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高考数学概率统计模块19个易混易错全归纳
内容导览 易混易错01混淆两个计数原理致错 2
易混易错02 分步“有序”致错 2
易混易错03 分步不合理导致重复或遗漏致错 3
易混易错04忽视排列数组合数公式的隐含条件致错 4
易混易错05 分组问题混淆“均分”与“非均分”致错 5
易混易错06 计数时混淆有序与定序而掉入陷阱 7
易混易错07 混淆“系数”与“二项式系数”而致错 8
易混易错08 混淆互斥、对立、独立事件的概念致错 8
易混易错09 混淆“有放回”与“不放回”致错 10
易混易错10 古典概型问题列举样本点时重复或遗漏致错 10
易混易错11 对条件概率理解不透彻致错 11
易混易错12 求分布列时忽视了概率之和为1而致错 12
易混易错13 混淆二项分布与超几何分布致错 13
易混易错14 求中位数、百分位数时忽略数据顺序致错 16
易混易错15 混淆总体与总体容量、样本与样本容量致错 17
易混易错16 对频率分布直方图中的数据特征理解不透致错 17
易混易错17 混淆函数关系和相关关系而致错 19
易混易错18 忽视回归直线与回归曲线方程的区别与联系致错 20
易混易错19 求解独立性检验问题对的值理解不准确致错 23
易混易错01混淆两个计数原理致错
辨析：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的合理选择
分类→将问题分为互相排斥的几类，逐类解决→分类加法计数原理；
分步→将问题分为几个相互关联的步骤，逐步解决→分步乘法计数原理.
在解决有关计数问题时，应注意合理分类，准确分步，同时还要注意列举法、模型法、间接法和转换法的应用.
【典例1】（2025·上海高考真题）有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【典例2】（25-26高二下·广东清远·期末)如图，要让电路从处到处只有一条支路接通，则不同的路径有( )

A．5种 B．6种 C．7种 D．9种
【跟踪训练1】（2025·高二·重庆·期中）某单位有5位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2）最多只能用一天，则不同的用车方案种数是（ ）
A．24 B．27 C．30 D．33
【跟踪训练2】（25-26高三上·浙江杭州·期末）已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为____________．
易混易错02 分步“有序”致错
辨析：主要错是混淆有序抽取（排列）与无序抽取（组合），把一次性取件按分步有顺序计算，误用分步乘法，与实际无序抽取不符，造成计数重复偏大.针对这种错误，应对策略是认真审题，分清是排列问题还是组合问题，其中对于“至少”“至多”类型的问题，可从两个方面处理：一是从正面进行处理，可以根据要求进行合理分类，利用分类加法计数原理求解；二是求解该事件的对立事件，即利用排除法求解，其实质还是先进行分类．求解时要根据具体情况选取类别较少的一种方法进行解答．
【典例】（24-25高二上·福建泉州·阶段训练）有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法是（ ）
A． 560 B． 2735 C． 1136 D． 480
【跟踪训练1】（25-26高三上·山东日照·期末）从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任班长、团支书、学习委员，则甲、乙至多有人被选中的不同选法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【跟踪训练2】（2025高三·全国·专题练习）多个平台公布了“2023年十大流行语”，其中有相同的也有不同的，现从中共选取12个流行语，包括“i人/e人”“显眼包”“特种兵式旅游”“遥遥领先”“多巴胺××”“情绪价值”“双向奔赴”“村BA”“主打一个××”“搭子”“命运的齿轮开始转动”“质疑××，理解××，成为”，其中“显眼包”“特种兵式旅游”“多巴胺××”“遥遥领先”在多个平台公布的“2023年十大流行语”中出现，被称为“最热流行语”．从这12个流行语中选择4个不同的流行语，则至多包含2个“最热流行语”的选法共有（ ）
A．482种 B．462种 C．392种 D．270种
易混易错03 分步不合理导致重复或遗漏致错
辨析：对分步计数理解不清，忽略每步需满足颜色不冲突，随意按区域顺序涂色，未考虑相邻限制，导致步骤间矛盾，结果出错.
【典例】（25-26高三上·湖北省直辖县级单位·期中）用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（ ）
A．384种 B．168种 C．108种 D．192种
【跟踪训练1】（24-25高二下·广东深圳·期中）将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则下列说法正确的是（ ）
A B E
C
D
A．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有种不同涂法
B．若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法
C．若4种不同颜色全部用上，B，D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法
D．若4种不同颜色全部用上，B，D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法
【跟踪训练2】（25-26高二下·全国·课后作业）将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使每一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可使用，则不同染色的方法种数为（ ）
A．80 B．100 C．110 D．120
易混易错04忽视排列数组合数公式的隐含条件致错
辨析：在排列组合数的计算中，要注意上标和下标的限制条件，从而根据条件正确计算，或列出相应的方程、不等式（组）求解参数的值.
【典例1】（25-26高三上·上海宝山·统考）已知关于正整数的方程，则该方程的解为 .
【典例2】（24-25高二下·吉林·期末）若，则_________.
【跟踪训练】（24-25高二下·江苏无锡·月考）（1）求值：；
（2）解方程：；
（3）解不等式：.
易混易错05 分组问题混淆“均分”与“非均分”致错
辨析：（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：
①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
（2）分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：
①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；
②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；
③有限制条件的分配问题，采用分类求解．
【典例】将6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？
(1)(非均匀分组)-堆一本，一堆两本，一堆三本；
(2)（定向分配）甲得一本，乙得两本，丙得三本；
(3)（不定向分配）-人得一本，一人得二本，一人得三本；
(4)（平均分配）平均分给甲、乙、丙三人；
(5)（平均分组）平均分成三堆．
【跟踪训练1】（25-26高二下·江西赣州·开学考试）诗句“风景这边独好”洋溢着诗人对江西山水的喜爱．现有甲、乙、丙等6人前往江西上犹“阳明湖”、崇义“阳岭”和大余“丫山”三个景点旅游，已知每人随机只去其中一个景点，每个景点至少有一人选择，则甲乙不去同一个景点且丙一定去上犹“阳明湖”旅游的概率为________．
【跟踪训练2】（25-26高三上·甘肃嘉峪关·期末）甲、乙、丙等6名学生准备利用假期时间从三个社区中选一个参加志愿者活动，每个社区至少安排1人．
(1)若每个社区刚好安排2人，则不同的安排方法有多少种？
(2)若甲、乙、丙全部分到同一个社区，则不同的安排方法有多少种？
(3)若甲、乙、丙分别分到三个社区，则不同的安排方法有多少种？
易混易错06 计数时混淆有序与定序而掉入陷阱
辨析：1.一般地，对于某些元素的顺序固定型问题，解决时有两种方法：
(1)倍缩法：先不考虑限制条件，所有元素全排列，再除以定序元素的全排列；
(2)空位(或占位)法：在总位置中，安排非定序元素的位置，然后对定序元素进行排列时，只有1种排法．如已知n个不同的元素进行排列，要求其中m(m≤n，n∈N*，m∈N*)个元素相对顺序固定不变，有种不同的方法，或从n个位置中排m个元素之外的n－m个元素，再放这定序的m个元素，共有A种不同的方法．
对于给定元素顺序确定，再插入其他元素进行排列：顺序确定的元素为n个，新插入的元素为m个，则排列数为.
2.相同元素分配问题的处理策略
(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．
(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板．
【典例1】（25-26高三上·全国·专题训练）用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（ ）
A．8个 B．12个 C．18个 D．24个
【典例2】（25-26高三上·郑州·模拟）某班2026年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插入方法的种数为(　　)
A．2 B．11
C．36 D．42
【跟踪训练1】（25-26高三上·河南商丘·月考）甲、乙、丙、丁等6人排成一排，甲乙丙按从左到右、从高到低的固定顺序，共有排法（ ）
A．144种 B．108种 C．120种 D．360种
【跟踪训练2】（25-26高三上·天津·期末）现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）
A．8400 B．11760 C．13440 D．20160
易混易错07 混淆“系数”与“二项式系数”而致错
辨析：处理二项展开式的系数问题要区分“二项式系数”与“项的系数”的区别：二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等.
【典例】（25-26高三·上海·随堂练习）已知的二项展开式中，二项式系数最大的项为a，系数最大的项为b，则 ．
【跟踪训练1】（25-26高二上·上海·期末）已知 的展开式中只有第6项系数最大，则展开式中的常数项是_______ .
【跟踪训练2】（2025高三·全国·专题练习）已知，二项式展开式的前三项的系数成等差数列，则展开式中二项式系数的最大值为______，系数最大值为______．
易混易错08 混淆互斥、对立、独立事件的概念致错
辨析: (1)判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.
(2)互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点：①相同点：二者都是描述两个事件间的关系；
②不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.
