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高考数学方法技巧全归纳
目录
方法技巧01 集合的概念 1
方法技巧02 集合间的基本关系 1
方法技巧03 集合的运算 2
方法技巧04 Venn图的应用及创新性问题 3
方法技巧05 充分、必要条件的判定 4
方法技巧06 充分、必要条件的探求 5
方法技巧07 充分、必要条件的应用 5
方法技巧08 含量词命题的否定 6
方法技巧09 含量词命题的真假判断 7
方法技巧10 含量词命题的应用 8
方法技巧11 数(式)的大小比较 9
方法技巧12 不等式的性质 10
方法技巧13 不等式性质的应用 11
方法技巧14 直接用基本不等式求和或积的最值 12
方法技巧15 配凑法求最值 13
方法技巧16 常数代换法求最值 15
方法技巧17 消元法求最值 16
方法技巧18 不等式法求最值 17
方法技巧19 多次运用基本不等式 19
方法技巧20 利用基本不等式求参数的值或范围 20
方法技巧21 基本不等式的实际应用 21
方法技巧22 不含参的不等式的解法 22
方法技巧23 含参数的一元二次不等式的解法 24
方法技巧24 根据一元二次不等式的解集求参数 25
方法技巧25 根据一元二次不等式解集中整数的个数求参数 27
方法技巧26 一元二次不等式恒成立问题 28
方法技巧27 一元二次方程根的分布问题 29
方法技巧28 同一函数的判断 34
方法技巧29 求函数的定义域 36
方法技巧30 求函数的值域 37
方法技巧31 求函数的解析式 41
方法技巧32 分段函数 43
方法技巧33 确定函数的单调性(单调区间) 44
方法技巧34 函数单调性的应用 46
方法技巧35 求函数的最值 47
方法技巧36 函数奇偶性的判断 49
方法技巧37 函数奇偶性的应用 51
方法技巧38 函数的周期性 52
方法技巧39 轴对称问题 53
方法技巧40 中心对称问题 54
方法技巧41 两函数图象间的对称问题 55
方法技巧42 幂函数的图象及性质 55
方法技巧43 二次函数的图象与解析式 56
方法技巧44 二次函数的单调性与最值 58
方法技巧45 指数幂的运算 59
方法技巧46 指数函数的图象及应用 60
方法技巧47 比较指数式的大小 61
方法技巧48 解简单的指数方程或不等式 61
方法技巧49 指数函数性质的综合应用 62
方法技巧50 对数的运算 64
方法技巧51 对数函数的图象及应用 64
方法技巧52 对数函数的性质及应用 66
方法技巧53 函数图象的辨识 68
方法技巧54 函数图象的应用 69
方法技巧55 判定函数零点所在的区间 71
方法技巧56 确定函数零点的个数 72
方法技巧57 根据函数零点个数求参数 73
方法技巧58 根据函数零点范围求参数 75
方法技巧59 用函数图象刻画实际问题 75
方法技巧60 已知函数模型的实际问题 77
方法技巧61 构建函数模型的实际问题 78
方法技巧62 变化率问题 79
方法技巧63 导数的运算 81
方法技巧64 导数几何意义的应用 82
方法技巧65 两曲线的公切线问题 83
方法技巧66 导函数与原函数性质关系问题 85
方法技巧67 不含参数的函数的单调性 87
方法技巧68 含参数的函数的单调性 88
方法技巧69 函数单调性的应用 90
方法技巧70 根据函数的图象判断函数的极值 92
方法技巧71 求已知函数的极值 94
方法技巧72 已知函数的极值(点)求参数 95
方法技巧73 利用导数研究函数的最值 98
方法技巧74 导数型构造函数 99
方法技巧75 依据数值特征构造具体函数 102
方法技巧76 地位同等同构 103
方法技巧77 指对混合型的同构 104
方法技巧78 移项构造法证明不等式 106
方法技巧79 分拆构造双函数法证明不等式 108
方法技巧80 放缩法证明不等式 109
方法技巧81 端点效应 112
方法技巧82 洛必达法则 115
方法技巧83 单变量不等式恒成立问题 117
方法技巧84 单变量不等式能成立问题 119
方法技巧85 双变量不等式恒(能)成立问题 120
方法技巧86 数形结合法探究函数零点问题 123
方法技巧87 借助函数的性质探究函数的零点问题 124
方法技巧88 构造函数法研究函数零点 127
方法技巧89 隐零点问题 129
方法技巧90 极值点偏移问题 131
方法技巧91 任意角 136
方法技巧92 扇形的弧长及面积公式 137
方法技巧93 三角函数的概念及应用 138
方法技巧94 同角三角函数的基本关系“知一求二”问题 139
方法技巧95 正余弦齐次式的计算 139
方法技巧96 sinα±cosα和sinαcosα之间的关系 141
方法技巧97 诱导公式的应用 142
方法技巧98 和、差、倍角公式的直接应用 144
方法技巧99 和差角公式的逆用与变形 145
方法技巧100 角的变换问题 146
方法技巧101 三角函数式的求值 148
方法技巧102 三角函数的定义域和值域 149
方法技巧103 三角函数的周期性、对称性与奇偶性 150
方法技巧104 求三角函数的单调区间 152
方法技巧105 根据三角函数的单调性求参数 153
方法技巧106 比较三角函数值的大小 154
方法技巧107 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换 155
方法技巧108 由图象确定三角函数的解析式 156
方法技巧109 三角函数图象与性质的综合应用 158
方法技巧110 三角函数模型的应用 160
方法技巧111 三角函数中ω的范围问题 161
方法技巧112 复杂三角函数性质判断 164
方法技巧113 利用正、余弦定理解三角形 167
方法技巧114 判断三角形的形状 169
方法技巧115 三角形面积的计算 170
方法技巧116 三角形的中线问题 172
方法技巧117 三角形的角平分线问题 175
方法技巧118 三角形的高线问题 177
方法技巧119 已知三角形的一角求取值范围 180
方法技巧120 已知三角形的一角及其对边求取值范围 182
方法技巧121 已知三角形的一角及其邻边求取值范围 184
方法技巧122 已知三角形中角(或边)的关系求取值范围 185
方法技巧123 测量距离问题 187
方法技巧124 测量高度问题 188
方法技巧125 测量角度问题 190
方法技巧126 和差正切公式在解三角形的应用 191
方法技巧127 平面向量的概念 193
方法技巧128 平面向量的线性运算 195
方法技巧129 向量共线定理的应用 196
方法技巧130 平面向量基本定理的应用 198
方法技巧131 平面向量的坐标运算 199
方法技巧132 向量共线的坐标表示 201
方法技巧133 平面向量数量积的运算 202
方法技巧134 平面向量数量积的应用 204
方法技巧135 平面向量的应用 206
方法技巧136 极化恒等式求数量积 207
方法技巧137 极化恒等式求数量积的最值 209
方法技巧138 复数的有关概念 210
方法技巧139 复数的四则运算 211
方法技巧140 复数的几何意义 212
方法技巧141 由an与Sn的关系求通项公式 213
方法技巧142 由数列的递推关系求通项公式 215
方法技巧143 数列的周期性 216
方法技巧144 数列的单调性 217
方法技巧145 数列的最值 218
方法技巧146 等差数列基本量的运算 219
方法技巧147 等差数列的判定与证明 220
方法技巧148 等差数列性质的应用 222
方法技巧149 等差数列的前n项和及其最值 224
方法技巧150 等比数列基本量的运算 226
方法技巧151 等比数列的判定与证明 227
方法技巧152 等比数列性质的应用 229
方法技巧153 分组求和与并项求和 231
方法技巧154 裂项相消法求和 233
方法技巧155 错位相减法求和 235
方法技巧156 数列模型的应用 237
方法技巧157 数列中的不等式证明 239
方法技巧158 数列中的不等式恒成立 241
方法技巧159 数列奇偶项问题 242
方法技巧160 数列增减项问题 244
方法技巧161 数列新情境、新定义问题 245
方法技巧162 基本立体图形结构特征 247
方法技巧163 空间几何体的直观图 248
方法技巧164 空间几何体的展开图 250
方法技巧165 空间几何体的表面积与体积 251
方法技巧166 简单几何体的外接球 254
方法技巧167 简单几何体的内切球 257
方法技巧168 与球有关的截面问题 258
方法技巧169 基本事实的应用 259
方法技巧170 空间两直线位置关系的判定 261
方法技巧171 异面直线所成的角 262
方法技巧172 空间几何体的截面、截线问题 265
方法技巧173 截面分割体积比问题 268
方法技巧174 直线与平面平行的判定 271
方法技巧175 线面平行性质定理的应用 273
方法技巧176 平面与平面平行的判定与性质 275
方法技巧177 平行关系的综合应用 278
方法技巧178 直线与平面垂直的判定与性质 280
方法技巧179 平面与平面垂直的判定与性质 282
方法技巧180 垂直关系的综合应用 284
方法技巧181 三垂线定理及其逆定理 288
方法技巧182 空间向量的线性运算 290
方法技巧183 空间向量数量积的应用 291
方法技巧184 利用向量证明平行与垂直 293
方法技巧185 异面直线所成的角 296
方法技巧186 直线与平面所成的角 298
方法技巧187 平面与平面的夹角 303
方法技巧188 求空间距离 306
方法技巧189 立体几何中的探索性问题 310
方法技巧190 立体几何中的翻折问题 314
方法技巧191 动态空间位置关系的判定 317
方法技巧192 立体几何轨迹问题 320
方法技巧193 立体几何最值(范围)问题 323
方法技巧194 直线的倾斜角与斜率 326
方法技巧195 直线方程的求法 328
方法技巧196 直线方程的综合应用 329
方法技巧197 两条直线位置关系的判断及应用 330
方法技巧198 两条直线的交点与距离问题 331
方法技巧199 直线的对称问题 333
方法技巧200 圆的方程 335
方法技巧201 与圆有关的最值问题 337
方法技巧202 与圆有关的轨迹问题 339
方法技巧203 直线与圆的位置关系 342
方法技巧204 圆与圆的位置关系 344
方法技巧205 圆的切线问题 346
方法技巧206 圆的弦长问题 347
方法技巧207 与圆有关的综合问题 349
方法技巧208 椭圆的定义及应用 350
方法技巧209 椭圆的标准方程 353
方法技巧210 椭圆的简单几何性质 354
方法技巧211 椭圆的离心率问题 356
方法技巧212 与椭圆有关的最值(范围)问题 358
方法技巧213 椭圆的蒙日圆及其性质 359
方法技巧214 直线与椭圆的位置关系 361
方法技巧215 椭圆的弦长问题 363
方法技巧216 椭圆的中点弦问题 365
方法技巧217 直线与椭圆的综合问题 367
方法技巧218 圆锥曲线的非对称韦达问题 370
方法技巧219 双曲线的定义及其应用 373
方法技巧220 双曲线的标准方程 375
方法技巧221 双曲线的渐近线 377
方法技巧222 双曲线的离心率 378
方法技巧223 与双曲线有关的最值、范围问题 379
方法技巧224 直线与双曲线的位置关系 380
方法技巧225 抛物线动点轨迹的判定 382
方法技巧226 抛物线上的点到定点的距离及最值 383
方法技巧227 抛物线的标准方程与几何性质 385
方法技巧228 直线与抛物线的位置关系 386
方法技巧229 抛物线中的阿基米德三角形 388
方法技巧230 圆锥曲线中的四点共圆问题 390
方法技巧231 圆锥曲线中的定点问题 396
方法技巧232 圆锥曲线的定值问题 402
方法技巧233 圆锥曲线的定直线问题 404
方法技巧234 圆锥曲线的等角定理 408
方法技巧235 圆锥曲线中的范围、最值问题 411
方法技巧236 圆锥曲线中的证明、探索性问题 416
方法技巧237 圆锥曲线的极点、极线 419
方法技巧238 两个计数原理及综合应用 422
方法技巧239 排列、组合问题 424
方法技巧240 分组、分配问题 425
方法技巧241 二项展开式的通项公式的应用 427
方法技巧242 二项式系数和与系数和 428
方法技巧243 二项式系数与系数最值 430
方法技巧244 二项式定理的应用 431
方法技巧245 随机事件与样本空间 432
方法技巧246 随机事件的频率与概率 433
方法技巧247 古典概型 435
方法技巧248 事件的相互独立性 436
方法技巧249 条件概率 439
方法技巧250 全概率公式的应用 440
方法技巧251 离散型随机变量分布列的性质 441
方法技巧252 离散型随机变量的分布列及数字特征 443
方法技巧253 离散型随机变量数字特征在决策中的应用 447
方法技巧254 二项分布的期望 451
方法技巧255 二项分布的性质 452
方法技巧256 超几何分布 457
方法技巧257 正态分布 459
方法技巧258 二项分布与超几何分布的区别 462
方法技巧259 简单随机抽样 464
方法技巧260 分层随机抽样 465
方法技巧261 分层随机抽样的均值与方差 466
方法技巧262 统计图表 467
方法技巧263 总体百分位数的估计 471
方法技巧264 总体集中趋势的估计 473
方法技巧265 总体离散程度的估计 475
方法技巧266 成对数据的相关性 477
方法技巧267 一元线性回归模型 478
方法技巧268 非线性回归模型 481
方法技巧269 独立性检验 485
方法技巧270 以统计图表为载体的概率、统计问题 487
方法技巧271 概率、统计与数列的综合问题 491
方法技巧272 概率、统计与函数的交汇问题 495
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方法技巧01 集合的概念
解决集合含义问题的注意点
一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
【典例1】(2025·广东深圳中学模拟)设集合A＝{2，a2－a＋2，1－a}，若4∈A，则a的值为(　　)
A．－1，2 B．－3
C．－1，－3，2 D．－3，2
【解析】集合A＝{2，a2－a＋2，1－a}，4∈A，∴a2－a＋2＝4或1－a＝4，
当a2－a＋2＝4时，a＝－1或a＝2，
若a＝－1，则1－a＝2，不满足集合中元素的互异性，故a≠－1；
若a＝2，则集合A＝{2，4，－1}，满足题意；
当1－a＝4时，a＝－3，a2－a＋2＝14，集合A＝{2，14，4}，满足题意，综上所述，a＝2或a＝－3．故选D．
【典例2】(2024·江苏南京二模)已知集合A＝{1，2，4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合B的元素个数为________．
【解析】当x＝1，y＝1，2，4时，x－y分别为0，－1，－3，均不能满足x－y∈A，
当x＝2，y＝1时可满足x－y＝1∈A，
当x＝2，y＝2时，x－y＝0，当x＝2，y＝4时，x－y＝－2均不满足x－y∈A，
当x＝4，y＝2时可满足x－y＝2∈A，当x＝4，y＝1时，x－y＝3，当x＝4，y＝4时，x－y＝0均不满足x－y∈A，
所以B＝{(2，1)，(4，2)}，故集合B的元素有2个．
方法技巧02 集合间的基本关系
已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等直观表示解决这类问题的过程，特别注意端点值的取舍，“＝”加不加．
提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．
【典例1】(2024·江苏南通三模)已知集合M＝，N＝，则(　　)
A．M N B．N M
C．M＝N D．M∩N＝
【解析】M＝＝，
N＝＝，
因为2k＋1，k∈Z表示所有的奇数，而k＋2，k∈Z表示所有的整数，则M N．故选A．
【典例2】已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B A，则实数m的取值范围是________．
【解析】∵B A，∴①当B＝ 时，2m－1>m＋1，解得m>2；
②当B≠ 时，解得－1≤m≤2．
综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)．
方法技巧03 集合的运算
解决集合运算问题的注意点
(1)看元素构成，集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值．
(2)对集合进行化简，即解不等式，解方程，求定义域、值域等，通过化简可以使问题变得简单明了．
(3)注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn图．
(4)端点值验证．
【典例1】(2025·八省联考)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∩B＝(　　)
A．{0} B．{1}
C．{0，1} D．{－1，0，1，4}
【解析】由题意知，A∩B＝{0，1}．故选C．
【典例2】(2024·全国甲卷)集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则 A(A∩B)＝(　　)
A． B．
C． D．
【解析】因为A＝，B＝{x|∈A}，
所以B＝，则A∩B＝{1，4，9}，
A＝．故选D．
【典例3】全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A U，B U，( UB)∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}，( UA)∩( UB)＝{4，6，7}，则A∪B＝________．
【解析】由已知条件可得U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，画出Venn图如图所示．
由图可得A∪B＝{1，2，3，5，8，9}．
方法技巧04 Venn图的应用及创新性问题
Venn图具有形象直观的特征，应用Venn图可以解决两大类问题：一是处理部分有限集合的元素个数的计数问题；二是解决抽象集合的运算问题或判断集合间的关系问题．
【典例1】定义两集合M，N的差集：M－N＝{x|x∈M且x N}，已知集合A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，则A－的子集个数为(　　)
A．2 B．4
C．8 D．16
【解析】因为A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，所以A－B＝{2}，
所以A－＝，有2个元素，则A－(A－B)的子集个数是22＝4．故选B．
【典例2】某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．
【解析】设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图．
由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人．
方法技巧05 充分、必要条件的判定
判断充要条件的三种方法
(1) 定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
(2) 集合法：利用集合的包含关系判断．小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系．
(3) 传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性．
【典例1】(2024·天津高考)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】根据立方的性质和指数函数的性质，a3＝b3和3a＝3b都当且仅当a＝b时成立，所以二者互为充要条件．
故选C．
【典例2】(2025·江苏扬州模拟)已知集合A＝，B＝{1，a＋1，a－1}，则“a＝1”是“A B”的(　　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】当a＝1时，A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，则A B；
反之，当A B时，a＋1＝0或a－1＝0，解得a＝－1或a＝1．若a＝－1，A＝{0，1}，B＝{0，1，－2}，满足A B，若a＝1，显然满足A B，
因此a＝－1或a＝1，所以“a＝1”是“A B”的充分不必要条件．故选B．
方法技巧06 充分、必要条件的探求
探求充分条件、必要条件的方法
（1）寻求q的充分条件p，即求使q成立的条件p，即p q；
（2）寻求q的必要条件p，即求以q为条件可推出的结论p，即q p；
（3）寻求q的充要条件p，即寻求使q成立的条件p（p q），同时又要寻求以q为条件可推出p成立（q p），即p＝q.
