误；高次不降幂、同名不合并；盲目约分、去分母导致漏解或增解；正切忽略定义域，分母为 0 仍代入；最后未化成最简形式，如未合并为一次一函数。谨记：先统一角、统一名、定符号、再计算。
变｜式｜巩｜固
变式1．的值为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．，若，则（ ）
A．1 B．2
C．4 D．8
【答案】B
变式3．（多选）下列等式成立的有（ ）
A． B．
C． D．
◇题型 07 凑角的应用
典｜例｜精｜析
典例1．若,则（ ）
A． B．
C． D．
典例2．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
典例3．若，为锐角，，，则（ ）
A． B．
C． D．
凑角核心易错：不会用已知角表示未知角，乱拆角导致无法计算；忽略角度范围变化，直接照搬原角符号，造成正负出错；把所求角与已知角简单加减时，漏看倍数关系（如 2α、α/2）；凑完后套用和差角公式时函数名或符号写反；计算中不先判断象限，盲目开方或直接代入。记住：先观察角度关系，再严谨定符号，最后代入公式。
变｜式｜巩｜固
变式1．已知都是锐角，，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．若，，且都为锐角，则（ ）
A． B．
C． D．1
变式3．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
变式4．（多选）已知，为锐角，，，则（ ）
A． B．
C． D．
◇题型 08 恒等变换的综合应用
典｜例｜精｜析
典例1．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
典例2．已知，，则____________________．
综合题里最容易错：看到就直接平方，忘记平方后范围扩大，出现增解；凑角时只看和差，不结合平方关系判断符号；混用和差、二倍角、同角公式，步骤跳太快导致符号、系数出错；已知两式联立，不会先平方再加减，漏用；最后不检验角的范围，多解、错解、符号反。思路：先凑角，再平方，定范围，验符号。
变｜式｜巩｜固
变式1．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
变式2．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
变式3．已知锐角满足，则（ ）
A． B．
C． D．
◇题型 09 三角函数的图像及性质
典｜例｜精｜析
典例1．（多选）已知函数，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．将的图象向左平移个单位得到的函数为奇函数
D．函数与在上有两个交点
典例2．（多选）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期是 B．在上单调递增
C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称
解题时最易出错：未先化成 y=Asin(ωx+φ) 标准型就直接求周期、单调性；求周期时忽略 ω 正负与绝对值；平移只对 x 变，常把 ωx+φ 直接当平移量；求单调区间、对称轴、对称中心时，不把 ωx+φ 当整体，直接对 x 运算；忽略定义域与角范围，导致最值、零点判断错误；图像伸缩与平移顺序颠倒，结果出错。
变｜式｜巩｜固
变式1．函数，的增区间是（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（多选）已知函数，则（ ）
A． B．的最小值为
C．的最小正周期为 D．
变式3．（多选）已知函数，则（ ）
A．是周期为的函数 B．与函数是同一函数
C．不是的一条对称轴 D．在区间上的取值范围是
◇题型 10 三角函数平移伸缩变换
典｜例｜精｜析
典例1．（多选）为得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（ ）
A．先向右平行移动个单位，再横坐标缩短到原来的，纵坐标不变；
B．先向左平行移动个单位，再横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；
C．先横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平行移动个单位；
D．先横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平行移动个单位；
典例2．（多选）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），最后把所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
平移伸缩最易出错：左加右减只对 x 本身，常直接对ωx+φ整体加减；平移与伸缩顺序颠倒，平移量忘记除以ω；横坐标伸缩时只变ω，却误改相位或周期；只改变函数形状不判断定义域与符号；求解析式时代点错误，忽略A、φ的多解与取舍。牢记：变换只对 x 操作，先平移后伸缩、先伸缩后平移要区分清楚。
变｜式｜巩｜固
变式1．把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到图象对应的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（多选）函数，则（ ）
A．的一个周期为
B．是增函数
C．的图象关于点对称
D．将函数的图象向右平移个单位长度可得到的图象
变式3．（多选）已知曲线，，则下面结论正确的是（ ）
A．把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线
B．把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线
C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
◇题型 11 三角函数图象求解析式
典｜例｜精｜析
典例1．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．的最小正周期为
D．将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于点对称
典例2．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．在区间上单调递增
典例3．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．曲线的图象与y轴交点的纵坐标为
D．函数的图象关于直线对称
求 y=Asin(ωx+φ) 时常错：由最值求 A 漏看上下平移，直接当成 ±A；由周期求 ω 算错周期或漏绝对值；代点求 φ 不看是零点、最高点还是最低点，导致 φ 求反或求错；忽略 φ 取值范围，多解不取舍；混淆正弦、余弦图像起点，函数名与相位不匹配；计算粗心，符号、系数一错全错。
变｜式｜巩｜固
变式1．（多选）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．的图象关于直线对称
C．将的图象向右平移个单位长度后得到的图象
D．在区间上的值域为
变式2．（多选）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．在上的值域为
C．在上单调递增
D．的图象关于原点对称
变式3．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．的图象与轴的交点坐标为
D．函数的图象关于直线对称
一、单项选择题
1．（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
3．若，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“重差术”，即通过立表测量影长来计算远处目标的高度和距离的方法.测量时使用的标杆高度为h（称为“表高”），太阳天顶距为（太阳光线与垂直于地面方向的夹角，且）.根据三角学知识，标杆在地面上的影长与表高满足关系：.假设对同一表高进行两次测量，第一次测量时太阳天顶距为，影长为表高的2倍，第二次测量时太阳天顶距为，且满足，则第二次测量时影长是表高的（ ）
A．1倍 B．倍
C．倍 D．倍
6．若,则（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
7．已知函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的，得到曲线，若函数的最小正周期为，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在上单调递减
8．函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．该函数的解析式为
C．将函数的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数
D．当时，函数的值域为
9．已知函数（，），若函数的部分图象如图所示，函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象
D．函数在区间上的单调递减区间为
三、填空题
10．已知为第一象限角，为第三象限角，，，则______________.
