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专题08 概率与统计解答题型全析
题型01 求概率及随机变量的分布列与期望
【例1-1】(2025·广西·模拟)不透明的盒中有五个大小形状相同的小球．它们分别标有数字，0，1，1，2，现从中随机取出2个小球．
(1)求取出的2个小球上的数字不同的概率；
(2)记取出的2个小球上的数字之积为X，求X的分布列及数学期望．
【例1-2】(2025·湖南·模拟)错题重做是一种有效的学习策略，它可以帮助学生更好地理解和掌握知识.某班级数学老师利用DeepSeek设计了一个错题重做网页小游戏.并在班级发起错题重做挑战赛.甲和乙两人组成“郴队”参加挑战赛.每轮比赛中，甲和乙各抽取一道错题，他们做对与否互不影响，且各轮结果也互不影响.
(1)若甲每轮做对的概率为，乙每轮做对的概率为.求“郴队”在两轮比赛中做对2题的概率；
(2)若甲和乙第一轮做对的概率分别为，，第二轮做对的概率分别为，.求“郴队”在两轮比赛中做对3题的概率.
求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）.
【变式1-1】(2024·云南·二模)袋子中有大小相同的2个白球 3个黑球，每次从袋子中随机摸出一个球.
(1)若摸出的球不再放回，求在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率；
(2)若对摸出的球看完颜色后就放回，这样连续摸了3次，求3次摸球中摸到白球的次数的分布列和均值.
【变式1-2】（2023·广州·三模）某学校开展“争做文明学生，共创文明城市”的创文知识问答竞赛活动，现从全校参与该活动的学生中随机抽取100名学生的竞赛成绩（单位：分），并以此为样本绘制了如下频率分布直方图．
(1)求该100名学生竞赛成绩的第80百分位数；
(2)学校拟对被抽取的100名学生进行奖励，奖励方案如下：用频率估计概率，得分小于或等于70的学生获得1次抽奖机会，得分高于70的学生获得2次抽奖机会．假定每次抽奖抽到价值10元的学习用品的概率为，抽到价值20元的学习用品的概率为．从这100名学生中任取一位，记该同学在抽奖活动中获得学习用品的价值总额为元，求的分布列和数学期望（用分数表示），并估算此次抽奖要准备的学习用品的价值总额．
【变式1-3】(2024·云南昆明·模拟)某校举行知识竞赛，最后一个名额要在A，B两名同学中产生，测试方案如下：A，B两名学生各自从给定的4个问题中随机抽取3个问题作答，在这4个问题中，已知A能正确作答其中的3个，B能正确作答每个问题的概率都是，A，B两名同学作答问题相互独立．
(1)求A，B两名同学恰好共答对2个问题的概率；
(2)若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生，简要说明理由．
题型02 条件概率、全概率和贝叶斯公式
【例2-1】(2024·云南·模拟)材料一：英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数 统计推断等做出了重要贡献.贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有，.
材料二：马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习 自然语言处理 金融领域 天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即.
请根据以上材料，回答下列问题.
(1)已知德国电车市场中，有的车电池性能很好.公司出口的电动汽车，在德国汽车市场中占比，其中有的汽车电池性能很好.现有一名顾客在德国购买一辆电动汽车，已知他购买的汽车不是公司的，求该汽车电池性能很好的概率；（结果精确到0.001
(2)为迅速抢占市场，公司计划进行电动汽车推广活动.活动规则如下：有11个排成一行的格子，编号从左至右为，有一个小球在格子中运动，每次小球有的概率向左移动一格；有的概率向右移动一格，规定小球移动到编号为0或者10的格子时，小球不再移动，一轮游戏结束.若小球最终停在10号格子，则赢得6百欧元的购车代金券；若小球最终停留在0号格子，则客户获得一个纪念品.记为以下事件发生的概率：小球开始位于第个格子，且最终停留在第10个格子.一名顾客在一次游戏中，小球开始位于第5个格子，求他获得代金券的概率.
【例2-2】(2024·广西南宁·模拟)有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有4个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同.
(1)先等可能地选择一个盒子，再从此盒中摸出2个球．若摸出球的结果是一红一白，求这2个球出自1号盒子的概率；
(2)如果从两个盒子中摸出3个球，其中从1号盒子摸1个球，从2号盒子摸两个球，规定摸到红球得2分，摸到白球得1分，用表示这3个球的得分之和，求的分布列及数学期望.
1.条件概率的使用方法和技巧：已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即．
2.全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题．什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式．
3贝叶斯公式的使用方法和技巧：
（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公式的意义是导致事件发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率．
（2）贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转关系，即，，之间的内在联系．
【变式2-1】 (2025·云南大理州·模拟)在2025年春晚《秧BOT》机器人节目中，有16个机器人参与表演.该人工智能机器人团队将传统艺术与现代科技完美融合，表演非物质文化遗产“转手绢”并完成复杂队形变换.这一创新表演不仅展示了我国人工智能技术的飞速发展，也体现了科技赋能传统文化的实践创新.某项研究表明，每个机器人独立完成转手绢动作成功的概率为0.8.在队形变换环节，机器人的表现存在差异：每个机器人若转手绢成功，则其队形变换成功的概率为0.9；若转手绢失败，则队形变换成功的概率为0.6.
(1)若从该团队中随机抽取3个机器人调查研究，记X为成功完成转手绢动作的机器人个数，求X的分布列及数学期望；
(2)若随机抽取一个机器人，已知其队形变换成功，求它转手绢成功的概率.
X 0 1 2 3
P 0.008 0.096 0.384 0.512
【变式2-2】(2023·云南·模拟)在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了100名学生，其中共有4名女生和3名男生的成绩在90分以上，从这7名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次，记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B．
(1)求，，
(2)若把抽取学生的方式更改为：从这7名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．
X 0 1 2 3
P
【变式2-3】(2024·江苏南通·模拟)某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为，每局比赛，棋手胜加分；平局不得分；棋手负减分．当棋手总分为时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立.
(1)求两局后比赛终止的概率；
(2)在局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率；
(3)在挑战过程中，棋手每胜局，获奖千元．记局后比赛终止且棋手获奖万元的概率为，求的最大值．
题型03超几何分布与二项分布及正态分布
【例3-1】亚运聚欢潮，璀璨共此时，2023年9月第19届亚洲运动会在杭州举办，来自亚洲45个国家和地区的1万多名运动员在这里团结交流、收获友谊，奋勇拼搏、超越自我，共同创造了亚洲体育新的辉煌和荣光，赢得了亚奥理事会大家庭和国际社会的广泛好评．亚运会圆满结束后，杭州某学校组织学生参加与本届亚运会有关的知识竞赛，为了解该校学生对本届亚运会有关赛事知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了600名学生进行调查，成绩全部分布在分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示．
(1)求频率分布直方图中的值．
(2)估计这600名学生成绩的中位数．
(3)由频率分布直方图可以认为，这次竞赛成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，试用正态分布知识解决下列问题：
①若这次竞赛共有2.8万名学生参加，试估计竞赛成绩超过86.8分的人数（结果精确到个位）；②现从所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过77.8分的人数为，求随机变量的期望．
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
【例3-2】(2025·云南·一模)某工厂有甲、乙两条生产线生产同一种产品，产品分为一等品和二等品.为了比较两条生产线产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取件产品作为样本，检测后得到如下列联表：
生产线 一等品 二等品 总计
甲 60 40 100
乙 70 30 100
总计 130 70 200
(1)根据列联表，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为甲、乙两条生产线生产的产品质量有差异？（参考公式：，其中，参考数据：）
(2)从乙生产线的件样本产品中随机抽取件产品，设抽到一等品的件数为，求的分布列和数学期望.
(3)若一等品和二等品的售价分别为元/件和元/件，甲、乙两条生产线生产一件产品的成本分别为元/件和元/件.以样本中一等品的频率作为产品为一等品的概率，分别计算甲、乙两条生产线生产一件产品的利润的期望，并比较大小.
1.一般地，在含有件产品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，其中，且，称为超几何分布列．
2.一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，则．此时称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率．此时有．
3.解决正态分布问题有三个关键点：（1）对称轴标准差分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为特殊区间，从而求出所求概率．注意在标准正态分布下对称轴为．
【变式3-1】(2024·云南曲靖·二模)袋子中有大小相同的2个白球 3个黑球，每次从袋子中随机摸出一个球.
(1)若摸出的球不再放回，求在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率；
(2)若对摸出的球看完颜色后就放回，这样连续摸了3次，求3次摸球中摸到白球的次数的分布列和均值.
【变式3-2】某企业响应国家“强芯固基”号召，为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金．为
了解研发资金的投入额x（单位：千万元）对年收入的附加额y（单位：千万元）的影响，对2017年至2023年研发资金的投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下：
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023
投入额 10 30 40 60 80 90 110
年收入的附加额 7．30
(1)求y关于x的线性回归方程；
(2)若年收入的附加额与投入额的比值大于，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3个，记X表示这三个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学期望．
参考数据：，，．
附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，．
【变式3-3】(2024·云南·模拟)目前,教师职业越来越受青睐,考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前,中小学教师资格考试分笔试和面试两部分,笔试通过后才能进入面试环节.已知某市年共有名考生参加了中小学教师资格考试的笔试,笔试成绩,只有笔试成绩高于分的学生才能进入面试环节.
(1)从报考中小学教师资格考试的考生中随机抽取人,求这人中至少有一人进入面试的概率;
(2)现有甲、乙、丙名学生进入了面试,且他们通过面试的概率分别为,设这名学生中通过面试的人数为,求随机变量的分布列和数学期望.
参考数据:若,则,,,,.
题型04 统计图表及数字特征
【例4-1】遵义市举行“高一年级节数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的众数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）．
(2)按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求有1名或2名学生的成绩在内的概率．
(3)已知本次竞赛最终由三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空，每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束．已知每场比赛胜的概率为，胜的概率为，胜的概率为，每场比赛互不影响．请通过计算说明哪两人参加首场比赛获胜的概率最大．
【例4-2】（2024·黑龙江·模拟）为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：）记录下来并绘制出折线图：
(1)分别计算甲、乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值；
(2)轮胎的宽度在内，则称这个轮胎是标准轮胎.试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好
1.解决频率分布直方图问题时要抓住3个要点．
（1）直方图中各小矩形的面积之和为1；
（2）直方图中纵轴表示，故每组样本的频率为组距
（3）直方图中每组样本的频数为频率总体个数．
2.用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数的方法．
（1）众数为频率分布直方图中最高矩形底边中点的横坐标；
（2）中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；
（3）平均数等于每个小矩形面积与小矩形底边中点横坐标之积的和．
【变式4-1】某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；
(2)成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分；
(3)已知落在内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差.
（附：设两组数据的样本量 样本平均数和样本方差分别为：.记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差）
【变式4-2】某校高一年级有男生200人，女生100人.为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本为30的样本，并观测样本的指标价（单位：cm），计算得男生样本的身高平均数为169，方差为39.下表是抽取的女生样本的数据；
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高 155 158 156 157 160 161 159 162 169 163
记抽取的第i个女生的身高为（，2，3，…，10），样本平均数，方差.
参考数据：，，.
(1)若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在范围内的人数；
(2)用总样本的平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数和标准差，求，的值；
(3)如果女生样本数据在之外的数据称为离群值，试剔除离群值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差.
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）某厂为提高工作效率，将全厂分为甲、乙2个车间，每个车间分别设有A，B，C，D，E5组．下表为该厂某日生产订单情况统计表，请据表解答下列问题：
A B C D E
甲车间 100 120 150 180 200
乙车间 50 120 200 150 180
(1)求甲、乙2个车间该日生产订单的平均数与方差，并根据方差判断哪一个车间工作效率比较稳定？
(2)设甲车间合格率为0.54，乙车间合格率为0.57，求甲、乙2个车间都不合格的概率；
(3)你认为哪个车间工作效率更高？请从平均数、方差、合格率的角度分析．
题型05 线性回归与非线性回归分析
【例5-1】红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数（个）和平均温度有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
参考数据
17713 714 27 81.3
(1)根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数（个）关于平均温度（）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)由（1）的判断结果及表中数据，求出关于的回归方程.（计算结果精确到0.1）
附：回归方程中
【例5-2】随着粤港澳大湾区建设、黄河流域生态保护和高质量发展等区域重大战略实施取得新成效，城乡融合和区域协调发展继续推进，2024年末全国常住人口城镇化率增长至67.00%.下图为2020-2024年年末常住人口城镇化率的折线图.
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合常住人口城镇化率与年份代码的关系.请建立关于的回归方程；
(2)从这5年中任取2年，记常住人口城镇化率超过65.00%的年数为，求的分布列与数学期望.附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法公式分别为：，
参考数据：，
线性回归分析的原理、方法和步骤：
（1）利用图表和数字特征可以对数据做简单的分析，但是用回归直线方程可以对数据的未来值进行预测．在选取数据观察的时候，要注意大量相对稳定的数据比不稳定的数据更有价值，近期的数据比过去久远的数据更有价值．
（2）判断两组数据是否具有线性相关关系的方法：散点图，相关系数．
（3）相关指数与相关系数在含有一个解释变量的线性回归模型中是等价的量，都是用来判断线性回归模型拟合效果好不好的量．
（4）利用换元法，可以将一元非线性回归转化为线性回归．
【变式5-1】经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表.
360
表中

(1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型并求出关于回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）
(2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有8个鱼卵，其中“死卵”有3个．现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望.
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
【变式5-2】(2025·广西·模拟)现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素.某企业去年前八个月的物流成本（单位：万元）和企业利润的数据（单位：万元）如下表所示：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8
物流成本 83 83.5 80 86.5 89 84.5 79 86.5
利润 114 116 106 122 132 114 132
残差 0.2 0.6 1.8 -3 -1 -4.6
根据最小二乘法公式求得经验回归方程为.
