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专题10立体几何中球的内切与外接问题
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高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 长方体 / 正方体背景下的外接球问题（） 题型二 三棱锥外接球（线面垂直型）（） 题型三 几何体的内切球问题（多面体 / 旋转体）（） 题型四 球的截面与最值问题（） 题型五 旋转体（圆锥、圆台、圆柱）的外接球问题（） 实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）
高考中题型分布：仍以选择题、填空题为主，分值占比 5~10 分，偶尔结合解答题第一问考查外接球表面积 / 体积计算，属于 “中档稳拿分” 模块。
基础知识必备：外接球核心：掌握长方体 / 正方体外接球直径与体对角线的关系（长方体：；正方体：外接球、内切球、棱切球）；三棱锥外接球的两类核心模型（对棱相等补成长方体、线面垂直型）；旋转体（圆锥、圆台、圆柱）外接球的轴截面转化逻辑。内切球核心：多面体（棱锥、棱台）内切球的体积分割法（）；旋转体（圆锥、圆台）内切球的轴截面等面积法，牢记圆台内切球的隐含条件（母线长）。截面与最值：熟练应用球的截面性质（，r为截面圆半径，d为球心到截面距离）；掌握球面上点到平面距离、截面面积、球面两点间距离的最值求解逻辑。基础工具：正弦定理（求底面多边形外接圆半径）、勾股定理（构建外接球半径R的方程）、空间几何体的体积与表面积公式（含棱锥、棱台、旋转体）。
2026高考预测：考查重点：长方体 / 正方体背景下的外接球问题（基础送分）、三棱锥外接球（线面垂直型为高频考点）、球的截面与最值问题（能力拔高），旋转体（圆锥、圆台）外接球问题考查频率上升。 命题趋势：① 补形法、轴截面转化法的深度应用，强调 “空间问题平面化”；② 跨模块融合，如结合函数求截面面积最值、结合体积公式求外接球半径；③ 新情境设计，如以正八面体、组合体（圆柱 + 圆锥）为载体，考查内切球与外接球综合；④ 隐性条件增多，如通过体积、线面角间接给出棱长或高，需先推导再计算。
重难知识汇总：外接球模型体系：补形类：三棱锥 “对棱相等”“三条棱两两垂直”“线面垂直且底面为矩形” 时，补成长方体 / 正方体，共享外接球。线面垂直类：三棱锥有一条棱垂直底面（底面为多边形），设棱长为h，底面外接圆半径为r，则（球心在底面外接圆圆心的垂线上，距离底面处）。旋转体类：圆锥（，r为底面半径，h为高）；圆台（，d为球心到下底面距离）；圆柱（）。内切球关键条件：多面体：内切球与各面均相切，核心是 “体积分割”，需准确计算表面积（含所有面，棱台需算上下底 + 侧面）。旋转体：圆锥轴截面为等腰三角形，内切圆半径通过等面积法求解；圆台需满足 “母线长 = 上底半径 + 下底半径” 才存在内切球。最值问题核心逻辑：截面面积最值：d最小（过球心）时截面面积最大（），d最大（垂直于球心与截面内某点连线）时截面面积最小。点到平面距离最值：球心到平面距离为，则最大值为，最小值为。
常用技巧方法：补形法：针对 “对棱相等”“三线垂直” 的三棱锥，补成长方体 / 正方体，快速转化为已知模型求外接球。轴截面法：处理旋转体（圆锥、圆台、圆柱）的内切 / 外接球问题，将空间几何转化为等腰三角形、等腰梯形的平面几何问题。体积分割法：多面体内切球半径求解的核心方法，先求几何体体积V和表面积，再代入。正弦定理求底面外接圆半径：底面为三角形时，利用快速求解，避免复杂几何推导。勾股定理建模：通过球心、底面外接圆圆心、顶点构建直角三角形，建立关于R的方程（核心方程思想）。最值转化法：将截面面积、点到平面距离等最值问题，转化为 “球心到截面 / 平面距离d的范围问题”，简化计算。
易错避坑提效： 补形法误区：未验证三棱锥是否满足补形条件（如 “对棱相等” 需三组对棱均相等），盲目补形导致错误。外接球半径公式混淆：线面垂直型三棱锥误将记为，忽略球心位置在高的中点附近。内切球存在条件遗漏：圆台未验证 “母线长 = 上底半径 + 下底半径”，直接套用公式求解内切球半径。表面积计算错误：体积分割法中漏算棱台的上下底面、棱锥的某个侧面，导致偏小，r偏大。截面最值逻辑颠倒：误将 “球心到截面距离最大” 当成截面面积最大，实际d与r成反比。旋转体轴截面失误：圆锥轴截面未取过轴线的截面，导致内切圆半径计算错误；圆台轴截面未保证等腰梯形的对称性。单位换算与公式记错：混淆球的表面积（）与体积（）公式，或计算体对角线时忘记开根号。
题型一 长方体 / 正方体背景下的外接球问题
方法点拨： 核心结论：长方体（长 a、宽 b、高 c）的外接球直径等于体对角线，即；正方体（棱长 a）外接球直径 ，内切球直径 2R=a，棱切球直径。 补形法适用场景：三棱锥满足 “对棱相等”“线面垂直且底面为矩形” 等条件时，可补成长方体，利用长方体外接球与原几何体外接球相同求解。 关键步骤：先判断几何体是否可补成长方体，再通过棱长关系或体积、表面积条件求出体对角线，进而得外接球半径。
【典例01】（2025·四川凉山·一模）(多选题)四边形ABCD中，，，则（ ）
A．若M为CD的中点，则
B．直线AD与BC所成角的余弦值为
C．
D．空间四边形ABCD外接球的表面积为
【答案】ACD
【分析】根据空间向量的线性运算以为基底计算即可判断A；根据空间四边形的棱长结合余弦定理计算的值，从而利用空间向量的线性运算与数量积计算，即可判断B；计算，从而得数量积即可判断C；根据空间四边形的对棱长度相等，将几何体补成长方体，按照长方体计算外接球的表面积即可判断D.
