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专题14 直线与圆的最值与范围问题
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高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 与距离相关的最值与范围问题（） 题型二 与斜率、截距及代数式几何意义相关的最值与范围问题（） 题型三 与直线与圆位置关系相关的最值与范围问题（） 题型四 与圆的参数方程相关的最值与范围问题（） 题型五 与隐形圆、轨迹相关的最值与范围问题（） 实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）
高考中以选择题、填空题为主，部分试卷会在解答题中作为第一问或关键步骤考查，分值 5-12 分。
基础知识必备： 直线相关：掌握倾斜角与斜率的关系、五种直线方程形式（点斜式、斜截式等），熟练运用两点间距离、点到直线距离及平行线间距离公式。圆的相关：牢记圆的标准方程与一般方程，理解一般方程表示圆的充要条件（），掌握圆心和半径的求解公式。位置关系：能通过代数法（判别式）和几何法（距离与半径关系）判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
2026高考预测：命题趋势：侧重综合化考查，常结合函数、不等式、向量等知识点，聚焦最值与范围问题的核心逻辑。 创新方向：可能出现含参数的动态直线与圆问题，或结合实际场景的几何建模题，强调数形结合能力和分类讨论思想。
重难知识汇总：距离最值问题：圆上点到定直线、定点的距离最值（核心逻辑：圆心到直线 / 定点距离 ± 半径）；两圆间的最短 / 最长距离。参数范围问题：含参数直线与圆有公共点时的参数取值范围；圆的方程中参数的范围求解（结合圆的定义）。面积最值问题：直线截圆所得弦长相关的三角形面积最值；两圆相交时公共弦相关的面积范围。综合最值问题：与圆上点坐标相关的函数最值（如型线性规划、斜率型最值）。
常用技巧方法：几何法：优先利用圆的几何性质，通过圆心到直线的距离、圆心距与半径的关系转化问题，减少计算量。代数法：联立直线与圆的方程，利用判别式判断交点个数，求解参数范围；通过函数配方求最值。参数法：将圆上点坐标转化为参数形式（，），转化为三角函数最值问题。不等式法：利用均值不等式、柯西不等式求解与距离、面积相关的最值。
易错避坑提效：公式应用误区：避免混淆圆的一般方程圆心坐标（误记为）、弦长公式漏写系数 2（正确公式）。特殊情况遗漏：过圆外一点作切线时，需先讨论斜率是否存在，避免漏解垂直于 x 轴的切线。隐含条件忽视：求解参数范围时，不忘圆的定义限制（如圆上点的横纵坐标取值范围）；两圆求公共弦方程前，先判断是否相交。计算失误规避：优先选择几何法减少代数运算，利用图形直观验证结果；含参数问题分类讨论时，明确参数分界点。
题型一 与距离相关的最值与范围问题
方法点拨：核心依据：“两点之间线段最短”“点到直线的距离，垂线段最短” 两大几何公理。 动态问题处理：先找定点（如动直线过定点）或动点轨迹（如隐形圆），将动态距离转化为定点到轨迹的距离问题。 圆相关距离最值：若直线与圆相离，圆上点到直线的距离最值为 “圆心到直线距离 ± 半径”；圆上点到圆外定点的距离最值为 “定点到圆心距离 ± 半径”。
【典例01】（2025·江苏南京·二模）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点到直线的距离为，则的取值范围为 .
【答案】
【知识点】轨迹问题——圆、求点到直线的距离、直线过定点问题
【分析】先分析两条直线经过的定点，得出的坐标，根据两直线的位置关系分析可得的运动轨迹是挖去一点的圆，然后判断出直线和圆相切，从而得解.
【详解】动直线 过定点 ，
动直线 即 过定点 .
因为，所以直线与直线垂直，
又直线的斜率一定存在，
注意到时，满足，但此时直线垂直轴，斜率不存在，
故点在以为直径的圆上（去除点），
圆心为 ，半径 ，
圆心到直线 的距离为
所以圆与直线 相切（切点不是点），的最小值为0；
圆的直径，且点到直线 的距离为，所以，
即的取值范围为 .
故答案为：
【典例02】（2025·云南昭通·模拟预测）已知向量满足，记，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的模长公式可得，进而建立直角坐标系，根据坐标运算可得点的轨迹，进而根据点到直线的距离公式求解.
