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重难点08 向量与数形结合
内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 重难考向聚焦 锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 重难考向保分攻略 授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化 重难冲刺练 模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感”
近三年：近三年高考向量以平面向量为核心，多为选择与填空为主，是基础与中档题题型，核心考线性运算、坐标表示、数量积、垂直 / 平行判定、模长与夹角，常与解析几何、三角函数等交汇，偶见综合应用与最值问题。题型稳定，偶有填空压轴或综合题。重点突出考察数量积、垂直与 平行、模长等，几乎为必考点，而线性运算与基本定理则作为为考察的基础工具。在交汇加强，向量作为工具，常与解析几何（如圆锥曲线）、三角函数、平面几何（如三角形、圆）结合，考查应用能力。而难度控制，是基础题占比高，综合题多为 向量 与 最值（范围），区分度适中。 预测2026年：新课标对向量模块的要求以重基础强应用作为考察的核心原则，2026 年高考数学向量考察将以平面向量为绝对核心，保持题型、分值、核心考点的稳定性，小幅强化工具性和交汇性，难度与近三年持平，无偏题怪题，复习应以夯实基础，要熟练掌握坐标运算、数量积公式、垂直 、平行条件，做到快速准确。而对于中档题，可以从几何意义入手，结合图形理解线性运算、数量积的几何意义（如投影向量、模长的几何表示等）。训练要在知识交汇训练，针对性练习向量与解析几何、三角函数的综合题，掌握 “向量工具化” 解题思路。还要注意解题的易错点，特别是注意向量夹角范围（0,π]、数量积的符号与模长的非负性。 。
考向01基底型1：等分点型
线段定比分点坐标公式的向量形式：若直线上三点、、，且满足()，在直线外任取一点，设，，可得. 重要结论：若直线上三点、、，为直线外任一点， 则. 证明：，则， 则.
1．（25-26高三上·湖北襄阳·月考）如图，设，线段与交于点，且，则的最小值为（ ）

A．5 B．9 C． D．
2．（25-26高三上·河北·期末）如图，在中，，则（ ）

A． B．
C． D．
3．（25-26高三上·四川巴中·月考）如图，在中，，，则下列说法正确的是（ ）

A． B．
C． D．
4．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
考向02 基底型2： 四边形等分点型
.四边型、要注意两个特征题型： 1.基底不是三角形或者四边形的边，如练习题3 2.如果与四边形的边和角度无关，则可以把四边形看成矩形，构造坐标系，用坐标运算求解
5．（25-26高三全国专题练习）如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（ ）

A． B． C． D．
6．（24-25高三全国专题练习）如图，在四边形ABCD中，，设，则等于（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高一下·安徽滁州·期末）在平行四边形中，是的中点，交于点，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25高三全国专题练习）在平行四边形中，点G为的重心，则（ ）
A． B． C． D．
考向03 基底型3：起点不同的基底
向量共线定理和向量基本定理 ①向量共线定理(两个向量之间的关系)：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得. 变形形式：已知直线上三点、、，为直线外任一点，有且只有一个实数，使得：. 特别提醒：共线向量定理应用时的注意点：向量共线的充要条件中要注意“”，否则可能不存在，也可能有无数个.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合. ②平面向量基本定理(平面内三个向量之间关系)： 若、是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使. 特别提醒：不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； 基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量都可被这个平面的一组基底、线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的.
9．（2023·河北·模拟预测）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别为CD，AD的中点，若以向量，为基底表示向量，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（23-24高三上·河南·期中）已知为等边三角形，分别以CA，CB为边作正六边形，如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（21-22高一下·江苏常州·期中）如图平面四边形ABCD中，，则可表示为（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023·江苏南通·二模）在平行四边形中，，．若，则（ ）
A． B． C． D．
考向04 基底型4：两线交点型
.向量共线定理(两个向量之间的关系)：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得. 变形形式：已知直线上三点、、，为直线外任一点，有且只有一个实数，使得：. 特别提醒：共线向量定理应用时的注意点：向量共线的充要条件中要注意“”，否则可能不存在，也可能有无数个.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.
13．（2023·河南·模拟预测）如图，在中，，，直线AM交BN于点Q，，则（ ）
A． B． C． D．
14．（22-23高三全国专题练习）如图，在中，，，直线交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
15．（22-23高一下·福建福州·期中）在△ABC中，，，直线AM交BN于点Q，若，则λ=（ ）
A． B． C． D．
16．（2020·全国·模拟预测）中，、分别是、上的点，且，，与交于点，则下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考向05 两大定理1：极化恒等式
在△中，是边的中点，则.
1．（24-25高三全国专题练习）的斜边等于4，点在以为圆心、1为半径的圆上，则的取值范围是
A． B．
C． D．
2．（2023·福建福州·模拟预测）在边长为2的菱形中，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三·全国·专题练习）设的面积为1，边AB、AC的中点分别为E、F，P为线段EF上的动点，则的最小值为 ．
考向06 两大定理2：奔驰定理
奔驰定理 为内一点，，则. 重要结论：，，.
5．（多选题)(20-21高三全国专题练习）点在△所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若动点满足，则动点的轨迹一定经过△的垂心；
B．若，则点为△的内心；
C．若，则点为△的外心；
D．若动点满足，则动点的轨迹一定经过△的重心.
6.（25-26高三全国专题练习）已知P是内部一点，且，则面积之比为（ ）
A．1：3：5 B．5：3：1 C．1：9：25 D．25：9：1
7．（22-23高三全国专题练习）如图，已知点G为△ABC的重心，点D，E分别为AB，AC上的点，且D，G，E三点共线，，，m＞0，n＞0，记△ADE，△ABC，四边形BDEC的面积分别为S1，S2，S3，则（　　）
A． B． C． D．
故选：ABC．
8．（20-21高一下·浙江·期末）如图直线l过△ABC的重心G（三条中线的交点），与边AB、AC交于点P、Q，且，，直线l将△ABC分成两部分，分别为△APQ和四边形PQCB，其对应的面积依次记为和，则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最大值为
考向07 等和线型1：等和线模型
形如，求值或者范围，其中可以理解对应系数如，称之为“和”系数为1.这种类型，可以直接利用“基底线”平移，做比值即可求得
1．（2024·云南·模拟预测）在中，点是线段上的一点，且满足，点是线段的中点，若存在实数和，使得，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·辽宁·期中）已知的内角为所在平面上一点，且满足，设，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（19-20高三上·全国·月考）已知在中，，，，P为BC上任意一点（含B，C），以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设，则的最大值为
A． B． C． D．
4．（24-25高三全国专题练习）如图，已知点 C 为△OAB边AB上一点，且AC=2CB，若存在实数m，n，使得，则的值为（ ）．
A． B．0 C． D．
考向08 等和线型2：三角换元型
形如，求值或者范围.一般动点多在圆上，则可以通过三角换元，构造三角函数辅助角形式求最值
5．（24-25高三全国专题练习）如图，扇形的半径为1，且，点C在弧上运动，若，则的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．2
6．（20-21高一下·四川成都·月考）已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限，且顶点A，D分别在x，y的正半轴上（含原点O）滑动，则的最大值是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．
7．（24-25高三全国专题练习）如图，点是半径为的扇形圆弧上一点，且，若，则的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．4
8．（20-21高一下·四川成都·期中）如图，点C是半径为6的扇形圆弧上一点，，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
考向09 等和线型3：二次型
形如，求关于二次型值或者范围，有如下思维： （1）图形比较规则，建立直角坐标系来解决向量问题； （2）得到关于的不等式中没有，所以取，建立之间的关系； （3）用判别式求得的范围，化简所求式子至二次函数的形式； （4）根据二次函数的最值及的范围求出最值.
9．（24-25高三全国专题练习）如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量＝λ＋μ，则λ＋μ的最小值为
A． B． C． D．
10．（23-24高一下·安徽宿州·期中）在中，点满足，点在射线AD（不含点A）上移动，若则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25高三全国专题练习）在等腰直角三角形中，，，，为的中点，满足，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
二、多选题
12．（21-22高三上·湖北武汉·期中）在中，点D满足，当点E在线段AD上移动时，记，则（ ）
A． B．
C．的最小值为2 D．的最小值为
考向10 等和线型4：动点与轨迹型
向量型求动点轨迹： 利用向量几何意义与坐标运算，寻找转化为坐标。 ①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可； ②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程； ③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.
13．（24-25高三上·全国·月考）如图，在扇形中，，点为的中点，点为阴影区域内的任意一点（含边界），若，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
14．（24-25高三全国专题练习）在中，，是的内心，若，其中，动点的轨迹所覆盖的面积为（ ）
A． B． C． D．
15．（2020·浙江温州·模拟预测）设O为的内心，，，，动点P满足：，，，，则点P的轨迹所覆盖的平面区域的面积为（ ）
A． B．21 C． D．
空题
16．（2022高三·全国·专题练习）设点M、N分别是不等边的重心与外心，已知、，且．则动点C的轨迹E ；
17．（23-24高三·全国·专题练习）在中， ，，，是的内心，若，其中，，则动点的轨迹所覆盖的面积为 ．
考向11 等和线型5：建系最值型
平面向量数量积公式有两种形式： 。 。 主要应用以下几个方面: （1）求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）； （2） （3）向量垂直，则;(4)求向量 的模（平方后需求）.
18．（23-24高三·全国·专题练习）已知的斜边的长为4，设是以为圆心1为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是
A． B． C． D．
19．（22-23高二下·湖南永州·开学考试）已知是边长为4的等边三角形，为所在平面内一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
20．（21-22高三上·全国·月考）已知正的边长为2，A，B分别在x轴，y轴的正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是（ ）
A． B．3 C．2 D．
21．（22-23高一上·江苏宿迁·期末）如图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点E为边CD上的动点，则的最小值为 ．

