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专题09 数列
易错点1 忽略数列与一般函数的区别致错
易错典题
【例1】（25-26高三上·安徽部分重点中学期中）已知数列满足，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为数列满足，，即，
当时，则有，所以，，，，
上述等式全部相加得，
所以，
也满足，故对任意的，，
所以，
由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
又因为，因为，，故（易错点），
注意数列中的n为正整数
所以的最小值为.故选B.
【错因分析】本题容易混淆数列的定义域与函数的定义域的差异而得出时
取最小值这样的错误.
知识混淆：将数列直接等同于连续函数，照搬函数求最值方法，忽略数列定义域是正整数集，与连续函数定义域全体实数不同，误把函数极值点当作数列最值点，导致结果错误.
概念模糊：对数列本质理解不清，没认清数列是离散型函数，模糊 “项数 n 为正整数” 的核心概念，不验证极值点附近整数取值，直接套用连续函数结论，最值判断出错.
望文生义：只看 “函数最值” 字面，不结合数列离散特征，想当然认为函数最小值点就是数列最小值点，忽略定义域限制，未对n取整检验，得出错误结论.
避错攻略
【方法总结】在处理数列的求值、分析数列的性质时一定要注意数列的定义域是离散的，不是连续的，故不能对数列的通项公式求导．
【知识链接】1.数列的概念及一般形式
数列的定义：按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次成为这个数列的第1项（或首项），第2项……，组成数列的数的个数称为数列的项数.
（2）数列的一般形式可以写成，，，……，，……，其中表示数列的第项（也称为的序号，其中为正整数，即），称为数列的通项.此时一般将整个数列简记为.
【解读】与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：
①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；
②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)；
③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；
④数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物．
2.数列的通项公式
一般地，如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an＝f(n)来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称此关系式为这个数列的通项公式．
【解读】①数列的通项公式实际上是一个以正整数集N＋或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数解析式．
②和所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．
③有通项公式的数列，其通项公式在形式上不一定是唯一的．
举一反三
【变式1-1】（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知数列满足，若对于任意的都有成立，则正整数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意数列为递增数列，
所以，则且，
又为正整数，由知，，
当时，，符合，
同理均符合，
当时，，不符合，
故正整数的取值范围是.
故选：D.
【变式1-2】（25-26高三上·天津南开·期末）设数列的通项公式为，若数列是单调递减数列，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为数列是单调递减数列，
所以恒成立，
则，即，
又，则，所以，则实数a的取值范围为.
故选：D
【变式1-3】（25-26高三上·广东汕头·开学考试）已知数列，则数列的前100项中的最小项和最大项分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【解析】，
因为，
所以时，数列单调递增，且；时，数列单调递增，且.
∴在数列的前100项中最小项和最大项分别是.
故选：B.
易错点2 由Sn求an忽略n=1的讨论
易错典题
【例2】（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式 .
【答案】
【解析】由得，时，，两式相减得，
所以当时，是公比为3的等比数列，而，则，
由不满足上式得.（易错点）
易错之处是：忽视n=1，而得到错解.
【错因分析】直接使用公式 an=Sn Sn 1，未单独验证n=1时 a1=S1，导致首项与通项不统一，出现分段关系却写成统一表达式，结果错误。
知识混淆:混淆数列通项与前n项和的关系，把an =Sn Sn 1 当成对所有n都成立，忘记公式仅对n≥2有效，与a1=S1的定义混淆。
概念模糊:对“由和求项”的逻辑理解不清，不清楚n=1时无S0，必须单独计算，不理解分段讨论的必要性，直接合并通项导致首项不符。
望文生义:看到“由Sn求an” 就直接作差，想当然认为n=1也满足同一式子，不检验、不分类，忽略分段数列的本质，造成答案不严谨。
避错攻略
【方法总结】利用Sn与an的关系求an，作差后往往会得到一个项或和的递推关系式，这是一定要检验递推关系是否对所有的正整数都成立，然后再根据递推关系求通项公式.
