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专题14 概率、随机变量及其分布
易错点1 混淆互斥、对立、独立事件的概念
易错典题
【例1】(多选)（2026广东广州一中期中）现有，两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球，，再将两箱子混合后取出一个小球，事件：“小球为红色”，事件：“小球为白色”，事件：“已知颜色的前提一下，小球为红色”，则下列说法错误的有（ ）
A．发生的概率为 B．与互斥
C．与相互独立 D．发生的概率为
【答案】ABD
【解析】根据题意可得，故A错误；根据互斥事件的定义可知与不互斥，故B错误；
由题可得，，所以与相互独立(易错点)，故C正确；
若两事件从表面上很难判断是否独立，可通过乘法公式加以验证
对于D，事件分为三类：
颜色都为白球,则混合后袋中有白球4个,红球6个,取出红球概率；
颜色都为红球,则混合后袋中有白球6个,红球4个,取出红球概率为-
颜色一红一白,则混合后袋中有白球5个，红球5个，取出红球概率为，故D不对.
【错因分析】本题容易混淆互斥事件、对立事件和相互独立事件的概率而出错.
知识混淆：把互斥、对立、独立混为一谈：互斥是不能同时发生，对立是必有一个发生，独立是互不影响.常错误认为 “互斥就独立”“独立就对立”，导致判断与公式用错.
概念模糊：对定义理解不牢：只记文字不抓本质，分不清交集是否为空（互斥 / 对立）与概率是否相乘（独立），不会用公式验证，凭感觉判断事件关系.
望文生义：按字面理解 “独立”“互斥”，误以为 “互相没关系就是独立”“互相排斥就是对立”，忽略数学严格定义，乱用 P(AB)、P(A+B) 公式.
避错攻略
【方法总结】(1)判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.
(2)互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点：①相同点：二者都是描述两个事件间的关系；
②不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.
【知识链接】1.互斥事件与对立事件
（1）互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥，可用韦恩图表示如下：
如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥．
（2）对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为．
【解读】互斥事件与对立事件的关系
①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．
②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件．
2、相互独立事件的概念
（1）对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而．
由此可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立．
（2）相互独立事件的性质：如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立．
两个事件的相互独立性的推广：两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率．
举一反三
【变式1-1】（24-25高一下·河北沧州·期末）投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（ ）
A．A与B 是互斥事件 B．A 与B 是对立事件
C．A与C是独立事件 D．B与C 是独立事件
【变式1-2】（多选）（25-26高一上·江西九江联考）现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互对立 D．丙与丁互斥
【变式1-3】（多选）（25-26高二上·广东汕头·月考）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项正确的是（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立
C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥
易错点2 混淆“有放回”与“不放回”致错
易错典题
【例2】（25-26高三·上海·课堂例题）已知向量，，从6张大小相同分别标有号码的卡片中，有放回地抽取两张，、分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有个，
由，即，
故满足的基本事件有共个，(易错点)
注意：有放回抽取一是元素有顺序，二是元素可重复
所以所求概率为.
故选：D.
【错因分析】本题求解时容易混淆“有放回”和“无放回”的区别而出错,无放回一次抽取多张卡号可视为无序问题，有放回分次取得到多张卡片与卡片先后顺序有关.
知识混淆：分不清有放回和无放回的本质区别：有放回是独立重复试验，总数不变；无放回总数逐次减少。常把两种模型混用，导致样本点总数与事件数计算错误。
概念模糊：对 “放回” 是否改变样本空间理解不清，不明白无放回会让后续选取范围缩小、概率变化，仍按有放回计算，忽略元素不可重复选取的约束，造成计数错误。
望文生义：只看字面，忽略 “依次抽取”“不放回” 等关键词，凭直觉判断是否重复。不区分抽取方式，直接统一按排列或组合算，导致重复计数或遗漏，概率结果失真。
避错攻略
【方法总结】在处理与抽样有关的概率问题时要区分“有放回抽取”和“无放回抽取”的不同，有放回抽取时每一次抽取背景是一样的，即总体个数不变概率不变；无放回抽取时每一次抽取背景是变化的，即总体个数要变，概率也变.
【知识链接】1.定义和操作方式
（1） 无放回抽取 ：每次抽取后，抽出的元素不再放回原处.例如，如果有10个元素，第一次抽取后剩下9个，第二次抽取时只剩下9个元素可供选择.
（2） 有放回抽取 ：每次抽取后，元素仍然放回原处，搅拌均匀后再进行下一次抽取.这样，每次抽取时元素总数保持不变和概率不变.
2.概率模型和应用场景
（1） 无放回抽取 ：适用于超几何分布，主要用于处理总体中成功与失败的独立事件，如抽奖活动中奖概率等.
（2） 有放回抽取 ：适用于二项分布，常用于重复独立试验的情况，如多次投掷硬币、多次独立试验等.
3.数学表达和计算方法
（1） 无放回抽取 ：计算概率时需要考虑元素的顺序和组合数.例如，从n个元素中抽取m个元素的组合数为
（2） 有放回抽取 ：每次抽取是相互独立的，因此可以直接使用二项分布公式进行计算，即P(X=k) = binom(n, p, k)，其中n是试验次数，p是成功的概率，k是成功的次数.
举一反三
【变式2-1】（25-26高三上·浙江·期中）某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放回取球，每次取1球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（25-26高二上·四川南充·月考）从1，2，3，4，5五个数字中随机地有放回地依次抽取三个数字，则数字2只出现一次的取法总数有（ ）
A．16 B．48 C．75 D．96
【变式2-3】（多选）（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为3，4）的口袋中，依次不放回地随机摸出2个球，表示事件“恰有1个白球”，表示事件“恰有2个白球”，表示事件“取到了编号为1的小球”，D表示事件“第一次取到的球编号为奇数”，E表示事件“两次取到的球编号和为偶数”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件，互为对立事件 B．
C．事件，为相互独立事件 D．事件，为相互独立事件
易错点3 古典概型问题列举样本点时重复或遗漏而出错
易错典题
【例3】（多选）（2026湖南衡阳三中月考）某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对一个选项得2分，选错得0分，已知某小题的标准答案为ABD，甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法正确的是（ ）
A．甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为
B．乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为
C．丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高
D．丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同
【答案】BD
【解析】对于A，甲同学仅仅随机选择一个选项，共有4种结果，分别为A，B，C，D，
其中有3种结果满足要求，分别为A，B，D，故能得2分的概率为，A错误；
对于B，列举可得以下所有可能结果：AB,AC,AD,BC,BD,CD，共6种，其中能得4分的结果有：AB,BD,AD，共3种，故能得4分的概率为,B正确；
对于C，丙同学可以选择两个选项，三个选项和四个选项，共有11种结果，
分别为AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD（易错点），
列举时要做到不重不漏
其中得分的结果有4种，为AB，AD，BD，ABD，故得分的概率为，
由B可知，乙同学仅随机选择两个选项，能得分的概率为，
，故丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率低，C错误；
对于D，丁同学选择至少一个选项，共有15种结果，
分别为A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD（易错点），
其中ABCD这个选项易遗漏
能得2分的结果为A，B，D，故能得2分的概率为，
能得4分的结果为AB，AD，BD，故能得4分的概率为，
丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同，D正确.
【错因分析】在处理古典概型问题列举样本点时要按照一定的顺序,做到不重不漏.有时也可以借助表格和树状图得到样本点.
