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高考数学方法技巧全归纳
（函数与导数、三角函数与解三角形、数列）
目录
方法技巧01 同一函数的判断 1
方法技巧02 求函数的定义域 2
方法技巧03 求函数的值域 3
方法技巧04 求函数的解析式 7
方法技巧05 分段函数 9
方法技巧06 确定函数的单调性(单调区间) 11
方法技巧07 函数单调性的应用 12
方法技巧08 求函数的最值 14
方法技巧09 函数奇偶性的判断 16
方法技巧10 函数奇偶性的应用 17
方法技巧11 函数的周期性 19
方法技巧12 轴对称问题 20
方法技巧13 中心对称问题 20
方法技巧14 两函数图象间的对称问题 21
方法技巧15 幂函数的图象及性质 22
方法技巧16 二次函数的图象与解析式 23
方法技巧17 二次函数的单调性与最值 24
方法技巧18 指数幂的运算 26
方法技巧19 指数函数的图象及应用 27
方法技巧20 比较指数式的大小 28
方法技巧21 解简单的指数方程或不等式 28
方法技巧22 指数函数性质的综合应用 29
方法技巧23 对数的运算 30
方法技巧24 对数函数的图象及应用 31
方法技巧25 对数函数的性质及应用 32
方法技巧26 函数图象的辨识 34
方法技巧27 函数图象的应用 36
方法技巧28 判定函数零点所在的区间 37
方法技巧29 确定函数零点的个数 38
方法技巧30 根据函数零点个数求参数 39
方法技巧31 根据函数零点范围求参数 41
方法技巧32 用函数图象刻画实际问题 42
方法技巧33 已知函数模型的实际问题 43
方法技巧34 构建函数模型的实际问题 44
方法技巧35 变化率问题 46
方法技巧36 导数的运算 48
方法技巧37 导数几何意义的应用 49
方法技巧38 两曲线的公切线问题 50
方法技巧39 导函数与原函数性质关系问题 52
方法技巧40 不含参数的函数的单调性 54
方法技巧41 含参数的函数的单调性 55
方法技巧42 函数单调性的应用 57
方法技巧43 根据函数的图象判断函数的极值 59
方法技巧44 求已知函数的极值 61
方法技巧45 已知函数的极值(点)求参数 62
方法技巧46 利用导数研究函数的最值 65
方法技巧47 导数型构造函数 66
方法技巧48 依据数值特征构造具体函数 68
方法技巧49 地位同等同构 69
方法技巧50 指对混合型的同构 71
方法技巧51 移项构造法证明不等式 73
方法技巧52 分拆构造双函数法证明不等式 75
方法技巧53 放缩法证明不等式 76
方法技巧54 端点效应 79
方法技巧55 洛必达法则 82
方法技巧56 单变量不等式恒成立问题 84
方法技巧57 单变量不等式能成立问题 86
方法技巧58 双变量不等式恒(能)成立问题 87
方法技巧59 数形结合法探究函数零点问题 89
方法技巧60 借助函数的性质探究函数的零点问题 91
方法技巧61 构造函数法研究函数零点 94
方法技巧62 隐零点问题 96
方法技巧63 极值点偏移问题 98
方法技巧64 任意角 103
方法技巧65 扇形的弧长及面积公式 104
方法技巧66 三角函数的概念及应用 105
方法技巧67 同角三角函数的基本关系“知一求二”问题 106
方法技巧68 正余弦齐次式的计算 106
方法技巧69 sinα±cosα和sinαcosα之间的关系 107
方法技巧70 诱导公式的应用 109
方法技巧71 和、差、倍角公式的直接应用 111
方法技巧72 和差角公式的逆用与变形 112
方法技巧73 角的变换问题 113
方法技巧74 三角函数式的求值 114
方法技巧75 三角函数的定义域和值域 115
方法技巧76 三角函数的周期性、对称性与奇偶性 117
方法技巧77 求三角函数的单调区间 119
方法技巧78 根据三角函数的单调性求参数 120
方法技巧79 比较三角函数值的大小 121
方法技巧80 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换 122
方法技巧81 由图象确定三角函数的解析式 123
方法技巧82 三角函数图象与性质的综合应用 125
方法技巧83 三角函数模型的应用 126
方法技巧84 三角函数中ω的范围问题 128
方法技巧85 复杂三角函数性质判断 130
方法技巧86 利用正、余弦定理解三角形 134
方法技巧87 判断三角形的形状 136
方法技巧88 三角形面积的计算 137
方法技巧89 三角形的中线问题 139
方法技巧90 三角形的角平分线问题 142
方法技巧91 三角形的高线问题 144
方法技巧92 已知三角形的一角求取值范围 147
方法技巧93 已知三角形的一角及其对边求取值范围 148
方法技巧94 已知三角形的一角及其邻边求取值范围 150
方法技巧95 已知三角形中角(或边)的关系求取值范围 152
方法技巧96 测量距离问题 153
方法技巧97 测量高度问题 155
方法技巧98 测量角度问题 156
方法技巧99 和差正切公式在解三角形的应用 158
方法技巧100 由an与Sn的关系求通项公式 160
方法技巧101 由数列的递推关系求通项公式 162
方法技巧102 数列的周期性 163
方法技巧103 数列的单调性 164
方法技巧104 数列的最值 165
方法技巧105 等差数列基本量的运算 166
方法技巧106 等差数列的判定与证明 167
方法技巧107 等差数列性质的应用 169
方法技巧108 等差数列的前n项和及其最值 171
方法技巧109 等比数列基本量的运算 173
方法技巧110 等比数列的判定与证明 174
方法技巧111 等比数列性质的应用 176
方法技巧112 分组求和与并项求和 178
方法技巧113 裂项相消法求和 180
方法技巧114 错位相减法求和 182
方法技巧115 数列模型的应用 184
方法技巧116 数列中的不等式证明 186
方法技巧117 数列中的不等式恒成立 188
方法技巧118 数列奇偶项问题 189
方法技巧119 数列增减项问题 191
方法技巧120 数列新情境、新定义问题 192
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方法技巧01 同一函数的判断
判断两个函数为同一个函数应注意的三点
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．
(2)函数是两个非空数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．
(3)在化简解析式时，必须是等价变形．
【典例1】下列各组函数相等的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【典例2】（多选题）下列各项不能表示同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【典例3】与函数有相同图象的一个函数是（ ）
A． B．
C．，其中 D．，其中
方法技巧02 求函数的定义域
求函数的定义域的策略
(1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义．
(2)求抽象函数的定义域：
①若f (x)的定义域为[m，n]，则在f (g(x))中，由mg(x)n解得x的取值范围即为f (g(x))的定义域．
②若f (g(x))的定义域为[m，n]，则由mxn得到g(x)的取值范围，即为f (x)的定义域．
【典例1】已知函数y＝f (x)的定义域为[0，4]，则函数y＝＋(x－2)0的定义域是(　　)
A．(1，5]　　　　　 B．(1，2)∪(2，5)
C．(1，2)∪(2，3] D．(1，3]
【典例2】(2025广东东莞模拟)函数y＝＋的定义域为________．
【典例3】)(2025山东青岛模拟)若函数f (x)＝的定义域为R，则常数k的取值范围是(　　)
A．(0，4) B．[0，4)
C．[0，4] D．(0，4]
方法技巧03 求函数的值域
（1）观察法(有界函数）——“拼图”
第一步，观察函数中的特殊函数；
第二步，利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域．
（2）配方法
以二次函数的相关性质、图像为依托，利用数形结合思想求解某函数在给定区间的最值和值域问题。这种方法一般适用于形如的函数的值域和最值问题
第一步，将二次函数配方成；
第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域．（特别注意自变量的范围）
(注：配方法配的常数是一次项系数的一半的平方，对二次函数型值域问题，我们通常可以采用配方并结合图像的方法求解。）
图象法
通过数形结合方式，将图象投影到y轴上，看值域时，记得由下往上看。
（4）分离常数法（即是求值域的方法也是化简解析式的方法）
分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法：
主要的分式函数有：等
解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数。
第一步，观察函数类型，型如；
第二步，对函数变形成形式；
第三步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域．
（5）换元法
第一步，观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；
第二步，另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域．
如：函数，可以令，得到，函数
可以化为()，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．
（6）判别式法
第一步，观察函数解析式的形式，型如的函数；
第二步，将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数的取值范围，即得函数的值域．
（7）单调性法
第一步，求出函数的单调性；
第二步，利用函数的单调性求出函数的值域．
（8）基本不等式法
第一步 观察函数解析式的形式，型如或的函数；
第二步 对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域.
注意根据基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”
（9）导数法
先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域.
【典例1】函数的值域为__________
【典例2】函数的值域为______．
【典例3】函数的值域为______.
【典例4】函数，的值域为 ．
【典例5】已知函数的值域为，则实数的取值范围为________．
方法技巧04 求函数的解析式
求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法．
(2)换元法：已知复合函数f (g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(3)配凑法：由已知条件f (g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f (x)的解析式，注意g(x)的取值范围．
(4)解方程组法：已知关于f (x)与f 或f (－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x)．
【典例1】求下列函数的解析式：
(1)已知f (1－sin x)＝cos2x，求f (x)的解析式；
(2)已知f ＝x2＋，求f (x)的解析式；
(3)已知f (x)是二次函数且f (0)＝2，f (x＋1)－f (x)＝x－1，求f (x)的解析式；
(4)已知f (x)满足2f (x)＋f (－x)＝3x，求f (x)的解析式．
【典例2】(1)(易错题)已知f (＋1)＝x－2，则f (x)＝________．
(2)已知f (x)满足f (x)－2f ＝2x，则f (x)＝________．
(3)设函数f (x)是单调递增的一次函数，满足f (f (x))＝16x＋5，则f (x)＝________．
方法技巧05 分段函数
分段函数的几类题型及解决方法
(1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参．
(2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值．
(3)涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解．
【典例1】(2025湖北武汉模拟)已知f (x)＝则f ＝(　　)
A．2 B．
C． D．1
【典例2】函数f (x)＝若实数a满足f (a)＝f (a－1)，则f ＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
【典例3】(2024湖北十一校一模)已知函数f (x)＝则关于x的不等式f (x)1的解集为________．
【典例4】设函数则满足的x的取值范围是______．
方法技巧06 确定函数的单调性(单调区间)
确定函数单调性的方法
(1)定义法：取值、作差、变形(因式分解、配方、有理化、通分等)、定号、下结论．
(2)性质法：同增异减，即内、外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数．
(3)图象法：如果f (x)是以图象形式给出的，或者f (x)的图象易画出，可由图象直观地判断函数单调性．
(4)导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性．
提醒：定义域先行，单调区间是定义域的子集．
【典例1】(2025浙江绍兴模拟)函数y＝ln (x2－2x)的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，0) D．(2，＋∞)
【典例2】(2024广东深圳三模)函数y＝|－x2＋4x＋5|的单调递增区间是________．
【典例3】试讨论函数f (x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性．
方法技巧07 函数单调性的应用
函数单调性应用问题的解题策略
(1)比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)解与抽象函数有关的不等式，由条件脱去“f ”，转化为自变量间的大小关系，一般转化为不等式组，应注意等价转化和函数的定义域．
(3)利用单调性求参数的取值(范围)，根据函数的单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到函数图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值，在衔接点处需建立一个不等式．
【典例1】已知函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f (x2)－f (x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f ，b＝f (2)，c＝f (e)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
【典例2】(2025广东佛山模拟)已知函数y＝f (x)在定义域(－1，3)上是增函数，且f (2a－1)A．(1，2) B．(－∞，1)
C．(0，1) D．(1，＋∞)
【典例3】(2024新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B．[－1，0]
C．[－1，1] D．[0，＋∞)
【典例4】设f (x)是定义在R上的增函数，且f (xy)＝f (x)＋f (y)，f (3)＝1，则不等式f (x)＋f (－2)＞1的解集为________．
方法技巧08 求函数的最值
求函数最值的五种常用方法
【典例1】(2024湖南湘东名校期中)已知函数f (x)＝2x2－1，g(x)＝ax，x∈R，用M(x)表示f (x)，g(x)中的较大者，记为M(x)＝max{f (x)，g(x)}，若M(x)的最小值为－，则实数a的值为(　　)
A．0 B．±1
C．± D．±2
【典例2】（2024·广东茂名·高三统考阶段练习）设函数若存在最小值，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（2025高二·宁夏石嘴山·阶段练习）若函数在区间上的最大值为3，则实数（ ）
A． B．1 C．3 D．
方法技巧09 函数奇偶性的判断
判断函数奇偶性的两个必备条件及方法
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先判断函数的定义域是不是关于原点对称；
(2)判断f (x)与f (－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x)＋f (－x)＝0(奇函数)或f (x)－f (－x)＝0(偶函数))是否成立．
(3)判断函数奇偶性的方法：①定义法；②图象法．
【典例1】判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x)＝；
(2)f (x)＝(1＋x)；
(3)f (x)＝
(4)f (x)＝log2(x＋)．
【典例2】已知函数f (x)对任意x，y∈R，都有f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋2，则函数f (x)＋2为________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)
方法技巧10 函数奇偶性的应用
1.求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值．
2.(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数值或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合图象直观求解相关问题．
【典例1】(2023新高考Ⅱ卷)若f (x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a＝(　　)
A．－1 B．0
C． D．1
【典例2】(2024山西大学附中期中)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f (x)＝x3＋x＋1，则f (x)在R上的解析式为________．
【典例3】(2025湖南师大附中模拟)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，f (x)在[0，＋∞)上单调递减，且f (3)＝0，则不等式(2x－5)f (x－1)＜0的解集为(　　)
A．(－∞，－2)∪ B．(4，＋∞)
C．∪(4，＋∞) D．(－∞，－2)
方法技巧11 函数的周期性
利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题；利用函数的周期性，能实现自变量的转移，把自变量大化小．
【典例1】(2025福建三明期中)若偶函数f (x)满足f (x＋2)＋f (x)＝0，当x∈(0，1)时，f (x)＝＋1，则f ＝(　　)
A．2 B．
C． D．
【典例2】定义在R上的函数f 满足f ＝f －2，则下列函数中是周期函数的是(　　)
A．y＝f －x B．y＝f ＋x
C．y＝f －2x D．y＝f ＋2x
【典例3】已知是定义在上周期为的函数，当时，，那么当时， ______.
方法技巧12 轴对称问题
轴对称的几种表述形式
(1)函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称 f (x)＝f (2a－x) f (a－x)＝f (a＋x)；
(2)若函数y＝f (x)满足f (a＋x)＝f (b－x)，则y＝f (x)的图象关于直线x＝对称．
【典例1】已知函数f (x)＝3|x－a|＋2，且满足f (5＋x)＝f (3－x)，则f (6)＝(　　)
A．29 B．11
C．3 D．5
【典例2】已知函数f (x)(x∈R)满足f (x)＝f (4－x)，若y＝|x－2|与y＝f (x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，则x1＋x2＋x3＋x4＝(　　)
A．－4 B．0
C．4 D．8
方法技巧13 中心对称问题
中心对称的几种表述形式
(1)函数y＝f (x)的图象关于点(a，b)对称 f (a＋x)＋f (a－x)＝2b 2b－f (x)＝f (2a－x)；若函数y＝f (x)满足f (a＋x)＋f (b－x)＝c，则y＝f (x)的图象关于点对称．
(2)双曲线型函数f (x)＝的图象的对称中心为．
【典例1】(2024河北重点中学二模)已知函数y＝f (x－1)为奇函数，则函数y＝f (x)＋1的图象(　　)
A．关于点(1，1)对称 B．关于点(1，－1)对称
C．关于点(－1，1)对称 D．关于点(－1，－1)对称
【典例2】(2024四川泸州三模)已知函数f (x)(x∈R)满足f (x)＋f (4－x)＝0，若函数f (x)与y＝图象的交点的横坐标分别为x1，x2，…，xn，则＝(　　)
A．4n B．2n
C．n D．0
方法技巧14 两函数图象间的对称问题
函数y＝f (a＋x)的图象与函数y＝f (b－x)的图象关于直线x＝对称．
【典例1】(2025江苏扬州模拟)定义在R上的函数y＝f (x)和y＝g(x)的图象关于y轴对称，且函数y＝f (x－2)＋1是奇函数，则函数y＝g(x)图象的对称中心为(　　)
A．(2，1) B．(－2，－1)
C．(－2，1) D．(2，－1)
【典例2】设函数y＝f (x)的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，若f (3)＋f (9)＝1，则实数m的值为________．
方法技巧15 幂函数的图象及性质
与幂函数有关问题的解题思路
(1)关于幂函数y＝xα，若α∈Z且函数是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将xα先化为根式，再分析函数的性质．
(2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0．
(3)在比较幂值的大小时，结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
【典例1】已知a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．bC．b【典例2】幂函数f (x)＝(m2－3m－3)xm在区间(0，＋∞)上单调递减，则下列说法正确的是(　　)
A．m＝4 B．f (x)是减函数
C．f (x)是奇函数 D．f (x)是偶函数
【典例3】如图所示是函数y＝(m，n∈N*且互质)的图象，则(　　)
A．m，n是奇数且<1
B．m是偶数，n是奇数，且<1
C．m是偶数，n是奇数，且>1
D．m，n是偶数，且>1
方法技巧16 二次函数的图象与解析式
研究二次函数图象及解析式应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取零点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．
【典例1】已知二次函数f (x)满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x)的最大值是8，则f (x)＝________．
【典例2】(多选)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，则(　　)
A．b2＞4ac B．2a－b＝1
C．a－b＋c＝0 D．5a＜b
方法技巧17 二次函数的单调性与最值
二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
【典例1】(2024山东济南期中)已知函数y＝的定义域与值域均为[0，1]，则实数a的取值为(　　)
A．－4 B．－2
C．1 D．－1
【典例2】(2024江苏常州期中)已知二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，恒有f (x＋1)－f (x)＝2x＋2，f (0)＝－2．
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)设g(x)＝f (x)－mx，若函数g(x)在区间[1，2]上的最大值为3，求实数m的值；
(3)若h(x)＝[f (x)－x2＋2]|x－a|，a∈R，若函数h(x)在[－2，2]上是单调函数，求a的取值范围．
方法技巧18 指数幂的运算
指数幂运算的一般原则
(1)将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数．
(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式要求统一．
【典例1】(2025湖南长沙模拟)计算－(－1)0＋＝________．
【典例2】(多选)下列计算正确的是(　　)
A．＝
B． ( )÷( )＝－9a(a>0，b>0)
C．＝
D．已知x2＋x-2＝2，则x＋x-1＝2
方法技巧19 指数函数的图象及应用
(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(2)掌握函数y＝f (|x|)，y＝f (x)，y＝|f (x)|的图象之间的变换与联系．
(3)定点与渐近线是作图的关键．
【典例1】(多选)(2025山西晋中模拟)在同一平面直角坐标系中，函数y＝x2＋ax＋a－1与y＝ax的图象可能是(　　)
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
【典例2】若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则实数b的取值范围是________．
方法技巧20 比较指数式的大小
【典例1】(2023天津高考)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c＞a＞b B．c＞b＞a
C．a＞b＞c D．b＞a＞c
【典例2】若2x＋5y2－y＋5－x，则有(　　)
A．x＋y0 B．x＋y0
C．x－y0 D．x－y0
方法技巧21 解简单的指数方程或不等式
指数方程或不等式的解法
（1）解指数方程或不等式的依据：①af（x）＝ag（x） f（x）＝g（x）；②af（x）＞ag（x），当a＞1时，等价于f（x）＞g（x）；当0＜a＜1时，等价于f（x）＜g（x）；
（2）解指数方程或不等式的方法：先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解.