【详解】因为，所以．又，
所以，解得．因为，
所以．
建立如图所示的直角坐标系，
设，
因为，所以，整理得，
即点的轨迹是：圆心为，半径为2的圆．
设，则点在直线上运动，则，
令点到直线的距离为，则，无最大值，
故选：B．
【变式01】（2025·安徽·模拟预测）已知点，为圆上两点，，点为线段的中点，点为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】A
【知识点】轨迹问题——圆、求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）
【分析】先根据垂径定理得出，即可得出点的轨迹为圆，则问题转化为求圆上的动点到定直线的距离的最小值.
【详解】圆的圆心坐标为，半径，
因为点为线段的中点，，
则，
所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
点在直线上，
可得圆心到直线的距离，
所以的最小值为.
故选：A

【变式02】（2025·广东深圳·模拟预测）(多选题)已知点，，点在圆：上运动，则（ ）
A．直线与圆相离 B．的面积的最小值为
C．的最大值为 D．当最小时，
【答案】ACD
【分析】由已知，圆心为，半径为，直线的方程为即，利用点到直线的距离公式可判断；根据三角形的面积公式，结合圆的性质即可判断；利用圆的性质可判断；根据直线与圆相切和勾股定理可判断．
【详解】
对于A，已知点，，点在圆：上运动，
则圆心为，半径为，直线的方程为即，
则圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，故A正确；
对于B，因为，点到直线的距离的最小值为，则面积的最小值为，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，当最小时，直线与圆相切，此时，故D正确．
故选：ACD．
【变式03】（2025·云南·三模）(多选题)已知点，，点P在圆上运动，则（ ）
A．直线AB与圆C相离 B．的面积的最小值为
C．的最大值为6 D．当最小时，
【答案】ACD
【分析】求得直线AB的方程为，得到圆心C到直线AB的距离，可判定A正确；由，点P到直线AB的距离的最小值为，结合三角形的面积公式，可判定B错误；根据，可判定C正确；当最小时，得到直线PB与圆C相切，结合切线长公式，可判定D正确.
【详解】对于A中，由点，，点P在圆上运动，
则圆心为，半径为2，直线AB的方程为，
则圆心C到直线AB的距离，所以直线AB与圆C相离，所以A正确；
对于B中，因为，点P到直线AB的距离的最小值为，
则面积的最小值为，所以B错误；
对于C中，由，所以C正确；
对于D中，当最小时，直线PB与圆C相切，此时，所以D正确.
故选：ACD．
题型二 与斜率、截距及代数式几何意义相关的最值与范围问题
方法点拨：代数式几何化转化：形如转化为圆上点与定点连线的斜率；
形如转化为两点间距离；形如转化为直线的纵截距（或横截距）。临界条件求解：利用圆的切线性质，结合点到直线距离公式建立不等式或方程，求解斜率、截距的范围。注意斜率不存在（倾斜角为 90°）的特殊情况。
【典例01】（2025·安徽马鞍山·一模）设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围、直线过定点问题
【分析】由直线方程可判断直线的斜率和经过的定点，结合题意作图，需使成立，解之即得.
【详解】由可知直线的斜率为，且经过定点，
由点，可得直线的斜率分别为：，
作图如下，由图知，要使直线与线段没有公共点，
需使，解得.
故选：C.
【典例02】（2025·福建泉州·模拟预测）已知直线与圆交于不同的两点A，B，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据存在最小值分析出，再根据最小值不大于列出关于r的不等式即可求解．
【详解】将直线方程变形为，则可知直线恒过定点，
圆的圆心，则，
若，则直线可和圆O相切，如图所示，此时A、B重合，若直线与圆O交于不同的两点A，B，
则可不断趋于0，不存在最小值，与题意不符，故，
即P在圆O内，直线与圆O一定交于两点A、B，此时对于任意给定的半径r，
根据圆的性质，当时，弦AB最短，最小，此时弦长，
在中，，当时，为等边三角形，此时，
由题意，已知最小值不大于，则最小值对应的弦AB满足，
即，解得，
综上所述，．
故选：C．
【变式01】（2025·湖南·一模）已知点为直线上的一个动点，为圆上任意两个不重合的点，记的最小值为的最大值为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求点到直线的距离、二倍角的余弦公式、判断直线与圆的位置关系
【分析】根据题意分析得当，分别为圆的切线，且最小时，最大，此时最小，再利用二倍角公式即可得，再根据最大时为钝角，所以的最大值为1，即.即可得.