知识混淆：分不清有序与无序，如 “先后取” 与 “一次性取” 混用.有序需排列，无序只组合，盲目统一列举，极易造成样本点重复或遗漏，导致概率计算错误.
概念模糊：对等可能理解不到位，误以为所有结果概率相同.未验证样本点是否等可能就直接计数，把不等可能事件当成古典概型，样本空间结构出错，结果失真.
望文生义：凭字面意思理解题意，忽略 “至少”“至多”“不重复” 等限制条件.不按规则严谨列举，凭直觉写样本点，要么多算重复情况，要么漏掉关键情形，算错总数与事件数.
避错攻略
【方法总结】在解决这类问题时，首要步骤是确认试验是否符合古典概型的特征.随后，关键在于构建样本空间，这一过程中需特别注意两点：一是样本中的元素是否存在顺序性，因为顺序的不同会构成不同的样本空间；二是取样时是否允许元素重复，即取样是放回还是不放回，这直接决定了样本中元素是否可以重复出现.明确了这两点后，就可以计算出样本空间的总样本点数量，以及所求事件对应的样本点数量，最后利用古典概型的概率计算公式，得出所求事件的概率.
【知识链接】1.古典概型的定义
一般地，若试验具有以下特征：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
2.古典概型的概率公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.
3.古典概型解题步骤
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件；
（3）分别求出基本事件的个数与所求事件中所包含的基本事件个数；
（4）利用公式求出事件的概率．
举一反三
【变式3-1】(2024全国甲文科高考)甲、乙、丙、丁四人排成一列,则丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
【变式3-2】(2023全国甲文科高考)某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
【变式3-3】（25-26高三上·河南驻马店·期末）甲、乙、丙、丁四名高三毕业生和一名老师站成一排拍照留念，则在甲不站最左端，乙不站最右端的条件下，老师站在最中间的概率为（ ）
A． B． C． D．
易错点4 对条件概率理解不透彻致错
易错典题
【例4】（25-26高二上·辽宁·期末）某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设“学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升”为事件A，则，，
设“学生肥胖”为事件B，则，，
由全概率公式可得，（易错点）
注意A,B并非相互独立事件
所以若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为.
故选：A
【错因分析】本题容易混淆“交事件概率”与“条件概率”的区别而致错.
知识混淆:把条件概率 P(A∣B) 与交事件概率 P(AB) 混用，分不清 “在 B 发生前提下 A 发生” 和 “A、B 同时发生”，样本空间从全集缩小为 B，却仍用全集计算，公式与分母直接用错.
概念模糊:对条件概率本质理解不清，不知道条件会缩小样本空间，忽略 “前提事件已发生” 这一关键，不会正确使用P(A|B)＝，分子分母对应关系混乱，导致结果偏差.
望文生义:凭字面理解 “条件”，把先后发生、相关联直接当成条件概率，不判断谁是条件、谁是结果，漏看题目限定范围，随意套用乘法公式，样本点与概率比例出错.
避错攻略
【方法总结】解决条件概率问题的步骤
第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率．题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率．若为条件概率，则进行第二步．
第二步，计算概率，这里有两种思路：
思路一 缩减样本空间法计算条件概率，如求P(A|B)，可分别求出事件B，AB包含的基本事件的个数，再利用公式P(A|B)＝计算
思路二 直接利用公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)＝计算
【知识链接】1、条件概率
（1）条件概率的定义：一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．
（2）条件概率的性质
①条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即．
②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为．
③如果与互斥，则．
2、全概率公式
（1）全概率公式：；
（2）若样本空间中的事件，，…，满足：
①任意两个事件均互斥，即，，；
②；
③，．
则对中的任意事件，都有，且
．
3、贝叶斯公式
（1）一般地，当且时，有
（2）定理若样本空间中的事件满足：
①任意两个事件均互斥，即，，；
②；
③，．
则对中的任意概率非零的事件，都有，
且
举一反三
【变式4-1】（25-26高二上·江西鹰潭·期末）小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（25-26高三上·辽宁丹东·阶段练习）已知某条线路上有两辆相邻班次的BRT（快速公交车），若准点到站的概率为，在准点到站的前提下准点到站的概率为，在准点到站的前提下不准点到站的概率为，则准点到站的概率为 .
【变式4-3】（25-26高二上·广西桂林·期末）学校举行羽毛球、乒乓球和跳绳三项比赛，学生甲只能参加其中一项比赛，他参加羽毛球、乒乓球和跳绳比赛的概率分别为0.4、0.3、0.3，若他在羽毛球、乒乓球和跳绳比赛中获得冠军的概率分别为0.6、0.4、0.5，则该生获得冠军的概率为（ ）
A．0.67 B．0.58 C．0.51 D．0.37
易错点5 求分布列时忽视了概率之和为1而致错
易错典题
【例5】（2026高三·全国·专题练习）已知离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P 0.36
则常数 ．
【答案】/
【解析】由题意可知：，
即，解得或，
又因为，解得，（易错点）
要注意两点：一是概率之和为1，二是各概率值介于0至1之间
所以常数.
【错因分析】忽视分布列中各概率值的范围，从而致错；忽视概率之和为1，从而缺乏解题思路.
知识混淆:把分布列与单纯列表混淆，只关注取值与对应概率的罗列，不理解分布列必须满足规范性，未检验概率和是否为 1，直接导致结果不符合分布列定义而出错。
概念模糊:对离散型随机变量分布列的两条基本性质记忆不牢，只重视概率计算，忽视 “所有概率非负、总和为 1” 这一核心要求，缺少检验环节，算错概率也无法自查。
望文生义:仅从字面理解 “分布列” 就是把情况列出来，不考虑整体完备性，遗漏部分取值或重复计算概率，未验证总和是否为 1，造成结果不完整、不合法。
避错攻略
【方法总结】1.利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值.
2.利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.
3.可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
【知识链接】1.随机变量
在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示.在这个对应关系下，数值随着试验结果的变化而变化.像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等来表示.
取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
若离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，xn，…，随机变量X取xi的概率为pi(i＝1，2，…，n，…)，记作P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n，…).①
①式也可以列成表，如表：
xi x1 x2 … xn …
P(X＝xi) p1 p2 … pn …
表或①式称为离散型随机变量X的分布列，简称为X的分布列.
3.离散型随机变量分布列的性质
(1)pi＞0(i＝1，2，…，n，…)；
(2)p1＋p2＋…＋pn＋…＝1.
举一反三
【变式5-1】（24-25高二下·重庆渝中·月考）已知离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.3 m n
若，则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【变式5-2】（25-26高二上·全国·期末）已知随机变量X的分布列如下，若，则（ ）
X 0 1 2
P m n
A． B．7 C．21 D．22
【变式5-3】（24-25高二下·广东中山·月考）已知随机变量X的分布列如下表：若，则（ ）
X 0 1 2
P n m
A． B．5 C．7 D．21
易错点6 混淆二项分布与超几何分布而致错
易错典题
【例6】（25-26高三上·辽宁朝阳·期末）2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整个电影界都为之欢腾，这是中国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章．现随机抽取100位市民，将市民按年龄分为“青年组”和“非青年组”，同时统计是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本观测数据整理如下：
看过 没看过 合计
青年组 30 20 50
非青年组 15 35 50
合计 45 55 100
记表示“抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，其概率为表示“抽取到的市民为非青年组”，其概率为．
(1)给出的估计值；
(2)现从抽取的青年组市民中，按是否看过《哪吒之魔童降世2》用分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中看过《哪吒之魔童降世2》的人数的分布列和数学期望．
【解析】（1）A表示抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》，B表示抽取到的市民为非青年组．
样本容量，没看过电影的总人数55，抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》的频率为，
因此的估计值为，
抽取到的市民为非青年组的总人数50，抽取到的市民为非青年组的频率为，
因此的估计值为.