【知识链接】1.已知Sn=f(n)求an
已知求通项，步骤可分为三步：（1）当时；（2）当时，；（3）检验能否合写，即和两种情况能否合写成一个公式，否则就写为分段的形式．
2.已知Sn与an的关系求an
根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.
（1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；
（2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为只含an，an－1的关系式，再求解.
举一反三
【变式2-1】（2025高三上·江西南昌·专题练习）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，则，
所以，
当时，，
当时，满足，
所以数列的通项公式为.
故选：C
【变式2-2】（25-26高二上·天津红桥·阶段练习）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 .
【答案】
【解析】当时，，而不满足上式，所以数列的通项公式为.
易错点3 等比数列问题忽略对公比q的讨论
易错典题
【例3】（2025高三·全国·专题练习）已知在等比数列中，，前三项之和，则公比的值是（ ）
A．1 B． C．1或 D．或
【答案】C
【解析】当时，，符合题意（易错点）；
本处容易忽视q=1这一种情形
当时，，解得.
综上，的值是1或.
故选：C
【错因分析】解题时直接默认公比，未分q=1和两种情况，直接套用的求和公式，导致漏解、定义域错误或结果不完整.
知识混淆：混淆等差、等比数列求和公式，认为等比数列和等差数列一样无需分类；忘记等比数列求和公式在q=1时为常数列求和，强行套公式而出错.
概念模糊：对等比数列定义与求和公式的适用条件理解不清，不清楚公比q=1时数列是常数列，不理解为何要分类讨论，直接忽略特殊情况.
望文生义：看到 “等比数列求和” 就机械套用等比数列前n项和公式，想当然认为恒成立，不看题目条件，不验证q=1是否成立.
避错攻略
【方法总结】注意等比数列的求和公式是分段表示的：，所以在利用等比数列求和公式求和时要先判断公比是否可能为1，，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论.
【知识链接】1.等比数列的概念及公式
（1）等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示.
数学语言表达式： (，为非零常数)．
（2）等比中项性质：如果三个数，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，其中.
注意：同号的两个数才有等比中项.
（3）通项公式及前n项和公式
①通项公式：若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；
通项公式的推广：.
②等比数列的前项和公式：当时，；当时，.
2 .等比数列的性质
已知是等比数列，是数列的前项和．
（1）等比数列的基本性质（了解即可）
①相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为.
②若，(项数相同)是等比数列，则，，，，仍是等比数列．
③若，则有，推广：
（2）等比数列前项和的性质
（1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为；
举一反三
【变式3-1】（24-25高三上·浙江绍兴·期中）已知等比数列，首项为，公比为，前项和为，若数列是等比数列，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，则.
若，则，由题意可得，即，
所以，，解得，不合乎题意；
若，则，则，
由题意可得，即，
所以，，可得.
故选：B.
【变式3-2】（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）是等比数列的前项和，已知，则 ．
【答案】或
【解析】，
，即，
因为，所以，
解得或，又，所以，即，所以或-3.
易错点4 裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数而致错
易错典题
【例4】（25-26高三上·湖南长沙期末） 已知等差数列满足：，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若等差数列的公差不为零，且数列满足：，求数列的前99项和.
【解析】（1）设等差数列的公差为d，依题意，，，成等比数列，
所以，解得：或
当时，；当时，，
所以数列的通项公式为或.
（2）因为等差数列的公差不为零，由（1）知（），
则，
所以
(易错点)
裂项相消时保留的项往往是与首末序号对称的项，如本题中保留了第2项和倒数第2项
【错因分析】利用裂项相消法求数列的和时要注意两点，一是裂项是否需要凑系数，二是相消后前后各剩几项，这是在解题过程中最容易出错的地方.
知识混淆：把裂项公式与分式变形混为一谈，只关注形式拆分，忽略裂项前后系数是否等价，直接照搬简单模型，未还原正确系数，导致求和时每一项都放大或缩小，整体结果出错.