【典例】 (多选)（2026广东广州一中期中）现有，两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球，，再将两箱子混合后取出一个小球，事件：“小球为红色”，事件：“小球为白色”，事件：“已知颜色的前提一下，小球为红色”，则下列说法错误的有（ ）
A．发生的概率为 B．与互斥
C．与相互独立 D．发生的概率为
【跟踪训练1】(多选)（25-26高二下·黑龙江·开学考试）已知随机事件满足，且事件与相互独立，则下列说法正确的是（ ）
A．若与相互独立，则
B．若，则与相互独立
C．若与互斥，且与也相互独立，则
D．若与相互独立，且与也相互独立，则
【跟踪训练2】（25-26高三上·四川达州·期末）如图，一个电路中有四个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．记“电路是通路”，“电路是断路”，“至少三个元件正常”，“恰有三个元件正常”，则（ ）
A．与互斥，但不对立
B．与互斥，但不对立
C．
D．
易混易错09 混淆“有放回”与“不放回”致错
辨析：在处理与抽样有关的概率问题时要区分“有放回抽取”和“无放回抽取”的不同，有放回抽取时每一次抽取背景是一样的，即总体个数不变概率不变；无放回抽取时每一次抽取背景是变化的，即总体个数要变，概率也变.
【典例1】（25-26高三·上海·课堂例题）已知向量，，从6张大小相同分别标有号码的卡片中，有放回地抽取两张，、分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足的概率是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（25-26高三上·浙江·期中）某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放回取球，每次取1球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练1】（25-26高三上·广西贵港·开学考试）不透明的盒子中装有大小质地相同的2个红球、2个白球、4个黄球，若采取不放回的方式每次从盒子中随机摸出一个小球，当三种颜色的球都被摸到时停止摸球，记此时已摸球的次数为随机变量，则______．
【跟踪训练2】（25-26高三下·四川成都·开学考试）从0，1，2，…，9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中小于325的共有___________个；若从这10个数字中每次有放回地随机抽取一个数字称为一次试验，抽中数字7则试验停止，若要使随机事件“在前N次试验内停止试验”的概率大于0.523，N的最小值为___________．
（参考数据：，）
易混易错10 古典概型问题列举样本点时重复或遗漏致错
辨析：在解决这类问题时，首要步骤是确认试验是否符合古典概型的特征.随后，关键在于构建样本空间，这一过程中需特别注意两点：一是样本中的元素是否存在顺序性，因为顺序的不同会构成不同的样本空间；二是取样时是否允许元素重复，即取样是放回还是不放回，这直接决定了样本中元素是否可以重复出现.明确了这两点后，就可以计算出样本空间的总样本点数量，以及所求事件对应的样本点数量，最后利用古典概型的概率计算公式，得出所求事件的概率.
【典例】（多选）（2026湖南衡阳三中月考）某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对一个选项得2分，选错得0分，已知某小题的标准答案为ABD，甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法正确的是（ ）
A．甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为
B．乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为
C．丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高
D．丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同
【跟踪训练1】(2024全国甲文科高考)甲、乙、丙、丁四人排成一列,则丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
【跟踪训练2】（25-26高二下·黑龙江绥化·开学考试）将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，观察向上的点数，则点数之差的最大值为4的概率是________．
易混易错11 对条件概率理解不透彻致错
辨析：解决条件概率问题的步骤
第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率．题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率．若为条件概率，则进行第二步．
第二步，计算概率，这里有两种思路：
思路一 缩减样本空间法计算条件概率，如求P(A|B)，可分别求出事件B，AB包含的基本事件的个数，再利用公式P(A|B)＝计算
思路二 直接利用公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)＝计算
【典例】（25-26高二上·辽宁·期末）某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练1】（25-26高三下·天津河西·开学考试）盒中有个白球、个黑球（这些球除颜色外没有其他差异）.随机从中抽取一个球，观察其颜色后放回，并放入个与取出的球同色的球，再次从盒中随机取出一个球.则第二次取出的球是白球的概率为________；在第一次取出白球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为________.
【跟踪训练2】（2026·江西·一模）学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为___________．
易混易错12 求分布列时忽视了概率之和为1而致错
辨析：1.利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值.
2.利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.
3.可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
【典例1】（2026高三·全国·专题练习）已知离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P 0.36
则常数 ．
【跟踪训练1】（24-25高二下·辽宁沈阳·月考）离散型随机变量的分布列为为常数，则______.
【跟踪训练2】（24-25高二下·陕西西安·月考）设是一个离散型随机变量，其分布列为如下，则 __________．
易混易错13 混淆二项分布与超几何分布致错
辨析：“二项分布”与“超几何分布”的区别
(1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要.(2)有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理.
【典例1】（25-26高三上·辽宁朝阳·期末）2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整个电影界都为之欢腾，这是中国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章．现随机抽取100位市民，将市民按年龄分为“青年组”和“非青年组”，同时统计是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本观测数据整理如下：
看过 没看过 合计
青年组 30 20 50
非青年组 15 35 50
合计 45 55 100
记表示“抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，其概率为表示“抽取到的市民为非青年组”，其概率为．
(1)给出的估计值；
(2)现从抽取的青年组市民中，按是否看过《哪吒之魔童降世2》用分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中看过《哪吒之魔童降世2》的人数的分布列和数学期望．
【典例2】（25-26高三上·安徽宣城·期末）某社区举办“公益知识闯关赛”，共有100名居民报名参赛，每位参赛者需完成“第一轮基础知识作答”和“第二轮拓展知识比拼”两项任务.已知每位参赛者第一轮基础知识作答成功的概率为，且不同参赛者第一轮成功与否相互独立；若某位参赛者第一轮基础知识作答成功时，他第二轮拓展知识比拼成功的概率为；若他第一轮基础知识作答失败时，第二轮拓展知识比拼成功的概率为，若两项任务均成功，则视为最终闯关成功.
(1)若随机抽取一名参赛居民，求其第二轮拓展知识比拼成功的概率；
(2)记为参赛居民中闯关成功的人数，求的数学期望与方差.
【跟踪训练1】（25-26高三下·天津红桥·开学考试）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为________；若3次活动中，甲获胜的次数记为，则随机变量的期望为________.
【跟踪训练2】（25-26高二上·山东德州·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元．
(1)顾客A恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量X．求X的分布列与数学期望；
(2)顾客B消费了1000元．
①顾客B获得返现金额为90元的概率是多少
②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%），则顾客B应选择哪种方案更优惠 （备注：不能同时参加抽奖和打折活动）
易混易错14 求中位数、百分位数时忽略数据顺序致错
辨析：在求数据的中位数、百分数时，一定要先把数据从小到大排列，然后再根据中位数、百分数的定义进行求解.
【典例】（25-26高三上·湖北襄阳·月考）一组从小到大排列的数据：，，，，，，，，，若它们的百分位数是中位数的两倍，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练1】（2026·河北衡水·模拟预测）某中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的演讲比赛，现随机抽选10名参赛选手，获得他们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为，17，18，若该组数据的中位数是极差的，则m的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【跟踪训练2】(多选)（2026·河北·一模）某超市统计了2025年前10个月该超市的营业额（单位：万元），得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的是（ ）
A．从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降最多的是五月份
B．这10个月营业额的平均数为32.5万元
C．前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差
D．这10个月营业额数据的第70百分位数为43
易混易错15 混淆总体与总体容量、样本与样本容量致错
辨析：(1) 总体是指考察对象的全体，而总体容量是指总体的个数；
(2)样本是指从总体中抽取的若干个个体组成的集合，而样本容量是指样本个体的数目，要注意二者的区别．
【典例】（25-26高二上·安徽·月考）某高中为了了解高一年级1200名学生的视力情况，抽查了其中200名学生的视力，并进行统计分析．下列叙述正确的是（ ）
A．上述调查属于普查 B．每名学生是总体的一个个体
C．200名学生的视力是总体的一个样本 D．1200名学生是总体
【跟踪训练】(多选)（24-25高一下·广东揭阳·期中）从某市参加升学考试的学生中随机抽查1000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（ ）
A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩
B．样本是指1000名学生的数学成绩
C．样本量指的是1000名学生
D．个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩
易混易错16 对频率分布直方图中的数据特征理解不透致错
辨析：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：
（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；
（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；
（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
【典例】（多选）（25-26高三上·江西上饶·期末）上饶市某学校从高一的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组， ，第八组.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.以下说法正确的是（ ）

A．第二组的频率为0.016
B．第七组的频率为0.06
C．估计该校高一800名男生的身高的中位数约为
D．估计该校高一800名男生的身高的平均数约为
【跟踪训练1】（25-26高二下·黑龙江绥化·开学考试）午子山景区，又称“午子山风景名胜区”，简称“午子山”，亦名“武子山”或“母子山”，是国家AAAA级旅游景区，位于陕西省汉中市西乡县堰口镇堰口社区，总面积约27平方千米，始建于西汉．午子山景区是集自然山水风光、珍稀植物、茶园、果园、田园风光、堰上古镇、宗教文化活动等于一体的旅游风景名胜区，为道教活动圣地和陕南道教活动中心，素有“汉南胜景区、陕南小华山、陕南小武当”之美称，是观光旅游、宗教朝拜的圣地．为更好地提升旅游品质，午子山景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．判断下列说法正确的是（ ）
A．
B．工作人员所选取的100人中在的人数为3人
C．工作人员采用按分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，则在中抽取2人，在中抽取4人
D．按分层抽样的方法从评分在的两组中抽取的6人中再抽两人，则选取的2人评分分别在和内各1人的概率为
【跟踪训练2】（多选）（25-26高三上·浙江宁波·期末）海水养殖场进行某水产品两种养殖方法的产量对比，甲试验区选择第一种养殖方法，乙试验区选择第二种养殖方法.收获时，从两个试验区各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：千克），其频率分布直方图如下图所示.
