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专题17 双曲线定义与性质及其综合问题
目录 第一部分 研·考情精析 锁定靶心 高效备考 第二部分 理·方法技巧 梳理知识 总结技巧与方法 第三部分 攻·题型速解 典例精析+变式巩固 【题型01】双曲线的定义和方程 【题型02】双曲线中的几何性质（光学性质） 【题型03】双曲线的焦点三角形 【题型04】双曲线的离心率 【题型05】点差法（中点弦公式） 【题型06】定义法求轨迹方程（双曲线） 【题型07】利用定义求距离和、差的最值 【题型08】双曲线的离心率范围 【题型09】双曲线中的面积问题 【题型10】双曲线中的向量问题 【题型11】双曲线中的斜率问题 【题型12】双曲线中的图形问题 【题型13】双曲线中的定点、定线问题 【题型14】双曲线中的数列问题 第四部分 练·决胜冲刺 精选好题+通关训练
考向聚焦 双曲线是高考数学解析几何核心考点，题型覆盖选择、填空、解答题，整体解析结合占20—28分。考向聚焦四大核心：一是定义应用，常结合焦点三角形求周长、轨迹方程或线段最值；二是标准方程求解，以待定系数法为主，需判断焦点位置；三是几何性质，离心率为必考重点，结合关系求解；四是综合应用，直线与双曲线联立是解答题核心，常与韦达定理、弦长、面积、定点定值等结合，难度中等偏上。复习需强化定义与性质基础，熟练运算技巧。
关键能力 双曲线解题的关键能力，一是定义活用能力，能快速将双曲线定义转化线段关系，破解焦点三角形、轨迹问题。二是代数运算能力，熟练联立直线与双曲线方程，结合韦达定理简化计算，攻克弦长、面积等综合题。三是性质迁移能力，掌握a,b,c,e的关系，精准求解离心率。四是数形结合能力，以形助数，快速定位最值、定点定值问题的突破口。
备考策略 双曲线备考需立足基础，先吃透定义、标准方程及a、b、c、e的核心关系，熟练定义法、待定系数法求轨迹方程。针对离心率、焦点三角形等高频考点，归纳解题模型，强化训练。 直线与双曲线综合题是难点，需熟练联立方程、活用韦达定理，掌握弦长、面积、定点定值的解题套路，提升代数运算与数形结合能力。定期刷高考真题，总结易错点，规避计算失误。
◇方法技巧 01 选填的常用方法
双曲线选填专题的解题方法可围绕定义、方程、性质、综合应用四大模块总结，核心思路是数形结合+代数运算，具体如下：
1、定义法
核心是活用双曲线的第一定义（），常用于求轨迹方程、焦点三角形的周长或边长最值。
2、待定系数法
求解双曲线标准方程的核心方法，分两步：
先判断焦点位置（轴或轴），设对应标准方程；
再结合已知条件（过定点、关系、离心率等）列方程，解出。
若焦点位置不确定，可设统一方程简化计算。
3、离心率求解法
离心率，关键是建立的齐次关系式：
（1）几何法：结合焦点三角形、双曲线顶点、直线与双曲线位置关系，用勾股定理、余弦定理等推导；
（2）代数法：由已知条件转化为的方程，消去（利用）。
4、焦点三角形解法
结合定义+余弦定理+面积公式：
由定义得，由余弦定理得；
面积公式：；
焦半径：，；
5、中点弦公式
（1）已知是双曲线上的两个点，为重点，则.
（2）已知是双曲线：上的两动点，是双曲线上异于的一点，若两点关于原点对称.
6、焦半径倾斜式及焦比公式:过左焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点；
，若，且在线段上时，则焦比公式：；若，且在线段外时，则焦比公式：.
◇方法技巧 02 解答题的常用方法
直线与双曲线综合问题解法
核心步骤是联立方程+韦达定理，适用于弦长、面积、定点定值、最值问题：
设直线方程（斜率存在设，斜率不存在设），与双曲线方程联立，消去或得一元二次方程；
利用判别式确定参数范围，由韦达定理得、；
（1）弦长和面积：弦长公式，或面积公式×底×高求解；
（2）向量问题：利用点的坐标表示向量，包括直径所对的圆周角为直角进行向量数量积为零；
（3）斜率问题：利用点的坐标表示斜率，包括三点共线时利用斜率的差为零，角度相等时，角度的其中一边平行于或时，将角度转化为倾斜角的关系，利用斜率的和，差，乘积为定值求解；
（4）图形问题：利用向量和斜率求解三角形的形状，包括：等腰，等边，直角，钝角三角形；平行四边形对角线互相平分，利用中点坐标进行求解；矩形，菱形，正方形在平行四边形上进行垂直和长度的求解即可.
（5）定点、定线问题：利用题目所给的翻译条件，构建等式，从而将直线中用表示即可证明定点坐标；利用直线的交轨法，消参的方法，进行定直线的证明.
◇题型 01 双曲线的定义和方程
典｜例｜精｜析
典例1．已知双曲线的右焦点为，抛物线与双曲线的一条渐近线交于点．为坐标原点，若为正三角形，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据为正三角形表示点坐标，然后分别带入抛物线和渐近线方程中，解方程即可得到双曲线方程.
【详解】
设，，为第一象限的点，
由题意得双曲线渐近线方程为，
因为为正三角形，所以，则，解得，
所以双曲线方程为.
故选：B.
典例2．已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线的渐近线上的点，满足，且，的面积为，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件可得，利用三角形面积求出半焦距，再利用直角三角形性质，结合二倍角的正切求出即可得解.
【详解】由，得，而，的面积为，
则，，
令双曲线的半焦距为，则，即，直线方程为，
，而，则，
联立解得，所以双曲线的方程为.
故选：A
混淆双曲线第一定义的条件，忽略，误判轨迹。设方程时忽视焦点位置，漏设的统一形式。计算中混淆a,b,c关系，记错，离心率公式误用。
变｜式｜巩｜固
变式1．已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义以及勾股定理，联立方程即可求解.
【详解】由题意设双曲线方程为，
由题意可知，
由于，，故，解得，
故，
故双曲线方程为，
故选：D
变式2．已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，以坐标原点O为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段中垂线上，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可知是等边三角形，进而可知双曲线浙近线的倾斜角为，进而得到的关系，再将点代入双曲线方程求解即可.
【详解】如图，根据圆的性质可知．
又点在线段中垂线上，则，则是等边三角形，
故双曲线浙近线的倾斜角为．
所以，即，则双曲线方程为．
将点代入双曲线方程，得，解得，
则双曲线方程为，
故选：C．
变式3．已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出焦点坐标及直线的倾斜角，再结合双曲线定义及勾股定理求出即可.
【详解】依题意，，直线的倾斜角为，即，
取的中点，连接，由，得，，
，，
则，，
在中，，解得
，
所以该双曲线的方程为.
故选：A
◇题型 02 双曲线中的几何性质（光学性质）
典｜例｜精｜析
典例1．已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
【详解】由，则，
解得，
所以双曲线的渐近线为，
当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意；
当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离，
所以弦长.
故选：D
典例2．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为()
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，设，用表示，先在中由求出，再在中由即可求解.
【详解】由题意可知直线，都过点，如图，
则有，，
设，则，
所以，故，
所以，
因此，
在，，
即，
整理得即，解得，
所以，
令双曲线半焦距为c，
在中，，即，
解得，
所以的离心率为.
故选：B
【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：
①定义法，通过已知条件列出方程组，求得a，c的值，根据离心率的定义求解离心率e；②齐次式法，由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于e的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
一是混淆的关系，记错，或把离心率与椭圆公式混淆；二是忽略离心率范围，计算后未验证取值合理性。三是几何性质应用时，误将双曲线顶点、焦点坐标写反，尤其焦点在y轴上的方程，易把位置弄混。四是光学性质理解偏差，不清楚 “从一焦点发出的光线经双曲线反射后延长线必过另一焦点” 的本质，无法结合定义解决反射类轨迹问题。
变式1．设O为坐标原点，是双曲线的左、右焦点，已知双曲线C的离心率为，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，则（ ）
A． B．2
C． D．
【答案】A
【分析】不妨设，求出，然后算出可得答案.
【详解】不妨设，
则，．
由余弦定理可得，，
所以，所以．
故选：A
变式2．在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲线的离心率为2，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得，，不妨设双曲线的标准方程为，，结合双曲线的定义和勾股定理求出m，即可求解.
【详解】因为，所以，得，
不妨设双曲线的标准方程为，设，则．
所以，解得或（舍去）．
所以．
故选：D．
◇题型 03 双曲线的焦点三角形
典｜例｜精｜析
典例1．设双曲线C：（）的左、右焦点分别为，离心率为．是上一点，且．若的面积为4，则（ ）
A．1 B．2
C．4 D．8
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
【详解】，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，
，即，解得，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.
典例2．双曲线C：的左、右焦点分别为，，离心率为，点P在C上，，则的外接圆与内切圆的半径之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设中的外接圆半径为R，内切圆半径为r，，，不妨设，则，利用正余弦定理以及三角形的面积公式可得
，结合离心率可求值.
【详解】设中的外接圆半径为R，内切圆半径为r，，，
不妨设，则，
中，由正弦定理，得，
中，由余弦定理，得，
∴，
，
∵，
∴，
∵，∴.
故选：D.
公式混淆：记混面积公式，误用，或记错简洁公式的形式，漏掉或写错半角关系。 条件遗漏：计算时忽略双曲线定义与余弦定理的结合，无法由角度推导出的值。 参数混用：将椭圆中与双曲线的混淆，代入数值时出错，导致面积计算结果偏差。
变式1．已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则P到x轴的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，以及转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.