【典例1】“ln (x＋1)<0”的一个必要不充分条件是(　　)
A．－10
C．－1【解析】ln (x＋1)<0等价于0【典例2】(多选)ab＋b－a－1＝0的一个充分不必要条件可以是(　　)
A．a＝－1 B．a＝b
C．b＝1 D．ab＝1
【解析】由ab＋b－a－1＝0，可得(a＋1)(b－1)＝0，解得a＝－1或b＝1，故选AC．
方法技巧07 充分、必要条件的应用
用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．
(3)充分必要条件与集合包含之间的关系．
【典例1】(多选)(2024·山西太原模拟)已知关于x的方程x2＋ax＋a＋3＝0，则(　　)
A．当a＝2时，方程有两个不相等的实数根
B．方程无实数根的一个充分条件是－2C．方程有两个不相等的负根的充要条件是a>6
D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是a<－4
【解析】对于A，当a＝2时，x2＋2x＋5＝0，此时Δ＝22－4×1×5＝－16<0，
方程没有实数根，故A错误；
对于B，方程无实数根的充要条件是Δ＝a2－4×1×(a＋3)<0，即－2所以方程无实数根的一个充分条件是{a|－2对于C，方程有两个不相等的负根的充要条件是
解得a>6，故C正确；
对于D，方程有一个正根和一个负根的充要条件是
解得a<－3，故D错误．
故选BC．
【典例2】已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据充分不必要条件得到，即可得到答案.
【详解】，解得，，
因为是的充分不必要条件，
所以，即.
故选：A
方法技巧08 含量词命题的否定
对全称量词命题与存在量词命题进行否定的方法
（1）改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；
（2）否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可.
【典例1】命题p的否定为“ x<0，使得x＋2>2x”，则命题p为(　　)
A． x<0，x＋2>2x
B． x≥0，使得x＋2>2x
C． x<0，x＋2≤2x
D． x≥0，使得x＋2≤2x
【解析】因为命题p的否定为“ x<0，使得x＋2>2x”，所以命题p为“ x<0，x＋2≤2x”．故选C．
【典例2】（2024·四川达州·统考二模）命题p：，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】对全称量词的否定用特称量词，直接写出.
【详解】因为对全称量词的否定用特称量词，
所以命题p：，的否定为：，.
故选：D
【典例3】已知命题：，使得且，则为（ ）
A．，使得且 B．，使得或
C．，使得或 D．，使得且
【答案】C
【详解】“存在一个符合A且B”的否定为“任意一个都不符合A且B”，即“任意一个都符合或”.
即使得或,
故选：C.
方法技巧09 含量词命题的真假判断
全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
（1）全称量词命题：①要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；②要判定一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p（x0）不成立即可.
（2）存在量词命题：要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p（x0）成立即可，否则这一存在量词命题就是假命题.
【典例1】(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p： x∈R，|x＋1|>1；命题q： x>0，x3＝x，则(　　)
A．p和q都是真命题
B． p和q都是真命题
C．p和 q都是真命题
D． p和 q都是真命题
【解析】对于p而言，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题， p是真命题，对于q而言，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题， q是假命题，综上， p和q都是真命题．故选B．
【典例2】（25-26高一上·全国·单元测试）下列命题中为真命题的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，是整数
【答案】D
【分析】举反例判断AC，根据求解范围判断B，根据整数的概念判断D.
【详解】列表解析 直观解疑惑
选项 真假 原因
A 假 举反例，例如，但．
B 假 因为对于任意实数，，所以，恒大于0.
C 假 举反例，当时，，不满足．
D 真 对于任意的整数，一定是整数，也一定是整数， 所以，是整数．
故选：D
方法技巧10 含量词命题的应用
由命题的真假求参数的策略
（1）巧用三个转化：①全称量词命题可转化为恒成立问题；②存在量词命题可转化为存在性问题；③全称量词、存在量词命题假可转化为它的否定命题真.
（2）准确计算：通过解方程或不等式（组）求出参数的值或范围.
【典例1】若命题p：“ x∈R，x2－mx－m≤0”为假命题，则实数m的取值范围是________．
【解析】法一：若p为真命题，即 x∈R，x2－mx－m≤0，∴Δ＝m2＋4m≥0，∴m≥0或m≤－4，
∴当p为假命题时，－4法二：∵p为假命题，
∴ p： x∈R，x2－mx－m>0为真命题，
即Δ＝m2＋4m<0，∴－4【典例2】若命题“ x∈，使λx2＋x－2>0成立”的否定是真命题，则实数λ的取值范围是________．
【解析】若“ x∈，使λx2＋x－2>0成立”的否定“ x∈，使λx2＋x－2≤0”为真命题，即λ≤．令f (x)＝＝2－，
由x∈，得∈，所以f (x)min＝f (4)＝－，所以λ≤－．
方法技巧11 数(式)的大小比较
比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形(因式分解、配方、有理化等)；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形(因式分解、配方、有理化等)；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
(4)找中间量比较大小(如1，－1，0，2，…)．
【典例1】若a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．aC．c【解析】法一(作差法)：
a－b＝＝＝＞0，
b－c＝＝＝＞0，
所以a＞b＞c．
法二(作商法)：
易知a，b，c都是正数，＝＝log8164＜1，所以a＞b；＝＝log6251 024＞1，所以b＞c．即c＜b＜a．
法三(单调性法)：
对于函数y＝f (x)＝，y′＝．
易知当x＞e时，函数f (x)单调递减．
因为e＜3＜4＜5，
所以f (3)＞f (4)＞f (5)，即c＜b＜a．
【典例2】已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为________．
【解析】因为＝＝，
又a>b>0，故>1，a－b>0，
所以>1，即>1，
又abba>0，所以aabb>abba．
方法技巧12 不等式的性质
判断不等式正误的常用方法
(1)利用不等式的性质进行验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时，要特别注意应用性质的条件．
(2)利用特殊值法排除错误不等式．
(3)利用函数的单调性，当利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较．
【典例1】(多选)(2024·安徽淮北一模)已知a，b，c∈R，下列命题为真命题的是(　　)
A．若a>b>c，则a＋b>c
B．若a>b>|c|，则a2>b2>c2
C．若a
D．若a>b>c>0，则<
【解析】当b为负数时，A可能不成立，例如－2>－3>－4，但－2＋(－3)>－4是错误的；
因为a>b>|c|≥0，根据不等式性质可得a2>b2>c2，故B正确；
因为a0，所以a即<<0，因为c＜0，所以>>0，故C错误；
因为a>b>c>0，所以＝＝<0，
所以<，故D正确．故选BD
【典例2】(多选)已知实数a，b，c满足0A．>　　　　 B．>
C．> D．ab＋c2>ac＋bc
【解析】因为0b－a>0，<，故A错误；
因为0＜a＜b＜c，所以＞＞0，c－a＞0，则＞，故C正确；
> > b>a，故C正确；
由糖水不等式的倒数形式， b>a>0，c>0, 则有>，故B正确；
ab＋c2>ac＋bc c(c－b)－a(c－b)>0 (c－a)(c－b)>0，故D正确．故选BCD．
方法技巧13 不等式性质的应用
求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得代数式的取值范围．
提醒：在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，如“a＜b，c＜d a＋c＜b＋d”，反之不成立．
【典例1】(多选)(2025·湖南长沙模拟)已知实数x，y满足－3A．x的取值范围为(－1，2)
B．y的取值范围为(－2，1)
C．x＋y的取值范围为(－3，3)
D．x－y的取值范围为(－1，3)
【解析】因为－1<2x－y<4，所以－2<4x－2y<8．因为－3因为－3因为－3则－2因为－3则－1【典例2】已知－3＜a＜－2，3＜b＜4，则的取值范围为(　　)
A．(1，3) B．
C．
【解析】∵－3＜a＜－2，3＜b＜4，
∴4＜a2＜9，＜＜，
∴1＜＜3，故选A．
【典例3】已知－1＜2s＋t＜2，3＜s－t＜4，则5s＋t的取值范围为________．
【解析】设5s＋t＝m(2s＋t)＋n(s－t)，
则5s＋t＝(2m＋n)s＋(m－n)t，
则解得
则5s＋t＝2(2s＋t)＋(s－t)，
因为－1＜2s＋t＜2，所以－2＜2(2s＋t)＜4，
又因为3＜s－t＜4，
所以1＜2(2s＋t)＋(s－t)＜8，即1＜5s＋t＜8，
所以5s＋t的取值范围是(1，8)．
方法技巧14 直接用基本不等式求和或积的最值
利用基本不等式求最值的原则及注意点
(1)原则：积定和最小，和定积最大；
(2)注意点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值；三是考虑等号成立的条件是否具备．
【典例1】(2025·湖北武汉模拟)已知正数a，b满足a＋2b＝1，则(　　)
A．ab≥ B．ab>
C．0【解析】由题意得，a>0，b>0，则ab>0, a＋2b＝1≥2，即0当且仅当a＝2b，即a＝，b＝时等号成立．故选C．
【典例2】(2025·浙江台州模拟)已知a，b为正实数，＝1，则(　　)
A．ab的最小值为4 B．ab的最大值为4
C．ab的最小值为2 D．ab的最大值为2
【解析】因为a，b为正实数，由＝1可得1＝≥2×＝，
即得ab≥4，当且仅当＝时取等号，
即a＝2，b＝时，ab的最小值为4．
故选A．
【典例3】已知0A．8 B．16
C．2 D．4
【解析】因为00，4－x2>0，
故x2＝4，当且仅当x2＝4－x2，即x＝时，等号成立，故x2的最大值为4．故选D．
方法技巧15 配凑法求最值
　常见的配凑法求最值模型
(1)模型一：mx＋≥2(m>0，n>0，x＞0)，当且仅当x＝时等号成立；
(2)模型二：mx＋＝m(x－a)＋＋ma≥2＋ma(m>0，n>0，x＞a)，当且仅当x－a＝时等号成立．
【典例1】若x<，则函数f (x)＝3x＋1＋有(　　)
A．最大值0 B．最小值9
C．最大值－3 D．最小值－3
【解析】因为x<，故3x－2<0，f ＝3x＋1＋＝3x－2＋＋3
＝－＋3≤－2＋3＝－3，
当且仅当－＝，即x＝－时取等号，即f (x)＝3x＋1＋有最大值－3．故选C．
【典例2】已知0＜x＜，则x的最大值为________．
【解析】∵0＜x＜，∴1－2x2＞0，
x＝＝
≤＝．
当且仅当2x2＝1－2x2，即x＝时等号成立．
【典例3】(2024·河北唐山一模)已知函数f ＝，则f 的最小值为(　　)
A．0 B．2
C．2 D．3
【解析】由已知得x>2，
所以f ＝＝＝≥2，
当且仅当＝，即x＝4时等号成立，
则f 的最小值为2．故选C．
【典例4】(2025·湖南长沙模拟)若实数x>2y>0，则的最小值为________，此时＝________．
【解析】＝＝＋2≥2＋2＝2＋2，
当且仅当＝3y2，即x＝y时，等号成立．此时＝2＋．
方法技巧16 常数代换法求最值
“1”的妙用
(1)乘“1”法是指凑出1，利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形后达到运用基本不等式的条件，即积为定值．主要解决形如“已知x＋y＝t(t为非零常数)，求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值．
(2)常数“1”的代换，即把求解目标中的常数代数化，化为形如求“的最值”问题，进而可以使用基本不等式达到解题的目的．
【典例1】（2024春·新疆乌鲁木齐·高一乌市八中校考开学考试）已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当即时等号成立，
所以，
所以的最小值为，
故选：D
【典例2】(2025·咸阳模拟)已知a>0，b>0，且＝1，则a＋b的最小值为　　　　.
答案　2＋1
解析　由a>0，b>0，＝1，
得a＋b＝(a＋1)＋(b＋1)－2
＝[(a＋1)＋(b＋1)]－2
＝＋1≥2＋1
＝2＋1，
当且仅当，即a＝，b＝＋1时取等号，所以a＋b的最小值为2＋1.
【典例3】已知正数a，b满足a＋2b＝3，则的最小值为________．
【解析】由a＋2b＝3得(a＋1)＋2b＝4，
于是＝
＝≥＝，
当且仅当＝，且a>0，b>0，
即a＝，b＝时，等号成立．所以的最小值为．
方法技巧17 消元法求最值
消元法，即根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留变量的取值范围
【典例1】已知实数x，y满足3xy＋y2＝1，y>0，则2x＋y的最小值是(　　)
A. B. C.2 D.3
答案　B
解析　因为实数x，y满足3xy＋y2＝1，y>0，
所以x＝，
则2x＋y＝＋y＝≥2，
当且仅当，即y＝时，等号成立，
所以2x＋y的最小值是.
【典例2】（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件可得，得出的表达式再由基本不等式计算可得结果.
【详解】由得，
即，
当且仅当，取到等号，
故选：C.
【典例3】(2024·浙江嘉兴二模)若正数x，y满足x2－2xy＋2＝0，则x＋y的最小值是(　　)
A．
C．2 D．2
【解析】由x2－2xy＋2＝0可得y＝，
∴x＋y＝x＋＝≥2＝，
当且仅当＝，即x＝时，等号成立，此时y＝>0符合题意．
所以x＋y的最小值为．故选A．
方法技巧18 不等式法求最值
当条件式中给出了"和"与"积"之间的关系时，可以考虑借助基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值.
【典例1】(多选)(2025·青岛模拟)若实数a>0，b>0，且ab＝a＋b＋8，则下列结论正确的是(　　)
A.a＋b≤8 B.ab≥16
C.a＋3b≥4＋6 D.≥
答案　BCD
解析　对于选项A，由a＋b＋8＝ab≤，当且仅当a＝b时等号成立，不妨设a＋b＝t，
则t2－4t－32≥0，
解得t≥8或t≤－4，
因为a>0，b>0，则a＋b≥8，故A项错误；
对于选项B，由ab－8＝a＋b≥2，
当且仅当a＝b时等号成立，
不妨设＝s，则s2－2s－8≥0，
解得s≥4或s≤－2，
因为s>0，则s≥4，
即ab≥16，故B项正确；
对于选项C，由ab＝a＋b＋8可得a(b－1)＝b＋8，则b－1>0，且a＝，
则a＋3b＝＋3b＝1＋＋3b＝4＋＋3(b－1)≥4＋2＝4＋6，
当且仅当＝3(b－1)，即b＝＋1，a＝3＋1时取等号，a＋3b有最小值4＋6，故C项正确；
对于选项D，由ab＝a＋b＋8可得ab－a－b＋1＝9，即(a－1)(b－1)＝9，且a－1>0，b－1>0，
则≥2，当且仅当时等号成立，
由解得
即当且仅当a＝，b＝7时，有最小值，故D项正确.
【典例2】（24-25高一上·安徽宿州·阶段练习）已知x，y均为正数，，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．7 D．
【答案】A
【分析】由已知等式化简后用基本不等式即可解得结果.
【详解】∵，，，
∴，
令，则，即，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为4．
故选:A．
【典例3】（2025·云南昆明·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】C
【分析】利用基本不等式转化为一元二次不等式即可求解．
【详解】由题意可知，当时等号成立，
即，
令，则
解得或舍
即，
当且仅当时，等号成立．
故选：C.
方法技巧19 多次运用基本不等式
在求解某些复杂一些的最值问题时，可能会需要连续多次使用基本不等式进行放缩.此时，我们需要注意两点:一是由基本不等式进行放或缩一定要考虑到不等号的方向与不等式传递性相一致，即多次放大或者多次缩小，一般不可以既放大又缩小;二是多次使用基本不等式后要考虑等号成立的条件，只有多个等号能够同时成立时方可.
【典例1】（2024·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）若，，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】利用基本不等式即可求出最值.
【详解】，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
【典例2】（2022·天津·一模）设，那么 的最小值是 .
【答案】16
【分析】利用均值不等式求的最大值表达式，再利用均值不等式求解作答.
【详解】因，则，当且仅当，即时取“=”，
因此，，当且仅当，即时取“=”，
所以，当时，取最小值16.
故答案为：16
方法技巧20 利用基本不等式求参数的值或范围
对于不等式恒(能)成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值．
(1) x∈M，使得f (x)≥a，等价于f (x)max≥a；
(2) x∈M，使得f (x)≤a，等价于f (x)min≤a；
(3) x∈M，使得f (x)≥a，等价于f (x)min≥a；
(4) x∈M，使得f (x)≤a，等价于f (x)max≤a．
【典例1】(2025·山东滨州模拟)若不等式x2－ax＋4≥0对任意x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．
C．
【解析】不等式x2－ax＋4≥0对任意x∈恒成立，则 x∈，a≤x＋成立，
而x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，因此a≤4，
所以实数a的取值范围是．故选B．
【典例2】若正实数x，y满足x＋y＝1，且不等式【解析】因为x＋y＝1，所以＝1，所以＝＝2＋＋2＝，当且仅当＝时，等号成立，因为x＋y＝1，所以此时x＝，y＝，所以的最小值为，由题可得m2＋m>，解得m<－3或m>．
方法技巧21 基本不等式的实际应用
利用基本不等式解决实际问题的注意点
(1)设变量时，一般把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)解题时，一定要注意变量的实际意义对变量取值范围的影响．
(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用f (x)＝x＋(a＞0)的单调性．
(4)在实际问题中利用基本不等式求最值时，必须指明等号成立的条件．
【典例1】某水产公司拟在养殖室修建三个形状、大小完全相同的长方体育苗池，其平面图如图所示．每个育苗池的底面面积为200 m2，深度为2 m，育苗池的四周均设计为2 m宽的甬路．设育苗池底面的一条边长为x m(10≤x≤20)，甬路的面积为S m2．
(1)求S与x之间的函数关系式；
(2)已知育苗池四壁的造价为200元/m2，池底的造价为600元/m2，甬路的造价为100元/m2，若不考虑其他费用，求x为何值时，总造价最低，并求最低总造价．
【解析】(1)由题意可得每个育苗池底面的另一边长为 m，
则S＝(x＋4)－600＝8x＋＋32，10≤x≤20．
(2)设总造价为w元，则w＝200×2＋600×3×200＋100S
＝2 400x＋＋360 000＋800x＋＋3 200
＝3 200x＋＋363 200，10≤x≤20，
其中3 200x＋≥2＝96 000，
当且仅当3 200x＝，即x＝15∈时，等号成立，故w＝3 200x＋＋363 200≥459 200，
所以当x＝15 m时，总造价最低，最低总造价为459 200元．
【典例2】(2025·湖南长沙模拟)快递公司计划在某货运枢纽附近投资配建货物分拣中心．假定每月的土地租金成本与分拣中心到货运枢纽的距离成反比，每月的货物运输成本与分拣中心到货运枢纽的距离成正比．经测算，如果在距离货运枢纽10 km处配建分拣中心，则每月的土地租金成本和货物运输成本分别为2万元和8万元．要使得两项成本之和最小，分拣中心和货运枢纽的距离应设置为(　　)
A．5 km B．6 km
C．7 km D．8 km
【解析】设土地租金成本和货物运输成本分别为W1万元和W2万元，分拣中心和货运枢纽相距s km，
则W1＝，W2＝k2s，将s＝10，W1＝2，W2＝8代入可得k1＝20，k2＝，
所以W1＝，W2＝s，
故W1＋W2＝s≥2＝8，当且仅当s＝5时取等号．故选A．
方法技巧22 不含参的不等式的解法
1.解一元二次不等式的方法和步骤
2.一元高次不等式的解法，数轴穿根法：先因式分解再用穿根法，依据：从左至右，从上至下，依次穿根，奇过偶不过，注意x系数为正．
如(x－1)2(x－2)(x－3)>0在数轴上标根穿线，点1处的线过而不穿．
3.简单分式不等式的解法
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0)
4.绝对值不等式：
|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|0)的解集为(－a，a)．
记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间．
5.简单的指数与对数不等式的解法
(1)若a>1，af(x)>ag(x) f(x)>g(x)；
若0ag(x) f(x)(2)若a>1，logaf(x)>logag(x) f(x)>g(x)>0；
若0logag(x) 0【典例1】(多选)下列选项中，正确的是(　　)
A.不等式－x2－x＋2>0的解集为{x|x<－2或x>1}
B.不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2}
C.不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3}
D.设x∈R，则“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件
答案　BD
解析　由题知方程－x2－x＋2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式－x2－x＋2>0的解集为{x|－2因为 －1≤0，即≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤x<2，所以不等式的解集为{x|－3≤x<2}，故B正确；
由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1，
解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}，故C错误；
由|x－1|<1，可得－1【典例2】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）求下列不等式的解集：
(1)
(2)
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把分式不等式转化为整式不等式求解.