法一：，
在抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》条件下，抽到的市民为青年组的频率为，
因此的估计值为；
法二：，
在抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》条件下，抽到的市民为青年组的频率为，
因此的估计值为；
（2）按照分层抽样，抽取的5人中看过《哪吒之魔童降世2》的有3人，没看过《哪吒之魔童降世2》的有2人，
则看过《哪吒之魔童降世2》的人数的取值范围为，
由题意，看过《哪吒之魔童降世2》的人数，则，（易错点）
在产品抽取模型中超几何分布是不放回抽取，二项分布是有放回抽取，注意区别
此时，，.
则的分布列为：
X 1 2 3
所以，或．
【错因分析】关键是没看清抽取方式与总体是否已知：二项分布是独立重复试验，超几何是无放回抽样。直接凭题目相似就套公式，不判断模型，导致分布类型与概率计算全错。
知识混淆:把 “有放回 / 独立” 和 “无放回 / 不独立” 混淆，二项分布每次概率不变，超几何概率逐次变化。乱用公式，把二项分布的 Cnk pk 套到超几何，或反过来，结果完全错误。
概念模糊:不理解二者本质区别：二项分布是固定概率重复试验，超几何是有限总体无放回抽取。记不住适用场景，分不清是否已知总体容量与次品数，只会死套公式。
望文生义:看到 “抽取、合格、次品” 就直接判定分布，不看 “放回 / 不放回”“总体是否很大近似独立”，凭字面意思选模型，忽略关键词，导致分布判断失误。
避错攻略
【方法总结】 “二项分布”与“超几何分布”的区别
(1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要.(2)有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理.
【知识链接】1.二项分布
(1)n重伯努利试验
一般地，在相同条件下重复做n次伯努利试验，且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响，称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验.
(2)二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，用X表示这n次试验中成功的次数，且每次成功的概率均为p，则X的分布列可以表示为P(X＝k)＝pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n).
若一个随机变量X的分布列如上所述，则称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B(n，p).
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
①若随机变量X服从参数为p的两点分布，则EX＝p，DX＝p(1－p).
②若X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p).
[微提醒]　两点分布是二项分布在参数n＝1时的特殊情况.
2.超几何分布
(1)定义：一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品，从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}，其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋.
若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布.
(2)超几何分布的均值：当随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，其均值为EX＝.
举一反三
【变式6-1】（25-26高三上·安徽宣城·期末）某社区举办“公益知识闯关赛”，共有100名居民报名参赛，每位参赛者需完成“第一轮基础知识作答”和“第二轮拓展知识比拼”两项任务.已知每位参赛者第一轮基础知识作答成功的概率为，且不同参赛者第一轮成功与否相互独立；若某位参赛者第一轮基础知识作答成功时，他第二轮拓展知识比拼成功的概率为；若他第一轮基础知识作答失败时，第二轮拓展知识比拼成功的概率为，若两项任务均成功，则视为最终闯关成功.
(1)若随机抽取一名参赛居民，求其第二轮拓展知识比拼成功的概率；
(2)记为参赛居民中闯关成功的人数，求的数学期望与方差.
【变式6-2】（25-26高三·上海松江·月考）我区举办“中小学生国防知识竞赛”中，随机抽查了100名学生，其中共有4名男生和2名女生的成绩在90分以上，从这6名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次（不放回抽样），记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B．
(1)求，；
(2)若把抽取学生的方式更改为：从这6名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列、数学期望和方差．
【变式6-3】（25-26高二上·山东德州·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元．
(1)顾客A恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量X．求X的分布列与数学期望；
(2)顾客B消费了1000元．
①顾客B获得返现金额为90元的概率是多少
②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%），则顾客B应选择哪种方案更优惠 （备注：不能同时参加抽奖和打折活动）
单选题
1．（2025·上海·高考真题）已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（ ）
A． B． C． D．0
2．（25-26高三上·湖北武汉·期末）离散型随机变量的取值为．若数列为等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高二上·浙江杭州·期中）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·上海·高考真题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（ ）
A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立
C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立
5．（2025高二上·湖北襄阳·专题练习）口袋里放有大小相等的个白球和个红球，有放回地每次摸取一个球，设为数列的前项和，，则事件“”发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26高三上·河南新乡·期末）甲、乙两球队比赛，设事件“甲队主力球员首发”，事件“甲队获胜”，据统计，，，，甲、乙两球队在2026年计划比赛共计12场．设甲队获胜的场数为X，若每场比赛的结果相互独立，则（ ）
A． B． C． D．
7．李华在研究化学反应时，把反应抽象为小球之间的碰撞，而碰撞又分为有效碰撞和无效碰撞，李华有3个小球和3个小球，当发生有效碰撞时，，上的计数器分别增加2计数和1计数，，球两两发生有效碰撞的概率均为，现在李华取三个球让他们之间两两碰撞，结束后从中随机取一个球，发现其上计数为2，则李华一开始取出的三个球里，小球个数的期望是（ ）个
A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2
8．（2026·贵州·模拟预测）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量所有可能的取值为，且，，定义的信息熵，若，随机变量所有可能的取值为，且，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2025·浙江温州·三模）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察它落地时朝上的面的点数，设事件“点数为1或2”，事件“点数为2或3或4”，则（ ）
A．与是互斥事件 B．与是相互独立事件
C． D．
10．（25-26高二上·江西九江·期末）已知随机变量的分布列如下，则（ ）
0 1 2
A． B．
C． D．
11．（25-26高三上·河北衡水·期末）某实验室设计了一种数据纠错系统，该系统由若干个串联的纠错单元组成.记第个纠错单元的输入数据为1的概率为，其中.第个纠错单元会独立重复地采集次输入信号，每次为的概率均为，若这次采集中，至少有次检测为，则该单元输出，否则该单元输出.第个单元的输出作为第个单元的输入.已知且，则（）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
三、填空题
12.（2025·湖北高三上·期中联考）设随机变量的概率分布为，a为常数，，则 ．
13．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为 ；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望
14．（2025·全国一卷·高考真题）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望 .
四、解答题
15．（2026·上海·春季高考真题）某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下：
年龄 剪纸 摄影 画画 人数
8 45
10 55
6 50
(1)现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在岁的有多少人？
(2)该兴趣班150人的平均年龄是多少？
(3)现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在为事件，记抽到学员爱好摄影为事件.事件与是否独立？请说明理由.
16．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
赔偿次数 0 1 2 3 4
单数
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望；
（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明）
17．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
18．（25-26高三上·山东临沂·期末）某选手参加一项人工智能机器人PK比赛，规则如下：该选手的初始分为20分，每局比赛，该选手胜加10分；平局不得分；负减10分．当选手总分为0分时，挑战失败，比赛终止；当选手总分为30分时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛选手胜、平、负的概率分别为，且各局比赛相互独立.
(1)求两局后比赛终止的概率；
(2)在3局后比赛终止的条件下，求选手挑战成功的概率；
(3)在挑战过程中，选手每胜1局，获奖5千元．记局后比赛终止且选手获奖1万元的概率为，求的最大值.