考向12 圆为主几何意义1：垂直型构造圆
定点A与B ,满足。
1．（23-24高三·全国·专题练习）在中，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°.P为所在平面内的动点，且PC＝2，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高三上·浙江宁波·期末）若单位向量满足，向量满足，则（ ）.
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·福建·期中）已知向量，，满足，，，，则（ ）
A． B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最大值为
故选：.
4．（2023·四川南充·一模）已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为 ．
考向13 圆为主几何意义2：定义型构造圆
符合圆的定义的以下几个方面： 圆的的第一定义：到定点距离等于定值的点的轨迹 阿波罗斯尼园。 两条互相垂直的直线交点，在一个以两直线上两点为直径的圆上。
5．（23-24高三·全国·专题练习）设，为平面向量，定义运算．已知向量，，满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．3
6．（23-24高三·全国·专题练习）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高一下·山东日照·期中）已知平面向量对任意实数都有，成立．若，则的取值范围是 ．
8．（21-22高三下·浙江·月考）已知平面向量，，满足：，，则的最小值是 .
考向14 圆为主几何意义3：含参型最短距离
.形如，则 转化为直线点B到直线AC上一点的最短距离，最短距离显然是点到直线的距离，即B 到直线AC的距离。
9．（23-24高三·全国·专题练习）已知定圆的半径为4，A为圆上的一个定点，为圆上的动点，若点不共线，且对任意的恒成立，则 .
10．（23-24高一下·山东日照·期中）已知平面向量对任意实数都有，成立．若，则的取值范围是 ．
11．（2023·四川南充·一模）已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为 ．
12．（20-21高一下·江西新余·期末）已知平面向量，，且，，向量满足，则的最小值为 .
考向15 圆为主几何意义4：综合型
13．（25-26高二上·四川绵阳·期中）在平面直角坐标系中，点在圆： 上，点B在直线： 上，且 ，则 的最小值为 .
14．（25-26高二上·上海·期中）已知是共面向量，和是两个互相垂直的单位向量，若，，则在方向上的数量投影的最大值为 ．
15．（25-26高三上·上海嘉定·期中）平面中的三个单位向量，若，则的最大值与最小值之和为 .
16．（25-26高三上·湖南·月考）实数满足，设点，动点满足.点为线段的中点，当且面积取得最大值时，点坐标为 .
冲刺练
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．（25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）已知向量 满足： ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高三上·河北沧州·期末）已知向量 满足，，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（25-26高三上·湖北黄冈·期末）直线与x，y轴分别交于M，N两点，点在圆上，当面积最大时，（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高二上·江苏苏州·月考）在平面直角坐标系中，直线与圆交于两点，且的面积为1，已知是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高一上·浙江温州·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，已知点的坐标为，则点的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
6．（25-26高一上·辽宁大连·期末）已知中，是边上靠近B的三等分点，Q为的中点，过点O的直线分别交直线，于不同的两点M，N，设，，其中，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．的最小值为
7．（2025高三上·重庆大足·专题练习）在中，，分别为边，的中点，且向量与的夹角为，，，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知点是的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为1的正项数列，是数列的前项和，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．
二、多选题
9．（25-26高三上·湖南湘西·期末）在菱形中，，点满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2026·湖北荆门·模拟预测）如图，已知等腰梯形中，，，点，分别为线段，上的动点且，点、为线段、的中点，则以下结论正确的是（ ）