记事件C=“乙试验区产量不低于19千克”，根据直方图得到的估计值为0.70，则（ ）
A．乙试验区产量频率分布直方图中，
B．甲试验区产量的众数大于乙试验区产量的众数
C．甲试验区产量的平均数小于乙试验区产量的平均数
D．甲试验区产量的75%分位数大于乙试验区产量的中位数
易混易错17 混淆函数关系和相关关系而致错
辨析：相关关系与函数关系是不同的，相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种确定的关系，而且函数关系是一种因果关系，但相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
【典例】（24-25高三上·江西南昌·训练）对两变量间的关系，下列论述正确的是（ ）
A．任何两个变量都具有相关关系
B．正方形的面积与该正方形的边长具有相关关系
C．农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性关系
D．一个学生的数学成绩与物理成绩之间是一种非确定性的关系
【跟踪训练】（多选）（2025高二·全国·专题练习）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系.根据一组样本数据，用最小二乘法建立的经验回归方程为，则下列结论中正确的是（ ）
A．y与x具有正的线性相关关系
B．经验回归直线一定经过点
C．若该大学某女生身高增加2cm，则其体重约增加1.7kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可以判断其体重必为58.79kg
易混易错18 忽视回归直线与回归曲线方程的区别与联系致错
辨析：在求回归曲线方程时一定要先判断回归曲线类型，若是非直线方程，就要转化为回归直线方程求解，在计算过程中要注意求回归系数的两个公式之间的相互转化.
常见的非线性回归模型：
（1）指数函数型（且，）
两边取自然对数，，即，
令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，．
（2）对数函数型
令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，．
（3）幂函数型
两边取常用对数，，即，
令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，．
（4）二次函数型
令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，．
（5）反比例函数型型
令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，．
【典例1】（25-26高二上·全国·期末）红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数（个）和温度（）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到如下值：
25 2.9 646 168 422688 50.4 70308
表中；；；
(1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？
(2)根据（1）中所选择的模型，求出关于的回归方程．
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，
【典例2】（2025高二·全国·专题练习）根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x，y进行回归分析，设，利用最小二乘法，得到线性回归方程为，则下列说法中正确的是（ ）
A．变量y关于x的非线性回归曲线是轴对称图形
B．变量y关于x的非线性回归曲线是中心对称图形
C．当时，变量y的估计值取到最小值e
D．当时，变量y的估计值取到最大值
【跟踪训练】（2026·陕西西安·模拟预测）近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示：
年份 2019 2020 2021 2022 2023
购买量（万辆） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80
(1)计算与的相关系数（保留三位小数）；
(2)求关于的线性回归方程，并预测该地区2026年新能源汽车购买数量．
参考公式：．
参考数值：．
易混易错19 求解独立性检验问题对的值理解不准确致错
辨析：在实际问题中,独立性检验的结论仅是一种数学关系表述,得到的结论有一定的概率出错．在利用2×2列联表计算的值之前,先假设两个分类变量是无关的,最后再利用的值的大小对二者关系进行含概率的判断．
【典例1】（25-26高二·全国·假期作业）随着国家三孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的三孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如表．
非一线 一线 总计
愿生 45 20 65
不愿生 13 22 35
总计 58 42 100
附表
0.025 0.010 0.001
5.024 6.635 10.828
由算得，，参照附表，得到的正确结论是（ ）
A．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
C．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”
【典例2】（多选）（25-26·陕西汉中·一模）某人工智能研究实验室开发出一款全新的聊天机器人，该实验室对使用该款聊天机器人的120位用户进行调研，得到的调研数据如下表所示，则（ ）
年龄 周平均使用时间
超过4小时 不超过4小时 总计
不超过40岁 54 b 72
40岁以上 c d
总计 72 120
附：，．
（1）当时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；
（2）当时，有90%的把握判断变量A，B有关联；
（3）当时，有99%的把握判断变量A，B有关联；
（4）当时，有99.9%的把握判断变量A，B有关联．
A．
B．用样本估计总体，每位使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间超过4小时的概率为
C．没有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关
D．有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关
【跟踪训练1】（2025·湖南·一模）随着人工智能应用软件豆包、Kimi、DeepSeek陆续出现，AI成为各行各业创新应用的热门话题．某课题小组对本市各行业人群使用AI频率进行调查研究，下列说法正确的是（　　）
A．甲同学根据调查数据，利用最小二乘法得到AI每周使用频次关于年龄的经验回归方程为，可以推断使用频次与年龄正相关且相关系数为0.2
B．乙同学开展了AI每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数，可以推断两个变量正线性相关，且相关程度很强
C．丙同学研究性别因素是否影响AI使用频次，根据小概率值的独立性检验，计算得到，可以认为不同性别的AI使用频次有差异
D．丁同学得到经验回归方程①和②，通过决定系数来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和②的分别约为0.731和0.997，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①好很多
【跟踪训练2】（2026·辽宁大连·模拟预测）为研究事件与事件的关系，某机构进行了一次随机抽样调查，共回收有效问卷份，调查结果按是否满足事件和事件分类统计，得到如下列联表（表中数字对应相应情况的人数），用频率估计概率．
是否满足事件 是否满足事件 满足事件 不满足事件 合计
满足事件
不满足事件
合计
(1)如果事件与事件无关，证明：；
(2)已知：
（i）填写表格剩余内容；
（ii）已知依据小概率值的独立性检验，可以判断事件与事件有关，求有效问卷数的最小值．
附：，．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)高考数学概率统计模块19个易混易错全归纳
内容导览 易混易错01 混淆两个计数原理致错 2
易混易错02 分步“有序”致错 4
易混易错03 分步不合理导致重复或遗漏致错 6
易混易错04忽视排列数组合数公式的隐含条件致错 8
易混易错05 分组问题混淆“均分”与“非均分”致错 9
易混易错06 计数时混淆有序与定序而掉入陷阱 12
易混易错07 混淆“系数”与“二项式系数”而致错 14
易混易错08 混淆互斥、对立、独立事件的概念致错 17
易混易错09 混淆“有放回”与“不放回”致错 19
易混易错10 古典概型问题列举样本点时重复或遗漏致错 21
易混易错11 对条件概率理解不透彻致错 23
易混易错12 求分布列时忽视了概率之和为1而致错 25
易混易错13 混淆二项分布与超几何分布致错 27
易混易错14 求中位数、百分位数时忽略数据顺序致错 30
易混易错15 混淆总体与总体容量、样本与样本容量致错 33
易混易错16 对频率分布直方图中的数据特征理解不透致错 34
易混易错17 混淆函数关系和相关关系而致错 37
易混易错18 忽视回归直线与回归曲线方程的区别与联系致错 38
易混易错19 求解独立性检验问题对的值理解不准确致错 42
易混易错01 混淆两个计数原理致错
辨析：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的合理选择
分类→将问题分为互相排斥的几类，逐类解决→分类加法计数原理；
分步→将问题分为几个相互关联的步骤，逐步解决→分步乘法计数原理.
在解决有关计数问题时，应注意合理分类，准确分步，同时还要注意列举法、模型法、间接法和转换法的应用.
【典例1】（2025·上海高考真题）有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币，
共有种情况，（易错点）
注意：分类相斥，分步相依
要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，
若保留两条边，则可保留也可擦去，
共有种情况；
若保留两条边，则可保留也可擦去，
共有种情况（其中有一种情况与上面重复），（易错点）
注意剔除重复的方法
则要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，共有种情况，
所以可以到达C点的概率为.
故选：B.
【典例2】（25-26高二下·广东清远·期末)如图，要让电路从处到处只有一条支路接通，则不同的路径有( )

A．5种 B．6种 C．7种 D．9种
【答案】C
【解析】由分类加法计数原理以及分步乘法计数原理可知，
不同的路径有种.故选：C.
【跟踪训练1】（2025·高二·重庆·期中）某单位有5位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2）最多只能用一天，则不同的用车方案种数是（ ）
A．24 B．27 C．30 D．33
【答案】B
【解析】15日至18日，有2天奇数日和2天偶数日，车牌尾数中有3个奇数和2个偶数．通过按日期分步，分2类，
第一类：，第二类：，共27种.
故选：B．
【跟踪训练2】（25-26高三上·浙江杭州·期末）已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为____________．
【答案】
【解析】由可知，函数的值域中的任何元素y都满足.
因为值域非空，所以1必在值域中，即.
若仅有，则对任意，有.
此时对于，令，则.而，这与仅有的假设矛盾.
故中至少有一个元素的函数值为1.
具体分类如下：
1、若5个函数值都为1，此时共有1种情况；
2、若仅有4个函数值为1，又，则另外4个中应有3个函数值为1有种，
如，依题意只能从中取值，有3种情况，此时共有种；
3、若仅有3个函数值为1，又，则另外4个中应有2个函数值为1有种，
如，依题意只能从中取值，有种情况，此时共有种；
4、若仅有2个函数值为1，又，则另外4个中应有1个函数值为1有种，
如，依题意都只能取2，有1种情况，此时有种情况；
综上所述，这样的函数的个数共有个.
