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专题07 数列的单调性与最值问题
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高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 单调性判断（作差 / 作商 / 函数法）（） 题型二 分段数列的单调性（含参数范围）（） 题型三 由递推关系判断数列单调性（） 题型四 单调性与最值综合（求数列最大 / 小项）（） 题型五 单调性与充分必要条件结合（） 实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）
高考中以选择题、填空题以单调性判断、分段数列参数范围、最值求解为主（分值 5-10 分），解答题中多作为第二问设问（结合递推数列、数列求和，分值 6-8 分），属于中档题核心模块：
基础知识必备：掌握数列单调性定义（递增：；递减：，对任意成立）及最值定义（最大项满足，最小项反之）。熟练运用作差法、作商法、函数法三种核心方法判断单调性，掌握分段数列、递推数列的通项求解与单调性分析逻辑。理解充分必要条件的判定规则，能结合数列单调性定义完成逻辑推导，熟知等比、等差数列与单调性的关联性质。掌握数列前n项和与通项的关系（），为单调性分析奠定基础。
2026高考预测：核心考向：分段数列含参数的单调性仍为高频考点，侧重多条件不等式组求解；单调性与最值综合题会强化 “先判单调再求最值” 的逻辑链，可能结合函数导数辅助分析； 创新趋势：单调性与充分必要条件、新定义数列（如 “拟递增数列”）的结合考查概率上升，跨模块融合（与不等式恒成立、函数值域衔接）成为难点突破方向； 命题特点：题目设计会注重 “性质应用” 而非 “概念记忆”，强调逻辑推导和计算严谨性，避免复杂技巧，侧重通性通法的灵活运用。
重难知识汇总：①单调性判断三重核心：作差法（适用于所有数列，核心判正负）、作商法（仅适用于正项 / 负项数列，注意符号对结论的影响）、函数法（将转化为，结合修正单调性）。②分段数列单调性：需满足 “分段内单调 + 衔接处单调” 双重条件，一次函数段关注斜率，指数 / 幂函数段关注底数，衔接处需保证前一段末项与后一段首项满足单调关系。③递推数列单调性：先通过构造法（等差 / 等比数列）、迭代法求通项，再判单调性；无法求通项时，直接通过递推式变形比较与大小。最值求解关键：单调性法（先增后减取顶点，单调数列取首尾）、不等式组法（锁定最值项的前后项关系）、函数法（结合二次函数对称轴、对勾函数性质，限定正整数域）。
常用技巧方法：作差法速算：化简时，优先合并同类项、因式分解，快速判断正负（如含二次式可配方，含分式可通分）。作商法避坑：先判断符号，正项数列直接比大小，负项数列需反转不等号（如时，负项数列递减）。函数法转化：将视为函数，用导数或基本函数性质（如二次函数对称轴、对勾函数拐点）确定单调性，再验证的对应项。
易错避坑提效：①作商法忽略符号：忘记判断正负，直接用与 1 的大小下结论，导致单调性判断错误。②分段数列漏衔接：仅保证各分段内单调，忽略前一段末项与后一段首项的大小关系（如递增数列需满足，分段点为）。③函数法混淆定义域：将函数的单调性直接等同于数列单调性，忽略与的区别（如函数在递增，数列需验证）。④最值求解漏条件：用不等式组法时，忘记的限制，导致多解或漏解（如求最大项时，未排除的特殊情况）。⑤逻辑关系颠倒：混淆充分性和必要性，如认为 “” 是 “数列递增” 的充分条件，忽略 “所有需满足”。⑥递推数列求通项失误：未正确构造等差 / 等比数列，导致通项求解错误，进而影响单调性分析，建议先验证前 3 项的规律再推导通项。
题型一 单调性判断（作差 / 作商 / 函数法）
方法点拨：①作差比较法：当时，递增；当时，递减.
②作商比较法：若，则当时，递增；当时，递减.
③函数法：将转化为函数，利用导数或基本函数单调性，结合推导数列单调性。
【典例01】（2025·湖北·模拟预测）已知数列前项和为，，，，则的最大值为（ ）
A．4 B．9 C．10 D．12
【答案】B
【分析】先根据与的关系求数列的通项公式，再判断数列的单调性，求数列的最大的项.