A． B．
C．若为的外心，则 D．
11．（24-25高一下·河北·月考）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（ ）
A．若，则为的重心
B．若，则
C．若，则
D．若为的内心，且，则
三、填空题
12．（25-26高三上·重庆·月考）在中，，它的面积是10，，E，F分别在AB，AC所在的直线上，且满足，对任意，恒成立，则 ．
14．（25-26高二上·江苏常州·开学考试）设O，分别为的外心和垂心，，，，，则 ．
结束
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近三年：近三年高考向量以平面向量为核心，多为选择与填空为主，是基础与中档题题型，核心考线性运算、坐标表示、数量积、垂直 / 平行判定、模长与夹角，常与解析几何、三角函数等交汇，偶见综合应用与最值问题。题型稳定，偶有填空压轴或综合题。重点突出考察数量积、垂直与 平行、模长等，几乎为必考点，而线性运算与基本定理则作为为考察的基础工具。在交汇加强，向量作为工具，常与解析几何（如圆锥曲线）、三角函数、平面几何（如三角形、圆）结合，考查应用能力。而难度控制，是基础题占比高，综合题多为 向量 与 最值（范围），区分度适中。 预测2026年：新课标对向量模块的要求以重基础强应用作为考察的核心原则，2026 年高考数学向量考察将以平面向量为绝对核心，保持题型、分值、核心考点的稳定性，小幅强化工具性和交汇性，难度与近三年持平，无偏题怪题，复习应以夯实基础，要熟练掌握坐标运算、数量积公式、垂直 、平行条件，做到快速准确。而对于中档题，可以从几何意义入手，结合图形理解线性运算、数量积的几何意义（如投影向量、模长的几何表示等）。训练要在知识交汇训练，针对性练习向量与解析几何、三角函数的综合题，掌握 “向量工具化” 解题思路。还要注意解题的易错点，特别是注意向量夹角范围（0,π]、数量积的符号与模长的非负性。 。
考向01基底型1：等分点型
线段定比分点坐标公式的向量形式：若直线上三点、、，且满足()，在直线外任取一点，设，，可得. 重要结论：若直线上三点、、，为直线外任一点， 则. 证明：，则， 则.
1．（25-26高三上·湖北襄阳·月考）如图，设，线段与交于点，且，则的最小值为（ ）

A．5 B．9 C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的线性运算，结合共线定理可得，即可利用基本不等式求解最值.
【详解】，又，故，
所以，
因为，所以，
因为三点共线，所以，故.
所以，
当且仅当，即时取等号.
故最小值为，
故选：D.
2．（25-26高三上·河北·期末）如图，在中，，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的减法运算法则即可求解.
【详解】因为，所以，所以.
故选：C.
3．（25-26高三上·四川巴中·月考）如图，在中，，，则下列说法正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，通过向量的基本定理，用已知向量表示未知向量，即可求解.
【详解】由题意可得，，，所以，，
所以，因为，
所以,
所以
故选：
4．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用线段比例转化向量，再统一向量基底，最后根据“三点共线时，向量分解的系数和为1”的性质求解即可.
【详解】，，，，
，是线段上一点，三点共线，
，解得.故选A.
考向02 基底型2： 四边形等分点型
.四边型、要注意两个特征题型： 1.基底不是三角形或者四边形的边，如练习题3 2.如果与四边形的边和角度无关，则可以把四边形看成矩形，构造坐标系，用坐标运算求解
5．（25-26高三全国专题练习）如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合图形，根据平面向量基本定理用将向量表示出来即可.
【详解】因为在平行四边形中，F为的中点，，
所以.
故选：B.
6．（24-25高三全国专题练习）如图，在四边形ABCD中，，设，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据给定的基底，利用向量的线性运算，结合几何图形求解即得.
【详解】依题意，
.
故选：C
7．（24-25高一下·安徽滁州·期末）在平行四边形中，是的中点，交于点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题可得，再根据向量运算法则即可表示.
【详解】在平行四边形中，，所以，，
因为是的中点，所以，即，因为，
所以.故选：B
8．（24-25高三全国专题练习）在平行四边形中，点G为的重心，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合图形，运用向量的加减数乘运算，将用向量表示即得．
【详解】如图，取的中点E，连接，则点G为 的三等分点，
即，
则．
故选：C.
考向03 基底型3：起点不同的基底
向量共线定理和向量基本定理 ①向量共线定理(两个向量之间的关系)：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得. 变形形式：已知直线上三点、、，为直线外任一点，有且只有一个实数，使得：. 特别提醒：共线向量定理应用时的注意点：向量共线的充要条件中要注意“”，否则可能不存在，也可能有无数个.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合. ②平面向量基本定理(平面内三个向量之间关系)： 若、是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使. 特别提醒：不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； 基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量都可被这个平面的一组基底、线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的.
9．（2023·河北·模拟预测）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别为CD，AD的中点，若以向量，为基底表示向量，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】注意到，后利用表示，即可得答案.
【详解】注意到.
又为DC中点，则；
F为AD中点，则.
则；
.
则.
故选：D
10．（23-24高三上·河南·期中）已知为等边三角形，分别以CA，CB为边作正六边形，如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】选取为基底，表示出，结合平行向量基本定理设，即可求解.
【详解】选取为基底，
，
，
，
设
，
，，
即.
故选：A
11．（21-22高一下·江苏常州·期中）如图平面四边形ABCD中，，则可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用向量的线性运算的几何表示即得.
【详解】∵，
∴，
∵，
又，
∴，即.
故选：D.
12．（2023·江苏南通·二模）在平行四边形中，，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量的线性运算求出即可.
【详解】由题意可得
，
所以，，
所以，
故选：D
考向04 基底型4：两线交点型
.向量共线定理(两个向量之间的关系)：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得. 变形形式：已知直线上三点、、，为直线外任一点，有且只有一个实数，使得：. 特别提醒：共线向量定理应用时的注意点：向量共线的充要条件中要注意“”，否则可能不存在，也可能有无数个.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.
13．（2023·河南·模拟预测）如图，在中，，，直线AM交BN于点Q，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把用表示，然后由三点共线可得．
【详解】由题意得，，
因为Q，M，A三点共线，故，化简整理得．
故选：C．
14．（22-23高三全国专题练习）如图，在中，，，直线交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由三点共线可得存在实数使得，再由三点共线可解得，利用向量的线性运算化简可得，即.
【详解】根据图示可知，三点共线，由共线定理可知，
存在实数使得,
又，所以，
又三点共线，所以，解得，
即可得，所以，
所以，即，可得，
又，即可得.
故选：A
15．（22-23高一下·福建福州·期中）在△ABC中，，，直线AM交BN于点Q，若，则λ=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】、、三点与、、三点分别共线，根据平面向量共线定理，结合向量加减法，可找出与等式关系，即可求解出结果.
【详解】设，，
由平面向量基本定理可得，，，，
，，，解得，
，，
，，故选：D.
16．（2020·全国·模拟预测）中，、分别是、上的点，且，，与交于点，则下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】作出图形，连接，利用相似三角形计算得出，进而可得出，结合平面向量的基本定理可得解.
【详解】如下图所示：
连接，则，，，，
因此，.
故选：D.
【点睛】本题考查利用基底表示平面向量，解答的关键就是推导出，考查计算能力，属于中等题.
考向05 两大定理1：极化恒等式
在△中，是边的中点，则.
1．（24-25高三全国专题练习）的斜边等于4，点在以为圆心、1为半径的圆上，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】结合三角形及圆的特征可得，进而利用数量积运算可得最值，从而得解.
【详解】 .
注意，，
所以当与同向时取最大值5，反向时取小值-3.
故选C.
【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，以及几何图形中向量问题的求解.属于中档题.
2．（2023·福建福州·模拟预测）在边长为2的菱形中，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以为基底，求，利用函数性质求最小值.
【详解】边长为2的菱形中，，如图所示，

