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专题09 数列中的放缩和新情境问题
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高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 等比放缩（数列不等式证明）（） 题型二 通项放缩（通项结构优化）（） 题型三 新定义数列（概念转化）（） 题型四 裂项放缩（求和不等式）（ 题型五 斐波那契型递推新情境（递推创新）（） 实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）
高考中集合、常用逻辑用语、复数是基础送分模块，一般10~15分试题，常以小题的形式出现，但需特别关注近年新趋势——集合新定义题型已延伸至解答题，备考需紧扣：
基础知识必备：集合掌握元素关系、交并补运算（数轴/Venn图法）及符号规范；复数熟用四则运算（尤其除法分母实数化）、实虚部与模的计算，……；
2026高考预测：集合以基础运算为送分核心，新定义题型、跨模块融合及解答题延伸为2026年主要考向；
常用逻辑用语聚焦充要条件判断（结合主干知识），兼顾命题否定与真假判断，隐性逻辑应用增强；复数侧重四则运算、实虚部与模的计算，几何意义考查概率上升，存在适度拓展趋势.……
重难知识汇总：
常用技巧方法：集合需能结合函数定义域、概率等跨模块应用，应对新定义题型；常用逻辑用语会用定义/集合法判定充要条件，结合函数、数列化简复杂命题；
易错避坑提效：集合避免漏算空集、混淆区间端点；逻辑用语别颠倒充分必要、漏改命题量词；复数明确虚部概念。
题型一 等比放缩（数列不等式证明）
方法点拨：构造等比数列：通过放缩通项公式，将非等比数列转化为等比数列（公比 q∈(0,1)），利用等比数列求和公式求和后证明不等式。 关键工具：糖水不等式（若 a>b>0，m>0，则、二项式定理放缩（如）。 放缩原则：保证放缩后数列可求和，且放缩方向与不等式一致（放大或缩小）
【典例01】（2025·天津南开·一模）在正项等比数列中，.
(1)求的通项公式：
(2)已知函数，数列满足：.
（i）求证：数列为等差数列，并求的通项公式
（ii）设，证明：，
【典例02】（云南大理白族自治州2025高三统一检测）已知首项为3的正项数列的前n项积为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，证明：.
【变式01】（四川德阳中学2024高三高考直击卷）已知数列和首项为2的等比数列的各项均为正数，若，，且.
（1）求和的通项公式和的前n项和；
（2）若数列的通项公式满足，设为的前n项和，求证：.
【变式02】（2025·高三·河南洛阳·期中）已知数列满足，设.
（I）求证：数列为等比数列，并求的通项公式；
（II）设，数列的前项和，求证：.
【变式03】（2025·天津河西·模拟预测）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求证：；
(3)表示不超过x的最大整数，；
求（i）；
（ii）．
题型二 通项放缩（通项结构优化）
方法点拨：1.结构分析：针对分式型（如）、根式型（如 ）、指数型（如 ）通项，采用裂项、有理化、不等式性质放缩。 2.函数辅助：构造函数 f (x)，利用导数判断单调性，得到通项的不等关系（如 x>ln (1+x) 用于指数型通项放缩）。3.精度控制：避免过度放缩，必要时可对前几项保留原式，从第 k 项开始放缩。
【典例01】（25-26高三上·江苏·期末）已知数列满足，且．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和；
(3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：．
【典例02】（25-26高三上·广西南宁·开学考试）已知．
(1)求的通项公式；
(2)令，为的前项之积，求证：．
【变式01】（2025·高三·山东青岛·期末）在各项均为正数的数列中，，，．
(1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若，记数列的前n项和为．
（i）求；（ii）证明：．
【变式02】（25-26高三上·浙江温州·期中）已知正项数列满足．
(1)求证：是等比数列
(2)设，记数列的前项和为，求证：．
【变式03】（2025高三·全国·专题练习）已知首项为3的正项数列的前n项积为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，证明：.