不妨设点P在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得，.由余弦定理得cos∠P=，即cos，解得，所以，故P到x轴的距离为.
变式2．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）
A． B．3
C． D．2
【答案】B
【分析】由是以P为直角直角三角形得到，再利用双曲线的定义得到，联立即可得到，代入中计算即可.
【详解】由已知，不妨设，
则，因为，
所以点在以为直径的圆上，
即是以P为直角顶点的直角三角形，
故，
即，又，
所以，
解得，所以
故选：B
变式2．设是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，若的内切圆的半径为（为圆心），且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】过作，根据题意得到，得．结合，得到即可得到结论.
【详解】过作，
由题意知．
因为，所以四边形为正方形，
得．
由双曲线的定义可得，
即，所以，
得．
又因为，所以，
得，．
在中，，得到，
所以．
故选：A．
◇题型 04 双曲线的离心率
典｜例｜精｜析
典例1．已知为双曲线的左右焦点，点的坐标为．若为等边三角形，则双曲线的离心率是（ ）
A． B．2
C．2 D．3
【答案】C
【分析】由题可得，即，再根据求解即可．
【详解】为等边三角形，为的中点，
，则，
，
．
故选：C．
典例2．设双曲线的左 右焦点分别为，过的直线与的右支相交于，两点，若，则的离心率为（ ）
A． B．
C．2 D．3
【答案】A
【分析】设，，由已知和双曲线的定义得出，，，再在直角三角形和中，利用勾股定理可求得和的关系，从而可求双曲线的离心率．
【详解】如图，设，，
由双曲线定义可知：，，
，，即；
在直角中，，即，
解得：，则，；
在直角中，，即，
即，所以.
故选：A.
一是公式混淆，误将双曲线离心率记成椭圆离心率，忽略双曲线的范围，计算后未验证结果合理性。二是“a、b、c关系用错”，将椭圆中与双曲线的混淆，推导齐次式时出错。三是几何条件转化失误，比如焦点三角形、直线与双曲线相切等场景，无法正确提炼出a与c的比例关系。四是焦点位置判断失误，焦点在y轴时仍套用x轴双曲线的参数关系。
变｜式｜巩｜固
变式1．双曲线的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设点在轴右侧，由双曲线定义可得，，由是直角三角形，建立等式求解即可.
【详解】如图，设点在轴右侧，则，
因为，
所以，
因为点在以为直径的圆上，
所以是直角三角形，，
即，化简得，
所以离心率.
故选：D
变式2．双曲线的左、右焦点分别为、，点是其渐近线上的一点，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2
C． D．4
【答案】B
【分析】由题，可得，进而得为正三角形，求得，得解.
【详解】由，得，又，
所以，又，
所以为正三角形，故，
所以，则双曲线的离心率.
故选：B.
变式3．已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，过的直线与其右支交于，两点，若，，则的离心率为（ ）
A． B．2
C． D．4
【答案】B
【分析】先根据双曲线定义依次求出、、和，接着由在和中运用余弦定理列方程即可求解.
【详解】因为，两点在双曲线右支上，根据双曲线定义，可得，，
又，解得，，
又，可得，，
在中，根据余弦定理得
，
在中，根据余弦定理得，
因为，所以，
化简整理得，解得.
故选：B.
◇题型 05 点差法（中点弦公式）
典｜例｜精｜析
典例1．过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（ ）
A． B．2
C． D．
【答案】D
【分析】先设出直线AB的方程，并与双曲线的方程联立，利用设而不求的方法及条件得到关于的关系，进而求得双曲线的离心率
【详解】不妨设过双曲线的焦点且斜率不为0的直线为，令
由，整理得
则，
则，由，可得
则有，即，则双曲线的离心率
故选：D
典例2．如图，已知过原点的直线与双曲线相交于两点，双曲线的右支上一点满足，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】取的中点，连接，利用两角和的正切公式求出，即直线的斜率为，再设，，利用点差法得到，从而求出离心率.
【详解】如图，取的中点，连接，则，所以，
设直线的倾斜角为，则，
所以，
所以直线的斜率为，
设，，则，
由，得到，
所以，所以，则.
故选：C
一是前提遗漏，忽略点差法的适用条件 —— 直线与双曲线有两个交点，未验证判别式Δ>0，导致所求参数范围失真。二是公式推导错误，将点代入双曲线方程相减时，误算移项步骤，记错中点与斜率k的核心关系式。三是焦点位置混淆，焦点在y轴上的双曲线，未调整公式形式，仍套用x轴双曲线的点差法结论，造成斜率计算错误。
变式1．已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用点差法即可．
【详解】由F、N两点的坐标得直线l的斜率．
∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c=2．
设双曲线C的方程为，则．
设，，则，，．
由，得，
即，∴，易得，，，
∴双曲线C的离心率．
故选：B．
变式2．已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设、，由，利用点差法求解.
【详解】解：设、，
若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，
因为线段的中点坐标为，则，
则，两式相减得，
则，
因为，所以，，
所以，，解得，
因此，双曲线的标准方程为.
故选：D.
变式3．已知直线过双曲线的左焦点，且与的左 右两支分别交于两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由点差法得，由条件知直线的倾斜角为倾斜角的两倍，代入两直线的斜率关系式即可求得的斜率.
【详解】设,
由均在上，为的中点，
得，则，
∴，
∴，
设直线的倾斜角为，则，不妨设为锐角，
∵是以为底边的等腰三角形，∴直线的倾斜角为，则.
∴，
∴，解得，
∴由对称性知直线的斜率为.
故选：D
【点睛】中点弦定理：直线与椭圆（双曲线）交于两点，中点为，则有，（为坐标原点）
此题解答过程中中点弦定理起了核心作用，通过中点弦定理建立了与的关系，另一方面通过是以为底边的等腰三角形可能建立两直线倾斜角的关系，从而得到所求直线的斜率.
◇题型 06 定义法求轨迹方程（双曲线）
典｜例｜精｜析
典例1．已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用两圆外切的判定方法列出方程，推出，即得动圆圆心的轨迹和轨迹方程.
【详解】设动圆的半径为，因动圆同时与圆及圆相外切，
则，，
则，
故动圆圆心的轨迹是以为两焦点的双曲线的左支.
又因，解得，故其轨迹方程为.
故选：D.
典例2．已知点和圆：，是圆上的动点，直线与线段的垂直平分线交于点，则点所满足的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件判断出点满足双曲线的定义，由此求得点的轨迹方程.
【详解】画出去向如下图所示，根据线段垂直平分线的性质可知,故，所以点满足双曲线的定义，即，故点的轨迹方程为，故选C.
【点睛】本小题主要考查双曲线的定义以及双曲线标准方程的求法，考查垂直平分线的几何性质，属于基础题.
（1）定义法：进行相关的数形结合的表示，并进行对应的消元，使得动点到两个定点的距离的差的绝对值为定值；容易忽略未知变量的表示. （2）相关点法：进行相关点的表示时，没有用已知点对未知点的表示，带入进行求解. （3）直译法：进行点的坐标表示时，注意未知变量的取值范围.
变式1．已知动圆C与圆内切，与圆外切，则动圆圆心C的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设圆C的半径为R，根据题意，得到，根据双曲线的定义，结合题中条件，求出，即可得出结果.
【详解】设圆C的半径为R，由题意可知，
两圆的圆心为：，∴，
可知点C的轨迹为以为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，
∴，
则动圆圆心C的轨迹方程为.
故选：B.
变式2．已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】延长交直线于点，连接，由条件判断且为中点，利用中位线性质得且，从而利用双曲线的定义得点在以，为焦点的双曲线上，进而利用双曲线的标准方程求解轨迹方程即可.
【详解】由题意知，圆的半径，延长交直线于点，连接，
因为，且，所以，且为中点，
所以，且，
因此，，
所以点在以，为焦点的双曲线上，
设的方程为，可知，所以，
又，则，所以的方程为，即，
又点是圆外一点，
所以，即，故所求轨迹方程为.
故选：B
变式3．在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段FP为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分两圆外切和内切两种情况，根据两圆位置关系结合双曲线的定义分析求解.
【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，
设，以线段FP为直径的圆的圆心为M，半径为，
若圆与圆外切，则，，
可得；
若圆与圆内切，则，，
可得；
综上所述：，
可知动点P的轨迹是以为焦点的双曲线，且，则，
所以动点P的轨迹方程为.
故选：B.
◇题型 07 利用定义求距离和、差的最值
典｜例｜精｜析
典例1．设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的定义将转化成，数形结合求得最值得解.
【详解】如图，设双曲线的左焦点为，
由双曲线的定义得，
所以的最小值为.
故选：B.
典例2．P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则的最大值为（ ）
A．6 B．7
C．8 D．9
【答案】D
【分析】可得双曲线的焦点分别为(-5，0)，(5，0)，由已知可得当且仅当P与M、三点共线以及P与N、三点共线时所求的值最大，可得答案.
【详解】解：易得双曲线的焦点分别为(-5，0)，(5，0)，且这两点刚好为两圆的圆心，由题意可得，当且仅当P与M、三点共线以及P与N、三点共线时所求的值最大，此时==6+3=9
【点睛】本题主要考查双曲线的定义及性质的应用，判断P与M、三点共线以及P与N、三点共线时所求的值最大是解题的关键.
（1）没有先判断点在双曲线内侧和双曲线外侧，因此使得距离和、差求解错误；距离和、距离差上，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，转化为三点共线.