【详解】因为中，，
当时，；
当时，，用代替得：，
两式相减得：.
又，
所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以.
所以，
由或.
所以数列中，有：，即数列中，最大，且.
故选：B
【典例02】（2025·上海·三模）已知数列的通项公式为，，则关于数列的最值叙述正确的是（）
A．既有最大项也有最小项 B．只有最大项没有最小项
C．没有最大项只有最小项 D．没有最大项也没有最小项
【答案】A
【分析】把数列的通项公式看作函数解析式，令，换元后是二次函数解析式，结合二次函数的性质判断即可．
【详解】令，因为，所以当时，
而，
所以当时，即时，取最大值；
因为，且，，因为，所以距离最近，
所以当，即时，取最小值；
所以该数列既有最大项又有最小项，
故选：A．
【变式01】（2025·河北唐山·模拟预测）数列的前项和为，的前项和为，则数列（ ）
A．有最大项也有最小项 B．无最大项也无最小项
C．有最小项但无最大项 D．有最大项但无最小项
【答案】A
【分析】根据数列和数列的前项和，分别求出数列和数列的通项公式，进而可以得到数列的通项公式，通过判断其单调性，可得是否存在最大值和最小值.
【详解】设数列的前项和为，的前项和为，则，，
当时，，
当时，，
经验证，时成立，所以，
同理可求得，适合；
所以，
令，
又，，，，
，
当时，，，所以，且时，，
则，
所以当时，，数列单调递增，得；
当时，，数列单调递减，得；
当时，，数列单调递增，得；
由此可知最大，最小，
综上所述，数列存在最大项，也存在最小项.
故选：A
【变式02】（2025·吉林通化·一模）数列{an}的通项公式为，该数列的前50项中最大项是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用分离常数法分析数列的单调性，再根据单调性求数列的最大项.
【详解】因为
所以当，即时，，所以.
当，即时，，所以.
且时，数列为递减数列，
所以该数列的前50项中最大项是.
故选：C
【变式03】（2025高三·全国·专题练习）(多选)已知数列的通项公式为．则下列说法正确的是（ ）
A．这个数列的第10项为 B．是该数列中的项
C．数列中的各项都在区间内 D．数列是单调递减数列
【答案】BC
【分析】先化简通项公式，赋值法判断A，B，再结合函数单调性及值域判断C，D.
【详解】．
令，得，故选项A不正确；
令，得，故是该数列中的第33项，故选项B正确，
因为，又，所以数列是单调递增数列，
所以，所以数列中的各项都在区间内，故选项C正确，选项D不正确．
故选：BC.
题型二 分段数列的单调性（含参数范围）
方法点拨：①保证各分段内部单调：一次函数段需满足斜率正负，指数 / 幂函数段需满足底数范围。 ②保证分段衔接处单调：前一段的末项小于后一段的首项（递增数列）或大于后一段的首项（递减数列）。 ③列不等式组求解参数：结合上述两点建立不等式，注意参数需同时满足所有条件。
【典例01】（2025·湖南湘潭·一模）已知函数，数列满足，，则“为递增数列”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】已知函数，数列满足，结合分段函数的性质讨论，若为递增数列，则，与矛盾，不满足充分性；若，满足，可以推出为递增数列，故满足必要性，所以“为递增数列”是“”的必要不充分条件.
【详解】已知函数，数列满足.
①充分性：
若为递增数列，则对于所有，满足，即.
当时，成立，即
：，
：，
：，
：需要满足，即，
当，，要使在时单调递增，则.
综上，若数列递增，则，
所以“数列递增”不能推出“”，不满足充分性.
②必要性：
若，则，由①知当时为递增数列，
所以“”能满足“数列递增”，
即“数列递增”是“”的必要条件.
所以“为递增数列”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
【典例02】（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】当时，解，得出单调性，判断出在时，取最小值：；当，利用二次函数的对称性和最值，建立关于的不等式组求解．
【详解】当时，，令，得：，
解得：或，因此可知：；
又当时，，当时，，所以在时，取最小值：．
当时，，则该代数式对应函数对称轴为直线，
因为是中唯一的最小项，所以，且，
解得，且，
即．
故选：B
【变式01】（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由数列单调递增得到分段函数单调递增，然后建立不等式组，解得的取值范围.