则，，
，，
，
由于，所以当时，有最小值.
故选：B
3．(多选题）（2022高三·全国·专题练习）如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原点)上滑动，则的最大值是 ．
【答案】2
【分析】取中点为，将转化为的表达式，求的最大值即可.
【详解】如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，
则，
又OMON＋NM＝AD＋AB＝，
当且仅当O，N，M三点共线时取等号．
所以的最大值为2．
故答案为：2.
4．（23-24高三·全国·专题练习）设的面积为1，边AB、AC的中点分别为E、F，P为线段EF上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】作于点D.设.
如下左图，当点D位于线段BC或CB的延长线上时，
.
如下右图，当点D位于边BC上时，
当D为线段BC的中点以及时，上式等号成立.
综上，.
故答案为
考向06 两大定理2：奔驰定理
奔驰定理 为内一点，，则. 重要结论：，，.
5．（多选题)(20-21高三全国专题练习）点在△所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若动点满足，则动点的轨迹一定经过△的垂心；
B．若，则点为△的内心；
C．若，则点为△的外心；
D．若动点满足，则动点的轨迹一定经过△的重心.
【答案】BC
【分析】A由正弦定理知，且，代入已知等式得，即知的轨迹一定经过的哪种心；B、C分别假设为△的内心、外心，利用向量的几何图形中的关系，及向量的运算律和数量积判断条件是否成立即可；D由，根据数量积的运算律及向量数量积的几何意义求的值，即知的轨迹一定经过的哪种心；
【详解】A：由正弦定理知，而，所以，即动点的轨迹一定经过△的重心，故错误.
B：若为△的内心，如下图示：，同理，，，
∴，，故正确；
C：若为△的外心，分别为的中点，则，而，同理，又，故，正确；
D：由，故，即，动点的轨迹一定经过△的垂心，错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：应用已知等量关系，结合向量的运算律、数量积的值判断向量过三角形的何种心，或假设为△的内心、外心，再应用几何图形中相关线段所表示的向量，结合向量的线性关系及数量积的运算律，判断条件是否成立.
6.（25-26高三全国专题练习）已知P是内部一点，且，则面积之比为（ ）
A．1：3：5 B．5：3：1 C．1：9：25 D．25：9：1
【答案】B
【分析】如图，根据平面向量的基本定理可得，进而得出和的高之间的关系，则，同理可得、，即可得出结果.
【详解】设的面积为，
由，得，
有，
又，令，
则三点共线，且，
即点在上，且，
所以以为底，的高为的，
故，同理可得，，
所以.
故选：B
7．（22-23高三全国专题练习）如图，已知点G为△ABC的重心，点D，E分别为AB，AC上的点，且D，G，E三点共线，，，m＞0，n＞0，记△ADE，△ABC，四边形BDEC的面积分别为S1，S2，S3，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】A选项，由题可得＝，设，，m＞0，n＞0，结合可得答案；
B选项，由S1＝，S2＝可得答案；
CD选项，，后利用基本不等式可得答案.
【详解】A选项，由D、G、E三点共线，则＝，设，，m＞0，n＞0.则，
又由重心性质可知，
则，，即，即选项A正确；
B选项，S1＝＝，
S2＝，则，即选项B正确；
CD选项，＝≤，当且仅当，即时取等号，则，即选项C正确， D错误.
故选：ABC．
8．（20-21高一下·浙江·期末）如图直线l过△ABC的重心G（三条中线的交点），与边AB、AC交于点P、Q，且，，直线l将△ABC分成两部分，分别为△APQ和四边形PQCB，其对应的面积依次记为和，则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】BC
【分析】本题首先可根据是的重心得出，然后根据、得出，再然后根据、得出，最后根据基本不等式得出，即可得出结果.
【详解】因为是的重心，所以，
因为，，所以，
因为、、三点共线，所以，，A错误，B正确，
因为，，
所以，，，
因为，，所以，
即，，当且仅当时取等号，
故，C正确，D错误.
故选：BC.
考向07 等和线型1：等和线模型
形如，求值或者范围，其中可以理解对应系数如，称之为“和”系数为1.这种类型，可以直接利用“基底线”平移，做比值即可求得
1．（2024·云南·模拟预测）在中，点是线段上的一点，且满足，点是线段的中点，若存在实数和，使得，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由平面向量的线性运算求解即可.
【详解】由题意，，
而，
由已知，，则，
故选：D．
2．（24-25高一下·辽宁·期中）已知的内角为所在平面上一点，且满足，设，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】由题意可知点是的外心，由向量的几何意义可得：，再代入可得，运算求解即可.
【详解】由可知点是的外心，
且，则，
因为外心是中垂线的交点，则有：，
即，可得，解得：，
所以.
故选：A．
3．（19-20高三上·全国·月考）已知在中，，，，P为BC上任意一点（含B，C），以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设，则的最大值为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图:设或的延长线交于D,过Q作//BC交AC或AC的延长线于,过圆上离BC最远点作切线与AB的延长线交于,与AC的延长线交于,过A作,垂足为,然后根据向量知识将的最大值转化为的最大值来求,
【详解】如图:

设或的延长线交于D,过Q作//BC交AC或AC的延长线于,
过圆上离BC最远点作切线与AB的延长线交于,与AC的延长线交于,
过A作,垂足为,交BC于K，此时圆P的圆心为,BC=5,,,其中,又,
所以,
当Q在BC的下方时, ;
当Q在BC上时,,
当Q在BC的上方时,,
根据平面几何知识,可知当Q为、 D为K时，最大，所以x+y取最大，
所以：x+y的最大值为：．
故选：C．
【点睛】本题考查了平面向量基本定理,三点共线的向量表示,分类讨论思想,,属难题.
4．（24-25高三全国专题练习）如图，已知点 C 为△OAB边AB上一点，且AC=2CB，若存在实数m，n，使得，则的值为（ ）．
A． B．0 C． D．
【答案】A
【解析】根据平面向量的基本定理和共线定理，结合已知求出的值.
【详解】，所以.
故选：A
【点睛】本题考查了平面向量基本定理和共线定理，属于基础题.
考向08 等和线型2：三角换元型
形如，求值或者范围.一般动点多在圆上，则可以通过三角换元，构造三角函数辅助角形式求最值
5．（24-25高三全国专题练习）如图，扇形的半径为1，且，点C在弧上运动，若，则的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据题意将，两边同时平方可得，再三角代换，利用三角函数的值域求法即可解出．
【详解】由题意得，，，，
由，等式两边同时平方，得，所以，令，则，
则，其中，因为，所以，所以，即的最大值为.
故选：B．
6．（20-21高一下·四川成都·月考）已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限，且顶点A，D分别在x，y的正半轴上（含原点O）滑动，则的最大值是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】C
【分析】设出，用表示出，结合三角函数的知识可求最大值.
【详解】解：当与重合时，，此时，；
当与不重合时，设，，
因为，所以，
，，
，
，
，
所以当，即时，取得最大值3.
综上可知的最大值为3.
故选：C.
7．（24-25高三全国专题练习）如图，点是半径为的扇形圆弧上一点，且，若，则的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．4
【答案】C
【分析】以为轴，过作与垂直的线作为轴建立平面直角坐标系，设，根据平面向量基本定理得到，再利用辅助角公式计算可得.
【详解】
如图所示，以为轴，过作与垂直的线作为轴，
，，，，
则，，
设，
，，
，
其中，又，所以，
，即时，取得最大值，即．
故选：C．
8．（20-21高一下·四川成都·期中）如图，点C是半径为6的扇形圆弧上一点，，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 ，则， 立以点为原点的坐标系，设 ，写出向量的坐标表示形式，用的三角函数表示出，，从而求得的三角函数表达式，利用辅助角公式求得最大值
【详解】由, 则，
所以
建立如图所示坐标系，
则，设，，
由,
化简得: ，
则 ,
其中,则当时, 最大，值为故选：C
考向09 等和线型3：二次型
形如，求关于二次型值或者范围，有如下思维： （1）图形比较规则，建立直角坐标系来解决向量问题； （2）得到关于的不等式中没有，所以取，建立之间的关系； （3）用判别式求得的范围，化简所求式子至二次函数的形式； （4）根据二次函数的最值及的范围求出最值.
9．（24-25高三全国专题练习）如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量＝λ＋μ，则λ＋μ的最小值为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，求出向量＝（ +μcosθ，﹣λ+μsinθ ）＝（1，1），用cosθ，sinθ表示 λ和μ，根据cosθ，sinθ 的取值范围，再结合λ+μ的单调性，即可求出范围.
【详解】以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，
则C（1，1），D（0，1），A（0，0），B（1，0）． E为AB的中点，得
设 P（cosθ，sinθ），∴＝（1，1）．
再由向量＝λ（，﹣1）+μ（cosθ，sinθ）＝（+μcosθ，﹣λ+μsinθ ）＝（1，1），
∴ ，
∴．由题意得．
,得＝0，故λ+μ在[0，]上是增函数，
当θ＝0时，即cosθ＝1，这时λ+μ取最小值为，
当θ＝时，即cosθ＝0，这时λ+μ取最大值为，
故λ+μ的取值范围为[，5]
故选B．
【点睛】本题考查两个向量坐标形式的运算，根据cosθ，sinθ 的取值范围求三角函数式的最值，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
10．（23-24高一下·安徽宿州·期中）在中，点满足，点在射线AD（不含点A）上移动，若则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，利用向量的线性运算用表示，再代入求出范围即得.
【详解】由点在射线（不含点）上，设，又，