【详解】
对于A，若M为CD的中点，则，故A正确；
对于B，因为，，所以由余弦定理得：
，
又，所以，
故直线AD与BC所成角的余弦值为，故B不正确；
对于C，因为，又，
所以，则，故C正确 ；
对于D，由于空间四边形ABCD中，，，
所以如下图将空间四边形ABCD补成长方体，
则空间四边形ABCD外接球即长方体的外接球，
所以外接球半径
所以外接球的表面积为，故D正确.
故选：ACD.
【典例02】（2025·河北秦皇岛·三模）已知正方体的各顶点都在球的表面上，若球的表面积为，则平面截球所得的截面面积为 ．
【答案】/
【分析】根据给定条件，求出正方体的棱长，再求出外接圆面积即可.
【详解】由球的表面积为，得球的半径为，则正方体的体对角线长为，
正方体的棱长为2，则正边长为，其外接圆半径，
则外接圆面积为，所以平面截球所得的截面面积为.
故答案为：

【变式01】（2025·四川广安·模拟预测）在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且，，.若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则到面距离的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，易得外接球半径，利用正弦定理得到截面的外接圆半径为，从而得到球心到面的距离，结合题意即可得到最大值.
【详解】三棱锥的外接球就是以、、为长、宽、高的长方体的外接球，
其直径为，即，
又，所以，
则，于是由正弦定理，的外接圆半径为，
故球心到面的距离为.
所以点到面距离的最大值是.
故选：C.
【变式02】（2025·上海浦东新·三模）已知三棱锥的四个顶点均在球的表面上，且，，，．若点到底面的距离为1，则球的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依据线面垂直的判定定理来确定线面垂直关系，再利用长方体的体对角线与外接球直径的关系求出球的直径，进而求出球的半径和表面积.
【详解】因为平面，所以底面，
因为点到底面的距离为1．所以．
因为平面，
所以平面，而平面，故，，
即该球的直径为
所以球的半径为．
故选：B
【变式03】（2025·江西新余·模拟预测）四面体的每一组对棱的长度相等，分别为，，，则该四面体的体积为 ，该四面体的外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】由题意可作图，将符合题意的四面体放在正四棱柱中，利用分割法，根据四棱柱与三棱锥的体积公式，可得空一的答案；根据正四棱柱的外接球，结合球的表面公式，可得空二的答案.
【详解】不妨设四面体为，，，，
可将四面体放置在长方体中，如图所示:

设长方体的同一顶点处的三条棱长分别为a，b，c，则，解得，，，
则四面体的体积，
该四面体的外接球即为长方体的外接球，设其半径为R，则，
所以球的表面积为.
故答案为：；.
题型二 三棱锥外接球（线面垂直型）
方法点拨：模型特征：存在一条棱垂直于底面（底面为三角形或四边形），底面多边形的外接圆半径可通过正弦定理求解（)，a 为底面三角形一边，A 为对应内角）。 核心公式：设垂直底面的棱长度为 h，底面外接圆半径为 r，则外接球半径 R 满足 （球心在底面外接圆圆心的垂线上，距离底面 处）。 关键步骤：先证明线面垂直关系，再求底面外接圆半径，最后通过勾股定理构建方程求 R。
【典例01】（2025·四川达州·二模）三棱锥各个顶点均在球表面上，，外接圆的半径为，点在平面的射影为中点，且与平面所成的角为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，所以O必在上，在中求得，在中得，由勾股定理计算得球半径，从而得球面积．
【详解】取中点，连接，点在平面的射影为点，
又因为，所以外接圆圆心为，所以O必在直线上，
因为，外接圆的半径为，所以是外接圆的圆心，，
因为平面，与平面所成的角为，
则，从而，
设球O的半径为R，在中，，则，解得，
所以球O的表面积为.
故选：B．
【典例02】（2025·河北保定·一模）已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球表面积（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据正弦定理求底面外接圆半径，再根据三棱锥外接球半径求得外接球半径，进而求外接球表面积.
【详解】在中，，，
所以，所以.
设外接圆半径为，则.
又平面，且，设三棱锥的外接球半径为，
则.
所以三棱锥的外接球表面积为：.
故选：D
【变式01】（2025·江西·模拟预测）已知点A，B，C，D都在半径为3的球面上，且是边长为的正三角形，则三棱锥体积的最大值为 .
【答案】
【分析】先求出外接圆的半径，再结合球的半径求出球心到平面的距离，进而得到点到平面的最大距离，最后根据三棱锥体积公式求出体积的最大值.
【详解】设外接圆的圆心为，半径为.
由正弦定理，在正中，，，则.
因为，所以，即，解得.
已知球的半径，球心到平面的距离，外接圆的半径，根据勾股定理，可得.
当点，球心，共线且与在平面同侧时，点到平面的距离最大，最大距离.
根据正三角形面积公式，可得.
根据三棱锥体积公式，可得.
故答案为：.