题型三 新定义数列（概念转化）
方法点拨：核心场景：定义新性质（如 “速增数列”“受限数列”）、新运算（如行列式定义、生成数列），需转化为熟悉数列问题。 方法点拨： 紧扣定义：将新定义翻译为数学表达式（如 “速增数列” 转化为 a -a >a -a ）。 回归基础：转化为等差、等比数列的通项、前 n 项和问题，或利用单调性、周期性、有界性分析。 特殊值验证：通过前 3-5 项的计算，发现规律（如周期、单调性），辅助解题。
【典例01】（2025·湖南永州·三模）如果数列对任意的，都有成立，则称为“速增数列”.若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数k的最大值为（ ）
A．62 B．63 C．64 D．65
【典例02】（2025·天津·模拟预测）数列各项均为实数，对任意满足，定义：行列式且行列式为定值，则下列选项中不可能的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式01】（24-25高三上·福建厦门·阶段练习）如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程.九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第个圆环解下最少需要移动的次数记为，已知，按规则有，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（ ）

A．4 B．7 C．16 D．31
【变式02】（2025·江西·模拟预测）若数列满足且，则称数列为“对数底数列”.已知正项数列是“对数2底数列”且，则当且时，（ ）
A． B． C． D．
【变式03】（25-26高三上·江苏南京·开学考试）对于数列，记，称数列为数列的差分数列．
(1)已知，证明：的差分数列为等差数列；
(2)已知的差分数列为，求的通项公式．
题型四 裂项放缩（求和不等式）
方法点拨：常见裂项形式：、。 放缩技巧：裂项后保证剩余项可抵消，或通过 “添项”“减项” 调整放缩精度（如 ）。 求和验证：先求和再放缩，或先放缩再求和，确保步骤可逆且不等式成立。
【典例01】（2025·辽宁·模拟预测）已知数列，为数列的前项和，且满足，．
(1)求的通项公式：
(2)证明：．
【典例02】（2025·吉林长春·三模）记为数列的前项和，已知，．
(1)判断是否为等比数列，并求出的通项公式；
(2)设递增的等差数列满足，且、、成等比数列．设，证明：．
【变式01】（24-25高三上·辽宁·月考）已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若．
(1)求数列和的通项公式；
(2)证明：；
(3)求使得成立的最大整数．
【变式02】（2025·四川·模拟预测）已知数列满足，且．
(1)证明：为等比数列；
(2)设，证明：；
(3)设，且数列的前项和为，证明：．
【变式03】（2025·浙江·一模）已知渐近线为的双曲线过点，过点且斜率为的直线交双曲线于异于的点，记的面积为.
(1)求双曲线的方程；
(2)求；
(3)证明：.
题型五 斐波那契型递推新情境（递推创新）
方法点拨：核心场景：以实际背景（如兔子繁殖、九连环）或递推关系（a =a +a ）定义新数列，考查通项、求和或不等式。 方法点拨： 递推转化：利用递推关系推导通项性质（如 a -a =a ），或构造等比数列求通项。 归纳证明：对与 n 相关的不等式，采用数学归纳法证明，结合放缩技巧优化步骤。 性质应用：利用斐波那契数列的单调性、有界性辅助解题。
【典例01】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多 斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，在数学上，这一数列以如下递推的方法定义：，，记此数列为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【典例02】（2025·广东·一模）斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设为斐波那契数列，，，，其通项公式为，设是的正整数解，则的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式01】（2025·湖南长沙·一模）裴波那契数列，因数学家莱昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列满足，且.洛卡斯数列是以数学家爱德华·洛卡斯命名，与裴波那契数列联系紧密，即，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式02】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）提丢斯—波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是1766年由德国的一位中学老师戴维·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…表示的是太阳系第n颗行星与太阳的平均距离（以AU为天文单位）．现将数列的各项乘以10后再减4得数列，可以发现从第3项起，每一项是前一项的2倍，则 ．
【变式03】（2025·江苏淮安·模拟预测）斐波拉契数列的前两项都是1，从第三项起，每一项都等于它前两项的和.很多自然现象中都蕴含着这个数列，比如图（1）中螺旋星系的星球分布呈螺旋形结构，这个结构中的每条曲线称为等角螺线.现用图（2）的方式近似地绘制等角螺线：由正方形构成一系列的长方形，正方形的边长为斐波拉契数列的连续项，在每一个正方形内绘制一个圆的，这些圆弧连结起来就近似地得到等角螺线.将正方形的边长由小到大排列，已知第个正方形的边长为，第个正方形的边长为，则前个正方形中圆弧总长为 .
