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专题10 立体几何与空间向量
板块一：立体几何初步
易错点1 对斜二测画法规则掌握不牢出错
易错典题
【例1】（25-26高三上·上海部分中学期中联考）如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，那么的面积为 ．
【答案】
【解析】因为轴，所以在中，（易错点），
对斜二测画法规则理解不透，不能判断出
又三角形的面积为16，所以.∴，
所以（易错点）.
平行于y轴的线段在画直观图时其长度减半
如图作于，
因为，所以.
所以.
秒解：因为，所以的面积为
.
【错因分析】本题容易因对斜二测画法规则理解不透而不能得到正确答案.
知识混淆：直观图还原原图时容易混淆长度的“变”与“不变”，即与轴平行(重合)的线段长度不变，与轴平行(重合)的线段长度直观图是原图的一半.
概念模糊：对直观图和原图间线段大小及平行关系不清楚，导致思维存在漏洞.
望文生义：在直观图中，凭直觉错误得到各角的大小，如直观图中，但该角实质代表直角.
避错攻略
【方法总结】设一个平面多边形的面积为，利用斜二测画法得到的直观图的面积为，则有.
【知识链接】1.空间几何体的直观图的概念
直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.
直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形.
2.水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法）
（1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或）
（2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段.
（3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半.
（4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图.
举一反三
【变式1-1】（25-26高三上·湖南长沙·期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（ ）.
A．5 B． C． D．10
【答案】D
【解析】由题直观图的面积为，
原图的面积等于直观图面积的倍，
所以原图的面积为，故D正确.
【变式1-2】(多选)（2025·陕西西安·二模）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ）

A． B．
C．四边形的面积为 D．四边形的周长为
【答案】BC
【解析】A选项，过点作垂直于轴于点，
因为等腰梯形中，，
所以，
又，所以，A错误；

B选项，由斜二测法可知，B正确；
C选项，作出原图形，可知，，，，
故四边形的面积为，C正确；

D选项，过点作于点，
则，
由勾股定理得，
四边形的周长为，D错误．
故选：BC.
【变式1-3】(多选)（25-26高三上·河北邢台·月考）如图所示为四边形的平面图，其中，，，，用斜二测画法画出它的直观图四边形其中，则下列说法正确的是 （ ）

A．
B．
C．四边形为等腰梯形
D．四边形的周长为
【答案】BC
【解析】由题意可画出其直观图如下，

其中，故A错误，B正确；
过点分别作，垂足分别为点，
故，
，故，
则四边形为等腰梯形，故C正确；
故四边形的周长为，即D错误.
故选：BC
【变式1-4】（25-26高三上·湖北·月考）如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，则原四边形的面积为 ．

【答案】
【解析】由题可知，
如图，建立平面直角坐标系，

在轴上截取，，，
在过点的轴的平行线上截取，
在过点的轴的平行线上截取，
连接，即可得到原四边形．
原四边形是直角梯形，
故四边形的面积为．
易错点2 不能确定棱锥的外接（内切、棱切）球球心致错
易错典题
【例2】（25-26高三上·河南·期中联考）已知在四棱锥中，底面为边长为4的正方形，侧面底面，且为等边三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）
【答案】
【解析】如图所示，在四棱锥中，设和正方形的外接圆的圆心分别为，分别过作两个平面的垂线交于点，则由外接球的性质知，点即为外接球的球心(易错点).
需注意，球心与球的各截面圆的圆心连线与相应截面垂直
取线段的中点，连接，，，，则四边形 为矩形.在等边三角形中，可得，则，即
在正方形中，由，可得，在中，可得，设外接球半径为，则，所以四棱锥外接球的表面积.故选.
【错因分析】不能确定该外接球的球心，从而无法求得球的半径长.
知识混淆：易将外接球、内切球与棱切球混淆
概念模糊：对球的截面性质不熟悉，从而无法确定球心的位置.
.望文生义：遇到外接球就想补形成长方体，而忽视了并非所有外接球问题均可补形.
避错攻略
【方法总结】在求棱锥的外接球的相关问题中，关键是球心和半径的确定.球心的确定本质上是过棱锥的任意两个表面图形外接圆的圆心的垂线的交点，半径是球心到棱锥任意一个顶点的距离.
【知识链接】1.球的截面的性质
(1)球的任何截面都是圆面.
(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面.
(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为r2＝R2－d2.
2.外接球球心确定的技巧
到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可.
3.“切”的处理
解决与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体或旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面.
4.与内(棱)切球有关的常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的内切球，则2R＝a；
②若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
(2)设正四面体的棱长为a，则它的高为a，内切球半径r＝a，外接球半径R＝a.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
(3)二级结论：一个多面体的表面积为S，如果这个多面体有半径为r的内切球，则此多面体的体积V满足V＝Sr.
注意：体积分割是求内切球半径的通用方法.
举一反三
【变式2-1】（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．
故选：A．