（2）利用“穿根法”解高次不等式.
（3）分情况讨论，去掉绝对值符号，解不等式.
【详解】（1）.
所以不等式的解集为：.
（2）由
所以，
由穿根法：
原不等式的解集为：.
（3）
当时，原不等式可化为：；
当时，原不等式可化为：，无解.
综上可知：原不等式的解集为：.
方法技巧23 含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式的步骤
【典例1】解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
【解析】　原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，
因为a>0，所以(x－1)<0．
所以当a>1时，解得当a＝1时，解集为 ；
当0综上，当0当a＝1时，不等式的解集为 ；
当a>1时，不等式的解集为．
【典例2】解关于x的不等式x2＋ax＋1＜0(a∈R)．
【解析】　Δ＝a2－4．
①当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，原不等式的解集为 ．
②当Δ＝a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时，方程x2＋ax＋1＝0的两根为x1＝，x2＝，
则原不等式的解集为．
综上所述，当－2≤a≤2时，原不等式的解集为 ；
当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为．
方法技巧24 根据一元二次不等式的解集求参数
已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负.
【典例1】(多选)(2025·蚌埠模拟)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(－∞，1)∪(5，＋∞)，则下列结论正确的是(　　)
A.a>0
B.a＋b＋c>0
C.bx＋c>0的解集是
D.cx2－bx＋a<0的解集是
答案　CD
解析　由题意可得1和5是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a<0，
由根与系数的关系可得1＋5＝－，1×5＝，得b＝－6a，c＝5a，
对于A，因为a<0，故A错误；
对于B，a＋b＋c＝a－6a＋5a＝0，故B错误；
对于C，不等式bx＋c>0，即－6ax＋5a>0，即6x－5>0，得x>，
所以不等式bx＋c>0的解集是，故C正确；
对于D，由不等式cx2－bx＋a<0，得a(5x2＋6x＋1)<0，即5x2＋6x＋1>0，
则(5x＋1)(x＋1)>0，得x>－或x<－1，
即解集为，故D正确.
【典例2】(多选)已知关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是(x1，x2)，则下列结论正确的是(　　)
A.x1＋x2＝2 B.x1x2<－3
C.－14
答案　ABD
解析　由题意得，a<0，且x1，x2是一元二次方程a(x＋1)(x－3)＋1＝0，即ax2－2ax＋1－3a＝0的两根，
所以x1＋x2＝－＝2，故A正确；
x1x2＝－3<－3，故B正确；
x2－x1＝＝2>4，故D正确；
由x2－x1>4，可得－1方法技巧25 根据一元二次不等式解集中整数的个数求参数
1.定开口与判别式
先确定二次项系数符号，判断抛物线开口方向；计算判别式，确定不等式有解的前提，保证解集为连续区间。
2.求根并标区间
解出对应一元二次方程的两根 ，结合不等号写出解集区间 或 ，只关注有限连续区间内的整数。
3.画数轴锁定整数
在数轴上标出区间端点，根据题目“整数解个数”，圈出所有符合条件的整数，确定端点必须夹在哪两个整数之间。
4.列不等式组求参数
根据区间端点与整数的位置关系，列出关于参数的不等式组，注意等号能否取到（端点是否包含整数），解出参数范围。
【典例1】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】D
【分析】由含参一元二次不等式的求解方法，对参数分类讨论得到结果.
【详解】，
①当时，明显不符合题意；
②当时，不等式的解集为，
由于不等式的解集中恰有三个整数，则整数为2，3，4，故；
③当时，不等式的解集为，
由于不等式的解集中恰有三个整数，则整数为0，，，故.
所以实数的取值范围为或.
故选：D.
【典例2】关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分类求出不等式的解集，再结合已知列出不等式求解得答案.
【详解】不等式，
当时，原不等式的解集为，
由解集中恰有4个整数，得，解得；
当时，原不等式的解集为，
由解集中恰有4个整数，得，解得，
所以实数m的取值范围是或.
故选：D
方法技巧26 一元二次不等式恒成立问题
恒成立问题求参数的取值范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的取值范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
(3)特别注意对二次项系数为0的讨论，因为不等式不一定为一元二次不等式．
【典例1】若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2]　　　　　 B．(－∞，－2)
C．(－2，2) D．(－2，2]
【解析】当a＝2时，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0可化为－4<0，恒成立；当a≠2时，要使关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切实数x恒成立，只需
解得－2【典例2】若不等式ax2－x＋a>0对任意的x∈(1，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围为________．
【解析】法一(函数法)：当a＝0时，原不等式可化为x<0，易知不合题意；当a≠0时，令f (x)＝ax2－x＋a，要满足题意，需或
解得a≥，所以实数a的取值范围是．
法二(分离变量法)：ax2－x＋a>0 ax2＋a>x a>．因为x∈(1，＋∞)，＝<，所以a≥．
【典例3】若 a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0恒成立，则实数x的取值范围为________．
【解析】(变更主元法)把不等式的左端看成关于a的函数，令g(a)＝ax2－2ax＋x＋3－a＝(x2－2x－1)a＋x＋3≥0，则由g(a)≥0对于任意的a∈[－1，3]恒成立，得即解得
所以实数x的取值范围为[－1，0]．
方法技巧27 一元二次方程根的分布问题
解决—元二次方程实根分布问题,需结合二次函数图像与性质分析。核心步骤：
（1）明确根的范围：用具体取值条件描述根的分布(如 "两根都大于 2"，"一根小于 1,一根大于 3"等)。
（2）转化为函数条件：设二次函数 ,根据根的范围列不等式组：
①开口方向( 的符号)；
②判别式 ,保证有实根) ;
③ 端点函数值符号(如根大于 时, 的符号结合开口方向判断)；
④ 对称轴位置
（3）联立求解：解不等式组得参数范围,验证边界情况。
通过图像直观分析,将根的分布转化为函数在特定取值下的符号及对称轴条件,可高效求解。
【典例1】若关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<1A.－
C.a<－ D.－答案　D
解析　方法一　显然a≠0；
令f(x)＝ax2＋(a＋2)x＋9a，
当a>0时，f(1)<0，当a<0时，f(1)>0，
故af(1)<0，即a(11a＋2)<0，
解得－方法二　因为方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
所以
因为x1<1所以(x1－1)(x2－1)<0，
即x1x2－(x1＋x2)＋1<0，
则9＋＋1<0，解得－【典例2】已知方程，在下列条件下，分别求的范围．
(1)有两个不同的正根；
(2)有两个不同的负根；
(3)一个根在内，另一个根在内；
(4)两个不同的根都大于；
(5)两个不同的根都小于1；
(6)一个根大于1，一个根小于1；
(7)两个不同的根都在内；
(8)有两个不同的根，有且仅有一个根在内；
(9)一个根小于2，一个根大于4；
(10)一个根在内，另一个根在内；
(11)一个正根，一个负根，且正根绝对值较大；
(12)在内无实根．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
【分析】利用二次函数根的分布情况逐项分析求解.
【详解】（1）对于方程，
两个不同的正根，且设两根分别为,，则，
即，解得.
故有两个不同的正根的范围为.
（2）两个不同的负根，且设两根分别为，，则，
即，解得.
故有两个不同的负根的范围为.
（3）令，一个根在内，另一个根在内，
则，即，解得.
故一个根在内，另一个根在内的范围为.
（4）两个不同的根都大于，则两根为，，
即，即，解得.
故两个不同的根都大于则的范围为.
（5）两个不同的根都小于1，则两根为，，
即，即，解得.
故两个不同的根都小于1，则的范围为.
（6）一个根大于1，一个根小于1，则得，解得；
故一个根大于1，一个根小于1，则的范围为.
（7）两个不同的根都在内，
即，即，解得，
故两个不同的根都在内，则的范围为.
（8）有两个不同的根，有且仅有一个根在内，
则，即，解得.
当时，方程两根为，符合，
故有两个不同的根，有且仅有一个根在内，则的范围为.
（9）一个根小于2，一个根大于4；
则，即，解得.
故一个根小于2，一个根大于4，则的范围为.
（10）一个根在内，另一个根在内；
则，即，解得.
故一个根在内，另一个根在内，则的范围为.
（11）一个正根，一个负根，且正根绝对值较大，
，即，解得.
故一个正根，一个负根，且正根绝对值较大，则的范围为.
（12）在内无实根：
即或或或，
即或或或，
解得或，
故在内无实根时，则的范围为.
方法技巧28 同一函数的判断
判断两个函数为同一个函数应注意的三点
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．
(2)函数是两个非空数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．
(3)在化简解析式时，必须是等价变形．
【典例1】下列各组函数相等的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】对于A中，函数的定义域为R，的定义域为，
所以定义域不同，不是相同的函数，故A错误；
对于B中，函数的定义域为R，的定义域为，
所以定义域不同，不是相同的函数，故B错误；
对于C中，函数的定义域为R，与的定义域为，
所以定义域不同，所以不是相同的函数,故C错误；
对于D中，函数与的定义域均为R，
可知两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数, 故D正确；
故选：D.
【典例2】（多选题）下列各项不能表示同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】ABD
【解析】对于A:定义域为，定义域为，A不能表示同一个函数,A选项正确；
对于B:与解析式不同，B不能表示同一个函数，B选项正确；
对于C:解析式及定义域都相同，C选项是同一函数，C选项不正确；
对于D:定义域为，定义域为，D不能表示同一个函数，D选项正确；
故选:ABD.
【典例3】与函数有相同图象的一个函数是（ ）
A． B．
C．，其中 D．，其中
【答案】D
【分析】选项A图象为折线判断错误；选项B图象上无原点判断错误；选项图象为无端点射线判断错误；选项D可化为与函数有相同图象判断正确.
【详解】选项A：，图象为折线.判断错误；
选项B：，图象上无原点.判断错误；
选项C：，图象为无端点射线.判断错误；
选项D：，与函数有相同图象.判断正确.
故选：D
方法技巧29 求函数的定义域
求函数的定义域的策略
(1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义．
(2)求抽象函数的定义域：
①若f (x)的定义域为[m，n]，则在f (g(x))中，由mg(x)n解得x的取值范围即为f (g(x))的定义域．
②若f (g(x))的定义域为[m，n]，则由mxn得到g(x)的取值范围，即为f (x)的定义域．
【典例1】已知函数y＝f (x)的定义域为[0，4]，则函数y＝＋(x－2)0的定义域是(　　)
A．(1，5]　　　　　 B．(1，2)∪(2，5)
C．(1，2)∪(2，3] D．(1，3]
【解析】因为函数y＝f (x)的定义域为[0，4]，函数y＝＋(x－2)0有意义，所以解得1所以函数y＝＋(x－2)0的定义域是(1，2)∪(2，3]．故选C．
【典例2】(2025广东东莞模拟)函数y＝＋的定义域为________．
【解析】由题意可得解得
即故函数y＝＋的定义域为．
【典例3】)(2025山东青岛模拟)若函数f (x)＝的定义域为R，则常数k的取值范围是(　　)
A．(0，4) B．[0，4)
C．[0，4] D．(0，4]
【解析】由函数f (x)＝的定义域为R，可得kx2＋kx＋1>0恒成立，
可得k＝0或解得0＜k<4，
综上，常数k的取值范围为[0，4)．故选B．
方法技巧30 求函数的值域
（1）观察法(有界函数）——“拼图”
第一步，观察函数中的特殊函数；
第二步，利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域．
（2）配方法
以二次函数的相关性质、图像为依托，利用数形结合思想求解某函数在给定区间的最值和值域问题。这种方法一般适用于形如的函数的值域和最值问题
第一步，将二次函数配方成；
第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域．（特别注意自变量的范围）
(注：配方法配的常数是一次项系数的一半的平方，对二次函数型值域问题，我们通常可以采用配方并结合图像的方法求解。）
图象法
通过数形结合方式，将图象投影到y轴上，看值域时，记得由下往上看。
（4）分离常数法（即是求值域的方法也是化简解析式的方法）
分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法：
主要的分式函数有：等
解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数。
第一步，观察函数类型，型如；
第二步，对函数变形成形式；
第三步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域．
（5）换元法
第一步，观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；
第二步，另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域．
如：函数，可以令，得到，函数
可以化为()，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．
（6）判别式法
第一步，观察函数解析式的形式，型如的函数；
第二步，将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数的取值范围，即得函数的值域．
（7）单调性法
第一步，求出函数的单调性；
第二步，利用函数的单调性求出函数的值域．
（8）基本不等式法
第一步 观察函数解析式的形式，型如或的函数；
第二步 对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域.
注意根据基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”
（9）导数法
先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域.
【典例1】函数的值域为__________
【答案】
【分析】根据二次函数的单调性直接求解即可.
【详解】为开口方向向上，对称轴为的抛物线，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，，
的值域为.
故答案为：.
【典例2】函数的值域为______．
【答案】
【分析】利用常数分离的方法得到，然后利用变量的取值范围进行求解即可．
【详解】由，
又，则，则，所以，
故函数的值域为．
故答案为：．
【典例3】函数的值域为______.
【答案】
【分析】利用换元法结合二次函数的性质求值域.
【详解】令，则，
可得：，
∵函数的对称轴为，
∴当时，函数取到最大值，
即函数的最大值为，故函数的值域为.
故答案为：.
【典例4】函数，的值域为 ．
【答案】
【解析】因为，整理得，
可知关于x的方程有正根，
若，则，解得，符合题意；
若，则，
可得或，
解得或且，则或或；
综上所述：或，
即函数，的值域为.
故答案为：.
【典例5】已知函数的值域为，则实数的取值范围为________．
【答案】
【分析】由于函数的值域为，则对数函数的真数要取遍所有正数，对分类讨论解不等式即可求出的范围.
【详解】令，
函数的值域为，
，要取遍所有正数.
当时，，符合题意，故可取；
当时，解得，
综上所述的取值范围是.
故答案为：．
方法技巧31 求函数的解析式
求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法．
(2)换元法：已知复合函数f (g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(3)配凑法：由已知条件f (g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f (x)的解析式，注意g(x)的取值范围．
(4)解方程组法：已知关于f (x)与f 或f (－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x)．
【典例1】求下列函数的解析式：
(1)已知f (1－sin x)＝cos2x，求f (x)的解析式；
(2)已知f ＝x2＋，求f (x)的解析式；
(3)已知f (x)是二次函数且f (0)＝2，f (x＋1)－f (x)＝x－1，求f (x)的解析式；
(4)已知f (x)满足2f (x)＋f (－x)＝3x，求f (x)的解析式．
【解析】　(1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0，2]，
则sin x＝1－t．
∵f (1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，
∴f (t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]．
即f (x)＝2x－x2，x∈[0，2]．
(2)(配凑法、换元法)∵f ＝x2＋＝－2，
令t＝x＋，当x＞0时，
t2＝2，当且仅当x＝1时取等号，
当x＜0时，t＝－－2，
当且仅当x＝－1时取等号，
∴f (t)＝t2－2，t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，
∴f (x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(3)(待定系数法)设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f (0)＝2，得c＝2，
f (x＋1)－f (x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，
所以即
所以f (x)＝x2－x＋2．
(4)(解方程组法)∵2f (x)＋f (－x)＝3x，①
令x＝－x代入①，
得2f (－x)＋f (x)＝－3x，②
由①②解得f (x)＝3x．
【典例2】(1)(易错题)已知f (＋1)＝x－2，则f (x)＝________．
(2)已知f (x)满足f (x)－2f ＝2x，则f (x)＝________．
(3)设函数f (x)是单调递增的一次函数，满足f (f (x))＝16x＋5，则f (x)＝________．
【解析】(1)法一(换元法)：令t＝＋1，则t1，x＝(t－1)2，
代入原式有f (t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，
所以f (x)＝x2－4x＋3(x1)．
法二(配凑法、换元法)：f (＋1)＝x＋2＋1－4－4＋3＝(＋1)2－4(＋1)＋3，
因为＋11，所以f (x)＝x2－4x＋3(x1)．
(2)因为f (x)－2f ＝2x，①
以代替①中的x，得f －2f (x)＝，②
①＋②×2得－3f (x)＝2x＋，
所以f (x)＝－x－．
(3)∵f (x)为单调递增的一次函数，∴设f (x)＝ax＋b，a>0，故f (f (x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，∴a2＝16，ab＋b＝5，解得a＝4，b＝1或a＝－4，b＝－(不合题意，舍去)，∴f (x)＝4x＋1．
方法技巧32 分段函数
分段函数的几类题型及解决方法
(1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参．
(2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值．
(3)涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解．
【典例1】(2025湖北武汉模拟)已知f (x)＝则f ＝(　　)
A．2 B．
C． D．1
【解析】函数f (x)＝
所以f ＝2f ＝2＝1．故选D．
【典例2】函数f (x)＝若实数a满足f (a)＝f (a－1)，则f ＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
【解析】由分段函数的定义知，f (x)的定义域是(－1，＋∞)，所以a>0．
①当0②当a1时，a－10，则f (a)＝f (a－1)可化为2a＝2(a－1)，方程无解．故选D．
【典例3】(2024湖北十一校一模)已知函数f (x)＝则关于x的不等式f (x)1的解集为________．
【解析】当x0时，f (x)＝x＋11得x0，所以x0．
当x>0时，f (x)＝ln (x＋1)1，得－1所以0【典例4】设函数则满足的x的取值范围是______．
【答案】
【分析】作出图象，由数形结合结合函数单调性列不等式求解即可.
【详解】函数的图象如图所示，
满足可得或.
解得.
故答案为：.