（限时训练：15分钟）
1． （2025·高三·浙江·期中）已知数列满足，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（多选题）（2025·辽宁铁岭·一模）设数列满足，对恒成立，则下列说法正确的是（ ）．
A． B．是递增数列
C． D．
3. （24-25高三上·湖北·月考）定义：在数列中，，其中为常数，则称数列为“等比差”数列．已知“等比差”数列中，，，则（ ）
A．1763 B．1935 C．2125 D．2303
4. （2025·云南昆明·一模）数列成为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，记该数的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5. （2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数有两个零点1，2，数列为的牛顿数列．设，已知，的前项和为，则等于（ ）
A．2025 B．2026 C． D．
6. （2024·江苏南通·模拟预测）定义：已知数列的首项，前项和为.设与是常数，若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列.若数列是“”数列，则数列的通项公式（ ）
A． B． C． D．
7.（2025·浙江·模拟预测）已知数列满足．
(1)证明：是等差数列；
(2)记为的前n项和，证明：当时，．
8. （2025·天津南开·模拟预测）设数列满足：．设为数列的前n项和，已知，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和；
（3）证明：对任意且，有．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题09 数列中的放缩和新情境问题
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高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 等比放缩（数列不等式证明）（） 题型二 通项放缩（通项结构优化）（） 题型三 新定义数列（概念转化）（） 题型四 裂项放缩（求和不等式）（ 题型五 斐波那契型递推新情境（递推创新）（） 实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）
高考中集合、常用逻辑用语、复数是基础送分模块，一般10~15分试题，常以小题的形式出现，但需特别关注近年新趋势——集合新定义题型已延伸至解答题，备考需紧扣：
基础知识必备：集合掌握元素关系、交并补运算（数轴/Venn图法）及符号规范；复数熟用四则运算（尤其除法分母实数化）、实虚部与模的计算，……；
2026高考预测：集合以基础运算为送分核心，新定义题型、跨模块融合及解答题延伸为2026年主要考向；
常用逻辑用语聚焦充要条件判断（结合主干知识），兼顾命题否定与真假判断，隐性逻辑应用增强；复数侧重四则运算、实虚部与模的计算，几何意义考查概率上升，存在适度拓展趋势.……
重难知识汇总：
常用技巧方法：集合需能结合函数定义域、概率等跨模块应用，应对新定义题型；常用逻辑用语会用定义/集合法判定充要条件，结合函数、数列化简复杂命题；
易错避坑提效：集合避免漏算空集、混淆区间端点；逻辑用语别颠倒充分必要、漏改命题量词；复数明确虚部概念。
题型一 等比放缩（数列不等式证明）
方法点拨：构造等比数列：通过放缩通项公式，将非等比数列转化为等比数列（公比 q∈(0,1)），利用等比数列求和公式求和后证明不等式。 关键工具：糖水不等式（若 a>b>0，m>0，则、二项式定理放缩（如）。 放缩原则：保证放缩后数列可求和，且放缩方向与不等式一致（放大或缩小）
【典例01】（2025·天津南开·一模）在正项等比数列中，.
(1)求的通项公式：
(2)已知函数，数列满足：.
（i）求证：数列为等差数列，并求的通项公式
（ii）设，证明：，
【解析】（1）因为正项等比数列中，，所以.
又因为，所以，进而公比，所以.
（2）（i）因为，
所以，所以，
所以数列是以为首项，公差为1的等差数列.
所以，即.
（ii）.
当时，左式，右式，左式＝右式.