19．（25-26高三上·四川成都·期末）错排问题源于伯努利和欧拉研究的“装错信封问题”.设将编号为的个小球放入编号为的个盒子中（每盒恰放一球），若恰有个小球不在其对应编号的盒子中（即“错放”），则称这种情况数为错排数，其中编号为的小球对应编号为的盒子.，规定.
(1)直接写出的值；
(2)设，证明数列是等比数列；
(3)在高考英语中，“七选五”是一种常见题型.题目给出一篇缺少5个句子的短文，要求考生从文后的7个选项中选出5个最佳选项，填入文中空缺处，使文章完整 语义连贯.某考生由于平时不重视英语学习，于是在做此类题时采用“蒙题”的策略：5个空完全随机作答（选项不重复）.记蒙题答对的题数为随机变量，求的分布列和数学期望.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题14 概率、随机变量及其分布
易错点1 混淆互斥、对立、独立事件的概念
易错典题
【例1】(多选)（2026广东广州一中期中）现有，两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球，，再将两箱子混合后取出一个小球，事件：“小球为红色”，事件：“小球为白色”，事件：“已知颜色的前提一下，小球为红色”，则下列说法错误的有（ ）
A．发生的概率为 B．与互斥
C．与相互独立 D．发生的概率为
【答案】ABD
【解析】根据题意可得，故A错误；根据互斥事件的定义可知与不互斥，故B错误；
由题可得，，所以与相互独立(易错点)，故C正确；
若两事件从表面上很难判断是否独立，可通过乘法公式加以验证
对于D，事件分为三类：
颜色都为白球,则混合后袋中有白球4个,红球6个,取出红球概率；
颜色都为红球,则混合后袋中有白球6个,红球4个,取出红球概率为-
颜色一红一白,则混合后袋中有白球5个，红球5个，取出红球概率为，故D不对.
【错因分析】本题容易混淆互斥事件、对立事件和相互独立事件的概率而出错.
知识混淆：把互斥、对立、独立混为一谈：互斥是不能同时发生，对立是必有一个发生，独立是互不影响.常错误认为 “互斥就独立”“独立就对立”，导致判断与公式用错.
概念模糊：对定义理解不牢：只记文字不抓本质，分不清交集是否为空（互斥 / 对立）与概率是否相乘（独立），不会用公式验证，凭感觉判断事件关系.
望文生义：按字面理解 “独立”“互斥”，误以为 “互相没关系就是独立”“互相排斥就是对立”，忽略数学严格定义，乱用 P(AB)、P(A+B) 公式.
避错攻略
【方法总结】(1)判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.
(2)互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点：①相同点：二者都是描述两个事件间的关系；
②不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.
【知识链接】1.互斥事件与对立事件
（1）互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥，可用韦恩图表示如下：
如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥．
（2）对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为．
【解读】互斥事件与对立事件的关系
①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．
②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件．
2、相互独立事件的概念
（1）对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而．
由此可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立．
（2）相互独立事件的性质：如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立．
两个事件的相互独立性的推广：两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率．
举一反三
【变式1-1】（24-25高一下·河北沧州·期末）投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（ ）
A．A与B 是互斥事件 B．A 与B 是对立事件
C．A与C是独立事件 D．B与C 是独立事件
【答案】C
【解析】和有公共事件：点数为3，所以不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误；
事件表示点数为4或6，，，，所以，所以与是独立事件，故C正确；
事件表示点数为2，则，，，所以，所以与不是独立事件，故D错误
故选：C
【变式1-2】（多选）（25-26高一上·江西九江联考）现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互对立 D．丙与丁互斥
【答案】BD
【解析】，事件丙包含，共5个基本事件，所以，，所以，甲与丙不相互独立，故A错误；
事件丁包含共6个基本事件，所以，，所以，甲与丙相互独立，故B正确；
，，所以，乙与丙不相互独立，故C错误；
事件丙和丁没有公共事件，不可能同时发生，所以丙和丁互斥，故D正确.
故选：BD
【变式1-3】（多选）（25-26高二上·广东汕头·月考）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项正确的是（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立
C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥
【答案】B
【解析】由题意可得两次取球所有可能情况为，，，，，，
，，，，，共种情况；
第一次取出的球的数字是1，所有可能为，，共3种情况；
第二次取出的球的数字是2，所有可能为，，共3种情况；
则两次取出球的数字之和为，的所有可能为，，，共种情况；
两次取出球的数字之和为，所有可能为，共种情况；
记“第一次取出的球的数字是1”为，“第二次取出的球的数字是2”为，
“两次取出的球的数字之和是5”为，“两次取出的球的数字之和是4”为，
则，，，.
A：当出现情况时，甲丙同时发生，则，
故甲丙相互独立，故A正确；
B：当出现情况时，甲乙同时发生，则，
故甲乙不相互独立，故B错误；
C：由不可能同时发生，故丙与丁互斥，故C正确；
D：由于两次不可能都取2，故乙丁不能同时发生，则乙与丁互斥，故D正确；
故选：B.
易错点2 混淆“有放回”与“不放回”致错
易错典题
【例2】（25-26高三·上海·课堂例题）已知向量，，从6张大小相同分别标有号码的卡片中，有放回地抽取两张，、分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有个，
由，即，
故满足的基本事件有共个，(易错点)
注意：有放回抽取一是元素有顺序，二是元素可重复
所以所求概率为.
故选：D.
【错因分析】本题求解时容易混淆“有放回”和“无放回”的区别而出错,无放回一次抽取多张卡号可视为无序问题，有放回分次取得到多张卡片与卡片先后顺序有关.
知识混淆：分不清有放回和无放回的本质区别：有放回是独立重复试验，总数不变；无放回总数逐次减少。常把两种模型混用，导致样本点总数与事件数计算错误。
概念模糊：对 “放回” 是否改变样本空间理解不清，不明白无放回会让后续选取范围缩小、概率变化，仍按有放回计算，忽略元素不可重复选取的约束，造成计数错误。
望文生义：只看字面，忽略 “依次抽取”“不放回” 等关键词，凭直觉判断是否重复。不区分抽取方式，直接统一按排列或组合算，导致重复计数或遗漏，概率结果失真。
避错攻略
【方法总结】在处理与抽样有关的概率问题时要区分“有放回抽取”和“无放回抽取”的不同，有放回抽取时每一次抽取背景是一样的，即总体个数不变概率不变；无放回抽取时每一次抽取背景是变化的，即总体个数要变，概率也变.
【知识链接】1.定义和操作方式
（1） 无放回抽取 ：每次抽取后，抽出的元素不再放回原处.例如，如果有10个元素，第一次抽取后剩下9个，第二次抽取时只剩下9个元素可供选择.
（2） 有放回抽取 ：每次抽取后，元素仍然放回原处，搅拌均匀后再进行下一次抽取.这样，每次抽取时元素总数保持不变和概率不变.
2.概率模型和应用场景
（1） 无放回抽取 ：适用于超几何分布，主要用于处理总体中成功与失败的独立事件，如抽奖活动中奖概率等.
（2） 有放回抽取 ：适用于二项分布，常用于重复独立试验的情况，如多次投掷硬币、多次独立试验等.
3.数学表达和计算方法
（1） 无放回抽取 ：计算概率时需要考虑元素的顺序和组合数.例如，从n个元素中抽取m个元素的组合数为
（2） 有放回抽取 ：每次抽取是相互独立的，因此可以直接使用二项分布公式进行计算，即P(X=k) = binom(n, p, k)，其中n是试验次数，p是成功的概率，k是成功的次数.