【典例1】(2024江苏宿迁一模)已知函数f (x)＝2x－3－x，则不等式f (x2)A．(－1，3)
B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3，1)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
【典例2】已知实数a≠1，函数f (x)＝若f (1－a)＝f (a－1)，则a的值为________．
方法技巧22 指数函数性质的综合应用
(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
【典例1】(多选)(2024浙江温州期末)已知函数f (x)＝，则(　　)
A．不等式<的解集是(－1，1)
B． x∈R，都有f (－x)＝f (x)
C．f (x)是R上的减函数
D．f (x)的值域为(－1，1)
【典例2】若函数f (x)＝的值域是，则f (x)的单调递增区间是________．
【典例3】已知函数f (x)＝x3(a2x－2－x)是偶函数，则a＝________．
【典例4】(2023新高考Ⅰ卷)设函数f (x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
方法技巧23 对数的运算
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
【典例1】(2025·四川成都模拟)若实数m，n，t满足5m＝7n＝t且＝2，则t＝(　　)
A．2 B．12 C． D．
【典例2】(2025·天津武清模拟)设a＝lg 20＋lg ，b＝log95，则a＋3b的值为(　　)
A．2＋ B．1＋ C．27 D．26
方法技巧24 对数函数的图象及应用
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【典例1】已知函数f (x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　)
A．0B．0C．0D．0【典例2】当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　)
A． B．
C．(1，) D．(，2)
【典例3】已知函数f (x)＝|ln x|，若0方法技巧25 对数函数的性质及应用
【典例1】已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增．若正实数a满足f (log2a)＋≤2f (1)，则a的取值范围是(　　)
A．[1，2] B．
C． D．(0，2]
【典例2】已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【典例3】(多选)(2025·广东深圳中学模拟)已知函数f (x)＝lg (x2＋ax－a－1)，给出下述论述，其中正确的是(　　)
A．当a＝0时，f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．f (x)一定有最小值
C．当a＝0时，f (x)的值域为R
D．若f (x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥－4}
【典例4】(多选)已知函数f (x)＝ln ，下列说法正确的是(　　)
A．f (x)为奇函数
B．f (x)为偶函数
C．f (x)在上单调递减
D．f (x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)
方法技巧26 函数图象的辨识
辨析函数图象的入手点
(1)从函数的定义域判断图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置．
(2)从函数的奇偶性判断图象的对称性．
(3)从函数的特殊点排除不合要求的图象．
(4)从函数的单调性判断图象的变化趋势．
(5)从函数的周期性判断图象的循环往复．
【典例1】函数f (x)＝的图象大致为(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
【典例2】若函数f (x)＝的部分图象如图所示，则f (5)＝(　　)
A．－ B．－ C．－ D．－
方法技巧27 函数图象的应用
(1)注意函数性质与图象特征的对应关系．
(2)某些方程和不等式的求解问题，可转化为图象的交点问题，体现了数形结合的思想．
【典例1】(多选)对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝若f (x)＝2－x2，g(x)＝x2，下列关于函数F(x)＝min{f (x)，g(x)}的说法正确的是(　　)
A．函数F(x)是偶函数
B．方程F(x)＝0有3个根
C．函数F(x)在区间[－1，1]上单调递增
D．函数F(x)有4个单调区间
【典例2】(2024·北京朝阳区三模)已知函数f (x)＝log2x－x＋1，则不等式f (x)<0的解集是(　　)
A．(1，2) B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．(0，2) D．(0，1)∪(2，＋∞)
【典例3】已知函数f (x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f (x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．
方法技巧28 判定函数零点所在的区间
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是否连续，若连续，则再看是否有f (a)·f (b)<0，若有，则函数y＝f (x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点．
【典例1】(2025·河北邯郸模拟)函数f (x)＝2x＋x3－2的零点所在的区间是(　　)
A．(－2，－1) B．(0，1)
C．(－1，0) D．(1，2)
【典例2】已知函数f (x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．当2方法技巧29 确定函数零点的个数
求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f (x)＝0，方程有多少个解，则f (x)有多少个零点．
(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等．
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．
【典例1】函数f (x)＝的零点个数为(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
【典例2】设函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f (x)＝ex＋x－3，则f (x)的零点个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例3】已知函数f＝则关于x的函数y＝4f2－13f＋9的零点的个数为(　　)
A．8 B．7 C．5 D．2
方法技巧30 根据函数零点个数求参数
已知零点个数求参数范围的方法
1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．
【典例1】已知函数f (x)＝若关于x的方程f (x)＝m有3个不相等的实数根，则m的取值范围是________．
【典例2】(多选)已知函数f (x)＝ 函数g(x)＝[f (x)]2－(a－1)f (x)－a，则下列说法错误的是(　　)
A．若a<－，则g(x)恰有2个零点
B．若1≤a<2，则g(x)恰有4个零点
C．若g(x)恰有3个零点，则a的取值范围是[0，1)
D.若g(x)恰有2个零点，则a的取值范围是∪(2，＋∞)
【典例3】函数f (x)＝若函数g(x)＝f (f (x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
方法技巧31 根据函数零点范围求参数
已知函数零点求参数值或取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．
(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解．
【典例1】函数f (x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞)　　　　　 B．[2，＋∞)
C． D．
【典例2】若函数f (x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是________．
方法技巧32 用函数图象刻画实际问题
判断函数图象与实际问题变化过程是否吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意容易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况．
【典例1】高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f的大致图象是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
【典例2】(2024·云南师大附中期末)如图是根据某调查绘制的某地区7岁以下女童身高(长)的中位数散点图，下列可近似刻画身高y(单位：cm)随年龄x(单位：岁)变化规律的函数模型是(　　)
A．y＝mx＋n(m>0)
B．y＝m＋n(m>0)
C．y＝max＋n(m>0，a>1)
D．y＝mlogax＋n(m＞0，a＞1)
方法技巧33 已知函数模型的实际问题
已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
【典例1】(2025·山东泰安模拟)青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.5和5.0，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为V1，V2，则的值所在区间是(　　)
A．(1.5，2) B．(2，2.5)
C．(2.5，3) D．(3，3.5)
【典例2】英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型．如果物体的初始温度是θ1，环境温度是θ0，则经过t min物体的温度θ将满足θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有90 ℃的物体，若放在10 ℃的空气中冷却，经过10 min物体的温度为50 ℃，则若使物体的温度为20 ℃，需要冷却(　　)
A．17.5 min　　　　 B．25.5 min
C．30 min D．32.5 min
方法技巧34 构建函数模型的实际问题
构建函数模型解决实际问题时需注意以下四个步骤
【典例1】　(2024·江苏南通二模)某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：小时)变化的关系如下：当0≤x≤4时，y＝－1；当4(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a的最小值(精确到0.1，参考数据：取1.4)
【典例2】(多选)(2025·浙江嘉兴模拟)常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分记录数据和小数记录数据，把小数记录数据记为x，对应的五分记录数据记为y，现有两个函数模型：
①y＝5＋2lg x；②y＝5－lg .
根据如图所示的标准对数视力表中的数据，下列结论中正确的是(　　)
(参考数据：10-0.2≈0.6，10-0.15≈0.7，10-0.1≈0.8，10-0.05≈0.9)
A．选择函数模型①
B．选择函数模型②
C．小明去检查视力，医生告诉他视力为5.0，则小明视力的小数记录数据为0.9
D．小明去检查视力，医生告诉他视力为4.9，则小明视力的小数记录数据为0.8
方法技巧35 变化率问题
函数的平均变化率和瞬时变化率的关系
平均变化率＝，如果当Δx趋于0时，无限趋近于一个常数，那么这个常数就是函数f (x)在x＝x0处的瞬时变化率．求函数的瞬时变化率可以利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．
【典例1】(多选)环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f (t)，用－的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．
则下列结论正确的是(　　)
A．在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强
B．在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强
C．在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标
D．甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强
【典例2】(多选)吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的关系为r(V)，r′为r(V)的导函数．已知r(V)在0≤V≤3上的图象如图所示，若0≤V1A．<
B．r′>r′
C．r<
D．存在V0∈，使得r′＝
方法技巧36 导数的运算
导数的运算方法
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
【典例1】(2025·河北冀州中学模拟)已知函数f (x)满足f (x)＝f ′sin x－cos x，则f ′的值为(　　)
A．
C．－ D．－
【典例2】(2025·广东肇庆模拟)已知函数f (x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f ′(2)＝(　　)
A．0　　 B．－12
C．－120 D．120
方法技巧37 导数几何意义的应用
导数几何意义的应用要点
(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)函数f (x)过某点(m，n)有若干条切线，转化为关于切点的方程(高次)根的个数问题．
【典例1】(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　)
A．y＝x　　 B．y＝x
C．y＝x＋ D．y＝x＋
【典例2】(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln |x|经过坐标原点的两条切线方程分别为________，________．
【典例3】(2024·浙江绍兴二模)曲线f (x)＝x＋a ln x在点(1，1)处的切线与直线y＝2x平行，则a＝(　　)
A．1　　 B．2
C．－1 D．－2
【典例4】(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______．
【典例5】若点P是曲线y＝x2－2ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－3的距离的最小值为________．
方法技巧38 两曲线的公切线问题
曲线公切线的求解策略
设直线与曲线y＝f (x)相切于点(x1，f (x1))，与曲线y＝g(x)相切于点(x2，g(x2))，则切线方程为y－f (x1)＝f ′(x1)(x－x1)，即y＝f ′(x1)x＋f (x1)－f ′(x1)x1，同理y＝g′(x2)x＋g(x2)－g′(x2)x2．
所以解出x1，x2，从而可得公切线方程．
【典例1】(2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________．
【典例2】(2025·福建泉州模拟)若曲线y＝x2与y＝tex(t≠0)恰有两条公切线，则t的取值范围为(　　)
A．
C．(－∞，0) D．(－∞，0)
【典例3】若两曲线y＝ln x－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a的取值范围是(　　)
A．(0，2e]　　　　　　 B．
C． D．[2e，＋∞)
方法技巧39 导函数与原函数性质关系问题
1．导函数与原函数对称性、周期性的关系
性质1：若函数f (x)连续且可导，则f (x)的图象关于直线x＝a对称 导函数f ′(x)的图象关于点(a，0)对称．
性质2：若函数f (x)连续且可导，则f (x)的图象关于点(a，f (a))对称 导函数f ′(x)的图象关于直线x＝a对称．
性质3：f (x)的图象是周期为T的周期函数 f ′(x)的图象是周期为T的周期函数．
2．导函数与原函数奇偶性的关系
性质1：若f (x)为偶函数且可导，则f ′(x)为奇函数．
性质2：若f (x)为奇函数且可导，则f ′(x)为偶函数．
【典例1】已知定义在R上的函数f (x)满足f (1＋x)＝f (1－x)，且f (2＋x)＝－f (2－x)，f ′(x)是f (x)的导数，则(　　)
A．f ′(x)是奇函数，且是周期函数
B．f ′(x)是偶函数，且是周期函数
C．f ′(x)是奇函数，且不是周期函数
D．f ′(x)是偶函数，且不是周期函数
【典例2】(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f ′(x)．若f，g(2＋x)均为偶函数，则(　　)
A．f (0)＝0　　 B．g＝0
C．f (－1)＝f (4) D．g(－1)＝g(2)
方法技巧40 不含参数的函数的单调性
利用导函数求函数单调区间的注意点
(1)先求函数定义域，单调区间是定义域的子集．
(2)正确求导函数．
(3)当f ′(x)＝0无解时，可根据f ′(x)的结构特征确定f ′(x)的符号．
(4)所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用“∪”“或”连接，要用“，”“和”隔开．
【典例1】函数f (x)＝的单调递增区间为________．
【典例2】已知函数f (x)＝8x－，x∈，讨论f (x)的单调性．
方法技巧41 含参数的函数的单调性
(1)对于含参数的函数的单调性，常见的分类讨论点按讨论的先后顺序有以下三个：
分类讨论点1(根的有无讨论)：求导后，考虑f ′(x)＝0是否有实数根，从而引起分类讨论；
分类讨论点2(根在不在定义域内讨论)：求导后，f ′(x)＝0有实数根，但不清楚f ′(x)＝0的实数根是否落在定义域内，从而引起分类讨论；
分类讨论点3(根的大小的讨论)：求导后，f ′(x)＝0有实数根，f ′(x)＝0的实数根也落在定义域内，但不清楚这些实数根的大小关系，从而引起分类讨论．
(2)求出f ′(x)后，先观察f ′(x)的解析式的特征(当参数取某些特殊值或在某一范围内时，f ′(x)≥0(≤0)恒成立)，再解不等式．
【典例1】已知函数f (x)＝－a ln x(a∈R)，讨论f (x)的单调性．
【典例2】已知函数f (x)＝ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数y＝f (x)的单调性．
【典例3】(2024·山东青岛一模)已知函数f (x)＝x2－ax＋ln x，讨论f (x)的单调性．
方法技巧42 函数单调性的应用
根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f (x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)f (x)在区间(a，b)上单调递增的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f ′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f ′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．
【典例1】(2025·四川成都模拟)已知定义在(0，＋∞)上的函数y＝f (x)的导函数为y＝f ′(x)，当x>0时，xf ′(x)＋f (x)<0，且f (2)＝3，则不等式f (x－1)>的解集为__________．
【典例2】已知a<5且ae5＝5ea，b<4且be4＝4eb，c<3且ce3＝3ec，则(　　)
A．cC．a【典例3】已知函数g(x)＝2x＋ln x－．
(1)若函数g(x)在区间[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若g(x)在区间[1，2]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围．
【典例4】已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x)满足xf ′(x)－f (x)>0，且f (1)＝2，则f (ex)>2ex的解集为(　　)
A．(0，＋∞)　　 B．(ln 2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0，1)
方法技巧43 根据函数的图象判断函数的极值
1.根据原函数图象判断极值的解题策略
先在原函数图象上寻找峰顶、谷底或导数不存在的尖点，这些是候选极值点；再观察每个点左右两侧的单调性：若左边递增、右边递减，则为极大值点；若左边递减、右边递增，则为极小值点；若两侧单调性不变，则该点不是极值点，判断时只关注局部升降变化，不与整体最值混淆。
2.根据导函数图象判断极值的解题策略
先找出导函数图象与x轴的交点及导数不存在的点，这些是临界点；再看临界点左右两侧导函数的符号：若左正右负，则原函数在该点取极大值；若左负右正，则原函数在该点取极小值；若两侧符号相同，则该点无极值。
【典例1】　(2025·江苏常州模拟)已知函数f (x)的导函数为f ′(x)，定义域为(0，＋∞)，且函数g(x)＝(x－6)3·f ′(x)的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．f (x)有极小值f (6)，极大值f (1)
B．f (x)仅有极小值f (6)，极大值f (10)
C．f (x)有极小值f (1)和f (6)，极大值f (3)和f (10)
D．f (x)仅有极小值f (1)，极大值f (10)
【典例2】已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ）
A．在上有增也有减
B．有2个极小值点
C．
D．有1个极大值点
方法技巧44 求已知函数的极值
求函数f (x)极值的步骤
①确定函数的定义域．
②求导数f ′(x)．
③解方程f ′(x)＝0，求出方程f ′(x)＝0在定义域内的所有根．
④列表检验f ′(x)在f ′(x)＝0各个根的左、右两侧值的符号．
【典例1】已知函数f (x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)当a＝时，求f (x)的极值；
(2)讨论函数f (x)在定义域内极值点的个数．
x (0，2) 2 (2，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 －
f (x) 单调递增 ln 2－1 单调递减
【典例2】已知函数f (x)＝和g(x)＝＋b有相同的极大值，则b＝(　　)
A．0　　　 B．2　　　
C．－1　　　 D．－3
方法技巧45 已知函数的极值(点)求参数
根据函数极值情况求参数的两个要领
①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
②验证：求解后验证根的合理性．不满足题意可能有两种情况：一是函数在定义域内单调，二是函数在极值点左、右两侧的单调性相反，即极值相反．
【典例1】(2024·湖北武汉期中)已知函数f (x)＝b ln x＋x2＋2ax＋a2－3a在x＝1处取得极小值，则的值为________．
【典例2】(2025·八省联考)已知函数f (x)＝a ln x＋－x．
①设a＝1，b＝－2，求曲线y＝f (x)的斜率为2的切线方程；
②若x＝1是f (x)的极小值点，求b的取值范围．
【典例3】已知函数f＝x3－ax2＋x在区间上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是(　　)
A．
C．
【典例4】已知函数f (x)＝(ln x)2－ax2有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
方法技巧46 利用导数研究函数的最值
求函数f (x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
【典例1】(2022·全国乙卷)函数f＝cos x＋sin x＋1在区间的最小值、最大值分别为(　　)
A．－　　 B．－
C．－＋2 D．－＋2
【典例2】函数f (x)＝－x3＋x在(a，10－a2)上有最大值，则实数a的取值范围是________．
【典例3】)设实数a>0，求函数f (x)＝在[a，2a]上的最小值．
方法技巧47 导数型构造函数
(1)出现xf ′(x)－nf (x)形式，构造函数F (x)＝．
(2)出现nf (x)＋xf ′(x)形式，构造函数F (x)＝xnf (x)．
(3)出现f ′(x)－nf (x)形式，构造函数F (x)＝．
(4)出现f ′(x)＋nf (x)形式，构造函数F (x)＝enxf (x)．
(5)与sin x，cos x有关的导函数存在一定的特殊性，其常见考查形式如下：
F (x)＝f (x)sin x，F ′(x)＝f ′(x)sin x＋f (x)cos x；
F (x)＝，F ′(x)＝；
F (x)＝f (x)cosx，F ′(x)＝f ′(x)cos x－f (x)sin x；
F (x)＝，F ′(x)＝．
【典例1】设f (x)是定义域为R的奇函数，f (－1)＝0，当x>0时，xf ′(x)－f (x)<0，则使得f (x)>0成立的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0)
D．(0，1)∪(1，＋∞)
【典例2】已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x)满足2xf (x)＋x2f ′(x)<0，f (2)＝，则关于x的不等式x2f (x)>3的解集为________．
【典例3】(2025·江苏常州模拟)已知定义在R上的函数f (x)的导函数为f ′(x)，f (1)＝e，且对任意的x满足f ′(x)－f (x)xex的解集是(　　)
A．(－∞，1)　　 B．(－∞，0)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
【典例4】已知f ′(x)是函数f (x)的导函数，f (x)－f (－x)＝0，且对于任意的x∈满足f ′(x)cos x＋f (x)sin x>0，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．fB．f>f
C．f (－1)D．f>f
方法技巧48 依据数值特征构造具体函数
当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的共同之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为所构函数的函数值，然后利用函数的单调性比较大小．
【典例1】设a＝999ln 1 001，b＝1 000ln 1 000, c＝1 001ln 999，则下列选项正确的是(　　)
A．a>c>b　　 B．c>b>a
C．b>a>c D．a>b>c
【典例2】已知a，b，c∈，且＝－5ln a，＝－3ln b，＝－2ln c，则(　　)
A．bC．a方法技巧49 地位同等同构
地位同等同构策略
对于含有地位同等的两个变量x1，x2(或x，y，或a，b)的等式或不等式，如果进行整理(即同构)后，等式或不等式两边具有结构的一致性，往往暗示应构造函数，应用函数的单调性解决．常见的同构类型有：
原式 转化 构造函数
＞k(x2＞x1) f (x1)－f (x2)＜kx1－kx2 构造y＝f (x)－kx，为增函数
＜(x2＞x1) f (x1)－f (x2)＞ 构造y＝f (x)＋，为减函数
【典例1】(多选)已知a，b∈R，且2a>2b>1，则(　　)
A．ea－ebC．【典例2】已知函数f (x)＝ax2＋(a＋1)ln x＋1(a≤－1)，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，恒有≥4，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－e2]　　 B．(－∞，－e]
C．[－2，－1] D．(－∞，－2]
方法技巧50 指对混合型的同构
1．指对同构的本质：指、幂、对三种函数的互相转化，即alogax＝x＝logaax(a＞0且a≠1)．
2．三种基本模式：
①积型：
aea≤b ln b
说明：在对“积型”同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，单调性一看便知．
②商型：
<
③和差型：
ea±a>b±ln b
如：eax＋ax＞ln (x＋1)＋x＋1 eax＋ax＞eln (x+1)＋ln (x＋1) ax＞ln (x＋1)．
特别地，若式子无法直接进行变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量，如两边同乘x，同加上x等，再用上述方式变形．常见的有：
①aeax>ln x axeax>x ln x；
②ex>a ln (ax－a)－a ex>ln [a(x－1)]－1 ex－ln a－ln a>ln (x－1)－1
ex－ln a＋x－ln a>ln (x－1)＋x－1＝eln (x-1)＋ln (x－1)；
③ax>logax ex ln a> (x ln a)ex ln a>x ln x．
【典例1】设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aeaA．ab>e　　 B．b>ea
C．ab【典例2】若关于x的不等式ex－a≥ln x＋a对一切正实数x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．　　 B．(－∞，e]
C．(－∞，1] D．(－∞，2]
【典例3】已知当x≥e时，不等式xa＋－≥a ln x恒成立，则正实数a的最小值为 ________．
方法技巧51 移项构造法证明不等式
一般地，待证不等式的两边含有同一个变量时，可以直接构造“左减右”(或“右减左”)的函数，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值进行证明．
提醒：对复杂的式子可以先进行变形，再移项构造函数进行证明．
【典例1】(教材经典)证明以下不等式：
(1)ex≥x＋1；
(2)ln x≤x－1；
(3) ln x≥1－．
【典例2】证明：当x>1时，x2＋ln x【典例3】　(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝a(ex＋a)－x．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)证明：当a＞0时，f (x)＞2ln a＋．
方法技巧52 分拆构造双函数法证明不等式
在同时含ln x与ex的不等式证明中，常采用把对数单独分离的方式，把待证不等式分离．构造两个函数，分别计算它们的最值，借助最值进行证明．
【典例1】设函数f (x)＝aexln x＋，曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2．
(1)求a，b；
(2)求证：f (x)>1．
【典例2】已知函数f (x)＝eln x－ax(a∈R)．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)当a＝e时，证明：xf (x)－ex＋2ex≤0．
方法技巧53 放缩法证明不等式
1．利用导数证明不等式时，若所证明的不等式中含有ex，ln x，sin x，cos x，tan x或其他多项式函数中的两种或以上，可考虑先利用不等式进行放缩，使问题简化，然后再构造函数进行证明．
2．常见的放缩有：(1)tan x>x>sin x，x∈；(2)切线放缩：ex≥x＋1>x－1≥ln x，利用切线放缩可把指数式、对数式转化为一次式，有利于后续的求解．
3．导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式．
【典例1】已知函数f (x)＝ln x＋－1．
(1)求函数f (x)的最小值；
(2)当x∈(0，π)时，证明：ex＞(1－ln x)sin x．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)证明：当时，在上恒成立.