【变式2-2】（25-26高三上·山东潍坊·期中）已知四棱锥，底面是边长为的正方形，侧面底面，且为正三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，
连接交于点，取中点，连接，
则由题意知，，
为正方形外接圆的圆心，又因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，同理平面，
设等边的外接圆圆心为，过作的平行线交过且与平行的线于点，
则平面，面，所以为四棱锥外接球的球心，
设球的半径为，在等边中由正弦定理得，解得，
又因为，所以，
所以四棱锥外接球表面积为.
故选：C
【变式2-3】（2025·四川眉山·模拟预测）已知某圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则该圆锥的内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，设该圆锥内切球的球心为，半径为，
球切该圆锥的母线于点，为该圆锥底面圆的圆心，
则，，因为，所以，又，
，则，解得，
故该圆锥的内切球的表面积为.
故选：C
【变式2-4】（2025·广东佛山·一模）两个有共同底面的正三棱锥与，它们的各顶点都在球的球面上，，且二面角的大小为，则球的表面积为 .
【答案】
【解析】由题意可知，外接球的球心，且平面，即为外接球的直径，
设平面，则为等边三角形的中心，取的中点，连接，，
则，，故二面角的平面角为.
设，，，，，
则，，又，，
则，
又，，解得，即球的表面积为.
易错点3 线面位置关系考虑不全面出错
易错典题
【例3】（2025·四川成都联考）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
【答案】A
【解析】对于，若，，则或，故错误；
对于，若，，，则，故正确；
对于，若，，只有当垂直于与的交线时，故C错误（易错点）；
若不是垂直于与的交线，则与可能相交、平行或
对于，若，，，则或与相交，故错误.
【错因分析】判断线面位置关系时，考虑不全面而漏掉多种情形.
知识混淆：利用判定定理和性质定理进行各种位置关系的相互转化时，务必要考虑到是否满足定理成立的所有条件.
概念模糊：对平行或垂直的判定定理或性质定理掌握不牢靠，从而产生似是而非的错误.
.望文生义：看到面面垂直就以为一个面内所有直线和另一个平面垂直，证明面面平行时，误以为有一条直线平行于一个平面，便能推导出面面平行，等等.
避错攻略
【方法总结】确定空间中点线面位置关系，热点是线线、线面位置关系，空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线,可采用直接法或反证法；对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决，确定位置关系时要考虑到所有可能,一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断。
【知识链接】
1、 平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
【解读】①此公理是判定直线在平面内的依据；②此公理是判定点在面内的方法
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(注意：三点不一定能确定一个平面)．
【解读】①此公理是确定一个平面的依据；②此公理是判定若干点共面的依据.
推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
【解读】①此推论是判定若干条直线共面的依据；
②此推论是判定若干平面重合的依据；
③此推论是判定几何图形是平面图形的依据.
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
【解读】①此公理是判定两个平面相交的依据；
②此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）；
③此推论是判定几何图形是平面图形的依据.
2、 空间中两直线的位置关系
(1)空间中两直线的位置关系
　　　 　　　　　　　　　　　　
【解读】①两条异面直线不能确定一个平面．
②不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线.
3.直线与平面平行的性质定理与判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行 线线平行”) l∥a
判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行 线面平行”) l∥α
[微提醒]　应用判定定理时，要注意“外”“内”“平行”三个条件必须都具备，缺一不可.
4.平面与平面平行的性质定理与判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 a∥b
判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行 面面平行”) α∥β
[微提醒]　三种平行关系的转化
(1)平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想，解题过程中既要注意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向.(2)在应用判定定理与性质定理时，一定要写全定理满足的条件，否则可能是假命题.
举一反三
【变式3-1】（25-26高三上·上海·月考）若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则与相交
【答案】C
【解析】对于A，若，，则平行或异面，故A错误.
对于B，若，则平行或异面或相交，故B错误.
对于C，，过作平面，使得，
因为，故，而，故，故，故C正确.

对于D，若，则与相交或异面，故D错误.
故选：C.
【变式3-2】（25-26高二上·北京海淀·期中）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的为（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【解析】A：由，则平行、异面、相交均可能，错，
B：由，则或，错，
C：由，结合线面垂直、面面平行的性质有，对，
D：由，要使，根据面面平行的判定定理，条件还需相交，错.
故选：C
【变式3-3】（多选）（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则或
C．若，则
D．若与所成角相等，则
【答案】BC
【解析】对于A：若，则或，故A错误；
对于B：因为，，，所以或，且或。若，因为是不同的直线，
则与是内两条平行线，又，所以。同理，若，则。所以“或”必成立,故B正确。
对于C：若，则或，
若，则内必定存在直线使得，又，所以，所以；
若，又，所以，
综上可得，故C正确；
对于D：若且，此时与所成角均为，相等，
此时，故D错误.
故选：BC
易错点4 对垂直的性质定理、判定定理理解不透彻
易错典题
【例4】（25-26高三上·湖南衡阳·期中联考）如图，在三棱台中，平面平面，，．

(1)证明；
(2)求直线DF与平面DBC夹角的正弦值．
【解析】（1）过点作⊥于点，连接，
因为平面平面，交线为，平面，
所以⊥平面，（易错点）
两平面垂直时，要注意一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面
因为平面，所以⊥(易错点)
因为，所以，
又，所以，
又，在中，
由余弦定理得，
故，由勾股定理逆定理得⊥，
因为，平面，所以⊥平面，
又平面，所以⊥，
又三棱台中，，所以；

（2）过点作⊥于点，连接，
三棱台中，，
所以直线DF与平面DBC所成的角等于直线与平面DBC所成的角，
因为⊥平面，平面，所以⊥，
又，平面，所以⊥平面（易错点），
注意必须强调两直线相交，此时才有线面垂直
所以为直线与平面DBC所成的角，
由（1）知，，，
因为⊥平面，平面，所以⊥，
由勾股定理得，
所以，
所以
直线DF与平面DBC所成的角的正弦值为
【错因分析】线面垂直的判定定理使用时一定要注意直线与平面内两相交直线垂直；面面垂直的性质定理要注意一个平面内直线和两个平面的交线垂直，才能推出直线与平面垂直.
知识混淆：对垂直间关系的转化理解不全面，从而在利用面面垂直的性质定理的过程中，往往以为两个面内的任意两条直线都垂直而出错，在利用线面垂直的判定定理时，误以为直线垂直于平面内一条直线或两条直线，便可推得直线与平面垂直.
概念模糊：对各垂直关系之间转化的的逻辑推导不清晰，导致思维存在漏洞.
望文生义：线线垂直、线面垂直、面面垂直间可相互转化，但需注意各判定或性质定理之间的必备条件，要保证推理的严谨性.
避错攻略
【方法总结】1.证明线面垂直，需要证明平面外的直线与平面内的两条相交直线垂直.经常忽视的是两条直线相交的条件.
2.由面面垂直的性质定理证题时，一定要注意一个平面内的一条直线必须垂直于两个平面的交线，才会垂直于另一个平面.
【知识链接】空间中的垂直关系
（1）线线垂直
①等腰三角形（等边三角形）的三线合一证线线垂直
②勾股定理的逆定理证线线垂直
③菱形、正方形的对角线互相垂直
（2）线面垂直的判定定理
判定定理：一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直
图形语言 符号语言
（3）线面垂直的性质定理
性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线
图形语言 符号语言
性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行
图形语言 符号语言
（4）面面垂直的判定定理
判定定理：一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直 （或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直）
图形语言 符号语言
（5）面面垂直的性质定理
性质定理：两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面
图形语言 符号语言
举一反三
【变式4-1】（25-26高二上·陕西渭南·期中）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点.