(1)求的值，并利用已知的经验回归方程求出8月份对应的残差值；
(2)请先求出线性回归模型的决定系数（精确到0.0001），若根据非线性模型求得解释变量（物流成本）对于响应变量（利润）的决定系数，请说明以上两种模型哪种模型拟合效果更好.
参考公式及数据：，，.
【变式5-3】（2023·漳州·三模）年月日，由工业和信息化部、安徽省人民政府共同主办的第十七届“中国芯”集成电路产业大会在合肥成功举办．此次大会以“强芯固基以质为本”为主题，旨在培育壮大我国集成电路产业，夯实产业基础、营造良好产业生态.年，全国芯片研发单位相比年增加家，提交芯片数量增加个，均增长超过倍.某芯片研发单位用在“芯片”上研发费用占本单位总研发费用的百分比（）如表所示.
年份
年份代码
(1)根据表中的数据，作出相应的折线图；并结合相关数据，计算相关系数，并推断与线性相关程度；（已知：，则认为与线性相关很强；，则认为与线性相关一般；，则认为与线性相关较弱）.
(2)求出与的回归直线方程（保留一位小数）；
(3)请判断，若年用在“芯片”上研发费用不低于万元，则该单位年芯片研发的总费用预算为万元是否符合研发要求
附：相关数据：，，，.
相关计算公式：①相关系数；
在回归直线方程中，，.
题型06 独立性检验
【例6-1】某地区农户在推动农业机械化升级后，记录了某作物在接下来（）年的增长数据（万吨），如下表所示：
1 2 3 4 5
26 37 50 64 93
(1)经探究与之间具有相关关系，求关于的经验回归方程；
(2)为了检验，两款机械设备的投放对某农作物的增收情况，在，两地区分别选取了两块相同面积的试验田来记录某年的增收情况，得到的数据如下表：
地区 用M设备 用设备
A 30 20
B 15 35
根据小概率值的独立性检验，能否认为增收情况与使用，两种不同设备有关
参考公式：①，；
②（其中为样本容量）.
参考数据：
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【例6-2】(2025·广西柳州·模拟)为了研究某校高二年级学生的性别与身高是否大于170cm的关联性，调查了该校所有高二年级的学生，整理得到如下列联表一；然后从该校所有高二年级学生中随机抽取100名学生，对性别和身高是否大于170cm进行统计，得到如下列联表二，其中女生占，身高低于170cm的学生占．
表一：
性别 身高 合计
低于170cm 不低于170cm
女 360 90 450
男 100 450 550
合计 460 540 1000
表二：
性别 身高 合计
低于170cm 不低于170cm
女 25
男
合计 100
(1)从表一中随机抽取一人，分别用表示抽到男生、女生，用表示抽到学生身高不低于170cm，计算，并判断该校高二年级学生的性别和身高是否有关联？
(2)请完成列联表二，并依据的独立性检验，能否认为该校高二年级学生的性别与身高有关联？对比第一问的结论，请分析两种判断方式的可靠性.为了得到准确的结论，请提出可行性建议；
(3)现在从表二中，抽取样本容量为10的样本，其中女生样本数据为：159、160、165、171（单位：cm），男生样本数据为：164、166、168、172、174、176（单位：cm），求出这个样本的第70百分位数，并从不大于第70百分位数的样本数据中抽取3人，记为抽到的女生人数，求的分布列及数学期望.附：其中.
解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤：
(1)根据样本数据制成2×2列联表；
(2)根据公式计算；
(3)通过比较与临界值的大小关系来作统计推断.
【变式6-1】(2025·广西·模拟)随着近年来的生活质量提高，饮食结构改变，生活压力增加，中青年人也逐渐成为动脉粥样硬化性心血管疾病的高危人群．血脂异常是的重要危险因素之一，有效控制血脂异常，对防治具有重要意义．某公司计划研究一种新的降脂单抗药物，药物研发时，需要对志愿者进行药效实验．该公司统计了800名不同年龄的志愿者达到预期效果所需的疗程数，得到如下频数分布表：
1次 40 50 50 90
次 100 60 100 50
次 61 75 55 43
10次以上 7 7 5 7
把年龄在内的人称为青年，年龄在内的人称为中年，疗程数低于5次的为效果明显，不低于5次的为效果不明显．
(1)补全下面的列联表．
效果 年龄 合计
青年 中年
效果不明显
效果明显
合计
(2)判断以35岁为分界点，根据小概率值的独立性检验，能否认为治疗效果与年龄有关．
参考公式：．
附表：
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【变式6-2】(2025·广西·模拟)2025年春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》掀起全民观影热潮，连续7天票房逆势攀升，单日最高突破8.6亿元，吸引部分家庭携老扶幼共赴影院，缔造中国影史春节档票房与观影人次双冠王的奇迹.某电影院为了解民众观影的喜欢程度，随机采访了180名观影人员，得到下表：
是否成年人 是否喜欢 合计
不喜欢 喜欢
未成年人 80 100
成年人 20 80
合计 180
(1)求的值；
(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年有关？
(3)用频率估计概率，现随机采访一名成年人和一名未成年人，设表示这两人中非常喜欢电影《哪吒之魔童闹海》的人数，求的分布列和数学期望.参考公式：
【变式6-3】(2025·重庆·模拟)随机询问80名不同职业的人在购买食品时是否看营养说明，得到如下调查结果：
职业 买食品时是否看营养说明 合计
不看营养说明 看营养说明
从事与医疗相关行业 12 28 40
从事与医疗无关行业 18 22 40
合计 30 50 80
(1)从这80名受访者中随机抽出1人，已知此人在购买食品时要看营养说明，求这名受访者从事与医疗无关行业的概率；
(2)依据小概率的独立性检验，能否推断两个群体在购买食品时是否看营养说明存在差异？
参考公式：
独立性检验中常用小概率值和相应临界值：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
题型07 竞技比赛中的概率问题
【例7-1】(2025·广西·模拟)某所学校进行知识竞赛，最终甲乙同学进入决赛，争夺冠军，决赛一共有文化 科技 体育三个项目，比赛采取每个项目中回答对问题多的那个同学在该项目获胜并且获得20分，没获胜的同学得0分，三个项目比赛结束，总得分高的同学获得冠军，已知甲同学每个项目获胜的概率分别为，比赛没有平局，且每个项目比赛相互独立.
(1)求乙同学总得分为40分的概率；
(2)用表示甲同学的总得分，求的分布列与期望；
(3)判断甲乙两名同学谁获得冠军的概率大.
【例7-2】2025年多哈世界乒乓球锦标赛，中国队组合王楚钦 孙颖莎以战胜日本队组合吉村真晴 大藤沙月，连续第三次夺得世乒赛混双冠军.假设2026年的一次乒乓球比赛中，S组合与组合相遇.每局比赛必须决出胜负，已知每局比赛组合获胜的概率为，每局比赛胜负结果相互独立，规定先达到净胜3局者获得比赛胜利并结束比赛（规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局）.
(1)分别求恰好3局比赛结束时组合获得比赛胜利的概率，恰好5局比赛结束时组合获得比赛胜利的概率；
(2)若规定比赛总局数达到7局时无论是否分出胜负都直接结束比赛，求结束比赛时双方对战的总局数的分布列；
(3)若比赛局数不限，求组合获得比赛胜利的概率.
1.与体育比赛有关的问题中最常见的就是输赢问题，经常涉及“多人淘汰制问题”“ 三局两胜制问题”“ 五局三胜制问题”“ 七局四胜制问题”，解决这些问题的关键是认识“三局两胜制”“ 五局三胜制”等所进行的场数，赢了几场与第几场赢，用互斥事件分类，分析事件的独立性，用分步乘法计数原理计算概率，在分类时要注意“不重不漏” ．
2.在体育比赛问题中，比赛何时结束也是经常要考虑的问题，由于比赛赛制已经确定，而比赛的平均场次不确定，需要对比赛的平均场次进行确定，常用的方法就是求以场数为随机变量的数学期望，然后比较大小．
4、有些比赛会采取积分制，考查得分的分布列与数学期望是常考题型，解题的关键是辨别它的概率模型，常见的概率分布模型有：两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布，要注意分布是相互独立的，超几何分布不是，值得注意的是，在比赛中往往是伪二项分布，有的只是局部二项分布．
【变式7-1】(2025·北京·模拟)为丰富校园文化生活，学校举办了乒乓球比赛．决赛采用三局二胜制的比赛规则（先赢得2局的队伍获胜并结束比赛）.已知甲、乙两队进入决赛，且根据以往比赛统计得知，在每局比赛中甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响．
(1)若 ，求乙队以2：0获胜的概率；
(2)若 ，比赛结束时甲队获胜的局数记为X，求X的期望；
(3)若比赛打满3局的概率记为，请直接写出的最大值及此时p的值，并解释此时的实际意义.
【变式7-2】甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
【变式7-3】(2025·云南昆明·一模)在“2025年全球AI创新峰会”中，参与“环境监测问题解决方案”代码编写比赛组的科技团队A和B通过实时编写代码，争夺“最佳环测算法团队”称号．规定每轮比赛限时编写一个算法模块，评委会通过对算法模块测试，评定优胜方，优胜方记1分，另一方记0分，无平局；当两团队累积得分的分差为3分时，比赛结束，累积得分高的团队获“最佳环测算法团队”称号．若每轮比赛中，A团队获优胜的概率为，且每轮比赛结果相互独立．
(1)当比赛结束时恰好进行了5轮，且A团队获“最佳环测算法团队”称号的概率；
(2)（i）若比赛最多进行6轮，求比赛结束时轮数的分布列及数学期望；
（ii）若比赛轮数不限制，求A团队获“最佳环测算法团队”称号的概率．
题型08 概率统计在决策问题中的应用
【例8-1】(2025·吉林·模拟)为加深青少年对党的历史、党的知识、党的理论和路线方针的认识，激发爱党爱国热情，坚定走新时代中国特色社会主义道路的信心，某校举办了党史知识挑战赛．该挑战赛共分关，规则如下：两人一组，首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者n关都挑战成功，挑战比赛结束．已知甲乙两名同学一组参加挑战赛，若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响．
(1)已知甲先上场，，，，
①求挑战没有一关成功的概率；
②设X为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求；
(2)如果n关都挑战成功，那么比赛挑战成功．试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，并说明理由.
【例8-2】某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
求解决策型问题的求解流程为：
第一步：先确定函数关系式；
第二步：列出分布列，求出期望；
第三步：根据期望进行最后的决策．
【变式8-1】(2025·云南·模拟)甲、乙两选手进行象棋比赛，假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．
(1)若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率；
(2)如果比赛采用五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）进行比赛，求比赛的局数X的分布列和期望；
(3)如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择，请问对于甲选手来说，该如何选择比赛赛制对自己更有利，请说明理由，由此你能得出什么结论．
【变式8-2】 (2025·江苏南京·一模)甲、乙两人组队准备参加一项挑战比赛，该挑战比赛共分关，规则如下：首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者关都挑战成功，挑战比赛结束.若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响.
(1)已知甲先上场，，
①求挑战没有一关成功的概率；
②设为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求；
(2)如果关都挑战成功，那么比赛挑战成功.试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，并说明理由.
【变式8-3】(2025·云南·模拟)某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三个人通过初赛，进入决赛.已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为.
(1)决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束.假设，且每局比赛相互独立.
（ⅰ）求比赛结束时，三人总积分为2分的概率；
（ⅱ）求比赛结束时，三人总积分的分布列与期望.
(2)若，假设乙获得了指定首次比赛选手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略.
题型09 概率统计与数列结合
【例9-1】甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
【例9-2】(2025·广西河池·三模)现有编号为1，2，3， ，（，）的名同学进行闯关游戏，闯关游戏有两种方式可以选择，游戏规则如下.
方式一：①该游戏共设置第一关与第二关，首先由编号为1的同学闯第一关；
②若编号为的同学第一关闯关成功，则该同学继续闯第二关，若编号为的同学第一关闯关未成功，则由编号为的同学接替闯第一关；
③若编号为的同学第二关闯关成功，则闯关游戏结束，若编号为的同学第二关闯关未成功，则由编号为的同学接替闯第二关；
④若闯关轮到编号为的同学，无论编号为的同学闯关成功与否，闯关游戏均结束.
方式二：①该游戏共设置第一关与第二关，首先由编号为1的同学闯第一关；
②若编号为的同学第一关闯关成功，则该同学继续闯第二关，若编号为的同学第一关闯关未成功，则由编号为的同学接替闯第一关；
③若编号为的同学第二关闯关成功，则闯关游戏结束，若编号为的同学第二关闯关未成功，则由编号为的同学接替闯关且从第一关重新开始闯关；
④若闯关轮到编号为的同学，无论编号为的同学闯关成功与否，闯关游戏均结束.
假设每位同学闯第一关成功的概率均为，闯第二关成功的概率均为，且每位同学闯关成功与否相互独立.
(1)若均选择方式一闯关，当闯关游戏结束时，求闯关人数不超过2的概率.
(2)设事件表示“所有同学均按方式一闯关，恰好由编号为3的同学闯关后闯关游戏结束”，设事件表示“所有同学均按方式二闯关，恰好由编号为3的同学闯关后闯关游戏结束”，分别求出事件和事件的概率，比较所求概率的大小，并判断应选择哪种方式闯关更合理.
(3)若均选择方式二闯关，记闯关游戏结束时闯关的总人数为，求的数学期望.
1.基本原理
（1）转移概率：对于有限状态集合，定义：为从状态到状态的转移概率.
（2）马尔可夫链：若，即未来状态只受当前状态的影响，与之前的无关.
无记忆性：下一个状态只与当前状态有关，与更前面的状态没有关系
高中阶段考察的马尔科夫链，其实很简单，找到初始状态和递推关系即可
（3）完备事件组：如果样本空间中一组事件组符合下列两个条件：
①；②.
则称是的一个完备事件组，也称是的一个分割.
