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专题09 解三角形及其二级结论的应用
目录 第一部分 研·考情精析 锁定靶心 高效备考 第二部分 理·方法技巧 梳理知识 总结技巧与方法 第三部分 攻·题型速解 典例精析+变式巩固 【题型01】正余弦定理的应用 【题型02】面积公式的应用 【题型03】正余弦、面积公式的综合应用 【题型04】三角形形状的判断 【题型05】三角形的实际应用 【题型06】三角形多解问题 【题型07】三角形中线、等分点问题 【题型08】三角形角平分线问题 【题型09】解多个三角形、四边形问题 【题型10】三角形角度范围问题 【题型11】三角形对边、对角范围问题 【题型12】三角形邻边、邻角范围问题 【题型13】解三角形中其他三角函数转化范围问题 第四部分 练·决胜冲刺 精选好题+通关训练
考向聚焦 解三角形中，中线、角平分线、范围问题是高考及模拟考高频考向，侧重基础应用与逻辑推理，核心围绕定理运用、转化思想考查，精准聚焦3类核心方向，兼顾易错点规避。 中线问题考向：主要考查中线公式的直接应用，结合余弦定理联立求解边长、角度，或利用中线分面积为1:1的性质求面积，常结合公共角、边角互化设计小题或解答题第一问，易错点为混淆中线与高线、角平分线。 角平分线问题考向：重点考查角平分线定理的比例应用，搭配余弦定理求角平分线长度、三角形边长，偶尔结合角的平分性质化简三角函数，命题多以中档题为主，核心是找准对应边的比例关系。 范围问题考向：高频核心，多结合正余弦定理、面积公式，将边长、角度范围转化为三角函数值域问题，常涉及辅助角公式、基本不等式，需严格遵循内角和约束与三边关系，是解答题中最值问的主要命题点，侧重转化能力考查。
关键能力 解此类问题的关键能力核心是定理应用、转化与推理，精准把握4点核心：一是定理灵活选用能力，熟练运用正余弦定理、中线及角平分线公式，区分不同条件下的最优解法；二是边角转化能力，能根据题意实现边化角、角化边，统一变量简化运算。三是逻辑推理与检验能力，精准运用中线、角平分线的性质，规避混淆易错点，检验解的合理性；四是最值转化能力，范围问题中能结合内角约束，将边长、角度范围转化为三角函数值域，灵活运用辅助角公式、基本不等式求解，兼顾计算准确性与逻辑严谨性。
备考策略 高考备考需紧扣考点、规避易错，聚焦核心突破。首先，夯实基础，熟记中线、角平分线公式及正余弦定理，明确三者核心性质与易错点，杜绝公式混淆、边角对应错误。其次，分类专项突破，针对三类问题分别刷题，总结解题模板，熟练掌握中线、角平分线问题的联立求解思路，范围问题的变量转化方法。再者，强化逻辑检验，注重解的合理性与内角范围约束，养成分步演算、回头检验的习惯。最后，结合高考真题精练，提炼命题规律，灵活运用辅助角公式、基本不等式，兼顾速度与准确率，适配高考中档题定位，提升解题熟练度与应试能力。
◇方法技巧 01 解三角形中的正余弦定理，面积公式的解题方法
一、正余弦定理选用技巧
正弦定理：
射影定理：
余弦定理：
已知两角一边（AAS/ASA）：用正弦定理，直接求边。
已知两边及夹角（SAS）：先用余弦定理求第三边，再求角。
已知三边（SSS）：全用余弦定理求角。
已知两边及一对角（SSA）：用正弦定理，注意多解检验。
二、面积公式快速选
已知两边及夹角：.
已知三边：先余弦求角，再用面积公式。
已知一边及两角：先正弦求边，再算面积。
关键点：角必须是两边夹角，勿忘。
◇方法技巧 02 解三角形中的中线，角平分线，范围问题的常用解题技巧
一、中线问题
思路：中线分对边相等，分面积 1:1。
常用：公共角 + 余弦定理联立，或用中线公式。
易错：不把中线当普通边，不乱用垂直。
二、角平分线问题
角平分线定理：，大面积=两个小面积之和，用所对应的角进行表示.
角度：平分后直接减半，结合内角和。
计算：多用公共角 + 余弦定理。
易错：不把角平分线当高线、中线。
三、范围与最值问题
统一变量：利用A+B+C=π，化为单角。
确定角范围：0边化角 / 角化边：正弦定理统一结构。
用辅助角、二次函数、基本不等式求最值。
必检验：是否满足三边关系、内角范围。
四、多解问题（SSA 必看）
正弦求角：锐角、钝角都要考虑。
检验：内角和≤180°、大边对大角。
不符合直接舍去，只留有效解。
◇题型 01正余弦定理的应用
典｜例｜精｜析
典例1．在中，内角，，的对边分别是，，，若，且，则等于（ ）
A．3 B．
C．3或 D．-3或
典例2．记的内角的对边分别为，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
忽略三角形内角和为 180°，多解时未检验角度合理性。 用正弦定理求角时，未考虑锐角 / 钝角两种情况，直接舍解。 余弦定理中边的平方与乘积混淆，符号、系数出错。 边角互化时未统一边或角，导致等式变形错误。 未判断三角形是否存在，直接套用公式。 计算时粗心，开方、约分、角度转换失误。
变｜式｜巩｜固
变式1．在中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，.若，则角的大小为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．已知为的三个内角A，B，C的对边，向量，．若，且，则___________________.
变式3．在中，角的对边分别为．已知，，．
(1)求A的值；
(2)求c的值；
(3)求的值．
◇题型 02 面积公式的应用
典｜例｜精｜析
典例1．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，，的面积为，则b=（ ）
A． B．
C． D．
典例2．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求角C；
（2）若，，求的周长.
误用公式：只记，却忽略角必须是两边夹角。 角度混淆：把值记错。 漏乘：代入数据时常忘记系数，结果直接翻倍出错。 未判断三角形存在：边长不满足三边关系就硬算面积。 单位不统一：边长单位不一致直接计算，结果失真。
变｜式｜巩｜固
变式1．我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积____________________．
变式2．△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为_________________．
变式3．的内角的对边分别为,已知的面积为
(1)求;
(2)若求的周长.
◇题型 03 正余弦、面积公式的综合应用
典｜例｜精｜析
典例1．在中，角的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
典例2．（多选）已知的面积为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
边角互化时未统一变量，混用正弦、余弦定理导致变形混乱。 求角漏解：正弦定理求出锐角后，未考虑钝角情况，忽略内角和限制。 面积公式误用：非夹角直接代入，忘记乘或。 余弦定理符号、平方易错，忽略两边之和大于第三边。 多解未检验，角度、边长超出范围仍保留，结果错误。
变｜式｜巩｜固
变式1．在中，,，则（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（多选）在中，内角，，的对边分别为，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
变式3．设的内角所对的边为；则下列命题正确的是_________________.
①若；则②若；则
③若；则④若；则
⑤若；则
◇题型 04 三角形形状的判断
典｜例｜精｜析
典例1．（多选）在中，角的对边分别为，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，则为直角三角形
B．若，则
C．若，则为锐角三角形
D．若，则为直角三角形
典例2．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，证明：是直角三角形．
由正弦定理得，只判，漏。 余弦定理算出cosA<0，未直接判定钝角三角形。 边的等式两边直接约去不为 0 的式子，丢解。 只看单一条件，忽略内角和为。 把当成唯一直角情况，搞反直角位置。 化简不彻底，未看出等腰或直角的隐藏关系。
变｜式｜巩｜固
变式1．在中，角A，B，C所对的边分别为，且成等比数列，设的面积为，若，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
变式2．若，，是的内角，，的对边，，且，则是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．三边互不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形
变式3．（多选）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则
C．若为锐角三角形，则
D．若，则一定是钝角三角形
◇题型 05 三角形的实际应用
典｜例｜精｜析
典例1．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度_________________m.
典例2．如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值______________.
