资源简介

专题08 平面向量与解三角形
易错点1 对平面向量的基本概念理解不到位
易错典题
【例1】（25-26高三上·湖南益阳·开学考试）关于向量下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【解析】对于选项A：若，则，的模长相等，但方向不一定相同，故A错误；
对于选项B：当时，，，此时未必共线，故B错误(易错点)；
注意：平行于同一向量的两个向量不一定平行
对于选项C：向量模长可以比较大小，但向量不能比较大小，故C错误（易错点）；
向量是既有大小又有方向的量，方向不能比较大小，故向量不能比较大小
对于选项D：若，则向量，互为相反向量，则，则D正确；
故选：D.
【错因分析】在解题时容易混淆向量平行与直线平行的不同而出错，另外也容易忽略零向量的特殊性.
知识混淆：混淆向量与数量、向量的模与向量本身、共线向量与相等向量，把有大小有方向的向量当成单纯数值运算，忽略方向要素.
概念模糊：对零向量、单位向量、共线向量的定义理解不清，不清楚零向量方向任意、共线向量只需方向相同或相反，导致判断失误.
望文生义：只从字面理解向量相关概念，不把握本质，如认为 “向量相等就是起点终点相同”“共线就是在同一条直线上”，出现错误判断.
避错攻略
【方法总结】(1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0；(2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同；(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性；(4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上；（5）向量平行与向量共线是完全相同的一个概念，指两个向量的方向相同或相反，亦即向量所在的直线可以平行，也可以重合；但直线平行不包含直线重合的情况．
【知识链接】1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量统称为向量，向量的大小叫作向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：模等于1个单位长度的向量．
(4)共线向量：若两个非零向量a，b的方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量，规定：零向量与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 (1)交换律： a＋b＝b＋a； (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μ a； λ(a＋b)＝λa＋λb
【解读】(1)利用三角形法则时，两向量要首尾相连，利用平行四边形法则时，两向量要有相同的起点．
(2)当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则不适用．
3．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
【解读】共线向量定理中规定a≠0原因：(1)当a＝0时，若b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa，但此时向量a与b共线；(2)当a＝0时，若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa，与有唯一一个实数λ矛盾．
　因此限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．
举一反三
【变式1-1】（25-26高三（24-25高一下·广东汕头·期中）关于平面向量，下列正确的是（ ）
A．若是单位向量，零向量，则
B．若向量与不共线，则存在一对实数，使
C．海拔、温度、角度都是向量
D．若，则四边形ABCD是菱形
【答案】B
【解析】对于A，因是单位向量，零向量，则，故A错误；
对于B，因向量与不共线，则与可作为一组基底，则由平面向量基本定理可得：
存在一对实数x，y，使，故B正确；
对于C，向量为既有大小，又有方向的量，则海拔、温度、角度都不是向量，故C错误；
对于D，因，则，则四边形ABCD是平行四边形，条件不足，无法判断是否是菱形，故D错误.
故选：B.
【变式1-2】(多选) （2025高三·全国·专题练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．若与都是单位向量，则
B．直角坐标平面上的轴、轴都是向量
C．若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合
D．海拔、温度、角度都不是向量
【答案】CD
【解析】选项A，由于单位向量长度相等，但是方向不确定，故A错误；
选项B，由于只有方向，没有大小，故轴，轴不是向量，故B错误；
选项C，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同，C正确；
选项D，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量，D正确．
故选：CD
【变式1-3】（多选）（25-26高三上·四川成都·期中）关于非零向量，，下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
【答案】BC
【解析】A选项，向量的模相等，可能方向不相等，所以A选项错误.
B选项，两个向量互为相反向量，则这两个向量平行，所以B选项正确.
C选项，非零向量，，若，，则成立，所以C选项正确.
D选项，向量不能比较大小，所以D选项错误.
故选：BC.
易错点2 忽略平面向量夹角的范围与方向性
易错典题
【例2】（24-25高三上·广东·月考）已知向量，，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由向量与向量的夹角为钝角，
得，且向量与向量不共线，
所以，即，
由有，解得，(易错点)
忽视向量数量积为负数时，夹角还可能为平角
所以的取值范围是．
故“”是“与的夹角为钝角”的充分不必要条件，
故选：A．
【错因分析】本题容易误认为是与夹角为钝角的充要条件而出错.
知识混淆：混淆向量夹角与直线夹角范围，把向量夹角 0 180 当成直线夹角 0 90 ，不区分向量起点是否相同，乱用角度计算.
概念模糊：对向量夹角定义不清，忽略夹角必须共起点，不考虑方向，直接用图形内角代替向量夹角，导致符号与范围判断错误.
