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专题10 等差数列与等比数列
目录 第一部分 研·考情精析 锁定靶心 高效备考 第二部分 理·方法技巧 梳理知识 总结技巧与方法 第三部分 攻·题型速解 典例精析+变式巩固 【题型01】等差数列、等比数列基本量的计算 【题型02】等差数列、等比数列的性质 【题型03】等差数列、等比数列的前n项和 【题型04】等差数列、等比数列的实际应用 【题型05】构造等差数列、等比数列的应用 【题型06】等差数列、等比数列的证明 【题型07】等差数列前n项和性质 【题型08】等比数列前n项和性质 【题型09】等差数列、等比数列的综合应用 第四部分 练·决胜冲刺 精选好题+通关训练
考向聚焦 高考中，等差、等比数列是高频核心考点，以选择、填空、解答三种题型全面考查。重点围绕通项公式、前 n 项和公式及基本量运算，常结合方程思想求解首项、公差、公比。高频考点包括：利用与关系求通项，必须注意n=1 的验证；等差、等比中项及性质的灵活运用，简化运算；片段和性质的辨析，避免等差等比混用。解答题常以数列求和为载体，考查错位相减、裂项相消、分组求和，多与函数、不等式结合，侧重逻辑推理与运算求解能力。实际应用题强调建模能力，关键是准确判断数列类型、确定项数与首项.
关键能力 核心是基本量运算与性质灵活运用。能快速把条件转化为方程组，熟练解通项与前 n 项和。掌握与互化，牢记单独验证。会用中项、片段和、下标和性质简化计算。掌握错位相减、裂项相消、分组求和等通法，注意运算规范。具备方程思想、函数思想，能把数列与函数、不等式结合。审题时准确判断等差 / 等比，确定首项、公差、公比与项数，避免因概念混淆、符号、次方出错。
备考策略 备考以基础优先、题型归类为主线。先吃透定义、通项、求和公式，牢记等差、等比核心性质，重点辨析易混点。每天练 2—3 道基础题，巩固基本量运算，确保选择、填空不丢分。整理高频题型：知求、错位相减、裂项相消、分组求和，形成固定解题模板。强化审题能力，准确判断数列类型、项数、公差与公比。适当接触函数、不等式结合的综合题，训练逻辑推理与规范书写，做到中档题稳拿、难题能抢步骤分。
◇方法技巧 01 等差、等比数列及其性质的常用方法和技巧
一、通项公式
等差数列：.
等比数列：
二、重要性质
下标和性质
等差：若，则，左右个数要一致
等比：若，则，左右个数要一致
中项
等差：
等比：
三、前项和公式
等差数列：
等比数列：
四、前项和性质
等差数列前项和性质：
①成等差数列，公差为；②；③为等差数列，公差为；
④片段和：成等差数列，公差为；⑤项数为时，则；；项数为时，；
⑥等差数列前项和为二次函数：，当时，有最小值；当时，有最大值.
等比数列前项和性质：
①成等比数列，公差为；
②若数列有项，则；若数列有项，则；
③片段和：成等比数列，公比为.
五、解题方法与技巧
基本量法
把条件都化成，列方程求解，最稳妥。
优先用性质
下标和、中项、片段和，能少算就少算，提速防错。
◇题型 01 等差数列、等比数列基本量的计算
典｜例｜精｜析
典例1．已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A． B．
C．16 D．18
【答案】C
【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
因为成等比数列，且，
所以，即，解得或（舍去），
所以.
故选：C.
典例2．已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ）
A．16 B．8
C．4 D．2
【答案】C
【解析】利用方程思想列出关于的方程组，求出，再利用通项公式即可求得的值．
【详解】设正数的等比数列{an}的公比为，则，
解得，，故选C．
【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键．
忽略“等比数列公比与等差数列公差”的特殊情况，直接套公式导致漏解。 混淆“项数”与下标差，求和时，代错值。 等比数列中，首项或公比为0不成立，强行运算致错。 等差、等比易写成、。 求和公式混用，未判断就用。 解方程时多解、负根未检验是否符合题意。
变｜式｜巩｜固
变式1．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ）
A．1 B．2
C．4 D．8
【答案】C
【详解】设公差为，，，联立解得，故选C.
点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.
变式2．已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14 B．12
C．6 D．3
【答案】D
【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.
变式2．设是等比数列，且，，则（ ）
A．12 B．24
C．30 D．32
【答案】D
【分析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果.
【详解】设等比数列的公比为，则，
，
因此，.
故选：D.
【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．
◇题型 02 等差数列、等比数列的性质
典｜例｜精｜析
典例1．已知依次成等差数列，依次成等比数列，则的最小值是（ ）
A．2 B．
C．4 D．8
【答案】A
【分析】根据条件，利用等差、等比数列的性质得，从而有，再利用基本不等式，即可求解.
【详解】成等差数列，成等比数列，
所以，且，则，
当且仅当时取等号，
故选：A.
典例2．已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．12 B．10
C．8 D．
【答案】B
【分析】由等比数列的性质求解
【详解】为等比数列，则．
故选：B
典例3．已知数列是等比数列，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据等比数列的通项公式进行求解即可.
【详解】设等比数列的公比为
，
两个式子相比，得，
又由于同号，且相加小于0，所以，
故选：C
误用 “若，则”，只有等差数列成立，等比数列是积相等。 等比中项忽略正负两根，只写一个导致漏解。 下标运算错误，把与混淆，不能直接拆项。 等比数列各项同号，中项符号与首项一致，避免出现异号矛盾。
变｜式｜巩｜固
变式1．已知为等比数列,,,则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由条件可得的值，进而由和可得解.
【详解】或.
由等比数列性质可知
或
故选D.
【点睛】本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.
变式2．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由等比、等差数列的性质可得，，从而可得，，则有，结合诱导公式求解即可.
【详解】因为数列为等比数列，且，
即，解得，
所以；
又因为是等差数列，且，
即，解得，
所以，
所以，
所以.
故选：C.