当时，
下面先证明，
，
令，，
，
，，又，
，即，又，
所以.
.
所以
.
即.
综上：当时， .
【典例02】（云南大理白族自治州2025高三统一检测）已知首项为3的正项数列的前n项积为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)首先利用两边平方的方法将的指数化为整数，再利用递推关系消掉，再两边取对数进行化简，即可得到一个常数列，进而求解；
(2)令，分离常数化简数列的通项公式，再利用分组求和和放缩的方法去求数列的和，即可得证.
【详解】（1），，，
，即，
两边取常用对数得，则，
，且，
数列为常数数列，，.
（2）由(1)知，令，
，
又，
，
.
【变式01】（四川德阳中学2024高三高考直击卷）已知数列和首项为2的等比数列的各项均为正数，若，，且.
（1）求和的通项公式和的前n项和；
（2）若数列的通项公式满足，设为的前n项和，求证：.
【思路分析】（1）设等比数列的公比为，由即可求出，进而得，令，由得即可求出，进而得，令，利用错位相减法即可求出；
（2）由，利用裂项相消法即可证明.
【详细解析】（1）设等比数列的公比为，首项，，
所以，，，
又因为，所以，
令，，又有，
则有
，
所以，
又因为数列的各项均为正数，所以，
令，
所以①，
②，
由①—②有：
，
（2）因为
，
所以.
【变式02】（2025·高三·河南洛阳·期中）已知数列满足，设.
（I）求证：数列为等比数列，并求的通项公式；
（II）设，数列的前项和，求证：.
【解析】（I）可化为即，
，从而可得数列为等比数列，进而可得的通项公式；（II）由（I）可得 ，分组求和后，利用放缩法可得结论.
试题解析：（I）由已知易得，由
得即；
,
又,
是以为首项，以为公比的等比数列.
从而
即，整理得
即数列的通项公式为.
（II） ，
，
，
.
【变式03】（2025·天津河西·模拟预测）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求证：；
(3)表示不超过x的最大整数，；
求（i）；
（ii）．
【解析】（1）(1)设等比数列 的公比为 , 等差数列 的公差为 ,
由 ，
得 , 解得 或 (舍去)；
故 ,
（2）由（1）知，，，则
证明：
则
；
（3）（i）
，
，
所以.
（ii）①，
则
②，
由①-②得：
.
题型二 通项放缩（通项结构优化）
方法点拨：1.结构分析：针对分式型（如）、根式型（如 ）、指数型（如 ）通项，采用裂项、有理化、不等式性质放缩。 2.函数辅助：构造函数 f (x)，利用导数判断单调性，得到通项的不等关系（如 x>ln (1+x) 用于指数型通项放缩）。3.精度控制：避免过度放缩，必要时可对前几项保留原式，从第 k 项开始放缩。
【典例01】（25-26高三上·江苏·期末）已知数列满足，且．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和；
(3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：．
答案 (1)证明见解析；(2)；(3)证明见解析.
思路分析:（1）根据已知得到，应用等比数列的定义判断证明即可；
（2）利用分组求和、等比数列前n项和公式求和；
（3）对进行放缩得，应用裂项相消法证明结论.
解 （1）由题可得，，所以，
又，则，则，
故数列是首项为2，公比为2的等比数列；
（2）由（1）知，所以，
所以.
（3）由（2），则，
所以．令，则，
的前项和为；
令，则，
的前项和为，
所以，因为，所以，当时等号成立，
而，所以.
【典例02】（25-26高三上·广西南宁·开学考试）已知．
(1)求的通项公式；
(2)令，为的前项之积，求证：．
答案 (1)；(2)证明见解析.
思路分析:（1）根据已知可得，且，由等差数列的定义写出通项公式即可；
（2）利用导数证明，进而得到，
可得，累加即可证.
解 （1）由，又由题意知，，
左右同时除以得，
所以，则，
故是以3为首项，3为公差的等差数列，
所以，可得；
（2）令函数，求导得，
在上单调递增，，即，
取，则，于是，
由（1）知，,
，
所以.
