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专题11 直线与圆
易错点1 忽略斜率公式的应用条件
易错典题
【例1】（25-26高三上·山西·月考）已知两点，，当时，直线的倾斜角的取值范围是 .
【答案】
【解析】设直线的倾斜角为，则.
因为，，
当时，；（易错点）
要注意考虑斜率不存在的情形
当时，，或.
当时，直线的斜率，
所以，得；
当时，直线的斜率，
所以，得.
所以.
【错因分析】在解题时容易忽略对和的讨论而出错.
知识混淆：把直线斜率与倾斜角、一次函数解析式混为一谈，只记 k=tanα 和 k＝公式，不区分适用场景，强行对垂直 x 轴、无斜率的直线用斜率公式，导致列式错误、定义域漏限。
概念模糊：不清楚斜率存在的前提：倾斜角 α=90 ，两点横坐标 x1=x2。做题时只套公式，不检验分母是否为 0，默认所有直线都有斜率，漏掉直线垂直 x 轴的情况，造成漏解或范围错误。
望文生义：看到 “直线”“两点” 就直接用斜率公式，不看题目条件：忽略 “与 x 轴垂直”“斜率不存在”“线段而非直线” 等隐含限制，把 “有斜率” 当成必然结论，导致定义域、范围、位置关系判断失误。
避错攻略
【方法总结】当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，而是该直线垂直于轴（平行于轴或与轴重合）.因此，所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.
【知识链接】1、直线的倾斜角
（1）定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
（2）范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
【解读】①倾斜角直观地表示了直线相对于轴正方向的倾斜程度.
②平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角，不同的直线可以有相同的倾斜角.
2、直线的斜率
（1）定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是的直线没有斜率．
（2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.
3.倾斜角与斜率的关系
直线情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降
的大小 0°
的范围 0 不存在
的增减性 随增大而增大 随增大而增大
【解读】斜率和倾斜角的特点
①斜率和倾斜角都反映直线的倾斜程度，其中斜率是从代数角度描述的，倾斜角是从几何角度描述的；
②直线的斜率是随着倾斜角的变化而变化的，并且当直线的倾斜角不是90°时，倾斜角相同的直线，其斜率相同，倾斜角不同的直线，其斜率不同；
③直线有斜率必有倾斜角，倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率.
4.直线斜率与直线方向向量
（1）若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为 ，则 .
（2）若直线的斜率为 且直线过两点 ，它的一个方向向量的坐标为，则.
举一反三
【变式1-1】（25-26高三上·重庆·月考）若，则过点与的直线的倾斜角的取值范围是 .
【变式1-2】（24-25高三上·山西·阶段练习）若倾斜角为的直线经过两点，，则的值为（ ）
A．-2 B．1 C．2 D．3
【变式1-3】（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）已知点，且直线与直线垂直，则的值为（ ）
A．或0 B．0或7 C．0 D．7
易错点2 求直线方程忽略截距为零
易错典题
【例2】（25-26高三上·江西赣州·期末）经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】当直线经过原点时，此时直线方程可设为，（易错点）
此时直线的截距均为0，故不能通过设截距式方程求得
代入点，解得，所以直线方程为即；
当直线不经过原点时，设所求直线的截距式方程为，
代入点，解得，所以直线方程为.
综上，经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是或.
故选：C.
【错因分析】求截距相等时，往往会忽略横纵截距为0的情况从而漏解
知识混淆：把截距式当成万能直线方程，只记得形式却忽略前提：a，b均不为0，遇到过原点的直线，硬套截距式导致方程写不出，把截距为0的直线排除在外，造成漏解。
概念模糊：对截距概念不清，以为截距是 “距离” 必须为正，忽略截距可以为 0。看到 “截距相等或 成比例” 就默认截距非零，不考虑直线过原点、横纵截距都为 0 的情况，漏掉最常见的一类直线。
望文生义：看到 “截距” 就默认有非零截距，不仔细审题。题目只说 “在坐标轴上的截距”，没说不为 0，却自动排除截距为 0 的情形，直接设截距式而不检验，导致过原点的直线方程漏写，答案不完整。
.
避错攻略
【方法总结】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．
【知识链接】直线方程的五种形式
形式 几何条件 方程 适用范围
点斜式 过一点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线
斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线
两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 与x轴、y轴均不垂直的直线
截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0 （A2＋B2≠0） 平面直角坐标系内所有直线
举一反三
【变式1-1】（25-26高三上·湖北·开学考试）与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．6条
【变式2-2】（25-26高三上·天津·月考）直线过点，且直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程为 .
【变式2-3】（24-25高三上·江苏无锡·月考）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的一般式方程为 ．
易错点3 判断直线的位置关系考虑不全面
易错典题
【例3】（25-26高三上·广东深圳·期末）已知直线与平行，则实数的值为（ ）
A．1 B．-1 C． D．
【答案】A
【解析】由题意，，
时，方程是，的方程是，平行；
时，方程可化为，方程化为，两直线重合，舍去，（易错点）
忽视对m取值讨论，从而未剔除两直线重合这一情形出错
故选：A.
【错因分析】本题容易忽略对直线是否重合的检验而出错.
知识混淆：混淆平行与重合的判定条件，只记斜率相等即平行，忽略截距是否相同。把重合直线误判为平行，未用完整等价条件判断，导致位置关系归类错误。
概念模糊：对直线位置关系概念不清，只知相交、平行，忽略重合是独立位置关系。不理解重合的等价条件，缺少检验步骤，造成分类不完整、答案错误。
望文生义：看到 “平行、垂直” 等关键词就直接判断，不细读条件。默认两直线不重合，不验证系数比例关系，漏掉重合情况，导致位置关系判断片面。
避错攻略
【方法总结】1.利用斜率公式来判定两直线垂直的方法
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直；若不相等，则进行第二步．
(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．
(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．
2.若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况．
3.根据直线平行求参数时一定要检验重合的情况.
【知识链接】1.两条直线平行的判定
（1）对于斜率分别为k1，k2的两条不重合直线l1，l2，有l1∥l2 k1＝k2.