变式3．设是由正数组成的等比数列，公比，且，那么（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据等比数列的性质，设，，，
则A，B，C成等比数列，然后利用等比中项的性质可求得答案
【详解】设，，，
则A，B，C成等比数列，公比为，且,
由条件得，
所以，所以，所以.
故选：B
◇题型 03 等差数列、等比数列的前n项和
典｜例｜精｜析
典例1．为等差数列的前n项和，已知
(1)求数列的通项公式;
(2)求，并求的最小值.
【答案】(1)
(2)，最小值为
【分析】（1）由等差数列的通项公式和前项和列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列的通项公式．
（2）求出．从而时，的最小值为．
【详解】（1）为等差数列的前项和，，．
，
解得，，
数列的通项公式．
（2）．
时，的最小值为．
典例2．等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
【答案】（1）或.
（2）.
【详解】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m．
详解：（1）设的公比为，由题设得．
由已知得，解得（舍去），或．
故或．
（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．
若，则．由得，解得．
综上，．
点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．
等差数列求和时，把项数算错，尤其下标从开始时。 等比数列未讨论，直接套分式求和公式导致分母为 0。 已知求，漏掉单独验证，直接用。 片段和性质使用时，等比数列要注意，否则不构成等比。 含参数求和时，未分类讨论，出现多解或漏解。 奇偶项、正负项交错时，直接硬算导致符号、项数出错。
变｜式｜巩｜固
变式1．（多选）记为等差数列的前n项和．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据等差数列，且，求得，再利用等差数列通项公式和前项和公式求解.
【详解】解得：
所以，
A，B，D正确，，C错误．
故选：ABD
变式2．（多选）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】对A，根据等比数列通项公式和前项和公式得到方程组，解出，再利用其通项公式和前项和公式一一计算分析即可.
【详解】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确；
对B，则，故B错误；
对C，，故C错误；
对D，，，
则，故D正确；
故选：AD.
变式3．记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．
【详解】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
◇题型 04 等差数列、等比数列的实际应用
典｜例｜精｜析
典例1．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1盏 B．3盏
C．5盏 D．9盏
【答案】B
【详解】设塔顶的a1盏灯，
由题意{an}是公比为2的等比数列，
∴S7==381，
解得a1=3．
故选B．
典例2．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长度为5尺，头部的1尺，重4斤；尾部的1尺，重2斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列.”则下列说法正确的是（ ）
A．该金锤中间一尺重3.5斤 B．中间三尺的重量和是头尾两尺重量和的3倍
C．该金锤的重量为15斤 D．该金锤相邻两尺的重量之差为1.5斤
【答案】C
【分析】由题意可知等差数列的首项与第5项，再由通项公式求得公差，求得第三项，再求出中间三项的和，逐一核对四个选项得答案．
【详解】由题意可知等差数列中，则，
∴，．
∴．∴A错误，B错误，C正确，D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前项和，是基础的计算题．
典例3．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列.类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列：1，1，3，27，729…是一阶等比数列，则的值为（参考公式：）（ ）
A．60 B．120
C．240 D．480
【答案】B
【分析】设，则由题意可知为等比数列，其中，，从而可求出，利用累乘法可求出，从而可求出，然后利用分组求和法可求得结果.
【详解】由题意，数列1，1，3，27，729，…为，且为一阶等比数列，
设，所以为等比数列，其中，，公比为，所以，
则，，
所以，，
因为，，也适合上式，所以，
所以
.
故选：B.
分不清等差还是等比：增长 / 减少相同量为等差，相同比例为等比。 看错起始项与项数，把第 1 年当或多算、少算一年。 求 “第 n 年” 与 “前 n 年总和” 混淆，误用通项或求和公式。 利率、增长率问题，忽略复利本质是等比，错用等差计算。 实际问题有取值限制，未对 n 取正整数就直接写小数解。 忽略题目限制条件，算出的解不符合实际意义未舍去。
变｜式｜巩｜固
变式1．在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界．从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为（ ）
A．9.5尺 B．10.5尺
C．11.5尺 D．12.5尺
【答案】D
【分析】由等差数列相关运算得到公差，进而求出春分的日影长.
【详解】由题意得：为等差数列，公差为d，则，，则，解得：，则，故春分的日影长为12.5尺.
故选：D
变式2．如图所示，在等腰直角三角形中，斜边，过点作边的垂线，垂足为，过点作边的垂线，垂足为，过点作边的垂线，垂足为，…，依此类推．设，，，…，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，结合等腰直角三角形的性质可得数列为等比数列，进而求出.
【详解】依题意，数列的相邻两项分别为同一个等腰直角三角形的底边和腰，即，
因此数列是首项，公比的等比数列，，
所以.
故选：B
变式3．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了新的垛积公式.所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数或高次差数成等差数列.如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新的数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.已知一个二阶等差数列的前5项分别为1，5，12，22，35，则该数列的第45项为（ ）
A．3015 B．3025
C．3022 D．3122
【答案】A
【分析】先根据题意得递推公式，再由递推公式结合累加法和等差数列前n项和公式求出数列的通项公式即可求解.
【详解】因为二阶等差数列的前5项分别为1，5，12，22，35，
所以，
所以
，
则该数列的第45项为.
故选：A.
◇题型 05 构造等差数列、等比数列的应用
典｜例｜精｜析
典例1．在数列中，，若，则（ ）
A．18 B．24
C．30 D．36
【答案】A
【分析】由已知可得，则数列是等差数列，从而可求出，进而可求得，然后由可求得结果.
【详解】由且数列不存在为0的项，得，
所以数列是等差数列，且首项为，公差为，
所以，所以．
由，得，
故选：A．
典例2．已知数列满足，且，则当取得最大值时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】先证明数列是等差数列，结合求出的通项公式，可得，利用配方法可得答案.
【详解】因为
所以
所以数列是等差数列，
又
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以
所以
因为，，且，
所以当时，取最大值2.
故选：B.
【点睛】方法点睛：判定一个数列为等差数列的常见方法是：(1)定义法：（是常数），则数列是等差数列(2)等差中项法：（），则数列是等差数列；(3)通项公式：(为常数)，则数列是等差数列；(4)前n项和公式：(为常数)，则数列是等差数列.