【变式02】（2025·广东江门·模拟预测）在三棱锥中，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
【答案】
【分析】先根据三棱锥的体积，求三棱锥的高，再根据三棱锥的几何性质，确定三棱锥外接球球心的位置和外接球的半径，利用球的表面积公式求面积.
【详解】如图：

在中，，，所以.
取中点，则为外接圆的圆心，且外接圆半径为.
连接，因为，所以.
又（）.
所以，即.
又平面，，所以平面.
所以.
所以三棱锥外接球的球心在线段上，设为，再设三棱锥外接球的半径为，
在中，，，,
由.
所以三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：
【变式03】（2025·河南·模拟预测）已知球是正三棱锥的外接球，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作平面，垂足为，由正三棱锥性质求出及外接球的半径，进而求得，利用球的截面性质求解.
【详解】如图，作平面，垂足为，则是正三角形的中心，
因为 ，，
所以，则，
因为，取的中点，所以， ，
设正三棱锥外接球的半径为，则，得，
所以，故，
设过点的球的截面圆的半径为，圆心为，为截面圆上一点，
，则，
所以，则，
所以与该截面所成角为，故，
，即与该截面所成角为.
故选：C.
题型三 几何体的内切球问题（多面体 / 旋转体）
方法点拨：多面体（棱锥、棱台）内切球：核心是 “体积分割法”，即 V=1/3×S 表 ×r（V 为几何体体积，S 表为表面积，r 为内切球半径）。 旋转体（圆锥、圆台）内切球：借助轴截面转化为平面几何问题，圆锥轴截面为等腰三角形，内切圆半径可通过等面积法求解；圆台轴截面为等腰梯形，内切圆需满足 “腰长 = 上底 + 下底”（可内切条件）。 关键步骤：先求几何体的体积和表面积（或轴截面面积），再代入公式求解半径，注意内切球存在的隐含条件（如圆台需满足母线长 = 上底半径 + 下底半径）。
【典例01】（2025·云南·三模）正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由几何体结构特征，得到内切球与上、下底面切点为上下底的重心，作截面图，设内切球半径为r，根据球的性质，求得，得到正三棱台的高为，结合棱台的表面积公式，即可求解.
【详解】由题意知，正三棱台的上、下底边长分别为和，
可得上下底正三角形的高分别为，，
由几何体结构特征，可得内切球与上、下底面切点为上下底的重心，
故如图甲所示，作截面，得到图乙，
设内切球半径为r，则，解得，所以正三棱台的高为6，
所以.
故选：D．
【典例02】（2025·广西北海·模拟预测）已知一个正四棱锥的底面边长为，内切球的体积为，则这个正四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．16
【答案】C
【分析】由内切球的体积为可求内切球的半径.设球与正四棱锥底面切于点，侧面切于点，设，延长交底面于点.根据正四棱锥的底面边长及即可求解的值，利用棱锥体积公式即可求解.
【详解】因为内切球的体积为，所以内切球的半径为1.
如图所示，设球与正四棱锥底面切于点，侧面切于点，设，延长交底面于点.
因为正四棱锥的底面边长为，
所以.
又，所以，即，解得.
所以，所以正四棱锥的体积为.
故选：C.
【变式01】（2025·四川德阳·三模）六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形）.若一正八面体的内切球表面积为，外接球表面积为，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据正八面体的结构特征可得外接球的半径，利用等积法可得内切球半径，进而利用球的表面积公式即可求得.
【详解】如图正八面体，连接和交于点，
因为，，所以，，
又平面，平面，，
所以平面，
设正八面体的外接球的半径为，内切球半径为，
假设正八面体的棱长为，
则，，，
，，
因，则，且为正八面体的中心，
则点到平面的距离为内切球半径，
因为，即，
即，所以，
所以.
故选：C.
【变式02】（2025·湖南·二模）已知是直三棱柱，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足，，若三棱柱有内切球，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，进而结合等面积法求得的内切圆半径，即可求得三棱柱内切球的半径，进而求解即可.
【详解】由，
根据正弦定理得，，
则，
因为，所以，则，即，
则，又，
所以，所以，即，
设的内切圆半径为，
则，即，
要使三棱柱有内切球，说明内切球半径刚好为，
所以三棱柱的高为内切球的直径，即.
故选：B.
【变式03】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知侧棱长为，底面边长为的正三棱锥，其内切球球心为，球与球以及三棱锥的三个侧面均相切，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设球的半径为，三棱锥的表面积为，根据体积分割法，求得，设在底面内的射影为，在上取点，使得，过作平面的平行平面，求得，设球的半径为，求得，进而求得的长.
【详解】设球的半径为，三棱锥的表面积为，
则，
解得，
又由，且，
可得，
设在底面内的射影为，
因为在上，在上取点，使得，
过作平面的平行平面，交，，于点G，T，H，
如图所示，则也是正三棱锥，球即为该三棱锥的内切球，
又因为，
设球的半径为，则，所以，
所以.
故选：B.
题型四 球的截面与最值问题
方法点拨：截面性质：球的截面圆半径 r 满足 r =R -d （R 为球半径，d 为球心到截面的距离），截面面积最值由 d 的范围决定（d 最小则 r 最大，截面面积最大；反之则最小）。 最值常见类型：球面上两点间距离最值（过球心的大圆劣弧长）、点到平面距离最值（球心到平面距离 ±R）、截面面积最值（结合 d 的取值范围）。 关键步骤：先确定球心位置和半径，再分析球心到截面、点到平面的距离关系，利用几何性质或函数思想求最值。
【典例01】（2025·河北秦皇岛·三模）已知球是正三棱锥的外接球，是边长为的正三角形，，为边上的一点，且与平面所成角的正切值为.若过点的球的截面面积为，则与该截面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作平面，垂足为，由正三棱锥性质求出及外接球的半径，进而求得，利用球的截面性质求解.