【详解】由题意得的标准方程为，所以圆心，半径为2，
如图：

所以圆心到直线的距离为，所以直线与相离，
所以当分别为圆的切线，且最小时，
最大，又，则最大，
所以最大，此时最小，
此时．
显然的最大值为1，故．
故选：A
【变式02】（2025·河南南阳·模拟预测）已知，，，动点满足，若，则直线（为原点）斜率的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】设，由题分析可知点为的中点，得，根据化简可得，从而可知点在以为圆心，为半径的圆上.根据直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，数形结合即可求解.
【详解】设，由，，得点为的中点，则.
又，，则，，
因此，即，
点在以为圆心，为半径的圆上，
设直线OM（O为原点）斜率为，
由图知当直线OM与圆相切时，直线OM的斜率取得最大值，此时，
则圆心到直线OM的距离等于半径，即，解得或，
所以直线OM（O为原点）斜率的最大值为.
故选：B
【变式03】（2025·重庆·二模）过点 的直线与曲线 有公共点，则直线的斜率的最大值为 .
【答案】
【分析】把曲线方程变形，设出过点且与圆的一部分，相切的直线的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径求得答案．
【详解】由曲线，得，
作出图象如下：
设过点且与半圆相切的直线的斜率为，
则直线方程为，即．
由，解得或（舍去），
直线的斜率的最大值为．
故答案为：
题型三 与直线与圆位置关系相关的最值与范围问题
方法点拨：弦长最值：过圆内定点的弦，最长弦为直径，最短弦为与定点和圆心连线垂直的弦（弦长公式：，d为圆心到直线距离）。切线长最值：圆外一点到圆的切线长（d为点到圆心距离），最值转化为d的最值。位置关系临界：直线与圆相切时圆心到直线距离，是求解参数范围的核心临界条件。
【典例01】（25-26高三上·贵州·月考）已知圆的方程为，过点的直线与圆交于不同的两点，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先判断的位置，然后判断出时有最小值，结合几何关系计算出结果.
【详解】因为，所以在圆内，
记圆心为，由条件可知，圆心，半径，
记圆心到直线的距离为，所以，
当取最大值时，有最小值，
当时，取最大值，
(理由：当时，，当与不垂直时，设，则，
在中，显然，所以)
此时，，
所以的最小值为，
故选：C.
【典例02】（25-26高三上·四川南充·月考）直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的最大值是（ ）
A． B． C．6 D．4
【答案】C
【分析】先求得的长，再求得圆心到直线距离，再求得点到直线的距离的范围，故可得面积的取值范围，结合选项可得答案．
【详解】直线分别与轴，轴交于，两点，
，，则，
点在圆上，
圆心为，则圆心到直线距离，
故点到直线的距离的范围为，
则．所以面积的最大值是
故选：C．
【变式01】（2025高三·全国·专题练习）过点的直线l交圆C：于A，B两点，若，垂足为Q，则点Q到直线的最大距离为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】求出圆的圆心和半径，证明在圆内，证明Q是AB的中点，分直线l的斜率不存在时和直线l的斜率存在两种情况结合向量即可求解.
【详解】
易知圆C：的圆心为，半径，
又，
所以在圆内，因为，垂足为Q，
由垂径定理可知Q是AB的中点，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，
易得此时圆心C与Q重合，不符合题意，
由可得，
设点，则，，
所以，
即，
故点Q的轨迹方程为（除点外），
圆心到直线的距离为，
则点Q到直线的最大距离为．
故选：D.
【变式02】（2025高三·全国·专题练习）设，圆M：．若动直线：与圆M交于点A，C，动直线：与圆M交于点B，D，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知，经过定点且互相垂直，再由圆的弦长公式得，再用基本不等式即可得最大值.
【详解】由题知圆M的方程为，圆心，半径．
可化为，可知经过定点，同理可得也经过定点.
又，所以，即，经过定点且互相垂直，如图，
设AC和BD中点分别为F，G，可知四边形EFMG为矩形．
设，则，结合，，
可得，所以,
，
当且仅当，即时取等号．
综上所述，当时，取得最大值．
故选：B.
【变式03】（2025高三下·全国·专题练习）过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为．则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设点，求出设点，由点到直线的距离求出圆心到直线的距离，再由结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】设点，则直线的方程为，
（注：由圆外一点向该圆引两条切线，切点分别为，则直线的方程是），
化简可得：，
所以圆心到直线的距离为：
所以
，
当时，的最小值为.
故选：C.