由递推式构造新数列时，变形配凑出错，常数、系数算错。 忽略新数列首项与下标对应，直接套用原数列首项致错。 构造后忘记还原，求出新数列通项就直接当作。 等比型构造中，忽视公比与 0 的关系，出现分母为 0。 多解、参数情况未分类讨论，导致漏解或增根。
变｜式｜巩｜固
变式1．已知正项数列中，，，，则等于（ ）
A．16 B．8
C．4 D．
【答案】C
【详解】由知，数列是等差数列，前两项为，所以公差，故
，所以，
故选C．
变式2．已知各项均为正数的数列的前项和为，若，则（ ）
A．3 B．6
C．9 D．12
【答案】A
【分析】由可得，两式相减可证明数列从第二项起成等差数列，再由等差数列的前项和公式、等差数列的通项公式求解即可.
【详解】因为，所以，
两式相减得，
即，因为，
所以，
所以数列中，从第二项起成等差数列，
所以，
所以．由得，
所以，得，所以，
故选：A．
变式3．设各项均为正项的数列满足，，若，且数列的前项和为，则（ ）
A． B．
C．5 D．6
【答案】D
【分析】由利用因式分解可得，即可判断出数列是以为首项，为公差的等差数列，从而得到数列，数列的通项公式，进而求出．
【详解】等价于，而，
所以，即可知数列是以为首项，为公差的等差数列，即有
，所以，
故．
故选：D．
◇题型 06 等差数列、等比数列的证明
典｜例｜精｜析
典例1．已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】证明过程见解析
【分析】选①②作条件证明③时，可设出，结合的关系求出，利用是等差数列可证；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.
选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出，结合等差数列定义可证；
选②③作条件证明①时，设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论.
【详解】选①②作条件证明③：
[方法一]：待定系数法+与关系式
设，则，
当时，；
当时，；
因为也是等差数列，所以，解得；
所以，，故.
[方法二]：待定系数法
设等差数列的公差为d，等差数列的公差为，
则，将代入，
化简得对于恒成立．
则有，解得．所以．
选①③作条件证明②：
因为，是等差数列，
所以公差，
所以，即，
因为，
所以是等差数列.
选②③作条件证明①：
[方法一]：定义法
设，则，
当时，；
当时，；
因为，所以，解得或；
当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；
当时，，不合题意，舍去.
综上可知为等差数列.
[方法二]【最优解】：求解通项公式
因为，所以，，因为也为等差数列，所以公差，所以，故，当时，，当时，满足上式，故的通项公式为，所以，，符合题意.
【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，平方后得到的关系式，利用得到的通项公式，进而得到，是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出与的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，，进而得到；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出及，进而由等差数列定义进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；法二：利用是等差数列即前两项的差求出公差，然后求出的通项公式，利用，求出的通项公式，进而证明出结论.
典例2．已知数列和满足，，.
（1）证明：是等比数列，是等差数列；
（2）求和的通项公式.
【答案】（1）见解析；（2），．
【分析】(1)可通过题意中的以及对两式进行相加和相减即可推导出数列是等比数列以及数列是等差数列；
(2)可通过(1)中的结果推导出数列以及数列的通项公式，然后利用数列以及数列的通项公式即可得出结果．
【详解】(1)由题意可知，，，，
所以，即，
所以数列是首项为、公比为的等比数列，，
因为，
所以，数列是首项、公差为的等差数列，．
(2)由(1)可知，，，
所以，．
【点睛】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题．
证明等差只算前几项就下结论，必须用定义：（常数）。 证明等比忽略 “，公比”，直接写比值致逻辑漏洞。 用证明时，未注明“或”，定义域不严谨。 含参数时未验证常数、公比与 n 无关，误把变量当定值。 混淆 “数列是等差” 与 “某几项成等差”，证明范围不对。 等比证明中直接用性质代替定义，推理不规范。
变｜式｜巩｜固
变式1．在数列中，已知，.
(1)证明：是等比数列；
(2)求的前项和.
【答案】(1)数列是首项为，公比为的等比数列，详解见证明
(2)
【分析】（1）变形给定的递推公式，再利用等比数列定义推理即得.
（2）由（1）求出的通项公式，再分组求和即可.
【详解】（1）已知，移项整理得：，
两边同时加上得：,
整理得：，
又，则，
故数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）可得：,
.
变式2．已知数列的前项和为，其中为常数．
（1）证明：；
（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】试题分析：（I）对于含递推式的处理，往往可转换为关于项的递推式或关于的递推式．结合结论，该题需要转换为项的递推式．故由得．两式相减得结论；（II）对于存在性问题，可先探求参数的值再证明．本题由，，，列方程得，从而求出．得，故数列的奇数项和偶数项分别为公差为4的等差数列．分别求通项公式，进而求数列的通项公式，再证明等差数列．
试题解析：（I）由题设，，．两式相减得，．
由于，所以．
（II）由题设，，，可得，由（I）知，．令，解得．
故，由此可得，是首项为1，公差为4的等差数列，；
是首项为3，公差为4的等差数列，．
所以，．
因此存在，使得为等差数列．
【考点定位】1、递推公式；2、数列的通项公式；3、等差数列．
◇题型 07 等差数列前n项和性质
典｜例｜精｜析
典例1．已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据等差数列前项和性质求解即可.
【详解】设等差数列的公差为.因为是等差数列的前项和，
所以，
，
，
.
所以.
所以.
所以成等差数列.
由，得，所以.
所以，所以是公差为的等差数列.
所以.
所以.
故选：A.
典例2．设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．8 B．7
C．6 D．5
【答案】C
【分析】方法一：先利用关系式，求出公差，进而用等差数列求和公式即可求出答案.
方法二：利用等差数列的性质即为等差数列求解.
【详解】方法一：由题意得：，，
则等差数列的公差，
则，，
所以.
方法二：因为等差数列的性质即为等差数列，
则，得，解得.
故选：C
典例3．已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由等差数列前项和公式，将两个数列前项和的比转化为项的比，结合等差中项的性质即可求得.