未分清仰角、俯角、方位角，画图出错导致角度代错。 实际图形转化为三角形时，边角对应错误。 忽略高度、距离等实际意义，算出负值不取舍。 测量问题中漏加或减仪器高、参照物高度。 方位角混淆方向，如南偏东与东偏南混用。 计算时近似值过早保留，造成结果误差偏大。
变｜式｜巩｜固
变式1．如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高__________________．
变式2．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度BC约等于______________.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：，，，，）
◇题型 06 三角形多解问题
典｜例｜精｜析
典例1．在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
典例2．（多选）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则为锐角三角形
C．在锐角三角形中，不等式恒成立
D．若，，且该三角形有两解，则b的范围是
正弦定理求角时，只取锐角解，漏掉钝角解。 求出两角后不检验内角和，出现超过 180° 的无效解。 忽略大边对大角，直接保留所有解，未判断合理性。 已知 SSA 时，不判断三角形是否存在、有一解还是两解。 边长、角度对应混乱，把不同三角形的解混在一起。 多解未逐一验证，保留不符合题意的多余解。
变｜式｜巩｜固
变式1．（多选）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且该三角形有两解，则b的值可以为（ ）
A．3 B．5
C．6 D．7
变式2．（多选）已知分别为内角的对边，下面四个结论不正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．在钝角中，为锐角，则不等式恒成立
C．若，的平分线交于点，，则的最小值为
D．若，，且有两解，则的取值范围是
◇题型 07 三角形中线，等分点问题
典｜例｜精｜析
典例1．在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：的周长为；
条件③：的面积为；
典例2．记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
典例3．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)求角A的大小；
(2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值.
中线直接当成角平分线或高线用，忽略垂直、平分条件不成立。 用中线公式时记错结构，漏系数或平方位置错误。 等分点只看比例，不对应相似三角形边长比与面积比关系。 面积比例错用：中线分面积为 1:1，线段等分才按比例。 公共角、公共高忽略，跨三角形边角混用导致错误。 计算时不检验边长、角度是否在同一三角形内，逻辑矛盾。
变｜式｜巩｜固
变式1．在中，，是的中点，，则__________，__________________.
变式2．设△的内角所对边的长分别为，且有.
（Ⅰ）求角的大小；
(Ⅱ)若，，为的中点，求的长．
【详解】（1）由题，，则，故，即.
变式3．记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
◇题型 08 三角形角平分线问题
典｜例｜精｜析
典例1．在中，，的角平分线交于，则__________________．
典例2．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为______________．
典例3．在中，角，，的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若点在线段的延长线上，为的角平分线，，，求的面积．
把角平分线当成中线或高线，错误使用垂直、平分条件。 角平分线定理比例记错，对应边搞反。 用余弦定理求角后，直接除以 2 当作平分角，忽略定理限制。 角平分线长度公式记错系数、平方与根号位置。 多三角形中公共角被平分后，角度代入混乱。 忽略内角和范围，算出角度不合理仍强行计算。
变｜式｜巩｜固
变式1．（多选）已知，，分别是内角，，的对边，为边上一点，的面积为，且满足，，则（ ）
A．
B．当为中线时，
C．当为高线时，
D．当为角平分线时，
变式2．中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．
(1)求；
(2)若，求和的长．
◇题型 09 解多个三角形，四边形问题
典｜例｜精｜析
典例1．的内角的对边分别为已知.
（1）求角和边长；
（2）设为边上一点，且,求的面积.
典例2．在平面四边形中，，，，.
（1）求；
（2）若，求.
多个三角形共用边或角时，数据未统一，互相矛盾。 四边形未正确拆分成三角形，边角对应混乱。 公共角、对顶角、互补角关系用错，角度代入错误。 只算单个三角形，忽略整体图形的边长、面积叠加或扣除。 余弦定理、正弦定理跨三角形混用，条件不匹配。 计算中间值过早四舍五入，导致最终结果偏差大。
变｜式｜巩｜固
变式1．如图所示，在平面四边形中，.
（1）求的值；
（2）若，求的长．
变式2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在边上取一点，使得，求的值．
变式3．如图，在平面四边形中，.
(1)求的值；
(2)求的长.
◇题型 10 三角形角度范围问题
典｜例｜精｜析
典例1．在锐角中，角的对边分别为，且．
（I）求角的大小；
（II）求的取值范围．
典例2．设的内角，，的对边分别为，，，，且为钝角.
（1）证明：；
（2）求的取值范围.
直接把、当成普通三角恒等变换，忽略A+B+C=π约束。 未统一成单角，直接求值域导致范围扩大。 忽略三角形内角范围：0变｜式｜巩｜固
变式1．若的面积为,且为钝角，则__________；的取值范围是_________.
变式2．在中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设为的面积，满足．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的最大值．
变式3．在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求的最大值.
◇题型 11 三角形对边、对角范围问题
典｜例｜精｜析
典例1．在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求面积的最大值.
典例2．在中，角所对的边分别为，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围．
忽略大边对大角、小边对小角，直接乱定范围。 只看单一变量，忘记A+B+C=π，角度越界。 用正弦定理时，不考虑sinθ≤1，出现无解或增解。 余弦定理配方求最值，不检验边长能否构成三角形。 对角为锐角 / 钝角时，未对应限制对边的长短。 边界值（如直角、零度）未检验是否成立，直接取等。
变｜式｜巩｜固
变式1．中，．
（1）求；
（2）若，求周长的最大值.
变式2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)证明：；
(2)求的最小值．
◇题型 12 三角形邻边、邻角范围问题
典｜例｜精｜析
典例1．的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
混淆邻边与对边，乱用大边对大角、正弦定理。 邻角直接相加超 π，忽略内角和限制。 用余弦定理时，邻边与夹角不对应，符号、平方出错。 求范围时未保证两边之和大于第三边。 邻角为锐角或钝角时，未正确约束邻边长短。 单一变量求值域，不检验另一角、边是否合理。
变｜式｜巩｜固
变式1．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，．
(1)求角A的大小；
(2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围．
变式2．已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，.
(1)求证：；
(2)求的取值范围；
(3)若，求三角形面积的取值范围．
◇题型 13 解三角形中其他三角函数转化范围问题
典｜例｜精｜析
典例1．已知是半径为1，圆心角为的扇形（O为圆心），C是扇形弧上的动点，过C作，垂足为D，作，垂足为B，连接，记．
(1)若，求线段的长度；
(2)求当取何值时，的面积最大，并求出这个最大值．
典例2．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
未利用 A+B+C=π 消元，直接多变量求范围，导致结果扩大。 忽略三角形内角 0变｜式｜巩｜固
变式1．若，则的最大值是_________________.
变式2．如图在平面四边形中，，则的取值范围是_____________．
变式3．已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，____________________．
一、单项选择题
1．在中，内角所对的边分别是．若，且，则的面积为（ ）
A．3 B．
C． D．
2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边上的中线长为（ ）
A． B．
C．6 D．10
3．已知的内角，，满足，则下列说法错误的是（ ）
A． B．是直角三角形
C． D．是钝角三角形
4．在中，，是的平分线，，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．在中，是边上的点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
6．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．类比“赵爽弦图”，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，．则（ ）
A． B． C． D．
7．在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ）
A． B．20
C．16 D．
8．在中，，，，当的周长最短时，的长是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．在中，角，，的对边分别为，，，有如下命题，其中正确的是（ ）
A．若，则为等腰或直角三角形.
B．若，则为直角三角形
C．若，则是锐角三角形
D．若，则
10．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，的面积为，则（ ）
A． B．
C．是钝角三角形 D．
11．在中，角所对的边分别为，且，为的中点，则（ ）
A． B．的最大值为
C．的周长的取值范围是 D．的最大值为
三、填空题
12．已知分别为三个内角的对边，若，则__________.
13．如图，在四边形中，，，，，则_______________，的面积为___________________.