概念模糊：对 “相消” 本质理解不清，只知道前后抵消，不清楚哪些项保留、哪些项消失，不写出前几项与后几项对比，盲目认为只剩首尾，出现漏项、多项，求和结果与正确值偏差.
望文生义：看到 “裂项相消” 就想当然认为中间全部抵消，不仔细展开验证，忽视分母结构、项数奇偶、通项变形带来的保留项变化，直接凭印象写结果，造成漏项或添项错误.
避错攻略
【方法总结】用裂项相消法求和时，裂项后可以产生连续相互抵消的项，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，一般来说前面剩余几项后面也剩余几项，若前面剩余的正数项，则后面剩余的是负数项.
【知识链接】裂项相消法就是把数列的每一项分解（常见分解为两式之差），使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次项抵消，有的是间隔项抵消.
裂项常见形式：
(1)分母两项的差等于常数
；；
(2)分母两项的差与分子存在一定关系
＝－；
；
（3）分母是三项的积
(4)分母含无理式
＝－；
举一反三
【变式4-1】（2026·广东湛江·一模）在数列中，，令，则数列的前15项的和为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】B
【解析】因为，所以，即，
故为首项是，公差为的等差数列，所以，．
，
所以数列的前项的和，
故，
故选：B．
【变式4-2】（25-26高三上·河北衡水·期中）设等差数列的前项和为，已知，设，则数列的前项和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设数列的公差为，则，解得，
则；
，
设数列的前项和为，
，
，
……
将这个式子累加，可得.
故选：C.
【变式4-3】（25-26高三上·贵州铜仁·期末）已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．成等差数列
C． D．
【答案】D
【解析】由，依据等差数列前项和性质，得；
又，利用通项公式展开得，结合，联立得；
故；
选项A：，选项A错误；
选项B：，但，不构成等差数列，选项B错误；
选项C：，选项C错误；
选项D：，拆分前两项，对后续项放缩；
当时，，不等式成立；
当时，，不等式成立；
当时，前两项和；对的项用放缩，利用不等式，而，
因此，从到的和可以裂项为：，
合并放缩得，因为，所以，
综上，成立，选项D正确.
故选：D
易错点5 错位相减求和错判项数、公比或符号出错
易错典题
【例5】（25-26高三上·新疆喀什·月考）记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)数列满足，求数列的前n项和.
【解析】（1）由得，又是公差为的等差数列，故，即；
当时，，两式相减得，
累乘得：，
所以通项公式为：.
（2）由，代入得：，用错位相减法求：
，
，
两式相减得：(易错点)，
此处相减后容易漏项或者错判项数
整理后得：.
【错因分析】错位相减时，两式相减易错判项数、看错公比、弄错符号；未对齐项就相减，导致中间等比数列项数算错，公比带负号时符号混乱，最终结果偏差.
知识混淆:将错位相减与裂项相消混用，照搬简单抵消思路；不清楚相减后中间是等比数列，误把项数、公比当成普通数列处理，公式套用错误.
概念模糊:对 “错位” 本质理解不清，未对齐同类项就相减；不清楚相减后首项、末项及中间项数，对公比、符号、项数三个关键量判断模糊.
望文生义:看到等差乘等比就想当然直接相减，不写展开式、不核对项数、不检验符号；凭印象写结果，忽略错位、对齐、变号三步核心，导致计算错误.
避错攻略
【方法总结】利用错位相减法求和时，首先要判断两边需要乘的公比是多少；二是相减后最后一项要变号；三是利用等比数列求和公式求和时要判断项数，四是要注意对结果化简，另外可以用n=1代入检验结果是否成立.
【知识链接】错位相减法
(1)如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前项和可用错位相减法求解．
(2)错位相减法求和时，应注意：①在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“”的表达式．
②应用等比数列求和公式必须注意公比是否等于1，如果，应用公式.