(1)求证：平面ADEF；
(2)求证：平面BDE.
【解析】（1）取的中点，连接，，
在中，，分别为，的中点，所以，且，
由已知，，所以，且，
所以四边形为平行四边形，可得，
又因为平面，且平面，
所以平面.
（2）在正方形中，，因为平面平面，且平面平面，
且平面，所以平面，
又因为平面，所以，
在直角梯形中，，，可得，
在中，，，
因为，所以，
因为，平面，
所以平面.

【变式4-2】（25-26高三上·广西来宾·月考）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面，M是棱的中点，．
(1)证明：平面；
(2)若，求二面角．
【解析】（1）在四棱锥中，由底面为矩形，得，
由侧面底面，侧面底面，
平面，得平面，
又平面，则，
又侧面是正三角形，是的中点，则，
又，，平面，
所以平面．
（2）如图，取，中点、，连接、、，
因为底面为矩形，侧面是正三角形，
所以，，且且都在平面内，
所以平面，又，
所以平面，，平面，
所以，，
所以就是二面角的平面角，
由（1）知平面，因为，所以平面，
面，则，
在直角三角形中，，
又正三角形中，则，
所以，所以，
即二面角为．
板块二：空间向量
易错点5 忽略建系的条件而出错
易错典题
【例5】（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为．
(1)证明：平面；
(2)求面与面所成的二面角的正弦值．
【解析】（1）设，所以，因为为中点，所以，因为，，所以是平行四边形， 所以，所以，
因为平面平面，所以平面，
因为平面平面，所以平面，
又，平面，所以平面平面，
又平面，所以平面．
（2）
因为，所以，又因为，所以，
以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系(易错点).
本处易错点是不证明三线两两垂直，直接建立空间直角坐标系
因为，平面与平面所成二面角为60° ，
所以.
则，，，，，.
所以.
设平面的法向量为，则
，所以，令，则，则.
设平面的法向量为，
则，所以，
令，则，所以.
所以.
所以平面与平面夹角的正弦值为.
【错因分析】在建立空间坐标系以前，必须要先证明需要的垂直关系，以防因步骤不全而丢分.
知识混淆：建系时要注意建立右手直角坐标系，不要错误地建成左手直角坐标系.
概念模糊：建系时，因对垂直间的转化不够熟悉，可能不能正确证得三线两两垂直.
望文生义：建系时不要想当然地认为某三条直线两两垂直，而是应先证明，再建系.
避错攻略
【方法总结】利用空间坐标系处理空间角、空间距离问题，是高考中的重点题目，但在建立坐标系以前必须先证明要用到的垂直关系，而不能相当然的利用图中的直线作为空间坐标系的坐标轴.
【知识链接】
1.右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
2.空间点的坐标表示：在空间直角坐标系Oxyz中，，，为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理得，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组，叫作点A在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中x叫作点A的横坐标，y叫作点A的纵坐标，z叫作点A的竖坐标.
3.建立空间直角坐标系策略
策略一：建立空间直角坐标系时，可以按照以下步骤进行
（1）确定空间直角坐标系的三个坐标轴方向，一般选择为某轴、y轴和z轴。
（2）确定空间直角坐标系的原点，一般选择为三个轴的交点。
（3）确定坐标轴的正方向，一般按照右手定则确定，即当右手的大拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向时，中指所指的方向即为z轴正方向。
（4）确定坐标轴的长度和间距，一般选择适当的数值，方便计算。
（5）根据需要，可以在空间直角坐标系中建立坐标系网格和标注坐标轴上的刻度值，方便进行坐标计算和表示几何体。
策略二：利用共顶点且相互垂直的三条棱建系：
策略三：利用线面垂直建系
策略四：利用面面垂直建系
策略五：利用正棱锥的中心与高所在直线建系
举一反三
【变式5-1】（25-26高三上·上海松江·期末）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，是边长为2的正三角形，侧面底面ABCD．
(1)证明：；
(2)求点到平面的距离．
【解析】（1）取中点，中点，连接，.
因为为等边三角形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
平面，所以，
又底面是直角梯形，，所以.
又分别为，中点，所以，所以.
所以两两垂直.
故以为原点，建立如图空间直角坐标系，
因为，所以，，，.
所以，.
因为.
所以，所以.
（2）由（1）得，，，.
设平面的一个法向量为，
则，令，可得.
所以点到平面的距离为：.
【变式5-2】（2025·浙江温州·一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为的正方形，面ABCD，若点M满足，点E为PB中点，过EM的平面满足，且平面与棱PD，AD，AB分别交于点F，G，H.

(1)求证：；
(2)试判断P，E，M，F，G，H六点能否在同一个球面上？若能，求该球的表面积；若不能，请说明理由.
【解析】（1）因为，平面 , 平面,所以;
因为点 为中点，所以点为中点；
设，连接,
因为，平面，所以;
因为，所以;
因为三点共线，所以，所以为中点；
又因为，，所以.
（2）法一：由，平面,平面,所以
又因为为中点，所以为中点,
以为原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示

设，则 ；
若P，E，M，F，G，H六点在同一个球面上，假设球心 ，半径为，则
所以当时，P，E，M，F，G，H六点在同一个球面上，
该球的表面积为 .
易错点6 忽略异面直线所成角的范围出错
易错典题
【例6】（25-26高三上·江苏无锡·月考）《九章算术》中将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
【答案】
【解析】由题意，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
由题意，设，则，
所以，，，，
所以，，
所以，
所以，，
设直线与所成角为，
则.
所以异面直线与所成角的余弦值为（易错点）．
本题容易错将答案写成或
【错因分析】错将相应两直线方向向量的夹角看作是异面直线所成的角.
知识混淆：混淆异面直线所成的角与相应两直线方向向量的夹角，实质上异面直线所成角的范围为，方向向量夹角的范围为，
概念模糊：未正确理解 “线线角”与“两直线方向向量夹角”的概念，从而导致思维混乱.
望文生义：求异面直线所成角时，以为求得两直线方向向量夹角时就结束了，从而造成逻辑错误.
避错攻略
【方法总结】求解异面直线所成角相关问题时，要注意两点：一是几何法所做的角和异面直线所成角相等或互补；二是异面直线的方向向量所成角一异面直线所成角也是相等或互补的关系，而区分的依据都是异面直线所成角的范围.
【知识链接】1.两条异面直线所成的角的定义
如图，已知两异面直线a，b，经过空间任一点O，分别作直线a′∥a，b′∥b，相交直线a′，b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．
【解读】（1）在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以判定a′，b′所成的角的大小与点O的位置无关．为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上．
（2）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路．
2．异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角α的取值范围为．
3．两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直．两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b． 求异面直线所成的角的步骤
4．求异面直线所成的角的方法
（1）几何法
一作，即依据定义作平行线，作出异面直线所成的角
二证，即证明作出的角是异面直线所成的角
三求，解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角
（2）向量法
已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为θ，则
举一反三
【变式6-1】（25-26高二上·山东临沂·期中）在直三棱柱中，，，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为直三棱柱，所以底面，
又底面，所以，，
又因为，所以两两垂直，
以C为原点，以分别为轴，建立如图所示直角坐标系，