【解读】
①l1∥l2 k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．
②k1＝k2 l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在)．
③l1∥l2 k1＝k2或两条直线的斜率都不存在．
（2）已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则：
l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
2.两条直线垂直关系的判定
对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2 k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2
图示
【解读】(1)l1⊥l2 k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在．
(2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2.
(3)当两条直线的斜率都存在时，若有两条直线的垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率．
举一反三
【变式3-1】（多选）（25-26高三上·安徽·期中）已知直线，，，则下列选项正确的是（ ）
A．的倾斜角的取值范围是
B．一定经过第一 四象限
C．若，则
D．若，则
【变式3-2】（多选）（25-26高三上·安徽亳州·期末）已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．可能垂直于轴
B．可能垂直于轴
C．若，则
D．若，则
【变式3-3】（多选）（25-26高三上·江苏·期末）已知直线，，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则直线，之间的距离为
C．直线过定点
D．若直线在两坐标轴的截距相等，则或
易错点4 忽略圆的一般方程的限制条件
易错典题
【例4】（25-26高三上·青海西宁·期末）点在圆外，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知：表示圆，
可得：，解得，（易错点）
要注意考虑方程表示圆的条件
又在圆外，所以，得，
所以k的取值范围为.
故选：C
【错因分析】本题容易忽略圆的一般方程的限制条件而出错.
知识混淆：混淆圆的一般方程与二元二次方程形式，只看方程结构，忽略必须满足才表示圆，误将不满足条件的方程当作圆来求解，导致圆心、半径计算无意义。
概念模糊：对圆的一般方程概念不清，只记忆形式不理解本质，不清楚限制条件是方程表示圆的前提。解题时直接求圆心半径，不验证，忽略方程可能不表示任何图形，造成结果错误。
望文生义：看到系数相等且无项，就默认是圆，不看题目隐含条件。直接代入公式计算，无视限制条件是否成立，漏掉对参数范围的讨论，出现无解或增解。
避错攻略
【方法总结】不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．
【知识链接】1、圆的一般方程
一般地，圆的标准方程可以化为
在这个方程中，如果令，，，则这个方程就表示成的形式，其中，，都是常数，形如上式的圆的方程称为圆的一般方程，其中为圆心，为半径．
2、圆的一般方程的特点
（1）项的系数相同且不等于0（和的系数如果是不为1的非零常数，只需在方程两边同时除以这个常数即可）；
（2）不含项；
（3）．
3、一般方程与标准方程关系
把方程配方得，根据圆的标准方程可知：
（1）当时，方程只有实数解．它表示一个点．
（2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
（3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆．
4.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系
已知点，和圆的一般方程（）则
位置关系 代数关系
点在圆A上
点在圆A内
点在圆A外
5、方程表示圆的两种判断方法
（1）配方法：对形如的二元二次方程可以配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆．
（2）定义法：判断是否大于零，确定它是否表示圆．
举一反三
【变式4-1】（25-26高三上·河北·期中）若关于的方程有实数解，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】（25-26·河南·模拟预测）已知圆截直线所得弦的长度小于6，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
易错点5 处理直线与圆的位置关系时忽略对斜率的讨论
易错典题
【例5】（25-26高三上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆，上存在两点关于直线对称.
(1)求的半径；
(2)过坐标原点的直线被截得的弦长为2，求的方程.
【解析】（1）圆，即，
则圆心为，半径，
因为上存在两点关于直线对称，所以点在直线上，
所以，解得，
所以的半径；
（2）由（1）可得，圆心为，
因为过坐标原点的直线被截得的弦长为，所以圆心到直线的距离，
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离，符合题意；（易错点）
要注意考虑直线斜率不存在这一种情形，否则将漏解
若直线的斜率存在，设直线的方程为，则，解得，
所以直线的方程为，即；
综上可得直线的方程为或.

【错因分析】本题容易忽略斜率不存在的情况而造成漏解.
知识混淆:混淆斜率存在与不存在的直线方程形式，只会用点斜式 y y0 =k(x x0 )，不会用 x=x0 表示垂直 x 轴的直线。把斜率存在当作默认前提，混淆适用范围，导致漏解。
概念模糊:对直线斜率概念理解不牢，不清楚倾斜角为 90° 时斜率不存在。解题时直接设点斜式，默认斜率 k 一定存在，不分类讨论，漏掉垂直 x 轴的直线，位置关系判断不完整。
望文生义:看到 “过定点的直线” 就直接设点斜式，不看图形与题意，默认直线都有斜率。忽略直线与圆相切、相交时可能垂直 x 轴，不检验斜率不存在的情况，造成答案缺失。
避错攻略
【方法总结】（1）过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．
（2）设直线的点斜式时一定要分析斜率不存在的情况，以防考虑问题不全面而出错.
【知识链接】1、直线与圆的位置关系及判断
（1）三种位置关系：相交、相切、相离．
（2）两种判断方法：
①
②
2、圆的切线与切线长
（1）过圆上一点的圆的切线
①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2.
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
（2）过圆外一点的圆的切线
过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0.
（3）切线长
①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，
切线长为 .
②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝.
举一反三
【变式5-1】（25-26高三上·江苏扬州·期中）已知圆及点，过点的直线与圆交于、两点．
(1)若弦长，求直线的方程；
(2)求△面积的最大值，并求此时弦长的值．
【变式5-2】（25-26高二上·江苏南京·月考）已知在平面直角坐标系中，，点满足，记点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)若经过点的直线与相交于点，且，求直线的方程；
(3)已知.若直线经过点且与相交于两点，线段的中点为与的交点为，证明：为定值，并求出该定值.