望文生义：只看字面 “夹角”，不理解向量方向性，随意取角、不判断正负，忽略方向不同夹角不同，造成数量积与投影计算错误.
避错攻略
【方法总结】（1）两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角（2）向量的夹角是指向量方向的夹角；（3）向量的夹角范围是，这一点是与直线的夹角范围是不同的，要注意区分.
【知识链接】1.向量的模
（1）向量的大小叫向量的模. 向量的模为.
（2）若，则向量的模.
2.向量的夹角
（1）已知两个非零向量a，b(如图)，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向．
设是两个非零向量，它们的夹角为，则
3．垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b.
举一反三
【变式2-1】（25-26高三上·北京顺义·期中）设点，，不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
由题意知，，不共线，所以，
所以与的夹角为锐角，
故“与的夹角为锐角”是“”的充分必要条件；
故选：C.
【变式2-2】（多选）25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）已知平面向量，则下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若，则
C．若与的夹角为锐角，则实数的范围为
D．当时，在上的投影向量的坐标为
【答案】ABD
【解析】对于A：若，则，解得，故A正确；
对于B：若，则，解得，故B正确；
对于C：当与夹角为锐角时，则，解得，
又时，，此时向量夹角为0，
所以当与的夹角为锐角时，的取值范围为且，故C错误；
对于D：当时，，所以，，
所以在上的投影向量为，故D正确；
故选：ABD．
易错点3 忽略向量共线时的两种情况
易错典题
【例3】（24-25高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知单位向量与向量共线，则向量的坐标是 ．
【答案】或.
【解析】由题意，单位向量与向量共线，
则向量（易错点），
此处易错之处是只注意到方向相同的单位向量
即向量的坐标是或.
【错因分析】共线向量的定义指出方向相同或相反的非零向量称为共线向量，并规定零向量与任意向量共线，本题容易忽略方向相反的情况而造成漏解.
知识混淆:混淆向量共线与线段共线，只考虑同向而忽略反向，或把共线等同于重合，遗漏向量方向相反这一情况，造成漏解.
2.概念模糊:对向量共线定理理解不透彻，不清楚两向量共线包含同向与反向两种情形，不考虑参数正负，导致判断不全面.
3.望文生义:只从字面理解 “共线” 为同向排列，忽略向量具有方向性，默认共线就是同向，漏掉反向情况，结果不完整.
避错攻略
【方法总结】处理平面向量的共线问题一般有两个思路：一是从几何的角度，二是从坐标的角度，这类问题的求解过程有两类特殊情况需要特别注意，一种是向量为零向量的情况；二是要考虑向量方向相同或相反的情况.
【知识链接】1.向量数乘的定义
规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：，它的长度与方向规定如下：①；②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反.当或时，.
2.向量共线（平行）定理
向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.
3.平面向量共线的坐标表示
（1）设，其中共线的充要条件是存在实数，使.
（2）如果用坐标表示，向量共线的充要条件是.
举一反三
【变式3-1】已知向量不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．或
【答案】A
【解析】因为与同向共线，所以存在使得，
即，
又向量不共线，所以，解得（舍去）或.
故选：A
【变式3-2】（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）已知向量，则与共线且反向的单位向量为 （ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】B
【解析】因为，所以可设与共线且反向的单位向量，
又
解得，或（舍去），
故.
故选：B
【变式3-3】(多选)（25-26高一上·广东广州·期末）下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则或
B．若共线，则
C．若且，则
D．若向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则
【答案】BD
【解析】对于A：若且，，则，所以A错误；
对于B：若共线，则或，所以，所以B正确；
对于C：若且，则，由A选项的分析可知不一定有，故C不正确；
对于D，且在上的投影向量为单位向量，不妨设在菱形中，
为的中点，则，所以在向量上的投影向量为，如图：
即在上的投影向量为，所以，所以D正确.
故选：BD
易错点4 错用平面向量的运算律
易错典题
【例4】(24-25高二上·山东青岛·期中）已知，下列关系一定正确的是（ ）
B. C. D.∥
【答案】C
【解析】由已知，所以，即（易错点），
要注意上式两边不能同除以因为向量不能做除法
所以，故选C.
【错因分析】本题容易混淆了向量数量积与实数的积的概念而出错.
知识混淆：混淆向量运算与实数运算，错误认为向量数量积满足结合律、消去律，随意移项、约分，忽略向量有方向、运算规则与实数不同.
概念模糊：对向量加法、数乘、数量积的运算本质理解不清，分不清运算对象与结果类型，乱用分配律、交换律，导致运算变形错误.