【详解】由题可知，，所以.
所以.
故选：C.
典例4．已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程，即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，首项为，
则，所以，
因为，即，则，
等差数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，等差数列的前30项中奇数项有15项，所以，得，
所以.
故选：B
典例5．记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由等差数列的性质有即可判断A；由得，又即可判断C，由即可判断B，由解出即可判断D.
【详解】由有，故A错误；
由，，所以，故C正确；
，故B错误；
由，故D错误.
故选：C.
混淆通项公式与前 n 项和公式，误用。 忽略 是二次函数，但常数项必为 0，否则不是等差数列。 求时，必须验证，与结果要一致。 片段和性质成等差，公差为，易误记为等比。 项数奇偶时，奇、偶 关系易混淆，注意中间项与公差的影响。
变｜式｜巩｜固
变式1．《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织七匹三丈，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了七匹三丈，问每天增加多少尺布？”若这一个月有29天，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则值为（ ）
A．15 B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题干信息，可得数列是首项为5的等差数列，再结合等差数列的性质和前项和公式，即可求解.
【详解】根据题意，知数列是首项为5的等差数列，
设数列中所有奇数项的和为，则，
设数列中所有偶数项的和为，则，
又由等差数列的性质，知，
所以.
故选：D.
变式2．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．13 B．14
C．15 D．16
【答案】B
【分析】方法1：利用在等差数列中，，，，仍成等差数列，代入求解即可.
方法2：利用等差数列前项和公式，求出等差数列首项，公差，代入求解即可.
【详解】方法1：由等差数列前项和的性质可知：
在等差数列中，，，，仍成等差数列，
所以，，成等差数列，即，
又，，所以，
解得.
方法2：设等差数列首项为，公差为，
由等差数列前项和公式可知：
，，
联立解得，，
所以.
故选：B.
变式3．已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（ ）
A．﹣4040 B．﹣2024
C．2024 D．4040
【答案】B
【分析】根据等差数列前n项和的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可.
【详解】是等差数列的前n项和，则数列是等差数列．
，，
则数列的公差，首项为，
，．
故选：B．
变式4．已知等差数列的前项和分别为，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据等差数列的前项和的公式特征，结合，可设，，得，再利用数列的前项和与通项的关系求出再计算即得.
【详解】因分别是等差数列的前项和，由，
可设，，则，
于是，
，
则.
故选：A.
变式5．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，则①若，则，；②若，则使的最大的n为15；③若，，则中最大；④若，则，正确的选项（ ）
A．①②③ B．①②
C．①②④ D．②③④
【答案】C
【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式以及等差数列的性质逐一计算判断即可.
【详解】因为首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，
设首项为则，公差为，则.
①因为，所以，所以.
所以，，①正确；
②因为，所以，化简得，
所以，所以.
解得，所以使的最大的n为15，②正确；
③因为，所以.
所以，所以，则中最大，③错误；
④因为，所以，
当时，由可知；当时，有，故恒成立，④正确.
故选：C.
◇题型 08 等比数列前n项和性质
典｜例｜精｜析
典例1．记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A．120 B．85
C． D．
【答案】C
【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出；
方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．
【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故选：C．
方法二：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即为，
易知，，即；
当时，，
与矛盾，舍去．
故选：C．
【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．
典例1．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（ ）
A．4 B．6
C．8 D．10
【答案】C
【详解】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为,所有偶数项之和为，
则,所以，
结合等比数列求和公式有：，解得n=4，
即这个等比数列的项数为8.
本题选择C选项.
典例3．若等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且，则下列正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】D
【分析】根据等比数列定义以及可得且，即AB均错误，再由等比数列前项和的函数性质可知无最大值，由前项积定义解不等式可知的最大值为.
【详解】由可知公比，所以A错误；
又，且可得，即B错误；
由等比数列前项和公式可知，由指数函数性质可得为单调递增，
即无最大值，所以C错误；
设为数列前项积的最大值，则需满足，可得，
又可得，即的最大值为，所以D正确.
故选：D
直接套用，忽略公比需单独讨论。 求时，用后不验证，易出现分段错误。 片段和成等比，易与等差混淆，且注意。 项数、下标看错，导致项数算错，公比次方出错。 正负公比、绝对值与符号判断不清，造成求和符号错误。
变｜式｜巩｜固
变式1．设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B．3
C．1 D．
【答案】B
【分析】设公比为，推导出，即可求出的值.
【详解】设公比为，
当时，不符合题意；
当时，
又，
所以，解得.
故选：B
变式2．已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（ ）
A．5 B．7
C．9 D．11
【答案】A
【分析】根据题意，设，由等比数列的前项和公式可得的值，进而求得结论．
【详解】根据题意，数列为等比数列，设，
又由数列的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则，
故；
故选：
【点评】本题考查等比数列的求和，关键是求出等比数列的公比，属于基础题．
变式3．设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】本题主要考查等比数列的性质：等比数列连续项之和仍为等比数列．即成等比数列，则由等比中项的性质有整理得D选项．
变式4．设公比为的等比数列的前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．是数列中的最大值 D．数列无最大值
【答案】B
【分析】由题分析出，可得出数列为正项递减数列，结合题意分析出正项数列前项都大于，而从第项起都小于，进而可判断出各选项的正误.
【详解】当时，则，不合乎题意；
当时，对任意的，，且有，可得，
可得，此时，与题干不符，不合乎题意；
故，故A错误；
对任意的，，且有，可得，
此时，数列为单调递减数列，则，
结合可得，
结合数列的单调性可得
故，
，
∴，
故B正确；
是数列中的最大值,故CD错误
故选：B.
◇题型 09 等差数列、等比数列的综合应用
典｜例｜精｜析
典例1．已知等差数列的公差为，前项和为．设甲：；乙：是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】D
【分析】利用公差，如，，，，…，0，1，2，…与，可判断结论.
【详解】若公差，如数列，，，，…，0，1，2，…，则数列的前项和先减再增；
若是递增数列，如，则为常数列也为等差数列，且；
所以甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件，故D项正确.
故选：D.