故答案为：.
易混易错02 分步“有序”致错
辨析：主要错是混淆有序抽取（排列）与无序抽取（组合），把一次性取件按分步有顺序计算，误用分步乘法，与实际无序抽取不符，造成计数重复偏大.针对这种错误，应对策略是认真审题，分清是排列问题还是组合问题，其中对于“至少”“至多”类型的问题，可从两个方面处理：一是从正面进行处理，可以根据要求进行合理分类，利用分类加法计数原理求解；二是求解该事件的对立事件，即利用排除法求解，其实质还是先进行分类．求解时要根据具体情况选取类别较少的一种方法进行解答．
【典例】（24-25高二上·福建泉州·阶段训练）有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法是（ ）
A． 560 B． 2735 C． 1136 D． 480
【答案】 C
【解析】方法一 将“至少有1个是一等品”的不同取法分三类：“恰有1个一等品”“恰有2个一等品”“恰有3个一等品”．由分类加法计数原理，得不同取法有（种）（易错点）．
至少至多型产品抽取问题一般分类讨论或用间接法求解
方法二 考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法，得至少有1个一等品的不同取法有（种），故选C.
【错因分析】由于对实际问题中“至少有1个一等品”意义理解不明，可能导致下面的错误：按分步乘法计数原理，第一步确保有1个一等品，有种取法；第二步从余下的19个零件中任取两个，有种不同的取法，故共有（种）取法，实际上这个解法是错误的．下面我们作如下分析，第一步取出1个一等品，那么第二步就有3种可能：①取出的2个都是二等品，这时的取法有（种）；②取出1个一等品，1个二等品，因为取出2个一等品是分步完成的，这2个一等品的取法就有了先后顺序，而实际上这2个一等品是没有先后顺序的，因此这时的取法就产生了多一倍的重复，即这时的取法有（种）；③取出的2个都是一等品，这时我们取出的3个都是一等品了，实际的取法种数应是．
【跟踪训练1】（25-26高三上·山东日照·期末）从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任班长、团支书、学习委员，则甲、乙至多有人被选中的不同选法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【解析】从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任班长、团支书、学习委员，不同的选法种数为种，
若甲、乙两人都被选中，则不同的选法种数为种，
因此，甲、乙至多有人被选中的不同选法有种.
故选：C.
【跟踪训练2】（2025高三·全国·专题练习）多个平台公布了“2023年十大流行语”，其中有相同的也有不同的，现从中共选取12个流行语，包括“i人/e人”“显眼包”“特种兵式旅游”“遥遥领先”“多巴胺××”“情绪价值”“双向奔赴”“村BA”“主打一个××”“搭子”“命运的齿轮开始转动”“质疑××，理解××，成为”，其中“显眼包”“特种兵式旅游”“多巴胺××”“遥遥领先”在多个平台公布的“2023年十大流行语”中出现，被称为“最热流行语”．从这12个流行语中选择4个不同的流行语，则至多包含2个“最热流行语”的选法共有（ ）
A．482种 B．462种 C．392种 D．270种
【答案】B
【解析】解法一：由题意可知，可以分三类：
第一类，不包含“最热流行语”，有（种）不同的选法；
第二类，包含1个“最热流行语”，有（种）不同的选法；
第三类，包含2个“最热流行语”，有（种）不同的选法．
综上，至多包含2个“最热流行语”共有（种）不同的选法．
解法二：正难则反，
从12个流行语中选择4个不同的流行语共有（种）不同的选法，
包含3个“最热流行语”有（种）不同的选法，
包含4个“最热流行语”有（种）不同的选法．
所以至多包含2个“最热流行语”共有（种）不同的选法．
故选：B．
易混易错03 分步不合理导致重复或遗漏致错
辨析：对分步计数理解不清，忽略每步需满足颜色不冲突，随意按区域顺序涂色，未考虑相邻限制，导致步骤间矛盾，结果出错.
【典例】（25-26高三上·湖北省直辖县级单位·期中）用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（ ）
A．384种 B．168种 C．108种 D．192种
【答案】D
【解析】先给2，5染色，有种方法，（易错点）
涂色时常先从中间部分涂起
若1和5同色，则4有2种涂法；若1和5不同色，则4有种涂法．（易错点）
涂色时一般按相对区域同色或异色分类处理
因为1，4分别与3，6对称，所以不同的染色方法有种．
故选：D
【跟踪训练1】（24-25高二下·广东深圳·期中）将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则下列说法正确的是（ ）
A B E
C
D
A．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有种不同涂法
B．若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法
C．若4种不同颜色全部用上，B，D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法
D．若4种不同颜色全部用上，B，D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法
【答案】AB
【解析】对于A，每块区域任意涂上一种颜色，即每块区域都有4种选择，则有种不同涂法，A正确；
对于B，若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则B和D同色，A和E同色，则共有种不同涂法，故B正确；
对于C，因4种不同颜色全部用上，B，D同色，相邻区域不同色，故可以先涂B，D区域，有种涂法，
因三个区域都与B，D相邻，故只需将余下的3种颜色在上全排，有种涂法，则共有种涂法，故C错误；
对于D，按照ABC的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法，
因B，D不同色（D只有一种颜色可选），此时ABCD四块区域所用颜色各不相同，涂E只能与A同色，此时共有24种涂法，故D错误．
故选：AB.
【跟踪训练2】（25-26高二下·全国·课后作业）将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使每一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可使用，则不同染色的方法种数为（ ）
A．80 B．100 C．110 D．120
【答案】D
【解析】如图，若先染有5种色可选，有4种色可选，有3种色可选，有2种色可选，
则不同染色方法共有（种）．
故选：D.
易混易错04忽视排列数组合数公式的隐含条件致错
辨析：在排列组合数的计算中，要注意上标和下标的限制条件，从而根据条件正确计算，或列出相应的方程、不等式（组）求解参数的值.
【典例1】（25-26高三上·上海宝山·统考）已知关于正整数的方程，则该方程的解为 .
【答案】或
【解析】根据组合数的性质，由
可知：或，（易错点）
需注意考虑上组合数方程上标间的限制条件
即或，所以和均满足题意，
所以该方程的解为：或.
【典例2】（24-25高二下·吉林·期末）若，则_________.
【答案】3
【解析】由题设，且，，
则，
所以，则，
所以，可得（非整数解舍）.
【跟踪训练】（24-25高二下·江苏无锡·月考）（1）求值：；
（2）解方程：；
（3）解不等式：.
【解析】（1）原式；
（2）由可得或，
解方程，即，解得或，
解方程，即，解得或，
又因为、均为整数，且，
所以或符合要求，和均不符合要求.
故或；
（3）由可得，
由题意可知且，整理可得，即，
解得，又因为且，所以.
易混易错05 分组问题混淆“均分”与“非均分”致错
辨析：（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：
①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
（2）分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：
①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；
②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；
③有限制条件的分配问题，采用分类求解．
【典例】将6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？
(1)(非均匀分组)-堆一本，一堆两本，一堆三本；
(2)（定向分配）甲得一本，乙得两本，丙得三本；
(3)（不定向分配）-人得一本，一人得二本，一人得三本；
(4)（平均分配）平均分给甲、乙、丙三人；
(5)（平均分组）平均分成三堆．
【分析】本例为分组或分配问题，分配问题是把物件分给不同的人（或团体），是有顺序可言的,而分组问题，只是把物件分成组，是无顺序的，两者有着明显的不同.
【解析】（1)先在6本书中任取一本，作为一堆，有种取法，再从余下的五本书中任取两本，作为一堆，有种取法，再后从余下三本取三本作为一堆，有种取法，故共有分法（种）（易错点）；
非均匀分组，利用计数原理分完即可
(2)由(1)知，分成三堆的方法有种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦为（种）．
(3)由(1)知，分成三堆的方法有种，但每一种分组方法又有种不同的分配方案，故一人得一本，一人得两本，一人得三本的分法有（种）（易错点）
不定向分配，先分组后分配
（4）3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书本中任取出2本的方法有 种，甲不论用哪一种方法取得2本书后，已再从余下的4本书中取书有种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本中取两本书，有 种方法，所以一共有=90种方法．
（5）把6本不同的书分成三堆，每堆二本与把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人二本的区别在于，后者相当于把六本不同的书，平均分成三难后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人．因此，设把六本不同的书，平均分成三堆的方法有x 种，那么把六本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本的分法就应有种，由（4）知，把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有 种．所以＝ ，则(种）. （易错点）
要注意平均分组与平均分配的区别，前者要作除法，后者不用作除法
【跟踪训练1】（25-26高二下·江西赣州·开学考试）诗句“风景这边独好”洋溢着诗人对江西山水的喜爱．现有甲、乙、丙等6人前往江西上犹“阳明湖”、崇义“阳岭”和大余“丫山”三个景点旅游，已知每人随机只去其中一个景点，每个景点至少有一人选择，则甲乙不去同一个景点且丙一定去上犹“阳明湖”旅游的概率为________．
【答案】
【解析】一方面，6人前往3个景点，每个景点至少有1人，可分为三类：
①各景点人数分别为1，2，3：先将6人分为三组（1人，2人，3人），再分配到3个景点，方法数为种；
②各景点人数均为2：先将6人平均分为三组（2人，2人，2人），再分配到3个景点，方法数为种；
③各景点人数分别为1，1，4：先将6人分为三组（1人，1人，4人），再分配到3个景点，方法数为种；所以共有种方法．
另一方面：要满足每个景点至少有1人，甲乙不去同一个景点且丙一定去上犹可分为三类：①甲乙去了上犹和崇义各一人，这里种情况；
再对除甲乙丙外的3人使用间接法：除甲乙丙外的3人先不作要求任其随意选择，有种，再减去不合题意的，即大余没有人前往的情况，有种，
由分步乘法原理，得第①情形共有种；
②甲乙去了上犹和大余各一人，这种情形与①相同，也是38种：
③甲乙去了崇义和大余各一人，这里种情况；
由于此时每个景点都至少有一人了，所以除甲乙丙外的3人可以随意安排景点，有种，由分步乘法原理，可得第③情形有种；
最后由分类加法原理，可得三种情形共有种：
综上，已知每人随机只去其中一个景点，每个景点至少有一人选择，则甲乙不去同一个景点且丙一定去上犹“阳明湖"旅游的概率为.