举一反三
【变式2-1】（25-26高三上·浙江·期中）某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放回取球，每次取1球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】；
故选：C.
【变式2-2】（25-26高二上·四川南充·月考）从1，2，3，4，5五个数字中随机地有放回地依次抽取三个数字，则数字2只出现一次的取法总数有（ ）
A．16 B．48 C．75 D．96
【答案】B
【解析】有放回三次抽取的数字中，2只出现一次，按抽取的顺序有3种方法，另两次抽取的数字各有4种方法，
所以不同取法总数是.
故选：B
【变式2-3】（多选）（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为3，4）的口袋中，依次不放回地随机摸出2个球，表示事件“恰有1个白球”，表示事件“恰有2个白球”，表示事件“取到了编号为1的小球”，D表示事件“第一次取到的球编号为奇数”，E表示事件“两次取到的球编号和为偶数”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件，互为对立事件 B．
C．事件，为相互独立事件 D．事件，为相互独立事件
【答案】BCD
【解析】对于A，，{恰有或个白球}全部情况，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，，则，故C正确；
对于D，，，，则，故D正确.故选：BCD.
易错点3 古典概型问题列举样本点时重复或遗漏而出错
易错典题
【例3】（多选）（2026湖南衡阳三中月考）某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对一个选项得2分，选错得0分，已知某小题的标准答案为ABD，甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法正确的是（ ）
A．甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为
B．乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为
C．丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高
D．丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同
【答案】BD
【解析】对于A，甲同学仅仅随机选择一个选项，共有4种结果，分别为A，B，C，D，
其中有3种结果满足要求，分别为A，B，D，故能得2分的概率为，A错误；
对于B，列举可得以下所有可能结果：AB,AC,AD,BC,BD,CD，共6种，其中能得4分的结果有：AB,BD,AD，共3种，故能得4分的概率为,B正确；
对于C，丙同学可以选择两个选项，三个选项和四个选项，共有11种结果，
分别为AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD（易错点），
列举时要做到不重不漏
其中得分的结果有4种，为AB，AD，BD，ABD，故得分的概率为，
由B可知，乙同学仅随机选择两个选项，能得分的概率为，
，故丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率低，C错误；
对于D，丁同学选择至少一个选项，共有15种结果，
分别为A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD（易错点），
其中ABCD这个选项易遗漏
能得2分的结果为A，B，D，故能得2分的概率为，
能得4分的结果为AB，AD，BD，故能得4分的概率为，
丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同，D正确.
【错因分析】在处理古典概型问题列举样本点时要按照一定的顺序,做到不重不漏.有时也可以借助表格和树状图得到样本点.
知识混淆：分不清有序与无序，如 “先后取” 与 “一次性取” 混用.有序需排列，无序只组合，盲目统一列举，极易造成样本点重复或遗漏，导致概率计算错误.
概念模糊：对等可能理解不到位，误以为所有结果概率相同.未验证样本点是否等可能就直接计数，把不等可能事件当成古典概型，样本空间结构出错，结果失真.
望文生义：凭字面意思理解题意，忽略 “至少”“至多”“不重复” 等限制条件.不按规则严谨列举，凭直觉写样本点，要么多算重复情况，要么漏掉关键情形，算错总数与事件数.
避错攻略
【方法总结】在解决这类问题时，首要步骤是确认试验是否符合古典概型的特征.随后，关键在于构建样本空间，这一过程中需特别注意两点：一是样本中的元素是否存在顺序性，因为顺序的不同会构成不同的样本空间；二是取样时是否允许元素重复，即取样是放回还是不放回，这直接决定了样本中元素是否可以重复出现.明确了这两点后，就可以计算出样本空间的总样本点数量，以及所求事件对应的样本点数量，最后利用古典概型的概率计算公式，得出所求事件的概率.
【知识链接】1.古典概型的定义
一般地，若试验具有以下特征：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
2.古典概型的概率公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.
3.古典概型解题步骤
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件；
（3）分别求出基本事件的个数与所求事件中所包含的基本事件个数；
（4）利用公式求出事件的概率．
举一反三
【变式3-1】(2024全国甲文科高考)甲、乙、丙、丁四人排成一列,则丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
【答案】B
【解析】根据题意画出树状图,如图,
共有24种排法,
其中丙不在排头,且甲或乙在排尾的排法共有8种,
故所求概率P==.
【变式3-2】(2023全国甲文科高考)某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
【答案】D
【解析】记高一年级的2名学生分别为a1,a2,高二年级的2名学生分别为b1,b2,从这4名学生中随机选2名学生有以下6种选法:a1a2,a1b1,a1b2,a2b1,a2b2,b1b2.
解法一:2名学生来自不同年级有如下4种选法:a1b1,a1b2,a2b1,a2b2,则所求概率P==.
解法二:设“2名学生来自不同年级为事件A”,则为“2名学生来自同一年级”,包含的情况有a1a2,b1b2共2种,故P()==,所以P(A)=1-P()=1-=.
【变式3-3】（25-26高三上·河南驻马店·期末）甲、乙、丙、丁四名高三毕业生和一名老师站成一排拍照留念，则在甲不站最左端，乙不站最右端的条件下，老师站在最中间的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】甲站在最右端的排法有种，
甲不站两端，乙也不在最右端的排法有：.
所以甲不站最左端，乙不站最右端的排法种数为：种.
甲站在最右端，老师站中间的排法有种，
甲不站两端，乙也不在最右端，老师站中间的排法有：.
所以甲不站最左端，乙不站最右端，老师站在最中间的排法种数为：种.
所以甲不站最左端，乙不站最右端的条件下，老师站在最中间的概率为：.
故选：A
易错点4 对条件概率理解不透彻致错
易错典题
【例4】（25-26高二上·辽宁·期末）某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设“学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升”为事件A，则，，
设“学生肥胖”为事件B，则，，
由全概率公式可得，（易错点）
注意A,B并非相互独立事件
所以若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为.
故选：A
【错因分析】本题容易混淆“交事件概率”与“条件概率”的区别而致错.
知识混淆:把条件概率 P(A∣B) 与交事件概率 P(AB) 混用，分不清 “在 B 发生前提下 A 发生” 和 “A、B 同时发生”，样本空间从全集缩小为 B，却仍用全集计算，公式与分母直接用错.
概念模糊:对条件概率本质理解不清，不知道条件会缩小样本空间，忽略 “前提事件已发生” 这一关键，不会正确使用P(A|B)＝，分子分母对应关系混乱，导致结果偏差.
望文生义:凭字面理解 “条件”，把先后发生、相关联直接当成条件概率，不判断谁是条件、谁是结果，漏看题目限定范围，随意套用乘法公式，样本点与概率比例出错.
避错攻略
【方法总结】解决条件概率问题的步骤
第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率．题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率．若为条件概率，则进行第二步．
第二步，计算概率，这里有两种思路：
思路一 缩减样本空间法计算条件概率，如求P(A|B)，可分别求出事件B，AB包含的基本事件的个数，再利用公式P(A|B)＝计算
思路二 直接利用公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)＝计算
【知识链接】1、条件概率
（1）条件概率的定义：一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．
（2）条件概率的性质
①条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即．
②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为．
③如果与互斥，则．
2、全概率公式
（1）全概率公式：；
（2）若样本空间中的事件，，…，满足：
①任意两个事件均互斥，即，，；
②；
③，．
则对中的任意事件，都有，且
．
3、贝叶斯公式
（1）一般地，当且时，有
（2）定理若样本空间中的事件满足：
①任意两个事件均互斥，即，，；
②；
③，．
则对中的任意概率非零的事件，都有，
且
举一反三
【变式4-1】（25-26高二上·江西鹰潭·期末）小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为黑球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球，则，
由全概率公式可得，
所以.