【变式01】（2025·高三·山东青岛·期末）在各项均为正数的数列中，，，．
(1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若，记数列的前n项和为．
（i）求；（ii）证明：．
【解析】（1）由题意知，
因此数列是以为首项，以4为公比的等比数列，
于是，．
．
又适合上式，所以．
（2）（i）因为，
所以
．
（ii）因为数列的前n项和为
，
所以只需证明：，
也就是，
令，只需证明，
设函数，，．
所以，即成立，得证．
【变式02】（25-26高三上·浙江温州·期中）已知正项数列满足．
(1)求证：是等比数列
(2)设，记数列的前项和为，求证：．
答案 (1)证明见解析(2)证明见解析
思路分析:（1）根据题设整理可得，进而求证即可；
（2）由（1）得，结合指数函数的性质可得，进而求和即可求证.
解 （1）由，则，
由于，则，
所以，则，
又，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.
（2）由（1）得，，则，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
则，即，
所以.
【变式03】（2025高三·全国·专题练习）已知首项为3的正项数列的前n项积为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，证明：.
答案 (1)(2)证明见解析
思路分析：(1)首先利用两边平方的方法将的指数化为整数，再利用递推关系消掉，再两边取对数进行化简，即可得到一个常数列，进而求解；
(2)令，分离常数化简数列的通项公式，再利用分组求和和放缩的方法去求数列的和，即可得证.
解（1），，，
，即，
两边取常用对数得，则，
，且，
数列为常数数列，，.
（2）由(1)知，令，
，
又，
，
.
题型三 新定义数列（概念转化）
方法点拨：核心场景：定义新性质（如 “速增数列”“受限数列”）、新运算（如行列式定义、生成数列），需转化为熟悉数列问题。 方法点拨： 紧扣定义：将新定义翻译为数学表达式（如 “速增数列” 转化为 a -a >a -a ）。 回归基础：转化为等差、等比数列的通项、前 n 项和问题，或利用单调性、周期性、有界性分析。 特殊值验证：通过前 3-5 项的计算，发现规律（如周期、单调性），辅助解题。
【典例01】（2025·湖南永州·三模）如果数列对任意的，都有成立，则称为“速增数列”.若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数k的最大值为（ ）
A．62 B．63 C．64 D．65
【答案】B
【分析】由题意可知数列的相邻两项之差严格递增，要使得正整数最大，则需要让相邻两项差值尽可能小，即相邻两项差值构成公差为1的等差数列，由此得到构造的增长最缓慢的“速增数列”的递推关系，利用累加法可求得其通项公式，令，解出代入验证即可得出答案.
【详解】由题干条件，即，
也即数列的相邻两项之差严格递增，要使得正整数最大，则数列增长尽可能缓慢，
需要让相邻两项差值尽可能小，即相邻两项差值构成公差为1的等差数列，
因为，则，
，，所以，
采用累加法，
令，即，解得，
当时，，符合题意；
当时，，无法构造“速增数列”满足题意，
故选：B.
【典例02】（2025·天津·模拟预测）数列各项均为实数，对任意满足，定义：行列式且行列式为定值，则下列选项中不可能的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解题思路】根据定义列方程组，判断是否有实数解，结合周期性逐一验证判断即可.
【解答过程】由题知，，
又，所以，是周期为3的周期数列.
对于A，若，，则，则或
若，则，得，
又，
由周期性可知，当时，满足，A不满足题意；
对于B，若，，则，即，
又，消元整理得，
即，无实数解，故B满足题意；
对于C，若，，则，
解得，显然恒成立，C不满足题意；
对于D，若，，则，
解得，显然此时恒成立，D不满足题意.
故选：B.
【变式01】（24-25高三上·福建厦门·阶段练习）如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程.九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第个圆环解下最少需要移动的次数记为，已知，按规则有，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（ ）

A．4 B．7 C．16 D．31
【答案】C
【解题思路】根据递推公式求即可.