题型四 与圆的参数方程相关的最值与范围问题
方法点拨：参数化转化：圆的标准方程化为参数方程（为参数），将最值问题转化为三角函数最值问题。三角恒等变换：利用辅助角公式求最值，注意参数的取值范围。适用场景：含二元二次约束条件的代数式最值（如、xy、等）
【典例01】（24-25高三下·河南开封·开学考试）已知点，点为圆上一动点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，可求出的表达式，利用换元法，结合三角函数辅助角公式以及三角函数性质即可求得答案.
【详解】因为点为圆上一动点，故设，
则，
令，则，
即，则，
其中为辅助角，，
则，整理得，
故的最大值为，
故选：A
【典例02】（2025·广东揭阳·三模）已知动点P到坐标原点O，x轴，y轴的距离之和为2，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，设出点坐标，写出距离代数式，列出方程，根据圆的标准方程，使用三角函数替换点横纵坐标，根据角的范围，求出结果.
【详解】设点，由题意可得，
不妨令，取，，其中，，
则，故，
由可知，故，的取值范围是.
故选：B.
【变式01】（24-25高三上·云南昆明·期中）已知，，三点，点在圆上运动，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据圆的标准方程写出点的参数方程坐标，分别计算，再合并即得，最后利用余弦函数的值域即可求得其范围.
【详解】依题意，设点，
则
故
，
因，故易得.
故选：A.
【变式02】（24-25高三下·江苏徐州·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，求出的坐标，再由平面向呈的坐标运算结合三角函数的有界性计算即可求得.
【详解】如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，
则，
则以AB为直径的半圆为，
因为动点P在以AB为直径的半圆上，所以，
所以，
所以
，
因为，所以，
所以，即的取值范围为.
故选：B

【变式03】（24-25高三下·浙江·月考）若存在实数使得，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】首先利用三角函数化简已知，转化为，利用两点间距离公式构造几何意义，求距离差的最大值，再根据存在问题求的取值范围.
【详解】因为 ，
设，，，令，
则，
又易知，点在圆上，如图所示，
则，又，故的最大值为，
因为存在实数使得
所以 ，即 ，
故答案为：.
题型五 与隐形圆、轨迹相关的最值与范围问题
方法点拨：隐形圆识别：由垂径定理（如AB为圆的弦，M为中点，则，M的轨迹为圆）；由阿波罗尼斯圆（动点到两定点距离比为定值，轨迹为圆）；由圆幂定理、向量条件等推导轨迹方程。最值转化：将复杂最值问题转化为 “圆上点到定点 / 定直线的距离最值”，再利用圆的性质求解。对称转化：涉及直线两侧点的距离和 / 差最值，利用点关于直线的对称点转化为共线距离问题。
【典例01】（2025高三上·甘肃兰州·专题练习）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为．已知椭圆的焦点在x轴上，为椭圆E上任意两点，动点P在直线上．若恒为锐角，则椭圆E离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析可知，直线与圆相离，利用直线与圆的位置关系可求出的取值范围，再结合椭圆离心率公式可求得椭圆的离心率.
【详解】由题意可知，圆即为椭圆蒙日圆，
因为、为椭圆上任意两点，动点满足恒为锐角，
则点在圆外，
又因为动点在直线上，
则直线与圆相离，
所以，解得，
则，即，
因此，椭圆的离心率的取值范围是.
故选：D.
【典例02】（2025·广东清远·二模）已知抛物线的方程为，直线与交于，两点，，两点分别位于轴的上下两侧，且，其中为坐标原点．过抛物线的焦点向作垂线交于点，动点的轨迹为，则的方程和直线斜率的最大值分别为（ ）
A．（除去点）， B．（除去点），
C．， D．，
【答案】B
【分析】先由题设，，利用求出，接着设直线的方程为，利用韦达定理求出直线l方程和方程所过定点即可得动点的轨迹和直线斜率最大值时的情况，进而可求解.
【详解】由题可设，，则，解得或者（舍），
设直线的方程为，与抛物线方程联立得，
所以，故，故直线的方程为，
所以直线过定点，
又因为，由圆的定义可知动点的轨迹是以为直径的圆，
因为中点坐标为，
所以点的轨迹方程为（除去点），
过原点的直线和在第一象限内相切时，斜率最大，
所以直线斜率的最大值为．
故选:B
【变式01】（2025·内蒙古赤峰·一模）在平面内，两定点、之间的距离为，动点满足，则点轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，设点，根据求出点的轨迹方程，结合圆的周长公式可求得结果.
【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则点、，
设点，由可得，
整理可得，化为标准方程得，如下图所示：
所以，点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，
因此，点轨迹的长度为.
故选：A.