望文生义：只按字面理解 “运算律”，照搬实数运算经验，不关注向量运算的几何意义与限制条件，盲目套用公式造成错误.
避错攻略
【方法总结】（1）在实数中：若，且，则，但在向量的数量积中，若，且，不能推出．
（2）已知实数，且ab=bc，则a=c，但在向量的数量积中没有．
（3）在实数中有，但是在向量数量积中，这是因为左边是与共线的向量，而右边是与共线的向量．
【知识链接】
1.向量数量积的性质
设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则
（1）；
（2）；
（3）当与同向时，；当与反向时，；
特别地，或；
（4）；
（5）
2.向量数量积的运算律
（1）；
（2）(λ为实数)；
（3）；
（4）常用公式
举一反三
【变式4-1】（多选）（24-25高三·河北石家庄期末）已知均为非零向量，则下列结论中正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，，且，则的最大值与最小值之和为
【答案】CD
【解析】对于A选项，因为，当与的夹角为时，也符合要求，所以选项A不正确；
对于B选项，若，，，则，但，所以选项B不正确；
对于C选项，，所以选项C正确；
对于D选项，不妨设，，，所以，整理得，即在平面对应的点C的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
因此的最大值为，最小值为，所以选项D正确，
故选：CD.
【变式4-2】（多选）（25-26高二上·四川南充·期中）已知空间向量，，下列说法正确的是（ ）．
A．若，则
B．若，则
C．若在上的投影向量为，则m只有一个实数解
D．若与的夹角为钝角，则
【答案】AB
【解析】对于A，因为，所以，A正确．
对于B，因为，所以，得，B正确．
对于C，因为在上的投影向量为，所以，
即，化简可得，
因为，所以m有两个实数解，C错误．
对于D，因为与的夹角为钝角，且与不共线，
所以，解得，
假设，此时无解，
所以与的夹角为钝角，则，D错误．
故选：AB.
【变式4-3】（多选）（2025全国高三第一次模拟）已知为非零平面向量，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. 若，则 D.
【答案】AB
【解析】A. 因为，所以，则，故正确；
B. 若为非零平面向量，且，由共线向量定理知：，故正确；
C.若，则，则，故错误；
D. 与共线，与共线，故错误；
故选：AB
易错点5 复数的实部、虚部等基本概念混淆
易错典题
【例5】（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（ ）
A． B．0 C．1 D．6
【答案】C
【解析】因为，所以其虚部为1，（易错点），
注意虚部也是实数，不能带着i
故选：C.
【错因分析】对复数 z=a+bi 的定义记忆不清，把虚部当成 bi 而不是实数 b，且混淆实数、虚数、纯虚数的判定条件，导致判断与计算错误.
知识混淆：将复数概念与代数式概念混淆，错误套用实数运算习惯，分不清虚部是系数还是含 i 的项，混淆纯虚数与虚数的区别.
概念模糊：对实部、虚部、纯虚数的定义理解不透彻，不清楚虚部是实数，忘记纯虚数要求实部为 0 且虚部不为 0，概念混用.
望文生义：从字面理解 “虚部” 必须带 i，不严格按定义判断，看到含 i 就直接当作虚部，造成概念使用错误.
避错攻略
【方法总结】求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.
【知识链接】1.复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(其中a，b∈R)的数叫作复数，通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为复数z的实部，记作Rez，b称为复数z的虚部，记作Im z，i叫作虚数单位.
(2)复数的分类：复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di互为共轭复数 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).
(5)复数的模：向量的模称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作｜z｜或｜a＋bi｜，即｜z｜＝｜a＋bi｜＝(a，b∈R).
[注意]　(1)虚数不能比较大小.(2)复数集包含实数集与虚数集.
2.复数是实数的条件：①z＝a＋bi∈R b＝0(a，b∈R)；②z∈R z＝；③z∈R z2≥0
3.复数是纯虚数的条件：①z＝a＋bi是纯虚数 a＝0且b≠0(a，b∈R)；②z是纯虚数 z＋＝0(z≠0)；③z是纯虚数 z2＜0
举一反三
【变式5-1】（25-26高二上·云南大理·期末）已知复数（其中为虚数单位），则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，则的虚部是，
故选：C.
【变式5-2】（25-26高三上·河北·期末）已知复数，则（ ）
A．的实部大于的实部 B．为纯虚数
C．的虚部小于的虚部 D．
【答案】D
【解析】对于A选项：的实部2小于的实部3，A错误；
对于B选项：，不是纯虚数，B错误；
对于C选项：的虚部大于的虚部，C错误；
对于D选项：，D正确.
故选：D.