方法技巧33 确定函数的单调性(单调区间)
确定函数单调性的方法
(1)定义法：取值、作差、变形(因式分解、配方、有理化、通分等)、定号、下结论．
(2)性质法：同增异减，即内、外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数．
(3)图象法：如果f (x)是以图象形式给出的，或者f (x)的图象易画出，可由图象直观地判断函数单调性．
(4)导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性．
提醒：定义域先行，单调区间是定义域的子集．
【典例1】(2025浙江绍兴模拟)函数y＝ln (x2－2x)的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，0) D．(2，＋∞)
【解析】由y＝ln (x2－2x)，所以x2－2x>0，解得x<0或x>2，
所以函数y＝ln (x2－2x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，
令u＝x2－2x，则函数u＝x2－2x在(－∞，0)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，而函数y＝ln u在(0，＋∞)上单调递增，由复合函数单调性可得，y＝ln (x2－2x)的单调递减区间为(－∞，0)．故选C．
【典例2】(2024广东深圳三模)函数y＝|－x2＋4x＋5|的单调递增区间是________．
【解析】函数y＝|－x2＋4x＋5|＝
由|－x2＋4x＋5|＝0，解得x＝－1或x＝5，
函数y＝|－x2＋4x＋5|的图象如图所示，
由图可知，函数y＝|－x2＋4x＋5|的单调递增区间为[－1，2]，[5，＋∞)．
【典例3】试讨论函数f (x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性．
【解析】　法一(定义法)： x1，x2∈(－1，1)，且x1＜x2，
f (x)＝a＝a，
f (x1)－f (x2)＝a－a＝，由于－1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)，函数f (x)在(－1，1)上单调递减；
当a<0时，f (x1)－f (x2)<0，
即f (x1)法二(导数法)：f ′(x)＝
＝＝－．
当a>0时，f ′(x)<0，函数f (x)在(－1，1)上单调递减；
当a<0时，f ′(x)>0，函数f (x)在(－1，1)上单调递增．
法三：f (x)＝＝a＋，该函数的图象由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上(a＞0)或向下(a＜0)平移|a|个单位长度得到，图象略．故当a＞0时，f (x)在(－1，1)上单调递减；当a＜0时，f (x)在(－1，1)上单调递增．
方法技巧34 函数单调性的应用
函数单调性应用问题的解题策略
(1)比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)解与抽象函数有关的不等式，由条件脱去“f ”，转化为自变量间的大小关系，一般转化为不等式组，应注意等价转化和函数的定义域．
(3)利用单调性求参数的取值(范围)，根据函数的单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到函数图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值，在衔接点处需建立一个不等式．
【典例1】已知函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f (x2)－f (x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f ，b＝f (2)，c＝f (e)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
【解析】因为f (x)的图象关于直线x＝1对称，由此可得f ＝f ．当x2>x1>1时， [f (x2)－f (x1)](x2－x1)<0恒成立，可知f (x)在(1，＋∞)上单调递减．
因为1<2<f >f (e)，所以b>a>c．
【典例2】(2025广东佛山模拟)已知函数y＝f (x)在定义域(－1，3)上是增函数，且f (2a－1)A．(1，2) B．(－∞，1)
C．(0，1) D．(1，＋∞)
【解析】因为函数y＝f (x)在定义域(－1，3)上是增函数，且f (2a－1)则解得0【典例3】(2024新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B．[－1，0]
C．[－1，1] D．[0，＋∞)
【解析】因为f (x)在R上单调递增，且x0时，f (x)＝ex＋ln (x＋1)单调递增，
则需满足解得－1a0，
即a的取值范围是[－1，0]．故选B．
【典例4】设f (x)是定义在R上的增函数，且f (xy)＝f (x)＋f (y)，f (3)＝1，则不等式f (x)＋f (－2)＞1的解集为________．
【解析】由已知条件可得f (x)＋f (－2)＝f (－2x)，又f (3)＝1．∴不等式f (x)＋f (－2)＞1可化为f (－2x)＞f (3)．∵f (x)是定义在R上的增函数，∴－2x＞3，解得x＜－．∴不等式的解集为．
方法技巧35 求函数的最值
求函数最值的五种常用方法
【典例1】(2024湖南湘东名校期中)已知函数f (x)＝2x2－1，g(x)＝ax，x∈R，用M(x)表示f (x)，g(x)中的较大者，记为M(x)＝max{f (x)，g(x)}，若M(x)的最小值为－，则实数a的值为(　　)
A．0 B．±1
C．± D．±2
【解析】函数f (x)＝2x2－1，g(x)＝ax，x∈R，根据题意，当a＞0时，函数M(x)的图象如图所示，
由图象可知，在点A处取得最小值，为－，
故2x2－1＝－，解得x＝±，
由图象可知x＝－，将点代入g(x)＝ax得－a＝－，解得a＝1．
同理如果a＜0，则2x2－1＝－，解得x＝±，∴x＝，将点代入g(x)＝ax得a＝－，解得a＝－1．当a＝0时，M(x)的最小值为0，不符合题意．综上所述：a＝±1．故选B．
【典例2】（2024·广东茂名·高三统考阶段练习）设函数若存在最小值，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数和二次函数的单调性，分类讨论进行求解即可.
【详解】若时，，；
若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值；
若时，时，单调递减，，当时，，若函数有最小值，需或，解得.
故选：B
【典例3】（2025高二·宁夏石嘴山·阶段练习）若函数在区间上的最大值为3，则实数（ ）
A． B．1 C．3 D．
【答案】C
【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可.
【解析】函数，
当时，在上单调递减，最大值为；
当时，在上单调递增，最大值为，解得，不合题意，
所以实数.
故选：C
方法技巧36 函数奇偶性的判断
判断函数奇偶性的两个必备条件及方法
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先判断函数的定义域是不是关于原点对称；
(2)判断f (x)与f (－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x)＋f (－x)＝0(奇函数)或f (x)－f (－x)＝0(偶函数))是否成立．
(3)判断函数奇偶性的方法：①定义法；②图象法．
【典例1】判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x)＝；
(2)f (x)＝(1＋x)；
(3)f (x)＝
(4)f (x)＝log2(x＋)．
【解析】　(1)由得x2＝3，解得x＝±，
即函数f (x)的定义域为{－}，
从而f (x)＝＝0．
因此f (－x)＝－f (x)且f (－x)＝f (x)，
∴函数f (x)既是奇函数又是偶函数．
(2)函数f (x)＝(1＋x)的定义域满足0，则
由于定义域不关于原点对称，故f (x)既不是奇函数也不是偶函数．
(3)函数f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
∵当x<0时，－x>0，
则f (－x)＝(－x)2＋x＝x2＋x＝f (x)；
当x>0时，－x<0，
则f (－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f (x)；
综上可知：对于定义域内的任意x，总有f (－x)＝f (x)成立，∴函数f (x)为偶函数．
(4)显然函数f (x)的定义域为R，
f (－x)＝log2[－x＋]＝log2(－x)＝log2(＋x)-1＝－log2(＋x)＝－f (x)，故f (x)为奇函数．
【典例2】已知函数f (x)对任意x，y∈R，都有f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋2，则函数f (x)＋2为________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)
【解析】由题意得函数f (x)的定义域为R，定义域关于原点对称，
令x＝y＝0，则f (0)＝f (0)＋f (0)＋2，故f (0)＝－2．
令y＝－x，则f (0)＝f (x)＋f (－x)＋2，故f (x)＋2＝－f (－x)－2＝－[f (－x)＋2]．
故f (x)＋2为奇函数．
方法技巧37 函数奇偶性的应用
1.求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值．
2.(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数值或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合图象直观求解相关问题．
【典例1】(2023新高考Ⅱ卷)若f (x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a＝(　　)
A．－1 B．0
C． D．1
【解析】法一：由＞0，得x＞或x＜－，
∵f (x)是偶函数，∴f (－x)＝f (x)，
∴(－x＋a)ln ＝(x＋a)ln ，
又(－x＋a)ln ＝(－x＋a)ln ，
∴(x－a)ln ＝(x＋a)ln ，
∴x－a＝x＋a，得－a＝a，得a＝0．
故选B．
法二：因为f (x)＝(x＋a)ln 为偶函数，f (－1)＝(a－1)ln 3，f (1)＝(a＋1)ln ＝－(a＋1)ln 3，所以(a－1)ln 3＝－(a＋1)ln 3，解得a＝0．故选B．
【典例2】(2024山西大学附中期中)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f (x)＝x3＋x＋1，则f (x)在R上的解析式为________．
【解析】因为函数f (x)是定义在R上的奇函数，则f (0)＝0．
当x<0时，则－x>0，可得f (x)＝－f (－x)＝－[(－x)3＋(－x)＋1]＝x3＋x－1，
所以f (x)＝
【典例3】(2025湖南师大附中模拟)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，f (x)在[0，＋∞)上单调递减，且f (3)＝0，则不等式(2x－5)f (x－1)＜0的解集为(　　)
A．(－∞，－2)∪ B．(4，＋∞)
C．∪(4，＋∞) D．(－∞，－2)
【解析】依题意，函数的大致图象如图：
因为f (x)是定义在R上的偶函数，在[0，＋∞)上单调递减，且f (3)＝0，
所以f (x)在(－∞，0]上单调递增，且f (－3)＝0，
则当x＞3或x＜－3时，f (x)＜0；当－3＜x＜3时，f (x)＞0，
不等式(2x－5)f (x－1)＜0化为或所以或或解得x＞4或x∈ 或－2＜x＜，即－2＜x＜或x＞4，
即原不等式的解集为∪(4，＋∞)．故选C．
方法技巧38 函数的周期性
利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题；利用函数的周期性，能实现自变量的转移，把自变量大化小．
【典例1】(2025福建三明期中)若偶函数f (x)满足f (x＋2)＋f (x)＝0，当x∈(0，1)时，f (x)＝＋1，则f ＝(　　)
A．2 B．
C． D．
【解析】由已知可得f (x＋2)＋f (x)＝0 f (x＋4)＋f (x＋2)＝0 f (x＋4)＝f (x)，
即T＝4是函数f (x)的一个周期，
所以f ＝f ＝f ＝＋1＝．故选C．
【典例2】定义在R上的函数f 满足f ＝f －2，则下列函数中是周期函数的是(　　)
A．y＝f －x B．y＝f ＋x
C．y＝f －2x D．y＝f ＋2x
【解析】依题意，定义在R上的函数f (x)满足f (x＋1)＝f (x)－2，所以f (x＋1)＋2(x＋1)＝f (x)＋2x，所以y＝f (x)＋2x是周期为1的周期函数．故选D．
【典例3】已知是定义在上周期为的函数，当时，，那么当时， ______.
【答案】
【详解】解：因为当时，,是定义在上周期为的函数
所以，，
故答案为：
方法技巧39 轴对称问题
轴对称的几种表述形式
(1)函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称 f (x)＝f (2a－x) f (a－x)＝f (a＋x)；
(2)若函数y＝f (x)满足f (a＋x)＝f (b－x)，则y＝f (x)的图象关于直线x＝对称．
【典例1】已知函数f (x)＝3|x－a|＋2，且满足f (5＋x)＝f (3－x)，则f (6)＝(　　)
A．29 B．11
C．3 D．5
【解析】因为f (5＋x)＝f (3－x)，所以f (x)的图象关于直线x＝4对称，而f (x)＝3|x－a|＋2的图象关于直线x＝a对称，
所以a＝4，f (6)＝3|6-4|＋2＝11．
故选B．
【典例2】已知函数f (x)(x∈R)满足f (x)＝f (4－x)，若y＝|x－2|与y＝f (x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，则x1＋x2＋x3＋x4＝(　　)
A．－4 B．0
C．4 D．8
【解析】由f (x)＝f (4－x)可知y＝f (x)的图象关于直线x＝2对称，y＝|x－2|的图象关于直线x＝2对称，
所以x1＋x2＋x3＋x4＝4×2＝8．
方法技巧40 中心对称问题
中心对称的几种表述形式
(1)函数y＝f (x)的图象关于点(a，b)对称 f (a＋x)＋f (a－x)＝2b 2b－f (x)＝f (2a－x)；若函数y＝f (x)满足f (a＋x)＋f (b－x)＝c，则y＝f (x)的图象关于点对称．
(2)双曲线型函数f (x)＝的图象的对称中心为．
【典例1】(2024河北重点中学二模)已知函数y＝f (x－1)为奇函数，则函数y＝f (x)＋1的图象(　　)
A．关于点(1，1)对称 B．关于点(1，－1)对称
C．关于点(－1，1)对称 D．关于点(－1，－1)对称
【解析】函数y＝f (x－1)为奇函数，图象关于(0，0)对称，将函数y＝f (x－1)的图象向左平移一个单位长度可得函数y＝f (x)的图象，则函数y＝f (x)的图象关于(－1，0)对称，
所以函数y＝f (x)＋1的图象关于(－1，1)对称．故选C．
【典例2】(2024四川泸州三模)已知函数f (x)(x∈R)满足f (x)＋f (4－x)＝0，若函数f (x)与y＝图象的交点的横坐标分别为x1，x2，…，xn，则＝(　　)
A．4n B．2n
C．n D．0
【解析】因为f (x)＋f (4－x)＝0，所以f (2＋x)＋f (2－x)＝0，
所以函数的图象关于(2，0)对称，又函数y＝的图象关于(2，0)对称，则y＝f (x)与y＝的图象的交点应为偶数个，且关于(2，0)对称，所以＝4×＝2n．故选B．
方法技巧41 两函数图象间的对称问题
函数y＝f (a＋x)的图象与函数y＝f (b－x)的图象关于直线x＝对称．
【典例1】(2025江苏扬州模拟)定义在R上的函数y＝f (x)和y＝g(x)的图象关于y轴对称，且函数y＝f (x－2)＋1是奇函数，则函数y＝g(x)图象的对称中心为(　　)
A．(2，1) B．(－2，－1)
C．(－2，1) D．(2，－1)
【解析】由题意得函数y＝f (x－2)＋1是奇函数，则y＝f (x)的图象关于(－2，－1)对称，另知函数y＝f (x)和y＝g(x)的图象关于y轴对称，故y＝g(x)的图象关于(2，－1)对称．故选D．
【典例2】设函数y＝f (x)的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，若f (3)＋f (9)＝1，则实数m的值为________．
【解析】∵函数y＝f (x)的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，∴x＝log3y－m，
∴f ＝log3x－m，
∴f ＋f ＝1－m＋2－m＝1，∴m＝1．
方法技巧42 幂函数的图象及性质
与幂函数有关问题的解题思路
(1)关于幂函数y＝xα，若α∈Z且函数是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将xα先化为根式，再分析函数的性质．
(2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0．
(3)在比较幂值的大小时，结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
【典例1】已知a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．bC．b【解析】a＝＝，b＝＝，c＝，幂函数y＝在R上单调递增，a【典例2】幂函数f (x)＝(m2－3m－3)xm在区间(0，＋∞)上单调递减，则下列说法正确的是(　　)
A．m＝4 B．f (x)是减函数
C．f (x)是奇函数 D．f (x)是偶函数
【解析】函数f (x)＝(m2－3m－3)xm为幂函数，则m2－3m－3＝1，解得m＝4或m＝－1．
当m＝4时，f (x)＝x4在区间(0，＋∞)上单调递增，不满足条件，A错误；
当m＝－1时，f (x)＝x-1在区间(0，＋∞)上单调递减，满足题意．
函数f (x)＝x-1在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，但不是减函数，B错误；
因为函数定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，且f (－x)＝＝－f (x)，所以函数f (x)是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误．故选C．
【典例3】如图所示是函数y＝(m，n∈N*且互质)的图象，则(　　)
A．m，n是奇数且<1
B．m是偶数，n是奇数，且<1
C．m是偶数，n是奇数，且>1
D．m，n是偶数，且>1
【解析】由题干图象可看出y＝为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故∈(0，1)且m为偶数，又m，n∈N*且互质，故n是奇数．故选B．
方法技巧43 二次函数的图象与解析式
研究二次函数图象及解析式应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取零点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．
【典例1】已知二次函数f (x)满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x)的最大值是8，则f (x)＝________．
【解析】法一(利用“一般式”)：
设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得 解得
所以所求二次函数的解析式为f (x)＝－4x2＋4x＋7．
法二(利用“顶点式”)：
设f (x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
因为f (2)＝f (－1)，
所以抛物线的对称轴为x＝＝，
所以m＝．
又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，
所以f (x)＝a＋8．
因为f (2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，
所以f (x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7．
法三(利用“零点式”)：
由已知f (x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f (x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f (x)＝ax2－ax－2a－1．
又函数有最大值8，
即＝8．
解得a＝－4或a＝0(舍)．
故所求函数的解析式为f (x)＝－4x2＋4x＋7．
【典例2】(多选)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，则(　　)
A．b2＞4ac B．2a－b＝1
C．a－b＋c＝0 D．5a＜b
【解析】在题图中，二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确；图象的对称轴为直线x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，B错误；结合题图，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；由图象的对称轴为x＝－1知，b＝2a．根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确．
方法技巧44 二次函数的单调性与最值
二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
【典例1】(2024山东济南期中)已知函数y＝的定义域与值域均为[0，1]，则实数a的取值为(　　)
A．－4 B．－2
C．1 D．－1
【解析】依题意，y＝ax2＋bx＋c的值域为[0，1]，且ax2＋bx＋c0的解集为[0，1]，
故函数的图象开口向下，a<0，
则方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x＝0或1，
则c＝0，－＝，即a＝－b，
则y＝ax2＋bx＋c＝ax2－ax＝a－，
当x＝时，y＝a－取得最大值，为1，
即－＝1，解得a＝－4．故选A．
【典例2】(2024江苏常州期中)已知二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，恒有f (x＋1)－f (x)＝2x＋2，f (0)＝－2．
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)设g(x)＝f (x)－mx，若函数g(x)在区间[1，2]上的最大值为3，求实数m的值；
(3)若h(x)＝[f (x)－x2＋2]|x－a|，a∈R，若函数h(x)在[－2，2]上是单调函数，求a的取值范围．
【解析】　(1)由f (x＋1)－f (x)＝2x＋2，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－ax2－bx－c＝2x＋2，
则2ax＋a＋b＝2x＋2，所以2a＝2且a＋b＝2，解得a＝1，b＝1，
又f (0)＝－2，则c＝－2，故f (x)＝x2＋x－2．
(2)g(x)＝f (x)－mx＝x2＋(1－m)x－2，其图象的对称轴为x＝，
当<，即m＜4时，g(x)max＝g(2)＝－2m＋4＝3，解得m＝；
当＝，即m＝4时，g(x)max＝g(1)＝g(2)＝－m＝－2m＋4＝3，解得m∈ ；
当>，即m>4时，g(x)max＝g(1)＝－m＝3，解得m＝－3(舍)，
综上，m＝．
(3)h(x)＝[f (x)－x2＋2]＝x＝
当a＝0时，h(x)在R上单调递增，符合题意；
当a>0时，则则解得a4；
当a<0时，>a，则函数h(x)在(－∞，a)，上单调递增，在上单调递减，
则解得a－4，
综上所述，a的取值范围为a＝0或a4或a－4．
方法技巧45 指数幂的运算
指数幂运算的一般原则
(1)将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数．
(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式要求统一．
【典例1】(2025湖南长沙模拟)计算－(－1)0＋＝________．
【解析】＋－(－1)0＋＝＋－1＋＝－4＋3－1＋＝－．
【典例2】(多选)下列计算正确的是(　　)
A．＝
B． ( )÷( )＝－9a(a>0，b>0)
C．＝
D．已知x2＋x-2＝2，则x＋x-1＝2
【解析】对于A，＝＝＝＝，所以A错误；
对于B， ( )÷( )＝－9＝－9a(a>0，b>0)，所以B正确；
对于C，＝＝＝＝，所以C正确；
对于D，因为(x＋x-1)2＝x2＋2＋x-2＝4，所以x＋x-1＝±2，所以D错误．
方法技巧46 指数函数的图象及应用
(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(2)掌握函数y＝f (|x|)，y＝f (x)，y＝|f (x)|的图象之间的变换与联系．
(3)定点与渐近线是作图的关键．
【典例1】(多选)(2025山西晋中模拟)在同一平面直角坐标系中，函数y＝x2＋ax＋a－1与y＝ax的图象可能是(　　)
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
【解析】当a>1时，对应的图象可能为选项A；当0【典例2】若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则实数b的取值范围是________．
【解析】曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b如图所示，由图象可得：如果曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]．
方法技巧47 比较指数式的大小
【典例1】(2023天津高考)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c＞a＞b B．c＞b＞a
C．a＞b＞c D．b＞a＞c
【解析】由y＝1.01x在R上单调递增，则a＝1.010.5＜b＝1.010.6，
由y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增，则a＝1.010.5＞c＝0.60.5．所以b＞a＞c．故选D．
【典例2】若2x＋5y2－y＋5－x，则有(　　)
A．x＋y0 B．x＋y0
C．x－y0 D．x－y0
【解析】设函数f (x)＝2x－5－x，易知f (x)为增函数．
又f (－y)＝2－y－5y，由已知得f (x)f (－y)，所以x－y，所以x＋y0．故选B
方法技巧48 解简单的指数方程或不等式
指数方程或不等式的解法
（1）解指数方程或不等式的依据：①af（x）＝ag（x） f（x）＝g（x）；②af（x）＞ag（x），当a＞1时，等价于f（x）＞g（x）；当0＜a＜1时，等价于f（x）＜g（x）；
（2）解指数方程或不等式的方法：先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解.