【变式02】（2025·河北保定·模拟预测）已知点，点满足，记的轨迹为，则（ ）
A．是半径为的圆
B．C与圆有一个交点
C．与直线有两个交点
D．与圆围成图形的面积为
【答案】B
【分析】对A，求出圆的方程可判断；对B，利用两圆的圆心距和半径的关系，判断两圆的位置关系可判断；对C，求出圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系得解；对D，易知围成图形为同心圆围成的圆环求解判断.
【详解】对于A，设，由，得，
整理得，所以圆的方程为，圆心为，半径为1，故A错误；
对于B，圆可化为，
圆心为，半径为2，
两圆的圆心距等于半径之差的绝对值，
所以与圆内切，故B正确；
对于C,又的圆心到直线的距离为，
所以圆与直线相切，故C错误；
对于D，易知与圆围成图形为同心圆围成的圆环，
所以其面积为，故D错误.
故选：B.
【变式03】（24-25高三下·四川成都·月考）(多选题)如图所示，正方体棱长为2，正方形内（不含边界）一动点P在运动过程中始终满足．下列说法中正确的为（ ）
A．存在点P使得 B．直线与点P的轨迹有公共点
C．点P运动轨迹长为 D．三棱锥体积最大值为
【答案】AC
【分析】根据给定条件，在平面内建立直角坐标系，求出点P的轨迹，再逐项分析判断即可.
【详解】以点为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系，
则，设，由，得，
整理得，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在正方形内部的圆弧，
对于A，若，则点在以为直径的圆上，
由，解得，点满足条件，A正确；
对于B，直线，圆心到直线的距离，则与圆无公共点，B错误；
对于C，射线交圆于点，，，
，即圆弧所对圆心角为，弧长为，C正确；
对于D，由平面平面，得点到直线的距离即为三棱锥底面上的高，
而，，因此三棱锥体积无最大值，D错误.
故选：AC
（限时训练：15分钟）
1． （24-25高三下·北京·月考）已知圆 点P在直线上运动，直线PA，PB与圆C相切，切点为A，B，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2 B．最小时，弦AB所在直线的斜率为
C．最小时，弦AB长为 D．四边形面积的最小值为
【答案】C
【分析】根据圆的几何性质和切线的条件，结合点到直线距离得出切线长最小值判断A，根据四边形面积计算判断D，C，再根据直线垂直计算得出斜率判断B.
【详解】圆心为 ，半径为.点 满足 ，即 .
设切线方程为 和 ，由圆的切线性质可知， 的最小值，出现在 最小时.
此时圆心到直线距离为：，
代入得 ，A选项错误；
四边形面积的最小值为，D选项错误；
四边形面积的最小值为，所以，C选项正确；
当最小时，，直线的斜率为，
因为此时，所以，弦AB所在直线的斜率为，B选项错误.
故选: C.
2．（24-25高三上·山东济南·期末）已知直线l经过点，则“直线l的斜率为”是“直线l与圆C：相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由题求得过且与圆相切的直线方程，即可判断命题关系
【详解】由题，圆是圆心为，半径为的圆，
当直线的斜率不存在时，直线方程为，
此时圆心到直线距离为1，不等于半径，与圆不相切不符合；
当直线的斜率存在时，设直线为，化为一般式即，
则圆心到直线距离为，解得,
所以“直线的斜率为”是“直线与圆相切”的充要条件,
故选：C.
3. （25-26高三上·北京·月考）已知直线：与圆：相交于，两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出直线恒过的定点，由几何法可知当时，最小，用勾股定理求出。
【详解】直线恒过定点，
当时，圆心到直线的距离最大值为，
此时取得最小值,根据勾股定理：.
故选：A.
4. （25-26高三上·广东·月考）已知两点，点在圆上运动，则的最大值与最小值之和为（ ）
A．36 B．60 C．72 D．80
【答案】C
【分析】设，利用两点间距离公式求出，利用余弦函数的范围求出的最大值和最小值，从而得到所求.
【详解】由点在圆上运动，设，
，
，
的最大值为， 最小值为，
的最大值与最小值之和为.
故选：C.
5.（2025·江苏徐州·模拟预测）(多选题)已知圆，P为圆O上的动点，则（ ）
A．圆心O关于直线AB的对称点为
B．动点P到直线AB的距离最大值为
C．以AB为直径的圆与圆O有2条公切线
D．分别过A，B两点所作的圆O的切线长相等
【答案】AC
【分析】求出直线的方程，求出对称点坐标判断A；利用圆的性质求出最大距离判断B；确定两圆位置关系判断C；求出切线长判断D.