【详解】由，数列是递增数列，
得，解得，
所以a的取值范围是.
故选：C
【变式02】（25-26高三上·河北衡水·月考）已知数列满足，若为递增数列，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得当时，；当时，递增，故只需，代入求解即可.
【详解】当时，递增，则；
当时，递增，
若为递增数列，则，
且，
即，解得；
综上，.
故选：B.
【变式03】（2025·上海普陀·一模）设且，、、都是正整数，数列的通项公式为，记数列中前项的最小值为，由所有的值所组成的集合记为，若集合中仅有四个元素，则下列说法中错误的是（ ）
A．当时，的取值范围是 B．不存在和的值，使得
C．当时，的取值范围是 D．存在和的值，使得
【答案】C
【分析】根据不同的取值范围分析分段函数的性质，结合函数单调性，反证法，进而判断关于集合元素个数等命题的正确性，逐个判断真假即可.
【详解】对于A选项,当时，对于，根据分段函数的性质，会得到，
由于在这个区间内，这样的递推会一直进行下去，所以集合有无数个元素.
当时，要满足，通过对分段函数的计算和分析，正好解得，
此时.并且当，两个分段函数都是增函数，中最多只存在两个元素.所以选项正确.
对于B选项，当时，有且.
要想有个元素，根据函数的递推关系，如果，那么根据函数性质会继续产生更多的元素，
所以必有，不然会有无数个元素.但是当时，中元素个数就不是个了，
这就产生了矛盾，所以原命题正确，即选项正确.
对于C选项，当时，，令，通过对分段函数的计算解得.
由于，此时，这与选项中说的情况不符，所以选项错误.
对于D选项，从前面的分析经验来看，要想，根据分段函数的性质，只能令，.
由此得到方程，整理得，解得或，
因为（根据前面的取值范围等条件），所以，选项正确.
故选：C.
题型三 由递推关系判断数列单调性
方法点拨：①先求通项：通过构造法（等差 / 等比数列）、迭代法等求出的表达式。再判单调性：对通项使用作差、作商或函数法判断，若无法求通项，可直接通过递推式变形比较与的大小。
②特殊情况：若递推式为，可通过分析函数的单调性间接判断数列单调性。
【典例01】（2025·江西·二模）已知数列满足：，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．有最大值 D．不是单调数列
【答案】C
【分析】先对进行变形，构造新数列，求出数列的通项公式，结合作差法判断增减性，逐一分析选项.
【详解】设，则.
已知，将，代入可得：
可得.
两边取倒数，即.
又因为，所以，则.
所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
根据等差数列通项公式，则.所以.
当时，，所以选项A错误.
由前面计算可知，所以选项B错误.
因为，当增大时，减小，减小，且时，，，所以有最大值，选项C正确.
由可知，，所以是单调递减数列，选项D错误.
故选：C.
【典例02】（24-25高三上·天津·月考）在无穷数列中，，，数列的前n项和为，则的最大值与最小值的差为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
【答案】C
【分析】求出数列的前n项和，按奇偶探讨的单调性求出最大与最小值即可得解.
【详解】由，，得，而，则数列是等比数列，
于是，当为奇数时，，，
当为偶数时，，，因此的最大值与最小值分别为，
所以的最大值与最小值的差为.
故选：C
【点睛】关键点点睛：利用等比数列前n项和公式求出，再按奇偶结合单调性求解是关键.
【变式01】（2025·江西·模拟预测）已知数列满足，（），若是单调递增数列，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题可得，然后讨论与4的大小可得答案.
【详解】因为，所以.
若，则，不符合题意.
若，则为等比数列，所以.
当时，为单调递减数列，不符合题意；
当时，为单调递增数列，符合题意.
综上，.
【变式02】（2025高三·全国·专题练习）已知数列的首项为，若的前n项积，则（ ）
A．数列有最大项，无最小项 B．数列无最大项，有最小项
C．数列有最大项，有最小项 D．数列无最大项，无最小项
【答案】B
【分析】由与关系可得，化简可得，从而得即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，则．
又，所以是首项为3，公差为1的等差数列，
所以，故，
所以是递增数列，故有最小项，无最大项．
故选:B
【变式03】（25-26高三上·江西·月考）记首项为1的数列的前项和为，且是以为公比的等比数列．若对于任意正整数，均有，则整数的最大值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意先求出的通项公式，进而得出的表达式，再根据的通项公式求出的通项公式，判断数列的增减性，然后分析得出结果.