【典例1】(2024江苏宿迁一模)已知函数f (x)＝2x－3－x，则不等式f (x2)A．(－1，3)
B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3，1)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
【解析】函数f (x)的定义域为R，函数y＝2x，y＝3－x分别是R上的增函数和减函数，因此函数f (x)＝2x－3－x是R上的增函数，由f (x2)【典例2】已知实数a≠1，函数f (x)＝若f (1－a)＝f (a－1)，则a的值为________．
【解析】当a<1时，41-a＝21，解得a＝；
当a>1时，2a－(1-a)＝4a-1无解，故a的值为．
方法技巧49 指数函数性质的综合应用
(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
【典例1】(多选)(2024浙江温州期末)已知函数f (x)＝，则(　　)
A．不等式<的解集是(－1，1)
B． x∈R，都有f (－x)＝f (x)
C．f (x)是R上的减函数
D．f (x)的值域为(－1，1)
【解析】对于A，f (x)＝＝1－，由<，得－＜1－＜，即<<，
得<2x＋1<3，解得－1对于B，f (－x)＝1－＝1－≠f (x)，故B错误；
对于C，f (1)＝1－＝<＝1－＝f (2)，所以f (x)在R上单调递减不成立，故C错误；
对于D，由0<<2知－1<高考数学方法技巧全归纳（272）
目录
方法技巧01 集合的概念 1
方法技巧02 集合间的基本关系 1
方法技巧03 集合的运算 1
方法技巧04 Venn图的应用及创新性问题 2
方法技巧05 充分、必要条件的判定 2
方法技巧06 充分、必要条件的探求 3
方法技巧07 充分、必要条件的应用 4
方法技巧08 含量词命题的否定 4
方法技巧09 含量词命题的真假判断 5
方法技巧10 含量词命题的应用 5
方法技巧11 数(式)的大小比较 6
方法技巧12 不等式的性质 6
方法技巧13 不等式性质的应用 7
方法技巧14 直接用基本不等式求和或积的最值 7
方法技巧15 配凑法求最值 8
方法技巧16 常数代换法求最值 8
方法技巧17 消元法求最值 9
方法技巧18 不等式法求最值 9
方法技巧19 多次运用基本不等式 10
方法技巧20 利用基本不等式求参数的值或范围 10
方法技巧21 基本不等式的实际应用 11
方法技巧22 不含参的不等式的解法 12
方法技巧23 含参数的一元二次不等式的解法 13
方法技巧24 根据一元二次不等式的解集求参数 13
方法技巧25 根据一元二次不等式解集中整数的个数求参数 14
方法技巧26 一元二次不等式恒成立问题 15
方法技巧27 一元二次方程根的分布问题 15
方法技巧28 同一函数的判断 16
方法技巧29 求函数的定义域 17
方法技巧30 求函数的值域 17
方法技巧31 求函数的解析式 20
方法技巧32 分段函数 20
方法技巧33 确定函数的单调性(单调区间) 21
方法技巧34 函数单调性的应用 21
方法技巧35 求函数的最值 22
方法技巧36 函数奇偶性的判断 23
方法技巧37 函数奇偶性的应用 24
方法技巧38 函数的周期性 25
方法技巧39 轴对称问题 25
方法技巧40 中心对称问题 26
方法技巧41 两函数图象间的对称问题 26
方法技巧42 幂函数的图象及性质 26
方法技巧43 二次函数的图象与解析式 27
方法技巧44 二次函数的单调性与最值 28
方法技巧45 指数幂的运算 28
方法技巧46 指数函数的图象及应用 29
方法技巧47 比较指数式的大小 29
方法技巧48 解简单的指数方程或不等式 30
方法技巧49 指数函数性质的综合应用 30
方法技巧50 对数的运算 31
方法技巧51 对数函数的图象及应用 31
方法技巧52 对数函数的性质及应用 32
方法技巧53 函数图象的辨识 33
方法技巧54 函数图象的应用 34
方法技巧55 判定函数零点所在的区间 34
方法技巧56 确定函数零点的个数 35
方法技巧57 根据函数零点个数求参数 35
方法技巧58 根据函数零点范围求参数 36
方法技巧59 用函数图象刻画实际问题 36
方法技巧60 已知函数模型的实际问题 37
方法技巧61 构建函数模型的实际问题 38
方法技巧62 变化率问题 39
方法技巧63 导数的运算 40
方法技巧64 导数几何意义的应用 41
方法技巧65 两曲线的公切线问题 42
方法技巧66 导函数与原函数性质关系问题 42
方法技巧67 不含参数的函数的单调性 43
方法技巧68 含参数的函数的单调性 43
方法技巧69 函数单调性的应用 44
方法技巧70 根据函数的图象判断函数的极值 45
方法技巧71 求已知函数的极值 46
方法技巧72 已知函数的极值(点)求参数 46
方法技巧73 利用导数研究函数的最值 47
方法技巧74 导数型构造函数 47
方法技巧75 依据数值特征构造具体函数 48
方法技巧76 地位同等同构 49
方法技巧77 指对混合型的同构 49
方法技巧78 移项构造法证明不等式 50
方法技巧79 分拆构造双函数法证明不等式 51
方法技巧80 放缩法证明不等式 51
方法技巧81 端点效应 52
方法技巧82 洛必达法则 53
方法技巧83 单变量不等式恒成立问题 54
方法技巧84 单变量不等式能成立问题 54
方法技巧85 双变量不等式恒(能)成立问题 55
方法技巧86 数形结合法探究函数零点问题 55
方法技巧87 借助函数的性质探究函数的零点问题 55
方法技巧88 构造函数法研究函数零点 56
方法技巧89 隐零点问题 56
方法技巧90 极值点偏移问题 57
方法技巧91 任意角 58
方法技巧92 扇形的弧长及面积公式 59
方法技巧93 三角函数的概念及应用 59
方法技巧94 同角三角函数的基本关系“知一求二”问题 60
方法技巧95 正余弦齐次式的计算 60
方法技巧96 sinα±cosα和sinαcosα之间的关系 61
方法技巧97 诱导公式的应用 62
方法技巧98 和、差、倍角公式的直接应用 62
方法技巧99 和差角公式的逆用与变形 63
方法技巧100 角的变换问题 63
方法技巧101 三角函数式的求值 64
方法技巧102 三角函数的定义域和值域 64
方法技巧103 三角函数的周期性、对称性与奇偶性 65
方法技巧104 求三角函数的单调区间 66
方法技巧105 根据三角函数的单调性求参数 66
方法技巧106 比较三角函数值的大小 67
方法技巧107 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换 67
方法技巧108 由图象确定三角函数的解析式 68
方法技巧109 三角函数图象与性质的综合应用 69
方法技巧110 三角函数模型的应用 70
方法技巧111 三角函数中ω的范围问题 71
方法技巧112 复杂三角函数性质判断 72
方法技巧113 利用正、余弦定理解三角形 73
方法技巧114 判断三角形的形状 73
方法技巧115 三角形面积的计算 74
方法技巧116 三角形的中线问题 75
方法技巧117 三角形的角平分线问题 75
方法技巧118 三角形的高线问题 76
方法技巧119 已知三角形的一角求取值范围 76
方法技巧120 已知三角形的一角及其对边求取值范围 76
方法技巧121 已知三角形的一角及其邻边求取值范围 77
方法技巧122 已知三角形中角(或边)的关系求取值范围 77
方法技巧123 测量距离问题 78
方法技巧124 测量高度问题 78
方法技巧125 测量角度问题 79
方法技巧126 和差正切公式在解三角形的应用 80
方法技巧127 平面向量的概念 81
方法技巧128 平面向量的线性运算 81
方法技巧129 向量共线定理的应用 82
方法技巧130 平面向量基本定理的应用 83
方法技巧131 平面向量的坐标运算 84
方法技巧132 向量共线的坐标表示 85
方法技巧133 平面向量数量积的运算 85
方法技巧134 平面向量数量积的应用 86
方法技巧135 平面向量的应用 87
方法技巧136 极化恒等式求数量积 88
方法技巧137 极化恒等式求数量积的最值 89
方法技巧138 复数的有关概念 89
方法技巧139 复数的四则运算 90
方法技巧140 复数的几何意义 90
方法技巧141 由an与Sn的关系求通项公式 91
方法技巧142 由数列的递推关系求通项公式 92
方法技巧143 数列的周期性 92
方法技巧144 数列的单调性 93
方法技巧145 数列的最值 93
方法技巧146 等差数列基本量的运算 94
方法技巧147 等差数列的判定与证明 94
方法技巧148 等差数列性质的应用 95
方法技巧149 等差数列的前n项和及其最值 96
方法技巧150 等比数列基本量的运算 96
方法技巧151 等比数列的判定与证明 97
方法技巧152 等比数列性质的应用 98
方法技巧153 分组求和与并项求和 99
方法技巧154 裂项相消法求和 99
方法技巧155 错位相减法求和 100
方法技巧156 数列模型的应用 101
方法技巧157 数列中的不等式证明 102
方法技巧158 数列中的不等式恒成立 102
方法技巧159 数列奇偶项问题 103
方法技巧160 数列增减项问题 103
方法技巧161 数列新情境、新定义问题 104
方法技巧162 基本立体图形结构特征 104
方法技巧163 空间几何体的直观图 105
方法技巧164 空间几何体的展开图 105
方法技巧165 空间几何体的表面积与体积 106
方法技巧166 简单几何体的外接球 107
方法技巧167 简单几何体的内切球 108
方法技巧168 与球有关的截面问题 109
方法技巧169 基本事实的应用 110
方法技巧170 空间两直线位置关系的判定 110
方法技巧171 异面直线所成的角 111
方法技巧172 空间几何体的截面、截线问题 112
方法技巧173 截面分割体积比问题 113
方法技巧174 直线与平面平行的判定 114
方法技巧175 线面平行性质定理的应用 115
方法技巧176 平面与平面平行的判定与性质 116
方法技巧177 平行关系的综合应用 117
方法技巧178 直线与平面垂直的判定与性质 118
方法技巧179 平面与平面垂直的判定与性质 118
方法技巧180 垂直关系的综合应用 119
方法技巧181 三垂线定理及其逆定理 120
方法技巧182 空间向量的线性运算 121
方法技巧183 空间向量数量积的应用 122
方法技巧184 利用向量证明平行与垂直 123
方法技巧185 异面直线所成的角 124
方法技巧186 直线与平面所成的角 125
方法技巧187 平面与平面的夹角 127
方法技巧188 求空间距离 128
方法技巧189 立体几何中的探索性问题 129
方法技巧190 立体几何中的翻折问题 130
方法技巧191 动态空间位置关系的判定 131
方法技巧192 立体几何轨迹问题 132
方法技巧193 立体几何最值(范围)问题 133
方法技巧194 直线的倾斜角与斜率 134
方法技巧195 直线方程的求法 134
方法技巧196 直线方程的综合应用 135
方法技巧197 两条直线位置关系的判断及应用 135
方法技巧198 两条直线的交点与距离问题 136
方法技巧199 直线的对称问题 137
方法技巧200 圆的方程 138
方法技巧201 与圆有关的最值问题 138
方法技巧202 与圆有关的轨迹问题 139
方法技巧203 直线与圆的位置关系 140
方法技巧204 圆与圆的位置关系 141
方法技巧205 圆的切线问题 142
方法技巧206 圆的弦长问题 143
方法技巧207 与圆有关的综合问题 143
方法技巧208 椭圆的定义及应用 144
方法技巧209 椭圆的标准方程 144
方法技巧210 椭圆的简单几何性质 145
方法技巧211 椭圆的离心率问题 146
方法技巧212 与椭圆有关的最值(范围)问题 147
方法技巧213 椭圆的蒙日圆及其性质 147
方法技巧214 直线与椭圆的位置关系 148
方法技巧215 椭圆的弦长问题 149
方法技巧216 椭圆的中点弦问题 149
方法技巧217 直线与椭圆的综合问题 150
方法技巧218 圆锥曲线的非对称韦达问题 151
方法技巧219 双曲线的定义及其应用 151
方法技巧220 双曲线的标准方程 152
方法技巧221 双曲线的渐近线 153
方法技巧222 双曲线的离心率 154
方法技巧223 与双曲线有关的最值、范围问题 154
方法技巧224 直线与双曲线的位置关系 155
方法技巧225 抛物线动点轨迹的判定 156
方法技巧226 抛物线上的点到定点的距离及最值 156
方法技巧227 抛物线的标准方程与几何性质 157
方法技巧228 直线与抛物线的位置关系 157
方法技巧229 抛物线中的阿基米德三角形 158
方法技巧230 圆锥曲线中的四点共圆问题 159
方法技巧231 圆锥曲线中的定点问题 160
方法技巧232 圆锥曲线的定值问题 161
方法技巧233 圆锥曲线的定直线问题 162
方法技巧234 圆锥曲线的等角定理 163
方法技巧235 圆锥曲线中的范围、最值问题 164
方法技巧236 圆锥曲线中的证明、探索性问题 166
方法技巧237 圆锥曲线的极点、极线 167
方法技巧238 两个计数原理及综合应用 170
方法技巧239 排列、组合问题 171
方法技巧240 分组、分配问题 172
方法技巧241 二项展开式的通项公式的应用 173
方法技巧242 二项式系数和与系数和 173
方法技巧243 二项式系数与系数最值 174
方法技巧244 二项式定理的应用 175
方法技巧245 随机事件与样本空间 175
方法技巧246 随机事件的频率与概率 176
方法技巧247 古典概型 177
方法技巧248 事件的相互独立性 178
方法技巧249 条件概率 179
方法技巧250 全概率公式的应用 180
方法技巧251 离散型随机变量分布列的性质 180
方法技巧252 离散型随机变量的分布列及数字特征 181
方法技巧253 离散型随机变量数字特征在决策中的应用 183
方法技巧254 二项分布的期望 184
方法技巧255 二项分布的性质 185
方法技巧256 超几何分布 187
方法技巧257 正态分布 188
方法技巧258 二项分布与超几何分布的区别 190
方法技巧259 简单随机抽样 191
方法技巧260 分层随机抽样 191
方法技巧261 分层随机抽样的均值与方差 192
方法技巧262 统计图表 193
方法技巧263 总体百分位数的估计 196
方法技巧264 总体集中趋势的估计 197
方法技巧265 总体离散程度的估计 198
方法技巧266 成对数据的相关性 199
方法技巧267 一元线性回归模型 200
方法技巧268 非线性回归模型 202
方法技巧269 独立性检验 204
方法技巧270 以统计图表为载体的概率、统计问题 206
方法技巧271 概率、统计与数列的综合问题 208
方法技巧272 概率、统计与函数的交汇问题 209
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方法技巧01 集合的概念
解决集合含义问题的注意点
一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
【典例1】(2025·广东深圳中学模拟)设集合A＝{2，a2－a＋2，1－a}，若4∈A，则a的值为(　　)
A．－1，2 B．－3
C．－1，－3，2 D．－3，2
【典例2】(2024·江苏南京二模)已知集合A＝{1，2，4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合B的元素个数为________．
方法技巧02 集合间的基本关系
已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等直观表示解决这类问题的过程，特别注意端点值的取舍，“＝”加不加．
提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．
【典例1】(2024·江苏南通三模)已知集合M＝，N＝，则(　　)
A．M N B．N M
C．M＝N D．M∩N＝
【典例2】已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B A，则实数m的取值范围是________．
方法技巧03 集合的运算
解决集合运算问题的注意点
(1)看元素构成，集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值．
(2)对集合进行化简，即解不等式，解方程，求定义域、值域等，通过化简可以使问题变得简单明了．
(3)注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn图．
(4)端点值验证．
【典例1】(2025·八省联考)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∩B＝(　　)
A．{0} B．{1}
C．{0，1} D．{－1，0，1，4}
【典例2】(2024·全国甲卷)集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则 A(A∩B)＝(　　)
A． B．
C． D．
【典例3】全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A U，B U，( UB)∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}，( UA)∩( UB)＝{4，6，7}，则A∪B＝________．
方法技巧04 Venn图的应用及创新性问题
Venn图具有形象直观的特征，应用Venn图可以解决两大类问题：一是处理部分有限集合的元素个数的计数问题；二是解决抽象集合的运算问题或判断集合间的关系问题．
【典例1】定义两集合M，N的差集：M－N＝{x|x∈M且x N}，已知集合A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，则A－的子集个数为(　　)
A．2 B．4
C．8 D．16
【典例2】某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．
方法技巧05 充分、必要条件的判定
判断充要条件的三种方法
(1) 定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
(2) 集合法：利用集合的包含关系判断．小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系．
(3) 传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性．
【典例1】(2024·天津高考)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【典例2】(2025·江苏扬州模拟)已知集合A＝，B＝{1，a＋1，a－1}，则“a＝1”是“A B”的(　　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
方法技巧06 充分、必要条件的探求
探求充分条件、必要条件的方法
（1）寻求q的充分条件p，即求使q成立的条件p，即p q；
（2）寻求q的必要条件p，即求以q为条件可推出的结论p，即q p；
（3）寻求q的充要条件p，即寻求使q成立的条件p（p q），同时又要寻求以q为条件可推出p成立（q p），即p＝q.