变式1．已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．6
C．10 D．14
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义，将与进行转化，再结合三角形三边关系求出的最小值．
【详解】对于双曲线，根据双曲线的标准方程（），可得，．则．
设双曲线的右焦点为，由双曲线的定义可知，点在双曲线的右支上，则，即；
同理，点在双曲线的右支上，则，即．
所以．
根据三角形三边关系，，当且仅当，，三点共线时，等号成立．
又，则，即．
所以的最小值为10．
故选：C．
变式2．已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用双曲线的定义可以得出=，当三点共线时最小.
【详解】由双曲线得到,,，左焦点，
设右焦点.当的周长最小时，取到最小值，所以只需求出的最小值即可.
===.
故选：C.
变式3．已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点为，点在双曲线左支上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ）
A．6 B．7
C．8 D．9
【答案】C
【分析】先由双曲线渐近线求出，记双曲线的左焦点为，利用，得，再由两点之间线段最短求出的最小值，然后得出答案.
【详解】由双曲线方程，得，所以渐近线方程为
比较方程，得
所以双曲线方程为，点
记双曲线的左焦点为，且点在双曲线左支上，所以
所以
由两点之间线段最短，得最小为
因为点在圆上运动
所以最小为点到圆心的距离减去半径1
所以
所以的最小值为8
故选：C
*
◇题型 08 双曲线的离心率范围
典｜例｜精｜析
典例1．已知双曲线上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设点，则可取，代入双曲线方程整理可得，结合渐近线列式求解即可.
【详解】由题意可知：双曲线的渐近线方程为，
设点，则可取，
则，整理得，
解得，即，可得，则，
所以该双曲线离心率的取值范围是．
故选：A.
【点睛】关键点点睛：1.巧妙设点：设点，根据垂直和长度关系可取；
2.根据渐近线的几何意义可得：.
典例2．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线以及椭圆的定义可得，，进而在焦点三角形中运用余弦定理即可得，再结合均值不等式即可求解.
【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，
则根据椭圆及双曲线的定义，得，，
所以，，
设，，
则在△中由余弦定理，得，
化简得：，即，
又，，，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为．
故选：A.
双曲线离心率的核心范围是e>1，但解题中易因多种疏漏出错。一是混淆圆锥曲线范围**，常与双曲线（e>1）、抛物线（e=1）的离心率边界混淆，导致基础判断失误。二是忽略焦点位置**，对含参数双曲线方程（如），未区分m>n（焦点在x轴）和m1会缩小范围。四是公式变形失误，记错，或推导时忽略与e的单调性关联，最终得出错误离心率区间。
变式1．已知双曲线，过点的两条直线分别与双曲线的上支 下支相切于点.若为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】联立直线方程与双曲线方程，利用判别式法，结合双曲线的对称性可得离心率的取值范围.
【详解】如图，
设过点的直线，联立，
整理，得，
依题意，得，所以.
由双曲线的对称性，得，所以，
整理，得双曲线的离心率.
故选：D.
变式2．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据等腰三角形三边关系可构造不等式求得的范围，根据双曲线和椭圆定义可利用表示出，从而得到，结合的范围可得结果.
【详解】
设椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆长半轴为，双曲线实半轴为，，，
是以为底边的等腰三角形，点在第一象限内，
，
即，，且，，
，，解得：．
在双曲线中，，；
在椭圆中，，；
；
，，则，，
可得：，
的取值范围为.
故选：B.
◇题型09 双曲线中的面积问题
典｜例｜精｜析
典例1．已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．
(1)求的方程；
(2)过双曲线右支上一动点分别作两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于，，为坐标原点，证明：平行四边形的面积为定值，并求出该定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析，定值1
【分析】（1）根据离心率的概念，将点代入双曲线方程，建立方程组，解之即可求解；
（2）由（1）求得，根据弦长公式和平行四边形的面积公式化简计算可得，结合即可证明.
【详解】（1）由已知可得，所以，
又因为，得①；
将点代入双曲线方程，得②，
联立①②得，所以，
所以双曲线方程为：．
（2）由（1）得双曲线渐近线方程为，，
设，则，，
联立和，解得交点，
则平行线和之间的距离，
则平行四边形的面积，
由于在双曲线上，则，所以，
所以平行四边形的面积为定值1.

典例2．已知双曲线的焦距为,渐近线方程为,左顶点为,过点且与轴不重合的直线交双曲线右支于两点．直线与圆分别交于两点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求证：直线与直线的斜率之积为定值；
(3)记三角形的面积为的面积为,求的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由焦距及渐近线方程可得,确定双曲线标准方程；
（2）设出直线与点,联立直线与双曲线方程，根据题意写出表示出,再结合韦达定理化简计算；
（3）设出直线与,表示出的纵坐标，再将三角形面积之比中的边长之比转化为纵坐标的比，最后结合与的范围求解.
【详解】（1）由题意知,,且,
所以,
所以双曲线的标准方程为.
（2）
证明：由题意知直线的斜率不等于0，设的方程为,
由，得．
因为直线与双曲线的右支交于两点，所以①，
因为,
所以,
，
所以由①式解得．
因为,所以
,
所以直线与直线的斜率之积为定值．
（3）设,且,
所以,即,所以．
又因为,所以．
由得,所以,同理可得．
由得,所以,同理可得,
所以
.
令,由,得,
所以．
令,
因为在区间上为增函数,所以的取值范围为,
所以的取值范围为．
一是面积公式误用，计算弦与原点或焦点围成的三角形面积时，混淆底高公式与向量叉乘、行列式等便捷算法，未结合弦长公式和点到直线距离公式，导致计算繁琐且出错。二是变量范围遗漏，用参数法设点或设直线斜率时，忽略双曲线上点的坐标边界，或未考虑直线斜率不存在的特殊情况，使最值点超出双曲线范围。三是判别式忽视，联立直线与双曲线方程求交点时，未验证Δ≥0，得出的 “最值” 因直线与双曲线无交点而无效。四是转化逻辑缺陷，不会将面积最值转化为函数最值，或换元后忽略新变量范围，导致极值求解偏差。
变式1．已知双曲线的离心率为分别是双曲线的左 右焦点，过的直线与双曲线交于两点，当直线垂直于轴时，.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若的面积为，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据双曲线的离心率公式、通径公式以及双曲线中、、的关系列出方程组，求解出、的值，进而得到双曲线的标准方程.
（2）先设出直线方程，然后联立直线与双曲线方程，利用韦达定理得到和，再根据三角形面积公式列出关于的方程，求解出的值，从而得到直线方程.
【详解】（1）由题意可得
解得，
故双曲线的标准方程为.
（2）由题意可知直线的斜率不为0，则设直线.
联立整理得，
则，
.
因为的面积为，
所以，即，
整理得，即，即，
解得，所以，
故直线的方程为或
变式2．已知双曲线的左 右焦点分别是，并且经过点.
(1)求的方程；
(2)过点的直线交双曲线的右支于两点（点在第一象限），过点作直线的垂线，垂足为.
（i）求证：直线经过定点；
（ii）记的面积为，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）根据给定条件，求出即可.
（2）（i）设出直线方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及直线方程计算推理得证；（ii）由（i）求出的函数关系，再结合函数单调性求出范围.
【详解】（1）依题意，双曲线半焦距，则，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）（i）设，则，
由消去得，
则，解得，，
直线的方程为，即，
而
，因此直线的方程为，
所以直线经过定点.
或令，得
，
所以直线经过定点.
（ii）由（i）知，
，
而，令，
因此在上单调递增，则，
所以的取值范围是.

变式3．在平面直角坐标系中，已知动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数2．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)过点的动直线与曲线交于两点，问：在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)动点的轨迹为双曲线．
(2)存在点满足题意.
【分析】（1）根据题意，结合距离公式，化简计算，即可得答案.
（2）由题意，根据面积公式，分析可得，即，设出直线方程，与抛物线联立，根据韦达定理，可得，表达式，根据直线方程，代入，化简整理，即可得答案.
【详解】（1）由已知得：，所以，
化简可得：，即动点的轨迹为双曲线.
（2）因为，
所以，即，
所以．
显然过点的动直线不与x轴重合，故设直线方程为，
，，，
联立，可得，
首先有，且，
由韦达定理得，，
因为，所以，
即，整理得，
所以，化简得，
当时，方程恒成立，
当时，解得，
故在轴上存在点，使得．
◇题型10 双曲线中的向量问题
典｜例｜精｜析
典例1．已知双曲线：的右焦点为，且到的其中一条渐近线的距离为.
(1)求的方程；
(2)设，过点的直线与相交于两点，是否存在正数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据双曲线的性质和点到直线的距离公式求出即可；
（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理和斜率公式求解即可，注意讨论直线斜率不存在的情况.
【详解】（1）易得双曲线C的半焦距，
又到的其中一条渐近线的距离为，
由对称性不妨取该渐近线为，则，
所以，，
所以C的方程为.
（2）当直线的斜率存在时，设的方程为，，，
由消去得，则，
恒成立，
所以，.
假设存在正数，使得为常数，
则
，
要使为常数，则，解得，
此时点，；
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入双曲线得，
不妨取，，
若，则；
综上，存在正数，使得为常数.
典例2．已知双曲线C：的离心率为2，其右焦点F到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线：与双曲线C交于不同的两点A，B，且以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)利用已知条件及，可求得双曲线方程；
(2)以线段为直径的圆经过点转化为，再联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理得到，可得到直线过的定点.
【详解】（1）因为双曲线的右焦点为，渐近线方程为，
所以右焦点为到渐近线的距离为，
因为双曲线的离心率为，所以，
所以，解得，
所以双曲线的方程为．
（2）如图，
设，，
联立，得，
则，，，
所以，
，
因为以线段为直径的圆经过点，所以，
所以，即，
所以，
化简得，即，
因为，，所以，
所以直线的方程为，
所以直线过定点.