11．若，则_____________，__________________．
12．已知，求_______________．
四、解答题
13．已知为锐角，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
14．已知函数，．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在上的最小值和最大值．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题07 三角函数的图象与性质及其三角恒等变换
目录 第一部分 研·考情精析 锁定靶心 高效备考 第二部分 理·方法技巧 梳理知识 总结技巧与方法 第三部分 攻·题型速解 典例精析+变式巩固 【题型01】同角三角函数的关系 【题型02】和差角公式的简单应用 【题型03】二倍角公式的简单应用 【题型04】和差角、二倍角公式的化简 【题型05】半角公式的应用 【题型06】恒等变换化简求值 【题型07】凑角的应用 【题型08】恒等变换的综合应用 【题型09】三角函数的图像及性质 【题型10】三角函数平移伸缩变换 【题型11】三角函数图像求解析式 第四部分 练·决胜冲刺 精选好题+通关训练
考向聚焦 三角恒等变换与三角函数图像及性质是高考三角函数模块核心考向，题型以选择题、填空题为主，偶尔结合解答题第一问考查，侧重基础应用与逻辑运算，分值稳定。核心考向有三：一是恒等变换的化简求值，重点考查和差角、二倍角、降幂公式的灵活运用，结合凑角、平方关系，易错点集中在符号判断与公式混用；二是三角函数图像相关，侧重由图像求解析式、平移伸缩变换，以及图像与性质的结合，重点考查周期、最值、对称轴、对称中心的求解；三是综合应用，结合恒等变换将三角函数化为标准型，求解单调区间、最值，或结合实际问题建模求值。命题趋势注重基础，规避偏难技巧，强调“统一角、统一名”的化简思想，以及整体代换法在性质求解中的应用，需熟练掌握公式，精准规避易错点.
关键能力 解题核心能力聚焦三点，精准适配应试需求：一是公式应用能力，熟练掌握同角、和差角、二倍角、降幂等公式，能灵活拆分、凑角，规避符号、定义域等易错点；二是化简转化能力，善于将复杂三角函数化为标准型，实现“统一角、统一名、统一次数”；三是整体代换与图像解读能力，将看作整体求解性质，能通过图像提取关键信息，熟练掌握平移伸缩变换规律。同时需具备象限判断、多解取舍能力，做到步步严谨，快速衔接公式与题型，提升解题效率与准确率。
备考策略 备考以稳基础、重化简、强规范为核心。先把同角、和差角、二倍角、降幂公式背熟，重点练凑角、平方、合一变形三种常用技巧，确保化简不出错。图像与性质要先化标准型，用整体代换求周期、单调、对称轴、对称中心，牢记平移伸缩只对变换. 刷题侧重选择、填空及解答题第一问，重点突破符号判断、角范围、定义域、多解取舍四大易错点。建立错题本，总结化简套路与图像题型模板，做到公式熟、变形快、步骤全、不跳步，稳拿基础分与中档分.
◇方法技巧 01 三角恒等变换常用方法
一、公式的应用
1. 必背公式:
同角三角函数关系：
.
诱导：奇变偶不变，符号看象限
和差：
；；.
二倍角：
；；.