14．已知在中，角所对的边分别为，且，则___________．若为锐角三角形，则的取值范围为____________________．
四、解答题
15．在①；②；③（其中为的面积）三个条件中任选一个补充在下面问题中，并作答．
在中，角，，边分别为，，，且________．
(1)求角的大小；
(2)若为锐角三角形且，求的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题09 解三角形及其二级结论的应用
目录 第一部分 研·考情精析 锁定靶心 高效备考 第二部分 理·方法技巧 梳理知识 总结技巧与方法 第三部分 攻·题型速解 典例精析+变式巩固 【题型01】正余弦定理的应用 【题型02】面积公式的应用 【题型03】正余弦、面积公式的综合应用 【题型04】三角形形状的判断 【题型05】三角形的实际应用 【题型06】三角形多解问题 【题型07】三角形中线、等分点问题 【题型08】三角形角平分线问题 【题型09】解多个三角形、四边形问题 【题型10】三角形角度范围问题 【题型11】三角形对边、对角范围问题 【题型12】三角形邻边、邻角范围问题 【题型13】解三角形中其他三角函数转化范围问题 第四部分 练·决胜冲刺 精选好题+通关训练
考向聚焦 解三角形中，中线、角平分线、范围问题是高考及模拟考高频考向，侧重基础应用与逻辑推理，核心围绕定理运用、转化思想考查，精准聚焦3类核心方向，兼顾易错点规避。 中线问题考向：主要考查中线公式的直接应用，结合余弦定理联立求解边长、角度，或利用中线分面积为1:1的性质求面积，常结合公共角、边角互化设计小题或解答题第一问，易错点为混淆中线与高线、角平分线。 角平分线问题考向：重点考查角平分线定理的比例应用，搭配余弦定理求角平分线长度、三角形边长，偶尔结合角的平分性质化简三角函数，命题多以中档题为主，核心是找准对应边的比例关系。 范围问题考向：高频核心，多结合正余弦定理、面积公式，将边长、角度范围转化为三角函数值域问题，常涉及辅助角公式、基本不等式，需严格遵循内角和约束与三边关系，是解答题中最值问的主要命题点，侧重转化能力考查。
关键能力 解此类问题的关键能力核心是定理应用、转化与推理，精准把握4点核心：一是定理灵活选用能力，熟练运用正余弦定理、中线及角平分线公式，区分不同条件下的最优解法；二是边角转化能力，能根据题意实现边化角、角化边，统一变量简化运算。三是逻辑推理与检验能力，精准运用中线、角平分线的性质，规避混淆易错点，检验解的合理性；四是最值转化能力，范围问题中能结合内角约束，将边长、角度范围转化为三角函数值域，灵活运用辅助角公式、基本不等式求解，兼顾计算准确性与逻辑严谨性。
备考策略 高考备考需紧扣考点、规避易错，聚焦核心突破。首先，夯实基础，熟记中线、角平分线公式及正余弦定理，明确三者核心性质与易错点，杜绝公式混淆、边角对应错误。其次，分类专项突破，针对三类问题分别刷题，总结解题模板，熟练掌握中线、角平分线问题的联立求解思路，范围问题的变量转化方法。再者，强化逻辑检验，注重解的合理性与内角范围约束，养成分步演算、回头检验的习惯。最后，结合高考真题精练，提炼命题规律，灵活运用辅助角公式、基本不等式，兼顾速度与准确率，适配高考中档题定位，提升解题熟练度与应试能力。
◇方法技巧 01 解三角形中的正余弦定理，面积公式的解题方法
一、正余弦定理选用技巧
正弦定理：
射影定理：
余弦定理：
已知两角一边（AAS/ASA）：用正弦定理，直接求边。
已知两边及夹角（SAS）：先用余弦定理求第三边，再求角。
已知三边（SSS）：全用余弦定理求角。
已知两边及一对角（SSA）：用正弦定理，注意多解检验。
二、面积公式快速选
已知两边及夹角：.
已知三边：先余弦求角，再用面积公式。
已知一边及两角：先正弦求边，再算面积。
关键点：角必须是两边夹角，勿忘。
◇方法技巧 02 解三角形中的中线，角平分线，范围问题的常用解题技巧
一、中线问题
思路：中线分对边相等，分面积 1:1。
常用：公共角 + 余弦定理联立，或用中线公式。
易错：不把中线当普通边，不乱用垂直。
二、角平分线问题
角平分线定理：，大面积=两个小面积之和，用所对应的角进行表示.
角度：平分后直接减半，结合内角和。
计算：多用公共角 + 余弦定理。
易错：不把角平分线当高线、中线。
三、范围与最值问题
统一变量：利用A+B+C=π，化为单角。
确定角范围：0边化角 / 角化边：正弦定理统一结构。
用辅助角、二次函数、基本不等式求最值。
必检验：是否满足三边关系、内角范围。
四、多解问题（SSA 必看）
正弦求角：锐角、钝角都要考虑。
检验：内角和≤180°、大边对大角。
不符合直接舍去，只留有效解。
◇题型 01正余弦定理的应用
典｜例｜精｜析
典例1．在中，内角，，的对边分别是，，，若，且，则等于（ ）
A．3 B．
C．3或 D．-3或
【答案】A
【分析】利用余弦定理求出，并进一步判断，由正弦定理可得，最后利用两角和的正切公式，即可得到答案；
【详解】，，
，
，
，，
，
，
故选：A.
典例2．记的内角的对边分别为，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可.
【详解】因为，则由正弦定理得.
由余弦定理可得:，
即:，根据正弦定理得，
所以，
因为为三角形内角，则，则.
故选：C.
忽略三角形内角和为 180°，多解时未检验角度合理性。 用正弦定理求角时，未考虑锐角 / 钝角两种情况，直接舍解。 余弦定理中边的平方与乘积混淆，符号、系数出错。 边角互化时未统一边或角，导致等式变形错误。 未判断三角形是否存在，直接套用公式。 计算时粗心，开方、约分、角度转换失误。
变｜式｜巩｜固
变式1．在中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，.若，则角的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据，得，由余弦定理可求.
【详解】因为向量，，
因为，
所以，即，
由余弦定理可得.
因为，所以，
故选：B.
变式2．已知为的三个内角A，B，C的对边，向量，．若，且，则___________________.
【答案】
【分析】根据得，再利用正弦定理得，化简得出角的大小。再根据三角形内角和即可得B.
【详解】根据题意,
由正弦定理可得
则
所以答案为。
【点睛】本题主要考查向量与三角形正余弦定理的综合应用,属于基础题。
变式3．在中，角的对边分别为．已知，，．
(1)求A的值；
(2)求c的值；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求；
（2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得；
（3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得.
【详解】（1）已知，由正弦定理，
得，显然，
得，由，
故；
（2）由（1）知，且，，
由余弦定理，
则，
解得（舍去），
故；
（3）由正弦定理，且，
得，且，则为锐角，
故，故，
且；
故.
◇题型 02 面积公式的应用
典｜例｜精｜析
典例1．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，，的面积为，则b=（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由已知条件中的等差数列和三角形面积计算出，再运用余弦定理计算出的值，即可得到结果.
【详解】，，成等差数列，，平方得，
又的面积为，且，故由，
得，，
由余弦定理得，
解得，又为边长，，
故选.
典例2．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求角C；
（2）若，，求的周长.
【答案】（1）（2）
【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.
试题解析：（1）由已知可得
（2）
又
，
的周长为
考点：正余弦定理解三角形.
误用公式：只记，却忽略角必须是两边夹角。 角度混淆：把值记错。 漏乘：代入数据时常忘记系数，结果直接翻倍出错。 未判断三角形存在：边长不满足三边关系就硬算面积。 单位不统一：边长单位不一致直接计算，结果失真。
变｜式｜巩｜固
变式1．我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积____________________．
【答案】.
【分析】根据题中所给的公式代值解出．
【详解】因为，所以．
故答案为：.
变式2．△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为_________________．
【答案】.
【分析】方法一：由正弦定理可得，化简求得，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到，由为锐角，求得，，利用三角形面积公式即可解出.
【详解】［方法一］：【最优解】边化角
因为，由正弦定理得，
因为，所以．又因为，
由余弦定理，可得，
所以，即为锐角，且，从而求得，
所以的面积为.
故答案为：.
［方法二］：角化边
因为，由正弦定理得，即，又，所以，．又因为，
由余弦定理，可得，
所以，即为锐角，且，从而求得，
所以的面积为.
故答案为：.
【整体点评】方法一：利用正弦定理边化角，求出，再结合余弦定理求出，即可求出面积，该法是本题的最优解；
方法二：利用正弦定理边化角，求出，再结合余弦定理求出，即可求出面积．
变式3．的内角的对边分别为,已知的面积为
(1)求;
(2)若求的周长.
【答案】(1)(2).
【详解】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式，再利用正弦定理将边化成角，从而得出的值；（2）由和计算出，从而求出角，根据题设和余弦定理可以求出和的值，从而求出的周长为.
