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专题07 三角函数与解三角形
易错点1 应用三角函数定义忽略终边位置的讨论
易错典题
【例1】（24-25高三·全国·专题练习）已知角的终边在直线上，则的值为 ．
【答案】
【解析】∵角的终边在直线上，∴角的终边在第二象限或第四象限（易错点）．
易错之处是只考虑终边在第二象限
当角的终边在第二象限时，在角的终边上取一点，
则点P到原点的距离，∴．
当角的终边在第四象限时，在角的终边上取一点，
则点到原点的距离，∴．
综上，或．
故答案为：.
【错因分析】本题容易忽略对角终边所在象限的讨论而漏解.
知识混淆:混淆锐角三角函数与任意角三角函数，把初中定义直接套用，忽略终边可在任意象限.
概念模糊:对三角函数定义中坐标符号理解不清，不考虑终边在不同象限横、纵坐标正负不同.
望文生义:只看角度或数值表面，不理解 “终边位置” 含义，默认在第一象限，漏掉多解情况.
避错攻略
【方法总结】三角函数的定义中常见的三种题型及解决办法
（1）已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值
方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解.
（2）已知角的一个三角函数值和终边上一点的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值
方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题.
（3）已知角的终边所在的直线方程（），求角的三角函数值
方法：先设出终边上一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解，注意的符号，对进行讨论.若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值.
【知识链接】1．角的概念
（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
（2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是．
（3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
2．任意角的三角函数
（1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．
（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，
三角函数的性质如下表：
三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号
＋ ＋ － －
＋ － － ＋
＋ － ＋ －
记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
举一反三
【变式1-1】（25-26高三上·山东泰安·期末）已知角的终边过点且，则（ ）
A．3 B．4 C． D．
【变式1-2】（多选题）（2025·福建福州·模拟预测）以坐标原点为顶点，轴非负半轴为始边的角，其终边落在直线上，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（多选）（25-26高三上·湖南郴州·期末）已知角的终边经过点，将角的终边绕坐标原点逆时针旋转得到角的终边，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．若，则
D．对任意
易错点2 诱导公式认识不清导致变形错误
易错典题
【例2】（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】（易错点），
利用诱导公式求值时特别要注意所求值的符号
又，
所以.
故选：A.
【错因分析】本题求解时若不能发现角与角之间的关系就不能选择合适的公式进行化简，或者错选公式而陷入繁琐的计算中去.
知识混淆：混淆一般三角形与锐角三角形的条件，只使用内角和定理，忘记每个角都必须为锐角，导致范围扩大.
概念模糊：对锐角三角形的本质理解不清，不会把每个角都转化为三角函数值大于 0 的不等式，漏列关键约束.
望文生义：只看题目表面条件列式计算，不深挖 “锐角三角形” 的真正含义，不检验每个角的范围，直接得出错误结果.
避错攻略
【方法总结】正确应用诱导公式的前提条件有两个：一是弄清什么时候需要应用诱导公式，这时要学会观察所给角与特殊角或条件角与待求角之间的关系，看看它们的和或差是否为的整数倍；二是要记牢诱导公式，做到这一点就需要平时多加练习，将公式牢记在心.
【知识链接】1.三角函数的诱导公式
角 正弦 余弦 正切
α＋2kπ (k∈Z) sin α cos α tan α
－α －sin α cos α －tan α
α＋π －sin α －cos α tan α
α－π －sin α －cos α tan α
π－α sin α －cos α －tan α
α＋ cos α －sin α －
－α cos α sin α
口诀 奇变偶不变，符号看象限
2.利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
（1）“负化正”：用公式一或三来转化．
（2）“大化小”：用公式一将角化为到间的角．
（3）“小化锐”：用公式二或四将大于的角转化为锐角．
（4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．
可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）．
举一反三
【变式2-1】（25-26高三上·江西景德镇·期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值 ， ．
【变式2-3】（多选）（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知，则（　　）
A． B．
C． D．
易错点3 三角求值中不能挖掘角的范围而出错
易错典题
【例3】（24-25高三上·江苏常州·期中）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，则，
，，
由，易知，解得，
由，，且，则，
可得，
所以
，
当时，，，
此时，则，
由，，
则，易知，解得，此时（易错点）
注意缩小角的范围
；
当时，，，
此时，则（易错点），
由缩小角的范围
由，，
则，易知，解得，；
故选：B.
【错因分析】本题在求解过程中要注意结合和三角函数值的符号缩小角的范围，这是本题求解的关键，也是题目的难点和易错点.
知识混淆：混淆同角三角函数关系与角的范围限制，只代公式不判断符号，出现多解、错解.
概念模糊：对角的隐含范围判断不足，不会利用已知条件缩小范围，导致三角函数符号判断失误.
望文生义：只看表面三角函数值计算，不深入分析角所在象限，直接取正负，忽略题目隐含约束.
避错攻略
【方法总结】应用同角三角函数关系式的注意事项：在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意根据角的范围判断符号，而求角的范围除去利用给出的范围，有时还需要根据三角函数值的符号深挖隐含范围.
【知识链接】1．同角三角函数基本关系及其变形公式
2.同角三角函数基本关系式的应用技巧
（1）正余弦互化、弦切互化以及“和”“积”转换的解题技巧
①利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化.
②形如等类型可进行弦化切.
（2）注意公式的逆用及变形应用：
.
（3）应用公式时注意方程思想的应用：
对于这三个式子，利用，可以知一求二.
3.常用三角公式
（1）和角与差角公式：，，
；
（2）倍角公式：，，
；
【注意】
（1）给值求角问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法；
（2）求值问题的一般步骤：①化简条件式子或待求式子；②观察条件与所求式子之间的联系，从函数名称及角入手；③根据题设角的范围求出相应角的函数值；④将已知条件和所求值代入所求式子，化简求值.
举一反三
【变式3-1】（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】(25-26高三上·湖北荆州·月考）已知且，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（24-25高三下·江苏镇江·期末）已知，为锐角，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
易错点4 判断三角函数的单调性忽略的符号
易错典题
【例4】（2026高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为(易错点)，
注意利用诱导公式先将x的系数化为正，再将函数与y=-sinx类比确定单调区间
令，，
解得，，
所以函数的单调递减区间为．
故选：B
【错因分析】本题求解时容易忽略在x的系数小于零这一条件，直接将代入正弦函数的增区间而出错.
知识混淆：混淆复合函数单调性法则，无视 ω<0 时内外层函数单调性相反，直接套用单调区间.
概念模糊：对ω符号影响函数图像变换理解不清，不知负号会翻转单调区间，不做变号处理.
望文生义：只看函数形式表面，不先判断ω正负，机械代入区间公式，忽略符号带来的单调性改变.