一是向量条件转化失误，不会将向量垂直（）、共线等条件转化为坐标等式，或转化后代入椭圆方程时计算出错，丢失隐含约束。二是直径圆周角性质混淆，误将双曲线直径等同于圆的直径，忽略椭圆无 “直径所对圆周角为直角” 的固有性质，直接套用圆的结论，导致逻辑断层。三是过定点问题漏特殊情况，求动直线过定点时，未验证斜率不存在的情形，或参数消元不彻底，无法锁定定点坐标。四是判别式与范围疏漏，联立方程后未检验Δ≥0，使所求点或直线不满足与双曲线相交的前提，结果失效。
变式1．已知双曲线的离心率分别为其两条渐近线上的点，若满足的点在双曲线上，且的面积为8，其中为坐标原点.
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的右焦点的动直线与双曲线相交于两点，在轴上是否存在定点，使得为常数 若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，，理由见解析
【分析】（1）根据双曲线的离心率得关系，从而可得关系，即可得双曲线渐近线方程，不妨设，，确定点为的中点代入双曲线方程可得与的关系，再由的面积即可求得的值，从而可得双曲线的方程；
（2）当直线的斜率存在时，设直线方程与交点坐标，代入双曲线方程后可得交点坐标关系，设，满足为常数即可求得的值，并且检验直线的斜率不存在时是否满足该定值即可.
【详解】（1）由离心率，得，所以，则双曲线的渐近线方程为，
因为，分别为其两条渐近线上的点，所以，不妨设，，由于，则点为的中点，所以，
又点在双曲线上，所以，整理得：
因为的面积为8，所以，则，
故双曲线的方程为；
（2）由（1）可得，所以为
当直线的斜率存在时，设方程为：，，
则，所以，则
恒成立，所以，
假设在轴上是否存在定点，设，则
要使得为常数，则，解得,定点，；
又当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入双曲线可得，不妨取，
若，则，符合上述结论；
综上，在轴上存在定点，使为常数，且.
变式2．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸：
步骤1：在纸上画一个圆A，并在圆外取一定点B；
步骤2：把纸片折叠，使得点B折叠后与圆A上某一点重合；
步骤.3：把纸片展开，并得到一条折痕；
步骤4：不断重复步骤2和3，得到越来越多的折痕.
你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓.若取一张足够大的纸，画一个半径为2的圆A，并在圆外取一定点B，，按照上述方法折纸，点B折叠后与圆A上的点W重合，折痕与直线交于点E，E的轨迹为曲线T.
(1)以所在直线为x轴建立适当的坐标系，求曲线T的方程；
(2)设曲线T的左、右顶点分别为E，H，点P在曲线T上，过点P作曲线T的切线l与圆交于M，N两点（点M在点N的左侧），记，的斜率分别为，，证明：为定值；
(3)F是T的右焦点，若直线n过点F，与曲线T交于C，D两点，是否存在x轴上的点，使得直线n绕点F无论怎么转动，都有成立 若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在，
【分析】（1）以所在直线为x轴，以为x轴的正方向，以的中点为原点建立平面直角坐标系，根据双曲线定义求出方程即可；
（2）直曲联立，借助韦达定理，运用斜率公式计算求解即可；
（3）直曲联立，借助韦达定理和数量积坐标运算公式计算即可.
【详解】（1）以所在直线为x轴，以为x轴的正方向，以的中点为原点建立平面直角坐标系，则，，
由折纸方法知，，则，
根据双曲线的定义，曲线T是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线，
设其方程为，则，，
所以，.故曲线T的方程为.
（2）易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，且，，
联立方程组，整理得，
由，可得，可得，
联立方程组，整理得，
，
则，，
因为，，所以，
又因为，
代入可得，由于，则，
由于点M在点N的左侧，故，
所以，
代入可得，
又因为，则，
所以为定值，定值为3.
（3）假设存在点，使恒成立，
由已知得，
当直线n的斜率存在时，设直线n的方程为，，，
联立，得，
，且，
则，，
，，
则
，
若恒成立，则恒成立，
即，解得，
当直线n的斜率不存在时，直线n的方程为，
此时，解得，
不妨取，，
则，，
又，解得或，
综上所述，，
所以存在点，使恒成立.
变式3．已知双曲线的离心率为2，其右焦点到一条渐近线的距离为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于不同的两点，，且以线段为直径的圆经过点．
①证明：直线过定点；
②已知点，判断双曲线上是否存在点，使为的重心，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②不存在，理由见解析
【分析】(1)利用已知条件及，可求得双曲线方程；
(2)①以线段为直径的圆经过点转化为，再联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理得到，可得到直线过的定点；②假设存在点，利用点在双曲线上，再结合韦达定理即可求解.
【详解】（1）因为双曲线的右焦点为，渐近线方程为，
所以右焦点为到渐近线的距离为，
因为双曲线的离心率为，所以，
所以，解得，
所以双曲线的方程为．
（2）
①设，，
联立，得，
则，，，
所以，
，
因为以线段为直径的圆经过点，所以，
所以，即，
所以，
化简得，即，
因为，，所以，
所以直线的方程为，
所以直线过定点；
②假设双曲线上存在点，使为的重心，
则，即，
由①知，，
所以，又，所以，
因为点在双曲线上，所以，即，
化简得，即，
所以，或(舍)，
又因为，所以假设不成立，
故双曲线上不存在点，使为的重心．
◇题型11 双曲线中的斜率问题
典｜例｜精｜析
典例1．已知双曲线的实轴长为2，设为的右焦点，为的左顶点，过的直线交于A，B两点，当直线AB斜率不存在时，的面积为9．
(1)求的方程；
(2)当直线AB斜率存在且不为0时，连接TA，TB分别交直线于P，Q两点，设为线段PQ的中点，记直线AB，FM的斜率分别为，证明：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据三角形面积以及实轴长即可求解，
（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据点斜式求解直线方程，进而可得坐标，利用斜率公式即可求解.
【详解】（1）依题意，，解得，
设的焦距为2c，则，
将代入方程，可得，
所以的面积为，
解得，
所以的方程为；
（2）由方程得,
设直线，
与的方程联立可得，
所以，
设直线，令，解得，所以，
同理可得，，
所以
，故
所以，又，所以．
典例2．在平面直角坐标系中，已知曲线的方程为，右顶点为，倾斜角为的直线过点，且与曲线相交于两点.
(1)当时，求三角形的面积；
(2)在轴上是否存在定点，使直线与曲线的左支有两个交点的情况下，总有 如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，证明见解析
【分析】（1）由题意求出直线方程，与双曲线方程联立，求出点坐标即可求解；
（2）设直线，与双曲线方程联立，由可得，列式利用韦达定理求解即可.
【详解】（1）由题意可知，曲线为焦点在轴上的双曲线，
当直线的倾斜角时，，
设，，其中，
联立解得，所以，，
又因为，所以，，.
（2）当直线斜率不存在时，由双曲线的对称性可知轴上的任意点满足，
当直线斜率存在时，设，
联立 得，，
因为直线与曲线的左支有两个交点，
所以，解得或，
由轴上的点使，可得轴平分，，
假设在轴上存在点，则，，
所以，即，
展开可得，
将，代入得，
因为，所以，即，
整理得，即，解得，
所以轴上存在定点，总有.
一是三点共线转化疏漏，常只套用斜率相等条件，忽略斜率不存在的垂直轴情形，且未结合判别式验证共线点是否在双曲线上，导致结论无效。二是斜率关系误用，易混淆中点弦斜率乘积）等结论的适用前提，韦达定理推导斜率和差时，又因代数变形失误得出错误关系。三是角度转斜率偏差，将角相等误转为斜率相等，未识别倾斜角互补对应，且遗漏90°角需斜率积为的特殊条件，造成逻辑断层。
变式1．已知双曲线：的实轴长为2，设F为C的右焦点，T为C的左顶点，过F的直线交C于A，B两点，当直线斜率不存在时，的面积为9.
(1)求C的方程；
(2)当直线斜率存在且不为0时，连接，分别交直线于P，Q两点，设M为线段的中点，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可得，求得两点坐标，利用的面积为9，可求，可求椭圆方程；
（2）设，设，，可得直线的方程，联立方程组可得，，求得两点坐标，进而求得的坐标，可求得，可证结论.
【详解】（1）依题意，的方程.
当直线斜率不存在时，不妨取，.
因为此时的面积为9，所以，于是
因此.
故的方程.
（2）设，则：，由
得，
因为，所以设，，
则，.
直线：，令，得，故.
同理.
所以
.
所以，故.
因此.
变式2．已知双曲线的左、右顶点为，右焦点为，离心率为．
(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
(2)过点的直线交双曲线于点（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用双曲线的焦点坐标和离心率公式求出的值，从而得到双曲线方程和渐近线方程；
（2）联立直线方程和双曲线方程，通过韦达定理得到相关点的坐标关系，再根据直线斜率公式证明为定值.
【详解】（1）由题意，双曲线的中心为坐标原点，
右焦点为，离心率为，
可得，解得，，
所以双曲线的标准方程为，其渐近线方程为．
（2）由（1）知，，．
显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，
设，，由，消去，得，
显然，，则，，，
直线的斜率，直线的斜率，
所以，为定值．
变式3．已知双曲线 的左、右顶点分别为 与 ，点 在 上，且直线 与 的斜率之和为 .
(1)求双曲线 的方程;
(2)过点的直线与 交于 两点(均异于点 )，直线 与直线 交于点，求证: 三点共线.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意点 在 上，且直线 与 的斜率之和为 ，建立方程组求解即可；
（2） 三点共线，即证，设出直线的方程联立双曲线的方程，由韦达定理，求出的坐标，由坐标判断，证明即可.