则，于是，
因此，
所以的取值范围是.
故选：B
11．（24-25高三全国专题练习）在等腰直角三角形中，，，，为的中点，满足，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用表示，再利用数量积的运算律计算作答.
【详解】依题意，在中，，，，
由，，为的中点，得，
因此，而，即，
所以.
故选：B
二、多选题
12．（21-22高三上·湖北武汉·期中）在中，点D满足，当点E在线段AD上移动时，记，则（ ）
A． B．
C．的最小值为2 D．的最小值为
【答案】BD
【分析】先通过D为BC中点以及判断A和B选项，再借助二次函数的最小值判断C和D选项即可.
【详解】
由得，又点E在线段AD上移动，，，故A错误，B正确；，当时，有最小值，故C错误，D正确.
故选：BD.
考向10 等和线型4：动点与轨迹型
向量型求动点轨迹： 利用向量几何意义与坐标运算，寻找转化为坐标。 ①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可； ②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程； ③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.
13．（24-25高三上·全国·月考）如图，在扇形中，，点为的中点，点为阴影区域内的任意一点（含边界），若，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立直角坐标系，由题可得满足的约束条件，结合条件可得，然后利用线性规划的知识，数形结合即得.
【详解】以点为原点，所在的直线为轴，如图建立直角坐标系，
则，，，所以，设，则满足的约束条件为，又，∴，即，
令，则，由图可知当直线与圆相切时，最大，
此时，解得(负值舍去)，即的最大值为.故选：B.
14．（24-25高三全国专题练习）在中，，是的内心，若，其中，动点的轨迹所覆盖的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由且，易知动点的轨迹为以为邻边的平行四边形的内部（含边界），在中，由，利用余弦定理求得边，再由和，求得内切圆的半径，从而得到，再由动点的轨迹所覆盖的面积得解.
【详解】因为且，根据向量加法的平行四边形运算法则，
所以动点的轨迹为以为邻边的平行四边形的内部（含边界），
因为在中，，所以由余弦定理得： ，
所以，即，解得：， ，
所以 .设的内切圆的半径为 ，
所以所以.所以.
所以动点的轨迹所覆盖的面积为：.故选：A
【点睛】本题主要考查了动点轨迹所覆盖的面积的求及正弦定理，余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
15．（2020·浙江温州·模拟预测）设O为的内心，，，，动点P满足：，，，，则点P的轨迹所覆盖的平面区域的面积为（ ）
A． B．21 C． D．
【答案】C
【分析】首先根据题意，结合向量加法的几何意义，可以得到点的轨迹所覆盖的平面区域，利用公式求得其面积.
【详解】如图所示，根据向量加法的几何意义可知，
点的轨迹所覆盖的平面区域为图中的三个平行四边形，
所以动点的轨迹所覆盖的平面区域等于△面积的倍，
由余弦定理得，
所以，所以，
所以点P的轨迹所覆盖的平面区域的面积为，故选:C.
【点睛】该题考查的是有关平面向量的线性运算，三角形的面积公式，属于中档题目.
空题
16．（2022高三·全国·专题练习）设点M、N分别是不等边的重心与外心，已知、，且．则动点C的轨迹E ；
【答案】
【分析】设点，由重心坐标和外心坐标，结合圆的几何性质以及列方程，化简后求得轨迹E的方程．
【详解】设点，则的重心，
∵是不等边三角形，∴，
再设的外心，
∵已知，∴MN∥AB，∴，
∵点N是的外心，∴，
即，
化简整理得轨迹E的方程是.
∴动点C的轨迹E是指焦点在轴上的标准位置的一个椭圆（去掉其顶点）．
故答案为：.
【点睛】本小题主要考查轨迹方程的求法，考查直线和曲线的位置关系，考查向量的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题．
17．（23-24高三·全国·专题练习）在中， ，，，是的内心，若，其中，，则动点的轨迹所覆盖的面积为 ．
【答案】
【详解】试题分析：由，.可得点P的轨迹如图的阴影部分的面积，
在三角形ABC中由余弦定理可得解得AB=5.
所以三角形ABC的面积为.
又由.
所以阴影部分面积.故填.
考点：1.向量知识.2.向量的坐标表示形式.
考向11 等和线型5：建系最值型
平面向量数量积公式有两种形式： 。 。 主要应用以下几个方面: （1）求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）； （2） （3）向量垂直，则;(4)求向量 的模（平方后需求）.
18．（23-24高三·全国·专题练习）已知的斜边的长为4，设是以为圆心1为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：建立如图所示的直角坐标系，设，由已知得，所以，令，由得，故的取值范围是．
考点：圆、直线的综合应用
19．（22-23高二下·湖南永州·开学考试）已知是边长为4的等边三角形，为所在平面内一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】取中点，以为原点，，为，轴建立如图所示平面直角坐标系，