方法技巧54 端点效应
端点效应法是一种必要性探路法，是指对某些与函数有关的恒成立问题，通过选取函数定义域内的某些特殊值，先得到一个必要条件，初步获得参数的范围，再在该范围内进行讨论，或去验证其充分性，进而得到参数的准确范围的方法.
1.如图(1)，如果连续函数f(x)在区间[a，b]上单调，f(x)≥0恒成立，则f(a)≥0且f(b)≥0.
2.一阶端点效应：如图(2)，如果连续函数f(x)在某一点x0处的函数值f(x0)恰好为零，则当x≥x0时，f(x)≥0成立的一个必要条件为端点x0处的导数值f'(x0)≥0.因为如果f'(x0)<0，那么函数会在x0右侧的一个小区间内先单调递减，此时函数f(x)在x≥x0时不恒为非负值，不满足要求，如图(3).
这个方法把某个区间上函数的恒成立问题转化为判断端点处的导数值符号，这就是端点效应.
类似地，如果连续函数f(x)在某一点x0处的函数值f(x0)恰好为零，当x>x0时，f(x)<0成立的一个必要条件为x0处的导数值f'(x0)<0.
3.二阶端点效应：如图(4)，如果连续函数f(x)在区间[a，b]上，f(x)≥0恒成立，且f(a)＝0，f'(a)＝0，则f″(a)≥0.
端点效应的核心思想是必要性探路，充分性护航.我们在解决一类恒成立问题时，可以利用端点处需满足的必要条件缩小参数的取值范围，而往往得到的范围即为所求，再去做充分性论证即可.
【典例1】设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf'(x)，x≥0，其中f'(x)是f(x)的导函数.若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围.
【典例2】设函数f(x)＝ex－e－x.若对任意x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范围.
【典例3】设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.若当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.
【典例4】(2024·全国甲卷改编)已知函数f(x)＝(1－ax)ln(1＋x)－x.当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.
方法技巧55 洛必达法则
“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决成立或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数(最)值，若出现型或型可以考虑使用洛必达法则．
洛必达法则：
法则1　型
若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(1) f(x)＝0及 g(x)＝0；
(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；
(3) ＝l，
那么 ＝ ＝l.
法则2　型
若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(1) f(x)＝∞及 g(x)＝∞；
(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；
(3) ＝l，那么 ＝ ＝l.
注意：
1．将上面公式中的x→a，x→∞换成x→＋∞，x→－∞，x→a＋，x→a－，洛必达法则也成立．
2．洛必达法则可处理，，0·∞，1∞，∞0,00，∞－∞型求极限问题．
3．在着手求极限前，首先要检查是否满足，，0·∞，1∞，∞0,00，∞－∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错，当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限．
4．若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．
＝ ＝ ，如满足条件，可继续使用洛必达法则．
【典例1】设函数f(x)＝.如果对任何x≥0，都有f(x)≤ax，求a的取值范围．
【典例2】已知函数f(x)＝ax－a－xln x．若当x∈(0,1)时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
方法技巧56 单变量不等式恒成立问题
导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类．
【典例1】(2024·安徽安庆二模节选)已知函数f (x)＝2ln x－x＋(m∈R)，若不等式f (x)≤0对任意的x∈[1，＋∞)恒成立，求实数m的取值范围．
【典例2】(2024·全国甲卷)已知函数f (x)＝(1－ax)·ln (1＋x)－x．
(1)当a＝－2时，求f (x)的极值；
(2)当x≥0时，f (x)≥0恒成立，求a的取值范围．
方法技巧57 单变量不等式能成立问题
能成立问题一般是通过分离参数或移项作差构造函数来解决，能成立问题中的等价转化有以下几种形式：
(1)存在x∈[a，b]，f (x)≥a成立 f (x)max≥a．
(2)存在x∈[a，b]，f (x)≤a成立 f (x)min≤a．
(3)存在x1∈[a，b]，对任意x2∈[a，b]，f (x1)≤g(x2)成立 f (x)min≤g(x)min．
【典例1】已知函数f (x)＝x2ln x．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若存在x>0，使得f (x)≤ax成立，求实数a的取值范围．
【典例2】已知函数f (x)＝ex－x，若对任意x>0，f (x)>ax2＋1有解，求a的取值范围．
方法技巧58 双变量不等式恒(能)成立问题
双变量恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价转换，常见的等价转换有：
(1) x1，x2∈D，f (x1)>g(x2) f (x)min>g(x)max．
(2) x1∈D1， x2∈D2，f (x1)>g(x2) f (x)min>g(x)min．
(3) x1∈D1， x2∈D2，f (x1)>g(x2) f (x)max>g(x)max．
【典例1】设f (x)＝＋x ln x，g(x)＝x3－x2－3．
(1)如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
(2)如果对于任意的s，t∈，都有f (s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．
【典例2】(2025·云南曲靖模拟)已知函数f (x)＝x＋x cos x－2sin x．
(1)求曲线y＝f (x)在x＝π处的切线方程；
(2)g(x)＝x2－3x＋a(a∈R)，若对任意x1∈，均存在x2∈，使得f (x1)方法技巧59 数形结合法探究函数零点问题
含参数的函数的零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，则可将参数分离出来后，用x表示含参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围或判断零点个数，即转化为一条直线(平行于x轴)与一个复杂函数图象交点个数问题．
【典例1】(2024·湖北武汉模拟节选)已知函数f (x)＝ln x－ax2(a∈R )，讨论函数f (x)在区间上零点的个数．
【典例2】(2024·广东汕头三模)已知函数f (x)＝x(ex－ax2)，若f (x)在(0，＋∞)上只有一个零点，求a的值．
方法技巧60 借助函数的性质探究函数的零点问题
利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用，解题中注意零点存在定理的灵活应用．
【典例1】　(2022·全国乙卷)已知函数f (x)＝ln (1＋x)＋axe－x．
(1)当a＝1时，求曲线y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程；
(2)若f (x)在区间(－1，0)，(0，＋∞)各恰有一个零点，求a的取值范围．
【典例2】已知函数f (x)＝x sin x－．判断函数f (x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明．
方法技巧61 构造函数法研究函数零点
解决此类问题的关键是构造函数F (x)，将函数零点(方程的根)、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．
【典例1】已知a＞0且a≠1，函数f (x)＝(x＞0)．若曲线y＝f (x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围．
【典例2】已知函数f (x)＝ex＋x＋4ln(2－x)．
(1)求函数f (x)的图象在点(0，f (0))处的切线方程；
(2)判断函数f (x)的零点个数，并说明理由．
方法技巧62 隐零点问题
在解导数综合题时，经常会碰到这种情形：导函数存在零点，但是不能求出具体的解，这种零点我们称之为隐零点，相应的问题称为隐零点问题．这类问题的解题思路是对函数的零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合题目条件解决问题．
【典例1】已知函数f (x)＝xex－ln x－1，若f (x)≥mx恒成立，求实数m的取值范围．
【典例2】(2024·山东济南二模)已知函数f (x)＝ax2－ln x－1，g(x)＝xex－ax2(a∈R)．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)证明：f (x)＋g(x)≥x．
方法技巧63 极值点偏移问题
1.极值点偏移的判定定理
对于可导函数y＝f (x)在区间(a，b)上只有一个极大(小)值点x0，方程f (x)＝0的解分别为x1，x2，且a＜x1＜x2＜b．
(1)若0＝f (x1)＜f (2x0－x2)，则＜(＞)x0，即函数y＝f (x)在区间(x1，x2)上的极大(小)值点x0右(左)偏；
(2)若0＝f (x1)＞f (2x0－x2)，则＞(＜)x0，即函数y＝f (x)在区间(x1，x2)上的极大(小)值点x0左(右)偏．
2.证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：
(1)证明x1＋x2＜2a(或x1＋x2＞2a)：
①构造函数g(x)＝f (x)－f (2a－x)，求导，确定函数y＝f (x)和函数y＝g(x)的单调性；
②确定x1，x2满足x1＜a＜x2，且f (x1)＝f (x2)，由函数值g(x1)与g(a)的大小关系，得g(x1)＝f (x1)－f (2a－x1)＝f (x2)－f (2a－x1)与零的大小关系；
③由函数y＝f (x)在区间(a，＋∞)上的单调性得到x2与2a－x1的大小关系，从而证明相应问题．
(2)证明x1x2＜a2(或x1x2＞a2)(x1，x2都为正数)：
①构造函数g(x)＝f (x)－f，求导，确定函数y＝f (x)和函数y＝g(x)的单调性；
②确定x1，x2满足x1＜a＜x2，且f (x1)＝f (x2)，由函数值g(x1)与g(a)的大小关系，得g(x1)＝f (x1)－f＝f (x2)－f与零的大小关系；
③由函数y＝f (x)在区间(a，＋∞)上的单调性得到x2与的大小关系，从而证明相应问题．
(3)应用对数平均不等式＜＜证明极值点偏移：
①由题中等式产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题．
3.极值点偏移问题的常用策略
首先进行变量的转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的关系式，或者通过比值代换，利用关系式将其中一个变量用另一个变量表示，代入要证明的不等式，化简后根据其结构特点构造函数，再借助导数，判断函数的单调性，从而求其最值，并把最值应用到所证不等式．
【典例1】已知函数f (x)＝xe－x．
(1)求函数f (x)的单调区间和极值；
(2)若x1≠x2且f (x1)＝f (x2)，求证：x1＋x2>2．
【典例2】(2022·全国甲卷节选)已知函数f (x)＝－ln x＋x－a．证明：若f (x)有两个零点x1，x2，则x1x2＜1．
【典例3】已知函数f (x)＝ln x－ax2，若x1，x2是方程f (x)＝0的两个不等实根，求证：＞2e．
方法技巧64 任意角
确定mα，(m∈N*)的终边位置的步骤
(1)用终边相同的角的形式表示出角α的范围．
(2)写出mα或的范围．
(3)根据k的可能取值确定mα或的终边所在的位置．技巧：分母m是几，对k连取几个值判断，k＝0，1，2，….
【典例1】(多选)与－835°终边相同的角有(　　)
A．－245°　　B．245°　　C．－115°　　D．－475°
【典例2】若α是第二象限角，则(　　)
A．－α是第一象限角
B．是第三象限角
C．＋α是第二象限角
D．2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上
方法技巧65 扇形的弧长及面积公式
应用弧度制解决问题的注意点
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为基本不等式或二次函数的最值问题．
(3)在解决弧长、面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
【典例1】在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为(　　)
A．4　　　B．2　　　C．2　　　D．1
【典例2】机械学家莱洛发现的莱洛三角形给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB的长为1，则莱洛三角形的周长是________，其面积是________．
方法技巧66 三角函数的概念及应用
(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，可以求出角α终边的位置．
(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
【典例1】(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则(　　)
A．cos 2α＞0 B．cos 2α＜0
C．sin 2α＞0 D．sin 2α＜0
【典例2】(2024·浙江五校联盟模拟)已知角α的终边过点P(－3，2cos α)，则cos α＝(　　)
A． B．－
C．± D．－
方法技巧67 同角三角函数的基本关系“知一求二”问题
这类知一求二问题，注意判断角的范围，另外熟记以下常见勾股数，可以提高解题速度：①32＋42＝52，62＋82＝102，92＋122＝152，…；②52＋122＝132，82＋152＝172，72＋242＝252，…
【典例1】(2025·重庆模拟)已知sin ＝，α∈，则tan α＝(　　)
A． B．－
C． D．－
【典例2】(2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝________．
方法技巧68 正余弦齐次式的计算
（1）形如asinα＋bcosα和asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的式子分别称为关于sinα，cosα的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cosα或cos2α)求解. 如果分母为1，可考虑将1写成sin2α＋cos2α.
（2）已知
①分式齐1次式
=
②分式齐2次式
③齐2次整式
【典例1】已知，则__________
【典例2】若，则的值是_____________．
【典例3】已知向量，，若，则的值为______.
方法技巧69 sinα±cosα和sinαcosα之间的关系
对于已知sinα±cosα的求值问题，一般应用三角恒等式，利用整体代入的方法来解，涉及的三角恒等式有：
(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα＝2sin2α
注：利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用＝tan α可以实现角α的弦切互化；利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的关系可实现和积转化．
【典例1】　(多选)已知 sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则(　　)
A．sin θcos θ＝－ B．sin θ－cos θ＝
C．sin θ－cos θ＝ D．tan θ＝－
所以tan θ＝－，所以D正确．故选ACD.