设，则，，，，
所以，，
设直线与所成角为，
则，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：A
【变式6-2】（25-26高二上·湖北·期中）在直三棱柱中，，，，点是的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在直三棱柱中，平面，
∵平面，平面，
∴，，且
∴如图建立空间直角坐标系，
∴，，，则，
则，，
设直线与所成角为，
则.
故选：C.
【变式6-3】（25-26高二上·北京大兴·期中）如图，正八面体由两个相同的正四棱锥组成，其所有棱长为2，，分别为棱，的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】正八面体由两个相同的正四棱锥组成，其所有棱长为2，
正八面体的8个面均为边长是2的等边三角形，面是边长为的正方形，
连接交于点，则，，
连接，则交于点，，
以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，
，
，
，
直线和夹角的余弦值为．
故选：C．
易错点7混淆“线面角”和“直线方向向量与平面法向量的夹角
易错典题
【例7】（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点．
(1)若分别为的中点，求证：平面PAB；
(2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值．
【解析】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，
与为等腰直角三角形且，
不妨设，..
E、F分别为BC、PD的中点，
，且.
，，
，∴四边形FGMN为平行四边形，
，
平面PAB，平面PAB，平面PAB；
（2）平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
，
设平面PCD的一个法向量为，
，，
取，，.
设AB与平面PCD所成角为，
则(易错点)
若对概念不清，容易错写成
即AB与平面PCD所成角的正弦值为.
【错因分析】易错点为线面角与向量夹角转化不清等问题，若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则sin=|cos<,>|。容易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值.
知识混淆：混淆“直线与平面所成角”和“直线方向向量与平面的法向量的夹角”，从而造成错解.
概念模糊：“直线与平面所成角”与“直线方向向量与平面的法向量的夹角”是互余的或相差，由于未能认识上述这一点，从而导致无法正确转化.
望文生义：审题不清或知识点掌握不够透彻，从而导致思维混乱.
避错攻略
【方法总结】直线与平面所成角的求法
（1）几何法
①在直线上任取一点（通常都是取特殊点），向平面引（通常都是找+证明）垂线；
②连接斜足与垂足；
③则斜线与射影所成的角，就是直线与平面所成角.
（2）等体积法
①利用等体积法求垂线段的长；
②
（3）向量法
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有
①
②.（注意此公式中最后的形式是：）
【知识链接】1.直线与平面所成角
（1）斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面内的射影.
【解读】斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.
如图，直线是平面的一条斜线，斜足为，斜线上一点在平面上的射影为，则直线是斜线在平面上的射影.
直线和平面所成角
①平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线与平面所成角的范围为；
②直线与平面垂直时，它们的所成角为；
③直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0.
故直线与平面所成角的范围为.
举一反三
【变式7-1】（25-26高三上·吉林长春·期中）如图，在四棱锥中，平面，，E为棱的中点，平面与棱相交于点F，且，.

(1)求证：；
(2)已知点M在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
【解析】（1）因为平面，平面，
所以平面，又平面，平面平面，
所以，又，
所以.
（2）由平面，平面，所以，
所以，
得，有，所以，
建立如图空间直角坐标系.
，
则，
设，则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
所以，设直线与平面所成的角为，
则，
整理得，解得，即.
【变式7-2】（2025·辽宁沈阳·三模）如图，在四棱锥中，为的中点，，点在线段上

(1)证明：平面；
(2)已知四点均在球的球面上．若直线与平面所成角的正弦值为，求．
【解析】（1）在四棱锥中，连接，
由，，得，
由为的中点，得，
则，所以，即，
又，平面，
所以平面.

（2）连接，由（1）知平面，
又平面，则，
又，平面，
则平面，又平面，则，
令中点为，由（1）知，
因此，
即点是三棱锥外接球球心，连接，
以为坐标原点，向量的方向分别为轴正方向，
建立空间直角坐标系，
则，
设，则，
设平面的一个法向量，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则，
整理得，而，解得，
所以.
1．（24-25高三上·湖北武汉·期末）水平放置的三角形的直观图如图，其中，那么原三角形是一个（ ）

A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【解析】结合直观图的画法，画出原如下图：

其中，,
所以，.
所以为等腰三角形，且腰和底边不相等.
故选：B
2．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知直线，及平面，，则下列命题正确的是（　　）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】C
【解析】对于A：若，，则或与异面，故A错误；
对于B：若，，则或与相交或与异面，故B错误；
对于C：若，则都有 ，又，则使得，
∴，又，∴，故C正确；
对于D：若，，则或或或与相交但不垂直，故D错误.
故选：C
3．（24-25高三上·河北承德·期末）用斜二测画法画出的四边形OABC的直观图如图中的四边形，其中，，，则原四边形以所在直线为旋转轴，旋转一周形成的几何体的体积为（ ）
A． B．
C． D．19π
【答案】D
【解析】将直观图还原成如图所示的直角梯形：
原四边形以所在直线为旋转轴，旋转一周形成的几何体的体积为,
故选：D.
4．（25-26高三上·江苏无锡·期中）在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ）
A．60° B． C． D．
【答案】C
【解析】取中点，连接、，
矩形中，，
，可得，因此；
正三棱柱中，平面平面，
平面平面，，平面，
平面，平面，可得.
，平面，
平面，又平面，
所以，即与所成角的大小为，
故选：C．
5．（25-26高三上·湖北孝感·期中）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，将三棱锥补成长方体，
设，又，
则，，，将三式相加得，
因为三棱锥的顶点全在长方体的顶点上，所以长方体的外接球也是三棱锥的外接球，
由长方体的性质知，长方体的外接球球心在体对角线的中点处，且体对角线长为，
所以三棱锥的外接球的半径为，则球的表面积为.
故选：D.
6．（25-26高三上·广东肇庆·开学考试）已知正四棱台的上、下底面边长分别为、，体积为，则该四棱台的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
如图所示，正四棱台的外接球半径，设，
根据正四棱台及其外接球的性质可知，球心位于正四棱台上、下底面对角线中点的连线上，
垂直于上下底面，且上下底面均为正方形，则
，，
，，
设正四棱台的高为，则.
所以.
因为，设，则，
根据勾股定理.
所以外接球表面积.
故选：C.
7．(多选)（25-26高三上·湖南·月考）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列结论不正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ABC
【解析】对于A项，若，则可能相交，如下图所示，故A错误；
对于B项，若，，则或，如下图所示，故B错误；
对于C项，如图所示，，显然不一定垂直，故C错误；
对于D项，由线面垂直的性质可知若，则，即D正确.
故选：ABC
8．（25-26高三上·上海·月考）如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为 ．