举一反三
【变式5-1】（25-26高三上·河南新乡·期末）过三棱柱的棱的中点M且与底面ABC平行的平面内的一动点O满足：对任意都成立，且，则数列的前n项和 ．
【答案】
【解析】作出示意图如下：

设直线与底面ABC的交点为E，
则根据题意可知O为的中点，所以，
又，
所以，
又因为A，B，C，E四点共面，且，，不共面，
所以，
所以，所以，
因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
所以，
，
两式相减得：
，
所以．
【变式5-2】（2026·湖北·二模）记为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【解析】（1）当时，，即，
当时，，解得，
当时，，，
则，
由可得：，即，
因为，满足公比为，
所以数列是首项，公比为的等比数列，
故数列的通项公式为.
（2）由题意得，则设，
则，
，
，
即，
化简得．
故数列的前n项和.
单选题
1．（24-25高二上·全国·课后作业）若数列的通项公式为，则关于此数列的图象叙述正确的是（ ）
A．此数列不能用图象表示
B．此数列的图象仅在第一象限
C．此数列的图象为直线
D．此数列的图象为直线上满足的一系列孤立的点
【答案】D
【分析】根据数列的图象是直角坐标系里一个个散点，一一判定选项即可.
【详解】数列的通项公式为，
它的图象就是直线上满足的一系列孤立的点，所以A、C错误，
当时，，该点在第四象限，
当且时，，此时数列图象在第一象限，所以B错误.
故选：D.
2．（23-24高二下·北京大兴·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】当时，求得；当时，根据化简得，再检验得出通项公式即可.
【详解】当时，；
当时，，
经验证，不符合上式，所以
故选：.
3．（25-26高三上·广西桂林·月考）数列满足，设命题，命题：数列为递增数列，则是的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由数列为递增数列求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【解析】因为，
若数列为递增数列，
则对任意的恒成立，
对任意的恒成立，又，；
所以推得出，故充分性成立；推不出，故必要性不成立，
所以是的充分非必要条件.
故选：A
4.（24-25高二·全国·课后作业）已知数列a，，，…是等比数列，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B．或 C． D．且
【答案】D
【详解】由等比数列的定义知，数列中不能出现为0的项，且公比不为0，所以且,
所以且.
故选：D.
5．（25-26高三上·河北衡水·月考）已知数列满足，若为递增数列，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得当时，；当时，递增，故只需，代入求解即可.
【解析】当时，递增，则；
当时，递增，
若为递增数列，则，
且，
即，解得；
综上，.
故选：B.
6．（25-26高三上·陕西安康·期末）已知数列满足，设，则数列的前2026项和（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为①，
当时， ②，
由①-②得到，得到，
又时，，满足，
所以，则，
所以 ，
则数列的前2026项和为.
故选：C.
7．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足对任意正整数恒有，且，，则的前30项的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件，令，可得，结合求得，可得是等比数列，求出，再利用裂项相消法求和.
【详解】由，得，
令，，得，可得，
所以，得，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，
故，，所以，
所以的前30项的和为.
故选：D.
8．（25-26高三上·湖南长沙·期末）已知数列的前项和为，且满足，，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】已知数列的前项和为，且满足，，
则当时，，整理得，
所以，又当时，，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，故，
所以，
当时，，则，
当时，，所以，
综上可得：，
若对任意恒成立，则，故实数的取值范围是.
故选：A
多选题
9．（25-26高二上·河北沧州·期末）若数列满足，其前项和为，则（ ）
A．是递增数列 B．当且仅当时，取得最小值
C．当且仅当时，取得最大值 D．
【答案】AD
【解析】因为数列均为递增数列，所以数列为递增数列，A正确；
因为，
故当时，；当时，，当时，，
又为递增数列，
所以无最大值，但有最小值，在和时取得最小值且，所以BC错误，D正确．
故选：AD．
10．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知数列满足，则（ ）
A．是递增数列
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】数列中，，显然，否则，
对于A，，即，因此数列是递增数列，A正确；
对于B，，则，又，则当时，
，而成立，因此，B正确；
对于C，由，得，则当时，，
，则，C错误；
对于D，由，得，即，
因此，D正确.
