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2026年高三数学高考模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．在平行四边形ABCD中，E是CD中点，F是BC上靠近C的三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
3．若椭圆的焦距为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．若l，m是两条不同的直线，平行于平面，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张 小赵 小李 小罗 小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译 安保 礼仪 服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）种.
A．120 B．60 C．24 D．36
7．双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与C在第二象限交于点P，若坐标原点O到直线的距离为，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数是上的增函数，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B．数列有最小项
C．数列为递减数列 D．
10．已知函数则下列说法正确的是（ ）
A．的图象可由的图象向右平移个单位得到
B．是的图象的一条对称轴
C．的值域为
D．在区间上单调
11．定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（ ）
A．
B．当时，
C．
D．当时，
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。其中14题第一空2分，第二空3分。
12．已知复数满足，（其中为虚数单位），则复数的虚部为 .
13．设某死亡生物经过t年后，其机体内碳14所剩的质量（为碳14的初始质量）.当该死亡生物经过11460年，其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为 ；当其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为，则t= .
14．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，若是曲线C上任意一点，的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．记的内角，，的对边分别为，，，.
(1)求；
(2)若的角平分线交边于点，，，求的周长.
16．如图，在圆台中，，，是下底面圆周上的三点，为下底面圆的直径，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
17．已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1个红球和3个白球，乙袋内有2个红球和2个白球．根据下列规则进行连续有放回的摸球（每次只摸1个球）：先随机选择一个袋子摸球．若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球．
(1)按照上述规则摸球3次．当第1次选中的是甲袋，求摸到红球的个数的分布列及期望；
(2)按照上述规则进行连续摸球，若摸到2次红球则停止摸球．求3次之内（含3次）停止摸球的概率．
18．在直角坐标系中，设为抛物线：（）的焦点，为抛物线上位于第一象限内的点.当时，有.
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线与抛物线的另一个交点为，点，在直线上的射影分别为点，，过点且与垂直的直线与直线相交于点，证明：是线段的中点；
(3)设过定点的直线与抛物线交于，两点.若，且，两点的横坐标均与点的横坐标不相等，试判断直线，的斜率之积是否为定值.如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请求出其取值范围.
19．已知函数，其中．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：在区间上存在唯一的极值点与唯一的零点；
(3)在（2）的条件下，证明：．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)2026年高三数学高考模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题目条件对不等式进行求解，再根据集合交集的性质即可判断选项.
【详解】由解得，结合得，
由解得或，所以
所以.
故选：A
2．在平行四边形ABCD中，E是CD中点，F是BC上靠近C的三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用平面向量的线性运算即可求解.
【详解】四边形ABCD 为平行四边形，
所以，,
所以.
故选：C
3．若椭圆的焦距为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由焦距得，可判断，由离心率公式计算可得.
【详解】由得，
又，
所以，，得，
所以．
故选：A．
4．若l，m是两条不同的直线，平行于平面，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】首先利用长方体判断不满足充分性，再根据线面垂直的性质判断必要性，即可得到答案.
【详解】充分性：如图所示，在长方体中，满足：，，
此时不垂直平面，故不满足充分性.
必要性：可推出，满足必要性.
所以“”是“”的必要而不充分条件.
故选：B
5．设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用等差数列的前n项和为，则成等差数列，即可得出结论．
【详解】设，则，
等差数列的前n项和为，则成等差数列，
即成等差数列，
公差为，故，即，
，
故选：.
6．世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张 小赵 小李 小罗 小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译 安保 礼仪 服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）种.
A．120 B．60 C．24 D．36
【答案】D
【分析】根据题意，小张和小赵只能从事前两项工作，由此分为2种情况讨论，结合排列组合，即可求解.
【详解】根据题意可分为2种情况讨论：
（i）若小张或小赵只有一人入选，则有种不同的选派方案；
（ii）若小张，小赵都入选则有种不同的选派方案，
综上可得，共有种不同的选派方案.
故选：D
7．双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与C在第二象限交于点P，若坐标原点O到直线的距离为，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意得到⊥，作出辅助线，结合双曲线定义求出，，由勾股定理得到方程，求出离心率.