避错攻略
【方法总结】求三角函数的单调区间时首先要对三角函数解析式进行变形，化为y＝sin(ωx＋φ)、y＝cos(ωx＋φ)、y＝tan (ωx＋φ)的形式，然后求出定义域，结合复合函数单调性的判断方法求解，如对于函数来说，当时，由于内层函数是单调递增的，所以函数的单调性与函数的单调性相同，故可完全按照函数的单调性来解决；但当时，内层函数是单调递减的，所以函数的单调性与函数的单调性正好相反，就不能按照函数的单调性来解决.一般来说，应根据诱导公式将的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决.
【知识链接】1正弦函数、余弦函数与正切函数的单调性
由正弦函数、余弦函数、正切函数的图形特征(如图)，不难得到三种函数的单调区间(以下k∈Z)：
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
(1)正弦函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)余弦函数的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ]，单调递减区间为[2kπ，2kπ＋π]；
(3)正切函数的单调递增区间为，没有单调递减区间．
2．求y＝sin(ωx＋φ)、y＝cos(ωx＋φ)、y＝tan (ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的方法：把ωx＋φ看成一个整体，代入对应的单调区间，再把x解出来，便得所求的区间．(注意，为了避免复合函数有关知识点的介入，降低难度，统一规定x的系数ω>0，如果题中ω<0，则应转换成ω>0再求解)
【说明】（1）正弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间；正切函数y＝tan x在其定义域
内不是单调函数；
（2）求解（或判断）三角函数的单调区间（或单调性）是求值域（或最值）的关键一步；
（3）确定含有正弦、余弦、正切函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断.
举一反三
【变式4-1】（25-26高三上·河南驻马店·阶段练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（25-26高三上·浙江金华·期末）已知函数，则图象的对称轴是 ，在上的单调递减区间为 .
【变式4-3】（2025·全国二卷·高考真题）已知函数．
(1)求;
(2)设函数，求的值域和单调区间．
易错点5 混淆函数图象的变化规律致错
易错典题
【例5】（25-26高三上·河南南阳·期末）想要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．各点横坐标变为原来的2倍，再把图象向右平移个单位
B．各点横坐标变为原来的2倍，再把图象向左平移个单位
C．各点横坐标变为原来的倍，再把图象向右平移个单位
D．各点横坐标变为原来的倍，再把图象向右平移个单位
【答案】C
【解析】（易错点），
利用诱导公式转化时特别要注意符号
将函数的图象各点横坐标变为原来的倍，再把图象向右平移个单位，即可得出函数的图象(易错点)，
注意：左右平移是针对x而言的
故选：C．
【错因分析】本题求解时容易在两个地方出错，一是没有注意到给出的两个函数不同名，没有用诱导公式变形；二是忽略自变量系数对平移单位的影响.
知识混淆：混淆平移、伸缩、翻折变换顺序，把相位变换与周期变换先后颠倒，导致图象位置与形状出错.
概念模糊：对相位平移量针对的是x而非ωx+φ理解不清，平移时不提取 ω 而出错.
望文生义：只看解析式表面数值，不分析变换本质，机械记忆结论，忽略参数对图象的实际影响.
避错攻略
【方法总结】在进行图象变换时要注意两点：（1）化简解析式：即将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)（或y=Acos(ωx+φ)）形式；（2）统一名称：即分析变换前后的三角函数是否同名，不同名时用诱导公式化为同名形式；（3）变换：提倡先平移后伸缩（先相位后周期），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图象变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少．
【知识链接】1.作正弦函数和余弦函数简图的五个关键点
（1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．
（2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．
2.φ,ω,A对y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的影响
（1）φ对y=sin(x+φ),x∈R的图象的影响
如图所示,对于函数y=sin(x+φ)(φ≠0)的图象,可以看作是把y=sin x的图象上所有的点向　　　　(当φ>0时)或向　　　　(当φ<0时)平移　　　个单位长度得到的.
（2）ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ),x∈R的图象的影响
如图所示,对于函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象,可以看作是把y=sin(x+φ)的图象上所有点的　　　　坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的　　　　倍(纵坐标不变)而得到的.
（3）A(A>0)对y=Asin(ωx+φ),x∈R的图象的影响
如图所示,对于函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ)的图象上所有点的　　　　坐标伸长(当A>1时)或缩短(当03.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤
举一反三
【变式5-1】（25-26高三上·山西临汾·期末）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【变式5-2】（25-26高三上·浙江湖州·期末）将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，或者向左平移个单位长度后，两者的图象完全重叠，则的最小值是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【变式5-3】（多选）（2026·江苏镇江·模拟预测）将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．的最小正周期为 B．在上单调递增
C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点中心对称
易错点6 参数问题不能准确判断临界点
易错典题
【例6】（25-26高三上·广东·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.若在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可得，
因为，所以当时，，且
因为在单调递增，所以（易错点），
实质是
又，解得.
故选：B
【错因分析】本题在求解过程中往往由于不能准确判断临界点而错判参数的取值范围.
知识混淆：混淆区间端点、最值点、零点等临界点类型，错把边界条件当成严格不等号，参数范围多取或漏取.
概念模糊：对参数影响下的函数区间、图像位置判断不清，不能准确锁定取等条件，导致范围偏大或偏小.
望文生义：只看 “有解”“恒成立” 字面意思，不结合三角函数图像与周期分析临界点，直接凭感觉列不等式.
避错攻略
【方法总结】这类问题的基本解题思路是：先将函数的解析式化简为的形式；根据题设给出限制条件（如单调性、对称轴的个数、零点个数或最值个数等）判断周期满足的条件，求出的大致范围；在求出的取值范围，分析左（或右）端点的大致位置，再确定另一个端点位置；找出临界点，列出不等式求解.
【知识链接】1、与三角函数单调性有关的参数问题
如果解析式中含有参数，要求根据函数单调性求参数的取值范围，通常先求出单调区间，然后利用集合间的关系求解；或转化为使得某个等式或不等式恒(可以)成立，通过分离参数，求出解析式的范围或最值，进而求出参数的范围.
【注意】由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的一个单调区间[m，n](区间也可以是开区间或半开半闭区间)求解ω或φ的取值范围，则将区间端点值代入后，去对应(k∈Z)或(k∈Z)列出不等式求解．另外，因为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的单调递减(增)区间的区间长度恰好是，所以具有单调性的区间长度必不超过，根据这个性质有时也可求出ω的范围．　
2、与对称性有关的参数问题
一般来说,若函数在某个区间上单调,并且给出了对称轴方程,则可先利用“该区间长度小于或等于半周期长度”大致确定的范围,再利用对称轴是否在该区间内进一步约束的范围,最后对剩下的进行逐一检验,进而确定的准确范围.