【变式5-3】（多选）（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知复数，则（ ）
A．若复数z为实数，则
B．若复数z为纯虚数，则
C．当时，
D．复数z在复平面内对应的点不可能在第二象限
【答案】ACD
【解析】对于A，依题意可得，即，则，故A正确；
对于B，依题意可得，故B错误；
对于C，依题意可得，所以，故C正确；
对于D，若复数z在平面内对应的点在第二象限，则，所以D正确，
故选：ACD．
易错点6 复数的几何意义应用错误
易错典题
【例6】（25-26浙江绍兴统考）设复数满足，且，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】设在复平面内对应的向量分别为.
由题意可知，（易错点），
本处易犯错误是：对复数的向量意义理解不透彻，联想不到利用向量进行转化
由于，则以为邻边的平行四边形为矩形，
由于矩形的对角线相等，故.
故选：C.
【错因分析】没有建立复数、复平面内点、平面向量三者的一一对应关系，解题时只代数运算，忽视几何直观，漏掉模、夹角、距离等几何含义。
知识混淆：混淆复数的模与实数绝对值、复数对应向量与普通平面向量，把复数加减直接等同于实数运算，不理解其几何平移、合成意义。
概念模糊：对复数几何意义理解不清，不清楚复数对应向量的起点都在原点，不理解模长表示距离、辐角表示方向，导致数形结合失误。
望文生义：只从字面理解 “几何意义”，不掌握复数与点、向量的对应规则，不会用图形分析，只会死算代数表达式。
避错攻略
【方法总结】复数与复平面内的点、平面向量存在一一对应关系，两个复数差的模可以理解为两点之间的距离.
【知识链接】复数的几何意义
[注意]　复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为，而不是.
2．复数加减的几何意义
复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－.
3.复数的常用结论
(1)i的乘方具有周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N＋.
(2)z·＝｜z｜2＝｜｜2；＝·；＝；＝；＋＝2(｜z1｜2＋｜z2｜2).
(3)复数z的方程或不等式在复平面上表示的图形
①a≤≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界.
②＝r为圆心，r为半径的圆.
举一反三
【变式6-1】（2025·河南许昌·三模）已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】复数在复平面内所对应的点位于第一象限，则可设，
，
复数在复平面内所对应的点为，又，
复数在复平面内所对应的点位于第四象限．
故选：D．
【变式6-2】（2026·上海·高考真题）已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则 .
【答案】3
【解析】由得复数对应的点的集合为以原点为圆心，2为半径的圆，
因为表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为1，
则的最小值为，
而表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为，
则的最小值为，
又因为的最小值与的最小值相同，
所以，，解得.
【变式6-3】（2026·陕西西安·一模）如果复数满足（实数），那么复数在复平面上对应的点的轨迹是（ ）
A．焦距为的椭圆 B．焦距为的椭圆
C．焦距为的椭圆 D．焦距为的椭圆
【答案】A
【解析】令.
因为，所以.
又，
所以.
设，则，，
所以，.
代入得，，即，
也即，
因为，所以，所以该曲线表示焦点在轴上的椭圆，其中，，
所以，则，焦距.
所以复数在复平面上对应的点的轨迹是焦距为的椭圆.
故选：A.
一、单选题
1．（25-26高三上·河南新乡·期末）已知为虚数单位，复数的实部为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】D
【解析】因为，所以复数的实部为．
故选：D．

2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）若复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】复数满足，则，
所以复数的虚部是.
故选：D
3．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末）已知非零向量与的夹角为，则“”是“为锐角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】为锐角时，，因此是必要的，
时，，满足，但不是锐角，因此不充分，故是必要不充分条件，
故选：B．
4．（25-26高三上·江苏南通·月考）已知，是平面内的非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】充分性：设的夹角为，若，则或，
当时，，
当时，，
所以不能推出，即充分性不成立；
必要性：若，则，
因是非零向量，则，即，
此时，同向，满足，
所以可以推出，即必要性成立；
综上所述，”是“”的必要不充分条件，
故选：B
5．（25-26高三上·广东珠海·月考）设，则，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以复数在复平面内对应点，
由得，
即点的轨迹是复平面内以为圆心，半径为的圆，
又表示复平面内的点到的距离，
所以的最小值为圆心到原点的距离减半径，
即，
故选：C.
6．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出．
【解析】因为，，
由平方可得，，所以．
，，
所以，
，
又，即，
所以，即，
故选：D.
7．（25-26高三上·广东·月考）已知实数，与复数满足，，则构成的轨迹为（ ）
A．圆心为，半径为1的圆
B．圆心为，半径为1的圆
C．过点且斜率为的直线
D．过点且斜率为的直线
【答案】A
【解析】设，，，则，，
因为，即，
则
由实部与虚部对应相等得，
可得，解得，可得，
则，可得，
可得构成的轨迹为圆心为，半径为1的圆.