则，，，设，
则，，，
所以，
所以，
当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为，
故选：B
20．（21-22高三上·全国·月考）已知正的边长为2，A，B分别在x轴，y轴的正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是（ ）
A． B．3 C．2 D．
【答案】B
【分析】设，根据正的边长为2，A，B分别在x轴，y轴的正半轴（含原点）上滑动，得到点A点C的坐标，再利用数量积坐标公式结合三角恒等变换和三角函数的性质求解.
【详解】如图所示：设，
因为正的边长为2，A，B分别在x轴，y轴的正半轴（含原点）上滑动，
所以，则，
所以，
所以，，
，，因为，所以，
当，即时，取得最大值是3，故选：B
21．（22-23高一上·江苏宿迁·期末）如图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点E为边CD上的动点，则的最小值为 ．

【答案】/
【分析】以D为原点，的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，利用向量坐标运算，结合二次函数性质可得.
【详解】连接AC，因为，，，所以，
又，所以，所以.过点B作AD的垂线BF，垂足为F，
易知，在中，，所以，
以D为原点，的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，
则设，则，
，当时，有最小值.故答案为：

考向12 圆为主几何意义1：垂直型构造圆
定点A与B ,满足。
1．（23-24高三·全国·专题练习）在中，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°.P为所在平面内的动点，且PC＝2，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示建立函数关系，求出函数值域作答.
【详解】在中，以直角顶点为原点，射线分别为轴非负半轴，建立平面直角坐标系，如图，