（4）全概率公式： 设是一个完备事件组，则有
（5）一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻时，位于点，下一个时刻，它将以概率或者（）向左或者向右平移一个单位. 若记状态表示：在时刻该点位于位置，那么由全概率公式可得：
另一方面，由于，代入上式可得：.
进一步，我们假设在与处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.
进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为，原地不动，其概率为，向右平移一个单位，其概率为，那么根据全概率公式可得：
2.解题技巧
①找到当下状态下的“前一次事件”的所有可能性
②结合对应概率写出“前一次”状态下所有可能性的数列递推关系（一阶递推数列或二阶递推数列）
③利用数列递推关系求出数列的通项公式
【变式9-1】(2025·广西柳州·模拟)某购物平台为了吸引更多的顾客在线购物，推出了和两个套餐服务，并在购物平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择和两个套餐之一，下图是该购物平台7天销售优惠券的情况（单位：千张）的折线图：
(1)由折线图可看出，可用回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
(2)假设每位顾客选择套餐的概率为，选择套餐的概率为，其中包含一张优惠券，套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了张优惠券，设其概率为，求；
(3)记（2）中所得概率的值构成数列，求数列的最值．
参考数据：，，，
参考公式：相关系数
【变式9-2】（2023·杭州·二模）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为，赌博过程如下图的数轴所示．
当赌徒手中有n元（，）时，最终输光的概率为，请回答下列问题：
(1)请直接写出与的数值．
(2)证明是一个等差数列，并写出公差d．
(3)当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义．
【变式9-3】(2025·西南名校联盟·模拟)一只猫和一只老鼠在两个房间内游走.每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动. 猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5，已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第n分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，.
(1)求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率；
(2)求证：，均为等比数列；
(3)在第几分钟时，老鼠在0号房间的概率最大？
题型10 概率统计与导数结合
【例10-1】（2024·四川成都·模拟）某学校高三年级组织举办了知识竞赛．选拔赛阶段采用逐一答题的方式，每位选手最多有5次答题机会，累计答对3道题则进入初赛，累计答错3道题则被淘汰．初赛阶段参赛者每两人一组进行比赛，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等，得分规则如下：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分，选手抢到试题但没有回答正确得0分，对方选手得5分，2道试题抢答完毕后得分少者被淘汰，得分多者进入决赛（若分数相同，则同时进入决赛）
(1)已知选拔赛中选手甲答对每道试题的概率为，且回答每道试题是否正确相互独立，求甲进入初赛的概率；
(2)已知初赛中选手甲答对每道试题的概率为，对手答对每道试题的概率为，两名选手回答每道试题是否正确相互独立，求初赛中甲的得分的分布列与期望；
(3)进入决赛后，每位选手回答4道试题，至少答对3道试题胜出，否则被淘汰，已知选手甲进入决赛，且决赛中前3道试题每道试题被答对的概率都为，若甲4道试题全对的概率为，求甲能胜出的概率的最小值.
【例10-2】（2025·重庆·模拟）一游戏规则如下：一个质点在数轴上运动，从原点出发，每次向左或者向右移动一个单位，共移动了次.
(1)已知质点每次向右移动的概率为.
①当 时，求质点最终回到原点的概率；
②规定质点在运动过程中，只要出现在原点左侧，游戏就结束，否则游戏就继续、直到移动了次，分别求出当和时质点最终落在原点右侧的概率并比较它们的大小
(2)现在规定游戏分为两个阶段：第一阶段，质点每次向右移动的概率为、共移动了3次、若质点最终落在了原点左侧，则结束游戏，且最终得分为0分. 若最终落在了原点右侧、则通过第一阶段，并进入第二阶段：质点重新回到原点，每次向右移动的概率为，并再次移动了3次，若质点最终落在了原点左侧，则最终得分也为0分； 若最终落在了原点右侧，则最终得分为质点位于数轴上所在位置对应的实数.
①请用含的式子表示该游戏得分的数学期望；
②若 则当取何值的时候，该游戏得分的期望值最大？
求解此类问题要充分理解题意．根据题中已知条件，联系所学知识对已知条件进行转化．求解时有时需要把所求概率转化为关于某一变量的函数，然后利用函数、导数知识进行求解.
【变式10-1】（2025·陕西渭南·一模）第十五届全国运动会将于2025年在广东、香港、澳门三地举办．为了普及全运知识．某中学举办了一次全运知识闯关比赛．比赛分为初赛与复赛．初赛胜利后才能进入复赛．初赛规定：三人组队参赛．每次只派一个人．且每人只派一次：如果一个人闯关失败．再派下一个人重新闯关：三人中只要有人闯关成功即视作初赛胜利．无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参加初赛．他们各自闯关成功的概率分别为．假定互不相等．且每人能否闯关成功相互独立．
(1)若计划依次派甲、乙、丙进行初赛闯关．．求该小组初赛胜利的概率：
(2)已知．现有两种初赛人员派出方案：
方案一：依次派出甲乙丙：
方案二：依次派出丙乙甲
设方案一和方案二派出人员数目分别为随机变量．求．并比较它们的大小；
(3)初赛胜利小组的三名成员都可以进入复赛．复赛规定：单人参赛．每个人回答三道题．全部答对获得一等奖：答对两道题获得二等奖：答对一道题获得三等奖：全部答错不获奖．已知某学生进入了复赛．该学生在复赛中前两道题答对的概率均为．第三道题答对的概率为．若该学生获得一等奖的概率为，设该学生获得二等奖的概率为．求的最小值．
【变式10-2】（2025·湖南长沙·模拟）湖南某高中在校园艺术节举办形式多样的活动.
(1)抽奖活动规则如下：在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片，其中3张写有字母，3张写有字母，2张写有字母，抽奖学生每次不放回从箱中随机取出1张卡片，若抽到写有的卡片，则再抽1次，直至取到写有或卡片为止.抽到卡片送精美校园明信片一张，抽到卡片送文学社设计的精美信封一个.甲同学想要明信片，请问甲同学取到写有卡片的概率.
(2)领福袋活动规则如下：每位同学都可以去文化长廊领取自己最喜欢的福袋，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，长廊上一共悬挂个福袋（每个福袋的大小不同），福袋出现在各个位置上的概率相等，乙同学想要摘取最大的福袋，他准备采用如下策略：不摘前个福袋，自第个开始，只要发现比他前面见过的福袋都大时，就摘这个福袋，否则就摘最后一个.设，记乙同学摘到最大的福袋概率为.
①若，求；
②当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值.（取）
【变式10-3】(2024·浙江·模拟)台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：令，数据经过初步处理得：

44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06
现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数.
(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好
(2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少
(3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足.在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）.
附：①相关系数，回归直线中公式分别为，；②参考数据：，，，.
1．(2025·广西·模拟)在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据：
喜欢 不喜欢
男性 40 10
女性 25 25
(1)依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？
(2)从这100名样本观众中任选1名，设事件“选到的观众是男性”，事件“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较和的大小，并解释其意义.
，
2．(2023·云南昆明·模拟)已知某排球特色学校的校排球队来自高一、高二、高三三个年级的学生人数分别为7人、6人、2人．
(1)若从该校队随机抽取3人拍宣传海报，求抽取的3人中恰有1人来自高三年级的概率．
(2)现该校的排球教练对“发球、垫球、扣球”这3个动作技术进行训练，且在训练阶段进行了多轮测试，规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．已知在某一轮测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为，乙同学每个动作达到“优秀”的概率均为，且每位同学的每个动作互不影响，甲、乙两人的测试结果互不影响．记X为甲、乙二人在该轮测试结果为“优秀”的人数，求X的分布列和数学期望．
3．某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A、B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”、两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和.每次发送和接收相互独立.
(1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率；
(2)记发射器共发射“0指向”光子个数为，求的分布列；
(3)求检测器检测到两个“1指向”光子的概率.
4． (2024·广西南宁·模拟)某校为了丰富学生课余生活，体育节组织定点投篮比赛．为了解学生喜欢篮球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：
喜欢篮球 不喜欢篮球 合计
男生 40
女生 30
合计
(1)根据所给数据完成上表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该校学生喜欢篮球与性别有关？
(2)篮球指导老师从喜欢篮球的学生中抽取了2名男生和1名女生进行投篮示范．已知这两名男生投进的概率均为，这名女生投进的概率为，每人投篮一次，假设各人投篮相互独立，求3人投进总次数的分布列和数学期望．
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
5．(2025·云南昆明·模拟)在一个不透明的袋子里初始装有红球和白球各一个，每次有放回地从中任取一个，连续取两次，以上过程记为一轮．如果每一轮两次取到的都是红球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则往袋子里再放入一个白球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．
(1)某人进行该抽球实验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球．记其进行抽球试验的轮次数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)为验证抽球实验成功的概率不超过，有1000名志愿者独立地进行该抽球实验，用t表示成功时抽球的轮次数，y表示对应的人数，以下是部分统计数据：
t 1 2 3 4 5
y 232 98 60 40 20
求y关于t的回归方程，并预测当时y的值；
(3)若在前n轮就成功的概率为，证明：．
附：回归方程系数：；
参考数据：（其中，）
6．(2025·黑龙江·模拟)现市场上治疗某种疾病的药品有两种，其治愈率与患者占比如表所示，为试验一种新药，在有关部门批准后，某医院把此药给100个病人服用．设药的治愈率为，且每位病人是否被治愈相互独立．
A B C（新药）
治愈率
患者占比
(1)记100个病人中恰有80人被治愈的概率为，求的最大值点；
(2)设用新药的患者占比为（药品减少的患者占比，均为新药增加占比的一半，，以（1）问中确定的作为的值，从已经用药的患者中随机抽取一名患者，求该患者痊愈的概率（结果用表示）
(3)按照市场预测，使用新药的患者占比能达到以上，不足的概率为，不低于且不超过的概率为，超过的概率为，某药企计划引入药品的生产线，但生产线运行的条数受患者占比的影响，关系如下表：
患者占比
最多投入生产线条数 1 2 3
若某条生产线运行，年利润为1000万，若某条生产线未运行，年亏损300万，欲使该药企生产药品的年总利润均值最大，应引入几条生产线？
7．（2023·潍坊·三模）某品牌中性笔研发部门从流水线上随机抽取100件产品，统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）

产品的性能指数在的适合儿童使用（简称A类产品），在的适合少年使用（简称B类产品），在的适合青年使用（简称C类产品），三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）．以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率．
(1)该公司为了解年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用和年销售量的数据做了初步处理，得到散点图（如图2）及一些统计量的值（如下表）．
16.30 24.87 0.41 1.64
表中．
根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程，求关于的回归方程；（取）
(2)求每件产品的平均销售利润；并用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润-营销费用）
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
8．(2025·广西·二模)在某校举办的学科文化节系列活动中，数学组老师设计了一个答题挑战活动供全校数学爱好者挑战．挑战题目由逻辑推理题和运算求解题两部分构成，用于考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力．现有名同学报名依次发起挑战，每位同学成功解答出逻辑推理题和运算求解题的概率均为，两题能否解出相互独立，每位同学解题过程相互独立，挑战规则如下：
①每位同学均先答逻辑推理题，逻辑推理题答对才能答运算求解题；
②记第位同学挑战为本次挑战活动的第轮，若第位同学在规定时间内未完成逻辑推理题，则认为本次活动的第轮挑战失败，该同学退出由第位同学挑战；
③若第位同学在规定时间内完成逻辑推理题，则该同学继续答运算求解题，若该同学在规定时间内未完成运算求解题，则也认为本次活动的第轮挑战失败，该同学退出，由第位同学挑战；若该同学在规定时间内完成了运算求解题，则挑战成功，本次答题挑战活动结束，后续同学不再进行答题挑战．
④挑战进行到第轮，则不管第位同学是否完成两题的解答，答题挑战活动结束．令随机变量表示这名同学在进行第轮挑战后结束挑战活动．
(1)求随机变量的分布列；
(2)若把挑战规则①去掉，换成规则⑤：挑战的同学先挑战逻辑推理题，若有同学在规定时间内完成逻辑推理题，以后挑战的同学不再挑战逻辑推理题，直接挑战运算求解题．令随机变量表示这名同学在第轮挑战后结束挑战活动．
（i）求随机变量的分布列；
（ii）证明：．
9．（2023·青岛·三模）甲、乙两人组团参加答题挑战赛，规定：每一轮甲、乙各答一道题，若两人都答对，该团队得1分；只有一人答对，该团队得0分；两人都答错，该团队得－1分．假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为，．
(1)记X表示该团队一轮答题的得分，求X的分布列及数学期望；
(2)假设该团队连续答题n轮，各轮答题相互独立．记表示“没有出现连续三轮每轮得1分”的概率，，求a，b，c；并证明：答题轮数越多（轮数不少于3），出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大．
10．(2026·广西南宁·一模)流行病学调查表明某种疾病S是由致病菌和致病菌共同引起的，且至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈.
(1)若有某种治疗方案M，有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案不能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.求使用治疗方案M痊愈的条件下，能杀灭致病菌的概率；
(2)若市面上仅有两款药物A和药物B对疾病S有疗效，且这两种药物的疗程各均为3天（假定药物使用时，均按疗程服用3天），超过3天无效时需换药进行治疗.若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈.已知药物A杀灭致病菌和致病菌的概率分别为、，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立.药物B杀灭致病菌和致病菌的概率均为.请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？
(3)已知某种药物C能治愈疾病S的概率为.设针对药物C的次临床试验中有连续3次或连续3次以上治愈疾病S的概率为，且每次治疗结果相互独立.求证：.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题08 概率与统计解答题型全析
题型01 求概率及随机变量的分布列与期望
【例1-1】(2025·广西·模拟)不透明的盒中有五个大小形状相同的小球．它们分别标有数字，0，1，1，2，现从中随机取出2个小球．
(1)求取出的2个小球上的数字不同的概率；
(2)记取出的2个小球上的数字之积为X，求X的分布列及数学期望．
【详解】（1）总取法数目，考虑全部的取出的2个小球上的数字不同的情况，
2个小球上的数字可能是，0或，1或，2或0，1或0，2或2，1
分别有1，2，1，2，1，2种情况，故所求概率.