【注意】（1）函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的对称中心为(k∈Z)，对称轴为x＝－＋＋(k∈Z)，此时函数的对称中心和对称轴可用参数ω表示，对称中心和对称轴的取值与参数ω有着紧密的联系．
（2）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究ω的取值．
3、与三角函数的最值存在有关的参数问题
一般考查形式是给出区间最值点的个数求参数范围，这种题目一种思路是求出所有的最值点根据区间内最值点的个数列出不等式求解，另一种思路利用三角函数的最值与对称或周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围．
4、与三角函数的零点有关的参数问题
解决此类问题，要先根据所给的单调区间判断ω的大致范围，再计算对称轴，依据函数在所给区间的极值点及对称轴缩小范围，从而求出ω的范围．
注：一般来说,已知函数在某个区间上有个零点、最值等,可将看作一个整体,再利用正弦函数的性质解题.
举一反三
【变式6-1】（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【变式6-2】（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数，若在区间上单调递增，且在区间上有且只有一个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-3】（25-26高三上·山东青岛·期末）已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围是 ．
易错点7 解三角形时错判解的个数
易错典题
【例7】（25-26高三上·河南洛阳·期末）在中，已知，，，则（ ）
A．或 B． C． D．或
【答案】C
【解析】因为在中，，，，
由正弦定理，得，
解得或（易错点），
此处需对这两解进行检验，剔除不合题意的解
又因为可得，所以不符合题意，舍去．
可得，故A，B，D错误．
故选：C.
【错因分析】已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，容易忽略对解的个数的讨论而出错.
知识混淆：混淆正弦定理适用条件，把边边角问题与边角边、边边边混淆，不画图直接计算，忽略多解情况.
概念模糊：对三角形中大边对大角、内角和范围理解不清，不会判断解是否合理，出现增解或漏解.
望文生义：只看数值算出结果，不结合图形与角度范围检验，盲目认为只有一解，导致解的个数判断错误.
避错攻略
【方法总结】两边和其中一边的对角，求其它的边和角时，由于正弦函数在在区间内不单调，此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，此时可通过大边对大角进行分析，也通过几何法来判断三角形解的个数.
【知识链接】在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
由上表可以得出：已知两边一对角：
举一反三
【变式7-1】（25-26高三上·海南·月考）在中，, ，则“”是“有两解”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式7-2】（25-26高三上·安徽·期中）在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-3】(多选)（25-26高三上·江苏·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则为锐角三角形
C．在锐角三角形中，不等式恒成立
D．若，，且该三角形有两解，则b的范围是
易错点8 忽略边角互化条件
易错典题
【例8】（2026·湖北·模拟预测）记内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围.
【解析】（1）易得，
由正弦定理得（易错点），
易错之处是不知该选择正弦定理还是余弦定理进行转化
而，
故，
易知，
故，
即，
又因为，
所以，
所以，
解得；
（2）因外接圆直径为，
则由正弦定理可知，
故，，
因为是锐角三角形，
所以，
得，，
则，
所以，
由对勾函数的性质可知，在上单调递减，
故的取值范围为.
【错因分析】盲目使用正弦定理、余弦定理进行边角互化，忽略角的范围、边的正负、三角形存在性等前提，导致变形不等价、解增多或减少.
知识混淆:混淆边角互化的适用前提，把正弦定理的比例关系随意变形，不考虑分母不为 0、角不能为 0 或 π 等限制，造成推理错误.
概念模糊:对 “等价变形” 理解不清，互化时未保证每一步都可逆，忽略三角形内角和、两边之和大于第三边等隐含条件.
望文生义:只看到 “边角互化” 字面意思，见到式子就直接代换，不先判断条件是否满足，得出不符合三角形实际的解.
避错攻略
【方法总结】若等式中每一项的边或者三角的正弦的个数相同，可以考虑直接改成对应角的正弦或者对应角的边，否则就得利用进行等量代换.
【知识链接】1.正弦定理
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径
2.正弦定理的变形
①；；；
②
③
④，，（可实现边到角的转化）
⑤，，（可实现角到边的转化）
3. 正弦定理的应用
①边化角，角化边
②大边对大角 大角对大边
③合分比：
举一反三
【变式8-1】（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，．
(1)求A的值；
(2)求c的值；
(3)求的值．
【变式8-2】（2025·上海·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
(1)若，求a；
(2)若，求的面积的最大值．
【变式8-3】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
易错点9 解三角形时忽略三角形中的隐含条件
易错典题
【例9】（24-25高三上·河北·期中）已知是锐角三角形，角、、 所对的边分别为、、，为的面积，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，由三角形的面积公式和余弦定理可得，
整理可得，
因为，则，可得，所以，，
因为为锐角三角形，则，即（易错点），
注意锐角三角形的每个角都必须是锐角
解得，
所以，，则，
所以，.
故选：B.
【错因分析】本题在求解过程中容易忽略条件中三角形是锐角三角形这一限制条件， 以致求错A的取值范围而出错.
知识混淆：混淆一般三角形与锐角三角形的条件，只使用内角和定理，忘记每个角都必须为锐角，导致范围扩大.
概念模糊：对锐角三角形的本质理解不清，不会把每个角都转化为三角函数值大于 0 的不等式，漏列关键约束.
望文生义：只看题目表面条件列式计算，不深挖 “锐角三角形” 的真正含义，不检验每个角的范围，直接得出错误结果.
避错攻略
【方法总结】处理三角形中的三角函数问题时一定深挖三角形中的隐含条件，如三角形是锐角三角形时，则三角形的三个内角都是锐角，而三角形是钝角三角形时，只需要三角形最大的内角是钝角.
【知识链接】1.内角和定理：
①
同理有：，．
②；
③斜三角形中，
④；
⑤在中，内角成等差数列．
2.三角形中的射影定理
在 中，；；
3.中线、角分线
（1）中线：
在中，设是的中点角,,所对的边分别为，，
①向量形式：
结论：
②角形式：
在中有：;
在中有：;
（2）角平分线
如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，
①内角平分线定理：
或
②等面积法
③角形式：
在中有：;
在中有：;
举一反三
【变式9-1】（25-26高三上陕西·期末）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的外接圆半径为，若的面积，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】（2026·河北沧州·一模）已知在中，角所对的边分别为，且，则 ．若为锐角三角形，则的取值范围为 ．
【变式9-3】（2026高三上·四川眉山·专题练习）已知的面积记为.内角，，的对边分别为，，，.
(1)若，，求；
(2)若为锐角三角形，，求的取值范围.
单选题
1．（25-26高三上·湖北武汉·期末）若角的终边上有一点，且，则（ ）
A．4 B． C． D．
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·四川广安·一模）若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高三上·河南南阳·期末）想要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向右平移个单位
B．各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向左平移个单位
C．各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位
D．各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位
5．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6.（25-26高三上·陕西咸阳·期末）若，，是的内角，，的对边，，且，则是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．三边互不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形
7．（2025高三上·江苏·学业考试）已知函数若存在实数满足，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
8．（2025高三上·江苏·专题练习）已知函数（，），为的零点，为图象的对称轴，且在上不单调，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
多选题
9．（25-26高三上·河南·月考）在中，下列一定正确的有（ ）
A．若为锐角，则
B．若为锐角，则
C．若为钝角，则
D．若，则为等腰三角形或直角三角形
10．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数（）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数
D．当时，曲线与有4个交点
11．（2025·全国一卷·高考真题）已知的面积为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
填空题
12．（25-26高三上·上海·期末）将的图象向右平移 个单位可得到的图象（只需填出符合条件的一个值）.