【详解】直线的斜率，直线的方程为，
对于A，设圆心关于直线对称点为，则，解得，A正确；
对于B，圆心到直线的距离，因此动点P到直线AB的距离最大值为，B错误；
对于C，，线段中点，则，以AB为直径的圆半径为，
而圆半径为，且，即以AB为直径的圆与圆O相交，有2条公切线，C正确；
对于D，过点作圆的切线长为，过点作圆的切线长为，D错误.
故选：AC
6．（23-24高三上·黑龙江牡丹江·期中）已知点在圆上，则的最大值是( )
A． B．10 C． D．
【答案】D
【分析】把圆化为标准方程，令，，利用两角和的正弦公式化简的解析式，再利用正弦函数的最值求得的最大值．
【详解】点在圆上，即点在圆上，
令，，则，
故的最大值为﹒
故选：D．
7．（2025·辽宁沈阳·二模）(多选题)在平面内，存在定圆和定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，关于点轨迹叙述正确的是（ ）
A．当点与圆心重合时，点的轨迹为圆
B．当点在圆内且不与圆心重合时，点的轨迹为椭圆
C．当点在圆上时，点的轨迹为抛物线
D．当点在圆外时，点的轨迹为双曲线
【答案】ABD
【分析】由点是线段的中垂线与直线的交点，可得.对点的位置分类讨论，利用线段垂直平分线的定义与性质、圆的性质及圆锥曲线的定义逐项判断即可.
【详解】设圆的半径.
当点与圆的圆心重合时，线段的中垂线与直线的交点即为的中点，
此时，因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故选项A正确；
当点在圆内且非圆心时，如图所示.
∵点是线段的中垂线与直线的交点，，，
（其中为圆的半径），∴点的轨迹为椭圆，故选项B正确；
当点在圆上时，如图所示，根据圆的性质可知线段的中垂线与直线的交点即为圆心，轨迹为一个点，故选项C错误；
当点在圆外时，如图所示.
∵点是线段的中垂线与直线的交点，
，，或，
∴或（其中为圆的半径），即，
∴点的轨迹为双曲线，故选项D正确.
故选：ABD.
8．（2025·四川雅安·二模）(多选题)已知点，，动点满足，记点的轨迹为曲线，则下列说法中正确的是（ ）
A．曲线的方程为
B．的最大值为6
C．点到直线的距离的最大值为2
D．设直线与曲线的另一个交点为，则
【答案】ABD
【分析】设动点，根据题设列方程化简即可判断A；结合圆的几何性质判断BC；分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论求解，进而判断即可.
【详解】对于A，设动点，则由，
得，
化简得：，即，故A正确；
对于B，点的轨迹为以为圆心，半径的圆，
则，所以的最大值为，故B正确；
对于C，要使点到直线的距离最大，则直线与圆相切，
设此时直线的方程为，即，
则，解得，
则直线与圆相切时，
直线的方程为，即，
此时点到直线的距离为，
则点到直线的距离的最大值为，故C错误；
对于D，当直线的斜率不存在时，满足；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，
联立，得，
则，
则
，
所以直线与直线的倾斜角互补，则，故D正确.
故选：ABD.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题14 直线与圆的最值与范围问题
目录
高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 与距离相关的最值与范围问题（） 题型二 与斜率、截距及代数式几何意义相关的最值与范围问题（） 题型三 与直线与圆位置关系相关的最值与范围问题（） 题型四 与圆的参数方程相关的最值与范围问题（） 题型五 与隐形圆、轨迹相关的最值与范围问题（） 实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）
高考中以选择题、填空题为主，部分试卷会在解答题中作为第一问或关键步骤考查，分值 5-12 分。
基础知识必备： 直线相关：掌握倾斜角与斜率的关系、五种直线方程形式（点斜式、斜截式等），熟练运用两点间距离、点到直线距离及平行线间距离公式。圆的相关：牢记圆的标准方程与一般方程，理解一般方程表示圆的充要条件（），掌握圆心和半径的求解公式。位置关系：能通过代数法（判别式）和几何法（距离与半径关系）判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