【答案】6
【解析】矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，
将直观图还原为原图，如图，

在直观图中，，则，
所以在原图中，可得，，
所以，
因为，
所以原四边形中最长边的长度为6．
故答案为：6
9．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·月考）如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ．

【答案】/
【详解】以A为坐标原点，在平面ABC内作垂直于AC的直线Ax为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，
所以，，
所以，
则直线与所成角的余弦值为，
10．（25-26高三上·上海·期中）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD的棱长为4，给出下列四个结论：正确的序号是 ．
①若P，Q是勒洛四面体ABCD表面上的任意两点，则PQ的最大值是4；
②勒洛四面体ABCD被平面ABC截得的截面面积是；
③勒洛四面体ABCD的体积是；
④勒洛四面体ABCD内切球的半径是．
【答案】①②④
【解析】对于①，由勒洛四面体的定义，可得勒洛四面体表面上的任意两点间的距离的最大值为，所以①正确；
对于②，勒洛四面体被平面截得的截面，如图（1）所示，其中边长为，
所以截面的面积为，所以②正确；
对于③，由对称性可知勒洛四面体内切球的球心，即为正四面体的外接球的球心，
连接并延长，交勒洛四面体的曲面于点，则就是勒洛四面体内切球的半径，
如图所示，在正四面体中，为的中心，是正四面体的外接球的球心，
连接，由正四面体的性质，可得在上，
因为，所以，则，
又因为，即，
解得，则正四面体的外接球的体积为，
因为勒洛四面体的体积小于正四面体的体积，所以③不正确；
对于④，因为，所以，所以④正确.
故答案为：①②④.
11．（25-26高三上·山东潍坊·期中）如图，在四棱锥中，底面，又分别为的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与面所成角的正弦值.
【解析】（1）因为分别为的中点，
所以，
因为平面，平面，所以平面，
又因为，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，平面，
所以平面平面.
（2）因为底面，，则，，两两垂直，
以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，
所以
设面的一个法向量为
，即
令，则，所以，
设直线与面所成的角为，
所以，
即直线与面所成角的正弦值为.
12．（25-26高三上·北京丰台·期中）如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是直角梯形，，，，.
(1)证明：平面平面.
(2)线段上是否存在点E，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）证明：取棱的中点O，连接，
，则，，
因为是等边三角形，且O是的中点，所以.
因为，所以，所以，则.
因为平面，平面，且，
所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）取棱CD的中点F，连接OF，则两两垂直，
以O为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，则，，
设，,则，
又，所以.
设平面的法向量为，
则令，得.
设直线与平面所成的角为，
则，
解得或，
故当或时，直线与平面所成角的正弦值为.
13．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，．
(1)证明：平面平面；
(2)设，且点，，，均在球的球面上．
（i）证明：点在平面内；
（ⅱ）求直线与所成角的余弦值．
【解析】（1）由题意证明如下，
在四棱锥中，⊥平面，，
平面，平面，
∴，，
∵平面，平面，，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面.
（2）（i）由题意及（1）证明如下，
在四棱锥中，，，，∥，
，，
建立空间直角坐标系如下图所示，
∴，
若，，，在同一个球面上，
则，
在平面中，
∴，
∴线段中点坐标，
直线的斜率：，
直线的垂直平分线斜率：，
∴直线的方程：，
即，
当时，，解得：，
∴
在立体几何中，，
∵
解得：，
∴点在平面上.
（ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得，
，
设直线与直线所成角为，
∴.
法2：
由几何知识得，，
，∥，
∴，
在Rt中，，，由勾股定理得，
，
过点作的平行线，交的延长线为，连接，，
则，直线与直线所成角即为中或其补角.
∵平面，平面，，
∴，
在Rt中，，，由勾股定理得，
，
在Rt中，，由勾股定理得，
，
在中，由余弦定理得，
，
即：
解得：
∴直线与直线所成角的余弦值为：.
14．（25-26高三上·山东枣庄·期中）某数学兴趣小组根据《九章算术》中“刍蒉（méng）”这个五面体，设计了一道数学探究题：如图1，，，分别是边长为4的正方形三边，，的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接，，就得到了一个“刍蒉”（如图2）．

(1)若是四边形对角线的交点，求证：平面；
(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值；
(3)在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的余弦值为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由．
【详解】（1）取中点，连接，

由题意可知且，
又因为是矩形对角线的交点，
所以且，
所以且，
则四边形为平行四边形，
所以且，
又因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为在图1中，且,
在图2中上述关系依然成立，
所以即为二面角的平面角，则，
以为坐标原点，分别为轴，轴正向，垂直平面向上方向为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：