13．（25-26高三上·辽宁沈阳·月考）已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是 .
14．（2024·全国·模拟预测）函数在上单调递增，且满足，，则 ．
解答题
15．（2025·北京·高考真题）在中，．
(1)求c的值；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高．
条件①：；条件②：；条件③：的面积为．
16．（25-26高三上·北京通州·期末）已知函数.
(1)求的值；
(2)求的最小正周期和单调递增区间；
(3)将函数图象上各点横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向左平移个单位得到的图象，若锐角满足，求的值.
17．（2026·上海·高考真题）已知函数.
(1)当，，求函数在处的切线方程；
(2)若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围.
18．（25-26高三上·浙江湖州·期末）在中，是线段上一点，且，，设．
(1)求线段的长度（用表示）；
(2)若，求的值；
(3)求的最大值．
19．（25-26高三上·湖南衡阳·期末）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，.
(1)求证：；
(2)求的取值范围；
(3)若，求三角形面积的取值范围．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题07 三角函数与解三角形
易错点1 应用三角函数定义忽略终边位置的讨论
易错典题
【例1】（24-25高三·全国·专题练习）已知角的终边在直线上，则的值为 ．
【答案】
【解析】∵角的终边在直线上，∴角的终边在第二象限或第四象限（易错点）．
易错之处是只考虑终边在第二象限
当角的终边在第二象限时，在角的终边上取一点，
则点P到原点的距离，∴．
当角的终边在第四象限时，在角的终边上取一点，
则点到原点的距离，∴．
综上，或．
故答案为：.
【错因分析】本题容易忽略对角终边所在象限的讨论而漏解.
知识混淆:混淆锐角三角函数与任意角三角函数，把初中定义直接套用，忽略终边可在任意象限.
概念模糊:对三角函数定义中坐标符号理解不清，不考虑终边在不同象限横、纵坐标正负不同.
望文生义:只看角度或数值表面，不理解 “终边位置” 含义，默认在第一象限，漏掉多解情况.
避错攻略
【方法总结】三角函数的定义中常见的三种题型及解决办法
（1）已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值
方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解.
（2）已知角的一个三角函数值和终边上一点的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值
方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题.
（3）已知角的终边所在的直线方程（），求角的三角函数值
方法：先设出终边上一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解，注意的符号，对进行讨论.若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值.
【知识链接】1．角的概念
（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
（2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是．
（3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
2．任意角的三角函数
（1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．
（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，
三角函数的性质如下表：
三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号
＋ ＋ － －
＋ － － ＋
＋ － ＋ －
记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
举一反三
【变式1-1】（25-26高三上·山东泰安·期末）已知角的终边过点且，则（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】B
【解析】角的终边过点且，
所以且，解得.
故选：B.
【变式1-2】（多选题）（2025·福建福州·模拟预测）以坐标原点为顶点，轴非负半轴为始边的角，其终边落在直线上，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为角的终边落在直线上，
当角的终边在第一象限时，终边过点，
此时，，，，
当角的终边在第三象限时，终边过点，
此时，，，，
故选：C.
【变式1-3】(多选)（25-26高三上·湖南郴州·期末）已知角的终边经过点，将角的终边绕坐标原点逆时针旋转得到角的终边，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．若，则
D．对任意
【答案】BC
【解析】对于A：或，故A错误；
对于B：因为角是由角的终边绕坐标原点逆时针旋转得到，
所以，，故B正确；
对于C：若，则点在第一象限且，所以，
又因为，
所以，故C正确；
对于D；由C可知，当时，，
当时，点在第三象限，，
则，此时，
所以对于任意，或，故D错误.
故选：BC
易错点2 诱导公式认识不清导致变形错误
易错典题
【例2】（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】（易错点），
利用诱导公式求值时特别要注意所求值的符号
又，
所以.
故选：A.
【错因分析】本题求解时若不能发现角与角之间的关系就不能选择合适的公式进行化简，或者错选公式而陷入繁琐的计算中去.
知识混淆：混淆一般三角形与锐角三角形的条件，只使用内角和定理，忘记每个角都必须为锐角，导致范围扩大.
概念模糊：对锐角三角形的本质理解不清，不会把每个角都转化为三角函数值大于 0 的不等式，漏列关键约束.
望文生义：只看题目表面条件列式计算，不深挖 “锐角三角形” 的真正含义，不检验每个角的范围，直接得出错误结果.
避错攻略
【方法总结】正确应用诱导公式的前提条件有两个：一是弄清什么时候需要应用诱导公式，这时要学会观察所给角与特殊角或条件角与待求角之间的关系，看看它们的和或差是否为的整数倍；二是要记牢诱导公式，做到这一点就需要平时多加练习，将公式牢记在心.
【知识链接】1.三角函数的诱导公式
角 正弦 余弦 正切
α＋2kπ (k∈Z) sin α cos α tan α
－α －sin α cos α －tan α
α＋π －sin α －cos α tan α
α－π －sin α －cos α tan α
π－α sin α －cos α －tan α
α＋ cos α －sin α －
－α cos α sin α
口诀 奇变偶不变，符号看象限
2.利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
（1）“负化正”：用公式一或三来转化．
（2）“大化小”：用公式一将角化为到间的角．
（3）“小化锐”：用公式二或四将大于的角转化为锐角．
（4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．
可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）．
举一反三
【变式2-1】（25-26高三上·江西景德镇·期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知得，，即，
则.
故选：A
【变式2-2】（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值 ， ．
【答案】（答案不唯一）， （答案不唯一）
【解析】因为，，
所以的终边关于轴对称，且不与轴重合，
故且，
即，
故取可满足题设要求；
【变式2-3】（多选）（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】由，得，
，
则，A错误；
，B正确；
，C正确；
，D正确.
故选：BCD
易错点3 三角求值中不能挖掘角的范围而出错
易错典题
【例3】（24-25高三上·江苏常州·期中）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，则，
，，
由，易知，解得，
由，，且，则，
可得，
所以
，
当时，，，
此时，则，
由，，
则，易知，解得，此时（易错点）
注意缩小角的范围
；
当时，，，
此时，则（易错点），
由缩小角的范围
由，，
则，易知，解得，；
故选：B.
【错因分析】本题在求解过程中要注意结合和三角函数值的符号缩小角的范围，这是本题求解的关键，也是题目的难点和易错点.
知识混淆：混淆同角三角函数关系与角的范围限制，只代公式不判断符号，出现多解、错解.