典例2．已知数列的各项均为实数，为其前n项和，若对任意，都有，则下列说法正确的是（ ）
A．为等差数列，为等比数列
B．为等比数列，为等差数列
C．为等差数列，为等比数列
D．为等比数列，为等差数列
【答案】C
【分析】令(是等差数列的前n项和),由题意可得当时，单调递减，结合二次函数的性质和选项逐一判断即可.
【详解】解：令,由题意当时，单调递减，
对于首项为，公差为的等差数列，
则前n项和(不含常数项)，
此时，
由二次函数的性质知：当足够大时，不可能为单调递减函数，
所以，A中奇数项及B中偶数项为等差数列均不合题意；
对于C，当前2022项为等差数列，从第2022项开始为等比数列且公比时，满足，故符合题意；
对于D，当前2022项为等比数列，从第2022项为等差数列时，同A、B分析：当足够大时，不满足，即不可能为单调递减函数，故不合题意
故选：C.
【点睛】方法点睛：等差数列的前n项和是关于n的二次二项式(不含常数项)，在研究有关等差数列前n项和的有关性质性，从二次函数的性质出发，能使问题得到简化.
典例3．如图，在平面直角坐标系上，有一系列点，每个点均在函数的图象上.已知以点为圆心的均与轴相切，与外切，且，则（ ）
A．是等比数列，且公比为
B．是等比数列，且公比为
C．是等差数列，且公差为2
D．是等差数列，且公差为4
【答案】C
【分析】根据题意，由与相外切，得到，化简得到，求得，结合等差数列的定义，即可求解.
【详解】因为与相外切，所以，
即，
所以，
因为每个点均在函数的图像上，可得，
所以，即，所以，
所以数列是等差数列，且公差为，
所以，则，
此时数列不是等比数列.
故选：C.
混淆等差、等比的判断条件，用错定义与公式。 已知求时，必须分和讨论，忽略会出错。 等差用、等比用，忽略结构特征致误。 片段和性质混用：等差成等差，等比成等比，且等比要求和不为 0。 实际应用题中，项数、首项、公比 / 公差看错，导致列式错误。
变｜式｜巩｜固
变式1．已知是等比数列的前项和，若存在，满足，则数列的公比为（ ）
A． B．2
C． D．3
【答案】B
【分析】根据，解关于的方程，注意还是的讨论，代入公式即可求解.
【详解】设数列的公比为，
若，则，与题中条件矛盾，
故
.
故选：B
【点睛】注意公式应用的前提，以及题中没有说明的取值时，要考虑是否为1.
变式2．在等差数列中，，.记，则数列（ ）
A．有最大项，无最小项 B．无最大项，有最小项
C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】A
【分析】根据题意求出等差数列通项公式，将数列前几项写出来，通过分析判定即可.
【详解】由得公差:
首项，故。
由得，
因此：当时，；当时，，
,，，
，，，
可见在时取到最大正值，
当时，，随着增大单调递增，无最小项.
故选：A
变式3．已知各项递增的等比数列，等差数列其前项和分别为，满足.将数列与中的项按从小到大依次排列构成一个新数列，则数列的前50项和（ ）
A．2106 B．2196
C．2234 D．2550
【答案】A
【分析】设等比数列的首项为，公比为，根据等比数列求和公式得到方程组，解得、即可求出的通项公式，利用基本量法列出方程组可求的通项公式，再依题意可知新数列的前50项中，数列的项只有前6项，数列有44项，再利用分组求和法计算可得.
【详解】设等比数列的首项为，公比为，
显然且.
由已知得，两式相除可得（负值舍去），所以，
所以；
设等差数列的首项为，公差为，
，
∴，，所以.
数列中的项从小到大依次为2，4，8，16，32，64，128，…，
依题意可知新数列的前50项中，数列的项只有前6项，数列有44项，
所以
.
故选：A
一、单项选择题
1．记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25 B．22
C．20 D．15
【答案】C
【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出；
方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出．
【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，
，即,
又，解得：，
所以．
故选：C.
方法二：，，所以，，
从而，于是，
所以．
故选：C.
2．记为等差数列的前n项和．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，，，排除B，对C，，排除C．对D，，排除D，故选A．
【详解】由题知，，解得，∴，故选A．
【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．
3．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B．
C．2022 D．2023
【答案】A
【分析】根据等差数列的求和公式，建立方程组，可得答案.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，即，
由，则，即，
由，则，即，
将代入，解得，
.
故选：A.
4．数列中，，对任意，若，则（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】C
【分析】取，可得出数列是等比数列，求得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于的等式，由可求得的值.
【详解】在等式中，令，可得，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
，
，则，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.
5．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，，，则（ ）
A．87 B．88
C．89 D．90
【答案】C
【分析】根据等差数列前项求和公式与等差中项的应用求出，根据等比中项的应用求出，进而求解.
【详解】由题意知，设等差数列的首项为，等比数列的首项为，
则，
，
所以.
故选：C
6．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块 B．3474块
C．3402块 D．3339块
【答案】C
【分析】第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，
设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到.
【详解】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，
则是以9为首项，9为公差的等差数列，，
设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为，因为下层比中层多729块，
所以，
即
即，解得，
所以.
故选：C.
7．设是由正数组成的等比数列，公比，且，那么（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据等比数列的性质，设，，，
则A，B，C成等比数列，然后利用等比中项的性质可求得答案
【详解】设，，，
则A，B，C成等比数列，公比为，且,
由条件得，
所以，所以，所以.
故选：B
8．已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项判断正确的是（ ）
A．若，则数列是递增数列
B．若，则数列是递增数列
C．若数列是递增数列，则
D．若数列是递增数列，则
【答案】D
【分析】根据题意，结合等比数列的性质和特例，以及等比数列的单调性和前项和公式，可判定A、B、C都不正确；由数列是递增数列，得到和，可判定D正确.