【详解】如图，作平面，垂足为，则是正三角形的中心，
因为 ，，
所以，则，
所以为与平面所成角，故，，
设正三棱锥外接球的半径为，则，得，
所以，故，
如图，设过点的球的截面圆的半径为，圆心为，为截面圆上一点，
，则，
所以，则，
所以与该截面所成角为，故，
，即与该截面所成角为.
故选：B.
【典例02】（2025·贵州六盘水·模拟预测）(多选题)在直四棱柱中，，，点，在以线段为直径的圆上运动，且，，三点共线，点，分别是线段，的中点，则下列说法中正确的是（ ）

A．平面平面
B．当四棱柱的体积最大时，
C．当时，过的平面截该四棱柱的外接球所得截面面积的最小值为
D．当时，过点，，的平面截该四棱柱所得的截面周长为
【答案】ABD
【分析】对A：借助线面垂直判定定理先证平面，再借助面面垂直判定定理即可得；对B：利用基本不等式可得时，四棱柱的体积最大时，则可建立适当空间直角坐标系求证；对C：求出球心到直线的距离后借助垂径定理计算即可得；对D：作出所需平面计算周长即可得.
【详解】对A：由直四棱柱性质可得，由为直径，则，
又，、平面，故平面，
又平面，故平面平面，故A正确；
对B：由，则，
则，
当且仅当时，等号成立，
即四棱柱的体积最大时，，同理，
则此时四棱柱为正方体，
则可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

有、、、、，
则，，有，
故，故B正确；
对C：当时，则由B可得此时四棱柱为正方体，
有、，则，
由正方体性质可得该正方体的外接球球心为，设为，
则，外接球半径为.
则点到直线的距离，
又该截面面积取最小时，点到该截面的距离为，
则，故C错误；
对D：取中点，连接、、、、，
则且，又，故，
故、、、四点共面，即所求截面为四边形，
则截面周长为
，故D正确.
故选：ABD
【变式01】（2025·云南昭通·模拟预测）已知球的半径为3，正方体所有顶点均在球面上，点是棱的中点，过点作球的截面，则所得截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正方体对角线长就是球的直径求出正方体的棱长，结合当与截面垂直时，截面圆的半径最小，此时截面圆面积最小，进而可得答案．
【详解】设正方体棱长为，则正方体对角线长就是球的直径，
球心O是正方体对角线中点，
由正方体对角线公式，解得．
因为点是棱的中点，当与截面垂直时，截面圆的半径最小，此时截面圆面积最小．
因为，，勾股定理，解得，
设截面圆半径为，则，
所以截面面积，
故选：C．
【变式02】（24-25高三下·重庆南岸·月考）如图，已知正方形的边长为4，点在边上且，将沿翻折到的位置，使得．空间四点的外接球为球，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，确定球心的位置并求出球半径，再利用圆的截面性质求出截面面积最小值.
【详解】如图，取的中点为，
由正方形的边长为4，得，
因此为四面体的外接球球心，外接球半径，
设球心到平面的距离为，截面圆的半径为，
则有，即，
当截面时，最大，此时截面面积最小，且，
在中，，，．
由余弦定理可得，．
此时，所以截面面积最小值为.
故选：C
【变式03】（2025·河北·模拟预测）在四面体中，，，，则该四面体的外接球的表面积为 ；E，F分别是，的中点，若用一个与直线垂直且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为 ．
【答案】 /
【分析】将四面体补形成长方体，由题设可得出长方体的各棱长，进而求解外接球的半径，再根据球的表面积公式计算即可；分析可得截面与直线垂直，平行于上底面，结合三角形相似可得，设，求出，再结合三角形面积公式及基本不等式求解即可.
【详解】如图，将四面体补形成长方体，
设长方体的棱长，那么四面体的六条棱长都是它的面对角线.
则有，解得：，
而四面体的外接球即为长方体的外接球，
则外接球的半径为，
所以外接球的表面积为；
由分别是，中点，即为长方体两个底面的中心，
而截面与直线垂直，平行于上底面，
故，，
根据平行截比定理得到，，且，
则，而，故有，
设，而，
故，
则截面面积.
故答案为：；.
题型五 旋转体（圆锥、圆台、圆柱）的外接球问题
方法点拨：圆锥外接球：轴截面为等腰三角形，设圆锥底面半径 r、高 h，外接球半径 R，通过勾股定理建立方程 R =r +(h-R) （球心在圆锥高所在直线上）。 圆台外接球：轴截面为等腰梯形，设上底半径 r 、下底半径 r 、高 h，外接球半径 R，利用勾股定理 R =r +(h-d) =r +d （d 为球心到下底面的距离），联立求解。 关键步骤：优先作轴截面，将空间问题转化为平面几何问题，通过几何关系建立关于 R 的方程，注意球心位置可能在几何体内部或外部。
【典例01】（25-26高三上·贵州遵义·月考）圆台的上、下底面半径分别为、，且，母线，圆台的表面积为，若球为圆台的外接球，且球心在圆台内部，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，根据圆台的表面积公式和勾股定理求出球的半径，结合球的表面积公式计算即可求解.
【详解】如图，设圆台的高为，上、下底面圆的圆心分别为，圆台外接球的半径为，
圆台的表面积为，
解得，，则.