2026高考预测：命题趋势：侧重综合化考查，常结合函数、不等式、向量等知识点，聚焦最值与范围问题的核心逻辑。 创新方向：可能出现含参数的动态直线与圆问题，或结合实际场景的几何建模题，强调数形结合能力和分类讨论思想。
重难知识汇总：距离最值问题：圆上点到定直线、定点的距离最值（核心逻辑：圆心到直线 / 定点距离 ± 半径）；两圆间的最短 / 最长距离。参数范围问题：含参数直线与圆有公共点时的参数取值范围；圆的方程中参数的范围求解（结合圆的定义）。面积最值问题：直线截圆所得弦长相关的三角形面积最值；两圆相交时公共弦相关的面积范围。综合最值问题：与圆上点坐标相关的函数最值（如型线性规划、斜率型最值）。
常用技巧方法：几何法：优先利用圆的几何性质，通过圆心到直线的距离、圆心距与半径的关系转化问题，减少计算量。代数法：联立直线与圆的方程，利用判别式判断交点个数，求解参数范围；通过函数配方求最值。参数法：将圆上点坐标转化为参数形式（，），转化为三角函数最值问题。不等式法：利用均值不等式、柯西不等式求解与距离、面积相关的最值。
易错避坑提效：公式应用误区：避免混淆圆的一般方程圆心坐标（误记为）、弦长公式漏写系数 2（正确公式）。特殊情况遗漏：过圆外一点作切线时，需先讨论斜率是否存在，避免漏解垂直于 x 轴的切线。隐含条件忽视：求解参数范围时，不忘圆的定义限制（如圆上点的横纵坐标取值范围）；两圆求公共弦方程前，先判断是否相交。计算失误规避：优先选择几何法减少代数运算，利用图形直观验证结果；含参数问题分类讨论时，明确参数分界点。
题型一 与距离相关的最值与范围问题
方法点拨：核心依据：“两点之间线段最短”“点到直线的距离，垂线段最短” 两大几何公理。 动态问题处理：先找定点（如动直线过定点）或动点轨迹（如隐形圆），将动态距离转化为定点到轨迹的距离问题。 圆相关距离最值：若直线与圆相离，圆上点到直线的距离最值为 “圆心到直线距离 ± 半径”；圆上点到圆外定点的距离最值为 “定点到圆心距离 ± 半径”。
【典例01】（2025·江苏南京·二模）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点到直线的距离为，则的取值范围为 .
【典例02】（2025·云南昭通·模拟预测）已知向量满足，记，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式01】（2025·安徽·模拟预测）已知点，为圆上两点，，点为线段的中点，点为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【变式02】（2025·广东深圳·模拟预测）(多选题)已知点，，点在圆：上运动，则（ ）
A．直线与圆相离 B．的面积的最小值为
C．的最大值为 D．当最小时，
【变式03】（2025·云南·三模）(多选题)已知点，，点P在圆上运动，则（ ）
A．直线AB与圆C相离 B．的面积的最小值为
C．的最大值为6 D．当最小时，
题型二 与斜率、截距及代数式几何意义相关的最值与范围问题
方法点拨：代数式几何化转化：形如转化为圆上点与定点连线的斜率；
形如转化为两点间距离；形如转化为直线的纵截距（或横截距）。临界条件求解：利用圆的切线性质，结合点到直线距离公式建立不等式或方程，求解斜率、截距的范围。注意斜率不存在（倾斜角为 90°）的特殊情况。
【典例01】（2025·安徽马鞍山·一模）设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例02】（2025·福建泉州·模拟预测）已知直线与圆交于不同的两点A，B，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式01】（2025·湖南·一模）已知点为直线上的一个动点，为圆上任意两个不重合的点，记的最小值为的最大值为，则（　　）
A． B． C． D．
【变式02】（2025·河南南阳·模拟预测）已知，，，动点满足，若，则直线（为原点）斜率的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【变式03】（2025·重庆·二模）过点 的直线与曲线 有公共点，则直线的斜率的最大值为 .