【详解】对于A中，如果数列，公比为，满足，但是等比数列不是递增数列，所以A不正确；
对于B中，如果数列，公比为，满足，但是等比数列不是递增数列，所以B不正确；
对于C中，如果数列，公比为，可得，数列是递增数列，但是，所以C不正确；
对于D中，数列是递增数列，可知，可得，所以，可得正确，所以D正确；
故选：D．
二、多项选择题
9．分别是等差数列的前项和，则（ ）
A．是等差数列 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】AC
【分析】由等差数列的性质及前项和性质进行求解．
【详解】设等差数列的公差分别为，
则，
所以是等差数列，A正确；
，故B错误；
设，
则，
又，
所以.
可设，
所以，
所以，故C正确；
成等差数列，
又，
所以，所以，故D错误.
故选：AC
10．已知等比数列中，满足，，则下列说法中正确的有（ ）
A．数列是等比数列 B．数列是递增数列
C．数列是等差数列 D．数列中，，，仍成等比数列
【答案】ACD
【分析】根据等比数列的定义可判断A；计算出数列的通项公式可判断B；根据等差数列的定义可判断C；根据等比数列的定义及性质可判断D.
【详解】由题可知，等比数列的通项公式为.
对于A：因为，故数列是等比数列，故A正确；
对于B：，因此数列是以为首项，为公比的等比数列，
因此易知数列是递减数列，故B错误；
对于C：因为，故数列是等差数列，故C正确；
对于D：因为，故，
因此，同理，
，，
因此有，即，，仍成等比数列，故D正确.
故选：ACD.
11．数列前项的和为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则数列前项的和最大
B．若为等比数列，，，则
C．若，，则
D．若为等差数列，且，，则当时，的最大值为
【答案】AC
【分析】解不等式可判断A选项；利用等比数列片段和的性质可判断B选项；推导出，利用累乘法可判断C选项；利用等差数列求和公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，由可得，故数列前项的和最大，A对；
对于B选项，设等比数列的公比为，
若时，则当为偶数时，，不合乎题意，
所以，且，由等比数列片段和的性质可知、、、成等比数列，且公比为，
故，，
所以，，B错；
对于C选项，当时，由可得，
上述两个等式作差可得，可得，
所以，，
故，C对；
对于D选项，因为为等差数列，且，，则，
则，
，
因此，当时，的最大值为，D错.
故选：AC.
三、填空题
12．在1与4中间插入3个数，使这5个数成等比数列，则插入的3个数的乘积为___________．
【答案】
【分析】根据等比中项的性质即可求解.
【详解】设插入的3个数为，则成等比数列，设公比为，
故是1，4的等比中项，且，得：，即，
又，故.
故答案为：
13．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”.其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为______________.
【答案】
【解析】设第天织布的尺数为，可知数列为等差数列，根据题意得出关于公差的方程，解出这个量的值，即可得出结果.
【详解】设第天织布的尺数为，可知数列为等差数列，
设等差数列的公差为，前项和为，则，，，
则，解得，，解得，
因此，每天比前一天少织布的尺数为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．设有四个数的数列，前三个数构成一个等比数列，其和为，后三个数构成一个等差数列，其和为15，且公差非零．对于任意固定的实数，若满足条件的数列个数大于1，则的取值范围为___________________．
【答案】
【详解】分析：利用等差数列、等比数列的性质,可得方程=0,由此,即可得出结论.
详解：因为后3个数成等差数列且和为15,故可依次设后3个数为5-d,5,5+d,（d）
又前3个数构成等比数列,
则第一个数为,即+5-d+5=k,
化简得=0,
因为满足条件的数列的个数大于1,需要Δ>0,所以k>.
再由d，得
故答案为
点睛：本题主要考查等差数列，等比数列的性质，考查了函数与方程的思想，属于中档题．
四、解答题
15．已知集合，，将中所有元素按从小到大的顺序排列构成数列，设数列的前n项和为．
（1）若，求m的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）2282.
【解析】（1）由，则数列中前m项中含有A中的元素为2，4，6，…，26，共有13项，有B中的元素为3，9，27，共有3项，从而得出答案.
（2）根据题意可得数列中前50项中含有B中的元素为3，9，27，81共有4项，数列中前50项中含有A中的元素为，共有46项，分组可求和.
【详解】解：（1）因为，
所以数列中前m项中含有A中的元素为2，4，6，…，26，共有13项，
数列中前m项中含有B中的元素为3，9，27，共有3项，
所以．
（2）因为，，
所以数列中前50项中含有B中的元素为3，9，27，81共有4项
所以数列中前50项中含有A中的元素为，共有46项，
所以．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题10 等差数列与等比数列
目录 第一部分 研·考情精析 锁定靶心 高效备考 第二部分 理·方法技巧 梳理知识 总结技巧与方法 第三部分 攻·题型速解 典例精析+变式巩固 【题型01】等差数列、等比数列基本量的计算 【题型02】等差数列、等比数列的性质 【题型03】等差数列、等比数列的前n项和 【题型04】等差数列、等比数列的实际应用 【题型05】构造等差数列、等比数列的应用 【题型06】等差数列、等比数列的证明 【题型07】等差数列前n项和性质 【题型08】等比数列前n项和性质 【题型09】等差数列、等比数列的综合应用 第四部分 练·决胜冲刺 精选好题+通关训练
考向聚焦 高考中，等差、等比数列是高频核心考点，以选择、填空、解答三种题型全面考查。重点围绕通项公式、前 n 项和公式及基本量运算，常结合方程思想求解首项、公差、公比。高频考点包括：利用与关系求通项，必须注意n=1 的验证；等差、等比中项及性质的灵活运用，简化运算；片段和性质的辨析，避免等差等比混用。解答题常以数列求和为载体，考查错位相减、裂项相消、分组求和，多与函数、不等式结合，侧重逻辑推理与运算求解能力。实际应用题强调建模能力，关键是准确判断数列类型、确定项数与首项.