故选：D
【变式4-2】（25-26高三上·辽宁丹东·阶段练习）已知某条线路上有两辆相邻班次的BRT（快速公交车），若准点到站的概率为，在准点到站的前提下准点到站的概率为，在准点到站的前提下不准点到站的概率为，则准点到站的概率为 .
【答案】
【解析】设事件A为“A准点到站”，时间B为“B准点到站”
依题意，,
而，
而，则，
又，解得，
【变式4-3】（25-26高二上·广西桂林·期末）学校举行羽毛球、乒乓球和跳绳三项比赛，学生甲只能参加其中一项比赛，他参加羽毛球、乒乓球和跳绳比赛的概率分别为0.4、0.3、0.3，若他在羽毛球、乒乓球和跳绳比赛中获得冠军的概率分别为0.6、0.4、0.5，则该生获得冠军的概率为（ ）
A．0.67 B．0.58 C．0.51 D．0.37
【答案】C
【解析】设“参加羽毛球比赛”，“参加乒乓球比赛”，“参加跳绳比赛”，
则.
设“获得冠军”，则.
由全概率公式
.
故选：C.
易错点5 求分布列时忽视了概率之和为1而致错
易错典题
【例5】（2026高三·全国·专题练习）已知离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P 0.36
则常数 ．
【答案】/
【解析】由题意可知：，
即，解得或，
又因为，解得，（易错点）
要注意两点：一是概率之和为1，二是各概率值介于0至1之间
所以常数.
【错因分析】忽视分布列中各概率值的范围，从而致错；忽视概率之和为1，从而缺乏解题思路.
知识混淆:把分布列与单纯列表混淆，只关注取值与对应概率的罗列，不理解分布列必须满足规范性，未检验概率和是否为 1，直接导致结果不符合分布列定义而出错。
概念模糊:对离散型随机变量分布列的两条基本性质记忆不牢，只重视概率计算，忽视 “所有概率非负、总和为 1” 这一核心要求，缺少检验环节，算错概率也无法自查。
望文生义:仅从字面理解 “分布列” 就是把情况列出来，不考虑整体完备性，遗漏部分取值或重复计算概率，未验证总和是否为 1，造成结果不完整、不合法。
避错攻略
【方法总结】1.利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值.
2.利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.
3.可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
【知识链接】1.随机变量
在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示.在这个对应关系下，数值随着试验结果的变化而变化.像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等来表示.
取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
若离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，xn，…，随机变量X取xi的概率为pi(i＝1，2，…，n，…)，记作P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n，…).①
①式也可以列成表，如表：
xi x1 x2 … xn …
P(X＝xi) p1 p2 … pn …
表或①式称为离散型随机变量X的分布列，简称为X的分布列.
3.离散型随机变量分布列的性质
(1)pi＞0(i＝1，2，…，n，…)；
(2)p1＋p2＋…＋pn＋…＝1.
举一反三
【变式5-1】（24-25高二下·重庆渝中·月考）已知离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.3 m n
若，则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【答案】C
【解析】由分布列的性质，可得，即，
因为，所以，即，
解得，.
故选：C．
【变式5-2】（25-26高二上·全国·期末）已知随机变量X的分布列如下，若，则（ ）
X 0 1 2
P m n
A． B．7 C．21 D．22
【答案】C
【解析】由题意可得：，解得，
则，
所以．
故选：C．
【变式5-3】（24-25高二下·广东中山·月考）已知随机变量X的分布列如下表：若，则（ ）
X 0 1 2
P n m
A． B．5 C．7 D．21
【答案】D
【解析】由题意，解得，
所以．
所以．
故选：D
易错点6 混淆二项分布与超几何分布而致错
易错典题
【例6】（25-26高三上·辽宁朝阳·期末）2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整个电影界都为之欢腾，这是中国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章．现随机抽取100位市民，将市民按年龄分为“青年组”和“非青年组”，同时统计是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本观测数据整理如下：
看过 没看过 合计
青年组 30 20 50
非青年组 15 35 50
合计 45 55 100
记表示“抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，其概率为表示“抽取到的市民为非青年组”，其概率为．
(1)给出的估计值；
(2)现从抽取的青年组市民中，按是否看过《哪吒之魔童降世2》用分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中看过《哪吒之魔童降世2》的人数的分布列和数学期望．
【解析】（1）A表示抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》，B表示抽取到的市民为非青年组．
样本容量，没看过电影的总人数55，抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》的频率为，
因此的估计值为，
抽取到的市民为非青年组的总人数50，抽取到的市民为非青年组的频率为，
因此的估计值为.
法一：，
在抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》条件下，抽到的市民为青年组的频率为，
因此的估计值为；
法二：，
在抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》条件下，抽到的市民为青年组的频率为，
因此的估计值为；
（2）按照分层抽样，抽取的5人中看过《哪吒之魔童降世2》的有3人，没看过《哪吒之魔童降世2》的有2人，
则看过《哪吒之魔童降世2》的人数的取值范围为，
由题意，看过《哪吒之魔童降世2》的人数，则，（易错点）
在产品抽取模型中超几何分布是不放回抽取，二项分布是有放回抽取，注意区别
此时，，.
则的分布列为：
X 1 2 3
所以，或．
【错因分析】关键是没看清抽取方式与总体是否已知：二项分布是独立重复试验，超几何是无放回抽样。直接凭题目相似就套公式，不判断模型，导致分布类型与概率计算全错。
知识混淆:把 “有放回 / 独立” 和 “无放回 / 不独立” 混淆，二项分布每次概率不变，超几何概率逐次变化。乱用公式，把二项分布的 Cnk pk 套到超几何，或反过来，结果完全错误。
概念模糊:不理解二者本质区别：二项分布是固定概率重复试验，超几何是有限总体无放回抽取。记不住适用场景，分不清是否已知总体容量与次品数，只会死套公式。
望文生义:看到 “抽取、合格、次品” 就直接判定分布，不看 “放回 / 不放回”“总体是否很大近似独立”，凭字面意思选模型，忽略关键词，导致分布判断失误。
避错攻略
【方法总结】 “二项分布”与“超几何分布”的区别
(1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要.(2)有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理.
【知识链接】1.二项分布
(1)n重伯努利试验
一般地，在相同条件下重复做n次伯努利试验，且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响，称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验.
(2)二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，用X表示这n次试验中成功的次数，且每次成功的概率均为p，则X的分布列可以表示为P(X＝k)＝pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n).
若一个随机变量X的分布列如上所述，则称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B(n，p).
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
①若随机变量X服从参数为p的两点分布，则EX＝p，DX＝p(1－p).
②若X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p).
[微提醒]　两点分布是二项分布在参数n＝1时的特殊情况.
2.超几何分布
(1)定义：一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品，从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}，其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋.
若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布.
(2)超几何分布的均值：当随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，其均值为EX＝.