概念模糊：对角的隐含范围判断不足，不会利用已知条件缩小范围，导致三角函数符号判断失误.
望文生义：只看表面三角函数值计算，不深入分析角所在象限，直接取正负，忽略题目隐含约束.
避错攻略
【方法总结】应用同角三角函数关系式的注意事项：在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意根据角的范围判断符号，而求角的范围除去利用给出的范围，有时还需要根据三角函数值的符号深挖隐含范围.
【知识链接】1．同角三角函数基本关系及其变形公式
2.同角三角函数基本关系式的应用技巧
（1）正余弦互化、弦切互化以及“和”“积”转换的解题技巧
①利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化.
②形如等类型可进行弦化切.
（2）注意公式的逆用及变形应用：
.
（3）应用公式时注意方程思想的应用：
对于这三个式子，利用，可以知一求二.
3.常用三角公式
（1）和角与差角公式：，，
；
（2）倍角公式：，，
；
【注意】
（1）给值求角问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法；
（2）求值问题的一般步骤：①化简条件式子或待求式子；②观察条件与所求式子之间的联系，从函数名称及角入手；③根据题设角的范围求出相应角的函数值；④将已知条件和所求值代入所求式子，化简求值.
举一反三
【变式3-1】（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，且，即，
所以，且，
则.
故选：D.
【变式3-2】(25-26高三上·湖北荆州·月考）已知且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为且，函数在上单调递减，
，，
又，，所以，
，
，，
所以，
又，，所以，结合，可得，
所以，所以，
故选：A
【变式3-3】（24-25高三下·江苏镇江·期末）已知，为锐角，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，为锐角，，，
所以，，
所以，
则
，
所以，
故选：A．
易错点4 判断三角函数的单调性忽略的符号
易错典题
【例4】（2026高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为(易错点)，
注意利用诱导公式先将x的系数化为正，再将函数与y=-sinx类比确定单调区间
令，，
解得，，
所以函数的单调递减区间为．
故选：B
【错因分析】本题求解时容易忽略在x的系数小于零这一条件，直接将代入正弦函数的增区间而出错.
知识混淆：混淆复合函数单调性法则，无视 ω<0 时内外层函数单调性相反，直接套用单调区间.
概念模糊：对ω符号影响函数图像变换理解不清，不知负号会翻转单调区间，不做变号处理.
望文生义：只看函数形式表面，不先判断ω正负，机械代入区间公式，忽略符号带来的单调性改变.
避错攻略
【方法总结】求三角函数的单调区间时首先要对三角函数解析式进行变形，化为y＝sin(ωx＋φ)、y＝cos(ωx＋φ)、y＝tan (ωx＋φ)的形式，然后求出定义域，结合复合函数单调性的判断方法求解，如对于函数来说，当时，由于内层函数是单调递增的，所以函数的单调性与函数的单调性相同，故可完全按照函数的单调性来解决；但当时，内层函数是单调递减的，所以函数的单调性与函数的单调性正好相反，就不能按照函数的单调性来解决.一般来说，应根据诱导公式将的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决.
【知识链接】1正弦函数、余弦函数与正切函数的单调性
由正弦函数、余弦函数、正切函数的图形特征(如图)，不难得到三种函数的单调区间(以下k∈Z)：
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
(1)正弦函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)余弦函数的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ]，单调递减区间为[2kπ，2kπ＋π]；
(3)正切函数的单调递增区间为，没有单调递减区间．
2．求y＝sin(ωx＋φ)、y＝cos(ωx＋φ)、y＝tan (ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的方法：把ωx＋φ看成一个整体，代入对应的单调区间，再把x解出来，便得所求的区间．(注意，为了避免复合函数有关知识点的介入，降低难度，统一规定x的系数ω>0，如果题中ω<0，则应转换成ω>0再求解)
【说明】（1）正弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间；正切函数y＝tan x在其定义域
内不是单调函数；
（2）求解（或判断）三角函数的单调区间（或单调性）是求值域（或最值）的关键一步；
（3）确定含有正弦、余弦、正切函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断.
举一反三
【变式4-1】（25-26高三上·河南驻马店·阶段练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意要求函数的单调递增区间即求函数的递减区间即可求解.
【解析】由题意得，
要求的递增区间即求的递减区间，
当，，即，时，
单调递减，即单调递增，故B正确.
故选：B.
【变式4-2】（25-26高三上·浙江金华·期末）已知函数，则图象的对称轴是 ，在上的单调递减区间为 .
【答案】 ，
【解析】函数，
由得，
图象的对称轴是；
由得，
当时的单调递减区间为，
当时的单调递减区间为，
当时的单调递减区间为，
所以在上的单调递减区间.
故答案为：；.
【变式4-3】（2025·全国二卷·高考真题）已知函数．
(1)求;
(2)设函数，求的值域和单调区间．
【解析】（1）由题意，所以；
（2）由（1）可知，
所以
，
所以函数的值域为，
令，解得，
令，解得，
所以函数的单调递减区间为，
函数的单调递增区间为.
易错点5 混淆函数图象的变化规律致错
易错典题
【例5】（25-26高三上·河南南阳·期末）想要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．各点横坐标变为原来的2倍，再把图象向右平移个单位
B．各点横坐标变为原来的2倍，再把图象向左平移个单位
C．各点横坐标变为原来的倍，再把图象向右平移个单位
D．各点横坐标变为原来的倍，再把图象向右平移个单位
【答案】C
【解析】（易错点），
利用诱导公式转化时特别要注意符号
将函数的图象各点横坐标变为原来的倍，再把图象向右平移个单位，即可得出函数的图象(易错点)，
注意：左右平移是针对x而言的
故选：C．
【错因分析】本题求解时容易在两个地方出错，一是没有注意到给出的两个函数不同名，没有用诱导公式变形；二是忽略自变量系数对平移单位的影响.
知识混淆：混淆平移、伸缩、翻折变换顺序，把相位变换与周期变换先后颠倒，导致图象位置与形状出错.
概念模糊：对相位平移量针对的是x而非ωx+φ理解不清，平移时不提取 ω 而出错.
望文生义：只看解析式表面数值，不分析变换本质，机械记忆结论，忽略参数对图象的实际影响.
避错攻略
【方法总结】在进行图象变换时要注意两点：（1）化简解析式：即将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)（或y=Acos(ωx+φ)）形式；（2）统一名称：即分析变换前后的三角函数是否同名，不同名时用诱导公式化为同名形式；（3）变换：提倡先平移后伸缩（先相位后周期），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图象变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少．
【知识链接】1.作正弦函数和余弦函数简图的五个关键点
（1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．
（2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．
2.φ,ω,A对y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的影响
（1）φ对y=sin(x+φ),x∈R的图象的影响
如图所示,对于函数y=sin(x+φ)(φ≠0)的图象,可以看作是把y=sin x的图象上所有的点向　　　　(当φ>0时)或向　　　　(当φ<0时)平移　　　个单位长度得到的.