关键能力 核心是基本量运算与性质灵活运用。能快速把条件转化为方程组，熟练解通项与前 n 项和。掌握与互化，牢记单独验证。会用中项、片段和、下标和性质简化计算。掌握错位相减、裂项相消、分组求和等通法，注意运算规范。具备方程思想、函数思想，能把数列与函数、不等式结合。审题时准确判断等差 / 等比，确定首项、公差、公比与项数，避免因概念混淆、符号、次方出错。
备考策略 备考以基础优先、题型归类为主线。先吃透定义、通项、求和公式，牢记等差、等比核心性质，重点辨析易混点。每天练 2—3 道基础题，巩固基本量运算，确保选择、填空不丢分。整理高频题型：知求、错位相减、裂项相消、分组求和，形成固定解题模板。强化审题能力，准确判断数列类型、项数、公差与公比。适当接触函数、不等式结合的综合题，训练逻辑推理与规范书写，做到中档题稳拿、难题能抢步骤分。
◇方法技巧 01 等差、等比数列及其性质的常用方法和技巧
一、通项公式
等差数列：.
等比数列：
二、重要性质
下标和性质
等差：若，则，左右个数要一致
等比：若，则，左右个数要一致
中项
等差：
等比：
三、前项和公式
等差数列：
等比数列：
四、前项和性质
等差数列前项和性质：
①成等差数列，公差为；②；③为等差数列，公差为；
④片段和：成等差数列，公差为；⑤项数为时，则；；项数为时，；
⑥等差数列前项和为二次函数：，当时，有最小值；当时，有最大值.
等比数列前项和性质：
①成等比数列，公差为；
②若数列有项，则；若数列有项，则；
③片段和：成等比数列，公比为.
五、解题方法与技巧
基本量法
把条件都化成，列方程求解，最稳妥。
优先用性质
下标和、中项、片段和，能少算就少算，提速防错。
◇题型 01 等差数列、等比数列基本量的计算
典｜例｜精｜析
典例1．已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A． B．
C．16 D．18
典例2．已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ）
A．16 B．8
C．4 D．2
忽略“等比数列公比与等差数列公差”的特殊情况，直接套公式导致漏解。 混淆“项数”与下标差，求和时，代错值。 等比数列中，首项或公比为0不成立，强行运算致错。 等差、等比易写成、。 求和公式混用，未判断就用。 解方程时多解、负根未检验是否符合题意。
变｜式｜巩｜固
变式1．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ）
A．1 B．2
C．4 D．8
变式2．已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14 B．12
C．6 D．3
变式2．设是等比数列，且，，则（ ）
A．12 B．24
C．30 D．32
◇题型 02 等差数列、等比数列的性质
典｜例｜精｜析
典例1．已知依次成等差数列，依次成等比数列，则的最小值是（ ）
A．2 B．
C．4 D．8
典例2．已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．12 B．10
C．8 D．
典例3．已知数列是等比数列，，则（ ）
A． B．
C． D．
误用 “若，则”，只有等差数列成立，等比数列是积相等。 等比中项忽略正负两根，只写一个导致漏解。 下标运算错误，把与混淆，不能直接拆项。 等比数列各项同号，中项符号与首项一致，避免出现异号矛盾。
变｜式｜巩｜固
变式1．已知为等比数列,,,则（ ）
A． B．
C． D．
变式2．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
变式3．设是由正数组成的等比数列，公比，且，那么（ ）
A． B．
C． D．
◇题型 03 等差数列、等比数列的前n项和
典｜例｜精｜析
典例1．为等差数列的前n项和，已知
(1)求数列的通项公式;
(2)求，并求的最小值.
典例2．等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
等差数列求和时，把项数算错，尤其下标从开始时。 等比数列未讨论，直接套分式求和公式导致分母为 0。 已知求，漏掉单独验证，直接用。 片段和性质使用时，等比数列要注意，否则不构成等比。 含参数求和时，未分类讨论，出现多解或漏解。 奇偶项、正负项交错时，直接硬算导致符号、项数出错。
变｜式｜巩｜固
变式1．（多选）记为等差数列的前n项和．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（多选）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ）
A． B．
C． D．
变式3．记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
◇题型 04 等差数列、等比数列的实际应用
典｜例｜精｜析
典例1．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1盏 B．3盏
C．5盏 D．9盏
典例2．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长度为5尺，头部的1尺，重4斤；尾部的1尺，重2斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列.”则下列说法正确的是（ ）
A．该金锤中间一尺重3.5斤 B．中间三尺的重量和是头尾两尺重量和的3倍
C．该金锤的重量为15斤 D．该金锤相邻两尺的重量之差为1.5斤
典例3．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列.类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列：1，1，3，27，729…是一阶等比数列，则的值为（参考公式：）（ ）
A．60 B．120
C．240 D．480
分不清等差还是等比：增长 / 减少相同量为等差，相同比例为等比。 看错起始项与项数，把第 1 年当或多算、少算一年。 求 “第 n 年” 与 “前 n 年总和” 混淆，误用通项或求和公式。 利率、增长率问题，忽略复利本质是等比，错用等差计算。 实际问题有取值限制，未对 n 取正整数就直接写小数解。 忽略题目限制条件，算出的解不符合实际意义未舍去。
变｜式｜巩｜固
变式1．在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界．从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为（ ）
A．9.5尺 B．10.5尺
C．11.5尺 D．12.5尺
变式2．如图所示，在等腰直角三角形中，斜边，过点作边的垂线，垂足为，过点作边的垂线，垂足为，过点作边的垂线，垂足为，…，依此类推．设，，，…，，则等于（ ）
A． B． C． D．
变式3．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了新的垛积公式.所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数或高次差数成等差数列.如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新的数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.已知一个二阶等差数列的前5项分别为1，5，12，22，35，则该数列的第45项为（ ）
A．3015 B．3025
C．3022 D．3122
◇题型 05 构造等差数列、等比数列的应用
典｜例｜精｜析
典例1．在数列中，，若，则（ ）
A．18 B．24
C．30 D．36
典例2．已知数列满足，且，则当取得最大值时，（ ）
A． B．
C． D．
由递推式构造新数列时，变形配凑出错，常数、系数算错。 忽略新数列首项与下标对应，直接套用原数列首项致错。 构造后忘记还原，求出新数列通项就直接当作。 等比型构造中，忽视公比与 0 的关系，出现分母为 0。 多解、参数情况未分类讨论，导致漏解或增根。
变｜式｜巩｜固
变式1．已知正项数列中，，，，则等于（ ）
A．16 B．8
C．4 D．
变式2．已知各项均为正数的数列的前项和为，若，则（ ）
A．3 B．6
C．9 D．12
变式3．设各项均为正项的数列满足，，若，且数列的前项和为，则（ ）
A． B．
C．5 D．6
◇题型 06 等差数列、等比数列的证明
典｜例｜精｜析
典例1．已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
典例2．已知数列和满足，，.