故选：ABD
11．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知数列的前项和为，且．数列满足，当时，则（ ）
A．是等差数列 B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】已知，.
当时，，解得.
当时，，
化简可得：，即.
因此是首项为1，公比为2的等比数列，
通项公式，，A错误，B正确.
已知，，
先列出关键项：
而，故；而，无整数；
而，故；看来第四年了，
，即，，
；，故.
验证可得：，C正确.
由上述计算可知，则，记.
根据分段规则，将求和区间按分段，
每一段为，共项，该段内为首项、公差的等差数列，
段和：.
因此总求和：，用错位相减法：
，

两式相减：
整理得，即，D正确.
故选：
三、填空题
12．（25-26高三上·山西运城·期末）已知数列的前n项和为，若，则 ．
【答案】
【解析】当时，，变形得，
故数列是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，即，
13．（25-26高三上·福建三明·月考）已知数列的前项和为，且点总在直线上，则数列的前5项和 ．
【答案】129
【解析】数列的前项和为，且点总在直线上，所以.
当时，，两式相减得，
又，所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，则，
∴，则，
所以，
两式相减得：.
所以，则.
故答案为：
14．（25-26高三上·山东临沂·期末）已知数列的前项和为，且，若，则数列的前项和 ．
【答案】
【解析】因为，当时，；当时，；
所以，即，又因，满足前式，
所以是以为首项，为公比的等比数列，则.
因此，
所以.
故答案为：．
四、解答题
15．（2026·山东枣庄·一模）已知等差数列的前项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和，
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得：，解得，
所以数列的通项公式.
（2）因为，
则.
16．（25-26高三上·河北沧州·期末）记为各项均为正数的数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)若等差数列满足，，，求的前项和.
【解析】（1）由，可知是公比为2的等比数列，故，
当时，，，故
由得，又，所以，
故；
（2）记的公差为，由可知，
由得，即，
整理得，即，解得或，
当时，，不合题意，舍去，
当时，，符合题意，
故的通项公式为.所以.
当时，，
,
两式相减，得到.
又注意到时，.
故.
17．（25-26高三上·浙江·期末）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【解析】（1）由，所以当时，，解得，
当时，，与相减得，
即时，，所以，
所以是首项和公比均为2的等比数列，所以，即，
所以数列的通项公式为.
（2）因为，
所以——①，
则——②，
得
，
所以.
18．（25-26高三上·河北衡水·期末）设为数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式.
(2)求数列的前项和.
【解析】（1）由①，得当时，②.
①－②得，则.
将代入，得到，，，
，，，
故当时，也适合，
可得数列是首项为1，公比为2的等比数列，故.
（2），，
，，，
，
数列的前项和为
.
19.（25-26高三上·天津西青·月考）已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64.数列是公比大于0的等比数列，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，，求数列的前项和；
(3)记，，求数列的前项和.
【解析】（1）因为是公差为2的等差数列，且，
所以，解得，
所以；
设等比数列的公比为，
因为，，
所以，即，
解得（舍去）或，
所以.
（2）由（1）得，
则
则
（3）由（1）得
，
则
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题09 数列
易错点1 忽略数列与一般函数的区别致错
易错典题
【例1】（25-26高三上·安徽部分重点中学期中）已知数列满足，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为数列满足，，即，
当时，则有，所以，，，，
上述等式全部相加得，
所以，
也满足，故对任意的，，
所以，
由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
又因为，因为，，故（易错点），
注意数列中的n为正整数
所以的最小值为.故选B.
【错因分析】本题容易混淆数列的定义域与函数的定义域的差异而得出时
取最小值这样的错误.
知识混淆：将数列直接等同于连续函数，照搬函数求最值方法，忽略数列定义域是正整数集，与连续函数定义域全体实数不同，误把函数极值点当作数列最值点，导致结果错误.