【典例1】“ln (x＋1)<0”的一个必要不充分条件是(　　)
A．－10
C．－1【典例2】(多选)ab＋b－a－1＝0的一个充分不必要条件可以是(　　)
A．a＝－1 B．a＝b
C．b＝1 D．ab＝1
方法技巧07 充分、必要条件的应用
用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．
(3)充分必要条件与集合包含之间的关系．
【典例1】(多选)(2024·山西太原模拟)已知关于x的方程x2＋ax＋a＋3＝0，则(　　)
A．当a＝2时，方程有两个不相等的实数根
B．方程无实数根的一个充分条件是－2C．方程有两个不相等的负根的充要条件是a>6
D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是a<－4
【典例2】已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
方法技巧08 含量词命题的否定
对全称量词命题与存在量词命题进行否定的方法
（1）改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；
（2）否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可.
【典例1】命题p的否定为“ x<0，使得x＋2>2x”，则命题p为(　　)
A． x<0，x＋2>2x
B． x≥0，使得x＋2>2x
C． x<0，x＋2≤2x
D． x≥0，使得x＋2≤2x
【典例2】（2024·四川达州·统考二模）命题p：，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【典例3】已知命题：，使得且，则为（ ）
A．，使得且 B．，使得或
C．，使得或 D．，使得且
方法技巧09 含量词命题的真假判断
全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
（1）全称量词命题：①要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；②要判定一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p（x0）不成立即可.
（2）存在量词命题：要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p（x0）成立即可，否则这一存在量词命题就是假命题.
【典例1】(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p： x∈R，|x＋1|>1；命题q： x>0，x3＝x，则(　　)
A．p和q都是真命题
B． p和q都是真命题
C．p和 q都是真命题
D． p和 q都是真命题
【典例2】（25-26高一上·全国·单元测试）下列命题中为真命题的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，是整数
方法技巧10 含量词命题的应用
由命题的真假求参数的策略
（1）巧用三个转化：①全称量词命题可转化为恒成立问题；②存在量词命题可转化为存在性问题；③全称量词、存在量词命题假可转化为它的否定命题真.
（2）准确计算：通过解方程或不等式（组）求出参数的值或范围.
【典例1】若命题p：“ x∈R，x2－mx－m≤0”为假命题，则实数m的取值范围是________．【典例2】若命题“ x∈，使λx2＋x－2>0成立”的否定是真命题，则实数λ的取值范围是________．
方法技巧11 数(式)的大小比较
比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形(因式分解、配方、有理化等)；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形(因式分解、配方、有理化等)；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
(4)找中间量比较大小(如1，－1，0，2，…)．
【典例1】若a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．aC．c【典例2】已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为________．
方法技巧12 不等式的性质
判断不等式正误的常用方法
(1)利用不等式的性质进行验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时，要特别注意应用性质的条件．
(2)利用特殊值法排除错误不等式．
(3)利用函数的单调性，当利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较．
【典例1】(多选)(2024·安徽淮北一模)已知a，b，c∈R，下列命题为真命题的是(　　)
A．若a>b>c，则a＋b>c
B．若a>b>|c|，则a2>b2>c2
C．若a
D．若a>b>c>0，则<
【典例2】(多选)已知实数a，b，c满足0A．>　　　　 B．>
C．> D．ab＋c2>ac＋bc
方法技巧13 不等式性质的应用
求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得代数式的取值范围．
提醒：在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，如“a＜b，c＜d a＋c＜b＋d”，反之不成立．
【典例1】(多选)(2025·湖南长沙模拟)已知实数x，y满足－3A．x的取值范围为(－1，2)
B．y的取值范围为(－2，1)
C．x＋y的取值范围为(－3，3)
D．x－y的取值范围为(－1，3)
【典例2】已知－3＜a＜－2，3＜b＜4，则的取值范围为(　　)
A．(1，3) B．
C．
【典例3】已知－1＜2s＋t＜2，3＜s－t＜4，则5s＋t的取值范围为________．
方法技巧14 直接用基本不等式求和或积的最值
利用基本不等式求最值的原则及注意点
(1)原则：积定和最小，和定积最大；
(2)注意点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值；三是考虑等号成立的条件是否具备．
【典例1】(2025·湖北武汉模拟)已知正数a，b满足a＋2b＝1，则(　　)
A．ab≥ B．ab>
C．0【典例2】(2025·浙江台州模拟)已知a，b为正实数，＝1，则(　　)
A．ab的最小值为4 B．ab的最大值为4
C．ab的最小值为2 D．ab的最大值为2
【典例3】已知0A．8 B．16
C．2 D．4
方法技巧15 配凑法求最值
　常见的配凑法求最值模型
(1)模型一：mx＋≥2(m>0，n>0，x＞0)，当且仅当x＝时等号成立；
(2)模型二：mx＋＝m(x－a)＋＋ma≥2＋ma(m>0，n>0，x＞a)，当且仅当x－a＝时等号成立．
【典例1】若x<，则函数f (x)＝3x＋1＋有(　　)
A．最大值0 B．最小值9
C．最大值－3 D．最小值－3
【典例2】已知0＜x＜，则x的最大值为________．
【典例3】(2024·河北唐山一模)已知函数f ＝，则f 的最小值为(　　)
A．0 B．2
C．2 D．3
【典例4】(2025·湖南长沙模拟)若实数x>2y>0，则的最小值为________，此时＝________．
方法技巧16 常数代换法求最值
“1”的妙用
(1)乘“1”法是指凑出1，利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形后达到运用基本不等式的条件，即积为定值．主要解决形如“已知x＋y＝t(t为非零常数)，求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值．
(2)常数“1”的代换，即把求解目标中的常数代数化，化为形如求“的最值”问题，进而可以使用基本不等式达到解题的目的．
【典例1】（2024春·新疆乌鲁木齐·高一乌市八中校考开学考试）已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】(2025·咸阳模拟)已知a>0，b>0，且＝1，则a＋b的最小值为　　　　.
【典例3】已知正数a，b满足a＋2b＝3，则的最小值为________．
方法技巧17 消元法求最值
消元法，即根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留变量的取值范围
【典例1】已知实数x，y满足3xy＋y2＝1，y>0，则2x＋y的最小值是(　　)
A. B. C.2 D.3
【典例2】（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】(2024·浙江嘉兴二模)若正数x，y满足x2－2xy＋2＝0，则x＋y的最小值是(　　)
A．
C．2 D．2
方法技巧18 不等式法求最值
当条件式中给出了"和"与"积"之间的关系时，可以考虑借助基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值.
【典例1】(多选)(2025·青岛模拟)若实数a>0，b>0，且ab＝a＋b＋8，则下列结论正确的是(　　)
A.a＋b≤8 B.ab≥16
C.a＋3b≥4＋6 D.≥
【典例2】（24-25高一上·安徽宿州·阶段练习）已知x，y均为正数，，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．7 D．
【典例3】（2025·云南昆明·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
方法技巧19 多次运用基本不等式
在求解某些复杂一些的最值问题时，可能会需要连续多次使用基本不等式进行放缩.此时，我们需要注意两点:一是由基本不等式进行放或缩一定要考虑到不等号的方向与不等式传递性相一致，即多次放大或者多次缩小，一般不可以既放大又缩小;二是多次使用基本不等式后要考虑等号成立的条件，只有多个等号能够同时成立时方可.
【典例1】（2024·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）若，，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【典例2】（2022·天津·一模）设，那么 的最小值是 .
方法技巧20 利用基本不等式求参数的值或范围
对于不等式恒(能)成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值．
(1) x∈M，使得f (x)≥a，等价于f (x)max≥a；
(2) x∈M，使得f (x)≤a，等价于f (x)min≤a；
(3) x∈M，使得f (x)≥a，等价于f (x)min≥a；
(4) x∈M，使得f (x)≤a，等价于f (x)max≤a．
【典例1】(2025·山东滨州模拟)若不等式x2－ax＋4≥0对任意x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．
C．
【典例2】若正实数x，y满足x＋y＝1，且不等式方法技巧21 基本不等式的实际应用
利用基本不等式解决实际问题的注意点
(1)设变量时，一般把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)解题时，一定要注意变量的实际意义对变量取值范围的影响．
(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用f (x)＝x＋(a＞0)的单调性．
(4)在实际问题中利用基本不等式求最值时，必须指明等号成立的条件．
【典例1】某水产公司拟在养殖室修建三个形状、大小完全相同的长方体育苗池，其平面图如图所示．每个育苗池的底面面积为200 m2，深度为2 m，育苗池的四周均设计为2 m宽的甬路．设育苗池底面的一条边长为x m(10≤x≤20)，甬路的面积为S m2．
(1)求S与x之间的函数关系式；
(2)已知育苗池四壁的造价为200元/m2，池底的造价为600元/m2，甬路的造价为100元/m2，若不考虑其他费用，求x为何值时，总造价最低，并求最低总造价．
【典例2】(2025·湖南长沙模拟)快递公司计划在某货运枢纽附近投资配建货物分拣中心．假定每月的土地租金成本与分拣中心到货运枢纽的距离成反比，每月的货物运输成本与分拣中心到货运枢纽的距离成正比．经测算，如果在距离货运枢纽10 km处配建分拣中心，则每月的土地租金成本和货物运输成本分别为2万元和8万元．要使得两项成本之和最小，分拣中心和货运枢纽的距离应设置为(　　)
A．5 km B．6 km
C．7 km D．8 km
方法技巧22 不含参的不等式的解法
1.解一元二次不等式的方法和步骤
2.一元高次不等式的解法，数轴穿根法：先因式分解再用穿根法，依据：从左至右，从上至下，依次穿根，奇过偶不过，注意x系数为正．
如(x－1)2(x－2)(x－3)>0在数轴上标根穿线，点1处的线过而不穿．
3.简单分式不等式的解法
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0)
4.绝对值不等式：
|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|0)的解集为(－a，a)．
记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间．
5.简单的指数与对数不等式的解法
(1)若a>1，af(x)>ag(x) f(x)>g(x)；
若0ag(x) f(x)(2)若a>1，logaf(x)>logag(x) f(x)>g(x)>0；
若0logag(x) 0【典例1】(多选)下列选项中，正确的是(　　)
A.不等式－x2－x＋2>0的解集为{x|x<－2或x>1}
B.不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2}
C.不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3}
D.设x∈R，则“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件
【典例2】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）求下列不等式的解集：
(1)
(2)
(3)．
方法技巧23 含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式的步骤
【典例1】解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
【典例2】解关于x的不等式x2＋ax＋1＜0(a∈R)．
方法技巧24 根据一元二次不等式的解集求参数
已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负.
【典例1】(多选)(2025·蚌埠模拟)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(－∞，1)∪(5，＋∞)，则下列结论正确的是(　　)
A.a>0
B.a＋b＋c>0
C.bx＋c>0的解集是
D.cx2－bx＋a<0的解集是
【典例2】(多选)已知关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是(x1，x2)，则下列结论正确的是(　　)
A.x1＋x2＝2 B.x1x2<－3
C.－14
方法技巧25 根据一元二次不等式解集中整数的个数求参数
1.定开口与判别式
先确定二次项系数符号，判断抛物线开口方向；计算判别式，确定不等式有解的前提，保证解集为连续区间。
2.求根并标区间
解出对应一元二次方程的两根 ，结合不等号写出解集区间 或 ，只关注有限连续区间内的整数。
3.画数轴锁定整数
在数轴上标出区间端点，根据题目“整数解个数”，圈出所有符合条件的整数，确定端点必须夹在哪两个整数之间。
4.列不等式组求参数
根据区间端点与整数的位置关系，列出关于参数的不等式组，注意等号能否取到（端点是否包含整数），解出参数范围。
【典例1】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【典例2】关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
方法技巧26 一元二次不等式恒成立问题
恒成立问题求参数的取值范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的取值范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
(3)特别注意对二次项系数为0的讨论，因为不等式不一定为一元二次不等式．
【典例1】若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2]　　　　　 B．(－∞，－2)
C．(－2，2) D．(－2，2]
【典例2】若不等式ax2－x＋a>0对任意的x∈(1，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围为________．【典例3】若 a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0恒成立，则实数x的取值范围为________．
方法技巧27 一元二次方程根的分布问题
解决—元二次方程实根分布问题,需结合二次函数图像与性质分析。核心步骤：
（1）明确根的范围：用具体取值条件描述根的分布(如 "两根都大于 2"，"一根小于 1,一根大于 3"等)。
（2）转化为函数条件：设二次函数 ,根据根的范围列不等式组：
①开口方向( 的符号)；
②判别式 ,保证有实根) ;
③ 端点函数值符号(如根大于 时, 的符号结合开口方向判断)；
④ 对称轴位置
（3）联立求解：解不等式组得参数范围,验证边界情况。
通过图像直观分析,将根的分布转化为函数在特定取值下的符号及对称轴条件,可高效求解。
【典例1】若关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<1A.－
C.a<－ D.－【典例2】已知方程，在下列条件下，分别求的范围．
(1)有两个不同的正根；
(2)有两个不同的负根；
(3)一个根在内，另一个根在内；
(4)两个不同的根都大于；
(5)两个不同的根都小于1；
(6)一个根大于1，一个根小于1；
(7)两个不同的根都在内；
(8)有两个不同的根，有且仅有一个根在内；
(9)一个根小于2，一个根大于4；
(10)一个根在内，另一个根在内；
(11)一个正根，一个负根，且正根绝对值较大；
(12)在内无实根．
方法技巧28 同一函数的判断
判断两个函数为同一个函数应注意的三点
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．
(2)函数是两个非空数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．
(3)在化简解析式时，必须是等价变形．
【典例1】下列各组函数相等的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【典例2】（多选题）下列各项不能表示同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【典例3】与函数有相同图象的一个函数是（ ）
A． B．
C．，其中 D．，其中
方法技巧29 求函数的定义域
求函数的定义域的策略
(1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义．
(2)求抽象函数的定义域：
①若f (x)的定义域为[m，n]，则在f (g(x))中，由mg(x)n解得x的取值范围即为f (g(x))的定义域．
②若f (g(x))的定义域为[m，n]，则由mxn得到g(x)的取值范围，即为f (x)的定义域．
【典例1】已知函数y＝f (x)的定义域为[0，4]，则函数y＝＋(x－2)0的定义域是(　　)
A．(1，5]　　　　　 B．(1，2)∪(2，5)
C．(1，2)∪(2，3] D．(1，3]
【典例2】(2025广东东莞模拟)函数y＝＋的定义域为________．
【典例3】)(2025山东青岛模拟)若函数f (x)＝的定义域为R，则常数k的取值范围是(　　)
A．(0，4) B．[0，4)
C．[0，4] D．(0，4]
方法技巧30 求函数的值域
（1）观察法(有界函数）——“拼图”
第一步，观察函数中的特殊函数；
第二步，利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域．
（2）配方法
以二次函数的相关性质、图像为依托，利用数形结合思想求解某函数在给定区间的最值和值域问题。这种方法一般适用于形如的函数的值域和最值问题
第一步，将二次函数配方成；
第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域．（特别注意自变量的范围）
(注：配方法配的常数是一次项系数的一半的平方，对二次函数型值域问题，我们通常可以采用配方并结合图像的方法求解。）
图象法
通过数形结合方式，将图象投影到y轴上，看值域时，记得由下往上看。
（4）分离常数法（即是求值域的方法也是化简解析式的方法）
分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法：
主要的分式函数有：等
解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数。
第一步，观察函数类型，型如；
第二步，对函数变形成形式；
第三步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域．
（5）换元法
第一步，观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；
第二步，另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域．
如：函数，可以令，得到，函数
可以化为()，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．
（6）判别式法
第一步，观察函数解析式的形式，型如的函数；
第二步，将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数的取值范围，即得函数的值域．
（7）单调性法
第一步，求出函数的单调性；
第二步，利用函数的单调性求出函数的值域．
（8）基本不等式法
第一步 观察函数解析式的形式，型如或的函数；
第二步 对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域.
注意根据基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”
（9）导数法
先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域.
【典例1】函数的值域为__________
【典例2】函数的值域为______．
【典例3】函数的值域为______.