降幂 / 升幂：
。
2. 解题万能套路
见高次就降幂：一律用降幂公式。
见和角就展开：先展开再说。
见就合一变形：
求周期、最值、单调性必用：统一角、统一名、统一次数
二、凑角技巧
1. 核心思想
未知角 = 已知角的和 / 差
不用死记，就一句话：用题目给的角，表示要求的角。
2. 最常见凑角模板
，
3. 凑角步骤
标出已知角、所求角
观察：所求角 = 哪两个已知角的和 / 差
用和差公式展开
注意象限定符号
◇方法技巧 02 三角函数图象及性质常用方法
一、三角函数图像与性质 常用方法
1. 标准型
一律先化成：或
2. 核心性质速算
周期：；最值：最大值，最小值；对称轴：正弦函数，余弦函数；对称中心：正弦函数求，余弦函数求；单调区间：把看作整体，代入或 的单调区间，再解。
3. 图像平移技巧
左加右减，只对变；上加下减，在最后变
先平移，再伸缩；或先伸缩再平移。
4. 求解析式套路
看上下距离 →；看周期 → ；代特殊点（最高点 / 最低点 / 零点）→
◇题型 01 同角三角函数的关系
典｜例｜精｜析
典例1．若，则（ ）
A． B．
C．1 D．
【答案】A
【详解】试题分析：由，得或，所以，故选A．
【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．
【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．
典例2．（多选）已知，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】对于A，将两边平方，利用平方关系求解后即可判断；对于B，结合A可得，从而得，，进一步求得，开方后得，即可判断；对于C，结合A，B可得，代入求解后即可判断；对于D，结合B即可判断.
【详解】对于A，因为，
所以，即，
解得，故A正确；
对于B，由A可知，
又因为，
所以，，
所以，
又因为，
解得，故B正确；
对于C，因为，，
所以，
所以，
所以，故C正确；
对于D，由B的分析可知，故D错误.
故选：D.2
同角三角函数核心为平方关系与商数关系。常见错误：开方时忽略符号，未根据角所在象限判断正负；忽略定义域，时不可用商数关系；混用公式，将 sinα+cosα 直接平方展开出错；已知 tanα 求 、 时，漏写两种情况或符号判断错误。解题先定象限，再定符号，最后计算。
变｜式｜巩｜固
变式1．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】在等式两边平方，求出的值，再利用切化弦可求得的值.
【详解】在等式两边平方可得，可得，
所以.
故选：B.
变式2．（多选）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由平方关系求得，从而确定可提范围，再由平方关系求得，用方程组思想求得，最后由商数关系求得
【详解】由得，
，又，，所以，所以，A正确；
，D正确；
结合可得，，B正确；
，C不正确．
故选：ABD．
◇题型 02 和差角公式的简单应用
典｜例｜精｜析
典例1．已知锐角满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先利用同角三角函数关系求得，再由通过两角和的余弦公式即可求解.
【详解】因为，所以，
因为，所以.
故选：B.
典例2．已知，，则（ ）
A．3 B．1
C． D．
【答案】D
【分析】根据和差公式及同角关系式即可求解.
【详解】，
因为，所以，
所以.
故选：.
典例3．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
【详解】由题意可得：，
则：，，
从而有：，
即.
故选：B.
【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.
和差角公式最易出错在符号与结构：sin(α±β) 是同名积、符号同；cos(α±β) 是异名积、符号反。常犯错误：展开时函数名混淆、中间符号写反；拆角时角度范围判断不准，导致三角函数值符号错误；直接把 cos(α β) 当成 cosα cosβ，忽略公式结构；已知正切时，忽略分母不能为 0，直接代入公式。牢记：先定角范围，再定符号，严格套公式。
变｜式｜巩｜固
变式1．=（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】原式===，故选D.
考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.
变式2．已知，则（ ）
A．–2 B．–1
C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.
【详解】，，
令，则，整理得，解得，即.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.
变式3．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值.
【详解】因为，所以，
而，所以，
故即，
从而，故，
故选：A.
◇题型 03 二倍角公式的简单应用
典｜例｜精｜析
典例1．若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】
，
，，，解得，
，.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.
典例2．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．
【详解】，．
，又，，又，，故选B．
【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．
二倍角公式应用高频出错：余弦三种形式混用、漏记、选错；降幂时系数与符号搞反；开方求单角时不判断象限符号；把 sin2α 错写成 2sinα，忽略乘 cosα；正切二倍角忽略分母为 0，直接套用；角度范围扩大导致多解、错解。解题先统一角度，优先选合适的余弦二倍角，注意定义域与符号，别跳步。
变｜式｜巩｜固
变式1．（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.
【详解】由题意，
.
故选：D.
变式2．已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.
【详解】，得，
即，解得或（舍去），
又.
故选：A.
【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
变式3．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用同角三角函数关系和二倍角公式求解即可.