概念模糊：对数列本质理解不清，没认清数列是离散型函数，模糊 “项数 n 为正整数” 的核心概念，不验证极值点附近整数取值，直接套用连续函数结论，最值判断出错.
望文生义：只看 “函数最值” 字面，不结合数列离散特征，想当然认为函数最小值点就是数列最小值点，忽略定义域限制，未对n取整检验，得出错误结论.
避错攻略
【方法总结】在处理数列的求值、分析数列的性质时一定要注意数列的定义域是离散的，不是连续的，故不能对数列的通项公式求导．
【知识链接】1.数列的概念及一般形式
数列的定义：按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次成为这个数列的第1项（或首项），第2项……，组成数列的数的个数称为数列的项数.
（2）数列的一般形式可以写成，，，……，，……，其中表示数列的第项（也称为的序号，其中为正整数，即），称为数列的通项.此时一般将整个数列简记为.
【解读】与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：
①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；
②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)；
③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；
④数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物．
2.数列的通项公式
一般地，如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an＝f(n)来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称此关系式为这个数列的通项公式．
【解读】①数列的通项公式实际上是一个以正整数集N＋或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数解析式．
②和所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．
③有通项公式的数列，其通项公式在形式上不一定是唯一的．
举一反三
【变式1-1】（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知数列满足，若对于任意的都有成立，则正整数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（25-26高三上·天津南开·期末）设数列的通项公式为，若数列是单调递减数列，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（25-26高三上·广东汕头·开学考试）已知数列，则数列的前100项中的最小项和最大项分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
易错点2 由Sn求an忽略n=1的讨论
易错典题
【例2】（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式 .
【答案】
【解析】由得，时，，两式相减得，
所以当时，是公比为3的等比数列，而，则，
由不满足上式得.（易错点）
易错之处是：忽视n=1，而得到错解.
【错因分析】直接使用公式 an=Sn Sn 1，未单独验证n=1时 a1=S1，导致首项与通项不统一，出现分段关系却写成统一表达式，结果错误。
知识混淆:混淆数列通项与前n项和的关系，把an =Sn Sn 1 当成对所有n都成立，忘记公式仅对n≥2有效，与a1=S1的定义混淆。
概念模糊:对“由和求项”的逻辑理解不清，不清楚n=1时无S0，必须单独计算，不理解分段讨论的必要性，直接合并通项导致首项不符。
望文生义:看到“由Sn求an” 就直接作差，想当然认为n=1也满足同一式子，不检验、不分类，忽略分段数列的本质，造成答案不严谨。
避错攻略
【方法总结】利用Sn与an的关系求an，作差后往往会得到一个项或和的递推关系式，这是一定要检验递推关系是否对所有的正整数都成立，然后再根据递推关系求通项公式.
【知识链接】1.已知Sn=f(n)求an
已知求通项，步骤可分为三步：（1）当时；（2）当时，；（3）检验能否合写，即和两种情况能否合写成一个公式，否则就写为分段的形式．
2.已知Sn与an的关系求an
根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.
（1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；
（2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为只含an，an－1的关系式，再求解.
举一反三
【变式2-1】（2025高三上·江西南昌·专题练习）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（25-26高二上·天津红桥·阶段练习）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 .
易错点3 等比数列问题忽略对公比q的讨论
易错典题
【例3】（2025高三·全国·专题练习）已知在等比数列中，，前三项之和，则公比的值是（ ）
A．1 B． C．1或 D．或
【答案】C
【解析】当时，，符合题意（易错点）；
本处容易忽视q=1这一种情形
当时，，解得.
综上，的值是1或.
故选：C
【错因分析】解题时直接默认公比，未分q=1和两种情况，直接套用的求和公式，导致漏解、定义域错误或结果不完整.