（2）ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ),x∈R的图象的影响
如图所示,对于函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象,可以看作是把y=sin(x+φ)的图象上所有点的　　　　坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的　　　　倍(纵坐标不变)而得到的.
（3）A(A>0)对y=Asin(ωx+φ),x∈R的图象的影响
如图所示,对于函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ)的图象上所有点的　　　　坐标伸长(当A>1时)或缩短(当03.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤
举一反三
【变式5-1】（25-26高三上·山西临汾·期末）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】D
【解析】因为函数，又函数，
所以只需将函数的图象向右平移个单位即可得到函数的图象.
故选：D
【变式5-2】（25-26高三上·浙江湖州·期末）将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，或者向左平移个单位长度后，两者的图象完全重叠，则的最小值是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，
可得，
将函数向左平移个单位长度后，可得，
要使得和的图象重合，即，
可得，
解得，即，
因为，当时，可得，即的最小值是.
故选：C.
【变式5-3】（多选）（2026·江苏镇江·模拟预测）将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．的最小正周期为 B．在上单调递增
C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点中心对称
【答案】AC
【解析】由题意可得，
对于A，由题意可得，故A正确；
对于B，当时，，
因为函数在上不单调，
所以在上不单调，故B错误；
对于C，令，得，
当时，，故C正确；
对于D，因为关于中心对称，
所以关于中心对称，故D错误.
故选：AC.
易错点6 参数问题不能准确判断临界点
易错典题
【例6】（25-26高三上·广东·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.若在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可得，
因为，所以当时，，且
因为在单调递增，所以（易错点），
实质是
又，解得.
故选：B
【错因分析】本题在求解过程中往往由于不能准确判断临界点而错判参数的取值范围.
知识混淆：混淆区间端点、最值点、零点等临界点类型，错把边界条件当成严格不等号，参数范围多取或漏取.
概念模糊：对参数影响下的函数区间、图像位置判断不清，不能准确锁定取等条件，导致范围偏大或偏小.
望文生义：只看 “有解”“恒成立” 字面意思，不结合三角函数图像与周期分析临界点，直接凭感觉列不等式.
避错攻略
【方法总结】这类问题的基本解题思路是：先将函数的解析式化简为的形式；根据题设给出限制条件（如单调性、对称轴的个数、零点个数或最值个数等）判断周期满足的条件，求出的大致范围；在求出的取值范围，分析左（或右）端点的大致位置，再确定另一个端点位置；找出临界点，列出不等式求解.
【知识链接】1、与三角函数单调性有关的参数问题
如果解析式中含有参数，要求根据函数单调性求参数的取值范围，通常先求出单调区间，然后利用集合间的关系求解；或转化为使得某个等式或不等式恒(可以)成立，通过分离参数，求出解析式的范围或最值，进而求出参数的范围.
【注意】由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的一个单调区间[m，n](区间也可以是开区间或半开半闭区间)求解ω或φ的取值范围，则将区间端点值代入后，去对应(k∈Z)或(k∈Z)列出不等式求解．另外，因为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的单调递减(增)区间的区间长度恰好是，所以具有单调性的区间长度必不超过，根据这个性质有时也可求出ω的范围．　
2、与对称性有关的参数问题
一般来说,若函数在某个区间上单调,并且给出了对称轴方程,则可先利用“该区间长度小于或等于半周期长度”大致确定的范围,再利用对称轴是否在该区间内进一步约束的范围,最后对剩下的进行逐一检验,进而确定的准确范围.
【注意】（1）函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的对称中心为(k∈Z)，对称轴为x＝－＋＋(k∈Z)，此时函数的对称中心和对称轴可用参数ω表示，对称中心和对称轴的取值与参数ω有着紧密的联系．
（2）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究ω的取值．
3、与三角函数的最值存在有关的参数问题
一般考查形式是给出区间最值点的个数求参数范围，这种题目一种思路是求出所有的最值点根据区间内最值点的个数列出不等式求解，另一种思路利用三角函数的最值与对称或周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围．
4、与三角函数的零点有关的参数问题
解决此类问题，要先根据所给的单调区间判断ω的大致范围，再计算对称轴，依据函数在所给区间的极值点及对称轴缩小范围，从而求出ω的范围．
注：一般来说,已知函数在某个区间上有个零点、最值等,可将看作一个整体,再利用正弦函数的性质解题.
举一反三
【变式6-1】（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】C
【解析】函数，
设函数的最小正周期为T，由可得，
所以，即；
又函数在上存在零点，且当时，，
所以，即；
综上，的最小值为4.
故选：C.
【变式6-2】（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数，若在区间上单调递增，且在区间上有且只有一个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
.
，由于在区间上有且只有一个零点，
所以，
而，
其中，而，
在区间上单调递增，
所以，解得，
则.
故选：D
【变式6-3】（25-26高三上·山东青岛·期末）已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，，
解得，所以的取值范围是.
故答案为：.
【变式6-3】（25-26高
易错点7 解三角形时错判解的个数
易错典题
【例7】（25-26高三上·河南洛阳·期末）在中，已知，，，则（ ）
A．或 B． C． D．或
【答案】C
【解析】因为在中，，，，
由正弦定理，得，
解得或（易错点），
此处需对这两解进行检验，剔除不合题意的解
又因为可得，所以不符合题意，舍去．
可得，故A，B，D错误．
故选：C.
【错因分析】已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，容易忽略对解的个数的讨论而出错.
知识混淆：混淆正弦定理适用条件，把边边角问题与边角边、边边边混淆，不画图直接计算，忽略多解情况.
概念模糊：对三角形中大边对大角、内角和范围理解不清，不会判断解是否合理，出现增解或漏解.
望文生义：只看数值算出结果，不结合图形与角度范围检验，盲目认为只有一解，导致解的个数判断错误.
避错攻略
【方法总结】两边和其中一边的对角，求其它的边和角时，由于正弦函数在在区间内不单调，此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，此时可通过大边对大角进行分析，也通过几何法来判断三角形解的个数.
【知识链接】在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
由上表可以得出：已知两边一对角：
举一反三
【变式7-1】（25-26高三上·海南·月考）在中，, ，则“”是“有两解”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若有两解，则，
即，所以，
所以有两解可以推出.
所以“”是“有两解”的必要不充分条件.
故选：B
【变式7-2】（25-26高三上·安徽·期中）在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理判断三角形解的情况.
【解析】A选项，三角形的三个角确定，一条边确定，则三角形只有一个解，故A错；
B选项，，所以三角形无解，故B错；
C选项，，所以三角形有两个解，故C正确；
D选项，，所以,三角形只有一个解，故D错.
故选：C.