【详解】因为，所以原式可转化为，
因为，所以，
因为，所以，，
故原式整理得，
因为，故，
原式可分解为，
所以，解得，
故选：A
◇题型 04 和差角、二倍角公式的化简
典｜例｜精｜析
典例1．设且则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】[方法一]：
.
故选：C.
[方法二]：
又.
故选：C.
典例2．若．则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由辅助角公式和两角和与差的正弦公式化简已知式可得，则，即可求出答案.
【详解】因为
，
所以，
，即，
所以，可得．
故选：D.
化简时最易出错：函数名与符号混淆，sin 展开同名、cos 异名且符号反；二倍角三种形式乱用，降幂升角时系数、符号搞反；角度不统一，出现多角导致无法合并；忽略定义域，正切公式分母为 0；跳步漏项，不该约分强行约分，最后没化成 Asin(ωx+φ) 标准型。牢记：先统一角、统一名，再用公式，步步验算。
变｜式｜巩｜固
变式1．设，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据同角的商数关系以及两角差的正弦公式，利用诱导公式即可得出结果.
【详解】由题设，所以，
因为，则，又因为，则，
又，
所以，解得．
故选：B
变式2．若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα+cosα=0，取，排除A,B；
再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换
所以
即
故选：C.
◇题型 05 半角公式的应用
典｜例｜精｜析
典例1．已知为锐角，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由平方关系以及半角公式（二倍角公式）运算即可求解.
【详解】已知为锐角，若，则，
所以.
故选：A.
典例2．已知为锐角，，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为，而为锐角，
解得：．
故选：D．
半角公式核心易错在根号前的 ± 号判断，必须严格由半角所在象限确定符号，不能直接保留双号；常把半角理解成角减半，却忽略象限变化导致符号出错；与降幂公式混淆，忘记带根号是半角、不带根号是降幂；计算时分子分母写反；已知余弦求正弦、正切半角时，不先判断角的范围就盲目开方。先定象限、再定符号、最后代入计算。
变｜式｜巩｜固
变式1．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式以及余弦的二倍角公式即可求出结果.
【详解】
故选：D.
变式2．设，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】借助，得出与所处区间及象限，结合三角恒等变换公式即可得.
【详解】，，，
故，又，
.
故选：D.
◇题型 06 恒等变换化简求值
典｜例｜精｜析
典例1．求（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由，利用两角和的正弦公式以及特殊角的三角函数，化简即可.
【详解】
．故选C．
【点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；
（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．
典例2．设，，，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先利用三角恒等变换公式对，，化简，然后利用正弦函数的单调性比较大小即可
【详解】解：
，
，
，
因为在上为增函数，
所以，所以，
故选：C
典例3．（多选）下列化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用两角差的正切公式可判断A，利用两角差的余弦公式可判断B，利用二倍角公式及两角差的正弦公式判断C，利用二倍角公式及诱导公式判断D.
【详解】对于A：因为，
则，
所以，故A正确；
对于B：
，故B正确；
对于C：
，故C错误；
对于D：
，故D正确；
故选：ABD
化简求值易犯：角度不统一，不会凑角与拆角；公式混用，和差、二倍角符号与函数名写错；忽略角范围，符号判断错误；高次不降幂、同名不合并；盲目约分、去分母导致漏解或增解；正切忽略定义域，分母为 0 仍代入；最后未化成最简形式，如未合并为一次一函数。谨记：先统一角、统一名、定符号、再计算。
变｜式｜巩｜固
变式1．的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式和二倍角公式即可求解.
【详解】由题意有：
，
故选：B.
变式2．，若，则（ ）
A．1 B．2
C．4 D．8
【答案】B
【分析】根据题意代换化简分子，利用半角公式化简即可求解.
【详解】由题：
.
故选：B
【点睛】此题考查三角恒等变换，对基本公式考查比较全面，涉及半角公式化简，考查综合能力.
变式3．（多选）下列等式成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用切化弦与两角和与差的三角函数公式化简求值，可判断A的真假；利用两角和与差的正切公式化简求值，可判断B的真假；把用，利用两角和与差的三角公式化简求值，可判断C的真假；利用降幂公式与积化和差公式化简求值，可判断D的真假.
【详解】对A：
，故A正确；
对B：
，故B正确；
对C：，故C错误；
对D：
，故D正确。
故选：ABD
◇题型 07 凑角的应用
典｜例｜精｜析
典例1．若,则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】试题分析：，故选A.
考点：两角和与差的正切公式．
典例2．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用两角差的余弦公式展开已知条件中的，通过移项化简得到的值，再利用余弦的二倍角公式即可求解.
【详解】由题知，
所以，即，
所以.
故选：B.
典例3．若，为锐角，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先利用“平方关系”可得，，注意符号看象限，再根据变形结合两角和差公式即可得出．
【详解】因为，则，且，
可得，且；
又因为，则，
且，可得；
所以
．
故选：D.