（2）如果取出的2个小球上的数字包含0，此时取出的2个小球上的数字之积为0，
总的情况数有种；
如果取出的2个小球上的数字为，1，此时取出的2个小球上的数字之积为，总的情况数有2种；
如果取出的2个小球上的数字为， 2，此时取出的2个小球上的数字之积为，总的情况数有1种；
如果取出的2个小球上的数字为1， 2，此时取出的2个小球上的数字之积为2，总的情况数有2种；
如果取出的2个小球上的数字为，1，此时取出的2个小球上的数字之积为，总的情况数有1种；
而总的情况有种，
故，，，
，，
所以分布列为
0 2
0.4 0.2 0.1 0.2 0.1
数学期望.
【例1-2】(2025·湖南·模拟)错题重做是一种有效的学习策略，它可以帮助学生更好地理解和掌握知识.某班级数学老师利用DeepSeek设计了一个错题重做网页小游戏.并在班级发起错题重做挑战赛.甲和乙两人组成“郴队”参加挑战赛.每轮比赛中，甲和乙各抽取一道错题，他们做对与否互不影响，且各轮结果也互不影响.
(1)若甲每轮做对的概率为，乙每轮做对的概率为.求“郴队”在两轮比赛中做对2题的概率；
(2)若甲和乙第一轮做对的概率分别为，，第二轮做对的概率分别为，.求“郴队”在两轮比赛中做对3题的概率.
【详解】（1）设“甲第轮做对”为事件，“乙第轮做对”为事件，，
已知，，且与相互独立，各轮之间也相互独立.
“郴队”在两轮比赛中做对2题有三种情况：
情况一：甲做对2题，乙做对0题的概率为.
情况二：甲做对0题，乙做对2题的概率为.
情况三：甲做对1题，乙做对1题
甲做对1题的概率为
乙做对1题的概率为
所以甲做对0题，乙做对2题的概率为.
因为这三种情况互斥，所以“郴队”在两轮比赛中做对2题.
（2）设“甲第轮做对”为事件，“乙第轮做对”为事件，.
已知，，，，且各事件相互独立.
“郴队”在两轮比赛中做对3题有两种情况：
情况一：甲做对2题，乙做对1题
甲做对2题的概率为
乙做对1题的概率为
所以甲做对2题，乙做对1题的概率为.
情况二：甲做对1题，乙做对2题
甲做对1题的概率为
乙做对2题的概率为
所以甲做对1题，乙做对2题的概率为.
由于这两种情况互斥，所以“郴队”在两轮比赛中做对3题的概率为.
求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）.
【变式1-1】(2024·云南·二模)袋子中有大小相同的2个白球 3个黑球，每次从袋子中随机摸出一个球.
(1)若摸出的球不再放回，求在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率；
(2)若对摸出的球看完颜色后就放回，这样连续摸了3次，求3次摸球中摸到白球的次数的分布列和均值.
【详解】（1）方法一：
第一次摸到白球，第二次摸球时袋子中有1个白球，3个黑球，
所求概率.
方法二：
设“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”，则，,
所求概率；
（2）的所有可能取值为.
，，
，，
的分布列为：
0 1 2 3
,的均值.
【变式1-2】（2023·广州·三模）某学校开展“争做文明学生，共创文明城市”的创文知识问答竞赛活动，现从全校参与该活动的学生中随机抽取100名学生的竞赛成绩（单位：分），并以此为样本绘制了如下频率分布直方图．
(1)求该100名学生竞赛成绩的第80百分位数；
(2)学校拟对被抽取的100名学生进行奖励，奖励方案如下：用频率估计概率，得分小于或等于70的学生获得1次抽奖机会，得分高于70的学生获得2次抽奖机会．假定每次抽奖抽到价值10元的学习用品的概率为，抽到价值20元的学习用品的概率为．从这100名学生中任取一位，记该同学在抽奖活动中获得学习用品的价值总额为元，求的分布列和数学期望（用分数表示），并估算此次抽奖要准备的学习用品的价值总额．
【详解】（1）由频率分布直方图可得竞赛成绩位于区间的频率分别为：，
又， ，
所以第80百分位数大于，小于，
设第80百分位数为，则，所以，
所以该100名学生竞赛成绩的第80百分位数为；
（2）由已知的取值可能为：，
由已知从人中任取一名同学，该同学成绩不超过的概率为，
又每次抽奖抽到价值10元的学习用品的概率为，抽到价值20元的学习用品的概率为．
，
，
，
；
所以的分布列为：
所以，
所以此次抽奖要准备的学习用品的价值总额估计为元．
【变式1-3】(2024·云南昆明·模拟)某校举行知识竞赛，最后一个名额要在A，B两名同学中产生，测试方案如下：A，B两名学生各自从给定的4个问题中随机抽取3个问题作答，在这4个问题中，已知A能正确作答其中的3个，B能正确作答每个问题的概率都是，A，B两名同学作答问题相互独立．
(1)求A，B两名同学恰好共答对2个问题的概率；
(2)若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生，简要说明理由．
【详解】（1）设同学答对的题数为，则随机变量的所有可能取值为，.
则，；
设同学答对的题数为，则随机变量的所有可能取值为，，，.
，，
，.
所以，两名同学恰好共答对个问题的概率为.
（2）由（1）知，，；
而，.
因为，<．所以应该选择学生．
题型02 条件概率、全概率和贝叶斯公式
【例2-1】(2024·云南·模拟)材料一：英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数 统计推断等做出了重要贡献.贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有，.
材料二：马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习 自然语言处理 金融领域 天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即.
请根据以上材料，回答下列问题.
(1)已知德国电车市场中，有的车电池性能很好.公司出口的电动汽车，在德国汽车市场中占比，其中有的汽车电池性能很好.现有一名顾客在德国购买一辆电动汽车，已知他购买的汽车不是公司的，求该汽车电池性能很好的概率；（结果精确到0.001
(2)为迅速抢占市场，公司计划进行电动汽车推广活动.活动规则如下：有11个排成一行的格子，编号从左至右为，有一个小球在格子中运动，每次小球有的概率向左移动一格；有的概率向右移动一格，规定小球移动到编号为0或者10的格子时，小球不再移动，一轮游戏结束.若小球最终停在10号格子，则赢得6百欧元的购车代金券；若小球最终停留在0号格子，则客户获得一个纪念品.记为以下事件发生的概率：小球开始位于第个格子，且最终停留在第10个格子.一名顾客在一次游戏中，小球开始位于第5个格子，求他获得代金券的概率.
【详解】（1）记事件为一辆德国市场的电车性能很好，事件为一辆德国市场的车来自公司.由全概率公式知：
故：.
（2）记事件表示小球开始位于第个格子，且最终停留在第10个格子，
此时的概率为，则下一步小球向左或向右移动，
此时当小球向右移动，即可理解为小球始于，当小球向左移动，即可理解为小球始于，
即.由题知，
又，故，所以是以为首项，3为公比的等比数列，
即：，即：，，，，
故，，
则，故这名顾客获得代金券的概率为.
【例2-2】(2024·广西南宁·模拟)有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有4个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同.
(1)先等可能地选择一个盒子，再从此盒中摸出2个球．若摸出球的结果是一红一白，求这2个球出自1号盒子的概率；
(2)如果从两个盒子中摸出3个球，其中从1号盒子摸1个球，从2号盒子摸两个球，规定摸到红球得2分，摸到白球得1分，用表示这3个球的得分之和，求的分布列及数学期望.
【详解】（1）记“摸出球的结果是一红一白”为事件A，
“选择1号盒子”为事件，“选择2号盒子”为事件，
则，，，
由贝叶斯公式，若摸球的结果是一红一白，出自1号盒子的概率为.
（2）由题意，的可能值为3，4，5，6.
，，
，.
所以的分布列为
3 4 5 6
所以.
1.条件概率的使用方法和技巧：已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即．
2.全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题．什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式．
3贝叶斯公式的使用方法和技巧：
（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公式的意义是导致事件发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率．
（2）贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转关系，即，，之间的内在联系．
【变式2-1】 (2025·云南大理州·模拟)在2025年春晚《秧BOT》机器人节目中，有16个机器人参与表演.该人工智能机器人团队将传统艺术与现代科技完美融合，表演非物质文化遗产“转手绢”并完成复杂队形变换.这一创新表演不仅展示了我国人工智能技术的飞速发展，也体现了科技赋能传统文化的实践创新.某项研究表明，每个机器人独立完成转手绢动作成功的概率为0.8.在队形变换环节，机器人的表现存在差异：每个机器人若转手绢成功，则其队形变换成功的概率为0.9；若转手绢失败，则队形变换成功的概率为0.6.
(1)若从该团队中随机抽取3个机器人调查研究，记X为成功完成转手绢动作的机器人个数，求X的分布列及数学期望；
(2)若随机抽取一个机器人，已知其队形变换成功，求它转手绢成功的概率.
【详解】（1）由题意得，，其分布列为：，，1，2，3.，，，，X的分布列为：
X 0 1 2 3
P 0.008 0.096 0.384 0.512
数学期望为.
（2）设事件A为“一个机器人转手绢成功”，事件B为“一个机器人队形变换成功”.
根据题意，，
.
【变式2-2】(2023·云南·模拟)在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了100名学生，其中共有4名女生和3名男生的成绩在90分以上，从这7名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次，记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B．
(1)求，，
(2)若把抽取学生的方式更改为：从这7名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．
【详解】（1）方法一：由题意可得：，
“第一次抽到女生且第二次抽到男生”就是事件AB：
“第一次抽到男生且第二次抽到男生”就是事件，
从7个同学中每次不放回地随机抽取2人，试验的样本空间Ω包含个等可能的样本点，因为，，
所以，故．
方法二：，
“在第一次抽到女生的条件下，第二次抽到男生”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率，则，，故．
（2）被抽取的3人中女生人数X的取值为0，1，2，3，
，，，，
X的分布列：
X 0 1 2 3
P
X的数学期望.
【变式2-3】(2024·江苏南通·模拟)某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为，每局比赛，棋手胜加分；平局不得分；棋手负减分．当棋手总分为时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立.
(1)求两局后比赛终止的概率；
(2)在局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率；
(3)在挑战过程中，棋手每胜局，获奖千元．记局后比赛终止且棋手获奖万元的概率为，求的最大值．
【详解】（1）设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件，
设“两局后比赛终止”为事件，因为棋手与机器人比赛局，所以棋手可能得分或分比赛终止．
（i）当棋手得分为分，则局均负，即；
（ii）当棋手得分为分，则局先平后胜，即．因为、互斥，
所以．
所以两局后比赛终止的概率为．
（2）设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件．
因为，
．
所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为．
所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为．
（3）因为局获奖励万元，说明甲共胜局．
（i）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜，且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种，
（ii）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜，且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种，则“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率
，．
所以．
因为，所以，所以，
所以单调递减，
所以当时，取最大值为．
题型03超几何分布与二项分布及正态分布
【例3-1】亚运聚欢潮，璀璨共此时，2023年9月第19届亚洲运动会在杭州举办，来自亚洲45个国家和地区的1万多名运动员在这里团结交流、收获友谊，奋勇拼搏、超越自我，共同创造了亚洲体育新的辉煌和荣光，赢得了亚奥理事会大家庭和国际社会的广泛好评．亚运会圆满结束后，杭州某学校组织学生参加与本届亚运会有关的知识竞赛，为了解该校学生对本届亚运会有关赛事知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了600名学生进行调查，成绩全部分布在分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示．
(1)求频率分布直方图中的值．
(2)估计这600名学生成绩的中位数．
(3)由频率分布直方图可以认为，这次竞赛成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，试用正态分布知识解决下列问题：
①若这次竞赛共有2.8万名学生参加，试估计竞赛成绩超过86.8分的人数（结果精确到个位）；②现从所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过77.8分的人数为，求随机变量的期望．
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
【详解】（1）由频率分布直方图，得，
解得．
（2）由频率分布直方图，得前3组的频率为，
前4组的频率为，所以中位数恰好为80，
则估计这600名学生成绩的中位数为80．
（3）①由题意得，
所以，则，
所以，
故估计竞赛成绩超过86.8分的学生约有4442人．
②由①得，则，
所以随机变量，所以．
【例3-2】(2025·云南·一模)某工厂有甲、乙两条生产线生产同一种产品，产品分为一等品和二等品.为了比较两条生产线产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取件产品作为样本，检测后得到如下列联表：
生产线 一等品 二等品 总计
甲 60 40 100
乙 70 30 100
总计 130 70 200
(1)根据列联表，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为甲、乙两条生产线生产的产品质量有差异？（参考公式：，其中，参考数据：）
(2)从乙生产线的件样本产品中随机抽取件产品，设抽到一等品的件数为，求的分布列和数学期望.
(3)若一等品和二等品的售价分别为元/件和元/件，甲、乙两条生产线生产一件产品的成本分别为元/件和元/件.以样本中一等品的频率作为产品为一等品的概率，分别计算甲、乙两条生产线生产一件产品的利润的期望，并比较大小.
【详解】（1）由列联表可知.
代入公式可得，因为，
所以不能在犯错误的概率不超过的前提下认为甲、乙两条生产线生产的产品质量有差异.
（2）从乙生产线的件样本产品中随机抽取件产品，
抽到一等品的件数服从参数为的超几何分布.
，
，
，，.
所以的分布列为：
数学期望.
（3）甲生产线生产一件产品为一等品的概率为，生产一件产品为二等品的概率为，
甲生产线生产一件产品为一等品时，利润为元；为二等品时，利润为元，
乙生产线生产一件产品为一等品的概率为，生产一件产品为二等品的概率为，
乙生产线生产一件产品为一等品时，利润为元；为二等品时，利润为元.