【详解】（1）由题意得，且
（2）由 (1) 得，
设直线 的方程为，则，
由 得，
直线 的方程为，令 ，则，
，
所以三点共线.
◇题型12 双曲线中的图形问题
典｜例｜精｜析
典例1．已知O为坐标原点，双曲线的焦距为，过点的直线与C交于A，B两点，当轴时，的面积为.
(1)求C的方程；
(2)证明：为钝角三角形.
【答案】(1)
(2)证明过程见解析.
【分析】（1）利用的面积求出点坐标，将其代入方程中，结合焦距信息，解方程组即可；
（2）设直线的方程，与双曲线方程联立，分两种情况讨论，若交于两支，求，若交于一支，依对称性可知，只研究交与左支，数形结合证明为锐角来得出为钝角.
【详解】（1）由题意可知，则，
又，则，故，
将点坐标代入曲线的方程中得，又，
解得（负值舍去），则C的方程为
（2）由题意可知直线的斜率存在，故设直线的方程为，
联立得，，
设，
则，得且，
若直线与双曲线的两支相交，则，则，
则
，则为钝角；
若直线与双曲线的一支相交，由于双曲线的对称性，不妨设直线与双曲线的左支相交，且在点上方，设，
因，
则，则为锐角，
则为钝角，
综上可知，始终为钝角三角形.
典例2．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为.
(1)求C的方程；
(2)记C的左顶点为A，直线与x轴交于点B，过B的直线与C的右支于P，Q两点，直线AP，AQ分别交直线l于点M，N，证明O，A，M，N四点共圆.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据双曲线中，，的关系以及双曲线渐近线的方程，可求，，得到双曲线的标准方程.
（2）设直线的方程，与双曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系列出相关结果，再把四点共圆转化成，代入相关点的坐标，化简整理即可.
【详解】（1）由题意可得，解得，，
所以C的方程为.
（2）如图：
设直线PQ的方程为，，，
代入C的方程整理可得：，
，且，故且.
，，
因为P，Q在C的右支上，，，综上，
C的左顶点为，故直线AP与AQ的方程分别为：
，，可得，.
要证O，A，M，N四点共圆只需证，
即证，即证与互余
即只需证，
因为，
所以O，A，M，N四点共圆.
【点睛】方法点睛：该问题最终要证明四点共圆，转化为证明四边形的对角互补，即，进一步转化为，即证与互余，即只需证，再用坐标表示就可以了.
一是图形判定条件疏漏，证平行四边形时仅关注对边斜率相等，忽略对边长度相等的核心要求；求矩形未将 “邻边垂直” 转化为斜率积为，菱形则遗漏 “邻边相等” 或 “对角线垂直” 的关键条件。二是点的存在性验证不足，联立方程后未检验Δ≥0，或未确认顶点坐标在双曲线范围内，导致求出的图形实际不存在。三是特殊情况缺失，忽视直线斜率不存在的情形，且未考虑双曲线对称性带来的多解，漏算符合条件的图形数量。四是面积与边长计算失误，混淆图形面积公式，且未结合双曲线参数方程简化运算，增加计算误差。
变式1．已知双曲线的离心率为2，实轴的左 右顶点分别为，虚轴的上 下顶点分别为，且四边形的面积为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知直线与交于两点，若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由双曲线的性质确定四边形是菱形，结合，，的关系，解方程可得，，，进而得到双曲线方程；
（2）由得到，联立直线方程与双曲线方程，结合韦达定理、斜率公式即可求解.
【详解】（1）由双曲线的几何性质可知，四边形是菱形，且，
四边形的面积为，①
又离心率为，②
联立①②可得，
双曲线的标准方程为.
（2）设，线段中点，
联立消去整理可得，
，
即且①，
.
.
.
，
②，
又③，
由①②③得或，
实数的取值范围是.
变式2．已知双曲线：（，）的右顶点，斜率为1的直线交于、两点，且中点.
(1)求双曲线的方程；
(2)证明：为直角三角形；
(3)经过点且斜率不为零的直线与双曲线的两支分别交于点，.若点是点关于轴的对称点，试问，不论直线的斜率如何变化，直线是否过定点 若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，说明理由.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)过定点，坐标为.
【分析】（1）设，，运用点差法求解即可；
（2）直曲联立，借助向量工具求解；
（3）设方程为，，，，直曲联立，得到，，得到直线的方程为，在直线的方程中，令，求解即可.
【详解】（1）设，，则，，
∵，两点在双曲线上，
∴，由①－②得，
即，∴，
∴，即，∴，
又∵，∴，
∴双曲线的方程为：；
（2）由已知可得，直线的方程为：，即，
联立，，
则，，
∵
，
∴，∴为直角三角形；
（3）设方程为，，
联立直线与的方程，消去得，
因为直线与的两支分别交于点，，
设，，
所以，得，
则，，，
因为，所以直线的方程为，
由对称性可知，若直线过定点，则定点在轴上，
在直线的方程中，令，
得
所以直线过定点，定点坐标为.
◇题型14 双曲线中的定点、定线问题
典｜例｜精｜析
典例1．已知，，M是圆O：上任意一点，关于点M的对称点为N，线段的垂直平分线与直线相交于点T，记点T的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)设（）为曲线C上一点，不与x轴垂直的直线l与曲线C交于G，H两点（异于E点）.若直线GE，HE的斜率之积为2，求证：直线l过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）画出图形，结合题意由双曲线的定义得到点的轨迹是以，为焦点的双曲线，求出即可；
（2）设直线l的方程为，，，直曲联立，表示出韦达定理，然后得出斜率间关系，进而解出或，然后再求直线过定点即可.
【详解】（1）连接OM，
由题意可得，且M为的中点，又O为的中点，
所以，且|.
因为线段的中垂线与直线相交于点T，
所以，
所以，
由双曲线的定义知动点T的轨迹是以，为焦点的双曲线.
设其方程为（，），则，，，
故曲线C的方程为.
（2）证明：由（1）知
依题意直线l的斜率存在，
设直线l的方程为，，，
由，得，
，由，得，
所以，.
则
，
整理得，
即，
解得或，
当时，直线l的方程为，
直线l过定点；
当时，直线l的方程为，
直线l过定点，不合题意，舍去.
综上所述，直线l过定点.
典例2．在平面直角坐标系中，双曲线，，分别为曲线的左焦点和右焦点，在双曲线的右支上运动，的最小值为1，且双曲线的离心率为2．
(1)求双曲线的方程；
(2)当过的动直线与双曲线相交于不同的点，时，在线段上取一点，满足．证明：点总在某定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由条件列方程求，可得双曲线方程；
（2）由条件证明直线与双曲线的交点不在同一支上，设，则，
设，，，由条件列方程，消去可得，由此证明结论.
【详解】（1）设双曲线的半焦距为，点的坐标为，
因为点在双曲线的右支上，
所以，，
所以，
所以，
所以当时，取最小值，
由题意可知，，
双曲线的离心率，
所以，，
所以，
所以双曲线的方程为．
（2），
若点都在右支上，则方向相反，有共线，
则方向相反，即方向相同，
与点在线段上矛盾，
所以直线与曲线交在两支上，
如图，
设，
由，可得，
又共线，所以共线，
所以．
设，，，
，，，，
则，，，，
整理可得，①
，②
，③
，④
将①③，②④分别得到，⑤
，⑥
将⑤⑥可得，
点在定直线上．
一是参数消元不彻底，求过定点时，未将直线方程整理为关于参数的恒等式形式，无法分离出定点坐标，或消元时遗漏参数的系数为零的核心条件。二是特殊情形遗漏，仅考虑斜率存在的直线，忽略斜率不存在（垂直 x 轴）的情况，导致定点或定直线解不完整。三是存在性验证缺失，未检验直线与双曲线联立后的Δ≥0，得出的定点对应的直线实际与双曲线无交点；证交点在定直线时，未结合双曲线范围确认点的有效性，结论缺乏严谨性。四是逻辑倒置失误，误将 “定点满足直线方程” 与 “直线过定点” 的因果关系颠倒，引发推导逻辑断层
变式1．已知双曲线的离心率为，点在上．
(1)求双曲线的方程；
(2)直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据离心率及，，的平方关系得出，再由点在上，可求解，，进而可得双曲线的方程；
（2）当斜率不存在时，显然不满足条件．当斜率存在时，设其方程为，与方程联立联立，可得根与系数的关系，表示出直线，的斜率，，由，结合根与系数的关系可得与的关系，从而可证得直线过定点．
【详解】（1）由已知得，，所以，
又点在上，故，
解得，，
所以双曲线的方程为：．
（2）当斜率不存在时，显然不满足条件．
当斜率存在时，设其方程为，与方程联立联立，消去得，
由已知得，且，
设，，则，，
直线，的斜率分别为，，
由已知，故，
即，
所以，
化简得，又已知不过点，故，
所以，即，
故直线的方程为，所以直线过定点．
变式2．．平面内点到点与到直线的距离之比为3.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)为的左右顶点，过的直线与交于（异于）两点，与交点为，求证：点在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设，根据列出方程，即可求解；
（2）设直线，联立方程组，求得，再由直线和，化简得到，列出方程，求得的值，即可得到答案.
【详解】（1）设是所求轨迹上的任意一点，
因为点到点与到直线的距离之比为，可得，
整理得:，所以轨迹的方程为.
（2）由（1）知，设直线，且，
联立方程组，整理得，
则，可得.，所以，
且，①
又由和，
两式相除得:，②
由①式可得，带入②式，
解得，所以点在定直线上.