举一反三
【变式6-1】（25-26高三上·安徽宣城·期末）某社区举办“公益知识闯关赛”，共有100名居民报名参赛，每位参赛者需完成“第一轮基础知识作答”和“第二轮拓展知识比拼”两项任务.已知每位参赛者第一轮基础知识作答成功的概率为，且不同参赛者第一轮成功与否相互独立；若某位参赛者第一轮基础知识作答成功时，他第二轮拓展知识比拼成功的概率为；若他第一轮基础知识作答失败时，第二轮拓展知识比拼成功的概率为，若两项任务均成功，则视为最终闯关成功.
(1)若随机抽取一名参赛居民，求其第二轮拓展知识比拼成功的概率；
(2)记为参赛居民中闯关成功的人数，求的数学期望与方差.
【解析】（1）设事件为“第一轮基础知识作答成功”，事件为“第二轮拓展知识比拼成功”，
由题意可知，，则，
根据全概率公式，第二轮拓展知识比拼成功的概率为：
.
（2）闯关成功需要两项任务均成功，即事件，其概率为：
，
因不同参赛者的第一轮结果相互独立，且第二轮成功概率仅依赖于自身第一轮结果，
故各参赛者的闯关成功事件相互独立，
记为名居民中闯关成功的人数，则，
所以数学期望，
方差：.
【变式6-2】（25-26高三·上海松江·月考）我区举办“中小学生国防知识竞赛”中，随机抽查了100名学生，其中共有4名男生和2名女生的成绩在90分以上，从这6名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次（不放回抽样），记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B．
(1)求，；
(2)若把抽取学生的方式更改为：从这6名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列、数学期望和方差．
【解析】（1）由题设，则，且，，
所以.
（2）由题意，可能值为，且，，，
所以的分布列如下，
0 1 2
则，.
【变式6-3】（25-26高二上·山东德州·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元．
(1)顾客A恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量X．求X的分布列与数学期望；
(2)顾客B消费了1000元．
①顾客B获得返现金额为90元的概率是多少
②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%），则顾客B应选择哪种方案更优惠 （备注：不能同时参加抽奖和打折活动）
【解析】（1）由题意X可能取值为20，30，50，
则，，，
则X的分布列如下表：
X 20 30 50
P
由期望公式可得；
（2）①由题意刚好可以抽三次，获得90元返现的情况为：三次抽奖每次返现金都是30元或者两次20元，一次50元，
则概率为；
②若打九折，需支付金额为：（元）
由（1）知每次抽中的均值为29元，则抽取三次总的均值为：（元），
因为，故打折更划算．
单选题
1．（2025·上海·高考真题）已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【解析】因为相互独立，故，
故选：B.
2．（25-26高三上·湖北武汉·期末）离散型随机变量的取值为．若数列为等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用离散型随机变量分布列的性质，结合等差数列的求和公式和性质，直接求出.
【解析】由离散型随机变量分布列的性质，，
由等差数列性质及前项和公式，
所以，解得，
故选：B.
3．（25-26高二上·浙江杭州·期中）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】记2个红球和3个黄球分别为和，
记为随机试验的样本点，分别表示第一次和第二次摸到的球，
则从中不放回地依次随机摸出两个球的试验的样本空间为，共20个样本点，
记事件“从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球”，
则共6个样本点.
所以.
故选：C
4．（2024·上海·高考真题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（ ）
A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立
C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立
【答案】B
【解析】选项A，事件和事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件与事件不互斥，A错误；
选项B，，，，
，B正确；
选项C，事件与事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C错误；
选项D，，，，
，
与不独立，故D错误．
故选：B．
5．（2025高二上·湖北襄阳·专题练习）口袋里放有大小相等的个白球和个红球，有放回地每次摸取一个球，设为数列的前项和，，则事件“”发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意说明共摸球次，且有次摸到白球，次摸到红球，
所以共有三种情况白，白，红、白，红，白、红，白，白，
由于每次取得白球的概率为，取得红球的概率为，
则．
故选：B
6．（25-26高三上·河南新乡·期末）甲、乙两球队比赛，设事件“甲队主力球员首发”，事件“甲队获胜”，据统计，，，，甲、乙两球队在2026年计划比赛共计12场．设甲队获胜的场数为X，若每场比赛的结果相互独立，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据概率的乘法公式，
得，
根据条件概率公式得，
可得，
由于每场比赛的结果相互独立，
所以甲队获胜的场数，从而．
故选：B．
7．李华在研究化学反应时，把反应抽象为小球之间的碰撞，而碰撞又分为有效碰撞和无效碰撞，李华有3个小球和3个小球，当发生有效碰撞时，，上的计数器分别增加2计数和1计数，，球两两发生有效碰撞的概率均为，现在李华取三个球让他们之间两两碰撞，结束后从中随机取一个球，发现其上计数为2，则李华一开始取出的三个球里，小球个数的期望是（ ）个
A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2
【答案】B
【解析】由，球两两发生有效碰撞的概率均为，
可得两球发生有效碰撞和无效碰撞的可能性相等.
取出三个球后，每两个球之间碰撞一次，则需碰撞次，
每次碰撞均有有效碰撞和无效碰撞两种情况发生，且可能性相等，
所以三个球两两碰撞之后共有种等可能的情况发生.
①若取出的三个球均为球，有种取法，
碰撞之后产生计数为的球的情况有：
每个球之间有效碰撞次，无效碰撞次，计数结果为，有种，1个球计数为2；
每个球之间有效碰撞次，计数结果为，有种，有三个球计数为2；
则符合条件的情况数为.
②若取出的三个球为个球，个球，有种取法，
碰撞之后产生计数为的球的情况有：
，球之间有效碰撞次，无效碰撞次，计数结果为或，有种1，计数为2的球个数分别为1和2；
每个球之间有效碰撞次，计数结果为，有种，计数为2的球个数为2；
则符合条件的情况数为.
③若取出的三个球为个球，个球，有种取法，
碰撞之后产生计数为的球的情况有：
a，a碰撞有效，a，b碰撞无效，计数结果为，有种，计数为2的球个数为2；
a，a碰撞无效，a，b碰撞1次有效1次无效，计数结果为，有种，计数为2的球个数为1；
a，a碰撞无效，a，b碰撞均有效，计数结果为，有种，计数为2的球个数为3；
a，a碰撞有效，a，b碰撞1次有效1次无效，计数结果为，有2种，计数为2的球个数为1；
a，a碰撞有效，a，b碰撞有效，计数结果为，有1种，计数为2的球个数为1；
所以符合条件的情况数为.
④若取出的三个球均为球，有种取法，
碰撞之后产生计数为的球的情况有：
每个球之间有效碰撞次，计数结果为，有种，计数为2的球个数为2；
每个球之间有效碰撞次，计数结果为，有种，计数为2的球个数为2；
符合条件的情况数为.
所以碰撞之后产生计数为的球的情况总数为，
设李华一开始取出的三个球里，球个数为随机变量，
则随机变量所有可能取值的集合是，
，
，
，
，
故的分布列如下表：
数学期望，
所以李华一开始取出的三个球里，球个数的期望是个.
故选：.
8．（2026·贵州·模拟预测）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量所有可能的取值为，且，，定义的信息熵，若，随机变量所有可能的取值为，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】依题意知，，，，…，，
∴，
又，
∴，又，，…，，
∴，∴.
故选：D.