从而甲生产线生产一件产品的利润为元，
乙生产线生产一件产品的利润为元，
因为，所以甲生产线生产一件产品的利润期望大于乙生产线生产一件产品的利润期望.
1.一般地，在含有件产品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，其中，且，称为超几何分布列．
2.一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，则．此时称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率．此时有．
3.解决正态分布问题有三个关键点：（1）对称轴标准差分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为特殊区间，从而求出所求概率．注意在标准正态分布下对称轴为．
【变式3-1】(2024·云南曲靖·二模)袋子中有大小相同的2个白球 3个黑球，每次从袋子中随机摸出一个球.
(1)若摸出的球不再放回，求在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率；
(2)若对摸出的球看完颜色后就放回，这样连续摸了3次，求3次摸球中摸到白球的次数的分布列和均值.
【详解】（1）角度一：第一次摸到白球，第二次摸球时袋子中有1个白球，3个黑球，
所求概率.
角度二：设“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”，则，,
所求概率；
（2）的所有可能取值为.
，
，
，
，
的分布列为：
0 1 2 3
,的均值.
【变式3-2】某企业响应国家“强芯固基”号召，为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金．为
了解研发资金的投入额x（单位：千万元）对年收入的附加额y（单位：千万元）的影响，对2017年至2023年研发资金的投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下：
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023
投入额 10 30 40 60 80 90 110
年收入的附加额 7．30
(1)求y关于x的线性回归方程；
(2)若年收入的附加额与投入额的比值大于，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3个，记X表示这三个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学期望．
参考数据：，，．
附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，．
【详解】（1）依题意，，，
，，
所以y关于x的线性回归方程为.
（2）由题意，7个年收入的附加额与投入额的比值大于0.1的有3个，
所以X的可能取值为0，1，2，3，
，，，，
X的分布列如下：
X 0 1 2 3
P
所以X的期望是.
【变式3-3】(2024·云南·模拟)目前,教师职业越来越受青睐,考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前,中小学教师资格考试分笔试和面试两部分,笔试通过后才能进入面试环节.已知某市年共有名考生参加了中小学教师资格考试的笔试,笔试成绩,只有笔试成绩高于分的学生才能进入面试环节.
(1)从报考中小学教师资格考试的考生中随机抽取人,求这人中至少有一人进入面试的概率;
(2)现有甲、乙、丙名学生进入了面试,且他们通过面试的概率分别为,设这名学生中通过面试的人数为,求随机变量的分布列和数学期望.
参考数据:若,则,,,,.
【详解】（1）记“至少有一人进入面试”为事件,由已知得:,
所以,则,
即这人中至少有一人进入面试的概率为.
（2）的可能取值为,
,
,
,
,
则随机变量的分布列为：
,.
题型04 统计图表及数字特征
【例4-1】遵义市举行“高一年级节数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的众数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）．
(2)按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求有1名或2名学生的成绩在内的概率．
(3)已知本次竞赛最终由三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空，每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束．已知每场比赛胜的概率为，胜的概率为，胜的概率为，每场比赛互不影响．请通过计算说明哪两人参加首场比赛获胜的概率最大．
【详解】（1）由频率分布直方图得，，解得．
初赛成绩的众数为，
估计初赛成绩的平均数为：．
所以，众数为，平均成绩为77.5.
（2）由（1）知，成绩在的频率之比为，
则在中随机抽取了人，记为，
在中随机抽取了人，记为，
从5人中随机抽取2人的样本空间为：，共10个样本点，
设事件“有1名或2名学生的成绩在内”，则，有7个样本点，
因此，所以有1名或2名学生的成绩在内的概率为．
【例4-2】（2024·黑龙江·模拟）为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：）记录下来并绘制出折线图：
(1)分别计算甲、乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值；
(2)轮胎的宽度在内，则称这个轮胎是标准轮胎.试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好
【详解】（1）记甲厂提供的个轮胎宽度的平均值为，乙厂提供的个轮胎宽度的平均值为，
，.
（2）甲厂个轮胎宽度在内的数据为，
则平均数为，
所以方差；
乙厂个轮胎宽度在内的数据为，
则平均数为，
所以方差；
因为甲、乙两厂生产的标准轮胎宽度的平均值一样，但乙厂的方差更小，
所有乙厂的轮胎相对更好.
1.解决频率分布直方图问题时要抓住3个要点．
（1）直方图中各小矩形的面积之和为1；
（2）直方图中纵轴表示，故每组样本的频率为组距
（3）直方图中每组样本的频数为频率总体个数．
2.用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数的方法．
（1）众数为频率分布直方图中最高矩形底边中点的横坐标；
（2）中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；
（3）平均数等于每个小矩形面积与小矩形底边中点横坐标之积的和．
【变式4-1】某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；
(2)成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分；
(3)已知落在内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差.
（附：设两组数据的样本量 样本平均数和样本方差分别为：.记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差）
【解析】（1）一至六组的频率分别为，
平均数.
由图可知，众数为.
以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为分，众数为分.
（2）前4组的频率之和为，
前5组的频率之和为，
第分位数落在第5组,设为x，则，解得.
“防溺水达人”的成绩至少为分.
（3）)的频率为，)的频率为，
所以的频率与的频率之比为
的频率与的频率之比为
设内的平均成绩和方差分别为，
依题意有，解得
，解得，
所以内的平均成绩为，方差为.
【变式4-2】某校高一年级有男生200人，女生100人.为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本为30的样本，并观测样本的指标价（单位：cm），计算得男生样本的身高平均数为169，方差为39.下表是抽取的女生样本的数据；
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高 155 158 156 157 160 161 159 162 169 163
记抽取的第i个女生的身高为（，2，3，…，10），样本平均数，方差.
参考数据：，，.
(1)若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在范围内的人数；
(2)用总样本的平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数和标准差，求，的值；
(3)如果女生样本数据在之外的数据称为离群值，试剔除离群值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差.
【解析】（1）因女生样本中，身高在范围内的占比为，
故该校高一女生身高在范围内的人数估计为；
（2）记总样本的平均数为，标准差为，
由题意，设男生样本（20人）的身高平均数为，方差为，
女生样本（10人）的身高平均数为，方差，
则，
，
故；
（3）因，，则，即，
约为，由样本数据知，，为离群值，
剔除169后，女生样本（9人）的身高平均数为：；
由可得，，
则剔除169后，女生样本（9人）的身高的方差为：.
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）某厂为提高工作效率，将全厂分为甲、乙2个车间，每个车间分别设有A，B，C，D，E5组．下表为该厂某日生产订单情况统计表，请据表解答下列问题：
A B C D E
甲车间 100 120 150 180 200
乙车间 50 120 200 150 180
(1)求甲、乙2个车间该日生产订单的平均数与方差，并根据方差判断哪一个车间工作效率比较稳定？
(2)设甲车间合格率为0.54，乙车间合格率为0.57，求甲、乙2个车间都不合格的概率；
(3)你认为哪个车间工作效率更高？请从平均数、方差、合格率的角度分析．
【详解】（1）甲车间该日生产订单的平均数为，
乙车间该日生产订单的平均数为，
甲车间该日生产订单的方差为，
乙车间该日生产订单的方差为，
因为甲车间该日生产订单的方差小于乙车间该日生产订单的方差，
所以甲车间工作效率比较稳定；
（2）甲、乙2个车间都不合格的概率为；
（3）平均数上甲车间的该日生产订单更大，方差更小，乙车间合格率更大，但是差别并不大，所以甲车间工作效率更高.
题型05 线性回归与非线性回归分析
【例5-1】红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数（个）和平均温度有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
参考数据
17713 714 27 81.3
(1)根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数（个）关于平均温度（）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)由（1）的判断结果及表中数据，求出关于的回归方程.（计算结果精确到0.1）
附：回归方程中
【详解】（1）由散点图可以判断，随温度升高，产卵数增长速度变快，符合指数函数模型的增长，
所以更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型.
（2）将两边同时取自然对数，可得，
由题中的数据可得，，
所以，则，
所以关于的线性回归方程为，故关于的回归方程为；
【例5-2】随着粤港澳大湾区建设、黄河流域生态保护和高质量发展等区域重大战略实施取得新成效，城乡融合和区域协调发展继续推进，2024年末全国常住人口城镇化率增长至67.00%.下图为2020-2024年年末常住人口城镇化率的折线图.
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合常住人口城镇化率与年份代码的关系.请建立关于的回归方程；
(2)从这5年中任取2年，记常住人口城镇化率超过65.00%的年数为，求的分布列与数学期望.附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法公式分别为：，
参考数据：，
【详解】（1）设年份代码的平均数为，则.
设常住人口城镇化率的平均数为，则.
因为，，所以.
所以.
所以关于的回归方程为.
（2）由图可知，第、、年常住人口城镇化率超过，
由题意可知，的取值可能为、、，
因为；；.
所以的分布列为：
所以的数学期望为.
线性回归分析的原理、方法和步骤：
（1）利用图表和数字特征可以对数据做简单的分析，但是用回归直线方程可以对数据的未来值进行预测．在选取数据观察的时候，要注意大量相对稳定的数据比不稳定的数据更有价值，近期的数据比过去久远的数据更有价值．
（2）判断两组数据是否具有线性相关关系的方法：散点图，相关系数．
（3）相关指数与相关系数在含有一个解释变量的线性回归模型中是等价的量，都是用来判断线性回归模型拟合效果好不好的量．
（4）利用换元法，可以将一元非线性回归转化为线性回归．
【变式5-1】经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表.
360
表中

(1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型并求出关于回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）
(2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有8个鱼卵，其中“死卵”有3个．现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望.
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
【详解】（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，所以适宜作为与之间的回归方程模型；令，则，
，关于的回归方程为.
（2）由题意，设随机挑选一批，取出两个鱼卵，其中“死卵”个数为，则的取值为，
设“所取两个鱼卵来自第批”，所以，
设“所取两个鱼卵有个”“死卵”，由全概率公式
，
，
，
所以取出“死卵”个数的分布列为：
0 1 2
.
所以取出“死卵”个数的数学期望.
【变式5-2】(2025·广西·模拟)现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素.某企业去年前八个月的物流成本（单位：万元）和企业利润的数据（单位：万元）如下表所示：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8
物流成本 83 83.5 80 86.5 89 84.5 79 86.5
利润 114 116 106 122 132 114 132
残差 0.2 0.6 1.8 -3 -1 -4.6
根据最小二乘法公式求得经验回归方程为.
(1)求的值，并利用已知的经验回归方程求出8月份对应的残差值；
(2)请先求出线性回归模型的决定系数（精确到0.0001），若根据非线性模型求得解释变量（物流成本）对于响应变量（利润）的决定系数，请说明以上两种模型哪种模型拟合效果更好.
参考公式及数据：，，.
【详解】（1）因为，，，
则，解得；
8月份对应的残差值.
（2）因为，
所以，
所以，
所以线性回归模型拟合程度更好.
【变式5-3】（2023·漳州·三模）年月日，由工业和信息化部、安徽省人民政府共同主办的第十七届“中国芯”集成电路产业大会在合肥成功举办．此次大会以“强芯固基以质为本”为主题，旨在培育壮大我国集成电路产业，夯实产业基础、营造良好产业生态.年，全国芯片研发单位相比年增加家，提交芯片数量增加个，均增长超过倍.某芯片研发单位用在“芯片”上研发费用占本单位总研发费用的百分比（）如表所示.
年份
年份代码
(1)根据表中的数据，作出相应的折线图；并结合相关数据，计算相关系数，并推断与线性相关程度；（已知：，则认为与线性相关很强；，则认为与线性相关一般；，则认为与线性相关较弱）.
(2)求出与的回归直线方程（保留一位小数）；
(3)请判断，若年用在“芯片”上研发费用不低于万元，则该单位年芯片研发的总费用预算为万元是否符合研发要求
附：相关数据：，，，.
相关计算公式：①相关系数；
在回归直线方程中，，.
【详解】（1）折线图如下：
由题意得：，，，
，
，与线性相关很强.
（2）由题意得：，，
关于的回归直线方程为.
（3）年对应的年份代码，则当时，，
预测年用在“芯片”上的研发费用约为（万元），
，符合研发要求.
题型06 独立性检验
【例6-1】某地区农户在推动农业机械化升级后，记录了某作物在接下来（）年的增长数据（万吨），如下表所示：
1 2 3 4 5
26 37 50 64 93
(1)经探究与之间具有相关关系，求关于的经验回归方程；
(2)为了检验，两款机械设备的投放对某农作物的增收情况，在，两地区分别选取了两块相同面积的试验田来记录某年的增收情况，得到的数据如下表：
地区 用M设备 用设备
A 30 20
B 15 35
根据小概率值的独立性检验，能否认为增收情况与使用，两种不同设备有关
参考公式：①，；
②（其中为样本容量）.
参考数据：
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【详解】（1）由题意得，，，
，，.，
故经验回归方程为.
（2）零假设为：增收情况与设备相互独立，即增收情况与使用不同设备无关联.
则.根据小概率值的独立性检验，不成立，
所以认为增收情况与使用，两种不同设备有关.
【例6-2】(2025·广西柳州·模拟)为了研究某校高二年级学生的性别与身高是否大于170cm的关联性，调查了该校所有高二年级的学生，整理得到如下列联表一；然后从该校所有高二年级学生中随机抽取100名学生，对性别和身高是否大于170cm进行统计，得到如下列联表二，其中女生占，身高低于170cm的学生占．
表一：
性别 身高 合计
低于170cm 不低于170cm
女 360 90 450
男 100 450 550
合计 460 540 1000
表二：
性别 身高 合计
低于170cm 不低于170cm
女 25
男
合计 100
(1)从表一中随机抽取一人，分别用表示抽到男生、女生，用表示抽到学生身高不低于170cm，计算，并判断该校高二年级学生的性别和身高是否有关联？
(2)请完成列联表二，并依据的独立性检验，能否认为该校高二年级学生的性别与身高有关联？对比第一问的结论，请分析两种判断方式的可靠性.为了得到准确的结论，请提出可行性建议；
(3)现在从表二中，抽取样本容量为10的样本，其中女生样本数据为：159、160、165、171（单位：cm），男生样本数据为：164、166、168、172、174、176（单位：cm），求出这个样本的第70百分位数，并从不大于第70百分位数的样本数据中抽取3人，记为抽到的女生人数，求的分布列及数学期望.附：其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【详解】（1）由表格中的数据可得，，
所以该中学高二年级学生的性别和身高有关联.