◇题型12 双曲线中的数列问题
典｜例｜精｜析
典例1．已知双曲线，点在上.按如下方式构造点：过点作斜率为的直线与的下支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐标为.
(1)求点，的坐标；
(2)记，证明：数列为等比数列；
(3)为坐标原点，，分别为线段，的中点，记，的面积分别为，，求的值.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由点可得的值，求出的方程后联立双曲线可得，即可得，再借助的方程后联立双曲线可得，即可得；
（2）联立与双曲线方程，结合韦达定理可得，结合点代入可得，再利用等比数列定义与判定定理计算即可得证；
（3）由，结合，从而可得与，再利用面积公式分别计算，即可得.
【详解】（1）由题知，所以双曲线，
又过点斜率为的直线方程为，
由双曲线与直线的对称性可知，所以，
又过，且斜率为的直线方程为，
即，
由，解得或，
当时，，
所以，所以；
（2）
设，
则过，且斜率为的直线方程为，
联立，
消得到，
由题有，得到，
由题知点在直线上，
即有，所以，
因为，
则
，
由（1）知，
所以数列是以3为首项，为公比的等比数列；
（3）由（2）知，由，
即，
即，
则，
，
故，，
，，
从而，
，
即，则，
则，，
从而.
典例2．已知双曲线的渐近线方程为，点在上，为常数，，按照如下方式依次构造点，过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.
(1)求的标准方程；
(2)证明：数列是等比数列；
(3)若，求的面积.
提示：在中，设，则.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由题意列出关于的等式求解即可；
（2）法一：构造数列法：设，得到，再结合等比数列的定义即可求证；法二：设直线为，直接联立法，构建与之间的代数关系.法三：由点差法+分比性质求解：法四：由点差法求解即可；
（3）由（2）求得，进而得到，，再结合面积公式即可求解；
【详解】（1）由题意可知
所以.
（2）法一：设，则
令，则
于是
所以数列是公比的等比数列.
法二：（设直线，直接联立法，核心在构建与之间的代数关系.）
设，则
设直线为
由
可得
所以，即是
所以数列是公比的等比数列.
法三：（点差法+分比性质）：
设，则
因为
由合分比性质可得
所以，所以是公比的等比数列.
法四：（点差法）：
设，则
所以
所以
即数列是公比的等比数列.
（3）当时，由（2）知，数列的公比
因为，所以①
所以②
由①②得
所以
因为
所以
利用直线与双曲线的位置关系，求解对应的点的坐标，然后利用坐标的关系，进行数列的证明，利用坐标，进行三角形面积的表示.
变式1．已知双曲线．点在上．按如下方式构造点．过点作斜率为的直线与的下支交于点．点关于轴的对称点为．记点的坐标为
(1)求的值：
(2)记．证明：数列为等比数列；
(3)记的面积为．证明：是定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据点在上，求出双曲线的方程，再由对称性即可求得结果；
（2）由和，表示出直线方程，根据，联立方程化简可得，又，即可得，即可得证；
（3）由（2）知．又，所以，即得和坐标，然后表示出，化简得证.
【详解】（1）由题知双曲线．点在上，
故，所以双曲线．
又过点斜率为的直线方程为．
由双曲线与直线的对称性可知．
所以．即.
（2）因为，所以．因为
所以．
于是．①．
由于，
所以．且．
两式作差可得．②
把①代入②可得．③
由③-①得．
即
因为．所以
又．所以
故数列是首项为．公比为的等比数列．
（3）由（2）知．又，所以．
则．
因为，
且，
所以
，
即是定值.
变式2．已知双曲线过点，其渐近线的方程为．按照如下方式依次构造点；过右支上点作斜率为1的直线与C的左支交于点，过再作斜率为的直线与C的右支交于点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)用表示点的坐标；
(3)求证：数列是等比数列．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）代入点的坐标以及渐近线方程即可求解得解，
（2）求解直线方程，联立与双曲线方程，根据韦达定理即可求解，
（3）设，由于在双曲线上，化简可得，进而利用等比数列的定义求解.
【详解】（1）由题意可得，解得，
所以双曲线C的方程为：
（2）过作斜率为的直线方程为，
联立其与双曲线方程可得，
设,
由于在双曲线上，所以
则，
所以，
故
（3）设，
由于在双曲线上，所以，
则，化简可得，，故，
所以，
,
所以，
故是等比数列.
【点睛】关键点点睛：设，根据在双曲线上，解得，即可代入的表达式中，进而利用等比数列的定义求解.
一、单项选择题
1．（2021·全国甲卷·高考真题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.
2．（2019·全国III卷·高考真题）双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．
【详解】由．
，
又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，
，故选A．
【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．
3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
【详解】由，则，
解得，
所以双曲线的渐近线为，
当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意；
当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离，
所以弦长.
故选：D
4．（2020·全国III卷·高考真题）设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A．1 B．2
C．4 D．8
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
【详解】，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，
，即，解得，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.
5．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C．2 D．3
【答案】A
【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.
【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
6．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（ ）
A．2 B．5
C． D．
【答案】A
【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定P的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可.
【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则，
过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线，
则，
由双曲线的定义及已知条件可知，则，
由勾股定理可知，
易知，即，
整理得，∴，即离心率为2.
故选：
7．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出.
【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设，
，由，求得，
因为，所以，求得，即，
，由正弦定理可得：，
则由得，
由得，
则，
由双曲线第一定义可得：，，
所以双曲线的方程为.
故选：A
二、多项选择题
8．（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（ ）
A． B．
C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为
【答案】ACD
【分析】由平行四边形的性质判断A；由且结合在渐近线上可求的坐标，从而可判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得，计算后可判断C的正误，或者利用并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面积后可判断D的正误.
【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限，
对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故，
故A正确；
对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且，
设，则，故，故，
由A得，故即，故B错误；
方法二：因为，因为双曲线中，，
则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则，
则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则，则为直角三角形，且，则，
方法三：在利用余弦定理知，，
即，则，
则为直角三角形，且，则，故B错误；
对于C，方法一：因为，故，
由B可知，
故即，
故离心率，故C正确；
方法二：因为，则，则，故C正确；
对于D，当时，由C可知，故，
故，故四边形为，
故D正确，
故选：ACD.
9．（2022·全国乙卷·高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.
【详解】几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，
所以，因为，所以在双曲线的左支，
，，，设，由即，则，
选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，
所以，，，设，
由，即，则，
所以，即，
所以双曲线的离心率
选C
三、填空题
10．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为________________．
【答案】
【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率.
【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入
得，即，故，，
又，得，解得，代入得，
故，即，所以.
故答案为：
11．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为_________________．
【答案】/
【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解.
方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解；
【详解】方法一：
依题意，设，则，
在中，，则，故或（舍去），
所以，，则，
故，
所以在中，，整理得，
故.
方法二:
依题意，得，令，
因为，所以，则，
又，所以，则，
又点在上，则，整理得，则，
所以，即，
整理得，则，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案为：.
四、解答题
12．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程；
（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上.
【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，
则由可得，，
双曲线方程为.
（2）由(1)可得，设，
显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，
与联立可得，且，
则，
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，
由可得，即，
据此可得点在定直线上运动.
【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题17 双曲线定义与性质及其综合问题
目录 第一部分 研·考情精析 锁定靶心 高效备考 第二部分 理·方法技巧 梳理知识 总结技巧与方法 第三部分 攻·题型速解 典例精析+变式巩固 【题型01】双曲线的定义和方程 【题型02】双曲线中的几何性质（光学性质） 【题型03】双曲线的焦点三角形 【题型04】双曲线的离心率 【题型05】点差法（中点弦公式） 【题型06】定义法求轨迹方程（双曲线） 【题型07】利用定义求距离和、差的最值 【题型08】双曲线的离心率范围 【题型09】双曲线中的面积问题 【题型10】双曲线中的向量问题 【题型11】双曲线中的斜率问题 【题型12】双曲线中的图形问题 【题型13】双曲线中的定点、定线问题 【题型14】双曲线中的数列问题 第四部分 练·决胜冲刺 精选好题+通关训练
考向聚焦 双曲线是高考数学解析几何核心考点，题型覆盖选择、填空、解答题，整体解析结合占20—28分。考向聚焦四大核心：一是定义应用，常结合焦点三角形求周长、轨迹方程或线段最值；二是标准方程求解，以待定系数法为主，需判断焦点位置；三是几何性质，离心率为必考重点，结合关系求解；四是综合应用，直线与双曲线联立是解答题核心，常与韦达定理、弦长、面积、定点定值等结合，难度中等偏上。复习需强化定义与性质基础，熟练运算技巧。
关键能力 双曲线解题的关键能力，一是定义活用能力，能快速将双曲线定义转化线段关系，破解焦点三角形、轨迹问题。二是代数运算能力，熟练联立直线与双曲线方程，结合韦达定理简化计算，攻克弦长、面积等综合题。三是性质迁移能力，掌握a,b,c,e的关系，精准求解离心率。四是数形结合能力，以形助数，快速定位最值、定点定值问题的突破口。
备考策略 双曲线备考需立足基础，先吃透定义、标准方程及a、b、c、e的核心关系，熟练定义法、待定系数法求轨迹方程。针对离心率、焦点三角形等高频考点，归纳解题模型，强化训练。 直线与双曲线综合题是难点，需熟练联立方程、活用韦达定理，掌握弦长、面积、定点定值的解题套路，提升代数运算与数形结合能力。定期刷高考真题，总结易错点，规避计算失误。
◇方法技巧 01 选填的常用方法
双曲线选填专题的解题方法可围绕定义、方程、性质、综合应用四大模块总结，核心思路是数形结合+代数运算，具体如下：
1、定义法
核心是活用双曲线的第一定义（），常用于求轨迹方程、焦点三角形的周长或边长最值。
2、待定系数法
求解双曲线标准方程的核心方法，分两步：
先判断焦点位置（轴或轴），设对应标准方程；
再结合已知条件（过定点、关系、离心率等）列方程，解出。
若焦点位置不确定，可设统一方程简化计算。
3、离心率求解法
离心率，关键是建立的齐次关系式：
（1）几何法：结合焦点三角形、双曲线顶点、直线与双曲线位置关系，用勾股定理、余弦定理等推导；
（2）代数法：由已知条件转化为的方程，消去（利用）。
4、焦点三角形解法
结合定义+余弦定理+面积公式：
由定义得，由余弦定理得；
面积公式：；
焦半径：，；
5、中点弦公式
（1）已知是双曲线上的两个点，为重点，则.