凑角核心易错：不会用已知角表示未知角，乱拆角导致无法计算；忽略角度范围变化，直接照搬原角符号，造成正负出错；把所求角与已知角简单加减时，漏看倍数关系（如 2α、α/2）；凑完后套用和差角公式时函数名或符号写反；计算中不先判断象限，盲目开方或直接代入。记住：先观察角度关系，再严谨定符号，最后代入公式。
变｜式｜巩｜固
变式1．已知都是锐角，，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】法一：先利用平方关系求出，，再根据，利用两角差的余弦公式展开计算即可.法二：，可得，进而利用可求值.
【详解】法一：由是锐角，得.
因为是锐角，所以.
又因为，所以，
所以.
法二：由已知可得，所以，
∴.
故选：C.
变式2．若，，且都为锐角，则（ ）
A． B．
C． D．1
【答案】D
【分析】先利用同角的正余弦的平方关系可求得，，再根据，利用两角差的正弦公式求值即可.
【详解】因为都为锐角，所以，所以，，
所以，
因为。，所以，
因为，，
所以，
所以
.
故选：D.
变式3．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题知，再根据二倍角公式求解即可.
【详解】因为，所以，
所以
故选：B
变式4．（多选）已知，为锐角，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】由，为锐角，求出的范围，根据，，由同角三角关系式分别求得，，，再依据二倍角正弦公式，两角差的正弦公式，两角和的正切公式及同角三角函数关系式分别求各选项对应的三角函数值，即可选出正确选项.
【详解】因为，为锐角，所以，，所以，
所以，
因为，所以，，
因为，所以，
选项A：，所以选项A正确；
选项B：，所以选项B正确；
选项CD：因为，所以，所以；，所以C正确，D错误.
故选：ABC.
◇题型 08 恒等变换的综合应用
典｜例｜精｜析
典例1．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用同角公式及逆用差角的正弦求得，再与已知结合求出即可得解.
【详解】依题意，，，两式平方相加得，
即，由，得，则，即，
于是，，即，
两边平方整理得，又，解得，
所以.
故选：C
典例2．已知，，则____________________．
【答案】
【分析】方法一：将两式平方相加即可解出．
【详解】［方法一］：【最优解】
两式两边平方相加得，．
［方法二］：利用方程思想直接解出
，两式两边平方相加得，则．
又或，所以．
［方法三］：诱导公式＋二倍角公式
由，可得，则或．
若，代入得，即．
若，代入得，与题设矛盾．
综上所述，．
［方法四］：平方关系＋诱导公式
由，得．
又，，即，则．从而．
［方法五］：和差化积公式的应用
由已知得
，则或．
若，则，即．
当k为偶数时，，由，得，又，所以．
当k为奇数时，，得，这与已知矛盾．
若，则．则，得，这与已知矛盾．
综上所述，．
【整体点评】方法一：结合两角和的正弦公式，将两式两边平方相加解出，是该题的最优解；
方法二：通过平方关系利用方程思想直接求出四个三角函数值，进而解出；
方法三：利用诱导公式寻求角度之间的关系，从而解出；
方法四：基本原理同方法三，只是寻找角度关系的方式不同；
方法五：将两式相乘，利用和差化积公式找出角度关系，再一一验证即可解出，该法稍显麻烦．
综合题里最容易错：看到就直接平方，忘记平方后范围扩大，出现增解；凑角时只看和差，不结合平方关系判断符号；混用和差、二倍角、同角公式，步骤跳太快导致符号、系数出错；已知两式联立，不会先平方再加减，漏用；最后不检验角的范围，多解、错解、符号反。思路：先凑角，再平方，定范围，验符号。
变｜式｜巩｜固
变式1．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由有，由有，由①+②即可求解.
【详解】由有，，即，
由有，，即②，
①+②得，，
即，则，解得.
故选：B.
变式2．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由两角和与差的余弦展开式结合二倍角的余弦公式计算即可.
【详解】因为，，
所以，
所以，
所以.
故选：D.
变式3．已知锐角满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据同角三角函数的关系得，由弦切互化可得，即可由和差角公式求解.
【详解】由得，
由于为锐角，所以，故，
故，
又所以，
故选：D
◇题型 09 三角函数的图像及性质
典｜例｜精｜析
典例1．（多选）已知函数，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．将的图象向左平移个单位得到的函数为奇函数
D．函数与在上有两个交点
【答案】ACD
【分析】选项A，直接利用周期公式计算即可；选项B，先求函数的对称轴，进一步分析即可；选项C，先通过平移变换得出新函数，再利用函数的奇偶性进行判断；选项D，将函数交点的个数问题转化为方程根的个数问题，利用三角函数性质解方程即可得出结论.