【详解】由题意得⊥，取的中点，连接，
因为为的中点，所以，且，
故，即为坐标原点O到直线的距离，则，
所以，
由双曲线定义可得，所以，
又，由勾股定理得，
故，解得，故离心率为.
故选：C
8．已知函数是上的增函数，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得恒成立，进而分两种情况讨论求解即可.
【详解】由，得，
所以，
因为是上的增函数，则恒成立，
即恒成立，
当时，，此时不恒成立，不满足题意；
当时，等价于对恒成立，
则，即，则，
设，则，
令，得；令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，即的最小值是.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B．数列有最小项
C．数列为递减数列 D．
【答案】ACD
【分析】由题意可求出等比数列的首项和公比，即可求出其通项公式以及前n项和公式，分别判断各选项，即可求得答案.
【详解】设正项等比数列公比为，
对于A，由题意得，
结合，解得或（舍去），故A正确；
对于B和C，，故数列为递减数列，无最小项，故B错误，C正确；
对于D，，则，故D正确，
故选：ACD．
10．已知函数则下列说法正确的是（ ）
A．的图象可由的图象向右平移个单位得到
B．是的图象的一条对称轴
C．的值域为
D．在区间上单调
【答案】BC
【分析】先化简得，根据与的振幅不相等，从而判断A；代入求值即可判断B；根据整体法求值域即可判断C；由函数单调性判断D即可．
【详解】因为，
所以，
由于与的振幅不相等，的图象不能仅由的图象平移得到，故A错误；
因为，所以是的图象的一条对称轴，故B正确；
当时，，所以的值域为，故C正确；
当时，，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
在区间上不单调，故D错误；
故选：BC.
11．定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（ ）
A．
B．当时，
C．
D．当时，
【答案】AD
【分析】根据赋值法、函数单调性的定义、累乘法对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于选项A，由，
取，得，故A项正确；
对于选项B，任取，则，依题意，，
而，
则，即，
即在上是增函数，
因为，所以，
得当时，，
而，得当时，，故B项错误；
对于选项C，由，取，因为，
故，即，故C项错误；
对于选项D，由，
取，可得，
整理得，，
因为，所以且，
故，
即，
，
故D项正确.
故选：AD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。其中14题第一空2分，第二空3分。
12．已知复数满足，（其中为虚数单位），则复数的虚部为 .
【答案】
【分析】运用复数的模，复数除法等知识计算即可.
【详解】，
.
故复数的虚部为.
故答案为：.
13．设某死亡生物经过t年后，其机体内碳14所剩的质量（为碳14的初始质量）.当该死亡生物经过11460年，其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为 ；当其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为，则t= .
【答案】
【分析】根据给定的碳14质量随时间变化的公式，分别代入不同的时间或质量比值来求解相应的结果.
【详解】已知公式，当时，将其代入公式可得：
，所以.
已知，即，两边同时除以可得.
因为，所以.
根据指数的性质，可得，解得.
故答案为：；.
14．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，若是曲线C上任意一点，的最小值为 .
【答案】
【分析】根据曲线方程分析曲线的性质及形状，问题化为各圆弧上点到直线的距离，再应用圆上点到直线的距离求法确定最值.
【详解】曲线，
当，时，曲线C的方程可化为，
当，时，曲线C的方程可化为，
当，时，曲线C的方程可化为，
当，时，曲线C的方程可化为，
作出曲线如图：
到直线的距离，
则即为，要求得的最小值，结合曲线的对称性，
只需考虑，时的情况；
当，时，曲线C的方程为，
曲线为圆心为，半径为的圆的一部分，
而到直线的距离为，
由圆的性质得曲线C上一点到直线的距离最小为，
故的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．记的内角，，的对边分别为，，，.
(1)求；
(2)若的角平分线交边于点，，，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由条件及正弦定理，再结合二倍角公式可得；
（2）根据角平分线分三角形面积之间的关系及余弦定理可得.
【详解】（1）由及正弦定理，得，
，，
，，，，或.
，，，即.
（2）如图：
，
，①，
又在中，由余弦定理可得，即②，
将①代入②得，或（舍）, .
的周长为.