易错点6 两圆相切忽略内切、外切的区分
易错典题
【例6】（多选）（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知圆和圆，则（ ）
A．两圆可能无公共点
B．若两圆相切，则
C．直线可能为两圆的公切线
D．当时，若为两圆的公切线，则或
【答案】ACD
【解析】由圆的圆心为，圆的圆心为，则圆和圆的圆心距为，
对于A，当，即时，两圆可能相离，即无公共点，故A正确；
对于B，当两圆外切时，，得；当两圆内切时，，得，故B错误（易错点）；
注意两圆相切包括外切与内切
对于C，当时，直线可能为两圆的公切线，故C正确；
对于D，结合选项B可得，当时，两圆外切，
则有，解得或，故D正确．
故选：ACD．
【错因分析】两圆相切分为内切和外切，本题容易因考虑问题不全面而漏解.
知识混淆：混淆两圆内切与外切的判定条件，只记住圆心距与半径和或差的一个公式，未区分两种相切的几何特征，把内切、外切混为一谈，只套用一种关系，导致漏解。
概念模糊：对两圆位置关系概念不清，只知相切是有一个公共点，忽略相切分内切、外切两类。不理解圆心距分别等于半径和与半径差，缺少分类讨论，判断不全面。
望文生义：看到 “相切” 就凭直觉只写一种情况，不结合图形分析。默认只有外切或只有内切，不考虑两圆大小位置，不全面讨论，导致答案少一种情况。
避错攻略
【方法总结】1.判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：
①化成圆的标准方程，写出圆心和半径；
②计算两圆的圆心距d；
③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．
2．由圆的位置关系求参数：求解此类问题，一般根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径的和或差的绝对值的大小关系列出关系式,求出参数的值或取值范围,注意相切和相离均包括两种情况。应用几何法判断两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．
【知识链接】1.圆与圆的位置关系
（1）几何法：用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：
两圆相交；
两圆外切；
两圆相离
两圆内切；
两圆内含（时两圆为同心圆）
设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系 相离 外切 相交 内切 内含
几何特征
代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解
公切线条数 4 3 2 1 0
（2）代数法
设:；:
联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其
①与设设相交
②与设设相切（内切或外切）
③与设设相离（内含或外离）
【解读】几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距作比较得到两圆的位置关系，代数法则是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题，即方程组的解的个数问题，但这种代数判断方法只能判断出相离、相交、相切三种位置关系，而不能像几何判断方法一样，能判断出外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，因此一般情况下，使用几何法判断两圆的位置关系．
【变式6-1】（25-26 高三上·四川内江·期中）已知两个圆，，若两圆相切，则半径为 ．
【变式6-2】（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）早在两千多年前，我国的墨子给出了圆的定义——一中同长也．已知O为坐标原点，．若，的“长”分别为1，r，且两圆相切，则 ．
【变式6-3】（25-26高二上·全国·期末）已知圆，圆.试求为何值时，两圆的位置关系为相切.
易错点7 曲线方程变形不等价
易错典题
【例7】（24-25高二上·江苏宿迁·开学考试）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】曲线即为半圆：，（易错点）
要注意此曲线是半圆不是一个圆，且要注意区分是右半圆还是上半圆
其图象如图所示，
曲线与轴的交点为，
而直线为过的动直线，
当直线与半圆相切时，有，解得，
当直线过时，有，
因为直线与半圆有两个不同的交点，故，
故选：D.
【错因分析】本题容易将曲线化为误认为曲线C为圆而出错.
知识混淆：混淆方程等价变形与非同解变形，盲目平方、去分母、消项，不关注定义域变化。把变形前后的方程当作同一曲线，误将部分曲线看成完整图形，导致范围判断错误。
概念模糊：对曲线与方程的概念理解不清，不满足 “纯粹性与完备性”。只看方程化简后的形式，不验证变量取值范围，忽略变形带来的限制丢失，误认图形形状与范围。
望文生义：看到方程形似圆、椭圆等标准形式，就直接判定图形，不追溯变形过程。无视原方程的隐含约束，把局部曲线当成完整圆锥曲线，造成轨迹范围出错。
避错攻略
【方法总结】在用几何法求参数范围时，对曲线方程化简时一定要注意等价化简，即不能造成x、y的取值范围的变大或缩小.
【知识链接】1.截距式与斜率式都可转化为动直线与圆相切时取得最值
①截距式：求形如的最值转化为动直线斜率的最值问题
②斜率式：求形如的最值转化为动直线截距的最值问题
③距离式：求形如的最值转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
2.根据直线与圆的位置关系求参数
（1）几何法
①的最值，设，圆心到直线的距离为由即可解得两个值，一个为最大值，一个为最小值
②的最值：即点与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值
（2）代数法
①的最值，设，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值.
②的最值：设，则，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值.
【变式7-1】（25-26 高三上·全国·课后作业）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．] B． C． D．
【变式7-2】（25-26 高三上·北京顺义·期中）已知直线：，曲线：，则“与相切”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式7-3】（25-26高二上·江苏扬州·阶段练习）若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（24-25高三上·吉林·期末）设，则“直线与直线平行”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（25-26高二上·贵州六盘水·月考）已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高二下·贵州黔西·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2026高三·全国·专题练习）已知直线与相交于点，直线的方程为，则点到直线距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二上·天津北辰·阶段练习）若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（ ）
A． B． C．或1 D．
7．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（25-26高三上·陕西西安·月考）在平面直角坐标系中，已知动点在圆：上，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（25-26高二上·河北邯郸·期末）已知直线：，：，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．存在，使得
C．直线过定点 D．直线过定点
10．（25-26高三上·河北·阶段练习）若不论取何值时，圆总与圆相切，则圆的方程可为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2026·山东威海·一模）已知平面内两点，动点满足，则（ ）
A．点到点的距离为定值 B．|PB|的最小值为1
C．点到直线的距离的最大值为2 D．满足的点有且仅有两个
三、填空题
12．（2025高三上·山东济南·专题练习）直线，，当时，直线与之间的距离为 .
13．（25-26高二上·山西·月考）已知两点，，当时，直线的倾斜角的取值范围是 .
14．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ．
15．（2024·上海·高考真题）正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长 .（精确到）

16．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题
17．（25-26高二上·甘肃张掖·期中）已知直线.
(1)求经过点且与直线垂直的直线方程；
(2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程.
(3)若直线交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.