（2）由题意，女生人数为，身高低于170cm的学生人数为，
则列联表如下：
性别 身高 合计
低于170cm 不低于170cm
女 25 15 40
男 25 35 60
合计 50 50 100
零假设该中学高二年级学生的身高与性别无关，
，
依据的独立性检验，没有充分的证据说明不成立，即该中学高二年级学生的身高与性别无关，
第一问的结论是有关，是利用全体数据得出的结论，数据更全面，更精确，而第二问是抽取的部分样本，样本的抽取具有随机性，因此，可能会得出错误的结论，为了提高准确的结论，应该增加样本量或者男女生分层抽样.
（3）将样本数据从小到大排序为：，因为，所以这个样本的第70百分位数为，则不大于第70百分位数的样本数据中，共人，其中男生有3人，女生有4人，所以随机变量的可能取值有、、、，
，，，，
故的分布列如下表所示：
因此.
解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤：
(1)根据样本数据制成2×2列联表；
(2)根据公式计算；
(3)通过比较与临界值的大小关系来作统计推断.
【变式6-1】(2025·广西·模拟)随着近年来的生活质量提高，饮食结构改变，生活压力增加，中青年人也逐渐成为动脉粥样硬化性心血管疾病的高危人群．血脂异常是的重要危险因素之一，有效控制血脂异常，对防治具有重要意义．某公司计划研究一种新的降脂单抗药物，药物研发时，需要对志愿者进行药效实验．该公司统计了800名不同年龄的志愿者达到预期效果所需的疗程数，得到如下频数分布表：
1次 40 50 50 90
次 100 60 100 50
次 61 75 55 43
10次以上 7 7 5 7
把年龄在内的人称为青年，年龄在内的人称为中年，疗程数低于5次的为效果明显，不低于5次的为效果不明显．
(1)补全下面的列联表．
效果 年龄 合计
青年 中年
效果不明显
效果明显
合计
(2)判断以35岁为分界点，根据小概率值的独立性检验，能否认为治疗效果与年龄有关．
参考公式：．
附表：
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【详解】（1）由题意，效果不明显的青年有人，
效果明显的青年有，
效果不明显的中年有，
效果明显的中年有，
故列联表如下：
效果 年龄 合计
青年 中年
效果不明显
效果明显
合计
（2），
所以根据小概率值的独立性检验，能认为治疗效果与年龄有关．
【变式6-2】(2025·广西·模拟)2025年春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》掀起全民观影热潮，连续7天票房逆势攀升，单日最高突破8.6亿元，吸引部分家庭携老扶幼共赴影院，缔造中国影史春节档票房与观影人次双冠王的奇迹.某电影院为了解民众观影的喜欢程度，随机采访了180名观影人员，得到下表：
是否成年人 是否喜欢 合计
不喜欢 喜欢
未成年人 80 100
成年人 20 80
合计 180
(1)求的值；
(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年有关？
(3)用频率估计概率，现随机采访一名成年人和一名未成年人，设表示这两人中非常喜欢电影《哪吒之魔童闹海》的人数，求的分布列和数学期望.参考公式：
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
【详解】（1）由列联表可知，所以；
（2）零假设：喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年无关，根据表中数据得：
.
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据证明喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年有关；
（3）由题可知，随机采访一位未成年人，则该未成年人喜欢电影《哪吒之魔童闹海》的概率为，
随机采访一位成年人，则该成年人喜欢电影《哪吒之魔童闹海》的概率为.
的可能取值为，
，，，
所以X的分布列为
0 1 2
.
【变式6-3】(2025·重庆·模拟)随机询问80名不同职业的人在购买食品时是否看营养说明，得到如下调查结果：
职业 买食品时是否看营养说明 合计
不看营养说明 看营养说明
从事与医疗相关行业 12 28 40
从事与医疗无关行业 18 22 40
合计 30 50 80
(1)从这80名受访者中随机抽出1人，已知此人在购买食品时要看营养说明，求这名受访者从事与医疗无关行业的概率；
(2)依据小概率的独立性检验，能否推断两个群体在购买食品时是否看营养说明存在差异？
参考公式：
独立性检验中常用小概率值和相应临界值：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【详解】（1）用A表示事件“受访者在购买食品是要看营养说明”，
B表示事件“受访者从事医疗无关行业”，“已知此人在购买食品时要看营养说明，
求这名受访者从事与医疗无关行业”的概率就是在“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为，，，所以；
（2）零假设为：职业与看营养说明相互独立，即两个群体在购买食品时是否看营养说明无差异，
根据表中数据，计算得到，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
所以可以认为成立，即认为两个群体在购买食品时是否看营养说明无差异.
题型07 竞技比赛中的概率问题
【例7-1】(2025·广西·模拟)某所学校进行知识竞赛，最终甲乙同学进入决赛，争夺冠军，决赛一共有文化 科技 体育三个项目，比赛采取每个项目中回答对问题多的那个同学在该项目获胜并且获得20分，没获胜的同学得0分，三个项目比赛结束，总得分高的同学获得冠军，已知甲同学每个项目获胜的概率分别为，比赛没有平局，且每个项目比赛相互独立.
(1)求乙同学总得分为40分的概率；
(2)用表示甲同学的总得分，求的分布列与期望；
(3)判断甲乙两名同学谁获得冠军的概率大.
【详解】（1）设三个项目乙获胜的事件分别为，乙同学总得分40分记为事件，
则，且
.
（2）由题可知
,，
，，
甲总得分的分布列：
0 20 40 60
.
（3）甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，
因为，所以甲获胜概率更大.
【例7-2】2025年多哈世界乒乓球锦标赛，中国队组合王楚钦 孙颖莎以战胜日本队组合吉村真晴 大藤沙月，连续第三次夺得世乒赛混双冠军.假设2026年的一次乒乓球比赛中，S组合与组合相遇.每局比赛必须决出胜负，已知每局比赛组合获胜的概率为，每局比赛胜负结果相互独立，规定先达到净胜3局者获得比赛胜利并结束比赛（规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局）.
(1)分别求恰好3局比赛结束时组合获得比赛胜利的概率，恰好5局比赛结束时组合获得比赛胜利的概率；
(2)若规定比赛总局数达到7局时无论是否分出胜负都直接结束比赛，求结束比赛时双方对战的总局数的分布列；
(3)若比赛局数不限，求组合获得比赛胜利的概率.
【详解】（1）由题意，每局比赛组合获胜的概率为，S组合获胜的概率为，
恰好3局结束，则组合连赢三局，所以，
恰好5局结束，则组合前3局中赢2局，输1局，且后2局均获胜，
所以；
（2）由题意可能的取值为3，5，7，
；；
；分布列为
3 5 7
（3）设事件表示“比赛局数不限，D组合获得比赛胜利”.
设比赛过程中，D组合与S组合累计所赢局数的差为，
表示时最终D组合获得比赛胜利的概率，其中.
由题知，，，.
根据全概率公式，则有，
于是，
则构成了以为首项，的等比数列，
则，，
，，
，；
累加得，，
解得，所以，
故若比赛局数不限，D组合获得比赛胜利的概率为.
1.与体育比赛有关的问题中最常见的就是输赢问题，经常涉及“多人淘汰制问题”“ 三局两胜制问题”“ 五局三胜制问题”“ 七局四胜制问题”，解决这些问题的关键是认识“三局两胜制”“ 五局三胜制”等所进行的场数，赢了几场与第几场赢，用互斥事件分类，分析事件的独立性，用分步乘法计数原理计算概率，在分类时要注意“不重不漏” ．
2.在体育比赛问题中，比赛何时结束也是经常要考虑的问题，由于比赛赛制已经确定，而比赛的平均场次不确定，需要对比赛的平均场次进行确定，常用的方法就是求以场数为随机变量的数学期望，然后比较大小．
4、有些比赛会采取积分制，考查得分的分布列与数学期望是常考题型，解题的关键是辨别它的概率模型，常见的概率分布模型有：两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布，要注意分布是相互独立的，超几何分布不是，值得注意的是，在比赛中往往是伪二项分布，有的只是局部二项分布．
【变式7-1】(2025·北京·模拟)为丰富校园文化生活，学校举办了乒乓球比赛．决赛采用三局二胜制的比赛规则（先赢得2局的队伍获胜并结束比赛）.已知甲、乙两队进入决赛，且根据以往比赛统计得知，在每局比赛中甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响．
(1)若 ，求乙队以2：0获胜的概率；
(2)若 ，比赛结束时甲队获胜的局数记为X，求X的期望；
(3)若比赛打满3局的概率记为，请直接写出的最大值及此时p的值，并解释此时的实际意义.
【详解】（1）乙队以2:0获胜意味着乙队在前两局中均获胜.乙队每局获胜的概率为 ，因此乙队以2:0获胜的概率为：代入 ，得
（2）比赛结束时甲队获胜的局数 的可能取值为0、1或2.计算各情况的概率如下：
：甲队一局未胜，即乙队以2:0获胜，概率为 .
：甲队仅胜1局，乙队胜2局，可能的情况有两种（甲胜第1局或第2局），
概率为
：甲队胜2局，可能的情况有两种（甲胜前2局或前2局胜1局），
概率为：
因此， 的期望为：
代入 ，得化简后得 .
（3）比赛打满3局的概率 表示比赛进行到第3局才分出胜负.
这种情况发生当且仅当前两局双方各胜1局，因此：
将 视为关于 的函数，其最大值出现在 处，最大值为
实际意义是当甲、乙两队实力相当时，比赛打满3局的概率最大.
【变式7-2】甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
【详解】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，
所以，.
（2）设，依题可知，，则
，
即，
构造等比数列，设，解得，则，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，
即．
（3）因为，，
所以当时，，
故．
【变式7-3】(2025·云南昆明·一模)在“2025年全球AI创新峰会”中，参与“环境监测问题解决方案”代码编写比赛组的科技团队A和B通过实时编写代码，争夺“最佳环测算法团队”称号．规定每轮比赛限时编写一个算法模块，评委会通过对算法模块测试，评定优胜方，优胜方记1分，另一方记0分，无平局；当两团队累积得分的分差为3分时，比赛结束，累积得分高的团队获“最佳环测算法团队”称号．若每轮比赛中，A团队获优胜的概率为，且每轮比赛结果相互独立．
(1)当比赛结束时恰好进行了5轮，且A团队获“最佳环测算法团队”称号的概率；
(2)（i）若比赛最多进行6轮，求比赛结束时轮数的分布列及数学期望；
（ii）若比赛轮数不限制，求A团队获“最佳环测算法团队”称号的概率．
【详解】（1）设事件“第轮比赛团队获优胜”，则事件“第轮比赛团队获优胜”；
由题，
事件表示“当比赛结束时恰好进行了5轮，且团队获“最佳环测算法团队’称号”，
．
（2）（i）由题，的所有可能取值为3，5，6．
，
事件表示“当比赛结束时恰好进行了5轮，且团队获“最佳环测算法团队’称号”，
，
．
所以的分布列为
3 5 6
所以.
（ii）设事件表示“比赛轮数不限制，A团队获“最佳环测算法团队’称号”．
设比赛过程中，A与团队累积得分的差为，
表示时最终团队获“最佳环测算法团队”称号的概率，其中．
由题知，，，．
根据全概率公式，则有，．
于是，
迭代得，
则，，，，；
累加得，，解得，
，即，
故若比赛轮数不限制，A团队获“最佳环测算法团队”称号的概率为．
题型08 概率统计在决策问题中的应用
【例8-1】(2025·吉林·模拟)为加深青少年对党的历史、党的知识、党的理论和路线方针的认识，激发爱党爱国热情，坚定走新时代中国特色社会主义道路的信心，某校举办了党史知识挑战赛．该挑战赛共分关，规则如下：两人一组，首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者n关都挑战成功，挑战比赛结束．已知甲乙两名同学一组参加挑战赛，若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响．
(1)已知甲先上场，，，，
①求挑战没有一关成功的概率；
②设X为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求；
(2)如果n关都挑战成功，那么比赛挑战成功．试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，并说明理由.
【详解】（1）①记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为，则.
②依题可知，的可能取值为，，，则由①知，
，，
∴的分布列为
∴.
（2）设甲先出场成功概率为，乙先出场成功概率为.
则
，
，
，
，.
因此，甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同.
【例8-2】某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，比赛成绩不少于5分的概率.
（2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，
若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，
，
，，应该由甲参加第一阶段比赛.
(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，
，，，，
记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，同理
，
因为，则，，则，
应该由甲参加第一阶段比赛.
求解决策型问题的求解流程为：
第一步：先确定函数关系式；
第二步：列出分布列，求出期望；
第三步：根据期望进行最后的决策．
【变式8-1】(2025·云南·模拟)甲、乙两选手进行象棋比赛，假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．
(1)若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率；
(2)如果比赛采用五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）进行比赛，求比赛的局数X的分布列和期望；
(3)如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择，请问对于甲选手来说，该如何选择比赛赛制对自己更有利，请说明理由，由此你能得出什么结论．
【详解】（1）设事件“比赛采用三局两胜制甲胜”，则．
（2）比赛的局数为X的所有可能取值为3，4，5，
可得，，
．
所以随机变量的分布列为：
X 3 4 5
P
所以期望为．
（3）采用三局二胜制进行比赛甲获胜的概率，
采用五局三胜制进行比赛甲获胜的概率：．
令，
因为，所以．
当时，；当时，；当时，．
所以当时，选择三局两胜制对甲有利；当时，选择五局三胜对甲有利；
当时，选择五局三胜制和三局两胜制对甲没有影响．
由此可以得出，比赛局数越多，对实力较强者越有利.