由图可知，
有，即，
解得，则，
所以外接球的表面积为.
故选：C
【典例02】（2025·天津·一模）如图，几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为，圆柱的上、下底面的圆心分别为、，若该几何体存在外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上）．已知，则该组合体的体积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由组合体的特征确定球心在中点，再由得出底面半径，进而得出组合体体积.
【详解】设该组合体外接球的球心为，半径为，易知球心在中点，则.
则圆柱的底面半径为，
则该组合体的体积等于.
故选：A
【变式01】（2025·湖北·模拟预测）已知圆锥的母线长为6，其内切球和外接球球心重合，则该圆锥外接球的表面积为（ ）
A．48π B．36π C．24π D．12π
【答案】A
【分析】根据内切球和外接球球心重合，得到角之间的关系，继而可求外接球半径.
【详解】
因为内切球和外接球球心重合，如图可以得到
所以外接球半径，
∵，∴
因此圆锥外接球的表面积为48π.
故选：A.
【变式02】（23-24高三下·重庆·期中）(多选题)圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥的内切球和外接球的球心重合，且圆锥的底面直径为6，则（ ）
A．设圆锥的轴截面三角形为，则其为等边三角形
B．设内切球的半径为，外接球的半径为，则
C．设圆锥的体积为，内切球的体积为，则
D．设是圆锥底面圆上的两点，且，则平面截内切球所得截面的面积为
【答案】ABD
【分析】作出圆锥的轴截面，依题意可得为等边三角形，设球心为（即为的重心），即可求出的外接圆和内切圆的半径，即可为圆锥的外接球、内切球的半径，即可判断A、B，由圆锥及球的体积公式判断C，所对的圆心角为（在圆上），设的中点为，即可求出，不妨设为上的点，连接，过点作交于点，利用三角形相似求出，即可求出截面圆的半径，从而判断D.
【详解】作出圆锥的轴截面如下：

因为圆锥的内切球和外接球的球心重合，所以为等边三角形，故A正确；
又，所以，
设球心为（即为的重心），所以，，
即内切球的半径为，外接球的半径为，所以，故B正确；
设圆锥的体积为，则，
内切球的体积为，则，所以，故C错误；
设、是圆锥底面圆上的两点，且，则所对的圆心角为（在圆上），
设的中点为，则，不妨设为上的点，连接，则，
过点作交于点，则，所以，
即，解得，
所以平面截内切球截面圆的半径，
所以截面圆的面积为，故D正确；
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是由题意得到圆锥的轴截面三角形为等边三角形，从而确定外接球、内切球的半径.
【变式03】（2025·安徽·一模）已知顶点为的圆锥的外接球为球为底面圆的一条直径，是母线的中点，为底面圆的中心，为线段的中点，若是边长为2的正三角形，则球的表面积为 ，与该圆锥底面所成角的正切值为 .
【答案】 /
【分析】取的中点，连接，取的中点，连接，，，根据已知得，进而求出外接球的半径，即可得球的表面积，应用几何法求线面角的正切值.
【详解】取的中点，连接，取的中点，连接，，.

因为是边长为2的正三角形，所以，
所以
设球的半径为，由，得，
故球的表面积为.
易知圆锥底面，则是与该圆锥底面所成的角，
所以与该圆锥底面所成角的正切值为.
故答案为：，
（限时训练：15分钟）
1．（25-26高三上·青海西宁·月考）一个棱长为3的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分析可得球的直径是正方体的体对角线，代入数据，可求出球的半径，代入表面积公式，即可得答案.
【详解】因为棱长为3的正方体的八个顶点都在同一个球面上，
所以球的直径是正方体的体对角线，即球的半径，
所以球的表面积为.
故选：A．
2．（2025·贵州铜仁·三模）在三棱锥中，已知平面，，．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三棱锥两两垂直的特性将三棱锥补为长方体，三棱锥外接球的半径为所补长方体的直径，计算求出半径，代入体积公式可得结果.
【详解】因为平面，，，，所以，即．
把三棱锥补成长方体，长方体的体对角线就是外接球的直径．
根据长方体体对角线公式
，则，
球的体积.
故选：C．
3．（2025·辽宁·三模）已知三棱锥中，，面面，该三棱锥外接球半径为，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【详解】如图，平面与平面外接圆圆心分别为、，
外接圆半径分别为、，
三棱锥外接球球心为，半径，中点为，
由球的性质知平面，平面，，，
∵为中点，∴，，
∵面面，∴，
即四边形为矩形，∴，，
∴，，
解得，，，
由正弦定理，，
，
故选：C.
4．（2025·浙江嘉兴·三模）若某正四面体的内切球的表面积为，则该正四面体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，结合正四面体的结构特征，再求出其外接球的半径即可.
【详解】正四面体的内切球与其外接球球心重合，
如图，正四面体内切球与外接球球心在其高上，
则是正四面体内切球半径，是正四面体外接球半径，
由正四面体的内切球的表面积为，得，令，
，，，
在中，，解得，，
所以该正四面体的外接球的体积.
故选：C
5. （2025·四川眉山·模拟预测）已知某圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则该圆锥的内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用轴截面的性质及平面几何知识即可求出内切球半径，再根据球的表面积公式即可求解.
【详解】如图，设该圆锥内切球的球心为，半径为，
球切该圆锥的母线于点，为该圆锥底面圆的圆心，
则，，因为，所以，又，
，则，解得，
故该圆锥的内切球的表面积为.