18．（25-26高二上·天津静海·月考）已知圆的圆心是直线与直线的交点，又圆与圆：相外切．点
(1)求过点与垂直的直线方程；
(2)求圆的标准方程；
(3)若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题11 直线与圆
易错点1 忽略斜率公式的应用条件
易错典题
【例1】（25-26高三上·山西·月考）已知两点，，当时，直线的倾斜角的取值范围是 .
【答案】
【解析】设直线的倾斜角为，则.
因为，，
当时，；（易错点）
要注意考虑斜率不存在的情形
当时，，或.
当时，直线的斜率，
所以，得；
当时，直线的斜率，
所以，得.
所以.
【错因分析】在解题时容易忽略对和的讨论而出错.
知识混淆：把直线斜率与倾斜角、一次函数解析式混为一谈，只记 k=tanα 和 k＝公式，不区分适用场景，强行对垂直 x 轴、无斜率的直线用斜率公式，导致列式错误、定义域漏限。
概念模糊：不清楚斜率存在的前提：倾斜角 α=90 ，两点横坐标 x1=x2。做题时只套公式，不检验分母是否为 0，默认所有直线都有斜率，漏掉直线垂直 x 轴的情况，造成漏解或范围错误。
望文生义：看到 “直线”“两点” 就直接用斜率公式，不看题目条件：忽略 “与 x 轴垂直”“斜率不存在”“线段而非直线” 等隐含限制，把 “有斜率” 当成必然结论，导致定义域、范围、位置关系判断失误。
避错攻略
【方法总结】当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，而是该直线垂直于轴（平行于轴或与轴重合）.因此，所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.
【知识链接】1、直线的倾斜角
（1）定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
（2）范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
【解读】①倾斜角直观地表示了直线相对于轴正方向的倾斜程度.
②平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角，不同的直线可以有相同的倾斜角.
2、直线的斜率
（1）定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是的直线没有斜率．
（2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.
3.倾斜角与斜率的关系
直线情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降
的大小 0°
的范围 0 不存在
的增减性 随增大而增大 随增大而增大
【解读】斜率和倾斜角的特点
①斜率和倾斜角都反映直线的倾斜程度，其中斜率是从代数角度描述的，倾斜角是从几何角度描述的；
②直线的斜率是随着倾斜角的变化而变化的，并且当直线的倾斜角不是90°时，倾斜角相同的直线，其斜率相同，倾斜角不同的直线，其斜率不同；
③直线有斜率必有倾斜角，倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率.
4.直线斜率与直线方向向量
（1）若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为 ，则 .
（2）若直线的斜率为 且直线过两点 ，它的一个方向向量的坐标为，则.
举一反三
【变式1-1】（25-26高三上·重庆·月考）若，则过点与的直线的倾斜角的取值范围是 .
【答案】
【解析】.
因为倾斜角的取值范围为，所以直线的倾斜角的取值范围是.
【变式1-2】（24-25高三上·山西·阶段练习）若倾斜角为的直线经过两点，，则的值为（ ）
A．-2 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】经过，的直线的斜率，又直线的倾斜角为，
所以，解得.
故选：D.
【变式1-3】（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）已知点，且直线与直线垂直，则的值为（ ）
A．或0 B．0或7 C．0 D．7
【答案】B
【解析】当时，直线的斜率不存在，直线 的斜率为
此时直线的方程为，直线的方程为，故;
当时，
则 解得，
综上，或.
故选：B.
易错点2 求直线方程忽略截距为零
易错典题
【例2】（25-26高三上·江西赣州·期末）经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】当直线经过原点时，此时直线方程可设为，（易错点）
此时直线的截距均为0，故不能通过设截距式方程求得
代入点，解得，所以直线方程为即；
当直线不经过原点时，设所求直线的截距式方程为，
代入点，解得，所以直线方程为.
综上，经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是或.
故选：C.
【错因分析】求截距相等时，往往会忽略横纵截距为0的情况从而漏解
知识混淆：把截距式当成万能直线方程，只记得形式却忽略前提：a，b均不为0，遇到过原点的直线，硬套截距式导致方程写不出，把截距为0的直线排除在外，造成漏解。
概念模糊：对截距概念不清，以为截距是 “距离” 必须为正，忽略截距可以为 0。看到 “截距相等或 成比例” 就默认截距非零，不考虑直线过原点、横纵截距都为 0 的情况，漏掉最常见的一类直线。
望文生义：看到 “截距” 就默认有非零截距，不仔细审题。题目只说 “在坐标轴上的截距”，没说不为 0，却自动排除截距为 0 的情形，直接设截距式而不检验，导致过原点的直线方程漏写，答案不完整。
.
避错攻略
【方法总结】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．
【知识链接】直线方程的五种形式
形式 几何条件 方程 适用范围
点斜式 过一点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线
斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线
两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 与x轴、y轴均不垂直的直线
截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0 （A2＋B2≠0） 平面直角坐标系内所有直线
举一反三
【变式1-1】（25-26高三上·湖北·开学考试）与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．6条
【答案】B
【解析】因为直线在两坐标轴上截距相等，所以
①当直线不经过原点时，设截距为，.
则直线过点，那么直线斜率为.
所以直线方程为.
因为该直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径.
即，化简得，求解得或（舍去）.
此情况下有一条直线符合题意，直线方程为.
②当直线经过原点时，设直线方程为，即.
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径.
即，化简得，求解得.
此情况下有两条直线符合题意，直线方程为.
综上，共有3条直线符合题目要求.
故选：B.
【变式2-2】（25-26高三上·天津·月考）直线过点，且直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程为 .
【答案】或或
【解析】①若直线过原点，设直线方程为，
因为直线过点，所以，解得，
所以直线的方程为，即；
②若直线不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，则可设直线的方程为，
代入点，得，解得，此时直线的方程为；
③若直线不过原点，且在两坐标轴上的截距相反，则可设直线的方程为，
代入点，得，解得，此时直线的方程为；
综上所述：直线的方程为或或.
故答案为：或或.