16．如图，在圆台中，，，是下底面圆周上的三点，为下底面圆的直径，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由圆台的性质知底面，从而得；再由为下底面圆的直径结合为的中点可证，由线线垂直即可证得线面垂直.
（2）建立空间直角坐标系，按照求直线与平面夹角的公式，按步骤求解即可.
【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，
因为为下底面圆的直径，所以，
因为为的中点，所以，
所以，
又，，平面，
所以平面.
（2）以为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，
则，，，，
则，，.
设平面的一个法向量为，
则取，得.
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
17．已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1个红球和3个白球，乙袋内有2个红球和2个白球．根据下列规则进行连续有放回的摸球（每次只摸1个球）：先随机选择一个袋子摸球．若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球．
(1)按照上述规则摸球3次．当第1次选中的是甲袋，求摸到红球的个数的分布列及期望；
(2)按照上述规则进行连续摸球，若摸到2次红球则停止摸球．求3次之内（含3次）停止摸球的概率．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）利用二项分布的概率和期望公式求解即可；
（2）利用全概率公式求解即可.
【详解】（1）法一：由题意得的可能取值为．
，，
，．
0 1 2 3
因此．
法二：由题意得的可能取值为．
又，故（）．
因此．
（2）设事件“次之内（含次）停止摸球”，
事件“第次摸到红球，第次摸到红球”；
事件“第次摸到红球，第次摸到白球，第次摸到红球”；
事件“第次摸到白球，第次摸到红球，第次摸到红球”；
事件“首次选择甲袋是第次摸球”（），
事件“一直没有选择甲袋”．
则
．
．
．
因此．
18．在直角坐标系中，设为抛物线：（）的焦点，为抛物线上位于第一象限内的点.当时，有.
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线与抛物线的另一个交点为，点，在直线上的射影分别为点，，过点且与垂直的直线与直线相交于点，证明：是线段的中点；
(3)设过定点的直线与抛物线交于，两点.若，且，两点的横坐标均与点的横坐标不相等，试判断直线，的斜率之积是否为定值.如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请求出其取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)是定值
【分析】（1）根据条件列出关于的方程求解即可；
（2）求点的坐标为，再利用三点共线可得证；
（3）由韦达定理。结合直线的斜率公式，化简计算可得为常数即可.
【详解】（1）由，得，
为抛物线上位于第一象限内的一点，
设，，则，即，
由题知，，解得，
抛物线的方程为；
（2）由上可知，点的坐标为，
若直线的斜率不存在，则直线垂直于轴，是与轴的交点，显然是的中点，
若直线的斜率存在，易知该直线斜率不为0，可设直线的方程为，

联立整理得，
设点，的坐标分别为，，则，
则，的坐标分别为，，
直线的方程为，于是点的坐标为，
，，三点在同一直线上，，是线段的中点；
（3）可设（），
由上可得，，
由，得，解得，
点的坐标为，由题意得直线必不垂直于轴，
可设，联立
整理得，
其中恒成立，
设，，
由韦达定理，有，，
进而得，
，
，
综上可得，直线，的斜率之积为定值.
19．已知函数，其中．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：在区间上存在唯一的极值点与唯一的零点；
(3)在（2）的条件下，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）先求导，利用导数的几何意义得出斜率，从而求出切线方程；
（2）先求导，结合正弦函数的性质，利用导数研究函数的单调性和极值，进而证明结论；
（3）对不等式进行变形处理，结合（2）的条件，并借助进行放缩构造函数，从而证明结论．
【详解】（1）若，则，求导得，
，
又，
所求的切线方程为．
（2）函数求导得：．
当时，，，又，所以．
当时，令，则，
，则在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递增，且，，
存在，使得．
当时，，单调递减，当时，，单调递增．
，
又，存在，使得．
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
在上存在唯一极（小）值点．
，又，
存在，使得，
在上存在唯一零点，得证．
（3），，
，得，，
，等价于．
结合（2）的分析，，，
，即，
同理，
．
在区间上单调递减，要证，只需证．
又在上单调递增，只需证．
，
借助，可得，
令，则恒成立，
在上单调递增，，即成立，得证．
不等式成立．
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