故选：C
6. （2025·河南·模拟预测）已知球是正三棱锥的外接球，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作平面，垂足为，由正三棱锥性质求出及外接球的半径，进而求得，利用球的截面性质求解.
【详解】如图，作平面，垂足为，则是正三角形的中心，
因为 ，，
所以，则，
因为，取的中点，所以， ，
设正三棱锥外接球的半径为，则，得，
所以，故，
设过点的球的截面圆的半径为，圆心为，为截面圆上一点，
，则，
所以，则，
所以与该截面所成角为，故，
，即与该截面所成角为.
故选：C.
7. （2025·江苏盐城·模拟预测）现有一块棱长为2的正四面体木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画出图形，设，分别求出四面体的表面积和三棱台的表面积，由这两部分的表面积相等，求出，即可求出截面面积.
【详解】如图正四面体，，
，令，截面，
因为，所以，即，则，
，所以四面体为正四面体，
四面体的表面积为：，
设梯形的高为，的高为，
所以梯形的面积为，
所以三棱台的表面积为：，
又，所以，解得：，
所以截面.
故选：D.

8. （25-26高三上·江西·开学考试）已知圆台的上底面积，下底面积分别为，体积为，则该圆台的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆台的底面面积和体积公式，求得圆台的底面圆半径以及高；再根据外接球球心的几何特点，列出等量关系，进而求得球半径，再求球的表面积即可.
【详解】设该圆台的上底面和下底面半径分别为，高为；
由题可知：，，解得；
设圆台上底面、下底面圆心为，外接球球心为，球半径长度为，
显然，球心在的连线上，设，根据题意，作图如下所示：

若要满足题意，则，也即，，解得，
故，则该圆台外接球表面积.
故选：B.
9. （24-25高三上·广西南宁·期中）我校开设通用技术选修课程，在学习完通用技术的必修模块——技术与设计后，老师要求学生使用硬纸片制作一个表面积为的圆柱（硬纸片的厚度不记），记该圆柱的底面半径为，则当圆柱的外接球表面积取得最小值时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用几何关系列方程，结合基本不等式求解即可.
【详解】

设圆柱的高为，
则，故
设圆柱的外接球半径为，则，
故，
当且仅当，时，等号成立，
故当时，圆柱的外接球表面积取得最小值.
故选：C
10. （24-25高三下·贵州贵阳·月考）已知一个圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线长为6，则此圆台外接球与内切球表面积之比为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【分析】利用轴截面图形，把空间问题转化为平面问题，再利用解三角即可得解.
【详解】取圆台轴截面如图所示，
外接球球心在中轴线上．
由勾股定理可知，，设，，
则, 解得．
先设的中点到的距离为，
再用等面积法可得：，
则有：，
此时，
从而可知内切球半径，
所以，该圆台外接球和内切球表面积之比为，
故选：C．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题10立体几何中球的内切与外接问题
目录
高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 长方体 / 正方体背景下的外接球问题（） 题型二 三棱锥外接球（线面垂直型）（） 题型三 几何体的内切球问题（多面体 / 旋转体）（） 题型四 球的截面与最值问题（） 题型五 旋转体（圆锥、圆台、圆柱）的外接球问题（） 实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）
高考中题型分布：仍以选择题、填空题为主，分值占比 5~10 分，偶尔结合解答题第一问考查外接球表面积 / 体积计算，属于 “中档稳拿分” 模块。
基础知识必备：外接球核心：掌握长方体 / 正方体外接球直径与体对角线的关系（长方体：；正方体：外接球、内切球、棱切球）；三棱锥外接球的两类核心模型（对棱相等补成长方体、线面垂直型）；旋转体（圆锥、圆台、圆柱）外接球的轴截面转化逻辑。内切球核心：多面体（棱锥、棱台）内切球的体积分割法（）；旋转体（圆锥、圆台）内切球的轴截面等面积法，牢记圆台内切球的隐含条件（母线长）。截面与最值：熟练应用球的截面性质（，r为截面圆半径，d为球心到截面距离）；掌握球面上点到平面距离、截面面积、球面两点间距离的最值求解逻辑。基础工具：正弦定理（求底面多边形外接圆半径）、勾股定理（构建外接球半径R的方程）、空间几何体的体积与表面积公式（含棱锥、棱台、旋转体）。
2026高考预测：考查重点：长方体 / 正方体背景下的外接球问题（基础送分）、三棱锥外接球（线面垂直型为高频考点）、球的截面与最值问题（能力拔高），旋转体（圆锥、圆台）外接球问题考查频率上升。 命题趋势：① 补形法、轴截面转化法的深度应用，强调 “空间问题平面化”；② 跨模块融合，如结合函数求截面面积最值、结合体积公式求外接球半径；③ 新情境设计，如以正八面体、组合体（圆柱 + 圆锥）为载体，考查内切球与外接球综合；④ 隐性条件增多，如通过体积、线面角间接给出棱长或高，需先推导再计算。