【变式2-3】（24-25高三上·江苏无锡·月考）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的一般式方程为 ．
【答案】或
【解析】因为直线在两坐标轴上的截距之和为零，所以设直线方程为或，
因为直线过点可得或，可得.
所以直线方程为或.
故答案为：或
易错点3 判断直线的位置关系考虑不全面
易错典题
【例3】（25-26高三上·广东深圳·期末）已知直线与平行，则实数的值为（ ）
A．1 B．-1 C． D．
【答案】A
【解析】由题意，，
时，方程是，的方程是，平行；
时，方程可化为，方程化为，两直线重合，舍去，（易错点）
忽视对m取值讨论，从而未剔除两直线重合这一情形出错
故选：A.
【错因分析】本题容易忽略对直线是否重合的检验而出错.
知识混淆：混淆平行与重合的判定条件，只记斜率相等即平行，忽略截距是否相同。把重合直线误判为平行，未用完整等价条件判断，导致位置关系归类错误。
概念模糊：对直线位置关系概念不清，只知相交、平行，忽略重合是独立位置关系。不理解重合的等价条件，缺少检验步骤，造成分类不完整、答案错误。
望文生义：看到 “平行、垂直” 等关键词就直接判断，不细读条件。默认两直线不重合，不验证系数比例关系，漏掉重合情况，导致位置关系判断片面。
避错攻略
【方法总结】1.利用斜率公式来判定两直线垂直的方法
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直；若不相等，则进行第二步．
(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．
(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．
2.若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况．
3.根据直线平行求参数时一定要检验重合的情况.
【知识链接】1.两条直线平行的判定
（1）对于斜率分别为k1，k2的两条不重合直线l1，l2，有l1∥l2 k1＝k2.
【解读】
①l1∥l2 k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．
②k1＝k2 l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在)．
③l1∥l2 k1＝k2或两条直线的斜率都不存在．
（2）已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则：
l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
2.两条直线垂直关系的判定
对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2 k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2
图示
【解读】(1)l1⊥l2 k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在．
(2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2.
(3)当两条直线的斜率都存在时，若有两条直线的垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率．
举一反三
【变式3-1】（多选）（25-26高三上·安徽·期中）已知直线，，，则下列选项正确的是（ ）
A．的倾斜角的取值范围是
B．一定经过第一 四象限
C．若，则
D．若，则
【答案】ABD
【解析】对于A，设直线的倾斜角为，则，
由题设有直线的斜率为，设，故，故A正确；
对于B，直线过定点，且该直线的斜率非零或不存在，
故一定经过第一 四象限，故B正确；
对于C，因为，故，故或，故C错误；
对于D，因为，故，故，
此时，，平行，故D正确.
故选：ABD.
【变式3-2】（多选）（25-26高三上·安徽亳州·期末）已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．可能垂直于轴
B．可能垂直于轴
C．若，则
D．若，则
【答案】BC
【解析】对于A，因为直线，的系数不为0，所以不垂直于轴，A错误；
对于B，当时，，与轴垂直，B正确；
对于C，当时，.
因为直线的斜率均为且不重合，所以两直线平行，C正确；
对于D，因为，所以，解得或.
当时，由C选项知两直线是平行的；
当时，，斜率均为，且两直线不重合，所以两直线平行.
故时或，D错误；
故选：BC.
【变式3-3】（多选）（25-26高三上·江苏·期末）已知直线，，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则直线，之间的距离为
C．直线过定点
D．若直线在两坐标轴的截距相等，则或
【答案】BCD
【解析】对于，直线的斜率为，若，则直线的斜率为，
则，所以不垂直，故错误；
对于，若，所以可得，则直线，
由两平行直线距离公式可得，故正确；
对于，可化为，
所以直线恒过，故正确；
对于，当直线与轴无截距，不满足条件，
当，在两坐标轴的截距相等，分别令，
可求出与轴截距为和轴截距，即
解之可得或，故正确.
故选：
易错点4 忽略圆的一般方程的限制条件
易错典题
【例4】（25-26高三上·青海西宁·期末）点在圆外，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知：表示圆，
可得：，解得，（易错点）
要注意考虑方程表示圆的条件
又在圆外，所以，得，
所以k的取值范围为.
故选：C
【错因分析】本题容易忽略圆的一般方程的限制条件而出错.
知识混淆：混淆圆的一般方程与二元二次方程形式，只看方程结构，忽略必须满足才表示圆，误将不满足条件的方程当作圆来求解，导致圆心、半径计算无意义。
概念模糊：对圆的一般方程概念不清，只记忆形式不理解本质，不清楚限制条件是方程表示圆的前提。解题时直接求圆心半径，不验证，忽略方程可能不表示任何图形，造成结果错误。
望文生义：看到系数相等且无项，就默认是圆，不看题目隐含条件。直接代入公式计算，无视限制条件是否成立，漏掉对参数范围的讨论，出现无解或增解。
避错攻略
【方法总结】不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．
【知识链接】1、圆的一般方程
一般地，圆的标准方程可以化为
在这个方程中，如果令，，，则这个方程就表示成的形式，其中，，都是常数，形如上式的圆的方程称为圆的一般方程，其中为圆心，为半径．
2、圆的一般方程的特点
（1）项的系数相同且不等于0（和的系数如果是不为1的非零常数，只需在方程两边同时除以这个常数即可）；
（2）不含项；
（3）．
3、一般方程与标准方程关系
把方程配方得，根据圆的标准方程可知：
（1）当时，方程只有实数解．它表示一个点．
（2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
（3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆．
4.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系
已知点，和圆的一般方程（）则
位置关系 代数关系
点在圆A上
点在圆A内
点在圆A外
5、方程表示圆的两种判断方法
（1）配方法：对形如的二元二次方程可以配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆．
（2）定义法：判断是否大于零，确定它是否表示圆．
举一反三
【变式4-1】（25-26高三上·河北·期中）若关于的方程有实数解，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为关于的方程有实数解，
所以方程表示圆或点，
则，即 ，
解得或，
故选：B
【变式4-2】（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由圆，可得，
可得，解得，
又由点在圆外，则，解得，
综上可得：，所以实数的取值范围是.