【解答过程】由题意得，，，
所以解下第5个圆环最少需要移动的次数为16次.
故选：C.
【变式02】（2025·江西·模拟预测）若数列满足且，则称数列为“对数底数列”.已知正项数列是“对数2底数列”且，则当且时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据定义，即，再利用累乘，平方后再由根据递推关系可得答案.
【详解】因为正项数列是“对数2底数列”，所以，所以，
所以且，
以上式子相乘得，所以，
所以，得，
即，得，因为，所以；
同理，，所以，所以，
所以.故.
故选：C.
【变式03】（25-26高三上·江苏南京·开学考试）对于数列，记，称数列为数列的差分数列．
(1)已知，证明：的差分数列为等差数列；
(2)已知的差分数列为，求的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据定义可求，再利用定义法可证的差分数列为等差数列；
（2）利用累加法可求的通项公式．
【详解】（1），其中，
故，故的差分数列为等差数列.
（2）由题设有，
故，由累加法可得，
而，所以，
而也满足该式，故.
题型四 裂项放缩（求和不等式）
方法点拨：常见裂项形式：、。 放缩技巧：裂项后保证剩余项可抵消，或通过 “添项”“减项” 调整放缩精度（如 ）。 求和验证：先求和再放缩，或先放缩再求和，确保步骤可逆且不等式成立。
【典例01】（2025·辽宁·模拟预测）已知数列，为数列的前项和，且满足，．
(1)求的通项公式：
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由可得出，两式作差推导出，然后利用初值可求得数列的通项公式；
（2）利用放缩法推导出，再结合等比数列求和公式可证得结论成立；
【详解】（1）因为，进而，两式作差可得：
，即，
所以为常数列，
又，则，故数列的通项公式为．
（2）由（1），则，其中，8，…，，
结合等比数列求和公式，有：
，
当时，，
综上所述，.
【典例02】（2025·吉林长春·三模）记为数列的前项和，已知，．
(1)判断是否为等比数列，并求出的通项公式；
(2)设递增的等差数列满足，且、、成等比数列．设，证明：．
【答案】(1)不是等比数列，且
(2)证明见解析
【分析】（1）当时，求出的值，当时，由可得，两式作差可得出，结合可得出结论，结合等比数列的通项公式可得出数列的通项公式；
（2）设等差数列的公差为，由题意可知，根据题中条件可得出关于的方程，解出的值，可得出数列的通项公式，放缩可得，结合裂项相消法可证得所证不等式成立.
【详解】（1）因为，且对任意的，，
当时，，
当时，由可得，
上述两个等式作差得，即，所以，
又因为，
故数列不是等比数列，且该数列是从第项开始成公比为的等比数列，
当时，，即，
综上所述，.
（2）设等差数列的公差为，由题意可知，且，，
，，
所以，，，
因为、、成等比数列，所以，
整理得，解得或（舍去），
所以，
所以，
所以
，故原不等式得证.
【变式01】（24-25高三上·辽宁·月考）已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若．
(1)求数列和的通项公式；
(2)证明：；
(3)求使得成立的最大整数．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)6
【分析】（1）根据与的关系，结合等差数列的定义、等比数列的通项公式进行求解即可；
（2）对的表达式进行放缩，利用裂项相消法进行求解即可；
（3）利用作差比较法，结合数列的单调性进行求解即可.
【详解】（1）因为，
所以当时，，
作差得，
两边同时除以得，
又，所以，得，
所以，故对，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，则．
设等比数列的公比为，
因为，所以由，或
又因以数列是递增数列，所以．
（2）因为，
所以
．
（3）由（1）知，即，令，则，
，
所以当时，，当时，，当时，，
即有，，
又，
故当时，，所以，，
又，
所以，当时，，故使得成立的最大整数为6．
【点睛】关键点点睛：本题的关键之一是，之二是利用作差比较法判断数列的单调性.