【典例4】函数，的值域为 ．
【典例5】已知函数的值域为，则实数的取值范围为________．
方法技巧31 求函数的解析式
求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法．
(2)换元法：已知复合函数f (g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(3)配凑法：由已知条件f (g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f (x)的解析式，注意g(x)的取值范围．
(4)解方程组法：已知关于f (x)与f 或f (－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x)．
【典例1】求下列函数的解析式：
(1)已知f (1－sin x)＝cos2x，求f (x)的解析式；
(2)已知f ＝x2＋，求f (x)的解析式；
(3)已知f (x)是二次函数且f (0)＝2，f (x＋1)－f (x)＝x－1，求f (x)的解析式；
(4)已知f (x)满足2f (x)＋f (－x)＝3x，求f (x)的解析式．
【典例2】(1)(易错题)已知f (＋1)＝x－2，则f (x)＝________．
(2)已知f (x)满足f (x)－2f ＝2x，则f (x)＝________．
(3)设函数f (x)是单调递增的一次函数，满足f (f (x))＝16x＋5，则f (x)＝________．
方法技巧32 分段函数
分段函数的几类题型及解决方法
(1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参．
(2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值．
(3)涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解．
【典例1】(2025湖北武汉模拟)已知f (x)＝则f ＝(　　)
A．2 B．
C． D．1
【典例2】函数f (x)＝若实数a满足f (a)＝f (a－1)，则f ＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
【典例3】(2024湖北十一校一模)已知函数f (x)＝则关于x的不等式f (x)1的解集为________．【典例4】设函数则满足的x的取值范围是______．
方法技巧33 确定函数的单调性(单调区间)
确定函数单调性的方法
(1)定义法：取值、作差、变形(因式分解、配方、有理化、通分等)、定号、下结论．
(2)性质法：同增异减，即内、外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数．
(3)图象法：如果f (x)是以图象形式给出的，或者f (x)的图象易画出，可由图象直观地判断函数单调性．
(4)导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性．
提醒：定义域先行，单调区间是定义域的子集．
【典例1】(2025浙江绍兴模拟)函数y＝ln (x2－2x)的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，0) D．(2，＋∞)
【典例2】(2024广东深圳三模)函数y＝|－x2＋4x＋5|的单调递增区间是________．
【典例3】试讨论函数f (x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性．
方法技巧34 函数单调性的应用
函数单调性应用问题的解题策略
(1)比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)解与抽象函数有关的不等式，由条件脱去“f ”，转化为自变量间的大小关系，一般转化为不等式组，应注意等价转化和函数的定义域．
(3)利用单调性求参数的取值(范围)，根据函数的单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到函数图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值，在衔接点处需建立一个不等式．
【典例1】已知函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f (x2)－f (x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f ，b＝f (2)，c＝f (e)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
【典例2】(2025广东佛山模拟)已知函数y＝f (x)在定义域(－1，3)上是增函数，且f (2a－1)A．(1，2) B．(－∞，1)
C．(0，1) D．(1，＋∞)
【典例3】(2024新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B．[－1，0]
C．[－1，1] D．[0，＋∞)
【典例4】设f (x)是定义在R上的增函数，且f (xy)＝f (x)＋f (y)，f (3)＝1，则不等式f (x)＋f (－2)＞1的解集为________．
方法技巧35 求函数的最值
求函数最值的五种常用方法
【典例1】(2024湖南湘东名校期中)已知函数f (x)＝2x2－1，g(x)＝ax，x∈R，用M(x)表示f (x)，g(x)中的较大者，记为M(x)＝max{f (x)，g(x)}，若M(x)的最小值为－，则实数a的值为(　　)
A．0 B．±1
C．± D．±2
【典例2】（2024·广东茂名·高三统考阶段练习）设函数若存在最小值，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（2025高二·宁夏石嘴山·阶段练习）若函数在区间上的最大值为3，则实数（ ）
A． B．1 C．3 D．
方法技巧36 函数奇偶性的判断
判断函数奇偶性的两个必备条件及方法
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先判断函数的定义域是不是关于原点对称；
(2)判断f (x)与f (－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x)＋f (－x)＝0(奇函数)或f (x)－f (－x)＝0(偶函数))是否成立．
(3)判断函数奇偶性的方法：①定义法；②图象法．
【典例1】判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x)＝；
(2)f (x)＝(1＋x)；
(3)f (x)＝
(4)f (x)＝log2(x＋)．
【典例2】已知函数f (x)对任意x，y∈R，都有f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋2，则函数f (x)＋2为________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)
方法技巧37 函数奇偶性的应用
1.求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值．
2.(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数值或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合图象直观求解相关问题．
【典例1】(2023新高考Ⅱ卷)若f (x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a＝(　　)
A．－1 B．0
C． D．1
【典例2】(2024山西大学附中期中)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f (x)＝x3＋x＋1，则f (x)在R上的解析式为________．
【典例3】(2025湖南师大附中模拟)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，f (x)在[0，＋∞)上单调递减，且f (3)＝0，则不等式(2x－5)f (x－1)＜0的解集为(　　)
A．(－∞，－2)∪ B．(4，＋∞)
C．∪(4，＋∞) D．(－∞，－2)
方法技巧38 函数的周期性
利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题；利用函数的周期性，能实现自变量的转移，把自变量大化小．
【典例1】(2025福建三明期中)若偶函数f (x)满足f (x＋2)＋f (x)＝0，当x∈(0，1)时，f (x)＝＋1，则f ＝(　　)
A．2 B．
C． D．
【典例2】定义在R上的函数f 满足f ＝f －2，则下列函数中是周期函数的是(　　)
A．y＝f －x B．y＝f ＋x
C．y＝f －2x D．y＝f ＋2x
【典例3】已知是定义在上周期为的函数，当时，，那么当时， ______.
方法技巧39 轴对称问题
轴对称的几种表述形式
(1)函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称 f (x)＝f (2a－x) f (a－x)＝f (a＋x)；
(2)若函数y＝f (x)满足f (a＋x)＝f (b－x)，则y＝f (x)的图象关于直线x＝对称．
【典例1】已知函数f (x)＝3|x－a|＋2，且满足f (5＋x)＝f (3－x)，则f (6)＝(　　)
A．29 B．11
C．3 D．5
【典例2】已知函数f (x)(x∈R)满足f (x)＝f (4－x)，若y＝|x－2|与y＝f (x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，则x1＋x2＋x3＋x4＝(　　)
A．－4 B．0
C．4 D．8
方法技巧40 中心对称问题
中心对称的几种表述形式
(1)函数y＝f (x)的图象关于点(a，b)对称 f (a＋x)＋f (a－x)＝2b 2b－f (x)＝f (2a－x)；若函数y＝f (x)满足f (a＋x)＋f (b－x)＝c，则y＝f (x)的图象关于点对称．
(2)双曲线型函数f (x)＝的图象的对称中心为．
【典例1】(2024河北重点中学二模)已知函数y＝f (x－1)为奇函数，则函数y＝f (x)＋1的图象(　　)
A．关于点(1，1)对称 B．关于点(1，－1)对称
C．关于点(－1，1)对称 D．关于点(－1，－1)对称
【典例2】(2024四川泸州三模)已知函数f (x)(x∈R)满足f (x)＋f (4－x)＝0，若函数f (x)与y＝图象的交点的横坐标分别为x1，x2，…，xn，则＝(　　)
A．4n B．2n
C．n D．0
方法技巧41 两函数图象间的对称问题
函数y＝f (a＋x)的图象与函数y＝f (b－x)的图象关于直线x＝对称．
【典例1】(2025江苏扬州模拟)定义在R上的函数y＝f (x)和y＝g(x)的图象关于y轴对称，且函数y＝f (x－2)＋1是奇函数，则函数y＝g(x)图象的对称中心为(　　)
A．(2，1) B．(－2，－1)
C．(－2，1) D．(2，－1)
【典例2】设函数y＝f (x)的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，若f (3)＋f (9)＝1，则实数m的值为________．
方法技巧42 幂函数的图象及性质
与幂函数有关问题的解题思路
(1)关于幂函数y＝xα，若α∈Z且函数是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将xα先化为根式，再分析函数的性质．
(2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0．
(3)在比较幂值的大小时，结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
【典例1】已知a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．bC．b【典例2】幂函数f (x)＝(m2－3m－3)xm在区间(0，＋∞)上单调递减，则下列说法正确的是(　　)
A．m＝4 B．f (x)是减函数
C．f (x)是奇函数 D．f (x)是偶函数
【典例3】如图所示是函数y＝(m，n∈N*且互质)的图象，则(　　)
A．m，n是奇数且<1
B．m是偶数，n是奇数，且<1
C．m是偶数，n是奇数，且>1
D．m，n是偶数，且>1
方法技巧43 二次函数的图象与解析式
研究二次函数图象及解析式应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取零点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．
【典例1】已知二次函数f (x)满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x)的最大值是8，则f (x)＝________．【典例2】(多选)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，则(　　)
A．b2＞4ac B．2a－b＝1
C．a－b＋c＝0 D．5a＜b
方法技巧44 二次函数的单调性与最值
二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
【典例1】(2024山东济南期中)已知函数y＝的定义域与值域均为[0，1]，则实数a的取值为(　　)
A．－4 B．－2
C．1 D．－1
【典例2】(2024江苏常州期中)已知二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，恒有f (x＋1)－f (x)＝2x＋2，f (0)＝－2．
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)设g(x)＝f (x)－mx，若函数g(x)在区间[1，2]上的最大值为3，求实数m的值；
(3)若h(x)＝[f (x)－x2＋2]|x－a|，a∈R，若函数h(x)在[－2，2]上是单调函数，求a的取值范围．
方法技巧45 指数幂的运算
指数幂运算的一般原则
(1)将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数．
(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式要求统一．
【典例1】(2025湖南长沙模拟)计算－(－1)0＋＝________．
【典例2】(多选)下列计算正确的是(　　)
A．＝
B． ( )÷( )＝－9a(a>0，b>0)
C．＝
D．已知x2＋x-2＝2，则x＋x-1＝2
方法技巧46 指数函数的图象及应用
(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(2)掌握函数y＝f (|x|)，y＝f (x)，y＝|f (x)|的图象之间的变换与联系．
(3)定点与渐近线是作图的关键．
【典例1】(多选)(2025山西晋中模拟)在同一平面直角坐标系中，函数y＝x2＋ax＋a－1与y＝ax的图象可能是(　　)
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
【典例2】若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则实数b的取值范围是________．
方法技巧47 比较指数式的大小
【典例1】(2023天津高考)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c＞a＞b B．c＞b＞a
C．a＞b＞c D．b＞a＞c
【典例2】若2x＋5y2－y＋5－x，则有(　　)
A．x＋y0 B．x＋y0
C．x－y0 D．x－y0
方法技巧48 解简单的指数方程或不等式
指数方程或不等式的解法
（1）解指数方程或不等式的依据：①af（x）＝ag（x） f（x）＝g（x）；②af（x）＞ag（x），当a＞1时，等价于f（x）＞g（x）；当0＜a＜1时，等价于f（x）＜g（x）；
（2）解指数方程或不等式的方法：先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解.
【典例1】(2024江苏宿迁一模)已知函数f (x)＝2x－3－x，则不等式f (x2)A．(－1，3)
B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3，1)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
【典例2】已知实数a≠1，函数f (x)＝若f (1－a)＝f (a－1)，则a的值为________．
方法技巧49 指数函数性质的综合应用
(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
【典例1】(多选)(2024浙江温州期末)已知函数f (x)＝，则(　　)
A．不等式<的解集是(－1，1)
B． x∈R，都有f (－x)＝f (x)
C．f (x)是R上的减函数
D．f (x)的值域为(－1，1)
【典例2】若函数f (x)＝的值域是，则f (x)的单调递增区间是________．
【典例3】已知函数f (x)＝x3(a2x－2－x)是偶函数，则a＝________．
【典例4】(2023新高考Ⅰ卷)设函数f (x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
方法技巧50 对数的运算
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
【典例1】(2025·四川成都模拟)若实数m，n，t满足5m＝7n＝t且＝2，则t＝(　　)
A．2 B．12 C． D．
【典例2】(2025·天津武清模拟)设a＝lg 20＋lg ，b＝log95，则a＋3b的值为(　　)
A．2＋ B．1＋ C．27 D．26
方法技巧51 对数函数的图象及应用
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【典例1】已知函数f (x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　)
A．0B．0C．0D．0【典例2】当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　)
A． B．
C．(1，) D．(，2)
【典例3】已知函数f (x)＝|ln x|，若0方法技巧52 对数函数的性质及应用
【典例1】已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增．若正实数a满足f (log2a)＋≤2f (1)，则a的取值范围是(　　)
A．[1，2] B．
C． D．(0，2]
【典例2】已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【典例3】(多选)(2025·广东深圳中学模拟)已知函数f (x)＝lg (x2＋ax－a－1)，给出下述论述，其中正确的是(　　)
A．当a＝0时，f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．f (x)一定有最小值
C．当a＝0时，f (x)的值域为R
D．若f (x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥－4}
【典例4】(多选)已知函数f (x)＝ln ，下列说法正确的是(　　)
A．f (x)为奇函数
B．f (x)为偶函数
C．f (x)在上单调递减
D．f (x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)
方法技巧53 函数图象的辨识
辨析函数图象的入手点
(1)从函数的定义域判断图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置．
(2)从函数的奇偶性判断图象的对称性．
(3)从函数的特殊点排除不合要求的图象．
(4)从函数的单调性判断图象的变化趋势．
(5)从函数的周期性判断图象的循环往复．
【典例1】函数f (x)＝的图象大致为(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
【典例2】若函数f (x)＝的部分图象如图所示，则f (5)＝(　　)
A．－ B．－ C．－ D．－
方法技巧54 函数图象的应用
(1)注意函数性质与图象特征的对应关系．
(2)某些方程和不等式的求解问题，可转化为图象的交点问题，体现了数形结合的思想．
【典例1】(多选)对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝若f (x)＝2－x2，g(x)＝x2，下列关于函数F(x)＝min{f (x)，g(x)}的说法正确的是(　　)
A．函数F(x)是偶函数
B．方程F(x)＝0有3个根
C．函数F(x)在区间[－1，1]上单调递增
D．函数F(x)有4个单调区间
【典例2】(2024·北京朝阳区三模)已知函数f (x)＝log2x－x＋1，则不等式f (x)<0的解集是(　　)
A．(1，2) B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．(0，2) D．(0，1)∪(2，＋∞)
【典例3】已知函数f (x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f (x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．
方法技巧55 判定函数零点所在的区间
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是否连续，若连续，则再看是否有f (a)·f (b)<0，若有，则函数y＝f (x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点．
【典例1】(2025·河北邯郸模拟)函数f (x)＝2x＋x3－2的零点所在的区间是(　　)
A．(－2，－1) B．(0，1)
C．(－1，0) D．(1，2)
【典例2】已知函数f (x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．当2方法技巧56 确定函数零点的个数
求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f (x)＝0，方程有多少个解，则f (x)有多少个零点．
(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等．
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．
【典例1】函数f (x)＝的零点个数为(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
【典例2】设函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f (x)＝ex＋x－3，则f (x)的零点个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例3】已知函数f＝则关于x的函数y＝4f2－13f＋9的零点的个数为(　　)
A．8 B．7 C．5 D．2
方法技巧57 根据函数零点个数求参数
已知零点个数求参数范围的方法
1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．
【典例1】已知函数f (x)＝若关于x的方程f (x)＝m有3个不相等的实数根，则m的取值范围是________．【典例2】(多选)已知函数f (x)＝ 函数g(x)＝[f (x)]2－(a－1)f (x)－a，则下列说法错误的是(　　)
A．若a<－，则g(x)恰有2个零点
B．若1≤a<2，则g(x)恰有4个零点
C．若g(x)恰有3个零点，则a的取值范围是[0，1)
D.若g(x)恰有2个零点，则a的取值范围是∪(2，＋∞)
【典例3】函数f (x)＝若函数g(x)＝f (f (x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
方法技巧58 根据函数零点范围求参数
已知函数零点求参数值或取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．
(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解．
【典例1】函数f (x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞)　　　　　 B．[2，＋∞)
C． D．
【典例2】若函数f (x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是________．
方法技巧59 用函数图象刻画实际问题
判断函数图象与实际问题变化过程是否吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意容易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况．
【典例1】高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f的大致图象是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
【典例2】(2024·云南师大附中期末)如图是根据某调查绘制的某地区7岁以下女童身高(长)的中位数散点图，下列可近似刻画身高y(单位：cm)随年龄x(单位：岁)变化规律的函数模型是(　　)
A．y＝mx＋n(m>0)
B．y＝m＋n(m>0)
C．y＝max＋n(m>0，a>1)
D．y＝mlogax＋n(m＞0，a＞1)
方法技巧60 已知函数模型的实际问题
已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
【典例1】(2025·山东泰安模拟)青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.5和5.0，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为V1，V2，则的值所在区间是(　　)
A．(1.5，2) B．(2，2.5)
C．(2.5，3) D．(3，3.5)
【典例2】英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型．如果物体的初始温度是θ1，环境温度是θ0，则经过t min物体的温度θ将满足θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有90 ℃的物体，若放在10 ℃的空气中冷却，经过10 min物体的温度为50 ℃，则若使物体的温度为20 ℃，需要冷却(　　)
A．17.5 min　　　　 B．25.5 min
C．30 min D．32.5 min
方法技巧61 构建函数模型的实际问题
构建函数模型解决实际问题时需注意以下四个步骤
【典例1】　(2024·江苏南通二模)某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：小时)变化的关系如下：当0≤x≤4时，y＝－1；当4(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a的最小值(精确到0.1，参考数据：取1.4)
【典例2】(多选)(2025·浙江嘉兴模拟)常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分记录数据和小数记录数据，把小数记录数据记为x，对应的五分记录数据记为y，现有两个函数模型：
①y＝5＋2lg x；②y＝5－lg .