【详解】由，故A选项正确；
由，即，令，
解得：，故B选项不正确；
由的图象向左平移个单位得到函数：
，
由的定义域为关于原点对称，
且，
所以为奇函数，故C选项正确；
令，
则①，解得：，
又，所以当时，，
②，解得：，
又，所以当时，，
所以函数与在上有两个交点，
故D选项正确；
故选：ACD.
典例2．（多选）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期是 B．在上单调递增
C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称
【答案】ABD
【分析】根据周期公式可判断A，根据余弦函数单调性可判断B，代入解析式，根据函数值可判断C，D.
【详解】，周期为，A正确；
当时，，所以在上单调递增，B正确；
因为，所以不是的对称中心，C不正确；
因为，是的最小值，所以的图象关于直线对称，D正确.
故选：ABD
解题时最易出错：未先化成 y=Asin(ωx+φ) 标准型就直接求周期、单调性；求周期时忽略 ω 正负与绝对值；平移只对 x 变，常把 ωx+φ 直接当平移量；求单调区间、对称轴、对称中心时，不把 ωx+φ 当整体，直接对 x 运算；忽略定义域与角范围，导致最值、零点判断错误；图像伸缩与平移顺序颠倒，结果出错。
变｜式｜巩｜固
变式1．函数，的增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式可得，再用整体代换的方法即可求出单调增区间.
【详解】由题意，得.
令，解得.
所以函数的单调增区间为.
因为，所以令，则得函数，的单调增区间为.
故选：C.
变式2．（多选）已知函数，则（ ）
A． B．的最小值为
C．的最小正周期为 D．
【答案】BD
【分析】化简得，结合三角函数的性质逐一判断即可.
【详解】因为，
A，，故错误；
B，因为，所以的最小值为，故正确；
C，由题意可得的最小正周期为，故错误；
D，因为
，故正确.
故选：BD.
变式3．（多选）已知函数，则（ ）
A．是周期为的函数 B．与函数是同一函数
C．不是的一条对称轴 D．在区间上的取值范围是
【答案】ACD
【分析】根据正弦函数的周期计算判断A，应用诱导公式计算判断B，代入检验计算判断C，根据正弦函数值域计算判断D.
【详解】A选项：对于函数，根据正弦函数周期公式，这里，则，A正确．
B选项：，与不是同一函数，B错误．
C选项：当时，，不是，所以不是的一条对称轴，C正确．
D选项：当时，，则，D正确．
故选：ACD.
◇题型 10 三角函数平移伸缩变换
典｜例｜精｜析
典例1．（多选）为得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（ ）
A．先向右平行移动个单位，再横坐标缩短到原来的，纵坐标不变；
B．先向左平行移动个单位，再横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；
C．先横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平行移动个单位；
D．先横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平行移动个单位；
【答案】AD
【分析】由三角函数图象平移逐项判断即可；
【详解】对于A，将函数图象先向右平行移动个单位得到，
再横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到，说法正确；
对于B，将函数图象先向左平行移动个单位得到，
再横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到，说法错误；
对于C，将函数图象先横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到，
再向右平行移动个单位得到，说法错误；
对于D，将函数图象先横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到，
再向右平行移动个单位得到，说法正确；
故选：AD
典例2．（多选）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），最后把所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】通过往回倒推，将函数的图象,向左平移个单位长度，再将其纵坐标伸长2倍，横坐标伸长3倍得到解析式，利用诱导公式一一对照化简即可.
【详解】把函数的图象,向左平移个单位长度,
得到的图象,
再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到的图象,
最后把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),
得到的图象.
而.
故选：BD.
平移伸缩最易出错：左加右减只对 x 本身，常直接对ωx+φ整体加减；平移与伸缩顺序颠倒，平移量忘记除以ω；横坐标伸缩时只变ω，却误改相位或周期；只改变函数形状不判断定义域与符号；求解析式时代点错误，忽略A、φ的多解与取舍。牢记：变换只对 x 操作，先平移后伸缩、先伸缩后平移要区分清楚。
变｜式｜巩｜固
变式1．把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到图象对应的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用三角函数图象变换规则，先对函数进行伸长变换，再对所得图象进行向右平移变换，最终得出函数解析式．
【详解】若把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
则需将替换为，即，
再把所得图象向右平移个单位长度，则需将替换为，
即，
最终得到的函数解析式为，故D正确．
故选：D．
变式2．（多选）函数，则（ ）
A．的一个周期为
B．是增函数
C．的图象关于点对称
D．将函数的图象向右平移个单位长度可得到的图象
【答案】AC
【分析】根据的周期性，单调区间，对称中心，及平移逐项判断.