【变式02】（2025·四川·模拟预测）已知数列满足，且．
(1)证明：为等比数列；
(2)设，证明：；
(3)设，且数列的前项和为，证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）分析可知，对任意的，且，可得出，变形得出，结合等比数列的定义即可证得结论成立；
（2）利用（1）中的结论求出数列的通项公式，分析可知数列是各项均为正数的单调递减数列，分、两种情况，由结合数列的单调性即可证得结论成立；
（3）由不等式的性质得出，利用错位相减法求出数列的前项和，可得出，由结合不等式的传递性可证得结论成立.
【详解】（1）因为数列满足，且，可得，
由，得，可得，
由，得，可得，，
以此类推可知，对任意的，且，所以，
所以，可得，
所以数列为等比数列，首项为，公比为.
（2）由（1）可得，所以，故，
易知数列是各项均为正数的单调递减数列，
因为，所以，
当时，，
当时，，所以，
所以，对任意的，，
综上所述，.
（3）因为，
所以，
令①，
可得②，
①②得，
所以，故，故对任意的，.
【变式03】（2025·浙江·一模）已知渐近线为的双曲线过点，过点且斜率为的直线交双曲线于异于的点，记的面积为.
(1)求双曲线的方程；
(2)求；
(3)证明：.
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）双曲线的方程为代入计算得解；
（2）联立方程与，解得的横坐标.求出，计算，代入得解；
（3）将利用放缩法得到，利用裂项相消求解.
【详解】（1）设双曲线的方程为，
代入得，故双曲线的方程为.
（2）联立方程与，解得的横坐标.
因为，
故
，
所以.
（3）因为
，
故
，
当时成立. 故.

题型五 斐波那契型递推新情境（递推创新）
方法点拨：核心场景：以实际背景（如兔子繁殖、九连环）或递推关系（a =a +a ）定义新数列，考查通项、求和或不等式。 方法点拨： 递推转化：利用递推关系推导通项性质（如 a -a =a ），或构造等比数列求通项。 归纳证明：对与 n 相关的不等式，采用数学归纳法证明，结合放缩技巧优化步骤。 性质应用：利用斐波那契数列的单调性、有界性辅助解题。
【典例01】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多 斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，在数学上，这一数列以如下递推的方法定义：，，记此数列为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】由题意得，，，，进而结合递推关系求解即可.
【解答过程】由题意得，，，，
则.
故选：C.
【典例02】（2025·广东·一模）斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设为斐波那契数列，，，，其通项公式为，设是的正整数解，则的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解题思路】利用给定条件结合对数的性质将化为，结合，得到，根据递增，得到也是递增数列，得，即可求解.
【解答过程】由题知是的正整数解，
故，取指数得，
同除得，，故，
即，根据是递增数列可以得到也是递增数列，
于是原不等式转化为.
由斐波那契数列可得，，，，
可以得到满足要求的的最大值为，故A正确.
故选：A.
【变式01】（2025·湖南长沙·一模）裴波那契数列，因数学家莱昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列满足，且.洛卡斯数列是以数学家爱德华·洛卡斯命名，与裴波那契数列联系紧密，即，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先利用数列的递推式推得，从而推得，由此得解.
【详解】∵，∴当时，，
∴，
故，
∵，∴，，
故，
∴.
故选：C.
【变式02】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）提丢斯—波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是1766年由德国的一位中学老师戴维·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…表示的是太阳系第n颗行星与太阳的平均距离（以AU为天文单位）．现将数列的各项乘以10后再减4得数列，可以发现从第3项起，每一项是前一项的2倍，则 ．
【答案】
【分析】由题意得到数列从第二项起是等比数列，由题意写出，即可写出当时，数列的的通项公式，然后得到数列的通项公式，从而知道.
【详解】由题意可知数列从第2项起，是以为首项，2为公比的等比数列.
，，
∴当时，，
∴，
∴，
故答案为：.