故选：D.
【变式4-3】（25-26·河南·模拟预测）已知圆截直线所得弦的长度小于6，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为圆，可化为，
则其圆心为，半径为，且，即，
圆心到直线的距离为，
因为直线与圆相交，且所得弦的长度小于6，
所以，解得，
综上，，即.
故选：D.
易错点5 处理直线与圆的位置关系时忽略对斜率的讨论
易错典题
【例5】（25-26高三上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆，上存在两点关于直线对称.
(1)求的半径；
(2)过坐标原点的直线被截得的弦长为2，求的方程.
【解析】（1）圆，即，
则圆心为，半径，
因为上存在两点关于直线对称，所以点在直线上，
所以，解得，
所以的半径；
（2）由（1）可得，圆心为，
因为过坐标原点的直线被截得的弦长为，所以圆心到直线的距离，
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离，符合题意；（易错点）
要注意考虑直线斜率不存在这一种情形，否则将漏解
若直线的斜率存在，设直线的方程为，则，解得，
所以直线的方程为，即；
综上可得直线的方程为或.

【错因分析】本题容易忽略斜率不存在的情况而造成漏解.
知识混淆:混淆斜率存在与不存在的直线方程形式，只会用点斜式 y y0 =k(x x0 )，不会用 x=x0 表示垂直 x 轴的直线。把斜率存在当作默认前提，混淆适用范围，导致漏解。
概念模糊:对直线斜率概念理解不牢，不清楚倾斜角为 90° 时斜率不存在。解题时直接设点斜式，默认斜率 k 一定存在，不分类讨论，漏掉垂直 x 轴的直线，位置关系判断不完整。
望文生义:看到 “过定点的直线” 就直接设点斜式，不看图形与题意，默认直线都有斜率。忽略直线与圆相切、相交时可能垂直 x 轴，不检验斜率不存在的情况，造成答案缺失。
避错攻略
【方法总结】（1）过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．
（2）设直线的点斜式时一定要分析斜率不存在的情况，以防考虑问题不全面而出错.
【知识链接】1、直线与圆的位置关系及判断
（1）三种位置关系：相交、相切、相离．
（2）两种判断方法：
①
②
2、圆的切线与切线长
（1）过圆上一点的圆的切线
①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2.
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
（2）过圆外一点的圆的切线
过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0.
（3）切线长
①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，
切线长为 .
②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝.
举一反三
【变式5-1】（25-26高三上·江苏扬州·期中）已知圆及点，过点的直线与圆交于、两点．
(1)若弦长，求直线的方程；
(2)求△面积的最大值，并求此时弦长的值．
【解析】（1）若直线斜率不存在，则，此时，不符题设，
由，则圆心，半径为3，又，
所以到直线的距离，
令直线，则，可得，故或，
所以直线的方程为或；
（2）由（1）直线斜率不存在，有，
又到直线的距离，则；
若直线斜率存在，令，
此时到直线的距离，，
所以，令，
则，当且仅当，即或时等号成立，
所以，此时最大.
【变式5-2】（25-26高二上·江苏南京·月考）已知在平面直角坐标系中，，点满足，记点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)若经过点的直线与相交于点，且，求直线的方程；
(3)已知.若直线经过点且与相交于两点，线段的中点为与的交点为，证明：为定值，并求出该定值.
【解析】（1）解：设，因为点且，
所以，即，
所以的轨迹方程为.
（2）解：由（1）知，圆心为，半径为，
因为，设圆心到的距离，可得，解得，
当斜率不存在时，方程：，此时，满足题意；
当斜率存在时，设方程：，即，
则，解得，此时.
综上可得，直线的方程为或.
（3）解：当斜率不存在时，此时与圆相切，不符合题意，
所以斜率存在，设直线的斜率为，则，且
联立方程组，
整理得，
令，解得，
且，所以，
又由，解得，所以，
因为均在直线上，且
所以.
易错点6 两圆相切忽略内切、外切的区分
易错典题
【例6】（多选）（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知圆和圆，则（ ）
A．两圆可能无公共点
B．若两圆相切，则
C．直线可能为两圆的公切线
D．当时，若为两圆的公切线，则或
【答案】ACD
【解析】由圆的圆心为，圆的圆心为，则圆和圆的圆心距为，
对于A，当，即时，两圆可能相离，即无公共点，故A正确；
对于B，当两圆外切时，，得；当两圆内切时，，得，故B错误（易错点）；
注意两圆相切包括外切与内切
对于C，当时，直线可能为两圆的公切线，故C正确；
对于D，结合选项B可得，当时，两圆外切，
则有，解得或，故D正确．
故选：ACD．
【错因分析】两圆相切分为内切和外切，本题容易因考虑问题不全面而漏解.
知识混淆：混淆两圆内切与外切的判定条件，只记住圆心距与半径和或差的一个公式，未区分两种相切的几何特征，把内切、外切混为一谈，只套用一种关系，导致漏解。
概念模糊：对两圆位置关系概念不清，只知相切是有一个公共点，忽略相切分内切、外切两类。不理解圆心距分别等于半径和与半径差，缺少分类讨论，判断不全面。
望文生义：看到 “相切” 就凭直觉只写一种情况，不结合图形分析。默认只有外切或只有内切，不考虑两圆大小位置，不全面讨论，导致答案少一种情况。
避错攻略
【方法总结】1.判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：
①化成圆的标准方程，写出圆心和半径；
②计算两圆的圆心距d；
③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．
2．由圆的位置关系求参数：求解此类问题，一般根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径的和或差的绝对值的大小关系列出关系式,求出参数的值或取值范围,注意相切和相离均包括两种情况。应用几何法判断两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．
【知识链接】1.圆与圆的位置关系
（1）几何法：用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：
两圆相交；
两圆外切；
两圆相离
两圆内切；
两圆内含（时两圆为同心圆）
设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系 相离 外切 相交 内切 内含
几何特征
代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解
公切线条数 4 3 2 1 0
（2）代数法
设:；:
联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其
①与设设相交
②与设设相切（内切或外切）
③与设设相离（内含或外离）
【解读】几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距作比较得到两圆的位置关系，代数法则是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题，即方程组的解的个数问题，但这种代数判断方法只能判断出相离、相交、相切三种位置关系，而不能像几何判断方法一样，能判断出外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，因此一般情况下，使用几何法判断两圆的位置关系．
【变式6-1】（25-26 高三上·四川内江·期中）已知两个圆，，若两圆相切，则半径为 ．
【答案】或
【解析】由题意知：两圆圆心分别为：，，半径分别为：，，
当两圆外切时：，解得：；
当两圆内切时：，解得：，负值舍去；
综上：或.