【跟踪训练2】（25-26高三上·甘肃嘉峪关·期末）甲、乙、丙等6名学生准备利用假期时间从三个社区中选一个参加志愿者活动，每个社区至少安排1人．
(1)若每个社区刚好安排2人，则不同的安排方法有多少种？
(2)若甲、乙、丙全部分到同一个社区，则不同的安排方法有多少种？
(3)若甲、乙、丙分别分到三个社区，则不同的安排方法有多少种？
【解析】（1）将6名学生平均分成3组，
分法数为（种），
再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种），
根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）；
（2）①甲、乙、丙看作一组，有1种分法．
将剩下的3人分成2组，分法数为（种），
再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种），
根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）；
②甲、乙、丙和剩余3人中的1人形成一组，其余2人各一组，有3种分法．
再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种），
根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）；
综上不同的安排方法有（种）；
（3）甲、乙、丙分别安排到3个社区，有（种），
剩下的3人每人都可以选择3个社区中的任意一个，有（种），
根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）.
易混易错06 计数时混淆有序与定序而掉入陷阱
辨析：1.一般地，对于某些元素的顺序固定型问题，解决时有两种方法：
(1)倍缩法：先不考虑限制条件，所有元素全排列，再除以定序元素的全排列；
(2)空位(或占位)法：在总位置中，安排非定序元素的位置，然后对定序元素进行排列时，只有1种排法．如已知n个不同的元素进行排列，要求其中m(m≤n，n∈N*，m∈N*)个元素相对顺序固定不变，有种不同的方法，或从n个位置中排m个元素之外的n－m个元素，再放这定序的m个元素，共有A种不同的方法．
对于给定元素顺序确定，再插入其他元素进行排列：顺序确定的元素为n个，新插入的元素为m个，则排列数为.
2.相同元素分配问题的处理策略
(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．
(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板．
【典例1】（25-26高三上·全国·专题训练）用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（ ）
A．8个 B．12个 C．18个 D．24个
【答案】C
【解析】当首位为2时，这样的五位数有个(易错点)；
2个0之间没有顺序，2个1之间没有顺序，故需作除法
当首位为1时，这样的五位数有个（易错点）.
2个0之间没有顺序，，故需作除法
综上，这样的五位数共有个.
故选：C.
【典例2】（25-26高三上·郑州·模拟）某班2026年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插入方法的种数为(　　)
A．2 B．11
C．36 D．42
【答案】D
【解析】将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有6×7＝42种插入方法．
【跟踪训练1】（25-26高三上·河南商丘·月考）甲、乙、丙、丁等6人排成一排，甲乙丙按从左到右、从高到低的固定顺序，共有排法（ ）
A．144种 B．108种 C．120种 D．360种
【答案】C
【解析】从6个位置中取3个让甲乙丙按指定顺序站位，有种方法；
再排余下3人，有种方法，
所以不同排法种数为.
故选：C
【跟踪训练2】（25-26高三上·天津·期末）现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）
A．8400 B．11760 C．13440 D．20160
【答案】B
【解析】首先从下层八个商品中抽取三个，共有种结果，
再将其放入上层时，由于上层原有商品保持相对顺序不变，可以使用定序问题中的缩倍法，共有种结果，
因此根据计数原理可知共有种结果.
故选：B
易混易错07 混淆“系数”与“二项式系数”而致错
辨析：处理二项展开式的系数问题要区分“二项式系数”与“项的系数”的区别：二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等.
【典例】（25-26高三·上海·随堂练习）已知的二项展开式中，二项式系数最大的项为a，系数最大的项为b，则 ．
【答案】
【解析】由题意得（易错点），
二项式系数最大的项为最中间的一项（n为偶数）或最中间的两项（n为奇数）
通项，
当满足时，系数最大，（易错点）
一般利用夹击法求系数最大的项，即此项系数不小于前一项系数，也不小于后一项系数
，即，解得
又
解得，
所以，
故．
【跟踪训练1】（25-26高二上·上海·期末）已知 的展开式中只有第6项系数最大，则展开式中的常数项是_______ .
【答案】210
【解析】已知 的展开式中只有第6项系数最大，所以，解得.
通项公式为：
.
令，则，所以常数项为.
【跟踪训练2】（2025高三·全国·专题练习）已知，二项式展开式的前三项的系数成等差数列，则展开式中二项式系数的最大值为______，系数最大值为______．
【答案】 70 7
【解析】二项式通项公式为：
，
所以第一项的系数为：，第二项的系数为：，
第三项的系数为： ，
由于前三项的系数成等差数列，
所以，解得，或，
因为至少有前三项，所以（舍），故，
所以二项式系数的最大值为.
二项式通项公式为：，
设第项的系数最大，故，
即，即，
解得，
因为，所以或，
故系数最大的项为或.
故系数最大值为7.
易混易错08 混淆互斥、对立、独立事件的概念致错
辨析: (1)判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.
(2)互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点：①相同点：二者都是描述两个事件间的关系；
②不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.
【典例】 (多选)（2026广东广州一中期中）现有，两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球，，再将两箱子混合后取出一个小球，事件：“小球为红色”，事件：“小球为白色”，事件：“已知颜色的前提一下，小球为红色”，则下列说法错误的有（ ）
A．发生的概率为 B．与互斥
C．与相互独立 D．发生的概率为
【答案】ABD
【解析】根据题意可得，故A错误；根据互斥事件的定义可知与不互斥，故B错误；
由题可得，，所以与相互独立(易错点)，故C正确；
若两事件从表面上很难判断是否独立，可通过乘法公式加以验证
对于D，事件分为三类：
颜色都为白球,则混合后袋中有白球4个,红球6个,取出红球概率；
颜色都为红球,则混合后袋中有白球6个,红球4个,取出红球概率为-
颜色一红一白,则混合后袋中有白球5个，红球5个，取出红球概率为，故D不对.
【跟踪训练1】(多选)（25-26高二下·黑龙江·开学考试）已知随机事件满足，且事件与相互独立，则下列说法正确的是（ ）
A．若与相互独立，则
B．若，则与相互独立
C．若与互斥，且与也相互独立，则
D．若与相互独立，且与也相互独立，则
【答案】ABD
【解析】因为事件与相互独立，所以事件与相互独立，
所以，
因为，A正确；
，又，
所以，又，
所以，即与相互独立，B正确；
因为与互斥，所以，
又因为与相互独立，
所以，C错误；
因为与相互独立，所以，
又因为与相互独立，所以，故D正确.
故选：ABD.
【跟踪训练2】（25-26高三上·四川达州·期末）如图，一个电路中有四个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．记“电路是通路”，“电路是断路”，“至少三个元件正常”，“恰有三个元件正常”，则（ ）
A．与互斥，但不对立
B．与互斥，但不对立
C．
D．
【答案】BC
【解析】选项A：电路不可能同时通路和断路，故，互斥成立；
全集是所有元件状态组合，覆盖了通路和断路所有情况，故是对立事件，故A错误；
选项B：表示至多两个元件正常，表示恰有三个元件正常，
，互斥成立，仅覆盖正常数，未包含
“四个元件都正常”，故不对立，故B正确；
选项C：恰有三个元件正常时，必有一个元件失效，由电路图可知：
任意三个元件正常时，电路均保持通路，即必然发生，
，故C正确；
选项D：“电路是断路”， 表示至多两个元件正常，
若正常，失效，此时正常元件数为2，但电路为通路，
故发生时不一定发生，故D错误．
故选：BC．
易混易错09 混淆“有放回”与“不放回”致错
辨析：在处理与抽样有关的概率问题时要区分“有放回抽取”和“无放回抽取”的不同，有放回抽取时每一次抽取背景是一样的，即总体个数不变概率不变；无放回抽取时每一次抽取背景是变化的，即总体个数要变，概率也变.