故选：A.
8．（25-26高三上·北京丰台·期末）我国古代数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称该“弦图”为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.若，，M为正方形EFGH及其内部的动点，则的取值范围是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图直角坐标系，
因为，，由直角三角形全等可知，

∴，
设，
则
，
令，则，
即可化为直线与正方形及其内部有交点时纵截距的取值范围，
当直线过时，有最大值，此时，
当直线过时，有最小值，此时.
所以，
故选：C
二、多选题
9．（2026·吉林白山·一模）已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A．z的虚部为
B．复数在复平面中对应的点在第三象限
C．
D．
【答案】AB
【解析】由复数z满足，可得，
A，复数的虚部为，正确；
B，由，得，则复数在复平面内对应的点为位于第三象限，正确；
C，由复数模的计算公式，可得，错误；
D，因为复数和都是虚数，不能比较大小，错误.
故选：AB
10．（24-25高一下·四川泸州·期中）下列叙述中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，则与垂直的单位向量的坐标为或
【答案】AD
【解析】对于A，因，则，故A正确；
对于B，因向量有方向，不能比较大小，故B错误；
对于C，当时，对任意向量满足，，但得不出，故C错误；
对于D，设与垂直的单位向量的坐标为，则：，
解得或，故D正确．
故选：AD．
11．（25-26高三上·江苏扬州·期末）已知都是单位向量，且，则下列结论正确的有（ ）.
A． B．
C．与的夹角为 D．存在，使得
【答案】ABD
【解析】对于，，故正确；
对于，，，所以，故正确；
对于，设与的夹角为，，则，所以，故错误；
对于，假设存在，使得，则，因为是单位向量，所以，所以假设成立，故正确.
故选：.
12．（25-26高三上·河南·月考）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】对于A，，故A正确；
对于B，，故，故B正确；
对于C，取，则，此时，，故C错误；
对于D，取，则，此时，故D错误，
故选：AB
13．（25-26高三上·吉林延边·期中）下列说法正确的是（ ）
A．若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是
B．已知向量，向量，且与方向相反，若向量，则在上的投影向量为
C．已知向量，，若，则的取值范围为
D．若是的外心，，，的值为
【答案】BCD
【解析】对于A，，由题意可知，则，
但当时，与的夹角为不为锐角，所以，A选项错误；
对于B，∵与方向相反，则存在使得，，
即，解得或，
当时，（舍去），所以，即，
所以在上的投影向量，B选项正确；
对于C，，，∴，
∴，C选项正确；
对于D，设，，
∴，
∵
由正弦定理可知， ，，
∴，
∵，
由余弦定理，，
∴，
D选项正确.
故选：BCD.
三、填空题
14．（25-26高三上·山东德州·月考）设，，，若与的夹角为钝角，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据数量积以及共线向量即可求解.
【解析】若，则，解得，
当与共线时，，则，
当时，，此时两向量方向相反，
故当与的夹角为钝角时，且，
故答案为：
15．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知复数满足（表示的共轭复数），则的所有可能值的积为 .
【答案】
【解析】设，由，得，
整理得，
比较实部、虚部得，即
又知，从而有，进而，
于是，满足条件的复数的积为，
故答案为：.
16．（2026·湖北荆州·一模）已知，（i为虚数单位），则函数的最大值为 .
【答案】/
【解析】因为，整理得，
所以，解得：，，
所以，
利用辅助角公式化简得，
又因为余弦函数的值域是，
所以当时，取得最大值，
即.
故答案为：.
17．（25-26高三上·天津和平·期末）已知是内的一点，且，，三点共线，则 ，若，且向量在向量上的投影向量为，则 .
【答案】 3
【解析】
因为，
整理得，则不在边上，
又，则，所以，
因为三点共线，所以，解得；
向量在向量上的投影向量为，
所以，则，
则
.
故答案为：；3.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题08 平面向量与解三角形
易错点1 对平面向量的基本概念理解不到位
易错典题
【例1】（25-26高三上·湖南益阳·开学考试）关于向量下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【解析】对于选项A：若，则，的模长相等，但方向不一定相同，故A错误；
对于选项B：当时，，，此时未必共线，故B错误(易错点)；
注意：平行于同一向量的两个向量不一定平行
对于选项C：向量模长可以比较大小，但向量不能比较大小，故C错误（易错点）；
向量是既有大小又有方向的量，方向不能比较大小，故向量不能比较大小
对于选项D：若，则向量，互为相反向量，则，则D正确；
故选：D.