（2）已知是双曲线：上的两动点，是双曲线上异于的一点，若两点关于原点对称.
6、焦半径倾斜式及焦比公式:过左焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点；
，若，且在线段上时，则焦比公式：；若，且在线段外时，则焦比公式：.
◇方法技巧 02 解答题的常用方法
直线与双曲线综合问题解法
核心步骤是联立方程+韦达定理，适用于弦长、面积、定点定值、最值问题：
设直线方程（斜率存在设，斜率不存在设），与双曲线方程联立，消去或得一元二次方程；
利用判别式确定参数范围，由韦达定理得、；
（1）弦长和面积：弦长公式，或面积公式×底×高求解；
（2）向量问题：利用点的坐标表示向量，包括直径所对的圆周角为直角进行向量数量积为零；
（3）斜率问题：利用点的坐标表示斜率，包括三点共线时利用斜率的差为零，角度相等时，角度的其中一边平行于或时，将角度转化为倾斜角的关系，利用斜率的和，差，乘积为定值求解；
（4）图形问题：利用向量和斜率求解三角形的形状，包括：等腰，等边，直角，钝角三角形；平行四边形对角线互相平分，利用中点坐标进行求解；矩形，菱形，正方形在平行四边形上进行垂直和长度的求解即可.
（5）定点、定线问题：利用题目所给的翻译条件，构建等式，从而将直线中用表示即可证明定点坐标；利用直线的交轨法，消参的方法，进行定直线的证明.
◇题型 01 双曲线的定义和方程
典｜例｜精｜析
典例1．已知双曲线的右焦点为，抛物线与双曲线的一条渐近线交于点．为坐标原点，若为正三角形，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
典例2．已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线的渐近线上的点，满足，且，的面积为，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
混淆双曲线第一定义的条件，忽略，误判轨迹。设方程时忽视焦点位置，漏设的统一形式。计算中混淆a,b,c关系，记错，离心率公式误用。
变｜式｜巩｜固
变式1．已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，以坐标原点O为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段中垂线上，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式3．已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
◇题型 02 双曲线中的几何性质（光学性质）
典｜例｜精｜析
典例1．已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B．
C． D．
典例2．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为()
A． B． C． D．
一是混淆的关系，记错，或把离心率与椭圆公式混淆；二是忽略离心率范围，计算后未验证取值合理性。三是几何性质应用时，误将双曲线顶点、焦点坐标写反，尤其焦点在y轴上的方程，易把位置弄混。四是光学性质理解偏差，不清楚 “从一焦点发出的光线经双曲线反射后延长线必过另一焦点” 的本质，无法结合定义解决反射类轨迹问题。
变式1．设O为坐标原点，是双曲线的左、右焦点，已知双曲线C的离心率为，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，则（ ）
A． B．2
C． D．
变式2．在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲线的离心率为2，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的值为（ ）
A． B． C． D．
◇题型 03 双曲线的焦点三角形
典｜例｜精｜析
典例1．设双曲线C：（）的左、右焦点分别为，离心率为．是上一点，且．若的面积为4，则（ ）
A．1 B．2
C．4 D．8
典例2．双曲线C：的左、右焦点分别为，，离心率为，点P在C上，，则的外接圆与内切圆的半径之比为（ ）
A． B．
C． D．
公式混淆：记混面积公式，误用，或记错简洁公式的形式，漏掉或写错半角关系。 条件遗漏：计算时忽略双曲线定义与余弦定理的结合，无法由角度推导出的值。 参数混用：将椭圆中与双曲线的混淆，代入数值时出错，导致面积计算结果偏差。
变式1．已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则P到x轴的距离为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）
A． B．3
C． D．2
变式2．设是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，若的内切圆的半径为（为圆心），且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
◇题型 04 双曲线的离心率
典｜例｜精｜析
典例1．已知为双曲线的左右焦点，点的坐标为．若为等边三角形，则双曲线的离心率是（ ）
A． B．2
C．2 D．3
典例2．设双曲线的左 右焦点分别为，过的直线与的右支相交于，两点，若，则的离心率为（ ）
A． B．
C．2 D．3
一是公式混淆，误将双曲线离心率记成椭圆离心率，忽略双曲线的范围，计算后未验证结果合理性。二是“a、b、c关系用错”，将椭圆中与双曲线的混淆，推导齐次式时出错。三是几何条件转化失误，比如焦点三角形、直线与双曲线相切等场景，无法正确提炼出a与c的比例关系。四是焦点位置判断失误，焦点在y轴时仍套用x轴双曲线的参数关系。
变｜式｜巩｜固
变式1．双曲线的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．双曲线的左、右焦点分别为、，点是其渐近线上的一点，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2
C． D．4
变式3．已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，过的直线与其右支交于，两点，若，，则的离心率为（ ）
A． B．2
C． D．4
◇题型 05 点差法（中点弦公式）
典｜例｜精｜析
典例1．过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（ ）
A． B．2
C． D．
典例2．如图，已知过原点的直线与双曲线相交于两点，双曲线的右支上一点满足，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
一是前提遗漏，忽略点差法的适用条件 —— 直线与双曲线有两个交点，未验证判别式Δ>0，导致所求参数范围失真。二是公式推导错误，将点代入双曲线方程相减时，误算移项步骤，记错中点与斜率k的核心关系式。三是焦点位置混淆，焦点在y轴上的双曲线，未调整公式形式，仍套用x轴双曲线的点差法结论，造成斜率计算错误。
变式1．已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式3．已知直线过双曲线的左焦点，且与的左 右两支分别交于两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（ ）
A． B．
C． D．
◇题型 06 定义法求轨迹方程（双曲线）
典｜例｜精｜析
典例1．已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
典例2．已知点和圆：，是圆上的动点，直线与线段的垂直平分线交于点，则点所满足的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
（1）定义法：进行相关的数形结合的表示，并进行对应的消元，使得动点到两个定点的距离的差的绝对值为定值；容易忽略未知变量的表示. （2）相关点法：进行相关点的表示时，没有用已知点对未知点的表示，带入进行求解. （3）直译法：进行点的坐标表示时，注意未知变量的取值范围.
变式1．已知动圆C与圆内切，与圆外切，则动圆圆心C的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式3．在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段FP为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
◇题型 07 利用定义求距离和、差的最值
典｜例｜精｜析
典例1．设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
典例2．P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则的最大值为（ ）
A．6 B．7
C．8 D．9
（1）没有先判断点在双曲线内侧和双曲线外侧，因此使得距离和、差求解错误；距离和、距离差上，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，转化为三点共线.
变式1．已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．6
C．10 D．14
变式2．已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（ ）
A． B．
C． D．
变式3．已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点为，点在双曲线左支上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ）
A．6 B．7
C．8 D．9
◇题型 08 双曲线的离心率范围
典｜例｜精｜析
典例1．已知双曲线上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
典例2．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
双曲线离心率的核心范围是e>1，但解题中易因多种疏漏出错。一是混淆圆锥曲线范围**，常与双曲线（e>1）、抛物线（e=1）的离心率边界混淆，导致基础判断失误。二是忽略焦点位置**，对含参数双曲线方程（如），未区分m>n（焦点在x轴）和m1会缩小范围。四是公式变形失误，记错，或推导时忽略与e的单调性关联，最终得出错误离心率区间。
变式1．已知双曲线，过点的两条直线分别与双曲线的上支 下支相切于点.若为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
◇题型09 双曲线中的面积问题
典｜例｜精｜析
典例1．已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．
(1)求的方程；
(2)过双曲线右支上一动点分别作两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于，，为坐标原点，证明：平行四边形的面积为定值，并求出该定值．
典例2．已知双曲线的焦距为,渐近线方程为,左顶点为,过点且与轴不重合的直线交双曲线右支于两点．直线与圆分别交于两点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求证：直线与直线的斜率之积为定值；
(3)记三角形的面积为的面积为,求的取值范围．
一是面积公式误用，计算弦与原点或焦点围成的三角形面积时，混淆底高公式与向量叉乘、行列式等便捷算法，未结合弦长公式和点到直线距离公式，导致计算繁琐且出错。二是变量范围遗漏，用参数法设点或设直线斜率时，忽略双曲线上点的坐标边界，或未考虑直线斜率不存在的特殊情况，使最值点超出双曲线范围。三是判别式忽视，联立直线与双曲线方程求交点时，未验证Δ≥0，得出的 “最值” 因直线与双曲线无交点而无效。四是转化逻辑缺陷，不会将面积最值转化为函数最值，或换元后忽略新变量范围，导致极值求解偏差。
变式1．已知双曲线的离心率为分别是双曲线的左 右焦点，过的直线与双曲线交于两点，当直线垂直于轴时，.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若的面积为，求直线的方程.
变式2．已知双曲线的左 右焦点分别是，并且经过点.