【典例2】（2023·湖北·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
方法技巧70 诱导公式的应用
常见的互余和互补的角
互余的角 －α与＋α；＋α与－α；＋α与－α
互补的角 ＋θ与－θ；＋θ与－θ
【典例1】已知cos ＝，则sin cos ＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
【典例2】(2025·宁夏吴忠模拟)已知角α终边上一点P(1，－2)，则＝________．
【典例3】（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）若，则（ ）
A． B． C． D．
【典例4】（2023·山西阳泉·统考三模）已知，且，则_______．
方法技巧71 和、差、倍角公式的直接应用
应用公式化简求值的策略
(1)要记住公式的结构特征和符号变化规律．
(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
【典例1】(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　　)
A．－3m B．－
C． D．3m
【典例2】已知sin (α＋β)＝，sin (α－β)＝，则＝________．
【典例3】已知tan (α＋β)＝2(tan α＋tan β)，且tan α＋tan β≠0，cos ＝，则cos ＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
方法技巧72 和差角公式的逆用与变形
三角函数公式活用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan (α＋β)(或tan (α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．
(3)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，等数值时，一定要考虑引入特殊角，把值变角以便构造适合公式的形式．
【典例1】在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为(　　)
A．－ B．
C． D．－
【典例2】(多选)下列等式成立的有(　　)
A．sin2＝
B．tan80°－tan 35°－tan 80°tan 35°＝1
C．cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°＝
D．＝
方法技巧73 角的变换问题
三角公式求值中变角的解题思路
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式，即拆角或凑角，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝.
(2)当“已知角”有一个时，应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
【典例1】设α∈，满足sin α＋cos α＝.
(1)求cos 的值；
(2)求cos 的值．
【典例2】(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知cos 2α＝，tan β＝－，其中0<α<<β<π.
(1)求sin 的值；
(2)求β－2α的值．
方法技巧74 三角函数式的求值
三角函数式求值的三种题型
(1)给角求值：一般给出的角都不是特殊角，需先仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，然后结合公式转化为特殊角，最后消除特殊角三角函数而得解．
(2)给值求值：解题的关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系．
(3)给值求角：一般先求角的某一个三角函数值，再求角的范围，最后确定角．
【典例1】＝________．
【典例2】(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin ＝(　　)
A． B．
C． D．
【典例3】(2024·江西九江二模)已知α，β∈，cos＝，tan α·tan β＝，则α＋β＝(　　)
A． B．
C． D．
方法技巧75 三角函数的定义域和值域
求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型
(1)形如y＝a sin x＋b cos x＋c的三角函数，可先化为y＝A sin (x＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．
(2)形如y＝a sin2x＋b sinx＋c(a≠0)的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(3)形如y＝a sin x cos x＋b(sin x±cos x)＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)，注意求t的范围．
【典例1】函数y＝的定义域为________．
【典例2】(2024·全国甲卷)函数f (x)＝sin x－cos x在[0，π]上的最大值是________．
【典例3】当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的值域为________．
【典例4】(2025·云南昭通模拟)已知f＝sin x＋cos x＋2sin x cos x，x∈，则f的值域为________．
【典例5】已知函数f (x)＝2sin x＋sin 2x，则f (x)的最小值是________．
方法技巧76 三角函数的周期性、对称性与奇偶性
(1)奇偶性的判断方法：
三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或tan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx.
(2)求函数周期的两种常见方法：
①公式法：函数y＝A sin (ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝A tan (ωx＋φ)(ω>0)的周期为.
y＝|A sin (ωx＋φ)|，y＝|A cos (ωx＋φ)|的周期T＝，y＝|A tan (ωx＋φ)|的周期T＝.
②图象法．
(3)对称轴和对称中心的计算，本质是解方程，计算时要注意：①对称中心是点，最终要写成坐标的形式．②对称轴是直线，方程最终要写成“x＝…”的形式．
【典例1】(2024·湖南雅礼中学一模)f (x)＝的最小正周期是(　　)
A．π　　　B．　　　C．　　　D．2π
【典例2】(2024·北京高考)已知f＝sin ωx，f＝－1，f＝1，|x1－x2|min＝，则ω＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【典例3】当x＝时，函数f (x)＝A sin (x＋φ)(A>0，－π＜φ＜0)取得最小值，则函数y＝f是(　　)
A．奇函数且图象关于直线x＝对称
B．偶函数且图象关于直线x＝对称
C．奇函数且图象关于点对称
D．偶函数且图象关于点对称
【典例4】已知函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)的最小正周期为π，其图象关于直线x＝对称，则f ＝________．
方法技巧77 求三角函数的单调区间
与三角函数的单调性有关的问题
（1）求函数或的单调区间，一般将视作整体，代入或相关的单调区间所对应的不等式，解之即得．
（2）当ω<0时，先利用诱导公式将变形为
，将变形为，再求函数的单调区间．
（3）当A<0时，要注意单调区间的变化，谨防将增区间与减区间混淆．
【典例1】函数f (x)＝sin 在[0，π]上的单调递减区间为________．
【典例2】函数y＝|tan x|的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
方法技巧78 根据三角函数的单调性求参数
已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法
(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解．
(2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解.
(3)若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷．　
【典例1】已知ω＞0，函数f (x)＝sin 在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A．(0，2] B．
C． D．
【典例2】(2024·河北唐山二模)函数f＝sin (2x－φ)在上单调递增，则φ的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
方法技巧79 比较三角函数值的大小
比较三角函数值大小的步骤：
①异名函数化为同名函数；②利用诱导公式把角化到同一单调区间上；③利用函数的单调性比较大小．
【典例1】(多选)(2024·石家庄调研)下列不等式成立的是(　　)
A．sinB．cos 400°>cos (－50°)
C．sin D．sin 3【典例2】设a＝sin33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则(　　)
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
方法技巧80 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换
(1)由y＝sin ωx的图象到y＝sin (ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的图象的变换：向左平移个单位长度．注意：不是向左平移φ个单位长度，相位变换是针对“x”．
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负值时应先变成正值．
【典例1】(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为(　　)
A．3 B．4
C．6 D．8
【典例2】(2021·全国乙卷)把函数y＝f (x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，则f (x)＝(　　)
A．sin B．sin
C．sin D．sin
【典例3】为得到函数y＝cos 的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
方法技巧81 由图象确定三角函数的解析式
确定y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.
(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝.
(3)求φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
【典例1】(2024·安徽A10联考)已知函数f (x)＝4sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，其中A(0，2)，B，则f (x)＝(　　)
A．4sin B．4sin
C．4sin D．4sin
【典例2】(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f (x)的两个交点，若|AB|＝，则f (π)＝________．
【典例3】函数f (x)＝tan (ωx＋φ)的图象如图所示，图中阴影部分的面积为6π，则φ＝________．
方法技巧82 三角函数图象与性质的综合应用
与三角函数性质有关的综合题的求解策略
(1)研究y＝A sin (ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
【典例1】(多选)已知函数f＝sin (ω>0)，则下列说法正确的是(　　)
A．若ω＝1，则是f的图象的对称中心
B．若f≤f恒成立，则ω的最小值为2
C．若f在上单调递增，则0<ω≤
D．若f在上恰有2个零点，则≤ω≤
【典例2】已知偶函数f ＝sin 的图象关于点中心对称，且在区间上单调，则ω＝________．
方法技巧83 三角函数模型的应用
三角函数模型的应用体现在两方面
一是已知函数模型求解数学问题；
二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
【典例1】某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为的一块扇形空置地(如图)，现欲从中规划出一块三角形绿地PQR，其中P在上，PQ⊥AB，垂足为Q，PR⊥AC，垂足为R，设∠PAB＝α∈，则PQ＝________米(用α表示)；当P在上运动时，这块三角形绿地的最大面积是________平方米．
【典例2】(2024·广东佛山二模)近年来，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进．农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置．如图所示，单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为2π rad/s，圆上两点A，B始终满足∠AOB＝，随着圆O的旋转，A，B两点的位置关系呈现周期性变化．现定义：A，B两点的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值．假设运动开始时刻，即t＝0秒时，点A位于圆心正下方，则t＝________秒时，A，B两点的竖直距离第一次为0；A，B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为f＝________．
方法技巧84 三角函数中ω的范围问题
1.先依据题设信息，确定函数的单调区间，再根据区间之间的包含关系建立不等式，即可求ω的取值范围．
2.三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为.所以可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而研究“ω”的范围．
3.利用三角函数的最值、极值与区间的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的取值范围．
4.三角函数相邻两个零点之间的距离为，根据三角函数的零点个数，可以研究ω的取值范围．
【典例1】已知函数f＝cos ，其中ω>0.若f在区间上单调递增，则ω的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
【典例2】(2025·山东威海模拟)已知函数f＝在上单调递增，则ω的取值范围是________．
【典例3】(2025·广东实验中学模拟)已知函数f＝cos 的图象关于原点中心对称，则ω的最小值为(　　)
A． B．
C． D．
【典例4】(2024·浙江温州一模)若函数f＝2sin ，ω>0，x∈的值域为[－，2]，则ω的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
【典例5】(2025·山东日照模拟)已知函数f (x)＝sin(ω＞0)在区间上单调递增，且f (x)在区间上只取得一次最大值，则ω的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
【典例6】已知函数f (x)＝sin πωx－cos πωx(ω＞0)在[0，1]内恰有3个最值点和4个零点，则实数ω的取值范围是________．
方法技巧85 复杂三角函数性质判断
1.判断定义域时，必须注意分母不为0，排除使函数无意义的点，这是判断单调性、对称性的关键前提。
2.周期判断要结合化简后的解析式，用周期公式直接计算；对称性可代入特殊点或对称轴公式验证。
【典例1】【多选】（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）下列关于函数的说法中正确的有（ ）
A．函数的值域为 B．函数的最小正周期为
C．函数在其一个周期内是单调递减函数 D．函数图象关于对称
【典例2】【多选】（2026·广东梅州·一模）关于函数，以下结论正确的有（ ）
A．的图象是轴对称图形 B．的最大值为1
C．是以为一个周期的周期函数 D．在上有4个零点
【典例3】【多选】（2026·安徽马鞍山·一模）已知函数列，则（ ）
A．在区间上单调递减
B．的图象关于直线对称
C．的最小值为
D．的最大值为1
【典例4】（2026·山西朔州·一模，T11）已知，则（ ）
A．是偶函数
B．的图象关于直线对称
C．的值域为
D．当在有2个不同实根时，的取值范围是
方法技巧86 利用正、余弦定理解三角形
解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，要考虑用正弦定理．以上特征都不明显时，要考虑两个定理都有可能用到．
【典例1】　(2024·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分 别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2.
(1)求A；
(2)若a＝2，b sin C＝c sin 2B，求△ABC的周长．
【典例2】(2025·福建厦门模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b－c＝a，2sin B＝3sin C，则cos A＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
【典例3】(2025·河北邢台模拟)在△ABC中，已知A＝，a＝2，若△ABC有两解，则边b的取值范围为________．
方法技巧87 判断三角形的形状
判定三角形形状的两种常用途径
【典例1】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
【典例2】在△ABC中，＝sin2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
方法技巧88 三角形面积的计算
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
【典例1】(2025·八省联考)在△ABC中，BC＝8，AC＝10，cos ∠BAC＝，则△ABC的面积为(　　)
A．6 B．8
C．24 D．48
【典例2】(2024·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab.
①求B；
②若△ABC的面积为3＋，求c.
【典例3】在平面四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则四边形ABCD的面积等于________．
方法技巧89 三角形的中线问题
解答三角形的中线问题的三种思路
(1)应用中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)，体现了算“两次”的思想．
(2)借助向量：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则＝(b2＋c2＋2bccos A)．
(3)借助角的关系：在△ABC中，若AD是边BC上的中线，则cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0.
【典例1】(2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1.
(1)若∠ADC＝，求tan B；
(2)若b2＋c2＝8，求b，c.
【典例2】(2025·江苏泰州模拟)△ABC的三边分别为a，b，c，则边BC上的中线长为________．
【典例3】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，a cos B－b cos A＋b＝c，则BC边上的中线AD长度的最大值为________．
方法技巧90 三角形的角平分线问题
解答三角形的角平分线问题一般有两种思路：一是内角平分线定理；二是等面积法．
已知AD是△ABC的角平分线，则
(1)＝；(2)S△ABD＋S△ACD＝S△ABC.
【典例1】　(2025·山东泰安模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cos C·sin ＋cos A＝0.
(1)求角C的大小；
(2)若∠ACB的平分线交AB于点D，且CD＝2，BD＝2AD，求△ABC的面积．
【典例2】△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且＝.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，D为AC边上一点，BD＝2，且BD为∠ABC的平分线，求△ABC的面积．
方法技巧91 三角形的高线问题
(1)求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边的长度．
(2)设h1，h2，h3分别为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝∶∶＝∶∶.
【典例1】(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B．
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高．
【典例2】在①a sin C－c cos B cos C＝b cos2C；②5c cosB＋4b＝5a；③cos C＝c cos A这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且满足________．
(1)求sin C；
(2)已知a＋b＝5，△ABC的外接圆半径为，求△ABC的边AB上的高h.
方法技巧92 已知三角形的一角求取值范围
借助三角形内角和定理把待求问题转化为某一角的三角函数取值范围问题，进而借助三角函数的性质求解．
【典例1】(2020·浙江高考)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知2b sin A－a＝0.
(1)求角B的大小；
(2)求cos A＋cos B＋cos C的取值范围．
【典例2】(2025·江苏南通模拟)已知锐角△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin (A－B)＝cos C.
(1)求角B的大小；
(2)求的取值范围．
方法技巧93 已知三角形的一角及其对边求取值范围
一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，利用三角函数的有界性，单调性再结合角的范围确定最值或范围．
【典例1】(2020·全国Ⅱ卷)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinB sin C.
(1)求A；
(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．
【典例2】△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b＝2，2sin A＝a cos B.
(1)求角B的大小；
(2)求AC边上高的最大值．
方法技巧94 已知三角形的一角及其邻边求取值范围
锐角三角形中求最值或范围尽量向角转化，因为用基本不等式无法转化锐角三角形这个条件．
【典例1】　(2025·江苏高邮中学模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin ＝b sin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝2，
(ⅰ)求角C的取值范围；
(ⅱ)求△ABC面积的取值范围．
【典例2】在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，c＝2，A＝，则a＋b的取值范围是________．
方法技巧95 已知三角形中角(或边)的关系求取值范围
【典例1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝2B，则的取值范围为(　　)
A．(3，4] B．
C． D．(2，5]
【典例2】(2025·山东烟台模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角B的平分线交AC于点D，BD＝1且b＝2，则△ABC周长的最小值为________．
方法技巧96 测量距离问题
距离问题的解题思路
这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般离高考数学方法技巧全归纳
（函数与导数、三角函数与解三角形、数列）
目录
方法技巧01 同一函数的判断 1
方法技巧02 求函数的定义域 2
方法技巧03 求函数的值域 3
方法技巧04 求函数的解析式 7
方法技巧05 分段函数 9
方法技巧06 确定函数的单调性(单调区间) 11
方法技巧07 函数单调性的应用 12
方法技巧08 求函数的最值 14
方法技巧09 函数奇偶性的判断 16
方法技巧10 函数奇偶性的应用 17
方法技巧11 函数的周期性 19
方法技巧12 轴对称问题 20
方法技巧13 中心对称问题 20
方法技巧14 两函数图象间的对称问题 21
方法技巧15 幂函数的图象及性质 22
方法技巧16 二次函数的图象与解析式 23
方法技巧17 二次函数的单调性与最值 24
方法技巧18 指数幂的运算 26
方法技巧19 指数函数的图象及应用 27
方法技巧20 比较指数式的大小 28
方法技巧21 解简单的指数方程或不等式 28
方法技巧22 指数函数性质的综合应用 29
方法技巧23 对数的运算 30
方法技巧24 对数函数的图象及应用 31
方法技巧25 对数函数的性质及应用 32
方法技巧26 函数图象的辨识 34
方法技巧27 函数图象的应用 36
方法技巧28 判定函数零点所在的区间 37
方法技巧29 确定函数零点的个数 38
方法技巧30 根据函数零点个数求参数 39
方法技巧31 根据函数零点范围求参数 41
方法技巧32 用函数图象刻画实际问题 42
方法技巧33 已知函数模型的实际问题 43
方法技巧34 构建函数模型的实际问题 44
方法技巧35 变化率问题 46
方法技巧36 导数的运算 48
方法技巧37 导数几何意义的应用 49
方法技巧38 两曲线的公切线问题 50
方法技巧39 导函数与原函数性质关系问题 52
方法技巧40 不含参数的函数的单调性 54
方法技巧41 含参数的函数的单调性 55
方法技巧42 函数单调性的应用 57
方法技巧43 根据函数的图象判断函数的极值 59
方法技巧44 求已知函数的极值 61
方法技巧45 已知函数的极值(点)求参数 62
方法技巧46 利用导数研究函数的最值 65
方法技巧47 导数型构造函数 66
方法技巧48 依据数值特征构造具体函数 68
方法技巧49 地位同等同构 69
方法技巧50 指对混合型的同构 71
方法技巧51 移项构造法证明不等式 73
方法技巧52 分拆构造双函数法证明不等式 75
方法技巧53 放缩法证明不等式 76
方法技巧54 端点效应 79
方法技巧55 洛必达法则 82
方法技巧56 单变量不等式恒成立问题 84
方法技巧57 单变量不等式能成立问题 86
方法技巧58 双变量不等式恒(能)成立问题 87
方法技巧59 数形结合法探究函数零点问题 89
方法技巧60 借助函数的性质探究函数的零点问题 91
方法技巧61 构造函数法研究函数零点 94
方法技巧62 隐零点问题 96
方法技巧63 极值点偏移问题 98
方法技巧64 任意角 103
方法技巧65 扇形的弧长及面积公式 104
方法技巧66 三角函数的概念及应用 105
方法技巧67 同角三角函数的基本关系“知一求二”问题 106
方法技巧68 正余弦齐次式的计算 106
方法技巧69 sinα±cosα和sinαcosα之间的关系 107
方法技巧70 诱导公式的应用 109
方法技巧71 和、差、倍角公式的直接应用 111
方法技巧72 和差角公式的逆用与变形 112
方法技巧73 角的变换问题 113
方法技巧74 三角函数式的求值 114
方法技巧75 三角函数的定义域和值域 115
方法技巧76 三角函数的周期性、对称性与奇偶性 117
方法技巧77 求三角函数的单调区间 119
方法技巧78 根据三角函数的单调性求参数 120
方法技巧79 比较三角函数值的大小 121
方法技巧80 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换 122
方法技巧81 由图象确定三角函数的解析式 123
方法技巧82 三角函数图象与性质的综合应用 125
方法技巧83 三角函数模型的应用 126
方法技巧84 三角函数中ω的范围问题 128
方法技巧85 复杂三角函数性质判断 130
方法技巧86 利用正、余弦定理解三角形 134
方法技巧87 判断三角形的形状 136
方法技巧88 三角形面积的计算 137
方法技巧89 三角形的中线问题 139
方法技巧90 三角形的角平分线问题 142
方法技巧91 三角形的高线问题 144
方法技巧92 已知三角形的一角求取值范围 147
方法技巧93 已知三角形的一角及其对边求取值范围 148
方法技巧94 已知三角形的一角及其邻边求取值范围 150
方法技巧95 已知三角形中角(或边)的关系求取值范围 152
方法技巧96 测量距离问题 153
方法技巧97 测量高度问题 155
方法技巧98 测量角度问题 156
方法技巧99 和差正切公式在解三角形的应用 158
方法技巧100 由an与Sn的关系求通项公式 160
方法技巧101 由数列的递推关系求通项公式 162
方法技巧102 数列的周期性 163
方法技巧103 数列的单调性 164
方法技巧104 数列的最值 165
方法技巧105 等差数列基本量的运算 166
方法技巧106 等差数列的判定与证明 167
方法技巧107 等差数列性质的应用 169
方法技巧108 等差数列的前n项和及其最值 171
方法技巧109 等比数列基本量的运算 173
方法技巧110 等比数列的判定与证明 174
方法技巧111 等比数列性质的应用 176
方法技巧112 分组求和与并项求和 178
方法技巧113 裂项相消法求和 180
方法技巧114 错位相减法求和 182
方法技巧115 数列模型的应用 184
方法技巧116 数列中的不等式证明 186
方法技巧117 数列中的不等式恒成立 188
方法技巧118 数列奇偶项问题 189
方法技巧119 数列增减项问题 191
方法技巧120 数列新情境、新定义问题 192
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方法技巧01 同一函数的判断
判断两个函数为同一个函数应注意的三点
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．
(2)函数是两个非空数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．
(3)在化简解析式时，必须是等价变形．
【典例1】下列各组函数相等的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】对于A中，函数的定义域为R，的定义域为，
所以定义域不同，不是相同的函数，故A错误；
对于B中，函数的定义域为R，的定义域为，
所以定义域不同，不是相同的函数，故B错误；
对于C中，函数的定义域为R，与的定义域为，
所以定义域不同，所以不是相同的函数,故C错误；
对于D中，函数与的定义域均为R，
可知两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数, 故D正确；
故选：D.