【典例1】（25-26高三·上海·课堂例题）已知向量，，从6张大小相同分别标有号码的卡片中，有放回地抽取两张，、分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有个，
由，即，
故满足的基本事件有共个，(易错点)
注意：有放回抽取一是元素有顺序，二是元素可重复
所以所求概率为.
故选：D.
【典例2】（25-26高三上·浙江·期中）某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放回取球，每次取1球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】；故选：C.
【跟踪训练1】（25-26高三上·广西贵港·开学考试）不透明的盒子中装有大小质地相同的2个红球、2个白球、4个黄球，若采取不放回的方式每次从盒子中随机摸出一个小球，当三种颜色的球都被摸到时停止摸球，记此时已摸球的次数为随机变量，则______．
【答案】
【解析】从8个球中随机不放回摸出5个球的试验共种，
的事件有：①第5次摸到的球是黄球，则前4次摸到的球均为白球和红球种；
②第5次摸到的球是白球，则前4次摸到的球可能为2红2黄或1红3黄种；
③第5次摸到的球是红球，则前4次摸到的球可能为2白2黄或1白3黄种，
所以.
【跟踪训练2】（25-26高三下·四川成都·开学考试）从0，1，2，…，9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中小于325的共有___________个；若从这10个数字中每次有放回地随机抽取一个数字称为一次试验，抽中数字7则试验停止，若要使随机事件“在前N次试验内停止试验”的概率大于0.523，N的最小值为___________．
（参考数据：，）
【答案】 163 8
【解析】根据题意，①百位为1或2，满足要求的数字有个；②百位为3，若十位为0或1，满足要求的数字有个，若十位为2，满足要求的数字有3个，
所以满足要求的数字一共有个.
根据题意，“在前N次试验内停止” 的对立事件是 “在前N次试验都未抽中7”，单次试验未抽中7的概率为，“在前N次试验都未抽中7” 的概率为，
则“在前N次试验内停止” 的概率为，所以，则有，所以N的最小值为8.
易混易错10 古典概型问题列举样本点时重复或遗漏致错
辨析：在解决这类问题时，首要步骤是确认试验是否符合古典概型的特征.随后，关键在于构建样本空间，这一过程中需特别注意两点：一是样本中的元素是否存在顺序性，因为顺序的不同会构成不同的样本空间；二是取样时是否允许元素重复，即取样是放回还是不放回，这直接决定了样本中元素是否可以重复出现.明确了这两点后，就可以计算出样本空间的总样本点数量，以及所求事件对应的样本点数量，最后利用古典概型的概率计算公式，得出所求事件的概率.
【典例】（多选）（2026湖南衡阳三中月考）某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对一个选项得2分，选错得0分，已知某小题的标准答案为ABD，甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法正确的是（ ）
A．甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为
B．乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为
C．丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高
D．丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同
【答案】BD
【解析】对于A，甲同学仅仅随机选择一个选项，共有4种结果，分别为A，B，C，D，
其中有3种结果满足要求，分别为A，B，D，故能得2分的概率为，A错误；
对于B，列举可得以下所有可能结果：AB,AC,AD,BC,BD,CD，共6种，其中能得4分的结果有：AB,BD,AD，共3种，故能得4分的概率为,B正确；
对于C，丙同学可以选择两个选项，三个选项和四个选项，共有11种结果，
分别为AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD（易错点），
列举时要做到不重不漏
其中得分的结果有4种，为AB，AD，BD，ABD，故得分的概率为，
由B可知，乙同学仅随机选择两个选项，能得分的概率为，
，故丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率低，C错误；
对于D，丁同学选择至少一个选项，共有15种结果，
分别为A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD（易错点），
其中ABCD这个选项易遗漏
能得2分的结果为A，B，D，故能得2分的概率为，
能得4分的结果为AB，AD，BD，故能得4分的概率为，
丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同，D正确.
【跟踪训练1】(2024全国甲文科高考)甲、乙、丙、丁四人排成一列,则丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
【答案】B
【解析】根据题意画出树状图,如图,
共有24种排法,
其中丙不在排头,且甲或乙在排尾的排法共有8种,
故所求概率P==.
【跟踪训练2】（25-26高二下·黑龙江绥化·开学考试）将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，观察向上的点数，则点数之差的最大值为4的概率是________．
【答案】
【解析】将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次共有种情况，
若点数之差的最大值为4，则最大点数为5，最小点数为1，或者最大点数为6，最小点数为2，
若个数为，则有3种情况；若个数为，则有3种情况；
若个数为或或，则有种情况，
故最大点数为5、最小点数为1时，共有种．
当最大点数为6，最小点数为2时，
若个数为，则有3种情况；若个数为，则有3种情况；
若个数为或或，则有种情况，
故最大点数为6、最小点数为2时，共有种，
综上，点数之差的最大值为4的概率为：．
易混易错11 对条件概率理解不透彻致错
辨析：解决条件概率问题的步骤
第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率．题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率．若为条件概率，则进行第二步．
第二步，计算概率，这里有两种思路：
思路一 缩减样本空间法计算条件概率，如求P(A|B)，可分别求出事件B，AB包含的基本事件的个数，再利用公式P(A|B)＝计算
思路二 直接利用公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)＝计算
【典例】（25-26高二上·辽宁·期末）某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设“学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升”为事件A，则，，
设“学生肥胖”为事件B，则，，
由全概率公式可得，（易错点）
注意A,B并非相互独立事件
所以若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为.
故选：A
【跟踪训练1】（25-26高三下·天津河西·开学考试）盒中有个白球、个黑球（这些球除颜色外没有其他差异）.随机从中抽取一个球，观察其颜色后放回，并放入个与取出的球同色的球，再次从盒中随机取出一个球.则第二次取出的球是白球的概率为________；在第一次取出白球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为________.
【答案】 / /
【解析】记事件第一次取出白球，记事件第二次取出白球，则，，
若第一次取出白球，并放入个与取出的球同色的球，盒子中有个白球、个黑球，
则，
若第一次取出黑球，并放入个与取出的球同色的球，盒子中有个白球、个黑球，
，
所以，
故答案为：；.
【跟踪训练2】（2026·江西·一模）学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为___________．
【答案】
【解析】设 为第 天选A套餐， 为第 天选B套餐，
则，
；
从而，
，
.
易混易错12 求分布列时忽视了概率之和为1而致错
辨析：1.利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值.
2.利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.
3.可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
【典例1】（2026高三·全国·专题练习）已知离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P 0.36
则常数 ．
【答案】/
【解析】由题意可知：，
即，解得或，
又因为，解得，（易错点）
要注意两点：一是概率之和为1，二是各概率值介于0至1之间
所以常数.
【跟踪训练1】（24-25高二下·辽宁沈阳·月考）离散型随机变量的分布列为为常数，则______.
【答案】
【解析】，
因为，
所以，解得.
【跟踪训练2】（24-25高二下·陕西西安·月考）设是一个离散型随机变量，其分布列为如下，则 __________．
【答案】/
【解析】因为随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于，
所以，
解得或，
又因为随机变量的概率非负不大于，
所以，，
解得，
综上.
易混易错13 混淆二项分布与超几何分布致错
辨析：“二项分布”与“超几何分布”的区别
(1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要.(2)有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理.
【典例1】（25-26高三上·辽宁朝阳·期末）2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整个电影界都为之欢腾，这是中国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章．现随机抽取100位市民，将市民按年龄分为“青年组”和“非青年组”，同时统计是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本观测数据整理如下：
看过 没看过 合计
青年组 30 20 50
非青年组 15 35 50
合计 45 55 100
记表示“抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，其概率为表示“抽取到的市民为非青年组”，其概率为．
(1)给出的估计值；
(2)现从抽取的青年组市民中，按是否看过《哪吒之魔童降世2》用分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中看过《哪吒之魔童降世2》的人数的分布列和数学期望．
【解析】（1）A表示抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》，B表示抽取到的市民为非青年组．
样本容量，没看过电影的总人数55，抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》的频率为，
因此的估计值为，
抽取到的市民为非青年组的总人数50，抽取到的市民为非青年组的频率为，
因此的估计值为.
法一：，
在抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》条件下，抽到的市民为青年组的频率为，
因此的估计值为；
法二：，
在抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》条件下，抽到的市民为青年组的频率为，
因此的估计值为；
（2）按照分层抽样，抽取的5人中看过《哪吒之魔童降世2》的有3人，没看过《哪吒之魔童降世2》的有2人，
则看过《哪吒之魔童降世2》的人数的取值范围为，
由题意，看过《哪吒之魔童降世2》的人数，则，（易错点）
在产品抽取模型中超几何分布是不放回抽取，二项分布是有放回抽取，注意区别
此时，，.
则的分布列为：
X 1 2 3
所以，或．
【典例2】（25-26高三上·安徽宣城·期末）某社区举办“公益知识闯关赛”，共有100名居民报名参赛，每位参赛者需完成“第一轮基础知识作答”和“第二轮拓展知识比拼”两项任务.已知每位参赛者第一轮基础知识作答成功的概率为，且不同参赛者第一轮成功与否相互独立；若某位参赛者第一轮基础知识作答成功时，他第二轮拓展知识比拼成功的概率为；若他第一轮基础知识作答失败时，第二轮拓展知识比拼成功的概率为，若两项任务均成功，则视为最终闯关成功.