【变式6-2】（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）早在两千多年前，我国的墨子给出了圆的定义——一中同长也．已知O为坐标原点，．若，的“长”分别为1，r，且两圆相切，则 ．
【答案】1或3
【分析】根据圆的定义，得出和的圆心和半径，再由两圆相切分为内切和外切两种情况，分别得出两半径间的关系，求解即可．
【解析】由题意，O为坐标原点，，
根据圆的定义可知，的圆心为，半径为1，
的圆心为，半径为r，
因为两圆相切，
当两圆外切时，则有，即，
当两圆内切时，则有，即，或（舍）
所以或3，
故答案为：1或3．
【变式6-3】（25-26高二上·全国·期末）已知圆，圆.试求为何值时，两圆的位置关系为相切.
【解析】依题意，圆，圆心为，半径为；
圆，圆心为，半径为；
所以；
当两圆外切时，，所以；
当两圆内切时，，所以；
所以当或时，两圆的位置关系为：相切.
易错点7 曲线方程变形不等价
易错典题
【例7】（24-25高二上·江苏宿迁·开学考试）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】曲线即为半圆：，（易错点）
要注意此曲线是半圆不是一个圆，且要注意区分是右半圆还是上半圆
其图象如图所示，
曲线与轴的交点为，
而直线为过的动直线，
当直线与半圆相切时，有，解得，
当直线过时，有，
因为直线与半圆有两个不同的交点，故，
故选：D.
【错因分析】本题容易将曲线化为误认为曲线C为圆而出错.
知识混淆：混淆方程等价变形与非同解变形，盲目平方、去分母、消项，不关注定义域变化。把变形前后的方程当作同一曲线，误将部分曲线看成完整图形，导致范围判断错误。
概念模糊：对曲线与方程的概念理解不清，不满足 “纯粹性与完备性”。只看方程化简后的形式，不验证变量取值范围，忽略变形带来的限制丢失，误认图形形状与范围。
望文生义：看到方程形似圆、椭圆等标准形式，就直接判定图形，不追溯变形过程。无视原方程的隐含约束，把局部曲线当成完整圆锥曲线，造成轨迹范围出错。
避错攻略
【方法总结】在用几何法求参数范围时，对曲线方程化简时一定要注意等价化简，即不能造成x、y的取值范围的变大或缩小.
【知识链接】1.截距式与斜率式都可转化为动直线与圆相切时取得最值
①截距式：求形如的最值转化为动直线斜率的最值问题
②斜率式：求形如的最值转化为动直线截距的最值问题
③距离式：求形如的最值转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
2.根据直线与圆的位置关系求参数
（1）几何法
①的最值，设，圆心到直线的距离为由即可解得两个值，一个为最大值，一个为最小值
②的最值：即点与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值
（2）代数法
①的最值，设，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值.
②的最值：设，则，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值.
【变式7-1】（25-26 高三上·全国·课后作业）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．] B． C． D．
【答案】A
【解析】曲线即为半圆：，
其图象如图所示，
曲线与轴的交点为，而直线为过的动直线，
当直线与半圆相切时，有，解得，
当直线过时，有，
因为直线与半圆有两个不同的交点，故，
故选：A.
【变式7-2】（25-26 高三上·北京顺义·期中）已知直线：，曲线：，则“与相切”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】易知曲线：可化为，表示圆心为，半径的上半圆；
易知直线可化为，
当时，圆心到直线的距离为，
此时与下半圆相切，如下图所示，不合题意，即必要性不成立；
若与相切，可知，解得或；
检验可知只有当时，直线与相切，即可得，所以充分性不成立；
所以“与相切”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D
【变式7-3】（25-26高二上·江苏扬州·阶段练习）若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由可知直线过定点，
曲线两边平方得，
所以曲线C是以为圆心，半径为1且位于直线x轴上方的半圆，
当直线过点时，直线与曲线C有两个不同的交点，此时，
当直线与曲线C相切时，直线和圆有一个交点，圆心到直线的距离，两边平方解得，
所以结合图形可知直线与曲线C恰有两个交点，则.
故选：B.
一、单选题
1．（24-25高三上·吉林·期末）设，则“直线与直线平行”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为，所以，则有，解得，
当时，，，则重合，
当时，，，则平行，
所以等价于，
所以“直线与直线平行”能推出“”，
“”不能推出“直线与直线平行”，
所以“直线与直线平行”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
2．（25-26高二上·贵州六盘水·月考）已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
如图，设，当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率，
要使直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率需满足或.
所以直线的斜率的取值范围为.
故选：C.
3．（24-25高二下·贵州黔西·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】原点在圆上，而圆心，
直线斜率为，因此切线的斜率为，方程为，即.
故选：A
4．（2026高三·全国·专题练习）已知直线与相交于点，直线的方程为，则点到直线距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为直线与相交于点，
直线变形为，过定点；
直线变形为，过定点；
又因为，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆.
因的中点坐标为，半径为，
所以圆的方程为.
由于圆心到直线的距离为，
所以点到直线距离的最小值为.
故选：C.
5．（24-25高二上·天津北辰·阶段练习）若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】将曲线整理可得,
因此曲线表示的是以为圆心，半径为2的下半圆，
若直线与曲线有公共点，如下图所示：
当直线在直线的位置，即时，直线与曲线有一个公共点；
当直线在直线的位置，即直线与曲线相切，
此时，解得，（舍）；
只有直线位于两直线之间时，满足题意，即.