试题解析：（1）由题设得，即.由正弦定理得.
故.
（2）由题设及（1）得，即.
所以，故.
由题设得，即.
由余弦定理得，即，得.
故的周长为.
点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.
◇题型 03 正余弦、面积公式的综合应用
典｜例｜精｜析
典例1．在中，角的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
所以，
故选A.
【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形.首先用两角和的正弦公式转化为含有，，的式子，用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.
典例2．（多选）已知的面积为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】对由二倍角公式先可推知A选项正确，方法一分情况比较和的大小，方法二亦可使用正余弦定理讨论解决，方法三可结合射影定理解决，方法四可在法三的基础上，利用和差化积公式，回避讨论过程；，然后利用算出取值，最后利用三角形面积求出三边长，即可判断每个选项.
【详解】，由二倍角公式，，
整理可得，，A选项正确；
由诱导公式，，
展开可得，
即，
下证.
方法一：分类讨论
若，则可知等式成立；
若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，同理，
又，于是，
与条件不符，则不成立；
若，类似可推导出，则不成立.
综上讨论可知，，即.
方法二：边角转化
时，由，则，
于是，
由正弦定理，，
由余弦定理可知，，则，
若，则，注意到，则，
于是（两者同负会有两个钝角，不成立），于是，
结合，而都是锐角，则，
于是，这和相矛盾，
故不成立，则
方法三：结合射影定理（方法一改进）
由，结合正弦定理可得，，由射影定理可得，于是，
则，可同方法一种讨论的角度，推出，
方法四：和差化积（方法一改进）
续法三：
，可知同时为或者异号，即，展开可得，
，
即，结合和差化积，，由上述分析，，则，则，则，即，于是，可知.
由，由，则，即，
则，同理，由上述推导，，则，
不妨设，则，即，
由两角和差的正弦公式可知，C选项正确
由两角和的正切公式可得，，
设，则，
由，则，则，
于是，B选项正确，由勾股定理可知，，D选项错误.
故选：ABC
边角互化时未统一变量，混用正弦、余弦定理导致变形混乱。 求角漏解：正弦定理求出锐角后，未考虑钝角情况，忽略内角和限制。 面积公式误用：非夹角直接代入，忘记乘或。 余弦定理符号、平方易错，忽略两边之和大于第三边。 多解未检验，角度、边长超出范围仍保留，结果错误。
变｜式｜巩｜固
变式1．在中，,，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.
详解：因为
所以，选A.
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
变式2．（多选）在中，内角，，的对边分别为，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】先由得，对于A，由角即可判断得解；对于B，分析得出矛盾进而得，结合诱导公式即可得解；对于C，由和结合二倍角公式和诱导公式求出角A、B、C即可得解；对于D，结合选项C利用正弦定理即可得解.
【详解】因为，所以，
对于A，若，则，故A错误；
对于B，若角，则由及得及，不符合，
故角，则由及得，
所以即，故B正确；
对于C，由上，
所以由得，整理得，
解得或，由得，故，
所以，，故，故C正确；
对于D，因为即，所以由正弦定理，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】思路点睛：对于选项C，可知是探究角A与角C的关系，所以应将已知条件代入等量关系中再切化弦，接着结合二倍角公式和诱导公式进行运算和转化求出角A，进而可依据已知条件求出角B、C即可得解.
变式3．设的内角所对的边为；则下列命题正确的是_________________.
①若；则②若；则
③若；则④若；则
⑤若；则
【答案】①②③
【详解】①
②
③当时，与矛盾
④取满足得：
⑤取满足得：
◇题型 04 三角形形状的判断
典｜例｜精｜析
典例1．（多选）在中，角的对边分别为，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，则为直角三角形
B．若，则
C．若，则为锐角三角形
D．若，则为直角三角形
【答案】ABD
【分析】中，由正弦定理可得，再由角的范围，可得的值，进而判断出三角形的形状，判断出的真假；
中，由余弦函数性质可得，的大小关系，由正弦定理可得，的大小关系，判断出的真假；
中，由题意只能判断出角为锐角，但不能判断出角，是否为锐角，判断出的真假；
中，由半角公式及正弦定理，两角和的正弦公式可得，再由角的范围，可得角为直角，进而可得三角形的形状，判断出的真假．
【详解】中，因为，由正弦定理可得，
即，在三角形中，，
所以，因为，所以，即为直角三角形，所以正确；
中，三角形中，，则，由大边对大角，可得，再由正弦定理可得，所以正确；
中，若，只能得出角为锐角，不能说明角，角为锐角，所以不能判断该三角形为锐角三角形，所以不正确；
中，因为，即，可得，
由正弦定理可得，
所以，又因为，
所以，而，
所以，即为直角三角形，所以正确．
故选：．
典例2．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，证明：是直角三角形．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，可化为，即可解出；
（2）根据余弦定理可得，将代入可找到关系，
再根据勾股定理或正弦定理即可证出．
【详解】（1）因为，所以，
即，
解得，又，
所以；
（2）因为，所以，
即①，
又②，将②代入①得，，
即，而，解得，
所以，
故，
即是直角三角形．
【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题．
由正弦定理得，只判，漏。 余弦定理算出cosA<0，未直接判定钝角三角形。 边的等式两边直接约去不为 0 的式子，丢解。 只看单一条件，忽略内角和为。 把当成唯一直角情况，搞反直角位置。 化简不彻底，未看出等腰或直角的隐藏关系。
变｜式｜巩｜固
变式1．在中，角A，B，C所对的边分别为，且成等比数列，设的面积为，若，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】根据题意，求得，得到，由成等比数列，得到结合余弦定理，求得，进而得到且，即可求解．
【详解】由，可得，解得，
因为，所以，
又因为成等比数列，可得．
由余弦定理得，所以，
因为，所以，解得，则，可得，
所以，所以为等边三角形．
故选：C．
变式2．若，，是的内角，，的对边，，且，则是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．三边互不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】先应用余弦定理得出，或，再代入求解得出结论.
【详解】由得，，
由余弦定理得.
因为，所以，或，
，代入，得，
因为，所以，所以.
故选：D.
变式3．（多选）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则
C．若为锐角三角形，则
D．若，则一定是钝角三角形
【答案】BD
【分析】根据正弦定理、余弦定理和三角形内角的范围逐项计算判断即可.
【详解】对于A，根据正弦定理得，
化简得，得到或，
所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，A错误；
对于正弦定理可知，，因为，所以，B正确；
对于C，仅知道是锐角三角形，并不能确定的大小，C错误；
根据余弦定理可得，，因为，所以.
因为，所以，所以一定是钝角三角形，D正确.
故选：BD.
◇题型 05 三角形的实际应用
典｜例｜精｜析
典例1．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度_________________m.
【答案】
【详解】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.
考点：正弦定理及运用．
典例2．如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值______________.
【答案】
【分析】解法一：根据题意作出所求角（过作，交于，连结），利用正弦定理转化为，然后利用正弦函数的有界性求最大值.
解法二：设(向右为正，向左为负)，求得关于的函数解析式，利用导数分析单调性进而求最值.
【详解】解法一：过作，交于，连结，
则
当时取得最大值.
故答案为：.
解法二：
由勾股定理可得，，过作，交于，连结，则，设(向右为正，向左为负)，则，
由得，，
在直角△ABP′中，，
故，令，
，
令得，，代入得
，故的最大值为．
【点睛】本题考查正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理转化，若用解法二的函数导数方法，则异常繁琐.
未分清仰角、俯角、方位角，画图出错导致角度代错。 实际图形转化为三角形时，边角对应错误。 忽略高度、距离等实际意义，算出负值不取舍。 测量问题中漏加或减仪器高、参照物高度。 方位角混淆方向，如南偏东与东偏南混用。 计算时近似值过早保留，造成结果误差偏大。
变｜式｜巩｜固
变式1．如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高__________________．
【答案】150
【详解】试题分析：在中，,，在中，由正弦定理可得即解得,在中，
．
故答案为150．
变式2．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度BC约等于______________.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：，，，，）
【答案】60
【详解】
过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，
则Rt△ACD中,∠C=30 ，AD=46m，,
根据正弦定理,，
,故答案为60m.
【考点定位】解三角形.
◇题型 06 三角形多解问题
典｜例｜精｜析
典例1．在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据正弦定理可得，再由三角形有两解，可得，可得角的取值范围.