(1)求的方程；
(2)过点的直线交双曲线的右支于两点（点在第一象限），过点作直线的垂线，垂足为.
（i）求证：直线经过定点；
（ii）记的面积为，求的取值范围.
变式3．在平面直角坐标系中，已知动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数2．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)过点的动直线与曲线交于两点，问：在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．
◇题型10 双曲线中的向量问题
典｜例｜精｜析
典例1．已知双曲线：的右焦点为，且到的其中一条渐近线的距离为.
(1)求的方程；
(2)设，过点的直线与相交于两点，是否存在正数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
典例2．已知双曲线C：的离心率为2，其右焦点F到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线：与双曲线C交于不同的两点A，B，且以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点.
一是向量条件转化失误，不会将向量垂直（）、共线等条件转化为坐标等式，或转化后代入椭圆方程时计算出错，丢失隐含约束。二是直径圆周角性质混淆，误将双曲线直径等同于圆的直径，忽略椭圆无 “直径所对圆周角为直角” 的固有性质，直接套用圆的结论，导致逻辑断层。三是过定点问题漏特殊情况，求动直线过定点时，未验证斜率不存在的情形，或参数消元不彻底，无法锁定定点坐标。四是判别式与范围疏漏，联立方程后未检验Δ≥0，使所求点或直线不满足与双曲线相交的前提，结果失效。
变式1．已知双曲线的离心率分别为其两条渐近线上的点，若满足的点在双曲线上，且的面积为8，其中为坐标原点.
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的右焦点的动直线与双曲线相交于两点，在轴上是否存在定点，使得为常数 若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
变式2．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸：
步骤1：在纸上画一个圆A，并在圆外取一定点B；
步骤2：把纸片折叠，使得点B折叠后与圆A上某一点重合；
步骤.3：把纸片展开，并得到一条折痕；
步骤4：不断重复步骤2和3，得到越来越多的折痕.
你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓.若取一张足够大的纸，画一个半径为2的圆A，并在圆外取一定点B，，按照上述方法折纸，点B折叠后与圆A上的点W重合，折痕与直线交于点E，E的轨迹为曲线T.
(1)以所在直线为x轴建立适当的坐标系，求曲线T的方程；
(2)设曲线T的左、右顶点分别为E，H，点P在曲线T上，过点P作曲线T的切线l与圆交于M，N两点（点M在点N的左侧），记，的斜率分别为，，证明：为定值；
(3)F是T的右焦点，若直线n过点F，与曲线T交于C，D两点，是否存在x轴上的点，使得直线n绕点F无论怎么转动，都有成立 若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由.
变式3．已知双曲线的离心率为2，其右焦点到一条渐近线的距离为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于不同的两点，，且以线段为直径的圆经过点．
①证明：直线过定点；
②已知点，判断双曲线上是否存在点，使为的重心，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．
◇题型11 双曲线中的斜率问题
典｜例｜精｜析
典例1．已知双曲线的实轴长为2，设为的右焦点，为的左顶点，过的直线交于A，B两点，当直线AB斜率不存在时，的面积为9．
(1)求的方程；
(2)当直线AB斜率存在且不为0时，连接TA，TB分别交直线于P，Q两点，设为线段PQ的中点，记直线AB，FM的斜率分别为，证明：为定值．
典例2．在平面直角坐标系中，已知曲线的方程为，右顶点为，倾斜角为的直线过点，且与曲线相交于两点.
(1)当时，求三角形的面积；
(2)在轴上是否存在定点，使直线与曲线的左支有两个交点的情况下，总有 如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由.
一是三点共线转化疏漏，常只套用斜率相等条件，忽略斜率不存在的垂直轴情形，且未结合判别式验证共线点是否在双曲线上，导致结论无效。二是斜率关系误用，易混淆中点弦斜率乘积）等结论的适用前提，韦达定理推导斜率和差时，又因代数变形失误得出错误关系。三是角度转斜率偏差，将角相等误转为斜率相等，未识别倾斜角互补对应，且遗漏90°角需斜率积为的特殊条件，造成逻辑断层。
变式1．已知双曲线：的实轴长为2，设F为C的右焦点，T为C的左顶点，过F的直线交C于A，B两点，当直线斜率不存在时，的面积为9.
(1)求C的方程；
(2)当直线斜率存在且不为0时，连接，分别交直线于P，Q两点，设M为线段的中点，证明：.
变式2．已知双曲线的左、右顶点为，右焦点为，离心率为．
(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
(2)过点的直线交双曲线于点（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．
变式3．已知双曲线 的左、右顶点分别为 与 ，点 在 上，且直线 与 的斜率之和为 .
(1)求双曲线 的方程;
(2)过点的直线与 交于 两点(均异于点 )，直线 与直线 交于点，求证: 三点共线.
◇题型12 双曲线中的图形问题
典｜例｜精｜析
典例1．已知O为坐标原点，双曲线的焦距为，过点的直线与C交于A，B两点，当轴时，的面积为.
(1)求C的方程；
(2)证明：为钝角三角形.
典例2．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为.
(1)求C的方程；
(2)记C的左顶点为A，直线与x轴交于点B，过B的直线与C的右支于P，Q两点，直线AP，AQ分别交直线l于点M，N，证明O，A，M，N四点共圆.
一是图形判定条件疏漏，证平行四边形时仅关注对边斜率相等，忽略对边长度相等的核心要求；求矩形未将 “邻边垂直” 转化为斜率积为，菱形则遗漏 “邻边相等” 或 “对角线垂直” 的关键条件。二是点的存在性验证不足，联立方程后未检验Δ≥0，或未确认顶点坐标在双曲线范围内，导致求出的图形实际不存在。三是特殊情况缺失，忽视直线斜率不存在的情形，且未考虑双曲线对称性带来的多解，漏算符合条件的图形数量。四是面积与边长计算失误，混淆图形面积公式，且未结合双曲线参数方程简化运算，增加计算误差。
变式1．已知双曲线的离心率为2，实轴的左 右顶点分别为，虚轴的上 下顶点分别为，且四边形的面积为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知直线与交于两点，若，求实数的取值范围.
变式2．已知双曲线：（，）的右顶点，斜率为1的直线交于、两点，且中点.
(1)求双曲线的方程；
(2)证明：为直角三角形；
(3)经过点且斜率不为零的直线与双曲线的两支分别交于点，.若点是点关于轴的对称点，试问，不论直线的斜率如何变化，直线是否过定点 若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，说明理由.
◇题型14 双曲线中的定点、定线问题
典｜例｜精｜析
典例1．已知，，M是圆O：上任意一点，关于点M的对称点为N，线段的垂直平分线与直线相交于点T，记点T的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)设（）为曲线C上一点，不与x轴垂直的直线l与曲线C交于G，H两点（异于E点）.若直线GE，HE的斜率之积为2，求证：直线l过定点.
典例2．在平面直角坐标系中，双曲线，，分别为曲线的左焦点和右焦点，在双曲线的右支上运动，的最小值为1，且双曲线的离心率为2．
(1)求双曲线的方程；
(2)当过的动直线与双曲线相交于不同的点，时，在线段上取一点，满足．证明：点总在某定直线上．
一是参数消元不彻底，求过定点时，未将直线方程整理为关于参数的恒等式形式，无法分离出定点坐标，或消元时遗漏参数的系数为零的核心条件。二是特殊情形遗漏，仅考虑斜率存在的直线，忽略斜率不存在（垂直 x 轴）的情况，导致定点或定直线解不完整。三是存在性验证缺失，未检验直线与双曲线联立后的Δ≥0，得出的定点对应的直线实际与双曲线无交点；证交点在定直线时，未结合双曲线范围确认点的有效性，结论缺乏严谨性。四是逻辑倒置失误，误将 “定点满足直线方程” 与 “直线过定点” 的因果关系颠倒，引发推导逻辑断层
变式1．已知双曲线的离心率为，点在上．
(1)求双曲线的方程；
(2)直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点．
变式2．平面内点到点与到直线的距离之比为3.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)为的左右顶点，过的直线与交于（异于）两点，与交点为，求证：点在定直线上.
◇题型12 双曲线中的数列问题
典｜例｜精｜析
典例1．已知双曲线，点在上.按如下方式构造点：过点作斜率为的直线与的下支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐标为.
(1)求点，的坐标；
(2)记，证明：数列为等比数列；
(3)为坐标原点，，分别为线段，的中点，记，的面积分别为，，求的值.
典例2．已知双曲线的渐近线方程为，点在上，为常数，，按照如下方式依次构造点，过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.
(1)求的标准方程；
(2)证明：数列是等比数列；
(3)若，求的面积.
提示：在中，设，则.
利用直线与双曲线的位置关系，求解对应的点的坐标，然后利用坐标的关系，进行数列的证明，利用坐标，进行三角形面积的表示.
变式1．已知双曲线．点在上．按如下方式构造点．过点作斜率为的直线与的下支交于点．点关于轴的对称点为．记点的坐标为
(1)求的值：
(2)记．证明：数列为等比数列；
(3)记的面积为．证明：是定值．
变式2．已知双曲线过点，其渐近线的方程为．按照如下方式依次构造点；过右支上点作斜率为1的直线与C的左支交于点，过再作斜率为的直线与C的右支交于点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)用表示点的坐标；
(3)求证：数列是等比数列．
一、单项选择题
1．（2021·全国甲卷·高考真题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2019·全国III卷·高考真题）双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020·全国III卷·高考真题）设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A．1 B．2
C．4 D．8
5．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C．2 D．3
6．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（ ）
A．2 B．5
C． D．
7．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
8．（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（ ）
A． B．
C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为
9．（2022·全国乙卷·高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
10．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为________________．
11．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为_________________．
四、解答题
12．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
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