【典例2】（多选题）下列各项不能表示同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】ABD
【解析】对于A:定义域为，定义域为，A不能表示同一个函数,A选项正确；
对于B:与解析式不同，B不能表示同一个函数，B选项正确；
对于C:解析式及定义域都相同，C选项是同一函数，C选项不正确；
对于D:定义域为，定义域为，D不能表示同一个函数，D选项正确；
故选:ABD.
【典例3】与函数有相同图象的一个函数是（ ）
A． B．
C．，其中 D．，其中
【答案】D
【分析】选项A图象为折线判断错误；选项B图象上无原点判断错误；选项图象为无端点射线判断错误；选项D可化为与函数有相同图象判断正确.
【详解】选项A：，图象为折线.判断错误；
选项B：，图象上无原点.判断错误；
选项C：，图象为无端点射线.判断错误；
选项D：，与函数有相同图象.判断正确.
故选：D
方法技巧02 求函数的定义域
求函数的定义域的策略
(1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义．
(2)求抽象函数的定义域：
①若f (x)的定义域为[m，n]，则在f (g(x))中，由mg(x)n解得x的取值范围即为f (g(x))的定义域．
②若f (g(x))的定义域为[m，n]，则由mxn得到g(x)的取值范围，即为f (x)的定义域．
【典例1】已知函数y＝f (x)的定义域为[0，4]，则函数y＝＋(x－2)0的定义域是(　　)
A．(1，5]　　　　　 B．(1，2)∪(2，5)
C．(1，2)∪(2，3] D．(1，3]
【解析】因为函数y＝f (x)的定义域为[0，4]，函数y＝＋(x－2)0有意义，所以解得1所以函数y＝＋(x－2)0的定义域是(1，2)∪(2，3]．故选C．
【典例2】(2025广东东莞模拟)函数y＝＋的定义域为________．
【解析】由题意可得解得
即故函数y＝＋的定义域为．
【典例3】)(2025山东青岛模拟)若函数f (x)＝的定义域为R，则常数k的取值范围是(　　)
A．(0，4) B．[0，4)
C．[0，4] D．(0，4]
【解析】由函数f (x)＝的定义域为R，可得kx2＋kx＋1>0恒成立，
可得k＝0或解得0＜k<4，
综上，常数k的取值范围为[0，4)．故选B．
方法技巧03 求函数的值域
（1）观察法(有界函数）——“拼图”
第一步，观察函数中的特殊函数；
第二步，利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域．
（2）配方法
以二次函数的相关性质、图像为依托，利用数形结合思想求解某函数在给定区间的最值和值域问题。这种方法一般适用于形如的函数的值域和最值问题
第一步，将二次函数配方成；
第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域．（特别注意自变量的范围）
(注：配方法配的常数是一次项系数的一半的平方，对二次函数型值域问题，我们通常可以采用配方并结合图像的方法求解。）
图象法
通过数形结合方式，将图象投影到y轴上，看值域时，记得由下往上看。
（4）分离常数法（即是求值域的方法也是化简解析式的方法）
分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法：
主要的分式函数有：等
解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数。
第一步，观察函数类型，型如；
第二步，对函数变形成形式；
第三步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域．
（5）换元法
第一步，观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；
第二步，另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域．
如：函数，可以令，得到，函数
可以化为()，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．
（6）判别式法
第一步，观察函数解析式的形式，型如的函数；
第二步，将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数的取值范围，即得函数的值域．
（7）单调性法
第一步，求出函数的单调性；
第二步，利用函数的单调性求出函数的值域．
（8）基本不等式法
第一步 观察函数解析式的形式，型如或的函数；
第二步 对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域.
注意根据基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”
（9）导数法
先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域.
【典例1】函数的值域为__________
【答案】
【分析】根据二次函数的单调性直接求解即可.
【详解】为开口方向向上，对称轴为的抛物线，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，，
的值域为.
故答案为：.
【典例2】函数的值域为______．
【答案】
【分析】利用常数分离的方法得到，然后利用变量的取值范围进行求解即可．
【详解】由，
又，则，则，所以，
故函数的值域为．
故答案为：．
【典例3】函数的值域为______.
【答案】
【分析】利用换元法结合二次函数的性质求值域.
【详解】令，则，
可得：，
∵函数的对称轴为，
∴当时，函数取到最大值，
即函数的最大值为，故函数的值域为.
故答案为：.
【典例4】函数，的值域为 ．
【答案】
【解析】因为，整理得，
可知关于x的方程有正根，
若，则，解得，符合题意；
若，则，
可得或，
解得或且，则或或；
综上所述：或，
即函数，的值域为.
故答案为：.
【典例5】已知函数的值域为，则实数的取值范围为________．
【答案】
【分析】由于函数的值域为，则对数函数的真数要取遍所有正数，对分类讨论解不等式即可求出的范围.
【详解】令，
函数的值域为，
，要取遍所有正数.
当时，，符合题意，故可取；
当时，解得，
综上所述的取值范围是.
故答案为：．
方法技巧04 求函数的解析式
求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法．
(2)换元法：已知复合函数f (g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(3)配凑法：由已知条件f (g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f (x)的解析式，注意g(x)的取值范围．
(4)解方程组法：已知关于f (x)与f 或f (－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x)．
【典例1】求下列函数的解析式：
(1)已知f (1－sin x)＝cos2x，求f (x)的解析式；
(2)已知f ＝x2＋，求f (x)的解析式；
(3)已知f (x)是二次函数且f (0)＝2，f (x＋1)－f (x)＝x－1，求f (x)的解析式；
(4)已知f (x)满足2f (x)＋f (－x)＝3x，求f (x)的解析式．
【解析】　(1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0，2]，
则sin x＝1－t．
∵f (1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，
∴f (t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]．
即f (x)＝2x－x2，x∈[0，2]．
(2)(配凑法、换元法)∵f ＝x2＋＝－2，
令t＝x＋，当x＞0时，
t2＝2，当且仅当x＝1时取等号，
当x＜0时，t＝－－2，
当且仅当x＝－1时取等号，
∴f (t)＝t2－2，t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，
∴f (x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(3)(待定系数法)设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f (0)＝2，得c＝2，
f (x＋1)－f (x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，
所以即
所以f (x)＝x2－x＋2．
(4)(解方程组法)∵2f (x)＋f (－x)＝3x，①
令x＝－x代入①，
得2f (－x)＋f (x)＝－3x，②
由①②解得f (x)＝3x．
【典例2】(1)(易错题)已知f (＋1)＝x－2，则f (x)＝________．
(2)已知f (x)满足f (x)－2f ＝2x，则f (x)＝________．
(3)设函数f (x)是单调递增的一次函数，满足f (f (x))＝16x＋5，则f (x)＝________．
【解析】(1)法一(换元法)：令t＝＋1，则t1，x＝(t－1)2，
代入原式有f (t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，
所以f (x)＝x2－4x＋3(x1)．
法二(配凑法、换元法)：f (＋1)＝x＋2＋1－4－4＋3＝(＋1)2－4(＋1)＋3，
因为＋11，所以f (x)＝x2－4x＋3(x1)．
(2)因为f (x)－2f ＝2x，①
以代替①中的x，得f －2f (x)＝，②
①＋②×2得－3f (x)＝2x＋，
所以f (x)＝－x－．
(3)∵f (x)为单调递增的一次函数，∴设f (x)＝ax＋b，a>0，故f (f (x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，∴a2＝16，ab＋b＝5，解得a＝4，b＝1或a＝－4，b＝－(不合题意，舍去)，∴f (x)＝4x＋1．
方法技巧05 分段函数
分段函数的几类题型及解决方法
(1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参．
(2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值．
(3)涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解．
【典例1】(2025湖北武汉模拟)已知f (x)＝则f ＝(　　)
A．2 B．
C． D．1
【解析】函数f (x)＝
所以f ＝2f ＝2＝1．故选D．
【典例2】函数f (x)＝若实数a满足f (a)＝f (a－1)，则f ＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
【解析】由分段函数的定义知，f (x)的定义域是(－1，＋∞)，所以a>0．
①当0②当a1时，a－10，则f (a)＝f (a－1)可化为2a＝2(a－1)，方程无解．故选D．
【典例3】(2024湖北十一校一模)已知函数f (x)＝则关于x的不等式f (x)1的解集为________．
【解析】当x0时，f (x)＝x＋11得x0，所以x0．
当x>0时，f (x)＝ln (x＋1)1，得－1所以0【典例4】设函数则满足的x的取值范围是______．
【答案】
【分析】作出图象，由数形结合结合函数单调性列不等式求解即可.
【详解】函数的图象如图所示，
满足可得或.
解得.
故答案为：.
方法技巧06 确定函数的单调性(单调区间)
确定函数单调性的方法
(1)定义法：取值、作差、变形(因式分解、配方、有理化、通分等)、定号、下结论．
(2)性质法：同增异减，即内、外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数．
(3)图象法：如果f (x)是以图象形式给出的，或者f (x)的图象易画出，可由图象直观地判断函数单调性．
(4)导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性．
提醒：定义域先行，单调区间是定义域的子集．
【典例1】(2025浙江绍兴模拟)函数y＝ln (x2－2x)的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，0) D．(2，＋∞)
【解析】由y＝ln (x2－2x)，所以x2－2x>0，解得x<0或x>2，
所以函数y＝ln (x2－2x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，
令u＝x2－2x，则函数u＝x2－2x在(－∞，0)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，而函数y＝ln u在(0，＋∞)上单调递增，由复合函数单调性可得，y＝ln (x2－2x)的单调递减区间为(－∞，0)．故选C．
【典例2】(2024广东深圳三模)函数y＝|－x2＋4x＋5|的单调递增区间是________．
【解析】函数y＝|－x2＋4x＋5|＝
由|－x2＋4x＋5|＝0，解得x＝－1或x＝5，
函数y＝|－x2＋4x＋5|的图象如图所示，
由图可知，函数y＝|－x2＋4x＋5|的单调递增区间为[－1，2]，[5，＋∞)．
【典例3】试讨论函数f (x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性．
【解析】　法一(定义法)： x1，x2∈(－1，1)，且x1＜x2，
f (x)＝a＝a，
f (x1)－f (x2)＝a－a＝，由于－1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)，函数f (x)在(－1，1)上单调递减；
当a<0时，f (x1)－f (x2)<0，
即f (x1)法二(导数法)：f ′(x)＝
＝＝－．
当a>0时，f ′(x)<0，函数f (x)在(－1，1)上单调递减；
当a<0时，f ′(x)>0，函数f (x)在(－1，1)上单调递增．
法三：f (x)＝＝a＋，该函数的图象由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上(a＞0)或向下(a＜0)平移|a|个单位长度得到，图象略．故当a＞0时，f (x)在(－1，1)上单调递减；当a＜0时，f (x)在(－1，1)上单调递增．
方法技巧07 函数单调性的应用
函数单调性应用问题的解题策略
(1)比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)解与抽象函数有关的不等式，由条件脱去“f ”，转化为自变量间的大小关系，一般转化为不等式组，应注意等价转化和函数的定义域．
(3)利用单调性求参数的取值(范围)，根据函数的单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到函数图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值，在衔接点处需建立一个不等式．
【典例1】已知函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f (x2)－f (x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f ，b＝f (2)，c＝f (e)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
【解析】因为f (x)的图象关于直线x＝1对称，由此可得f ＝f ．当x2>x1>1时， [f (x2)－f (x1)](x2－x1)<0恒成立，可知f (x)在(1，＋∞)上单调递减．
因为1<2<f >f (e)，所以b>a>c．
【典例2】(2025广东佛山模拟)已知函数y＝f (x)在定义域(－1，3)上是增函数，且f (2a－1)A．(1，2) B．(－∞，1)
C．(0，1) D．(1，＋∞)
【解析】因为函数y＝f (x)在定义域(－1，3)上是增函数，且f (2a－1)则解得0【典例3】(2024新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B．[－1，0]
C．[－1，1] D．[0，＋∞)
【解析】因为f (x)在R上单调递增，且x0时，f (x)＝ex＋ln (x＋1)单调递增，
则需满足解得－1a0，
即a的取值范围是[－1，0]．故选B．
【典例4】设f (x)是定义在R上的增函数，且f (xy)＝f (x)＋f (y)，f (3)＝1，则不等式f (x)＋f (－2)＞1的解集为________．
【解析】由已知条件可得f (x)＋f (－2)＝f (－2x)，又f (3)＝1．∴不等式f (x)＋f (－2)＞1可化为f (－2x)＞f (3)．∵f (x)是定义在R上的增函数，∴－2x＞3，解得x＜－．∴不等式的解集为．
方法技巧08 求函数的最值
求函数最值的五种常用方法
【典例1】(2024湖南湘东名校期中)已知函数f (x)＝2x2－1，g(x)＝ax，x∈R，用M(x)表示f (x)，g(x)中的较大者，记为M(x)＝max{f (x)，g(x)}，若M(x)的最小值为－，则实数a的值为(　　)
A．0 B．±1
C．± D．±2
【解析】函数f (x)＝2x2－1，g(x)＝ax，x∈R，根据题意，当a＞0时，函数M(x)的图象如图所示，
由图象可知，在点A处取得最小值，为－，
故2x2－1＝－，解得x＝±，
由图象可知x＝－，将点代入g(x)＝ax得－a＝－，解得a＝1．
同理如果a＜0，则2x2－1＝－，解得x＝±，∴x＝，将点代入g(x)＝ax得a＝－，解得a＝－1．当a＝0时，M(x)的最小值为0，不符合题意．综上所述：a＝±1．故选B．
【典例2】（2024·广东茂名·高三统考阶段练习）设函数若存在最小值，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数和二次函数的单调性，分类讨论进行求解即可.
【详解】若时，，；
若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值；
若时，时，单调递减，，当时，，若函数有最小值，需或，解得.
故选：B
【典例3】（2025高二·宁夏石嘴山·阶段练习）若函数在区间上的最大值为3，则实数（ ）
A． B．1 C．3 D．
【答案】C
【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可.
【解析】函数，
当时，在上单调递减，最大值为；
当时，在上单调递增，最大值为，解得，不合题意，
所以实数.