题型三 与直线与圆位置关系相关的最值与范围问题
方法点拨：弦长最值：过圆内定点的弦，最长弦为直径，最短弦为与定点和圆心连线垂直的弦（弦长公式：，d为圆心到直线距离）。切线长最值：圆外一点到圆的切线长（d为点到圆心距离），最值转化为d的最值。位置关系临界：直线与圆相切时圆心到直线距离，是求解参数范围的核心临界条件。
【典例01】（25-26高三上·贵州·月考）已知圆的方程为，过点的直线与圆交于不同的两点，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【典例02】（25-26高三上·四川南充·月考）直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的最大值是（ ）
A． B． C．6 D．4
【变式01】（2025高三·全国·专题练习）过点的直线l交圆C：于A，B两点，若，垂足为Q，则点Q到直线的最大距离为（ ）
A． B．1 C． D．
【变式02】（2025高三·全国·专题练习）设，圆M：．若动直线：与圆M交于点A，C，动直线：与圆M交于点B，D，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【变式03】（2025高三下·全国·专题练习）过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为．则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型四 与圆的参数方程相关的最值与范围问题
方法点拨：参数化转化：圆的标准方程化为参数方程（为参数），将最值问题转化为三角函数最值问题。三角恒等变换：利用辅助角公式求最值，注意参数的取值范围。适用场景：含二元二次约束条件的代数式最值（如、xy、等）
【典例01】（24-25高三下·河南开封·开学考试）已知点，点为圆上一动点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【典例02】（2025·广东揭阳·三模）已知动点P到坐标原点O，x轴，y轴的距离之和为2，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式01】（24-25高三上·云南昆明·期中）已知，，三点，点在圆上运动，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式02】（24-25高三下·江苏徐州·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为（ ）

A． B． C． D．
【变式03】（24-25高三下·浙江·月考）若存在实数使得，则实数的取值范围为 .
题型五 与隐形圆、轨迹相关的最值与范围问题
方法点拨：隐形圆识别：由垂径定理（如AB为圆的弦，M为中点，则，M的轨迹为圆）；由阿波罗尼斯圆（动点到两定点距离比为定值，轨迹为圆）；由圆幂定理、向量条件等推导轨迹方程。最值转化：将复杂最值问题转化为 “圆上点到定点 / 定直线的距离最值”，再利用圆的性质求解。对称转化：涉及直线两侧点的距离和 / 差最值，利用点关于直线的对称点转化为共线距离问题。
【典例01】（2025高三上·甘肃兰州·专题练习）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为．已知椭圆的焦点在x轴上，为椭圆E上任意两点，动点P在直线上．若恒为锐角，则椭圆E离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例02】（2025·广东清远·二模）已知抛物线的方程为，直线与交于，两点，，两点分别位于轴的上下两侧，且，其中为坐标原点．过抛物线的焦点向作垂线交于点，动点的轨迹为，则的方程和直线斜率的最大值分别为（ ）
A．（除去点）， B．（除去点），
C．， D．，
【变式01】（2025·内蒙古赤峰·一模）在平面内，两定点、之间的距离为，动点满足，则点轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
【变式02】（2025·河北保定·模拟预测）已知点，点满足，记的轨迹为，则（ ）
A．是半径为的圆
B．C与圆有一个交点
C．与直线有两个交点
D．与圆围成图形的面积为
【变式03】（24-25高三下·四川成都·月考）(多选题)如图所示，正方体棱长为2，正方形内（不含边界）一动点P在运动过程中始终满足．下列说法中正确的为（ ）
A．存在点P使得 B．直线与点P的轨迹有公共点
C．点P运动轨迹长为 D．三棱锥体积最大值为
（限时训练：15分钟）
1． （24-25高三下·北京·月考）已知圆 点P在直线上运动，直线PA，PB与圆C相切，切点为A，B，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2 B．最小时，弦AB所在直线的斜率为
C．最小时，弦AB长为 D．四边形面积的最小值为
2．（24-25高三上·山东济南·期末）已知直线l经过点，则“直线l的斜率为”是“直线l与圆C：相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3. （25-26高三上·北京·月考）已知直线：与圆：相交于，两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4. （25-26高三上·广东·月考）已知两点，点在圆上运动，则的最大值与最小值之和为（ ）
A．36 B．60 C．72 D．80
5.（2025·江苏徐州·模拟预测）(多选题)已知圆，P为圆O上的动点，则（ ）
A．圆心O关于直线AB的对称点为
B．动点P到直线AB的距离最大值为
C．以AB为直径的圆与圆O有2条公切线
D．分别过A，B两点所作的圆O的切线长相等
6．（23-24高三上·黑龙江牡丹江·期中）已知点在圆上，则的最大值是( )
A． B．10 C． D．
7．（2025·辽宁沈阳·二模）(多选题)在平面内，存在定圆和定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，关于点轨迹叙述正确的是（ ）
A．当点与圆心重合时，点的轨迹为圆
B．当点在圆内且不与圆心重合时，点的轨迹为椭圆
C．当点在圆上时，点的轨迹为抛物线
D．当点在圆外时，点的轨迹为双曲线
8．（2025·四川雅安·二模）(多选题)已知点，，动点满足，记点的轨迹为曲线，则下列说法中正确的是（ ）
A．曲线的方程为
B．的最大值为6
C．点到直线的距离的最大值为2
D．设直线与曲线的另一个交点为，则
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