令角的始边为射线，终边经过点，由，得，而，
于是，
因此
，其中锐角由确定，
显然，则，
所以的取值范围是.
故选：D
2．（22-23高三上·浙江宁波·期末）若单位向量满足，向量满足，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出，由得到C在以为直径的圆上，表达出，设，利用辅助角公式得到的最值.
【详解】令，
不妨，所以中点坐标为，
因为，所以C在以为直径的圆上，即，
所以，
令，
则
，
因为，所以，
所以.故选：C.
【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
3．（24-25高三上·福建·期中）已知向量，，满足，，，，则（ ）
A． B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最大值为
【答案】BC
【分析】根据向量的模长及夹角，不妨设，，，通过，可求出是以原点为起点，终点在以为圆心，为半径的圆上的向量.根据向量模长的坐标运算可判断项；根据圆上一点到圆上一点距离的最大值为直径可判断项，根据圆内一点到圆上一点距离的范围为可判断，项.
【详解】根据题意不妨设，，，
则， ，所以，
化简得，记为圆，即是以原点为起点，终点在以为圆心，为半径的圆上的向量.
对于，，所以，故错误；
对于，表示原点到圆上一点的距离，
因为原点在圆上，所以的最大值为圆的直径，即，故正确；
对于，，表示点到圆上一点的距离，
因为点在圆内，所以的最小值为,
的最大值为，故正确，错误.
故选：.
4．（2023·四川南充·一模）已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】结合二次函数的性质，由的最小值求得向量与的夹角，判断出点对应的轨迹，从而求得的取值范围.
【详解】设向量与的夹角为，，则，
，
所以当时，取得最小值为，即，所以.
如图所示，设，三角形是等边三角形，设是的中点，则，
由于，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆，圆的半径为，根据圆的几何性质可知，即的取值范围为.
故答案为：
【点睛】本小题解题难点有两点，第一点是的最小值的用法，有关向量模的试题，可以考虑利用平方再开方的方法进行转化，结合向量的数量积运算来求解.第二点是的用法，转化为向量垂直、轨迹为圆来配合解题.
考向13 圆为主几何意义2：定义型构造圆
符合圆的定义的以下几个方面： 圆的的第一定义：到定点距离等于定值的点的轨迹 阿波罗斯尼园。 两条互相垂直的直线交点，在一个以两直线上两点为直径的圆上。
5．（23-24高三·全国·专题练习）设，为平面向量，定义运算．已知向量，，满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】设，，，根据题意得为的外心，结合正弦定理得，，，再由，，得到，利用三角恒等变形，结合四元基本不等式，即可求解.
【详解】设，，因为，所以，
所以为的外心， 在中，由正弦定理可得，
所以，，，，，
又与的夹角为，所以，
又，，所以，
，
把看作主元，故当时，上式取得最大值，最大值为，
其中
，
当且仅当且时，等号成立，即时，，所以.故选：B
6．（23-24高三·全国·专题练习）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，设，，
所以，，所以
，其中，，
因为，所以，即；故选：D
7．（23-24高一下·山东日照·期中）已知平面向量对任意实数都有，成立．若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设,由题意可得，点在以为直径的圆上，设圆心为，作出图形，过点作，交于点，交圆于点，结合图形，推得在上的射影长的最大值为，通过设，将的最大值表示成关于的三角函数式，利用三角函数的值域即可求得范围.
【详解】
如图，设,则,
因对任意实数都有，成立，
即对任意实数都有，成立，
因与共线，与共线，由直线外一点到直线上的点连线中垂线段最短原则，知必有，,
即点在以为直径的圆上，设圆心为.
则，而为向量在上的射影的长.
过点作，交于点，交圆于点，因则，
则在上的射影即在上的射影，而由图知在上的射影长的最大值为，（当重合时取得最大值），
则,
不妨设,则
于是，，
因，则，而，
即的最大值为，
当C与O重合，B与A重合时，均取到最大值2，，
此时取得最小值.故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查向量数量积的范围问题，属于难题.
解题的关键在于两点：其一，由题设两个不等式得出，其二，求解时，应利用向量数量积的几何意义—投影向量，结合图形理解并转化求解.
8．（21-22高三下·浙江·月考）已知平面向量，，满足：，，则的最小值是 .
【答案】/
【分析】建立直角坐标系，根据已知条件求出终点的轨迹方程，由此即可求解.
【详解】如图在直角坐标系中，
设，∵，∴A的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，
设，由可知，
设，则，
，设，则
，
，
∴ ①
②
①＋②得：，则B的轨迹是以G(－1，)为圆心，1为半径的圆，
则.故答案为：.
【点睛】本题的关键是建立合理的坐标系，求出向量终点的轨迹方程，将最短距离转化为定点到圆上一点距离的最值问题，综合考察向量的线性运算法则和动点轨迹的求解，属于难题.
考向14 圆为主几何意义3：含参型最短距离
.形如，则 转化为直线点B到直线AC上一点的最短距离，最短距离显然是点到直线的距离，即B 到直线AC的距离。
9．（23-24高三·全国·专题练习）已知定圆的半径为4，A为圆上的一个定点，为圆上的动点，若点不共线，且对任意的恒成立，则 .
【答案】16
【分析】由题干条件得到，两边平方后得到关于的一元二次不等式在恒成立，讨论判别式和根的范围，求出正确答案.
【详解】两边平方得：，
所以在上恒成立，
由，
若，，在上恒成立，满足要求，
若，，则的较大解为，
当时，，故不能对任意的恒成立，舍去；
当时，，不能对任意的恒成立，舍去；
综上：.
故答案为：16
【点睛】思路点睛：平面向量解决几何最值问题，
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
10．（23-24高一下·山东日照·期中）已知平面向量对任意实数都有，成立．若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设,由题意可得，点在以为直径的圆上，设圆心为，作出图形，过点作，交于点，交圆于点，结合图形，推得在上的射影长的最大值为，通过设，将的最大值表示成关于的三角函数式，利用三角函数的值域即可求得范围.
【详解】
如图，设,则,
因对任意实数都有，成立，即对任意实数都有，成立，因与共线，与共线，由直线外一点到直线上的点连线中垂线段最短原则，知必有，,即点在以为直径的圆上，设圆心为.
则，而为向量在上的射影的长.
过点作，交于点，交圆于点，因则，
则在上的射影即在上的射影，而由图知在上的射影长的最大值为，（当重合时取得最大值），则,
不妨设,则
于是，，
因，则，而，即的最大值为，
当C与O重合，B与A重合时，均取到最大值2，，
此时取得最小值.故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查向量数量积的范围问题，属于难题.
解题的关键在于两点：其一，由题设两个不等式得出，其二，求解时，应利用向量数量积的几何意义—投影向量，结合图形理解并转化求解.
11．（2023·四川南充·一模）已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】结合二次函数的性质，由的最小值求得向量与的夹角，判断出点对应的轨迹，从而求得的取值范围.
【详解】设向量与的夹角为，，则，
，
所以当时，取得最小值为，即，所以.
如图所示，设，三角形是等边三角形，设是的中点，则，
由于，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆，圆的半径为，根据圆的几何性质可知，即的取值范围为.故答案为：
【点睛】本小题解题难点有两点，第一点是的最小值的用法，有关向量模的试题，可以考虑利用平方再开方的方法进行转化，结合向量的数量积运算来求解.第二点是的用法，转化为向量垂直、轨迹为圆来配合解题.
12．（20-21高一下·江西新余·期末）已知平面向量，，且，，向量满足，则的最小值为 .
【答案】
【分析】先根据平面向量数量积的定义求出夹角，然后根据平面向量的加减法作出示意图，进而求出和，进而根据图形得出点C的几何意义，最后求出最值.
【详解】∵，，而，，
∴，∴，，如图所示，
若，，，，则，，
∴在以为圆心，2为半径的圆上，若，则，
∴问题转化为求在圆上哪一点时，使最小，又，
∴当且仅当，，三点共线且时，最小为.
【点睛】平面向量中的最值问题我们通常采用数形结合的方式，把向量模的最值问题转化为距离的最值问题.
考向15 圆为主几何意义4：综合型
13．（25-26高二上·四川绵阳·期中）在平面直角坐标系中，点在圆： 上，点B在直线： 上，且 ，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】设，设，然后根据垂直关系可求出的表达式，进而得到，然后化简得到关于的表达式，最后求出最小值即可.
【详解】因为点在直线上，所以设.
设，由得，
所以，
化简得
解得，所以.
所以.
.
所以
要求的最小值，即求的最大值，因为.此时取最小值为.故答案为：.
14．（25-26高二上·上海·期中）已知是共面向量，和是两个互相垂直的单位向量，若，，则在方向上的数量投影的最大值为 ．
【答案】/
【分析】设，得到点在以为圆心，半径为的圆上，点的轨迹为以为焦点的椭圆方程，数形结合得到与圆相切且与相切时，最大，并求出最大值.
【详解】不妨设，，
由，可得，故，所以点在以为圆心，半径为的圆上，由，可得，
即，所以点到的距离之和为，
所以点的轨迹为以为焦点的椭圆方程，且，，所以，椭圆方程为，
如图1所示，在椭圆上固定一个点，作⊥于点，根据数量投影的概念，需为锐角，才能保证数量投影为正，则的长即为在方向上的数量投影的大小，其中，
由于固定点，故为定值，要想最大，则需最大，
所以需最小，显然需与圆相切（如图2所示），
此时连接，则⊥，且，所以，直线方程为，现在移动点，显然当与相切时，最大，由于，故，设直线方程为，
联立与得，由得，
由图可知，，故直线方程为，其中，解得，
故，，所以，.
故答案为：
15．（25-26高三上·上海嘉定·期中）平面中的三个单位向量，若，则的最大值与最小值之和为 .
【答案】/
【分析】设，，，分析可知的最小值为，的最大值为1，结合向量加法可得的最小值为，最大值为2，即可得结果.
【详解】设，，，可知点在标准单位圆上，不妨设，
因为，则，，可知，，
取单位圆的六等分点，逆时针排列依次为，则点在上，点在上，
设，因为，
当且仅当，即点与点（或点）重合时，等号成立，
所以的最小值为，且，
可得，
当且仅当点与点（或点）重合，且三点共线时，等号成立，
所以的最小值为；设，
因为，
当且仅当，即点与点（或点）重合时，等号成立，
所以的最大值为1，且，
可得，当且仅当点与点（或点）重合，且点与点重合时，等号成立，所以的最大值为2；
综上所述：的最小值与最大值之和为.故答案为：.
16．（25-26高三上·湖南·月考）实数满足，设点，动点满足.点为线段的中点，当且面积取得最大值时，点坐标为 .
【答案】
【分析】根据指数的运算性质和对数的运算性质，根据方程求出参数值，再根据向量积的坐标表示，求出动点轨迹，进而求出符合条件的动点坐标即可.
【详解】变形为，则，即，
令，则，所以在上单调递增，
又，所以，从而点在直线上，因为为线段的中点，，所以，从而在以为直径的上，所以有，
此时，所以，可得直线的斜率为，
因为满足，可知点在以为直径的上，方程为.
若面积最大，由圆的对称性可知，此时直线垂直于，
所以直线的斜率为，点在优弧上，从而可知直线.
联立，可得（负值舍去），所以，所求点坐标为.
故答案为：.
冲刺练
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．（25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）已知向量 满足： ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量垂直的数量积表示求出，再由平面向量的夹角公式求解即可.
【详解】，则，
即，解得，所以，
又，所以.故选：B
2．（25-26高三上·河北沧州·期末）已知向量 满足，，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】设且，根据题意，得到四边形是边长为2的菱形，再作，得到点在以为圆心，半径为1的圆上，结合图形和圆的性质，即可求解.
【详解】如图所示，设向量，作向量，
因为，所以四边形是边长为2的菱形，且，
再作，则，
所以点在以为圆心，半径为1的圆上，
结合图形，当三点共线时，即点在处时，取得最大值，
所以取得最大值.
故选：C.
3．（25-26高三上·湖北黄冈·期末）直线与x，y轴分别交于M，N两点，点在圆上，当面积最大时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题设分析可得，要使面积最大，点到直线的距离最大，进而求解即可.
【详解】直线与x，y轴分别交于M，N两点，则，
由圆，即，则圆心，半径，所以圆心到直线的距离为，则直线与圆相离，而点在圆上，
要使面积最大，则点到直线的距离最大，即与直线垂直，而，则，如图，此时三点共线，即，则，
所以.故选：A
4．（25-26高二上·江苏苏州·月考）在平面直角坐标系中，直线与圆交于两点，且的面积为1，已知是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，再根据的面积求出圆心到直线的距离，最后利用向量的运算和圆的性质求出的最大值.
【详解】圆的方程可化为，所以圆的圆心坐标为，半径.
设圆心到直线的距离为，根据的面积为1，得，即，所以，即.设的中点为，则，，因为，所以.
由，得,的最大值为圆心到直线的距离加上圆的半径，
即，所以的最大值为.故选：B
5．（2025高一上·浙江温州·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，已知点的坐标为，则点的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先设点的坐标，再结合边长及垂直应用平面向量数量积公式列式计算求解.
【详解】设，因为四边形是正方形，所以，所以，
因为，所以，又因为，所以，
所以，即得，解得或，因为，所以不合题意舍去，所以，所以点.故选：A.
6．（25-26高一上·辽宁大连·期末）已知中，是边上靠近B的三等分点，Q为的中点，过点O的直线分别交直线，于不同的两点M，N，设，，其中，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．的最小值为
【答案】D
【分析】根据平面向量基本定理结合图像和已知条件以及基本不等式的性质逐项计算判断即可.
【详解】对于A：根据题意画出图像，则根据已知条件可得
，A正确；
对于B：，由A知.
所以，B正确；
对于C：因为，，，所以.
因为点共线，所以设.所以，化简得.
即，又，所以，两式相加得，即，C正确；
对于D：由C知，所以.
所以D错误.故选：D
7．（2025高三上·重庆大足·专题练习）在中，，分别为边，的中点，且向量与的夹角为，，，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解法一：由题意可得为的重心，在中，由余弦定理可得，由极化恒等式可得，计算即可；
解法二：根据，分别为边，的中点，将和用与表示，再结合模长和夹角进行数量积计算即可求解.
【详解】解法一：，是的两条中线，设它们的交点为，如图：
则为的重心，，，所以，
向量与的夹角为，故，在中，
，其中，
两式平方相减得到：，即；
解法二：因为，分别为边，的中点，所以，即，
又，由 ，可得，
所以
.故选：D
8．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知点是的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为1的正项数列，是数列的前项和，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．
【答案】C
【分析】由向量共线和平面向量基本定理可得，分析可得是以为首项，为公比的等比数列，逐项判断可得结果.
【详解】∵为中点，∴，即，
∵三点共线，∴为共线向量，设，则.
∵，∴由平面向量基本定理得，化简得：，故，∴是以为首项，为公比的等比数列，故B正确.
由等比数列通项公式得，，∴，故C错误.
由得，，故A正确.
，故D正确.
故选：C.
二、多选题
9．（25-26高三上·湖南湘西·期末）在菱形中，，点满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据数量积的定义结合可判断A；由题意判断出的位置，利用反证的思想可判断B；根据向量线性运算可判断C；根据数量积的运算律可判断D.
【详解】对于A，在菱形中，由，
得，所以，故A正确；对于B，由得是的中点，由，知是上靠近点的三等分点，若，则F为的中点，与是的三等分点矛盾，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D， ,故D错误,故选 ；AC
10．（2026·湖北荆门·模拟预测）如图，已知等腰梯形中，，，点，分别为线段，上的动点且，点、为线段、的中点，则以下结论正确的是（ ）