【详解】由题意可得是以1为首项、为公比的等比数列，
故，则，
当时，
，
当时，，代入上式，
所以，
当时，；
当时，，
此时
由，
所以，
即当时，为递增数列，
又，故，
故为的最小项，
又对于任意正整数均成立，
即成立，又为整数，故的最大值为，
故选：B．
题型四 单调性与最值综合（求数列最大 / 小项）
方法点拨：①单调性法：若数列先增后减，最大值在单调性转折处；若单调递增则末项最大，单调递减则首项最大。②不等式组法：设为最大项，则；最小项则将不等号反向。③结合函数最值：将数列通项视为函数，求函数在正整数域内的最值，对应数列的最大 / 小项。
【典例01】（24-25高三上·山西大同·期末）等比数列中，为其前项和，，且成等差数列，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】先根据等差中项及等比数列得通项求出公比，再根据等比数列的前项和公式求出，判断出数列的单调性即可得解.
【详解】设公比为，
由成等差数列，得，
又数列为等比数列，所以得，解得，
所以，
令，
则，
所以数列递增数列，
所以当时，取得最小值1.
故选：D.
【典例02】（25-26高三上·安徽合肥·月考）已知数列中，.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求的前项和；
(3)令，求数列的最大项.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用等比数列的定义即可得证；
（2）利用等比数列的前项和公式，分组求和即可求解；
（3）由（2）得，即，得，令，比较与1的大小来判断数列的单调性，进而求出最大项.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）得，
所以
，
化简得；
（3）由（2）得，
所以，
令，
易得，又单调递减，当时，即，
又当时，，
所以数列的最大项为.
【变式01】（2025·江西·模拟预测）已知数列满足的前12项组成一组数据，其第90百分位数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】判断数列的单调性，确定其最大项，根据百分位数的求法，即可确定答案.
【详解】因为，
故一组12个数据的第90百分位数是将数据由小到大排序后的第11个数，
又,
则，，
即数列前9项逐渐增大，从第10项开始又逐渐减小，且，
由此可得和是数列的最大项，
故将数列的前12项从小到大排序后，或将排在第11，12位
所以第90百分位数为或.
故选：B
【变式02】（24-25高三上·浙江·月考）(多选)已知数列的通项公式是，记的前项和为，则（ ）
A． B．
C．时，取最大值 D．
【答案】BC
【分析】根据即可判定A,根据作差，判断数列的单调性可知C，根据放缩，结合等差数列以及等比数列的求和即可判断BD.
【详解】由于，则，故A错误，
，
，
当，故，
当，故，
因此时，取最大值，C正确，
当时，，则，故D错误，
由于，故，故，B正确，
故选：BC
【变式03】（25-26高三上·山东临沂·期中）已知数列中，，.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求的前项和；
(3)令，求数列的最大项.
【答案】(1)答案见详解
(2)
(3)
【分析】（1）利用等比数列定义即可证明；
（2）由（1）求得数列的通项公式，根据通项公式的特点分组求和；
（3）用作商法判断数列的单调性后再求最大项.
【详解】（1）因为，，所以，
所以，数列是以为首项为公比的等比数列.
（2）由（1）得所以
化简得.
（3）由（2）得，所以，
，令易得，又 单调递减，当时，即，，又当时，所以数列的最大项为.
题型五 单调性与充分必要条件结合
方法点拨：①明确单调性定义：如 “递增数列” 需满足对所有，，而非局部项满足。②双向验证逻辑关系：判断条件p（如）能否推出单调性（充分性），单调性能否推出条件p（必要性）。③举反例排除：若存在数列满足条件p但不单调，或单调但不满足p，即可判断充分 / 必要关系。
【典例01】（2025·四川自贡·三模）命题：数列为等比数列，命题：数列满足，，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由等比数列的性质及充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】充分性：由，且，
设，，，，后续项由依次计算得到：
，，，，
此时数列为1，2，3，4，8，12，16，32，…，显然不是等比数列，所以充分性不成立；
必要性：由为等比数列，显然可得，
且，故必要性成立.