知识混淆：混淆等差、等比数列求和公式，认为等比数列和等差数列一样无需分类；忘记等比数列求和公式在q=1时为常数列求和，强行套公式而出错.
概念模糊：对等比数列定义与求和公式的适用条件理解不清，不清楚公比q=1时数列是常数列，不理解为何要分类讨论，直接忽略特殊情况.
望文生义：看到 “等比数列求和” 就机械套用等比数列前n项和公式，想当然认为恒成立，不看题目条件，不验证q=1是否成立.
避错攻略
【方法总结】注意等比数列的求和公式是分段表示的：，所以在利用等比数列求和公式求和时要先判断公比是否可能为1，，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论.
【知识链接】1.等比数列的概念及公式
（1）等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示.
数学语言表达式： (，为非零常数)．
（2）等比中项性质：如果三个数，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，其中.
注意：同号的两个数才有等比中项.
（3）通项公式及前n项和公式
①通项公式：若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；
通项公式的推广：.
②等比数列的前项和公式：当时，；当时，.
2 .等比数列的性质
已知是等比数列，是数列的前项和．
（1）等比数列的基本性质（了解即可）
①相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为.
②若，(项数相同)是等比数列，则，，，，仍是等比数列．
③若，则有，推广：
（2）等比数列前项和的性质
（1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为；
举一反三
【变式3-1】（24-25高三上·浙江绍兴·期中）已知等比数列，首项为，公比为，前项和为，若数列是等比数列，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）是等比数列的前项和，已知，则 ．
易错点4 裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数而致错
易错典题
【例4】（25-26高三上·湖南长沙期末） 已知等差数列满足：，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若等差数列的公差不为零，且数列满足：，求数列的前99项和.
【解析】（1）设等差数列的公差为d，依题意，，，成等比数列，
所以，解得：或
当时，；当时，，
所以数列的通项公式为或.
（2）因为等差数列的公差不为零，由（1）知（），
则，
所以
(易错点)
裂项相消时保留的项往往是与首末序号对称的项，如本题中保留了第2项和倒数第2项
【错因分析】利用裂项相消法求数列的和时要注意两点，一是裂项是否需要凑系数，二是相消后前后各剩几项，这是在解题过程中最容易出错的地方.
知识混淆：把裂项公式与分式变形混为一谈，只关注形式拆分，忽略裂项前后系数是否等价，直接照搬简单模型，未还原正确系数，导致求和时每一项都放大或缩小，整体结果出错.
概念模糊：对 “相消” 本质理解不清，只知道前后抵消，不清楚哪些项保留、哪些项消失，不写出前几项与后几项对比，盲目认为只剩首尾，出现漏项、多项，求和结果与正确值偏差.
望文生义：看到 “裂项相消” 就想当然认为中间全部抵消，不仔细展开验证，忽视分母结构、项数奇偶、通项变形带来的保留项变化，直接凭印象写结果，造成漏项或添项错误.
避错攻略
【方法总结】用裂项相消法求和时，裂项后可以产生连续相互抵消的项，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，一般来说前面剩余几项后面也剩余几项，若前面剩余的正数项，则后面剩余的是负数项.
【知识链接】裂项相消法就是把数列的每一项分解（常见分解为两式之差），使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次项抵消，有的是间隔项抵消.
裂项常见形式：
(1)分母两项的差等于常数
；；
(2)分母两项的差与分子存在一定关系
＝－；
；
（3）分母是三项的积
(4)分母含无理式
＝－；
举一反三
【变式4-1】（2026·广东湛江·一模）在数列中，，令，则数列的前15项的和为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【变式4-2】（25-26高三上·河北衡水·期中）设等差数列的前项和为，已知，设，则数列的前项和为（　　）
A． B． C． D．
【变式4-3】（25-26高三上·贵州铜仁·期末）已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．成等差数列
C． D．
易错点5 错位相减求和错判项数、公比或符号出错
易错典题
【例5】（25-26高三上·新疆喀什·月考）记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)数列满足，求数列的前n项和.