【错因分析】在解题时容易混淆向量平行与直线平行的不同而出错，另外也容易忽略零向量的特殊性.
知识混淆：混淆向量与数量、向量的模与向量本身、共线向量与相等向量，把有大小有方向的向量当成单纯数值运算，忽略方向要素.
概念模糊：对零向量、单位向量、共线向量的定义理解不清，不清楚零向量方向任意、共线向量只需方向相同或相反，导致判断失误.
望文生义：只从字面理解向量相关概念，不把握本质，如认为 “向量相等就是起点终点相同”“共线就是在同一条直线上”，出现错误判断.
避错攻略
【方法总结】(1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0；(2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同；(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性；(4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上；（5）向量平行与向量共线是完全相同的一个概念，指两个向量的方向相同或相反，亦即向量所在的直线可以平行，也可以重合；但直线平行不包含直线重合的情况．
【知识链接】1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量统称为向量，向量的大小叫作向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：模等于1个单位长度的向量．
(4)共线向量：若两个非零向量a，b的方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量，规定：零向量与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 (1)交换律： a＋b＝b＋a； (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μ a； λ(a＋b)＝λa＋λb
【解读】(1)利用三角形法则时，两向量要首尾相连，利用平行四边形法则时，两向量要有相同的起点．
(2)当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则不适用．
3．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
【解读】共线向量定理中规定a≠0原因：(1)当a＝0时，若b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa，但此时向量a与b共线；(2)当a＝0时，若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa，与有唯一一个实数λ矛盾．
　因此限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．
举一反三
【变式1-1】（25-26高三（24-25高一下·广东汕头·期中）关于平面向量，下列正确的是（ ）
A．若是单位向量，零向量，则
B．若向量与不共线，则存在一对实数，使
C．海拔、温度、角度都是向量
D．若，则四边形ABCD是菱形
【变式1-2】(多选) （2025高三·全国·专题练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．若与都是单位向量，则
B．直角坐标平面上的轴、轴都是向量
C．若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合
D．海拔、温度、角度都不是向量
【变式1-3】（多选）（25-26高三上·四川成都·期中）关于非零向量，，下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
易错点2 忽略平面向量夹角的范围与方向性
易错典题
【例2】（24-25高三上·广东·月考）已知向量，，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由向量与向量的夹角为钝角，
得，且向量与向量不共线，
所以，即，
由有，解得，(易错点)
忽视向量数量积为负数时，夹角还可能为平角
所以的取值范围是．
故“”是“与的夹角为钝角”的充分不必要条件，
故选：A．
【错因分析】本题容易误认为是与夹角为钝角的充要条件而出错.
知识混淆：混淆向量夹角与直线夹角范围，把向量夹角 0 180 当成直线夹角 0 90 ，不区分向量起点是否相同，乱用角度计算.
概念模糊：对向量夹角定义不清，忽略夹角必须共起点，不考虑方向，直接用图形内角代替向量夹角，导致符号与范围判断错误.
望文生义：只看字面 “夹角”，不理解向量方向性，随意取角、不判断正负，忽略方向不同夹角不同，造成数量积与投影计算错误.
避错攻略
【方法总结】（1）两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角（2）向量的夹角是指向量方向的夹角；（3）向量的夹角范围是，这一点是与直线的夹角范围是不同的，要注意区分.
【知识链接】1.向量的模
（1）向量的大小叫向量的模. 向量的模为.
（2）若，则向量的模.
2.向量的夹角
（1）已知两个非零向量a，b(如图)，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向．
设是两个非零向量，它们的夹角为，则
3．垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b.
举一反三
【变式2-1】（25-26高三上·北京顺义·期中）设点，，不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2-2】（多选）25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）已知平面向量，则下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若，则
C．若与的夹角为锐角，则实数的范围为
D．当时，在上的投影向量的坐标为
易错点3 忽略向量共线时的两种情况
易错典题
【例3】（24-25高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知单位向量与向量共线，则向量的坐标是 ．
【答案】或.
【解析】由题意，单位向量与向量共线，
则向量（易错点），
此处易错之处是只注意到方向相同的单位向量
即向量的坐标是或.
【错因分析】共线向量的定义指出方向相同或相反的非零向量称为共线向量，并规定零向量与任意向量共线，本题容易忽略方向相反的情况而造成漏解.
知识混淆:混淆向量共线与线段共线，只考虑同向而忽略反向，或把共线等同于重合，遗漏向量方向相反这一情况，造成漏解.