所以是的必要不充分条件.
故选：B.
【典例02】（2025·江苏·三模）在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】A
【分析】根据等比数列的定义和通项公式，结合充分条件、必要条件的定义即可判断.
【详解】令，则，
令，则，
以此类推，得，
则数列是以为首项，为公比的等比数列.
若数列是等比数列，设其公比为，则，
所以，，
得，
当时，；
当时，不成立.
所以甲是乙的充分不必要条件.
故选：A
【变式01】（2025·湖南长沙·三模）数列是公比不为1的等比数列，前项积为，则“，”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由等比数列的性质，结合充分条件与必要条件的意义判断即可.
【详解】充分性：因为，，所以，所以，
又由数列是公比不为1的等比数列，所以，
可得同号，同号，所以，所以，
所以“，”是“”的充分条件；
必要性：若数列每项均为正数时，若且时，则对恒成立，
无法得到对恒成立，必要性不成立，
故“，”是“”的充分不必要条件.
故选：B.
【变式02】（2025·江苏南京·一模）在数列中，“对于任意的正整数，都有”是“数列为等比数列”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据等比数列的性质及充分条件、必要条件的定义进行判断即可.
【详解】当有成立时，数列不一定为等比数列，例如，即充分性不成立；
当数列为等比数列时，一定成立，即必要性成立.
故选：A.
【变式03】（25-26高三上·福建厦门·期中）已知数列满足，则“数列是递增数列”的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先将通项变形，通过作差法分析单调性，再结合充分不必要条件的定义得出结果.
【详解】将变形为.
.
若数列递增，则，即.
因，故，即（此为充要条件），
所以A选项符合，BCD选项不符合.
故选：A
（限时训练：15分钟）根据内容设置10~30分钟的题量即可
1． （25-26高三上·江苏苏州·期中）已知数列的通项公式为，则数列的最小项是（ ）
A．第1项 B．第6项 C．第7项 D．第13项
【答案】B
【分析】由题设，结合分式型函数的性质分析数列的单调性及的区间上下界，即可得.
【详解】由，，
当时，，即，
当时，，即，
数列在上都单调递减，
所以最小项为，即第6项.
故选：B
2．（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）数列的通项为，且为单调递增数列，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据数列的单调性建立不等式，结合一次函数的单调性，可得答案.
【详解】由数列是递增的，则对恒成立，
即，
整理可得，对恒成立，
因函数在时单调递增，则得.
故选：B
3.（2025·贵州黔南·三模）数列满足，若数列单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意可得，解得即可.
【详解】因为单调递增，所以，解得，
即实数的取值范围为.
故选：D
4．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）设函数，数列满足，且数列是递增数列，则a的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由数列递增得到分段函数在两个区间上分别递增，得到对应的范围，然后由，求的范围，从而得到结果.
【详解】∵数列是递增数列，
∴当时，单调递增，即，则，
当时，单调递增，则，
又，即，则，则，
∴.故选：B.
4．（2025·天津·二模）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据递增数列的概念及充分、必要条件的定义判断即可.
【详解】递增数列是指一个数列从第二项起，每一项都大于它的前一项，即.
若是摆动数列，可能有，但是不是递增数列，则仅不能推出为递增数列，但为递增数列可以推出.
所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件.
故选：B.
5. （2025·北京顺义·一模）设为等比数列，则“存在，使得”是“为递减数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据题意，举出反例即可得到充分性不满足，再由数列单调性的定义，即可验证必要性满足，从而得到结果.
【详解】假设等比数列的公比，首项，则数列的项依次为，
当时，满足，但是不是递减数列，
故充分性不满足；
若为递减数列，则对于任意的，必然有，
故必要性满足；
所以“存在，使得”是“为递减数列”的必要而不充分条件.
故选：B
6. （2025·山东济南·一模）若数列各项均为正数，则“为等比数列”是“为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合等差数列、等比数列的定义判断.
【详解】数列中，，
数列为等比数列，令其公比为，则，，
为常数，因此数列为等差数列；
反之，为等差数列，令其公差为，则，即为常数，
因此数列为等比数列，
所以“为等比数列”是“为等差数列”的充要条件.