【变式7-3】（25-26高三上·江苏·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则为锐角三角形
C．在锐角三角形中，不等式恒成立
D．若，，且该三角形有两解，则b的范围是
【答案】ACD
【解析】对于A，因为，
所以由正弦定理得，
又A，B 为的内角，，则，即，故A正确；
对于B，由余弦定理可得，则角为锐角，不能得到为锐角三角形，故B错误；
对于C，因为是锐角三角形，所以，所以，
又，所以，
又因为在单调递增，所以，C正确；
对于D，因为，，且该三角形有两解，
所以，即，故D正确．
故选：ACD
易错点8 忽略边角互化条件
易错典题
【例8】（2026·湖北·模拟预测）记内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围.
【解析】（1）易得，
由正弦定理得（易错点），
易错之处是不知该选择正弦定理还是余弦定理进行转化
而，
故，
易知，
故，
即，
又因为，
所以，
所以，
解得；
（2）因外接圆直径为，
则由正弦定理可知，
故，，
因为是锐角三角形，
所以，
得，，
则，
所以，
由对勾函数的性质可知，在上单调递减，
故的取值范围为.
【错因分析】盲目使用正弦定理、余弦定理进行边角互化，忽略角的范围、边的正负、三角形存在性等前提，导致变形不等价、解增多或减少.
知识混淆:混淆边角互化的适用前提，把正弦定理的比例关系随意变形，不考虑分母不为 0、角不能为 0 或 π 等限制，造成推理错误.
概念模糊:对 “等价变形” 理解不清，互化时未保证每一步都可逆，忽略三角形内角和、两边之和大于第三边等隐含条件.
望文生义:只看到 “边角互化” 字面意思，见到式子就直接代换，不先判断条件是否满足，得出不符合三角形实际的解.
避错攻略
【方法总结】若等式中每一项的边或者三角的正弦的个数相同，可以考虑直接改成对应角的正弦或者对应角的边，否则就得利用进行等量代换.
【知识链接】1.正弦定理
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径
2.正弦定理的变形
①；；；
②
③
④，，（可实现边到角的转化）
⑤，，（可实现角到边的转化）
3. 正弦定理的应用
①边化角，角化边
②大边对大角 大角对大边
③合分比：
举一反三
【变式8-1】（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，．
(1)求A的值；
(2)求c的值；
(3)求的值．
【解析】（1）已知，由正弦定理，
得，显然，
得，由，
故；
（2）由（1）知，且，，
由余弦定理，
则，
解得（舍去），
故；
（3）由正弦定理，且，
得，且，则为锐角，
故，故，
且；
故.
【变式8-2】（2025·上海·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
(1)若，求a；
(2)若，求的面积的最大值．
【解析】（1）由正弦定理可得即，
又，所以，即，解得，
所以.
（2）因为，且，，
所以，当且仅当时等号成立，
当取最小值时，取最大值，最大值，
所以的面积的最大值为.
【变式8-3】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
【解析】（1）由余弦定理有，对比已知，
可得，
因为，所以，
从而，
又因为，即，
注意到，
所以.
（2）由（1）可得，，，从而，，
而，
由正弦定理有，
从而，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为
，
由已知的面积为，可得，
所以.
易错点9 解三角形时忽略三角形中的隐含条件
易错典题
【例9】（24-25高三上·河北·期中）已知是锐角三角形，角、、 所对的边分别为、、，为的面积，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，由三角形的面积公式和余弦定理可得，
整理可得，
因为，则，可得，所以，，
因为为锐角三角形，则，即（易错点），
注意锐角三角形的每个角都必须是锐角
解得，
所以，，则，
所以，.
故选：B.
【错因分析】本题在求解过程中容易忽略条件中三角形是锐角三角形这一限制条件， 以致求错A的取值范围而出错.
知识混淆：混淆一般三角形与锐角三角形的条件，只使用内角和定理，忘记每个角都必须为锐角，导致范围扩大.
概念模糊：对锐角三角形的本质理解不清，不会把每个角都转化为三角函数值大于 0 的不等式，漏列关键约束.
望文生义：只看题目表面条件列式计算，不深挖 “锐角三角形” 的真正含义，不检验每个角的范围，直接得出错误结果.
避错攻略
【方法总结】处理三角形中的三角函数问题时一定深挖三角形中的隐含条件，如三角形是锐角三角形时，则三角形的三个内角都是锐角，而三角形是钝角三角形时，只需要三角形最大的内角是钝角.
【知识链接】1.内角和定理：
①
同理有：，．
②；
③斜三角形中，
④；
⑤在中，内角成等差数列．
2.三角形中的射影定理
在 中，；；
3.中线、角分线
（1）中线：
在中，设是的中点角,,所对的边分别为，，
①向量形式：
结论：
②角形式：
在中有：;
在中有：;
（2）角平分线
如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，
①内角平分线定理：
或
②等面积法
③角形式：
在中有：;
在中有：;
举一反三
【变式9-1】（25-26高三上陕西·期末）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的外接圆半径为，若的面积，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正弦定理得，所以，
又三角形面积公式，可知，所以，
又，所以，
由正弦定理得，
锐角中，有，因为正切函数在上单调递增，
所以，从而.
故选：A
【变式9-2】（2026·河北沧州·一模）已知在中，角所对的边分别为，且，则 ．若为锐角三角形，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为，
由正弦定理可得，又，
所以，
又，
所以，即，所以，
又，所以，，
由，得，由为锐角三角形，
得，即，于是，
所以，即的取值范围为，
所以，所以，即的取值范围为．
【变式9-3】（2026高三上·四川眉山·专题练习）已知的面积记为.内角，，的对边分别为，，，.
(1)若，，求；
(2)若为锐角三角形，，求的取值范围.
【解析】（1）由，得，
因为为三角形边长，所以，所以，
若，则，代入得，矛盾，
所以，方程两边同除以得，又，所以.
根据余弦定理，
得.即，整理得.
解得或（舍去）.所以.
（2）由，得，，
因为，则，，
所以，
，
因为为锐角三角形，所以则，
所以，即取值范围为.
单选题
1．（25-26高三上·湖北武汉·期末）若角的终边上有一点，且，则（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，
即，解得或（舍去），
故选：C.
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
因为，则，则，
则.
故选：D.
3．（2026·四川广安·一模）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以
故选：B
”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4．（25-26高三上·河南南阳·期末）想要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向右平移个单位
B．各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向左平移个单位
C．各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位
D．各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位
【答案】C
【解析】，
将函数的图像各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位，即可得出函数的图像，
故选：C．
5．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正弦定理可得,
,可得,
由△ABC有两解知，有两个解，
故，即
，
或，
又， ∴ A为锐角，所以，
故选: .