【详解】对A：的最小正周期为，故A正确；
对B：的递增应满足：，即增区间为，故B错误.
对C：的对称中心满足：，即中心为，，故C正确；
对D：将函数的图象向右平移个单位长度可得到，故D错误.
故选：AC
变式3．（多选）已知曲线，，则下面结论正确的是（ ）
A．把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线
B．把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线
C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
【答案】AD
【分析】利用三角函数图象的伸缩变换、相位变换进行计算求解.
【详解】对于A，曲线向左平移个单位长度，得到，
再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，
得到，故A正确；
对于B，把曲线向左平移个单位长度，得到，
再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，
得到，故B错误；
对于C，把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，
再把得到的曲线向左平移个单位长度，
得到，故C错误；
对于D，把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，
再把得到的曲线向左平移个单位长度，
得到，故D正确．
故选：AD.
◇题型 11 三角函数图象求解析式
典｜例｜精｜析
典例1．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．的最小正周期为
D．将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于点对称
【答案】BCD
【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出，再结合正弦函数的图象性质逐项分析判断.
【详解】依题意，，解得，
函数的周期，
解得，则，由，得，
而，则，解得，A错误；
因此，
对于B，，B正确；
对于C，如下图：的最小正周期为，C正确；
对于D，，，
由正弦函数图象性质可知：的图象关于点对称，D正确；
故选：BCD
典例2．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．在区间上单调递增
【答案】ACD
【分析】A选项，根据图象得到最小正周期，进而求出；B选项，由得到方程，求出；C选项，在AB基础上得到解析式，代入后，由诱导公式可得C正确；D选项，整体法得到，又在上单调递增，D正确.
【详解】对于A，由图可知的最小正周期，则，故A正确；
对于B，由，可得，
因为，所以，所以，所以，故B错误；
对于C，由对A、B的分析得，
则，故C正确；
对于D，当时，，又在上单调递增，
故在上单调递增，D正确．
故选：ACD
典例3．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．曲线的图象与y轴交点的纵坐标为
D．函数的图象关于直线对称
【答案】BCD
【分析】对于A，由图结合周期公式可求出进行判断，对于B，由图可知，的图象关于点对称，代入函数中可求出进行判断，对于C，由选项AB可得的解析式，然后求解进行判断，对于D，通过计算进行判断.
【详解】对于A，由图可知，的最小正周期为，由得，，A错误；
对于B，由于,由图可知，的图象关于点对称，所以，解得，B正确；
对于C，由上面得，，令得，，
所以曲线与y轴交点的纵坐标为，C正确；
对于D，因为，所以的图象关于对称，
所以函数的图象关于直线对称，D正确.
故选：BCD.
求 y=Asin(ωx+φ) 时常错：由最值求 A 漏看上下平移，直接当成 ±A；由周期求 ω 算错周期或漏绝对值；代点求 φ 不看是零点、最高点还是最低点，导致 φ 求反或求错；忽略 φ 取值范围，多解不取舍；混淆正弦、余弦图像起点，函数名与相位不匹配；计算粗心，符号、系数一错全错。
变｜式｜巩｜固
变式1．（多选）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．的图象关于直线对称
C．将的图象向右平移个单位长度后得到的图象
D．在区间上的值域为
【答案】BC
【分析】运用三角函数的周期公式、对称轴的性质、图象平移规律以及三角函数的值域等知识来逐一分析选项.
【详解】由题图可得，所以，则.
所以，因为，所以2，
则，解得，
因为，所以，所以，
所以，故A错误；
当时，，所以的图象关于直线对称，故B正确；
将的图象向右平移个单位长度后得，故C正确；
当时，，则，所以.故D错误.
故选：BC.
变式2．（多选）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．在上的值域为
C．在上单调递增
D．的图象关于原点对称
【答案】AD
【分析】通过图象确定函数解析式，再结合对称性、单调性、值域逐个判断即可.
【详解】由图象可知：，，得，所以，
即，
再由五点作图法可得：，得，
所以，
对于A，当时，，故的图象关于直线对称，正确；
对于B，当时，，
则，错误；
对于C：当时，，
正弦函数在不单调，故C错误；
对于D，，易知是奇函数，D正确，
故选：AD
变式3．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．的图象与轴的交点坐标为
D．函数的图象关于直线对称
【答案】AD
【分析】根据函数的图象确定其最小正周期，求出，判断A；利用特殊值可求出，进而求出的图象与轴的交点坐标，判断BC；判断的图象关于点对称，即可判断D.
【详解】由图可知，的最小正周期，则，A正确；
由图象可知时，函数无意义，故，
由，得，即，则，
即的图象与轴的交点坐标为，B，C错误；
由于，则的图象关于点对称，
可得函数的图象关于直线对称.