故选：C
7. （24-25高三上·河北·月考）已知数列的通项公式为，若对于任意正整数n，都有≤成立，则m的值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】C
【分析】利用给定的通项公式，结合单调性求出最大项即可得解.
【详解】数列的通项公式为，则
，
由，，解得，而,
因此当时，，即，当时，，
即，
所以数列的最大项为，即对于任意正整数n，都有≤成立，依题意，.
故选：C
8. （2025·四川成都·二模）(多选)已知数列的通项公式，前项和为，则（ ）
A．数列为等差数列
B．，使得
C．当时，取得最小值
D．数列的最大项的值为
【答案】ABD
【分析】利用给定的通项公式，结合等差数列定义、数列单调性、二次函数性质逐项求解判断.
【详解】对于A，由，得 ，
，数列为等差数列，A正确；
对于B，，，显然，B正确；
对于C，，当时，数列单调递减，，
，
当时，数列单调递减，，，C错误；
对于D，，
因，当时，取最小值，
当或时，，且当或时，取最小值3，
所以数列的最大项的值为，D正确.
故选：ABD.
9. （2025·北京房山·一模）已知数列的各项均为正数，且满足（是常数，），则下列四个结论中正确的是（ ）
A．若，则数列是等比数列
B．若，则数列是递增数列
C．若数列是常数列，则
D．若数列是周期数列，则最小正周期可能为2
【答案】C
【分析】当时，得到，当时，得到，数列不能构成等比数列，可判定A错误；当时，求得，可判定B错误；若数列为常数列，得到，结合二次函数的性质，求得，可判定C正确；假设列是周期数列，且最小正周期为，得到且，结合，得到，化简求得，这与矛盾，可判定D错误.
【详解】对于A中，若，可得，即，
当且时，两边取对数，可得，即，
此时数列表示首项为，公比为的等比数列；
当时，可得，此时，数列不能构成等比数列，故A错误；
对于B中，当时，可得，即，
例如：当时，由，可得，
又由，可得，此时，
所以，当，数列是不一定是递增数列，所以B错误；
对于C中，若数列为常数列，则，
因为，即，
又因为，所以，
所以的取值范围为，所以C正确；
对于D中，假设数列是周期数列，且最小正周期为，即且，
因为，可得，所以，
则，即，
又因为数列的各项均为正数，即，
所以，即，这与矛盾，
所以数列的最小正周期不可能是，所以D错误.
故选：C.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题07 数列的单调性与最值问题
目录
高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 单调性判断（作差 / 作商 / 函数法）（） 题型二 分段数列的单调性（含参数范围）（） 题型三 由递推关系判断数列单调性（） 题型四 单调性与最值综合（求数列最大 / 小项）（） 题型五 单调性与充分必要条件结合（） 实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）
高考中以选择题、填空题以单调性判断、分段数列参数范围、最值求解为主（分值 5-10 分），解答题中多作为第二问设问（结合递推数列、数列求和，分值 6-8 分），属于中档题核心模块：
基础知识必备：掌握数列单调性定义（递增：；递减：，对任意成立）及最值定义（最大项满足，最小项反之）。熟练运用作差法、作商法、函数法三种核心方法判断单调性，掌握分段数列、递推数列的通项求解与单调性分析逻辑。理解充分必要条件的判定规则，能结合数列单调性定义完成逻辑推导，熟知等比、等差数列与单调性的关联性质。掌握数列前n项和与通项的关系（），为单调性分析奠定基础。
2026高考预测：核心考向：分段数列含参数的单调性仍为高频考点，侧重多条件不等式组求解；单调性与最值综合题会强化 “先判单调再求最值” 的逻辑链，可能结合函数导数辅助分析； 创新趋势：单调性与充分必要条件、新定义数列（如 “拟递增数列”）的结合考查概率上升，跨模块融合（与不等式恒成立、函数值域衔接）成为难点突破方向； 命题特点：题目设计会注重 “性质应用” 而非 “概念记忆”，强调逻辑推导和计算严谨性，避免复杂技巧，侧重通性通法的灵活运用。
重难知识汇总：①单调性判断三重核心：作差法（适用于所有数列，核心判正负）、作商法（仅适用于正项 / 负项数列，注意符号对结论的影响）、函数法（将转化为，结合修正单调性）。②分段数列单调性：需满足 “分段内单调 + 衔接处单调” 双重条件，一次函数段关注斜率，指数 / 幂函数段关注底数，衔接处需保证前一段末项与后一段首项满足单调关系。③递推数列单调性：先通过构造法（等差 / 等比数列）、迭代法求通项，再判单调性；无法求通项时，直接通过递推式变形比较与大小。最值求解关键：单调性法（先增后减取顶点，单调数列取首尾）、不等式组法（锁定最值项的前后项关系）、函数法（结合二次函数对称轴、对勾函数性质，限定正整数域）。