【变式8-2】 (2025·江苏南京·一模)甲、乙两人组队准备参加一项挑战比赛，该挑战比赛共分关，规则如下：首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者关都挑战成功，挑战比赛结束.若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响.
(1)已知甲先上场，，
①求挑战没有一关成功的概率；
②设为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求；
(2)如果关都挑战成功，那么比赛挑战成功.试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，并说明理由.
【详解】（1）①记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为，则.
②依题可知，的可能取值为，则
，所以.
（2）设甲先出场比赛挑战成功的概率为，乙先出场比赛挑战成功的概率为，
则
由，得
因此，甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同.
【变式8-3】(2025·云南·模拟)某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三个人通过初赛，进入决赛.已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为.
(1)决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束.假设，且每局比赛相互独立.
（ⅰ）求比赛结束时，三人总积分为2分的概率；
（ⅱ）求比赛结束时，三人总积分的分布列与期望.
(2)若，假设乙获得了指定首次比赛选手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略.
【详解】（1）（ⅰ）由题意可知，两场比赛后结束，即甲或乙连续获得两场胜利，有两种情况，；
（ⅱ）由题意可知，，所以，，，
所以三人总积分的分布列为
2 3 4
0.6 0.16 0.24
所以.
（2）设事件为“第一局乙对丙最终乙获胜”，为“第一局乙对甲最终乙获胜”，
为“第一局甲对丙而最终乙获胜”，其中包含三种情况，
第一，第一局乙获胜，第二局乙获胜；
第二，第一局乙获胜，第二局甲获胜，第三局丙获胜，第四局乙获胜；
第三，第一局丙获胜，第二局甲获胜，第三局乙获胜，第四局乙获胜，
故；
同理可得；
；
显然，故，
，
由于，故，
所以，故乙的最优指定策略是让乙和甲打第一局.
题型09 概率统计与数列结合
【例9-1】甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
【详解】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，
所以，.
（2）设，依题可知，，则，
即，
构造等比数列，设，解得，则，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，
即．
（3）因为，，
所以当时，，
故．
【例9-2】(2025·广西河池·三模)现有编号为1，2，3， ，（，）的名同学进行闯关游戏，闯关游戏有两种方式可以选择，游戏规则如下.
方式一：①该游戏共设置第一关与第二关，首先由编号为1的同学闯第一关；
②若编号为的同学第一关闯关成功，则该同学继续闯第二关，若编号为的同学第一关闯关未成功，则由编号为的同学接替闯第一关；
③若编号为的同学第二关闯关成功，则闯关游戏结束，若编号为的同学第二关闯关未成功，则由编号为的同学接替闯第二关；
④若闯关轮到编号为的同学，无论编号为的同学闯关成功与否，闯关游戏均结束.
方式二：①该游戏共设置第一关与第二关，首先由编号为1的同学闯第一关；
②若编号为的同学第一关闯关成功，则该同学继续闯第二关，若编号为的同学第一关闯关未成功，则由编号为的同学接替闯第一关；
③若编号为的同学第二关闯关成功，则闯关游戏结束，若编号为的同学第二关闯关未成功，则由编号为的同学接替闯关且从第一关重新开始闯关；
④若闯关轮到编号为的同学，无论编号为的同学闯关成功与否，闯关游戏均结束.
假设每位同学闯第一关成功的概率均为，闯第二关成功的概率均为，且每位同学闯关成功与否相互独立.
(1)若均选择方式一闯关，当闯关游戏结束时，求闯关人数不超过2的概率.
(2)设事件表示“所有同学均按方式一闯关，恰好由编号为3的同学闯关后闯关游戏结束”，设事件表示“所有同学均按方式二闯关，恰好由编号为3的同学闯关后闯关游戏结束”，分别求出事件和事件的概率，比较所求概率的大小，并判断应选择哪种方式闯关更合理.
(3)若均选择方式二闯关，记闯关游戏结束时闯关的总人数为，求的数学期望.
【详解】（1）若选择方式一，则,,
所以闯关人数不超过2的概率为.
（2）根据题意,
若选择方式二，则每位同学闯关成功的概率为，闯关不成功的概率为，
则,,所以选择方式一闯关更合理.
（3）由（2）可知，,则，
设，则，
两式作差得：，
所以，则.
1.基本原理
（1）转移概率：对于有限状态集合，定义：为从状态到状态的转移概率.
（2）马尔可夫链：若，即未来状态只受当前状态的影响，与之前的无关.
无记忆性：下一个状态只与当前状态有关，与更前面的状态没有关系
高中阶段考察的马尔科夫链，其实很简单，找到初始状态和递推关系即可
（3）完备事件组：如果样本空间中一组事件组符合下列两个条件：
①；②.
则称是的一个完备事件组，也称是的一个分割.
（4）全概率公式： 设是一个完备事件组，则有
（5）一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻时，位于点，下一个时刻，它将以概率或者（）向左或者向右平移一个单位. 若记状态表示：在时刻该点位于位置，那么由全概率公式可得：
另一方面，由于，代入上式可得：.
进一步，我们假设在与处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.
进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为，原地不动，其概率为，向右平移一个单位，其概率为，那么根据全概率公式可得：
2.解题技巧
①找到当下状态下的“前一次事件”的所有可能性
②结合对应概率写出“前一次”状态下所有可能性的数列递推关系（一阶递推数列或二阶递推数列）
③利用数列递推关系求出数列的通项公式
【变式9-1】(2025·广西柳州·模拟)某购物平台为了吸引更多的顾客在线购物，推出了和两个套餐服务，并在购物平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择和两个套餐之一，下图是该购物平台7天销售优惠券的情况（单位：千张）的折线图：
(1)由折线图可看出，可用回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
(2)假设每位顾客选择套餐的概率为，选择套餐的概率为，其中包含一张优惠券，套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了张优惠券，设其概率为，求；
(3)记（2）中所得概率的值构成数列，求数列的最值．
参考数据：，，，
参考公式：相关系数
【详解】（1）由折线图中数据和附注中参考数据得，，，
，所以相关系数，
因为与的相关系数近似为0.9632，说明与的相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.
（2）依题意得，，其中，，
则，
所以是以首项为，公比为的等比数列，
故成立，
则有，所以，
又，则.
（3）当为偶数时，，单调递减，最大值为，，
当为奇数时，，单调递增，最小值为，，
所以数列的最大值为，最小值为．
【变式9-2】（2023·杭州·二模）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为，赌博过程如下图的数轴所示．
当赌徒手中有n元（，）时，最终输光的概率为，请回答下列问题：
(1)请直接写出与的数值．
(2)证明是一个等差数列，并写出公差d．
(3)当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义．
【详解】（1）当时，赌徒已经输光了，因此.
当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率.
（2）记M：赌徒有n元最后输光的事件，N：赌徒有n元上一场赢的事件,
,即，
所以，所以是一个等差数列，
设，则，
累加得，故，得，
（3），由得,即,
当时，，
当时，，
当时，，
因此可知久赌无赢家，即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会的概率输光．
【变式9-3】(2025·西南名校联盟·模拟)一只猫和一只老鼠在两个房间内游走.每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动. 猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5，已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第n分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，.
(1)求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率；
(2)求证：，均为等比数列；
(3)在第几分钟时，老鼠在0号房间的概率最大？
【详解】（1）在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间，
设为第1分钟时，猫在号房间，老鼠在号房间，
则，，
设第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为，则，
所以第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率0.5.
（2）依题意，，，
当时，猫在第分钟时位于0号房间包含两种情况：
上一分钟在0号房间，继续保持在0号房间的概率为；
上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为，
由全概率公式，得，则，
而，因此数列是首项为，公比为的等比数列，
，满足上式也满足题意，则，
老鼠第分钟在0号房间包含3种情况：
上一分钟猫和老鼠都在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为，
上一分钟猫在0号房间，老鼠在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为，
上一分钟猫在1号房间，老鼠在0号房间，老鼠仍在0号房间的概率为，
由全概率公式，得，
即，则，
即，而，
因此数列是首为，公比为的等比数列，
，而满足上式也满足题意，则，
又，
所以为等比数列.
（3）由（2）知，显然不是其最大值，设，
当为奇数时，，当且仅当时取等号，最大值为0；
当为偶数且时，，当时，，最大值为，
则的最大值为，所以在第2分钟时，老鼠在0号房间的概率最大.
题型10 概率统计与导数结合
【例10-1】（2024·四川成都·模拟）某学校高三年级组织举办了知识竞赛．选拔赛阶段采用逐一答题的方式，每位选手最多有5次答题机会，累计答对3道题则进入初赛，累计答错3道题则被淘汰．初赛阶段参赛者每两人一组进行比赛，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等，得分规则如下：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分，选手抢到试题但没有回答正确得0分，对方选手得5分，2道试题抢答完毕后得分少者被淘汰，得分多者进入决赛（若分数相同，则同时进入决赛）
(1)已知选拔赛中选手甲答对每道试题的概率为，且回答每道试题是否正确相互独立，求甲进入初赛的概率；
(2)已知初赛中选手甲答对每道试题的概率为，对手答对每道试题的概率为，两名选手回答每道试题是否正确相互独立，求初赛中甲的得分的分布列与期望；
(3)进入决赛后，每位选手回答4道试题，至少答对3道试题胜出，否则被淘汰，已知选手甲进入决赛，且决赛中前3道试题每道试题被答对的概率都为，若甲4道试题全对的概率为，求甲能胜出的概率的最小值.
【详解】（1）设为甲的答题数，则可能取，
，
，
，
所以甲进入初赛的概率为．
（2）由题知，可能取，
则，
，
，
，
，
所以的分布列为：
0 5 10 15 20
所以．
（3）因为甲4道试题全对的概率为，所以第4道试题答对的概率为，
所以甲能胜出的概率，即，
因为，
因为，所以当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，所以．
【例10-2】（2025·重庆·模拟）一游戏规则如下：一个质点在数轴上运动，从原点出发，每次向左或者向右移动一个单位，共移动了次.
(1)已知质点每次向右移动的概率为.
①当 时，求质点最终回到原点的概率；
②规定质点在运动过程中，只要出现在原点左侧，游戏就结束，否则游戏就继续、直到移动了次，分别求出当和时质点最终落在原点右侧的概率并比较它们的大小
(2)现在规定游戏分为两个阶段：第一阶段，质点每次向右移动的概率为、共移动了3次、若质点最终落在了原点左侧，则结束游戏，且最终得分为0分. 若最终落在了原点右侧、则通过第一阶段，并进入第二阶段：质点重新回到原点，每次向右移动的概率为，并再次移动了3次，若质点最终落在了原点左侧，则最终得分也为0分； 若最终落在了原点右侧，则最终得分为质点位于数轴上所在位置对应的实数.
①请用含的式子表示该游戏得分的数学期望；
②若 则当取何值的时候，该游戏得分的期望值最大？
【详解】（1）①质点最终回到原点的情况为:向右走3次，向左走3次，
②设和时质点最终落在原点右侧的概率分别为，情况为:第一次必然向右，后两次至少有一次向右，则.
包含2种情况:
(i)前2次均向右，后三次至少有一次向右；
(ii)第一次向右，第二次向左，第三次向右，最后两次至少有1次向右，
，，则.
（2）①第一阶段通过的情况为3次均向右或者有2次向右，1次向左，
其概率为: ，
设为最终得分，则可以为0，1，3，
则其数学期望为；
②若，则，
令，则
所以在上单调递增，在上单调递减，
即当时，该游戏得分的期望值最大.
求解此类问题要充分理解题意．根据题中已知条件，联系所学知识对已知条件进行转化．求解时有时需要把所求概率转化为关于某一变量的函数，然后利用函数、导数知识进行求解.
【变式10-1】（2025·陕西渭南·一模）第十五届全国运动会将于2025年在广东、香港、澳门三地举办．为了普及全运知识．某中学举办了一次全运知识闯关比赛．比赛分为初赛与复赛．初赛胜利后才能进入复赛．初赛规定：三人组队参赛．每次只派一个人．且每人只派一次：如果一个人闯关失败．再派下一个人重新闯关：三人中只要有人闯关成功即视作初赛胜利．无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参加初赛．他们各自闯关成功的概率分别为．假定互不相等．且每人能否闯关成功相互独立．
(1)若计划依次派甲、乙、丙进行初赛闯关．．求该小组初赛胜利的概率：
(2)已知．现有两种初赛人员派出方案：
方案一：依次派出甲乙丙：
方案二：依次派出丙乙甲
设方案一和方案二派出人员数目分别为随机变量．求．并比较它们的大小；
(3)初赛胜利小组的三名成员都可以进入复赛．复赛规定：单人参赛．每个人回答三道题．全部答对获得一等奖：答对两道题获得二等奖：答对一道题获得三等奖：全部答错不获奖．已知某学生进入了复赛．该学生在复赛中前两道题答对的概率均为．第三道题答对的概率为．若该学生获得一等奖的概率为，设该学生获得二等奖的概率为．求的最小值．
【详解】（1）设事件A表示该小组获胜．则．
所以该小组初赛胜利的概率为．
（2）的可能取值为1， 2，3．
则．
此时
的可能取值为1，2，3．
则．
此时．
所以
因为．所以．所以．
（3）由题意可得，．
则．
令．则．令．
所以当时，，为减函数．
当时．，为增函数．所以．
所以的最小值为．
【变式10-2】（2025·湖南长沙·模拟）湖南某高中在校园艺术节举办形式多样的活动.
(1)抽奖活动规则如下：在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片，其中3张写有字母，3张写有字母，2张写有字母，抽奖学生每次不放回从箱中随机取出1张卡片，若抽到写有的卡片，则再抽1次，直至取到写有或卡片为止.抽到卡片送精美校园明信片一张，抽到卡片送文学社设计的精美信封一个.甲同学想要明信片，请问甲同学取到写有卡片的概率.