重难知识汇总：外接球模型体系：补形类：三棱锥 “对棱相等”“三条棱两两垂直”“线面垂直且底面为矩形” 时，补成长方体 / 正方体，共享外接球。线面垂直类：三棱锥有一条棱垂直底面（底面为多边形），设棱长为h，底面外接圆半径为r，则（球心在底面外接圆圆心的垂线上，距离底面处）。旋转体类：圆锥（，r为底面半径，h为高）；圆台（，d为球心到下底面距离）；圆柱（）。内切球关键条件：多面体：内切球与各面均相切，核心是 “体积分割”，需准确计算表面积（含所有面，棱台需算上下底 + 侧面）。旋转体：圆锥轴截面为等腰三角形，内切圆半径通过等面积法求解；圆台需满足 “母线长 = 上底半径 + 下底半径” 才存在内切球。最值问题核心逻辑：截面面积最值：d最小（过球心）时截面面积最大（），d最大（垂直于球心与截面内某点连线）时截面面积最小。点到平面距离最值：球心到平面距离为，则最大值为，最小值为。
常用技巧方法：补形法：针对 “对棱相等”“三线垂直” 的三棱锥，补成长方体 / 正方体，快速转化为已知模型求外接球。轴截面法：处理旋转体（圆锥、圆台、圆柱）的内切 / 外接球问题，将空间几何转化为等腰三角形、等腰梯形的平面几何问题。体积分割法：多面体内切球半径求解的核心方法，先求几何体体积V和表面积，再代入。正弦定理求底面外接圆半径：底面为三角形时，利用快速求解，避免复杂几何推导。勾股定理建模：通过球心、底面外接圆圆心、顶点构建直角三角形，建立关于R的方程（核心方程思想）。最值转化法：将截面面积、点到平面距离等最值问题，转化为 “球心到截面 / 平面距离d的范围问题”，简化计算。
易错避坑提效： 补形法误区：未验证三棱锥是否满足补形条件（如 “对棱相等” 需三组对棱均相等），盲目补形导致错误。外接球半径公式混淆：线面垂直型三棱锥误将记为，忽略球心位置在高的中点附近。内切球存在条件遗漏：圆台未验证 “母线长 = 上底半径 + 下底半径”，直接套用公式求解内切球半径。表面积计算错误：体积分割法中漏算棱台的上下底面、棱锥的某个侧面，导致偏小，r偏大。截面最值逻辑颠倒：误将 “球心到截面距离最大” 当成截面面积最大，实际d与r成反比。旋转体轴截面失误：圆锥轴截面未取过轴线的截面，导致内切圆半径计算错误；圆台轴截面未保证等腰梯形的对称性。单位换算与公式记错：混淆球的表面积（）与体积（）公式，或计算体对角线时忘记开根号。
题型一 长方体 / 正方体背景下的外接球问题
方法点拨： 核心结论：长方体（长 a、宽 b、高 c）的外接球直径等于体对角线，即；正方体（棱长 a）外接球直径 ，内切球直径 2R=a，棱切球直径。 补形法适用场景：三棱锥满足 “对棱相等”“线面垂直且底面为矩形” 等条件时，可补成长方体，利用长方体外接球与原几何体外接球相同求解。 关键步骤：先判断几何体是否可补成长方体，再通过棱长关系或体积、表面积条件求出体对角线，进而得外接球半径。
【典例01】（2025·四川凉山·一模）(多选题)四边形ABCD中，，，则（ ）
A．若M为CD的中点，则
B．直线AD与BC所成角的余弦值为
C．
D．空间四边形ABCD外接球的表面积为
【典例02】（2025·河北秦皇岛·三模）已知正方体的各顶点都在球的表面上，若球的表面积为，则平面截球所得的截面面积为 ．
【变式01】（2025·四川广安·模拟预测）在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且，，.若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则到面距离的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【变式02】（2025·上海浦东新·三模）已知三棱锥的四个顶点均在球的表面上，且，，，．若点到底面的距离为1，则球的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
【变式03】（2025·江西新余·模拟预测）四面体的每一组对棱的长度相等，分别为，，，则该四面体的体积为 ，该四面体的外接球的表面积为 .
题型二 三棱锥外接球（线面垂直型）
方法点拨：模型特征：存在一条棱垂直于底面（底面为三角形或四边形），底面多边形的外接圆半径可通过正弦定理求解（)，a 为底面三角形一边，A 为对应内角）。 核心公式：设垂直底面的棱长度为 h，底面外接圆半径为 r，则外接球半径 R 满足 （球心在底面外接圆圆心的垂线上，距离底面 处）。 关键步骤：先证明线面垂直关系，再求底面外接圆半径，最后通过勾股定理构建方程求 R。
【典例01】（2025·四川达州·二模）三棱锥各个顶点均在球表面上，，外接圆的半径为，点在平面的射影为中点，且与平面所成的角为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【典例02】（2025·河北保定·一模）已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球表面积（ ）
A． B． C． D．
【变式01】（2025·江西·模拟预测）已知点A，B，C，D都在半径为3的球面上，且是边长为的正三角形，则三棱锥体积的最大值为 .