二、多选题
9．（2025·浙江温州·三模）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察它落地时朝上的面的点数，设事件“点数为1或2”，事件“点数为2或3或4”，则（ ）
A．与是互斥事件 B．与是相互独立事件
C． D．
【答案】BD
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A，事件“点数为1或2”，事件“点数为2或3或4”，则“点数为2”，事件，可以同时发生，不是互斥事件，故A错误；
对于B，由于，满足，故与是相互独立事件，故B正确；
对于C，由B可知，故C错误；
对于D，由于与是相互独立事件，所以与，与是相互独立事件，
所以，，则，故D正确．
故选：BD．
10．（25-26高二上·江西九江·期末）已知随机变量的分布列如下，则（ ）
0 1 2
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】对于A，由分布列的性质可知：，解得，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，
，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：AD.
11．（25-26高三上·河北衡水·期末）某实验室设计了一种数据纠错系统，该系统由若干个串联的纠错单元组成.记第个纠错单元的输入数据为1的概率为，其中.第个纠错单元会独立重复地采集次输入信号，每次为的概率均为，若这次采集中，至少有次检测为，则该单元输出，否则该单元输出.第个单元的输出作为第个单元的输入.已知且，则（）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
【答案】ACD
【解析】对于A，设次采集中为的次数为，则服从二项分布，
单元输出为的条件是“至少有次检测为”，即取值为2或3，
则，也即，故A正确；
对于B，设，则，
故，若B正确，即，
则，即要求，
则必须有，矛盾，故B错误；
对于C，，则，
故．
易知时恒成立，故当时，，故C正确；
对于D，即验证，也即，由于，
等价于，也即，显然成立，故D正确
故选：ACD
三、填空题
12.（2025·湖北高三上·期中联考）设随机变量的概率分布为，a为常数，，则 ．
【答案】4
【分析】由概率之和为1以及数列求和公式即可求解.
【解析】由题意知：随机变量的所有可能取值的概率和为1，
即，
则，
由无穷等比递缩数列的求和公式，得，
所以，得.
13．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为 ；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望
【答案】
【解析】设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件，设第二次跑5圈为事件，
则；
设运动量达标为事件，，
所以，；
14．（2025·全国一卷·高考真题）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望 .
【答案】/
【解析】法一：依题意，的可能取值为1、2、3，
总的选取可能数为，
其中：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式，
故，
：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次），
选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式，
其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种，
故，
：三种不同球被取出，
由排列数可知事件的可能情有况种，
故，
所以
.
故答案为：.
法二：依题意，假设随机变量，其中：
其中，则，
由于球的对称性，易知所有相等，
则由期望的线性性质，得，
由题意可知，球在单次抽取中未被取出的概率为，
由于抽取独立，三次均未取出球的概率为，
因此球至少被取出一次的概率为：，
故，
所以.
故答案为：.
四、解答题
15．（2026·上海·春季高考真题）某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下：
年龄 剪纸 摄影 画画 人数
8 45
10 55
6 50
(1)现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在岁的有多少人？
(2)该兴趣班150人的平均年龄是多少？
(3)现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在为事件，记抽到学员爱好摄影为事件.事件与是否独立？请说明理由.
【解析】（1）年龄段占总体比例为： ，则抽取人数为：；
（2）由题可得人的平均年龄为：；
（3）由题可得，，，
注意到，则事件A与事件B不相互独立.
16．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
赔偿次数 0 1 2 3 4
单数
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望；
（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明）
【解析】（1）设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，
由题设中的统计数据可得.
（2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取，
由题设中的统计数据可得，
，，
，
故
故（万元）.
（ⅱ）由题设保费的变化为，
故（万元），
从而.
17．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
【解析】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，
比赛成绩不少于5分的概率.
（2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，
若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，
，
，
，应该由甲参加第一阶段比赛.
(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，
，
，
，
，
记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，
同理
，
因为，则，，
则，
应该由甲参加第一阶段比赛.
18．（25-26高三上·山东临沂·期末）某选手参加一项人工智能机器人PK比赛，规则如下：该选手的初始分为20分，每局比赛，该选手胜加10分；平局不得分；负减10分．当选手总分为0分时，挑战失败，比赛终止；当选手总分为30分时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛选手胜、平、负的概率分别为，且各局比赛相互独立.
(1)求两局后比赛终止的概率；
(2)在3局后比赛终止的条件下，求选手挑战成功的概率；
(3)在挑战过程中，选手每胜1局，获奖5千元．记局后比赛终止且选手获奖1万元的概率为，求的最大值.
【解析】（1）设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件，
设“两局后比赛终止”为事件，
因为棋手与机器人比赛局，所以棋手可能得分或30分比赛终止．
（i）当棋手得分为分，则局均负，即；
（ii）当棋手得分为30分，则局先平后胜，即．
因为、互斥，所以
．
所以两局后比赛终止的概率为．
（2）设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件．
因为
，
．
所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为
．
所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为．
（3）因为局获奖励万元，说明甲共胜局．
（i）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜，
且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种，
（ii）当棋手第局以30分比赛终止，说明前局中有负胜，
且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种，
则“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率
，．
所以．

因为，所以，
所以，所以单调递减，
所以当时，取最大值为.
19．（25-26高三上·四川成都·期末）错排问题源于伯努利和欧拉研究的“装错信封问题”.设将编号为的个小球放入编号为的个盒子中（每盒恰放一球），若恰有个小球不在其对应编号的盒子中（即“错放”），则称这种情况数为错排数，其中编号为的小球对应编号为的盒子.，规定.
(1)直接写出的值；
(2)设，证明数列是等比数列；
(3)在高考英语中，“七选五”是一种常见题型.题目给出一篇缺少5个句子的短文，要求考生从文后的7个选项中选出5个最佳选项，填入文中空缺处，使文章完整 语义连贯.某考生由于平时不重视英语学习，于是在做此类题时采用“蒙题”的策略：5个空完全随机作答（选项不重复）.记蒙题答对的题数为随机变量，求的分布列和数学期望.
【解析】（1）可以排在上，有种排法，
当的位置确定后，剩下两个元素只有1种排法，
所以．
可以排在上，有种排法，
不妨设排在上，接下来讨论，
当排在上时，剩下两个元素的排法有（种）；
当不排在上时，可以排在上，有种情况；
若排在上，剩下两个元素只有1种排法；
所以．
（2）当时，对于，不妨从1号球开始放置，
设1号球放在号盒子中，有种放法，接下来讨论号球：
①当号球放在1号盒子中时，剩下，
共个球分别不在号盒子中，共有种放法.
②当号球不放在1号盒子中时，
因为号球分别不在号盒子中，
所以共个小球分别不在号盒子中，
共有种放法.
，
即，
，
，
又满足上式，数列首项为1，公比为的等比数列.
（3）由题意知.
，，
，
，
，
法一：不妨设第1到5位置正确答案为，
表示不在对应位置不在对应位置不在对应位置不在对应位置不在对应位置5，分三类：
1）若填入答案不含，则此时有，则共有44种；
2）若填入答案只含中的一个，即从中选4个，共有种选法，
不妨设选的是，先考虑的放置情况.如果填在位置5，此时有；
如果不填在位置5，此时有，则共有种；
3）若填入答案同时含有，即从中选3个，共有种选法，
不妨设选的是，考虑的在位置4和不在位置4.如果填在位置4，
再考虑是否在位置5，若是在位置5，此时有；
若是不在位置5，此时有.
如果不填在位置4，再考虑是否在位置5，若是在位置5，此时有；
若是不在位置5，此时有.
则共有种，
时，即“七选五”全部选错的排列数为种，
，
法二：，
故的分布列为：
0 1 2 3 4 5
.
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