(2)领福袋活动规则如下：每位同学都可以去文化长廊领取自己最喜欢的福袋，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，长廊上一共悬挂个福袋（每个福袋的大小不同），福袋出现在各个位置上的概率相等，乙同学想要摘取最大的福袋，他准备采用如下策略：不摘前个福袋，自第个开始，只要发现比他前面见过的福袋都大时，就摘这个福袋，否则就摘最后一个.设，记乙同学摘到最大的福袋概率为.
①若，求；
②当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值.（取）
【详解】（1）8张完全相同的卡片，3张写有字母，3张写有字母，2张写有字母，
由抽取规则可知，甲同学取到写有卡片的概率为
（2）①这4个福袋的位置从第1个到第4个排序，有种情况，
要摘到最大的福袋，有以下两种情况：
最大的福袋是第3个，其他的福袋随意在哪个位置，有种情况，
最大的福袋是最后1个，第二大的福袋是第1个或第2个，其他的福袋随意在哪个位置，有种情况，
故所求概率为；
②记事件表示最大的福袋被摘到，事件表示最大的福袋在福袋中排在第个，
因为最大的福袋出现在各个位置上的概率相等，所以，
以给定所在位置的序号作为条件，，
当时，最大的福袋在前个福袋之中，不会被摘到，此时，
当时，最大的福袋被摘到，当且仅当前个福袋中的最大的一个在前个福袋中时，
所以，
由全概率公式知，
令函数，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以当时，取得最大值，最大值为，此时，
即的最大值为，此时的值为.
【变式10-3】(2024·浙江·模拟)台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：令，数据经过初步处理得：

44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06
现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数.
(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好
(2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少
(3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足.在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）.
附：①相关系数，回归直线中公式分别为，；②参考数据：，，，.
【详解】（1）解：设模型①和②的相关系数分别为，.
由题意可得：，
.
所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好.
（2）因为，
又由，，得，
所以，即回归方程为.当时，，
因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）.
（3）净利润为，，
令，所以.
可得在上为增函数，在上为减函数.
所以，
由题意得：，即，，
即该公司年净利润大于1000（百万元）的概率为0.3.
1．(2025·广西·模拟)在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据：
喜欢 不喜欢
男性 40 10
女性 25 25
(1)依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？
(2)从这100名样本观众中任选1名，设事件“选到的观众是男性”，事件“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较和的大小，并解释其意义.
，
【详解】（1）补全列联表如下：
喜欢 不喜欢 合计
男性 40 10 50
女性 25 25 50
合计 65 35 100
零假设：对机器人表演节目的喜欢与性别无关联，则，
依据的独立性检验，我们推断不成立，即认为对机器人表演节目的喜欢与性别有关联；
（2）由题意可知，，，所以，
其意义为该样本中男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的概率比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢概率大；或者男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的人数比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢多等等.
2．(2023·云南昆明·模拟)已知某排球特色学校的校排球队来自高一、高二、高三三个年级的学生人数分别为7人、6人、2人．
(1)若从该校队随机抽取3人拍宣传海报，求抽取的3人中恰有1人来自高三年级的概率．
(2)现该校的排球教练对“发球、垫球、扣球”这3个动作技术进行训练，且在训练阶段进行了多轮测试，规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．已知在某一轮测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为，乙同学每个动作达到“优秀”的概率均为，且每位同学的每个动作互不影响，甲、乙两人的测试结果互不影响．记X为甲、乙二人在该轮测试结果为“优秀”的人数，求X的分布列和数学期望．
【详解】（1）设事件A为“抽取的3人中恰有1人来自高三年级”，则有
（2）设甲同学在一轮测试中3个动作“优秀”的个数为Y，则有；
设乙同学在一轮测试中3个动作“优秀”的个数为Z，则有；
所以甲同学在一轮测试结果为优秀的概率
，
乙同学在一轮测试结果为优秀的概率．
由题意，得X可取0，1，2；
则有；；
．所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
因此X的数学期望．
3．某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A、B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”、两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和.每次发送和接收相互独立.
(1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率；
(2)记发射器共发射“0指向”光子个数为，求的分布列；
(3)求检测器检测到两个“1指向”光子的概率.
【详解】（1）设事件“发射器第一次发送“0指向”的光子”，
事件“第二次发送“1指向”的光子”，则，，
由条件概率公式，；
（2）由题意：，1，2.
，，，
所以的分布列为：
0 1 2
（3）设事件“检测器检测到两个“1指向”光子”，
事件“发射器发射了个“1指向”光子”，
由（2）知：，，，
则，，，
由全概率公式，得：
.
4． (2024·广西南宁·模拟)某校为了丰富学生课余生活，体育节组织定点投篮比赛．为了解学生喜欢篮球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：
喜欢篮球 不喜欢篮球 合计
男生 40
女生 30
合计
(1)根据所给数据完成上表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该校学生喜欢篮球与性别有关？
(2)篮球指导老师从喜欢篮球的学生中抽取了2名男生和1名女生进行投篮示范．已知这两名男生投进的概率均为，这名女生投进的概率为，每人投篮一次，假设各人投篮相互独立，求3人投进总次数的分布列和数学期望．
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【详解】（1）依题意，列联表如下：
喜欢篮球 不喜欢篮球 合计
男生 60 40 100
女生 30 70 100
合计 90 110 200
零假设:该校学生喜欢篮球与性别无关，
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为该校学生喜欢篮球与性别有关.
（2）依题意，的可能值为0，1，2，3，
，，
，，
所以的分布列为：
数学期望.
5．(2025·云南昆明·模拟)在一个不透明的袋子里初始装有红球和白球各一个，每次有放回地从中任取一个，连续取两次，以上过程记为一轮．如果每一轮两次取到的都是红球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则往袋子里再放入一个白球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．
(1)某人进行该抽球实验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球．记其进行抽球试验的轮次数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)为验证抽球实验成功的概率不超过，有1000名志愿者独立地进行该抽球实验，用t表示成功时抽球的轮次数，y表示对应的人数，以下是部分统计数据：
t 1 2 3 4 5
y 232 98 60 40 20
求y关于t的回归方程，并预测当时y的值；
(3)若在前n轮就成功的概率为，证明：．
附：回归方程系数：；
参考数据：（其中，）
【详解】（1）由题意知，X的取值可能为1，2，3，
，，
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
则X的数学期望．
（2）令，则．由题意知，，，．则，
则，则有，
故回归方程为．当时，，故预测y的值约为10.8．
（3）由题意知在前n轮就成功的概率为
．
则在前n轮没有成功的概率为
，即，
所以．故．
6．(2025·黑龙江·模拟)现市场上治疗某种疾病的药品有两种，其治愈率与患者占比如表所示，为试验一种新药，在有关部门批准后，某医院把此药给100个病人服用．设药的治愈率为，且每位病人是否被治愈相互独立．
A B C（新药）
治愈率
患者占比
(1)记100个病人中恰有80人被治愈的概率为，求的最大值点；
(2)设用新药的患者占比为（药品减少的患者占比，均为新药增加占比的一半，，以（1）问中确定的作为的值，从已经用药的患者中随机抽取一名患者，求该患者痊愈的概率（结果用表示）
(3)按照市场预测，使用新药的患者占比能达到以上，不足的概率为，不低于且不超过的概率为，超过的概率为，某药企计划引入药品的生产线，但生产线运行的条数受患者占比的影响，关系如下表：
患者占比
最多投入生产线条数 1 2 3
若某条生产线运行，年利润为1000万，若某条生产线未运行，年亏损300万，欲使该药企生产药品的年总利润均值最大，应引入几条生产线？
【详解】（1）100个病人中恰好有80人被治愈的概率为，
则，
令，得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以的最大值点为.
（2）设事件“从患者人群中抽一名痊愈者”，事件“该患者服用药品治疗”，
事件“该患者服用药品治疗”，事件“该患者服用药品治疗”，
则
因此：
所以.
（3）设随机变量为生产药品产生的年利润
①若投入1条生产线，由于服用药品的患者的占比总大于，所以一条生产线总能运行，
此时对应的年利润
②若投入2条生产线，当，1条生产线运行，
年利润，当时，2条生产线运行，
年利润，
此时的分布列如下：
700 2000
所以；
③若投入3条生产线，当时，1条生产线运行，
年利润 ，
当时2条生产线运行，年利润，
当时，3条生产线运行，年利润，
此时的分布列如下：
400 1700 3000
所以
综上所述，欲使该药企生产药品的年度总利润均值最大，应引入两条生产线.
7．（2023·潍坊·三模）某品牌中性笔研发部门从流水线上随机抽取100件产品，统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）

产品的性能指数在的适合儿童使用（简称A类产品），在的适合少年使用（简称B类产品），在的适合青年使用（简称C类产品），三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）．以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率．
(1)该公司为了解年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用和年销售量的数据做了初步处理，得到散点图（如图2）及一些统计量的值（如下表）．
16.30 24.87 0.41 1.64
表中．
根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程，求关于的回归方程；（取）
(2)求每件产品的平均销售利润；并用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润-营销费用）
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
【详解】（1）由题意，由得，，令，则，由表中数据可得，，
则，
∴，即，∵，∴，
∴所求的回归方程为．
（2）由题意及（1）得，
设每件产品的销售利润为元，则的所有可能取值为1.5，3.5，5.5，
由直方图可得，三类产品的频率分别为0.15，0.45，0.4，
∴，
，
，
所以随机变量的分布列为：
1.5 3.5 5.5
0.15 0.45 0.4
所以，故每件产品的平均销售利润为4元；
设年收益为万元，则，
设，则，
当时，，在单週递增，
当时，，在单调递减，
∴当，即时，有最大值为768，
∴估计当该公司一年投入256万元营销费时，能使得该产品年收益达到最大．
8．(2025·广西·二模)在某校举办的学科文化节系列活动中，数学组老师设计了一个答题挑战活动供全校数学爱好者挑战．挑战题目由逻辑推理题和运算求解题两部分构成，用于考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力．现有名同学报名依次发起挑战，每位同学成功解答出逻辑推理题和运算求解题的概率均为，两题能否解出相互独立，每位同学解题过程相互独立，挑战规则如下：
①每位同学均先答逻辑推理题，逻辑推理题答对才能答运算求解题；
②记第位同学挑战为本次挑战活动的第轮，若第位同学在规定时间内未完成逻辑推理题，则认为本次活动的第轮挑战失败，该同学退出由第位同学挑战；
③若第位同学在规定时间内完成逻辑推理题，则该同学继续答运算求解题，若该同学在规定时间内未完成运算求解题，则也认为本次活动的第轮挑战失败，该同学退出，由第位同学挑战；若该同学在规定时间内完成了运算求解题，则挑战成功，本次答题挑战活动结束，后续同学不再进行答题挑战．
④挑战进行到第轮，则不管第位同学是否完成两题的解答，答题挑战活动结束．令随机变量表示这名同学在进行第轮挑战后结束挑战活动．
(1)求随机变量的分布列；
(2)若把挑战规则①去掉，换成规则⑤：挑战的同学先挑战逻辑推理题，若有同学在规定时间内完成逻辑推理题，以后挑战的同学不再挑战逻辑推理题，直接挑战运算求解题．令随机变量表示这名同学在第轮挑战后结束挑战活动．
（i）求随机变量的分布列；
（ii）证明：．
【详解】（1）由题意可得，每名同学两题均完成挑战的概率为，
的所有可能取值为1，2，3，4，5，
则，，
，，.
因此的分布列为：
1 2 3 4 5
（2）（i）时，第人必完成运算求解题，
若前面人都没有一人完成逻辑推理题，其概率为，
若前面人有一人完成逻辑推理题，其概率为，
故．
当时，若前面人都没有一人完成逻辑推理题，其概率为，
若前面人有一人完成逻辑推理题，其概率为，故．
的分布列为：
1 2 3
（ii）．
又因为，，
故，
，①
，②
①②得，则.
9．（2023·青岛·三模）甲、乙两人组团参加答题挑战赛，规定：每一轮甲、乙各答一道题，若两人都答对，该团队得1分；只有一人答对，该团队得0分；两人都答错，该团队得－1分．假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为，．
(1)记X表示该团队一轮答题的得分，求X的分布列及数学期望；
(2)假设该团队连续答题n轮，各轮答题相互独立．记表示“没有出现连续三轮每轮得1分”的概率，，求a，b，c；并证明：答题轮数越多（轮数不少于3），出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大．
【详解】（1）由题可知是，的取值为，
；
；

故的分布列如下：
则.
（2）由题可知，；经分析可得：
若第轮没有得分，则；
若第轮得分，且第轮没有得分，则；
若第轮得分，且第轮得分，第轮没有得分，则；
故，故；
因为，故，
故；
故，且，则，
所以答题轮数越多（轮数不少于3），出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大.
10．(2026·广西南宁·一模)流行病学调查表明某种疾病S是由致病菌和致病菌共同引起的，且至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈.
(1)若有某种治疗方案M，有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案不能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.求使用治疗方案M痊愈的条件下，能杀灭致病菌的概率；
(2)若市面上仅有两款药物A和药物B对疾病S有疗效，且这两种药物的疗程各均为3天（假定药物使用时，均按疗程服用3天），超过3天无效时需换药进行治疗.若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈.已知药物A杀灭致病菌和致病菌的概率分别为、，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立.药物B杀灭致病菌和致病菌的概率均为.请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？
(3)已知某种药物C能治愈疾病S的概率为.设针对药物C的次临床试验中有连续3次或连续3次以上治愈疾病S的概率为，且每次治疗结果相互独立.求证：.
【详解】（1）设使用治疗方案M治愈疾病S为事件D，使用治疗方案M能杀灭致病菌为事件E，
则，
因为事件发生则事件必发生，故，.
（2）设表示药物A能治愈疾病S的概率，表示药物B能治愈疾病S

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