故选：C
方法技巧09 函数奇偶性的判断
判断函数奇偶性的两个必备条件及方法
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先判断函数的定义域是不是关于原点对称；
(2)判断f (x)与f (－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x)＋f (－x)＝0(奇函数)或f (x)－f (－x)＝0(偶函数))是否成立．
(3)判断函数奇偶性的方法：①定义法；②图象法．
【典例1】判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x)＝；
(2)f (x)＝(1＋x)；
(3)f (x)＝
(4)f (x)＝log2(x＋)．
【解析】　(1)由得x2＝3，解得x＝±，
即函数f (x)的定义域为{－}，
从而f (x)＝＝0．
因此f (－x)＝－f (x)且f (－x)＝f (x)，
∴函数f (x)既是奇函数又是偶函数．
(2)函数f (x)＝(1＋x)的定义域满足0，则
由于定义域不关于原点对称，故f (x)既不是奇函数也不是偶函数．
(3)函数f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
∵当x<0时，－x>0，
则f (－x)＝(－x)2＋x＝x2＋x＝f (x)；
当x>0时，－x<0，
则f (－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f (x)；
综上可知：对于定义域内的任意x，总有f (－x)＝f (x)成立，∴函数f (x)为偶函数．
(4)显然函数f (x)的定义域为R，
f (－x)＝log2[－x＋]＝log2(－x)＝log2(＋x)-1＝－log2(＋x)＝－f (x)，故f (x)为奇函数．
【典例2】已知函数f (x)对任意x，y∈R，都有f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋2，则函数f (x)＋2为________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)
【解析】由题意得函数f (x)的定义域为R，定义域关于原点对称，
令x＝y＝0，则f (0)＝f (0)＋f (0)＋2，故f (0)＝－2．
令y＝－x，则f (0)＝f (x)＋f (－x)＋2，故f (x)＋2＝－f (－x)－2＝－[f (－x)＋2]．
故f (x)＋2为奇函数．
方法技巧10 函数奇偶性的应用
1.求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值．
2.(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数值或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合图象直观求解相关问题．
【典例1】(2023新高考Ⅱ卷)若f (x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a＝(　　)
A．－1 B．0
C． D．1
【解析】法一：由＞0，得x＞或x＜－，
∵f (x)是偶函数，∴f (－x)＝f (x)，
∴(－x＋a)ln ＝(x＋a)ln ，
又(－x＋a)ln ＝(－x＋a)ln ，
∴(x－a)ln ＝(x＋a)ln ，
∴x－a＝x＋a，得－a＝a，得a＝0．
故选B．
法二：因为f (x)＝(x＋a)ln 为偶函数，f (－1)＝(a－1)ln 3，f (1)＝(a＋1)ln ＝－(a＋1)ln 3，所以(a－1)ln 3＝－(a＋1)ln 3，解得a＝0．故选B．
【典例2】(2024山西大学附中期中)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f (x)＝x3＋x＋1，则f (x)在R上的解析式为________．
【解析】因为函数f (x)是定义在R上的奇函数，则f (0)＝0．
当x<0时，则－x>0，可得f (x)＝－f (－x)＝－[(－x)3＋(－x)＋1]＝x3＋x－1，
所以f (x)＝
【典例3】(2025湖南师大附中模拟)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，f (x)在[0，＋∞)上单调递减，且f (3)＝0，则不等式(2x－5)f (x－1)＜0的解集为(　　)
A．(－∞，－2)∪ B．(4，＋∞)
C．∪(4，＋∞) D．(－∞，－2)
【解析】依题意，函数的大致图象如图：
因为f (x)是定义在R上的偶函数，在[0，＋∞)上单调递减，且f (3)＝0，
所以f (x)在(－∞，0]上单调递增，且f (－3)＝0，
则当x＞3或x＜－3时，f (x)＜0；当－3＜x＜3时，f (x)＞0，
不等式(2x－5)f (x－1)＜0化为或所以或或解得x＞4或x∈ 或－2＜x＜，即－2＜x＜或x＞4，
即原不等式的解集为∪(4，＋∞)．故选C．
方法技巧11 函数的周期性
利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题；利用函数的周期性，能实现自变量的转移，把自变量大化小．
【典例1】(2025福建三明期中)若偶函数f (x)满足f (x＋2)＋f (x)＝0，当x∈(0，1)时，f (x)＝＋1，则f ＝(　　)
A．2 B．
C． D．
【解析】由已知可得f (x＋2)＋f (x)＝0 f (x＋4)＋f (x＋2)＝0 f (x＋4)＝f (x)，
即T＝4是函数f (x)的一个周期，
所以f ＝f ＝f ＝＋1＝．故选C．
【典例2】定义在R上的函数f 满足f ＝f －2，则下列函数中是周期函数的是(　　)
A．y＝f －x B．y＝f ＋x
C．y＝f －2x D．y＝f ＋2x
【解析】依题意，定义在R上的函数f (x)满足f (x＋1)＝f (x)－2，所以f (x＋1)＋2(x＋1)＝f (x)＋2x，所以y＝f (x)＋2x是周期为1的周期函数．故选D．
【典例3】已知是定义在上周期为的函数，当时，，那么当时， ______.
【答案】
【详解】解：因为当时，,是定义在上周期为的函数
所以，，
故答案为：
方法技巧12 轴对称问题
轴对称的几种表述形式
(1)函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称 f (x)＝f (2a－x) f (a－x)＝f (a＋x)；
(2)若函数y＝f (x)满足f (a＋x)＝f (b－x)，则y＝f (x)的图象关于直线x＝对称．
【典例1】已知函数f (x)＝3|x－a|＋2，且满足f (5＋x)＝f (3－x)，则f (6)＝(　　)
A．29 B．11
C．3 D．5
【解析】因为f (5＋x)＝f (3－x)，所以f (x)的图象关于直线x＝4对称，而f (x)＝3|x－a|＋2的图象关于直线x＝a对称，
所以a＝4，f (6)＝3|6-4|＋2＝11．
故选B．
【典例2】已知函数f (x)(x∈R)满足f (x)＝f (4－x)，若y＝|x－2|与y＝f (x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，则x1＋x2＋x3＋x4＝(　　)
A．－4 B．0
C．4 D．8
【解析】由f (x)＝f (4－x)可知y＝f (x)的图象关于直线x＝2对称，y＝|x－2|的图象关于直线x＝2对称，
所以x1＋x2＋x3＋x4＝4×2＝8．
方法技巧13 中心对称问题
中心对称的几种表述形式
(1)函数y＝f (x)的图象关于点(a，b)对称 f (a＋x)＋f (a－x)＝2b 2b－f (x)＝f (2a－x)；若函数y＝f (x)满足f (a＋x)＋f (b－x)＝c，则y＝f (x)的图象关于点对称．
(2)双曲线型函数f (x)＝的图象的对称中心为．
【典例1】(2024河北重点中学二模)已知函数y＝f (x－1)为奇函数，则函数y＝f (x)＋1的图象(　　)
A．关于点(1，1)对称 B．关于点(1，－1)对称
C．关于点(－1，1)对称 D．关于点(－1，－1)对称
【解析】函数y＝f (x－1)为奇函数，图象关于(0，0)对称，将函数y＝f (x－1)的图象向左平移一个单位长度可得函数y＝f (x)的图象，则函数y＝f (x)的图象关于(－1，0)对称，
所以函数y＝f (x)＋1的图象关于(－1，1)对称．故选C．
【典例2】(2024四川泸州三模)已知函数f (x)(x∈R)满足f (x)＋f (4－x)＝0，若函数f (x)与y＝图象的交点的横坐标分别为x1，x2，…，xn，则＝(　　)
A．4n B．2n
C．n D．0
【解析】因为f (x)＋f (4－x)＝0，所以f (2＋x)＋f (2－x)＝0，
所以函数的图象关于(2，0)对称，又函数y＝的图象关于(2，0)对称，则y＝f (x)与y＝的图象的交点应为偶数个，且关于(2，0)对称，所以＝4×＝2n．故选B．
方法技巧14 两函数图象间的对称问题
函数y＝f (a＋x)的图象与函数y＝f (b－x)的图象关于直线x＝对称．
【典例1】(2025江苏扬州模拟)定义在R上的函数y＝f (x)和y＝g(x)的图象关于y轴对称，且函数y＝f (x－2)＋1是奇函数，则函数y＝g(x)图象的对称中心为(　　)
A．(2，1) B．(－2，－1)
C．(－2，1) D．(2，－1)
【解析】由题意得函数y＝f (x－2)＋1是奇函数，则y＝f (x)的图象关于(－2，－1)对称，另知函数y＝f (x)和y＝g(x)的图象关于y轴对称，故y＝g(x)的图象关于(2，－1)对称．故选D．
【典例2】设函数y＝f (x)的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，若f (3)＋f (9)＝1，则实数m的值为________．
【解析】∵函数y＝f (x)的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，∴x＝log3y－m，
∴f ＝log3x－m，
∴f ＋f ＝1－m＋2－m＝1，∴m＝1．
方法技巧15 幂函数的图象及性质
与幂函数有关问题的解题思路
(1)关于幂函数y＝xα，若α∈Z且函数是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将xα先化为根式，再分析函数的性质．
(2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0．
(3)在比较幂值的大小时，结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
【典例1】已知a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．bC．b【解析】a＝＝，b＝＝，c＝，幂函数y＝在R上单调递增，a【典例2】幂函数f (x)＝(m2－3m－3)xm在区间(0，＋∞)上单调递减，则下列说法正确的是(　　)
A．m＝4 B．f (x)是减函数
C．f (x)是奇函数 D．f (x)是偶函数
【解析】函数f (x)＝(m2－3m－3)xm为幂函数，则m2－3m－3＝1，解得m＝4或m＝－1．
当m＝4时，f (x)＝x4在区间(0，＋∞)上单调递增，不满足条件，A错误；
当m＝－1时，f (x)＝x-1在区间(0，＋∞)上单调递减，满足题意．
函数f (x)＝x-1在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，但不是减函数，B错误；
因为函数定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，且f (－x)＝＝－f (x)，所以函数f (x)是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误．故选C．
【典例3】如图所示是函数y＝(m，n∈N*且互质)的图象，则(　　)
A．m，n是奇数且<1
B．m是偶数，n是奇数，且<1
C．m是偶数，n是奇数，且>1
D．m，n是偶数，且>1
【解析】由题干图象可看出y＝为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故∈(0，1)且m为偶数，又m，n∈N*且互质，故n是奇数．故选B．
方法技巧16 二次函数的图象与解析式
研究二次函数图象及解析式应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取零点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．
【典例1】已知二次函数f (x)满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x)的最大值是8，则f (x)＝________．
【解析】法一(利用“一般式”)：
设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得 解得
所以所求二次函数的解析式为f (x)＝－4x2＋4x＋7．
法二(利用“顶点式”)：
设f (x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
因为f (2)＝f (－1)，
所以抛物线的对称轴为x＝＝，
所以m＝．
又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，
所以f (x)＝a＋8．
因为f (2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，
所以f (x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7．
法三(利用“零点式”)：
由已知f (x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f (x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f (x)＝ax2－ax－2a－1．
又函数有最大值8，
即＝8．
解得a＝－4或a＝0(舍)．
故所求函数的解析式为f (x)＝－4x2＋4x＋7．
【典例2】(多选)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，则(　　)
A．b2＞4ac B．2a－b＝1
C．a－b＋c＝0 D．5a＜b
【解析】在题图中，二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确；图象的对称轴为直线x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，B错误；结合题图，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；由图象的对称轴为x＝－1知，b＝2a．根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确．
方法技巧17 二次函数的单调性与最值
二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
【典例1】(2024山东济南期中)已知函数y＝的定义域与值域均为[0，1]，则实数a的取值为(　　)
A．－4 B．－2
C．1 D．－1
【解析】依题意，y＝ax2＋bx＋c的值域为[0，1]，且ax2＋bx＋c0的解集为[0，1]，
故函数的图象开口向下，a<0，
则方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x＝0或1，
则c＝0，－＝，即a＝－b，
则y＝ax2＋bx＋c＝ax2－ax＝a－，
当x＝时，y＝a－取得最大值，为1，
即－＝1，解得a＝－4．故选A．
【典例2】(2024江苏常州期中)已知二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，恒有f (x＋1)－f (x)＝2x＋2，f (0)＝－2．
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)设g(x)＝f (x)－mx，若函数g(x)在区间[1，2]上的最大值为3，求实数m的值；
(3)若h(x)＝[f (x)－x2＋2]|x－a|，a∈R，若函数h(x)在[－2，2]上是单调函数，求a的取值范围．
【解析】　(1)由f (x＋1)－f (x)＝2x＋2，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－ax2－bx－c＝2x＋2，
则2ax＋a＋b＝2x＋2，所以2a＝2且a＋b＝2，解得a＝1，b＝1，
又f (0)＝－2，则c＝－2，故f (x)＝x2＋x－2．
(2)g(x)＝f (x)－mx＝x2＋(1－m)x－2，其图象的对称轴为x＝，
当<，即m＜4时，g(x)max＝g(2)＝－2m＋4＝3，解得m＝；
当＝，即m＝4时，g(x)max＝g(1)＝g(2)＝－m＝－2m＋4＝3，解得m∈ ；
当>，即m>4时，g(x)max＝g(1)＝－m＝3，解得m＝－3(舍)，
综上，m＝．
(3)h(x)＝[f (x)－x2＋2]＝x＝
当a＝0时，h(x)在R上单调递增，符合题意；
当a>0时，则则解得a4；
当a<0时，>a，则函数h(x)在(－∞，a)，上单调递增，在上单调递减，
则解得a－4，
综上所述，a的取值范围为a＝0或a4或a－4．
方法技巧18 指数幂的运算
指数幂运算的一般原则
(1)将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数．
(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式要求统一．
【典例1】(2025湖南长沙模拟)计算－(－1)0＋＝________．
【解析】＋－(－1)0＋＝＋－1＋＝－4＋3－1＋＝－．
【典例2】(多选)下列计算正确的是(　　)
A．＝
B． ( )÷( )＝－9a(a>0，b>0)
C．＝
D．已知x2＋x-2＝2，则x＋x-1＝2
【解析】对于A，＝＝＝＝，所以A错误；
对于B， ( )÷( )＝－9＝－9a(a>0，b>0)，所以B正确；
对于C，＝＝＝＝，所以C正确；
对于D，因为(x＋x-1)2＝x2＋2＋x-2＝4，所以x＋x-1＝±2，所以D错误．
方法技巧19 指数函数的图象及应用
(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(2)掌握函数y＝f (|x|)，y＝f (x)，y＝|f (x)|的图象之间的变换与联系．
(3)定点与渐近线是作图的关键．
【典例1】(多选)(2025山西晋中模拟)在同一平面直角坐标系中，函数y＝x2＋ax＋a－1与y＝ax的图象可能是(　　)
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
【解析】当a>1时，对应的图象可能为选项A；当0【典例2】若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则实数b的取值范围是________．
【解析】曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b如图所示，由图象可得：如果曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]．
方法技巧20 比较指数式的大小
【典例1】(2023天津高考)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c＞a＞b B．c＞b＞a
C．a＞b＞c D．b＞a＞c
【解析】由y＝1.01x在R上单调递增，则a＝1.010.5＜b＝1.010.6，
由y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增，则a＝1.010.5＞c＝0.60.5．所以b＞a＞c．故选D．
【典例2】若2x＋5y2－y＋5－x，则有(　　)
A．x＋y0 B．x＋y0
C．x－y0 D．x－y0
【解析】设函数f (x)＝2x－5－x，易知f (x)为增函数．
又f (－y)＝2－y－5y，由已知得f (x)f (－y)，所以x－y，所以x＋y0．故选B
方法技巧21 解简单的指数方程或不等式
指数方程或不等式的解法
（1）解指数方程或不等式的依据：①af（x）＝ag（x） f（x）＝g（x）；②af（x）＞ag（x），当a＞1时，等价于f（x）＞g（x）；当0＜a＜1时，等价于f（x）＜g（x）；
（2）解指数方程或不等式的方法：先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解.
【典例1】(2024江苏宿迁一模)已知函数f (x)＝2x－3－x，则不等式f (x2)A．(－1，3)
B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3，1)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
【解析】函数f (x)的定义域为R，函数y＝2x，y＝3－x分别是R上的增函数和减函数，因此函数f (x)＝2x－3－x是R上的增函数，由f (x2)【典例2】已知实数a≠1，函数f (x)＝若f (1－a)＝f (a－1)，则a的值为________．
【解析】当a<1时，41-a＝21，解得a＝；
当a>1时，2a－(1-a)＝4a-1无解，故a的值为．
方法技巧22 指数函数性质的综合应用
(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
【典例1】(多选)(2024浙江温州期末)已知函数f (x)＝，则(　　)
A．不等式<的解集是(－1，1)
B． x∈R，都有f (－x)＝f (x)
C．f (x)是R上的减函数
D．f (x)的值域为(－1，1)
【解析】对于A，f (x)＝＝1－，由<，得－＜1－＜，即<<，
得<2x＋1<3，解得－1对于B，f (－x)＝1－＝1－≠f (x)，故B错误；
对于C，f (1)＝1－＝<＝1－＝f (2)，所以f (x)在R上单调递减不成立，故C错误；
对于D，由0<<2知－1<1－<1，即函数f (x)的值域为(－1，1)，故D正确．故选AD．
【典例2】若函数f (x)＝的值域是，则f (x)的单调递增区间是________．
【解析】∵y＝是减函数，且f (x)的值域是，∴t＝ax2＋2x＋3有最小值2，
则a>0且＝2，解得a＝1，
因此t＝x2＋2x＋3的单调递减区间是(－∞，－1]，
故f (x)的单调递增区间是(－∞，－1]．
【典例3】已知函数f (x)＝x3(a2x－2－x)是偶函数，则a＝________．
【解析】法一(定义法)：因为f (x)＝x3(a2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，
所以f (－x)＝f (x)对任意的x∈R恒成立，
所以(－x)3(a2－x－2x)＝x3(a2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1．
法二(取特殊值检验法)：因为f (x)＝x3(a2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f (－1)＝f (1)，所以－＝2a－，解得a＝1，经检验，f (x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1．
法三(转化法)：由题意知f (x)＝x3(a2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数．设g(x)＝x3，h(x)＝a2x－2－x，因为g(x)＝x3为奇函数，所以h(x)＝a2x－2－x为奇函数，所以h(0)＝a20－2-0＝0，解得a＝1，经检验，f (x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1．
【典例4】(2023新高考Ⅰ卷)设函数f (x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
【解析】法一(复合函数法)：因为y＝2x在R上单调递增，所以y＝x(x－a)在区间(0，1)单调递减，所以x＝1，解得a2．故选D．
法二(特值法)：取a＝3，则y＝x(x－3)＝－在(0，1)单调递减，所以f (x)＝2x(x-3)在(0，1)单调递减，所以a＝3符合题意，排除A，B，C．故选D．
方法技巧23 对数的运算
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
【典例1】(2025·四川成都模拟)若实数m，n，t满足5m＝7n＝t且＝2，则t＝(　　)
A．2 B．12 C． D．
【解析】因为5m＝7n＝t且＝2，
易知t>0且t≠1，所以m＝log5t，n＝log7t，
所以＝logt5，＝logt7，
所以＝logt5＋logt7＝logt35＝2，则t＝.故选D.
【典例2】(2025·天津武清模拟)设a＝lg 20＋lg ，b＝log95，则a＋3b的值为(　　)
A．2＋ B．1＋ C．27 D．26
【解析】根据题意，
a＋3b＝lg 20＋lg＋＝lg＋lg＋
＝lg()＋＝lg 10＋＝1＋.故选B.
方法技巧24 对数函数的图象及应用
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【典例1】已知函数f (x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　)
A．0B．0C．0D．0【解析】由函数图象可知，f (x)为增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，
由函数图象可知－1【典例2】当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　)
A． B．
C．(1，) D．(，2)
【解析】构造函数f (x)＝4x和g(x)＝logax，当a＞1时，不满足条件；当0＜a＜1时，在同一直角坐标系中画出两个函数大致的图象，如图所示，由题意可知
f ＜g，即2＜loga，
则a＞，所以a的取值范围为.
【典例3】已知函数f (x)＝|ln x|，若0【解析】f (x)＝|ln x|的图象如图所示，
因为f (a)＝f (b)，所以|ln a|＝|ln b|，
因为00，
所以01，所以－ln a＝ln b，
所以ln a＋ln b＝ln (ab)＝0，
所以ab＝1，则b＝，所以a＋2b＝a＋，
令g(x)＝x＋(0所以g(x)>g(1)＝1＋2＝3，所以a＋2b>3，
所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞)．
方法技巧25 对数函数的性质及应用
【典例1】已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增．若正实数a满足f (log2a)＋≤2f (1)，则a的取值范围是(　　)
A．[1，2] B．
C． D．(0，2]
【解析】因为＝－log2a，所以f (log2a)＋＝f (log2a)＋f (－log2a)＝2f (log2a)，原不等式变为2f (log2a)≤2f (1)，即f (log2a)≤f (1)．又因为f (x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以|log2a|≤1，即－1≤log2a≤1，解得≤a≤2，故选C.