则，
，
所以，
又因为，平面，所以，
所以，，
设平面的一个法向量，
则，则有，
取，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
（3）假设存在满足条件的点，
设，所以，
则，
设平面的一个法向量为，
则，
所以，取，
由（2）知平面的一个法向量，
则，
要使平面与平面所成的二面角的余弦值为，
则只需，即，
整理得，解得或（舍去），
所以当与点重合时，平面与平面所成的二面角的余弦值为.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题10 立体几何与空间向量
板块一：立体几何初步
易错点1 对斜二测画法规则掌握不牢出错
易错典题
【例1】（25-26高三上·上海部分中学期中联考）如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，那么的面积为 ．
【答案】
【解析】因为轴，所以在中，（易错点），
对斜二测画法规则理解不透，不能判断出
又三角形的面积为16，所以.∴，
所以（易错点）.
平行于y轴的线段在画直观图时其长度减半
如图作于，
因为，所以.
所以.
秒解：因为，所以的面积为
.
【错因分析】本题容易因对斜二测画法规则理解不透而不能得到正确答案.
知识混淆：直观图还原原图时容易混淆长度的“变”与“不变”，即与轴平行(重合)的线段长度不变，与轴平行(重合)的线段长度直观图是原图的一半.
概念模糊：对直观图和原图间线段大小及平行关系不清楚，导致思维存在漏洞.
望文生义：在直观图中，凭直觉错误得到各角的大小，如直观图中，但该角实质代表直角.
避错攻略
【方法总结】设一个平面多边形的面积为，利用斜二测画法得到的直观图的面积为，则有.
【知识链接】1.空间几何体的直观图的概念
直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.
直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形.
2.水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法）
（1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或）
（2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段.
（3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半.
（4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图.
举一反三
【变式1-1】（25-26高三上·湖南长沙·期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（ ）.
A．5 B． C． D．10
【变式1-2】(多选)（2025·陕西西安·二模）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ）

A． B．
C．四边形的面积为 D．四边形的周长为
【变式1-3】(多选)（25-26高三上·河北邢台·月考）如图所示为四边形的平面图，其中，，，，用斜二测画法画出它的直观图四边形其中，则下列说法正确的是 （ ）

A．
B．
C．四边形为等腰梯形
D．四边形的周长为
【变式1-4】（25-26高三上·湖北·月考）如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，则原四边形的面积为 ．

易错点2 不能确定棱锥的外接（内切、棱切）球球心致错
易错典题
【例2】（25-26高三上·河南·期中联考）已知在四棱锥中，底面为边长为4的正方形，侧面底面，且为等边三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）
【答案】
【解析】如图所示，在四棱锥中，设和正方形的外接圆的圆心分别为，分别过作两个平面的垂线交于点，则由外接球的性质知，点即为外接球的球心(易错点).
需注意，球心与球的各截面圆的圆心连线与相应截面垂直
取线段的中点，连接，，，，则四边形 为矩形.在等边三角形中，可得，则，即
在正方形中，由，可得，在中，可得，设外接球半径为，则，所以四棱锥外接球的表面积.故选.
【错因分析】不能确定该外接球的球心，从而无法求得球的半径长.
知识混淆：易将外接球、内切球与棱切球混淆
概念模糊：对球的截面性质不熟悉，从而无法确定球心的位置.
.望文生义：遇到外接球就想补形成长方体，而忽视了并非所有外接球问题均可补形.
避错攻略
【方法总结】在求棱锥的外接球的相关问题中，关键是球心和半径的确定.球心的确定本质上是过棱锥的任意两个表面图形外接圆的圆心的垂线的交点，半径是球心到棱锥任意一个顶点的距离.
【知识链接】1.球的截面的性质
(1)球的任何截面都是圆面.
(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面.
(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为r2＝R2－d2.
2.外接球球心确定的技巧
到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可.
3.“切”的处理
解决与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体或旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面.
4.与内(棱)切球有关的常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的内切球，则2R＝a；
②若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
(2)设正四面体的棱长为a，则它的高为a，内切球半径r＝a，外接球半径R＝a.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
(3)二级结论：一个多面体的表面积为S，如果这个多面体有半径为r的内切球，则此多面体的体积V满足V＝Sr.
注意：体积分割是求内切球半径的通用方法.
举一反三
【变式2-1】（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（25-26高三上·山东潍坊·期中）已知四棱锥，底面是边长为的正方形，侧面底面，且为正三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2025·四川眉山·模拟预测）已知某圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则该圆锥的内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】（2025·广东佛山·一模）两个有共同底面的正三棱锥与，它们的各顶点都在球的球面上，，且二面角的大小为，则球的表面积为 .
易错点3 线面位置关系考虑不全面出错
易错典题
【例3】（2025·四川成都联考）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
【答案】A
【解析】对于，若，，则或，故错误；
对于，若，，，则，故正确；
对于，若，，只有当垂直于与的交线时，故C错误（易错点）；
若不是垂直于与的交线，则与可能相交、平行或
对于，若，，，则或与相交，故错误.
【错因分析】判断线面位置关系时，考虑不全面而漏掉多种情形.
知识混淆：利用判定定理和性质定理进行各种位置关系的相互转化时，务必要考虑到是否满足定理成立的所有条件.
概念模糊：对平行或垂直的判定定理或性质定理掌握不牢靠，从而产生似是而非的错误.
.望文生义：看到面面垂直就以为一个面内所有直线和另一个平面垂直，证明面面平行时，误以为有一条直线平行于一个平面，便能推导出面面平行，等等.
避错攻略
【方法总结】确定空间中点线面位置关系，热点是线线、线面位置关系，空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线,可采用直接法或反证法；对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决，确定位置关系时要考虑到所有可能,一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断。
【知识链接】
1、 平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
【解读】①此公理是判定直线在平面内的依据；②此公理是判定点在面内的方法
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(注意：三点不一定能确定一个平面)．
【解读】①此公理是确定一个平面的依据；②此公理是判定若干点共面的依据.
推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
【解读】①此推论是判定若干条直线共面的依据；
②此推论是判定若干平面重合的依据；
③此推论是判定几何图形是平面图形的依据.
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
【解读】①此公理是判定两个平面相交的依据；
②此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）；
③此推论是判定几何图形是平面图形的依据.
2、 空间中两直线的位置关系
(1)空间中两直线的位置关系
　　　 　　　　　　　　　　　　
【解读】①两条异面直线不能确定一个平面．
②不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线.
3.直线与平面平行的性质定理与判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行 线线平行”) l∥a
判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行 线面平行”) l∥α
[微提醒]　应用判定定理时，要注意“外”“内”“平行”三个条件必须都具备，缺一不可.
4.平面与平面平行的性质定理与判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 a∥b
判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行 面面平行”) α∥β
[微提醒]　三种平行关系的转化
(1)平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想，解题过程中既要注意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向.(2)在应用判定定理与性质定理时，一定要写全定理满足的条件，否则可能是假命题.
举一反三
【变式3-1】（25-26高三上·上海·月考）若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则与相交
【变式3-2】（25-26高二上·北京海淀·期中）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的为（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【变式3-3】（多选）（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则或
C．若，则
D．若与所成角相等，则
易错点4 对垂直的性质定理、判定定理理解不透彻
易错典题
【例4】（25-26高三上·湖南衡阳·期中联考）如图，在三棱台中，平面平面，，．