根据如图所示的标准对数视力表中的数据，下列结论中正确的是(　　)
(参考数据：10-0.2≈0.6，10-0.15≈0.7，10-0.1≈0.8，10-0.05≈0.9)
A．选择函数模型①
B．选择函数模型②
C．小明去检查视力，医生告诉他视力为5.0，则小明视力的小数记录数据为0.9
D．小明去检查视力，医生告诉他视力为4.9，则小明视力的小数记录数据为0.8
方法技巧62 变化率问题
函数的平均变化率和瞬时变化率的关系
平均变化率＝，如果当Δx趋于0时，无限趋近于一个常数，那么这个常数就是函数f (x)在x＝x0处的瞬时变化率．求函数的瞬时变化率可以利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．
【典例1】(多选)环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f (t)，用－的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．
则下列结论正确的是(　　)
A．在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强
B．在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强
C．在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标
D．甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强
【典例2】(多选)吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的关系为r(V)，r′为r(V)的导函数．已知r(V)在0≤V≤3上的图象如图所示，若0≤V1A．<
B．r′>r′
C．r<
D．存在V0∈，使得r′＝
方法技巧63 导数的运算
导数的运算方法
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
【典例1】(2025·河北冀州中学模拟)已知函数f (x)满足f (x)＝f ′sin x－cos x，则f ′的值为(　　)
A．
C．－ D．－
【典例2】(2025·广东肇庆模拟)已知函数f (x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f ′(2)＝(　　)
A．0　　 B．－12
C．－120 D．120
方法技巧64 导数几何意义的应用
导数几何意义的应用要点
(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)函数f (x)过某点(m，n)有若干条切线，转化为关于切点的方程(高次)根的个数问题．
【典例1】(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　)
A．y＝x　　 B．y＝x
C．y＝x＋ D．y＝x＋
【典例2】(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln |x|经过坐标原点的两条切线方程分别为________，________．
【典例3】(2024·浙江绍兴二模)曲线f (x)＝x＋a ln x在点(1，1)处的切线与直线y＝2x平行，则a＝(　　)
A．1　　 B．2
C．－1 D．－2
【典例4】(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______．
【典例5】若点P是曲线y＝x2－2ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－3的距离的最小值为________．
方法技巧65 两曲线的公切线问题
曲线公切线的求解策略
设直线与曲线y＝f (x)相切于点(x1，f (x1))，与曲线y＝g(x)相切于点(x2，g(x2))，则切线方程为y－f (x1)＝f ′(x1)(x－x1)，即y＝f ′(x1)x＋f (x1)－f ′(x1)x1，同理y＝g′(x2)x＋g(x2)－g′(x2)x2．
所以解出x1，x2，从而可得公切线方程．
【典例1】(2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________．
【典例2】(2025·福建泉州模拟)若曲线y＝x2与y＝tex(t≠0)恰有两条公切线，则t的取值范围为(　　)
A．
C．(－∞，0) D．(－∞，0)
【典例3】若两曲线y＝ln x－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a的取值范围是(　　)
A．(0，2e]　　　　　　 B．
C． D．[2e，＋∞)
方法技巧66 导函数与原函数性质关系问题
1．导函数与原函数对称性、周期性的关系
性质1：若函数f (x)连续且可导，则f (x)的图象关于直线x＝a对称 导函数f ′(x)的图象关于点(a，0)对称．
性质2：若函数f (x)连续且可导，则f (x)的图象关于点(a，f (a))对称 导函数f ′(x)的图象关于直线x＝a对称．
性质3：f (x)的图象是周期为T的周期函数 f ′(x)的图象是周期为T的周期函数．
2．导函数与原函数奇偶性的关系
性质1：若f (x)为偶函数且可导，则f ′(x)为奇函数．
性质2：若f (x)为奇函数且可导，则f ′(x)为偶函数．
【典例1】已知定义在R上的函数f (x)满足f (1＋x)＝f (1－x)，且f (2＋x)＝－f (2－x)，f ′(x)是f (x)的导数，则(　　)
A．f ′(x)是奇函数，且是周期函数
B．f ′(x)是偶函数，且是周期函数
C．f ′(x)是奇函数，且不是周期函数
D．f ′(x)是偶函数，且不是周期函数
【典例2】(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f ′(x)．若f，g(2＋x)均为偶函数，则(　　)
A．f (0)＝0　　 B．g＝0
C．f (－1)＝f (4) D．g(－1)＝g(2)
方法技巧67 不含参数的函数的单调性
利用导函数求函数单调区间的注意点
(1)先求函数定义域，单调区间是定义域的子集．
(2)正确求导函数．
(3)当f ′(x)＝0无解时，可根据f ′(x)的结构特征确定f ′(x)的符号．
(4)所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用“∪”“或”连接，要用“，”“和”隔开．
【典例1】函数f (x)＝的单调递增区间为________．
【典例2】已知函数f (x)＝8x－，x∈，讨论f (x)的单调性．
方法技巧68 含参数的函数的单调性
(1)对于含参数的函数的单调性，常见的分类讨论点按讨论的先后顺序有以下三个：
分类讨论点1(根的有无讨论)：求导后，考虑f ′(x)＝0是否有实数根，从而引起分类讨论；
分类讨论点2(根在不在定义域内讨论)：求导后，f ′(x)＝0有实数根，但不清楚f ′(x)＝0的实数根是否落在定义域内，从而引起分类讨论；
分类讨论点3(根的大小的讨论)：求导后，f ′(x)＝0有实数根，f ′(x)＝0的实数根也落在定义域内，但不清楚这些实数根的大小关系，从而引起分类讨论．
(2)求出f ′(x)后，先观察f ′(x)的解析式的特征(当参数取某些特殊值或在某一范围内时，f ′(x)≥0(≤0)恒成立)，再解不等式．
【典例1】已知函数f (x)＝－a ln x(a∈R)，讨论f (x)的单调性．
【典例2】已知函数f (x)＝ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数y＝f (x)的单调性．
【典例3】(2024·山东青岛一模)已知函数f (x)＝x2－ax＋ln x，讨论f (x)的单调性．
方法技巧69 函数单调性的应用
根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f (x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)f (x)在区间(a，b)上单调递增的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f ′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f ′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．
【典例1】(2025·四川成都模拟)已知定义在(0，＋∞)上的函数y＝f (x)的导函数为y＝f ′(x)，当x>0时，xf ′(x)＋f (x)<0，且f (2)＝3，则不等式f (x－1)>的解集为__________．
【典例2】已知a<5且ae5＝5ea，b<4且be4＝4eb，c<3且ce3＝3ec，则(　　)
A．cC．a【典例3】已知函数g(x)＝2x＋ln x－．
(1)若函数g(x)在区间[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若g(x)在区间[1，2]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围．
【典例4】已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x)满足xf ′(x)－f (x)>0，且f (1)＝2，则f (ex)>2ex的解集为(　　)
A．(0，＋∞)　　 B．(ln 2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0，1)
方法技巧70 根据函数的图象判断函数的极值
1.根据原函数图象判断极值的解题策略
先在原函数图象上寻找峰顶、谷底或导数不存在的尖点，这些是候选极值点；再观察每个点左右两侧的单调性：若左边递增、右边递减，则为极大值点；若左边递减、右边递增，则为极小值点；若两侧单调性不变，则该点不是极值点，判断时只关注局部升降变化，不与整体最值混淆。
2.根据导函数图象判断极值的解题策略
先找出导函数图象与x轴的交点及导数不存在的点，这些是临界点；再看临界点左右两侧导函数的符号：若左正右负，则原函数在该点取极大值；若左负右正，则原函数在该点取极小值；若两侧符号相同，则该点无极值。
【典例1】　(2025·江苏常州模拟)已知函数f (x)的导函数为f ′(x)，定义域为(0，＋∞)，且函数g(x)＝(x－6)3·f ′(x)的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．f (x)有极小值f (6)，极大值f (1)
B．f (x)仅有极小值f (6)，极大值f (10)
C．f (x)有极小值f (1)和f (6)，极大值f (3)和f (10)
D．f (x)仅有极小值f (1)，极大值f (10)
【典例2】已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ）
A．在上有增也有减
B．有2个极小值点
C．
D．有1个极大值点
方法技巧71 求已知函数的极值
求函数f (x)极值的步骤
①确定函数的定义域．
②求导数f ′(x)．
③解方程f ′(x)＝0，求出方程f ′(x)＝0在定义域内的所有根．
④列表检验f ′(x)在f ′(x)＝0各个根的左、右两侧值的符号．
【典例1】已知函数f (x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)当a＝时，求f (x)的极值；
(2)讨论函数f (x)在定义域内极值点的个数．
【典例2】已知函数f (x)＝和g(x)＝＋b有相同的极大值，则b＝(　　)
A．0　　　 B．2　　　
C．－1　　　 D．－3
方法技巧72 已知函数的极值(点)求参数
根据函数极值情况求参数的两个要领
①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
②验证：求解后验证根的合理性．不满足题意可能有两种情况：一是函数在定义域内单调，二是函数在极值点左、右两侧的单调性相反，即极值相反．
【典例1】(2024·湖北武汉期中)已知函数f (x)＝b ln x＋x2＋2ax＋a2－3a在x＝1处取得极小值，则的值为________．
【典例2】(2025·八省联考)已知函数f (x)＝a ln x＋－x．
①设a＝1，b＝－2，求曲线y＝f (x)的斜率为2的切线方程；
②若x＝1是f (x)的极小值点，求b的取值范围．
【典例3】已知函数f＝x3－ax2＋x在区间上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是(　　)
A．
C．
【典例4】已知函数f (x)＝(ln x)2－ax2有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
方法技巧73 利用导数研究函数的最值
求函数f (x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
【典例1】(2022·全国乙卷)函数f＝cos x＋sin x＋1在区间的最小值、最大值分别为(　　)
A．－　　 B．－
C．－＋2 D．－＋2
【典例2】函数f (x)＝－x3＋x在(a，10－a2)上有最大值，则实数a的取值范围是________．
【典例3】)设实数a>0，求函数f (x)＝在[a，2a]上的最小值．
方法技巧74 导数型构造函数
(1)出现xf ′(x)－nf (x)形式，构造函数F (x)＝．
(2)出现nf (x)＋xf ′(x)形式，构造函数F (x)＝xnf (x)．
(3)出现f ′(x)－nf (x)形式，构造函数F (x)＝．
(4)出现f ′(x)＋nf (x)形式，构造函数F (x)＝enxf (x)．
(5)与sin x，cos x有关的导函数存在一定的特殊性，其常见考查形式如下：
F (x)＝f (x)sin x，F ′(x)＝f ′(x)sin x＋f (x)cos x；
F (x)＝，F ′(x)＝；
F (x)＝f (x)cosx，F ′(x)＝f ′(x)cos x－f (x)sin x；
F (x)＝，F ′(x)＝．
【典例1】设f (x)是定义域为R的奇函数，f (－1)＝0，当x>0时，xf ′(x)－f (x)<0，则使得f (x)>0成立的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0)
D．(0，1)∪(1，＋∞)
【典例2】已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x)满足2xf (x)＋x2f ′(x)<0，f (2)＝，则关于x的不等式x2f (x)>3的解集为________．
【典例3】(2025·江苏常州模拟)已知定义在R上的函数f (x)的导函数为f ′(x)，f (1)＝e，且对任意的x满足f ′(x)－f (x)xex的解集是(　　)
A．(－∞，1)　　 B．(－∞，0)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
【典例4】已知f ′(x)是函数f (x)的导函数，f (x)－f (－x)＝0，且对于任意的x∈满足f ′(x)cos x＋f (x)sin x>0，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．fB．f>f
C．f (－1)D．f>f
方法技巧75 依据数值特征构造具体函数
当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的共同之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为所构函数的函数值，然后利用函数的单调性比较大小．
【典例1】设a＝999ln 1 001，b＝1 000ln 1 000, c＝1 001ln 999，则下列选项正确的是(　　)
A．a>c>b　　 B．c>b>a
C．b>a>c D．a>b>c
【典例2】已知a，b，c∈，且＝－5ln a，＝－3ln b，＝－2ln c，则(　　)
A．bC．a方法技巧76 地位同等同构
地位同等同构策略
对于含有地位同等的两个变量x1，x2(或x，y，或a，b)的等式或不等式，如果进行整理(即同构)后，等式或不等式两边具有结构的一致性，往往暗示应构造函数，应用函数的单调性解决．常见的同构类型有：
原式 转化 构造函数
＞k(x2＞x1) f (x1)－f (x2)＜kx1－kx2 构造y＝f (x)－kx，为增函数
＜(x2＞x1) f (x1)－f (x2)＞ 构造y＝f (x)＋，为减函数
【典例1】(多选)已知a，b∈R，且2a>2b>1，则(　　)
A．ea－ebC．【典例2】已知函数f (x)＝ax2＋(a＋1)ln x＋1(a≤－1)，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，恒有≥4，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－e2]　　 B．(－∞，－e]
C．[－2，－1] D．(－∞，－2]
方法技巧77 指对混合型的同构
1．指对同构的本质：指、幂、对三种函数的互相转化，即alogax＝x＝logaax(a＞0且a≠1)．
2．三种基本模式：
①积型：
aea≤b ln b
说明：在对“积型”同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，单调性一看便知．
②商型：
<
③和差型：
ea±a>b±ln b
如：eax＋ax＞ln (x＋1)＋x＋1 eax＋ax＞eln (x+1)＋ln (x＋1) ax＞ln (x＋1)．
特别地，若式子无法直接进行变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量，如两边同乘x，同加上x等，再用上述方式变形．常见的有：
①aeax>ln x axeax>x ln x；
②ex>a ln (ax－a)－a ex>ln [a(x－1)]－1 ex－ln a－ln a>ln (x－1)－1
ex－ln a＋x－ln a>ln (x－1)＋x－1＝eln (x-1)＋ln (x－1)；
③ax>logax ex ln a> (x ln a)ex ln a>x ln x．
【典例1】设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aeaA．ab>e　　 B．b>ea
C．ab【典例2】若关于x的不等式ex－a≥ln x＋a对一切正实数x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．　　 B．(－∞，e]
C．(－∞，1] D．(－∞，2]
【典例3】已知当x≥e时，不等式xa＋－≥a ln x恒成立，则正实数a的最小值为 ________．
方法技巧78 移项构造法证明不等式
一般地，待证不等式的两边含有同一个变量时，可以直接构造“左减右”(或“右减左”)的函数，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值进行证明．
提醒：对复杂的式子可以先进行变形，再移项构造函数进行证明．
【典例1】(教材经典)证明以下不等式：
(1)ex≥x＋1；
(2)ln x≤x－1；
(3) ln x≥1－．
【典例2】证明：当x>1时，x2＋ln x【典例3】　(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝a(ex＋a)－x．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)证明：当a＞0时，f (x)＞2ln a＋．
方法技巧79 分拆构造双函数法证明不等式
在同时含ln x与ex的不等式证明中，常采用把对数单独分离的方式，把待证不等式分离．构造两个函数，分别计算它们的最值，借助最值进行证明．
【典例1】设函数f (x)＝aexln x＋，曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2．
(1)求a，b；
(2)求证：f (x)>1．
【典例2】已知函数f (x)＝eln x－ax(a∈R)．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)当a＝e时，证明：xf (x)－ex＋2ex≤0．
方法技巧80 放缩法证明不等式
1．利用导数证明不等式时，若所证明的不等式中含有ex，ln x，sin x，cos x，tan x或其他多项式函数中的两种或以上，可考虑先利用不等式进行放缩，使问题简化，然后再构造函数进行证明．
2．常见的放缩有：(1)tan x>x>sin x，x∈；(2)切线放缩：ex≥x＋1>x－1≥ln x，利用切线放缩可把指数式、对数式转化为一次式，有利于后续的求解．
3．导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式．
【典例1】已知函数f (x)＝ln x＋－1．
(1)求函数f (x)的最小值；
(2)当x∈(0，π)时，证明：ex＞(1－ln x)sin x．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)证明：当时，在上恒成立.
方法技巧81 端点效应
端点效应法是一种必要性探路法，是指对某些与函数有关的恒成立问题，通过选取函数定义域内的某些特殊值，先得到一个必要条件，初步获得参数的范围，再在该范围内进行讨论，或去验证其充分性，进而得到参数的准确范围的方法.
1.如图(1)，如果连续函数f(x)在区间[a，b]上单调，f(x)≥0恒成立，则f(a)≥0且f(b)≥0.
2.一阶端点效应：如图(2)，如果连续函数f(x)在某一点x0处的函数值f(x0)恰好为零，则当x≥x0时，f(x)≥0成立的一个必要条件为端点x0处的导数值f'(x0)≥0.因为如果f'(x0)<0，那么函数会在x0右侧的一个小区间内先单调递减，此时函数f(x)在x≥x0时不恒为非负值，不满足要求，如图(3).
这个方法把某个区间上函数的恒成立问题转化为判断端点处的导数值符号，这就是端点效应.
类似地，如果连续函数f(x)在某一点x0处的函数值f(x0)恰好为零，当x>x0时，f(x)<0成立的一个必要条件为x0处的导数值f'(x0)<0.
3.二阶端点效应：如图(4)，如果连续函数f(x)在区间[a，b]上，f(x)≥0恒成立，且f(a)＝0，f'(a)＝0，则f″(a)≥0.
端点效应的核心思想是必要性探路，充分性护航.我们在解决一类恒成立问题时，可以利用端点处需满足的必要条件缩小参数的取值范围，而往往得到的范围即为所求，再去做充分性论证即可.
【典例1】设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf'(x)，x≥0，其中f'(x)是f(x)的导函数.若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围.
【典例2】设函数f(x)＝ex－e－x.若对任意x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范围.
【典例3】设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.若当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.
【典例4】(2024·全国甲卷改编)已知函数f(x)＝(1－ax)ln(1＋x)－x.当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.
方法技巧82 洛必达法则
“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决成立或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数(最)值，若出现型或型可以考虑使用洛必达法则．
洛必达法则：
法则1　型
若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(1) f(x)＝0及 g(x)＝0；
(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；
(3) ＝l，
那么 ＝ ＝l.
法则2　型
若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(1) f(x)＝∞及 g(x)＝∞；
(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；
(3) ＝l，那么 ＝ ＝l.
注意：
1．将上面公式中的x→a，x→∞换成x→＋∞，x→－∞，x→a＋，x→a－，洛必达法则也成立．
2．洛必达法则可处理，，0·∞，1∞，∞0,00，∞－∞型求极限问题．
3．在着手求极限前，首先要检查是否满足，，0·∞，1∞，∞0,00，∞－∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错，当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限．
4．若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．
＝ ＝ ，如满足条件，可继续使用洛必达法则．
【典例1】设函数f(x)＝.如果对任何x≥0，都有f(x)≤ax，求a的取值范围．
【典例2】已知函数f(x)＝ax－a－xln x．若当x∈(0,1)时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
方法技巧83 单变量不等式恒成立问题
导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类．
【典例1】(2024·安徽安庆二模节选)已知函数f (x)＝2ln x－x＋(m∈R)，若不等式f (x)≤0对任意的x∈[1，＋∞)恒成立，求实数m的取值范围．
【典例2】(2024·全国甲卷)已知函数f (x)＝(1－ax)·ln (1＋x)－x．
(1)当a＝－2时，求f (x)的极值；
(2)当x≥0时，f (x)≥0恒成立，求a的取值范围．
方法技巧84 单变量不等式能成立问题
能成立问题一般是通过分离参数或移项作差构造函数来解决，能成立问题中的等价转化有以下几种形式：
(1)存在x∈[a，b]，f (x)≥a成立 f (x)max≥a．
(2)存在x∈[a，b]，f (x)≤a成立 f (x)min≤a．
(3)存在x1∈[a，b]，对任意x2∈[a，b]，f (x1)≤g(x2)成立 f (x)min≤g(x)min．
【典例1】已知函数f (x)＝x2ln x．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若存在x>0，使得f (x)≤ax成立，求实数a的取值范围．
【典例2】已知函数f (x)＝ex－x，若对任意x>0，f (x)>ax2＋1有解，求a的取值范围．
方法技巧85 双变量不等式恒(能)成立问题
双变量恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价转换，常见的等价转换有：
(1) x1，x2∈D，f (x1)>g(x2) f (x)min>g(x)max．
(2) x1∈D1， x2∈D2，f (x1)>g(x2) f (x)min>g(x)min．
(3) x1∈D1， x2∈D2，f (x1)>g(x2) f (x)max>g(x)max．
【典例1】设f (x)＝＋x ln x，g(x)＝x3－x2－3．
(1)如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
(2)如果对于任意的s，t∈，都有f (s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．
【典例2】(2025·云南曲靖模拟)已知函数f (x)＝x＋x cos x－2sin x．
(1)求曲线y＝f (x)在x＝π处的切线方程；
(2)g(x)＝x2－3x＋a(a∈R)，若对任意x1∈，均存在x2∈，使得f (x1)方法技巧86 数形结合法探究函数零点问题
含参数的函数的零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，则可将参数分离出来后，用x表示含参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围或判断零点个数，即转化为一条直线(平行于x轴)与一个复杂函数图象交点个数问题．
【典例1】(2024·湖北武汉模拟节选)已知函数f (x)＝ln x－ax2(a∈R )，讨论函数f (x)在区间上零点的个数．
【典例2】(2024·广东汕头三模)已知函数f (x)＝x(ex－ax2)，若f (x)在(0，＋∞)上只有一个零点，求a的值．
方法技巧87 借助函数的性质探究函数的零点问题
利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用，解题中注意零点存在定理的灵活应用．
【典例1】　(202

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