【典例2】已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【解析】法一(中间量法、性质法)：因为a＝log2e＞1，b＝ln 2∈(0，1)，所以a＞b.又因为c＝＝log23，且函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以log23＞log2e，所以c＞a，所以c＞a＞b.
法二(图象法)：＝log23，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log2x，y＝ln x的图象，如图，由图可知c＞a＞b.
【典例3】(多选)(2025·广东深圳中学模拟)已知函数f (x)＝lg (x2＋ax－a－1)，给出下述论述，其中正确的是(　　)
A．当a＝0时，f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．f (x)一定有最小值
C．当a＝0时，f (x)的值域为R
D．若f (x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥－4}
【解析】对于A，∵a＝0，∴f (x)＝lg (x2－1)，即x2－1＞0，∴x＜－1或x＞1，∴A正确；
对于B，令u(x)＝x2＋ax－a－1，则复合函数y＝f (x)是由y＝lg u，u＝x2＋ax－a－1复合而成的，
∵y＝lg u在定义域内是单调递增的，而u＝x2＋ax－a－1(u>0)无最小值，∴f (x)没有最小值，∴B错误；
对于C，当a＝0时，f (x)＝lg (x2－1)中的u＝x2－1中的u能够取到所有的正数，∴f (x)的值域为R，∴C正确；
对于D，∵复合函数y＝lg (x2＋ax－a－1)是由y＝lg u，u＝x2＋ax－a－1复合而成的，而y＝lg u在定义域内是单调递增的，又∵y＝f (x)在区间[2，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性可知， u＝x2＋ax－a－1在区间[2，＋∞)上单调递增，则有－≤2，
即a≥－4.
又∵x2＋ax－a－1>0在区间[2，＋∞)上恒成立，则有22＋2a－a－1>0，即a>－3，
∴a>－3，∴D错误．故选AC.
【典例4】(多选)已知函数f (x)＝ln ，下列说法正确的是(　　)
A．f (x)为奇函数
B．f (x)为偶函数
C．f (x)在上单调递减
D．f (x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)
【解析】令>0，解得x>或x<－，
∴f (x)的定义域为，
又f (－x)＝ln ＝ln ＝ln
＝－ln ＝－f (x)，
∴f (x)为奇函数，故A正确，B错误．
又f (x)＝ln ＝ln ，
令t＝1＋，t>0且t≠1，则y＝ln t，
又t＝1＋在上单调递减，且y＝ln t为增函数，
∴f (x)在上单调递减，故C正确；
由C分析可得f (x)的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正确．
方法技巧26 函数图象的辨识
辨析函数图象的入手点
(1)从函数的定义域判断图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置．
(2)从函数的奇偶性判断图象的对称性．
(3)从函数的特殊点排除不合要求的图象．
(4)从函数的单调性判断图象的变化趋势．
(5)从函数的周期性判断图象的循环往复．
【典例1】函数f (x)＝的图象大致为(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
【解析】由题意可知，函数f (x)的定义域为{x|x≠0}．
又f (－x)＝＝＝－f (x)，
所以函数f (x)为奇函数，图象关于原点对称，排除选项AB；
当x＞0时，f (x)＝＝－x＋，
则f′(x)＝－1＋＝－，
由f′(1)＝－2<0，排除选项D.故选C.
【典例2】若函数f (x)＝的部分图象如图所示，则f (5)＝(　　)
A．－ B．－ C．－ D．－
【解析】由题图知，方程ax2＋bx＋c＝0的两根为2，4，且函数图象过点(3，1)，所以解得a＝－2，b＝12，c＝－16，
所以f (x)＝＝，
所以f (5)＝＝－，故选A.
方法技巧27 函数图象的应用
(1)注意函数性质与图象特征的对应关系．
(2)某些方程和不等式的求解问题，可转化为图象的交点问题，体现了数形结合的思想．
【典例1】(多选)对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝若f (x)＝2－x2，g(x)＝x2，下列关于函数F(x)＝min{f (x)，g(x)}的说法正确的是(　　)
A．函数F(x)是偶函数
B．方程F(x)＝0有3个根
C．函数F(x)在区间[－1，1]上单调递增
D．函数F(x)有4个单调区间
【解析】根据函数f (x)＝2－x2与g(x)＝x2，画出函数F(x)＝min{f (x)，g(x)}的图象，如图．由图象可知，函数F(x)＝min{f (x)，g(x)}的图象关于y轴对称，所以A正确；函数F(x)的图象与x轴有3个交点，所以方程F(x)＝0有3个根，所以B正确；函数F(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，所以C错误，D正确．
【典例2】(2024·北京朝阳区三模)已知函数f (x)＝log2x－x＋1，则不等式f (x)<0的解集是(　　)
A．(1，2) B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．(0，2) D．(0，1)∪(2，＋∞)
【解析】依题意，f (x)<0等价于log2x分别作出y＝log2x的图象与y＝x－1的图象，
如图可得不等式f (x)<0的解集是(0，1)∪(2，＋∞)，故选D.
【典例3】已知函数f (x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f (x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．
【解析】先作出函数f (x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线y＝kx与直线AB平行时，斜率为1，当直线y＝kx过A点时，斜率为，故方程f (x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为.
方法技巧28 判定函数零点所在的区间
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是否连续，若连续，则再看是否有f (a)·f (b)<0，若有，则函数y＝f (x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点．
【典例1】(2025·河北邯郸模拟)函数f (x)＝2x＋x3－2的零点所在的区间是(　　)
A．(－2，－1) B．(0，1)
C．(－1，0) D．(1，2)
【解析】由函数f (x)＝2x＋x3－2可知f (x)在R上单调递增，
因为f (－2)＝－8－2＝－<0，f (－1)＝－1－2＝－<0，
f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0，
根据函数零点存在定理，f (x)的零点所在的区间是(0，1)，且零点是唯一的．故选B.
【典例2】已知函数f (x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．当2【解析】对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y>1，在同一直角坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，判断出两个函数图象的交点的横坐标在(2，3)内，所以函数f (x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2.
方法技巧29 确定函数零点的个数
求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f (x)＝0，方程有多少个解，则f (x)有多少个零点．
(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等．
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．
【典例1】函数f (x)＝的零点个数为(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
【解析】当x≤0时，令x2－1＝0，解得x＝－1；
当x>0时，f (x)＝x－2＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，并且f (1)＝1－2＋ln 1＝－1<0，
f (2)＝2－2＋ln 2＝ln 2>0，即f (1)f (2)<0，
所以函数f (x)在区间(1，2)内必有一个零点，
综上，函数f (x)的零点个数为2.
【典例2】设函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f (x)＝ex＋x－3，则f (x)的零点个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】因为函数f (x)是定义域为R的奇函数，所以f (0)＝0，即x＝0是函数f (x)的1个零点．当x＞0时，令f (x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3，分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示，两函数图象有1个交点，所以函数f (x) 在(0，＋∞)上有1个零点．根据对称性知，当x＜0时，函数f (x)也有1个零点．综上所述，f (x)的零点个数为3.
【典例3】已知函数f＝则关于x的函数y＝4f2－13f＋9的零点的个数为(　　)
A．8 B．7 C．5 D．2
【解析】根据题意，令4f 2(x)－13f (x)＋9＝0，
得f (x)＝1或f (x)＝.作出f (x)的简图，如图，
由图象可得直线y＝1、y＝与f (x)的图象，分别有4个和3个交点，故关于x的函数y＝4f2－13f＋9的零点的个数为7.故选B.
方法技巧30 根据函数零点个数求参数
已知零点个数求参数范围的方法
1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．
【典例1】已知函数f (x)＝若关于x的方程f (x)＝m有3个不相等的实数根，则m的取值范围是________．
【解析】作出f (x)的大致图象．如图所示，
方程f (x)＝m有3个不等实数根等价于f (x)的图象与直线y＝m有3个不同的交点，则1≤m≤2.
【典例2】(多选)已知函数f (x)＝ 函数g(x)＝[f (x)]2－(a－1)f (x)－a，则下列说法错误的是(　　)
A．若a<－，则g(x)恰有2个零点
B．若1≤a<2，则g(x)恰有4个零点
C．若g(x)恰有3个零点，则a的取值范围是[0，1)
D.若g(x)恰有2个零点，则a的取值范围是∪(2，＋∞)
【解析】令g(x)＝[f (x)]2－(a－1)f (x)－a＝0，
则[f (x)－a][f (x)＋1]＝0，解得f (x)＝－1或f (x)＝a.
当x>0时，f′(x)＝ln x＋1.由f′(x)>0，得x>；由f′(x)<0，得0则f (x)在上单调递减，在上单调递增，f＝－.
f (x)＝－x2－2x＋1，x≤0，当x＝－1时，f (－1)＝2，
故f (x)的大致图象如图所示．由图可知，方程f (x)＝－1有且仅有1个实根．
当a＝－1时，g(x)恰有1个零点，故A错误；
当1≤a<2时，方程f (x)＝a有3个实根，则g(x)恰有4个零点，故B正确；
由g(x)恰有3个零点，得方程f (x)＝a恰有2个实根，则a＝2或0≤a<1或a＝－，则C错误；
由g(x)恰有2个零点，得方程f (x)＝a恰有1个实根，且a≠－1，则a<－1或－12，则D错误．
故选ACD.
【典例3】函数f (x)＝若函数g(x)＝f (f (x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
【解析】设t＝f (x)，令f (f (x))－a＝0，则a＝f (t)．
在同一平面直角坐标系内作出y＝a，y＝f (t)的图象(如图)．
当a≥－1时，y＝a与y＝f (t)的图象有两个交点．
设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2＞t1)，则t1＜－1，t2≥－1.
当t1＜－1时，t1＝f (x)有一解；
当t2≥－1时，t2＝f (x)有两解．
综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f (f (x))－a有三个不同的零点．
方法技巧31 根据函数零点范围求参数
已知函数零点求参数值或取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．
(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解．
【典例1】函数f (x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞)　　　　　 B．[2，＋∞)
C． D．
【解析】由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是.所以实数a的取值范围是，故选D.
【典例2】若函数f (x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是________．
【解析】依题意，结合函数f (x)的图象(图略)分析可知，m需满足
即
解得方法技巧32 用函数图象刻画实际问题
判断函数图象与实际问题变化过程是否吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意容易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况．
【典例1】高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f的大致图象是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
【解析】由图可知水深h越大，水的体积v就越大，故函数v＝f是增函数，故排除A，C项，由鱼缸形状可知，下面细中间粗，上面较细，所以随着水深的增加，体积的变化的速度是先慢后快再慢的，所以B正确．故选B.
【典例2】(2024·云南师大附中期末)如图是根据某调查绘制的某地区7岁以下女童身高(长)的中位数散点图，下列可近似刻画身高y(单位：cm)随年龄x(单位：岁)变化规律的函数模型是(　　)
A．y＝mx＋n(m>0)
B．y＝m＋n(m>0)
C．y＝max＋n(m>0，a>1)
D．y＝mlogax＋n(m＞0，a＞1)
【解析】A选项，由散点图知身高y随年龄x变化不是线性增长，故A错误；C选项，指数函数模型中y随x增长越来越快，与图象不符合；D选项，对数函数模型在x＝0时没有意义；B选项符合散点图中y随x增长越来越慢，且在x＝0时有意义．故选B.
方法技巧33 已知函数模型的实际问题
已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
【典例1】(2025·山东泰安模拟)青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.5和5.0，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为V1，V2，则的值所在区间是(　　)
A．(1.5，2) B．(2，2.5)
C．(2.5，3) D．(3，3.5)
【解析】依题意，两式相减得0.5＝lg V2－lg V1＝lg ，
解得＝100.5＝，所以∈(3，3.5)．故选D.
【典例2】英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型．如果物体的初始温度是θ1，环境温度是θ0，则经过t min物体的温度θ将满足θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有90 ℃的物体，若放在10 ℃的空气中冷却，经过10 min物体的温度为50 ℃，则若使物体的温度为20 ℃，需要冷却(　　)
A．17.5 min　　　　 B．25.5 min
C．30 min D．32.5 min
【解析】由题意得50＝10＋(90－10)e-10k，即e-10k＝，∴k＝ln 2，∴θ＝θ0＋(θ1－，
由20＝10＋(90－得＝，
即－ln 2＝ln ＝－3ln 2，解得t＝30，
∴若使物体的温度为20 ℃，需要冷却30 min.故选C.
方法技巧34 构建函数模型的实际问题
构建函数模型解决实际问题时需注意以下四个步骤
【典例1】　(2024·江苏南通二模)某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：小时)变化的关系如下：当0≤x≤4时，y＝－1；当4(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a的最小值(精确到0.1，参考数据：取1.4)
【解析】　(1)因为一次喷洒4个单位的消毒剂，
所以其浓度为f (x)＝4y＝
当0≤x≤4时，－4≥4，解得x≥0，此时0≤x≤4，
当4所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时．
(2)设从第一次喷洒起，经x(6≤x≤10)小时后，
其浓度g(x)＝2＋a＝10－x＋－a＝14－x＋－a－4，
因为14－x∈[4，8]，a∈[1，4]，
所以14－x＋－a－4≥2－a－4＝8－a－4，
当且仅当14－x＝，即x＝14－4∈[6，10]时，等号成立．
所以其最小值为8－a－4，由8－a－4≥4，解得24－16≤a≤4，所以a的最小值为24－16≈1.6.
【典例2】(多选)(2025·浙江嘉兴模拟)常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分记录数据和小数记录数据，把小数记录数据记为x，对应的五分记录数据记为y，现有两个函数模型：
①y＝5＋2lg x；②y＝5－lg .
根据如图所示的标准对数视力表中的数据，下列结论中正确的是(　　)
(参考数据：10-0.2≈0.6，10-0.15≈0.7，10-0.1≈0.8，10-0.05≈0.9)
A．选择函数模型①
B．选择函数模型②
C．小明去检查视力，医生告诉他视力为5.0，则小明视力的小数记录数据为0.9
D．小明去检查视力，医生告诉他视力为4.9，则小明视力的小数记录数据为0.8
【解析】将x＝0.1代入①y＝5＋2lg x，②y＝5－lg ，
分别可得y＝5－2＝3，y＝5－1＝4，
所以标准对数视力表对应函数模型②，故A错误，B正确；令y＝5－lg ＝5，解得x＝1，所以小明视力的小数记录数据为1.0，故C错误；
x＝0.8代入模型②得，y＝5－lg ＝5＋lg 0.8＝5－0.1＝4.9，故D正确．故选BD.