常用技巧方法：作差法速算：化简时，优先合并同类项、因式分解，快速判断正负（如含二次式可配方，含分式可通分）。作商法避坑：先判断符号，正项数列直接比大小，负项数列需反转不等号（如时，负项数列递减）。函数法转化：将视为函数，用导数或基本函数性质（如二次函数对称轴、对勾函数拐点）确定单调性，再验证的对应项。
易错避坑提效：①作商法忽略符号：忘记判断正负，直接用与 1 的大小下结论，导致单调性判断错误。②分段数列漏衔接：仅保证各分段内单调，忽略前一段末项与后一段首项的大小关系（如递增数列需满足，分段点为）。③函数法混淆定义域：将函数的单调性直接等同于数列单调性，忽略与的区别（如函数在递增，数列需验证）。④最值求解漏条件：用不等式组法时，忘记的限制，导致多解或漏解（如求最大项时，未排除的特殊情况）。⑤逻辑关系颠倒：混淆充分性和必要性，如认为 “” 是 “数列递增” 的充分条件，忽略 “所有需满足”。⑥递推数列求通项失误：未正确构造等差 / 等比数列，导致通项求解错误，进而影响单调性分析，建议先验证前 3 项的规律再推导通项。
题型一 单调性判断（作差 / 作商 / 函数法）
方法点拨：①作差比较法：当时，递增；当时，递减.
②作商比较法：若，则当时，递增；当时，递减.
③函数法：将转化为函数，利用导数或基本函数单调性，结合推导数列单调性。
【典例01】（2025·湖北·模拟预测）已知数列前项和为，，，，则的最大值为（ ）
A．4 B．9 C．10 D．12
【典例02】（2025·上海·三模）已知数列的通项公式为，，则关于数列的最值叙述正确的是（）
A．既有最大项也有最小项 B．只有最大项没有最小项
C．没有最大项只有最小项 D．没有最大项也没有最小项
【变式01】1．（2025·河北唐山·模拟预测）数列的前项和为，的前项和为，则数列（ ）
A．有最大项也有最小项 B．无最大项也无最小项
C．有最小项但无最大项 D．有最大项但无最小项
【变式02】（2025·吉林通化·一模）数列{an}的通项公式为，该数列的前50项中最大项是（　　）
A． B． C． D．
【变式03】（2025高三·全国·专题练习）(多选)已知数列的通项公式为．则下列说法正确的是（ ）
A．这个数列的第10项为 B．是该数列中的项
C．数列中的各项都在区间内 D．数列是单调递减数列
题型二 分段数列的单调性（含参数范围）
方法点拨：①保证各分段内部单调：一次函数段需满足斜率正负，指数 / 幂函数段需满足底数范围。 ②保证分段衔接处单调：前一段的末项小于后一段的首项（递增数列）或大于后一段的首项（递减数列）。 ③列不等式组求解参数：结合上述两点建立不等式，注意参数需同时满足所有条件。
【典例01】（2025·湖南湘潭·一模）已知函数，数列满足，，则“为递增数列”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【典例02】（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式01】（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式02】（25-26高三上·河北衡水·月考）已知数列满足，若为递增数列，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式03】（2025·上海普陀·一模）设且，、、都是正整数，数列的通项公式为，记数列中前项的最小值为，由所有的值所组成的集合记为，若集合中仅有四个元素，则下列说法中错误的是（ ）
A．当时，的取值范围是 B．不存在和的值，使得
C．当时，的取值范围是 D．存在和的值，使得
题型三 由递推关系判断数列单调性
方法点拨：①先求通项：通过构造法（等差 / 等比数列）、迭代法等求出的表达式。再判单调性：对通项使用作差、作商或函数法判断，若无法求通项，可直接通过递推式变形比较与的大小。
②特殊情况：若递推式为，可通过分析函数的单调性间接判断数列单调性。
【典例01】（2025·江西·二模）已知数列满足：，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．有最大值 D．不是单调数列
【典例02】（24-25高三上·天津·月考）在无穷数列中，，，数列的前n项和为，则的最大值与最小值的差为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
【变式01】（2025·江西·模拟预测）已知数列满足，（），若是单调递增数列，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式02】（2025高三·全国·专题练习）已知数列的首项为，若的前n项积，则（ ）
A．数列有最大项，无最小项 B．数列无最大项，有最小项
C．数列有最大项，有最小项 D．数列无最大项，无最小项
【变式03】（25-26高三上·江西·月考）记首项为1的数列的前项和为，且是以为公比的等比数列．若对于任意正整数，均有，则整数的最大值为（ ）
A．0 B． C． D．