2.概念模糊:对向量共线定理理解不透彻，不清楚两向量共线包含同向与反向两种情形，不考虑参数正负，导致判断不全面.
3.望文生义:只从字面理解 “共线” 为同向排列，忽略向量具有方向性，默认共线就是同向，漏掉反向情况，结果不完整.
避错攻略
【方法总结】处理平面向量的共线问题一般有两个思路：一是从几何的角度，二是从坐标的角度，这类问题的求解过程有两类特殊情况需要特别注意，一种是向量为零向量的情况；二是要考虑向量方向相同或相反的情况.
【知识链接】1.向量数乘的定义
规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：，它的长度与方向规定如下：①；②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反.当或时，.
2.向量共线（平行）定理
向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.
3.平面向量共线的坐标表示
（1）设，其中共线的充要条件是存在实数，使.
（2）如果用坐标表示，向量共线的充要条件是.
举一反三
【变式3-1】已知向量不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．或
【变式3-2】（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）已知向量，则与共线且反向的单位向量为 （ ）
A． B．
C．或 D．
【变式3-3】(多选)（25-26高一上·广东广州·期末）下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则或
B．若共线，则
C．若且，则
D．若向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则
易错点4 错用平面向量的运算律
易错典题
【例4】(24-25高二上·山东青岛·期中）已知，下列关系一定正确的是（ ）
B. C. D.∥
【答案】C
【解析】由已知，所以，即（易错点），
要注意上式两边不能同除以因为向量不能做除法
所以，故选C.
【错因分析】本题容易混淆了向量数量积与实数的积的概念而出错.
知识混淆：混淆向量运算与实数运算，错误认为向量数量积满足结合律、消去律，随意移项、约分，忽略向量有方向、运算规则与实数不同.
概念模糊：对向量加法、数乘、数量积的运算本质理解不清，分不清运算对象与结果类型，乱用分配律、交换律，导致运算变形错误.
望文生义：只按字面理解 “运算律”，照搬实数运算经验，不关注向量运算的几何意义与限制条件，盲目套用公式造成错误.
避错攻略
【方法总结】（1）在实数中：若，且，则，但在向量的数量积中，若，且，不能推出．
（2）已知实数，且ab=bc，则a=c，但在向量的数量积中没有．
（3）在实数中有，但是在向量数量积中，这是因为左边是与共线的向量，而右边是与共线的向量．
【知识链接】
1.向量数量积的性质
设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则
（1）；
（2）；
（3）当与同向时，；当与反向时，；
特别地，或；
（4）；
（5）
2.向量数量积的运算律
（1）；
（2）(λ为实数)；
（3）；
（4）常用公式
举一反三
【变式4-1】（多选）（24-25高三·河北石家庄期末）已知均为非零向量，则下列结论中正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，，且，则的最大值与最小值之和为
【变式4-2】（多选）（25-26高二上·四川南充·期中）已知空间向量，，下列说法正确的是（ ）．
A．若，则
B．若，则
C．若在上的投影向量为，则m只有一个实数解
D．若与的夹角为钝角，则
【变式4-3】（多选）（2025全国高三第一次模拟）已知为非零平面向量，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. 若，则 D.
易错点5 复数的实部、虚部等基本概念混淆
易错典题
【例5】（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（ ）
A． B．0 C．1 D．6
【答案】C
【解析】因为，所以其虚部为1，（易错点），
注意虚部也是实数，不能带着i
故选：C.
【错因分析】对复数 z=a+bi 的定义记忆不清，把虚部当成 bi 而不是实数 b，且混淆实数、虚数、纯虚数的判定条件，导致判断与计算错误.
知识混淆：将复数概念与代数式概念混淆，错误套用实数运算习惯，分不清虚部是系数还是含 i 的项，混淆纯虚数与虚数的区别.
概念模糊：对实部、虚部、纯虚数的定义理解不透彻，不清楚虚部是实数，忘记纯虚数要求实部为 0 且虚部不为 0，概念混用.
望文生义：从字面理解 “虚部” 必须带 i，不严格按定义判断，看到含 i 就直接当作虚部，造成概念使用错误.
避错攻略
【方法总结】求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.
【知识链接】1.复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(其中a，b∈R)的数叫作复数，通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为复数z的实部，记作Rez，b称为复数z的虚部，记作Im z，i叫作虚数单位.
(2)复数的分类：复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di互为共轭复数 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).
(5)复数的模：向量的模称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作｜z｜或｜a＋bi｜，即｜z｜＝｜a＋bi｜＝(a，b∈R).
[注意]　(1)虚数不能比较大小.(2)复数集包含实数集与虚数集.