6.（25-26高三上·陕西咸阳·期末）若，，是的内角，，的对边，，且，则是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．三边互不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形
7．（2025高三上·江苏·学业考试）已知函数若存在实数满足，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】C
【解析】函数,画出函数图像如下图所示:
由函数图像可知,若,则
因为,与关于对称
则
去绝对值化简可得
即,由对数运算可得
所以，
则．
故选：C ．
8．（2025高三上·江苏·专题练习）已知函数（，），为的零点，为图象的对称轴，且在上不单调，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】设函数的最小正周期为，
因为为的零点，为图象的对称轴，
所以，即，
所以.
因为，所以在上不单调，
当时，由为的零点可得，，
因为，所以.
因为在上不单调，所以的最小值为.
故选：B.
多选题
9．（25-26高三上·河南·月考）在中，下列一定正确的有（ ）
A．若为锐角，则
B．若为锐角，则
C．若为钝角，则
D．若，则为等腰三角形或直角三角形
【答案】CD
【解析】取时，则，可知A错误；
取时，，可知B错误；
若为钝角，则所以，则，故C正确；
由于，且，
由得，可得或,
当时，得，此为等腰三角形；
当，故，此为直角三角形，故D正确．
故选：CD．
10．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数（）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数
D．当时，曲线与有4个交点
【答案】ABD
【解析】观察函数的图象，得，最小正周期，解得，
由，得，而，则，
对于A，，故A正确；
对于B，由，得，
则或，
解得或，
又，则，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，在同一坐标系内作出函数与在上的图象，
如图，作出符合题意的图形，
观察图象得，两个函数图象有4个交点，故D正确.
故选：ABD
11．（2025·全国一卷·高考真题）已知的面积为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】，由二倍角公式，，
整理可得，，A选项正确；
由诱导公式，，
展开可得，
即，
下证.
方法一：分类讨论
若，则可知等式成立；
若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，同理，
又，于是，
与条件不符，则不成立；
若，类似可推导出，则不成立.
综上讨论可知，，即.
方法二：边角转化
时，由，则，
于是，
由正弦定理，，
由余弦定理可知，，则，
若，则，注意到，则，
于是（两者同负会有两个钝角，不成立），于是，
结合，而都是锐角，则，
于是，这和相矛盾，
故不成立，则
方法三：结合射影定理（方法一改进）
由，结合正弦定理可得，，由射影定理可得，于是，
则，可同方法一种讨论的角度，推出，
方法四：和差化积（方法一改进）
续法三：
，可知同时为或者异号，即，展开可得，
，
即，结合和差化积，，由上述分析，，则，则，则，即，于是，可知.
由，由，则，即，
则，同理，由上述推导，，则，
不妨设，则，即，
由两角和差的正弦公式可知，C选项正确
由两角和的正切公式可得，，
设，则，
由，则，则，
于是，B选项正确，由勾股定理可知，，D选项错误.
故选：ABC
填空题
12．（25-26高三上·上海·期末）将的图象向右平移 个单位可得到的图象（只需填出符合条件的一个值）.
【答案】（答案不唯一，符合表达式即可）
【解析】设的图象向右平移个单位得到的图象，
则，
由于正切函数的周期是，所以，
可得，
取，可得.
故答案为：（答案不唯一，符合表达式即可）
13．（25-26高三上·辽宁沈阳·月考）已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】根据正弦定理，
将转化为
即，又因为锐角，所以.
所以
因为是锐角三角形，
所以，所以，得，
所以
故的取值范围是.
14．（2024·全国·模拟预测）函数在上单调递增，且满足，，则 ．
【答案】
【解析】由题意可知的一个对称中心为，一条对称轴为直线，
所以其中，，解得，其中．
又因为单调区间不超过半个周期，所以，则．
①当时，，解得，此时，
当时，，故在上单调递增；
②当时，，无解；
③当时，，解得，此时，
当时，，所以在上单调递减，舍去；
④当时，，解得，此时，
当时，，此时在上单调递减，舍去；
⑤当时，，无解．
综上，．
解答题
15．（2025·北京·高考真题）在中，．
(1)求c的值；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高．
条件①：；条件②：；条件③：的面积为．
【解析】（1）因为，所以，
由正弦定理有，解得；
（2）如图所示，若存在，则设其边上的高为，
若选①，，因为，所以，因为，这表明此时三角形有两个钝角，
而这是不可能的，所以此时三角形不存在，故边上的高也不存在；
若选②，，由有，由正弦定理得,所以，
所以由余弦定理得,
此时三角形是存在的，且唯一确定，
所以,即，
所以边上的高；
若选③，的面积是，则，
解得，由余弦定理可得可以唯一确定，
进一步由余弦定理可得也可以唯一确定，即可以唯一确定，
这表明此时三角形是存在的，且边上的高满足：，即.
16．（25-26高三上·北京通州·期末）已知函数.
(1)求的值；
(2)求的最小正周期和单调递增区间；
(3)将函数图象上各点横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向左平移个单位得到的图象，若锐角满足，求的值.
【解析】（1）.
代入 ，得：
（2）最小正周期 ；
由 ，解得，
即单调递增区间为 .
（3）将函数图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍得 ，
再向左平移 个单位得：，
由 ，得 ，即 .
因为 为锐角，
所以 ，，
.
17．（2026·上海·高考真题）已知函数.
(1)当，，求函数在处的切线方程；
(2)若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围.
【解析】（1）当时，则，
根据可得，故，故，
由于，故，故，
，则，
故函数在处的切线方程为，故，
（2）函数的最小正周期为，故，所以，
令，当，则，
令，则或，
当时，要使得有1351个实数根，则，解得，
当时，要使得有1351个实数根，则，解得，
当时，要使得有1351个实数根，则，无解，
综上可得或.
18．（25-26高三上·浙江湖州·期末）在中，是线段上一点，且，，设．
(1)求线段的长度（用表示）；
(2)若，求的值；
(3)求的最大值．
【解析】（1）在中，．
在中，由余弦定理得
因此.
（2）在中，由正弦定理得，
即，
所以．
（3）在中，由正弦定理得，
即，
即，
解得
当且仅当，即时，取到最大值.
方法2：以线段所在直线为轴，线段的中点为坐标原点，建立如图所示直角坐标系．
由可知，点在以为直径的圆上，
显然当直线与圆相切时，的最大值．
此时，故．
19．（25-26高三上·湖南衡阳·期末）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，.
(1)求证：；
(2)求的取值范围；
(3)若，求三角形面积的取值范围．
【解析】（1）由及正弦定理可得，即，
因为，则，所以，即，
由余弦定理可得，所以，
所以，由正弦定理可得
，
因为为锐角三角形，故，，所以，
又函数在上单调递增，且，故，即.
（2）
，
因为为锐角三角形，故，解得，
又因为，可得，故角的取值范围是，
所以，故，
令，，
任取、且，
则
，
因为，所以，则，所以，
所以函数在上为增函数，故，
故的取值范围是.
（3）由正弦定理可得，所以，，
所以
，
因为，所以，
令，函数、在上均为减函数，
故函数在上为减函数，所以，即，
因此，即面积的取值范围是.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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