题型四 单调性与最值综合（求数列最大 / 小项）
方法点拨：①单调性法：若数列先增后减，最大值在单调性转折处；若单调递增则末项最大，单调递减则首项最大。②不等式组法：设为最大项，则；最小项则将不等号反向。③结合函数最值：将数列通项视为函数，求函数在正整数域内的最值，对应数列的最大 / 小项。
【典例01】（24-25高三上·山西大同·期末）等比数列中，为其前项和，，且成等差数列，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【典例02】（25-26高三上·安徽合肥·月考）已知数列中，.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求的前项和；
(3)令，求数列的最大项.
【变式01】（2025·江西·模拟预测）已知数列满足的前12项组成一组数据，其第90百分位数为（ ）
A． B． C． D．
【变式02】（24-25高三上·浙江·月考）(多选)已知数列的通项公式是，记的前项和为，则（ ）
A． B．
C．时，取最大值 D．
【变式03】（25-26高三上·山东临沂·期中）已知数列中，，.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求的前项和；
(3)令，求数列的最大项.
题型五 单调性与充分必要条件结合
方法点拨：①明确单调性定义：如 “递增数列” 需满足对所有，，而非局部项满足。②双向验证逻辑关系：判断条件p（如）能否推出单调性（充分性），单调性能否推出条件p（必要性）。③举反例排除：若存在数列满足条件p但不单调，或单调但不满足p，即可判断充分 / 必要关系。
【典例01】（2025·四川自贡·三模）命题：数列为等比数列，命题：数列满足，，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【典例02】（2025·江苏·三模）在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【变式01】（2025·湖南长沙·三模）数列是公比不为1的等比数列，前项积为，则“，”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【变式02】（2025·江苏南京·一模）在数列中，“对于任意的正整数，都有”是“数列为等比数列”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式03】（25-26高三上·福建厦门·期中）已知数列满足，则“数列是递增数列”的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
（限时训练：15分钟）
1． （25-26高三上·江苏苏州·期中）已知数列的通项公式为，则数列的最小项是（ ）
A．第1项 B．第6项 C．第7项 D．第13项
2．（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）数列的通项为，且为单调递增数列，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.（2025·贵州黔南·三模）数列满足，若数列单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）设函数，数列满足，且数列是递增数列，则a的范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·天津·二模）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5. （2025·北京顺义·一模）设为等比数列，则“存在，使得”是“为递减数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6. （2025·山东济南·一模）若数列各项均为正数，则“为等比数列”是“为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
7. （24-25高三上·河北·月考）已知数列的通项公式为，若对于任意正整数n，都有≤成立，则m的值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
8. （2025·四川成都·二模）(多选)已知数列的通项公式，前项和为，则（ ）
A．数列为等差数列
B．，使得
C．当时，取得最小值
D．数列的最大项的值为
9. （2025·北京房山·一模）已知数列的各项均为正数，且满足（是常数，），则下列四个结论中正确的是（ ）
A．若，则数列是等比数列
B．若，则数列是递增数列
C．若数列是常数列，则
D．若数列是周期数列，则最小正周期可能为2
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