(1)若随机抽取一名参赛居民，求其第二轮拓展知识比拼成功的概率；
(2)记为参赛居民中闯关成功的人数，求的数学期望与方差.
【解析】（1）设事件为“第一轮基础知识作答成功”，事件为“第二轮拓展知识比拼成功”，
由题意可知，，则，
根据全概率公式，第二轮拓展知识比拼成功的概率为：
.
（2）闯关成功需要两项任务均成功，即事件，其概率为：
，
因不同参赛者的第一轮结果相互独立，且第二轮成功概率仅依赖于自身第一轮结果，
故各参赛者的闯关成功事件相互独立，
记为名居民中闯关成功的人数，则，
所以数学期望，
方差：.
【跟踪训练1】（25-26高三下·天津红桥·开学考试）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为________；若3次活动中，甲获胜的次数记为，则随机变量的期望为________.
【答案】 2
【解析】设甲在猜谜活动中猜对为事件，设乙在猜谜活动中猜对为事件，
则由题意知，甲猜对的概率，乙猜对的概率.
在一次猜谜活动中，甲获胜即甲猜对，乙猜错为事件，
则甲获胜的概率；
由题意可知，甲获胜的次数服从二项分布，
所以随机变量的期望为.
【跟踪训练2】（25-26高二上·山东德州·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元．
(1)顾客A恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量X．求X的分布列与数学期望；
(2)顾客B消费了1000元．
①顾客B获得返现金额为90元的概率是多少
②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%），则顾客B应选择哪种方案更优惠 （备注：不能同时参加抽奖和打折活动）
【解析】（1）由题意X可能取值为20，30，50，
则，，，
则X的分布列如下表：
X 20 30 50
P
由期望公式可得；
（2）①由题意刚好可以抽三次，获得90元返现的情况为：三次抽奖每次返现金都是30元或者两次20元，一次50元，
则概率为；
②若打九折，需支付金额为：（元）
由（1）知每次抽中的均值为29元，则抽取三次总的均值为：（元），
因为，故打折更划算．
易混易错14 求中位数、百分位数时忽略数据顺序致错
辨析：在求数据的中位数、百分数时，一定要先把数据从小到大排列，然后再根据中位数、百分数的定义进行求解.
【典例】（25-26高三上·湖北襄阳·月考）一组从小到大排列的数据：，，，，，，，，，若它们的百分位数是中位数的两倍，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】数据，，，，，，，，，已是由小到大的排列，数据共个（易错点），
求离散型数据的百分位数和中位数时，都要将数据先排序
中位数为第个与第个数据的平均值即中位数为，（易错点）
注意最中间有两个数时，中位数取其平均数
由，因此百分位数为第个与第个数据的平均值即，
得，
解得，
故选：A．
【跟踪训练1】（2026·河北衡水·模拟预测）某中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的演讲比赛，现随机抽选10名参赛选手，获得他们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为，17，18，若该组数据的中位数是极差的，则m的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解析】依题意，该组数据的中位数为，极差为，
由该组数据的中位数是极差的，得，所以.
故选：B
【跟踪训练2】(多选)（2026·河北·一模）某超市统计了2025年前10个月该超市的营业额（单位：万元），得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的是（ ）
A．从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降最多的是五月份
B．这10个月营业额的平均数为32.5万元
C．前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差
D．这10个月营业额数据的第70百分位数为43
【答案】AC
【解析】对于A：由图可知二月份比一月份增加6万元，三月份比二月份增加24万元，四月份比
三月份减少13万元，五月份比四月份减少24万元，
六月份比五月份增加6万元，七月份比六月份增加12万元，八月份比七月份增加2万元，九月份比八月份减少18万元，
十月份比九月份减少4万元，故与上个月相比营业额下降最多的是五月份，A正确；
对于B：由，即这10个月的营业额的平均数为万元，B错误；
对于C：前5个月的平均数，
方差；
后5个月的平均数，
方差
因为，所以前5个月的营业额的方差确实大于后5个月，C正确；
对于D：将10个数据从小到大排序：
因为，所以第百分位数取第7项和第8项的平均数，D错误.
故选：AC.
易混易错15 混淆总体与总体容量、样本与样本容量致错
辨析：(1) 总体是指考察对象的全体，而总体容量是指总体的个数；
(2)样本是指从总体中抽取的若干个个体组成的集合，而样本容量是指样本个体的数目，要注意二者的区别．
【典例】（25-26高二上·安徽·月考）某高中为了了解高一年级1200名学生的视力情况，抽查了其中200名学生的视力，并进行统计分析．下列叙述正确的是（ ）
A．上述调查属于普查 B．每名学生是总体的一个个体
C．200名学生的视力是总体的一个样本 D．1200名学生是总体
【答案】C
【解析】对于A，因为抽取一部分对象的调查方式是抽查，对全体对象进行研究的调查方式是普查，所以此调查为抽样调查，所以A错误；
对于B，每名学生的视力是总体的一个个体，所以B错误；
对于C，200名学生的视力是总体的一个样本，所以C正确；
对于D，1200名学生的视力是总体，所以D错误.（易错点）
本题中的考查对象是学生的视力，而不是学生
故选：C
【跟踪训练】(多选)（24-25高一下·广东揭阳·期中）从某市参加升学考试的学生中随机抽查1000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（ ）
A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩
B．样本是指1000名学生的数学成绩
C．样本量指的是1000名学生
D．个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩
【答案】ABD
【解析】总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩，故A正确；
样本是指1000名学生的数学成绩，故B正确；样本量是1000，故C错误；
个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩，故D正确．
故选：ABD．
易混易错16 对频率分布直方图中的数据特征理解不透致错
辨析：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：
（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；
（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；
（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
【典例】（多选）（25-26高三上·江西上饶·期末）上饶市某学校从高一的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组， ，第八组.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.以下说法正确的是（ ）

A．第二组的频率为0.016
B．第七组的频率为0.06
C．估计该校高一800名男生的身高的中位数约为
D．估计该校高一800名男生的身高的平均数约为
【答案】BCD
【解析】对于A，第二组的频率为，故A错误（易错点）；
注意频率分布直方图中频率为矩形的面积，而不是矩形的高
对于B，由题意得第六组人数为4人，则有第六组的频率为，纵坐标为0.016，
所以第七组的满足，故B正确；
对于C，由直方图得，身高在第一组的频率为，
身高在第二组的频率为，
身高在第三组的频率为，
身高在第四组的频率为，
由于，，
设这所学校高一800名男生的身高中位数为，则，
则有，解得，故C正确；（易错点）
中位数左侧各矩形面积之和为0.5，而不是高之和为0.5
对于D，设这所学校高一800名男生的身高平均数为，
身高在第五组的频率为，
身高在第六组的频率为，
身高在第七组的频率为，
身高在第八组的频率为，
则有，
故D正确.
故选：BCD.
【跟踪训练1】（25-26高二下·黑龙江绥化·开学考试）午子山景区，又称“午子山风景名胜区”，简称“午子山”，亦名“武子山”或“母子山”，是国家AAAA级旅游景区，位于陕西省汉中市西乡县堰口镇堰口社区，总面积约27平方千米，始建于西汉．午子山景区是集自然山水风光、珍稀植物、茶园、果园、田园风光、堰上古镇、宗教文化活动等于一体的旅游风景名胜区，为道教活动圣地和陕南道教活动中心，素有“汉南胜景区、陕南小华山、陕南小武当”之美称，是观光旅游、宗教朝拜的圣地．为更好地提升旅游品质，午子山景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．判断下列说法正确的是（ ）
A．
B．工作人员所选取的100人中在的人数为3人
C．工作人员采用按分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，则在中抽取2人，在中抽取4人
D．按分层抽样的方法从评分在的两组中抽取的6人中再抽两人，则选取的2人评分分别在和内各1人的概率为
【答案】ACD
【解析】根据题意可得，解得，故A正确；
因为的频率为0.3，所以工作人员所选取的100人中在的人数为30人，
故B错误；
因为的两组的频率之比为，
所以工作人员采用按分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，
则在中抽取2人，在中抽取4人，故C正确；
因为在中抽取2人，在中抽取4人，
所以再从这6人中抽2人，则选取的2人评分分别在和内各1人的概率为，故D正确．
【跟踪训练2】（多选）（25-26高三上·浙江宁波·期末）海水养殖场进行某水产品两种养殖方法的产量对比，甲试验区选择第一种养殖方法，乙试验区选择第二种养殖方法.收获时，从两个试验区各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：千克），其频率分布直方图如下图所示.
记事件C=“乙试验区产量不低于19千克”，根据直方图得到的估计值为0.70，则（ ）
A．乙试验区产量频率分布直方图中，
B．甲试验区产量的众数大于乙试验区产量的众数
C．甲试验区产量的平均数小于乙试验区产量的平均数
D．甲试验区产量的75%分位数大于乙试验区产量的中位数
【答案】AC
【解析】对于A，记事件C=“乙试验区产量不低于19千克”，根据直方图得到的估计值为0.70，
则，
解得，A正确；
对于B，甲试验区产量的众数为，乙试验区产量的众数为，
甲试验区产量的众数小于乙试验区产量的众数，B错误；
对于C，甲试验区产量的平均数为
乙试验区产量的平均数为
甲试验区产量的平均数小于乙试验区产量的平均数，C正确；
对于D，设甲试验区产量的75%分位数为，则，
解得
设乙试验区产量的中位数为，则，解得
甲试验区产量的75%分位数小于乙试验区产量的中位数，D错误；
故选：AC.