2.复数是实数的条件：①z＝a＋bi∈R b＝0(a，b∈R)；②z∈R z＝；③z∈R z2≥0
3.复数是纯虚数的条件：①z＝a＋bi是纯虚数 a＝0且b≠0(a，b∈R)；②z是纯虚数 z＋＝0(z≠0)；③z是纯虚数 z2＜0
举一反三
【变式5-1】（25-26高二上·云南大理·期末）已知复数（其中为虚数单位），则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（25-26高三上·河北·期末）已知复数，则（ ）
A．的实部大于的实部 B．为纯虚数
C．的虚部小于的虚部 D．
【变式5-3】（多选）（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知复数，则（ ）
A．若复数z为实数，则
B．若复数z为纯虚数，则
C．当时，
D．复数z在复平面内对应的点不可能在第二象限
易错点6 复数的几何意义应用错误
易错典题
【例6】（25-26浙江绍兴统考）设复数满足，且，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】设在复平面内对应的向量分别为.
由题意可知，（易错点），
本处易犯错误是：对复数的向量意义理解不透彻，联想不到利用向量进行转化
由于，则以为邻边的平行四边形为矩形，
由于矩形的对角线相等，故.
故选：C.
【错因分析】没有建立复数、复平面内点、平面向量三者的一一对应关系，解题时只代数运算，忽视几何直观，漏掉模、夹角、距离等几何含义。
知识混淆：混淆复数的模与实数绝对值、复数对应向量与普通平面向量，把复数加减直接等同于实数运算，不理解其几何平移、合成意义。
概念模糊：对复数几何意义理解不清，不清楚复数对应向量的起点都在原点，不理解模长表示距离、辐角表示方向，导致数形结合失误。
望文生义：只从字面理解 “几何意义”，不掌握复数与点、向量的对应规则，不会用图形分析，只会死算代数表达式。
避错攻略
【方法总结】复数与复平面内的点、平面向量存在一一对应关系，两个复数差的模可以理解为两点之间的距离.
【知识链接】复数的几何意义
[注意]　复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为，而不是.
2．复数加减的几何意义
复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－.
3.复数的常用结论
(1)i的乘方具有周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N＋.
(2)z·＝｜z｜2＝｜｜2；＝·；＝；＝；＋＝2(｜z1｜2＋｜z2｜2).
(3)复数z的方程或不等式在复平面上表示的图形
①a≤≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界.
②＝r为圆心，r为半径的圆.
举一反三
【变式6-1】（2025·河南许昌·三模）已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式6-2】（2026·上海·高考真题）已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则 .
【变式6-3】（2026·陕西西安·一模）如果复数满足（实数），那么复数在复平面上对应的点的轨迹是（ ）
A．焦距为的椭圆 B．焦距为的椭圆
C．焦距为的椭圆 D．焦距为的椭圆
一、单选题
1．（25-26高三上·河南新乡·期末）已知为虚数单位，复数的实部为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）若复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末）已知非零向量与的夹角为，则“”是“为锐角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（25-26高三上·江苏南通·月考）已知，是平面内的非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（25-26高三上·广东珠海·月考）设，则，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26高三上·广东·月考）已知实数，与复数满足，，则构成的轨迹为（ ）
A．圆心为，半径为1的圆
B．圆心为，半径为1的圆
C．过点且斜率为的直线
D．过点且斜率为的直线
8．（25-26高三上·北京丰台·期末）我国古代数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称该“弦图”为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.若，，M为正方形EFGH及其内部的动点，则的取值范围是（ ）

A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2026·吉林白山·一模）已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A．z的虚部为
B．复数在复平面中对应的点在第三象限
C．
D．
10．（24-25高一下·四川泸州·期中）下列叙述中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，则与垂直的单位向量的坐标为或
11．（25-26高三上·江苏扬州·期末）已知都是单位向量，且，则下列结论正确的有（ ）.
A． B．
C．与的夹角为 D．存在，使得
12．（25-26高三上·河南·月考）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
13．（25-26高三上·吉林延边·期中）下列说法正确的是（ ）
A．若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是
B．已知向量，向量，且与方向相反，若向量，则在上的投影向量为
C．已知向量，，若，则的取值范围为
D．若是的外心，，，的值为
三、填空题
14．（25-26高三上·山东德州·月考）设，，，若与的夹角为钝角，则m的取值范围是 ．
15．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知复数满足（表示的共轭复数），则的所有可能值的积为 .
16．（2026·湖北荆州·一模）已知，（i为虚数单位），则函数的最大值为 .
17．（25-26高三上·天津和平·期末）已知是内的一点，且，，三点共线，则 ，若，且向量在向量上的投影向量为，则 .
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