【解析】（1）由得，又是公差为的等差数列，故，即；
当时，，两式相减得，
累乘得：，
所以通项公式为：.
（2）由，代入得：，用错位相减法求：
，
，
两式相减得：(易错点)，
此处相减后容易漏项或者错判项数
整理后得：.
【错因分析】错位相减时，两式相减易错判项数、看错公比、弄错符号；未对齐项就相减，导致中间等比数列项数算错，公比带负号时符号混乱，最终结果偏差.
知识混淆:将错位相减与裂项相消混用，照搬简单抵消思路；不清楚相减后中间是等比数列，误把项数、公比当成普通数列处理，公式套用错误.
概念模糊:对 “错位” 本质理解不清，未对齐同类项就相减；不清楚相减后首项、末项及中间项数，对公比、符号、项数三个关键量判断模糊.
望文生义:看到等差乘等比就想当然直接相减，不写展开式、不核对项数、不检验符号；凭印象写结果，忽略错位、对齐、变号三步核心，导致计算错误.
避错攻略
【方法总结】利用错位相减法求和时，首先要判断两边需要乘的公比是多少；二是相减后最后一项要变号；三是利用等比数列求和公式求和时要判断项数，四是要注意对结果化简，另外可以用n=1代入检验结果是否成立.
【知识链接】错位相减法
(1)如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前项和可用错位相减法求解．
(2)错位相减法求和时，应注意：①在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“”的表达式．
②应用等比数列求和公式必须注意公比是否等于1，如果，应用公式.
举一反三
【变式5-1】（25-26高三上·河南新乡·期末）过三棱柱的棱的中点M且与底面ABC平行的平面内的一动点O满足：对任意都成立，且，则数列的前n项和 ．
【变式5-2】（2026·湖北·二模）记为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
单选题
1．（24-25高二上·全国·课后作业）若数列的通项公式为，则关于此数列的图象叙述正确的是（ ）
A．此数列不能用图象表示
B．此数列的图象仅在第一象限
C．此数列的图象为直线
D．此数列的图象为直线上满足的一系列孤立的点
2．（23-24高二下·北京大兴·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26高三上·广西桂林·月考）数列满足，设命题，命题：数列为递增数列，则是的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.（24-25高二·全国·课后作业）已知数列a，，，…是等比数列，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B．或 C． D．且
5．（25-26高三上·河北衡水·月考）已知数列满足，若为递增数列，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．（25-26高三上·陕西安康·期末）已知数列满足，设，则数列的前2026项和（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足对任意正整数恒有，且，，则的前30项的和为（ ）
A． B． C． D．
8．（25-26高三上·湖南长沙·期末）已知数列的前项和为，且满足，，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
多选题
9．（25-26高二上·河北沧州·期末）若数列满足，其前项和为，则（ ）
A．是递增数列 B．当且仅当时，取得最小值
C．当且仅当时，取得最大值 D．
10．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知数列满足，则（ ）
A．是递增数列
B．
C．
D．
11．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知数列的前项和为，且．数列满足，当时，则（ ）
A．是等差数列 B．
C． D．
三、填空题
12．（25-26高三上·山西运城·期末）已知数列的前n项和为，若，则 ．
13．（25-26高三上·福建三明·月考）已知数列的前项和为，且点总在直线上，则数列的前5项和 ．
14．（25-26高三上·山东临沂·期末）已知数列的前项和为，且，若，则数列的前项和 ．
四、解答题
15．（2026·山东枣庄·一模）已知等差数列的前项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和，
16．（25-26高三上·河北沧州·期末）记为各项均为正数的数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)若等差数列满足，，，求的前项和.
17．（25-26高三上·浙江·期末）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
18．（25-26高三上·河北衡水·期末）设为数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式.
(2)求数列的前项和.
19.（25-26高三上·天津西青·月考）已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64.数列是公比大于0的等比数列，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，，求数列的前项和；
(3)记，，求数列的前项和.
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