(1)证明；
(2)求直线DF与平面DBC夹角的正弦值．
【解析】（1）过点作⊥于点，连接，
因为平面平面，交线为，平面，
所以⊥平面，（易错点）
两平面垂直时，要注意一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面
因为平面，所以⊥(易错点)
因为，所以，
又，所以，
又，在中，
由余弦定理得，
故，由勾股定理逆定理得⊥，
因为，平面，所以⊥平面，
又平面，所以⊥，
又三棱台中，，所以；

（2）过点作⊥于点，连接，
三棱台中，，
所以直线DF与平面DBC所成的角等于直线与平面DBC所成的角，
因为⊥平面，平面，所以⊥，
又，平面，所以⊥平面（易错点），
注意必须强调两直线相交，此时才有线面垂直
所以为直线与平面DBC所成的角，
由（1）知，，，
因为⊥平面，平面，所以⊥，
由勾股定理得，
所以，
所以
直线DF与平面DBC所成的角的正弦值为
【错因分析】线面垂直的判定定理使用时一定要注意直线与平面内两相交直线垂直；面面垂直的性质定理要注意一个平面内直线和两个平面的交线垂直，才能推出直线与平面垂直.
知识混淆：对垂直间关系的转化理解不全面，从而在利用面面垂直的性质定理的过程中，往往以为两个面内的任意两条直线都垂直而出错，在利用线面垂直的判定定理时，误以为直线垂直于平面内一条直线或两条直线，便可推得直线与平面垂直.
概念模糊：对各垂直关系之间转化的的逻辑推导不清晰，导致思维存在漏洞.
望文生义：线线垂直、线面垂直、面面垂直间可相互转化，但需注意各判定或性质定理之间的必备条件，要保证推理的严谨性.
避错攻略
【方法总结】1.证明线面垂直，需要证明平面外的直线与平面内的两条相交直线垂直.经常忽视的是两条直线相交的条件.
2.由面面垂直的性质定理证题时，一定要注意一个平面内的一条直线必须垂直于两个平面的交线，才会垂直于另一个平面.
【知识链接】空间中的垂直关系
（1）线线垂直
①等腰三角形（等边三角形）的三线合一证线线垂直
②勾股定理的逆定理证线线垂直
③菱形、正方形的对角线互相垂直
（2）线面垂直的判定定理
判定定理：一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直
图形语言 符号语言
（3）线面垂直的性质定理
性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线
图形语言 符号语言
性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行
图形语言 符号语言
（4）面面垂直的判定定理
判定定理：一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直 （或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直）
图形语言 符号语言
（5）面面垂直的性质定理
性质定理：两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面
图形语言 符号语言
举一反三
【变式4-1】（25-26高二上·陕西渭南·期中）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点.

(1)求证：平面ADEF；
(2)求证：平面BDE.
【变式4-2】（25-26高三上·广西来宾·月考）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面，M是棱的中点，．
(1)证明：平面；
(2)若，求二面角．
板块二：空间向量
易错点5 忽略建系的条件而出错
易错典题
【例5】（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为．
(1)证明：平面；
(2)求面与面所成的二面角的正弦值．
【解析】（1）设，所以，因为为中点，所以，因为，，所以是平行四边形， 所以，所以，
因为平面平面，所以平面，
因为平面平面，所以平面，
又，平面，所以平面平面，
又平面，所以平面．
（2）
因为，所以，又因为，所以，
以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系(易错点).
本处易错点是不证明三线两两垂直，直接建立空间直角坐标系
因为，平面与平面所成二面角为60° ，
所以.
则，，，，，.
所以.
设平面的法向量为，则
，所以，令，则，则.
设平面的法向量为，
则，所以，
令，则，所以.
所以.
所以平面与平面夹角的正弦值为.
【错因分析】在建立空间坐标系以前，必须要先证明需要的垂直关系，以防因步骤不全而丢分.
知识混淆：建系时要注意建立右手直角坐标系，不要错误地建成左手直角坐标系.
概念模糊：建系时，因对垂直间的转化不够熟悉，可能不能正确证得三线两两垂直.
望文生义：建系时不要想当然地认为某三条直线两两垂直，而是应先证明，再建系.
避错攻略
【方法总结】利用空间坐标系处理空间角、空间距离问题，是高考中的重点题目，但在建立坐标系以前必须先证明要用到的垂直关系，而不能相当然的利用图中的直线作为空间坐标系的坐标轴.
【知识链接】
1.右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
2.空间点的坐标表示：在空间直角坐标系Oxyz中，，，为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理得，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组，叫作点A在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中x叫作点A的横坐标，y叫作点A的纵坐标，z叫作点A的竖坐标.
3.建立空间直角坐标系策略
策略一：建立空间直角坐标系时，可以按照以下步骤进行
（1）确定空间直角坐标系的三个坐标轴方向，一般选择为某轴、y轴和z轴。
（2）确定空间直角坐标系的原点，一般选择为三个轴的交点。
（3）确定坐标轴的正方向，一般按照右手定则确定，即当右手的大拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向时，中指所指的方向即为z轴正方向。
（4）确定坐标轴的长度和间距，一般选择适当的数值，方便计算。
（5）根据需要，可以在空间直角坐标系中建立坐标系网格和标注坐标轴上的刻度值，方便进行坐标计算和表示几何体。
策略二：利用共顶点且相互垂直的三条棱建系：
策略三：利用线面垂直建系
策略四：利用面面垂直建系
策略五：利用正棱锥的中心与高所在直线建系
举一反三
【变式5-1】（25-26高三上·上海松江·期末）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，是边长为2的正三角形，侧面底面ABCD．
(1)证明：；
(2)求点到平面的距离．
【变式5-2】（2025·浙江温州·一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为的正方形，面ABCD，若点M满足，点E为PB中点，过EM的平面满足，且平面与棱PD，AD，AB分别交于点F，G，H.