【变式02】（2025·广东江门·模拟预测）在三棱锥中，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
【变式03】（2025·河南·模拟预测）已知球是正三棱锥的外接球，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
题型三 几何体的内切球问题（多面体 / 旋转体）
方法点拨：多面体（棱锥、棱台）内切球：核心是 “体积分割法”，即 V=1/3×S 表 ×r（V 为几何体体积，S 表为表面积，r 为内切球半径）。 旋转体（圆锥、圆台）内切球：借助轴截面转化为平面几何问题，圆锥轴截面为等腰三角形，内切圆半径可通过等面积法求解；圆台轴截面为等腰梯形，内切圆需满足 “腰长 = 上底 + 下底”（可内切条件）。 关键步骤：先求几何体的体积和表面积（或轴截面面积），再代入公式求解半径，注意内切球存在的隐含条件（如圆台需满足母线长 = 上底半径 + 下底半径）。
【典例01】（2025·云南·三模）正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【典例02】（2025·广西北海·模拟预测）已知一个正四棱锥的底面边长为，内切球的体积为，则这个正四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．16
【变式01】（2025·四川德阳·三模）六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形）.若一正八面体的内切球表面积为，外接球表面积为，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【变式02】（2025·湖南·二模）已知是直三棱柱，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足，，若三棱柱有内切球，则（ ）
A． B． C． D．
【变式03】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知侧棱长为，底面边长为的正三棱锥，其内切球球心为，球与球以及三棱锥的三个侧面均相切，则（ ）
A． B． C． D．
题型四 球的截面与最值问题
方法点拨：截面性质：球的截面圆半径 r 满足 r =R -d （R 为球半径，d 为球心到截面的距离），截面面积最值由 d 的范围决定（d 最小则 r 最大，截面面积最大；反之则最小）。 最值常见类型：球面上两点间距离最值（过球心的大圆劣弧长）、点到平面距离最值（球心到平面距离 ±R）、截面面积最值（结合 d 的取值范围）。 关键步骤：先确定球心位置和半径，再分析球心到截面、点到平面的距离关系，利用几何性质或函数思想求最值。
【典例01】（2025·河北秦皇岛·三模）已知球是正三棱锥的外接球，是边长为的正三角形，，为边上的一点，且与平面所成角的正切值为.若过点的球的截面面积为，则与该截面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【典例02】（2025·贵州六盘水·模拟预测）(多选题)在直四棱柱中，，，点，在以线段为直径的圆上运动，且，，三点共线，点，分别是线段，的中点，则下列说法中正确的是（ ）

A．平面平面
B．当四棱柱的体积最大时，
C．当时，过的平面截该四棱柱的外接球所得截面面积的最小值为
D．当时，过点，，的平面截该四棱柱所得的截面周长为
【变式01】（2025·云南昭通·模拟预测）已知球的半径为3，正方体所有顶点均在球面上，点是棱的中点，过点作球的截面，则所得截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式02】（24-25高三下·重庆南岸·月考）如图，已知正方形的边长为4，点在边上且，将沿翻折到的位置，使得．空间四点的外接球为球，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式03】（2025·河北·模拟预测）在四面体中，，，，则该四面体的外接球的表面积为 ；E，F分别是，的中点，若用一个与直线垂直且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为 ．
题型五 旋转体（圆锥、圆台、圆柱）的外接球问题
方法点拨：圆锥外接球：轴截面为等腰三角形，设圆锥底面半径 r、高 h，外接球半径 R，通过勾股定理建立方程 R =r +(h-R) （球心在圆锥高所在直线上）。 圆台外接球：轴截面为等腰梯形，设上底半径 r 、下底半径 r 、高 h，外接球半径 R，利用勾股定理 R =r +(h-d) =r +d （d 为球心到下底面的距离），联立求解。 关键步骤：优先作轴截面，将空间问题转化为平面几何问题，通过几何关系建立关于 R 的方程，注意球心位置可能在几何体内部或外部。
【典例01】（25-26高三上·贵州遵义·月考）圆台的上、下底面半径分别为、，且，母线，圆台的表面积为，若球为圆台的外接球，且球心在圆台内部，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【典例02】（2025·天津·一模）如图，几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为，圆柱的上、下底面的圆心分别为、，若该几何体存在外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上）．已知，则该组合体的体积等于（ ）
A． B． C． D．
【变式01】（2025·湖北·模拟预测）已知圆锥的母线长为6，其内切球和外接球球心重合，则该圆锥外接球的表面积为（ ）
A．48π B．36π C．24π D．12π
【变式02】（23-24高三下·重庆·期中）(多选题)圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥的内切球和外接球的球心重合，且圆锥的底面直径为6，则（ ）
A．设圆锥的轴截面三角形为，则其为等边三角形
B．设内切球的半径为，外接球的半径为，则
C．设圆锥的体积为，内切球的体积为，则
D．设是圆锥底面圆上的两点，且，则平面截内切球所得截面的面积为
【变式03】（2025·安徽·一模）已知顶点为的圆锥的外接球为球为底面圆的一条直径，是母线的中点，为底面圆的中心，为线段的中点，若是边长为2的正三角形，则球的表面积为 ，与该圆锥底面所成角的正切值为 .
（限时训练：15分钟）
1．（25-26高三上·青海西宁·月考）一个棱长为3的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·贵州铜仁·三模）在三棱锥中，已知平面，，．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·辽宁·三模）已知三棱锥中，，面面，该三棱锥外接球半径为，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
4．（2025·浙江嘉兴·三模）若某正四面体的内切球的表面积为，则该正四面体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
5. （2025·四川眉山·模拟预测）已知某圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则该圆锥的内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6. （2025·河南·模拟预测）已知球是正三棱锥的外接球，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
7. （2025·江苏盐城·模拟预测）现有一块棱长为2的正四面体木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
8. （25-26高三上·江西·开学考试）已知圆台的上底面积，下底面积分别为，体积为，则该圆台的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
9. （24-25高三上·广西南宁·期中）我校开设通用技术选修课程，在学习完通用技术的必修模块——技术与设计后，老师要求学生使用硬纸片制作一个表面积为的圆柱（硬纸片的厚度不记），记该圆柱的底面半径为，则当圆柱的外接球表面积取得最小值时，（ ）
A． B． C． D．
10. （24-25高三下·贵州贵阳·月考）已知一个圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线长为6，则此圆台外接球与内切球表面积之比为（ ）
A．2 B． C． D．3
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