【详解】由正弦定理可得,
,可得,
由△ABC有两解知，有两个解，
故，即
，
或，
又，∴A为锐角，所以，
故选:.
典例2．（多选）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则为锐角三角形
C．在锐角三角形中，不等式恒成立
D．若，，且该三角形有两解，则b的范围是
【答案】ACD
【分析】对于A，根据正弦定理边化角即可判断；对于B，余弦定理可得，则角为锐角,不能得到为锐角三角形；对于C，应用正弦单调性判断；对于D：由题意得到即可求解．
【详解】对于A，因为，
所以由正弦定理得，
又A，B为的内角，，则，即，故A正确；
对于B，由余弦定理可得，则角为锐角，不能得到为锐角三角形，故B错误；
对于C，因为是锐角三角形，所以，所以，
又，所以，
又因为在单调递增，所以，C正确；
对于D，因为，，且该三角形有两解，
所以，即，故D正确．
故选：ACD
正弦定理求角时，只取锐角解，漏掉钝角解。 求出两角后不检验内角和，出现超过 180° 的无效解。 忽略大边对大角，直接保留所有解，未判断合理性。 已知 SSA 时，不判断三角形是否存在、有一解还是两解。 边长、角度对应混乱，把不同三角形的解混在一起。 多解未逐一验证，保留不符合题意的多余解。
变｜式｜巩｜固
变式1．（多选）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且该三角形有两解，则b的值可以为（ ）
A．3 B．5
C．6 D．7
【答案】CD
【分析】根据三角形解的个数知，当时，该三角形有两解，可得到的取值范围，即可求解．
【详解】解：当时，即时，即时，该三角形有两解．
故选：CD．
变式2．（多选）已知分别为内角的对边，下面四个结论不正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．在钝角中，为锐角，则不等式恒成立
C．若，的平分线交于点，，则的最小值为
D．若，，且有两解，则的取值范围是
【答案】ABD
【分析】利用余弦定理角化边可证得A错误；根据诱导公式和正弦函数单调性可知B错误；利用面积法和基本不等式可求得C错误；根据作圆法可知D错误.
【详解】对于A，由余弦定理得：，
，
即，
或，即或，
为等腰三角形或直角三角形，A错误；
对于B，为钝角三角形，为锐角，，，
，B错误；
对于C，的平分线交于点，，又
，即，，
（当且仅当，即，时取等号），
即的最小值为，C正确；
对于D，如图，若有两解，则，，D错误.
故选：ABD.
◇题型 07 三角形中线，等分点问题
典｜例｜精｜析
典例1．在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：的周长为；
条件③：的面积为；
【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．
【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；
（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；
若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；
若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.
【详解】（1），则由正弦定理可得，
，，，，
，解得；
（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得，
与矛盾，故这样的不存在；
若选择②：由（1）可得，
设的外接圆半径为，
则由正弦定理可得，
，
则周长，
解得，则，
由余弦定理可得边上的中线的长度为：
；
若选择③：由（1）可得，即，
则，解得，
则由余弦定理可得边上的中线的长度为：
.
典例2．记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答.
（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答.
【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，则，
，
所以.
方法2：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，有，则，
，过作于，于是，，
所以.
（2）方法1：在与中，由余弦定理得，
整理得，而，则，
又，解得，而，于是，
所以.
方法2：在中，因为为中点，则，又，
于是，即，解得，
又，解得，而，于是，
所以.
典例3．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)求角A的大小；
(2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；
（2）依题意可得，根据数量积的运算律得到，再由均值不等式求出的最大值，即可得解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
则，
即，
，
，，则，
，.
（2）因为是中点，所以.
两边平方得.
所以，即，
又由均值不等式得，
当且仅当时等号成立，所以，
所以，即面积的最大值为.
中线直接当成角平分线或高线用，忽略垂直、平分条件不成立。 用中线公式时记错结构，漏系数或平方位置错误。 等分点只看比例，不对应相似三角形边长比与面积比关系。 面积比例错用：中线分面积为 1:1，线段等分才按比例。 公共角、公共高忽略，跨三角形边角混用导致错误。 计算时不检验边长、角度是否在同一三角形内，逻辑矛盾。
变｜式｜巩｜固
变式1．在中，，是的中点，，则__________，__________________.
【答案】；
【分析】由题意结合余弦定理可得，进而可得，再由余弦定理可得.
【详解】由题意作出图形，如图，
在中，由余弦定理得，
即，解得（负值舍去），
所以，
在中，由余弦定理得，
所以；
在中，由余弦定理得.
故答案为：；.
变式2．设△的内角所对边的长分别为，且有.
（Ⅰ）求角的大小；
(Ⅱ)若，，为的中点，求的长．
【答案】（1）.（2）
【详解】（1）由题，，则，故，即.
（2）因，，因为的中点，故，则，所以
变式3．记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.
（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值.
【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，
得，
因为，所以，即．
又因为，所以．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为，如图，在中，，①
在中，．②
由①②得，整理得．
又因为，所以，解得或，
当时，（舍去）．
当时，．
所以．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知，则，
即，
而，即，
故有，从而．
由，即，即，即，
故，即，
又，所以，
则．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知，再由得．
在中，由正弦定理得．
又，所以，化简得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．
在中，由余弦定理，得．
故．
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作，交于点E，则．
由，得．
在中，．
在中．
因为，
所以，
整理得．
又因为，所以，
即或．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因为，所以．
以向量为基底，有．
所以，
即，
又因为，所以．③
由余弦定理得，
所以④
联立③④，得．
所以或．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，
长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则．
由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．
设，则．⑤
由知，，
即．⑥
联立⑤⑥解得或（舍去），，
代入⑥式得，
由余弦定理得．
【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.
◇题型 08 三角形角平分线问题
典｜例｜精｜析
典例1．在中，，的角平分线交于，则__________________．
【答案】
【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出；
方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出．
【详解】
如图所示：记，
方法一：由余弦定理可得，，
因为，解得：，
由可得，
，
解得：．
故答案为：．
方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因为，所以，，
又，所以，即．
故答案为：．
【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．
典例2．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为______________．
【答案】9
【分析】先根据角平分线性质和三角形面积公式得条件，再利用基本不等式即可解出．
【详解】【最优解】角平分线定义＋三角形面积公式＋基本不等式
由题意可知，,由角平分线定义和三角形面积公式得，化简得，即，
因此
当且仅当时取等号，则的最小值为.
故答案为：.
［方法二］：角平分线性质＋向量的数量积＋基本不等式
由三角形内角平分线性质得向量式．
因为，所以，化简得，即，亦即，
所以，
当且仅当，即时取等号．
【整体点评】方法一：利用角平分线定义和三角形面积公式建立等量关系，再根据基本不等式“1”的代换求出最小值，思路常规也简洁，是本题的最优解；
方法二：利用角平分线的性质构建向量的等量关系，再利用数量积得到的关系，最后利用基本不等式求出最值，关系构建过程运算量较大；
典例3．在中，角，，的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若点在线段的延长线上，为的角平分线，，，求的面积．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化简结合，利用两角和差公式化简，再利用正切值结合角的范围即可求得；
（2）由面积公式结合角平分线得出，应用余弦定理联立方程得出，最后应用面积公式计算求解.
【详解】（1）因为，由正弦定理可化为：，
，又因为
即，即，
因为，解得：，且，即；
（2）因为及为的角平分线，所以，
由三角形面积公式得，
代入得：，
因为，由余弦定理，
化简得：，即得
解得：或舍去，即，
所以的面积为.
把角平分线当成中线或高线，错误使用垂直、平分条件。 角平分线定理比例记错，对应边搞反。 用余弦定理求角后，直接除以 2 当作平分角，忽略定理限制。 角平分线长度公式记错系数、平方与根号位置。 多三角形中公共角被平分后，角度代入混乱。 忽略内角和范围，算出角度不合理仍强行计算。
变｜式｜巩｜固
变式1．（多选）已知，，分别是内角，，的对边，为边上一点，的面积为，且满足，，则（ ）
A．
B．当为中线时，
C．当为高线时，
D．当为角平分线时，
【答案】ABD
【分析】利用以及正弦定理可求，判断A；利用剩余两个条件可求，再利用余弦定理求出，利用判断B；利用等面积判断C；利用判断D.