易混易错17 混淆函数关系和相关关系而致错
辨析：相关关系与函数关系是不同的，相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种确定的关系，而且函数关系是一种因果关系，但相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
【典例】（24-25高三上·江西南昌·训练）对两变量间的关系，下列论述正确的是（ ）
A．任何两个变量都具有相关关系
B．正方形的面积与该正方形的边长具有相关关系
C．农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性关系
D．一个学生的数学成绩与物理成绩之间是一种非确定性的关系
【答案】D
【解析】对A：当两个变量之间具有确定关系时，两个变量之间是函数关系，而不是相关关系，所以A错误；
对B：正方形的面积与该正方形的边长之间是函数关系，所以B错误；（易错点）
若对概念不清，容易误以为此选项是相关关系
对C：农作物的产量与施化肥量之间是相关关系，是非确定性的关系，所以C错误；
对D：学生的数学成绩与物理成绩之间是相关关系，是非确定性的关系，所以D正确；
故选：D.
【跟踪训练】（多选）（2025高二·全国·专题练习）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系.根据一组样本数据，用最小二乘法建立的经验回归方程为，则下列结论中正确的是（ ）
A．y与x具有正的线性相关关系
B．经验回归直线一定经过点
C．若该大学某女生身高增加2cm，则其体重约增加1.7kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可以判断其体重必为58.79kg
【答案】ABC
【解析】由经验回归方程为知，y随x的增大而增大，所以y与x具有正相关关系，故A正确.
由最小二乘法建立回归方程的过程知，经验回归直线一定经过样本中心点，故B正确.
利用经验回归方程可以估计因变量，但只是预测值，故C正确，D不正确，
故选：ABC
易混易错18 忽视回归直线与回归曲线方程的区别与联系致错
辨析：在求回归曲线方程时一定要先判断回归曲线类型，若是非直线方程，就要转化为回归直线方程求解，在计算过程中要注意求回归系数的两个公式之间的相互转化.
常见的非线性回归模型：
（1）指数函数型（且，）
两边取自然对数，，即，
令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，．
（2）对数函数型
令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，．
（3）幂函数型
两边取常用对数，，即，
令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，．
（4）二次函数型
令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，．
（5）反比例函数型型
令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，．
【典例1】（25-26高二上·全国·期末）红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数（个）和温度（）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到如下值：
25 2.9 646 168 422688 50.4 70308
表中；；；
(1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？
(2)根据（1）中所选择的模型，求出关于的回归方程．
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，
【解析】（1）模型①更合适．
模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，
所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适．
（2）令与温度可以用线性回归方程来拟合，则．(易错点)
注意这里是非线性回归模型，需通过换元转化为线性回归模型求解
， ，
则关于的线性回归方程为，即，
产卵数关于温度的回归方程为．
【典例2】（2025高二·全国·专题练习）根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x，y进行回归分析，设，利用最小二乘法，得到线性回归方程为，则下列说法中正确的是（ ）
A．变量y关于x的非线性回归曲线是轴对称图形
B．变量y关于x的非线性回归曲线是中心对称图形
C．当时，变量y的估计值取到最小值e
D．当时，变量y的估计值取到最大值
【答案】AD
【解析】将代入线性回归方程，
得，即，故回归曲线关于直线轴对称；
当时，取到最大值2，因为在R上单调递增，则取到最大值.
故选：AD
【跟踪训练】（2026·陕西西安·模拟预测）近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示：
年份 2019 2020 2021 2022 2023
购买量（万辆） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80
(1)计算与的相关系数（保留三位小数）；
(2)求关于的线性回归方程，并预测该地区2026年新能源汽车购买数量．
参考公式：．
参考数值：．
【解析】（1）由题意，，
则，，
则．
故与的相关系数为．
（2）由（1），
则，
故关于的线性回归方程为，
令，则，
故可预测该地区2026年新能源汽车购买数量为万辆.
易混易错19 求解独立性检验问题对的值理解不准确致错
辨析：在实际问题中,独立性检验的结论仅是一种数学关系表述,得到的结论有一定的概率出错．在利用2×2列联表计算的值之前,先假设两个分类变量是无关的,最后再利用的值的大小对二者关系进行含概率的判断．
【典例1】（25-26高二·全国·假期作业）随着国家三孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的三孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如表．
非一线 一线 总计
愿生 45 20 65
不愿生 13 22 35
总计 58 42 100
附表
0.025 0.010 0.001
5.024 6.635 10.828
由算得，，参照附表，得到的正确结论是（ ）
A．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
C．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”
【答案】BC
【解析】依题意，，
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“生育意愿与城市级别有关”．(易错点)
注意计算所得的的值需大于临界值
故选：BC
【典例2】（多选）（25-26·陕西汉中·一模）某人工智能研究实验室开发出一款全新的聊天机器人，该实验室对使用该款聊天机器人的120位用户进行调研，得到的调研数据如下表所示，则（ ）
年龄 周平均使用时间
超过4小时 不超过4小时 总计
不超过40岁 54 b 72
40岁以上 c d
总计 72 120
附：，．
（1）当时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；
（2）当时，有90%的把握判断变量A，B有关联；
（3）当时，有99%的把握判断变量A，B有关联；
（4）当时，有99.9%的把握判断变量A，B有关联．
A．
B．用样本估计总体，每位使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间超过4小时的概率为
C．没有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关
D．有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关
【答案】BD
【解析】不超过40岁且周平均使用时间不超过4小时的；
40岁以上且周平均使用时间超过4小时的；
40岁以上的总计为，
故40岁以上且周平均使用时间不超过4小时的.
选项A：，A错误；
选项B：周平均使用时间超过4小时的样本数为72，
总样本数120，概率为，B正确；
年龄 周平均使用时间
超过4小时 不超过4小时 总计
不超过40岁 54 18 72
40岁以上 18 30 48
总计 72 48 120
，
因，
故有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关.
所以C选项错误，D选项正确.
故选：BD
【跟踪训练1】（2025·湖南·一模）随着人工智能应用软件豆包、Kimi、DeepSeek陆续出现，AI成为各行各业创新应用的热门话题．某课题小组对本市各行业人群使用AI频率进行调查研究，下列说法正确的是（　　）
A．甲同学根据调查数据，利用最小二乘法得到AI每周使用频次关于年龄的经验回归方程为，可以推断使用频次与年龄正相关且相关系数为0.2
B．乙同学开展了AI每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数，可以推断两个变量正线性相关，且相关程度很强
C．丙同学研究性别因素是否影响AI使用频次，根据小概率值的独立性检验，计算得到，可以认为不同性别的AI使用频次有差异
D．丁同学得到经验回归方程①和②，通过决定系数来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和②的分别约为0.731和0.997，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①好很多
【答案】BD
【解析】A选项：在经验回归方程中，斜率参数，只能说明使用频次与年龄正相关，但相关系数不是0.2，故A错误；
B选项：样本相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关性越强，，说明两个变量正线性相关，且相关程度很强，故B正确；
C选项：根据小概率值的独立性检验，计算得到，没有充分证据证明不同性别的AI使用频次有差异，故C错误；
D选项：决定系数越接近于1，模型的拟合效果越好，经验回归方程①和②的分别约为0.731和0.997，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①好．
故选：BD．
【跟踪训练2】（2026·辽宁大连·模拟预测）为研究事件与事件的关系，某机构进行了一次随机抽样调查，共回收有效问卷份，调查结果按是否满足事件和事件分类统计，得到如下列联表（表中数字对应相应情况的人数），用频率估计概率．
是否满足事件 是否满足事件 满足事件 不满足事件 合计
满足事件
不满足事件
合计
(1)如果事件与事件无关，证明：；
(2)已知：
（i）填写表格剩余内容；
（ii）已知依据小概率值的独立性检验，可以判断事件与事件有关，求有效问卷数的最小值．
附：，．
【解析】（1）设列联表中四个格子的人数分别为
：满足事件且满足事件的人数；
：满足事件但不满足事件的人数；
：不满足事件但满足事件的人数；
：不满足事件且不满足事件的人数；
则总人数．若事件与事件无关，则有
，
整理得．又，代入得
.
代入计算公式
.
（2）（i）．由已知，用频率估计得满足事件且的人数等于不满足事件但满足的人数，
设均为．又满足事件的合计为，故，解得，
即.
不满足事件且不满足事件的人数为，即．由总人数得
.
于是填写完整的表格如下：
满足事件 不满足事件 合计
满足事件
不满足事件
合计
（ii）．由（i）中数据计算：
则，
，所以.
依题意，在时，临界值，要判断事件与事件有关，需，
即.
由于为正整数，且表格中所有人数均为整数，是10的倍数．故有效问卷数的最小值为40．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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