（1）证明：是等比数列，是等差数列；
（2）求和的通项公式.
证明等差只算前几项就下结论，必须用定义：（常数）。 证明等比忽略 “，公比”，直接写比值致逻辑漏洞。 用证明时，未注明“或”，定义域不严谨。 含参数时未验证常数、公比与 n 无关，误把变量当定值。 混淆 “数列是等差” 与 “某几项成等差”，证明范围不对。 等比证明中直接用性质代替定义，推理不规范。
变｜式｜巩｜固
变式1．在数列中，已知，.
(1)证明：是等比数列；
(2)求的前项和.
变式2．已知数列的前项和为，其中为常数．
（1）证明：；
（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由．
◇题型 07 等差数列前n项和性质
典｜例｜精｜析
典例1．已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A． B．
C． D．
典例2．设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．8 B．7
C．6 D．5
典例3．已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
典例4．已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
典例5．记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
混淆通项公式与前 n 项和公式，误用。 忽略 是二次函数，但常数项必为 0，否则不是等差数列。 求时，必须验证，与结果要一致。 片段和性质成等差，公差为，易误记为等比。 项数奇偶时，奇、偶 关系易混淆，注意中间项与公差的影响。
变｜式｜巩｜固
变式1．《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织七匹三丈，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了七匹三丈，问每天增加多少尺布？”若这一个月有29天，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则值为（ ）
A．15 B．
C． D．
变式2．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．13 B．14
C．15 D．16
变式3．已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（ ）
A．﹣4040 B．﹣2024
C．2024 D．4040
变式4．已知等差数列的前项和分别为，且，则（ ）
A． B．
C． D．
变式5．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，则①若，则，；②若，则使的最大的n为15；③若，，则中最大；④若，则，正确的选项（ ）
A．①②③ B．①②
C．①②④ D．②③④
◇题型 08 等比数列前n项和性质
典｜例｜精｜析
典例1．记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A．120 B．85
C． D．
典例1．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（ ）
A．4 B．6
C．8 D．10
典例3．若等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且，则下列正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最大值为
直接套用，忽略公比需单独讨论。 求时，用后不验证，易出现分段错误。 片段和成等比，易与等差混淆，且注意。 项数、下标看错，导致项数算错，公比次方出错。 正负公比、绝对值与符号判断不清，造成求和符号错误。
变｜式｜巩｜固
变式1．设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B．3
C．1 D．
变式2．已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（ ）
A．5 B．7
C．9 D．11
变式3．设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
变式4．设公比为的等比数列的前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．是数列中的最大值 D．数列无最大值
◇题型 09 等差数列、等比数列的综合应用
典｜例｜精｜析
典例1．已知等差数列的公差为，前项和为．设甲：；乙：是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
典例2．已知数列的各项均为实数，为其前n项和，若对任意，都有，则下列说法正确的是（ ）
A．为等差数列，为等比数列
B．为等比数列，为等差数列
C．为等差数列，为等比数列
D．为等比数列，为等差数列
典例3．如图，在平面直角坐标系上，有一系列点，每个点均在函数的图象上.已知以点为圆心的均与轴相切，与外切，且，则（ ）
A．是等比数列，且公比为
B．是等比数列，且公比为
C．是等差数列，且公差为2
D．是等差数列，且公差为4
混淆等差、等比的判断条件，用错定义与公式。 已知求时，必须分和讨论，忽略会出错。 等差用、等比用，忽略结构特征致误。 片段和性质混用：等差成等差，等比成等比，且等比要求和不为 0。 实际应用题中，项数、首项、公比 / 公差看错，导致列式错误。
变｜式｜巩｜固
变式1．已知是等比数列的前项和，若存在，满足，则数列的公比为（ ）
A． B．2
C． D．3
变式2．在等差数列中，，.记，则数列（ ）
A．有最大项，无最小项 B．无最大项，有最小项
C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
变式3．已知各项递增的等比数列，等差数列其前项和分别为，满足.将数列与中的项按从小到大依次排列构成一个新数列，则数列的前50项和（ ）
A．2106 B．2196
C．2234 D．2550
一、单项选择题
1．记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25 B．22
C．20 D．15
2．记为等差数列的前n项和．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
3．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B．
C．2022 D．2023
4．数列中，，对任意，若，则（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
5．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，，，则（ ）
A．87 B．88
C．89 D．90
6．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块 B．3474块
C．3402块 D．3339块
7．设是由正数组成的等比数列，公比，且，那么（ ）
A． B．
C． D．
8．已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项判断正确的是（ ）
A．若，则数列是递增数列
B．若，则数列是递增数列
C．若数列是递增数列，则
D．若数列是递增数列，则
二、多项选择题
9．分别是等差数列的前项和，则（ ）
A．是等差数列 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知等比数列中，满足，，则下列说法中正确的有（ ）
A．数列是等比数列 B．数列是递增数列
C．数列是等差数列 D．数列中，，，仍成等比数列
11．数列前项的和为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则数列前项的和最大
B．若为等比数列，，，则
C．若，，则
D．若为等差数列，且，，则当时，的最大值为
三、填空题
12．在1与4中间插入3个数，使这5个数成等比数列，则插入的3个数的乘积为___________．
13．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”.其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为______________.
14．设有四个数的数列，前三个数构成一个等比数列，其和为，后三个数构成一个等差数列，其和为15，且公差非零．对于任意固定的实数，若满足条件的数列个数大于1，则的取值范围为___________________．
四、解答题
15．已知集合，，将中所有元素按从小到大的顺序排列构成数列，设数列的前n项和为．
（1）若，求m的值；
（2）求的值．
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