【详解】由以及正弦定理可得，，得，故A正确；
因为的面积为，所以，即，
因为，所以，
因为，所以，则，则，
在中利用余弦定理可得，，
则，
当为中线时，，则，
即，得，故B正确；
当为高线时，，得，故C错误；
当为角平分线时，则，
由，得，
则，故D正确.
故选：ABD
变式2．中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．
(1)求；
(2)若，求和的长．
【答案】（1）；（2）,1
【详解】试题分析：（1）借助题设条件运用三角形的面积公式求解；（2）借助题设余弦定理立方程组求解.
试题解析：
（1），，
∵，，∴．
由正弦定理可知.
（2）∵，，
∴．
设，则，
在△与△中，由余弦定理可知，
，
，
∵，∴，
∴，解得，
即．
考点：三角形的面积公式正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．
◇题型 09 解多个三角形，四边形问题
典｜例｜精｜析
典例1．的内角的对边分别为已知.
（1）求角和边长；
（2）设为边上一点，且,求的面积.
【答案】（1），；（2）.
【详解】试题分析：（1）先根据同角的三角函数的关系求出从而可得的值，再根据余弦定理列方程即可求出边长的值；（2）先根据余弦定理求出，求出的长，可得，从而得到，进而可得结果.
试题解析：（1），，由余弦定理可得，即，即，解得（舍去）或，故.
(2)，，，
，，.
典例2．在平面四边形中，，，，.
（1）求；
（2）若，求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）方法一：根据正弦定理得到，求得，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得；
（2）方法一：根据第一问的结论可以求得，在中，根据余弦定理即可求出．
【详解】（1）［方法1］：正弦定理＋平方关系
在中，由正弦定理得，代入数值并解得．又因为，所以，即为锐角，所以．
［方法2］：余弦定理
在中，，即，解得：，所以，
．
［方法3］：【最优解】利用平面几何知识
如图，过B点作，垂足为E，，垂足为F．在中，因为，，所以．在中，因为，则．
所以．
［方法4］：坐标法
以D为坐标原点，为x轴，为y轴正方向，建立平面直角坐标系（图略）．
设，则．因为，所以．
从而，又是锐角，所以，．
（2）［方法1］：【通性通法】余弦定理
在，由（1）得，，
，所以．
［方法2］：【最优解】利用平面几何知识
作，垂足为F，易求，，，由勾股定理得．
【整体点评】（1）方法一：根据题目条件已知两边和一边对角，利用正弦定理和平方关系解三角形，属于通性通法；
方法二：根据题目条件已知两边和一边对角，利用余弦定理解三角形，也属于通性通法；
方法三：根据题意利用几何知识，解直角三角形，简单易算．
方法四：建立坐标系，通过两点间的距离公式，将几何问题转化为代数问题，这是解析思想的体现．
（2）方法一：已知两边及夹角，利用余弦定理解三角形，是通性通法．
方法二：利用几何知识，解直角三角形，简单易算．
多个三角形共用边或角时，数据未统一，互相矛盾。 四边形未正确拆分成三角形，边角对应混乱。 公共角、对顶角、互补角关系用错，角度代入错误。 只算单个三角形，忽略整体图形的边长、面积叠加或扣除。 余弦定理、正弦定理跨三角形混用，条件不匹配。 计算中间值过早四舍五入，导致最终结果偏差大。
变｜式｜巩｜固
变式1．如图所示，在平面四边形中，.
（1）求的值；
（2）若，求的长．
【答案】(1)；(2)
【详解】试题分析：
(1)利用题意结合余弦定理可得；
(2)利用题意结合正弦定理可得：.
试题解析：
（I）在中，由余弦定理得
(II)设
在中，由正弦定理，
故
点睛：在解决三角形问题中，面积公式S＝absinC＝bcsinA＝acsinB最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.
变式2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在边上取一点，使得，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.
（2）方法一：根据的值，求得的值，由（1）求得的值，从而求得的值，进而求得的值.
【详解】（1）[方法一]：正余弦定理综合法
由余弦定理得，所以.
由正弦定理得.
[方法二]【最优解】：几何法
过点A作，垂足为E．在中，由，可得，又，所以．
在中，，因此．
（2）[方法一]：两角和的正弦公式法
由于，，所以.
由于，所以，所以.
所以
.
由于，所以.
所以.
[方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法
在（1）的方法二的图中，由，可得，从而．
又由（1）可得，所以．
[方法三]：几何法+正弦定理法
在（1）的方法二中可得．
在中，，
所以．
在中，由正弦定理可得，
由此可得．
[方法四]：构造直角三角形法
如图，作，垂足为E，作，垂足为点G．
在（1）的方法二中可得．
由，可得．
在中，．
由（1）知，所以在中，，从而．
在中，．
所以．
【整体点评】（1）方法一：使用余弦定理求得，然后使用正弦定理求得；方法二：抓住45°角的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法一：使用两角和的正弦公式求得的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式求解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得的正弦值，进而得解；方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有的直角三角形，进而求解，也是很优美的方法.
变式3．如图，在平面四边形中，.
(1)求的值；
(2)求的长.
【答案】(1)；(2)
【分析】(1)在中已知两边与一角,利用余弦定理即可求出第三条边的长度,再利用余弦定理即可求出角的正弦值.
(2)由(1)三角形的三条边,根据正余弦直角的关系可得角的余弦值(或者利用正余弦之间的关系也可求的),角之和为,其中两个角的正余弦值已知,则可以利用余弦的和差角公式求的角的余弦值,长度已知,利用直角三角形中余弦的定义即可求的长.
【详解】如图设
(1)在中,由余弦定理可得,于是又题设可知,即,解得(舍去),
在中,由正弦定理可得,
即.
(2)由题设可得,于是根据正余弦之间的关系可得,而,所以
,在中,,
所以.
考点：正余弦定理正余弦和差角公式直角三角形正余弦之间的关系
◇题型 10 三角形角度范围问题
典｜例｜精｜析
典例1．在锐角中，角的对边分别为，且．
（I）求角的大小；
（II）求的取值范围．
【答案】（I）；（II）
【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小；
（II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围.
【详解】（I）
[方法一]：余弦定理
由，得，即.
结合余弦定，
∴，
即，
即，
即，
即，
∵为锐角三角形，∴，
∴，
所以，
又B为的一个内角，故.
[方法二]【最优解】：正弦定理边化角
由，结合正弦定理可得：
为锐角三角形，故.
（II）[方法一]：余弦定理基本不等式
因为，并利用余弦定理整理得，
即.
结合，得.
由临界状态（不妨取）可知.
而为锐角三角形，所以.
由余弦定理得，
，代入化简得
故的取值范围是.
[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质
结合(1)的结论有：
.
由可得：，，
则，.
即的取值范围是.
【整体点评】（I）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.
典例2．设的内角，，的对边分别为，，，，且为钝角.
（1）证明：；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）.
【详解】试题分析：(Ⅰ)运用正弦定理将化简变形,再解三角方程即可获解；(Ⅱ)将角用表示,换元法求函数的值域即可.
试题解析：(Ⅰ)由及正弦定理，得，∴，
即，
又为钝角，因此，
故，即；
(Ⅱ)由（1）知，
，∴，
于是
，
∵，∴，因此，由此可知的取值范围是．
考点：正弦定理、三角变换，二次函数的有关知识和公式的应用.
直接把、当成普通三角恒等变换，忽略A+B+C=π约束。 未统一成单角，直接求值域导致范围扩大。 忽略三角形内角范围：0变｜式｜巩｜固
变式1．若的面积为,且为钝角，则__________；的取值范围是_________.
【答案】；
【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转化为求函数的取值范围问题.
【详解】，
，即，
，
则，
为钝角，，
，故.
故答案为，.
【点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含的表达式的最值问题是解题的第二个关键.
变式2．在中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设为的面积，满足．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的最大值．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【详解】解：（1）由题意可知，；
（2）
当△ABC为等边三角形的时候取得最大值．
变式3．在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求的最大值.
【答案】(Ⅰ)120°；(Ⅱ)1.
【分析】(Ⅰ)由题意利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得∠A的大小；
(Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)的结论和三角函数的性质可得的最大值.
【详解】(Ⅰ)，
,即.
，.