【变式03】（2025·江苏淮安·模拟预测）斐波拉契数列的前两项都是1，从第三项起，每一项都等于它前两项的和.很多自然现象中都蕴含着这个数列，比如图（1）中螺旋星系的星球分布呈螺旋形结构，这个结构中的每条曲线称为等角螺线.现用图（2）的方式近似地绘制等角螺线：由正方形构成一系列的长方形，正方形的边长为斐波拉契数列的连续项，在每一个正方形内绘制一个圆的，这些圆弧连结起来就近似地得到等角螺线.将正方形的边长由小到大排列，已知第个正方形的边长为，第个正方形的边长为，则前个正方形中圆弧总长为 .
【答案】
【分析】设第个圆弧的半径为，设前个圆弧的半径之和为，根据斐波拉契数列的性质推导出，即，从而求出前个正方形中圆弧总长.
【详解】设第个圆弧的半径为，设前个圆弧的半径之和为，
则，，，，，
依题意，，
则
，
，
所以，
所以，
所以前个正方形中圆弧总长为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出根据斐波拉契数列的性质.
（限时训练：15分钟）
1． （2025·高三·浙江·期中）已知数列满足，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵，，
∴，，则，
∵，
∴，即数列递减，则，
∵，
∴两边取倒数得，即，则，
∵数列递减，
∴当时，，即；
当时，，即，，，，
∴根据不等式的性质可得，即，
∴.
故选：B.
2．（多选题）（2025·辽宁铁岭·一模）设数列满足，对恒成立，则下列说法正确的是（ ）．
A． B．是递增数列
C． D．
【答案】ABD
【解析】由，，
设，则，
所以当时，，即在上为单调递增函数，
所以函数在为单调递增函数，
即，
即，
所以，即，则，故A正确；
由在上为单调递增函数，， 所以是递增数列，故B正确；
∵，所以，故C错误；
因此，，故D正确．
故选：ABD．
3. （24-25高三上·湖北·月考）定义：在数列中，，其中为常数，则称数列为“等比差”数列．已知“等比差”数列中，，，则（ ）
A．1763 B．1935 C．2125 D．2303
【答案】B
【分析】运用累和法和累积法进行求解即可．
【详解】因为数列是“等比差”数列，所以，
因为，，所以，
所以有，，…，，
累和，得，
因此有，，…，，
累积，得，
所以.
故选：B.
4. （2025·云南昆明·一模）数列成为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，记该数的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】利用迭代法可得，可得
，代入即可求解.
【解答过程】由题意可得该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，
则
，
所以，令，可得，
故选：B.
5. （2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数有两个零点1，2，数列为的牛顿数列．设，已知，的前项和为，则等于（ ）
A．2025 B．2026 C． D．
【答案】D
【解题思路】先由函数有两个零点求得和的解析式，进而求得数列的递推公式，从而得到数列的前n项和，即可求得的值．
【解答过程】有两个零点1，2，
则，解之得，
则，则，
则，
则，
由，可得，
即，
又，则数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，
前n项和，则.
故选：D．
6. （2024·江苏南通·模拟预测）定义：已知数列的首项，前项和为.设与是常数，若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列.若数列是“”数列，则数列的通项公式（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】由题可知，根据定义得，根据平方差公式化简得，求得，最后根据，即可求出数列的通项公式.
【解答过程】因为数列是“”数列，则，
所以，而，
，
，
，
，
，，
，
.
故选：B.
7.（2025·浙江·模拟预测）已知数列满足．
(1)证明：是等差数列；
(2)记为的前n项和，证明：当时，．
【解析】（1）因为数列满足，
所以，也即，
所以，
故数列是等差数列.
（2）由（1）可知：当时，数列是以为首项，以1为公差的等差数列，故，则，
所以
，因为，所以，
所以得证.
8. （2025·天津南开·模拟预测）设数列满足：．设为数列的前n项和，已知，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和；
（3）证明：对任意且，有．
【解析】（1）由，所以数列是以3为公比的等比数列，则
又当时，，又，即
所以
当时，
所以，所以数列是以2为公比的等比数列，则
（2）由
则
两式相减得：
所以
（3）
当时，
当时，，所以
所以对任意且，有
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