故选：AD
一、单项选择题
1．（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式即可得到答案.
【详解】
.
故选：D.
2．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为，
所以，，
所以，
故选：B.
3．若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．
【详解】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．
4．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案.
【详解】，
因为，则，则，
则.
故选：D.
5．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“重差术”，即通过立表测量影长来计算远处目标的高度和距离的方法.测量时使用的标杆高度为h（称为“表高”），太阳天顶距为（太阳光线与垂直于地面方向的夹角，且）.根据三角学知识，标杆在地面上的影长与表高满足关系：.假设对同一表高进行两次测量，第一次测量时太阳天顶距为，影长为表高的2倍，第二次测量时太阳天顶距为，且满足，则第二次测量时影长是表高的（ ）
A．1倍 B．倍
C．倍 D．倍
【答案】A
【分析】根据题中公式，结合正切两角差的公式进行求解即可.
【详解】由题意，第一次测量时太阳天顶距为，影长为表高的2倍，
又标杆在地面上的影长与表高满足关系：，
所以，
又因为第二次测量时太阳天顶距为，且满足，
解得，
则第二次测量时影长，
即第二次测量时影长是表高的1倍.
故选：A.
6．若,则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据二倍角公式、诱导公式等求解即可.
【详解】,
,,
.
故选：B.
二、多项选择题
7．已知函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的，得到曲线，若函数的最小正周期为，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在上单调递减
【答案】AB
【分析】由函数的最小正周期为，且，求出，判断A；由解析式求解对称中心，判断B;根据解析式代入求解对称轴，判断C；再根据解析式判断单调性,判断D.
【详解】由题意得，因为函数的最小正周期为，且，所以，，故A正确；
因为，曲线关于点对称，所以函数的图象关于点对称，故B正确；
因为，曲线不关于直线对称，所以函数的图象不关于直线对称，故C错误；
若，则，因为函数在上不单调递减，所以函数在上不单调递减，故D错误.
故选：AB.
8．函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．该函数的解析式为
C．将函数的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数
D．当时，函数的值域为
【答案】AC
【分析】根据函数的图象，求得，结合三角函数的图象变换和正弦型函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由函数的图象，可得且，
可得，则，所以，
又由，即，
因为，所以，所以，所以B不正确；
又由，所以A正确；
将函数的图象向右平移个单位得到，
可得，可得为奇函数，
即将函数的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数，所以C正确；
当时，可得，
当时，即时，函数取得最小值，最小值为；
当时，即时，函数取得最大值，最大值为，
所以当时，函数的值域为，所以D错误.
故选：AC.
9．已知函数（，），若函数的部分图象如图所示，函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象
D．函数在区间上的单调递减区间为
【答案】ABD
【分析】根据三角函数的图象求得的值，得出函数，进而求得的解析式，结合正弦函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】根据函数的图象，可知，
当时，满足，则，即，
因为，所以，可得．
对于A中，当时，，可得函数的图象不关于直线对称，所以A项错误；
对于B中，当时，，可得函数的图象不关于点对称，所以B项错误；
对于C中，因为，将其图象向左平移个单位，可得函数的图象，所以C项正确；
对于D中，因为，所以，所以当，即时，单调递减，所以D项错误．
故选：ABD
三、填空题
10．已知为第一象限角，为第三象限角，，，则______________.
【答案】
【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
【详解】法一：由题意得，
因为，，
则，，
又因为，
则，，则，
则，联立，解得.
法二：因为为第一象限角，为第三象限角，则,
，，
则
故答案为：.
11．若，则_____________，__________________．
【答案】
【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求．
【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理
∵，∴，即，
即，令，，
则，∴，即，
∴，
则.
故答案为：；.
[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程
∵，∴，即，
又，将代入得，解得，
则.
故答案为：；.
12．已知，求_______________．
【答案】
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得和的值，再利用两角和差的三角公式求得的值．
【详解】∵，
∴，，，
∴，．
∴
故答案为：
四、解答题
13．已知为锐角，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）
【详解】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.
详解：解：（1）因为，，所以．
因为，所以，
因此，．
（2）因为为锐角，所以．
又因为，所以，
因此．
因为，所以，
因此，．
点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
14．已知函数，．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在上的最小值和最大值．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）最小值和最大值．
【详解】试题分析：（1）由已知利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将的解析式化为一个复合角的三角函数式，再利用正弦型函数的最小正周期计算公式，即可求得函数的最小正周期；（2）由（1）得函数，分析它在闭区间上的单调性，可知函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，由此即可求得函数在闭区间上的最大值和最小值．也可以利用整体思想求函数在闭区间上的最大值和最小值．
由已知，有
的最小正周期．
（2）∵在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，∴函数在闭区间上的最大值为，最小值为．
考点：1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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