故选：A
6．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（ ）
A． B． C．或1 D．
【答案】C
【分析】先求出公共弦方程，在根据勾股定理由弦长计算圆心到公共弦的距离进而求出，最后再求圆的半径.
【解析】两圆相减得公共弦方程为：，
根据题意可知，圆的圆心到公共弦的距离，
解得：或，
当时，圆的标准方程为：，
当时，圆的标准方程为：，
所以或.
故选：C
7．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，
在圆中，圆心，半径为，
到直线的距离为的点有且仅有 个，
∵圆心到直线的距离为：，

故由图可知，
当时，
圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于；
当时，
圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于；
当则的取值范围为时，
圆上有且仅有两个点到直线的距离等于.
故选：B.
8．（25-26高三上·陕西西安·月考）在平面直角坐标系中，已知动点在圆：上，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由可得，
由圆的对称性，不妨设在轴及轴上方，
则可设，
所以，
由，可知，故，
所以，即，
故选：D
二、多选题
9．（25-26高二上·河北邯郸·期末）已知直线：，：，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．存在，使得
C．直线过定点 D．直线过定点
【答案】AC
【解析】若，：，：，显然成立，
若，的斜率为，的斜率为，，所以，所以无论为何值，，故A正确，B错误；
的方程可化为，即，所以过定点，故C正确，
，所以过定点，故D错误.
故选：AC.
10．（25-26高三上·河北·阶段练习）若不论取何值时，圆总与圆相切，则圆的方程可为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】圆的圆心，半径，
令，消去得，即圆心在圆的圆周上，
且半径为2．
由于不论取何值时，圆总与圆相切，所以圆的圆心必为，
若圆与圆外切，则圆的方程为，即；
若圆与圆内切，则圆的方程为，即．
故选：AC
11．（2026·山东威海·一模）已知平面内两点，动点满足，则（ ）
A．点到点的距离为定值 B．|PB|的最小值为1
C．点到直线的距离的最大值为2 D．满足的点有且仅有两个
【答案】ABD
【解析】设 ，由，得到，
化简得到，因此，点 P 的轨迹是以为圆心、半径 的圆，
所以点到点的距离为定值，选项A正确；
圆心到点的距离为 ,
因为点B在圆内，所以|PB|的最小值为，选项B正确；
圆心到直线的距离为，
所以点到直线的距离的最大值为，选项C错误；
，
因为，所以，即；
化简得到，
联立方程，即，
代入，得到，解得，
得到两个解，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12．（2025高三上·山东济南·专题练习）直线，，当时，直线与之间的距离为 .
【答案】
【解析】当时，，解得；
当时，两直线重合，不符合题意，应舍去.
当时，即
直线与之间的距离：.
13．（25-26高二上·山西·月考）已知两点，，当时，直线的倾斜角的取值范围是 .
【答案】
【解析】设直线的倾斜角为，则.
因为，，
当时，；
当时，，或.
当时，直线的斜率，
所以，得；
当时，直线的斜率，
所以，得.
所以.
14．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ．
【答案】2
【解析】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以，
圆的半径为，圆心到直线的距离为，
故，解得；
故答案为：2.
15．（2024·上海·高考真题）正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长 .（精确到）

【答案】
【解析】如图，以为原点建系，易知，连接，

不妨设中点为，直线中垂线所在直线方程为，
化简得，所以圆心为，半径为，且经过点
即，化简得，
解得，
结合题意可得，故圆的周长为.
故答案为：
16．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③
【解析】依题意，，
当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）；
当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取，则的图像如下，

显然，当，即时，在上单调递增，故①错误；
对于②，当时，
当时，；
当时，显然取得最大值；
当时，，
综上：取得最大值，故②正确；
对于③，易知当时，在，且接近于处，的距离最小，

当时，，当且接近于处，，
此时，，
当时，且接近于处，的距离最小，
此时；故③正确；
对于④，取，则的图像如下，

因为，
结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在，
同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径，
此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为，
联立，解得，则，
显然在上，满足取得最小值，
即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误.
故答案为：②③.
四、解答题
17．（25-26高二上·甘肃张掖·期中）已知直线.
(1)求经过点且与直线垂直的直线方程；
(2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程.
(3)若直线交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.
【解析】（1）由直线可得直线的斜率为，
依题意，所求直线斜率为，则其方程可设为，
该直线经过点，则，解得，
故所求直线方程为，即；
（2）联立，解得，即直线与的交点为，
当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为，
代入解得，此时；
当直线的截距都不为0时，设直线方程为，
依题意，解得，此时直线方程为，
综上，所求直线方程为或.
（3）由题可知，
在中，令，解得，即得A，
再令，可得，即得，
故，
则
当且仅当，即时取等号，
故S的最小值为16，此时直线l的方程为．
18．（25-26高二上·天津静海·月考）已知圆的圆心是直线与直线的交点，又圆与圆：相外切．点
(1)求过点与垂直的直线方程；
(2)求圆的标准方程；
(3)若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
【解析】（1）联立直线方程 ，解得 ，所以圆心 ，
圆 化为圆的标准方程： ，所以圆心 ，
而直线 的斜率 . 设所求直线斜率为 ，
则 ，即 ，解得 ，
所求直线过点 ，所求直线方程为 ，整理得 ，
因此，过点 与 C D 垂直的直线方程为 .
（2）由（1）知圆心 ，圆心 ，，
因为圆 与圆 相外切，所以圆 的半径 ，
因此，圆 的标准方程为 .
（3）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，此时圆心 到直线 的距离 ，根据弦长公式可得弦长为 ，满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，即，
已知圆心 ，半径 ，弦长为 ，则圆心到直线的距离 .
根据点到直线的距离公式可得 ，即 2，
两边平方可得 ，展开得 ，解得 .
所以直线 的方程为 ，整理得 0 .
因此，直线 的方程为 或 .

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