(1)求证：；
(2)试判断P，E，M，F，G，H六点能否在同一个球面上？若能，求该球的表面积；若不能，请说明理由.
易错点6 忽略异面直线所成角的范围出错
易错典题
【例6】（25-26高三上·江苏无锡·月考）《九章算术》中将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
【答案】
【解析】由题意，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
由题意，设，则，
所以，，，，
所以，，
所以，
所以，，
设直线与所成角为，
则.
所以异面直线与所成角的余弦值为（易错点）．
本题容易错将答案写成或
【错因分析】错将相应两直线方向向量的夹角看作是异面直线所成的角.
知识混淆：混淆异面直线所成的角与相应两直线方向向量的夹角，实质上异面直线所成角的范围为，方向向量夹角的范围为，
概念模糊：未正确理解 “线线角”与“两直线方向向量夹角”的概念，从而导致思维混乱.
望文生义：求异面直线所成角时，以为求得两直线方向向量夹角时就结束了，从而造成逻辑错误.
避错攻略
【方法总结】求解异面直线所成角相关问题时，要注意两点：一是几何法所做的角和异面直线所成角相等或互补；二是异面直线的方向向量所成角一异面直线所成角也是相等或互补的关系，而区分的依据都是异面直线所成角的范围.
【知识链接】1.两条异面直线所成的角的定义
如图，已知两异面直线a，b，经过空间任一点O，分别作直线a′∥a，b′∥b，相交直线a′，b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．
【解读】（1）在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以判定a′，b′所成的角的大小与点O的位置无关．为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上．
（2）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路．
2．异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角α的取值范围为．
3．两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直．两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b． 求异面直线所成的角的步骤
4．求异面直线所成的角的方法
（1）几何法
一作，即依据定义作平行线，作出异面直线所成的角
二证，即证明作出的角是异面直线所成的角
三求，解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角
（2）向量法
已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为θ，则
举一反三
【变式6-1】（25-26高二上·山东临沂·期中）在直三棱柱中，，，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（25-26高二上·湖北·期中）在直三棱柱中，，，，点是的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（25-26高二上·北京大兴·期中）如图，正八面体由两个相同的正四棱锥组成，其所有棱长为2，，分别为棱，的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
易错点7混淆“线面角”和“直线方向向量与平面法向量的夹角
易错典题
【例7】（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点．
(1)若分别为的中点，求证：平面PAB；
(2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值．
【解析】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，
与为等腰直角三角形且，
不妨设，..
E、F分别为BC、PD的中点，
，且.
，，
，∴四边形FGMN为平行四边形，
，
平面PAB，平面PAB，平面PAB；
（2）平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
，
设平面PCD的一个法向量为，
，，
取，，.
设AB与平面PCD所成角为，
则(易错点)
若对概念不清，容易错写成
即AB与平面PCD所成角的正弦值为.
【错因分析】易错点为线面角与向量夹角转化不清等问题，若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则sin=|cos<,>|。容易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值.
知识混淆：混淆“直线与平面所成角”和“直线方向向量与平面的法向量的夹角”，从而造成错解.
概念模糊：“直线与平面所成角”与“直线方向向量与平面的法向量的夹角”是互余的或相差，由于未能认识上述这一点，从而导致无法正确转化.
望文生义：审题不清或知识点掌握不够透彻，从而导致思维混乱.
避错攻略
【方法总结】直线与平面所成角的求法
（1）几何法
①在直线上任取一点（通常都是取特殊点），向平面引（通常都是找+证明）垂线；
②连接斜足与垂足；
③则斜线与射影所成的角，就是直线与平面所成角.
（2）等体积法
①利用等体积法求垂线段的长；
②
（3）向量法
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有
①
②.（注意此公式中最后的形式是：）
【知识链接】1.直线与平面所成角
（1）斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面内的射影.
【解读】斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.
如图，直线是平面的一条斜线，斜足为，斜线上一点在平面上的射影为，则直线是斜线在平面上的射影.
直线和平面所成角
①平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线与平面所成角的范围为；
②直线与平面垂直时，它们的所成角为；
③直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0.
故直线与平面所成角的范围为.
举一反三
【变式7-1】（25-26高三上·吉林长春·期中）如图，在四棱锥中，平面，，E为棱的中点，平面与棱相交于点F，且，.

(1)求证：；
(2)已知点M在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
【变式7-2】（2025·辽宁沈阳·三模）如图，在四棱锥中，为的中点，，点在线段上

(1)证明：平面；
(2)已知四点均在球的球面上．若直线与平面所成角的正弦值为，求．
1．（24-25高三上·湖北武汉·期末）水平放置的三角形的直观图如图，其中，那么原三角形是一个（ ）

A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
2．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知直线，及平面，，则下列命题正确的是（　　）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
3．（24-25高三上·河北承德·期末）用斜二测画法画出的四边形OABC的直观图如图中的四边形，其中，，，则原四边形以所在直线为旋转轴，旋转一周形成的几何体的体积为（ ）
A． B．
C． D．19π
4．（25-26高三上·江苏无锡·期中）在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ）
A．60° B． C． D．
5．（25-26高三上·湖北孝感·期中）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26高三上·广东肇庆·开学考试）已知正四棱台的上、下底面边长分别为、，体积为，则该四棱台的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．(多选)（25-26高三上·湖南·月考）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列结论不正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若，则
D．若，则
8．（25-26高三上·上海·月考）如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为 ．

9．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·月考）如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ．

10．（25-26高三上·上海·期中）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD的棱长为4，给出下列四个结论：正确的序号是 ．
①若P，Q是勒洛四面体ABCD表面上的任意两点，则PQ的最大值是4；
②勒洛四面体ABCD被平面ABC截得的截面面积是；
③勒洛四面体ABCD的体积是；
④勒洛四面体ABCD内切球的半径是．
11．（25-26高三上·山东潍坊·期中）如图，在四棱锥中，底面，又分别为的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与面所成角的正弦值.
12．（25-26高三上·北京丰台·期中）如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是直角梯形，，，，.
(1)证明：平面平面.
(2)线段上是否存在点E，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
13．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，．
(1)证明：平面平面；
(2)设，且点，，，均在球的球面上．
（i）证明：点在平面内；
（ⅱ）求直线与所成角的余弦值．
14．（25-26高三上·山东枣庄·期中）某数学兴趣小组根据《九章算术》中“刍蒉（méng）”这个五面体，设计了一道数学探究题：如图1，，，分别是边长为4的正方形三边，，的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接，，就得到了一个“刍蒉”（如图2）．

(1)若是四边形对角线的交点，求证：平面；
(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值；
(3)在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的余弦值为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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