A． B．
C．若为的外心，则 D．
【答案】ABC
【分析】解法一（代数法）：根据向量线性运算计算可判断A；建立平面直角坐标系，由题意设出，，根据向量夹角计算公式计算即可判断B；设，得平行四边形PMEN为菱形，即点E为的外心，计算可判断C；结合C计算可判断D.解法二（几何法）：根据向量线性运算计算可判断A；由几何关系可得，进而可得，计算可判断B；作的平分线交DC于E，由几何关系可得四边形PMEN为菱形，可判断C；由可判断D.
【详解】解法一（代数法）：点，为线段，的中点，
，，
两式相加得：，故A正确；
以为原点，所在直线为轴，过点作垂直的直线为轴建立如图所示平面直角坐标系：
则，，
所以，，所以，故B正确；
设，则，即点坐标为，
因为，，所以，，
所以平行四边形为菱形，所以，所以点为的外心，即点与重合，
此时，，即点在直线上，所以，故C正确．
，则，
当且仅当时等号成立，故D错误；
解法二（几何法）：点，为线段，的中点，，，
两式相加得：，故A正确；
因为，点为线段的中点，且，所以，故四边形，为平行四边形，所以，故是等边三角形，则，，
所以，故，故，故，故B正确；
作的平分线交于，因为，所以，
由，，故，，，四点共圆，故，故为正三角形，所以四边形为菱形，故即为的外心，即与重合，故，故C正确；
，故D错误．
故选：ABC
11．（24-25高一下·河北·月考）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（ ）
A．若，则为的重心
B．若，则
C．若，则
D．若为的内心，且，则
【答案】ABD
【分析】根据重心的性质推导出，结合重心的定义可判断A选项；由“奔驰定理”结合平面向量的线性运算可判断BC选项；推导出，可得出为直角，结合锐角三角函数的定义可判断D选项.
【详解】对于A选项，若，则，
取线段的中点，连接，则，
所以，，即，故、、三点共线，
分别取线段、的中点、，连接、，
同理可证、、三点共线，、、三点共线，则为的重心，
因此，若，则为的重心，A对；
对于B选项，若，由“奔驰定理”可得，
所以，，所以，，
故，B对；
对于C选项，若，即，
即，即，
又，不共线，所以，
所以由“奔驰定理”可得，C错；
对于D选项，若为的内心，设的内切圆半径为，
则，
因为，则，故，
设，则，，则，故为直角，
所以，，D对.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于利用平面向量的线性运算与三角形的面积比的关系，转化为“奔驰定理”判断结论即可.
三、填空题
12．（25-26高三上·重庆·月考）在中，，它的面积是10，，E，F分别在AB，AC所在的直线上，且满足，对任意，恒成立，则 ．
【答案】
【分析】根据三角形面积求得，根据题意分析可得，，再由，结合三角形和三角形面积公式，推出和，最后根据向量数量积的定义式即可求得.
【详解】因为，则，且，
又因为的面积为10，则，解得，
由图知表示直线上一点到点的向量，而则表示直线上一点到点 的距离，
由对任意恒成立可知，的长是点到直线上的点的最短距离，
此时，同理可得，则，可得，
因为，则，可得，由，可得，由，可得，
所以.
故答案为：.
13．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，若，，是平面内三个不同的单位向量，且满足，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据奇函数的性质，求出分段函数解析式，再根据不等式，求出向量数量积的范围，进而求出向量夹角的范围，再根据平面向量的坐标表示，求出向量模长的最小值.
【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，，则，得，
当时，，则，得，即，
所以，设夹角为，，则，
设夹角为，，则，
当时，可得，解得，
，解得（舍去），所以，即，
当，可得，解得（舍去），
，解得，所以，即，
设，则，则，
当取最小值，且与反向时，取得最小值；
可知，
因为，所以当时，，
根据四边形法则，可知与夹角为，当时，为最小值.
故答案为：.
14．（25-26高二上·江苏常州·开学考试）设O，分别为的外心和垂心，，，，，则 ．
【答案】
【分析】根据题意可得，即，然后可得，，同理可得，，，根据正弦定理可得，继而得到，再由即可求解.
【详解】设为的中点，为的中点，因为，所以，即，又，所以，则，
所以，所以．因为，
所以，得，所以，所以，
所以，故．由正弦定理，即，
又，所以，则，
又．
故答案为：.
结束
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