(Ⅱ)，
，∴当即时，取得最大值1.
【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
◇题型 11 三角形对边、对角范围问题
典｜例｜精｜析
典例1．在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求面积的最大值.
【答案】（Ⅰ）B=；（Ⅱ）
【详解】(1)∵a=bcosC+csinB
∴由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB①
在三角形ABC中，A=－(B+C)
∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC②
由①和②得sinBsinC=cosBsinC
而C∈(0，)，∴sinC≠0，∴sinB=cosB
又B(0，)，∴B=
(2)S△ABCacsinBac，
由已知及余弦定理得：4＝a2+c2﹣2accos2ac﹣2ac，
整理得：ac，当且仅当a＝c时，等号成立，
则△ABC面积的最大值为（2）1．
典例2．在中，角所对的边分别为，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据三角形角的关系，代入化简三角函数式，即可求得，进而得角的大小；
（2）根据余弦定理，由基本不等式即可求得，再结合三角形边关系求得的取值范围.
【详解】（1）∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
（2）由余弦定理可知，
代入可得，
当且仅当时取等号，
∴，又，
∴的取值范围是．
【点睛】本题考查了三角恒等变形的应用，由余弦定理及基本不等式求边的范围，属于中档题.
忽略大边对大角、小边对小角，直接乱定范围。 只看单一变量，忘记A+B+C=π，角度越界。 用正弦定理时，不考虑sinθ≤1，出现无解或增解。 余弦定理配方求最值，不检验边长能否构成三角形。 对角为锐角 / 钝角时，未对应限制对边的长短。 边界值（如直角、零度）未检验是否成立，直接取等。
变｜式｜巩｜固
变式1．中，．
（1）求；
（2）若，求周长的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；
（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果.
【详解】（1）由正弦定理可得：，
，
，.
（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式
由余弦定理得：，
即.
（当且仅当时取等号），
，
解得：（当且仅当时取等号），
周长，周长的最大值为.
[方法二]：正弦化角（通性通法）
设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为．
[方法三]：余弦与三角换元结合
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，，
所以周长的最大值为．
【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；
方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.
方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.
方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.
变式2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)证明：；
(2)求的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）．
【详解】试题分析：（1）根据三角函数的基本关系式，可化简得，再根据，即可得到，利用正弦定理，可作出证明；（2）由（1），利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得的最小值.
试题解析：（1）由题意知，，
化简得：
即，因为，所以，
从而，由正弦定理得.
（2）由（1）知，，所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
考点：三角恒等变换的应用；正弦定理；余弦定理.
【方法点晴】本题主要考查了三角恒等变换的应用、正弦定理与余弦定理的应用，涉及到三角函数的基本关系式和三角形中的性质和基本不等式的应用，着重考查了转化与化归思想和学生的推理与运算能力，以及知识间的融合，属于中档试题，解答中熟记三角函数恒等变换的公式是解答问题的关键.
◇题型 12 三角形邻边、邻角范围问题
典｜例｜精｜析
典例1．的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【答案】(1);(2).
【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.
(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.
【详解】(1)
[方法一]【最优解：利用三角形内角和为结合正弦定理求角度】
由三角形的内角和定理得，
此时就变为．
由诱导公式得，所以．
在中，由正弦定理知，
此时就有，即，
再由二倍角的正弦公式得，解得．
[方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】
由解法1得，
两边平方得，即．
又，即，所以，
进一步整理得，
解得，因此．
[方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为求得的比例关系】
根据题意，由正弦定理得，
因为，故，
消去得．
，，因为故或者，
而根据题意，故不成立，所以，
又因为，代入得，所以.
(2)
[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】
因为是锐角三角形，又，所以，
则．
因为，所以，则，
从而，故面积的取值范围是．
[方法二]【由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】
由题设及（1）知的面积．
因为为锐角三角形，且，
所以即
又由余弦定理得，所以即，
所以，故面积的取值范围是．
[方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】
如图，在中，过点A作，垂足为，作与交于点．
由题设及（1）知的面积，因为为锐角三角形，且，
所以点C位于在线段上且不含端点，从而，
即，即，所以，
故面积的取值范围是．
【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，与三角形内角和相结合是常用的方法；
方法二：方程思想是解题的关键，解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值；
方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系，从而确定角的大小.
(2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法；
方法二：将面积问题转化为边长的问题，然后求解边长的范围可得面积的范围；
方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性，要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用.
混淆邻边与对边，乱用大边对大角、正弦定理。 邻角直接相加超 π，忽略内角和限制。 用余弦定理时，邻边与夹角不对应，符号、平方出错。 求范围时未保证两边之和大于第三边。 邻角为锐角或钝角时，未正确约束邻边长短。 单一变量求值域，不检验另一角、边是否合理。
变｜式｜巩｜固
变式1．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，．
(1)求角A的大小；
(2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）需利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合两角差的余弦公式及三角形内角和定理化简，求解三角方程得出角A；
（2）求面积的取值范围，先根据锐角三角形条件确定角B、角C的范围，再由正弦定理用角C表示边b，结合正切函数性质求出b的范围，最后代入面积公式得出结果.
【详解】（1）由和差公式和正弦定理可得：
，
即，
即，
即，
整理得到，
因为在中，
所以，即，
因为，所以，
所以，得到.
（2）因为是锐角三角形，所以，
结合B为锐角，解得，同理可得，
由正弦定理，
可得，
因为，所以，所以，
又因为.
变式2．已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，.
(1)求证：；
(2)求的取值范围；
(3)若，求三角形面积的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理结合两角和与差的正弦公式化简得出，结合正弦函数的单调性可证得结论成立；
（2）由正弦定理及三角恒等变换化简得出，根据已知条件求出角的取值范围，结合余弦函数的基本性质和对勾函数的单调性可得出的取值范围；
（3）利用正弦定理、三角形的面积公式结合三角恒等变换化简得出，结合正切函数和反比例函数的基本性质可求得面积的取值范围.
【详解】（1）由及正弦定理可得，即，
因为，则，所以，即，
由余弦定理可得，所以，
所以，由正弦定理可得
，
因为为锐角三角形，故，，所以，
又函数在上单调递增，且，故，即.
（2）
，
因为为锐角三角形，故，解得，
又因为，可得，故角的取值范围是，
所以，故，
令，，
任取、且，
则
，
因为，所以，则，所以，
所以函数在上为增函数，故，
故的取值范围是.
（3）由正弦定理可得，所以，，
所以
，
因为，所以，
令，函数、在上均为减函数，
故函数在上为减函数，所以，即，
因此，即面积的取值范围是.
◇题型 13 解三角形中其他三角函数转化范围问题
典｜例｜精｜析
典例1．已知是半径为1，圆心角为的扇形（O为圆心），C是扇形弧上的动点，过C作，垂足为D，作，垂足为B，连接，记．
(1)若，求线段的长度；
(2)求当取何值时，的面积最大，并求出这个最大值．
【答案】(1)
(2)当时，的面积最大，最大面积为
【分析】（1）在中，可求得，同理求得，根据余弦定理可求得；
（2）在中，，在中，，用表示出的面积，根据三角函数的性质可求得最大值.
【详解】（1）如图，在中，，∴.同理，.
在中，由余弦定理可得：，
∴，
.
（2）在中，，
在中，.
在四边形中，.
设的面积为S，
则
.
由，得，
∴当，即时，S最大，.
因此，当时，的面积最大，最大面积为.
典例2．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，方法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知即可求解，方法四：根据半角公式和两角差的正切公式化简后求解.
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）方法一：直接法
可得，
则，即，
注意到，于是，
展开可得，则，
又，.
方法二：二倍角公式处理+直接法
因为，
即，
而，所以；
方法三：导数同构法
根据可知，，
设，，
则在上单调递减，，
故，结合，解得.
方法四：恒等变换化简
，
结合正切函数的单调性，，则，
结合，解得.
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以由正弦定理得
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
未利用 A+B+C=π 消元，直接多变量求范围，导致结果扩大。 忽略三角形内角 0变｜式｜巩｜固
变式1．若，则的最大值是_________________.
【答案】
【详解】设，则，根据面积公式得，①
根据余弦定理得，，
将其代入①式得，
，
由三角形三边关系有，解得，
故当时，取得最大值
考点：解三角形
点评：主要是考查了三角形的面积公式的运用，属于基础题.