方法技巧35 变化率问题
函数的平均变化率和瞬时变化率的关系
平均变化率＝，如果当Δx趋于0时，无限趋近于一个常数，那么这个常数就是函数f (x)在x＝x0处的瞬时变化率．求函数的瞬时变化率可以利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．
【典例1】(多选)环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f (t)，用－的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．
则下列结论正确的是(　　)
A．在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强
B．在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强
C．在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标
D．甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强
【解析】－表示在[a，b]上割线斜率的相反数，－越大治理能力越强．
对于A，在[t1，t2]这段时间内，甲企业对应图象的割线斜率的相反数比乙企业大，故甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；
对于B，要比较t2时刻的污水治理能力，即看在t2时刻两曲线的切线斜率，切线斜率的相反数越大，污水治理能力越强，故在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；
对于C，在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，正确；
对于D，甲企业在[t1，t2]这段时间内的污水治理能力最强，错误．故选ABC．
【典例2】(多选)吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的关系为r(V)，r′为r(V)的导函数．已知r(V)在0≤V≤3上的图象如图所示，若0≤V1A．<
B．r′>r′
C．r<
D．存在V0∈，使得r′＝
【解析】对于A，设tan α＝，tan θ＝，
由题图得θ＜α＜，所以tan α>tan θ，
所以>，所以该选项错误；
对于B，由题图得图象上点的切线的斜率越来越小，
根据导数的几何意义，得r′>r′，所以该选项正确；
对于C，设V1＝0，V2＝3，所以r＝r，＝，因为r－r(0)>r(3)－r，所以r>，所以该选项错误；
对于D，表示A(V1，r(V1))，B(V2，r(V2))两点之间的斜率，r′表示C(V0，r(V0))处切线的斜率，由于V0∈，所以可以平移直线AB，使之和曲线r(V)相切，切点就是点C，所以该选项正确．故选BD．
方法技巧36 导数的运算
导数的运算方法
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
【典例1】(2025·河北冀州中学模拟)已知函数f (x)满足f (x)＝f ′sin x－cos x，则f ′的值为(　　)
A．
C．－ D．－
【解析】f ′(x)＝f ′cos x＋sin x，∴f ′＝， ∴f ′＝．故选A．
【典例2】(2025·广东肇庆模拟)已知函数f (x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f ′(2)＝(　　)
A．0　　 B．－12
C．－120 D．120
【解析】令g(x)＝x(x－1)(x－3)(x－4)(x－5)，
则f (x)＝(x－2)g(x)，
两边求导得f ′(x)＝g(x)＋(x－2)g′(x)，
令x＝2，得f ′(2)＝g(2)＝－12．故选B．
方法技巧37 导数几何意义的应用
导数几何意义的应用要点
(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)函数f (x)过某点(m，n)有若干条切线，转化为关于切点的方程(高次)根的个数问题．
【典例1】(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　)
A．y＝x　　 B．y＝x
C．y＝x＋ D．y＝x＋
【解析】因为y＝，
所以y′＝＝，
故曲线在点处的切线斜率k＝，
所以切线方程为y－＝(x－1)，即y＝x＋．故选C．
【典例2】(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln |x|经过坐标原点的两条切线方程分别为________，________．
【解析】当x>0时，点(x1，ln x1)(x1>0)上的切线为y－ln x1＝(x－x1)．若该切线经过原点，则ln x1－1＝0，解得x1＝e，此时切线方程为y＝．
当x<0时，点(x2，ln (－x2))(x2<0)上的切线为y－ln (－x2)＝(x－x2)．若该切线经过原点，则ln (－x2)－1＝0，解得x2＝－e，此时切线方程为y＝－．
【典例3】(2024·浙江绍兴二模)曲线f (x)＝x＋a ln x在点(1，1)处的切线与直线y＝2x平行，则a＝(　　)
A．1　　 B．2
C．－1 D．－2
【解析】f ′(x)＝1＋，则f ′(1)＝1＋a，
因为曲线f (x)在点(1，1)处的切线与直线y＝2x平行，
所以f ′(1)＝1＋a＝2，解得a＝1．故选A．
【典例4】(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______．
【解析】∵y＝(x＋a)ex，∴y′＝(x＋1＋a)ex，
设切点为(x0，y0)，则y0＝，切线斜率k＝，
∴切线方程为＝(x－x0)，
∵切线过原点，
＝(－x0)，
整理得＋ax0－a＝0，
∵切线有两条，
∴Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，
∴a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．
【典例5】若点P是曲线y＝x2－2ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－3的距离的最小值为________．
【解析】设平行于直线y＝x－3且与曲线y＝x2－2ln x相切的切线对应切点P(x，y)，由y＝x2－2ln x，得y′＝3x－，令y′＝3x－＝1，得x＝1或x＝－(舍去)，
∴P，
∴点P到直线y＝x－3的距离的最小值为＝．
方法技巧38 两曲线的公切线问题
曲线公切线的求解策略
设直线与曲线y＝f (x)相切于点(x1，f (x1))，与曲线y＝g(x)相切于点(x2，g(x2))，则切线方程为y－f (x1)＝f ′(x1)(x－x1)，即y＝f ′(x1)x＋f (x1)－f ′(x1)x1，同理y＝g′(x2)x＋g(x2)－g′(x2)x2．
所以解出x1，x2，从而可得公切线方程．
【典例1】(2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________．
【解析】由y＝ex＋x得y′＝ex＋1，则y′|x＝0＝e0＋1＝2，
故曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1．
由y＝ln (x＋1)＋a得y′＝，
设切线与曲线y＝ln (x＋1)＋a相切的切点为(x0，ln (x0＋1)＋a)，
由两曲线有公切线得y′＝＝2，解得x0＝－，则切点为，
切线方程为y＝2＋a＋ln ＝2x＋1＋a－ln 2．
根据两切线重合，得a－ln 2＝0，解得a＝ln 2．
【典例2】(2025·福建泉州模拟)若曲线y＝x2与y＝tex(t≠0)恰有两条公切线，则t的取值范围为(　　)
A．
C．(－∞，0) D．(－∞，0)
【解析】设曲线y＝tex的切点为M(m，tem)，y＝x2的切点为N(n，n2)，
则曲线y＝tex在点M(m，tem)处的切线方程为y－tem＝tem(x－m)，即y＝temx＋tem－mtem，
同理，y＝x2在点N(n，n2)处的切线方程为y＝2nx－n2，
根据y＝tex与y＝x2有两条公切线，
则所以tem－mtem＝－，
化简可得t＝，
转化为方程t＝有两个解，构造函数f (x)＝，则f ′(x)＝，
当x<2时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增；当x>2时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，
故f (x)在x＝2时有极大值即为最大值，f (2)＝，
当x→－∞时，f (x)→－∞，当x→＋∞时，f (x)→0，
故t的取值范围为．故选A．
【典例3】若两曲线y＝ln x－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a的取值范围是(　　)
A．(0，2e]　　　　　　 B．
C． D．[2e，＋∞)
【解析】设公切线与曲线y＝ln x－1和y＝ax2的切点分别为，其中x1＞0，
对于y＝ln x－1有y′＝，则曲线y＝ln x－1的切线方程为y－(ln x1－1)＝(x－x1)，
即y＝x＋ln x1－2，
对于y＝ax2有y′＝2ax，则曲线y＝ax2的切线方程为＝2ax2(x－x2)，即y＝，
所以则＝ln x1－2，
即＝ln x1(x1＞0)，
令g(x)＝2x2－x2ln x(x＞0)，
则g′(x)＝3x－2x ln x＝x(3－2ln x)，
令g′(x)＝0，得x＝，
当x∈(0，)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；
当x∈(，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，且当x→＋∞时，g(x)→－∞，
所以g(x)max＝g()＝e3，故0＜e3，
即a≥e-3．故选B．
方法技巧39 导函数与原函数性质关系问题
1．导函数与原函数对称性、周期性的关系
性质1：若函数f (x)连续且可导，则f (x)的图象关于直线x＝a对称 导函数f ′(x)的图象关于点(a，0)对称．
性质2：若函数f (x)连续且可导，则f (x)的图象关于点(a，f (a))对称 导函数f ′(x)的图象关于直线x＝a对称．
性质3：f (x)的图象是周期为T的周期函数 f ′(x)的图象是周期为T的周期函数．
2．导函数与原函数奇偶性的关系
性质1：若f (x)为偶函数且可导，则f ′(x)为奇函数．
性质2：若f (x)为奇函数且可导，则f ′(x)为偶函数．
【典例1】已知定义在R上的函数f (x)满足f (1＋x)＝f (1－x)，且f (2＋x)＝－f (2－x)，f ′(x)是f (x)的导数，则(　　)
A．f ′(x)是奇函数，且是周期函数
B．f ′(x)是偶函数，且是周期函数
C．f ′(x)是奇函数，且不是周期函数
D．f ′(x)是偶函数，且不是周期函数
【解析】根据题意，定义在R上的函数f (x)满足f (1＋x)＝f (1－x)，所以f (－x)＝f (2＋x)，
又f (2＋x)＝－f (2－x)，所以f (－x)＝－f (4＋x)，
所以f (x＋4)＝－f (x＋2)，即f (x＋2)＝－f (x)，
所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，所以f (x)是周期为4的周期函数，
所以f ′(x＋4)＝[f (x＋4)]′＝f ′(x)，所以f ′(x)是周期函数．
因为f (－x)＝f (2＋x)＝－f (x)，
即f (x)＝－f (－x)，
所以f ′(－x)＝－[f (－x)]′＝f ′(x)，
所以f ′(x)是偶函数．
故选B．
【典例2】(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f ′(x)．若f，g(2＋x)均为偶函数，则(　　)
A．f (0)＝0　　 B．g＝0
C．f (－1)＝f (4) D．g(－1)＝g(2)
【解析】因为f ，g(2＋x)均为偶函数，
所以f ＝f ，
即f ＝f ，g(2＋x)＝g(2－x)，
所以f (3－x)＝f (x)，g(4－x)＝g(x)，则f (－1)＝f (4)，故C正确；
函数f (x)，g(x)的图象分别关于直线x＝，x＝2对称，
又g(x)＝f ′(x)，且函数f (x)可导，所以g＝0，g(3－x)＝－g(x)，
所以g(4－x)＝g(x)＝－g(3－x)，所以g(x＋2)＝－g(x＋1)＝g(x)，
所以g＝g＝0，g(－1)＝g(1)＝－g(2)，
故B正确，D错误；
若函数f (x)满足题设条件，则函数f (x)＋C(C 为常数)也满足题设条件，所以无法确定f (x)的函数值，故A错误．
故选BC．
方法技巧40 不含参数的函数的单调性
利用导函数求函数单调区间的注意点
(1)先求函数定义域，单调区间是定义域的子集．
(2)正确求导函数．
(3)当f ′(x)＝0无解时，可根据f ′(x)的结构特征确定f ′(x)的符号．
(4)所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用“∪”“或”连接，要用“，”“和”隔开．
【典例1】函数f (x)＝的单调递增区间为________．
【解析】由题意知f ′(x)＝(x＞0)．
设h(x)＝－ln x－1(x＞0)，则h′(x)＝－＜0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
由h(1)＝0知，当0＜x＜1时，h(x)＞0，
所以f ′(x)＞0；
当x＞1时，h(x)＜0，所以f ′(x)＜0．
综上，f (x)在(0，1)上单调递增．
【典例2】已知函数f (x)＝8x－，x∈，讨论f (x)的单调性．
【解析】　f ′(x)＝8－
＝8－＝8－．
令cos2x＝t，则t∈(0，1)，
则f ′(x)＝＝，
当t∈，即x∈时，f ′(x)<0．
当t∈，即x∈时，f ′(x)>0．
所以f (x)在上单调递增，在上单调递减．
方法技巧41 含参数的函数的单调性
(1)对于含参数的函数的单调性，常见的分类讨论点按讨论的先后顺序有以下三个：
分类讨论点1(根的有无讨论)：求导后，考虑f ′(x)＝0是否有实数根，从而引起分类讨论；
分类讨论点2(根在不在定义域内讨论)：求导后，f ′(x)＝0有实数根，但不清楚f ′(x)＝0的实数根是否落在定义域内，从而引起分类讨论；
分类讨论点3(根的大小的讨论)：求导后，f ′(x)＝0有实数根，f ′(x)＝0的实数根也落在定义域内，但不清楚这些实数根的大小关系，从而引起分类讨论．
(2)求出f ′(x)后，先观察f ′(x)的解析式的特征(当参数取某些特殊值或在某一范围内时，f ′(x)≥0(≤0)恒成立)，再解不等式．
【典例1】已知函数f (x)＝－a ln x(a∈R)，讨论f (x)的单调性．
【解析】　函数f (x)＝－a ln x的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝，
若a≤0，令f ′(x)＝0，解得x＝1，当x∈(0，1)时，f ′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0，
所以函数f (x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
若a>0，令f ′(x)＝0，解得x＝1或x＝ln a．
①若ln a≤0，即00，
所以函数f (x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
②若00，当x∈(ln a，1)时，f ′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0，
所以函数f (x)在(ln a，1)上单调递减，在(0，ln a)和(1，＋∞)上单调递增．
③若ln a＝1，即a＝e时，可得f ′(x)≥0且等号不恒成立，
所以函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
④若ln a>1，即a>e时，当x∈(0，1)时，f ′(x)>0，当x∈(1，ln a)时，f ′(x)<0，当x∈(ln a，＋∞)时，f ′(x)>0，
所以函数f (x)在(1，ln a)上单调递减，在(0，1)和(ln a，＋∞)上单调递增．
综上，当a≤1时，f (x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；
当1当a＝e时，f (x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>e时，f (x)在(1，ln a)上单调递减，在(0，1)和(ln a，＋∞)上单调递增．
【典例2】已知函数f (x)＝ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数y＝f (x)的单调性．
【解析】　函数的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x)＝ax－(a＋1)＋＝
＝．
①当01，
∴x∈(0，1)时，f ′(x)>0；
x∈时，f ′(x)<0，
∴函数f (x)在(0，1)和上单调递增，在上单调递减．
②当a＝1时，＝1，∴f ′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，
∴函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
③当a>1时，0<<1，
∴x∈∪(1，＋∞)时，f ′(x)>0；
x∈时，f ′(x)<0，
∴函数f (x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．
综上，当0当a＝1时，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>1时，函数f (x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．
【典例3】(2024·山东青岛一模)已知函数f (x)＝x2－ax＋ln x，讨论f (x)的单调性．
【解析】　f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝．
当a≤0时，f ′(x)>0恒成立，f (x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，令g(x)＝x2－ax＋1，Δ＝a2－4．
①当Δ≤0，即0f ′(x)≥0恒成立，f (x)在(0，＋∞)上单调递增；
②当Δ>0，即a>2时，
f ′(x)＝，
由f ′(x)>0，得
0，
由f ′(x)<0，得所以f (x)在上单调递增，
在上单调递减．
综上，当a≤2时，f (x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>2时，f (x)在上单调递增；在上单调递减．
方法技巧42 函数单调性的应用
根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f (x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)f (x)在区间(a，b)上单调递增的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f ′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f ′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．
【典例1】(2025·四川成都模拟)已知定义在(0，＋∞)上的函数y＝f (x)的导函数为y＝f ′(x)，当x>0时，xf ′(x)＋f (x)<0，且f (2)＝3，则不等式f (x－1)>的解集为__________．
【解析】令g(x)＝xf (x)，则g′(x)＝xf ′(x)＋f (x)，
因为当x>0时，xf ′(x)＋f (x)<0，即g′(x)<0，
所以当x>0时，g(x)＝xf (x)单调递减，
由不等式f (x－1)>可得
即g(x－1)>g(2)，故有0即不等式f (x－1)>的解集为(1，3)．
【典例2】已知a<5且ae5＝5ea，b<4且be4＝4eb，c<3且ce3＝3ec，则(　　)
A．cC．a【解析】由题意得0令f (x)＝(x>0)，则f ′(x)＝，
当01时，f ′(x)>0，
故f (x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，因为ae5＝5ea，所以＝，
即f (5)＝f (a)，而0故0因为f (5)>f (4)>f (3)，所以f (a)>f (b)>f (c)，
所以0【典例3】已知函数g(x)＝2x＋ln x－．
(1)若函数g(x)在区间[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若g(x)在区间[1，2]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围．
【解析】　(1)g(x)＝2x＋ln x－(x>0), g′(x)＝2＋(x>0)．
∵函数g(x)在[1，2]上单调递增，
∴g′(x)≥0在[1，2]上恒成立，
即2＋≥0在[1，2]上恒成立，
∴a≥－2x2－x在[1，2]上恒成立，
∴a≥(－2x2－x)max，x∈[1，2]．
在[1，2]上，(－2x2－x)max＝－3，
∴a≥－3．
∴实数a的取值范围是[－3，＋∞)．
(2)g(x)在[1，2]上存在单调递增区间，
则g′(x)＞0在[1，2]上有解，
即a＞－2x2－x在[1，2]上有解，
∴a＞(－2x2－x)min，
又(－2x2－x)min＝－10，
∴a＞－10．
∴实数a的取值范围为(－10，＋∞)．
【典例4】已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x)满足xf ′(x)－f (x)>0，且f (1)＝2，则f (ex)>2ex的解集为(　　)
A．(0，＋∞)　　 B．(ln 2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0，1)
【解析】设g(x)＝，x>0，
因为xf ′(x)－f (x)>0，
所以g′(x)＝>0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为f (1)＝2，所以g(1)＝＝2，
由f (ex)>2ex，且ex>0得>2，
则g(ex)＝>2＝g(1)，
所以ex>1＝e0，所以x∈(0，＋∞)，故选A．
方法技巧43 根据函数的图象判断函数的极值
1.根据原函数图象判断极值的解题策略
先在原函数图象上寻找峰顶、谷底或导数不存在的尖点，这些是候选极值点；再观察每个点左右两侧的单调性：若左边递增、右边递减，则为极大值点；若左边递减、右边递增，则为极小值点；若两侧单调性不变，则该点不是极值点，判断时只关注局部升降变化，不与整体最值混淆。
2.根据导函数图象判断极值的解题策略
先找出导函数图象与x轴的交点及导数不存在的点，这些是临界点；再看临界点左右两侧导函数的符号：若左正右负，则原函数在该点取极大值；若左负右正，则原函数在该点取极小值；若两侧符号相同，则该点无极值。
【典例1】　(2025·江苏常州模拟)已知函数f (x)的导函数为f ′(x)，定义域为(0，＋∞)，且函数g(x)＝(x－6)3·f ′(x)的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．f (x)有极小值f (6)，极大值f (1)
B．f (x)仅有极小值f (6)，极大值f (10)
C．f (x)有极小值f (1)和f (6)，极大值f (3)和f (10)
D．f (x)仅有极小值f (1)，极大值f (10)
【解析】由函数g(x)＝(x－6)3·f ′(x)的图象，
得当x<1时，f ′(x)<0，f (x)单调递减，
当10，f (x)单调递增，
当3当60，f (x)单调递增，
当x>10时，f ′(x)<0，f (x)单调递减，
所以函数f (x)有极小值f (1)和f (6)，极大值f (3)和f (10)．
故选C．
【典例2】已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ）
A．在上有增也有减
B．有2个极小值点
C．
D．有1个极大值点
【答案】D
【分析】利用导函数图象与函数单调性、极值点的关系即可判定.
【详解】由图可得，当，时，，当时，.
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，
所以有1个极大值点，1个极小值点.
故A、B错误，而，C错误.
故选：D
方法技巧44 求已知函数的极值
求函数f (x)极值的步骤
①确定函数的定义域．
②求导数f ′(x)．
③解方程f ′(x)＝0，求出方程f ′(x)＝0在定义域内的所有根．
④列表检验f ′(x)在f ′(x)＝0各个根的左、右两侧值的符号．
【典例1】已知函数f (x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)当a＝时，求f (x)的极值；
(2)讨论函数f (x)在定义域内极值点的个数．
【解析】　(1)当a＝时，f (x)＝ln x－x，定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝＝．
令f ′(x)＝0，解得x＝2．
当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表．
x (0，2) 2 (2，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 －
f (x) 单调递增 ln 2－1 单调递减
故f (x)的极大值为f (2)＝ln 2－1，无极小值．
(2)函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝－a＝．
当a≤0时，f ′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
即函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，此时函数f (x)在定义域上无极值点；
当a>0，x∈时，f ′(x)>0，
当x∈时，f ′(x)<0，
故函数f (x)在x＝处有极大值．
综上可知，当a≤0时，函数f (x)无极值点；
当a>0时，函数f (x)有一个极大值点，且极大值点为x＝．
【典例2】已知函数f (x)＝和g(x)＝＋b有相同的极大值，则b＝(　　)
A．0　　　 B．2　　　
C．－1　　　 D．－3
【解析】f ′(x)＝，x∈R，
令f ′(x)>0，解得x<1，令f ′(x)<0，解得x>1，
∴f (x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴f (x)在x＝1处取得极大值，为f (1)＝．
g′(x)＝，x＞0，令g′(x)<0，解得x>e，令g′(x)>0，解得0∴g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
∴g(x)在x＝e处取得极大值，为g(e)＝＋b，
依据题意，f (x)和g(x)有相同的极大值，
故f (1)＝g(e)，解得b＝0．故选A．
方法技巧45 已知函数的极值(点)求参数
根据函数极值情况求参数的两个要领
①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
②验证：求解后验证根的合理性．不满足题意可能有两种情况：一是函数在定义域内单调，二是函数在极值点左、右两侧的单调性相反，即极值相反．
【典例1】(2024·湖北武汉期中)已知函数f (x)＝b ln x＋x2＋2ax＋a2－3a在x＝1处取得极小值，则的值为________．
【解析】对f (x)＝b ln x＋x2＋2ax＋a2－3a求导得，f ′(x)＝＋3x＋2a，依题意得，
即
解得 或
当a＝4，b＝－11时，f (x)＝－11ln x＋x2＋8x＋4，x>0，f ′(x)＝－＋3x＋8＝＝，
当01时，f ′(x)>0，f (x)在(1，＋∞)上单调递增，
即x＝1时，函数f (x)取得极小值f (1)＝，符合题意，此时＝－；
当a＝－3，b＝3时，f (x)＝3ln x＋x2－6x＋18，x>0，f ′(x)＝＋3x－6＝＝≥0，即函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值，与题意不

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