变式2．如图在平面四边形中，，则的取值范围是_____________．
【答案】（，）
【详解】如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范围为（，）.
考点：正余弦定理；数形结合思想
变式3．已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，____________________．
【答案】/
【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.
【详解】[方法一]：余弦定理
设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.
[方法二]：建系法
令BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.
则C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
设BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，则，
，
，
当且仅当，即时等号成立.
[方法四]：判别式法
设，则
在中，，
在中，，
所以，记，
则
由方程有解得：
即，解得：
所以，此时
所以当取最小值时，，即.
一、单项选择题
1．在中，内角所对的边分别是．若，且，则的面积为（ ）
A．3 B．
C． D．
【答案】D
【分析】先根据正弦定理化角为边，然后根据余弦定理求出，然后根据向量的数量积定义求出，最后根据三角形面积公式求出结果.
【详解】根据正弦定理得，化简得.
根据余弦定理知，，所以.
因为，所以.
因为，所以，解得，
所以的面积为.
故选：D.
2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边上的中线长为（ ）
A． B．
C．6 D．10
【答案】B
【分析】根据余弦定理和数量积的定义得，然后利用中线向量表示及模的运算求解中线长即可.
【详解】中，由余弦定理得，
又，所以，所以，记边上的中点为M，
因为，所以，所以.
故选：B
3．已知的内角，，满足，则下列说法错误的是（ ）
A． B．是直角三角形
C． D．是钝角三角形
【答案】B
【分析】利用二倍角公式化简得，又由三角恒等变换得，即可判断A，进而得，结合即可判断BD，再由余弦定理即可判断C.
【详解】由题意有：，
所以，
所以，即，故A正确；
由，所以或，而，即，
由，又，
又因为，所以，即，所以是钝角三角形，故D正确，B错误；
又，所以，故C正确；
故选：B.
4．在中，，是的平分线，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据角平分线定理可得，在中，利用余弦定理求出，进而根据正弦定理求出.
【详解】因为为的平分线，且，
在中，根据正弦定理可知，
在中，根据正弦定理可知，
而，，故将上述两个等式相除可得，
又，所以，则在中，
由余弦定理得，
所以，在中，由正弦定理得，
则.
故选：A.
5．在中，是边上的点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设，在中，由余弦定理求出，利用平方关系求出，在中再由正弦定理可得答案.
【详解】设，则，，
在中，由余弦定理得，
因为，所以，，
在中，由正弦定理得，即.
故选：A.
6．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．类比“赵爽弦图”，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得是等边三角形，设，利用正弦定理可求得，进而利用余弦定理可求得的值.
【详解】由知，
所以为正三角形，
∵，
设，则
由正弦定理：，即，则
在中，
即，则，即．
故选：A.
7．在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ）
A． B．20
C．16 D．
【答案】D
【分析】根据正弦定理、余弦定理求解即可.
【详解】因为，，所以.
由正弦定理可知，，所以，，
又，所以，所以.
由余弦定理知，，所以，即.
又，
所以，所以.
故选：D.
8．在中，，，，当的周长最短时，的长是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】记，，所对边分别为，，，由余弦定理可得，结合，可得的长，表示出的周长，再利用均值不等式，即可求解.
【详解】记，，所对边分别为，，，
在中，
由余弦定理得，
由题可知，
，
整理得，
记的周长为，
则，
化简得，，
由题可知，，则，
由均值不等式得，，
当且仅当，即时取等号，
，当且仅当时取等号，
当的周长最短时，的长是.
故选：C.
【点睛】本题考查了余弦定理和均值不等式的应用，考查了转化能力，属于中档题.
二、多项选择题
9．在中，角，，的对边分别为，，，有如下命题，其中正确的是（ ）
A．若，则为等腰或直角三角形.
B．若，则为直角三角形
C．若，则是锐角三角形
D．若，则
【答案】AD
【分析】根据诱导公式化简，即可判断，；根据向量的数量积的定义即可判断；根据正弦定理即可判断.
【详解】对于，因为，所以或，
所以或，所以为等腰或直角三角形，故正确；
对于，因为，所以，
所以或，所以或，
所以不一定是直角三角形，故错误；
对于，因为，所以，
所以，因为，所以为钝角，
所以是钝角三角形，故错误；
对于，因为，所以，由正弦定理可得，
所以，故正确.
故选：.
10．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，的面积为，则（ ）
A． B．
C．是钝角三角形 D．
【答案】ABD
【分析】A选项，由三角形面积公式得到方程，求出；B选项，由余弦定理得到方程，求出；C选项，中最大角为，，故为锐角，故为锐角三角形；D选项，计算出，，D正确.
【详解】A选项，由面积公式可得，即，解得，A正确；
B选项，由余弦定理得，即，解得，B正确；
C选项，由于，故中最大角为，
，故为锐角，故为锐角三角形，C错误；
D选项，由于，故，故，
又，故，
故，故，D正确.
故选：ABD
11．在中，角所对的边分别为，且，为的中点，则（ ）
A． B．的最大值为
C．的周长的取值范围是 D．的最大值为
【答案】ABD
【分析】对于A，由题设结合正弦定理、两角和的正弦公式化简求解即可判断；对于B，先由余弦定理得，进而结合基本不等式可得，再结合平面向量的线性运算、数量积的运算律可得，进而求解判断即可；对于C，结合B及基本不等式可得，进而判断即可；对于D，根据正弦定理及三角恒等变换公式可得，进而求解判断即可.
【详解】对于A，由，
根据正弦定理得，，
则，
即，
在中，，则，
即，又，则，故A正确；
对于B，由余弦定理得，，
则，即，当且仅当时等号成立，
由于为的中点，则，
所以
，
则的最大值为，故B正确；
对于C，由B知，，
解得，当且仅当时等号成立，又，
则的周长的最大值为3，故C错误；
对于D，由正弦定理得，
则，
所以
，
因为，所以，
则，即时，，取得最大值为，故D正确.
故选：ABD
三、填空题
12．已知分别为三个内角的对边，若，则__________.
【答案】/
【分析】由正弦定理可得，再利用化简可得，再结合两角差的正弦公式求解即可．
【详解】，
，
由正弦定理得，
，
，
，
又，，，即，，，
又，，，即.
故答案为：.
13．如图，在四边形中，，，，，则_______________，的面积为___________________.
【答案】7
【分析】利用余弦定理，根据已知的两边以及它们的夹角来求解；先通过余弦定理求出，进而得到，再求出的度数，最后利用三角形面积公式来计算的面积.
【详解】在中，由余弦定理得
，.
在中，，，
，
.
故答案为：；.
14．已知在中，角所对的边分别为，且，则___________．若为锐角三角形，则的取值范围为____________________．
【答案】;
【分析】根据正弦定理与和差倍角的正弦公式化简原等式，得到，进而求出的范围，从而求出结果.
【详解】因为，
由正弦定理可得，又，
所以，
又，
所以，即，所以，
又，所以，，
由，得，由为锐角三角形，
得，即，于是，
所以，即的取值范围为，
所以，所以，即的取值范围为．
故答案为：；.
四、解答题
15．在①；②；③（其中为的面积）三个条件中任选一个补充在下面问题中，并作答．
在中，角，，边分别为，，，且________．
(1)求角的大小；
(2)若为锐角三角形且，求的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①：根据正弦定理边化角结合诱导公式得到，进而得到，即可求解；选②：利用正弦定理角化边结合余弦定理得到，即可求解；选③：根据条件和三角形的面积公式得到，通过三角恒等变换和诱导公式得到，即可求解；
（2）根据正弦定理得到，再利用诱导公式和三角恒等变换得到，结合条件得到的取值范围，根据正弦函数的图象与性质即可得到的取值范围.
【详解】（1）若选①：
由正弦定理得：，
即，
又因为，则，
所以，又，则，
所以，又，所以.
若选②：
由正弦定理得：，化简得：，
又由余弦定理得：，
因为，所以.
若选③：
因为，
即，
则，
又由正弦定理得：，
又，，所以，
即，
又因为，则，
所以，又，则，
所以，所以.
（2）由正弦定理得：，
则，，
所以，
又，
所以，
则，
∵为锐角三角形，
∴，即，解得：，
∴，则，
∴,
故的取值范围是.
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